Úlohy k p řednášce vlnová a paprsková optika...
TRANSCRIPT
Inovace a zvýšení atraktivity studia optikyreg. č.: CZ.1.07/2.2.00/07.0289
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.
Úlohy k přednášce Vlnová a paprsková optika OPT/VPO1X (řešení úloh pomocí programů OSLO Premium fy Lambda Research a MATLAB)
Zdeněk Bouchal
OBSAH:
I. Šíření světla nehomogenním prostředím
I.1 Prostředí s axiálním gradientemI.2 SELFOC – prostředí s radiálním gradientemI.3 Gradientní čočkaI.4 Luneburgova čočkaI.5 Maxwellova rybí čočkaI.6 Woodova čočka
II. Paraxiální zobrazování
II.1 Zobrazení kuličkouII.2 Afokální čočkaII.3 Kuličkový retroreflektor
III. Gaussovský svazek
III.1 Volné šíření GSIII.2 Obecná transformace GS čočkouIII.3 Fokusace GS čočkouIII.4 Kolimace GS dvoučlenným systémemIII.5 Průchod GS nehomogenním prostředímIII.6 Určení módů SELFOC prostředí
I. Šíření sv ětla nehomogenním prost ředím
( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]riktirhtrH
riktiretrErrrrr
rrrrr
ϕωϕω
+=
+=
exp,
exp,
Monochromatická EM vlnaMaxwellovy
rovnice
Eikonálová rovnice
2n=∇⋅∇ ϕϕ
( )rnnr=
0→λ
Paprsková rovnice
nds
rdn
ds
d ∇=
r
vlnoplocha
trajektoriepaprsku
ϕ∇směr paprskun
vk
λπω 2==
Index lomu se mění v prostoru:
Řešení paprskové rovnice:
• analytické(s použitím paraxiální aproximace)
• numerické(Runge-Kuttova metoda, program Oslo)
Typy nehomogenních prostředí(možnost simulace v programu Oslo):
• axiálně-radiální gradient• axiální eliptický gradient• Woodova čočka• SELFOC gradient• sférický gradient• Maxwellova rybí oko• Luneburgova čočka
ϕrr
Úloha I.1: Prost ředí s axiálním gradientem
Zadání: Určete trajektorii paprsků, které se šíří prostředím, jehož index lomu je určen funkcí , kde A a B jsou reálné konstanty. Paprsek leží v rovině (x,z) a v rovině z=0 má vzdálenost x0 od osy z a svírás ní úhel θ0. Řešení úlohy ověřte simulací šíření paprsku v programu Oslo Premium.
zBAn ⋅+=
Postup výpo čtu:Paprsková rovnice pro axiální změnu indexu lomu : , kde( ) 0sin =θn
ds
d22
sindzdx
dx
ds
dx
+==θ
Použití okrajové podmínky:( )
dxA
ABzAz ∫
−+=
0
0222
sin
sin
θθ
Trajektorie paprsku:( ) 0
222
00
sin
sin)(
θθABzA
zAxzx
−++=
Diskuze výsledku:• Součin n sin θ je v prostředí konstantní – pro libovolnou vzdálenost šíření paprsku je splněn zákon lomu:
• Trajektorie paprsku je odlišná pro B1 = B a B2 = - B.• Pro B=0 je trajektorie paprsku přímočará:
( ) ( ) 00 sinsin θθ nzzn =
00)( θtgzxzx ⋅+=
Prostředí s axiálním gradientem – program OSLO Premium Zadání parametr ůprost ředí:
Prostředí s axiálním gradientem – program OSLO Premium
Zadání parametr ů paprsku:
Poloměr vstupního svazku
Úhel zorného pole
Předmětovávzdálenost
Podmínky vykreslení paprsk ů:
Počet svazků
Počet paprsků
Znázorn ění chodu paprsk ů:
Úloha I.2: SELFOC – prost ředí s radiálním gradientem
Zadání: Určete trajektorii paprsků, které se šíří prostředím, jehož index lomu je určen funkcí , kde n0 a α jsou reálné konstanty a . Paprsek leží v rovině (r,z) a v rovině z=0 má vzdálenost r0od osy z a svírá s ní úhel θ0. Řešení úlohy ověřte simulací šíření paprsku v programu Oslo Premium.
( )21 220 rnn α−=
222 yxr +=
Postup výpo čtu:
Paprsková rovnice upravená s použitím paraxiální aproximace :dzddsd ≈ 022
2
=+ rdz
rd α
( ) ( )zzrr ααθα sincos 0
0 +=
( ) ( )zzr αθααθ cossin 00 +−=
Trajektorie paprsku:
Diskuze výsledku:
• Paprsky mají periodickou trajektorii, perioda je:
• Pro paprsky, které v rovině z=0 vycházejí z osy z, má periodická trajektorie amplitudu
• Pro paprsky, které jsou rovnoběžné s osou z, má periodická trajektorie amplitudu
Sklon paprsku vzhledem k ose z:
απ2=Λ
.0max αθ=r
.0max rr =
Prostředí SELFOC – program OSLO Premium Zadání parametr ůprost ředí:
( )[ ]
−≈
===
211
:04322
0 rnrnn
nrnrnrperioda: 12 nrπ=Λ
Prostředí SELFOC – program OSLO Premium Zadání parametr ůpaprsku:
Poloměr vstupního svazku
Předmětovávzdálenost
Úhel zorného pole
Vykreslení paprsk ů
Paraxiální chod paprsků:poloměr svazku 0.8 mm
Neparaxiální chod paprsků:poloměr svazku 3 mm
Chod paprsků ovlivněn sférickou vadou
Λ = 2π/nr1 = 31.42 mm
Prostředí SELFOC – program OSLO Premium
Vykreslení paprsk ů
Paraxiální chod paprsků:poloměr svazku 0.8 mm,zorné pole 15 o
Nearaxiální chod paprsků:poloměr svazku 3 mm,zorné pole 15 o
Chod paprsků ovlivněn komou
Úloha I.3: Gradientní čočka
Zadání: Určete ohniskovou vzdálenost gradientní čočky, která má tloušťku d a je vyrobena ze SELFOCmateriálu o indexu lomuÚlohu řešte obecně a následně proveďte vyčíslení pro parametry d=20 mm, n0=1.5 a α=0.05. Správnost výpočtu ověřte pomocí programu Oslo Premium.
( ).21 220 rnn α−=
Průchod paprsk ů gradientní (GRIN) čočkou
F´H´
f´
d
z´Fz´H
Z trajektorie paprsku a geometrie ur číme:
( )( )dn
dzF αα
αsin
cos
0
' =
Poloha obrazového hlavního bodu
( )( )dn
dzH αα
αsin
1cos
0
' −=
Obrazová ohnisková vzdálenost
( )dnf
αα sin
1
0
' =
Poloha obrazového ohniskového bodu
Gradientní čočka – program OSLO Premium
Parametry prostředí:
05.01
,5.10
=≡=
nr
n
α
( ) mmdn
f 845.15sin
1´
0
==αα
Zorné pole: 15 0
( )( ) mm
dn
dzF 561.8
sin
cos
0
' ==αα
α
Gradientní čočka – program OSLO Premium
Zobrazení gradientní čočkou
příčné měřítko m = - 0.5 příčné měřítko m = - 1
Úloha I.4: Luneburgova čočka – program Oslo Premium
Zadání: V programu Oslo Premium ověřte funkci Luneburgovy čočky, která umožňuje fokusacimonochromatické rovinné vlny. Znázorněte paprskovou kaustiku pro osový a mimoosový svazek rovnoběžných paprsků dopadajících na čočku. V programu Oslo Premium simulujte činnost teleskopusestaveného z Luneburgových čoček.
Základní informace:
Luneburgova čočka je optické prostředí se sféricky symetrickým, prostorově proměnným indexem lomu,které poskytuje dokonalé geometrické zobrazení dvou koncentrických sfér (jedna sféra se zobrazuje na druhou). Nejjednodušším typem je Luneburgova fokusační čočka (Rudolf Luneburg, 1944), která mátvar koule a je z materiálu, jehož index lomu se od středu čočky k jejímu povrchu zmenšuje. Čočka zobrazuje nekonečně vzdálený předmětový bod na protilehlou plochu čočky.
2
2
−=R
rn
2=n
1=n
Eliptická dráha paprsku
Index lomu:
222 zyxr ++=
R … poloměr čočky
R
Luneburgova čočka – program Oslo Premium
Parametry čočky:- poloměr kuličky R = nr1 = 5 mm,- n0 = 1,- sgc = 5 mm.
Luneburgova čočka – program Oslo Premium
Vykreslení paprsk ů
Zorné pole: 15 0
Luneburgův teleskop – program Oslo Premium
Vykreslenípaprsk ů
Dokonalézobrazení
Optickévady
Zorné pole: 15 0
Úloha I.5: Maxwellova rybí čočka – program Oslo Premium
Zadání: V programu Oslo Premium ověřte funkci Maxwellovy rybí čočky, která umožňuje dokonalézobrazení monochromatického bodového zdroje. Znázorněte paprskovou kaustiku pro svazky vycházející z osového a mimoosového bodového zdroje.
Základní informace:
Maxwellova rybí čočka je optické prostředí se sféricky symetrickým, prostorově proměnným indexem lomu, které má tvar kuličky. Poskytuje dokonalé geometrické zobrazení bodového monochromatického zdroje umístěného na povrchu kuličky – dokonalý obraz vzniká na protilehlé straně kuličky.
20
1
+=
R
r
nn
Index lomu:
222 zyxr ++=
R … poloměr čočky
0nn =
20n
n =
R
Zdroj Obraz
Maxwellova rybí čočka – program Oslo Premium
Parametry čočky:- poloměr kuličky R = nr1 = 5 mm,- n0 = 1,- sgc = 5 mm.
Vykreslení paprsk ůMaxwellova rybí čočka – program Oslo Premium
Úloha I.6: Woodova čočka – program Oslo Premium
Zadání: Navrhněte parametry při kterých bude Woodova čočka transformovat svazek rovnoběžných paprsků jako spojná a rozptylná čočka. Proveďte propočet paprsků Woodovou čočkou v programuOslo Premium.
Základní informace:
Woodova čočka je optické prostředí s radiálním gradientem indexu lomu. V programu Oslo Premium jeindex lomu určen vztahemPodle záporné nebo kladné hodnoty koeficientu nr1 Woodova čočka působí jako spojka nebo rozptylka.
.1 20 rnrnn +=
Pro určení optických parametrů Woodovy čočky může být použit stejný postup jako v případě SELFOCčočky:
.1 20 rnrnn +=
Woodova čočka:SELFOC čočka:
( )21 220 rnn α−= 2
12
0αnnr −=
Obrazová ohniskovávzdálenost:( )dn
fαα sin
1´
0
= ,12
1´
:1
dnrf
dpro
−≈
<<α
rozptylkanr
spojkanr
K
K
01
01
><
čočkytloušťkadK
Woodova čočka – program Oslo Premium
Parametry prostředí:
0035.01
10,5.10
−===
nr
mmdn
mmdnr
f
čočkaWoodovaSpojná
3.1412
1' =−≈
(předpoklad d nr1<<1)
Woodova čočka – program Oslo Premium
Průchod paprsk ů Woodovou čočkou
Spojná Woodova čočka
0035.01
10,5.10
−===
nr
mmdn
mmdnr
f 3.1412
1' =−≈
0035.01
10,5.10
===
nr
mmdn
mmdnr
f 3.1412
1' −=−≈
Rozptylná Woodova čočka
II. Paraxiální zobrazování
Úlohy paraxiálního zobrazování lze řešit pomocí maticového formalismu:
Optickýsystém
Vstupnípaprsek
x1, ϕ1
Výstupnípaprsek
x2, ϕ2
=
1
1
2
2
ϕϕx
DC
BAx
M . . . matice soustavy
Transformační matice optických systémů
Fokusační systém
12 ϕBx =
Zobrazovací systém
A=0 B=0
D=0C=0
12 Axx =A . . . příčné
měřítkoKolimační systémAfokální systém
12 ϕϕ D=D . . úhlové
zvětšení12 Cx=ϕ
Volné šíření(homogenní prostředí)
n
L
=
10
/1 nLM
Průchod sférickým rozhranímn1 n2
ROdraz:
Tenká čočka
( )
−=
1/
01
21 RnnM
=
1/2
01
1 RnM
=
1/1
01
fM
f . . . předmětováohniskovávzdálenost
Základní transformační matice
Úloha II.1: Zobrazování sklen ěnou kuli čkou
Zadání: Určete paraxiální optické parametry skleněné kuličky, která je vyrobena ze skla o indexu lomu n = 3/2 a má poloměr R = 5 mm. Kulička je umístěna ve vzduchu. V programu Oslo Premium proveďte simulaci fokusace a vykreslete paprskovou kaustiku pro osový a mimoosový předmětový bod..
M1 M2M3 M4
M5
n
12345 MMMMMDC
BAM =
=
F´H´
z´Fz´H
f´
( )
R
nK
Kn
RK
Kn
R
z
ArovinaohniskováObrazová
F
1,
22
12
:0
' −=
−
−=
=
R
( )
22
2
:1
'
−=
=
Kn
Rn
R
z
ArovinahlavníObrazová
H
−=−=
Kn
RK
zzf
vzdálenostohniskováObrazová
HF 22
1
:
'''
Fokusace svazku skleněnou kuličkou – program Oslo Premium
mmf
mmz
mmRn
F
5.7
5.2
5,2/3
'
'
=
=
==
Zorné pole: 15 0
Úloha II.2: Návrh afokální čočky
Zadání: Navrhněte optické parametry afokální čočky, která pracuje jako teleskop Keplerova typu s úhlovým zvětšením Γ = - 2 a Galileova typu Γ = 2. Čočka je vyrobena ze skla o indexu lomu n = 3/2a je umístěna ve vzduchu.
M1 M2 M3
123 MMMDC
BAM =
=
Postup návrhu:
- Volba poloměru R1
- Podmínka afokálnosti: C = 0- Úhlové zvětšení: Γ = DR1 R2
n
d
( ).
1
,
21
12
−−=
Γ=
n
RRnd
RR
Návrh afokální čočky
Afokální čočka Keplerova typu:n = 3/2, R1 = 50 mm, Γ = -2R2 = -25 mm, d = 225 mm
Afokální čočka Galileova typu:n = 3/2, R1 = 50 mm, Γ = 2R2 = 25 mm, d = 75 mm
Úloha II.3: Návrh kuli čkového retroreflektoru
n
Skleněnákulička
Odraznávrstva
M1 … průchod předním rozhranímM2 … šíření paprsku uvnitř kuličky M1
M2
−
−
==1
1
22
12
R
nn
R
n
n
MMM
R
Podmínka fokusace A=0:
n=2
Zadání: Navrhněte poloměr a index lomu skleněné kuličky s odraznou vrstvou, která pracuje jako retroreflektor. Kulička je umístěna ve vzduchu.
Kuličkový retroreflektor – program Oslo
Paraxiální svazek paprsků Široký svazek paprsků – optické vady
Gaussovský svazek má kruhově symetrickou stopu - jeho intenzitní profil je určen Gaussovoufunkcí. Je to základní typ svazku, který je vyzářen ideálním laserem.
Metody popisugaussovského
svazku
Řešení Helmholtzovy rovnicev paraxiální aproximaci
Rovinná vlna propuštěnágaussovskou amplitudovou
maskou
Zobecněná paraboloidní vlna(nahrazení souřadnice
komplexním parametrem)
III. Gaussovský laserový svazek
Matematický popis gaussovského svazku
osováamplituda
amplitudovýprofil
tvarvlnoplochy
Gouyůvfázový posuv
oscilačníčleny
Parametry svazku
w0 …… pološířka (poloměr) pasu svazkuq0 …… Rayleighova vzdálenostw …… pološířka (poloměr) svazku ve vzdálenosti z od pasuR ……. poloměr křivosti vlnoplochyk ……. vlnové čísloω …… kruhová frekvence
2
20
0
kwq =
2/1
20
2
0 1
+=
q
zww
+=
2
201
z
qzR
( ) ( )
( )
−=
−
−=
2
2
2
20
0
0
2
2
20
2exp,
expexp2
expexp,
w
r
w
wIzrI
ikztiq
ziarctg
R
kri
w
r
w
wAzrU ω
konstantníamplituda
Komplexní amplituda:
Intenzita:
Znázornění gaussovského svazku
ww0
I0
I0 / e2
Poloměr pasu svazku je definován jako vzdálenost od osy ve kteréintenzita poklesne z hodnoty I0 na hodnotu I0/e
2.
Vlnoplocha
Profilintenzity
I0I0 /2
q0
Osováintenzita
I
z
S rostoucí vzdáleností od pasu se stopa svazku rozšiřuje a klesáosováintenzita. Ve vzdálenosti q0 od pasu osová intenzita klesne na polovinu.
( )1
20
2
0 1,0
−
+=
q
zIzI
Maticová transformace gaussovského svazku
Gaussovský svazek odpovídá paraxiální (paraboloidní) vlně u které je souřadnice z nahrazena komplexním parametrem q=z+iq0.
−=
z
kri
z
AU
2exp
2
−=
q
kri
q
AU
2exp
2
X
Paraboloidní vlna Gaussovský svazek
Komplexní parametr: q = z + iq0
Vztah komplexního parametru a geometrických parametrů svazku
2
211
kwi
Rq−=
Maticová transformace komplexního parametru
=
DC
BAM
Vstupní svazekq1
Výstupní svazekq2
DCq
BAqq
++
=1
12
Transformace gaussovského svazku čočkou
M1
z2
pas vstupního svazku w01
pas transformovanéhosvazku w02
M2
M3
z1
komplexní parametrv rovině pasu:
q1=iq01
komplexní parametrv rovině pasu:
q2=iq02
Maticová transformace mezi rovinami pasu:
Vyjádření komplexního parametru transformovaného svazku v rovině pasu
022 iqq = 2201
201
201
2 DqC
iqBDACqq
+++
=
123 MMMDC
BAM =
≡
X
Porovnání reálné a imaginární části:
Reálná část určuje polohu pasu transformovaného svazku
Imaginární část určuje polom ěr pasu transformovaného svazku
F F´
l1 l2
Výsledky transformace svazku čočkou
−
+
+=+
'1
''1
'1 2
2
01
2
11
f
z
f
q
f
z
f
z 2/12
01
2
10201 ''
1
+
+=
f
q
f
zww
Poloha pasu transformovaného svazku
Poloha pasu transformovaného svazku z2 je určena polohou pasu vstupního svazku z1 a jeho Rayleighovou vzdáleností q01.
Poloměr pasu transformovaného svazku
Poloměr pasu transformovaného svazku w02 je určen poloměrem pasu vstupního svazku w01 a jeho polohou z1.
Zápis transformace pomocí příčného měřítka „m“
Přeznačení polohy pasu:Poloha pasu vstupního svazku vzhledem k předmětovému ohniskovému bodu:Poloha pasu výstupního svazku vzhledem k obrazovému ohniskovému bodu:
11 ´ zfl +=22 ´ zfl −=
,0102 wmw ⋅=
12
2 lml ⋅=201
21
´
ql
fm
+=
Speciální případ:Pas vstupního svazku je v předmětové ohniskové rovině čočky
0,0 21 == ll01
´
q
fm=
,1
12 θθ ⋅=m
Úloha III.1: Volné ší ření Gaussovského svazku
Zadání: Svazek He-Ne laseru (λ=632.8 nm) se šíří volným prostorem a ve vzdálenosti L od pasu vytvářína stínítku kolmém k ose svazku stopu s gaussovským profilem o poloměru w. Určete poloměr pasu svazku w0 tak, aby stopa vytvořená na stínítku mělo co nejmenší poloměr. Výsledný vztah vyčíslete pro L=500 mm a ověřte ho s použitím programu Oslo Premium.
Poloměr svazku ve vzdálenosti z=L:λ
π 20
020
2
0 ,1w
qkdeq
Lww =+=
Podmínka minimalizace stopy svazku: 00
=∂∂w
w
πλL
w =0Optimální polom ěr pasu svazku:
Minimální polom ěr stopy:πλL
ww2
2 0 ==
Volné šíření Gaussovského svazku
Parametry: λ=632.8 nm, L=500 mm mmwwmmL
w 4488.02,317.0 00 ====πλ
Úloha III.2: Obecná transformace gaussovského svazku čočkou
Zadání: Svazek laseru Verdi V2 (λ=532 nm) je transformován čočkou o ohniskové vzdálenosti f´=50 mm.Určete polohu a poloměr pasu transformovaného svazku, víte-li, že vstupní svazek má poloměr pasuw01=0.2 mm a je umístěn do předmětové ohniskové roviny čočky. Vlastní výpočet ověřte pomocíprogramu Oslo Premium. Pro simulaci transformace použijte ideální čočku („Perfect Lens“).
Rayleighova vzdálenost vstupního svazku: mmw
q 21.236201
0 ==λ
π
Příčné měřítko zobrazení: 2116.0´
0
==q
fm
Poloha pasu vstupního svazku: 01 =l
Poloha pasu transformovaného svazku: 02 =l
Polom ěr pasu transformovaného svazku: mmmww 04232.00102 ==
Obecná transformace gaussovského svazku čočkou
Vypočtené parametry:
w01=0.2 mm
q0=236.21 mm
w02=0.04232 mm
Úloha III.3: Fokusace gaussovského svazku čočkou
Zadání: Svazek He-Ne laseru, který má vlnovou délku λ=632 nm, výkon P=20 mW a poloměr pasu w0=0.45 mm, má být navázán do optického vlákna o poloměru ρ=1.5 µm. Navázání se provede tak, že svazek je na čelo vlákna fokusován pomocí mikroskopového objektivu. Určete ohniskovou vzdálenost objektivu, při které za předpokladu ideální justáže zachytí čelo vlákna 70 % výkonusvazku dopadajícího na objektiv. Příčné omezení vstupního svazku objektivem neuvažujte. Fokusaci svazku ověřte v programu Oslo Premium.
−−=
2'0
2
0
2exp1
wPP
ρVýkon fokusovaného svazku zachycený čelem vlákna:
Poloměr pasu fokusovaného svazku pro zachycený výkon :0P
P
−
−=
0
2'0
1ln
2
P
Pw
ρ
Ohnisková vzdálenost objektivu (q0>>f’):λ
π '00´
wwf =
Fokusace gaussovského svazku čočkou – program Oslo Premium
Zadané parametry:λ=632,8 nmw0=0.45 mmρ=1.5 µmP/P0=0.7
Vypočtené parametry:w’0=1.93 µmf´=4.32 mm
Úloha III.4: Návrh laserového rozši řovače
Zadání: Gaussovský svazek He-Ne laseru o vlnové délce λ = 633 nm má poloměr pasu w0=0.2 mm. Navrhněte dvoučlenné laserové rozšiřovače Keplerova a Galileova typu, které vstupní svazek transformujína svazek s Rayleighovou vzdáleností q’0=1.8 m. Při návrhu systému respektujte podmínku, aby stavební délka systému byla L=200 mm. Funkčnost navrženého systému ověřte v programu OSLO Premium.
f’1 f’2
L
F1F’1=F2 F’2
w0=w01 w’01=w02 w’02=w’0
Rayleighova vzdálenost vstupního svazku:λ
π 20
0
wq =
Transformace pasu svazku 1. a 2. členem rozšiřovače:
Pološířka pasu svazku za rozšiřovačem: πλ '
'0
oqw =
,0200
'1'
01 wwq
fw == 02
02
'2'
0 wq
fw =
,0'1
'2'
0 wf
fw = Lff =+ '
2'
1
Návrh laserového rozšiřovače – program Oslo Premium
Rozšiřovač Keplerova typu
mmwmqmmwmmL 6.08.1,2.0,200 '0
'00 =⇒===
mmww
Lwfmm
ww
Lwf 150,50
'00
'0'
2'00
0'1 =
+==
+=
Požadavek:
( )0'1 >f
Návrh laserového rozšiřovače – program Oslo Premium
Rozšiřovač Galileova typu
mmwmqmmwmmL 6.08.1,2.0,200 '0
'00 =⇒===
mmww
Lwfmm
ww
Lwf 300,100
0'0
'0'
2'00
0'1 =
−=−=
−=
Požadavek:
( )0'1 >f
Úloha III.5: Ší ření gaussovského svazku prost ředím SELFOC
Zadání: Proveďte matematický popis šíření gaussovského svazku prostředím SELFOC s indexem lomu kde n0 a α jsou reálné konstanty a r2=(x2+y2). Diskutujte podmínky šíření svazku v
závislosti na jeho poloměru pasu. Gradientní prostředí je omezeno rovinnými plochami, na které svazek dopadá kolmo. Pas svazku leží na vstupní ploše prostředí, prostředí má tloušťku L. Úlohu řešte s použitím paraxiální aproximace.
( ),21 220 rnn α−=
Transformační matice pro SELFOC prostředí:
( ) ( )( ) ( )
−=
=
LL
LL
LDC
BAM
ααααα
cossin
sin1
cos
L
w0, q w’, q’
pas vstupního svazku
z=0 z=L
Rovina z=0: Rovina z=L:0iqq = 2'''
11
wi
Rq πλ−= Maticová
transformace: DCq
BAqq
++='
Parametry svazku v rovině z=L
Poloměr svazku w’: Poloměr křivosti vlnoplochy R’:
( )0
220
2'
q
BqAw
+⋅=πλ
BDACq
BqAR
++=
20
220
2'
Šíření gaussovského svazku prostředím SELFOC
Diskuze speciálních případů
απλ=0w Svazek má uvnitř gradientního prostředí konstantní
poloměr a rovinnou vlnoplochu – šíří se bez difrakčnírozbíhavosti.Difrakce vstupního svazku je přesně kompenzovánarefrakcí prostředí.∞=
='
0'
R
ww
:απm
z =
Pro libovolnou vzdálenost L platí:
απλ<0w
Pro vzdálenosti∞=
='
0'
R
ww
Pro vzdálenosti( )
:2
12
απ+= m
z
∞=
>=
'
00
'
R
ww
wαπ
λ
Případ I.
Případ II.
:απm
z =
απλ>0w
Pro vzdálenosti∞=
='
0'
R
ww
Pro vzdálenosti( )
:2
12
απ+= m
z
∞=
<=
'
00
'
R
ww
wαπ
λ
Případ III.
Poloměr vstupního svazku je pro dané prostředí malý, takže se svazek nejprve difrakcí rozšiřuje a ve vzdálenosti z=(2m+1)π/2α dosahuje maximálního poloměru. Pak se vlivem refrakce zúžuje až na původní poloměr w0. Tento vývoj svazku se v prostředí periodicky opakuje.
Poloměr vstupního svazku je pro dané prostředí velký,takže refrakce překonává difrakci a ve vzdálenostiz=(2m+1)π/2α fokusuje svazek do stopy s minimálnímPoloměrem. Pak se svazek zase difrakcí rozšiřuje na původní poloměr w0. Tento proces probíhá periodicky.
Šíření gaussovského svazku prostředím SELFOC – simulace MATLAB
Případ I: Refrakce kompenzuje difrakci
Případ II: Difrakce vstupního
svazku siln ějšínež refrakce
Případ III: Refrakce siln ější
než difrakce vstupního svazku
Úloha III.6: Ur čení mód ů SELFOC prost ředí
Zadání: Proveďte matematický popis monochromatických módů s obecným tvarem skalární komplexníamplitudy U=u(x,y) exp(iωt-iβz), které se šíří SELFOC prostředím s indexem lomu n=n0[1-α2(x2+y2)/2].Módy prostředí určete řešením Helmholtzovy rovnice. Podmínku pro existenci módů SELFOC prostředíporovnejte s podmínkou pro kompenzaci difrakce refrakcí, která byla stanovena pro gaussovský svazek použitím maticové metody .
Předpoklady:- skalární aproximace- zanedbání členu - separovatelnost u(x,y)
Helmholtzovarovnice :
,0022 =+∇ UU εµω ( )[ ]2222
00
1 yxn +−= αεε
( )εε Er
⋅∇∇
Označení:
αη
αξ
µεω
0
0
2000
220
,
,
ky
kx
nk
=
=
= Separace proměnných:
( ) ( ) ( )ηξηξ YXu =,
( )
( )αβη
η
ξξ
0
2202
2
2
22
2
,0
,0
k
kY
d
Yd
Xd
Xd
y
yxx
−=Λ=−Λ+
Λ+Λ=Λ=−Λ+
Substituce: ( )( )2/exp
~2/exp
~
2
2
ηξ
−=
−=
YY
XX( )
( ) 0~
1~
2~
0~
1~
2~
2
2
2
2
=−Λ+−
=−Λ+−
Yd
Yd
d
Yd
Xd
Xd
d
Xd
y
x
ηη
η
ξξ
ξŘešení:
( ) ( )
( ) ( ) 2/1,~
2/1,~
−Λ=≡
−Λ=≡
yn
xm
nHY
mHX
η
ξ
Hermiteovy polynomyKnm HH ,
Určení módů SELFOC prostředí
Hermiteovské - gaussovské módy pro SELFOC prost ředí:
( ) ( ) ( ) ,2
exp 22000
−+−= ziyxk
kyHkxHU mnnmmn βααα
( )0
0
121
k
nmkmn
++−= αβkde módy mají rozdílné konstanty šíření – módová disperze
m=n=0: Gaussovský svazek
( ) ( )
+−≡
+− 22020
22
2expexp yx
k
w
yx ααπλ=0w
Gaussovský svazek se šíří SELFOC prostředím jako nedifraktující mód pouze tehdy, když je jeho poloměr pasu přizpůsoben vlnové délce a gradientu indexu lomu, který je vyjádřen pomocíkonstanty α . V tomto případě je difrakční rozbíhavost kompenzována refrakcí prostředí.Identická podmínka pro poloměr pasu vedeného svazku byla získána pomocí maticového popisu šíření gaussovského svazku SELFOC prostředím.
Módy SELFOC prostředí – numerické vyhodnocení v programu MATLAB
Vyčíslení Hermiteových polynomů: ( )( )
( ) ( ) ( )xnHxxHxH
xxH
xH
nnn 11
1
0
22
,2
,1
−+ −===
Intenzita H-G módů2
mnmn UI =