lp methods and the bipartite matching polytope · ist g bipartit, so ist b total unimodular. yv:= 1...

LP methods and the bipartite matchingpolytope

Wolfgang Welz

Technische Universität Berlin

6. Mai 2008

Matching Polytope LP-Methoden Knoten- und Kantenüberdeckungen Zusammenhänge

Übersicht

1 Matching PolytopeDefinitionenPerfektes Matching PolytopMatching Polytop

2 LP-MethodenTotale UnimodularitätFolgerungen

3 Knoten- und KantenüberdeckungenDefinitionenInduzierte Polyeder

4 Zusammenhänge

5 Zusammenfassung

Wolfgang Welz LP methods and the bipartite matching polytope 06.05.2008 2 / 40


Übersicht

1 Matching PolytopeDefinitionenPerfektes Matching PolytopMatching Polytop

2 LP-Methoden

3 Knoten- und Kantenüberdeckungen

4 Zusammenhänge

5 Zusammenfassung



Definitionen

Matching



Definitionen

Perfektes Matching



Perfektes Matching Polytop


DefinitionDas perfekte Matching Polytop von G ist genau die konvexeHülle über die Inzidenzvektoren aller perfekten Matchings in G,also

PPM(G) = conv{

x = χM∣∣∣M ist ein perfektes Matching} .

Das perfekte Matching Polytop ist ein Polytop im R|E |.Die Eckpunkte sind 0/1-Vektoren.Da das perfekte Matching Polytop konvex ist, kann esdurch Ungleichungen beschrieben werden.




Beschreibung

lineare Beschreibung

xe ≥ 0 für alle Kanten e ∈ E∑e∈δ(v)

xe = 1 für alle Knoten v ∈ V

Definition

P̂PM =

x : xe ≥ 0 ∀e ∈ E , ∑e∈δ(v)

xe = 1 ∀v ∈ V




Satz

Es gilt PPM ⊆ P̂PM .

PPM 6= P̂PM

Der Graph K3 hat kein perfektes Matching, aber der Punkt(12 ,

12 ,

12

)liegt in P̂PM .




Satz

Ist G bipartit, so gilt PPM = P̂PM .

Beweis:es genügt zu zeigen, dass jede Ecke von P̂PM ganzzahligist.Es sei x ∈ P̂PM wobei x fraktional.




Es gibt einen Zykel C mitxe > 0 für alle e ∈ C.Da G bipartit ist, gibt esdisjunkte Matchings M, N, sodass C = M ∪ N.Für ε klein genug, ist:

x ′ := x +ε · (χM −χN) ∈ P̂PMx ′′ := x−ε ·(χM−χN) ∈ P̂PM

x = 12x′ + 12x

′′

x ist keine Ecke.0.25

0.5

0.5

0.5

0.25

0.75




Gezeigt

Ist G bipartit, dann beschreibt P̂PM das perfekte MatchingPolytop.

BemerkungDie Umkehrung gilt nicht!




Gegenbeispiel

14

2 3

PPM = P̂PM 6⇒ G ist bipartit .



Matching Polytop

Matching Polytop

DefinitionDas Matching Polytop PM(G) vom Graphen G ist die konvexeHülle über die Inzidenzvektoren aller Matchings in G, also

PM(G) = conv{

x = χM∣∣∣M ist ein Matching} .

Das Matching Polytop ist ein Polytop im R|E |.Die Eckpunkte sind 0/1-Vektoren.Da das Matching Polytop konvex ist, kann es durchUngleichungen beschrieben werden.



Matching Polytop

Beispiel: PM(K3)

x3

x1

x2

PM(K3)

(0, 0, 0)

(1, 0, 0)

(0, 1, 0)

(0, 0, 1)



Matching Polytop

Beschreibung

lineare Beschreibung

xe ≥ 0 für alle Kanten e ∈ E∑e∈δ(v)

xe ≤ 1 für alle Knoten v ∈ V

Definition

P̂M =

x : xe ≥ 0 ∀e ∈ E , ∑e∈δ(v)

xe ≤ 1 ∀v ∈ V



Matching Polytop

P̂M = PM?

x3

x1

x2

P̂M(K3)

(0, 0, 0)

(1, 0, 0)

( 12 ,12 ,

12 )

(0, 1, 0)

(0, 0, 1)

6= x3

x1

x2

PM(K3)

(0, 0, 0)

(1, 0, 0)

(0, 1, 0)

(0, 0, 1)



Matching Polytop

Satz

Es gilt PM(G) = P̂M(G), genau dann, wenn G bipartit ist.

Beweis:PM(G) = P̂M(G) ⇒ G bipartit.G bipartit ⇒ PM(G) = P̂M(G):

0.5 0

0.5

10.5

0

0.5

0 0.5 0

00.5

Ĝ

x liegt in P̂M(G) ⇒ x̂ liegt in P̂PM(Ĝ) ⇒ x liegt in PM(G).Wolfgang Welz LP methods and the bipartite matching polytope 06.05.2008 17 / 40


Übersicht

1 Matching Polytope

2 LP-MethodenTotale UnimodularitätFolgerungen


4 Zusammenhänge

5 Zusammenfassung



Totale Unimodularität


DefinitionEine Matrix M ∈ Zm×n heißt total unimodular, wenn dieDeterminante von jeder quadratischen Teilmatrix einen Wertvon 0, 1 oder −1 annimmt.

SatzDie Inzidenzmatrix A eines ungerichteten Graphen G ist genaudann total unimodular, wenn G bipartit ist.




SatzEs sei B die Matrix, die das Matching Polytop beschreibt

P̂M = {x | Bx ≤ b} .

Die Matrix B ist dann total unimodular.

Beweis:

P̂M ={

x∣∣∣∣[ −IA

]· x ≤

[01

]}Zu zeigen: B =

[−IA

]ist total unimodular.




Sei B′ eine quadratische Teilmatrix von B mit der Größe n.Zeige mit Induktion über n, dass det B′ ∈ {0, 1,−1}.Induktionsanfang ist trivial.Für jedes B′ gibt es drei Möglichkeiten:

1. Fall Es gibt eine Nullzeile ⇒ det B′ = 0.2. Fall Es gibt eine Zeile mit genau einem Nichtnullelement ⇒

Entwickeln nach dieser Zeile und Voraussetzung.3. Fall Jede Zeile enthält mindestens 2 Nichtnullelemente ⇒ B′ ist

Teilmatrix von A ⇒ det B′ ∈ {0, 1,−1}.




GezeigtFür das Polytop

P̂M = {x | Bx ≤ b}

ist B total unimodular.Da

b =[

01

]ganzzahlig ist, ist dann auch P̂M ganzzahlig.

Bemerkung

Dies ist ein weiterer Beweis für P̂M = PM .



Folgerungen

Folgerung

Das Matching Polytop und das perfekte Matching Polytopsind ganzzahlig.Wir haben eine lineare Anzahl von Ungleichungen, die dasPolytop beschreiben.

=⇒ löse als LP



Folgerungen

Perfekte Matchings

max cT x

PPM

{Ax = 1x ≥ 0

maximal gewichtetes perfektes Matching



Folgerungen

Matchings

max 1T x

PM

{Ax ≤ 1x ≥ 0

größtes Matching



Folgerungen

Alternative

Ungarische Methode

berechnet ein maximal gewichtetes (perfektes) Matching ineinem bipartiten Graphen.basiert auf dem Konzept von M-augmentierenden Wegen.Laufzeit: O(|V | · (|E |+ |V | · log |V |))

Hierbei handelt es sich um einen primal-dualen Algorithmus.



Übersicht

1 Matching Polytope

2 LP-Methoden

3 Knoten- und KantenüberdeckungenDefinitionenInduzierte Polyeder

4 Zusammenhänge

5 Zusammenfassung



Definitionen

Knotenüberdeckung

DefinitionEs sei G = (V , E) ein ungerichteter Graph und U ⊆ V .Enthält jede Kante wenigstens einen Knoten aus U, so ist Ueine Knotenüberdeckung.



Definitionen

Kantenüberdeckung

DefinitionEs sei G = (V , E) ein ungerichteter Graph und F ⊆ E .Ist jeder Knoten in G zu mindestens einer Kante aus F inzident,so ist F eine Kantenüberdeckung.



Definitionen

Stabile Menge

DefinitionEine stabile Menge ist eine Teilmenge S von V , so dass für jezwei beliebige verschiedene Knoten v und w aus S stets gilt,dass sie nicht benachbart sind.



Induzierte Polyeder

SatzEin Graph G ist genau dann bipartit, wenn für dasKnotenüberdeckungs-Polytop folgende Beschreibung gilt:

yv + yw ≥1 für jede Kante e = vw ∈ E0 ≤ yv ≤1 für jeden Knoten v ∈ V

Beweis:

Wir bringen das Polytop in die Form P̂VC = {y | By ≤ b}

mit B =

−AT−II

. Ist G bipartit, so ist B total unimodular.yv := 12 für alle v ∈ V erfüllt die Bedingungen, liegt abernicht im Knotenüberdeckungs-Polytop.



Induzierte Polyeder

SatzWenn G bipartit ist, so ergibt sich für dasKantenüberdeckungs-Polytop folgende Beschreibung:∑

e∈δ(v)

xe ≥1 für jedes v ∈ V,

0 ≤ xe ≤1 für jedes e ∈ E.



Übersicht

1 Matching Polytope

2 LP-Methoden


4 Zusammenhänge

5 Zusammenfassung



Definition

α(G) := Größe einer größten stabilen Menge in G,τ(G) := Größe einer minimalen Knotenüberdeckung in G,ν(G) := Größe eines größten Matchings in G,ρ(G) := Größe einer minimalen Kantenüberdeckung in G.



Satz (Satz von König)

In einem bipartiten Graphen ist die Größe eines größtenMatchings gleich der Größe einer minimalenKnotenüberdeckung.

ν(G) = τ(G)

Beweis:

max 1T xAx ≤1

x ≥0

größtes Matching

min yT 1

yT A ≥1T

y ≥0

minimale Knotenüberdeckung



Einfache Zusammenhänge

Die Größe eines größtenMatchings ist höchstens sogroß, wie die Größe einerminimalen Knotenüberdeckung.

ν(G) ≤ τ(G)

Die Größe einer größtenstabilen Menge ist höchstensso groß, wie die Größe einerminimalen Kantenüberdeckung.

α(G) ≤ ρ(G)



Satz (Gallai’s theorem)Für jeden ungerichteten Graphen, der keine isolierten Knotenhat, gilt:

α(G) + τ(G) = |V | = ν(G) + ρ(G) .

SatzEs sei G ein bipartiter Graph ohne isolierte Knoten, so gilt:

α(G) = ρ(G) .



Minimal gewichtete Kantenüberdeckung

2

1

2

2

4

5

1

4

1

12

2

5

4

w ′(M) = 8

⇒1

2

5

1

4

w(F ) = 4Eine minimal gewichtete Kantenüberdeckung in einembipartiten Graphen kann also in O(|V | · (|E |+ |V | · log |V |))gefunden werden.



Übersicht

1 Matching Polytope

2 LP-Methoden


4 Zusammenhänge

5 Zusammenfassung



Zusammenfassung

Eigenschaften und lineare Beschreibung des (perfekten)Matching Polytops.Eigenschaften und lineare Beschreibung desKnoten-/Kantenüberdeckungspolytops.Alternativer Beweis für den Satz von König.Zusammenhang zwischen Matching undKantenüberdeckung.


Matching PolytopeDefinitionenPerfektes Matching PolytopMatching Polytop

LP-MethodenTotale UnimodularitätFolgerungen

Knoten- und KantenüberdeckungenDefinitionenInduzierte Polyeder

ZusammenhängeZusammenfassung

lp methods and the bipartite matching polytope · ist g bipartit, so ist b total unimodular. yv:= 1...

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