lösungen zur technischen mechanik iv (sommersemester 2002 ...i_+ii_+iii... · lösungen zur...
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Lösungen
zur
Technischen Mechanik
- Dynamik -
Ausgabe 2016
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Lösungen zur Aufgabensammlung Dynamik (Ausgabe 2001, 2016) Kinematik des Punktes Lösung 1.1 &&( ) &( ) ( )
: &( )( )
&( ) ( )
( ) & &( )
x t a x t a t C x t a t C t C
AB t x t v C vx t x C x
x t a t v x t a t v t x
x x t s m v x x t s ms
x x x
x x
x x x x
x
= = + = + +
= = = ⇒ =
= = ⇒ =
= + = + +
= = = = = = =
12
1 2
0 1 0
0 2 0
02
0 0
1 1 1
12
0 00
12
3 0 3 1
Umkehrpunkt der Bewegung: &( ) , ( ) ,x t t t v
as x x t t mu u
x
xu= = ⇒ = − = = = = −0 2 5 0 250
2
Lösung 1.2 &&( ) &( ) ( )
: &( )( )
&( ) ( )
.: &( ) ( )
( ) ( )
x t a x t a t C x t a t C t C
AB t x t v C vx t C
x t a t v x t a t vt
Endb t t x t t a t v
x t t s s a t vt
avt
sv
t vtv
t ts
va
x x x
x x
x
x
x x
= = + = + +
= = = ⇒ =
= = ⇒ =
= + = +
= = = = +
= = = +
= − ⇒ = − + = = ⇒ = −
12
1 2
1
2
2
1 1 1
1 12
1
11 1 1 1
12
0 00 0 0
12
0 0 112
2
2 22 v
s
Zahlenwerte t s a msx
2
1 2
2
20 8 1 2: , ,= = −
Diagramme: x
tt1
260m
tt1
vx
25m/s
t
t1
ax
-1,2m/s2
Lösung 1.3
1 3bt 6
6 6
3 2
3 3 3 23
. ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
s t bt v t dsdt
a t dvdt
bt
s t bt t s sb
a s b sb
b s
= = = = =
= ⇒ = = =
2 34
0 0 0 04
4s 4s 4s
3 24
1
1
44 4
3 34
. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
v t ct a tdvdt
ct v tdsdt
ds v t dt s tct
C
t s C und s tct
tc
v s cc
cc
= = = = ⇒ = = +
= = ⇒ = = = = ⋅ = ⋅
34 20
0 0 0 0 0 0 04 20
34
1
5
1 2
1 2
4 5
. ( ) ( ) ( )
: ( ) ; ( ) ( ) ( )
a t dt v tdt
C s tdt
C t C
t v C s C v t dt s t dt
= = + = + +
= = ⇒ = = ⇒ = = =
( )
4 2 2
1 0 1 1
1 1 11
21
2 2 2 3
22 2 1 1
01 1
0
0
0
0
203
03
. ( ) ( )
:
( ) ( ) ( )
v s es a dvdt
dvds
dsdt
v dvds
es es a s e s
v dsdt
es dt dses
t dses
Ces
C ABes
C Ces
t se s s
s tses t
a te ses t
= = = ⋅ = ⋅ = ⋅ =
= = = = + = − + = − + =
= −
⇒ =
−⇒ =
−
∫
( )
( )
5
12 3
23
22
32 1
22
3
23
23
2
23
12
3
1 02 0
3
1 1 02 0
3
303
02
303
02
0
.
( )
a dvdt
dvds
v vdv ads fs ds
v fs C v fs C vfs
C C vfs
v s f s s v
vdsdt
dtdsv
tds
f s s vs
s
= = ⋅ ⇒ = =
= + = + = + = −
= − +
= ⇒ = =− +
∫
61 1 1
1 1 11
1 1
22
0
0
0
0
0
0
22 0
0 00
. ( )
( )
ln ( ) ln
a hvdvdt
dtdv
hvt v
h v v
v vht
v htv
v tvv ht
a hv dvdt
dvds
v ds vdvhv
dvhv
s sh
vv
s vh
vv
s
= = ⇒ = = −
= − =−
⇒ =−
= = = ⇒ = = − = = +
Lösung 1.4 1. Annäherung im Bereich I durch ein Polynom 2. Grades ( 0 ≤ t ≤ 8s ):
s(t) = K1 + K2t + K3t2 v t dsdt
K K t( ) = = +2 32
Bestimmumg der Ki aus: t v t s m t s s m= = = = = =0 0 0 4s 25 8 100: ( ) ; : ; : v K m K K s K m K s K K
K K Kms
s tms
t für t s
( )
( )
0 0 25 4s 16 100 8 64s
0 02516
2516
0 8
2 1 22
3 1 22
3
1 2 3 2 22
= = = + ⋅ + ⋅ = + ⋅ + ⋅
= = = ⇒ = ⋅ ≤ ≤
Annäherung im Bereich II durch ein Polynon 1. Grades ( Gerade für 8s ≤ t ≤ 14s)
stsfürtsmmts
mKsmK
KsKmKsKmmsstmsstmittKKts
14825100)(
10025
142508100250:14100:8)(
45
5454
54
≤≤⋅+−=
−==⇒
⋅+=⋅+=====+=
2. Beschleunigung:
Bereich I v dsdt
K t ms
t a dvdt
K ms
Bereich II v dsdt
K ms
a dvdt
ms
:
:
= = = ⋅ = = =
= = = = =
2 258
2 258
25 0
3 2 3 2
5 2
Lösung 1.5 1 0
13
112
0 0 0 0 0 0 01
10013
103
112
253
1
12
13
1 14
1 2
1 2
1 1 1 1 1 12
11
12 4
1 1 13
1 1 14
. :
( ) ( ) ( )
: ( ) ( )
: ( )
( ) ( )
Bereich t t
a t K t v t K t C s t K t C t C
t v s C C
t t a t a a K t K at
ms
v t K t ms
s t K t m
≤ ≤
= = + = + +
= = = ⇒ = =
= = ⇒ = = =
= = = =
s in m
t in s0
50
100
150
200
5 10
Parabel
Gerade
( )
212
12
16
15
1
1 2
2 3 2 32
3 22
33
3 4
1 1 1 1 2 3 1
2 2 2 2 2 3 2
2 1 3 2 1 32 1
2 13 2 1 3 1 2
1 2 1 1 1
.
( ) ( ) ( )
: ( )
: ( )
: ( ) ( )
Bereich t t t
a t K K t v t K t K t C s t K t K t C t C
t t a t a a K K t
t t a t a a K K t
a a K t t K a at t
ms
K a K t ms
ÜB t t v t v t
≤ ≤
= + = + + = + + +
= = = + −
= = = + +
− = − ⇒ =−−
= = − = −
= = =103
103
12
10 10
253
253
50 1003
103
50 1753
253
12
20 40103
23 33
12
16
2 1 3 12
3 3
2 1 1 1 3 1 4
3 4
2 2 2 2 3 22
3
2 2 2 22
3 23
3 2 4
ms
ms
K t K t C ms
ms
C
s t s t m m m m C t C
C ms
C m m
v v t K t K t Cms
ms
ms
ms
s s t K t K t C t C
End
ges
⇒ = + + = − + +
= = ⇒ = − + + +
= = −
= −
= = + + = − + + =
= = + + + =
( ) ( )
( ) ,
( ) − + + − =200 8003
2003
253
125m m m m m
Lösung 1.6
Bereich I x a x a t C x a t C t C
AB t x x C C
t t x t v x t s t va
s s a t m
Bereich II x x C x C t C
ÜB t t x v x s C v ms
C s vt m
t t x t v x t
A A A
AA
: && &
: & , ,
: &( ) , ( )
: && &
: & , ,
: &( ) , ( )
= = + = + +
= = = ⇒ = =
= = = ⇒ = = = =
= = = +
= = = ⇒ = = = − = −
= = =
12
1 2
1 2
1 1 1 1 1 1 12
3 3 4
1 1 3 4 1 1
2 2 2
12
0 0 0 0 0
20 12
160
0
16 160
( )
( )
( ) ( ) ( )
s vt s vt v t t s
Bereich III x a x a t C x a t C t C
ÜB t t x v x s C v a t C s vt a t
Endbedingung t t x x s S a t t v und
S a t v a t t s vt a t a t t v t t
B B B
B B
B
B B B B
2 2 1 1 2 1 1
52
5 6
2 2 5 2 6 2 2 22
3 3 3 2
32
2 3 2 2 22
3 22
3 2
12
12
0 0 112
12
12
= + − = − +
= = + = + +
= = = ⇒ = − = − +
= = = = ⇒ − + =
= + − + − + = − + −
: && &
: & ,
: & , ( )
( )
( ) ( ) ( )
+
= + ⇒ = +−
− = + + = =
= − = ⇒ = − − − − =
s
t t va
in t t S sv
va
s s t
t s s s S a t t v t t m
B Bges
B
2
2 3 3 11
2 2 3 22
3 2
2
2 12
20 23 8 51
51 16 35 12
400
( )
( )
Lösung 1.7 1 0
13
112
0 0 0 0 0 0 0
1
13
13
112
112
1
12
13
1 14
1 2
1 2
1 1 1 1 1 12
11
12 4
1 1 13
1 1 14
. :
( ) ( ) ( )
: ( ) ( )
: ( )
( ) ( )
Bereich t t
a t K t v t K t C s t K t C t C
t v s C C
t t a t a a K t Kat
ms
v t K t ms
s t K t m
≤ ≤
= = + = + +
= = = ⇒ = =
= = ⇒ = = =
= = = =
2
12
13
13
1 23
112
112
12
23
14
2 23
43
12
1 2
1 1 3 12
3 4
1 2 1 1 1 1 1 3 3 3
2 1 1 1 4 4
2 2 2 1 2 3
2 2 1 2
.
( ) ( ) ( )
: ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
Bereich t t t
a t a v t a t C s t a t C t C
ÜB t t v t v t ms
ms
a t C ms
C C ms
s t s t m m m m C C m
t t v t a t C ms
ms
ms
s t a t
≤ ≤
= = + = + +
= = = ⇒ = + = + = −
= = ⇒ = − + =
= = + = − =
= 23 2 4 2
43
14
1112
+ + = − + =C t C m m m m
( )
mCsmC
CtCmmmmtsts
Csm
smCtKtK
sm
smtvtvttÜB
smtKK
sm
ttaKttKa
tKKtatt
tKKaatatt
CtCtKtKtsCtKtKtvtKKta
tttBereich
1219
38
634
1211
1211)()(
2621
34
34)()(:
31
00)(:
)(:61
21)(
21)()(
.3
65
6252322
552232223222
2332323
132331
33233
2321122
653
32
252
3232
32
=−=
+++−=⇒==
+−=++=⇒===
=−=−=−
−=⇒−=−
++===
−+===
+++=++=+=
≤≤
Lösung 1.8
00
0 1)( axlaxoder
lxaxx =+
−= &&&& inhomogene DGL 2.Ordnung mit konstanten
Koeffizienten. Lösung:
tl
atxtl
latxtl
ltx
lBlBxAAxtAB
tBtAtxltBtAtx
laxl
amittBtAxxxx partpart
00
00
0
2002
homhom
acos)(asin)(acos1)(
00)0(000)0(0:
sincos)(cossin)(
cossin
==
−=
−=+=⇒===⇒==
−=++=
===+=+=
&&&
&&
ωωωωωωω
ωωωω
x(t) nach t umgestellt:
==
−=−
lx
alxtt
llxt
llx -1arccos)(a-1arccosacos1
0
00
−=
−=
=⇒===
+
−=
−=
−====
∫ ∫
lxxaxx
lxxax
CxxtAB
Clxxaxdx
lxaxdx
lxax
dxxd
dtdx
dxxd
dtxdx
212)(2
00;00:21
211
1
002
1
1
2
02
0
0
&&
&
&&&
&&&&&&
Lösung 1.9 0
15 1
2
750 12 6
0 0 0 00 0
1 12
12
1
01
0
2
11
1 1 02
3
11 2
1
2
01
≤ ≤
= = = −
= = −
+
= = = −
+ +
= = ⇒ =
= ⇒ =
= −
=
t t
x v ms
x t a tt
x t v t x t a t tt
C
x t v t m x t a t tt
C t C
t x Cx t C
x t a t tt
x t a
G G P p
G G P p
G G P p
P
P
P p P
& && ( )
( ) & ( )
( ) ( )
: & ( )( )
& ( ) ( ) p
P P
t tt
x tms
x t m
02
1
1 1
1 13
20 666 6
−
= =& ( ) ( ) ,
Kein Treffen der Züge im Intervall 0 ≤ t ≤ t1. t t x x C x C t C
t t x t ms
C ms
x t m C t C m C m
Treffen x t x t v t C t C t Cv C
s
x t v t m v x t x t ms
P P P
P
P
G P GG
G G P G
> = = = +
= = ⇒ =
= ⇒ + = = −
= ⇒ = + =−
=
= = = − =
1 3 3 4
1 1 3
1 3 1 4 4
2 2 2 3 2 4 24
3
2 2 2 2 2
0
20 20
666 666 333 3
66 67
1000 5
: && &
: & ( )
( ) ,
: ( ) ( ) ,
( ) & ( ) & ( )
Lösung 1.10
AB x t x t v: ( ) &( )= = = =0 0 0 0
a t x t av t x t a t C C v
s t x t a t C t C C
( ) &&( )( ) &( )
( ) ( )
= =
= = + =
= = + + =
0
0 1 1 0
02
1 2 212
0
Endbedingung : x ( t* ) = l
( )
hkm
smvtatv
gVerzögerunsmtvl
tatvtal
99,2111,6**)(
)(778,0**2**
21
00
202002
0
==+=
−=−=+=
v0
lx
a v s
t tt
(+)(+)
(-)
100m5021,99
0,778
Lösung 1.11
lalavvtv
al
alt
tatatallts
CsCtCtt
atats
CvCtt
atatv
ttataa
eee
e
eeee
e
e
e
00
00
20
2020
221302
0
1120
0
0
16153
23
532
512
125
1221
000122
1
0004
21
,:)(
:)(
:)()(
:)()(
)(.)
===
=⋅
=
=−==
==++−=
==+−=
−=
lalavlavdxl
xavdv
dxxavdvvdxdva
lxaxab
ee
lve
0002
00
0
0
225,123
43
21
21
)(
21)(.)
===
−=
==
−=
∫∫
( )
( )[ ] ( )
( ) lalav
avvvv
avl
bxaba
bx
bxaxdxTafel
vvvdv
av
vva
vdvdx
dvva
vdxvdxdv
dtdx
dxdv
dtdva
vvavac
e
eve
e
v
e
ev
e
l
e
e
ee
00
0
2
0e0
2
0000
0
0
14,112ln22
12ln222vln22
ln:
22
21
)(
21)(.)
=−
=
−=−−−=
+−=+
−=
−
=
====
−=
∫
∫∫∫
Lösung 1.12
1 22
0 318 19
20 0
0 0 00 1 1
0 0 0
. ,
. &&( ) & ( ): & ( ) & ( )
ω πω
πϕ α ϕ α
ϕ ω ω ϕ α ω
= ⇒ = = ≈
= = +
= = ⇒ = = +
− −n n s
t t t Ct C t t
min
r0&&ϕr0 r0
2&ϕϕ
t t ns
s
t t s
= = = =⋅
=
= + ⇒ =−
=
−1 1 1
1
1 1 0 11 0
2 2 150060
157
15 5
: &
,
ϕ ω ππ
ω α ωω ω
α
( ) ( )( ) ( )
222
2022000
02
0
02
8,10
104:0
konst.für2.3
smaaa
smra
smrat
erera
rrerrerra
r
r
r
r
=+=
==−=−===
+−=
==++−=
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
αωωϕ
ϕϕ
ϕϕϕ
&
r&&r&r
r&&&&r&&&r
Lösung 1.13 && &&
& &
: & ( ) & ( )
( ) ( )
( ) ( )
ϕ α ϕ α
ϕ α ϕ α
ϕ α ϕ α
ϕ ϕ ω ω
ϕ ϕ
ϕ α ω ϕ α ω
1 2
1 1 2 3
12
1 2 22
3 4
1 2 00
1 3 0
1 2 2 4
12
0 22
0
12
12
0 0 0
0 0 0 012
12
= = = − = −
= + = − +
= + + = − + +
= = = = ⇒ = =
= = ⇒ = =
= + = − +
ar
ar
t C t C
t C t C t C t C
AB t vr
C C
C C
t t t t t t
t t
( ) ( )
1 2
2 2
2 12
12
2 2
3 0 0
12
12
1 2
00 0
2
2 2
02
0
0
2 2
02
02
2 202
2
2 0 0 0 00 0
2 0 002
202
0
. : ( ) ( )
. ( )
. & ( )
( )
Treffen t t
t t rv
t rv
vr
rv
rv
vr
ar
a vr
t t t va
t
B B
B B
B B B
Bt
t B
t
ϕ ϕ π
ω ππ
ωπ
ϕ ϕ απ π
ϕ π απ
απ
π ϕ απ
π ϕ
ϕ α ωωα
ϕ ϕ αωα
ωα
ω
+ =
= ⇒ = =
= = − + − = −
= − = = −
= ⇒ − + = = =
= = − + =( )
2 2
4απ
π ϕ=
− B
Lösung 1.14 Flugzeug I: && &
: &&
s s C s C t CAB t s v s C v Cs v s v t
I I I
I I I I
I I I I
= = = +
= = = ⇒ = =
= =
00 0 0
1 1 2
1 2
Punkt E wird zur Zeit t = t1 erreicht: t t l v t t l
vII
= = ⇒ =1 3 1 13:
Bewegung auf der Kreisbahn:
( )
&&( ) & ( ) ( )
: &( )
( )
& ( ) ( )
ϕ ϕ ϕ
ϕ
ϕ
ϕ ϕ
t t C t C t C
AB t t t vR
C vR
t C vR
t
t vR
t vR
t t
I I
I
I I
= = = +
= = ⇒ =
= ⇒ = −
= = −
0
0
3 3 4
1 1 3
1 4 1
1
Punkt D wird zur Zeit t = t2 erreicht:
( ) ( )t t t vR
t t t Rv
tv
R lI
I I
= = ⇒ = − = + = +2 2 2 1 2 1 31
ϕ π ππ
π( )
Flugzeug II: && &
: & ( )( )
& ( ) ( )
s a s a t C s a t C t C
AB t s v C vs C
s t a t v s t a t v t
II II II II II II
II II II
II
II II II II II II
= = + = + +
= = ⇒ =
= ⇒ =
= + = +
52
5 6
5
6
2
12
0 00 0 0
12
Das Flugzeug II soll den Punkt C erreicht haben, wenn sich das Flugzeug I im Punkt D befindet.
( )
( ) ( )
t t s t l l l a t v t aR
vlv
vR
vlv
oder
l l R va
v v va
l l vv
R R
l va
Rav
v v a l l R v v
t tv
II II II III I
III I
I
III II
I
II
II
I
I
II
II
II II II I II
= = − + = + = +
+ +
+ + +
− + −
+ =
= − − − + + + + +
= =
2 2 1 3 2 22
23
23
32
3
2
1 22 2
3 1 22
2
12
12
2 2 0
2
1
( ) π π
π π π
ππ
( )I
R lπ + 3
Lösung 1.15 R a R a t C R a t C t C
AB t R R v C C v
t t t&& &
: &
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
= − = − + = − + +
= = = ⇒ = =
12
1 2
0 2 1 0
12
0 0 0
( )
( )
t t R v v a t v t v va
R s sa v v
av
v va
as
v v
t v va
s v vv v
sv v
E E E t E EE
t
t E
t
E
tt E
EE
t
E
E E
= = ⇒ = − + =−
= ⇒ = −−
+
−= −
=−
=−
−=
+
&ϕ
ϕ
00
02
00
02 2
0 0
02 2
0
212
2 2
Zahlenwerte:
t s ams
a avR
ms
a avR
msE t t E t
E= = = +
= = +
=80 0 125 0 308 0 12882 0
2 02 2
22
2 2
2, , ,
Lösung 1.16
( ) ( )( )
e x d d s l s t l e x t
s t ds tdt
dsdx
dxdt
xe x
x xxe x
s t ds tdt
e x x xx xx xxe x
e xe x xx e x
e x
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 22 2
2 2
2 2 2 2
2 2 3
22
22
+ = + = ⇒ = − +
= = ⋅ = −+
⋅ = −+
= = −+ + −
++
=+ +
+
( ) ( )
&( ) ( ) & &
&&( ) &( )& && & &
& &&
v0
s
RvE
ϕ
Lösung 1.17
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
αα
αα
αα
αα
αα
αα
α
coscos
cos2cos
cos2cos
:cos2
cos...2
cos2cos220)(
cos2cos2)(
cos2
min
22minmin
22minmin
22min
22
2222
222
AB
BA
A
B
BAAB
BAAAA
BAAB
BABBB
BAAB
BA
BABAAB
BABAAB
ABAB
BBAA
vvvv
sls
vvvvvvlvltvlsl
vvvvvvlvtvs
rnungenHafenentfevvvv
vvlt
vvlvvvvtdt
tde
lvvltvvvvtte
oderslsslse
tvstvs
++
=
−
+++
−=⋅−=−
+++
=⋅=
+++
=
⇒+−++
==
++−++=
−−−+=
==
H
A
sA
l
sB
vA
vB
e α
Lösung 1.18
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
r r r r r r
r r r
r r r
v re r e a r r e r r e
mit r v r
v v e r e v v r
a r e v e a r v
r r
r
r
= + = − + +
= = = =
= + = +
= − + = +
& & && & & & &&
& && & &&
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ω ϕ
ω ω
ω ω ω ω
ϕ ϕ
ϕ
ϕ
2
0 0
0 0 02
02
02
0 0 02 2
0 02
2
0 0
2 2
Lösung 1.19
Geometrische Zusammenhänge: r rsin1 2
2 2= = +
ϕξ ψ
ϕ
Lösung in Polarkoordinaten:
( ) ( )r r r r r rv r e r e a r r e r r e
r r r
r r
r r= + = − + +
= + = ⋅ ⋅ ⋅ =
= + = −
& & && & & & &&
& &&
& & &
&& && &&&& && &
1 1 1 12
1 1
1
12
1 12
22 1
2
212
ξ ξ ξ ξ
ξ ψϕ ϕ
ϕ ϕϕ
ξ ψϕ
ϕϕ
ϕϕ
ξ ξ
cos2
cos2
cos2
sin2
r r r
r r r r r
v r e rsin e v r
a r r e r rsin e a e a e
a r
r
r r r
= + =
+ ⋅
= −
−
+ +
= +
= − ⋅ +
+
& & & &
&& & & & & &&
&& & & &
ϕϕ ϕ
ξ ϕϕ ϕ
ξ
ϕϕ
ϕϕ
ξϕ
ϕϕ
ξϕ
ξ
ϕ ϕ ϕ ϕξ
ξ
ξ ξ ξ
cos2 2
cos2
sin2
cos2
sin2
sin2
cos2 2
cos2
sin2
1
1 1 1
2 2 12
12
2 2 2
22 4
2 2
2 2
22
2
ϕϕ
ξϕ
ξcos2
sin2
& &&+
2
Lösung 1.20
M
rr1ϕ ψ
ϕ/2ξ
&& &&& &
.
& &
&& & && & &
ϕ α
ϕ α
ϕ α
ϕ
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
= = −
= + = − +
= + + = − + +
= = = =
= = = +
= − = + = +
0 0
0 1 0 3
02
1 2 02
3 4
1 3 2 4
2 2
2 2 2
12
12
0 0 0
2
r at C r a t C
t C t C r a t C t C
AB liefern C C C C l
v r v r v v v
a r r a r r a a a
r r
r r
),(,**)(,*
**)(
,
,,
,,,
,,,
:
°====
+−==
=
−=−=−=−−=
==
+−=−=−=
=+−===
====
756821218322
210für Oerreicht Körper
5550
354024270
56403160214670
3755621871493
321
66:Endb.
20
0
20
2
22
000222
00
02
00
20
22
0
220
ttsa
lt
ltatr
sma
smtara
smtraa
smv
smtltav
smtav
cmltarstst
tttt
e
eeeeere
eeeeere
eeee
eeee
αϕ
ααα
α
απαππϕ
ϕ
ϕ
Lösung 1.21
( ) ( )
( ) ( )( )
( )
r r r r r r
) ) )r r ) r
r ) r ) ) r
)
) ) )
v re r e a r r e r r e
r v r
t t tv v e r te
a r t e v t r t e
v v r t
a r t v t r
r r
r
r
= + = − + +
= =
= = = −
= +
= − + −
= +
= − + −
& & && & & & &&
& &&
& &&
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ
ϕ ϕ ϕ
ϕ
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ
ϕ
2
0
2
0
20
2
02 2
2 2 2 20
2
0
2
2
sin cos sincos
cos cos sin
cos
cos cos
Ω Ω Ω Ω Ω
Ω Ω
Ω Ω Ω Ω Ω Ω
Ω Ω
Ω Ω Ω Ω Ω( )2 2sinΩt
r
v0
ϕ
Lösung 1.22
[ ]
[ ] [ ]
v r drd
ddt
drd
v r r R drd
R
v R v R v v v R ddt
konst
v dtR
d v tR
Maus v v s v t
und t T s v T R TR
v
v RT
v
r
r K r
K
t
K
M M
MM
K M
= = = ⋅ = ⋅ = =
= ⋅ = ⋅ = + = ⋅ + =
= + = + +
= =
= = = = =
= + + = ⋅ + +
∫ ∫
& & & ( )
& & .
:
:
ϕϕ
ϕϕ ϕ ϕ
ϕπ ϕ π
πϕ
ϕπ
ϕπ
ϕϕ
πϕ ϕ
πϕ ϕ ϕ
ϕ π ππ
ππ π π
ππ π π
ϕ
ϕ ϕ
ϕ
2 2 2
0
2
0
2
22
2
1
12
1
21 1
21
arsinh
arsinh arsinh = 0 62, vM
Kinematik der ebenen Bewegung des starren Körpers Lösung 2.1
ω ω
ω ω ω ω
ω ω ππ
π
W W
W G ZW K ZWG
KW
G
K
ZW G M KG
K
K
GM
K
G M
K
G M
K
G
Dv
vD
r r rr
rr
vD
r r rr
vD
rr
n rr
vn D
i
i rr
vn D
zz
⋅ = ⇒ =
⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅ = ⋅
⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅
= =
= = = =
22
2
2 2
0 18
22
,
Lösung 2.2
ω ω ω ω
ω πω
π
Mot Mot
MotMot
d d und d v vdd d
s
n n s
⋅ = ⋅ ⋅ = ⇒ = =
= ⇒ = = =
−
−
12
22
3 2
1 3
1
1
2 2 22 142 7
22
22 72 1363
,
, min -1
Lösung 2.3
( )v r r v r r r
rr
rr
rr
rr
rr
12 1 1 2 2 23 2 2 1 2 3
21
23 1
2
12
2
13
21
23 1
2
13
2
1 2 2 1
1 2 1
= = = = +
= +
= = +
= +
= +
ω ω ω ω
ω ω ω ω ω
ϕ ϕ ϕ ϕ
Lösung 2.4
sin
r
r
β β
αγ β γ α β
π
π
π
= = ⇒ = =
+ = ° + = ° ⇒ = °+
=
=+
⇒ =+
⋅
=−
⇒ =−
⋅
rl
h
larcsin r
lh l r
l
nv l
l rv l
l rr n
v ll r
vl
l rr n
AmaxAmax
RmaxRmax
2 1 21
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2 2
2180 90 180 2
2
2
2
Ω
Ω
Ω
1
2
3v12
v23
ω1
ω2
ω3
l2
l1
β
Ω
α/2
h/2
γ
Zahlenwerte: 1 209 2 14 5 3 450
4 0 4712 5 0 7854
. . , .
. , . ,
α β= ° = ° =
= =
h mm
v ms
v msAmax Rmax
Lösung 2.5
sin coscos
tan tan tan
tan
tan = xe
tan tan sin
tan sin tan sin
tan sin tan sin
β β βα
ββ
α α α
αα
β β β β
β β β β
β β β β
ω ω
= = = = =
= ⋅ = ⋅ = ⋅
= = = ⇒ = °
= ⋅ = ⋅
= ⋅ = ⋅
= ⋅ = ⋅ =
⋅ = =
es
e ssin eq
q e
q t s t q t s t q s
qs
vv
x e s
x t s t x t s t
x s v ms
d x x
m m
m
m
mst
mk
m m mk
R R
2
2 2 2
20 05714 6 54
0 00114
22
( ) ( ) &( ) &( ) & &
&&
, ,
( ) ( ) &( ) &( )
& & ,
& &d
xd
sRmmω = = −2 0 0456 1& ,
Lösung 2.6
( ) ( )
( ) ( )
ββϕλββϕ
βλ
ϕβϕ
βϕβϕ
2sin1cossin=sinsinsin
cos11cos1cos1cos1
cos1cos1coscos
−==
−+−=−+−=
−+−=−−+=
lrrl
rx
lrlrrlx
( )
( )( )322
2222
2
22
22
sin1
sin1sin-tcos+tcos
sin1tcos1sin
sin111tcos1
t
ttr
xt
tr
x
trx
t
ωλ
ωλωωλωω
ωλ
ωλωω
ωλλ
ω
ωϕ
−
−=
−+=
−−+−=
=
&&
&
Näherung für λ << 1 durch eine Reihenentwicklung der Form 1 1 12
− = −y y. ..
xr
t t
xr
t tcos t tcos t t
xr
≈ − + − −
= − +
≈ + + +
≈
1 1 1 1 12
12
22
22
2
2
2
cos t sin cos t sin
sin sin t = sin sin t = sin sin
cos t + 12
cos2 t = cos t + cos2 t
2 2ωλ
λ ω ωλ
ω
ωω
λω ω ω λ ω ω ω
λω
ωω λ ω ω λ ω
&
&&
se
βq
xe
r l
xβϕ
Lösung 2.7 s h e C h acos b asin e r b
s t a t r a sr
= + = = = = = −
= + − = + −
& &&
( ) ( )
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ λ ϕ λ ϕ
0
1
2 2
2 2 2cos sin cos sin2 2
( )( )
& & && &sr
sr
= − +−
= − +
+ −
−
λϕ ϕλ ϕ ϕ
λ ϕλϕ ϕ λ
ϕ ϕ λ ϕ
λ ϕsin sin cos
sincos
cos sin sin
sin2
2 2 2
21
1
12
22
232
Lösung 2.8 Lösung durch Überlagerung von Translation und Drehung um den Schwerpunkt:
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )22
22
2
sin2c1
sin4c12
c2sincsin21
42c2
sin2
22c
2sin
2
ϕϕϕ
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕ
++−=
++−=
+=−+=
===+=
===−+=
osaa
oderosaa
osayosaxDa
Da
ddosDDy
DaxDxosDDax
A
A
AA
AA
AAAA
&&&&
&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&
Lösung 2.9 Geschwindigkeitsverhältnisse:
v v tv v t
v v tv
1
2
3
4
22
20
=
=
=
=
( )( )
( )
Beschleunigungsverhältnisse:
sr
a
eh
bϕ
&ϕ2
2⋅D
aA
A ϕ
&&ϕ ⋅D2
0 90 180 270 360ϕ in ° →
4
8
12
a/aA
v(t)
v4 = 0v1
v2v3R Rv(t)v(t)
v(t)v(t)
v(t)
0
)()()(
)(2
)()()(
4
222
3
2
222
1
=
+
+=
=
+
−=
a
taR
tvtaa
taa
taR
tvtaa
Lösung 2.10 1. Schwerpunkt der Halbscheibe:
A e rdA A r dA bdr b r r
er
r r r dr z r r r r z
dr zr z
dz r r r dr z dz r e r
r
r
r
r
⋅ = = = = −
= − = − = −
= −−
− = − = =
∫
∫
∫ ∫
0
02
02 2
02
002 2
02 2
02 2
02 2
002 2 2
003
0
0
0
0
0
22
4
343
π
π
π
2. Beschreibung der Schwerpunktsbewegung in kart. Koordinaten:
( ) ( )
( )ϕϕϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕ
sincsin
csinccsin
csin
2
0
20
20
0
0
&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&
+=
=−=
+−=+−−=
−=−=
oseyey
oseryeoseroserx
oserxerx
S
S
S
S
S
S
( ) ( )
( ) ( )v x y r ecos esin
a x y r e r e
S S S
S S S
= + = − +
= + = + + + −
& & &
&& && && & && && & &&
2 20
2 2
2 202 2 2 4 2
022
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsin cos
( )& & &
&
& &
x r e
r ecos
y e
S
S
= −
= −
=
0
0
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
cos
sin
&& && & &&
&& & &&x r e e
y e eS
S
= + −
= +0
2
2
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
sin cos
cos sin
v tR
2 ( )
v(t)
a4 = 0a1
a2
a3RRa(t)a(t)
a(t)a(t)
a(t)a(t)
v tR
2 ( )
r0r
dr
eSA
dA
b
x
ϕ
r0e
S S
esinϕ
e
r0ϕ
ecosϕ
y
e
S
ϕ
ϕr0 &ϕ
e &ϕ
e
S
ϕ
ϕr0&&ϕ
e&&ϕ e &ϕ2
Lösung 2.11
( ) ( )
( ) ( )
( ) ,
( )
12
22
34
2 212
12
212
14
1 1 1 2 32
2 2 2 2 2 2 2
2 1 22
21 2 1
2 3 3 3 3 3 3 2 3
3 2 1 32 3
31 3 1
v R v r v r r R r r r r R r
v v r v v r v v v
v v v R r v vr
v v r v v r v v v
v v v R r undv v
r
A B C
A B A B
A BA
C C
C
= = = − =−
=+
=+
= + = − + =
= + = + =−
= =
= + = − + =
= + = − =−
= =
ω ω ω
ω ω
ω ω ω ω ω
ω ω
ω ω ω ω ω
Die Momentanpole liegen auf einer Geraden.
A BC
2
3
Kinetik der ebenen Bewegung von Punktmassen und starren Körpern Lösung 3.1
← = = = ⋅
↓ = − = − + = − + ⋅
= = ⋅ = − + ⋅
: && &
: && &
:
x x v x v t
y g y gt v y gt v t
t t x v t y gt v t
012
12
0 0
02
0
1 1 0 1 1 12
0 1
cos cos
sin sin
cos sin
α α
α α
α α
Elimination von α durch Quadrieren und Addieren liefert:
( )x y gt v t12
1 12
2
0 121
2+ +
= Kreisgleichung mit dem Radius R = v0 t1, Mittelpunkt versetzt um
y gt= −12 1
2
Lösung 3.2
Dynamisches Grundgesetz:
r r r rF ma F F a x y
mx x F my ym
F t
x x C x C t C
ym
F t y Fm
t C y Fm
t C t C
= = =
= ⇒ = = ⇒ =
= = = +
= = + = − + +
0
0 0 1
0
11 1 2
3 2 3 4
; &&;&&
&& && && && $
&& &
&& $ &$ $
cos
cos sin cos
Ω
ΩΩ
ΩΩ
Ω
( )
AB t x C
y Fm
C C Fm
x v C vy C
x v t t xv
y Fm
Fm
:$ $
&&
$ $
= = ⇒ =
= ⇒ = − + =
= ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ = = − = −
0 0 0
0 0
0 0
1 1
2
2 4 4 2
0 1 0
3
00
2 2
Ω Ω
ΩΩ
ΩΩcos t cos xv 0
Ω
Ω
Ω
xv
cos xv
0
0
02
32
2
1 0 1 0 1
0 1 2 1 02
ππ π π
−
ymF$
mg
x
y
v0
α
mx&&my&&
Mt = t1
x
y
½gt2
x
y
m
F
0 π 2π
1
2
Ωxv0
ymFΩ2
$
Extremwerte:
,...3,2,1,00ˆ
0
0
2
==
Ω⇒=
Ω
Ω
nnv
x
vxd
Fymd
Ex
π
Lösung 3.3
F mg my y y t y y t
F mg my t
Abheben F mg my t g y t
gy t
für t gy
s
N
N
N
− − = = = −
= −
= = =
= = = = −
&& $ && $
$
: $ $
$ $
0
0
1 99
2
2
2 2
1
sin sin
sin
sin sin
sinsinmin min
Ω Ω Ω
Ω Ω
Ω Ω Ω Ω
ΩΩ
Ω Ω Ω
Lösung 3.4
( )↑ = +
← + =
=+
−=
:&&
&&
,
F mg Fsin
mg Fsin Fcos
F mg
xg N
N α
µ α α
µ
α µ α
: mx +
cos sin371 45
Lösung 3.5
542422
322
2222
11111101
)(021)(
0)(
CtCtxCxx
CtCgttyCgtygy
CCtvtxvxHy
+===
++−=+−=−=
=+===
&&&
&&&
&
gHvvt
gHtvt
tvgtHtyty
vvtxtxttEB
CyCx
invCinvyvCvxtAB
EEE
EEEE
EEE
02
112,1
012
12
021
1221
32
52
2222
2422
2g
tang
tan02g
tan2
tan21)()(
cos)()(:
0000
sscoscos0:
−
±=⇒=+−
⋅+−=⇒=
=⇒==
=⇒==⇒==⇒==⇒==
ααα
α
α
αααα
&&
Zahlenwerte: v kmh
t s t sE E2 1 21200 3 67 55 1= = =, , ( , )
y
mg
FN
my&&
xF
mg
FNµ FN
mx&&
α
m y2&&
m1
m2
m2g
x
y
m x2&&
Lösung 3.6 ← = ↓ = −
= = − +
= + = − + +
=
= = = =
= ⋅ = − + ⋅ +
: && : &&& &
& &( )
( ) ( )
x y gx C y gt C
x C t C y gt C t C
yC C C C h
x t t y t gt t h
0
12
00
12
1 3
1 22
3 4
1 2 3 4
2
AB: x(0) = 0 y(0) = h x(0) = v cos v sinv cos v sin
v cos v sin
0 0
0 0
0 0
α α
α α
α α
Endbedingung: y( xmax ) = 0 Elimination von t:
( )
( ) ( )
20
20
maxmax
20
2max
220
2maxmax
220
2
222
max220
2max
max
220
2
0
21(*)tan
0tan1tan1tan2210),(
),(tantan121
tan1tantan1cos
1
(*)0tancos2
10),(
tancos2
1cos
vgh
gvxeingesetztin
xgv
xv
gxdxdy
xyhxvgx
dd
hxv
gxxy
hxv
gxyv
xt
+=⋅
=
=+++⋅−⇒=
=+++−
+=+=
=++−
=
++−=⇒=
α
αααα
α
ααα
αα
ααα
αα
α
ααα
my&&v0
h
mg
x
y mx&&
xmax
α
x(α)
αα-90° +90°
xmax
Lösung 3.7
F mgsin kv F mgsin kv
vv
v v hl
v kmh
kmh
W W1 1 02
2 2 22
02
22
1
22 0
2
11 2
2
0 14 0 08
60 0 080 14
45 3
= = = =
= = = = =
= =
α α
αα
αα
α αsinsin
sinsin
sin sin, ,
,,
,
h
α1
mmgsinαl
FW1
Lösung 3.8
( )
( )
( )
++
+=
−−
+=
≤
=⋅−⋅+++=−−+
=−+
αα
αα
µαα
αα
sincos
sincos
0cossin20sin
0cos
2
1
1
21
21
gs
cd
dbcmgF
gs
cb
dbcmgF
FFbmgcmgcsmdbF
smmgFFmgFF
N
N
NH
N
HH
NN
&&
&&
&&&&
:::
( )
( )
( ) αµ
αµααµα
µ
αµ
αµααµα
αµ
ααµαµα
αµµα
sin1
cossincossin
0bHeckantrie2
sin1
cossincossin
sin0:ebFrontantri1
sincoscossin
cossinAllrad3
221
1211
212121
−
+−
⋅+
≤
++
+≤
+
≤≈
−
++
⋅+
≤
−−
+≤
+
+=≈≤
−≤≤
+
=+≤+
+=+
dbcdb
dgs
gs
cd
dbcmg
gsmg
FFF
dbcdb
bgs
gs
cb
dbcmg
gsmg
gsmgFFFF
gsmg
gsmg
mgFFFFgsmgFF
NHH
HHNH
NNHHHH
&&&&&&
&&&&&&
&&
&&&&
&&
:.
.
:.
&& && && &&sg
sg
sg
sg G
= −
= −
= −
= −
1 2 3
29
27
12
2cos sin cos sin cos sin cos sinα α α α α α α α
286,0.2222,0.15,0.3
0sin1cos0tan
≤≤≤
==⇒=
gs
gs
gs &&&&&&
ααα
Umkippen, wenn FN1 < 0 wird.
Grenzbedingung:&& &&sg
bc
sg G
≤ − =
=cos sin tanα α α 0 2
tan cos sinα α α= ⇒ = =
= ≤ ≤ ≤
0 2 0 9806 0 196
1 765 3 0 2943 1 0 02169 2 0 0844
, , ,
&& , . && , . && , . && ,sg
sg
sg
sgG
sm &&
s
αc
bd
mgsinα
mgcosα
FN1
FN2
FH1
FH2
S
2
Lösung 3.9 1. Voraussetzung: m1 gleitet auf m2
m F m g m x F x g
m m x F F x Fm
mm
g
Zahlenwerte xms
xms
N N
N
2 2 2 2 2
1 1 1 11
2
1
1 2 2 2
0
0
3 088 1 472
: && &&
: && &&
: && , && ,
= − = ⇒ =
+ − = = −
= =
µ µ
µ µ
2. Kein Gleiten zwischen m1 und m2
( )
&& &&
:
*
**
*
x x und F F
Fm
mm
g g F g m m
Zahlenwert F N
1 2 0
10
2
10 0 1 2
1717
= = =
− = ⇒ = +
=
µ µ
µ µ µ
Lösung 3.10
NmlmgF
dsslmmgllF
dslmdmsysx
ydmxmgllFA
S
l
S
l
S
64,1931cos31+cot
21
cossincos21-sin
sincos
0cos21-sin:
2
0
22
0
2
==
−
===
=−
∫
∫
βωβ
ββωββ
ββ
ωββ
Lösung 3.11
F mgsin mr
F mgsin mr vr
F mg mvr
m g vr
kN
N
N
N
− − =
= + =
= + = +
=
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
&
& &
,max
2
2
2 2
0
11 073
x1
x2
FNµ FN
m1g
m2g
Fm x1 1&&
m x2 2&&
FS
mg
A
xω2dm
x
y
sds
β
mr &ϕ2
ϕ
mg
FN
0
mr
Lösung 3.12
Aus Aufgabe 2.1 : M rr
M rrmot
k
gtr
k
g
=
=
2
0 18,
1. Bereich: 0 1≤ ≤ = = =t t x konst a vt
&& .
2. Bereich: t t x≥ =1 0&&
freie Koordinaten: x, ϕ
Zwangsbedingungen: x D xD
= ⇒ =2
2ϕ ϕ
Masse mL: F m x m g F m x m gS L L S L L− − = = +&& &&0
Trommel: J F D Mtr S tr&&ϕ+ ⋅ − =2
0
( )
( )[ ]
M J xD
D m x g D m g x D m JD
J JD
m
M rr
D m g x m m
tr tr L L Ltr
tr Ring tr
motk
gL L tr
= ⋅ + + = + +
= =
=
+ +
22 2 2
2
0 9 0 92
20 9
2
2
&& && &&
, ,
&& ,
1. Bereich: Mmot = 224 Nm 2. Bereich: Mmot = 215 Nm Lösung 3.13
( ) ( )J M J M t tt
t t J M t M Jt
J m D m d m e
&&
:
ϕ ω ω
ω
ωω
= − = −
= =
= = ⇒ =
=
−
+
0 0 0 0
0 0
1 1 0 1 01
1
1
2
2
2
22
0 0
12 2
6 12 2
( )[ ]( )[ ]
m a D m b d J aD bd d e
Mt
aD bd d e n
Zahlenwerte n s M Nm
1
2
2
24 2 2 2
01
1
4 2 2 21
1
11 1
0
4 4 326 8
326 8
2
4 77 286 5 0 3933
= = ⇒ = − +
= − + =
= ≡ =− −
ρπ
ρπ ρπ
ω ρπ ωπ
: , , ,min
t1 t
vHubv
J tr &&ϕ
xmLg
FS
ϕ
M tr
Jtr
m xL&&
J&&ϕ
ϕ
M0
J
Lösung 3.14
00:06
2)(:0
)()(
21
3
1
1
1
2
1
1
1
1
111
===++⋅=
+⋅=⋅==≤≤
==
ϕϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
&
&&&
&&&&
tCtCtJtM
CtJtMt
JtM
ttMtMtt
JtMtMJ
&& &
: && &
: ( ) && &
: & ( )
( )
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
ϕ
ϕ
= ⋅ = ⋅ = ⋅
= = = ⋅ = ⋅
≤ = = = + = + +
= = ⋅ = + ⇒ = − ⋅
= ⋅ = − ⋅ +
MJt
t MJt
t MJt
t
t t MJ
MJ
t MJ
t
t t M t M MJ
MJ
t C MJ
t C t C
t t tMJ
t MJ
t C CMJ
t
t MJ
t MJ
t MJ
t C
1
1
1
1
21
1
3
11 1 1 1 1
2
1 11 1
31
2
3 4
1 11 1 1
1 3 31 1
11 1
21 1
21 1
2
4
2 6
2 6
2
2 2
6 2 2⇒ = ⋅
= − ⋅ = − ⋅ + ⋅
= = = =
C MJ
t
MJ
t MJ
t MJ
t MJ
t t MJ
t
t tM
Jt n n
41 1
2
1 1 1 12
1 1 1 12
11
1
6
2 2 2 6
232
22
&
: & &
ϕ ϕ
ϕ ω πϕπ
Lösung 3.15
( )( )
F F cx x x F FF F cx F F cx
F F c x x
F mx mx F c x x
C a S S S C
a S a S
C S S
C S S S S
= + = ⇒ =
= + ⇒ = −
= + −
= ⇒ = + −
0 0
0 0 0 0
0 0
2 20 0ω ω
ω ω ω ωω
π
ω
= = ⇒ = = = = ≡
=−
−= ⇒ = = ⇒ =
= ⇒ =
−a S S S a a
Sa
a
SS
S S
S
x x F mx Fmx
n s
x F cxm c
n x mm n x mm
n x mm
: ,
: , ,
,
0 0 02 0
0
1
0 02 1 1 2 2
3 3
23 183 191
250 43 9 355 57 7
450 92 8
min
min min
min
-1
-1 -1
-1
J&&ϕ
ϕ
M(t)
J
FC mxSω2
xS
xS
FC
n
xS
40
80
191 450
Lösung 3.16
A J ma b J J mbma b
J mbdd
Für ist
dma b
J mbd
ma bJ mb
ma bJ mb
A A S
S
S
S S
: &&
&& & & &
& &
& &
ϕ ϕ
ϕ ϕϕϕ
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕπ
− = +
=+
= = =
=+
=+
=
+
02
02
02
2 02
02
0 0
12
2
cos = 0
cos
cos int.
sin2
SA
ma0
JA&&ϕ
a0
ϕ
Lösung 3.17
( ) ( )
( )
J F d J F d t t
t t t
J F d t F Jd t
J md
md
m l d
F ld t
d d
i i
&&ϕ µ ω ω µ
ω ω ω ω
ω µω
µ
ρπ
ω ρ πµ
+ = − = − −
= = = = =
= ⇒ =
=
+
=
= +
21 0
21 0
0 0 1 1
02
10
2 1
11
2
22
22
0
2 114
24
20
20 0
22
12 2
12 2 4
16
Lösung 3.18
Scheibe J M MScheibe J M
M MJ
M MJ
t C
M MJ
t C t C
MJ
MJ
t C MJ
t C t C
R
R
R R
R
R R R
1 02 0
2
2
1 1
2 2
11
11
1
11
2
1 2
22
22
3 22
2
3 4
: &&
: &&
&& &
&& &
ϕ
ϕ
ϕ ϕ
ϕ
ϕ ϕ ϕ
+ − =
− =
=−
=−
+
=−
+ +
= = + = + +
AB t C C C C: & & & &= = = = = ⇒ = = = =0 0 0 0 0 0 01 10 1 2 2 1 10 2 3 4ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
& & & &ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ11
10 11
2
10 22
22
2
2 2=
−+ =
−+ = =
M MJ
tM M
Jt
tMJ
tMJ
tR R R R
Reibmoment MR:
NmpbdrdprM
rrddrprdFdMb
rR
RR
7,12532 3
2
0 0
2 ===
⋅⋅⋅⋅=⋅=
∫ ∫= =
πµαµ
αµπ
α
Kuppelzeit tK: & ( ) & ( ) &
&,
ϕ ϕ ϕ
ϕ
1 21
102
10
2 1
2 35
t t M MJ
t MJ
t
tMJ
M MJ
s
K KR
KR
K
KR R
= ⇒−
+ =
=−
−
=
Kuppelzeit tK muß endlich sein und tK > 0 :
2
2
1312
47,1412
30cmN
JJb
MpJ
MMJ
M RR =
+
>⇒>
−−
πµ
J&&ϕ
ϕ
µF
J
F
M MR MR
ϕ1 ϕ2
J1 1&&ϕ J2 2&&ϕ
dFRb
dArdr
dα
ϕ ϕ, &
Energieverlust:
[ ] NmtMttMW KR
KKRV4
1021 1043,42
)()( ⋅==−⋅= ϕϕϕ &
&& ,ϕ2241 9= −s
&& ,ϕ1285 6= − −s
ttK
&&ϕ &ϕ
ttK
&ϕ1
&ϕ2
300s-1
98,5s-1
ttK
ϕ
ϕ2
ϕ1
468,5
116,2
Lösung 3.19
J M dA rd dr m r h
dF ghdA dF dF J mr
M rdF gh r d dr gr r h gr m
mr r mg gr
AB tg
rt g
rt t
Endb T gr
T T
S R
N R N S
R R
r
&&
&& &&
: ( ) & ( )
&
.: & ( )
ϕ α ρπ
ρ µ
µρ α µ ρπ µ
ϕ µ ϕµ
ϕ ϕ ω
ϕµ
ω ϕµ
ω
ϕµ
ω
π
= − = =
= = =
= = = =
= − = −
= = =
= − + = − +
= = − +
∫ ∫∫
02
02
2
0
2
00 0
20
02
00
0
00
0
20
00
12
23
23
12
23
43
0 0 0 043
23
0 0 43
0
=
= = =
34
38 2
316
0 0
02
0 02
0
ωµ
ϕωµ
ϕπ π
ωµ
rg
Trg
Umdrehungen U T rg
( ) ( )
dFN
h
dFRr0
dArdr
MR
dα
ϕ ϕ, &
ϕ&&SJ
Lösung 3.20
ZB x x x xr
J m r
F m g m x m g m xF m g m x m g m x
J F r F r J xr
m gr m xr m gr m xr
x g m m
m m m
S
S
S S
:
&& &&&& &&
&& && && &&
&&
3 1 2
22
1 1 1 1 1 1
2 3 3 3 3 3
2 2 1 3 3 1 1
1 3
1 2 3
12
0
12
= = = =
=
= − = −
= + = +
+ − = = + + − +
=−
+ +
ϕ ϕ
ϕ
( )
( )
( )
T m x m x J x m m m
U m gx m gx gx m m
L T U x m m m gx m m
ddt
Lx
Lx
Lx
g m m Lx
x m m m ddt
Lx
x m m
= + + = + +
= − + = − −
= − = + +
+ −
− =
= − = + +
= +
12
12
12
12
12
12
12
0
12
12
1 12
3 32
22 2
1 2 3
1 1 3 3 1 3
21 2 3 1 3
1 3 1 2 3 1
& & & &
&
&
&&
&&&
ϕ
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
( )
( )
( )
2 3
21 2 3 1 3
1 2 3 1 3
0
12
12
12
0
+
+ = ⇒ + =
+ = + +
− −
+ +
− − =
m
T U konstddt
T U
T U x m m m gx m m
xx m m m gx m m
.
&
&&& &
J&&ϕ2
x1 x3
ϕ2
FS1 FS2
m1g m3gm x3 3&&m x1 1&&
Lösung 3.21
2
2
1
22
1
01
121
2
1
22
2
2
1
22
1
01
121
2
1
11111211
2222
1
1011220
11
2222222
1111
11
22
1
12211
0
:
mrr
rJm
mmrr
rrgx
mrr
rJm
mmrr
gx
rxmgrmrxrrmgrm
rxJrFrFJ
xrrmgmxmgmF
xmgmF
xrrx
rxxrxrZB
SS
S
S
++
−=
++
−=
+++−==+−
−=−=
+=
==⇒==
&&&&
&&&&&&&&
&&&&
&&
ϕ
ϕϕϕ
T m x m x J x m Jr
rr
m
U m gx m gx gx m rr
m
L T U x m Jr
rr
m gx m rr
m
Lx
g m rr
m Lx
= + + = + +
= − = −
= − = + +
− −
= − −
12
12
12
12
12
1 12
2 22
02
12
10
12
2
1
2
2
1 1 2 2 1 12
12
12
10
12
2
1
2
2 1 12
12
11
2
13
& & & &
&
&
ϕ
∂∂
∂∂ 1
1 10
12
2
1
2
21
1 10
12
2
1
2
2= + +
= + +
&
&&&x m J
rrr
m ddt
Lx
x m Jr
rr
m∂∂
( )
0
21
0.
21
2112
2
1
22
1
0111
21
2112
2
1
22
1
01
21
=
−+
++
−+
++=+
=+⇒=+
mrrmxgm
rr
rJmxx
mrrmgxm
rr
rJmxUT
UTdtdkonstUT
&&&&
&
J0&&ϕ
x1 x2
ϕ
FS1 FS2
m1g m2gm x2 2&&m x1 1&&
Lösung 3.22
( )
r x xx
r rr
rr
xr
r x xr
r r
J F r M F Mr
Jr
J F r r mx r mgsin r
SS
S A SA
S
1 12 3
31
2
3 1
33
1 2
1 1 11
11
1
2 2 3 3 3
1
0
0
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕϕ
ϕ α
= =+
⇒ = +
= ⇒ = =
+ − = = −
− + + ⋅ + ⋅ =
&& &&
&& &&
( ) ( )
( )( )
( )
KsvvdvsdKvdsdv
dtds
dsdv
dtdvK
KttsKttsK
rr
rJ
rJm
mgtstx
mgrr
rJ
rJmx
rrrmgrMM
mgxmr
rrrxJ
rrr
rM
rxJ
rrrmgrMxfürM
rmgrxmrrr
Jrrr
MJ
vs
AA
A
AA
A
2
21)(0)(
1
sin)()(
sin1
sin22
0sin
sin0,0
0sin
00
22
3
12
1
12
3
2
2
3
12
1
12
3
2
32
31min
21
232
23
13
32
12
32
32
31min1min
33321
1132
12
==⇒===
=+==
+++
==
=
+++
+==
=+++
+
+−
+=⇒===
=⋅+⋅++++−
∫∫
&&&&&
&&
&&&&&&
&&&&&&
&&&&&&
α
α
α
α
αϕϕ
αϕϕ
J1 1&&ϕJ2&&ϕ
FS
FN FT
x
ϕ
ϕ1
MA
mx&&mg
Lösung 3.23
( ) ( )
( )
)6(2;)5(2:
)4(0c)3(0
sin)2(0
)1(0
11
22
32
32321
21222
111
rx
rxZB
osgmmFF
gmmxmmFFrFrFJ
MrFJ
N
N
SS
SS
AS
==
=+−=−
+−+−+=+−
=−+
ϕϕ
αµ
αϕϕ
&&&&&&
Ab hier falsch da, ZB1 falsch eingesetzt-> Faktor 2
( ) ( ) ( )
( ) ( )
F Mr
J xr
F Mr
J xr
J xr
in eingesetztMr
J xr
Mr
J xr
J xr
m m x m m gsin m m gcos
x m m Jr
Jr
Mr
m m gsin m m gcos
SA
SA
A A
A
= −
= − −
− + − − − + − + − + =
− + + +
= − + + + +
11
12
11
112 2
22
11
12
11
12 2
22 2 3 2 3 2 3
2 3 112 2
22
12 3 2 3
2 1
2 2
3
2 2 0
4 1 1 2
&& ( ')
&& && ( ' )
( ) :&& && && &&
&&
&
α µ α
α µ α
( ) ( )& .x
Mr
m m g
m m Jr
Jr
konst a
v at s at
A
=− + +
+ + += =
= =
2
4 1 1
12
12 3
2 3 112 2
22
2
sin cosα µ α
11ϕ&&Jx
ϕ1
ϕ2
µFN FN
m3g
MA
m2g
FS
FS1 xmm &&)( 32 +
22ϕ&&J
α
Energiebilanz:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
M m m gcos x J J m m x m m gsin x
J J m m x m m gsin x M m m gcos x
ZB einsetzen
x Jr
m m m x m m gMr
ddt
xx J
A
A
A
ϕ µ α ϕ ϕ α
ϕ ϕ α ϕ µ α
α µ α
1 2 3 1 12
2 22
2 32
2 3
1 12
2 22
2 32
2 3 1 2 3
21
12 2 2 3 2 3
1
12
12
12
12
12
12
0
12
41 1
22 0
4
− + ⋅ = + + + + + ⋅
+ + + + + ⋅ − + + ⋅ =
+ + +
+ + + −
=
& & &
& & &
:
&
&&&
sin cos
( ) ( )
( ) ( )
112 2 3 2 3
1
12 3
112 2 3
1 32
2 0 0
2
4 1 32
rm m x m m g M
rx
x
Mr
m m g
Jr
m m
A
A
+ +
+ + + −
= ≠ ⇒
=− + +
+ +
& &
&&
sin cos
sin cos
α µ α
α µ α
Lagrange:
( )[ ] ( )
( )
( ) ( )
ddt
Lx
Lx
Q Q Wx
L T U J J m m x m m gsin x
x m m Jr
Jr
m m gsin x
W M m m gcos x xMr
m m gcos
ddt
Lx
m m Jr
Jr
AA
∂∂
∂∂
δδ
ϕ ϕ α
α
ϕ µ α µ α
∂∂
&* * *
& & &
&
*
&
− = =
= − = + + + − + ⋅
= + + +
− + ⋅
= − + ⋅ = − +
= + + +
1212
4
2
4
1 12
2 22
2 32
2 3
22 3
1
12
2
22 2 3
1 2 31
2 3
2 31
12
2
2( )
( )
( ) ( )
2 2 3
12 3
2 31
12
2
22 2 3
12 3
2
4 2
= − +
= − +
+ + +
+ + = − +
&&
*
&&
x Lx
m m gsin
Q Mr
m m gcos
m m Jr
Jr
x m m gsin Mr
m m gcos
A
A
∂∂
α
µ α
α µ α
Lösung 3.24
22
coscos
0cos3in
cos2aus3020cos
1
RJm
RrF
xRrF
RJmx
FRRxmFrRxJ
FxmFRFFrJS
FxmFRxxR
S
S
S
T
TS
T
+
−
=
−=
+
=−++
+−=
=−+=−+←
=⇒=
αα
α
αϕ
α
ϕϕ
&&&&
&&&&&&
&&&&
&&&&
:)(
:)()(:)(:
)(
für rR
x Beschl in x Richtung
rR
x
rR
x Beschl in neg x Richtung
cos
cos
cos
α
α
α
> ⇒ > −
= ⇒ =
< ⇒ < −
&& ( . )
&&
&& ( . . )
0
0
0
mx&&S r
R
x
mg
FN
F
FTP
ϕJS&&ϕ
α
Lösung 3.25
ϕ ϕ
ϕ
ϕ
α
α
α
2 3
2 2 2
3 3 3
1 2 3 1
122
32 1 2 2
23 3
2
1
12 3
2 03 01 0
12
12
2 2
= =
− =
− =
+ + − =
+ + = = =
=+ +
sr
sr
Rolle J F rRolle J F rMasse m s F F m gsin
m s Jr
s Jr
s m gsin J m r J m r
sm gsin
m m m
T
T
T T
: &&
: &&
: &&
&& && &&
&&
( )L T U m s J J m gs
s mm m
m gs
= − = + + + ⋅
= + +
+ ⋅
1212 2 2
12
2 22
3 32
1
21
2 31
& & &
&
ϕ ϕ α
α
sin
sin
( ) ( )
( ) ( )
++
−⋅=−==
++−
=−
=⇒=−⇒−==
====⇒===
++=+==
++
=
=
++=
22
sin22
sin22
22
21:
210,00,00:
21
22
sin
sin22
321
1
1
321
2
221
212
132
1
1
132
1
mmm
algmKalKtv
gm
mmmal
KaltKtalalsttEB
KtsKtsCCsstAB
CtCKtsCKtsKmmm
gms
gmsLmmms
sL
dtd
EE
EEE
α
α
α
α∂∂
∂∂
&&
&&&
&&&
m s1&&
J3 3&&ϕ
J2 2&&ϕa
m1gFN3
FN2
FT3
FT2
h α
sϕ2
ϕ3r
r
FT2
FT3
U=0
s
α
Lösung 3.26
( )
( )
ϕ ϕ= = − = −
= − −
− − − = ⋅
+ + −
= −
= + = =
xr
x R r Rr
x
F m g m Rr
x
F R r Jxr
m x rr
x mJr
mRr
m gRr
J J J J m r J m R
S
S
A B A A B B
21 2
1 1 2
22
2 2
2 222 1
2
1
22 2
1
1
01
1 1
2 12
12
&&
&&&&
&&
J2&&ϕ
m x2 2&&
x2
x1
FS
FS
m1g
11xm &&
FT
ϕ
FN
m2g
22
22
21
121
22
44
22
22222
244
2
222
11
1
2121
22
−
+
−
+=
−=
++
=
+=⇒+=+=
⋅=⋅=+=
rRr
J
rR
mm
gmxrRx
bRdrbRdrmJ
bRdrmbRdrmbRdrJ
bRmdrmmmm BABA
&&&&
πρπρπρ
ρπρπ
( ) ( )T m x m x J U m gx z B ddt
T U= + + = − + =12
02 22
1 12
22
1 1& & & . .ϕ
Lösung 3.27
r r x R x x
ZB x x x xR
rr
xR
Antrieb M F r J rr
xR
Rad J xR
F R F r
Rad JxR
F R F R
Masse m g m x FMasse m g m x F F
A
S
S S
S
S S
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2
2 1 3 2 12
1
0 1 12
1
2 1 0 2
3 2 3
1 1 3
2 2 1 2
0
2 0
3 0
1 02 0
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
= = = =
= = = = =
− − =
+ − =
− + =
+ − =
− + − + =
:
: &&
: &&
:&&
: &&: &&
23
22
21
2
1
221
121
2
112221
21
1
223
2221
21
1
22113
21
21
1
21
1
21
10
01
1
11
RJ
RJ
RJ
rrmm
gmgmR
Mrr
x
xmgmxmgmRxJ
Rx
rrJM
rr
RRxJ
xmgmRxJ
Rx
rrJM
rr
RFxmgmF
RxJ
Rx
rrJM
rr
RF
Rx
rrJM
rF
A
A
ASS
ASA
++
++
−+=
=+++−
−
−−
−+
−
−=+=
−
−=
−=
&&
&&&&&&&&&&
&&&&&&&&
&&&&&&
J1 1&&ϕ
J3 3&&ϕ
m x2 2&&
J2 2&&ϕ
FS≈0 FS1
FS2
FS3
F0
F0
x1
x2
ϕ2
ϕ3
ϕ1 MA
m1g m2g
m x1 1&&
R
r1r2
R
Lösung 3.28
( ) αα
αα
αα
αϕαϕ
ϕϕϕ
sin71sin
sin74sin2
21
21
0sinsin
0sin:0sin:
22
2121
11212222
2222
1111
2121
mggxxmF
gxmgmmmmx
mrJmrJmmm
gmxmrxJgmxm
rxJ
rgmrxmrFJmrgmrxmrFJm
rxxxx
S
S
S
=−+=
==
+++
====
=−++−+
=⋅−+−=⋅−++
=====
&&&&
&&&&
&&&&&&&&&&&&
&&&&
Lösung 3.29
( )
( ) ( )
( )
A J mgl l J ml
ml mgl ll a g
F ml mg
F m l g
la g d
d la g d
l a g d
A A
S
S
: &&
&&&&
: &
&
&&&
& * * * &
& * * *
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕϕϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ
ϕ
+ = =
+ =
+ + =
− − + =
= + −
= − + = − + =
= − +
∫
∫
sin + ma cos
sin + ma coscos sin
cos ma sin
cos a sin
cos sin cos sin
cos sin
0
0
0
0
0
00
0
1 1 12
2
2
2
0
2
2
0 00
2
20
0
Lösung 3.30
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
L T U J m x m x m gx m gx x r x r
L J m r m r g m r m r ddt
L L
J m r m r g m r m rg m r m r
J m r m r
A
A
AA
= − = + + − − − = =
= + + + +
− =
+ + − + = =+
+ +
12
12
12
12
0
0
21 1
22 2
21 1 2 2 1 1 2 2
21 1
22 2
21 1 2 2
1 12
2 22
1 1 2 21 1 2 2
1 12
2 22
& & &
&&
&& &&
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ∂∂ϕ
∂∂ϕ
ϕ ϕ
m x1 1&&
J1 1&&ϕJ2 2
&&ϕx1
x2
FS
FN1
FT1m1g
FT2
FN2m2g
rr
ϕ2
ϕ1 m x2 2&&
Aa0
ma0
mg
ϕ
JA&&ϕ
ma0
mg
FS
ml&&ϕ
ml &ϕ2
( )
( )
( )
F m g m r m g rg
m gJ m r r rJ m r m r
F m g m r m g rg
m gJ m r r rJ m r m r
F Forderung F liefert J m r r r
SA
A
SA
A
S S A
1 1 1 1 11
12 2 1 2
1 12
2 22
2 2 2 2 22
21 1 1 2
1 12
2 22
2 1 2 2 1 2
1
1
0 0
= − = −
=
− −+ +
= − = −
=
+ −+ +
> > > −
&& &&
&&&&
, :
ϕϕ
ϕϕ
Lösung 3.31
( )
( )
ZB sr
r r rr
sr
Masse m ms mg FScheibe J M F r
Scheibe J J F r F r
F ms mg F Mr
J rr
sr
J J sr
rr
M J rr
sr
msr mgr
S
A S
S S
S SA
A
:
: &&
: &&
/ : &&
&& &&
&& && &&
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ
ϕ
23
2 2 1 1 12
1 3
2
1 1 1 1
2 3 2 1 2 2 3
2 11
12
12
3
2 33
2
11
22
12
33 3
01 0
2 3 0
0
= = ⇒ =
+ − =
− + =
+ − + =
= + = −
+ − + + + =
( FS = 0 , da Riemenabtriebsseite ohne Last)
( )
( )
KssKdssdssdssdKsoder
Kss
Kst
KtsKtsK
mr
JJrJ
rr
mgsMM
mgrrrMMsfürM
mr
JJrJ
rr
mgMrr
r
s
AA
AAA
A
221.3
212.2
0.1
2
2
23
322
1
1
2
3
2
min
2
31minmin
23
322
1
1
2
3
2
31
2
=====⇒=
===
++
+
=⇒=
==⇒=
++
+
−=
&&&&&&&&&
&&&
&&&&
FS1FS2
m1gm2g
m x1 1&&m x2 2&&
( )J J2 3 2+ &&ϕ
J1 1&&ϕ FS1
FS=0
FS2
mg s
ms&&
ϕ2ϕ1
r1
r2
r3
MA
Lösung 3.32
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )
)2()2(2)1()(2)2(
2)2()(
)2()(
22:
1
1
13
21
2133
2211
12132131
3
mglmMxMmglmMxmM
lxgMlxgmMxgmMxgM
FFxgmMFxgmMFxgMF
lxxxxxxxxlxfZB
SSS
SS
−=++−=+++
⋅+=⋅++−+=+
=++=−+=+=
⋅+=⇒+=+−=⋅==
ϕϕ
ϕϕ
&&&&&&&&
&&&&&&&&
&&&&&&
&& && && &&x l gMm
Mm
xg M
mMm
Mm
xg M
mMm
Mm
3 1 2
1 8 1
4 1 1
1 8 1
4 1 3
1 8 1= = −
+ +
=+
−
+ +
=+
−
+ +
ϕ
F F Mg
Mm
Mm
Mm
Mm
xl
gl M
mMm
S S2 134
1 2 1
1 8 1
1
1 8 1= =
+
+
+ +
= = − ⋅+ +
&& &&ϕ
Lösung mit Lagrange:
( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) )(222)(256
22
562222
222
)(22
2222
222221
1**
1
21
21
21
1
1
1111
111
11222
121
IImgxMlmMIIIIImgxmMlmM
mglmMlmMlgL
lmMxlmMlmMllxmMLdtd
lmMllxmMLImglmMxmM
mgmMMgxL
lmMxmMlxmMxMxL
dtdlxmMxM
xL
lmMlxmMMxglmMlxmMxML
−=−+⇒−=+++
=+++−−=∂∂
+++=++⋅++=
∂∂
++⋅++=∂∂
=+++
=−−−=∂∂
+++=+++=
∂∂
+++=∂∂
++++−−+++++=
&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&
&&&&
&&&&
&&&&&&&&&&&
&&&&
&&&&
ϕϕ
ϕ
ϕϕϕϕ
ϕϕϕ
ϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕϕ
FS1 FS2
FS3
x1x2
x3
ϕ
(M+m)gMg
(2M+m)g
Mx&&1 ( )&&M m x+ 2
( )&&2 3M m x+
Lösung 3.33
( ) ( ) ( )
( )
L T U J m m x m m gsin x
W m gcos x m gcos x r
ZB x x x xr
L x m mJr
xg m m
W m gcos x
= − = + + − − + ⋅
= − ⋅ − −
= = =
= + +
+ +
= − ⋅
12
12
1
12
12
1 22
1 2
2 2 1 1
1 2
21 2
12 1 2
2 2
& &
. :
&
*
*
ϕ α
µ α µ α ϕ
ϕ
α
µ α
sin
( )
( )
+
−+=
−=+=
+=
==−
21
2221
22*
2121
211
*
23
cossin
cossin23
21
mm
mmmgx
gmQgmmxLmmx
xL
dtd
rmJQxL
xL
dtd
αµα
αµα∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
&&
&&&
&
Kräftegleichgewicht in Richtung der Schiefen Ebene für die Masse m2:
( )αµααµα osmm
mgmxmosgmgmFS c3sin23
csin 221
122222 −
+=−−= &&
( ) ( )
( )
212
12
1 2
12
1 22
1 2
1 1 2 2 1 1
. :
& &
*
ZB x x x r x
L J m m x xg m m
W m m gcos x m gcos r
= = ≠
= + + + +
= − + ⋅ + ⋅
ϕ
ϕ α
µ µ α µ α ϕ
sin
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
ddt
Lx
Lx
Q ddt
L L Q J m r
ddt
Lx
x m mLx
m m gsin Q m m gcos
ddt
L J m r L Q m grcos
x m m m m gsin m m gcos
∂∂
∂∂
∂∂ϕ
∂∂ϕ
∂∂
∂∂
α µ µ α
∂∂ϕ
ϕ ϕ∂∂ϕ
µ α
α µ µ α
& &
&&&
&&& &&
( ) &&
(
* *
*
*
− =
− = =
= + = + = − +
= = = =
+ − + = − +
1 2 1 12
1 2 1 2 1 1 1 2 2
1 12
2 1 1
1 2 1 2 1 1 2 2
12
12
0
1
( )( ) ( )
212
21
21 1
1
1 1 2 2
1 21 2
1 2
1 2
) && &&
&&
m r m grcosgcosr
x gm mm m
F m m gcosm mS
ϕ µ α ϕµ α
α αµ µ
µ µα
= ⇒ =
= − ⋅++
= − ⋅+
sin cos
Lösung 3.34 Freie Koordinaten: x1, ϕ2, x3, ϕ4
xxϕ
x1
ϕ4 ϕ2
FS3
x3 FN µFN
m3g
FS2 (m1+m2)g
Zwangsbedingungen:
( )1323
4
21343
1,
,
xxrr
xrxxrx
−==
⇒+==
ϕϕ
ϕϕ
D´Alembert:
( ) ( )
( )
)(0
:)3(),1()2(
)(0
:)4()5(),3()5()4(:21
)3(0:2)2(0:4
)1(:3
324
22
33122
21322
22
211
211212
222
3244
3333
IIgmrJ
rJmxx
rJ
ZBundmit
IgmmxrJ
rJmmx
ZBundingmmFFxmmFuMassen
rFJMasserFrFJMasse
xmgmFMasse
NNS
S
SS
S
=−
+++−
=++−
++
+=++==−
=−+−=
&&&&
&&&&
&&&&&&
&&
µ
µϕϕ
Lagrange:
( ) ( )
( )
( )
( )
)(0
)(
0
0
1121
3322
24
3122
21322
122
21
*33
312
232
224
33
21*1
132
212
221
1
*3
33
*1
11
121*
33233
2324
21322
2121
IIgmxrJ
rJmx
rJ
IgmmxrJx
rJmm
QgmxLx
rJx
rJ
rJm
xL
dtd
gmmQxLx
rJx
rJmm
xL
dtd
QxL
xL
dtdQ
xL
xL
dtd
gxmmW
gxmxmxr
Jxxr
JxmmUTL
=−
+++−
+−=−
++
==∂∂
−
++=
∂∂
+−==∂∂
−
++=
∂∂
=∂∂
−
∂∂
=∂∂
−
∂∂
+−=
−−
+⋅+−⋅++=−=
&&&&
&&&&
&&&&&
&&&&&
&&
&&&&&
µ
µ
µ
Lösung:
( ) ( )
( ) gggxx
ggxgxadd
gxxm
mgxmxm
gxxm
mgxmxm
954925
19245
95681
19281219:.
242221
164208221
25
13
11
3131
3131
=−=+=
=−=−=
=+−⇒⋅=+−
−=−⇒⋅−=−
µµ
µµ
µµ
&&&&
&&&&
&&&&&&&&
&&&&&&&&
Lösung 3.35
Zwangsbedingungen: 221
21
41
3xx
rx
rx
=== ϕϕ
( ) ( )
( )
( )
( )
++−=−=
+−=−=−=−=
++++
+−
=
=
+−−
++++⇒=
∂∂
−
∂∂
24
23
1114
423
23
1113
312111111
24
23
421
421
1
42124
23
421111
2
441
21
021
4410
rJ
rJmxgm
rJFF
rJmxgm
rJFFxgmxmgmF
rJ
rJmmm
mmmgx
mmmgr
JrJmmmx
xL
xL
dtd
SS
SSS
&&&&
&&&&&&&&
&&
&&&
ϕ
ϕ
Lösung 3.36
ZB:
( )
( )613
6146
51
2
21
21
xxr
xxxrx
rx
−=
+===
ϕ
ϕϕ
( ) ( ) 6644311
266
255
233
2443
222
2112
1
gxmgxmmgxmU
xmJJxmmJxmT
UTL
−++−=
++++++=
−=
&&&&&& ϕϕϕ
X1
ϕ3
ϕ4
x1 x6
x4
ϕ2
ϕ3
ϕ5
X2
( ) ( )
( )
( )
+−+
++++=−=
++−=
++++=
4211
24
23
42121
24211
244
233
2242
211
21
441
21
21
mmmgx
rJ
rJmmmxUTL
gxmmgxmU
JJxmmxmT
&
&&&& ϕϕ
( ) ( )
( )
( ) ( ) mgmgxLxmxmxxmxxmmmx
xL
dtd
xL
xL
dtd
xL
xL
dtd
xxmgmgxmgx
xmxmxxmxxmxmxmL
−=∂∂
+=−+++
+=
∂∂
=∂∂
−
∂∂
=∂∂
−
∂∂
+⋅−+
+
++−⋅++⋅++=
283
825
81
21
212
00
2122
21
41
21
412
212
21
16161611
1
6611
6161
26
26
261
261
21
21
&&&&&&&&&&&&&&&
&&
&&&&&&&&
gxgxgxx
IinxxIIxxxmxm
mgmgxLxmxmmmmmxmmx
xL
dtd
Igxxmgxmxm
523
52178
17925
)(173)(01730
817
83
08
1783
21
81
21
81
21
)(08325083
825
6111
166161
66161
6
6161
−=⇒=⇒=−
−=⇒=+=+
=−=∂∂
+=
++++
−=
∂∂
=−+=−+
&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&
&&&&&&&&
Lösung 3.37
Freie Koordinaten: x, ϕ
Zwangsbedingung: ax
=ϕ
Fall 1) und 2) unterscheiden sich nur durch die Massenträg- heitsmomente. Massenträgheitsmomente Bezüglich A:
( ) ( )
( ) ( )
++=
+++=
++=++=
21
022
2222120
221
022
22120
192
332
22
612
)2
)(182
3322
612
)1
mmmaamamamamJ
PunktmassealsmmmmaamamamJ
A
A
1. D’Alembert
ϕ&&AJ
ϕ F
x
ϕ A
+
=
=−+=−
23
3
33 00
aJm
gmx
gmxmFaFJ
A
SSA
&&
&&&&ϕ
2.Lagrange II: nur Potentialkräfte
( )
+
==−
+
=∂∂
+=
∂∂
+
+=
−=
+=+=−==
∂∂
−
∂∂
32
3332
332332
2
332
22
32
0
2
2210
maJ
gmxgmmaJx
gmxLm
aJx
xL
dtdgxmm
aJxL
gxmUmaJxxmJTUTL
xL
xL
dtd
A
A
AA
AA
&&&&
&&&
&
&&&&
ϕ
3. Zahlenwerte:
22 417,0472)2436,0
452)1
smgx
smgx ==== &&&&
Lösung 3.38
Freie Koordinaten: ϕ1, ϕ2, ϕ3 ZB: r1ϕ1 = r2ϕ2 r3ϕ2 = r4ϕ3 gen. Koordinate: ϕ3
33
4
1
213
3
42 ϕϕϕϕ &&&&&&&&
rr
rr
rr
==
kWrr
rrMMPNmJ
rr
rr
rr
rrJ
tnM
nJ
rr
rr
rr
rrJ
tMtKtt
KthdCtABCKtK
KJ
rr
rr
rr
rrJ
MJrr
rrM
rr
rrJ
rJ
rrF
rrF
rJFrFJrFrFMJrF
AAA
A
AA
A
67,412,6632
2:
..,000:
0
000
33
4
1
21max2
4
1
2
3
3
4
1
21
0
3
33
24
1
2
3
3
4
1
21
0303330
3333
24
1
2
3
3
4
1
21
3324
1
2
33
3
4
1
21
4
32
2
32
2
31
4
322423232211111
==⋅==
+=
=+
⋅=⋅=⇒==
==⇒==+==
=+
=⇒=+−==
=⇒=−=−=−+
ωωπ
πωωωωϕ
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
ϕϕϕ
&
&&&&&
&&&&&&&&
&&&&&&
Lösung 3.39
22ϕ&&J 11ϕ&&J
ϕ2 ϕ1
FU
M FN
ϕ2
ϕ1
MA
11ϕ&&J
F2 F1
32ϕ&&J
ϕ3
( ) Nmbrbrt
rrnMbrrmJbrrmJ
nrrJ
rrJ
tMKttt
KtCCKtK
6,42222
2:
00)0(
22
212
11
2122
2
422
22
21
412
11
1
222
12
1
21
1
212221
2222
=+=====
=
+=⇒===
==⇒=+==
ρππρπρ
πωωωωϕ
ϕϕϕϕ
&
&&&&&
K
rrJ
rrJ
MMrrJ
rrJ
rJFrFJ
MrFJrrrr
UU
U
=
+
==−
+
=⇒=−
=−+
=⇒=
2
12
1
21
22
12
1
212
22
2222
111
21
212211
0
0
0
ϕϕ
ϕϕ
ϕ
ϕϕϕϕ
&&&&
&&&&
&&
&&&&&&
Lösung 3.40
( )
ϕϕϕϕϕ
ϕϕϕ
&&&&
&&&&
dd
Jmge
meJJmemgeJAmm
lmlmm
lmlme
mmm
A
SAS
==
+==+−
+−
=+−
=
+=
cos0cos:
222
2221
3221
21
32
21
[ ]
[ ]( )
( )412
1412
110:0
cossin21
cossin0sincos:
cossin3
sin200sincos21
cossin0cossin:
22
122
211
23
2232
2
222
22
2
2*
0
*2
22
lmllmlmlmJJ
memgFF
JmemgF
memgFmememgFJ
memgF
Jmgefürmit
Jmged
Jmge
meFmeFme
AA
AyAx
AAy
AyAy
AAx
AAA
AxAx
++++=
−===
−+=
−+=⇒=−+−↑
−=
=====
+−=⇒=++←
∫
ϕ
ϕϕ
ϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕ
ϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
&&&&&&
&&&
&&&&&&
Ergänzung: Schnittgrößen im dünnen Stab
30 lz ≤≤
2ϕ&me
ϕ&&SJ
FAx FAy
S
ϕ
mg
( ) 221
3 ϕρ &zlAz −
A ϕρ &&2
121 zAz⋅
( )ϕρ &&zlAz 21
3 −
ρAzg
M
FQ
FL ϕ
00
sin121
2
sin21
3
23
=⇒=
−
−
=
−
−=
L
AL
L
F
J
zlmeAzgF
gzlAzF
ϕ
ϕρ
ϕϕρ &
+
−−= ϕϕρ cos
21
3 gzlAzFQ &&
xm &&
( )
( )
+
+
−+−==
+
+
−
−
+−=
−+−=⇒=
232
212
21
32213323
232
212
21
32213
3
2
233
2
2
4
121)(
42
313
121
311
210
lmllm
lmlmlglmlzM
lmllm
lmlmzl
lzgmzl
Jme
lzgmM
A
ϕ
3
2
22
21
21)(
lzgmqzzM −=−=
Lösung 3.41
3
2
lgmq =z
ym && ϕ&&SJ
x
r
y
v
vcosϕ
vsinϕ ϕ mg ϕ0
( ) ( )
( )
−+−=
+
−+−=
−
+−=⇒==
−
+−=⇒=
−
+−=
zlJme
lzgmgzlzAzM
Jlme
lzgmF
lmAundAlmmit
JlmegAzF
JlmegAzF
A
A
z
Q
A
z
QA
z
Q
311cos
21cos
21
61
21
1
10cos1
33
2
232
23
32
3
232
2323
ϕϕϕϕρ
ρρ
ρϕϕρ
&&&&
ra
ra
aa
ryrxrv
aaar
===
−==⇒=
=+=
000
22
cos2
sin2
tan
sincos
524
ϕϕϕ
ϕϕϕϕϕ &&&&&
mgFFF xx 918,020
200 =+=
( )
mgmgmgmrmgFmgra
agmrmrF
ag
arr
g
rammaramgma
aymaxmamgJxmFymmgFGGW
maaamJrryrrx
yx
Sxy
S
t
2825
283sin
143
286cos
286
613cos2sin
0sin2
cos212
13
022
:0:
:
121349
12cossinsincos
0
0000
00
002
00
0
22222
0
=−=−==⋅⋅==
=++
=
=++−
=−+−=→+=↑
=
=+=−−=−=
==
ϕϕϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕϕϕ
ϕ
ϕϕ
ϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕ
&&&&
&&
&&&&&&
&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&
&
Lösung 4.1
W Fdr Fcos dr F kNm kJ
P Fv F kN ms
kW
S
S
= = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
= = ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅
=
∫ ∫r r r
rr
α α
α
cos s = 10 12
cos v = 10 12
3 3 10 25980 76
3 9 103 6 10
21 65
3
3
3
,
,,
Lösung 4.2
( )ϕϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕ
ϕ
coscos2)(
cos)(21cos
)(21cos
0cos
0
20
222
101
2211
−=
+=
==
==+=+
grv
mgrmvmgr
mvTmgrU
TmgrUTUTU
( )
( ) (mgFmgmgvrmF
smgrv
SS 33)(cos3cos2cos)()(
05,61cos2)(
02
0
+=−=−=
=+=
πϕϕϕϕϕ
ϕπ
Lösung 4.3
( ) ( ) glvglvvmglmvmv
UTUTa
360cos12cos121
21
.)
22
22
20
22
20
2211
+=°++=++=
+=+
α
glvglglglvdamitund
glvgl
vhdFistfür
lvamgmaF
N
nnN
243
..,0
0cos:
020
22
22
2
==+=
====
==−−
πϕ
ϕ
mgFmitglvglvzEnergiesatvb N −==== 33:0.) 0202
Lösung 4.4
Energiebilanzen:
022
21)(
21.2
7,89221
21.1
21
2
1
2
1
2
222
22221
211
12
11
1211
211
=−++
=+−
=−=⇒=−
lcc
clmg
clmgl
lcllmglc
scmgll
mcvmvmgllc
µµ
µ
µµ
FN mg
man
mat
ϕ
U=0
l1 l2
(0) (1) (2)
U=0 r
vm2
(2)
mg
FS ϕ ϕ0
(1) ϕ&&mr
cmcclllclc
cmlmglcc
mglc
cmgl
33,621
21.3
29,5121
2
11
*2
2*22
211
2
21
2112
22
==⇒=
=
−
+−±=
µµµ
Lösung 4.5
Impulserhaltung: 12
122211 v
mmvvmvm =⇒=
Energieerhaltung:
+=⇒+=
2
111
222
211
2 121
21
21
mm
cmvwvmvmcw
Lösung 4.6 1. Energiebilanz (Ausgangslage und horizontale Lage (mit U=0):
( ) ( ) ( )
01
22
22210
sin
3
232
33
233
1213
21sin
23
ϕϕ
ϕϕ
+
+
=
+=
++==
+
mM
mM
ag
mMaamamaMJJmMag
&
&
2. Energiebilanz (Ausgangslage und Endlage): für kleine Winkel ϕ2 gilt für die Federwege x1= aϕ2 und x2= 2aϕ2 und sinϕ2 ≈ϕ2<<sinϕ0
( ) ( ) ( ) 021
22122
220
2222
2110
sin4
26421sin
23
sin2
321
21sin
23
ϕϕϕϕϕ
ϕϕ
⋅+
+
≈⇒+=+
+
+−+=
+
cc
mM
agccamMag
mMagxcxcmMag
Lösung 4.7 Energiebilanz: Ausgangslage (U=0) – vertikale Lage – Lage mit maximaler Federzusammen-drückung
( )
22
1maxmax
111
21
21
max12
max2121
21cos2210
cos21
210
clmgl
lgmglml
mgllcmglJ A
=≈=⇒−=
−=−=
ϕϕωω
ϕϕϕ&
Lösung 4.8 Fallhöhe aus Vergleich der Energien ermittelt: Die kinetische Energie des Beiles beim Auftreffen auf den Boden wird mit der kinetischen Energie des Rasenmähers gleichgesetzt.
LDm
blhmDmJlmJ
JJJnJTTT
FeA
FeMAkerAnMMesser
MesserkerAnRMRMRMRMB
⋅=
=
==
+====
4
221
121
221
2
22
2000
πρ
ρ
πωω
Für das Beil gilt:
( ) RMB
RMB
BBBBB
JgmnHnJgHm
gHmvmUvmTTgHmUTUTUT
⋅=⇒=
======+=+
222
200
2000110011
2221
210
210
ππ
Zahlenwerte: mHgcmJgmgm RMAM 689,01085,61074,4283 243 =⇒⋅=⋅== Lösung 4.9
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )2
02
0
*20
*20
*
2
20
20
2
222
02
0
20
2220
tantan20tantan20
tantan221
21tan
21tan
21
tan
21
21
21
210
lblbmgbclbcmgblbcv
rJm
lbcmgblbcv
rvJmvlbcmgblbc
rvbh
lhcmghUJmvTlbcUTUTUT
II
II
IIII
IIII
IIIIIIIIIIIIIIII
−−−==−−−−⇒=
+
−−−−=
++−+=−
==
−+=+=−==+=+
αααα
αα
αα
ϕα
ϕ&
Lösung 4.10
Energiebilanz im Rohr: mclvmvcl =⇒= 0
20
2
21
21
00000:
21
0
34
0102
432
3
211
=⇒==⇒==⇒==⇒==
++−=+−=−=
+===
CyhChyvCvxCxtAB
CtCgtyCgtygy
CtCxCxx
&&
&&&
&&&
EB:
U=0
1
H
mB
mg
x
y
chmgwlh
vwg
vwttvwywxtt EEE 2
0210
22
000 ==−
==⇒===
Zahlenwerte: l = 9,9 cm; v0 = 8,09 m/s
Lösung 4.11 Energiesatz:
2200
2
200000
00
21cos
21cos
21cos
21cos
ϕ
ϕϕϕ
ϕϕ
ϕβ
ϕ
β
mvmgrmvmgr
mvTmgrmghU
mvTmgrmghU
TUTU
+=+
===
===
+=+
( ) 200 coscos2)( vgrv +−= ϕβϕ
Kräftegleichgewicht im Punkt 1 in Radiusrichtung:
( )[ ]
grv
vgrrmmg
rvmmg
fürFN
3cos
32cos
coscos2cos)(cos0
0
20
01
20101
12
1
1
+=
+−−=−=
⇒==
ββ
βββββ
βϕ
Zahlenwerte:
;75,3815;62,360:2
;91,4915;19,480:0
10100
10100
°=⇒°=°=⇒°==
°=⇒°=°=⇒°==
ββββ
ββββ
smv
smv
Lösung 4.12 Bewegung auf der Kreisbahn: r = konst.
0sin2 =−− NFmgmr ϕϕ& für 0=== NFωϕαϕ & Ablösen von der Bahn
αωαω sinsin 202
2022 rgv
rvmgmr ===
Schiefer Wurf:
αααα
αααα
coscos)0(sinsin)0(
sinsin)0(coscos)0(:
21
0
030
010
4
2
432
3
211
vCvyvCvx
rCryrCrxAB
CtCgtyCgtygy
CtCxCxx
=⇒=−=⇒−=
=⇒==⇒=
++−=+−=−=
+===
&&
&&&
&&&
x
0 y
β1
β0 h0
1
ϕ
ϕ h
ϕ&&r
2ϕ&rϕ
r ϕ&&mr
2ϕ&mrϕ
r
FN
mg
t=0
x
y
x0
y0
α
mg
v0
αααα sincos21)(cossin)( 0
20 rtvgttyrtvtx +⋅+−=+⋅−=
Bahnkurve (Zeit eliminieren):
( ) ( )
( ) ( )
313,35
31sin
021sin
23sin1
21sincos
21cossinsin
sinsincos
21
sincossin00),0(:
sincos
21cos
sincossin),(
sinsin
coscossin
cos21),(
sincos
20
2222222
3
3
22
3
2
00
2
00
⋅=°=⇒=
=−=−−=−+
⋅−+=⇒=
−−−+=
+−
⋅+
−−=⇒
−=
rgvund
rrrryBedingung
rxrxrrxy
rv
xrvv
xrgxyv
xrt
αα
ααααααα
ααα
αααα
ααα
αααα
αα
ααα
ααα
α
Energiesatz:
( )
( )
+=+
+=++=
++=+
+=+
3211
31
21
311
21sin1
sin1210
20
20
0011
rrrgvrh
mgrmvmgh
UTUT
α
α
Lösung 4.13
Bewegung auf der schiefen Ebene: αα sin221sin 1
21 glvmvmgl =⇒=
ββββ
ββω
ωϕ
cossin0cossin:
0sincos: 2
1
SNNS
NS
FmgFFFmg
FFmrrv
+==−+↓
=−−→
==&
cm
lr
wh
wwhÜberhöhungg
rfürF
FmgFmr
S
SS
6,20
sin21
tan1tansin:tan0
0sincos
sincos
2
*2
**
2**
2
=
+
=
+=====
=⋅+
−−
α
β
ββωβββ
ββ
ββω
1
h 0
U=0
mg β
FS FN
mrω2 r
Lösung 4.14
21313
233
2113311
2112
22
2112211
)(221
21
221
21
vhhgvmvmghmvmghUTUT
vghvmvmvmghUTUT
+−=+=+⇒+=+
+==+⇒+=+
( ) mrsmv
gvhhrr
gvrrrfürF
rvmmgF
rvmmgF
N
NN
917,295,62
0
0:
2
21
31*
23**
23
23
>=+−=>
=⇒==
−==+−↑
Lösung 4.15
cmxcmxcmx
vcm
cmglx
cmgx
mgxcxmglmv
3,1401901
0sin2sin2
sin21sin
21
max2
max2max
21max
2max
max2max
21
==−⋅−
=−−⋅−
−=+
αα
αα
Lösung 4.16
0 – Ausgangszustand (U=0) 1 – Endzustand mS = ql Schwerpunkt des Seiles bei 2l
.
21
2121
2
1
221100
1100
221
22
22210
222100
+
==
+
=⇒−
+=
−=
+====
+=+
dmJ
glmndmJ
glmlgmdmJ
lgmUdmJJmitJTUT
UTUT
S
S
S
SSS
SSgesges
ππϕϕϕ
ϕ
&&&
&
Lösung 4.17 0 – horizontale Lage mit U=0 1 – vertikale Lage
( ) ( )
( ) ( )22112
222
11
221122
21122222
211
112222
2
112222
222
1221121
22111222
211
21100
1100
22
2021
2100
lmlmfürlmlm
lmlmglvlmlmfürlmlm
lmlmglv
Jlmlmg
lvlmlmgJ
glmglmUlmlmJmitJTUT
UTUT
AA
AA
>+
−=>
+−
=
−==⇒=−+
−=+====
+=+
ϕϕ
ϕ
&&
&
rvm
23
3
mg
FN
v3
l xmax
U=0 2
Lösung 4.18
( ) ( )
( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]
T U T U
c l l mv c l l mgl l l l cm
v cm
l l l l gl
v glcm
l l l lcms
ms
F F
F F
F F
1 1 2 2
12
22
22
2 12 2
22
12
22
2 22
12
012
12
12
25
2
2 148 1 48
+ = +
+ − = + − − = + =
= − − − +
= − − − − = = ,
Lösung 4.19
( )
( )
T U T U J m a
cb J mga J J m a ma
cb ma mgacm
ba
ga s
S
S
1 1 2 22
20 2
20
2 2
2 222
2
2
112
5
0 12
12
1 5 1 5 133
12
136
1 53
139
135 72
1
+ = + =
+ = + = + =
= + =
− =
ω
ω ω
, ,
, ,
( )
( )
0 0 0 0
0 0
0 73 88
2 2
0 0
0 22
0 22
::
: ,
J mr J mr
F mr F
F mg mr F m g r N
S S S S
x S x
y S y S
α α α α
α
ω ω
+ = + = =
→ − = =
↑ − + = = − =
Lösung 4.20
gxgxxL
xL
dtd
mgxmmmmxL
rxxv
rxxrxrxrx
mrJmrJmgxJmvxmJUTL
ZZZ
RZZZZZZR
ZZRRZZZR
1740
4170
43
23
21
22122
21,
21
216
21
21
2
222222
==−=−
+
+++=
=======
==+
+++=−=
&&&&&
&
&&&&&
&&&
∂∂
∂∂
ϕϕϕϕϕ
ϕϕ
S
S 01
2
1,5a
S
F0y
0
mrSα
F0x
mg
mrSω22
JSα
Lösung 4.21
( ) ( )[ ]( )
( )
T m x m x l l U m glcos
L m m x m lx m l m glcos
L m lx m l L m lx m lx m l
Lm lx m glsin
Lx
m m x m l Lx
= + + + = −
= + + + +
= +
= − +
= − −
= + + =
•
12
12
12
12
0
12
22 2
2
1 22
2 22 2
2
2 22
2 2 22
2 2
1 2 2
& & & &
& & & &
&& &
&&& & & &&
& &
&& &
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
∂∂ϕ
ϕ ϕ∂∂ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
∂∂ϕ
ϕ ϕ ϕ
∂∂
ϕ ϕ∂∂
cos sin
cos
cos cos sin
sin
cos
( )
( )
∂∂
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
Lx
m m x m l m l
x l gsin m m x m l m l
&&& && &
&& && && && &
= + + −
+ + = + + − =
•
1 2 2 22
1 2 2 220 0
cos sin
cos cos sin
Lösung 4.22
( )( )
( )αµαµ
µαµααµα
cossin1cossin
0cossin
−=
=−=+−
k
mgkmglklmgmgl
( )
lCvCltvxlxttCtxCtx
CCxxtCtCCtxCCtx
Cgxmgmgxm
22,:21
0,00,0:021
cossin0sincos
11112
21212
1
==⇒=====
==⇒===++=+=
=−==−+
&&
&&
&&&&
αµαααµ
( ) kvonBestzurkxg
vtxtt
vCCvxxt
CtCgtxCgtxgxmgxm
EE .:0:
00:0210
1
1341
432
3
==⇒==
==⇒===
++−=+−=−==+
µ
µµµµ
&
&
&&&&&
m1x, &x
m2
ϕ
ϕ, &ϕ l &ϕ
∇
2 1
k U=0
x
mg FR
FN
x
xm &&
mg FR
FN
xm &&
( ) ( )αµαµαµαµ
cossin21cossin
222*1
* −+−
=+=+=gl
gl
glC
Cltttt E
Schwingungen Lösung 5.1
( ) ( )( )
( )
MgcaMaT
MaMgca
MaMgca
AusschlägekleineaMgcaJ
caFaMgMgaaFJ
MaMaaMaMJ
A
CCA
A
5822
850
85
sin,1cos0sin5cos
sin0sin2sin3cos
83231212
2
2222
+==
+==
++
≈≈⇒=++
==+++
=++=
πωπωϕϕ
ϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕ
&&
&&&&
( )
MgcaMaT
MaMgca
MaMgca
AusschlägekleineaMgcaJ
aMgMgacaJ
A
A
5822
850
85
sin,1cos0sin5cos
0sin2sin3cossin
2
2
−==
−==
−+
≈≈⇒=−+
=−−+
πωπωϕϕ
ϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕ
&&
&&&&
Für Mgca 5≤ ist keine Schwingung möglich.
caMaT
Maca
Maca
MgaaFchtGleichgewiStatischesMgaaFcaJ
AusschlägekleineMgaaFcaJ
aMgMgaaFacaJ
v
vA
vA
vA
8228
08
05:05
sin,1cos0cos5cossincos
0cos2cos3coscossin
2
2
2
πωπωϕϕ
ϕϕ
ϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕ
====+
⇒=−=−++
≈≈⇒=−++
=−−++
&&
&&
&&&&
Man erhält Lösung b.) aus a.), wenn man 5Mg durch –5Mg ersetzt, c.) ohne Schwerkraft. Lösung 5.2
T
TTT c
JTJc
JccJ π
ωπωϕϕϕϕ 22000
0 ====+=+ &&&&
ϕ&&AJ
Mg
3Mg
FC ϕ
ϕ&&AJ
Mg
3Mg
FC
ϕ
ϕ&&AJ
Mg 3M
FC ϕ
Fv
ϕ cTϕ
ϕ&&J
Bestimmung von cT: Fall a.): Federn parallel
4
2
2
1
121
2
222
1
111
2121
32dI
lGI
lGIMMMc
GIlM
GIlM
cMMMM
ppp
Tpp
T
πϕϕ
ϕϕ
ϕϕϕϕ
=+=+
====
==+==
Jld
ld
Gld
ldGcT
+
⋅=⇒
+= 2
42
1
41
02
42
1
41
3232πωπ
Fall b.) Federn hintereinander
+
⋅=⇒
+=
=+
=+
====
====+
42
24
1
10
42
24
1
1
4
2
2
1
1212
222
1
111
2121
132
132
321
dl
dlJ
G
dl
dl
Gc
dI
GIl
GIl
MMcGI
lMGI
lMcMMMM
T
p
pp
Tpp
T
πωπ
πϕϕϕ
ϕϕ
ϕϕϕϕ
Lösung 5.3
lEAc
EAFlclcxcFFFederkraft
mcx
mcxcxxm
chtGleichgewistatmgxc
c
v
=⇒⋅=∆⋅=⋅==
==+⇒=+
=−⋅
200
.0
ω&&&&
Lösung der Differentialgleichung:
( ) ( )
kNNlmg
EAvmgF
mcvmgvcmgxxcFtvcmgxxcF
tvtx
vBBvvxAAxtAB
tBtAxtBtAx
S
vSvS
81,491081,491
sin
sin)(
)0(0100)0(0:
cossinsincos
32
2
max
maxmax
=⋅=
+=
⋅+=⋅+=+=⋅+=+=
=
=⇒===⇒⋅===
+−=+=
ωω
ω
ωω
ωω
ωωωωωω
&
&
xv
x cx st. RL
xm &&
Lösung mit Hilfe des Energiesatzes:
( ) ( )
( ) .0.
21
21
21
21
2222
22
21
22
21
DglUTdtdkonstUT
xxmgxxcU
mgxcxUxmTmvT
vv
vv
⇒=+=+
+−+=
−=== &
( ) ( )
( )
mcvmgcxmgFcmvxmgcxxcxmv
xxmgxxcmgxcxmv
Thdxistxxfür
S
v
vvvv
+=+=
==−=−
+−+=−+
===
maxmax
maxmax2max
2
max2
max22
2max
021
21
21
21
21
0..0&
Lösung 5.4
U=0 xv
x st. RL 1
2
ϕ&&21lm
22 ϕ&lm
ϕ&&lm2
FAx
ϕ&&SJ
m2g
m1g
ϕ
FAy
( )
0sin
3121
31
20sin
21
0sin21
41:
0cos21sin
21:
0sin21cos
21:
21
212
21
22
2
121
212
21
212
21
212
2121
=
+
+
+
+=
+
+==
++
=
++
++
=
++
+−←
=
+−
+−+−↑
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
lmm
gmmlmmJ
lmlmJJmitglmmJ
oderglmmlmmJA
lmmlmmF
lmmlmmgmmF
A
SAA
S
Ax
Ay
&&
&&
&&&&
&&&
&&&
( )
( )020
20
200
20
020
2*20
2
20
20
21
2120
20
coscos2cos2cos20
0:0cos2cos21
sinsin
3121
0sin:.
ϕϕωϕϕωϕω
ϕϕϕϕωϕϕωϕ
ϕϕωϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕωϕ
ωϕωϕ
−=−=⇒+=
===+=+−−=
−==⇒===−=
+
+
⋅==+
&
&&&
&&&&&&&&&&
&&
CC
tCC
ddddd
dtd
dd
dtd
mm
mm
lgmitDgl
Damit erhält man die Auflagerreaktionen:
[ ]
( ) [ ]
( ) [ ]
[ ] ( ) [ ]02021210
2021
022
02121
22
20
2202121
02021
cos1212cos23
21
1cos,sin:
1coscos2cos321
1cossin
sincoscos2cos221
cos2cos3sin21
ϕωϕϕω
ϕϕϕϕ
ϕϕϕω
ϕϕ
ϕϕϕϕω
ϕϕϕω
−
+++=−
+=
⇒≈≈
−−
+++=
−=−
−−
+++=
−
+=
lmmgmmFlmmF
giltWinkelkleinefür
lmmgmmF
mit
lmmgmmF
lmmF
AyAx
Ay
Ay
Ax
Lösung 5.5
Federkonstante der Blattfeder: ( )33233
dbEI
lEIc
+==
Reihenschaltung: ( ) EIdbcEIc
ccccc
33
31
1
21
21
++=
+⋅
=
Unter der Voraussetzung, daß das stat. Gleichgewicht erfüllt ist, gilt: ZB: x = bϕ x1 = (b+d)ϕ
( )( ) ( )
( )( )
( )( ) c
mbJdb
TmbJdbc
mbJdbc
dbcmbJ
dbcxbxmJM
S
SS
S
SA
2
2
22
2
2
22
1
220
0
0:0
++
==++
==++
+
=+++
=+++⇒=∑
πωπωϕϕ
ϕϕ
ϕ
&&
&&
&&&&
Lösung 5.6
cmT
mc
mccama
mamamamaJJ
aaxaxcJ
SA
A
3230302
32
32
21
61
21
2sin20cos2
222
2222
πωϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
===+=+
=+=+=
≈==⋅⋅+
&&&&
&&
Ermittlung von JA:
( )
2444
0 0 0 0
2222
222
)(
22
32
32
31
31 mabaaab
dxdyydxdyxbbdxdyyxJ
yxlbdxdydmdmlJbam
a a a a
A
mA
==
+=
+=+=
+====
∫ ∫ ∫ ∫∫∫
∫
ρρ
ρρ
ρρ
Lösung 5.7
( ) ( )
( ) ( )
( )
00
31
41
121
21
21
222
2112
11222
2122
21
212
221
2
12221
=+
+=++
−+=
−++=+=
−=−=+=
ϕϕϕϕϕA
A
ASSA
SASS
JlclclclcJ
llllm
llmllmmlJJ
llllllll
&&&&
πω
ωπωω
223 0
0021
22
21
222
211
0
222
2112
0 ==−+
+⋅=
+= fT
lllllclc
mJlclc
A
x
ϕ&&SJ
xm && A
cx1 ϕ
ϕ&&AJA
c . x st. RL
ϕ
x dx
dm dy
y
A l
c2l2ϕ
ϕ&&AJ
A S ϕ
c1l1ϕ lAS
Lösung 5.8
J cr J J mr mr
crJ
cm
cm
fT
cm
T mc
A A S
A
&&
&& &&
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
ωωπ π
π
+ = = + =
+ = + =
= = = = =
4 032
40
83
0
2 23 2
1 1 23
32
2 2 2
2
Lösung 5.9
ZB r x r x x xxr
L T U mx J Mx cx
x mJr
M c x J Mr
A A
A A A
AA
:
& & &
&
ϕ ϕ ϕ
ϕ
= = = =
= − = + + −
= + +
− =
212
12
12
12
12
12
12 4
14
12
14
12
1 11
12 2 2 2
12
2 12 2
∂∂
∂∂
ω ω ω ω ω ω ω
ωω
ωω
Lx
Lx
x m M cx x c
m Mx
c
m Mx t Asin t Bcos t x A t B t
AB t x B x v v A A v
x t v t
&&& &&
( ) &
: &
( )
1 11 1 1 1
21 1
1 1 0 00
10
0 38
14
04 3
2
0
4 32
0 0 0
− = +
+ = +
+
=
=+
= + = −
= = = = = =
=
•
cos sin
sin
A
c2rϕ
JA&&ϕ
AxAx1
ϕ
Lösung 5.10
A
B
S
a
b
mg
ϕ
JA &&ϕ
( ) ( ) ( )
( )[ ] ( ) ( )2
2
2
222
2222222
222222
22222
22
22
2
2
22
222
222
4
8448
2)(44
44
4mit0
4mit0:rtlinearisie
0sin:Banalog0sin:A
mamgaTJ
lgTTlgTlallgTlgTTa
alalaTalaTgbambTaTmg
mbJmgbTmaJmgaTalblbambJJmaJJmgb
JTJ
mgbJ
mgbmga
JTJ
mgaJ
mgamgbJmgaJ
AS
BA
BBBA
BABA
SB
SA
SBSA
BB
BB
B
AA
AA
A
BA
−=
−+−
⋅=−=−+
+−−=−−−=−
+=+=
−==++=+=
===+
===+
=+=+
π
ππ
ππ
ππ
ππ
πωϕϕ
πωϕϕ
ϕϕϕϕ
&&
&&
&&&&
Lösung 5.11 ( )
gAmT
mgAx
mcx
gAmgxcmgxcxcxm
Fl
FlFl
Fl
FlFlFl
ρπρω
ρ
20
c:tFlüssigkeideranteFederkonst00
20
Fl
00
===+
==−=−++
&&
&&
Lagrange:
( ) ( )
( ) ( ) 00
21
210
00
02
02
=+=−++⇒++−=∂∂
=
∂∂
+++−==∂∂
−
∂∂
xmcxmgxxcxmmgxxc
xL
xmxL
dtdxxmgxxcxmL
xL
xL
dtd
FlFlFl
Fl
&&&&
&&&
&&
Lösung 5.12
sTsm
cxmcxmrJ
cxrJmxcxrrxmJA
rxZB
S
SS
1571,021403220
38
21
0404:
:
2
2
=====+=
=+
+⇒=++
=
ωπω
ϕ
ϕ
&&
&&&&&&
Lösungsansatz:
22
0max2
0
0max00
00
22
16cos
4,0sincos
00:0:cossinsincoscossin
smxxtxx
smxxtxxtxx
AxxBxxtABtBtAxtBtAxtBtAx
==⇒−=
==⇒−==
=⇒==⇒==−−=−=+=
ωωω
ωωωω
ωωωωωωωωωω
&&&&
&&
&&&&
Lösung 5.13 Statisches Gleichgewicht: m1g – cxst = 0
( )
( )
0
00
210
21112
12
2111
122
2
02
20
0:
fTf
mmc
xmm
cxxmgmxxcRxJ
RFRFJSRxxxcFxmgmF
stS
SSS
stSS
==+
=
=+
+⇒=+−++
=−+
=+=−=
πωω
ϕ
ϕ
&&&&&&&&
&&
xm &&
cFlx
x
ϕ
ϕ&&SJ
xm &&
x cx 3cx
FN FR A
S mg
FS1 FS2
S
ϕ
( ) ( )xxgmxxcJxmUTL ststS +++−+=−= 1222
1 21
21
21 ϕ&&
Lösung 5.14
( )
( )
( )1cossin21
0
1cossinsincos
22
−+==
+==
−==∂∂
−
∂∂
−+=⇒+=+
ϕϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕϕϕϕϕ
mgrmgyU
rmJJJT
UTLLLdtd
ryyrrr
SMM &
&
( )
( )
( )
[ ] [ ]
grlT
lgrmlJ
Jmgr
AusschlägekleinefürrungLinearisieOrdnungDglrenichtlineamgrmrmrJ
mgrmrmgrmrL
mrJLdtdmrJL
mgrmrJL
SS
S
SS
S
3212
1210
,0,1cos1:.2.0cos
cossincossin
2
1cossin21
21
02
20
2
22
2222
2222
22222
2222
πωπωϕϕ
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕ
===⇒==+
≈≈⇒<<
=+++
−=−+−=∂∂
++=
∂∂
+=∂∂
−+−+=
&&
&&&&
&&
&&&&&&
&&&
&&
Lösung 5.15
Statisches Gleichgewicht: 0sin =⋅−⋅ rcxrmg stα
( )
( )sm
cxmcxxxcmgmmx
rxmrJrxxcrmgrxmJ
st
SstS
110320
320sin
21
210sin 2
===+⇒=++−
+
===⋅++⋅−+
ωα
ϕαϕ
&&&&
&&&&
S
M
r ϕ
ϕ rϕ
rcosϕ
rϕsinϕ y
xst
mg
cxst x st. RL
mg
ϕ&&SJ
xm &&
xst
c(xst+x) x
st. RL
S P
txtvtx
vAvxxBxxt
tBtAxtBtAx
0000
0
0
0000
000000
cossin)(
:0
sincoscossin
ωωω
ω
ωωωωωω
+=
=⇒==⇒==
−=+=
&
&
sTscmxxtxx
scmxxtxxtxx
AxxBxxtABtBtAxtBtAxtBtAx
628,02100cos
10sincos
00:0:cossinsincoscossin
22
0max2
0
0max00
00
22
====⇒−=
==⇒−==
=⇒==⇒==−−=−=+=
ωπωωω
ωωωω
ωωωωωωωωωω
&&&&
&&
&&&&
( ) ( ) αϕ
ϕ
sin21
21
21
:.21
21
21
222
222
xxmgxxcxmJL
chtGleichgewistdemmitodercxxmJUTL
ststS
S
+−+−+=
−+=−=
&&
&&
Lösung 5.16 Stat. und dyn. Gleichgewicht (Momente um B):
( ) ( )22
221
202
02
2412104
02)(220222
amaamJJca
aacagmJaacagm
BB
B
++==+
⇒=⋅+⋅+⋅−=⋅⋅−⋅
ϕϕ
ϕϕϕϕ
&&
&&
( )[ ] ( )
( )[ ] ( )
( ) ( )
c
mmT
mm
cammJJca
gamcacaJgamcaL
JLdtdagmacJL
agmacUJTUTLLLdtd
BB
B
BB
B
4
4125
24
125
4412504
0024424
2221
21
2221
210
21
21
02
21
2
2022
202
022
02
022
02
+=
+=
+==+
==−++++−=∂∂
=
∂∂
+++−=
+−+==−==∂∂
−
∂∂
πωϕϕ
ϕϕϕϕϕϕ
ϕϕ
ϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕϕ
&&
&&
&&&
&
&&
ϕ&&BJ
B 2caϕ ϕ
Lösung 5.17
312
2
23
21
23
21
0
312
2
0
312
2
312
2
22
31
2312
22
022
02
2:0
Mgllmgcl
MlmlTMlmlJT
J
Mgllmgcl
J
Mgllmgcl
MgllmgclJM
A
AA
AA
−−
+=+==
−−==
−−+
=−−+=∑
πωπ
ωϕϕ
ϕϕϕϕ
&&
&&
ϕ&&AJ
Mg
mg ϕ
cl2ϕ
cl2ϕ
A
Lösung 5.18
Schnittskizze: Fall a): freie Koord.: ϕ, ψ ZB: lϕ = rψ Fall b): ψ = 0
00:00: 2
=−−=−==++
ϕψϕϕ
&&&&&&
mlFFrFJRadJmitlFcaJHebel
utuS
AtA
cm
camlT
mlcacamlbFall
cm
mrJ
camlT
rlJml
ca
carlJml
rlaFall
lr
Jmlcar
JmlFr
JF
S
S
S
SSt
Su
ππϕϕϕϕψ
ππϕϕ
ϕϕϕψ
ψϕϕψϕψ
42000:)
574120
0:)
0
2
2
2
222
22
2
2
22
2
22
22
2
===+=+=
=+⋅==+
+
=+
+=
=
+++==
&&&&&&
&&
&&&&&&
&&&&&&&&&&
Lösung 5.19 Bewegungsgleichung:
( ) ( )
0
20
0
20
20
1
sinsincos02
2,00
ωδϑϑωω
ϕωωω
ωδ
δω
δδ
=−=
+⋅=+=
=++
⇒===++=++
−− tCetBtAexLösungdermitxxx
mb
mcmitx
mcx
mbxcxxbxm
tt
&&&
&&&&&&
( )
.4096,123,23,23,23,210ln)(
)(ln
)()(ln
21
1122
)()(ln
)()(
2
20
Schwzsb
mzTzTzTtx
txzTtx
txmczzzzT
zTtxtx
enSchwingungderAnzahlzee
ezTtx
tx zTzTt
t
≈=⋅
===⇒≈=+
+⋅
−=⇒
−===
+
−==+ +−
−
δδ
πδϑ
ϑωπδ
ωδπδ
δδ
δ
st. RL
caϕ
Ft
ψ&&SJϕ&&mlFr
Fu
Fa
ϕ
ψ
A
Ft
cx
xm &&xb &
x
Lösung 5.20
Lösung 5.21
2
42
3
222
03
220
2
3
2222
3
433
2
030
3
AAAA
AAersA
ers
Jab
lJEIa
lJEIa
Jba
lJEIa
JbaacbaJ
axlEIc
−=−===
=++=++
==
δωωωδ
ϕϕϕϕϕϕ
ϕ
&&&&&&
223
223 12
42122
abl
JEIa
JTabl
JEIJa
A
AA
A −⋅
==−⋅
=π
ωπω
Lösung 5.22
clϕ ϕ
FS
xm && xb &
x
sTseZahlenwert
Tbcmm
mittmbtexx
tmb
419,015:
221sin
2cos
1
220
==
=−=
+=
−
−
ω
ωπωω
ωω
( )
ωδ
ωω
ωδ
ϕϕ
ϕϕ
δ
0
00
20
2
0
:0sincos
0204
2020
22
xBx
xAxxttBtAex
xxxxmcx
mbx
clFcllFFxbxm
lxxl
t
SSS
=⇒=
=⇒==+=
=++=++
=⇒=−⋅=++
=⇒=
−
&
&&&&&&
&&&
cersx
xb &
A ϕ
ϕ&&⋅AJc x
mg
ϕ2lc
ϕ&blϕ&&AJ
A
Mg
ϕ2lcϕ
222
20
20
2
2
31
222
02
022
0222
20
MlmlJJ
blMgmgclJl
MgmgclJl
Jbl
MgllmgblllcJM
AAA
AA
AA
+==
++=
=++
=
++++
=+++⋅+=∑
δω
ϕωϕδϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕϕϕ
&&&
&&&
&&&
Lösung der Dgl. für schwache Dämpfung mit den AB. t = 0: lv0,0 == ϕϕ & :
ωπ
δ
δ
ωϕ
ωπϕ
ωπω
δωωωω
ϕ
20maxmax
2
2
4222
00
24
2
32
3
22
422sin)(
−
−
⋅===
=
+
−+
++
=
−
++=−=⋅=
elvTtfür
TmM
bmM
Mmlgc
JlbMgmgcl
Jlt
lvet
AA
t
Lösung 5.23
2
20
2
20
2200
20
2121
102
00
−==−=
⇒−=−===++
=++=++
TAgm
Tmit
mAgxxx
xmAgx
mbxAgxxbxm
Fl
Fl
FlFl
πρ
ϑπωωωϑ
ϑωδωωρωωδ
ρρ
&&&
&&&&&&
Lösung 5.24
xm &&AgxFlρ
x
xb &
ϕ1cl ϕ&1bl
ϕ
ϕ&&AJmg
A
( ) ( )
( )
( )( )222
212
12
1
02
1
0
22
22
10
21
22
12
12
21
21
222
2
00
0
mlJmglclll
JlJb
mlJJJ
mglclJbl
Jmglcl
JblmglclblJ
M
SAA
SAAA
AAA
A
+−===
=+=−
==
=−
++=−++
=∑
ϑϑωδ
ωδϑωδ
ϕϕϕϕϕϕ &&&&&&
Zahlenwert: b = mNs
cmNs 4,145454,1 =
Lösung 5.25
⇒−Ω=Ω+ΩΩ−
ΩΩ−=Ω=
Ω=+
==+=−+
..sinˆ
sinsin
sin)(sin)(:
sinˆ
2202
max20
2max
2maxmax
20
220
22
VerglKoefftJMtt
ttttatzLösungsans
tJM
JcR
JM
JcRMcRJ
ϕωϕ
ϕϕϕϕ
ϕωϕ
ωϕϕϕϕ
&&
&&
&&&&
ϕcR ϕcR
ϕ&&JM
ϕ
005,011
12.)
0067,034
2001
34
115,0.)
005,02001
2ˆ
11
11
2ˆ
11ˆˆ
1
max2
max2
2
222220
max0
2
0
20max
==⇒=−
=⇒=
=⋅=⇒=−
=⇒=
===
−⋅=
−⋅=
−⋅=⇒
Ω==
Ω−
st
st
st
Vb
Va
cRM
cRJJM
JMmit
JM
ϕϕη
η
ϕη
η
ϕ
ηϕ
ηηωϕ
ωη
ωωϕ
stϕϕ max
1
2 η1 0,5
4/3
Lösung 5.26
( )
kgmcmcmmmm
c
cmN
xFccmx
sn
xxFcx
xccxFxxxx
st
stB
stst
3223
1015030102:Forderung2.
28722031030
031030
030031030031
0301
1030030:Forderung1.
111
120
2202
201
21
20
4
max
4max
222202
0
222
2maxmax
2maxmax0
2max20
2
0
20max
=−==+⇒+
=
⋅==⋅±=
===⇒===
⇒±=−
±=⇒±=
−⋅===
−=⇒=
−
−
−
ωωωω
πωω
ηη
η
ηωη
ηω
ωω
ˆ,
,,
,,
,,,,
,,ˆ,
ΩΩ
ΩΩ
Lösung 5.27
2ϕ
( )21 ϕϕ −c
22ϕ&&J11ϕ&&J
M(t)
1ϕ
tF Ωsinˆ x
cx xm && txtxtx
txxtxxAnsatzL
txtmc
cFt
mFx
mcx
ccmmm
st
pp
st
F
Ω=Ω+ΩΩ−
ΩΩ−=Ω=−
Ω=Ω⋅=Ω=+
=+=
sinsinsin
sinsin:.
sinsinˆ
sinˆ
4
20max
20
2max
2maxmax
20
21
ωω
ω
&&
&&
( )( )
tAtAtAtAatzLösungsans
cJtMcJ
ΩΩ−=Ω=
ΩΩ−=Ω=
=−−Ω=−+
sinsinsinsin:
0sinˆ
22222
21111
2122
2111
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕϕϕϕϕ
&&&&
&&&&
Lösung 5.28
trbas
btr
as
Ω=⇒Ω
== sinsin1ϕ
Gleichgewicht an der Masse m: ( )
trbatAtA
tAxtAxAnsatzmctr
ba
mcx
mcx
cscxxmsxcxm
pp
Ω−=Ω+ΩΩ−
ΩΩ−=Ω=
=Ω−=+
−=+=++
sinsinsin
sinsin:
sin
0
20
20
2
2
20
ωω
ω
&&
&&
&&&&
0 1
1
V
η
x
1ϕ
tΩ=ϕ
s
st.RL c(x+s)
xm &&
( )( )21
2
max2max2
21
2ˆ1
1sinsin1
1ˆsin
JJcJM
VttJJc
JMtA
+
∆=
−=⇒Ω∆=Ω
−⋅
+=Ω∆−=∆
ϕη
ϕη
ϕ
( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )
( )( )[ ] ( )[ ]
( )
( )[ ]
( )[ ] ( )21
21021
20210
212021
2000
00
212
21
212
212
212
22
212
212
221
1
21
22
222
1
212
21222
22
122
21
2
12
2
21
1222
2
2112
1
0,Drehung)(starre0
0für0aus2
ˆ:AmplitudeRel.
ˆˆ
ˆ0
ˆˆ0
ˆ
0
ˆ0
ˆ
JJJJcJJcJJ
JJcJJDf
JJcJJJMAAA
JJcJJcM
DDA
JJcJJJcM
DDA
cMc
MJcDJcMJccMD
JJcJJcJcJcJcccJc
D
MAA
JcccJc
cAcAAJ
McAcAAJ
+=⇒=+−=
=+−=Ω==
+−Ω=∆=−−
+−ΩΩ==
+−ΩΩΩ−
==
=−
Ω−=Ω−=
Ω−−
=
+−ΩΩ=−Ω−⋅Ω−=Ω−−
−Ω−=
=⋅Ω−−
−Ω−⇒=−+Ω−
=−+Ω−
ωωω
ωωωωπ
ω
( ) 1212
21222
211 :Koor.gen.
21
21
21auch ϕϕϕϕϕϕϕ ⋅=−−+=−= )(, * tMWcJJUTL &&
( ) tJM
JJJJc
Ω∆∆∆∆ sinˆ
121
212121mit =
++⇒−=−= ϕϕϕϕϕϕϕϕ &&&&&&&&
( )
)(8649,016,1833
)(5023,027,318,97
21141121
62,4
)(078,157,1423,21
708,152min150
4112
0
11
:.
1
033
13033
022
12022
22
3,22
101
011
11011
11
2
)2(,12
22
2
2
0
0max2
20
20
2
schunterkritismc
cmNc
schunterkritismc
cmNc
gr
rmg
bgar
rmg
abcr
ba
cmg
cmc
mgx
chüberkritissmc
cmNc
snn
bgar
rmg
abc
rgm
abc
rmg
abc
ccm
rmg
abcr
ba
cmg
cmgxAuslenkungstat
mitxrbaAr
baA
=Ω
===⇒=
=Ω
===⇒=
Ω−±=
Ω−±⋅=⇒
−⋅−=
==
=Ω
===⇒=
==Ω⇒=
Ω+±⋅−==Ω⋅−⋅⋅+
⇒⋅
−
Ω⋅=⇒
−⋅+=
=
Ω=±=
−⋅=⇒−=+Ω−
−
−
−
−−
ωηω
ωηω
η
ωηω
π
η
ωη
ηωω
x02 = 1,003 cm x03 = 2,973 cm
Lösung 5.29
tAtAAnsatzmcts
mlc
mc
mlJltslcJ
pp ΩΩ−=Ω=
=Ω=+
==⋅
−+
sinsin:21sinˆ
24
02
)(2
2
0
200
ϕϕ
ωϕϕ
ϕϕ
&&
&&
&&
( )t
lstt
ls
mlscAts
mlctAtA
Ω−
⋅=Ω=
=−
⋅=Ω−
=⇒Ω=Ω+ΩΩ−
sin1
1ˆ2sin)(
11ˆ2
2ˆsinˆ
2sinsin
2max
max2220
20
2
ηϕϕ
ϕηω
ω
Lösung 5.30
Federzahl einer Blattfeder: 33lEIc = , cers = 2c
220
2220
2
2
30
2
3
32
11ˆ
sinsin:
6sin6
6sin
ηωω
ω
−Ω
==⇒Ω
=+Ω−
ΩΩ−=Ω=
=ΩΩ
=+
=ΩΩ=+
mrmxA
mrmAA
tAxtAxAnsatzmlEIt
mrmx
mlEIx
lEIctrmxcxm
AA
pp
A
ersAers
&&
&&
&&
007,195,1559929,02,158
8188846608,157ˆ6
62ˆˆ
ˆ1
1ˆ
21
211
01
42
41
123
2,1
32
22
1
22
2
2
20
2
2
=⇒==⇒=
⇒===Ω
±
Ω=
==Ω
−Ω=
+Ω=
⇒Ω
=Ω−⇒Ω−
Ω=
Ω−
Ω=
−−
−
ηωηω
π
ω
ss
cmIcmIsx
rmmE
lI
lEIcn
xrmmc
xrmmc
xrmmc
mcrm
crmx
A
ersA
ersA
ers
Aers
ers
A
ers
A
0
− )(
2tslc ϕ
tsts Ω= sinˆ)(
ϕ&&0Jϕ
xm &&
tΩ
st.RL x
cersx mArΩ2
η2
V
η η1 1
2
2
220
2
1ˆ
ηη
ω −=
Ω−Ω
= Vrmmx A
Lösung 5.31 ( )
222
20
20
2
2
20
111
0
ηηη
ωω
ω
−=
−=
−=
=+−
−==
==+
=+=−+
sxtstxsA
tstAtA
tAxtAxAnsatzmcts
mcx
mcx
cscxxmsxcxm
pp
ˆˆsinˆ)(ˆ
sinˆsinsin
sinsin:
sinˆ
Ω
ΩΩΩΩ
ΩΩΩ
Ω
&&
&&
&&&&
mmxsf
smc
cmNc
err 3276124570081572
101010001
21
12101
,ˆ,.
.
====
==⇒=
−
−
ηπ
ω
Ω
( )
NFNF
mgscmgsscmgsAcF
cmNmc
mcsssx
cc
c
03,1857,421
ˆˆ1
ˆˆ.3
68,612
2231
1ˆ
3ˆ
3ˆˆ.2
2max1max
2
2
2max
2
2
22
20
0
22
==
+
−
=+
−
−=+−=
=
Ω=
=
Ω
=⇒Ω
===−−
=⇒=
ηη
η
ωω
ηηη
Lösung 5.32
( ) xcF
mFx
tmFtxtx
txxtxxAnsatzL
tmFx
mcx
pp
ˆ1
1ˆˆ
sinˆ
sinsin
sinsin:
sinˆ
2220
max
max20
2max
2maxmax
=−
=Ω−
=
Ω=Ω+ΩΩ−
ΩΩ−=Ω=−
Ω=+
ηω
ω
&&
&&
NFNFFcmit
NFNxcFcmit
cmN
FFmc
mc
FF
FF
FmgFtFcxF
cmx
ssnscmNc
Funddyn
Funddyn
dyn
dyn
dyndynFunddyn
6,1105,12ˆ81:
8,3588,260ˆ:.3
1074,21
ˆ,
ˆ11
11
ˆsin1
ˆ.2
0652,0ˆ
6169,010467,21572104104.1
max
1max1
2
max
220
0max
2
2max
.2
224212420
31
=⇒==
=⇒==
⋅=
+
Ω=⇒=
Ω==−>
−=
+=Ω
−==
=
=⋅=Ω==Ω⋅=⇒⋅= −−−
ωω
ηηη
ηη
ηπω
s(t)
x
c(x-s)
xm && st.RL
tF Ωsinˆ x
cx xm &&
Lösung 5.33
( )
tsmbtsx
mcx
mbx
tsmcy
mcy
mbyy-scybym
mxmy
syxsxysxysxylEIc
ΩΩΩΩ
oderΩ0
MassederegungRelativbewMassederegungAbsolutbew
3
2
3
cosˆsinˆ
sinˆ
−=++
⋅=++=++
−−
−=+=+=+==
&&&
&&&&&&
&&&&&&&&&
Ansatz für die partikuläre Lösung:
tBtAxtBtAxtBtAx ΩΩ−ΩΩ−=ΩΩ−ΩΩ=Ω+Ω= cossinsincoscossin 22&&& in die Dgl. eingesetzt und Koeffizientenvergleich:
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )22*22222
2222
*22*
22222222
222
00
20
222
412tan441
41ˆ
tansincossin)(
411ˆ2
4141sA
folgt2
ˆˆ
ϑηηϑϕϑϑηη
ϑηηη
ϕϕ
ϑηηϑη
ϑηη
ϑηη
ϑωδη
ωδω
−−=+−−
+−=
−=+=−Ω=Ω+Ω=
+−−=
+−
−−=
==Ω
==
Ω−=
Ω−+ΩΩ=Ω−
Ω−
sC
ABBACmittCtBtAtx
sB
mb
mcmit
smb
mcBA
mbundsB
mb
mcA
ϕ* ist der Phasenwinkel zwischen s und x.
s
x y
st.RL
cx
ym && yb &
Lösung 5.34
( )
21
21220 2
1
sinˆ0
cccccMRJ
Jc
mittJ
cJccJ
+===
Ω=+=−+
ω
ϕϕϕϕϕϕ &&&&
( ) ( )
22
220
20
22
242
41
42
41
042
41
42
41
42
2
41
1
11
ˆˆ
sinˆsin1
1ˆ
1ˆˆsinsin
16323232
ηϕϕ
ϕη
ϕϕ
ωη
ηϕϕωωϕϕ
πωπππ
−==Ω=Ω
−=
Ω=
−==+Ω−⇒ΩΩ−=Ω=
+=
+⋅=⇒==
ppp
pp
Vtt
AAAtAtA
MRdddd
lG
dddd
lGc
ldGc
ldGc
&&
Zahlenwerte: 723,0)(544,139,32 1
0 === − ηηω Vs
ϕtΩ= sinϕϕ
( )ϕϕ −c ϕ&&J
V
1
1 η
Lösung 5.35
tQxxxtmFx
mcx
mbx
tFcxxbxm
Ω=++Ω=++
=++
sin2sinˆ
)(
20ωδ&&&&&&
&&&
Partikuläre Lösung:
( )( )0
222220
sin41
1)( ϕηϑηω
−Ω+−
= tQtx
( )( )
cmb
mc
bcmFx
mcm
bmb
mitcFxund
dxdschlagMaximalaus
xcFxmittxtx
41
ˆˆ
22
121ˆ
ˆ210ˆ:
)(ˆ41
1ˆˆsinˆ)(
2max00
2max2*
22220
−
==⇒=Ω
==
−⋅=−=⇒=
=+−
⋅=−Ω=
ϑδω
ηωδϑ
ϑϑϑη
η
ηηϑη
ϕ
Aufgelöst nach c: 10
2
22max
2
02,4031,3204ˆ
ˆ−=⇒=+= s
cmN
mb
bxFmc ω
1201
0
12* 98,392121 −=−=Ω⇒Ω
=−= sϑωω
ϑη
Lösung 5.36
xm &&
st.RL
cx
F(t) x
xb &
ϕ2lc
ϕ2lcϕ&&AJ
ϕ&bl
M(t)
mg
Mg
A
+=+=Ω=++
Ω=
++
++
=+++
+
mMlmlMlJtQ
tJM
J
Mgmglcl
Jbl
tMblMgllmglcJ
A
AAA
A
31
31sin2
sinˆ2
12
)(22
2
22220
2
22
ϕωϕδϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕϕϕ
&&&
&&&
&&&
( )( )
( )( ) ( )
( ) ( ) 0
2
22222222220
0022222
000
20022222
0
24121
21
ˆ
41
ˆˆ
sinˆsin41
ˆ
12arctansin
41
1
ωϑ
ηϑηηϑηωϕ
ϕϕϕηϑηω
ϕω
ηωδϑ
ηϑηϕϕ
ηϑηωϕ
AA
A
p
p
Jbl
Mglmglcl
M
J
M
ttJ
M
tQ
=+−
++
=+−
=
−Ω=−Ω+−
=Ω
==
−=−Ω
+−⋅=
Lösung 5.37 Mit Hilfe der Einflußzahlen gilt:
1112121111
1212221212
1112121111
MFFMFFy
MFFy
βδδϕγααγαα
++=++=++=
111222111 ϕ&&&&&& JMymFymF −=−=−= Ansatz für die harmonische Schwingung:
( )( )
( )
( )( )
( )
( )( ) ( )( )
( )[ ] ( )( )
( )[ ] ( )[ ]( )
( )[ ]( )
( )[ ] ( )[ ]
( ) ( ) ( ) 212
2221122112
122211
22,1
21
212221121
2
212221121
222111212221121
22211122,1
212221121
2212221121
2221114
22211122
122211214
2112
2121
2212
2222
21112
2222
121
2212
2111
1
2111
2212
2111
2121
2222
2121
2111
2212
2111
21113
22122
21111
21213
22222
21211
21113
22122
21111
23131
22222
21111
42
1
122
0101
1101
1
:folgt0Für
01
11
:nantetendetermiKoeffizien010101
:eingesetztsinsinsinsinsinsin
αααααααα
ω
αααααααα
αααααω
αααω
αααααω
ααωαααω
αα
ωαωαωαωαωαωα
ωαωα
ωβωδωδωγωαωαωγωαωα
ωβωδωδ
ωγωαωα
ωγωαωα
ωωϕωϕ
ωωωωωω
+−±+−
=
==
−−
−+
±−
+=
=−
+−
+−
=++−−
=
−−−==−
−
=
=−
−−
=−++
=+−+
=++−
−==
−==−==
m
mmm
mmmmmm
mmmm
mmmmmm
mmmm
mmmmmm
mm
J
JmmJmmJmm
JAmAmAJAmAmAJAmAmA
tAtAtAytAytAytAy
&&&&&&
Einflußzahlen: EIa
EIa
EIa
46
3
12
3
22
3
11 −=== ααα
( )
32322
313213
22,1
2039,32648,10
9670,09352,034754
maEI
maEI
maEI
maEI
maEI
==
===
ωω
ωωω ∓
277,02648,10
6128,39352,01
1
23
22
1
23
212
212
2111
1
2
=⇒=
−=⇒=−
−=
AA
maEI
AA
maEI
mm
AA
ω
ωωα
ωα
1 2
F1 F2
M1
Lösung 5.38
Erregerkraft: ( ) )(2cosˆ21ˆ
212cos1
21ˆcosˆ)( 2 tFFtFFtFtFtF dynsta +=Ω+=Ω+⋅=Ω= Statischer
Anteil:
++===
+−−
−=⇒=−+
=−−+
la
cF
cmgvy
laFmgyc
GlinlaFycyclyclycaF
Fmgycyc
Asta 14
ˆ2
012ˆ
2
)1(.2ˆ
)2(02ˆ
)1(02ˆ
22222
22112211
2211
Dynamischer Anteil:
( ) ( )
( ) ( )
eingesetzttAtAtAytAy
ätzeLösungsans
taFllycllycJ
tFlyclycym
S
ΩΩ−=Ω=
ΩΩ−=Ω=
Ω=−−++
Ω=++−+
2cos42cos2cos42cos
:
2cos2ˆ
2cos2ˆ
222
211
12
21
ϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕ
&&&&
&&
&&
aF2ˆ
2F
S
mg c1y1 c2y2
A
ym &&
taF Ω2cos2ˆtF
Ω2cos2ˆ
y
A
ϕ
c1(y-lϕ) c2(y+lϕ)
ϕ&&SJ
A1
A2=-3.63,61A1
A1 A2=0,276A
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( )
( )
( ) AdynAstaAgesAdyn
SS
SS
S
S
S
vvvtlAAlyvlJmcc
lmJcc
lam
lac
lacF
DDlA
lJmcc
lmJcc
lJ
lac
lacF
DDA
laF
lAA
lJcccc
ccmcc
oderlaF
lJcclAccAundFcclAmccA
+=Ω+=+=
+Ω+−
Ω+
Ω−
−−
+
==
+Ω+−
Ω+
Ω
−
−+
+
==
⋅=⋅
Ω−+−
−Ω−+
=
Ω−++−=−+Ω−+
2cos
44
4112ˆ
44
4112ˆ
1
2ˆ
4
4
2ˆ
42ˆ
4
21
22
212
4
21
221
22
22
212
4
21
2
2
211
1
2
1
2
2
2112
122
21
2
2
2121211222
211
ϕ
Für c1 = c2 = c entkoppeln sich die Bewegungsgleichungen.
−+
−+++=
=+=+
t
clJla
cmF
mgla
cFv
taFclJundtFcyym
SAges
S
ΩΩΩ
ΩΩ
22121
1214
erhältmanund22
222
2
2
22
2
cosˆˆ
cosˆ
cosˆ
ϕϕ&&&&
Lösung 5.39
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
tBtBtAxtAxrccrxccJ
rccxccxmoderrrxcrrxcJ
rxcrxcxm
S
S
ωωϕωϕωωω
ϕϕ
ϕϕϕϕ
ϕϕ
sinsinsinsin0
00
0
22
21212
1212
12
21
−==−==
=++−+
=−+++=−−++
=++−+
&&&&&&
&&&&
&&
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( )[ ] ( )[ ] ( )( )( )
( )( )( ) ( )
++−
++=
=+++
−
⇒=−−++−⋅++−
=++−−
−++−
⇒==⋅++−−
−++−
22221
2122
2122,1
212
22
214
212
221
2221
2
2122
12
12212
2122
12
12212
16112
040
0
0DetGlsyst.hom.0
mrJccmJccr
mJmrJcc
mJccr
mJmrJcc
ccrccrJccm
ccrJccrccrccm
DBA
ccrJccrccrccm
S
S
S
S
SS
S
S
S
S
∓ω
ωω
ωω
ωω
ωω
Speziell: mc
mc
mc
mc 56,256,1
9171
29
816411
29
212
2,1 ==⇒
=
−= ωωω ∓∓
Lösung 5.40
( )
10max121
1021max
2111010
00
111111
21
2121
2
)()(sin)(cos)(:00:0:
sincoscossin
000
ωωω
ωωωω
ωωωωωω
ω
xxmc
mccxx
txtxtxtxtxtxAxxBxxtAB
tBtAxtBtAx
xxxm
ccxxccxm
==+
==
−=−==⇒
=⇒==⇒==−=+=
=+=+
+=++
&&&
&&&&
&
&&&&&&
101011
1111101 2sin)(
220cos0 ωπω
ωππωω xxtxundtttxxtt −=−==⇒==⇒== &
Bewegung in Richtung x*:
tDtCxmcx
mcxxcxm 22
*12
*1**1
* cossin00 ωωω +===+=+ &&&&
Neue Zeitzählung:
ϕ&&SJ
xm &&st.RL
x
ϕ
c2(x+rϕ) c1(x-rϕ)
c2x
*xm &&
xm &&c1x x*
c1x*
( )
21
0*max2
10max
10max
1112121
210*max
22222210
*
2210*
210*
22
10
*
2
101021
**
202404632,02
149,02
32111
21
220cos0:
sin)(cos)(sin)(
)(00:0
sm
mcxx
sm
mcxx
sm
mcxx
scm
cm
cmTTT
xxtttxxEndelinkes
txtxtxtxtxtx
xCxCtxxDxt
−=−=−=−=−=−=
==
+=
+=+=
−====⇒=
−===
==⇒−==⇒==
&&&&&
&&&
&&&
&&
ππωω
π
ωωωππωωω
ωωωωωωωω
ωωωω
Lösung 5.41
( )( )
( )
31cos4cosˆ
31cos
34ˆcoscos143ˆcos3
cos14ˆcos33
72,1132
3422
22 212
21
121
−=
−=−−=
⇒−==−=
=+=
====+=
αϕ
αϕαϕ
αϕ
π
ωωωπ
ωπ
arc
lll
lhlhlygl
glT
lg
lgTTTTT
Lösung 5.42
( )( )
( ) ( ) 00sinsinsin:
00
22
221112112
11
22211
2221122
21111
=−++−=−−
−===
=+−−=−+
AJccAcAcAJctAtAtAAnsatz
ccJcJ
ii
ωω
ωωϕωϕωϕ
ϕϕϕϕϕϕϕ
&&&&&&
Ein homogenes Gleichungssystem hat nichttriviale Lösungen, wenn die Koeffizientendeterminante verschwindet.
h
l
4l 3l α
ϕy
22ϕ&&J 11ϕ&&J
c2ϕ2
ϕ1 ϕ2
c1(ϕ1-ϕ2)
( )( ) ( )( )
( )
Jc
Jc
Jc
Jc
Jc
JJJcccJJcc
JJcJccJ
cJccJcJccc
cJc
62,2382,09411
2303
folgtundmit0
oder00
22
21
22,12
224
212121
212
21
122114
21
2221
2112
2211
12
11
==
−==+−
=====+++
−
=−−+−⇒=−+−
−−
ωωωωω
ωω
ωωω
ω
∓
Schwingformen:
Aus der ersten Gleichung des Gleichungssystems folgt: cJ
AA 2
1
2 1 ω−=
62,1:618,0:1
222
2
1
221
2 −====AA
AA ωωωω
Lösung 5.43
( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]2
2322
121233
222
211
2232
2121
233
222
211
21
21
21
21
3,2,10
ϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕ
−+−−++=
−+−=++=
−=
==∂∂
−
∂∂
ccJJJL
ccUJJJT
UTL
iLLdtd
ii
&&&
&&&
&
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) 000 232332321212212111
2323
2321212
1211
333
222
111
=−+=−−−+=−−
−−=∂∂
−+−−=∂∂
−=∂∂
=
∂∂
=
∂∂
=
∂∂
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
cJccJcJ
cLccLcL
JLdtdJL
dtdJL
dtd
&&&&&&
&&&
&&&
&&&
Eigenfrequenzen:
( )( )
( )
321
32121
2
3
2
2
21
1
1
3
2
2
21
1
122,1
23
2
321
32121
4
3
2
2
21
1
16
2322
22
2211
12
11
321
41
210
0
0)det(00
0
:
JJJJJJcc
Jc
Jcc
Jc
Jc
Jcc
Jc
JJJJJJcc
Jc
Jcc
Jc
ACBA
JcccJccc
cJc
CeBeAeAnsatz tititi
++−
+
++
+
++==
=++
+
+
++−
⇒==⋅−−−−+−
−−
===
∓ωω
ωωω
ωω
ω
ϕϕϕ ωωω
Bewegungsformen:
1 1 0,618 -1,62
Grundschwingung Oberschwingung
ϕ3 ϕ2 ϕ1
Amplitudenverhältnisse:
tAAtAtAtAtAtAAtAtAtAtA
tAAtAtAtAtA
undicJ
cJ
cJ
AC
cJ
AB
iiii
iii
i
652422321211113
652422321211112
65242312111
2
12
2
22
1
12
1
12
cossincossincossincossin
cossincossin
3,2,1111
+++++=+++++=
+++++=
=−
−
−=
=−=
=
ωγωγωγωγϕωβωβωβωβϕ
ωωωωϕ
ωωωγωβ
Zahlenbeispiel: Mit ccccJJJJJ 422 21321 ==∞⇒== folgt
tAtAtAtA
tAtAtAtAtAA
Jc
Jc
242312112
242312111
653
33212123
22
21
21
21
folgt0wegenund
10012104
ωωωωϕ
ωωωωϕϕ
γβγγββωωω
cossincossin
cossincossin
−−+=
+++=
+==
====−=====
Für Schwingungen in der Grundschwingungsform mit ω1 gilt:
0)0(21)0(cos
21)(cos)(
00)0()0(:0:00
202102101
102101
43
==⇒==
==⇒=====
ϕϕϕωϕϕωϕϕ
ϕϕϕϕ
&
&
tttt
AAtABAA
Stoßvorgänge Lösung 6.1
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )
Impulserh .
. *
m v m v m m v v m v m vm m
Energies T U W T U I unmittelba r nach dem Stoß II am Ende
m m v F s F F F m m g
m v m vm m
gs m v m m v v m v m m gs
v mm
v v mm
I II
R R N N
1 1 2 2 1 21 1 2 2
1 2
1 22
1 2
1 1 2 22
1 22 1
212
1 2 1 2 22
22
1 22
12 2
12 1
2
1
12
0
12
0 2 2 0
2
− = + =−+
+ + = + − −
+ − ⋅ = = = +
−
+− = − + − + =
−
⋅ +
µ
µ µ
−+
= =
± +
2
22 1 2
1
2
12
12
2
1
2
2 0 2 11 2
v m mm
gs v mm
v mm
gsµ µ,
Lösung 6.2
( )
( )
( )( )
( )
m v m m v v mm m
v nach Stoß
F F F m g F m g
F c x x Fc
m gc
x m gc
Energiebil anz m m v cx
mm m
vm gc
vm gm
m mc
c H N H
cc
1 1 1 21
1 21
3 0 3
0 3 0 3
1 22 2
12
1 212 0 3
2
10 3
1
1 2
0 0
12
12
12
12
= + =+
→ − = ↑ − = ≤
= ⋅ = ≤ =
+ =
+=
=+
: :
:
max
max
µ
µ µ
µ
µ
Lösung 6.3
( )
Imp .: (*)
: (**)
(*) (**): (***)
m v m v m v vm v m v
mv
mm
v
Energie m v m v m v v v mm
v
in mm
v v mm
v mm
v mm m
v
1 0 2 2 1 1 11 0 2 2
10
2
12
1 02
1 12
2 22
02
12 2
122
2
10 2
2
122 2
12
1
1 20
12
12
12
2 1 0 2
= + =−
= −
= + = +
− +
= =
+
m3Fc
m3g
FN
FH
( )
:
:
***
F m vl
m gcos F m vl
m gcos
F F F für F m vl
m g
v l Fm
g v m mm
l Fm
g
S S
S Smax Smax Smax
Smax Smax
− − = = +
> = = +
= −
= >
+−
222
2 222
2
222
2
22
2
20
1 2
1 2
0
0
2
ϕ ϕ
ϕReißen
Lösung 6.4
( ) ( ) ( )
( )
Energie m gh m v v gh v
m v m m c m c k c cv v
c cv
kv c c
m v m c m kv c v m km c m m c m kmm m
v v
c gh c kv c v k gh
:
:
,
, , ,
1 1 1 12
1 1 2
1 1 2 1 1 2 22 1
1 2
2 1
11 2 1
1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 11 2
1 21 1
1 1 2 1 1 1 1
12
2 0
0
0 2
0 2 2 0 2 0 6 2
= = =
+ ⋅ = + =−−
=−
= −
= + + − = + =−+
= −
= − = + = − =
Impuls
Energiebil anz für m m c m gh
h cg
h
1 1 12
1 2
212
1
12
20 04
:
,
=
= =
Lösung 6.5
( ) ( )
Energie m v m gs m v v v gs v Aufprallge schw
Stoß m v m c m c und k c cv
oder c c kv
m v k c m m v
mmk
c
Energie m c m gs c gs
Eliminatio n von c und v
v v gs
mmk
: .
:
:
:
12
12
2
11
112
0 2
21
1
1 02
1 1 1 1 12
12
02
1 1 1
1 1 1 1 2 22 1
11 2 1
1 1 2 1 2 1
2
12
2 22
2 2 2 22
2 2
2 1
02
12
1 1
2
1
− = = − −
= + =−
= −
+ = + =+
+
− = =
= + =+
+
µ µ
µ µ
µ
⋅ + = = =
2
2 2 1 1
2
2 02 2 429 19 20 7 74 58µ µgs gsms
vms
kmh
, , ,
m2g
FS
ϕ
m l2 &&ϕ
mvl222
c1
1
2h2 ∇
Lösung 6.6
( )( )
Impuls cos = m cos
sin m sin
mcos
tan = sincos
1
1
1
: :
:
. .:
.:
→ + + ⋅
↑ = + ⋅
+ =+
+ +
+
m v m v m c
m v m c
quadr add cm
m v m m v v m v
div m vm v m v
1 1 2 2 2
2 2 2
212
12
1 2 1 2 22
22
2 2
1 1 2 2
12
α β
α β
α
βα
α
( )
( ) ( )
( ) πα
α
α
=
−++
=
+++
−+=
+−+=
ammenstoßFrontalzusfür
cos22
cos2121
21
21
21:lustEnergiever
2122
21
21
21
22
222121
21
21
21
222
211
221
222
211
maxT
vvvvmm
mm
vmvvmmvmmm
vmvm
cmmvmvmT
∆
∆
Lösung 6.7
Auftreffgeschwindigkeit: v gh1 02=
Stoßbed k cv
c kv k gh.: = − = − = −1
11 1 02
Neue Steighöhe (Energiesatz): 12 21 1
21 1 1
12
20m c m gh h
cg
k h= = =
allgemein: h k h h k h k h k h k hh
k hhi i n n n
n n n nn= = = = ⋅ = =− − −
21
21
42
20
2
0 0
2
Lösung 6.8
Impuls und Drehimpuls:
( )
m v p m c p m c p b J
m v m c m c m c Jb
J m l
c c b k c cv
v c c
c cb
c v c
m c Jb
v c c
S S
S S S S
B SB
B
B SB
SS
S
1 1 1 1 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 22
22
2 2 21 2
11 2 1
22 2
2 1 1
2 2 2 1 1 2
1 2 112
3 1 4
3 4
2
− = = ⋅ =
− = = =
= + = = −−
= −
=−
= +
= + −
ω
ω
ω
ω
( ) ( )
( ) ( )
( ' ) ( ' )
( ')
m1
m2
m1 + m2
cv1
v2
αβ
m1
m2→ ∞ v2 = c2 =0
h0 hi
hn
PP
Sm1
v1 ,c1
cS2
B
ω2
b
( )
( )
c m bJ
v c c v cm b
J
v cbl
v c
m v m v c m c c m m v m m
c vm m
m mv v c v c v
aus
SS
S
S
S
22
2
1 1 21 1
22
1 12 1 1
1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2
1 1
1 2
1 2
1 1 1 1 2 1
11 1 12
47
1 47
47
47
4747
1 87
1 87
115
115
815
2
+
= + =
+
+
=+
+
= +
− + = +
= −
=−
+=
−
+= − = − =
( ')
( ) ω ω22
2
2
22
11
21
14
112
815
85
85
= = ⋅ = =bmJ
cm l
m lv v
lvlS
S
Auch Energiesatz: 12
12
12
121 1
21 1
22 2
2 2m v m c m c JS S= + + ω
Lösung 6.9
( )
3322
2
21
1222111
121112211
2:StoßrPlastische
221
UTUTgmcx
ghmm
mvvmmvm
ghvvmghmUTUT
v
+=+
=
+=+=
==⇒+=+
( ) ( ) ( )
( )
( )( )
( ) ( )( )
( )21
1211max
21
1
21
21
211
2,1
221
212112
122
221
21222
221
21
2112
02221
21
21
21
21
mmgch
cgm
cgmmxxx
mmgch
cgm
cmmghm
cgm
cgmx
ghmm
mc
mmxc
gmx
gxmcxvmm
gxmmxxccxvmm
v
vv
+++
+=+=
++±=
++
±=
=+
⋅+
−−
−=+
+−+=++
Zahlenwerte: xv = 0,613cm xmax = 19,92cm
3
xmax
1
2 0 h
x
xv
Lösung 6.10
( ) ( )
( ) ( )
Energie c l m g a l m v v c lm
g a l
elast Stoß m v m c m c kc c
vc c v
m v m m c c m vm m
:
. :
12
12
2
1
2 2
21 1 1
21
2
1
1 1 1 1 2 22 1
11 2 1
1 1 1 2 2 21 1
1 2
∆ ∆∆
∆− + = = − +
= + = =−
= −
= + =+
µ µ
( )( )
( )
( )
12
12
2
4 4 2
2 2 0
1 1 2
2 22
2 2 2 22
2
22 1
2
1 22
2
1
2 1 1 1 22
1
1
1
1 22
13 2
m c m gh m gh m c m gh
c gh mm m
c lm
g a l
l gmc
l gmc
am m
mghc
l m gc
acm g
m m hcm g
− = =
= =+
− +
− − −+
=
= + + ++
∆∆
∆ ∆
∆
µ
µ µ
µµ µmin
Lösung 6.11
( )
21
222
2
2
12
1222
1
1
12
112211
2211
2221
21
211
21
Stoß2.
323
21
21
131
31
31
ϕψϕϕ
ϕψ
ϕ
ϕ
&&&&
&&
&
&
kll
vv
lllk
mMmM
lg
glmJglmM
UTUT
lmJmMllmMlJ
rel
A
BA
−==−
=
++
⋅=
+=+
+=+
=
+=+=
*****
:
.
Impuls:
0
0
*2
2
12
*2
1
22
*2
2
1*22
2
*2
2*21
*22
=−+−⇒=−
−=⇒+=−=
ψϕψϕψϕϕ
ψψϕϕ
&&&&&&&
&&&&
llJkJ
llJJ
llJJJ
lJPPlJPlJJ
BAAABAA
BBAA
( ) ( ) ( )
( ) 222
2*2223322
1
1
1
1
2
2
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2*2
21cos2
21
21
21
323
31
111
** ψψψ
ϕϕψ
&&
&&&
BB
A
BBA
A
JglmJglmUTUT
mMmM
lg
mMm
llk
ll
JJ
ll
k
llJ
llJ
kJ
+−−=+−⇒+=+
++
⋅
+
+
+=⋅
+
+=
+
+=
c2
0 0
A 1
2 3
ϕ
ψ
2*
P P
ψ
ϕ
( ) ( )
( ) ( )
( )2
1
211
2
2
11
2
22
2*2180
2
2*2
222*2
313
21366
cos13cos1
+
++
++
+=+=
−+=−+=
°
mMmmMl
llmMgk
lg
lg
lg
JglmB
ψψ
ψψψψψ
&&
&&&
Dreidimensionale Bewegung des Starren Körpers Lösung 7.1
( )
J ml ml m l l ml
J ml ml m l l m l ml
J ml ml ml m l l ml
J m l l l ml
J m
xxA
yyA
zzA
xyA
yzA
( )
( )
( )
( )
( )
= + + +
=
= + + +
+ =
= + + + +
=
= − ⋅ + ⋅ + ⋅
= −
= − ⋅ + ⋅ −
13
112 2
53
13
112 2
2 113
13
112 2
83
12
0 02
12
0 0 0 12
2 2 22
2
2 2 22
2 2
2 2 2 22
2
2
( )
( )
+ ⋅ −
=
= − + −
⋅ + − ⋅
=
=−
−
= = + × = ⋅ =
=
−
=−
=
l l ml
J m l l l ml
J ml ddt
J J
J
zxA
A A A A A A
A A
212
0 12
32
6
10 3 93 22 3
9 3 160
12
20
12
2
12
21
01
2
2
2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
& &M L L L
L
r r r r
r
ω ω ω ω
ω
ω
ωω
⋅ =−
−
⋅
−
=−
× = −−
=−
−
=−
−
r
r
ω ω ω
ω ω ω ω
ml ml
mlx y z
ml mlA A
22
2 2 2 2 2 2
6
10 3 93 22 3
9 3 16
12
21
01
212
167
112
1 0 11 6 7
112
666
12
111
L M( ) ( )
Lösung 7.2
( ) ( )
( ) ( )
( )
J m l ml
J m l m l m l l ml
J m l m l ml
J J J l l l m ml
xC
yC
zC
xyC
yzC
zxC
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ); ;
=
=
=
+
+ +
=
=
+ =
= = = ⋅ − ⋅ ⋅ = −
13
13
19
13
23
2 112
13
13
2 12
73
13
23
2 13
2 209
0 0 0 22
13
13
2 2
2 2 22
2
2 2 2
2
J
ml ml
ml
ml ml
ml
J ml
mlx y z
ml
C
zC C
z
Cz z
( )
( ) ( )
( )
=
−
−
=−
−
=
= ⋅ =−
× =−
= −
19
013
073
013
0209
19
1 0 30 21 03 0 20
001
19
30
20
19
0 0 13 0 20
19
030
2 2
2
2 2
2
2
2 2 2 2
r r
r
ω ω ω ω
ω ω ω
L
L
( )
( )
=−
−
=−−
− = −
− = −
= = −
M( ) &
& ( )
( )
& ( ) & . .
CBy Ay
Ax Bx
By Ay
Ax Bx
ml mllF lFlF lF
Moder
l F F ml
l F F ml
M ml Mml
Beweg Gl
19
30
20
19
030
2 22 2
2 13
1
213
2
209
3 920
2 2 2
0
2
2 2
02 0
2
ω ω
ω
ω
ω ω
d.Alemb.: Schwerpunkt reine Translation auf Kreisbahn
xl x
ll l l l
ll a x a x
F F mxF F mx
Si i
gesn S t S
Ax Bx S
Ay By S
= =⋅ + ⋅
= = =
→ + + =
+ − =
∑.
&
: ( ): & ( )
2 23
43
0 40 5
2
2
ω ω
ω
ω
1/3m,l2/3m,2l
x
y
z
M0
FAx FAy
C
FBxFBy
FBz
2l
2lω
x
z
S
2
0
2
22
02
0
1274 aus
8027
435 aus
43
345
23242
344
8021
612
4021
67251
611
ω
ω
ωω
ωω
ω
ωω
mlF
lMmlF
mlFmlFF
mlFmlFF
lMFmlFF
lMmlFmlFF
Bx
Ay
AxAyBy
AxBxAx
ByBxAx
ByAyBy
−=
==
−==+
−=+−=+
=−=−
==+−=−
:)'(
:)'(
)'(
:)'()'()'(
)'(
:)'()'()'(
&
&
&&
Lösung 7.3
( ) ( )
( )( ) ( )
r r
r
r
ωϕ
ωϕ
ωϕ
ω
Stab Zyl xA
yA
zA
A a AZyl
A AStab
J mr J J m r r ml m r l
J
mr
m r lm r l
Drehimp Jmr
m r l
=
=
= = = + + = +
= ++
= ⋅ =+
= +
00 0 1
21
123 3
12
0 0
0 00 0
12
0
2 2 2 2 2 2
2
2 2
2 2
2
2 2
& &( )
.&
&
.( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ).
( ) ( )
Ω
Ω
L
M L
( ) ( )
( )
×
=−
=+
+
+
= = = =
= + =
− = + + ++
L
M
( )
( )
&
&&&
&
:
: & & ( )
: & &
: && && &&
A
Ay
y y
Mmglsin
mr
m r l
x y z
mr m r l
in Komponenten
X mr t C
Y M mr M mr
Z mglsin m r l glr l
012
0 0 012
0
0 12
0
012
12
0
2
2 2 2 2 2
20
2 20
2 22 2
ϕ ϕϕ
ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
Ω
Ω
Ω Ω Ω Ω
Ω Ω
sin = 0 oder linearisie rt +
cos sin
sin
2ω ϕ
ω ϕ ω ω
ϕϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ω ϕ ϕ ω ω
ϕ ω ω
=
=+
= +
= = == =
= = −
= −
0
0 0 0 00
12
22 2
0 0
0 0
20 0
glr l
Lösung t Asin t Bcos t
AB t d h AB
t t t t und damit
M mr ty
: ( )
: : &( ) , . .( ) ,
( ) & ( )
Ω
Lösung 7.4 (zu aufwendige Lösung, geht viel einfacher !!!)
Momentensatz: MMM
JJJ
JJ mit J
x
y
z
xz
yz
z
yz
xz yz
=
+−
= =& & ,ω ω ω2
00 0
für die dünne Scheibe gilt:
z
x
y
1
2a b
FAx FBx
ϕ
ω ω, &
( )
1cos2cos22cossin2sin2sin;cos
121
121
122sin
22cos
222
222222
22
23
1212121
222
−=+
==+
=+
=
==⋅=−
−=−
−+
=
=−=−===+= ∫∫∫∫
ϕϕϕϕϕϕϕ
ρϕϕ
ρρρρ
baab
bab
baa
mbJmabatJJJJJJJJJ
tIxzdAtxzdmJtIdAxtdmyxJ
xzz
xzxzzz
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
( )( ) Ax
xzBx
xzBxBxAx
BxAx
BxAxxzy
xz
z
Fbal
abbaml
JFl
JFFF
zSFF
lFlFJMba
abbamba
abbamJ
babma
bababambamJ
−=+⋅
−−===−=
=+↑
+−===
+−
−=+
⋅−−=
+=
+−
−−+=
22
22222
2
22
22
2222
22
22
22
222222
2422)'1()'2(
liegt)aufda,Fliehkraft(keine)2(0:
)1(:0mit12
2241
6241
241
ωωω
ωω&
( )
( )
F F für J
J J m b b
ma b aba b
m b aba b
m a b m b m mab
Ax Bx xz
xz xz
= = =
= +
=
−−
++
+=
− − + = = −
0 0
22 2
0
112
24
0
112
12
016
1
1
2 2
2 2 1
2
2 2
2 21
21
2
2
*
* sin cosϕ ϕ
Lösung 7.5 (zu aufwendige Lösung, geht viel einfacher !!!)
( )( )
( ) ( )22sin
00
0000cossin
2 αωωωω
ωωωωωω
ωωωωαωωαωω
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
IIIIIIIIIIIIIIII
IIIIIIIIIIIIII
IIIIII
IIIIII
JJMJJJM
MJJJMMJJJM
−=⇒−+=
=⇒−+==⇒−+=
=====−=
&
&&
&&&
2
222222
cos81
441
31
4161
121
+==
+=+=
αemmdJdmdlmmdmlJ III
m1
m1
z
x
I II
III FA FB S
ω α ωI
ωII
Überlagerung von Rotation und Translation durch Wahl des Koordinatensystems (Ursprung auf der Drehachse). Lagerkraftanteil aus der Rotation:
( ) αωαωαω tan3
2sin481
22sin
32
2222
dmemd
dJJ
lMFF IIIIII
BRAR −=⋅−
==−=
Lagerkraftanteil aus der Translation des Schwerpunktes: meω2 wirkt im Schnittpunkt der Achse I mit der Drehachse
( )l
elmeFelmelF BTrBTr 2tantan2 22 αωαω −
=⇒−⋅=⋅ (exakte Lösung)
22
21 ωω meFFFFmeFF BTrATrBTrATrBTrATr ≈≈⇒≈=+
Somit ergibt sich
−
+=++−≈
+
−=+−≈
ααωωαωαω
ααωωαωαω
2sin481
3tan
21
21tan
32sin
481
2sin481
3tan
21
21tan
32sin
481
2222
2
2222
2
dd
eemmed
memdF
dd
eemmed
memdF
B
A