luis angel gonzalez serrano´ en base de estudios conjuntos...
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Pol. sim. completos Formula recursiva Funcion generadora Formula progr. geom.
Polinomios simetricos completos
Luis Angel Gonzalez SerranoEn base de estudios conjuntos con:
Egor Maximenko y Mario Alberto Moctezuma Salazar
ESFM - IPN
Seminario “Matrices y operadores”14 Octubre de 2020
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Pol. sim. completos Formula recursiva Funcion generadora Formula progr. geom.
1 Polinomios simetricos completos
2 Formula recursiva
3 Funcion generadora
4 Formula con progresiones geometricas
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Pol. sim. completos Formula recursiva Funcion generadora Formula progr. geom.
Ejemplos de polinomios completos, n = 2
h0(x1, x2) = 1,
h1(x1, x2) = x1 + x2,
h2(x1, x2) = x21 + x2
2 + x1x2,
h3(x1, x2) = x31 + x3
2 + x21x2 + x1x
22,
h4(x1, x2) = x41 + x4
2 + x31x2 + x1x
32 + x2
1x22
h5(x1, x2) = x51 + x5
2 + x41x2 + x1x
42 + x3
1x22 + x2
1x32.
Se define hm(x1, x2) = 0 si m < 0.
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Pol. sim. completos Formula recursiva Funcion generadora Formula progr. geom.
Ejemplos de polinomios completos, n = 2
h0(x1, x2) = 1,
h1(x1, x2) = x1 + x2,
h2(x1, x2) = x21 + x2
2 + x1x2,
h3(x1, x2) = x31 + x3
2 + x21x2 + x1x
22,
h4(x1, x2) = x41 + x4
2 + x31x2 + x1x
32 + x2
1x22
h5(x1, x2) = x51 + x5
2 + x41x2 + x1x
42 + x3
1x22 + x2
1x32.
Se define hm(x1, x2) = 0 si m < 0.
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Pol. sim. completos Formula recursiva Funcion generadora Formula progr. geom.
Ejemplos de polinomios completos, n = 2
h0(x1, x2) = 1,
h1(x1, x2) = x1 + x2,
h2(x1, x2) = x21 + x2
2 + x1x2,
h3(x1, x2) = x31 + x3
2 + x21x2 + x1x
22,
h4(x1, x2) = x41 + x4
2 + x31x2 + x1x
32 + x2
1x22
h5(x1, x2) = x51 + x5
2 + x41x2 + x1x
42 + x3
1x22 + x2
1x32.
Se define hm(x1, x2) = 0 si m < 0.
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Pol. sim. completos Formula recursiva Funcion generadora Formula progr. geom.
Ejemplos de polinomios completos, n = 2
h0(x1, x2) = 1,
h1(x1, x2) = x1 + x2,
h2(x1, x2) = x21 + x2
2 + x1x2,
h3(x1, x2) = x31 + x3
2 + x21x2 + x1x
22,
h4(x1, x2) = x41 + x4
2 + x31x2 + x1x
32 + x2
1x22
h5(x1, x2) = x51 + x5
2 + x41x2 + x1x
42 + x3
1x22 + x2
1x32.
Se define hm(x1, x2) = 0 si m < 0.
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Pol. sim. completos Formula recursiva Funcion generadora Formula progr. geom.
Ejemplos de polinomios completos, n = 3
h0(x1, x2, x3) = 1,
h1(x1, x2, x3) = x1 + x2 + x3,
h2(x1, x2, x3) = x21 + x2
2 + x23 + x1x2 + x1x3 + x2x3,
h3(x1, x2, x3) = x31 + x3
2 + x33 + x2
1x2 + x21x3 + x2
2x1 + x22x3
+ x23x1 + x2
3x2 + x1x2x3,
h4(x1, x2, x3) = x41 + x4
2 + x43 + x3
1x2 + x31x3 + x3
2x3 + x1x33
+ x1x32 + x2x
33 + x2
1x22 + x2
1x23 + x2
2x23
+ x21x2x3 + x1x
22x3 + x1x2x
23.
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Pol. sim. completos Formula recursiva Funcion generadora Formula progr. geom.
Ejemplos de polinomios completos, n = 3
h0(x1, x2, x3) = 1,
h1(x1, x2, x3) = x1 + x2 + x3,
h2(x1, x2, x3) = x21 + x2
2 + x23 + x1x2 + x1x3 + x2x3,
h3(x1, x2, x3) = x31 + x3
2 + x33 + x2
1x2 + x21x3 + x2
2x1 + x22x3
+ x23x1 + x2
3x2 + x1x2x3,
h4(x1, x2, x3) = x41 + x4
2 + x43 + x3
1x2 + x31x3 + x3
2x3 + x1x33
+ x1x32 + x2x
33 + x2
1x22 + x2
1x23 + x2
2x23
+ x21x2x3 + x1x
22x3 + x1x2x
23.
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Pol. sim. completos Formula recursiva Funcion generadora Formula progr. geom.
Definicion combinatoriaEl polinomio simetrico completo de orden m en n variablesx1, . . . , xn es la suma de todos los monomios de grado total m:
hm(x1, . . . , xn) =∑
k1+...+kn=mk1,...,kn≥0
xk11 · · ·x
knn .
Otra forma equivalente de la definicion:
hm(x1, . . . , xn) =∑
1≤i1≤...≤im≤n
xi1xi2 · · ·xim .
Ejemplo de las definiciones equivalentes:
h2(x1, x2) = x21x
02 + x0
1x22 + x1x2,
h2(x1, x2) = x1x1 + x1x2 + x2x2.
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Pol. sim. completos Formula recursiva Funcion generadora Formula progr. geom.
Definicion combinatoriaEl polinomio simetrico completo de orden m en n variablesx1, . . . , xn es la suma de todos los monomios de grado total m:
hm(x1, . . . , xn) =∑
k1+...+kn=mk1,...,kn≥0
xk11 · · ·x
knn .
Otra forma equivalente de la definicion:
hm(x1, . . . , xn) =∑
1≤i1≤...≤im≤n
xi1xi2 · · ·xim .
Ejemplo de las definiciones equivalentes:
h2(x1, x2) = x21x
02 + x0
1x22 + x1x2,
h2(x1, x2) = x1x1 + x1x2 + x2x2.
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Definicion combinatoriaEl polinomio simetrico completo de orden m en n variablesx1, . . . , xn es la suma de todos los monomios de grado total m:
hm(x1, . . . , xn) =∑
k1+...+kn=mk1,...,kn≥0
xk11 · · ·x
knn .
Otra forma equivalente de la definicion:
hm(x1, . . . , xn) =∑
1≤i1≤...≤im≤n
xi1xi2 · · ·xim .
Ejemplo de las definiciones equivalentes:
h2(x1, x2) = x21x
02 + x0
1x22 + x1x2,
h2(x1, x2) = x1x1 + x1x2 + x2x2.
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Pol. sim. completos Formula recursiva Funcion generadora Formula progr. geom.
Ejercicio:¿Cuantos sumandos hay en hm(x1, . . . , xn)?
Por ejemplo: Calculemos el numero de sumando deh2(x1, x2, x3),
−→ x21
−→ x1x2
−→ x22
−→ x1x3
−→ x2x3
−→ x23
Respuesta:(
42
)
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Ejercicio:¿Cuantos sumandos hay en hm(x1, . . . , xn)?Por ejemplo: Calculemos el numero de sumando deh2(x1, x2, x3),
−→ x21
−→ x1x2
−→ x22
−→ x1x3
−→ x2x3
−→ x23
Respuesta:(
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Ejercicio:¿Cuantos sumandos hay en hm(x1, . . . , xn)?Por ejemplo: Calculemos el numero de sumando deh2(x1, x2, x3),
−→ x21
−→ x1x2
−→ x22
−→ x1x3
−→ x2x3
−→ x23
Respuesta:(
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Ejercicio:¿Cuantos sumandos hay en hm(x1, . . . , xn)?Por ejemplo: Calculemos el numero de sumando deh2(x1, x2, x3),
−→ x21
−→ x1x2
−→ x22
−→ x1x3
−→ x2x3
−→ x23
Respuesta:(
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)
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Ejercicio:¿Cuantos sumandos hay en hm(x1, . . . , xn)?Por ejemplo: Calculemos el numero de sumando deh2(x1, x2, x3),
−→ x21
−→ x1x2
−→ x22
−→ x1x3
−→ x2x3
−→ x23
Respuesta:(
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)
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Ejercicio:¿Cuantos sumandos hay en hm(x1, . . . , xn)?Por ejemplo: Calculemos el numero de sumando deh2(x1, x2, x3),
−→ x21
−→ x1x2
−→ x22
−→ x1x3
−→ x2x3
−→ x23
Respuesta:(
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Ejercicio:¿Cuantos sumandos hay en hm(x1, . . . , xn)?Por ejemplo: Calculemos el numero de sumando deh2(x1, x2, x3),
−→ x21
−→ x1x2
−→ x22
−→ x1x3
−→ x2x3
−→ x23
Respuesta:(
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Pol. sim. completos Formula recursiva Funcion generadora Formula progr. geom.
Ejercicio:¿Cuantos sumandos hay en hm(x1, . . . , xn)?Por ejemplo: Calculemos el numero de sumando deh2(x1, x2, x3),
−→ x21
−→ x1x2
−→ x22
−→ x1x3
−→ x2x3
−→ x23
Respuesta:(
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)
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Pol. sim. completos Formula recursiva Funcion generadora Formula progr. geom.
Ejercicio:¿Cuantos sumandos hay en hm(x1, . . . , xn)?Por ejemplo: Calculemos el numero de sumando deh2(x1, x2, x3),
−→ x21
−→ x1x2
−→ x22
−→ x1x3
−→ x2x3
−→ x23
Respuesta:(
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)
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Ejercicio:¿Cuantos sumandos hay en hm(x1, . . . , xn)?Por ejemplo: Calculemos el numero de sumando deh2(x1, x2, x3),
−→ x21
−→ x1x2
−→ x22
−→ x1x3
−→ x2x3
−→ x23
Respuesta:(
42
)
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Ejercicio:¿Cuantos sumandos hay en hm(x1, . . . , xn)?Por ejemplo: Calculemos el numero de sumando deh2(x1, x2, x3),
−→ x21
−→ x1x2
−→ x22
−→ x1x3
−→ x2x3
−→ x23
Respuesta:(
42
)
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Ejercicio:¿Cuantos sumandos hay en hm(x1, . . . , xn)?Por ejemplo: Calculemos el numero de sumando deh2(x1, x2, x3),
−→ x21
−→ x1x2
−→ x22
−→ x1x3
−→ x2x3
−→ x23
Respuesta:(
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Otro ejemplo:
Veamos solo dos sumandos de h7(x1, x2, x3, x4)
−→ x21x
42x4
−→ x1x32x3x
24
¿Cuantos sumandos hay?
Respuesta:(
103
).
¿Cuantos sumandos hay en hm(x1, . . . , xn)?
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Otro ejemplo: Veamos solo dos sumandos de h7(x1, x2, x3, x4)
−→ x21x
42x4
−→ x1x32x3x
24
¿Cuantos sumandos hay?
Respuesta:(
103
).
¿Cuantos sumandos hay en hm(x1, . . . , xn)?
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Otro ejemplo: Veamos solo dos sumandos de h7(x1, x2, x3, x4)
−→ x21x
42x4
−→ x1x32x3x
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¿Cuantos sumandos hay?
Respuesta:(
103
).
¿Cuantos sumandos hay en hm(x1, . . . , xn)?
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Otro ejemplo: Veamos solo dos sumandos de h7(x1, x2, x3, x4)
−→ x21x
42x4
−→ x1x32x3x
24
¿Cuantos sumandos hay?
Respuesta:(
103
).
¿Cuantos sumandos hay en hm(x1, . . . , xn)?
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Otro ejemplo: Veamos solo dos sumandos de h7(x1, x2, x3, x4)
−→ x21x
42x4
−→ x1x32x3x
24
¿Cuantos sumandos hay?
Respuesta:(
103
).
¿Cuantos sumandos hay en hm(x1, . . . , xn)?
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Otro ejemplo: Veamos solo dos sumandos de h7(x1, x2, x3, x4)
−→ x21x
42x4
−→ x1x32x3x
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¿Cuantos sumandos hay?
Respuesta:(
103
).
¿Cuantos sumandos hay en hm(x1, . . . , xn)?
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Pol. sim. completos Formula recursiva Funcion generadora Formula progr. geom.
Otro ejemplo: Veamos solo dos sumandos de h7(x1, x2, x3, x4)
−→ x21x
42x4
−→ x1x32x3x
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¿Cuantos sumandos hay?
Respuesta:(
103
).
¿Cuantos sumandos hay en hm(x1, . . . , xn)?
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Hacia una formula recursiva
Recordemos el polinomio completo de grado tres para tresvariables:
h3(x1, x2, x3) = x31 + x3
2 + x33 + x2
1x2 + x21x3 + x2
2x1 + x22x3
+ x23x1 + x2
3x2 + x1x2x3
=(x3
1 + x32 + x2
1x2 + x22x1)
+ x3(x2
1 + x22 + x2
3 + x1x2 + x1x3 + x2x3)
= h3(x1, x2) + x3 h2(x1, x2, x3).
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Pol. sim. completos Formula recursiva Funcion generadora Formula progr. geom.
Hacia una formula recursiva
Recordemos el polinomio completo de grado tres para tresvariables:
h3(x1, x2, x3) = x31 + x3
2 + x33 + x2
1x2 + x21x3 + x2
2x1 + x22x3
+ x23x1 + x2
3x2 + x1x2x3
=(x3
1 + x32 + x2
1x2 + x22x1)
+ x3(x2
1 + x22 + x2
3 + x1x2 + x1x3 + x2x3)
= h3(x1, x2) + x3 h2(x1, x2, x3).
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Hacia una formula recursiva
Recordemos el polinomio completo de grado tres para tresvariables:
h3(x1, x2, x3) = x31 + x3
2 + x33 + x2
1x2 + x21x3 + x2
2x1 + x22x3
+ x23x1 + x2
3x2 + x1x2x3
=(x3
1 + x32 + x2
1x2 + x22x1)
+ x3(x2
1 + x22 + x2
3 + x1x2 + x1x3 + x2x3)
= h3(x1, x2) + x3 h2(x1, x2, x3).
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Hacia una formula recursiva
Recordemos el polinomio completo de grado tres para tresvariables:
h3(x1, x2, x3) = x31 + x3
2 + x33 + x2
1x2 + x21x3 + x2
2x1 + x22x3
+ x23x1 + x2
3x2 + x1x2x3
=(x3
1 + x32 + x2
1x2 + x22x1)
+ x3(x2
1 + x22 + x2
3 + x1x2 + x1x3 + x2x3)
= h3(x1, x2) + x3 h2(x1, x2, x3).
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Pol. sim. completos Formula recursiva Funcion generadora Formula progr. geom.
Nota:Denotemos a la lista x1, . . . , xn por x.
Proposicion (Formula recursiva de los polinomios completos)
hm+1(x, xn+1) = hm+1(x) + xn+1 hm(x, xn+1).
Demostracion:
hm+1(x, xn+1) =∑
k1+...+kn+1=m+1k1,...,kn+1≥0
xk11 · · ·x
kn+1n+1
=∑
k1+...+kn=m+1kn+1=0
xk11 x
k22 · · ·x
knn
+∑
k1+...+kn+1=m+1kn+1>0
xk11 x
k22 · · ·x
kn+1n+1
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Pol. sim. completos Formula recursiva Funcion generadora Formula progr. geom.
Nota:Denotemos a la lista x1, . . . , xn por x.
Proposicion (Formula recursiva de los polinomios completos)
hm+1(x, xn+1) = hm+1(x) + xn+1 hm(x, xn+1).
Demostracion:
hm+1(x, xn+1) =∑
k1+...+kn+1=m+1k1,...,kn+1≥0
xk11 · · ·x
kn+1n+1
=∑
k1+...+kn=m+1kn+1=0
xk11 x
k22 · · ·x
knn
+∑
k1+...+kn+1=m+1kn+1>0
xk11 x
k22 · · ·x
kn+1n+1
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Pol. sim. completos Formula recursiva Funcion generadora Formula progr. geom.
Nota:Denotemos a la lista x1, . . . , xn por x.
Proposicion (Formula recursiva de los polinomios completos)
hm+1(x, xn+1) = hm+1(x) + xn+1 hm(x, xn+1).
Demostracion:
hm+1(x, xn+1) =∑
k1+...+kn+1=m+1k1,...,kn+1≥0
xk11 · · ·x
kn+1n+1
=∑
k1+...+kn=m+1kn+1=0
xk11 x
k22 · · ·x
knn
+∑
k1+...+kn+1=m+1kn+1>0
xk11 x
k22 · · ·x
kn+1n+1
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Pol. sim. completos Formula recursiva Funcion generadora Formula progr. geom.
Nota:Denotemos a la lista x1, . . . , xn por x.
Proposicion (Formula recursiva de los polinomios completos)
hm+1(x, xn+1) = hm+1(x) + xn+1 hm(x, xn+1).
Demostracion:
hm+1(x, xn+1) =∑
k1+...+kn+1=m+1k1,...,kn+1≥0
xk11 · · ·x
kn+1n+1
=∑
k1+...+kn=m+1kn+1=0
xk11 x
k22 · · ·x
knn
+∑
k1+...+kn+1=m+1kn+1>0
xk11 x
k22 · · ·x
kn+1n+1
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Pol. sim. completos Formula recursiva Funcion generadora Formula progr. geom.
hm+1(x, xn+1) =∑
k1+...+kn=m+1kn+1=0
xk11 x
k22 · · ·x
knn
+ xn+1∑
k1+...+kn+kn+1−1=mkn+1−1≥0
xk11 x
k22 · · ·x
kn+1−1n+1
=∑
k1+...+kn=m+1kn+1=0
xk11 x
k22 · · ·x
knn
+ xn+1∑
j1+...+jn+1=mjn+1≥0
xj11 x
j22 · · ·x
jn+1n+1
= hm+1(x) + xn+1 hm(x, xn+1).
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Pol. sim. completos Formula recursiva Funcion generadora Formula progr. geom.
hm+1(x, xn+1) =∑
k1+...+kn=m+1kn+1=0
xk11 x
k22 · · ·x
knn
+ xn+1∑
k1+...+kn+kn+1−1=mkn+1−1≥0
xk11 x
k22 · · ·x
kn+1−1n+1
Denotemos j1 = k1, . . . , jn = kn, jn+1 = kn+1 − 1
=∑
k1+...+kn=m+1kn+1=0
xk11 x
k22 · · ·x
knn
+ xn+1∑
j1+...+jn+1=mjn+1≥0
xj11 x
j22 · · ·x
jn+1n+1
= hm+1(x) + xn+1 hm(x, xn+1).
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Pol. sim. completos Formula recursiva Funcion generadora Formula progr. geom.
hm+1(x, xn+1) =∑
k1+...+kn=m+1kn+1=0
xk11 x
k22 · · ·x
knn
+ xn+1∑
k1+...+kn+kn+1−1=mkn+1−1≥0
xk11 x
k22 · · ·x
kn+1−1n+1
=∑
k1+...+kn=m+1kn+1=0
xk11 x
k22 · · ·x
knn
+ xn+1∑
j1+...+jn+1=mjn+1≥0
xj11 x
j22 · · ·x
jn+1n+1
= hm+1(x) + xn+1 hm(x, xn+1).
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Pol. sim. completos Formula recursiva Funcion generadora Formula progr. geom.
hm+1(x, xn+1) =∑
k1+...+kn=m+1kn+1=0
xk11 x
k22 · · ·x
knn
+ xn+1∑
k1+...+kn+kn+1−1=mkn+1−1≥0
xk11 x
k22 · · ·x
kn+1−1n+1
=∑
k1+...+kn=m+1kn+1=0
xk11 x
k22 · · ·x
knn
+ xn+1∑
j1+...+jn+1=mjn+1≥0
xj11 x
j22 · · ·x
jn+1n+1
= hm+1(x) + xn+1 hm(x, xn+1).
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Diagrama para la formula recursiva
hm+1(x, xn+1) = hm+1(x) + xn+1 hm(x, xn+1).
h0(x1) h1(x1) h2(x1) h3(x1)
h0(x1, x2) h1(x1, x2) h2(x1, x2) h3(x1, x2)
h0(x1, x2, x3) h1(x1, x2, x3) h2(x1, x2, x3) h3(x1, x2, x3)
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Pol. sim. completos Formula recursiva Funcion generadora Formula progr. geom.
Diagrama para la formula recursiva
hm+1(x, xn+1) = hm+1(x) + xn+1 hm(x, xn+1).
h0(x1) h1(x1) h2(x1) h3(x1)
h0(x1, x2) h1(x1, x2) h2(x1, x2) h3(x1, x2)
h0(x1, x2, x3) h1(x1, x2, x3) h2(x1, x2, x3) h3(x1, x2, x3)
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Diagrama para la formula recursiva
hm+1(x, xn+1) = hm+1(x) + xn+1 hm(x, xn+1).
h0(x1) h1(x1) h2(x1) h3(x1)
h0(x1, x2) h1(x1, x2) h2(x1, x2) h3(x1, x2)
h0(x1, x2, x3) h1(x1, x2, x3) h2(x1, x2, x3) h3(x1, x2, x3)
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Diagrama para la formula recursiva
hm+1(x, xn+1) = hm+1(x) + xn+1 hm(x, xn+1).
h0(x1) h1(x1) h2(x1) h3(x1)
h0(x1, x2) h1(x1, x2) h2(x1, x2) h3(x1, x2)
h0(x1, x2, x3) h1(x1, x2, x3) h2(x1, x2, x3) h3(x1, x2, x3)
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Algoritmo en SageMath
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Ejercicio
Proposicionhm+1(x, xn+1)−hm+1(x, xn+2) = (xn+1−xn+2) hm(x, xn+1, xn+2).
Indicacion al ejercicio: Usar la formula recursiva.
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Ejercicio
Proposicionhm+1(x, xn+1)−hm+1(x, xn+2) = (xn+1−xn+2) hm(x, xn+1, xn+2).
Indicacion al ejercicio: Usar la formula recursiva.
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Funcion generadora
Dada una sucesion (αk)∞k=0 se define su funcion generadoracomo ∞∑
k=0αkt
k
Funcion generadora de la sucesion (hm)∞m=0
H(x1, . . . , xn)(t) =∞∑
m=0hm(x1, . . . , xn)tm.
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Funcion generadora
Dada una sucesion (αk)∞k=0 se define su funcion generadoracomo ∞∑
k=0αkt
k
Funcion generadora de la sucesion (hm)∞m=0
H(x1, . . . , xn)(t) =∞∑
m=0hm(x1, . . . , xn)tm.
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Lema
H(x)(t) = (1− xn+1t) H(x, xn+1)(t)
Demostracion:
H(x, xn+1)(t) =∞∑
j=0hj(x, xn+1)tj = 1 +
∞∑j=0
hj+1(x, xn+1)tj+1
= 1 +∞∑
j=0(hj+1(x) + xn+1 hj(x, xn+1)) tj+1
=
1 +∞∑
j=1hj(x)tj
+∞∑
j=0(xn+1 hj(x, xn+1)) tj+1
=∞∑
j=0hj(x)tj + xn+1t
∞∑j=0
hj(x, xn+1)tj
= H(x)(t) + xn+1tH(x, xn+1)(t).
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Lema
H(x)(t) = (1− xn+1t) H(x, xn+1)(t)
Demostracion:
H(x, xn+1)(t) =∞∑
j=0hj(x, xn+1)tj
= 1 +∞∑
j=0hj+1(x, xn+1)tj+1
= 1 +∞∑
j=0(hj+1(x) + xn+1 hj(x, xn+1)) tj+1
=
1 +∞∑
j=1hj(x)tj
+∞∑
j=0(xn+1 hj(x, xn+1)) tj+1
=∞∑
j=0hj(x)tj + xn+1t
∞∑j=0
hj(x, xn+1)tj
= H(x)(t) + xn+1tH(x, xn+1)(t).
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Lema
H(x)(t) = (1− xn+1t) H(x, xn+1)(t)
Demostracion:
H(x, xn+1)(t) =∞∑
j=0hj(x, xn+1)tj = 1 +
∞∑j=0
hj+1(x, xn+1)tj+1
= 1 +∞∑
j=0(hj+1(x) + xn+1 hj(x, xn+1)) tj+1
=
1 +∞∑
j=1hj(x)tj
+∞∑
j=0(xn+1 hj(x, xn+1)) tj+1
=∞∑
j=0hj(x)tj + xn+1t
∞∑j=0
hj(x, xn+1)tj
= H(x)(t) + xn+1tH(x, xn+1)(t).
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Lema
H(x)(t) = (1− xn+1t) H(x, xn+1)(t)
Demostracion:
H(x, xn+1)(t) =∞∑
j=0hj(x, xn+1)tj = 1 +
∞∑j=0
hj+1(x, xn+1)tj+1
= 1 +∞∑
j=0(hj+1(x) + xn+1 hj(x, xn+1)) tj+1
=
1 +∞∑
j=1hj(x)tj
+∞∑
j=0(xn+1 hj(x, xn+1)) tj+1
=∞∑
j=0hj(x)tj + xn+1t
∞∑j=0
hj(x, xn+1)tj
= H(x)(t) + xn+1tH(x, xn+1)(t).
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Lema
H(x)(t) = (1− xn+1t) H(x, xn+1)(t)
Demostracion:
H(x, xn+1)(t) =∞∑
j=0hj(x, xn+1)tj = 1 +
∞∑j=0
hj+1(x, xn+1)tj+1
= 1 +∞∑
j=0(hj+1(x) + xn+1 hj(x, xn+1)) tj+1
=
1 +∞∑
j=1hj(x)tj
+∞∑
j=0(xn+1 hj(x, xn+1)) tj+1
=∞∑
j=0hj(x)tj + xn+1t
∞∑j=0
hj(x, xn+1)tj
= H(x)(t) + xn+1tH(x, xn+1)(t).
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Lema
H(x)(t) = (1− xn+1t) H(x, xn+1)(t)
Demostracion:
H(x, xn+1)(t) =∞∑
j=0hj(x, xn+1)tj = 1 +
∞∑j=0
hj+1(x, xn+1)tj+1
= 1 +∞∑
j=0(hj+1(x) + xn+1 hj(x, xn+1)) tj+1
=
1 +∞∑
j=1hj(x)tj
+∞∑
j=0(xn+1 hj(x, xn+1)) tj+1
=∞∑
j=0hj(x)tj + xn+1t
∞∑j=0
hj(x, xn+1)tj
= H(x)(t) + xn+1tH(x, xn+1)(t).
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Lema
H(x)(t) = (1− xn+1t) H(x, xn+1)(t)
Demostracion:
H(x, xn+1)(t) =∞∑
j=0hj(x, xn+1)tj = 1 +
∞∑j=0
hj+1(x, xn+1)tj+1
= 1 +∞∑
j=0(hj+1(x) + xn+1 hj(x, xn+1)) tj+1
=
1 +∞∑
j=1hj(x)tj
+∞∑
j=0(xn+1 hj(x, xn+1)) tj+1
=∞∑
j=0hj(x)tj + xn+1t
∞∑j=0
hj(x, xn+1)tj
= H(x)(t) + xn+1tH(x, xn+1)(t).
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Otra forma equivalente:
H(x, xn+1)(t) = H(x)(t)(1− xn+1t)
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Proposicion
H(x)(t) =n∏
i=1(1− xit)−1.
Demostracion: Por Induccion sobre n
H(x1) =∞∑
j=0hj(x1)tj =
∞∑j=0
(x1t)j = 11− x1t
.
Suponiendo para n, demostremos para n+ 1
H(x, xn+1)(t) Lem==== H(x)(t)1− xn+1t
H.I.==== (1− xn+1t)−1n∏
i=1(1− xit)−1
=n+1∏i=1
(1− xit)−1.
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Proposicion
H(x)(t) =n∏
i=1(1− xit)−1.
Demostracion: Por Induccion sobre n
H(x1) =∞∑
j=0hj(x1)tj
=∞∑
j=0(x1t)j = 1
1− x1t.
Suponiendo para n, demostremos para n+ 1
H(x, xn+1)(t) Lem==== H(x)(t)1− xn+1t
H.I.==== (1− xn+1t)−1n∏
i=1(1− xit)−1
=n+1∏i=1
(1− xit)−1.
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Proposicion
H(x)(t) =n∏
i=1(1− xit)−1.
Demostracion: Por Induccion sobre n
H(x1) =∞∑
j=0hj(x1)tj =
∞∑j=0
(x1t)j
= 11− x1t
.
Suponiendo para n, demostremos para n+ 1
H(x, xn+1)(t) Lem==== H(x)(t)1− xn+1t
H.I.==== (1− xn+1t)−1n∏
i=1(1− xit)−1
=n+1∏i=1
(1− xit)−1.
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Proposicion
H(x)(t) =n∏
i=1(1− xit)−1.
Demostracion: Por Induccion sobre n
H(x1) =∞∑
j=0hj(x1)tj =
∞∑j=0
(x1t)j = 11− x1t
.
Suponiendo para n, demostremos para n+ 1
H(x, xn+1)(t) Lem==== H(x)(t)1− xn+1t
H.I.==== (1− xn+1t)−1n∏
i=1(1− xit)−1
=n+1∏i=1
(1− xit)−1.
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Proposicion
H(x)(t) =n∏
i=1(1− xit)−1.
Demostracion: Por Induccion sobre n
H(x1) =∞∑
j=0hj(x1)tj =
∞∑j=0
(x1t)j = 11− x1t
.
Suponiendo para n, demostremos para n+ 1
H(x, xn+1)(t) Lem==== H(x)(t)1− xn+1t
H.I.==== (1− xn+1t)−1n∏
i=1(1− xit)−1
=n+1∏i=1
(1− xit)−1.
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Proposicion
H(x)(t) =n∏
i=1(1− xit)−1.
Demostracion: Por Induccion sobre n
H(x1) =∞∑
j=0hj(x1)tj =
∞∑j=0
(x1t)j = 11− x1t
.
Suponiendo para n, demostremos para n+ 1
H(x, xn+1)(t) Lem==== H(x)(t)1− xn+1t
H.I.==== (1− xn+1t)−1n∏
i=1(1− xit)−1
=n+1∏i=1
(1− xit)−1.
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Recordemos que
H(x)(t) =n∏
i=1
11− xit
Lema
H(x)(t) =n∑
i=1
Ci
1− xit,
dondeCi = xn−1
i∏j 6=i
(xi − xj).
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Demostracion: Supongamos que existe Ci que cumple laigualdad, entonces para n = 2
1(1− x1t)(1− x2t)
= C11− x1t
+ C21− x2t
,
multiplicando por 1− x1t en ambos lados, resulta
11− x2t
= C1 + C2(1− x1t)1− x2t
.
Entonces tomando t = x−11
C1 = x1x1 − x2
.
De manera analoga se obtiene que
C2 = x2x2 − x1
.
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Demostracion: Supongamos que existe Ci que cumple laigualdad, entonces para n = 2
1(1− x1t)(1− x2t)
= C11− x1t
+ C21− x2t
,
multiplicando por 1− x1t en ambos lados, resulta
11− x2t
= C1 + C2(1− x1t)1− x2t
.
Entonces tomando t = x−11
C1 = x1x1 − x2
.
De manera analoga se obtiene que
C2 = x2x2 − x1
.
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Demostracion: Supongamos que existe Ci que cumple laigualdad, entonces para n = 2
1(1− x1t)(1− x2t)
= C11− x1t
+ C21− x2t
,
multiplicando por 1− x1t en ambos lados, resulta
11− x2t
= C1 + C2(1− x1t)1− x2t
.
Entonces tomando t = x−11
C1 = x1x1 − x2
.
De manera analoga se obtiene que
C2 = x2x2 − x1
.
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Demostracion: Supongamos que existe Ci que cumple laigualdad, entonces para n = 2
1(1− x1t)(1− x2t)
= C11− x1t
+ C21− x2t
,
multiplicando por 1− x1t en ambos lados, resulta
11− x2t
= C1 + C2(1− x1t)1− x2t
.
Entonces tomando t = x−11
C1 = x1x1 − x2
.
De manera analoga se obtiene que
C2 = x2x2 − x1
.
19 / 23
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Para n = 31
(1− x1t)(1− x2t)(1− x3t)
=
C1(1− x2t)(1− x3t) + C2(1− x1t)(1− x3t) + C3(1− x1t)(1− x2t)(1− x1t)(1− x2t)(1− x3t)
Multiplicando en ambos lados por, por ejemplo, 1− x1t
1(1− x2t)(1− x3t)
=
C1 + C2(1− x1t)(1− x3t) + C3(1− x1t)(1− x2t)(1− x2t)(1− x3t)
Tomando, t = x−11
C1 = 1(1− x2x
−11
) (1− x3x
−11
) = x21
(x1 − x2)(x1 − x3) .
De manera analoga, se obtiene la igualdad para C2 y C3
20 / 23
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Para n = 31
(1− x1t)(1− x2t)(1− x3t)=
C1(1− x2t)(1− x3t) + C2(1− x1t)(1− x3t) + C3(1− x1t)(1− x2t)(1− x1t)(1− x2t)(1− x3t)
Multiplicando en ambos lados por, por ejemplo, 1− x1t
1(1− x2t)(1− x3t)
=
C1 + C2(1− x1t)(1− x3t) + C3(1− x1t)(1− x2t)(1− x2t)(1− x3t)
Tomando, t = x−11
C1 = 1(1− x2x
−11
) (1− x3x
−11
) = x21
(x1 − x2)(x1 − x3) .
De manera analoga, se obtiene la igualdad para C2 y C3
20 / 23
Pol. sim. completos Formula recursiva Funcion generadora Formula progr. geom.
Para n = 31
(1− x1t)(1− x2t)(1− x3t)=
C1(1− x2t)(1− x3t) + C2(1− x1t)(1− x3t) + C3(1− x1t)(1− x2t)(1− x1t)(1− x2t)(1− x3t)
Multiplicando en ambos lados por, por ejemplo, 1− x1t
1(1− x2t)(1− x3t)
=
C1 + C2(1− x1t)(1− x3t) + C3(1− x1t)(1− x2t)(1− x2t)(1− x3t)
Tomando, t = x−11
C1 = 1(1− x2x
−11
) (1− x3x
−11
) = x21
(x1 − x2)(x1 − x3) .
De manera analoga, se obtiene la igualdad para C2 y C3
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Para n = 31
(1− x1t)(1− x2t)(1− x3t)=
C1(1− x2t)(1− x3t) + C2(1− x1t)(1− x3t) + C3(1− x1t)(1− x2t)(1− x1t)(1− x2t)(1− x3t)
Multiplicando en ambos lados por, por ejemplo, 1− x1t
1(1− x2t)(1− x3t)
=
C1 + C2(1− x1t)(1− x3t) + C3(1− x1t)(1− x2t)(1− x2t)(1− x3t)
Tomando, t = x−11
C1 = 1(1− x2x
−11
) (1− x3x
−11
) = x21
(x1 − x2)(x1 − x3) .
De manera analoga, se obtiene la igualdad para C2 y C3
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Para n = 31
(1− x1t)(1− x2t)(1− x3t)=
C1(1− x2t)(1− x3t) + C2(1− x1t)(1− x3t) + C3(1− x1t)(1− x2t)(1− x1t)(1− x2t)(1− x3t)
Multiplicando en ambos lados por, por ejemplo, 1− x1t
1(1− x2t)(1− x3t)
=
C1 + C2(1− x1t)(1− x3t) + C3(1− x1t)(1− x2t)(1− x2t)(1− x3t)
Tomando, t = x−11
C1 = 1(1− x2x
−11
) (1− x3x
−11
) = x21
(x1 − x2)(x1 − x3) .
De manera analoga, se obtiene la igualdad para C2 y C3
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Para n = 31
(1− x1t)(1− x2t)(1− x3t)=
C1(1− x2t)(1− x3t) + C2(1− x1t)(1− x3t) + C3(1− x1t)(1− x2t)(1− x1t)(1− x2t)(1− x3t)
Multiplicando en ambos lados por, por ejemplo, 1− x1t
1(1− x2t)(1− x3t)
=
C1 + C2(1− x1t)(1− x3t) + C3(1− x1t)(1− x2t)(1− x2t)(1− x3t)
Tomando, t = x−11
C1 = 1(1− x2x
−11
) (1− x3x
−11
) = x21
(x1 − x2)(x1 − x3) .
De manera analoga, se obtiene la igualdad para C2 y C320 / 23
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Entonces para n, se obtiene que∑1≤i≤n
∏j 6=i
Ci(1− xjt)∏1≤j≤n
(1− xjt)=
∏1≤j≤n
1(1− xjt)
.
Multiplicando por 1− xit
Ci +
∑r 6=i
∏j 6=r
Cr(1− xjt)∏1≤j≤n
j 6=i
(1− xjt)=
∏1≤j≤n
j 6=i
1(1− xjt)
.
Haciendo t = x−1i
Ci =∏
1≤j≤nj 6=i
xn−1i
xi − xj.
21 / 23
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Entonces para n, se obtiene que∑1≤i≤n
∏j 6=i
Ci(1− xjt)∏1≤j≤n
(1− xjt)=
∏1≤j≤n
1(1− xjt)
.
Multiplicando por 1− xit
Ci +
∑r 6=i
∏j 6=r
Cr(1− xjt)∏1≤j≤n
j 6=i
(1− xjt)=
∏1≤j≤n
j 6=i
1(1− xjt)
.
Haciendo t = x−1i
Ci =∏
1≤j≤nj 6=i
xn−1i
xi − xj.
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Entonces para n, se obtiene que∑1≤i≤n
∏j 6=i
Ci(1− xjt)∏1≤j≤n
(1− xjt)=
∏1≤j≤n
1(1− xjt)
.
Multiplicando por 1− xit
Ci +
∑r 6=i
∏j 6=r
Cr(1− xjt)∏1≤j≤n
j 6=i
(1− xjt)=
∏1≤j≤n
j 6=i
1(1− xjt)
.
Haciendo t = x−1i
Ci =∏
1≤j≤nj 6=i
xn−1i
xi − xj.
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Polinomios completos como combinacion lineal de progresionesgeometricas
hm(x) =n∑
j=1
xn+m−1j∏
k 6=j(xj − xk) .
Demostracion:∞∑
m=0hm(x)tm = H(x)(t) =
n∏i=1
11− xit
=n∑
i=1
Ci
1− xit
=n∑
i=1
xn−1i
(1− xit)∏
k 6=i(xi − xk)
=∞∑
m=0
n∑i=1
xn+m−1i∏
k 6=i(xi − xk) tm.
Por ultimo igualamos los coeficientes.
22 / 23
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Polinomios completos como combinacion lineal de progresionesgeometricas
hm(x) =n∑
j=1
xn+m−1j∏
k 6=j(xj − xk) .
Demostracion:∞∑
m=0hm(x)tm = H(x)(t)
=n∏
i=1
11− xit
=n∑
i=1
Ci
1− xit
=n∑
i=1
xn−1i
(1− xit)∏
k 6=i(xi − xk)
=∞∑
m=0
n∑i=1
xn+m−1i∏
k 6=i(xi − xk) tm.
Por ultimo igualamos los coeficientes.
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Polinomios completos como combinacion lineal de progresionesgeometricas
hm(x) =n∑
j=1
xn+m−1j∏
k 6=j(xj − xk) .
Demostracion:∞∑
m=0hm(x)tm = H(x)(t) =
n∏i=1
11− xit
=n∑
i=1
Ci
1− xit
=n∑
i=1
xn−1i
(1− xit)∏
k 6=i(xi − xk)
=∞∑
m=0
n∑i=1
xn+m−1i∏
k 6=i(xi − xk) tm.
Por ultimo igualamos los coeficientes.
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Polinomios completos como combinacion lineal de progresionesgeometricas
hm(x) =n∑
j=1
xn+m−1j∏
k 6=j(xj − xk) .
Demostracion:∞∑
m=0hm(x)tm = H(x)(t) =
n∏i=1
11− xit
=n∑
i=1
Ci
1− xit
=n∑
i=1
xn−1i
(1− xit)∏
k 6=i(xi − xk)
=∞∑
m=0
n∑i=1
xn+m−1i∏
k 6=i(xi − xk) tm.
Por ultimo igualamos los coeficientes.
22 / 23
Pol. sim. completos Formula recursiva Funcion generadora Formula progr. geom.
Polinomios completos como combinacion lineal de progresionesgeometricas
hm(x) =n∑
j=1
xn+m−1j∏
k 6=j(xj − xk) .
Demostracion:∞∑
m=0hm(x)tm = H(x)(t) =
n∏i=1
11− xit
=n∑
i=1
Ci
1− xit
=n∑
i=1
xn−1i
(1− xit)∏
k 6=i(xi − xk)
=∞∑
m=0
n∑i=1
xn+m−1i∏
k 6=i(xi − xk) tm.
Por ultimo igualamos los coeficientes.
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Pol. sim. completos Formula recursiva Funcion generadora Formula progr. geom.
Polinomios completos como combinacion lineal de progresionesgeometricas
hm(x) =n∑
j=1
xn+m−1j∏
k 6=j(xj − xk) .
Demostracion:∞∑
m=0hm(x)tm = H(x)(t) =
n∏i=1
11− xit
=n∑
i=1
Ci
1− xit
=n∑
i=1
xn−1i
(1− xit)∏
k 6=i(xi − xk)
=∞∑
m=0
n∑i=1
xn+m−1i∏
k 6=i(xi − xk) tm.
Por ultimo igualamos los coeficientes.
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Polinomios completos como combinacion lineal de progresionesgeometricas
hm(x) =n∑
j=1
xn+m−1j∏
k 6=j(xj − xk) .
Demostracion:∞∑
m=0hm(x)tm = H(x)(t) =
n∏i=1
11− xit
=n∑
i=1
Ci
1− xit
=n∑
i=1
xn−1i
(1− xit)∏
k 6=i(xi − xk)
=∞∑
m=0
n∑i=1
xn+m−1i∏
k 6=i(xi − xk) tm.
Por ultimo igualamos los coeficientes.22 / 23
Pol. sim. completos Formula recursiva Funcion generadora Formula progr. geom.
¿Que pasa si xj = xk para algun j 6= k en la forma anterior?
Veamos un ejemplo: Por un lado
hm(x1, x1) =m∑
j=0xm−j
1 xj1 = (m+ 1)xm
1 .
Por otro lado, recordando que para dos variables se tiene que
hm(x1, x2) = xm+11 − xm+1
2x1 − x2
.
Entonces, cuando las dos variables coinciden, por la regla deL’Hopital
hm(x1, x1) = limx2→x1
xm+12 − xm+1
1x2 − x1
= (m+ 1)xm1 .
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¿Que pasa si xj = xk para algun j 6= k en la forma anterior?Veamos un ejemplo: Por un lado
hm(x1, x1) =m∑
j=0xm−j
1 xj1 = (m+ 1)xm
1 .
Por otro lado, recordando que para dos variables se tiene que
hm(x1, x2) = xm+11 − xm+1
2x1 − x2
.
Entonces, cuando las dos variables coinciden, por la regla deL’Hopital
hm(x1, x1) = limx2→x1
xm+12 − xm+1
1x2 − x1
= (m+ 1)xm1 .
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¿Que pasa si xj = xk para algun j 6= k en la forma anterior?Veamos un ejemplo: Por un lado
hm(x1, x1) =m∑
j=0xm−j
1 xj1 = (m+ 1)xm
1 .
Por otro lado, recordando que para dos variables se tiene que
hm(x1, x2) = xm+11 − xm+1
2x1 − x2
.
Entonces, cuando las dos variables coinciden, por la regla deL’Hopital
hm(x1, x1) = limx2→x1
xm+12 − xm+1
1x2 − x1
= (m+ 1)xm1 .
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¿Que pasa si xj = xk para algun j 6= k en la forma anterior?Veamos un ejemplo: Por un lado
hm(x1, x1) =m∑
j=0xm−j
1 xj1 = (m+ 1)xm
1 .
Por otro lado, recordando que para dos variables se tiene que
hm(x1, x2) = xm+11 − xm+1
2x1 − x2
.
Entonces, cuando las dos variables coinciden, por la regla deL’Hopital
hm(x1, x1) = limx2→x1
xm+12 − xm+1
1x2 − x1
= (m+ 1)xm1 .
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