m-fi dijagram - primjer - novo
TRANSCRIPT
BETONSKEBETONSKEBETONSKE BETONSKE KONSTRUKCIJE 3KONSTRUKCIJE 3KONSTRUKCIJE 3KONSTRUKCIJE 3Primjer Primjer –– proračun proračun
dijagrama Mdijagrama M--1/r1/rVerzija s korigiranim tablicama 1.1 i 1.2 !!!!Verzija s korigiranim tablicama 1.1 i 1.2 !!!!
P f d Z i l S ić di l i đP f d Z i l S ić di l i đProf. dr. sc. Zorislav Sorić dipl. ing. građ.Prof. dr. sc. Zorislav Sorić dipl. ing. građ.Doc. dr. sc. Tomislav Kišiček dipl. ing. građ.Doc. dr. sc. Tomislav Kišiček dipl. ing. građ.
Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 11
MM--1/r dijagram 1/r dijagram primjerprimjerj gj g p jp jPotrebno je proračunati i nacrtati točke dijagrama (M-j p j g (1/r) za neovijeni i ovijeni beton (σ2=0,10·fck) uz korištenje bilinearnog (σ-ε) dijagrama betona, za j g ( ) j gpravokutni presjek b/h/d=35/55/50 cm, za razred betona C30/37, te čelik B500B i armaturu 5φ22., φ
Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 22
MM--1/r dijagram 1/r dijagram primjerprimjerj gj g p jp jUlazni podaci:
Dimenzije presjeka: b/h/d=35/55/50 cmDimenzije presjeka: b/h/d=35/55/50 cmUgrađena vlačna armatura: 5φ22 = 19,01 cm2
Beton: C30/37Beton: C30/37tablica 3.1 iz EN 1992tablica 3.1 iz EN 1992--11--1 ili tablica 4.1 u skriptama NBK1, str. 97.1 ili tablica 4.1 u skriptama NBK1, str. 97.
fck = 30 N/mm2 = 3,0 kN/cm2 fck 30 N/mm 3,0 kN/cmfctm = 2,9 N/mm2 = 0,29 KN/cm2
Ecm = 33000 N/mm2 = 3300 KN/cm2
εc3 = 0,00175εcu3 = 0,0035
Č lik B500BČelik: B500Bfyk = 500 N/mm2 = 50 kN/cm2
E = 200000 N/mm2 = 20000 kN/cm2
Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 33
Es = 200000 N/mm2 = 20000 kN/cm2
Točka (1) Točka (1) –– Neovijeni betonNeovijeni beton( )( ) jjPojava prve pukotine u betonu Pojava prve pukotine u betonu –– dosegnuta je vlačna čvrstoća dosegnuta je vlačna čvrstoća maskimalno napregnutog vlakanca u poprečnom presjekumaskimalno napregnutog vlakanca u poprečnom presjekumaskimalno napregnutog vlakanca u poprečnom presjekumaskimalno napregnutog vlakanca u poprečnom presjeku
I0 = b·h3/12 = 35·553/12 = 485260,42 cm4
y0d = h/2 = 27,5 cmαe = Es/Ecm = 200000/33000 = 6,06
Položaj neutralne osi za stanje naprezanja Položaj neutralne osi za stanje naprezanja II (beton +armatura)(beton +armatura)
( ) ( ) ( ) ( ) 25535050119106621 22 //hbdA( ) ( )( )
( ) ( )( ) 553501191066
2553505011910661
21 2
se
21se
Id ,,/,,,/
=⋅+⋅−⋅+⋅⋅−
=⋅+⋅−⋅+⋅⋅−
=hbAhbdAy
αα
cm4326,=
cm5728432655IdIg ,, =−=−= yhy
Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 44
IdIg ,,yy
Točka (1) Točka (1) –– Neovijeni betonNeovijeni beton( )( ) jjMoment tromosti poprečnog presjeka za stanje naprezanja Moment tromosti poprečnog presjeka za stanje naprezanja II(beton +armatura)(beton +armatura)(beton +armatura)(beton +armatura)
( ) ( )2Igse
2
Ig
3
I 1212
=−⋅⋅−+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅+
⋅= ydAyhhbhb αΙ
( ) ( )4
223
68531644
5728500119106657282
55553512
5535 ,,,, =−⋅⋅−+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅+
⋅=
Moment savijanja kod pojave prve pukotine:Moment savijanja kod pojave prve pukotine:4cm68531644,=
485260 42290f Ι
Zakrivljenost:Zakrivljenost:
kNm1751kNcm29511727,5485260,42290
d0
0ctmcr ,,,
==⋅
=⋅
=y
fM Ι
Zakrivljenost:Zakrivljenost:
1/m109121/cm10912685316443300
2951171 46cr −− ⋅=⋅=== ,,,ΙE
M
Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 55
685316443300Icmcr ⋅⋅ ,ΙEr
Točka (2) Točka (2) –– Neovijeni betonNeovijeni beton( )( ) jjPojava popuštanja vlačne armature. Za Pojava popuštanja vlačne armature. Za bilinearnibilinearni proračunski proračunski dijagram betonadijagram betona
00250200000500syksys ,// ==== Efεε
22yks kN/cm50N/mm500 === fσ
Za beton C30/37:Za beton C30/37:Za beton C30/37:Za beton C30/37:εεc3 c3 = 1,75 ‰ = 0,00175 = 1,75 ‰ = 0,00175 εε 33 = 3 5 ‰ = 0 0035= 3 5 ‰ = 0 0035εεcu3cu3 3,5 ‰ 0,0035 3,5 ‰ 0,0035
Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 66
Točka (2) Točka (2) –– Neovijeni betonNeovijeni beton( )( ) jjUnutarnje sile u poprečnom presjekuUnutarnje sile u poprečnom presjekuZa Za bilinearnibilinearni proračunski dijagram betonaproračunski dijagram betona
Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 77
Točka (2) Točka (2) –– Neovijeni betonNeovijeni beton( )( ) jjSila u vlačnoj armaturi:Sila u vlačnoj armaturi: kN5950500119ykss ,, =⋅=⋅= fAF
Iz uvjeta ravnoteže unutarnjih sila u poprečnom Iz uvjeta ravnoteže unutarnjih sila u poprečnom presjeku treba proračunati relativnu tlačnu deformaciju presjeku treba proračunati relativnu tlačnu deformaciju betona, betona, εεcc. . Kod određivanja rezultante tlačnih naprezanja u Kod određivanja rezultante tlačnih naprezanja u j p jj p jbetonu moguća su dva slučaja:betonu moguća su dva slučaja:
εεcc ≤≤ εεc3c3 linearna raspodjela naprezanja u tlačnom linearna raspodjela naprezanja u tlačnom cc c3c3 p j p jp j p jdijelu betona dijelu betona 1. SLUČAJ1. SLUČAJεεc3c3 < < εεcc ≤≤ εεcu3cu3 bilinearna raspodjela naprezanja u bilinearna raspodjela naprezanja u c3c3 cc cu3cu3tlačnom dijelu betona tlačnom dijelu betona 2. SLUČAJ2. SLUČAJ
Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 88
Točka (2) Točka (2) –– Neovijeni betonNeovijeni beton( )( ) jjZa beton C30/37 i armaturu B500B, granični Za beton C30/37 i armaturu B500B, granični k fi ij t i j čit j ik fi ij t i j čit j i t bli 1 1 ( t i )t bli 1 1 ( t i ) iikoeficijent armiranja očitan je iz koeficijent armiranja očitan je iz tablice 1.1, (str. iza) tablice 1.1, (str. iza) i i iznosi:iznosi: 0123530s gr 2 ,=ρ
Koeficijent armiranja poprečnog presjeka jest:Koeficijent armiranja poprečnog presjeka jest:
0123530s,gr,2 ,ρ
j j p p g p j jj j p p g p j j
010862050350119s
s ,,=
⋅=
⋅=
dbAρ
ρρss = 0,010862 < = 0,010862 < ρρs,gr,2 s,gr,2 = = 0,012353 0,012353 5035 ⋅⋅db
εεcc ≤≤ εεc3c3 (linearna raspodjela naprezanja u tlačnom (linearna raspodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona) dijelu betona) 1. SLUČAJ1. SLUČAJ
Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 99
Točka (2) Točka (2) –– Neovijeni Neovijeni betonbeton( )( ) jjKorigirana tablica 1.1 !!!!!!
Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 1010
Točka (2) Točka (2) –– Neovijeni betonNeovijeni beton( )( ) jj1. slučaj: 1. slučaj: εεcc ≤≤ εεc3c3 linearna raspodjela linearna raspodjela naprezanja naprezanja
tl č dij l b ttl č dij l b tu tlačnom dijelu betonau tlačnom dijelu betonaIzjednačavanjem izraza za sile u betonu i armaturi dobije se Izjednačavanjem izraza za sile u betonu i armaturi dobije se k d t j d džbk d t j d džbkvadratna jednadžba, kvadratna jednadžba,
01syykscyks
2c
ck =⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅ εεε fAfAdbf
0002505001195001195035031
02
2
syykscykscc3
=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅, εε
εεεε
fAfAdb
037625259501500000
00025050011950011950350017502
c2c
cc
=−⋅−⋅ ,,
,,,,
εε
εε
čije rješenje jest relativna deformacija betona, čije rješenje jest relativna deformacija betona, εεcc = 0,001615= 0,001615
Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 1111
Točka (2) Točka (2) –– Neovijeni betonNeovijeni beton( )( ) jj1. slučaj: 1. slučaj: εεcc ≤≤ εεc3c3 linearna raspodjela naprezanja linearna raspodjela naprezanja
tl č dij l b ttl č dij l b tu tlačnom dijelu betonau tlačnom dijelu betonaDebljina tlačnog područja poprečnog presjeka:Debljina tlačnog područja poprečnog presjeka:
cm621950002500016150
0016150syc
cy ,
,,,
=⋅+
=⋅+
== dxxεε
ε
krak unutarnjih sila u trenutku popuštanja armature, krak unutarnjih sila u trenutku popuštanja armature, zzyy::
cm4643621950y ,=−=−=
xdz
Maksimalno tlačno naprezanje betona:Maksimalno tlačno naprezanje betona:
cm46433
503y ,=−=−= dz
2
c3
ckcc kN/cm772
001750030016150 ,
,,, =⋅=⋅=
εεσ f
Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 1212
Točka (2) Točka (2) –– Neovijeni betonNeovijeni beton( )( ) jj1. slučaj: 1. slučaj: εεcc ≤≤ εεc3c3 linearna raspodjela naprezanja linearna raspodjela naprezanja
tl č dij l b ttl č dij l b tu tlačnom dijelu betonau tlačnom dijelu betonaSila u betonu:Sila u betonu:
11 kN5950kN0895135621977221
21
sycc ,,,, =≈=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= FbxF σ
Moment savijanja iznosi :Moment savijanja iznosi :
kNm08413kNcm734130846435950ysy ,,,, ==⋅=⋅= zFM
Zakrivljenost poprečnog presjeka:Zakrivljenost poprečnog presjeka:
ysy
1/m1022981/cm102298621950
002501 35
y
sy
y
−− ⋅=⋅=−
=−
= ,,,
,xdr
ε
Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 1313
621950yy ,xdr
Točka (3) Točka (3) –– Neovijeni betonNeovijeni beton( )( ) jjSlom poprečnog presjekaSlom poprečnog presjeka
Preko betonaPreko betona
Preko armaturePreko armaturecu3c εε =
Preko armaturePreko armature
sus εε =
Hoće li slom nastati preko betona ili armature ovisi o koeficijentu Hoće li slom nastati preko betona ili armature ovisi o koeficijentu armiranja ugrađene armature i o graničnom koeficijentu armiranja armiranja ugrađene armature i o graničnom koeficijentu armiranja
Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 1414
Točka (3) Točka (3) –– Neovijeni betonNeovijeni beton( )( ) jjZa beton C30/37 i armaturu B500B, granični Za beton C30/37 i armaturu B500B, granični k fi ij t i j čit j i t bli 1 3 i i ik fi ij t i j čit j i t bli 1 3 i i ikoeficijent armiranja očitan je iz tablice 1.3 i iznosi:koeficijent armiranja očitan je iz tablice 1.3 i iznosi:
0029440gr,3us, ,=ρ
Koeficijent armiranja poprečnog presjeka jest:Koeficijent armiranja poprečnog presjeka jest:
01086200119s ,A
0 0108620 010862 0 0029440 002944
010862050350119s
s ,,=
⋅=
⋅=
dbAρ
ρρss = 0,010862 > = 0,010862 > ρρs,gr,3u s,gr,3u = 0,002944 = 0,002944 Slom preko betonaSlom preko betona
Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 1515
Točka (3) Točka (3) –– Neovijeni betonNeovijeni beton( )( ) jj
Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 1616
Točka (3) Točka (3) –– Neovijeni betonNeovijeni beton( )( ) jjSlom preko betona tj. kada armature ima više od Slom preko betona tj. kada armature ima više od AA što je nepovoljnošto je nepovoljnoAAs,maxs,max što je nepovoljnošto je nepovoljno
Relativna deformacija betona u tlačnom području je Relativna deformacija betona u tlačnom području je εεcu3cu3
Proračunava se relativna deformacija armatureProračunava se relativna deformacija armature εε izmeđuizmeđuProračunava se relativna deformacija armature Proračunava se relativna deformacija armature εεss između između vrijednosti vrijednosti εεsy sy i i εεsusu, tj. , tj.
( ) sussyksy εεε ≤<= E/f
Za B500A Za B500A εεsu su = 25,0‰= 25,0‰Za B500BZa B500B εε = 50 0‰= 50 0‰
( ) sussyksy
Za B500B Za B500B εεsu su = 50,0‰= 50,0‰Za B450C Za B450C εεsu su = 75,0‰= 75,0‰ZaZa εε == εε bilinearnabilinearna raspodjela u tlačnom dijeluraspodjela u tlačnom dijelu betonabetonaZa Za εεc c = = εεcu3cu3 bilinearna bilinearna raspodjela u tlačnom dijelu raspodjela u tlačnom dijelu betonabetona
Nije potrebna tablica 1.2 Nije potrebna tablica 1.2 –– kod sloma preko betona znamo unaprijed da se kod sloma preko betona znamo unaprijed da se radi o bilinearnoj raspodjeli !!!!!radi o bilinearnoj raspodjeli !!!!!
Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 1717
Točka Točka (3) (3) –– Neovijeni Neovijeni betonbeton( )( ) jjKorigirana tablica 1.2 - ova tablica nije potrebna u ovom primjeru jer se radi o slomu preko betona i dijagram je bilinearan
Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 1818
Točka (3) Točka (3) –– Neovijeni betonNeovijeni beton( )( ) jjSlom preko betonaSlom preko betona
Izjednačavanjem izraza za sile u betonu i armaturi određuje Izjednačavanjem izraza za sile u betonu i armaturi određuje se relativna deformacija armature, se relativna deformacija armature, εεss
2 cu3yksc3
cu3ck
=⋅⋅−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅⋅
=fAdbf εεε
ε
0035050011900175000350503503
ykss
,⎟⎞
⎜⎛
=⋅
=fA
ε
500119
003505001192
00350503503
,
,,,,,=
⋅
⋅⋅−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅⋅
=
0109990,=
05000250 ≤Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 1919
05000250 sussy ,, =≤<= εεε
Točka (3) Točka (3) –– Neovijeni betonNeovijeni beton( )( ) jjSlom preko betonaSlom preko betona
fSila u armaturi:Sila u armaturi:Debljina tlačnog područja poprečnog presjeka:Debljina tlačnog područja poprečnog presjeka:
00350
kN5950500119ykss ,, =⋅=⋅= fAF
cm071250010999000350
00350scu3
cu3u ,
,,,
=⋅+
=⋅+
== dxxεε
ε
Udaljenost vlakanca sa relativnom deformacijom betona, Udaljenost vlakanca sa relativnom deformacijom betona, εεc3c3, , od neutralne osi:od neutralne osi:
cm03560712001750c3 ,' =⋅=⋅= xx ε
Sila u betonu:Sila u betonu:
cm0356071200350u
cu3u ,,
,=== xx
ε
⎞⎛⎞⎛ kN595003562107123503
21
21
uuckuckuckc ,,,,'' =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−⋅⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−⋅⋅=⋅⋅⋅−⋅⋅= xxbfbxfbxfF
Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 2020
Točka (3) Točka (3) –– Neovijeni betonNeovijeni beton( )( ) jjSlom preko betonaSlom preko betona
Kako bi se proračunao krak unutarnjih sila u trenutku Kako bi se proračunao krak unutarnjih sila u trenutku popuštanja armature, popuštanja armature, zzuu potrebno je odrediti položaj sile u potrebno je odrediti položaj sile u betonubetonu FF koja se može rastaviti na dvije komponentekoja se može rastaviti na dvije komponente FF iibetonu, betonu, FFcc, koja se može rastaviti na dvije komponente, , koja se može rastaviti na dvije komponente, FFc1c1 i i FFc2c2::
Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 2121
Točka (3) Točka (3) –– Neovijeni betonNeovijeni beton( )( ) jjSlom preko betonaSlom preko betona
Komponente sile u betonu i njihova udaljenost od gornjeg Komponente sile u betonu i njihova udaljenost od gornjeg ruba poprečnog presjeka:ruba poprečnog presjeka:
( ) ( ) kN68633350356071203uuckc1 ,,,,' =⋅−⋅=⋅−⋅= bxxfF
cm0832
035607122
uu ,,,'=
−=
− xx
kN82316686335950ili21
c1cc2uckc2 ,,,' =−=−=⋅⋅⋅= FFFbxfF
cm0583035620712
32 u
u ,,,'=
⋅−=
⋅−
xx
Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 2222
Točka (3) Točka (3) –– Neovijeni betonNeovijeni beton( )( ) jjSlom preko betonaSlom preko betona
Udaljenost rezultantne sile u betonu Udaljenost rezultantne sile u betonu FFcc od gornjeg ruba od gornjeg ruba presjeka, presjeka, xxTuTu::
2 '' ⎞⎛ ⋅ xxx3
22
uuc2
uuc1
Tu =+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
−⋅+−
⋅=
FF
xxFxxFx
cm7448231668633
0588231608368633c2c1
,,,,,=
+⋅+⋅
=
+FF
Krak unutarnjih sila:Krak unutarnjih sila:8231668633 ,, +
cm264574450Tuu ,, =−=−= xdz
Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 2323
Točka (3) Točka (3) –– Neovijeni betonNeovijeni beton( )( ) jjSlom preko betonaSlom preko betona
Moment savijanja iznosi:Moment savijanja iznosi:kNm20430kNcm634301926455950ucu ,,,, ==⋅=⋅= zFM
Zakrivljenost poprečnog presjeka:Zakrivljenost poprečnog presjeka:
003501 ε 1/m109021/cm109020712
003501 24
u
cu3
u
−− ⋅=⋅=== ,,,
,xrε
Koeficijent duktilnosti:Koeficijent duktilnosti:
523109021
4u , ⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−r
δ 5231022981 5
u ,,,
=⋅
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎠⎝= −
r
δ
Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 2424
y ⎠⎝ r
Točka (3) Točka (3) –– Neovijeni betonNeovijeni beton( )( ) jjDijagram MDijagram M--1/r:1/r:
Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 2525
Ovijeni betonOvijeni beton
( ) 05010tj050za521251 ffffff >>+ / σσσ
jjKarakteristična tlačna čvrstoća ovijenog betona:Karakteristična tlačna čvrstoća ovijenog betona:
( ) ckck2ck2ck2ckcck, 05010tj.050za521251 ffffff ⋅>⋅=⋅>+= ,,,/,, σσσ
( ) 2cck, N/mm2541300352125130 ,/,,, =⋅+⋅=f
Relativne deformacije ovijenog betona:Relativne deformacije ovijenog betona:
( ) ( ) 003310302541001750 22ckcck,c3cc3, ,/,,/ =⋅=⋅= ffεε
023503003200035020 // fPrimjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 2626
023503003200035020 ck2cu3ccu3, ,/,,,/, =⋅+=⋅+= fσεε
Ovijeni betonOvijeni betonjjVlačna čvrstoća i modul elastičnosti ovijenog betona:Vlačna čvrstoća i modul elastičnosti ovijenog betona:Srednja vlačna čvrstoća za betoneSrednja vlačna čvrstoća za betone ff kk ≤≤ 50 MPa:50 MPa:Srednja vlačna čvrstoća za betone Srednja vlačna čvrstoća za betone ffckck ≤≤ 50 MPa:50 MPa:
223 23 2cck,cctm, kN/cm360N/mm58325413030 ,,,,, ==⋅=⋅= ff
Srednja tlačna čvrstoća:Srednja tlačna čvrstoća:
0808 ⎞⎛⎟⎞
⎜⎛
VeličineVeličine ff ;; ff ;; ff ;; ff ; te brojke 10 i 8 dane su u N/mm; te brojke 10 i 8 dane su u N/mm22
2
ckcck,ccm, N/mm2552
300812541081 ,,,,
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅=
fff
Veličine Veličine ffctm,cctm,c; ; ffck,cck,c;; ffcm,ccm,c;; ffckck; te brojke 10 i 8 dane su u N/mm; te brojke 10 i 8 dane su u N/mm22
Sekantni modul elastičnosti betona:Sekantni modul elastičnosti betona:
223030
2552 ,,
⎟⎞
⎜⎛⎟
⎞⎜⎛ f
EEcm ccm c,, ffcm ccm c i brojka 10 dani su u N/mmi brojka 10 dani su u N/mm22
22ccm,ccm, kN/cm843612N/mm436128
10255220002
1020002 ,,,
==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=
fE
Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 2727
EEcm,ccm,c,, ffcm,ccm,c i brojka 10 dani su u N/mmi brojka 10 dani su u N/mm
Točka (1) Točka (1) –– Ovijeni betonOvijeni beton( )( ) jjPojava prve pukotine u betonu Pojava prve pukotine u betonu –– dosegnuta je vlačna čvrstoća dosegnuta je vlačna čvrstoća maskimalno napregnutog vlakanca u poprečnom presjekumaskimalno napregnutog vlakanca u poprečnom presjekumaskimalno napregnutog vlakanca u poprečnom presjekumaskimalno napregnutog vlakanca u poprečnom presjeku
I0 = 485260,42 cm4
y0d = 27,5 cmαe = Es/Ecm = 200000/36128,4 = 5,54
Položaj neutralne osi za stanje naprezanja Položaj neutralne osi za stanje naprezanja II (beton +armatura)(beton +armatura)
( ) ( ) ( ) ( ) 25535050119154521 22 //hbdA( ) ( )( )
( ) ( )( ) 553501191545
2553505011915451
21 2
se
21se
Id ,,/,,,/
=⋅+⋅−⋅+⋅⋅−
=⋅+⋅−⋅+⋅⋅−
=hbAhbdAy
αα
cm5326,=
cm4728532655IdIg ,, =−=−= yhy
Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 2828
IdIg ,,yy
Točka (1) Točka (1) –– Ovijeni betonOvijeni beton( )( ) jjMoment tromosti poprečnog presjeka za stanje naprezanja Moment tromosti poprečnog presjeka za stanje naprezanja II(beton +armatura)(beton +armatura)(beton +armatura)(beton +armatura)
( ) ( )2Igse
2
Ig
3
I 1212
=−⋅⋅−+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅+
⋅= ydAyhhbhb αΙ
( ) ( )4
223
73527077
4728500119154547282
55553512
5535 ,,,, =−⋅⋅−+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅+
⋅=
Moment savijanja kod pojave prve pukotine:Moment savijanja kod pojave prve pukotine:4cm73527077,=
485260 42360⋅f Ι
Zakrivljenost:Zakrivljenost:
kNm5363kNcm5635227,5485260,42360
d0
0cctm,ccr, ,,,
==⋅
=⋅
=y
fM
Ι
Zakrivljenost:Zakrivljenost:
1/m1033631/cm10336373527077843612
563521 46ccr, −− ⋅=⋅=== ,,,ΙE
Mr
Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 2929
73527077843612Iccm,ccr, ⋅⋅ ,,ΙEr
Točka (2) Točka (2) –– Ovijeni betonOvijeni beton( )( ) jjPojava popuštanja vlačne armature. Za Pojava popuštanja vlačne armature. Za bilinearnibilinearni proračunski proračunski dijagram betonadijagram betona
00250200000500syksys ,// ==== Efεε
22yks kN/cm50N/mm500 === fσ
Za ovijeni beton C30/37:Za ovijeni beton C30/37:Za ovijeni beton C30/37:Za ovijeni beton C30/37:εεc3,c c3,c = 3,31 ‰ = 0,00331 = 3,31 ‰ = 0,00331 εε 33 = 23 5 ‰ = 0 0235= 23 5 ‰ = 0 0235εεcu3,ccu3,c 23,5 ‰ 0,0235 23,5 ‰ 0,0235
Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 3030
Točka (2) Točka (2) –– Ovijeni betonOvijeni beton( )( ) jjUnutarnje sile u poprečnom presjekuUnutarnje sile u poprečnom presjeku
Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 3131
Točka (2) Točka (2) –– Ovijeni betonOvijeni beton( )( ) jjSila u vlačnoj armaturi:Sila u vlačnoj armaturi: kN5950500119ykss ,, =⋅=⋅= fAF
Iz uvjeta ravnoteže unutarnjih sila u poprečnom Iz uvjeta ravnoteže unutarnjih sila u poprečnom presjeku treba proračunati relativnu tlačnu deformaciju presjeku treba proračunati relativnu tlačnu deformaciju betona, betona, εεcc. . Kod određivanja rezultante tlačnih naprezanja u Kod određivanja rezultante tlačnih naprezanja u j p jj p jbetonu moguća su dva slučaja:betonu moguća su dva slučaja:
εεcc ≤≤ εεc3 cc3 c linearna raspodjela naprezanja u tlačnom linearna raspodjela naprezanja u tlačnom cc c3,cc3,c p j p jp j p jdijelu betona dijelu betona 1. SLUČAJ1. SLUČAJεεc3,cc3,c < < εεcc ≤≤ εεcu3,ccu3,c bilinearna raspodjela naprezanja u bilinearna raspodjela naprezanja u c3,cc3,c cc cu3,ccu3,ctlačnom dijelu betona tlačnom dijelu betona 2. SLUČAJ2. SLUČAJ
Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 3232
Točka (2) Točka (2) –– Ovijeni betonOvijeni beton( )( ) jjZa ovijeni beton C30/37 i armaturu B500B, granični Za ovijeni beton C30/37 i armaturu B500B, granični k fi ij t i j i ik fi ij t i j i ikoeficijent armiranja iznosi:koeficijent armiranja iznosi:
02350003310125411 cc3,cck, ,,⎟⎞
⎜⎛⎟
⎞⎜⎛ ε
ρf
Koeficijent armiranja poprečnog presjeka jest:Koeficijent armiranja poprečnog presjeka jest:
02350003310002505022 cc3,sy
,
yk
,gr,2s, ,
,,=⎟
⎠⎜⎝ +⋅⋅=⎟
⎟⎠
⎜⎜⎝ +⋅⋅=
εερ
f
Koeficijent armiranja poprečnog presjeka jest:Koeficijent armiranja poprečnog presjeka jest:
01086200119ss ,,
===Aρ
ρρss = 0,010862 < = 0,010862 < ρρs,gr,2 s,gr,2 = 0,0235 = 0,0235 5035s ,⋅⋅db
ρ
gg
εεcc ≤≤ εεc3,cc3,c (linearna raspodjela naprezanja u tlačnom (linearna raspodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona) dijelu betona) 1. SLUČAJ1. SLUČAJ
Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 3333
j )j )
Točka (2) Točka (2) –– Ovijeni betonOvijeni beton( )( ) jj1. slučaj: 1. slučaj: εεcc ≤≤ εεc3,cc3,c linearna raspodjela linearna raspodjela
j tl č dij l b tj tl č dij l b tnaprezanja u tlačnom dijelu betonanaprezanja u tlačnom dijelu betonaIzjednačavanjem izraza za sile u betonu i armaturi dobije se Izjednačavanjem izraza za sile u betonu i armaturi dobije se k d t j d džbk d t j d džbkvadratna jednadžba, kvadratna jednadžba,
01syykscyks
2c
cck, =⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅ εεε fAfAdbf
000250500119500119503512541
02
2
syykscyksccc3,
=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅, εε
εεεε
fAfAdb
03762525950621090445
00025050011950011950350033102
c2c
cc
=−⋅−⋅
=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
,,,
,,,,
εε
εε
čije rješenje jest relativna deformacija betona, čije rješenje jest relativna deformacija betona, εεcc = 0,001975= 0,001975
Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 3434
Točka (2) Točka (2) –– Ovijeni betonOvijeni beton( )( ) jj1. slučaj: 1. slučaj: εεcc ≤≤ εεc3,cc3,c linearna raspodjela linearna raspodjela
j tl č dij l b tj tl č dij l b tnaprezanja u tlačnom dijelu betonanaprezanja u tlačnom dijelu betonaDebljina tlačnog područja poprečnog presjeka:Debljina tlačnog područja poprečnog presjeka:
cm072250002500019750
0019750syc
ccy, ,
,,,
=⋅+
=⋅+
== dxxεε
ε
krak unutarnjih sila u trenutku popuštanja armature, krak unutarnjih sila u trenutku popuštanja armature, zzyy::
cm6442072250y ,=−=−=
xdz
Maksimalno tlačno naprezanje betona:Maksimalno tlačno naprezanje betona:
cm64423
503y ,=−=−= dz
2
cc3,
cck,ccc, kN/cm462
00331012540019750 ,
,,, =⋅=⋅=
εεσ
f
Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 3535
cc3,
Točka (2) Točka (2) –– Ovijeni betonOvijeni beton( )( ) jj1. slučaj: 1. slučaj: εεcc ≤≤ εεc3,cc3,c linearna raspodjela linearna raspodjela
j tl č dij l b tj tl č dij l b tnaprezanja u tlačnom dijelu betonanaprezanja u tlačnom dijelu betonaSila u betonu:Sila u betonu:
11 kN5950kN195035072246221
21
scy,cc,cc, ,,,, =≈=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= FbxF σ
Moment savijanja iznosi :Moment savijanja iznosi :
kNm29405kNcm324052964425950cyscy ,,,, ==⋅=⋅= zFM
Zakrivljenost poprečnog presjeka:Zakrivljenost poprečnog presjeka:
cy,scy,
1/m1095181/cm109518072250
002501 35
cy
sy
cy
−− ⋅=⋅=−
=−
= ,,,
,xdr
ε
Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 3636
072250cy,cy, ,xdr
Točka (3) Točka (3) –– Ovijeni betonOvijeni beton( )( ) jjSlom poprečnog presjekaSlom poprečnog presjeka
Preko betonaPreko betonaPreko betonaPreko betona
P k tP k t
ccu3,c εε =Preko armaturePreko armature
sus εε =Hoće li slom nastati preko betona ili armature ovisi o koeficijentu Hoće li slom nastati preko betona ili armature ovisi o koeficijentu armiranja ugrađene armature i o graničnom koeficijentu armiranja armiranja ugrađene armature i o graničnom koeficijentu armiranja
Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 3737
Točka (3) Točka (3) –– Ovijeni betonOvijeni beton( )( ) jjZa ovijeni beton C30/37 i armaturu B500B, granični Za ovijeni beton C30/37 i armaturu B500B, granični k fi ij t i j i ik fi ij t i j i ikoeficijent armiranja iznosi:koeficijent armiranja iznosi:
00331002350cc3, ,⎟⎞
⎜⎛⎟
⎞⎜⎛ εε
024520050023502
02350
5012542
succu3,
ccu3,
yk
cck,gr,3us, ,
,,
,,
=+
⎟⎠
⎜⎝
−⋅=
+
⎟⎠
⎜⎝
−⋅=
εε
ερ
ff
Koeficijent armiranja poprečnog presjeka jest:Koeficijent armiranja poprečnog presjeka jest:,y
010862050350119s
s ,,=
⋅=
⋅=
dbAρ
ρρss = 0,010862 < = 0,010862 < ρρs,gr,3u s,gr,3u = 0,02452 = 0,02452 Slom preko armatureSlom preko armature
Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 3838
Slom preko armatureSlom preko armature
Točka (3) Točka (3) –– Ovijeni betonOvijeni beton( )( ) jjSlom preko armature tj. kada armature ima manje Slom preko armature tj. kada armature ima manje
dd AA št j ljšt j ljod od AAs,maxs,max što je povoljnošto je povoljnoRelativna deformacija vlačne armature Relativna deformacija vlačne armature εεss = = εεsusu
Za B500A Za B500A εεsu su = 25,0‰= 25,0‰Za B500B Za B500B εεsu su = 50,0‰= 50,0‰Za B450CZa B450C εε = 75 0‰= 75 0‰Za B450C Za B450C εεsu su = 75,0‰= 75,0‰
Proračunava se relativna deformacija betona Proračunava se relativna deformacija betona εεc c između između vrijednostivrijednosti 00 ii εεcu3 ccu3 c tj.:tj.: 0 εε ≤≤vrijednosti vrijednosti 0 0 i i εεcu3,c,cu3,c, tj.: tj.:
Sila u vlačnoj armaturi:Sila u vlačnoj armaturi:
ccu3,c0 εε ≤≤
kN5950500119k =⋅=⋅= fAFSila u vlačnoj armaturi:Sila u vlačnoj armaturi: kN5950500119ykss ,,fAF
Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 3939
Točka (3) Točka (3) –– Ovijeni betonOvijeni beton( )( ) jjSlom preko armatureSlom preko armature
Rezultanta tlačnih naprezanja u betonu i krak unutarnjih sila Rezultanta tlačnih naprezanja u betonu i krak unutarnjih sila određuju se tako da se iz uvjeta ravnoteže unutarnjih sila u određuju se tako da se iz uvjeta ravnoteže unutarnjih sila u poprečnom presjeku proračuna relativna tlačna deformacijapoprečnom presjeku proračuna relativna tlačna deformacijapoprečnom presjeku proračuna relativna tlačna deformacija poprečnom presjeku proračuna relativna tlačna deformacija betona, betona, εεcc. . Kod određivanja rezultante tlačnih naprezanja u betonuKod određivanja rezultante tlačnih naprezanja u betonuKod određivanja rezultante tlačnih naprezanja u betonu Kod određivanja rezultante tlačnih naprezanja u betonu moguća su dva slučaja:moguća su dva slučaja:
εεcc ≤≤ εεc3 cc3 c linearna raspodjela naprezanja u tlačnom dijelu linearna raspodjela naprezanja u tlačnom dijelu cc c3,cc3,c p j p j jp j p j jbetonabetonaεεc3,cc3,c < < εεcc ≤≤ εεcu3,ccu3,c bilinearna raspodjela naprezanja u tlačnom bilinearna raspodjela naprezanja u tlačnom dijelu betonadijelu betonadijelu betonadijelu betona
Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 4040
Točka (3) Točka (3) –– Ovijeni betonOvijeni beton( )( ) jjZa ovijeni beton C30/37 i armaturu B500B, granični Za ovijeni beton C30/37 i armaturu B500B, granični k fi ij t i j i ik fi ij t i j i ikoeficijent armiranja iznosi:koeficijent armiranja iznosi:
002560003310125411 cc3,cck, ,,⎟⎞
⎜⎛
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛ ε
ρf
Koeficijent armiranja poprečnog presjeka jest:Koeficijent armiranja poprečnog presjeka jest:
0025600033100505022 cc3,su
,
yk
,gr,3s, ,
,,=⎟
⎠⎜⎝ +⋅⋅=⎟⎟
⎠⎜⎜⎝ +⋅⋅=
εερ
f
Koeficijent armiranja poprečnog presjeka jest:Koeficijent armiranja poprečnog presjeka jest:
01086200119ss ,,
===Aρ
ρρss = 0,010862 > = 0,010862 > ρρs,gr,3 s,gr,3 = 0,00256 = 0,00256 5035s ,⋅⋅db
ρ
gg
εεcc >> εεc3,cc3,c (bilinearna raspodjela naprezanja u tlačnom (bilinearna raspodjela naprezanja u tlačnom dijelu betona) dijelu betona) 2. SLUČAJ2. SLUČAJ
Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 4141
j )j )
Točka (3) Točka (3) –– Ovijeni betonOvijeni beton( )( ) jjSlom preko armatureSlom preko armature
2. slučaj:2. slučaj: εεcc ≥≥ εεc3,cc3,c bilinearna raspodjela bilinearna raspodjela naprezanja u tlačnom dijelu betonanaprezanja u tlačnom dijelu betona
R l ti d f ij b tR l ti d f ij b tRelativna deformacija betona:Relativna deformacija betona:
200331050351254050500119
2cc3,
ccksuyks,,,, ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅ dbffA
εε
009488050011950351254
22ykscck,
cck,suyks
c ,,
=
=⋅−⋅⋅
=⋅−⋅⋅
=fAdbf
ε
Debljina tlačnog područja poprečnog presjeka:Debljina tlačnog područja poprečnog presjeka:
0094880,=
cm977500500094880
0094880suc
ccu, ,
,,,
=⋅+
=⋅+
== dxxεε
ε
Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 4242
Točka (3) Točka (3) –– Ovijeni betonOvijeni beton( )( ) jjSlom preko armatureSlom preko armature
2. slučaj:2. slučaj: εεcc ≥≥ εεc3,cc3,c bilinearna raspodjela bilinearna raspodjela naprezanja u tlačnom dijelu betonanaprezanja u tlačnom dijelu betona
Ud lj t l k l ti d f ij b tUd lj t l k l ti d f ij b t ddUdaljenost vlakanca sa relativnom deformacijom betona, Udaljenost vlakanca sa relativnom deformacijom betona, εεc3c3, od , od neutralne osi:neutralne osi:
829003310cc3εcm782977
0094880003310
cu,c
cc3,cu, ,,
,,' =⋅=⋅= xx
εε
⎞⎛1 dbfSila u betonu:Sila u betonu:⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+⋅⋅
=⋅⋅⋅−⋅⋅=22
1 c3c
syc
ckyckyckc
εεεε
dbfbxfbxfF '
kN5950kN9994978221977351254
21
cu,cu,cck,cc, ,,,,,' ≈=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−⋅⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−⋅⋅= xxbfF
Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 4343
Točka (3) Točka (3) –– Ovijeni betonOvijeni beton( )( ) jjSlom preko armatureSlom preko armature
2. slučaj:2. slučaj: εεcc ≥≥ εεc3,cc3,c bilinearna raspodjela bilinearna raspodjela naprezanja u tlačnom dijelu betonanaprezanja u tlačnom dijelu betona
K k bi č k k t jih il t tk št jK k bi č k k t jih il t tk št jKako bi se proračunao krak unutarnjih sila u trenutku popuštanja Kako bi se proračunao krak unutarnjih sila u trenutku popuštanja armature, armature, zzuu potrebno je odrediti položaj sile u betonu, potrebno je odrediti položaj sile u betonu, FFc,cc,c, koja se , koja se može rastaviti na dvije komponente, može rastaviti na dvije komponente, FFc1,cc1,c i i FFc2,cc2,c
Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 4444
Točka (3) Točka (3) –– Ovijeni betonOvijeni beton( )( ) jjSlom preko armatureSlom preko armature
2. slučaj:2. slučaj: εεcc ≥≥ εεc3,cc3,c bilinearna raspodjela bilinearna raspodjela naprezanja u tlačnom dijelu betonanaprezanja u tlačnom dijelu betona
K t il b t i jih d lj t d j bK t il b t i jih d lj t d j bKomponente sile u betonu i njihova udaljenost od gornjeg ruba Komponente sile u betonu i njihova udaljenost od gornjeg ruba poprečnog presjeka:poprečnog presjeka:
( ) ( ) kN31749357829771254k1 ' =⋅−⋅=⋅−⋅= bxxfF ( ) ( ) kN31749357829771254cu,cu,cck,cc1, ,,,,bxxfF
cm6022
7829772
cu,cu, ,,,'=
−=
− xx
11
ili21
cc1,cc,cc2,cu,cck,cc2, ' −=⋅⋅⋅= FFFbxfF
kN6820035782125421
21
cu,cck,cc2, ,,,' =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= bxfF
cm12678229772 cu, ,' ⋅⋅ x
x
Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 4545
cm1263
9773
cu,cu, ,, =−=−x
Točka (3) Točka (3) –– Ovijeni betonOvijeni beton( )( ) jjSlom preko armatureSlom preko armature
2. slučaj:2. slučaj: εεcc ≥≥ εεc3,cc3,c bilinearna raspodjela bilinearna raspodjela naprezanja u tlačnom dijelu betonanaprezanja u tlačnom dijelu betona
Ud lj t lt t il b tUd lj t lt t il b t FF d j b j kd j b j kUdaljenost rezultantne sile u betonu Udaljenost rezultantne sile u betonu FFc,cc,c od gornjeg ruba presjeka, od gornjeg ruba presjeka, xxTu,c Tu,c ::
2 uuu ''⎟⎞
⎜⎛ ⋅
−⋅+−
⋅xxFxxF32
c2c1
uc2c1
Tu =+
⎟⎠
⎜⎝⋅+⋅
=FF
xFFx
cm3436820031749
126682006231749 ,,,
,,,,=
+⋅+⋅
=
Krak unutarnih sila:Krak unutarnih sila:
cm664634350T =−=−= xdz
Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 4646
cm664634350cTu,u ,,xdz
Točka (3) Točka (3) –– Ovijeni betonOvijeni beton( )( ) jjSlom preko armatureSlom preko armature
Moment savijanja iznosi:Moment savijanja iznosi:kNm50443kNcm334435066465950cu,scu, ,,,, ==⋅=⋅= zFM
Zakrivljenost poprečnog presjeka:Zakrivljenost poprečnog presjeka:0501 13ε 1/m101911/cm10191
977500501 13
cu,
su
cu,
−− ⋅=⋅=−
=−
= ,,,
,xdr
ε
Koeficijent duktilnosti:Koeficijent duktilnosti:
2913101911
3u , ⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−r
δ 29131095181 5
u ,,,
=⋅
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎠⎝= −
r
δ
Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 4747
y ⎠⎝ r
Točka (3) Točka (3) –– Ovijeni betonOvijeni beton( )( ) jjDijagram MDijagram M--1/r:1/r:
Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 4848
Točka (3) Točka (3) –– Neovijeni i ovijeni betonNeovijeni i ovijeni betonDijagram MDijagram M--1/r:1/r:
Primjer, 13.12.2012. Primjer, 13.12.2012. BETONSKE KONSTRUKCIJE 3BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 4949