LoptaLopta

GimnazijaGimnazija PirotPirot

Maturski rad iz matematikeMaturski rad iz matematike

Maj 2006Maj 2006

Broj π

O kvadraturi krugaO kvadraturi kruga

Stereometrija

Primena lopte u arhitekturi

Izracunajte V i P

Zadaci

Lopta i delovi lopteLopta i delovi lopte

Lopta i poliedriLopta i poliedri

Lopta i obrtna telaLopta i obrtna tela

KVADRATURA KRUGAKVADRATURA KRUGA

• Jedan odJedan od tri tri nere nereššiva problema Antikeiva problema Antike je kvadratura kruga: je kvadratura kruga:

KONSTRUISATI KONSTRUISATI KVADRATKVADRAT ISTE POVR ISTE POVRŠINE KAO ŠINE KAO KRUGKRUG!!

• Hiljadama godina problem zaokuplja paHiljadama godina problem zaokuplja pažžnju matematinju matematiččaara.ra. Tek u XX vekuTek u XX veku dokazana je dokazana je nerenereššivostivost problema geometrijskim sredstvima.problema geometrijskim sredstvima.

• Danas je izraz Danas je izraz kkvadratura kruga vadratura kruga metafora za besmisleno!metafora za besmisleno! • Ova oblast matematike nazvana je Ova oblast matematike nazvana je pseudomatematikapseudomatematika,, aa lekarska dijagnoza za obuzete problemom glasi lekarska dijagnoza za obuzete problemom glasi morbusmorbus ciclometricus!ciclometricus!

• Analogon krugu Analogon krugu ii kvadratu u prostoru su kvadratu u prostoru su kocka i loptakocka i lopta.. NjihovaNjihova kombinacija kombinacija ččesta je u arhitekturi:esta je u arhitekturi: KOCKA I KUPOLAKOCKA I KUPOLA..

• ““KRUG I KVADRAT, TO SU ELEMENTARNA SLOVA ARHITEKTURE!” KRUG I KVADRAT, TO SU ELEMENTARNA SLOVA ARHITEKTURE!” LeduLedu, arhitekt, arhitekt

Pocetak

LUDOLFOV BROJ LUDOLFOV BROJ ππ

ππ je ne samoje ne samo IRACIONALAN, IRACIONALAN, već iveć i TRANSCEDENTAN TRANSCEDENTAN brojbroj!! (nije re(nije reššenje enje nnijedne algebarske jednaijedne algebarske jednaččine).ine).

Zato je Zato je geometrijska konstrukcija brojageometrijska konstrukcija broja ππ nemogu nemogućća!a! (Lindeman, (Lindeman, 18821882))

TRANSCEDENTNOST BROJA TRANSCEDENTNOST BROJA ππ JE ODGOVORNO ZA JE ODGOVORNO ZA NEREŠIVOST KVADRATURE KRUGANEREŠIVOST KVADRATURE KRUGA!!

• Vavilon Vavilon ii Biblija nalaze Biblija nalaze ππ == 33• U Egiptu 2000 g.p.n.e. U Egiptu 2000 g.p.n.e. Ahmes Ahmes ((Rindov papirusRindov papirus)) daje: daje: ππ == (16/9)²(16/9)² == 3,163,16• Arhimed 280 Arhimed 280 (god. (god. p.n.e.)p.n.e.) određuje granice broja određuje granice broja ππ metodom dvostranog metodom dvostranog

iscrpljivanja tjiscrpljivanja tj.. upisivanjem upisivanjem i opisivanjem mnogouglova u krug. Doi opisivanjem mnogouglova u krug. Doššavavšši do i do 96-96-uuglagla Arhimed daje granice Arhimed daje granice broja broja ππ::

223/71 < 223/71 < ππ < 22/7 tj < 22/7 tj.. ππ≈3,14≈3,14• Ludolf van KalenLudolf van Kalen (XIIv.) (XIIv.) nalazi nalazi 35 decimala35 decimala broja broja ππ ( Ludolfov broj ( Ludolfov broj ππ))

U U Muzeju otkriMuzeju otkrićća u Parizua u Parizu,, mo možže se oe se oččitatiitati sedamsedam stostotinatina sedam sedam decimala decimala brbroja oja ππ ispisanih po zidovima elipsaste palate!ispisanih po zidovima elipsaste palate!

RindovpapirusRindovpapirus

Pocetak

STEREOMETRIJASTEREOMETRIJA

DoDo Arhimeda Arhimeda (III vek p.n.e.) (III vek p.n.e.) stare civilizacije povrstare civilizacije površšinu kruga odreinu kruga određđuju uju samo priblisamo približžnono..

Arhimed Arhimed (287-212 god. p.n.e.) (287-212 god. p.n.e.) iz Sirakuze najveiz Sirakuze najveććii је је univerzalni umuniverzalni um starog starog veka, jedan od veka, jedan od tri mudraca Antiketri mudraca Antike po Plutarhu. Studirao je u po Plutarhu. Studirao je u AleksandrijiAleksandriji, , tadatadaššnjem kulturnom centru sveta.njem kulturnom centru sveta.

FFormule vezane za ormule vezane za krug, loptu (l), valjak (v), kupu (k) krug, loptu (l), valjak (v), kupu (k) odredio je Arhimedodredio je Arhimed:: VVll=2/3V=2/3Vvv VVkk=1/3V=1/3Vvv VVll=(V=(Vvv+V+Vkk)/2)/2

Na Arhimedovom Na Arhimedovom skromnom grobu u Sirakuziskromnom grobu u Sirakuzi nalaze se valjak nalaze se valjak ii upisana upisana lopta po njegovoj lopta po njegovoj žželji.elji.

““MetodMetod”” je jedino sa je jedino saččuvano uvano Arhimedovo deloArhimedovo delo, koje je , koje je iinspirisalo najvenspirisalo najvećće e matematimatematiččke umove tokom ke umove tokom sstoletoleććaa..

ArhimedArhimedArhimedArhimed

Pocetak

Pocetak

Lopta i delovi lopteLopta (sfera) je geometrijsko telo koje je potpuno oblo i ciji je poprecni presek kružnog oblika. Sve tacke na površini lopte nalaze se na jednakoj udaljenosti od centra lopte i ta udaljenost se naziva poluprecnik lopte i oznacava se slovom r. Grcki matematicar Arhimedes ustanovio je da je nepromenljiva velicina "pi" (B) cija je vrednost približno 3,14 posebno znacajna za izracunavanje površine i zapremine lopte.

Pocetak

Obrasci za loptu i delove lopte

Pocetak

Lopta i poliedri Za poliedar ~ija sva temena pripadaju lopti ka`e se da je upisan u loptu,a za loptu da je opisana oko poliedra. Poliedar ~ije sve strane dodiruju loptu je opisan oko lopte,a lopta je u njega upisana.

Ako se u poliedar mo`e upisati lopta,njen centar se nalazi u ta~ki preseka simetralnih ravnisvih uglova diedra datog poliedra.

Da bi se u prizmu mogla upisati lopta potrebno je i dovoljno da se u njen normalni presek mo`e upisati krug ~iji je pre~nik jednak visini prizme.

Da bi se u piramidu mogla upisati lopta dovoljno je danagibni uglovi bo~nih strana prema osnovi piramide budu jednaki.

Ako se oko poliedra mo`e opisati lopta,tada njen centar le`i u ta~ki preseka simetralnih ravni svih ivica poliedra.

Da bi se oko piramide mogla opisati lopta potrebno je i dovoljno da se oko njene osnove mo`e opisati krug.

Pocetak

Lopta i obrtna telaLopta je upisana u prav valjak ako osnove i sve izvodnice valjka dodiruju loptu. To je mogu}e ako je pre~nik osnove valjka jednak visini valjka.

Lopta je upisana u pravu kupu ako osnova i sve izvodnice kupe dodiruju loptu.To je uvek mogu}e.

Lopta je opisana oko valjka ako su osnove valjka preseci lopte. Oko svakog pravog valjka mo`e se opisati lopta.

Lopta je opisana oko kupe ako je osnova kupe presek lopte i ako vrh kupe pripada odgovaraju}oj sferi. Oko svake kupe mo`e se opisati lopta.

ZADACI SA PRIJEMNIH ISPITA ZADACI SA PRIJEMNIH ISPITA VEZANI ZA VEZANI ZA

STEREOMETRIJU STEREOMETRIJU

1)1) U loptu je upisana kupa.U loptu je upisana kupa. Ako je preAko je preččnik osnove kupe jednak njenoj izvodnici, nanik osnove kupe jednak njenoj izvodnici, naćći odnos i odnos zapremina lopte zapremina lopte ii kupe. kupe.

2)2) U pravoj kupi U pravoj kupi ččiji je preiji je preččnik jednak izvodnici, upisana je lopta.Nanik jednak izvodnici, upisana je lopta.Naćći odnos njihovih zapremina.i odnos njihovih zapremina.

3)3) Neka je ABCD tetraedar ivice a. Ako je K(O,R) opisana, a k(O,r) upisana sfera datog tetraedra, Neka je ABCD tetraedar ivice a. Ako je K(O,R) opisana, a k(O,r) upisana sfera datog tetraedra, nanaćći odnos R:r.i odnos R:r.

4)4) Na horizontalni sto postavljene su Na horizontalni sto postavljene su ččetiri lopte polupreetiri lopte polupreččnika r=3√2nika r=3√2,, tako da svaka dodiruje dve tako da svaka dodiruje dve susedne, a dodirne tasusedne, a dodirne taččke sa stolom obrazuju ke sa stolom obrazuju kvadrat. Na ove četiri lopte postavljena je peta kvadrat. Na ove četiri lopte postavljena je peta lopta istog poluprečnika, lopta istog poluprečnika, koja dodiruje koja dodiruje ččetiri prethodne.etiri prethodne. NaNaćći rastojanje centra pete lopte od i rastojanje centra pete lopte od stola stola i i izraizraččunati V piramide unati V piramide ččija su temena centri ovih pet lopti.ija su temena centri ovih pet lopti.

Rešenjastereometrija

EuklidEuklid

Pocetak

PRIMENA PRIMENA LOPTELOPTE U ARHITEKTURIU ARHITEKTURI

““Na Na ššta se sve ta se sve arhitekturaarhitektura oslanja: oslanja: na na matematikumatematiku, sa njenim brojevima , sa njenim brojevima i njihovim zakonimai njihovim zakonima (proporcije,(proporcije, razmere,razmere, tela, prodori), na tela, prodori), na prirodu prirodu i i njene principe i oblike, na svet njene principe i oblike, na svet tehnika tehnika i mai maššina, na druge ina, na druge umetnostiumetnosti, na , na ččinjenice injenice kulture kulture (mitovi, religije, jezik), sve do onog (mitovi, religije, jezik), sve do onog ččuvenog uvenog KorbizjeKorbizjeovog paradoksa da ovog paradoksa da je je ččovek geometrijska ovek geometrijska žživotinja!ivotinja!””

Svodovi

Njutnov nadgrobni spomenikNjutnov nadgrobni spomenikNjutnov nadgrobni spomenikNjutnov nadgrobni spomenik

Kružne osnove Luk SferaКуполе

Pocetak

PtolomejPtolomejPtolomejPtolomej

SaturnSaturnSaturnSaturn

Rene DekartRene DekartRene DekartRene Dekart

Pjer FermaPjer FermaPjer FermaPjer FermaLajbnicLajbnicLajbnicLajbnic

Isak NjutnIsak Njutn Isak NjutnIsak Njutn