Lieblingsfach

Hor

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SCHLÜSSEL-

TECHNOLOGIE

Geheim

wissenschaft

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Sprache der Natur-

wissenschaften

Königin der

Wissenschaften

M A T H E M A T I K

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hber

eich

Mat

hem

atik

& S

tatistik

Univ

ersi

tät K

onst

anz

Wasmachen Mathematiker?

Diese

Frage läßt sich

nicht wirklich b

eantworten, ohne im a

llzu V

agen u

nd U

nko

nkreten z

u b

leiben. Wie

andere W

isse

nschaften so fäch

ert sich auch

die M

athematik in viele U

nterdisziplin

en und Teilg

ebiete auf. Aus

der Versch

iedenartigke

it vo

n Fragestellu

ngen innerhalb der Mathematik

resu

ltieren ganz

untersch

iedliche

Tätig

keite

n der Menschen, die M

athematik betreiben. Daher ist die

Frage spezielle

r zu

stelle

n, zu

m Beispiel:

Was m

achen wir am Lehrstuhl für Numerik in Konstanz?

Insb

eso

ndere im Jahr der Mathematik2008möch

ten w

ir einen E

inblick in die A

rbeit unse

res noch

jungen

Lehrstuhls erm

öglichen. Neben etlich

en V

orträgen des Lehrstuhlin

habers P

rof. M

. Ju

nk und w

eite

ren S

onder-

aktionen wie ein Laptop-G

arten m

it mathematisch

en E

xperimenten zum S

elbstausp

robieren w

urden/werden

dazu

auch

einige Berich

te aus Forsch

ung und Lehre vorbereite

t:

●Was lernt man in einerNumerikvorlesung?

Verfahren zum Löse

nlinearer Gleichungssysteme gehören zu den wichtig

sten G

rundbausteinen vieler Softwareanwendungen für wisse

n-

schaftliche und tech

nisch

e Berech

nungen. Neben einer Einführung in

das mathematisch

e Problem

und se

iner wese

ntlich

en Lösu

ngsa

n-

sätze werden m

ehrere Tests und ein Anwendungsb

eispiel vorgestellt,wie sie in

den Übungen zur Vorlesu

ng disku

tiert werden.

●Politik trifft Mathematik –Ein fiktives Gespräch

Ein M

athematiker berich

tet einem Politiker über den “Dschungel d

er Differentia

lgleichungen”. Dank der Übereinstim

mung bzw

. Ähnlichke

it mathematisch

er Fach

ausd

rücke m

it Begriffen der (politisch

en) Alltagssprach

e kann der Politiker auch

ohne einschlägige Vorbildung den

Ausführungen folgen.

●Zwischen Anschauung und Abstraktion –Computer-Simulationenen mit bol(t)zendenTeilchen.

Eine allgemeinve

rständliche Darstellung über ein abgeschlossenes Disse

rtatio

nsp

rojekt erläutert beispielhaft, wo und wie sich

forsch

ungsreleva

nte Fragen ergeben und auf welche W

eise sie sichbeantworten la

ssen.

Weite

re Infos unter:

www.m

ath.uni-ko

nstanz.de/numerik

oder

Numerik Konstanz

Was lernt man in einer Numerikvorlesung?

Kostprobe:Lösungsmethoden linearer Gleichungssysteme

Martin R

heinländer

Die m

eisten dürftenaus der Sch

ule m

it Gleichungen der Art 7x = 3

vertraut se

in. Die Lösu

ng x = 3/7

ergibt

sich

form

al,

indem man die Ausg

angsg

leichung mit

1/7 = 7—1≈

0,14286

durchmultipliziert. Unzä

hlige

Anwendungsp

robleme führen auf mehrere lineare Gleichungen mit

entsprech

end vielen Unbeka

nnten.

Solche G

leichungssysteme können in e

iner einzigen M

atrixgleichung

der Form

Mx = b

zusa

mmengefaßt

werden.

Ähnlich w

ie m

it gewöhnlichen Zahlen läßt sich

auch

mit Matrizen (M) und Vektoren (x,b) rech

nen. Allerdings

handelt es sich

um etwas ko

mplexe

re O

bjekte, wesh

alb sich nicht alle R

ech

enregeln übertragen lassen. So

besitzen zum B

eispiel viele M

atrizen kein multiplikatives InversesM

—1(m

an beach

te, daßsich

auch

zu der

Zahl 0 kein Inve

rses widerspruch

sfrei defin

ieren läßt). In solchen Fällen kann die M

atrixgleichung entweder

nicht eindeutig

gelöst werden oder sie hat gar ke

ine Lösu

ng.

Doch

selbst w

ennM

—1existiert und sich die M

atrixgleichung damit analog zum obigen Zahlenbeispiel leicht

theoretisch

löse

n läßt, kann die konkrete B

erech

nung von M

—1bzw

. der Lösu

ng M

—1bse

hr schwer se

in, vo

r allem

bei

großen

Gleichungss

ystemen

mit

hunderttause

nden

von

Unbeka

nnten,

wie

sie

in

Ingenieursrech

nungen üblicherw

eise auftreten.

Natürlich lassen sich

derartige Probleme nicht

ohne

Computer löse

n; doch

diese

können nur dann helfe

n, wenn m

an ihnen genau sagt, w

as sie tun sollen. Die

Entwicklung von programmierbaren V

erfahren zur (näherungsw

eisen) Lösu

ng großer Gleichungss

ysteme ist

ein klassisch

es Aufgabenfeld dernumerischenMathematik (Numerik).

Oftmals w

erden numerische V

erfahren reze

ptartig abgehandelt und einschlägige F

ach

büch

er lese

n sich so

spannend wie Koch

büch

er. Doch

das

wird dem Stoff k

einesw

egs

gerech

t. W

er sich

für das Warum &

Weshalb

interessiert, wird entdecken, welcher Ideenreichtum sich entfalte

t, um das Ausg

angsp

roblem stets

anders zu form

ulieren und es aus ve

ränderter P

erspektive e

rneut anzu

greife

n. Hier mündet die E

leganz

mathematisch

en Denke

ns in etlich

e Verfahren (Algorithmen) mit jeweils speziellen Eigenschaften. Dabei z

ählt

nicht nur die theoretisch

e Verifizierbarkeit der Algorithmen sondern auch

ihre R

obustheit im

Einsa

tz unter

den nicht idealen G

egebenheite

n der Praxis, w

ie z.B. Rundungsfehler oder begrenzte A

rbeitssp

eicher. A

uf

der näch

sten Seite

werden vier Grundideen zum Löse

n linearer Gleichungss

ysteme kurz vorgestellt:

1)Eliminationsverfahren:Ist N

eine w

eite

re invertierbare M

atrix,dann

ist Mx = b

äquivalentzu

NMx = N

b, d.h. beide G

leichungen besitzen

diese

lbe L

ösu

ng. Die Idee b

esteht nun d

arin, die A

usg

angsg

leichung

solange m

it Matrizen N

1, N2, N3, ...zu

multiplizieren, bis die resu

ltierende

Produktmatrix ... N

3N2N1M

auf der linke

n Seite

ganz leicht zu

inve

rtieren

ist. D

as Elim

inatio

nsv

erfahren besc

hreibt, w

ie sich eine derartigeFolge

von M

atrizen systematisch

und einfach

konstruieren läßt. D

abei wird die

Matrix als quadratis

ches

Zahlensc

hema zu

näch

st auf Dreiecksgestalt

dann auf Diagonalgestaltgebrach

t, d.h. die E

inträge der Produktmatrix

abse

its ih

rer Diagonalen w

erden sukzessivezu

Nullelim

iniert.

2)

Klassische Iterationsverfahren:

Man

zerlegt M

in zwei additive

Bestandteile

M = P + Q, wobei P

möglichst einfach

inve

rtierbar

sein so

ll. Dann istMx = b

äquivalent zu

Px = --Qx + b bzw

. zu

x = P—1(b --

Qx).

Nun bedarf es

eines

kühnen Sch

rittes, denn diese

so

genannte

Fixpunktgleichung

läßt sich

oftmals iterativ

löse

n. Dazu

wählt

man einen Startwert x0

und berech

net dann

x1= P—1(b --

Qx0).

Entsprech

end läßt sich

x2aus x1berech

nen

usw

.. D

erart w

ird eine Folgeerzeugt, w

elche

gegen d

ie L

ösu

ng konvergiert, d.h. sich

ihr

immer

bess

er

annähert.

Ech

te

Iteratio

nsverfahren liefern im U

ntersch

ied zu

Elim

inatio

nsv

erfahren

auch

nach

belibig

vielen S

chritten n

iemals d

ie e

xakte L

ösu

ng,

sie kommen ih

r aber belie

big nahe.

3) Gradientenverfahren:Lineare G

leichungss

ysteme können

in

Minimierungsprobleme

verw

andelt

werden.

Das

Gleichungss

ystem wird dann dadurch gelöst, daß

man den

Tiefpunkt einer geeigneten trich

ter-bzw

. kraterförm

igen Fläch

e

bestim

mt. Wie aber

läßt

sich

im

Gelände ein Tiefpunkt

ansteuern, wenn m

annicht weiß, wo er lie

gt?

Eine M

öglichke

it besteht darin, im

mer dem s

teilsten A

bstieg

d.h.

dem negativen Gradienten

zu

folgen.

Außer

in

kreisförm

igen K

ratern gelangt man auf diese

Weise zwar nicht

direkt zum Tiefpunkt,so

ndern m

ußeinige H

ake

n sch

lagen; der

Vorteil

besteht jedoch

darin, daß

dies

sozu

sagen auch

mit

verbundenen

Augen

funktioniert,

d.h.

es

genügt

alle

in

Inform

atio

n über das lokale Gefälle

.

4) Mehrgitterverfahren:

Viele Probleme lassen

sich

ähnlich

wie

Bilder

„rastern“.

Wenig

Rasterpunkte bedeuten eine grobe, viele eine feine

Auflö

sung.

In analoger

Weise kö

nnen gewisse

Ausg

angsp

robleme in mehr oder weniger große

Gleichungss

ysteme überführt werden.

Je mehr

Genauigke

it gewünscht

ist, desto größer

die

Gleichungss

ysteme a

ber desto a

ufwendiger auch

deren Lösu

ng. K

ombiniert m

an geschickt kleinere

Gleichungss

ysteme,

welche eine sc

hnelle

aber

ungenaue Lösu

ng erlauben,

mit

größeren und

großen

Gleichungss

ystemen,

so

lass

en

sich

letztere weit effizienterlöse

n als wenn man sie

isoliert betrach

tet. Durch diese

Kopplung großer

Gleichungss

ysteme mit

einer Hierarchie

kleinerer

aber

„ähnlicher“

Gleichungss

ysteme

werden

enorm

e Rech

enbesc

hleunigungen erzielt. Im

Detail handelt es sich

jedoch

um rech

t ko

mplizierte

Algorithmen, die a

uch

den E

insa

tz v

on z

u 1

), 2

) oder 3) zä

hlenden Verfahren erfordern.

Ein Problem

Mx = b

VieleIdeen

„In Aktion“

Um die Funktionsw

eise vo

n Iteratio

ns-

und

Gradientenve

rfahren zu

illustrieren, betrach

ten

wir als

Beispielein

2x2

System,d.h. ein S

ystem

mit

zwei Gleichungen und zw

ei Unbeka

nnten.

Zwar ist es in diese

m sim

plen Fall wederratsam

auf das

eine noch

auf das

andere Verfahren

zurück

zugreife

n –

eine e

infach

e L

ösu

ngsform

el

leistet hier

weit

bessere Dienste –

aber

die

Wirk

ungsw

eise b

eider Verfahren läßt s

ich

so

optim

al ve

ranschaulichen.

Die

Lösu

ng unse

res Testproblems ist durch zwei

Zahlen gegeben. Diese

legen einen P

unkt in der

Zahlenebene fest, welcher sich

hier jeweils in

der

Mitte der

rech

teckigen Aussch

nitte befin

det.

Beide Verfahren basieren auf einem ite

rativen

Ansa

tz, d.h. auf dem wiederholte

n Ausw

erten

einer Rech

envo

rsch

rift.

DasJacobi Verfahren stellt das

ein-

fach

ste klassisch

es

Iteratio

nsverfahren

dar.

Das

Gradientenverfahren fußt auf der

anschaulichen

Methode

des

steilsten

Abstiegs.

Dazu

gibt man sich

als S

tartwert e

in Z

ahlenpaar (P

unkt) vo

r und

erzeugt dann n

ach

der jeweiligen V

orsch

rift e

ine F

olge von Z

ahlenpaaren

(Punkten). Aus theoretisch

en Ü

berlegungen geht hervor, daßdie so erzeugten Folgen unter rech

t allgemeinen V

oraussetzungengegen die Lösu

ng

konve

rgieren m

üssen. Einige resu

ltierende P

unktfolgen sind als w

eiße, zick

zack

artige Linien dargestellt. Es ist deutlich

zu erkennen, daßsich

die

Folgen abhängig von der Wahl des Startwerts in größeren oder kleineren S

chritten und m

it mehr oder weniger deutlich

en R

ichtungsw

ech

seln der

Lösu

ng nähern.

Da jeder Punkt als Startwert w

ählbar ist, kann m

an sich fragen, in w

elchen Bereichen der Zahlenebene günstige Startwerte liegen, die eine sch

nelle

Konve

rgenz bewirke

n. Diese

Frage w

ird durch die Farbschattierung

beantwortet. D

er Farbwert in

jedem Punkt gibt an, wieviele Iteratio

nen (Sch

ritte)

benötig

t werden, um die Lösu

ng m

it einem m

aximalen A

bstand (Fehler) von 10—10=0.0000000001zu

erreichen, wenn der betreffende P

unkt als

Startwert eingese

tzt wird. Es ergeben sich folgende Beobach

tungen: Die Iteratio

nsfunktion(Anza

hl benötig

ter Iteratio

nen) ist beim

Ja

cobiVerfahren

unabhängig vo

n der

Richtung des

Startwerts

(isotrop)

und im

wese

ntlich

en

nur

durch den Abstand bestim

mt. Dagegen ist sie beim

Gradientenve

rfahren stark

rich

tungsh

abhängig (anisotrop). Im

Mittel konve

rgiert das Gradientenve

rfahren deutlich

sch

neller als das Ja

cobi V

erfahren.

Es wurde bereits erw

ähnt, daßdas Gradientenve

rfahren eine Funktion m

inim

iert; diese

wird durch die Ellipse

nschar dargestellt (siehe rech

ts), welche

den H

öhenlin

ien auf topographisch

en Landka

rten bzw

. den Iso

linien auf Wetterkarten entsprech

en. Die Ellipse

n sind um den Tiefpunkt –

die Lösu

ng

–ze

ntriert. D

as Gradientenve

rfahren b

zw. die M

ethode d

es steilsten A

bstiegs funktioniert n

un so: Man b

estim

mt am a

ktuellen S

tandpunkt die

Richtung des

steilsten Gefälles. Diese

r folgt man bis es

nicht weite

r bergab geht und führt so

dann eine Kursänderung durch. In unse

rem

zweidim

ensionalen Fall stellt sich heraus, daßman gerade einen R

ichtungssch

wenk um 90 G

rad vollziehen m

uß. Auf diese

Weise nähert m

an sich

automatisch

dem Tiefpunkt.

Die O

rientie

rung der Ellipse

n w

ird durch die S

ystemmatrix bestim

mt, deren E

igenve

ktoren in R

ichtung der Hauptach

sen zeigen. Auch

beim

Jaco

bi

Verfahren sch

einen die Ellipse

n eine R

olle zu spielen, wenn auch

eine w

eniger offenku

ndige. Man beobach

tet fürStartwerte auf der längeren bzw

. kü

rzeren Hauptach

se ein

Verhalte

n m

inim

aler bzw

. maximaler Oszillatio

n.

„Im

Wettstreit“

Das

Gradientenve

rfahren (Abkü

rzung SD

=

steepest descent, steilster

Abstieg)

kann als

Ausg

angsp

unkt

für

deutlich

leistungsfähigere

Algorithmen wie das

CG Verfahren (Verfahren

der

konjugierten Gradienten)angese

hen wer-

den. Die

Idee d

es

steilsten A

bstiegs

wird h

ier

verknüpft

mit

speziellen

Orthogonalitäts-

relationenso

wie m

it derTatsach

e, daß

sich

die

Inve

rse e

iner Matrix

polynomialdarstellen läßt,

d.h. als sp

ezielle Summe endlich vieler ihrer

Potenze

n (siehe Satz von Cayley-Hamilton).

Beide Verfahren kö

nnen jedoch

nur auf eine

bestim

mte Klasse vo

n Matrizen angewendet

werden (positiv definite, symmetrische Matrizen).

Im obigen D

iagramm tritt das Gradientenve

rfahren (blau) gegen das CG V

erfahren (rot)

an. Zur besseren Darstellung se

hr kleiner Zahlen, ist der Logarithmus

des

Fehlers

gegen d

ie A

nza

hl der Iteratio

nen a

ufgetragen, d.h. die B

eschriftung 2

, 0, –

2, ... der

vertikalen Ach

se entsprich

t 102 = 100, 100 = 1, 10-2= 0.01,... .

Als

Beispiel dienteine 40x4

0 M

atrix (d.h. ein

Gleichungssystem m

it 40 U

nbeka

nnten),

welche aus Zufallsza

hlen generiert wurde.

Während d

as CG V

erfahren b

ereits n

ach

40 Iteratio

nen

konve

rgiert ist --ein F

ehler

kleiner

als

10—14

kann

aufgrund

Computer

interner

Rech

enungenauigke

iten

(Rundungsfehler) nicht untersch

ritten werden --

bleibtdas

Gradientenve

rfahren mit

einem Fehlervo

n ungefähr 0.1

nach

der gleichen A

nza

hl vo

n Iteratio

nen hoffnungslos

abgeschlagen. Die cya

n-und m

agentafarbene Linienstellen Fehlerabschätzungen dar,

welche sich aus der Theorieergeben. Offensich

tlich

erw

eisen sich beideVerfahren in

der Praxis

als weit

besser, denn ihre Fehlerkurven liegen deutlich

unterhalb der

jeweiligen Vorhersage.

Bei der Diskretisierung partieller Differentia

lgleichungen (siehe Anwendungsb

eispiel)

entstehen zw

arrisiege Gleichungssysteme mit

Tause

nden vo

n Unbeka

nnten, jede

Einze

lgleichung setzt aber nur wenige (<10) Unbeka

nnte mite

inander in B

eziehung.

Dies führt zu sogenannten dünnbesetzten

Matrizen. W

ie sich d

as CG V

erfahren in

diese

m Fall ve

rhält, ist rech

ts oben zu sehen. Die Konstruktion des Verfahrens erzwingt

stets einen m

onoton fallenden Fehler, w

elcher hier bezü

glich untersch

iedlicher Norm

en

(Abstandsm

aße) geplottet ist (rote bzw

. blaue Kurve).

Das

Residuum

(sch

warz)

muß

als

Fehlerm

aß

verw

endet werden, wenn keine

exa

kte Lösu

ng bzw

. Vergleichslösu

ng w

ie in

diese

m Test zur Verfügung steht.

Gradientenverfahren contra CG Verfahren

Die

Tech

nik

der

Vorkonditionierung

erm

öglicht eine Reduktion der benötig

ten

Iteratio

nen (in d

iese

m F

all auf weniger als

ein D

rittel). Je

doch

ist d

ann jede Iteratio

n

mit (etwas) m

ehr Aufwand verbunden.

Man stelle sich dasnebenstehende R

ech

teck

als einePlatin

e vormiteiner S-förm

igen Leite

rbahn.

Genauer

besitze die Platin

e eine Beschichtung,

welche entsprech

end der

Farbskala in den

roten(blauen) Bereichen über eine hohe(niedrige) elektrische Leitfähigkeitσ

verfüge. Wie sieht der

elektrische Stromflußj aus, w

enn m

an an die linke

bzw

. rech

te Seite

ein elektrisches Potentia

l vo

n 3

Einheite

n bzw

. 1 Einheit, d.h. eine Potentia

ldifferenz(Spannung) vo

n 2 Einheite

n, anlegt?

Da der Strom keine Ladungen anhäuft, wird er durch ein divergenzfreies Vektorfeld beschrieben, also

div

j = 0.Diese

Gleichung le

gtjjedoch

nicht eindeutig

fest.Durch R

ückgriff auf das Ohmsche Gesetz

und d

ie D

arstellung d

er elektrischen Feldstärke

verm

öge d

es Gradienten e

iner Potentialfunktionu

gelangt man zu derGleichungdiv

(σgradu) = 0,in w

elcher σ

als gegebene K

oeffizientenfunktion

und u

als U

nbeka

nnte fungieren. Die G

leichung besitzt eine eindeutig

e Lösu

ng u, wenn sie d

urch

geeignete Randbedingungen ergänzt wird.

Physikalisch

motiviert sind homogene Neumann

Bedingungen an den horizo

ntalen S

eite

n (ke

in seitlicher Stromabflu

ß) so

wie D

irichlet Bedingungen

mit den W

erten 3 (links

) bzw

. 1 (rech

ts) anden vertikalen Seite

n,wo die Spannung angelegt wird.

Mittels finiter

Differenzen

läßt

sich

das

Randwertproblem

zu

der

obigen

partielle

n

Differentia

lgleichung in ein lineares

Gleichungssystem ve

rwandeln,

dessen Lösu

ng

eine

näherungsw

eise Lösu

ng

des

physikalisch

en Ausg

angsp

roblems

liefert. Die dreidim

ensionale

Graphik, unterlegt mit einem C

ontour-Plot in der Grundebene, ve

ranschaulicht das Potentia

lfeld u,

welches sich

beim

Anlegen der Spannung auf der Platin

e einstellt.uist dabeia

ufeinem 140x1

20

Gitter als Lösu

ng eines Gleichungssystems mit 16800 U

nbeka

nntenberech

net worden.Deutlich

sind die beiden R

änder zu

erkennen, in denen u

die vorgeschriebenen konstanten W

erte 3 bzw

. 1

annim

mt.

Die F

läch

e erinnert a

n zwei Haarnadelkurven w

ie m

an sie von S

erpentin

enke

nnt oder an e

in

Treppenhaus mit zw

ei P

odesten, wobei d

ie dritte Treppe nicht unter der ersten liegt --eine solche

Fläch

e kann übrigens nichtals Funktion dargestellt w

erden --so

ndern seitlich versetzt ist. E

s ist

zu beach

ten, daßke

ine P

unkte m

it horizo

ntaler Tangentia

lebene vorhanden sind;überall ist ein

Gefälle vorhanden (Maximumsprinzip).

Aus dem Potentia

l uund der Leitfähigke

itσläßt sich

die Stromdichte

jgemäßder Form

elj= σ

gradu

berech

nen. Im

Gegensa

tz zu u

und

σistjein Vektor, denn der Strom besitzt neben seiner Fließstärke

auch

eine Fließrich

tung. Die nebenstehende Abbildung verdeutlich

t erstere durchdie Farbschattierung,

letztere durch die pfeilbehafteten Linien. Im

Untersch

ied zu ähnlichen A

bbildungen ist die D

ichte der

Linien gleichmäßig gewählt

und erlaubt ke

ine Rücksc

hlüsse auf die Stromstärke. Es

ist klar zu

erkennen, daßdas Gros des Stromes wie erw

artet der Leite

rbahn folgt. Allerdings sind auch

außerhalb

der Leite

rbahn s

chwach

e Stromstärken anzu

treffen. Ein scharfer Blick

enthüllt, daß

der Strom d

ie

Kurven der Leite

rbahn nicht gleichmäßig durchfließt. Stattdessen weisen die Innenku

rven höhere

Stromstärken auf als die blasser ersch

einenden Außenku

rven. Diese

Beobach

tung ka

nn man als

„Kurven-Sch

nibbeln“interpretie

ren. Der Strom wählt

immer den W

eg des

geringsten W

iderstands,

welcher innerhalb der Leite

rbahn durch die k

ürzere Innenku

rve a

ls d

urch d

ie längere A

ußenku

rve

gegeben ist. Abschließend

sei darauf hingewiese

n, daß

es

sich

bei den Beobach

tungen um die

Konse

quenze

n eines

mathematisch

en Modells handelt, welches

das

physikalisch

e Phänomen des

elektrischen Stromes gut beschreibt aber niemals vollends erfassen kann.

Anwendungsbeispiel:Auch der elektrische Strom schnibbelt Kurven.

Politik trifft Mathematik –Ein fiktives Interview

Vom Dschungel d

er Differentia

lgleichungen

Martin R

heinländer

Auf einer interdisziplinären T

agung verw

icke

lt ein P

olitikereinen M

athematikerin e

in a

ufsch

lußreiches

Gesp

räch

.

Die allgemeine Ratlosigkeit der Politik angesichts aktueller Probleme wird bedauerlicherweise immer

offensichtlicher. D

a w

äre es höchst interessant, verehrter Professor, zu erfahren, wie in der Mathematik

Probleme gemeistert werden. Vielleicht können wir von Ihnen lernen.Neulich erfuhr ich von schlim

men

Gesellen, die im Dschungel der Differentialgleichungen ihr Unwesen treiben sollen und dort Unruhe stiften.

Von Separatisten und Autonomen wardie Rede.

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enK

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1)

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Auto

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un

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Autonomisi

=

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⇔

=+

=−

+

tx

tx

tx

at

x

tx

ta

tx

xxx

x

Dasklingt in der Tat durchaus bedrohlich; aber die Forsch

ungsfront

rückt unaufhaltsam weite

r. Viele unsich

ere und ve

runsich

ernde

Existenze

n sind bereits zur Beruhigung aller Beteiligten eindeutig

im

festen Griff. Die Lösu

ngsversuch

e ve

rlaufen zw

ar

nicht im

mer

einmütig

, aber bei m

aßvo

ller Beschränku

ng aller Seite

n --ich m

eine

hier vo

r allem auch

die Rech

te --

läßtsich

im

mer genau eine

Lösu

ng finden.

Das klingt fast so, als ob von Links weniger zu befürchten wäre.

Naja, es

gibt auch

Autonome,wie Sie vo

rhin schon se

lbst erw

ähnten. Wir

Mathematiker haben ihre A

utonomiebestrebungen näher beleuch

tet und dabei

schnell festgestellt, daßsie im

wese

ntlich

en nach

ihren eigenen G

ese

tzen le

ben

wollen. Dies

ist ja

die Bedeutung vo

n autonom.Vorallem lehnen sie die

Aufprägung äußerer, ze

itlich bedingter

Zwänge und Einflü

sse ab.

Diese

Forderung wird oft mit

dem Slogan Invarianz

unter

Zeitverschiebungen

beze

ichnet. Eigentlich

eine sehr sinnvo

lle Idee, fin

den Sie nicht?

() )

(,

)('

tx

tF

tx

=

()

eindeu

tig!

ist

Sch

ranke

eine

geb

e

Es

),

(0

0

),

()

,(

:],

[,

],,

[:

0

δδ

+−

∈⇒

−<

−∈

∀∈

∀>

∃

−

tt

x

yx

Ly

tF

xt

Fd

cy

xb

at

L

Lip

sch

itz

1C

Allg. Form

ein

er e

xpli-

zite

n D

GL 1

.Ord

nung (

)

()

()]

[

)(

,)

(')

,(

,)

(

:)

,(

,0

),,

(),

,(

],

[]

,[

00

00

00

1

00

tx

tF

tx

tt

tx

tx

tt

xd

cx

ba

t

dc

ba

F

=+

−∈

∀=

+−

∈∃

>∃

∈∀

∈∀

⇒×

∈

δδ

δδ

δC

C

Lokal

er E

xiste

nzs

atz

für Lösu

ng d

es A

WPs:

Lokal

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xiste

nz

& E

indeu

tigkei

tssa

tz (

Pic

ard

-Lin

del

öf):

Ich m

ußgestehen, mich dem R

eiz dieses Gedankens nicht verschließen zu können. D

ie Schnellebigkeit

unserer Zeit kommt den Grenzen des Menschen-Erträglichen bedenklich nahe, ganz zu schweigen von den

ständig wechselnden Trends.

Aus

diese

m Grunde gibt es

in der

Mathematik bereits ein simples

Verfahren, welches

bei Bedarf

die Autonomisierung beliebiger Differentia

lgleichungen erlaubt.

Man hat also den Geächteten eine Tugend abgewinnen können, die Vorbildcharakter zu haben scheint. W

ie

steht es aber mit den Separatisten. Ist man hier Herr der Lage.

Abso

lut. E

igentlich

handelt es sich

bereits um ein K

apite

l aus

dem G

eschichtsbuch

, pardon, aus dem Lehrbuch

. Trotz ihres

manch

mal wilden A

ussehens

lassen s

ie s

ich leicht zä

hmen,

wenn m

an ihren separtistisch

en Tendenze

n zunäch

st nach

gibt.

Beka

nntlich

so

llte man Streith

ähne erst

einmal

ause

in-

andernehmen. So nach

Variablen getrennt lassen sich

die

Term

e relativ leicht integrieren, anschließend w

erden sie durch

umkehrabbildendeMaßnahmen zu einer die G

leichung sowohl

befriedenden wie befriedigenden Lösu

ng wiedervereinigt.

Wirklich

eine

äußerst

effektive

Methode

der

Konflikt-

bewältigung. Ich denke, unser Außenminister sollte davon

schleunigst Kenntnis erhalten.

Übrigens, ich ve

rgaß

anzu

merken,

daß

die heute geläufig

e Namensg

ebung die entsch

ärfte Lage

berücksich

tigt. Desh

alb sp

rech

en wir nicht

mehr

von se

paratistisch

en

sondern vo

n separablen

Differentia

lgleichungen bzw

. vo

n Differentia

lgleichungen m

it getrennten Veränderlichen.

Welchen Stand hat denn die allgemeine Gleichberechtigung erreicht?

Nun, Gleichberech

tigung ist im Z

usa

mmenhang m

it Gleichungen e

ine

naheliegende F

rage. In s

ozialer

Hinsich

t sind dank des Reduktionsverfahrens die einstmaligen K

lassengrenze

n niedergerissen. Es ist ein

allseits anerkanntes und le

icht beweisbares Faktum, daßsich

hinter jeder Gleichung höherer Ordnungstets

ein System erster Ordnnung

verbirgt.

Somit

sind heute vo

m Standpunkt der

Ordnung sä

mtlich

e

Differentia

lgleichungen zumindest form

al g

leichgestellt.

()

()

() (

)

()

() )

()

()

()

(

)(

)(

)(

)(

d )(

d

d )(

ddd

)(

)(

dd)

(

)(

,)

()(

dd

00

1

00

)(

00

00

00

xG

tF

tF

Gt

x

tF

tF

xG

tx

G

fx

xg

fx

xg

tf

txt

xg

xt

xt

xg

tf

tx

t t

tx x

t t

t t

+−

=

−=

−

===

==

−∫∫

∫∫

ττ

ττ

ττ

τ

Ein

„Sep

ara

tist

“:(

)2

4)

(1

42

3d

dt

xt

tt

x+

+−

=Form

ale

Lösu

ng s

epa

rab

lerD

GLn:

Was die K

enntnis von Lösu

ngen anbetrifft, w

aren bis in die M

itte des

letzten Ja

hrhunderts

hinein große Untersch

iede vo

rhanden,

da

analytisch

e M

ethoden nur für rech

t sp

ezielle G

leichungen vorbehalte

n

bleiben.

Das

Computerzeita

lter

und die stürm

isch

e Entwicklung

numerischer

Verfahren erm

öglichen jedoch

endlich die prinzipielle

Berech

nung von Lösu

ngen x-beliebiger Differentia

lgleichungen.

Ihre sozialen Errungenschaften klingen wirklich famos. Aber eine

Diskussion bezüglich Homos und Heteros etc., wird die unter den

Differentialgleichungen auch in ähnlicher Weise geführt wie bei uns?

Selbstve

rständlich w

ird diese

r Konflikt nicht ausg

eklammert. Sind

alle Term

e insb

eso

ndere bei einer linearen Gleichung in dem

Sinne „gleichartig“, daßsie die U

nbeka

nnte enthalte

n, so

sprich

t man v

on e

iner homogenen

andernfalls von e

iner inhomogenen

Gleichung. Tatsäch

lich treten d

ie Inhomogenen in w

eit größerer

Vielfa

lt auf und poch

en auf die Variation der Konstanten, während

die Homogenen am Fundamentalsystem

festhalte

n. D

aneben gibt

es noch

die S

ekte der Euler-homogenenDifferentia

lgleichungen,

welche Abtreibungen –

Verzeihung, ich meinte Ableitu

ngen –

aussch

ließlich bei begleite

nder Applikatio

n geeigneter Potenz-

mittel zu

r Art-, pardon G

raderhaltu

ng,akzeptie

ren. Tja, auch

die

Differentia

lgleichungen sind e

in sehr heterogenes Völkch

en, wie

Sie sehen.

Ich sollte darauf hinweisen, daßeine präzise

Klassifika

tion der Differentia

lgleichungen die m

athematis

che

Version e

iner politisch

korrekten A

usd

rucksw

eise ist, welche insb

eso

ndere von d

en N

ovize

n, unse

ren

Studierenden, erw

artet wird. Korrekte N

amensb

eze

ichnungen s

ind n

icht nur eine F

rage d

es

Anstands

sondern unterstützen das

strukturelle Denke

n. Mitu

nter

ist es

sogar

wie bei einer

Fahndung der

Kriminalpolizei --

da zählt jede Inform

atio

n und N

amen helfe

n oft w

eite

r. S

ie können vor allem nützliche

Indikatoren sein, was den Einsa

tz bestim

mter Lösu

ngsm

ethoden anbelangt.

Wenn m

ir auch die m

athematische Fachbildung fehlt, um Ihnen vollends zu folgen, so klingt Ihre Analogie

durchaus plausibel.

()

()

nn

nn

,xt

Ft

xx

x(t)

t, F

x'

qb

ua

v

v

vu

tx

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u

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xa

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∆ ∆∆∆+

=→

=

+−

−=

⇒

==

=+

+

+1

:zu

fahre

n

Lösu

ngsv

er s

Num

eris

che

'':

Ord

nung

1.

Syst

em

)('

:

)(

:Set

ze

'''

:O

rdnung

2.

G

leic

hung

verfahren

Reduktions

0

:V

ertret

erhom

ogen

erEule

r

d)(

)(

)(

)(

)(

d)(

)(

)(

)(

)(

)('

)(

)(

)(

)(

:K

onst

ante

nder

V

aria

tion

m

itte

ls

atz

Lösu

ngsa

ns

)(

)(

)(

)('

)(

AW

P s

inhom

ogen

e

lmat

rix

Fundam

enta

für

0)

()

()

('

)(

AW

P

hom

ogen

es

0

1

0

1

0

1

00

000

0

0

=−

+=

+=

=∧

=⇒

=

=

+

=

=

+

=

∑

∫

∫

=

−

−

−

k

kk

n

k

k

t t

t t

dtx

dt

a

qX

tX

yt

Xt

y

qX

yt

c

tq

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tc

yt

ct

ct

Xt

y

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ty

tA

ty

yt

y

X

tX

tA

tX

It

X

ττ

τττ

τ

Vom S

tandpunkt der Mathematik ist der Begriff Stabilität vo

n zentralerer Bedeutung. Diese

r sp

ielt bei der

Beurteilung vo

n Modellgleichungen, Lösu

ngsverfahren usw

. eine wichtig

e Rolle und wird ausg

iebig

untersuch

t. Gleichungen,

Verfahren usw

. zu

stabilisieren ist

Aufgabe und Herausforderung vieler

Mathematiker.

Was

das

Thema Arbeit

anbetrifft, so

gibt

es

unter

den beka

nnten Differentia

lgleichungen fast

Vollbeschäftigung. Man m

ußnur bereit se

in, sie einzu

setzen bzw

. sich

mit ihnen intensiv zu

beschäftigen.

Viele kommen in F

orsch

ung und Lehre zum E

insa

tz. Bei weite

m am nutzbringendsten erw

eisen sie sich,

wenn m

an sie auch

außerhalb der Mathematik arbeite

n lä

ßt. Ingenieure und N

aturw

isse

nschaftler aber auch

Öko

nomen sch

ätzen sie als gute M

itarbeite

r. Fast überall wo heutzutage ernsthaft gerech

net wird, sind sie

mit vo

n der Partie.

Ichbin wirklich zutiefst beeindruckt und danke Ihnen fürdie Einblicke, die Sie m

ir gewährenkonnten. Bei

Gelegenheit werde ich im

Bundestagdezent auf Ihre Äußerungenhinweisen.

ImLaufe der Konferenz ergab sicheine Fortse

tzung diese

s Austauschs, und beide w

urden sich sogar eines

gemeinsa

men P

rinzips

bewußt. K

onkrete

Veränderungen e

benso

wie konkrete

Berech

nungen e

rfordern

oftmals ein sehr diskretesVorgehen sei e

s im

diplomatisch

en oder mathematisch

en Sinne.

Zum

Erstaunen des Politikers

hatte der Mathematiker noch

mehrzu

erzählen;vo

n konservativen Feldern,

Potentialen, integrierenden Faktoren, Propagandisten aliasPropagatoren undRadikalen. Auch

wußte er vo

n

Fraktionen,Gruppen, Verbänden und anderen Körpersch

aften zu berich

ten.Doch

wollen w

ir es fürheute

hierm

itbewenden la

ssen.

Wach

stum ist auch

in der Mathematik von Interesse. So w

erden

Lösu

ngen

von

Differentia

lgleichungen

auf

ihre

Wach

s-tumse

igenschaften

hin

analysiert.

Man

klassifiziert

z.B.

asymptotisch

beschränktes,

lineares,

polynomiales

und

exponentielles

Wach

stum. Doch

bereits e

in h

arm

los

wirke

nder

quadratisch

er Reaktionsterm

im

pliziert eine L

ösu

ng, welche in

endlicher Zeit

unendlich w

äch

st. Übersch

nelles

Wach

stum h

at

damit ein exp

losionsa

rtiges, jä

hes Ende zur Folge.

tt

tx

tx

tx

x

−=

−=

⇒

=

=

2

41

)(

)(

)('

2)

0(

4121

2

41

Gestatten Sie eine letzte Frage mit Blick auf das stagnierende W

irtschaftsw

achstum bzw

. die konstant hohe

Arbeitslosenquote. W

o setzen S

ie Ihre S

chwerpunkte und w

elche H

inweise hätten S

ie ggf. für unsere

Wirtschafts-und Arbeitsminister parat.

Zwischen Anschauung und Abstraktion

Computer-Sim

ulationen m

it bol(t)zenden Teilchen

Martin R

heinländer

Gebannt starrte ich

auf den B

ildsc

hirm, während eine bohrende F

rage d

urch m

einen K

opf

jagte: „W

ürde es

diesm

al klappen?“

Beinahe unmerklich ve

ränderte sich

nach

jedem

Tastendruck

das Diagramm auf dem M

onito

r. W

ie erhofft rutsch

te die F

ehlerkurve langsa

m

abfla

chend nach

rech

ts. Ich spürte, wie ein A

nflu

g von Jubel in m

ir aufsteigen w

ollte, allein

der

Verstand weigerte sich

, diese

m nach

zugeben.

Unwillkü

rlich erhöhte sich

meine

Klickfrequenz, bis ich

die Eingabetaste dauerhaft niederdrück

te. In rasa

ntem Tempo durchlie

f der Computer jetzt die Z

eits

chritte. Nur ku

rz flack

erten die zugehörigen D

iagramme auf, so

daß

die F

ehlerkurve w

ie e

in sch

wingendes Seil zu

tanze

n b

egann. Ein

plötzliches Zuck

en

meiner Hand ließden Iteratio

nszähler zu

m S

tillstand kommen. Eine kleine U

nebenheit in der

Kurve war rake

tenhaft emporgesc

hoss

en und hatte ein ch

aotis

ches

Geza

ppel ausg

elöst.

Einen kurzen M

oment hielt ich inne. Ein P

rogrammierfehler war ausg

esc

hloss

en. Folglich

blieb nur die niedersch

lagende Erkenntnis, daßsich

das so

eben getestete Programm nicht in

der gewünsc

hten W

eise verhielt. W

o lag bloßdie U

rsach

e für se

in instabiles Verhalte

n? D

ie

zugrunde lie

gende Idee sc

hien ke

inesw

egs

abwegig, basierte sie doch

auf plausiblen

Analogiesc

hlüssen. Während der folgenden Tage keim

te ein kritis

ches Hinterfragen. Hatte ic

h

wirklich verstanden, was mein A

lgorithmus im

Verborgenen trieb? Tatsäch

lich entpuppt sich

Verständnis -die oftmals eingebildete G

ewißheit über bestim

mte Zusa

mmenhänge -

als eine

sehr relativ

e A

ngelegenheit. Frei nach

Sokrates fängt wahres Verständnis damit an, deutlich

abzu

grenze

n, was man nicht ve

rsteht.

Doch

worum geht es ko

nkret? B

evo

r ich zu m

einem P

roblem zurück

kehre, ist es notwendig,

etwas ausz

uholen, um den K

ontext zu erläutern. Betrach

ten w

ir zunäch

st als illustrierendes

Beispiel die U

mströmung eines Flugze

ugs. H

ierbei handelt es sich

um einen physikalisch

en

Vorgang, der für den notwendigen A

uftrieb sorgt, jedoch

bei weite

m m

ehr Komplexität birgt,

wenn m

an a

n V

erw

irbelungen u

nd T

urbulenze

n d

enkt. Wie läßt sich

ein solcher Proze

ss

berech

nen und simulie

ren, um ihn bess

er zu

ve

rstehen oder gar zu

kontrollieren? Eine

generelle

Strategie z

um D

urchdringen e

iner ko

mplizierten S

truktur besteht darin, diese

in

übersch

aubarere Teilstrukturen zu zerlegen.

Um diese

r Vorgehensw

eise zu folgen, se

i daran erinnnert, daß

Luft m

ikrosk

opisch

gese

hen

aus herumsc

hwirrenden M

olekü

len besteht. Da hier alle

in m

ech

anisch

e W

ech

selwirku

ngen im

Vordergrund stehen,

ist

es

ausreichend,

sich

die Molekü

le als winzige Kügelchen

vorzustellen. Demnach

läßt sich

die Umströmung als ein dreidim

ensionales

Billardsp

iel

begreife

n, bei dem das Flugze

ug als refle

ktierende B

ande für die m

iteinander ko

llidierenden

Luftteilchen fungiert. Die A

uftriebsk

raft kommt dadurch zustande, daß

die T

ragflä

chen eine

beso

ndere Strömung erzwingen, welche die Teilchen stärker gegen ihre U

nter-

als O

berseite

prass

eln lä

ßt. D

er Knack

punkt, warum nur eine spezielle Form

gebung der Flügel d

ie Teilchen

veranlaßt, gerade in

diese

r Weise zu strömen, bleibt damit unbeantwortet.

Trotzdem haben wir eine wertvo

lle Einsich

t gewonnen. Der ko

mplizierte Umströmungs-

proze

ss e

rgibt sich

als S

umme u

ngleich e

infach

erer Proze

sse, bestehend a

us Stößen d

er

Teilchen und ihrem Abpralle

n an der Flugze

ugwand. Da Computer sp

ielend mit

großen

Datenmengen umgehen können, wie sie bei d

er Vielzahl d

er Teilchen anfalle

n, sc

heint es, als

ob w

ir u

nse

r Problem zur endgültigen L

ösu

ng n

ur in sie h

ineinzu

füttern b

räuch

ten. Leider

mach

t uns hier die N

atur einen S

trich durch die R

ech

nung. Nicht,daß

es unmöglich w

äre,

Computer genau zu instruieren, wie sie d

ie T

eilchenstöße im D

etail zu

berech

nen h

aben,

nein, es

sind einfach

zu

viele Teilchen im

Spiel,

vor deren sc

hierer Unmenge se

lbst

Höch

stleistungsrech

ner ka

pitu

lieren m

üss

en.

Daßunse

r Lösu

ngsa

nsa

tz so prompt sc

heite

rt, ist nicht ve

rwunderlich. Sch

ließlich sch

ickten

wir uns an, weit mehr Inform

atio

n zu berech

nen als jedes praktisch

e Interess

e benötig

t. W

en

kümmert das

genaue Verhalte

n vo

n Teilchen XY? Die gigantisch

e Anza

hl der Teilchen

degradiert jedes einze

lne zur Belanglosigke

it. T

atsäch

lich können w

ir u

nse

re S

ituatio

n m

it einer Bevö

lkerungsu

mfrage ve

rgleichen. Dabei interess

ieren letztendlich ke

ine Einze

lmei-

nungen sondern statis

tisch

e M

ittelwerte. Außerdem ist es gar nicht notwendig, wirklich jeden

Bürger zu

befragen; es genügt eine repräse

ntativ

e S

tichprobe. Aus ve

rgleichsw

eise w

enigen

Umfragen ergibt sich

sch

ließlich die M

einung von O

tto N

orm

alverbrauch

er, einer nicht-realen

Person m

it starker Auss

agekraft.

Ganz ähnlich lä

ßt sich

die Anza

hl d

er Teilchen drastisch

reduzieren, ohne einen w

ese

ntlich

en

Inform

atio

nsv

erlust hinnehmen zu

müss

en. Eine weite

re radikale Vereinfach

ung besteht

darin, die n

unmehr fik

tiven T

eilchen e

iner ebenfalls k

ünstlichen D

ynamik z

u u

nterw

erfen.

Durch die R

eduktion auf wenige zulässige B

ewegungsrichtungen m

it fester Gesc

hwindigke

it,

erreicht man, daß

sich

die Teilchen auf einem dreidim

ensionalen Gitter bewegen. Nach

bestim

mten R

egeln ereignen sich die Stöße immer gleichze

itig in den K

reuzu

ngsp

unkten der

Gitterlinien bzw

. in ih

ren Sch

nittpunkten m

it der Außenwand des umströmten O

bjekts.

Die getaktete Abfolge sim

ulta

ner Stoß-und Flugphase

n, wie eben angedeutet, entsprich

t der

prinzipiellen Funktionsw

eise einer

ganze

n Klass

e numerisc

her

Verfahren, welche dazu

eingese

tzt werden, Probleme d

er Strömungsm

ech

anik n

äherungsw

eise m

it Computern z

u

löse

n. Obwohl die Grundidee auf den im

19. Ja

hrhundert wirke

nden Physiker Ludwig

Boltz

mann zurück

geht, daher der Name G

itter-Boltz

mann M

ethoden, sind die Verfahren noch

nicht einmal 20 Jahre alt. Somit sind sie deutlich

jünger als vergleichbare Standardve

rfahren,

die auf ganz

anderen Ansä

tzen beruhen. Zunehmender Beliebtheit

erfreuen sich

Gitter-

Boltz

mann M

ethoden vor alle

m ob ihrer guten softwaretech

nisch

en U

mse

tzbarkeit und einer

scheinbar weniger mathematis

ch als ansc

haulich verw

urzelte

n Herleitu

ng.

Worin bestand nun m

ein eingangs erw

ähntes Problem? R

eka

pitu

lieren w

ir dazu

die obigen

Betrach

tungen auf einer abstrakteren E

bene. Unse

r Ziel ist es, das Verhalte

n eines realen

Systems

A,

wie der

Strömung vo

n Fluiden,

zu berech

nen.

Ausg

ehend vo

n dem

physikalisch

en T

eilchenmodell, d

as für eine d

irekte B

erech

nung u

nbrauch

bar ist, sind n

un

schrittweise

Vereinfach

ungen

zu

vollziehen.

Dabei

durchläuft

man

in

etlich

en

Zwisch

enetappen w

eite

re M

odelle höch

st untersch

iedlicher mathematis

cher Natur, bis m

an

bei einem S

ystem B

anlangt, dem G

itter-Boltz

mann V

erfahren. Diese

s numerisc

he S

chema

ist nun so besc

haffen, daßes auf einem Computer im

plementie

rt w

erden kann.

Der Weg von A

nach

B und B

selbst sind keinesw

egs zw

ingend. Beim

Übergang m

ußman

sich

vo

r alle

m vo

n Intuition insp

irieren lass

en. Trotz der angestrebten möglichst starken

Parallelen zwisch

en A

und B

, entfalte

t das fik

tive S

ystem B

sein

Eigenleben. Die G

renze

zw

isch

en gleich-und andersartigem V

erhalte

n ist oftmals sch

wer zu

überblicke

n. Versuch

t man B

zu m

odifizieren, wie ich

es

tat, u

m b

estim

mte E

igensc

haften z

u v

erbess

ern o

der

zusä

tzlich e

inzu

bauen, kö

nnen u

nerw

artete w

ie u

nerw

ünsc

hte R

eaktionen d

ie F

olge sein,

wenn m

an sich dabei vo

r alle

m an dem physikalisch

en A

usg

angssystem A

orientie

rt. Genau

an diese

r Stelle lag m

ein V

erständnisproblem; ich handelte

in B

, dach

te aber in A

. Intuition

und Analogiedenke

n dienen je

doch

nur als Leitfaden, und dürfen nicht überdehnt werden.

Während man bereitw

illig löch

rige Erklärungen akz

eptie

rt,

solange Erw

artungen nicht

enttäusc

ht werden, weck

en g

egenteilige E

rfahrungen F

ragen. So b

egründet die H

erleitu

ng

der Gitter-Boltz

mann Verfahren keinesfalls in

einem m

athematis

ch präzise

n Sinne, warum sie

funktionieren. Ein tieferes Verständnis erreicht man alle

rdings nicht, indem m

an versuch

t, die

intuitive

n S

chritte der Herleitu

ng krampfhaft zu rech

tfertigen. Der sp

ringende P

unkt besteht

darin, die Sichtweise umzu

drehen, Gitter-Boltz

mann Verfahren aus

ihrem ursprünglichen

Umfeld herausz

ulöse

n und sie als eigenständige Systeme m

athematis

ch zu analysieren.

Diese

r Aufgabe ist m

eine D

isse

rtatio

n gewidmet. D

azu

habe ich

spezielle G

itter-Boltz

mann

Verfahren ausg

ewählt, die einerseits

hinreichend elementar sind, um sie mathematis

ch

vollständig zu durchdringen, andererseits

charakteristisch

e M

erkmale anwendungsreleva

nter

Gitter-Boltz

mann

Verfahren

enthalte

n.

Unter

anderem

lass

en

sich

so

genannte

Konve

rgenza

ussagen beweisen. Darunter ve

rsteht man mathematis

che

Sätze, die g

enau

spezifizieren,

unter

welchen Umständen und in welcher

Weise die Verfahren der

physikalisch

en Realität nahe ko

mmen, wobei das

schwammige Wörtch

en Realität einer

vorausg

ehenden, strengen P

räzisierung zu unterziehen ist. Die w

eniger gewünsc

hten a

ber

teilw

eise unve

rmeidbaren Eigenarten der

Gitter-Boltz

mann Verfahren äußern sich

im

Diskretis

ierungsfehler, in Anfangs-

und Randsc

hichten so

wie Instabilitäten und treten als

numerisc

he Störeffekte bei Sim

ulatio

nen auf. Hierzu habe ich ebenfalls Untersuch

ungen

durchgeführt und Werkze

uge entwicke

lt, mittels derer das

Verhalte

n d

er Modellverfahren

theoretis

ch vorhergesa

gt werden kann.

Nunmehr ve

rtraut mit

der Andersartigke

it der Gitter-Boltz

mann Welt

und ausg

erüstet mit

erprobten W

erkze

ugen zur systematis

chen A

nalyse

, ist es Zeit, d

er Intuition w

ieder freien

Lauf zu

lass

en, jenem zunäch

st unsc

harfen D

enke

n, dem sich viele w

eite

rbringende Ideen

verdanke

n. Folgearbeite

n zu

r Verbess

erung der Gitter-Boltz

mann Verfahren sind bereits

abgesc

hloss

en bzw

. noch

im G

ange. Ob bei g

enaueren Anfangs-

und R

andbedingungen oder

Gitterkopplungen, in vielen F

ällen sind ähnliche P

robleme zu m

eistern. So lass

en sich aus

den Parametern der

fiktiv

en Teilchen eindeutig

die physikalisch

releva

nten Größen

berech

nen, umgeke

hrt aber ist die Eindeutig

keit

verloren. Dies

jedoch

ist eine andere

Gesc

hichte.