lý thuyết sylow

Học viên: Đặng Tuấn Hiệp – K17 Lý thuyết nhóm

1

I. Tác động của một nhóm lên một tập hợp Định nghĩa 1.1:

Cho X là một tập hợp, X và G là một nhóm. Ánh xạ :

* : ;( , ) *G X X g x g x

sao cho i) 1*x = x; x X

ii) g1*(g2*x) = (g1g2)*x; 1 2, ;g g G x X

được gọi là một tác động (trái) của nhóm G lên tập hợp X Nhận xét:

g G , đặt: : ; *g X X x g x và 1 1: ; *g X X x g x

Ta có 1 1Xg g và 1 1Xg g , do đó g là song ánh

Xg S (SX là nhóm các song ánh từ X lên X, với phép nhân ánh xạ

thông thường, còn gọi là nhóm đối xứng trên tập X)

Do ii) ta dễ dàng kiểm tra 1 2,g g G thì

1 2 1 2g g g g .

Thật vậy, x X ta có 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( )* *( * ) ( ( )) ( )g g x g g x g g x g g x g g x

Do đó ánh xạ : ;XG S g g là một đồng cấu nhóm

Ngược lại, nếu ta có đồng cấu nhóm : XG S thì ta định nghĩa một tác

động của nhóm G lên tập X như sau: *: ;( , ) * ( )( )G X X g x g x g x .

Khi đó ) 1* (1)( ) 1 ( )Xi x x x x

1 2 1 2 1 2

1 2

1 2

) ; : *( * ) ( ) ( )( )

( )( )

( )*

ii g g G x X g g x g g x

g g x

g g x

Định nghĩa 1.2:

Cho X là một tập hợp, X và G là một nhóm. Một tác động của nhóm G lên

tập X là một đồng cấu nhóm : XG S

Mệnh đề 1.3:

Cho một tác động của nhóm G lên tập X và x X . Khi đó

: *xG g G g x x

là một nhóm con của G. Ta gọi xG là nhóm con ổn định của x trong G

Chứng minh:

Ta có 1* x x nên 1 x xG G

1 2, xg g G ta có 1 2 1 2 1 1 2( )* *( * ) * xg g x g g x g x x g g G

xg G ta có 1 1 1 1* *( * ) ( )* 1* xg x g g x g g x x x g G

Do đó xG là nhóm con ổn định của x trong G


2

Định nghĩa 1.4:

Tập * *G x g x g G được gọi là quỹ đạo của phần tử x

Mệnh đề 1.5:

Hai quỹ đạo bất kỳ hoặc trùng nhau hoặc có giao bằng rỗng Chứng minh:

Xét hai quỹ đạo 1*G x và

2*G x . Giả sử 1 2* *G x G x . Suy ra tồn tại

x X và 1 2,g g G sao cho 1 1

1 1 2 2 1 1 2 2* * * ; *x g x g x x g x x g x .

Khi đó g G : 1 1

1 1 1 1* *( * ) ( )* * * *g x g g x gg x G x G x G x

1 1 1 1 1 1* *( * ) ( )* * * *g x g g x gg x G x G x G x

Do đó 1* *G x G x . Tương tự

2* *G x G x . Do đó 1 2* *G x G x .

Chú ý:

Từ mệnh đề 1.5 suy ra * i

i I

X G x

. Trong đó i i Ix

là tập hợp đầy đủ các

phần tử đại diện của các quỹ đạo khác nhau.

Nếu X là hữu hạn thì ta có công thức khai triển thành quỹ đạo của X như sau:

1

*n

i

i

X G x

Mệnh đề 1.6:

Số phần tử của quỹ đạo *G x bằng chỉ số của nhóm con ổn định xG trong G.

* : ;xG x G G x X

Chứng minh:

Xét tương ứng : * ; * xx

Gf G x g x gGG

Ta có 1 1

1 2 2 1 2 1 1 2* * ( )* x x xg x g x g g x x g g G g G g G

Do đó f là ánh xạ và đơn ánh. Dễ thấy f là toàn ánh. Do đó f là song ánh.

Suy ra * : xG x G G

Nếu X là hữu hạn thì công thức khai triển thành quỹ đạo của X được viết lại như

sau: 1 1

* :i

n n

i x

i i

X G x G G


3

II. Tác động liên hợp của nhóm Định nghĩa 2.1:

Xét nhóm G và ánh xạ 1: ; , *G G G g x g x gxg thỏa

i) 11* 1 1 ;x x x x G

ii) 1 2, ; :g g G x G

1 1 11 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2*( * ) ( ) ( )*g g x g g xg g g g x g g g g x

Do đó là một tác động của nhóm G lên chính tập G, được gọi là tác động liên

hợp trong nhóm G.

Nếu x G thì nhóm con ổn định xG chính là tâm hóa tử C(x) của x.

1: ( )xG g G gxg x C x

Đặt ( ) : ;Z G x G gx xg g G là tâm của nhóm G.

Dễ thấy ( ) ( ) * ( : ) 1x xx Z G C x G G G x G G .

Do đó, nếu G là nhóm hữu hạn thì áp dụng công thức khai triển thành quỹ đạo của G ta được công thức lớp

1

( ) ( : ( ))m

i

i

G Z G G C x

Trong đó 1,i i m

x

là tập tất cả các phần tử của G đôi một không liên hợp với

nhau và không nằm trong tâm. Định nghĩa 2.2:

Gọi S là tập hợp tất cả các nhóm con của nhóm G. Xét ánh xạ

1*: ;( , ) *G S S x H x H xHx

Dễ dàng kiểm tra đây là tác động của nhóm G lên tập S tất cả các nhóm con của

G. Ta gọi tác động này là tác động liên hợp của nhóm G lên tập hợp tất cả các nhóm con của G.

Nếu H G thì nhóm con ổn định HG của H trùng với chuẩn hóa tử ( )GN H

của H : 1 ( )H GG x G xHx H N H

Quỹ đạo của H đối với G là

1* *G H x H xHx x G

Do đó *G H là tập hợp tất cả các nhóm con của G liên hợp với H.

Áp dụng mệnh đề 1.6 ta được Mệnh đề 2.3:

Nếu G là một nhóm hữu hạn và H G thì số các nhóm con của G liên hợp với

H bằng chỉ số của ( )GN H trong G.


4

III. Định lý Sylow

Trong phần này ta sẽ giới thiệu về lớp p-nhóm và định lý Sylow, lớp p-nhóm có

vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu nhóm hữu hạn và định lý Sylow được xem là nền tảng của lý thuyết nhóm hữu hạn. Định nghĩa 3.1:

Cho G là một nhóm và p là một số nguyên tố. Khi đó: Nhóm G được gọi là p-nhóm nếu mọi phần tử của G đều có cấp là một

lũy thừa của p. Nhóm con H của G được gọi là p-nhóm con của G nếu H là một p-nhóm.

p-nhóm con Sylow của G chính là phần tử tối đại trong tập các p-nhóm con của G theo quan hệ bao hàm.

Định lý Sylow:

Cho p là số nguyên tố, G là nhóm hữu hạn, nG p m , với , 1m p . Khi đó:

a) Với mọi 1 k n , tồn tại trong G một p-nhóm con có cấp kp . Nói riêng,

tồn tại trong G các p-nhóm con Sylow.

b) Mọi p-nhóm con H của G đều nằm trong một p-nhóm con Sylow nào đó của G.

c) Tất cả các p-nhóm con Sylow của G đều liên hợp với nhau.

d) Nếu r là số các p-nhóm con Sylow của G thì r m và 1(mod )r p

Chứng minh:

a) Gọi S là tập tất cả các tập con có đúng kp phần tử của G. Khi đó:

1

1

k

k

n

p np n k

p mi

p m iS C p m

i

Vì 0(mod )n n ni p m i p m p và n k

nên 0(mod ) 0(mod ); 1,n j jp m i p i p j k

Do đó 1

1

0(mod )

kp n

i

p m ip

i

.

Suy ra n kp là lũy thừa lớn nhất của p chia hết S

Xét ánh xạ ;( , )G S S g A gA ga a A . Dễ dàng kiểm tra được đây

là một tác động của nhóm G lên tập S. Vì S không chia hết cho 1n kp nên

theo công thức khai triển thành quỹ đạo của S ta suy ra tồn tại ít nhất một quỹ

đạo mà số phần tử của nó không chia hết cho 1n kp , ta đặt quỹ đạo đó là G(A),


5

với A S . Khi đó ( ) ;( , ) 1,rG A p m m p r n k . Xét nhóm con ổn định AG

của A trong G. Theo định lý Lagrange và mệnh đề 1.6 ta có

( )

n r n r kA

G mG p p pmG A

Lấy a A và AG a là lớp ghép phải của G theo nhóm con AG .

Ta có Ag G thì gA = A nên ga A . Do đó AG a A

k

A AG G a A p

Vậy AG chính là p-nhóm con của G có cấp kp .

b) Lấy H là một p-nhóm con của G, K là một p-nhóm con Sylow của G

, ;k nH p K p k n

Đặt X là tập tất cả các lớp ghép trái của G theo nhóm con K. Theo định lý

Lagrange ta được G

X mK

. Xét ánh xạ H X X xác định bởi:

; : ( , ) ( )h H g G h gK h gK hgK

gK X ta đặt H(gK) là quỹ đạo của gK, gKH là nhóm con ổn định của gK

trong H. Theo mệnh đề 1.6 và định lý Lagrange ta suy ra ( )H H gK

( ) ;0iH gK p i k

Vì X m p nên theo công thức khai triển thành quỹ đạo của X ta suy ra tồn

tại ít nhất một quỹ đạo H(gK) sao cho ( ) 1H gK . Khi đó

1

1

1

;

;

gKH H hgK gK h H

g hg K h H

g Hg K

H gKg

Vậy H nằm trong một p-nhóm con Sylow 1gKg của G.

c) Chứng minh tương tự b) với H là một p-nhóm con Sylow của G.

Khi đó ta có g G sao cho 1H gKg . Do đó H và K liên hợp với nhau.

d) Lấy H là một p-nhóm con Sylow của G. Đặt Y là tập tất cả các nhóm con liên

hợp với H. Do c) nên ta cũng suy ra Y là tập tất cả các p-nhóm con Sylow của G. Xét tác động liên hợp của nhóm H lên tập Y theo định nghĩa 2.2.

K Y ta có quỹ đạo của K là 1( )H K hKh h H , nhóm con ổn định của

K trong H là 1KH h H hKh K . Theo mệnh đề 1.6 và định lý Lagrange

ta suy ra ( )H H K ( ) ;0iH K p i n .


6

Theo mệnh đề 2.3 ta có : ( )Gr Y G N H .

Mặt khác theo định lý Lagrange ta có : ( ) ( ) : :1G GG G N H N H H H

Mà :1 nH H p do đó 0(mod )r p và r m

Theo công thức khai triển theo quỹ đạo của Y ta suy ra tồn tại ít nhất một quỹ

đạo ( )H K có độ dài là 1. Ta sẽ chứng minh H = K

Ta có 1( )H K hKh h H K . Do đó 1 ;hKh K h H HK KH

Ta dễ dàng chứng minh được HK là một p-nhóm con của G. Thật vậy

1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2

1 1 1

, : ( )( ) ( )( )

: ( )

h k h k HK h k h k h h k k HK

hk HK hk k h KH HK

Theo công thức chỉ số của nhóm con ta có 2nHK H K H K p

HK là một lũy thừa của p.

Do H, K là các p-nhóm con Sylow nên từ H HK

H HK KK HK

Như vậy ta đã chứng minh được có duy nhất một quỹ đạo ( )H H có độ dài là 1,

các quỹ đạo khác đều có độ dài là , 0ip i . Do đó theo công thức khai triển

thành quỹ đạo của Y, ta phải có 1(mod )r p .


7

IV. Áp dụng

4.1 Định lý Cauchy: Nếu G là một nhóm hữu hạn có cấp chia hết cho một số

nguyên tố p thì G chứa một phần tử cấp p.

4.2 Nếu G là nhóm hữu hạn cấp p2 thì G hoặc đẳng cấu với 2p

hoặc đẳng cấu với

p p . Do đó G là nhóm giao hoán.

4.3 Cho p, q là hai số nguyên tố sao cho p < q và 1(mod )q p . Khi đó mọi nhóm

hữu hạn có cấp pq đều là nhóm cyclic. Ví dụ: Nhóm hữu hạn cấp 15, 33, 35, 51, 65, 69, 85, 87, 91, 95 đều là cyclic.

4.4 Nếu G là nhóm hữu hạn cấp 2p, với p là số nguyên tố, p > 2 thì G hoặc là nhóm

cyclic hoặc đẳng cấu với nhóm nhị diện pD gồm các phép biến hình biến đa

giác đều p cạnh thành chính nó.

4.5 Cho p q là hai số nguyên tố thỏa 21(mod ), 1(mod )q p p q . Khi đó nếu G

là nhóm hữu hạn cấp 2p q thì G đẳng cấu với tích trực tiếp trong của hai nhóm

con chuẩn tắc và giao hoán. Do đó G là nhóm giao hoán.

Ví dụ: Nhóm hữu hạn cấp 45, 99 là giao hoán.

lý thuyết sylow

Documents