Ci de eficientizare a predrii-nvrii polinoamelor la elevii din nvmntul preuniversitar 1 INTRODUCERE Matematicacontribuieesentiallaeducareamemoriei,atentiei,vointei,imaginatiei, la amplificarea setei de cunoastere si are un rol important in educatia estetica a celor ce o studiaza. Algebra este unadintre ramurile cele mai importante ale matematicii, cunoscand in timp o dezvoltare foarte accentuate. Problematica de care se ocupaa devenit mai vasta si mai variata. Tema acestei lucrari metodico-stiintifice este Ci de eficientizare a predrii-nvrii polinoamelor la elevii din nvmntul preuniversitar Intreteoremelearitmeticiinumerelorintregisiuneleteoremealearitmeticii polinoamelor exista o mare asemanare. Predarea lor prin analogie duce la o intelegere mai profunda a notiunilor. Aritmeticaarerolformativfoarteimportant,darafostdiminuataprinreforma actuala.Dupaprogrameleactualesemaipredaudoarcatevanotiunidearitmetica numerelor naturale prin gimnaziu , mai precis in clasa a VI-a. Pana in clasaa XII-a (cand ar trebuifacutaanalogiaintrearitmeticanumerelorintregisiaritmeticapolinoamelor), aceste notiuni nu sunt diversificate sau amplificate . In clasele de gimnaziu trebuie predate cunostinteceinlesnescformareauneistructuricognitiveoperationalesiauneibaze acceptabile de modelare intuitiva . Datorita dificultatilorinterioare ale aritmeticii asimilare einusepoatefacedirectlanivelulderigoaredoritsiatuncisuntnecesarespirale successivepanalasfarsitulclaseiaXII-a.Predareanotiunilorsevafaceintr-oforma succesibilaelevilordeliceuapoisevordaexemplesidealtemultimidenumerepentru care se pot da teoreme de impartire cu rest care sa ne permita sa construim si pentru ele o anumitaaritmetica.Incadrulacesteilucrarisevaaratacaaritmeticanumerelorintregi, aritmeticapolinoamelorcatsialtearitmeticisepottrataincadrulinvatamantului preuniversitarintr-unmodunitar.Aceastavageneraperformantesuperioare.Unplusde rigoare in scoala determina un plus accentuat in facultate. Lucrarea de fata este structurata pe sase capitole . Primul capitol are ca scop introducerea notinii de inel, a notiunilor de morfisme si izomorfisme de inele,corpuri, subcorpuri , extinderi de corpuri si proprietatile lor. In capitolul al II-lease prezinta proprietatile aritmetice ale inelelor , urmarindu-seprezentarea unor rezultate utile in teoria algebrica a numerelor . In capitolulal III-lea sunt prezentate inelele de polinoame , modulde constructive al lor, polinoamele de o nedeterminata . IncapitolulIVsuntilustrateproprietatileradacinilorunipolinom,derivateunui polinom, teoria fundamental a algebrei si ecuatiile algebrice. Ultimulcapitolcuprindemetodelegatedepredareamatematiciiingeneralsia polinoamelor in particular . Mai intai sunt trecute in revista principiile didacticii adaptate Ci de eficientizare a predrii-nvrii polinoamelor la elevii din nvmntul preuniversitar 2 la matematica, apoi metodele. Se evidentiaza aplicatii metodice, parcurgandu-se cu ajutorulexemplelor , al problemelor, notiunile studiate anterior .Tipurile de exercitiisi metodele de rezolvarepropuseinacestalucrarevoradducecusigurantaoimbunatatirearezultatelorobtinutedeelevi.Problemelesuntdeosebitdeutiledinpunctdevederemetodologic, findcadeterminafolosireadestrategiivariatesirationamentefineprincerintedeordin calitativ.Eleaugradededificultatevariatasideschidnoiorizonturiinvedereainsusirii matematicii,inparticularainelelordepolinoame,ininvatamantulpreuniversitar. Paragraful VI.5 evidentiaza etapele in care au fost parcurse in cercetarea realizata . Lucrareaurmarestecaeleviisacapeteodeschiderecatmailargasprestudiul sistematicalpolinoamelorsiecuatiiloralgebriceiarprinaceastasaleinlesneascatrecera catre studiul unei problematici de nivel mai inalt.

Ci de eficientizare a predrii-nvrii polinoamelor la elevii din nvmntul preuniversitar 3 CAPITOLULI INELE I.1 INEL.NOTIUNI INTRODUCTIVE MultimeaZanumerelorintregiinzestratacuoperatiiledeadunaresiinmultirea servitcabazaaaritmeticiisialgebreiincare,prinpreluareadiferitelorproprietatial acestei multimi, s-au construit noi structuri. Definitia I.1.1 Fie M o multime nevida. O aplicatie :MxMM, (x,y)xy se numeste lege de compozitie interna (pe scurt o lege de compozitie) pe multimea M. Definita I1.2 Fie o lege de compozitie pe multimea nevida M. Atunci: 1)Legea de compozitieeste asociativa daca (xy) z=x(yz), pentru oricare x, y, zM 2)Legea de compozitieeste comutativa daca xy=yx, pentru oricare x, yM 3)LegeadecompozitieadmiteelementneutrudacaexistaeMastfelincat xe=ex=x, pentru oricare xM 4)DacalegeadecompozitiepemultimeaMadmiteelementalneutrue,atunciun elementxMsenumestesimetrizabilinraportcu,dacaexistaM,astfelincat x*. Elementul se numeste simetricul elementului x. ObservatiaI.1.1Innotatieaditiva,elementulneutrusenoteazacu0sisemai numesteelementulnul.Innotatiemultiplicativa,elementulneutrusenoteazacu1sise mainumesteelementulunitate.Dacaolegedecompozitieadmiteunelementneutru, acesta este unic determinat. Daca o lege de compozitie este asociativa si cuelement, atunci simetricul unui element simetrizabil este unic. DefinitiaI.1.3FieMomultimepecareestedefiniteolegedecompozitie.O submultimeHincludeMsenumestepartestabilealuiMinraportcuoperatia,daca oricarex,yHrezultaxyH.DacaHesteopartestabilealuiM,restrictiaoperatieila multimea H se numeste lege de compozitie indusa depe H.

Definitia I.1.4 Fie M o multime, M diferit de sio lege de compozitie pe M. Atunci (M, ) se numeste semigrup daca legea de compozitie este asociativa. Daca in plus legea de compozitie este comutativa atunci (M, ) se numeste semigrup comutativ. Ci de eficientizare a predrii-nvrii polinoamelor la elevii din nvmntul preuniversitar 4 Definitia I.1.5 Fie M o multime, M diferit de sio lege de compozitie pe M. Atunci (M, ) se numeste monoid daca legea de compozitiesatisfice axiomele: 1)este asociativa; 2)admite element neutru;Daca legea de compozitiesatisfice si axioma: 3)legeaeste comutativa, atunci monoidul (M, ) se numeste monoid comutativ. Definitia I.1.6 Fie G o multime nevida sio lege de compozitie pe G. Atunci (G, ) se numeste grup daca sunt satisfacute axiomele : 1)este asociativa; 2)admite element neutru; 3)orice element din G este simetrizabil fata de operatia . Daca in plus este satisfacuta axioma: 4)este comutativa, spunem ca (G, ) este grup comutativ (sau grup abelian). DefinitiaI.1.7SenumesteinelomultimenevidaAinzestratacudoualegide compozitie notate de obicei aditiv si multiplicativ care satisfice urmatoarele conditii : +:AxAA, (x,y)x+y :AxAA, (x,y)xy 1. A are o structura de grup abelian in raport cu legea aditiva; 2. A are o structura de semigrup in raport cu legea multiplicativa; 3. Legea multiplicativa este distributiva in raport cu legea aditiva, adica x, y, zAx (y+z)=xy+xz; (x+y)z=xz+yz ObservatiaI.1.2ElementulneutrualgrupuluiabelianalunuiinelAsenoteazade obiceicu0sisenumesteelementalzeroalinelului;iaropusulfatadeadunarealunui elementoarecareaAsenoteazadeobiceicua.Dacainplusoperatiamultiplicativaare elementunitate,atunciinelulsenumesteinelunitar(sauinelcuunitate).Elementulsau unitate, atunci cand nu exista pericolul unei confuzii, se noteaza cu 1 si se numeste element unitate al inelului. DefinitiaI.1.8DacaAesteuninelunitar,atuncielementeleluiAcaresunt simetrizabile in raport cu operatia multiplicativa se numesc elemente inversbile sau unitati ale inelului A. Inversul (sau simetricul) lui a se noteaza cu

. MultimeaelementelorinversabilealeineluluiAsenoteazacuU(A).U(A)areo structura de grup in raport cu operatia multiplicative. Acest grup, (U(A), ) se numeste grup multiplicativalelementelorinversabilealeineluluiA.Elementulunitate1,arerolde element neutru pentru grupul (U(a), ). Ci de eficientizare a predrii-nvrii polinoamelor la elevii din nvmntul preuniversitar 5 Exemple: 1) (Z,+, ). Multimea numerelor intregi cu operatiile de adunare si inmultire obisnuite, este inel comutativ si unitar. 2)Totinelecomutativesiunitaresuntsi(Q,+, ),(R,+, ),(C,+, )inraportcuadunareasi inmultirea obisnuite. 3)DacanZ,atuncimultimeanZ={nk|kZ}esteinelcomutativfatadeadunareasi inmultirea obisnuita a numerelor intregi . 4)MultimeaZn={, , ,}aclaselorderesturimodulonN,n2,inraportcu adunarea si inmultirea claselor: + +, ,

, ,

formeaza un inel comutativ si unitar, numit inelul claselor de resturi modulo n. 5) Multimea Z[i]={xC|x=a+bi|a,bZ}, in raport cu operatiile de adunare si de inmultire a numerelor complexe formeaza un inel numit inelul intregilor lui Gauss. (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc) i, oricare a+bi, c+di Z[i],acestea fiind operatiile induse pe Z[i] de adunarea si inmultirea numerelor complexe. 6)Uninteresaparteprinaplicatiilepecarelaareindomeniultehniciiilprezintainelul (

, , )

Din axiomele inelului se pot deduce o serie de consecinte care de obicei sunt numite reguli de calcul intr-un inel. Propozitia I.1.1 Daca (A,+,) este un inel atunci: 1. a0=0a=0,aA; 2. (-a)(-b)=ab,a,b A; 3. a (b-c)=ab-ac si (a-b) c=ac-bc,a,b,c A; 4.a(

)=

,(

) b=

,undenN,iara,b,

,,

,

A.In particular: a (nb)=n (ab)=(na) b; 5. (

)(

)

,fi n, mN,

, ,

,

, ,

,6.DacaAesteinelcomutativiara,bsuntelementedinAsin, atunciarelocformula binomului lui Newton: (a+b)

Ci de eficientizare a predrii-nvrii polinoamelor la elevii din nvmntul preuniversitar 6 Demonstratie:Dinrelatia0+0=0obtinem,inmultindcualastanga,ca a(0+0)=aa0=a0siadunandinambiimembri(a0),obtinema0=0.Analog,se demonstreaza relatia 0a=0. 1.Din relatia b+(-b)=0 rezulta inmultind ca a la stanga: a (b+(-b))=a ab+a (-b)=a0, deci a (-b)=-(ab).Analog , se arata ca (-a) b=-(ab)a (-b)=(-a) b. Daca in relatia (-a) b=-(ab) inlocuind pe b cu b obtinem tinand seama de faptul ca(-a)=a, oricare ar fi aA:(-a)(-b)=-(a (-b))=-(-(ab))=ab. 2.Avem :a (b-c)=a (b+(-c))=ab+a (-c)=ab+(-(ac))=ab-ac. 3.Demonstram afirmatia prin inductie dupa nN. Pentru n=0: a0=0 adevarata conform cu 1. Presupunem propozitia din enunt adevarata pentru n si o vom demonstra pentru n+1. a(

)(

+

)=a

+

+

4.Vom demonstra prin inductie dupa mN. Pentru m=(

)

adevarata. Presupunem propozitia adevarata pentru m. Avem: (

)(

)(

)(

+

)

+

+

(

)

. 5.DacaAesteuninelcomutativ,vomdemonstraformulabinomuluiluiNewtonprin inductie. Pentru n(a+b)

+

adevarata. Presupunem relatia adevarata pentru k si o vom demonstra pentru k+1. Stim ca (a+b)

(a+b)

(

)( +)

+

+

()+

()

++

()

+

+

++

+(

+

)

+(

+

)

++(

+

)

++(

+

)

++

Deoarece:

+

,, obtinem (a+b)

+

+

+ +

++

+

Deci formula este adevarata pentru k+1. Propozitia I.1.2 Daca in inelul unitar A avem 1=0, atunci A este inelul nul. Demonstratie: Intr-adevar, pentru orice aA avem a=1a=0a=0 si deci a=0. Astfel conditia 1=0estenecesarasisuficientacauninelsafienul.DeciuninelAcucelputindoua elemente 10. Ci de eficientizare a predrii-nvrii polinoamelor la elevii din nvmntul preuniversitar 7 DefinitiaI.1.9Daca(A,+, )esteuninel,atuncielementalaAsenumestedivizorla stanga(ladreapta)alluizerodacaexistabA,b0astfelincatab=0(respectivba=0). Daca inelul A este comutativ, atunci notiunile de divizor la stanga (respectiv la dreapta) al lui zero coincid. DacaelementalaAnuestedivizorlastangasauladreaptaalluizerosib,cA, atunci din ab=ac rezulta b=c.(ab=aca(b-c)=0b-c=0b=c) DefinitiaI.1.10UninelAnenul,comutativ,unitarsifaradivizoriailuizero,diferiti de zero, se numeste domeniu de integritate(sau inel integru) Observatie I.1.3 Intr-un domeniu de intergitate, ambii membri ai unei egalitati pot fi simplificati prin acelasi element nenul. Exemple: 1)(Z,+, ), (Q,+, ), (R,+, ), (C,+, ) sunt inele integre; 2)Multimea(Z[i],+, )esteundomeniudeintegritate.Elementeleinversabilealeacestui inel sunt:+1,-1,+i,-i; 3)FiedouaineleA,Bincareoperatiilesuntnotatecu+si.ProdusulcartezianABse poate inzestra natural cu o structura de inel astfel: (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) (a,b)*(c,d)=(ac,bd),oricare ar fi aAsi bB. InelulobtinutsenumesteprodusuldirectalinelelorAsiB.Perechea(

,

)este elemental neutru in raport cu operatia de adunare in inelul AB. DacaaAsibBatuncielementeledeforma(a,

)si(

,b)suntdivizoriailuizeroin inelul AB. Intr-adevar(a,

) (

, )(

, )(,

)(

,

)(

,

) Conform definitieilegiimultiplicativesiaregulilordecalculintr-uninel,dacaAsiBsuntinele unitare, atunci, AB este un inel unitar, elementul sau unitate fiind (

,

) Daca AB sunt inele commutative, atunci si produsul direct AB este inel comutativ. Deoarece in inelul produs direct AB exista intotdeauna divizori ai lui zero (pentru A, B inele nenule) observamca produsul direct a doua inele integre nu este un inel integru. PropozitiaI.1.3DacainelulunitarAestediferitdeinelulnul,atuncioriceelementinversabil din A nu este divizor comun al lui zero. Demonstratie: Presupunem prin absurd ca aA este inversabil si ca este divizor al lui zero la stanga. Atunci exista bA, b0 astfel incat

contradictie. Ci de eficientizare a predrii-nvrii polinoamelor la elevii din nvmntul preuniversitar 8 I.2 MORFISME SI IZOMORFISME DE INELE Definitia I.2.1 Fiind date doua inele A si B (A,+, ),(B,,) , atunci o functie :AB se numestemorfism(sauomorfism)delainelulAlainelulBdacasatisficeurmatoarele identitati: 1)(a+b)=(a)(b) 2)(ab)=(a)(b), oricare ar fi a,bA Acoloundenuexistapericoluluneiconfuzii,operatiilemultiplicativesiaditivepe inelele A si B se pot nota la fel. DefinitiaI.2.2Unmorfismdeineleunitaref:ABcaresatisfaceconditiaf(

)

se numeste morfism unitar de inele. Obsevatia I.2.1 Daca A si B sunt inele unitare si f:AB este un morfism de inele, iar f este o functie surjectiva,atunci f este morfism surjectiv.Justificare: Fie A si B inele unitare si f:AB morfism surjectiv de inele. Atunci: oricare ar fi bB, exista aA astfel incat f(a)=b. Deoarecea1=1a=asifestemorfismdeinelerezultacaf(a)=f(a1)=f(a) f(1)=bf(1)=b, si f(a)=f(1a)=f(1) f(a)=f(1) b=b. Deci bf(1)=f(1) b=b. Din unicitatea elementului unitate intr-un inel rezulta ca f(1)=1. Observatia I.2.2 Daca A este un inel, atunci aplicatia identica a lui A, notate

: , este un morfism al inelului A. Observatia I.2.3 Daca f:AB si g:BC sunt morfisme de inele, atunci gf:AC este de asemenea un morfism de inele. Justificare:Intr-adevaroricarearfia,bAavem:(gf)(a+b)=g(f(a+b)) = g(f(a)+f(b)) =g(f(a)+g(f(b))=(gf)(a)+(gf)(b)si analog : (gf)(ab)=(gf)(a)(gf)(b). DefinitiaI.2.3Daca:ABesteunmorfismdeinele,atuncimultimea Ker={aA|(a)=0} se numeste nucleul morfismului . DefinitiaI.2.4Unmorfismdeinelesenumestemorfisminjectivdacafunctiacareil defineste este injectiva. ObservatiaI.2.4Unmorfismdeinele:ABsenumestemorfismsurjectivdaca functiaeste surjectiva. DefinitiaI.2.5Morfismuldeinele:ABsenumesteizomorfismdeineledacasi numai daca exista un morfism de inele :BA astfel incat

si =

. Ci de eficientizare a predrii-nvrii polinoamelor la elevii din nvmntul preuniversitar 9 ObservatiaI.2.5Unmorfismdeineleesteizomorfismdacasinumaidacaesteun morfism bijectiv de inele. JustificareIntr-adevar un izomorfism de inele :AB este bijectiv Fie :AB morfism bijectiv de ineleSa demonstram ca functia inversa

este de semenea un morfism deinele. Fie

,

.Atuncib

+b

(

(b

) +(

(b

) (

)(b

+b

) (

)((

(b

)) +((

(b

)) (

(b

+b

)(

(b

) +

(b

))

(b

+b

)

(b

) +

(b

) b

b

(

)(b

b

)(

(b

b

)) b

b

(

(b

)(

(b

))(

(b

)

(b

)) (

(b

b

)) (

(b

)

(b

)) Deoarecee bijectiva, deci si injectiva

(

)

(

)

(

) Definitia I.2.6 Un morfism de inele de la A la Ase numeste endomorfism al inelului A. Exemple: 1)Daca A si B sunt inele, atunci aplicatiile canonice:

: ,

()(, )

: ,

()(, )

: ,

(, )

: ,

(, ),, , sunt morfisme de inele. Aplcatiile

si

sunt morfisme surjective unitare daca inelele A si B sunt unitare , in timp ce

si

nu sunt morfisme unitarepentru A si B inele unitare nenule; ele sunt insa injective. 2)FieineleleunitareZsiQ.Functiai:ZQ,definiteprini(n)=n,esteunmorfism injectiv de inele. 3)Dacan>0esteunnumarnatural,atuncifunctiap:Z

definiteprinp(a)=, oricare ar fi aZ este un morfism surjectiv de inele. Intr-adevardaca a, bZ atunci : p(a+b)= + + () +() sip(ab)= ()(), iar din definitie rezulta ca p este un morfism surjectiv. I.3 SUBINEL DefinitiaI.3.1OsubmultimenevidaS,aineluluiAsenumestesubinelalineluluiA daca operatiile din A induc pe S o structura de inel. Ci de eficientizare a predrii-nvrii polinoamelor la elevii din nvmntul preuniversitar 10 PropozitiaI.3.1FieAuninelsiSAosubmultimenevidaasa.AtunciSesteun subinel al lui A daca si numai daca: 1)oricare ar fi x, ySx-yS 2)oricare ar fi x, ySxyS DacainelulAesteunitarsielementulunitateapartinesubineluluiS,spunemcaS estesubinel unitar. Demonstratie: Fie S A, S, S subinel(S,+) este subgrup al grupului (A,+), deci oricare ar fi x,ySx-yS. De asemenea S este o parte stabile a lui A in raport cu operatia multiplicativa. Deci oricare ar fi x, ySxyS. Din conditia )(S,+) este un subgrup al grupului (A,+), iar din conditia 2)S estepartestabilainraportcuoperatiamuliplicativadinA.Distributivitateaoperatiei multiplicativeinraportcuoperatiaaditivapentruelementeledinSrezultadinfaptulca aceasta proprietate o au toate elementele din A, deci in particular, si cele din S A. Exemple: 1) Daca A este un inel, atunci A si {0} sunt subinele ale sale. (0 este elementul nul al inelului A). Acestea se numesc subinele improprii ale inelului A. 2) Z Q R sunt subinele unul celuilalt, in ordinea incluziunilor. 3) Fie nZ. Atunci multimea nZ={nk|kZ} subinel al inelului Z. PropozitiaI.3.2Daca{

+

esteofamiliecelmultnumarabiladesubineleale inelului A, atunci este un subinel al lui A. Demonstratie: NotamS= , deoarece0S.Dacaa,bS,atuncia,b .Decioricare ar fi iI, a

si b

, iar

fiind subinele a-b

si ab

, oricare ar fi iIa-bS si abS, deci S este subinel al inelului A. Propozitia I.3.3 Fie f: A

un morfism de inele. Atunci : a)DacaSesteunsubinelalluiA,atuncif(S)estesubinelallui

.Inparticular, Imf=f(A) este subinel al inelului A. b)Daca

este un subinel al lui

, atunci

(

) este un subinel al lui A care include multimea Kerf={aA|f(a)=0}; c)Fie(A,Kerf)multimeasubinelelorluiAcareincludeKerfsi(

)multimeasubinelelor lui

Daca f este morfism surjectiv, atunci aplicatia F:(A,Kerf)(

) definita prin F(S)=f(S), S A este o bijectie care pastreaza incluziunea. Demonstratie: a)Daca

,

f(S),atunciexista

,

Sastfelincat

(

)si

(

);

(

) (

)si

=f(

)(

) DeoareceSestesubinelalluiA

si

. Deci

si

() este subinel al lui

Ci de eficientizare a predrii-nvrii polinoamelor la elevii din nvmntul preuniversitar 11 b)Fie

(

) decif(

), (

)

Deoarece

estesubinelallui

, f(

) (

)=f(

)

sif(

)(

)(

)

,adica

si

(

). Din b) deducem , in particular ca

() este subinel al lui A. c)SadefinimG:(

) (, ),punandG(

)

(

)Estesuficientsa demonstram egalitatile: FG=1() si GF=1(,). Fie

(

) ( G)(

)(

(

))

deoarece f este surjectiv. FieS(A,Kerf)(GF)(S)=

(()) Fiex

((S)).Rezultacaf(x)f(S)sideci exista zS astfel incat f(x)=f(z) sau f(x-z)=0 si x-z=aKerf S. Atuncix=a+zSsiamdemonstrateincluziunea

(())sifaptulca GF=1(,) I.4 CORPURI. SUBCORPURI. EXTINDERI DECORPURI. Definitia I.4.1 Un inel Aunitar care contine cel putin doua elemente se numeste corp daca orice element nenul din A este inversabil fata de operatia de inmultire dinA. Inaceastadefinitiecerintacainelulsafieunitar,adicainelulAsaaibaelement unitate fata deinmultire, este necesara pentru a exista elemente inversabile, iar cerinta ca inelulsacontinacelputindouaelementeesteechivalentacufaptulcaAestediferitde inelul nul sau 1 0. Prin urmare, se exclude, prin definitie, ca inelul nul, adica format dintr-unsingurelement(=elementalnul)safiecorp.Acestfaptesteoconventiegeneral acceptata.DinpropozitiaI.1.3stimcainoriceinelnenulundivizoralluizeronueste inversabil. De aici rezulte ca un corp nu are divizori ai lui zero diferiti de zero. Elementelenenuledintr-uncorpformeazagrupfatadeoperatiadeinmultire,cum de altfel formeaza grup elementele inversabile din orice inel. Un corp se numeste corp comutativ daca inmultirea este operatie comutativa.

Exemple:Multimea numerelor rationale Q, multime numerelor reale R si multimea numerelor complexeCcuoperatiileobisnuitedeadunaresiinmultireformeazacorpuri.Pentrup numar intreg prim inelul

al claselor de resturi modulo p este corp. Pentru d intreg liber depatrate,Q[-* +, +formeazacorpdenumerepatratice.Toate exemplele de corpuri de mai sus sunt grupuri comutative. Deoareceoricecorpesteinel,toateproprietatileinelelorramanvalabileincazul corpurilor. Ci de eficientizare a predrii-nvrii polinoamelor la elevii din nvmntul preuniversitar 12 Definitia I.4.2 Se numeste subcorp k al unui corp K, o submultime a lui K, notata kK,cecontinecelputindouaelementesiareproprietateacaoperatiiledeadunaresi inmultiredinKinducpesubmultimeakostructuradecorp.Aceastainseamnaca submultime k in raport cu adunarea este subgrup al grupului (K,+) ceea ce este echivalent cu: a)oricare ar fi x, yk x-yk, apoi ca elementele din k\{0} ( observam ca deoarece k este subgrup al grupului aditiv al lui K, rezulta ca 0k) formeaza subgrup al grupului elementelor nenule din K, ceea ce revine la: b)oricare ar fi x, yk, x x

Prinurmare,putemspunecaunsubcorpalcorpuluiKesteosubmultimekcare contine cel putin doua elemente si care verifica conditiile a)si b) de mai sus. Mai observam ca in conditia b) se poate omite cererea ca x , deoarece pentru x se obtine x

k. Dindefinitiasubcorpuluirezultacaoricesubcorpcontineelementulnulsi elementul unitate al corpului . Exemple:FieKuncorp.AtunciKesteevidentunsubcorpalluiK.Incorpulnumerelor complexe C, corpul numerelor reale R si corpul numerelor rationale Q sunt subcorpuri . De asemenea Q este subcorp al lui R; Q(i) este subcorp al luixC.

si Q nu au alte subcorpuri in afara de ele insele. Observatia I.4.1 Sa observam ca daca submultimea kK este subcorp al corpului K si la randul sau, K este subcorp al corpului L, atunci rezulta ca submultimea k este subcorp al corpului L. Prin urmare subcorpurile poseda o proprietate de tranzitivitate. Definitia I.4.3 O intersectie de subcorpuri ale unui corp este un subcorp. Demonstratie :Fie K un corp si

, iI o multime arbitrara de subcorpuri ale lui K. Atunci k= contine cel putin elementele 0 si 1 din K. Sa verificam conditiile a) si b) pentru k. Fie x, yk. Atuncirezultacax,y

,oricarearfiiI.Decix-y

sidacay,x

,oricarearfi iI,deoarece

estesubcorpalluiK.Deaicideducecax-y ksidacay, x

Definitia I.4.4 Fie k K o extindere de corpuri si M o submultime a lui K. Intersectia subcorpurilorluiKcecontinsubcorpulksisubmultimeaMsenoteazacuk(M)siesteun subcorp al lui K, conform propozitiei precedente . Corpul k(M) se numeste subcorpul lui K generat de M peste subcorpul k. Exemple:Daca consideram extinderea decorpuri Q C si subcorpul lui C generat de iC peste QseobtinecorpulQ(i)careaesteformatdintoateelementeledeformax=a+bi,a,bQ. Intr-adevar,elementeledeformaindicateformeazaunsubcorpalluiC.Pedealtaparte, Ci de eficientizare a predrii-nvrii polinoamelor la elevii din nvmntul preuniversitar 13 orice subcorp al lui C care contine pe i si pe Q contine toate elementele de forma a+bi cu a, bQ.Inmodanalgsubcorpul RgeneratpesteQ de2senoteazacuQ(2)siesteformat de elementele de forma a+b2, a,bQ. Observam ca si subcorpul generat de 2 peste Q in C coincide tot cu Q(2). Acest fapt exprima o anumita independentaa corpuluik(M) fata de corpul K. DefinitiaI.4.5Uncorpcarenuarealtesubcorpuriinafaradealinsusisenumeste corp prim. Exemple :

, p prim si Q sunt corpuri prime . Observatia I.4.2 Orice corp prim este izomorf sau cu corpul Q al numerelor rationale sau cu un anumit corp

, p prim. DefinitiaI.4.6UncorpcomutativKcecontineunsubcorpprimizomorfcuQse spunecaestecorpdecaracteristicazerosiscriemcarK=0.DacasubcorpulprimalluiK este izomorf cu

, p prim , atunci corpul K este de caracteristica p si scriem carK=p. Exemple1) Corpurile Q, R au caracteristica zero. 2) Daca p este un numar prim ,

si orice alta extindere a sa au caracteristica p.

Ci de eficientizare a predrii-nvrii polinoamelor la elevii din nvmntul preuniversitar 14 CAPITOLUL II INELE INTEGRE.PROPRIETATI ARITMETICE II.1 DIVIZIBILITATEA IN INELE INTEGRE Teoriadivizibilitatiiintr-uninelintegruconstituieogeneralizarenaturalaateoriei divizibilitatiidininelulZalnumerelorintregi.Dinpunctuldevederealdivizibilitatiivom vedeacainelulZseincadreazaintr-oclasaspecialadeineleintegre,sianumeinclasa inelelorintegreincaresepoateefectuaoimpartirecurest.Acesteinelesenumescinele euclidiene. InceeaceurmeazavomnotacuAuninelcomutativcareestedomeniude integritate. Cu U(A) notam multimea elementelor inversabile din A, iar cu A*=A/{0}. Definitia II.1.1 Fie A un inel integruRelatia binara definite in A astfel: x|y zA astfel incat y=xz, se numeste relatia de divizibilitate in A. Daca x|y se spune ca x divide pe y sau ca y este un multiplu de x. Definitia II.1.2 Relatia binara ~ este definite in A astfel: x~yx|y si y|x se numeste relatia de asociere in divizibilitate, iar daca x~y spunem ca x si y sunt asociate. Teorema II.1.1 : 1)Relatia de divizibilitate este o relatie de preordine, adica este reflexive (a|a, oricare ar fi aA) si tranzitiva ( oricare ar fi a,b,c astfel incat a|b si b|c atunci a|c); 2)

,

,

,

Adaca

atunci

sidaca

atunci

(

+

),

,

,

,

A; 3) x,

,

A daca x|

+

si x|

atunci x|

Demonstratie: 1)Fie aA oarecare . Deoarece a=1aaareflexivitatea relatiei de divizibilitate Fie a, b, cAoarecare.Dacaa|bsib|catunciexistau,vAastfelincatb=uasi cvbcv(ua)=(vu) aa|c. Deci din relatia de divizibilitate este tranzitiva. 2)Daca

atunciexistau,vAastfelincat

.Princalcul obtinem:

(

)(

)()(

)

Daca

atunci existau,wAastfelincat

.Seobtine

+

+

( +)

(

+

) 3)Dacax|(

+

)

atunciexistap,qAastfelincat

+

,

Dar

+

( )

Ci de eficientizare a predrii-nvrii polinoamelor la elevii din nvmntul preuniversitar 15 Teorema II.1.2 1)Relatia de asociere ~ este o relatie de echivalenta 2)Daca xA si ~ este clasa de echivalenta a lui x in raport cu ~ atunci: x*xuAu inversabil in A+,adicadouaelementesuntassociatedacasinumai daca ele difera printr-un factor inversabil. 3)Un element uA este u~1 uU(A) adica * +. Demonstratie :1)Din definitia relatiei ~ si din faptul ca relatia de divizibilitate este o preordine, avemca~esteorelatiedepreordineDinfaptulcaestereflexiveavem xxx~xApoidinx~ysiy~zavemx|y,y|x,y|z,z|y,adica{, , ~~este tranzitiva. Sa arata ca relatia~ este simetrica: ~ ~ 2)Vom demonstra ca ={xuA|u este inversabil in A} prin dubla incluziune. Avemxxu,iardacauesteinversabil,atuncix

(ux),adicaxuxx~xxu,adica xu . Daca xatunci x~y, adica xy si yxexista u,vA astfel incat yux si xvyy(uv)y , deunde,dacayurmeazauv,deciyestedeformay=xucuuinversabil.Dacay=0, atunci x=0 si 0 este singurul element din clasa . 3)FieuA,u~1,atunciu|1sideciexistabAastfelincat1=ub,deciuU(A),deci

={uA/ u inversabil}.(inlocuim x=1 in definitia ). Observatia II.1.1 a)CorpurilecommutativecoincidcuineleleintegreAcareaunumaidouaclasede elemente asociate si anume ={0} si *; b) Relatiadedivizibilitatenueste,ingeneral,orelatiedeordine.DeexempluinZ relatia de divizibilitate nu este asimetrica , deoarece n divide pe n si n divide pe n, dar n-n, pentru n c)Relatiadedivizibilitateesteorelatiedeordinedacasinumaidacarelatiade asociere coincide cu relatia de egalitate. Singurul inel integru in care aceasta are loc este

DefinitiaII.1.3PentruoricexA,elementeleinversabilesielementeleasociatecux sunt divizori ai lui x. Un divizor al lui x diferit de acestia se numeste divizor propriu al lui x. DefinitiaII.1.4UnelementpA*neinversabilsenumesteireductibildacapnuare divizoriproprii.Incazcontrarpestereductibil.Dacapesteireductibil,atunciorice element din A asociat cu p este ireductibil. Observatia II.1.2Fie pA* neinversabil. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente: Ci de eficientizare a predrii-nvrii polinoamelor la elevii din nvmntul preuniversitar 16 (a) P este reductibil; (b) Dinp=xyrezultacaunuldinelementelex,yesteinversabil,iarcelalaltesteasociat cu p. Definitia II.1.5 Un element pA* neinversabil se numeste prim daca pxypy Observatia II.1.3 a)Daca p este prim , atunci orice element asociat cu p este prim. b)Dacapesteprimsipdivideprodusul

,

, ,2, , atuncipdivide cel putin unul din factorii

. Teorema II.1.3 Orice element prim este ireductibil. Demonstratie:Daca p este prim si p=xy atunci p|xy si x|p, y|p. Din p|xy si p prim rezulta p|x sau p|y. Daca p|xsiavandsix|prezultacax~p.DeciexistauU(A)astefelincatx=pup=xy=puy rezulta 1=uy, adica u este inversul lui y, deci y este inversabil. Rezulta ca p este ireductibil. Exemple: Fie Z[i] inelul intregilor lui Gauss. Consideram aplicatia :Z,i-N,(x+iy)=

+

are urmatoarele proprietati: i) este surjectiva; ii) (zz)(z)(z) oricare ar fi z si z Z[i]; iii) (1)=1 iv) z, este inversabil in Z,i-(z)=1 In Z[i], 3 este ireductibil. Presupunemprinabsurdca3arfireductibilrezultacaexista

,

,- neinversabilastfelca3=

.Aplicandfunctiaavem(3)= (

)(

) (

) 9(

)(

), (

)(

) pentruca

,

neinversabile,deci (

)(

). Daca

+

(

)

+

.Nu exista numere intregi care sa verifice aceasta egalitate. Deci 3 este ireductibil in Z[i]. In Z[i], 2 si 5 sunt reductibile , dar nu sunt prime. Intr-adevar2=(1+i)(1-i),(1-i)= (1-i)=2rezulta1+isi1-inusunt elemente inversabile. Deci 2 este reductibil in Z[i]. Daca 2 ar fi prim , din 2|(i+1) sau2|(1-i), adica 1+i=2(a+ib)rezulta 1=2a, aZ, nu exista. Deci 2 nu este prim in Z[i]. Daca5 ar fi prim , cum 5|(2+i)(2-i) sau 5|(2-i), adica 2+i=5a+5ib rezulta 5a=2, aZ nu exista. Deci 5 nu este prim in Z[i]. Definitia II.1.6 Fie

si dA.Vom spune ca d este un cel mai mare divisor comun (c.m.m.d.c) al elementelor

,

, ,

daca verifica conditiile: i)d|

, *, +adica d este un divizor comun al elementelor

,

, ,

Ci de eficientizare a predrii-nvrii polinoamelor la elevii din nvmntul preuniversitar 17 ii) daca d

, *, + atunci dd adica d se divide prin orice alt divizor comun al elementelor

,i{1,,n}. ObservatiaII.1.4Dacadestecelmaimaredivizorcomunelementelor

,

, ,

atunci un alt element

A este cel mai mare divizor comun al acelorasi elemente daca si numaidacadsi

suntasociate.Deci,dacacelmaimaredivizorcomunexista,este determinat pana la o asociere. DefinitiaII.1.7Dacacelmaimaredivizorcomunalelementelor

,

, ,

este1 spunem ca elementele

,

, ,

sunt relativ prime. Observatia II.1.5 1)Daca

atunci (

,

)=

si reciproc daca (

,

)=

atunci

2)Daca orice doua elemente din A au cel mai mare divizor comun , atunci orice sistem finit de elemente din A au cel mai mare divizor comun. 3)DacainAoricaredouaelementeauunc.m.m.d.catuncipentruorice

,

,

exista relatia :(

, (

,

))((

,

),

)(

,

,

) TeoremaII.1.3DacainAoricaredouaelementeauc.m.m.d.catuncipentruoricare

,

,

avem: (1) (

,

)(

,

)

(2) Daca (

,

)(

,

) atunci (

,

) Demonstratie: Relatia(1)esteevidentapentru

.Demonstramcaesteadevaratasipentru

(

,

)

(

,

)

(

,

)

(

,

)

Deci (

,

)

(

,

) exista yA astfel incat ((

,

)(

)

TotodataexistayAastfelincat

(

,

)

(

)

deundedupa simplificarecu

seobtine:

(

,

).Analogseobtine

(

,

).Deci (

,

) este un divizor comun al lui

de unde (

,

)y divide pe (

,

). Rezulta ca y esteinversabilinA,adica(

,

)si(

,

)suntasociate.Amaratatca(

,

) (

,

)

(2) Observam ca din

(

,

)

(

) (

,

)

Deci(

,

)((

,

),

)(

(

,

))(

(

,

)

)(

), ceea ce demonstreaza (2). Corolar II.1.1 Daca in A , oricare doua elemente au un c.m.m.d.c si daca d=(

,

) si

si

atunci (

,

) Ci de eficientizare a predrii-nvrii polinoamelor la elevii din nvmntul preuniversitar 18 Demonstratie:d=(

)(

,

)(

,

) (

,

) Definitia II.1.8 Doua elemente

,

se numesc prime intre ele daca (

,

) Definitia II.1.9 Fie

,

, ,

si mA.Vom spune ca m este cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c) al elementelor

daca verifica conditiile: i)

, *, +, adica m este un multiplu al elementelor

ii)Daca

, *, +,mA,atuncimm,adicaoricealtmultiplucomunal elementelor

,

, ,

este un multiplu al lui m. Observatia II.1.61)Dacamestecelmaimicmultiplucomunalelementelor

,

, ,

atunciunalt element

estecelmaimicmultiplucomunalacelorasielementedacasi numai dacam si

sunt asociate. 2)Daca exista un cel mai mic multiplu comun m al elementelor

,

, ,

atunci unul dintre elementele asociatecu m va fi [

,

, ,

] 3)DacainAoricaredouaelementeauc.m.m.m.c atuncioricesistemfinitdeelemente din A au un c.m.m.m.c TeoremaII.1.4DacainAoricaredouaelementeauunc.m.m.m.c,atunciexistaun c.m.m.m.caloricaruidouaelementesiinplus,

(

,

),

,

-,oricarearfi

Demonstratie: Fied=(

)si

,

Avem

,adicam=

este un multiplu comun al elementelor

DacamAesteunaltmultiplu comunalelementelor

,adicam

,atunci m

dx

usim

dx

vDeci m

x

mvsi m

x

muadica m este un divizor comun al elementelor m

x

si m

x

prin urmare , m divide si pe (m

,m

)m(

,

),adicammRezultam=[

-.Dinm=

. TeoremaII.1.5DacapentruoriceperechedeelementedinAexistacelmaimare divisor comun , atunci in A orice element ireductibil este prim. Demonstratie:Fie pA un element ireductibil si

,

.Daca p|

si p nu divide pe

,atunci(

, )si(

, )=p.Deci(

, )(

(

, ), ).(

,

), / (

, (

, ))(

, ), de unde rezulta ca p|

.Prin urmare , p este prim. Teorema II.1.6 Daca in inelul A orice pereche de elemente are un c.m.m.d.c si a,b,cA astfel incat a|bc iar (a,b)=1, atunci a|c. Ci de eficientizare a predrii-nvrii polinoamelor la elevii din nvmntul preuniversitar 19 Demonstratie:Din (a,b)=1 rezulta (ac,bc)=c si cum a|ac iar a|bc se obtine a|c. II.2 INELE FACTORIALE Definitia II.1.2 Fie aA*,

, *, +

, *, + si(1) a=

(2) a=

douadescompunerialeluiainfactori.Descompunerile(1)si(2)senumescasociate dacan=ksidaca,dupaoeventualarenumerotareafactorilordin(2),avem

~

, pentru i{1,, n}. Exemplu:Daca1=

,atuncidescompunerea(1)esteasociatacu descompunereaa =(

) (

). Definitia II.2.2Un inel integru A se numeste inel factorial (domeniu factorial) sau cu descompunere unica in factori primi ( ireductibili), daca oricare ar fi aA* neinversabil sedescompuneintr-unprodusfinitdeelementeireductibiledinAsioricedoua descompunerialeluiainprodusefinitedeelementeireductibilesuntassociate,adica elementul a are o descompunere unica in produs de elemente ireductibile. Exemplu:Inelele Z si Z[i] sunt factoriale. Teorema II.2.1 Daca A este un inel factorial , atunci : 1)IninelulAnuexistasirurideelemente

,

, ,

astfelincat

,

si nu divide

pentru price iN. 2)Orice pereche de elemente din A are un cel mai mare divizor comun. Demonstratie : 1)VomnumilungimeaunuielementaA*siovomnotacul(a),numarulfactorilor dintr-odescompunerealuiainprodusdefactoriireductibilidacaaeste neinversabil si 0 daca a este inversabil. Daca a=

atunci l(a)=l(

) +(

). Daca arexistaunsircuproprietatiledin1)atunciarrezultasiruldenumerenatural l(

)(

) ceea ce nu este posibil. 2)Fie

A.Daca

,(

,

)

.Presupunemca

,

*.Fie

,

, ,

elementeireductibiledinAastfelcafiecaredivizorireductibilallui

sa fie asociat cu unul sinumai unul dintre aceste elemente. Deci:

si

undeusiusuntelementeireversabiledinA si

0,

0, i * +. Orice divizorx al lui

se poate scrie sub forma xu

, unde u este inversabil si 0siki,i*n+ si o afirmatie analoga are loc pentru divizorii lui

Ci de eficientizare a predrii-nvrii polinoamelor la elevii din nvmntul preuniversitar 20 ObservatiaII.2.1UninelintegruAestefactorialdacasinumaidacaoricarearfi aA*, neinversabil, este produs finit de factori primi. II.3 INELE EUCLIDIENE Definitia II.3.1Se numeste inel euclidian o perecheformata dintr-un inel integru A siofunctie:A*N,careverificaconditiapentruoricarearfiaAsioricarearfibA, existaq,rAastfelincatabq+rundersau(r)