4 Stati di deformazione e tensioni nelle travi prismaticheCorso di Scienza delle Costruzioni dott. ing. Pasquale Lucia Trazione e compressione;Flessione;Torsione e taglio;Esempi di calcolo.Le tensioni interne in un tratto di trave sufficientemente lontano da sezionicaricate o vincolate non mutano se alle forze esterne reali si sostituisce unsistema equivalente con uguale risultante e momento risultante del sistemareale.Principio di De Saint-Venant2/50 a.a. 2010-11 STATI DI DEFORMAZIONEE TENSIONI NELLE TRAVI PRISMATICHECorso di Scienza delle Costruzioni dott. ing. Pasquale LuciaLasollecitazioneinunasezioneSdi unatravesi riduceal solosforzoassialedi trazioneocompressione, quando la retta di azione della risultante delle forze esterne agenti sul troncocompreso fra una delle due estremit e la sezione S coincide, se la trave ad asse rettilineo,con lasse geometrico (baricentrico), oppure tangente alla linea dasse in corrispondenza delbaricentro se la linea dasse curvilinea.Si considera un esperimento ideale di trazione: siassume che il regime deformativo nella barra sia ovunqueuniforme.E evidente che a parit di forza, barredi dimensionidiverse subiranno allungamenti l diversi, chediminuiranno allaumentare di A0 e invece cresceranno conlaumentare della lunghezza l0 del provino.l l l A = 0Sono significativi i valori delle deformazioni:l llc =00td ddc =00def. longitudinali def. trasversali e della tensione:FAo =0tensione normale.E o = ctc = v cLegame elastico:Legge di Hooke (1635-1703)Evmodulo di Youngcoefficiente di Poisson3/50 a.a. 2010-11 STATI DI DEFORMAZIONEE TENSIONI NELLE TRAVI PRISMATICHECorso di Scienza delle Costruzioni dott. ing. Pasquale LuciaTrazione e compressioneSi considera unasta omogenea di lunghezza l, sottopostaad un carico assiale centrato F. Lasta quindi soggetta asola azione assiale N = P.Gli sforzi nella barra sono uniformi e pari a:N ll e lE AA = = c =NAo =Tramite la legge di Hooke possibile calcolare le deformazioni (pure uniformi):NE EAoc = =Lallungamento della barra l (= e) vale:Oss: la relazione precedente valida se lasta presenta sezione A costante e se lazione assiale N pure costante lungo tutta lasta,altrimenti, per calcolare lallungamento complessivo, necessario suddividere lasta in conci e sommare i diversi contributi.4/50 a.a. 2010-11 STATI DI DEFORMAZIONEE TENSIONI NELLE TRAVI PRISMATICHECorso di Scienza delle Costruzioni dott. ing. Pasquale LuciaTrazione e compressioneRisposta elastica di unasta sollecitata assialmenteAllungamento totale e: Esempio:1 1 2 2 2 31 2 31 1 2N l N l N le e e eEA EA EA = + + = + + EMPa = 2060003 3 33 3 3500 10 200 300 10 200 300 10 400e 4.21 mm206 10 600 206 10 600 206 10 200 | |= + + = | \ .5/50 a.a. 2010-11 STATI DI DEFORMAZIONEE TENSIONI NELLE TRAVI PRISMATICHECorso di Scienza delle Costruzioni dott. ing. Pasquale LuciaTrazione e compressioneSi suppongadi riscaldareuna barraappoggiatasenzaattritosudi unpiano. Selincrementodellatemperatura pari a T si osserva che la barra si allunga di una quantit et proporzionale alla lunghezzadellabarraeallincrementodi temperaturatramiteunparametrodel materialeadettocoefficientedidilatazione termica:te T l = o A Oss: il coefficiente di dilatazione termica ha le dimensioni dellinverso della temperatura.Si definisce una deformazione di tipo termico:tT c = o ATale deformazione si va a sommare alla deformazione elastica per formare la deformazione totale dellabarra:e tTEoc = c +c = +o AAnalogamente gli allungamenti complessivi valgono:e tN le e e T lE A= + = +o A Oss: sono gli allungamenti totali (e non quelli elastici) a dover rispettare la congruenza con i vincoli esterni.6/50 a.a. 2010-11 STATI DI DEFORMAZIONEE TENSIONI NELLE TRAVI PRISMATICHECorso di Scienza delle Costruzioni dott. ing. Pasquale LuciaTrazione e compressioneDeformazioni termichePer il calcolo delle azioni interne e delle reazioni vincolari di strutture iperstatiche reticolari necessariotener conto contemporaneamente di: equazioni di equilibrio che legano tra loro grandezze statiche (forze Fi e azioni assiali Nj); equazioni di congruenza che legano gli allungamenti totali delle aste ej= eje + ejtagli spostamenti dei nodiui compatibili con i vincoli; legame costitutivo che lega grandezze statiche (azioni assiali Nj) a grandezze cinematiche (allungamentielastici delle aste ej) e che nel caso semplice di barre elastiche tese o compresse si esprime come:j j j j e ej j jj j jN l E Ae ;N eE A l = =Esempio:Trave una volta iperstatica: A BH H F + + = 07/50 a.a. 2010-11 STATI DI DEFORMAZIONEE TENSIONI NELLE TRAVI PRISMATICHECorso di Scienza delle Costruzioni dott. ing. Pasquale LuciaTrazione e compressioneCalcolo di strutture iperstatiche reticolariLequilibrio possibile per qualunque valore di HA ed HB=-F-HA, ma vi un solo valore che comporti allungamentoglobale nullo (rispetto della congruenza).= = = = + a b A Ba bN N H He a a;e b bE A E A E A E APer imporre la condizione di congruenza occorre esprimere lallungamento in funzione delle azioni interne:Condizione di congruenza:0 + = + = A Ba bH He e a bE A E AHAHB00+ + = + = A BA BH H FH Ha b E A E ASoluzione:l a b =+A Ba bb aH F ; H F l lF ab F ab e ; e EA l EA l= = = = ( )( ) ( )abbu x x F x perx aEAlau x u(a) x a F (l x)per a x lEAl= c = s s= + c = s s08/50 a.a. 2010-11 STATI DI DEFORMAZIONEE TENSIONI NELLE TRAVI PRISMATICHECorso di Scienza delle Costruzioni dott. ing. Pasquale LuciaTrazione e compressionec m mm c m cm c c E

E E Eo oc = c = o= oEsempio:F=40MNl=15mSi suppone la perfetta aderenza tra i due materiali:Condizione di equilibrio:m m c cA A F o +o =Soluzione:mc m c c cmcm ccE FA A FEEA AEo + o = o =+c mMN=11.55MPa;. MPa . MPa (compressione). m . mo = o= =| |+ |\ .2 240 1111 55 42 3511 30 636 1 1313Accorciamento del piastro:c11.55h h 15m=1.16m15000A = c = 9/50 a.a. 2010-11 STATI DI DEFORMAZIONEE TENSIONI NELLE TRAVI PRISMATICHECorso di Scienza delle Costruzioni dott. ing. Pasquale LuciaTrazione e compressioneBarre in paralleloEsempio:6 1 6 1200 10511 7 10 20 9 10a oa oE GPa;E GPa. ( C );. ( C ) = =o = o = DT=120C6 36 311 7 10 120 1 404 1020 9 10 120 2 508 10ta atO OT . .T . . c = o A = = c= o A = = a oX X;X X; = = t e t ea a o oe e e e ; + = + = = e ea oa a o oX L X Le ; eE A E A34 87 = X . KN10/50 a.a. 2010-11 STATI DI DEFORMAZIONEE TENSIONI NELLE TRAVI PRISMATICHECorso di Scienza delle Costruzioni dott. ing. Pasquale LuciaTrazione e compressioneLa sollecitazione in una sezione S di una trave si riduce al solo momento flettente M, quandole forze esterne che precedono (o che seguono) la sezione equivalgono ad una coppia agentesu un piano normale a quello della sezioneFlessione rettaSi consideri una trave rettilinea di sezione costante priva di vincoli e soggetta a due coppie ugualie contrarie di valore M agenti agli estremi. Le due coppie agiscono su di un piano, detto piano disollecitazione, la cui traccia sulla sezione un asse di simmetria per la sezione stessa (asse s).La trave si inflette e, dato il momentocostante, ogni tronco di trave sideforma della stessa misura. Le fibrelongitudinali si incurvano,evidenziando allungamenti nellefibre inferiori e accorciamenti inquelle inferiori. Alcune fibreintermedie mantengono inalterata laloro lunghezza.11/50 a.a. 2010-11 STATI DI DEFORMAZIONEE TENSIONI NELLE TRAVI PRISMATICHECorso di Scienza delle Costruzioni dott. ing. Pasquale LuciaFlessioneIpotesi fondamentali: a)nel processodeformativo,lesezioni rettedellatravesi mantengonopianeeortogonali allefibre longitudinali deformate (ipotesi di Bernoulli);b) ogni fibra longitudinale, di area dA, si comporta come un elemento in regime uni assiale, teso ocompresso dalla forza infinitesima xdA (ovvero si suppone che la contrazione trasversale di ognifibra non sia contrastata dalla fibre adiacenti). per lipotesi a) e stante la simmetria della sezione rispetto ad s le fibre che non si deformanostanno su una retta ortogonale ad s denominata asse neutro nz1z212/50 a.a. 2010-11 STATI DI DEFORMAZIONEE TENSIONI NELLE TRAVI PRISMATICHECorso di Scienza delle Costruzioni dott. ing. Pasquale LuciaFlessione rettaper lipotesi a) le deformazioni normali x di ogni fibra longitudinale variano linearmente con ladistanza z dallasse neutro:( ) c = xz k zper lipotesi b) la tensione normale x vale: ( ) ( ) ( ) o = c = = x xz E z k E z K zLeforzainfinitesimexdAdevonodarluogo, comerisultante, soloaunmomentoMrispettoallasse neutro n=y:( ) =o =}0xAN z dA( ) =o =}y xAM z zdA M( ) = o =}0z xAM z ydAverificata per la simmetria rispetto allasse z1)2)3)13/50 a.a. 2010-11 STATI DI DEFORMAZIONEE TENSIONI NELLE TRAVI PRISMATICHECorso di Scienza delle Costruzioni dott. ing. Pasquale LuciaFlessione retta=}0AK zdA=}2AK z dA M1) 2) lasse neutro baricentricocalcolo della costante K( ) =o =}y xAM z zdA M=yMKI =yMkEIrigidezza flessionale( ) o = xyMz zI( ) c = xyMz zEIformula di NavierPer effettodellacontrazionetrasversale, lasezionesi deformaanchenel suopiano: invirtdellipotesi b) le deformazioni trasversali lungo gli assi y e z valgono:c = c = vcy z xo = x,max maxyMzI=1 2 maxz max( z ; z )o =x,maxyMWdove rappresentail modulodiresistenzaelasticodellasezione(rispettolassey).=y y maxW I z14/50 a.a. 2010-11 STATI DI DEFORMAZIONEE TENSIONI NELLE TRAVI PRISMATICHECorso di Scienza delle Costruzioni dott. ing. Pasquale LuciaFlessione rettaRelazioni globali deformazione della traveLegame M- momento-rotazione (angolo di flessione)c = =xydx Md dxz EIu = =}l yMd lEI(con l intera lunghezza dellelemento soggetto a momento costante) = ~ 1 d dd dx =yd Mdx EIDetta lascissa curvilineadellasse deformatoIl suo raggio di curvatura vale= uyEIMl= ~ dx d cos dIpotesi di piccoli spostamenti:15/50 a.a. 2010-11 STATI DI DEFORMAZIONEE TENSIONI NELLE TRAVI PRISMATICHECorso di Scienza delle Costruzioni dott. ing. Pasquale LuciaFlessione rettaSi introduce la curvatura flessionale definita come linverso del raggio di curvatura:_ =1= _y yM EIOss: nel casoinesame(traveasezionecostantesollecitatadaunmomentocostante) lerelazioniintrodotte stabiliscono che lasse della trave si inflette trasformandosi in una curva a raggio di curvaturacostante ovvero in una circonferenza. possibile calcolare la freccia,massima inflessione con sempliciconsiderazioni geometriche:( )| | = + |\ .2222lf + =222 04lf f16/50 a.a. 2010-11 STATI DI DEFORMAZIONEE TENSIONI NELLE TRAVI PRISMATICHECorso di Scienza delle Costruzioni dott. ing. Pasquale LuciaFlessione rettaNel caso di momento variabile a rigore necessario considerare il contributo del taglio. Dal punto divista dello sforzo le azioni taglianti danno luogo a sollecitazioni di natura diversa (sforzi tangenziali) epertantononvannoconsiderati nel calcolodelletensioni normali legateallaflessione. E possibileancora applicare la formula di Navier considerando la variazione del momento lungo lasse x.Dal punto di vista deformativo opportuno rilevare come gli spostamenti dipendano anche dal taglioe che tale contributo pu essere trascurato solo nel caso di travi snelle. In tal caso di pu scrivere:( )( )o = xyM xx, z zI( )( )_ =yM xxEI17/50 a.a. 2010-11 STATI DI DEFORMAZIONEE TENSIONI NELLE TRAVI PRISMATICHECorso di Scienza delle Costruzioni dott. ing. Pasquale LuciaFlessione rettaTravi soggette a momento variabileSi consideri untrattodi traveindeformataeadeformazioneavvenutaesiaw(x) labbassamento(spostamento trasversale) dei punti dellasse geometrico e (x) la rotazione della sezione( )_ =dxdx ~ = dwtandx = 22d d wdx dx( ) _ = 22d wxdx( ) = 22yM xd wEI dxE statocos definitounlegamedifferenzialetrail momentoflettenteelospostamentodellassegeometrico della trave. Esso consente il calcolo dello spostamento trasversale in ogni punto della travestessa, da cui si pu risalire al valore della rotazione della sezione. Tale relazione alla base del metododella linea elastica che consente il calcolo di travi iperstatiche.(1)18/50 a.a. 2010-11 STATI DI DEFORMAZIONEE TENSIONI NELLE TRAVI PRISMATICHECorso di Scienza delle Costruzioni dott. ing. Pasquale LuciaFlessione rettaIl segnochecomparenellarelazione differenziale (1) dovuto alle convenzioniassunte nei calcoli. Il termine asinistra della relazione positivo: rotazioni positive seantiorarie e concordi con ilsegnopositivodellacurvaturadovuta a momento positivo(sono tese le fibre inferiore). Ilsegnodel termineadestranegativo perch dipende dalverso positivo assunto perlasse z (w).Convenzioni sul segno per lequazione della linea elastica19/50 a.a. 2010-11 STATI DI DEFORMAZIONEE TENSIONI NELLE TRAVI PRISMATICHECorso di Scienza delle Costruzioni dott. ing. Pasquale LuciaFlessione rettaSi consideri una trave avente sezione di forma qualunque e si supponga che su di essa agisca un momentoflettenteM, il cui pianodi sollecitazionesiacomunqueorientatoechelosiaquindi anchelassedisollecitazione s, che ne rappresenta la traccia nel piano della sezione.Il momentoMcaratterizzatodaunassemomentorortogonaleallassedi sollecitaziones. Sesiintroduce un sistema di assi principali dinerzia baricentrici y e z (essendo x la linea dasse della trave)= =}0yAS zdA = =}0zAS ydA = =}0yzAI yzdAil momento M pu essere scomposto in due componenti secondo y e z:= 0yM Mcos= 0zM MsenOss: My positivo se tende le fibrecorrispondenti a z>0, mentre Mzpositvo se tende le fibre y