lognormal-mixture dynamics and calibration to market volatility smiles

20

Upload: others

Post on 11-Feb-2022

6 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Lognormal-mixture dynamics and calibration to market volatility smiles

�������������� ���� ������������������� � �!�����"�#�� � $��%�#��� ���&�������('����*)��� �+�%� � �,�"�%�� � �

-�.�/10 .,2%354�6 0 7,3 8�.,9%0 35:<;=6 >=?%6 0 3

@�6 3(A�?%>CB�.,2%A<4�?%D 0 2%;=D D�-E;CF(;=G 3H%/1;=2BEI�6 3,?�H4�.�2�>J.�K :LK M N%.,2<@�.,3,G 3�O K :<K�I�6 3,?�H

P 36 D 35:<.�B BQ;=3�B BQ0 M%RST%UJS%U :<0 G .�2�3%M�K BC.,G V

8�.JWYX�Z\[,] T,S5^ R T%U ][ S,_`�O /1.,0 G X+9�6 0 73a�9�.,2%>J.,0 /10 b 0 B c /1;=6 >=?%6 0 3a�9�.,2%>J.,0 /50 b 0 B

d�e,f g h iCj gk�l�m n o p qCrCs=t l�u�v l nQl p u w%t w u x x#q y u n=u w zQo m t u w w zEo p u t o u {=w l�|+qCrQl w x#y q p+o }Ql�rCzCnCu |�m t x

q y u n�u x x l o+~Cp m t l�{=u x l rEqQnEo }Ql�u x x sC|+~=o m qQn�o }Cu o+o }Cl�u x x l o � ~Cp m t l�rQl n=x m o zEm x#v m � l nE{Qzo }Cl+|�m �Qo sQp l#q y(�CnQq � n�{=u x m t#rCl nCx m o m l x �%kEl�t q n=x m rQl p o }Cl+w q v nCq p |�u w � |�m �Qo sCp l#|+qCrCl w,u xu+y s=nCr=u |+l n o u wJl �Cu |+~=w l �JrQl p m �Cm nCv+l �Q~=w m t m o rQzCn=u |�m t x �=t w qQx l r�y q p |<y q p |+sCw u x%y q p q ~Co m q n~Cp m t l x�u n=r�u n=u w zQo m t u w�u ~C~=p q �Cm |�u o m q n=x#y q p�o }Ql�m |+~Jw m l rE� qQw u o m w m o z�y sCn=t o m qQnJ��k�l�o }Cl nm n o p qCr=sCt lYo }Cl#u x x l o � ~=p m t l#|+qCrCl wJo }=u o m x%q {Co u m nCl r�{Qz�x }=m y o m nCv+o }ClY~Cp l �Cm qQsCx�w q v nCq p |�u w �|�m �Qo sCp l�rQzCn=u |�m t x+u n=r�m n � l x o m v u o l�m o x#u nCu w zQo m t u wo p u t o u {Jm w m o z ��k�l��=n=u w w zEt q n=x m rQl p�ux ~Jl t m �=t l �Cu |+~Jw lYq y(t u w m {=p u o m q n�o q�p l u w�|�u p � l o�q ~Co m q n�rCu o uC�

���(���%�%�������Y�%� ����#��� ���#� �J� � ���=�J� �#�,� � �J�E Y� ¡Q¢ ��¡Q�J�1£=¢ �J�Q� � ��¤ ¥ ¦C§Q¨C©�ª��=�J� �Y¢ ¡C���J�Q��¢ �C�J� � � � � �C� � ��«J¬ � ¢ �E¡Q� �­�® ¬ �Q«,� ¡C�\�Q«=� � �C�J�#� �J¡Q��¡C¬ ��¯ ® � � � �\� ���C�J��� «�� ¢ � °�¢�ª�¡Q¬ �Q� � ±�²Y�J��¡C� � ® ª�«=� � �Q�\� ³Y¡E¢ �C�J� � ¡Q�C�´ �Q� ¡Q� � � � � ��� �J¡Q��� �J� ® � �¶µ,� ® � � �\� ��«J¬ � ¢ ��¡Q�C�¶�J� ¬ � ´ ¡Q� � ´ ��� � ¢ ® ¬ � � �\�#� � �\� �J��� ¡Cª�� ® �J�J� ¬ � �J� �J·¡Q� � � �#³ ¡Q� � ��� ���J�C� ��� ¬ ® ��� �E«J¬ ¡C¢ � � ¢ � ±

¸ �¶¬ � ¡C�%ª�¡C¬ �Q� � � �(� �J��� ª�«J� � � � ´ �C� ¡ � � � � � ��¢ ® ¬ ´ � ��� �=«J� ¢ ¡Q� � ���J¡ ´ ��� �Q� � � �¶�Q¬�� ª�� � � ��� �J¡Q«,� � ±²Y�J�+� � ¬ ªº¹ � �Q� �#»�� � ® � � �E� ��� �J�J� ¢ ¡Q� �#� �J�Q� ��� � ¬ ® ¢ � ® ¬ � �Y�#�J� ¬ ��� � �Y¼ � � ¬ � �Q� �Y� ª�«J� � � � ´ �C� ¡ � � � � � � � �¡Q¬ �Y�J� ·Q�J� ¬(� �J¡Q���J� ·C�=¼ � � ¬ � �Q� �(� ª�«J� � � � ´ �Q� ¡Q� � � � � � � � ±²Y�J� � � ¬ ª½¹ � ª�� � � »#� � ® � � ��� �J� � � ¡Q��� �+�J� �J� � �� �J�Q� ��� � ¬ ® ¢ � ® ¬ � �#�#� � �E¡�ª�� �J� ª ® ª ´ ¡C� ® �+¡C¬ � ® �J�E� �J� ® �J�J� ¬ � �J� �J·�³ �C¬ � ¡C¬ �E«J¬ � ¢ � ±¸ ³ �,³ �Q¬#� ´ � ¬ ��°J¾J� ��ª�¡Q� ® ¬ � � �C��� �J��� ª�«J� � � � ´ �C� ¡ � � � � � � � � � � ¬ ��� ¯ ® ¡C�³ �C¬#�J� ¿� ¬ � �Q��� � ¬ � �Q� �+µ ® ��J� ¿,� ¬ � �C�%¡C� �Q�J·#� �J��� � ª�� ¼ � �Q¼ ª�¡Q� ® ¬ � � �+�J� ª�� �J� � �Q�,�Q� �Y¢ � ® � � ® � � � �J��³ �C� � � �#� �J·Y� � ª�«J� � � ¾=� � �J� � �C�

¥

Page 2: Lognormal-mixture dynamics and calibration to market volatility smiles

À Á( ÃJÄ�ÅYÆ ÇQÈ ÉCÊ Ë=È ÃJÀCÆ Ä Ì#Í�À=ÎJÄ Æ, À�Ä Ï=ÇCÈ Â Æ ÐEÑ Ä Â Ñ Ò Ä ÓCÄ+ ÃJÄ�Í�ÇCÑ ÉQÄ Â+ÀQÔ=Â Ò ÀCÕ�ÔJÑ Ò È Ä Ì Ö×=Ø�Ù(ÚÜÛØ�Ù ×QÝ(Þ�ß=Ù Ø�Ù ×Jà�Ù á

â ÃJÄ Ñ Ä ß Ù Ò ÌYÇ�Â Ò Í�Ä Ê ÎJÄ Ô�Ä ÕJÎJÄ ÕCÂ�ã ÎJÄ Â Ä Ñ Í�Ò ÕJÒ Ì Â Ò È ä�ÓCÀQÆ ÇQÂ Ò Æ Ò Â Ð�Á åJÕJÈ Â Ò ÀCÕ,æç À â Ä ÓCÄ Ñ è�Ñ Ä ÇQÆ+é�ÕJÇQÕJÈ Ò ÇQÆ+Í�ÇCÑ ÉQÄ Â Ì�ÎJÒ Ì ÔJÆ Ç Ð1Í�ÀQÑ Ä�È ÀQÍ�ÔJÆ Ä Ï5ÓCÀQÆ ÇQÂ Ò Æ Ò Â Ð5Ì Â Ñ åJÈ Â åJÑ Ä Ì è�Ì À� ÃJÇ Â ÃJÄ�Ä ÏCÂ Ä ÕJÎJÄ Î�Å Æ ÇCÈ ÉQÊ Ë=È ÃJÀQÆ Ä Ì�Í�À=ÎJÄ Æ%ÎJÀ=Ä Ì�ÕJÀQÂ�Æ Ä ÇCÎ� À�ÇEÌ ÇQÂ Ò Ì Á ÇQÈ Â ÀQÑ Ð�éJÂ Â Ò ÕJê�À ÁYÍ�ÇQÑ ÉQÄ Â�ÎJÇ Â ÇJæë ÃJÒ Ì�Ò Ì Ì åJÄEÈ ÇCն ÃJÄ Õ�ì,Ä� ÇCÈ ÉCÆ Ä Î�ìCÐ�Ò ÕQÂ Ñ À=ÎJåJÈ Ò ÕJê�Ç�Í�ÀCÑ Ä�ÇQÑ Â Ò È åJÆ Ç Â Ä Î\Á ÀCÑ Í�ÀQÁ# ÃJÄ�ÓCÀQÆ ÇQÂ Ò Æ Ò Â ÐÈ À=Ä í�È Ò Ä ÕCÂ Ò Õ� ÃJÄYÌ Â À=È ÉCÊ ÔJÑ Ò È ÄYÎ=ÐJÕJÇQÍ�Ò È Ì æ ë ÃJÒ Ì�Ò Ì( ÃJÄ#ÇQÔJÔJÑ ÀCÇQÈ Ã â Ä Á ÀCÆ Æ À â Ò Õ� ÃJÒ Ì%ÔJÇCÔ�Ä Ñ æ(î¶Ä#Ò ÕÁ ÇQÈ Â ÔJÑ ÀCÔ�ÀCÌ ÄY â À�ÎJÒ ï,Ä Ñ Ä ÕCÂ Ì Â À=È ÉCÊ ÔJÑ Ò È Ä#Í�À=ÎJÄ Æ Ì�ìQÐ�Ì Ô�Ä È Ò Á ÐJÒ ÕJê� ÃJÄ#Ì Â À=È É�ÔJÑ Ò È Ä#Î=ÐJÕJÇQÍ�Ò È Ì�åJÕJÎJÄ ÑÇ�êQÒ ÓCÄ Õ�Á ÀQÑ â ÇQÑ Î=Ê Í�Ä ÇCÌ åJÑ Ä æ ë ÃJÄ#ÓCÀQÆ ÇQÂ Ò Æ Ò Â Ð ß Ù â Ä#Ò ÕCÂ Ñ À=ÎJåJÈ Ä+Ò Ì�Ò Õ�ì,À  Ã�È ÇCÌ Ä ÌYÇ�Á åJÕJÈ Â Ò ÀCÕ�ÀQÁ,Â Ò Í�ÄÝ ÇQÕJÎ� ÃJÄYÌ Â À=È É�ÔJÑ Ò È Ä Ø�Ù Ç Â% ÃJÄYÌ ÇCÍ�Ä�Â Ò Í�ÄQæ(Å Ð�ÎJÀQÒ ÕJê�Ì À=è â ÄYÇCÑ Ä ÇCìJÆ Ä� À�È ÀCÕJÌ Â Ñ åJÈ Â� â À�Í�À=ÎJÄ Æ Ì ÃJÇ Â#Æ Ä ÇQÎEÄ Ò Â ÃJÄ ÑY À�Ì ÉQÄ â Ì#ÀCÑ Â À�Ì Í�Ò Æ Ä ÌYÒ Õ� ÃJÄ+Â Ä Ñ ÍðÌ Â Ñ åJÈ Â åJÑ Ä�À Á�Ò Í�ÔJÆ Ò Ä Î�ÓCÀQÆ ÇQÂ Ò Æ Ò Â Ò Ä Ì æñ ÇCÕQÐ�Ñ Ä Ì Ä ÇQÑ È ÃJÄ Ñ Ì ÃJÇ ÓCÄ#Â Ñ Ò Ä Î� À�ÇCÎJÎJÑ Ä Ì Ì� ÃJÄ#ÔJÑ ÀCìJÆ Ä ÍòÀ ÁÇ�êCÀ=À=Î,èCÔ,ÀQÌ Ì Ò ìJÆ Ð�Ä ÏJÇQÈ Â è=éJÂ Â Ò ÕJê�À ÁÍ�ÇQÑ ÉQÄ Â�ÀQÔ=Â Ò ÀCÕ�ÎJÇQ Ç=æ(î¶ÄYÕJÀ â ìJÑ Ò Ä óJÐ�Ñ Ä ÓJÒ Ä â  ÃJÄYÍ�Ç ô ÀQÑ%ÇQÔJÔJÑ ÀCÇQÈ ÃJÄ Ì% ÃJÇ Â�ÃJÇ ÓCÄYì,Ä Ä Õ�ÔJÑ ÀCÔ�ÀCÌ Ä Î,æõ é�Ñ Ì Â�ÇQÔJÔJÑ ÀCÇQÈ Ã\Ò Ì�ìJÇCÌ Ä Î\ÀCÕ\ÇQÌ Ì åJÍ�Ò ÕJêEÇCÕ5öQ÷ ø ù ú û,öQø ü ýQùEù þ ÿ�÷ ü � ü ø����Qû�ö���ü � �#Á ÀCÑ# ÃJÄ�Ì Â À=È ÉQÊÔJÑ Ò È Ä#ÔJÑ À=È Ä Ì Ì� ÃJÇ ÂYÒ Í�Í�Ä ÎJÒ ÇQÂ Ä Æ Ð�Æ Ä ÇQÎJÌ� À+ÓCÀCÆ Ç Â Ò Æ Ò Â Ð�Ì Í�Ò Æ Ä Ì%ÀCÑ�Ì ÉQÄ â Ì æ�� Õ�êCÄ ÕJÄ Ñ ÇQÆJ ÃJÒ Ì ÇQÔJÔJÑ ÀCÇQÈ ÃÎJÀ=Ä ÌYÕJÀQÂYÔJÑ À ÓJÒ ÎJÄ+Ì å=í�È Ò Ä ÕCÂYó�Ä ÏJÒ ìJÒ Æ Ò Â Ð� À�ÔJÑ ÀCÔ�Ä Ñ Æ Ð�È ÇCÆ Ò ìJÑ Ç Â Ä# ÃJÄ â ÃJÀQÆ Ä#ÓCÀCÆ Ç Â Ò Æ Ò Â Ð�Ì åJÑ Á ÇQÈ Ä æ õ ÕÄ ÏJÇQÍ�ÔJÆ Ä�Ò Ì� ÃJÄ�êCÄ ÕJÄ Ñ ÇQÆ��� ½ÔJÑ À=È Ä Ì ÌEì�Ä Ò ÕJê\ÇCÕJÇQÆ ÐJÌ Ä Î1ìCÐ� À Ï<ã � �����Qä�ÇCÕJÎ� À Ï5ÇCÕJÎ��#ÀCÌ Ìã � ��� �=ä æ õ êCÄ ÕJÄ Ñ ÇQÆ(È Æ ÇCÌ ÌYÀQÁ%ÔJÑ À=È Ä Ì Ì Ä Ì#Ò ÌYÎJåJÄ� À� ÇQÑ Ñ#Ä Â+ÇCÆ æ#ã � �����Cä æ ë ÃJÄ+é�Ñ Ì Â+È Æ ÇCÌ ÌYÀQÁ%Í�À=ÎJÄ Æ Ìâ Ä�ÔJÑ ÀCÔ�ÀCÌ Ä�ÇCÆ Ì À\Á ÇQÆ Æ#Ò ÕQ À\ ÃJÒ Ì�öQ÷ ø ù ú û�öQø ü ýCù�ù þ ÿ�÷ ü � ü ø���� û,ö���ü � ��È Ç Â Ä êQÀCÑ ÐQè+ÇQÕJÎ â ÃJÒ Æ Ä�Ò Â�ÇCÎJÎJÌó�Ä ÏJÒ ìJÒ Æ Ò Â Ð â Ò Â Ã�Ñ Ä Ì Ô�Ä È Â� À� ÃJÄ�ÔJÑ Ä Ó=Ò ÀCåJÌ+É=ÕJÀ â Õ\Ä ÏJÇQÍ�ÔJÆ Ä Ì èÒ Â+ÎJÀ=Ä Ì+ÕJÀQÂ�È ÀCÍ�ÔJÆ Ä Â Ä Æ Ð�Ì ÀCÆ ÓCÄ� ÃJÄó�Ä ÏJÒ ìJÒ Æ Ò Â Ð�Ò Ì Ì åJÄQæõ Ì Ä È ÀCÕJÎ�ÇQÔJÔJÑ ÀCÇQÈ Ã�Ò Ì%ìJÇQÌ Ä Î�ÀQÕ� ÃJÄ ÇCÌ Ì åJÍ�Ô=Â Ò ÀQÕ�ÀQÁ�Ç�� � û�ø ü û�������� ø ú ö��=ù �!� ø ú ü "Cù �(ÇCÕJÎ�êCÀ=Ä ÌìJÇQÈ É� À�Å Ñ Ä Ä ÎJÄ ÕEÇCÕJÎ$#(Ò Â % Ä ÕCì,Ä Ñ êCÄ Ñ�ã � ����&Cä æ Ë=åJÈ È Ä Ì Ì Ò ÓCÄ�ÎJÄ ÓCÄ Æ ÀCÔJÍ�Ä ÕC ÌYÇCÑ Ä+ÎJåJÄQè�ÇQÍ�ÀCÕJê�ÇQÆ Æ è= À' åJÔJÒ Ñ Ä�ã � ����(=è)� �����Cä�ÇCÕJÎ ' Ä Ñ Í�ÇCÕ�ÇQÕJÎ$*�ÇCÕJÒ%ã � ����(Jè)� ����&=ä â ÃJÀ�ÎJÄ Ñ Ò ÓCÄ+ÇCÕ�Ä Ï=ÔJÆ Ò È Ò ÂYÄ ÏJÔJÑ Ä Ì Ì Ò ÀCÕÁ ÀQÑ% ÃJÄ#ÅYÆ ÇQÈ ÉCÊ Ë=È ÃJÀCÆ Ä Ì�ÓCÀQÆ ÇQÂ Ò Æ Ò Â Ð�ÇQÌ Ç�Á åJÕJÈ Â Ò ÀCÕ�À ÁÌ Â Ñ Ò ÉQÄ+ÇQÕJÎ�Í�ÇQ åJÑ Ò Â ÐCæ ë ÃJÒ Ì�ÇCÔJÔJÑ ÀQÇCÈ Ã�ÃJÇCÌ� ÃJÄÍ�Ç ô ÀQÑ ÎJÑ Ç â ìJÇQÈ É� ÃJÇ ÂYÀCÕJÄ#ÕJÄ Ä ÎJÌ Â À�Ì Í�À=ÀQ ÃJÆ Ð�Ò ÕQÂ Ä Ñ Ô�ÀCÆ Ç Â Ä#ÀCÔ=Â Ò ÀQÕ�ÔJÑ Ò È Ä Ì ì�Ä Â â Ä Ä ÕEÈ ÀCÕJÌ Ä È å=Â Ò ÓCÄÌ Â Ñ Ò ÉQÄ Ì+Ò Õ�ÀQÑ ÎJÄ Ñ# À�ì�Ä�ÇQìJÆ Ä� À�ÎJÒ ïÄ Ñ Ä ÕQÂ Ò ÇQ Ä� ÃJÄ Í Â â Ò È Ä â Ò Â Ã�Ñ Ä Ì Ô,Ä È Â+ À� ÃJÄ�Ì Â Ñ Ò ÉQÄ æ�%Ï=ÔJÆ Ò È Ò ÂÄ ÏJÔJÑ Ä Ì Ì Ò ÀCÕJÌ�Á ÀQÑ� ÃJÄEÑ Ò Ì ÉCÊ ÕJÄ å=Â Ñ ÇQÆ#Ì Â À=È É�ÔJÑ Ò È Ä�Î=Ð=ÕJÇCÍ�Ò È Ì�ÇCÑ ÄEÇCÆ Ì À\ÎJÄ Ñ Ò ÓCÄ Î5ìQÐ õ ÓCÄ Æ Æ ÇCÕJÄ ÎJÇ¶Ä ÂÇQÆ æEã � �����Cä#ìQÐ\Í�Ò ÕJÒ Í�Ò % Ò ÕJê� ÃJÄ�Ñ Ä Æ ÇQÂ Ò ÓCÄ�Ä ÕQÂ Ñ ÀCÔQÐ� ÀEÇEÔJÑ Ò ÀCÑ+ÎJÒ Ì Â Ñ Ò ìJå=Â Ò ÀQÕ,èÇQÕJÎ\ìCÐ�ÅYÑ À â Õ\ÇQÕJÎ�#ÇQÕJÎJÇCÆ Æ#ã � �����Cä�ìQÐ�ÇQÌ Ì åJÍ�Ò ÕJê�Ç,+=åJÒ Â Ä�ó�Ä Ï=Ò ìJÆ Ä�ÇCÕJÇQÆ Ð=Â Ò È ÇCÆ%Á åJÕJÈ Â Ò ÀQÕ�ÎJÄ Ì È Ñ Ò ìJÒ ÕJê� ÃJÄ�ÓCÀQÆ ÇQÂ Ò Æ Ò Â ÐÌ åJÑ Á ÇQÈ Ä æõ ÕJÀQ ÃJÄ Ñ#ÇQÔJÔJÑ ÀCÇQÈ Ã,è�ÔJÒ ÀCÕJÄ Ä Ñ Ä ÎEìCÐ$�#åJìJÒ ÕJÌ Â Ä Ò Õ\ã � ����(=ä èJÈ ÀQÕJÌ Ò Ì Â ÌYÀQÁ(é�ÕJÎJÒ ÕJê� ÃJÄ�Ñ Ò Ì ÉQÊ ÕJÄ å=Â Ñ ÇCÆÔJÑ ÀQìJÇCìJÒ Æ Ò Â Ò Ä Ì#Ò Õ�ÇEìJÒ ÕJÀQÍ�Ò ÇCÆ - Â Ñ Ò ÕJÀCÍ�Ò ÇCÆ�Í�À=ÎJÄ ÆÁ ÀQÑ# ÃJÄ�Ì Â À=È É�ÔJÑ Ò È Ä� ÃJÇQÂ�Æ Ä ÇCÎE ÀEÇ�ì�Ä Ì Â+éJÂ Â Ò ÕJêÀ ÁYÍ�ÇCÑ ÉQÄ Â�ÀQÔ=Â Ò ÀCÕ\ÔJÑ Ò È Ä Ì�ÎJåJÄ� À�Ì ÀQÍ�Ä�Ì Í�À=ÀQ ÃJÕJÄ Ì Ì�È Ñ Ò Â Ä Ñ Ò ÀQÕ,æ�î¶Ä�Ñ Ä Á Ä Ñ� À� ÃJÒ Ì�ÇQÔJÔJÑ ÀCÇQÈ Ã¶ÇQÌ À� ÃJÄ�÷ öQø ø ü � ù�ÇQÔJÔJÑ ÀCÇQÈ Ã,æ/.�åJÑ Â ÃJÄ Ñ�Ä ÏJÇQÍ�ÔJÆ Ä Ì�ÇQÑ ÄEÒ Õ/0QÇCÈ É â Ä Ñ Â Ã5ÇCÕJÎ/�#åJìJÒ ÕJÌ Â Ä Ò ÕÜã � �����Cä�ÇQÕJÎÅ Ñ Ò Â Â Ä Õ=Ê 0QÀCÕJÄ ÌYÇCÕJÎ$1+Ä åJì,Ä Ñ êCÄ Ñ�ã � �����Cä æõ Æ ÇCÌ Â�ÇQÔJÔJÑ ÀCÇQÈ Ã\Ò Ì�êQÒ ÓCÄ Õ�ìCÐ â ÃJÇQ â Ä�Í�Ç Ð�Ñ Ä Á Ä Ñ+ ÀEÇQÌ�ü û)� � �+ÿ�÷ ù ø ù 2 ��öQú "Cù ø%ÇQÔJÔJÑ ÀCÇQÈ Ã,æ�� ÂÒ ÕJÈ Æ åJÎJÄ Ì(Ì Â À=È ÃJÇQÌ Â Ò È Ê ÓCÀCÆ Ç Â Ò Æ Ò Â Ð+Í�À=ÎJÄ Æ Ì èQÌ åJÈ Ã�ÇCÌ ÃJÀQÌ Ä À Á ç åJÆ ÆCÇQÕJÎ�îÜÃJÒ Â Ä#ã � ��&��Qä è ç Ä Ì Â ÀCÕ�ã � ����3=äÇQÕJÎ ë ÀQÍ�ÔJÉ=Ò ÕJÌYã 4 5�5�5CÇ=è�4�5�5�5Qì�ä èCÇCÕJÎ#ô åJÍ�Ô=Ê ÎJÒ ï,åJÌ Ò ÀCÕ�Í�À=ÎJÄ Æ Ì èCÌ åJÈ Ã�ÇCÌ( ÃJÇQÂ�ÀQÁ)6�Ñ Ò êQÄ ÕQ è��#Ä ÕJÇCåJÆ ÂÇQÕJÎ�Ë=È ÇCÒ Æ Æ Ä Â�ã 4�5�5�5Cä æ� ÕEêQÄ ÕJÄ Ñ ÇCÆ� ÃJÄ+ÔJÑ ÀCìJÆ Ä Í*À Áé�ÕJÎJÒ ÕJê�Ç�Ñ Ò Ì ÉQÊ ÕJÄ å=Â Ñ ÇCÆ�ÎJÒ Ì Â Ñ Ò ìJå=Â Ò ÀCÕ� ÃJÇQÂYÈ ÀQÕJÌ Ò Ì Â Ä ÕQÂ Æ Ð�ÔJÑ Ò È Ä ÌYÇQÆ Æ

+CåJÀQÂ Ä Î¶ÀQÔ=Â Ò ÀCÕJÌ+Ò Ì�Æ ÇCÑ êQÄ Æ Ð�åJÕJÎJÄ Â Ä Ñ Í�Ò ÕJÄ Î,æ õ Ô�ÀCÌ Ì Ò ìJÆ Ä�Ì ÀCÆ å=Â Ò ÀQÕ�Ò Ì�êCÒ ÓCÄ Õ\ìCÐ\ÇQÌ Ì åJÍ�Ò ÕJêEÇ�ÔJÇQÑ Ê4

Page 3: Lognormal-mixture dynamics and calibration to market volatility smiles

7 8 9 :�; <�=?>�@�A @�B�C D A E F�A E G H�I JKC L�D A @�MKN�E G D A E O L�D E P JRQ�S TUS V�Q�8 V�WRX�V�Y S Z�S = <�; [�T)X�Y Y 8 \�; ]^7 8 _�S ` Q�S TUS V�Q�S V�7 [T�<�= <�_�S 7 S = Y^<�V�Qa7 b�S V�:�Y S$Y :�9 b�T�<�= <�_�S 7 S = Y^c X�=R7 b�S�Z�X�; < 7 8 ; 8 7 ]d9 <�; 8 \�= <�7 8 X�V)eaf�V�S g�<�_�T�; S$X c7 b�8 Yh<�T�T�= X�<�9 b$8 Y�7 b�S!ihX�= j�\�]lk�b�8 _�j�X$m n o�o�p�q e�r�:�7h7 b�Ss�:�S Y 7 8 X�V$= S _�<�8 V�Y�X�c?tUV�Q�8 V�W^<�V$<�Y Y S 7T�= 8 9 ShQ�]�V�<�_�8 9 Y�9 X�V�Y 8 Y 7 S V�7�i�8 7 b^7 b�Sh9 b�X�Y S V�T�<�= <�_�S 7 = 8 9�c X�= _uX c)7 b�Sh= 8 Y j�` V�S :�7 = <�;�Q�S V�Y 8 7 ]�e�vhb�S_�X�Q�S ; Y!ihS�T�= X�T)X�Y S�<�Q�Q�= S Y Y S YR7 b�8 Ys�:�S Y 7 8 X�Va\�]dtUV�Q�8 V�Wl<lQ�]�V�<�_�8 9 Y; S <�Q�8 V�W$7 Xl<lT�<�= <�_�S 7 `= 8 9�= 8 Y j�` V�S :�7 = <�;�Q�8 Y 7 = 8 \�:�7 8 X�V,7 b�< 7^8 Y!wUS g�8 \�; S�S V�X�:�W�bdc X�=RT�= <�9 7 8 9 <�;�T�:�= TUX�Y S Y elvhb�S�= S Y :�; 7 8 V�WT�= X�9 S Y Y9 X�_R\�8 V�S Y�7 b�S = S c X�= S^7 b�SR>�@�A @�B�C D A E FRA E G H I J)C L�D A @�M�N�E G D A E O L�D E P J$<�T�T�= X�<�9 bli�8 7 bl7 b�S$@�M ID C A JU@�D E x�C$N�y�JU@�B^E F G$@ >�>UA P @�F z�[�T�= X Z�8 Q�8 V�WdS g�T�; 8 9 8 7�Q�]�V�<�_�8 9 Y�; S <�Q�8 V�Wl7 XlwUS g�8 \�; S$T�<�= <�_�S 7 = 8 9= 8 Y j�` V�S :�7 = <�;KQ�S V�Y 8 7 8 S Y evhb�S_�< { X�=�9 b�<�; ; S V�W�S�7 b�<�7�X�:�=h_�X�Q�S ; Yh<�= S!<�\�; S�7 X^c <�9 S8 Y�7 b�S8 V�7 = X�Q�:�9 7 8 X�V�X�c�<Rc X�= i�<�= Q�`

_�S <�Y :�= S!Q�8 Y 7 = 8 \�:�7 8 X�V�7 b�< 7h; S <�Q�Y�8 q�7 X$@�JU@�M y D E F @�M�| P A B^L�M @ G�c X�=�}�:�= X�T)S <�V�X�T�7 8 X�V�Y [�Y XR7 b�< 7h7 b�S9 <�; 8 \�= < 7 8 X�V�7 X$_�<�= j�S 7Q�< 7 <$<�V�Ql7 b�S^9 X�_�T�:�7 < 7 8 X�VlX�c�~= S S j�Y9 <�V,\)SRS g�7 = S _�S ; ],= <�T�8 Q)[K8 8 q�7 XC � >UM E F E Dh@ G G C D I >UA E F C^N�y�JU@�B^E F G [)Y X�7 b�< 7S g�X�7 8 9R9 ; <�8 _�Y�9 <�Vd\US^T�= 8 9 S Ql7 b�= X�:�W�b,<$�lX�V�7 S���<�= ; XY 8 _R:�; <�7 8 X�V�<�V�Q�8 8 8 q?7 X�A C F P B�O E J�E J��RM @�D D E F C G [�Y X7 b�<�7h8 V�Y 7 = :�_�S V�7 Y�i�8 7 b�S <�= ; ]�` S g�S = 9 8 Y Shc S < 7 :�= S Y9 <�V$\)S!Z�<�; :�S Q�Z�8 <�\�<�9 j�i�<�= Ql9 <�; 9 :�; <�7 8 X�V�8 V�7 b�S!7 = S S evhb�S$T�<�T)S =^8 YRY 7 = :�9 7 :�= S Q�<�YRc X�; ; X i�Y eak�S 9 7 8 X�V/�lT�= X�TUX�Y S Y^<,W�S V�S = <�;h9 ; <�Y Y^X c!<�Y Y S 7 ` T�= 8 9 S

_�X�Q�S ; Y^\�<�Y S Q�X�V/_�<�= W�8 V�<�;�Q�S V�Y 8 7 8 S YR7 b�< 7�<�= S$W�8 Z�S V/\�]/7 b�S$_�8 g�7 :�= S$X c!Y X�_�S�\�<�Y 8 9�Q�S V�Y 8 `7 8 S Y e�k�S 9 7 8 X�V�p9 X�V�Y 8 Q�S = Y�7 b�S�T�<�= 7 8 9 :�; <�=�9 <�Y ShX�cK<_�8 g�7 :�= S�X cK; X�W�V�X�= _�<�;�Q�S V�Y 8 7 8 S Y�<�V�Q�Q�S = 8 Z�S Y9 ; X�Y S Qc X�= _�c X�= _^:�; <�YKc X�=?X�T�7 8 X�VT�= 8 9 S Y?<�V�Q<�V�<�; ]�7 8 9 <�;�<�T�T�= X g�8 _�< 7 8 X�V�Y)c X�=K7 b�S�8 _�T�; 8 S Q�Z�X�; < 7 8 ; `8 7 ],c :�V�9 7 8 X�V)elk�S 9 7 8 X�Va�l8 V�7 = X�Q�:�9 S Y7 b�S�<�Y Y S 7 ` T�= 8 9 S�_�X�Q�S ;?7 b�<�7R8 YRX�\�7 <�8 V�S Qd\�]dY b�8 c 7 8 V�W$7 b�ST�= S Z�8 X�:�Y�; X�W�V�X�= _�<�; ` _�8 g�7 :�= ShQ�]�V�<�_�8 9 Yh<�V�Q$8 V�Z�S Y 7 8 W�< 7 S8 7 Y�<�V�<�; ]�7 8 9 <�;U7 = <�9 7 <�\�8 ; 8 7 ]�e�k�S 9 7 8 X�Vl�9 X�V�Y 8 Q�S = Yh<RY T)S 9 8 tU9!S g�<�_�T�; S!X c?9 <�; 8 \�= <�7 8 X�V^7 XR= S <�;)_�<�= j�S 7hX�T�7 8 X�V�Q�< 7 <�e�k�S 9 7 8 X�V��^9 X�V�9 ; :�Q�S Y7 b�ST�<�T)S = e

������� �^���������^�l�^� �$��� �h�^�����$�l�� ���l�^�?������������ �^�� �¡� ¢�£��¤,¥��¦�^�§�l��,��� ��� ��

¨ S�T�= X�T)X�Y S�<$9 ; <�Y YRX ch<�V�<�; ]�7 8 9 <�; ; ]l7 = <�9 7 <�\�; S^_�X�Q�S ; Y�c X�=<�Vd<�Y Y S 7 ` T�= 8 9 S�Q�]�V�<�_�8 9 Y!7 b�< 7R<�= SwUS g�8 \�; SS V�X�:�W�b$7 X�= S 9 X Z�S =<�; <�= W�S!Z�<�= 8 S 7 ]lX c�_�<�= j�S 7�Z�X�; < 7 8 ; 8 7 ]�Y 7 = :�9 7 :�= S Y e!vhb�S^<�Y Y S 7!:�V�Q�S =9 X�V�Y 8 Q�S = <�7 8 X�Vd:�V�Q�S = ; 8 S Y<$W�8 Z�S VdX�T�7 8 X�Vd_�<�= j�S 7R<�V�Q)[�<�YY :�9 b)[�V�S S Q�YRV�X�7R\US^7 = <�Q�<�\�; S^8 7 Y S ; c e© V�Q�S S Q)[?i�S�9 <�Vl7 b�8 V�jlX�c�<�V,S g�9 b�<�V�W�S�= <�7 S [?<$Y 7 X�9 jl8 V�Q�S gU[?<�V�QdS Z�S Vd<�c X�= i�<�= Q,ª?8 \UX�=!= < 7 S�[Y 8 V�9 S9 <�T�Y�<�V�Q$wUX�X�= Yh<�= SV�X 7 b�8 V�W�\�:�7�X�T�7 8 X�V�YhX�VlªK8 \)X�=h= < 7 S Y evhb�ShQ�8 «K:�Y 8 X�V^T�= X�9 S Y Y S Y�ihShX�\�7 <�8 VRc X�; ; X iac = X�_u<�Y Y :�_�8 V�W<T�<�= 7 8 9 :�; <�=�Q�8 Y 7 = 8 \�:�7 8 X�VRc X�=�7 b�S

<�Y Y S 7T�= 8 9 S^¬�:�V�Q�S =<�Y T)S 9 8 tU9R_�S <�Y :�= S�e­�= S 9 8 Y S ; ]�[)ihSRt�gl<�7 8 _�S®u<�V�Q,Q�S V�X 7 S^\�],¯�m °�± ®!q7 b�S�T�= 8 9 S�<�7^7 8 _�S�°dX c!<,² S = X�` 9 X�:�T)X�V/\)X�V�Qai�8 7 b/_�< 7 :�= 8 7 ]d®e ¨ S�7 b�S V/<�Y Y :�_�S�7 b�<�7^7 b�S®h` c X�= ih<�= Q,= 8 Y j�` <�Q { :�Y 7 S Q,_�S <�Y :�= SR³´dS g�8 Y 7 Y!<�V�Ql7 b�< 7!7 b�SR_�<�= W�8 V�<�;KQ�S V�Y 8 7 ],X ch¬�:�V�Q�S =!³´8 YhS s�:�<�;K7 XR7 b�S!ihS 8 W�b�7 S Q$< Z�S = <�W�SX�c?7 b�Sj�V�X i�VlQ�S V�Y 8 7 8 S YhX�c�Y X�_�S!W�8 Z�S VlQ�8 «):�Y 8 X�V�T�= X�9 S Y Y S Y evhb�SQ�]�V�<�_�8 9 YhX c?7 b�S<�Y Y S 7!T�= 8 9 S¬�:�V�Q�S =h7 b�S!c X�= ih<�= Ql_�S <�Y :�= S³!´,8 YhS g�T�= S Y Y S Q,\�]

µ ¬U¶K·�¸?¬U¶ µ�¹Kº/» m ¹ ± ¬U¶ q ¬U¶ µ�¼ ¶ ± m n qi�b�S = S,¸�8 Y�<d9 X�V�Y 7 <�V�7 [ ¼ 8 Y�<d³´U` Y 7 <�V�Q�<�= Q�rh= X i�V�8 <�V�_�X 7 8 X�V/<�V�Q » 8 Y�<di�S ; ; ` \)S b�< Z�S QQ�S 7 S = _�8 V�8 Y 7 8 9�c :�V�9 7 8 X�V)e

p

Page 4: Lognormal-mixture dynamics and calibration to market volatility smiles

½h¾�¿À,Á�Â�à Â�Ä�¿ Å ¿ Ã�Æ ÇhÈ É�Ä�Á�Ê ¿ Å ¿ Ê Ë�Ç Á)¿ È Æ ÌU¿ ÍlÎ�Ë�Å ¾�¿!Í�¿ ÌUÏ�Æ Å Æ É�Ï$É Ð�Ñ!Ò?Ó�Ô Ï�Ð Â�È Å ÕUÆ ÐKÅ ¾�¿!Â�Ç Ç ¿ Å�Æ ÇÂ�Ç Å É�È ÖlÁ� Ë�Æ Ï�×�Â�È É�Ï�Å Æ Ï�Ø�É�Ø�Ç!Í�Æ Ù�Æ Í�¿ Ï�Í$Ë�Æ ¿ Ê Í$Ú�Â�Ï�Ílà  Š¿ Ç�Â�à ¿RÍ�¿ Å ¿ à Ä�Æ Ï�Æ Ç Å Æ È Õ�Å ¾�¿ ÏlÀdÛ§Ü!Ý/Ú�ÕÞ ¾�¿ à ¿�Ü!Æ Ç?Å ¾�¿�Å Æ Ä�¿�ߧà È É�Ï�Å Æ Ï�Ø�É�Ø�Ç Ê Ë^È É�Ä�Á)É�Ø�Ï�Í�¿ ÍUá?Ã Æ Ç Ö�â Ð Ã ¿ ¿hà  Š¿�Ó�Ô ÐUÅ ¾�¿�Â�Ç Ç ¿ Å�Æ Ç�Â�Ï�¿ ã�È ¾�Â�Ï�×�¿Ã  Š¿Â�Ï�Í$à Â�Å ¿ Ç�Â�à ¿Í�¿ Å ¿ à Ä�Æ Ï�Æ Ç Å Æ È�Õ�Å ¾�¿ Ï$À,Û�Ü�Ý/Ü ä�Õ Þ ¾�¿ à ¿Ü äRÆ ÇhÐ É�à ¿ Æ ×�Ï$Ã Æ Ç Ö�â Ð Ã ¿ ¿Ã Â�Å ¿!Ð É�ÃhÅ ¾�¿Ä� ŠØ�Ã Æ Å Ë�ßÓ�Ô Ð?Å ¾�¿!Â�Ç Ç ¿ Å!Æ Ç�Â^Ð É�Ã Þ Â�à Í$à Â�Å ¿!Ç Á�Â�Ï�Ï�Æ Ï�×^Â�Ï$Æ Ï�Å ¿ à Ù�Â�Ê�å ß)æ ç ß�è Õ�ßKæhé�ßRÕ�Å ¾�¿ Ï$ÀlÛ�êÍ�Ø�¿!Å ÉRÅ ¾�¿Ä�Â�Ã Å Æ Ï�×�Â�Ê ¿�Á�à É�ÁU¿ à ŠËlÉ Ð?Ð É�Ã Þ Â�à Í$à  Š¿ ÇhØ�Ï�Í�¿ ÃhÅ ¾�¿ Æ ÃhÈ É�à à ¿ Ç ÁUÉ�Ï�Í�Æ Ï�×^Ä�¿ Â�Ç Ø�à ¿�Ó½h¾�¿�Ð Ø�Ï�È Å Æ É�Ï$ë?Õ Þ ¾�Æ È ¾$Æ ÇhØ�Ç Ø�Â�Ê Ê Ë�Å ¿ à Ä�¿ Ílì í î ï�ì)ð�í ì ï�ñ ò ì ò ñ ó!Æ Ï�Å ¾�¿�ÌUÏ�Â�Ï�È Æ Â�Ê)Ê Æ Å ¿ à Â�Å Ø�à ¿ Õ�ÄRØ�Ç Å

ÎU¿�È ¾�É�Ç ¿ Ï$Ç ÉRÂ�Ç�Å É×�à Â�Ï�Å�ÂRØ�Ï�Æ ô�Ø�¿�Ç Å Ã É�Ï�×RÇ É�Ê Ø�Å Æ É�Ï^Å ÉÅ ¾�¿!õ�ö!÷�à ø á Ó�Ô Ï�Á�Â�Ã Å Æ È Ø�Ê Â�Ã Õ Þ ¿!Â�Ç Ç Ø�Ä�¿Å ¾� Å�ë�à ù ç ù á�Ç Â Å Æ Ç ÌU¿ Ç Õ�Ð É�ÃhÂ�Ç Ø�Æ Å Â�Î�Ê ¿!ÁUÉ�Ç Æ Å Æ Ù�¿!È É�Ï�Ç Å Â�Ï�Å!úhÕ�Å ¾�¿Ê Æ Ï�¿ Â�à â ×�Ã É Þ Å ¾�È É�Ï�Í�Æ Å Æ É�Ï

ëKû à ü ç ý�á ý�ûhþ�ú�à øhÿ/ý�û á�Ø�Ï�Æ Ð É�à Ä�Ê Ë�Æ Ï�ü ç à ��áÞ ¾�Æ È ¾$Î�Â�Ç Æ È Â�Ê Ê Ë�¿ Ï�Ç Ø�à ¿ Ç�¿ ã�Æ Ç Å ¿ Ï�È ¿RÉ Ð�Â�Ç Å Ã É�Ï�×�Ç É�Ê Ø�Å Æ É�Ï)Ó�K¿ Å�Ø�ÇhÅ ¾�¿ ÏlÈ É�Ï�Ç Æ Í�¿ Ã���Í�Æ �KØ�Ç Æ É�Ï$Á�à É�È ¿ Ç Ç ¿ Ç Þ Æ Å ¾$Í�Ë�Ï�Â�Ä�Æ È Çh×�Æ Ù�¿ Ï$Î�Ë���� Û�À �� � ü?ÿ�� � à ü ç �� á �� ç���Û§ø�ç � � � ç �$ç à ��áÞ Æ Å ¾�Æ Ï�Æ Å Æ Â�Ê�Ù�Â�Ê Ø�¿ � �æ Õ�Â�Ï�Í Þ ¾�¿ à ¿�� � à ü ç ý�á � Ç�Â�à ¿!à ¿ Â�ÊUÐ Ø�Ï�È Å Æ É�Ï�Ç�Ç Â Å Æ Ç Ð Ë�Æ Ï�×Rà ¿ ×�Ø�Ê Â�Ã Æ Å Ë�È É�Ï�Í�Æ Å Æ É�Ï�ÇÅ É¿ Ï�Ç Ø�à ¿�¿ ã�Æ Ç Å ¿ Ï�È ¿�Â�Ï�Í�Ø�Ï�Æ ô�Ø�¿ Ï�¿ Ç Ç�É Ð)Å ¾�¿hÇ É�Ê Ø�Å Æ É�ÏRÅ É!Å ¾�¿!õ�ö!÷�à ��á Ó�Ô Ï�Á�Â�Ã Å Æ È Ø�Ê Â�Ã Þ ¿�Â�Ç Ç Ø�Ä�¿Å ¾� ŠÕ�Ð É�ÃhÇ Ø�Æ Å Â�Î�Ê ¿!Á)É�Ç Æ Å Æ Ù�¿È É�Ï�Ç Å Â�Ï�Å Ç�ú � � Ç Õ�Å ¾�¿!Ð É�Ê Ê É Þ Æ Ï�×^Ê Æ Ï�¿ Â�à â ×�Ã É Þ Å ¾�È É�Ï�Í�Æ Å Æ É�Ï�Çh¾�É�Ê Í�Ç� û� à ü ç ý�á�þ�ú � à ø�ÿ/ý û á�Ø�Ï�Æ Ð É�à Ä�Ê Ë�Æ Ï�ü ç��?Û§ø�ç � � � ç �lç à ��á�UÉ�Ã�¿ Â�È ¾lü Õ Þ ¿RÍ�¿ Ï�É Å ¿^Î�Ë�� � à ù á�Å ¾�¿RÍ�¿ Ï�Ç Æ Å Ë$Ð Ø�Ï�È Å Æ É�ÏlÉ Ð � � ÕKÆ Ó ¿�Ó Õ�� � à ý�á�Û � à ÑÒ�� � � þ�ý���á � � ýUÕÞ ¾�¿ à ¿�ÕUÆ Ï$Á�Â�Ã Å Æ È Ø�Ê Â�à Õ�� � æ à ý�á�Æ Ç�Å ¾�¿�� â ö!Æ Ã Â�ÈhÐ Ø�Ï�È Å Æ É�Ï$È ¿ Ï�Å ¿ à ¿ ÍlÆ Ï � �æ Ó½h¾�¿�Á�à É�Î�Ê ¿ Ä Þ ¿ Þ Â�Ï�ÅÅ ÉlÂ�Í�Í�à ¿ Ç ÇRÆ Ç!Å ¾�¿�Í�¿ Ã Æ Ù�Â�Å Æ É�Ï,É�Ð�Å ¾�¿�Ê É�È Â�Ê?Ù�É�Ê Â�Å Æ Ê Æ Å Ë,ë�à ü ç � á!Ç Ø�È ¾Å ¾� ÅhÅ ¾�¿ÑÒUâ Í�¿ Ï�Ç Æ Å Ë$É�Ð � Ç Â Å Æ Ç ÌU¿ Ç� à ý�á! Û �� ý Ñ Ò � � þ�ý��!Û#"$ � %'&!( � �� ý Ñ Ò � �� þ�ý��Û#"$ � %�&)( � � � à ý�á ç à *�á

Þ ¾�¿ à ¿^¿ Â�È ¾ � �æ Æ Ç�Ç ¿ Å!Å É � æ Õ)Â�Ï�Í ( � � Ç�Â�à ¿RÇ Å Ã Æ È Å Ê ËlÁUÉ�Ç Æ Å Æ Ù�¿È É�Ï�Ç Å Â�Ï�Å Ç!Ç Ø�È ¾lÅ ¾�Â�Å�+ "� %'& ( � Ûuø�ÓÔ Ï�Í�¿ ¿ Í)Õ�� à ù á�Æ ÇhÂ�Á�à É�Á)¿ Ã�Ñ!ÒUâ Í�¿ Ï�Ç Æ Å Ë�Ð Ø�Ï�È Å Æ É�Ï$Ç Æ Ï�È ¿ ÕUÎ�Ë$Í�¿ ÌUÏ�Æ Å Æ É�Ï)Õ,.-�/æ ý � à ý�á � ýRÛ#"$ � %�&!( � ,.-�/æ ý � � à ý�á � ý^Û#"$ � %'&!( � � æ 0 1 Û � æ 0 1 �2 Á�Á�Ê Ë�Æ Ï�×RÅ ¾�¿��UÉ�Ö�Ö�¿ à â 3�Ê Â�Ï�È Ö�¿ ô�Ø�Â Å Æ É�Ï44 ü � à ý�á�Û§Ý 44 ý à À)ý � à ý�á áKÿ ø� 4 û4 ý û65 ë)û à ü ç ý�á ý�û � à ý�á 7�ç

Þ Æ Å ¾�� ×�Æ Ù�¿ ÏlÎ�Ëaà *�á Õ�Å É�Î�Â�È Ö$É�Ø�Å�Å ¾�¿RÍ�Æ �)Ø�Ç Æ É�Ï$È É�¿ 8�È Æ ¿ Ï�Åë?Õ Þ ¿R¿ Ï�ÍlØ�Á Þ Æ Å ¾$Å ¾�¿Ð É�Ê Ê É Þ Æ Ï�×õ�ö!÷�Ð É�Ã�Å ¾�¿Â�Ç Ç ¿ Å!Á�Ã Æ È ¿Ø�Ï�Í�¿ Ã�Å ¾�¿!Ð É�Ã Þ Â�à Í$Ä�¿ Â�Ç Ø�à ¿ÑÒ� �9� Û�À � � üKÿ�: + "� %�& ( � � û� à ü ç � á � � à � á+ "� %'& ( � � û � � à � á � �� � à ;�á�

Page 5: Lognormal-mixture dynamics and calibration to market volatility smiles

<>=9? @�A�B�C>D'=9E F)G HIG J D�KML9@ N�O'G�J G P�QIJ R9G RSQI@�R9G T�U9? U9P�@ EIK�G�V Q�U9R9? R9Q�N G�R�W9U9Q�K�? V @)N =9Q�N�X G QIR9@>N EN =9G�K�Q�J PI? U9Q�X'R9G U9@ ? N WZY [I\ ]!^_R9G N QI? X G R`R9G J ? H�Q�N ? E�U`E a>Y b�\)? @>? U`c)J ? PIEMQIU9RSd`G J V L9J ? ESY e�f�fIf�Q�\ ]g�G NhL9@MU9E FiPI? HIGha E�J�P�J QIU�N G RjN =9Q�NMN =9GkA�B�CiY bI\M=9Q�@�QZL9U9? lIL9GS@ N J E�U9PZ@ EIX L�N ? E�U'].<>=9G U'DJ G K�G K6O'G J ? U9P�N =9GMR9G T�U9? N ? EIUjY [I\ D�? N�? @�@ N J Q�? PI=�N a EIJ F)QIJ RSN EhR9G J ? HIG�N =9GMK�E�R9G XE�m�N ? EIUSm9J ? V G @�? UN G J K�@6E�a>N =9GhE�m�N ? EIUjm9J ? V G @6Q�@ @ E�V ? Q N G RZN ESN =9GhO9Q�@ ? VhK�E�R9G X @hY nI\ ]ko U9R9G G R'D!X G N6L9@MV EIU9@ ? R9G JMQC!L9J E�m'G QIUhEIm�N ? E�U�F�? N =hK�Q�N L9J ? N W�p�D9@ N J ? q�G�rsQ�U9RhF�J ? N N G UhEIU�N =9G�QI@ @ G N ])<>=9G U'D�? a�t�u_v�a EIJ)QV QIX X'QIU9Rht�u_w�v�a EIJ>QMm9L�N D9N =9G�EIm�N ? E�UhH�QIX L9G�xyQ�N>N =9G�? U9? N ? Q�X�N ? K�G�z!u{f�? @>P�? HIG U`OIWx|u{}hY f�~ p�\ ���M��� t�Y � � w�rZ\ � �)�u{}hY f�~ p�\9� �9�� � t�Y ��w�rZ\ � ���� � ���)� � � �� Y �9\ ���u �� � ���!� � }�Y f9~ p�\�� �9�� � t�Y ��w�rZ\ � � � �� Y �9\ �I�u �� � ��� � � x � ~Y ��\

F�=9G J G�� � R9G U9E N G @!G ��m'G V N Q N ? EIU�L9U9R9G J!� � QIU9Rhx � R9G U9E N G @�N =9G�E�m�N ? EIUMm9J ? V G�Q�@ @ E�V ? Q N G R6N E�Y n�\ ]�h�I�j�9� �|�'�  9�S¡'¢�£S¤ ¥ ¥ ¦�§�¨�© ª « ¬.© ¢9¤�©�© ¢�£`¤ ¥ ¥ £ ©�§�¤�­ ® ª ¬'¤�¯>°�£ ¬9¥ ª © ±kª ¥h® ª ²I£ ¬´³ ±Z¤Z§Mª µI© ¦�­ £S« ¶· ¬�« ¸�¬´³ ¤ ¥ ª ¹`°�£ ¬9¥ ª © ª £ ¥�º!¬�° ¥`¬'« ¸|¤�¬{£ ¤ ¥ ±M» ¦I¥ © ª º)¹ ¤�© ª « ¬'¼|½S£h¬�« © ª ¹ £ ¾6ª ¬S¶ ¤�¹ © ¾6© ¢9¤�© ¾�¥ © ¤�­ © ª ¬9®¶ ­ « §|¤�®I£ ¬'£ ­ ¤�¯�¤ ¥ ¥ £ © ¿ ¨�­ ª ¹ £�°�± ¬'¤�§Mª ¹ ¥ ¾ª ©§�¤�±6³ £�À ¦�ª © £�¨�­ «�³ ¯ £ §�¤�© ª ¹>© «M¹ « §h£>¦ ¨h¸!ª © ¢h¤�¬�¤�¯ ± © ª ¹ ¤�¯¶ « ­ §M¦�¯ ¤ ¥�¶ « ­�Á)¦�­ « ¨�£ ¤�¬{« ¨�© ª « ¬�¥ ¼.Â6£ ­ £ ¾�ª ¬9¥ © £ ¤I° ¾�© ¢�£`¦I¥ £S« ¶`¤�¬�¤�¯ ± © ª ¹ ¤�¯ ¯ ± ¿ © ­ ¤�¹ © ¤I³ ¯ £`°�£ ¬�¥ ª © ª £ ¥� � ª §M§h£ °�ª ¤�© £ ¯ ±k¯ £ ¤I° ¥h© «j£ µ ¨�¯ ª ¹ ª ©M« ¨�© ª « ¬Z¨�­ ª ¹ £ ¥�¶ « ­`© ¢�£6¨�­ « ¹ £ ¥ ¥��>¼.ÃZ« ­ £ « ²I£ ­ ¾6© ¢�£h² ª ­ © ¦9¤�¯ ¯ ±¦�¬9¯ ª §Mª © £ °�¬�¦�§�³ £ ­>« ¶�¨9¤�­ ¤�§h£ © £ ­ ¥)ª ¬M© ¢�£)¤ ¥ ¥ £ © ¿ ¨�­ ª ¹ £!°�±�¬�¤�§Mª ¹ ¥>¹ ¤�¬�³ £)À ¦�ª © £�¢�£ ¯ ¨ ¶ ¦�¯Iª ¬�¤�¹ ¢�ª £ ² ª ¬�®¤M¥ ¤�© ª ¥ ¶ ¤�¹ © « ­ ±`¹ ¤�¯ ª ³ ­ ¤�© ª « ¬S© «�§�¤�­ · £ ©)°I¤�© ¤I¼ÄjG6=9Q HIG6@ G G UkQIO�E HIG6N =9Q N�QhR�W9U9Q�K�? V @�X G QIR9? U9PMN EhQ�K�QIJ P�? U9QIX�R9G U9@ ? N W`a E�J>N =9G6QI@ @ G N�m9J ? V GN =9Q N�? @6N =9G`V E�UIHIG �.V EIK6O9? U9Q�N ? E�U�E a�O9QI@ ? VhR9G U9@ ? N ? G @M? U9R9L9V G @MN =9G`@ Q�K�G`V EIU�HIG �.V EIK6O9? U9Q�N ? E�UQ�K�EIU9P`N =9GhV EIJ J G @ m'E�U9R9? U9PkE�m�N ? EIUZm9J ? V G @ ]kB�L9GMN ESN =9GhX ? U9G QIJ ? N WZE a>N =9GhR9G J ? H�Q N ? HIGhE�m'G J Q�N E�J DN =9G6@ Q�K�G6V EIU�HIG �SV E�KMO9? U9Q N ? EIU`Q�m9m9X ? G @>QIX @ EMN EhQ�X X�EIm�N ? E�UkÅ�J G G q�@ ]�o Ukm9Q�J N ? V L9X Q�J)N =9? @�G U9@ L9J G @N =9Q N6@ N Q�J N ? U9Pha J EIK�Q�U9QIX WIN ? V Q�X X W`N J QIV N QIO9X GMO9Q�@ ? VMR9G U9@ ? N ? G @�EIU9G6T�U9R9@6Q`K�E�R9G XN =9Q�N�m9J G @ G J HIG @N =9G�Q�U9QIX WIN ? V Q�X�N J QIV N QIO9? X ? N WI]ÆÈÇyÉSÊÌËÎÍ Ï`Ð!ÑkÒ�Ê�Ó�ÔMÕ�Ó'Ö ÔM×hØSÔ�Ò!ËÚÙMÖ ÛiÜ>ÙMÛÊg�G N)L9@!U9E F{J G H9? G F´N =9G�m9Q�J N ? V L9X Q�J!V QI@ G�V EIU9@ ? R9G J G R�OIW�c)J ? PIE�Q�U9R`d`G J V L9J ? EhY e fIf�fIQI\F�=9G J G�N =9GR9G U9@ ? N ? G @ � �Ý Y Þ \ ß @>QIJ G�Q�X X'X EIP�U9EIJ K�Q�X ]�à!J G V ? @ G X WID9F)G6Q�@ @ L9K�G�N =9Q�N D�a EIJ>G QIV =Sá Dâ � Y z ~ �9\�u{ã � Y z \ ��~ Y äI\F�=9G J G6QIX X'ã � ß @>QIJ G�R9G N G J K�? U9? @ N ? V�a L9U9V N ? E�U9@�E�aN ? K�G�N =9Q N�Q�J G�O'E�L9U9R9G R`a J E�KåQIO�E HIG6QIU9R`O'G X E FOIWjm'E�@ ? N ? HIG`V EIU9@ N Q�UIN @ ]�æ�E N ? V G�N =9Q�N�? a�K�EIJ G E HIG JMã � ß @MQIJ GhV E�UIN ? UIL9EIL9@MQIU9RjF>GhN Q�q�G`QkT�U9? N G[

Page 6: Lognormal-mixture dynamics and calibration to market volatility smiles

ç è é�ê ë ì9í�î è ï í�ð'ñ�ç ì9ê ð.ò�íIó9ð9ô9ê ô9ð9ê õ õMö î íIés÷Iò�í øIê`è õM÷Ió�ç í�é�÷�ç è ù ñ!÷Ið9ôjç ì9ê`í�ð9ú û�ù íIð9ô9è ç è í�ðjç íkò'êî ê ü�ó9è î ê ôSê ý�þ9ú è ù è ç ú ûhè õ>ò'í�ó9ð9ô9ê ô9ð9ê õ õ�ö î í�éåò'ê ú í ÿ_òIû`÷�þ'í�õ è ç è øIê�ù íIð9õ ç ÷�ðIç ���>ì9ê ð'ñ�ç ì9ê�é�÷Iî ��è ð9÷Iúô9ê ð9õ è ç û`í�ö����ù íIð9ô9è ç è í�ð9÷Iú'í�ð���è õ���è øIê ð`ò�û� �� ����� ���� � � � � � � ê ý9þ���� ������� � �! ú ð �� �#" ��$&%� � �� � � ' ��(�)� � � �+* �-, . ��/ �� 0� 1203 4���>ì9ê�ù ÷�õ ê�ÿ�ì9ê î ê�ç ì9ê�î è õ 5Ië ð9ê ó�ç î ÷�ú�ô9ê ð9õ è ç û`è õ>÷�é�è ý�ç ó9î ê�í ö!ú í6�Ið9í�î é�÷Iú�ô9ê ð9õ è ç è ê õ�ì9÷�õ�ò�ê ê ðSí�î è ��ëè ð9÷�ú ú ûkõ ç ó9ô9è ê ôZòIû87�è ç ù ì9ê û � 464�9�� %�÷�ð9ôjõ ó9ò9õ ê ü�ó9ê ðIç ú ûjó9õ ê ôjò�û#:`ê ú è ù 5k÷�ð9ô;�>ì9í�é�÷Iõ � 4642<6� ñ= ì�ó9þ9è ð9ô9ê î � 4�46>2� ÷�ð9ô@?�ó9í � 464�>�� ��A�í ÿ>ê øIê î ñ�ç ì9ê è î)ÿ)íIî 5Iõ�÷�î ê�é�÷�è ð9ú ûhê é�þ9è î è ù ÷�ú * �>ì9ê ûSõ è éMëþ9ú ûM÷�õ õ ó9é�ê ô�õ ó9ù ì�î è õ 5Ië ð9ê ó�ç î ÷�ú9ô9ê ð9õ è ç û�÷Ið9ô6ç ì9ê ð�õ ç ó9ô9è ê ôMç ì9ê�î ê õ ó9ú ç è ð���B9ç ç è ð���ç í�í�þ�ç è íIðMô9÷ ç ÷��= î è �Ií�÷�ð9ô!:`ê î ù ó9î è í �6969�9 ÷ � ñIè ð9õ ç ê ÷�ô'ñ9ô9ê øIê ú í�þ'ê ô�ç ì9ê�é�í�ô9ê ú9ö î í�é|÷�ç ì9ê íIî ê ç è ù ÷�ú�þ'í�è ðIç!í�ö'ø9è ê ÿ÷�ð9ôSô9ê î è øIê ôhç ì9ê�õ þ'ê ù è B�ù�÷�õ õ ê ç ë þ9î è ù ê�ô�û�ð9÷Ié�è ù õ>ç ì9÷ ç�è é�þ9ú è ê õ!ç ì9ê�ù ì9í�õ ê ðSô9è õ ç î è ò9ó�ç è í�ð��>ì9ê�î ê ÷�õ íIðZö í�î�ù í�ð9õ è ô9ê î è ð��`ç ì9ê�ò9÷�õ è ù�ô9ê ð9õ è ç è ê õ 4�� è õ�í ö�ù íIó9î õ ê�ô9ó9êMç í`ç ì9ê è î�÷�ð9÷Iú ûIç è ù ÷�úç î ÷�ù ç ÷�ò9è ú è ç û`÷Ið9ôkí�òIø�è íIó9õ�ù íIð9ð9ê ù ç è í�ðSÿ�è ç ìSç ì9ê = ú ÷Iù 5`÷�ð9ô8C�ù ì9íIú ê õ � 42< D2� é�í�ô9ê ú ��:`íIî ê í øIê î ñ÷�õ�ÿ)ê>õ ì9í ÿ´è ð6ç ì9ê>÷Iþ9þ�ê ð9ô9è ý�ñIç ì9ê>ú í6��ë î ê ç ó9î ð9õ�ú ð � � � E ú ð � � ñ ��FG9 ñI÷Iî ê>é�í�î ê>ú ê þ�ç í�5Ió9î ç è ù)ç ì9÷�ðè ðhç ì9êH?�÷Ió9õ õ è ÷�ð`ù ÷Iõ ê ñ�ÿ�ì9è ù ì`é�÷ û`ò�ê�÷�ð9è ù ê�ö ê ÷�ç ó9î ê�ö î í�éå÷Mþ9î ÷Iù ç è ù ÷�ú�þ�íIè ð�ç�í�öø�è ê ÿ���I�è ð9÷Iú ú û�ñ÷�õ�÷Iú õ íMî ê þ�íIî ç ê ôSè ð`ç ì9ê�÷�ò'í øIê6ê é�þ9è î è ù ÷�ú'õ ç ó9ô9è ê õ ñ'é�è ýIç ó9î ê õ>í�ö�ú í���ð9íIî é�÷�ú'ô9ê ð9õ è ç è ê õ>ÿ)íIî 5hÿ)ê ú úè ð`é�÷�ðIûhþ9î ÷Iù ç è ù ÷�ú�õ è ç ó9÷ ç è íIð9õ ñ�ÿ�ì9ê ðSó9õ ê ô`ç í�î ê þ9î í�ô9ó9ù ê�é�÷�î 5�ê ç>øIíIú ÷ ç è ú è ç û�õ ç î ó9ù ç ó9î ê õ ��>ì9ê�ö íIú ú í ÿ�è ð��6î ê õ ó9ú ç�ì9÷�õ�ò�ê ê ðSþ9î í øIê ðSò�û = î è ��íM÷Ið9ô@:Sê î ù ó9î è í �6969�9 ÷ � �J�K LNM�LNO P Q P LNRTSU V�UXW�Y Z�[�\^] \ \ [2_`YHZ a�]6Z�Y ]2b a / �Xc \^]6d \ e!b e fNZ c f�[Ne [�\�]6fNg`Z a�]6Z�Z aNY h Y�Y i c \ Z \^]6fj FG9 \ [Nb a!Z a�]6Z / � � ��� / Fk92lNm e h^Y ]2b a � c f8n 9 ) j o ]6fgHp � � ) 3 3 3 ) q;r�s aNY f l c m�t Y�\ Y Z

u � ) �����wvxxxxxy z|{� } %N~ � / �� � � %� � � � � ê ý9þ��+� %� ��� � � ��� ú ðk�� � �#" ��$ %� �H�� � � � ���zT{� } % ~ � %� � � � � ê ý9þ � � %� � �� � � � � ú ðk�� � �#" ��$&%� � �� � � � � � ) � 92�m e h � ) ����F� 9 ) 9�� ]6fg u � ) ����� / m e h � ) �����& 9 ) � � l Z aNY������1 � � � "�� � 1���$ u � ) � � � � � 12� � ) �6� �a�] \H]�[2f c � [NY�\ Z h e f2�^\ e d [2Z c e f t aNe \ Y�_�]6h � c fN]6d�g2Y f2\ c Z � c \�� c � Y f�� ��Z aNY�_ c i�Z [2h Y^e m d e � f�e h _�]6d \� � ����� {� � } % ~ � ���� � � � � � � ê ý�þ���� ��6� �� � �` ú ð �� �#" ��$ %� � �� � � ' ��( 3 � ���� � �6� � � ��� ��� �   ¡ � ¢�£ ¤ ¥ ¥ ¦ §¨ © © ª «+� ��¨�«�� ¬ � ª ­ ��® ¯2� ® ­ «X¨ °�� � �6© � � � � ©¯ ® ­�� ¡ ��� � �6© � � ¢�® ¯�� ¡ ��¨ © © � �N° ® ± ² ­ � � ª ­ �6© ³´ ® µ� ¶ � ­ �6� ��  ¨ �H·6�+� ¨ © � ° ¢�© ¡ ® µ���� ¡6¨ ��� ¡ � ©�� ©�� ¸ ª � ¶ ¨ ° � � ��� ®�¨ © © ª «�� � ±�¨�«�� ¬ � ª ­ �+® ¯N° ® ± � ® ­ «�¨ °�� � �6© � � � � ©�¯ ® ­� ¡ ��� � �6© � � ¢�® ¯�� ¡ ��¨ © © � �¹ ­ �   � ³ º

Page 7: Lognormal-mixture dynamics and calibration to market volatility smiles

»8¼ ½ ¾ ¼ ¿�¾ ½ ÀNÁ ¼ ½HÂ Ã Ä Å�Æ+Ç| È�Ä È�Æ À�É�¾^Ê Ë6Ì@É�½ Í Î ¾Ï2Ð Â Ã Ä Å�Æ�ÑÓÒÔ Õ Ö×�Ø Õ Â Ã Ä Å�Æ Ù ÐÕ Â Ã Æ Ä Â Ú Û2ÆÉ�ÜN¾ ½ ¾ ÀNÁ ¼ ½^¾ Ë2Ê Ü@Â Ã Ä Å�Æ�Ë6ÌÝHÞ À Ø Õ Â Ã Ä Å�Æ+ßGÈ�Ë6ÌNÝ�à ÒÕ Ö× Ø Õ Â Ã Ä Å�Æ�Ñ�Ú2á�âXãHË@Ê ¼ Ì2ã ¾ ä åN¾ Ì�Ê ¾È^æ&çÙ�è Ï Â Ã Ä Å�Æ+èêéÙ8æTë�ìíÁ ¼ ½^¾ Ë2Ê Ü�Ã Ä Å�ÇGÈ�Ä Â Ú î2ÆÉ�ÜN¾ ½ ¾ çÙ�ï ÑTð ñ2òó ô2õ�öø÷ ð ñÕ Ö× ù ú ú ú ù Ò Ù Õ Â Ã Æ û!ÄéÙ�ï ÑTü ý�þó ô2õ öÿ÷�� �Õ ÖN× ù ú ú ú ù Ò Ù Õ Â Ã Æ û������ � �� �Xþ� � þ � ü ð � ð � ñ�þ� � ð �� ü+ý�ü��Xð � ��� �� � ñ ��� � � ð � ��� � � þ� � ü ü ð � ñ`ò � ��� �����ð �ý�ü ð � ñ�� � � ò �� � ð � ñ��Xð ñ�� ���� ��!TÂ Ú Æ+ü ý� �"� � � ��� ��#� � ü ý � � ð ñ$�� %2ý � � ð � ñ"� � ü � ý�ñ�ð %�ý��ü � � � ñ$^ü � � ý � ð � ñ���� � ü �÷�� � $�ð ñ ��� �� ñ�ü ð � � ð ü&$�ð � ñ �  '6Æ#�Xð � �)( Õ * ü � ü^ð ñG +�Æ ,.- � � � � � � /�� ��`ü %2ý � � � � ò�� ��10 � � � ��� �� � � � ð � ð � �2 Ï Â Ã Ä Å�Æ�� � ñ � ð � �3� � � ü � ��� ð $���� � � � � � � $�� � ò�� ��^ü %2ý � � � �40 � ü ð � �� � � � ð � ð � ð � ü 2Ù Ð× Â Ã Æ Ä � � � Ä Ù ÐÒ Â Ã Æ /5���� � ��� ������ ð $���� ü � � � ��� � ò ý�ñ� � ð � ñ�ü � ò3� �� � � $�ñ � � ÷�����÷�� � $6ð ñ ��� �� ñ�ü ð � ð � ü +�Æ ,�6 ñ!þ � � � ð � ý � � � / � ��70 � � � ��� �� � � � ð � ð � � 2 Ï Â Ã Ä Å�Æ � ð � ü+ð ñ"� ���ð ñ�� � � ��� 8 çÙ�Ä�éÙ�9 ,: ü;���3� � � ��� � � � � � ñ � � ð � � ��/ � ���þ� ð � ð ñ$ � ò!�ý� � þ<� � ñ � þ � ð � ñ�ü�ý�ñ�� �5� �� � ü ü � � � þ� ð � � ÷ � �� �Â Ú Æ��Xð � �8Â Ú È�Æ+ð ü�%2ý�ð � ��ü � � � ð $���� ò � � � � � ��, Ð 6 ñ�� � ��/<�3��� � ��� ���ò � � � � �Xð ñ$,=�> ?<@�?<A B C B ?<DFE�G H�G�I+¼ Ì2ã Í Ý2¾ ½�Ë�J+å2½ ¼ K�¾ Ë6Ì;¼ KNÎ Í ¼ Ì�É�Í Î Ü�L�Ë6Î å2½ Í Î M&N�À�ã Î ½ Í O2¾�P Ë6ÌÝ�É�½ Í Î Î ¾ Ì;¼ ÌÎ ÜN¾^Ë ã ã ¾ Î á7QÜN¾^¼ KNÎ Í ¼ Ì8¿ Ë�R åN¾HË6Î�Î ÜN¾�Í ÌNÍ Î Í Ë�R�Î Í L`¾XÃ�Ñ|È�Í ãHÎ ÜN¾ Ì7S6Í ¿6¾ ÌUT M�Î ÜN¾+Á ¼ R R ¼ É�Í ÌS!Ê ¼ Ì�¿�¾ VÊ ¼ L�T Í ÌË6Î Í ¼ Ì8¼ Á�W�R Ë2Ê O X YÊ ÜN¼ R ¾ ã3KN½ Í Ê ¾ ãZ ÑF[3\� È�Ä N�Æ8ÒÔ Õ ÖN×3] Õ�^ _ õ ` a b;c�d [ � ñ�e fg ëih j�ë ×Ð k ÐÕ l Nk Õ m N n4o P c�d [ � ñ�e fg ëih j o ×Ð k ÐÕ l Nk Õ m N n&p ÄÂ Ú '�ÆÉ�ÜN¾ ½ ¾ c Í ã^Î ÜN¾HÌ�¼ ½ L�Ë�R�Ê å L^å R Ë6Î Í ¿6¾^Ý6Í ã Î ½ Í T å2Î Í ¼ Ì�Á å2Ì�Ê Î Í ¼ Ì�Àq[GÑ-Ú�Á ¼ ½^Ë@Ê Ë�R R�Ë6ÌÝ&[GÑ o Ú�Á ¼ ½Ë�KNå2Î À�Ë6ÌNÝk Õ ï Ñsr Õ Â N�Æm N Ñit u bõ Ù ÐÕ Â Ã Æ v6ÃN � Â Ú w2Æ���� � þ � ð � ñ�þ� ð � �HÂ Ú '�Æ � � � ��ü�� � ü ÷ ð � � ü�ð ñ�� ���ð ÷ þ � ð � � �� � � � ð � ð � � ü � � ý� � ý� � , : ñ"� � ��÷ þ � � � ò� ���ü � � þ<��� � � �q� � ñ ��� � þ� � ��ý� � �Hð ñ�ü � � �Xñ^ð ñ�x�ð $�ý� �+Ú�,56 ñ�� � ��/�� �� �� � � � ð � ð � � ð ÷ þ � ð � � � � ��� þ � ð � ñHþ� ð � � ü� Ú�'6Æ5� � ü ��÷ ð ñ�ð ÷ ý ÷ � � � � � � ��� � � ü � � ð y���� %�ý ��� � � � ��+ò � � � � � � � ü ü � �+þ� ð � � _ õ ` a b ,z ð � ñ"� �� � �� � � ñ ��� � � ð � ��� � � � � � � ð � ð � � /������ � ñ�� � ü ð � � �� � ð � � ñ�� � þ � ð � ð � � þ�þ� � � ð ÷�� � ð � ñ�ò � �{ |&}3~ } } �&� � � ��� ��� } ��� � �#� ��� � ��� ~�� } ��� } � } � ��� ~ � � � � ��� ~ � } � } � �5� � � } � � ��}�� � ~&� � � ��� � � �#� � � � }�� � }�} � � � � } ~�� }� ��3� ~ � � � }�� � � � � ~ } � � � � ���3} � � � � } � � ~���� } ~�� }q� � � �;� � ����} � � � � } ��

Page 8: Lognormal-mixture dynamics and calibration to market volatility smiles

80 85 90 95 100 105 110 115 120

0.23

0.24

0.25

0.26

0.27

�q� ���� �����;�� �¡ ¢ £ � ¡ � £ ¤�¥ £ � �¦ £ �� �3� §�¨¡ � � ©�ª�¤�£ «�� �¨ £ �  �¬&¨� � ¦ � ¥3­ � ®�¯ ° ±�«� � ��±��3¥ � £�²7³µ´�³µ¶ · ¶�¸ ®�°¹µ³º��°<»¼³µ¸ °5­ ½<¾ ¿ ½<À ¿ ½Á ¯�³i­ ¶ · ®�¿ ¶· ��¿ ¶ · Â�¯ °;­ Ã<¾ ¿ Ã<À ¿ Ã<Á ¯�³i­ ¶ · Â�¿ ¶· ¸¿ ¶ · ®�¯3¢�¬©7Ä�Å�³º� ¶�¶ Æ£ «��� §�¨¡ � � ©)Ç� �¡ ¢�£ � ¡ � £ ¤)¢�¥�È �¬¦ £ �  �¬U �È3£ «�� �¨ £ �  �¬U¥ £ � � É���¨� � ¦ � Æ7Ê� �� ��¨� � ¦ � ¥ � ¡ ¤�°q©� Ë<¬� ¬��£ «�§� �¬� ¤ ¬� ¥ ¥�̼¢�¥ ÌÍ� ³µ¡ ¬ Ä�ÅÎÐÏ ²�¹�¿£ «�&Ñ3¡ ¢�¦ É�Ò Ó ¦ « �¡ � ¥�Ç� �¡ ¢ £ � ¡ � £ ¤�£ «¢�£ °<È  ���£ «�&��� Ç�� ¬7§�¢�£ �� � £ ¤�¹�°�� ¥�� §�¨¡ � � ©�ª�¤�£ «�&¨� � ¦ ��­ ��®�¯�� ¥£ «�#È �¬¦ £ �  �¬ÕÔ½q­ Ì7¯�£ «¢�£�� ¥�� §�¨¡ � ¦ � £ ¡ ¤�©� Ë<¬� ©7ª�¤"£ «��� Ö �¢ £ �  �¬×"­ ¶ ¿ ¹�¯ Ä�Å Ø Ù Ú1Û Ü�Ý Ì Ï ¾À Ô½�­ Ì�¯ À ¹Ô½�­ Ì�¯ Þ ¹àßÕá Ø�â�ã�Ü�Ý Ì á ¾À Ô½�­ Ì�¯ À ¹Ô½q­ Ì7¯ Þ ¹àß�ä³µ×"­ ¶ ¿ ¹�¯ Ä Å Ø Ù ÚÍåæ ç è ¾ à ç Û Ü Ý Ì Ï ¾À é Àç ¹é ç Þ ¹êß á Ø�â�ã�Ü Ý Ì á ¾À é Àç ¹é ç Þ ¹êß�ä · ­ � ë�¯ì�í î<ï�î<ð ñ ò ñ î<ó1ô�õ ô�õ�ö�÷<ø�ù�ú û ü ý þ ÿ�ü ÷�� ú ø ����� ú û�� � ú � � � ÷û���� ��� ��<ú � ø ��� �� ÷<ø���� � ü ø�� ��� ��� ��� � ��ø ��� Ô½q­ Ì7¯q³ÍÔ½�­ ¶�¯ Ï �Â;Ô½q­ ¶ ¯ ¹ åæ ç è ¾ à ç Û Ô½�­ ¶�¯é ç Ø�� ­ !" # Å $ % â�& %' ¯ Ú á � ä Ì À Ï)( ­ Ì À ¯ ¿ ­ � * ¯+ ÷<ø � ø"Ô½�­ ¶�¯�� ��� ÷<ø�,�ö�-)þ . � � + û�� ��� ��<ú � ø ����� ú û�� � ú � � / + ÷0� ü ÷1� ��� � ��ø �2� Ô½q­ ¶ ¯�³ ÂÞ ¹ Ü â ¾�3 åæ ç è ¾ à ç Ü�Ý � é ç Þ ¹ ß�4 · ­ � 5 ¯

*

Page 9: Lognormal-mixture dynamics and calibration to market volatility smiles

687 9 9 : ;�<�=?>8> @?A?B > C C D E�FHG I J0K�D CLF?E�M =?D F?N�O?P0MQM =?>�C > R E�F?S0T E�B S?> BQ<QU V0W E�BL> @?A?U�F?C D E�FE X0M =?>�X P?F?R M D E�FYZ U�B E�P?F?S�[?\�]�D M =�M =?>�^�B C M�U�F?SHC > R E�F?SHS?> B D _�U M D _�> C8D F�[�M =?U M�U�B >�R U�W R P?W U M > S�M =?B E�P?N�=�B > A�> U M > SU�A?A?W D R U M D E�F2E�X�`�D F?D a CD b�A?W D R D M�X P?F?R M D E�F2M =?> E�B > b1ced0E�b�>HU�W N�> O?B U�M =?> F)C =?E ]�C�M =?U M�M =?>�^�B C MS?> B D _�U�M D _�>�D F1[�D C�F�P?W WLU�F?SHM =?U M�G I f0K�X E�W W E ]�C8X B E�bgG I h�K c<�=?>�b�E0S?> WLG I�I K�D C�i�P?D M >�U�A?A�> U�W D F?N�]�=?> FHA?B D R D F?N> @?E M D R�S?> B D _�U�M D _�> C c�j�E M D R > \0D F?S?> > S�\0M =?U M=?U _0D F?N�> @0A?W D R D M�S0V0F?U�b�D R C�D b�A?W D > CLM =?U M�M =?>8U�C C > M T A?B D R >�A?U M =?C�R U�F�O�>�C D bP?W U�M > SO�VS?D C R B > M D C D F?NM =?>U�C C E0R D U M > Skd0`�lm]�D M =�UHF0P?b�> B D R U�WQC R =?> b�>�c�n�> F?R >�]�>R U�FkP?C >�o�E�F�M >�p8U�B W E�A?B E0R > S?P?B > CM E�A?B D R >�A?U M =0T S?> A�> F?S?D F?N�S?> B D _�U�M D _�> C c�p8W U�D b�CL]�D M =�> U�B W V0T > @0> B R D C >8X > U M P?B > C�R U�F�O�>�A?B D R > S]�D M =N�B D S?C�E�B�W U M M D R > CQM =?U M�R U�F�O�>8R E�F?C M B P?R M > S�N�D _�> FM =?>8> @0A?W D R D MQX E�B bqE�X?M =?>�U�C C > M T A?B D R >8S0V?F?U�b�D R C crts1ukv w�x�v y�z{x�u�|~}kv �Qx���v �k��x�v �Hy�e>F?E ]�C =?E ]�=?E ]qM EHR E�F?C M B P?R M�U�Fk> _�> Fkb�E�B >�N�> F?> B U�W�b�E0S?> WQO�V�C =?D X M D F?N�M =?>�A?B E0R > C C�G I�I�K \]�=?D W >�A?B > C > B _0D F?NM =?>�R E�B B > R M�S?B D X M c���B > R D C > W V�\�]�>�U�C C P?b�>�M =?U�M8M =?>�F?> ]�U�C C > M T A?B D R >�A?B E0R > C C��D C�E�O0M U�D F?> SHM =?B E�P?N�=1M =?>�X E�W W E ]�D F?N�U �HF?>�M B U�F?C X E�B b�U M D E�FHE XQM =?>�A?B E0R > C C��8����L����� ��� � ��� ��� � G � [0K]�=?> B >�mD C�UHB > U�WLR E�F?C M U�F�M c ����V�� M E0a C�X E�B b�P?W U0\?]�>D b�b�> S?D U�M > W VHE�O0M U�D FHM =?U�M�M =?>U�C C > M T A?B D R >�q> _�E�W _�> C�U�R R E�B S?D F?N�M E� � � ����� � ��� �m��� � � � ��� � � ��� � � � G � ��� � � ��� � � K �?��� � G ��I�K]�=?> B > � D C�S?> ^�F?> S�O�V2G I [0K cd0E�b�>> @0U�b�A?W > C�E X�M =?>C =?U�A�> C�M =?U M�R U�FkO�>E�O0M U�D F?> S1X E�B�M =?>S?> F?C D M VkE X8� � U�B >C =?E ]�F2D F �D N�P?B >��X E�B�S?D ¡�> B > F�M�_�U�W P?> C�E�XQM =?>�A?U�B U�b�> M > B���c<�=?>�b�E0S?> W�G ��I�K�X E�B�M =?>�U�C C > MA?B D R >�A?B E0R > C C�A?B > C > B _�> C�M =?>�U�F?U�W V0M D R U�WLM B U�R M U�O?D W D M V�E X8M =?>E�B D N�D F?U�W�A?B E0R > C C�8cH� F?S?> > S�\QM =?>�A?B D R >�U M�M D b�>�[1E�X�U1l�P?B E�A�> U�F2R U�W W�E�A0M D E�F�]�D M =2C M B D ¢�>�£e\b�U M P?B D M V�¤qU�F?SH]�B D M M > F1E�FHM =?>�U�C C > M�D C¥�G [?� ¤�K ¦�§�¨�G � § � £2K ©8ª���¥�G [?� ¤�K ¦�§�¨�G � � �Q� � § � � § � £2K ©�ª��¥�G [?� ¤�K ¦�§�« � � § ��¬ £ � � � ��� � §�­ � ©8® G ����K¯�° ±�²�±�³ ´ µ ´ ±�¶1·L¸ ¹?¸�º�» » ¼0½�¾ ¿0À�Á Â?Ã�Á?£ � � � ��� � §kÄ [�ÅLÁ Â�Æ�9 Ç�Á ¾ 9 ¿�Ç�7 ¾ È Æ�È Ã�¿HÉ Æ�Æ Ê Ç�Ë ¾ È ¾ Á Ë Ì�Í�7 ¾ Á Á Æ ¿Ã »Î �ÐÏ�¥HG [0� ¤�KkÑÒ Ó Ô�Õ�Ö Ó�× Ø � � � §LÙ�Ú�Ï W F�Û�ÜÝ � � � � ÕÞ ß ÞÓ � ¤ß Ó à ¤ á �)â Ù�Ú�Ï W F�Û�ÜÝ � � � �ÕÞ ß ÞÓ � ¤ß Ó à ¤ á�ã �G � ä0Kå æ çLè é�ê ë é ì�ç í�î ï í ð ê�ç ñ�ë ç�ç ñ è é�è éLë ò ç ó�ë ô ô ì�ç ñ ê�õ8í é çLö ê ÷ ê ï ë ô�ë ø�÷ ê�ç ï ë ÷�é ù í ï õ�ë ç è í ÷�ù í ïLúLñ è ò ñ�ç ñ ê�û ï è ù çLï ë ç êí ù?ü�è éLý�þ

f

Page 10: Lognormal-mixture dynamics and calibration to market volatility smiles

40 60 80 100 120 140 160 1800

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

x

p(x)

α = −0.4α = −0.2α = 0 α = 0.2

ÿ�� ����� ��� ��������� ��� � � ��� ����� � � ����� � � ��� �� "!#� ����� ������ $�� � � ��� %�&�' ��� � � ��(*)*+�,�-�. /�0 ,�-�. ��0 -�0 -�. ��1�23 ��� � � 3 �4� � �� "5�687 -�-�2:9;6<-�. -�=�2�><6<-�. =�2�?@6<A�2B� C�D � >#� 0 C�E � >#� 0 C�F � >#� ��6G� -�H ��=�2 -�H -�I�2 -�H -�/��&����*� J:D 0 J�E 0 J�F ��6G� -�H K�2 -�H 7�2 -�H 7�� HLBM:N O NP 6<QR,S 5 (�T U ! V�W 5 6< 5 � 7 ,X(� V:Y 687�Z [ O"\X] \�^ ^�\�_�` Y 68,47�Z [ O"\"a:b�c d�e [ O N [ f N O Vc M:N�g�^ \�] h�i j ] M [ ^ N k f�[ ^ \�c l ^ l c mXc M�\�c�l k#l n�a:^ l N `So mXc M:N�a:O l ] NXp q�r stl k�u�l f N _vo mwx � y;�6zwx � -�� {|(#} ~� � D J � �X� , DE C � � >"��, DE� !� E � T�������� � 5 � � ! y�{ 7�X� 7>4� 7",*(� ~� � � D J �C � T �� � �� � 5 � � ��� �� � !, 7wx � -�� > { ( E/ wx � -�� >��� } ~� � D J � � � , DE C � � > � , DE� !� E � T � ����� � 5 � � ! �� E�� y E {|��� y E � � � /��LBM:N O N wx � -�� l k#c M:N��#��evi Z [ O L\�O `Xl n�a:^ l N ` f�[ ^ \�c l ^ l c m V L�M�l ] M�l k4_ [ L�u l f N _�o mwx � -���6 �� > � � D:  � 7�,|(� ~� � � D J � ��¡ 7� C � � >�¢�{ ( ��£ . � ��=��¤ O [ [ Z d ��������¥�� � ���t¥�� � � ��� ��A��B� ¦X¦X� ��� &�� � ' ��� ��' ' � 3 � � � ��¦G� �����B� � ¦X� ¦4§�� � � ���t� 7�=�� H�������� ¨�¥�� � � ©� � ����� � /��"� �"� ���X� � � ������© ��� ��� �#�B& ��' ����� ¨�¥�&���� � �������� ���t� ����� � � ���Rwx &�� ��������-�2 3 � � �v� ���4ª:� � �&����S� � � ��������� � � %�&�� � %�� ��� �S-#� ��&���&�� ����� � � %�� ��2�&�� � � ��' � ��� � ���S� &�' � ��' &�� � ����� 2�§���¦X� &������ �B«#� ��� ¬ �� ¦X¥�' � � � �#� ����� � � ���*� ��� ��� � ¦�H|������� ¦X¥�' � � ��%���' & � � ' � � ��� ��=��#� ��' ' � 3 �t� ��� � � &��*� � ��¦­� ������§�%�� �������� ��� � &�' � ® &�� � ���S����� 7 ¯��� �4� ���4� &�� � 3 ��� � �#� ���#��¥�� � ���S¥�� � � �#� �#� � A�� H°*��� � ¦X&�� ±#� ��& ��� ����(�6<-"� ����¥�� ��� � � �� ²��§�%�� ����� ' �4� ��� ��� � ��� � 3 � � �X³ 3 ��� ' ��¥�� � � � � %�� ����� ���� ��� � � � ����� � � � H�������� ��� � ������� � � ���X� ��� ��� ���� 3 ¥�&�� &�¦X� � � ���&��� ���"� $ � � �� ��&�� 2���� � � � &�� � ���4(2�� ���7 -

Page 11: Lognormal-mixture dynamics and calibration to market volatility smiles

´�µ�¶ · µ�¸�¹ º�»�¼�½ ¾�º�µ�¿ ¿ º ½ À Á�¶ · ¹ º�µ�½�º µ�¹ ¾4½ · ÂXº�· ¸�¹ ¶ º µ�¿ º ¿BÃ"¾�· Ä ºÂXµ�· ¸�½ µ�· ¸�· ¸�Å�½ ¾�º�¹ »�¶ ¶ º ¹ ½º Æ�Á�º ¹ ½ µ ½ · »�¸�ÇÈ º º#µ�Ä ¿ »tÉ�· Å�Ê�¶ º#Ë4¼ »�¶�¶ º Ä µ ½ º Ì�º Æ�µ�ÂXÁ�Ä º ¿ ÇÍ ¸�Ì�º º Ì�ÎÏSÐ Ñ"Ò Ó�Ô<Ñ�Õ Ö × ÒØ µ�¶ Ð Ñ Ò Ó�Ô<Ñ�ÙÕ Ð Ú"Û|Ü�Ó Ù Ö Ù × Ò�ݲÞß à á�âã à Ö ä�åæ�ç Ò è Û²Ú é²êë ¾�ºtÁ�µ�¶ µ�ÂXº ½ º ¶ Ü µ ì º ¹ ½ ¿�½ ¾�ºt¿ ¾�µ�Á:ºX» ¼�½ ¾�ºt· ÂXÁ�Ä · º Ì�´�»�Ä µ ½ · Ä · ½ í�¿ Ê�¶ ¼ µ�¹ ºX· ¸vµS½ Ã�»�¼ »�Ä Ì�ÂXµ�¸�¸�º ¶ ÇÉ�· ¶ ¿ ½ Î�· ½�¹ »�¸�¹ Ê�¶ ¿B½ »�Ì�º ½ º ¶ ÂX· ¸�º½ ¾�º�Ä º ´�º Ä�»�¼:¿ Ê�¹ ¾t¿ Ê�¶ ¼ µ�¹ º�· ¸#½ ¾�µ�½�¹ ¾�µ�¸�Å�· ¸�Å Ü Ä º µ�Ì�¿ ½ »�µ�¸4µ�Ä ÂX»�¿ ½Á�µ�¶ µ�Ä Ä º Ä ¿ ¾�· ¼ ½#» ¼½ ¾�º4¿ Ê�¶ ¼ µ�¹ º Ç È º ¹ »�¸�Ì�Î�· ½#ÂX» ´�º ¿"½ ¾�º4¿ ½ ¶ · î�º4Ã"¾�º ¶ º4½ ¾�º#´�»�Ä µ ½ · Ä · ½ íS· ¿�ÂX· ¸�· Â4Ê�Â�Çï ¶ º ¹ · ¿ º Ä í�Î�· ¼ Ü*ð²ñ�Ð ò²ñ�Ó ½ ¾�º�ÂX· ¸�· Â4Ê�Âó· ¿�µ ½ ½ µ�· ¸�º ÌX¼ »�¶�¿ ½ ¶ · î�º ¿�Ä » Ã�º ¶ Ð ¾�· Å�¾�º ¶ Ó ½ ¾�µ�¸S½ ¾�º�ô ë"õ¼ »�¶ Ã�µ�¶ Ì;Á�¶ · ¹ º�ÇÉ:»�¶�¶ º Ä µ ½ º Ì�º Æ�µ�ÂXÁ�Ä º ¿ Î�Ã�º#¶ º ¼ º ¶�½ »tÉ�· Å�Ê�¶ º�ö�Ç

80 85 90 95 100 105 110 115 1200.24

0.26

0.28

0.3

0.32

0.34

0.36

0.38

0.4

0.42

Strike

Vo

latility

α = 0 α = −0.2α = −0.4

80 85 90 95 100 105 110 115 1200.245

0.25

0.255

0.26

0.265

0.27

0.275

0.28

0.285

0.29

0.295

Strike

Vo

latility

α = 0 α = −0.2α = −0.4

É�· Å�Ê�¶ ºSö�÷�Í ¸�ø:Ê�º ¸�¹ º�»�¼ Ü »�¸|· ÂXÁ�Ä · º Ìv´�»�Ä µ ½ · Ä · ½ í�¹ Ê�¶ ´�º ¿ Ç�ùBº ¼ ½ ÷;· ÂXÁ�Ä · º Ì�´�»�Ä µ ½ · Ä · ½ í�¹ Ê�¶ ´�º�¼ »�¶Ñ"ÕvÔúÚ ñ�ñ Î�û Ôzñ�ê ñ�ü Î�ý Ô Ë�Î�þ Ô Ë�Î Ð ÿ â Ð þ Ó � ÿ Ù Ð þ Ó ÓXÔúÐ ñ Ç ö ü Î ñ Ç Ú�Ó Î Ð ã â � ã Ù ÓXÔúÐ ñ Ç ��Î ñ Ç � Ó ÎÜ���� ñ�� Û�ñ�ê Ë � Û�ñ�ê ����Î ��� �ñ�� Ú Ë ñ�� �� · Å�¾�½ ÷· ÂXÁ�Ä · º ÌX´�»�Ä µ�½ · Ä · ½ íS¹ Ê�¶ ´�º�¼ »�¶ Ñ Õ Ô8Ú ñ�ñ Î:û Ô<ñ�ê ñ�ü Îý Ô Ë�Îþ Ô Ë�Î Ð ã â � ã Ù Ó4ÔzÐ ñ Ç ��Î ñ Ç � Ó Î� ��� �ñ�� Ú Ë ñ�� · ¸�½ ¾�ºS½ ¾�¶ º º�¹ µ�¿ º ¿ ÷�µ ÓXÐ ÿ â Ð þ Ó � ÿ Ù Ð þ Ó ÓÔ Ð ñ Ç ö ü Î ñ Ç Ú�Ó Î ÜGÔzñ����:Ó Ð ÿ â Ð þ Ó � ÿ Ù Ð þ Ó ÓXÔúÐ ñ Ç Ú ñ���� Î ñ Ç ö ü�ü ö Ó Î Ü�ÔúÛ"ñ�ê Ë � ¹ Ó Ð ÿ â Ð þ Ó � ÿ Ù Ð þ Ó ÓXÔÐ ñ Ç ñ��� �ñ�� Î ñ Ç Ë ��� ��Ó Î Ü*ÔRÛ�ñ�ê � �ô�Ä µ�¶ Å�ºt´�µ�¶ · º ½ í*» ¼"¿ î�º Ã"¿4¼ »�¶#½ ¾�ºS· ÂXÁ�Ä · º Ìv´�»�Ä µ�½ · Ä · ½ í�¿ Ê�¶ ¼ µ�¹ ºS¹ µ�¸ � ºX½ ¾�Ê�¿t» � ½ µ�· ¸�º Ì�Ç�ô"¸º Æ�µ�ÂXÁ�Ä ºS» ¼"½ ¾�ºX´�»�Ä µ�½ · Ä · ½ í�¿ Ê�¶ ¼ µ�¹ ºX½ ¾�µ�½t· ¿4· ÂXÁ�Ä · º Ì � í�½ ¾�º�µ � » ´�ºS»�Á�½ · »�¸*Á�¶ · ¹ º ¿4· ¿tÌ�· ¿ Á�Ä µ í�º Ì· ¸*É�· Å�Ê�¶ º���Ç��"»�½ · ¹ º�η ¸�Ì�º º Ì�Î�½ ¾�µ ½X»�¸�º�¹ µ�¸*º µ�¿ · Ä í��:¸�Ì|¿ »�ÂXº�� à � ¿ ο µ�½ · ¿ ¼ í�· ¸�Åv»�Ê�¶4½ º ¹ ¾�¸�· ¹ µ�ĵ�¿ ¿ Ê�ÂXÁ�½ · »�¸�¿ Î�½ ¾�µ�½"µ�¶ º#¹ »�¸�¿ · ¿ ½ º ¸�½�Ã"· ½ ¾S½ ¾�º#¹ ¾�»�¿ º ¸ ÿ à � ¿ Ç � º ½ ¶ · º ´�· ¸�Åt¿ Ê�¹ ¾ � à � ¿�· ¿�¼ Ê�¸�Ì�µ�ÂXº ¸�½ µ�ÄÚ�Ú

Page 12: Lognormal-mixture dynamics and calibration to market volatility smiles

! "�#%$ &�')(�* + , # ' $ * - .�$ * "�/0"�!�$ &�').�+ + ' $21�# * , '2(�3�/�.�4)* , +5"�/�')/�' ' (�+5$ "6, "�/�+ * (�' #5* /�"�# (�' #%$ "61�# * , '' 7�" $ * ,5, 8 .�* 4)+ 9

8085

9095

100105

110115

120 0

0.5

1

1.5

2

0.37

0.38

0.39

0.4

0.41

0.42

0.43

0.44

0.45

0.46

: * ;�<�# '�=�>@? 4)1�8 * ' (BA�"�8 .�$ * 8 * $ 3C+ <�# ! .�, '�! "�#�D%ECFHG I�I�J)KLFNMOFNI�P I�Q�J)RSFUT�J�VW> FX I�P T�Q�Y I�P Q�Y I�P Z�Q�Y G�Y G�P T�Q�Y G�P Q�Y G�P Z�Q�Y T�[�J]\ ^�_ \ ` a Y ^�b \ ` a a2Fc\ I�9 d�Q�J I�9 G�a Je! "�#f' .�, &�`6gCV)J%\ hi_ Y hb a2F\ I�9 j�J I�9 =�a Jk�FCl�I�P Q2.�/�(6mnA�.�# 3�* /�;)* /6V�9o &�'%' 7�1�8 * , * $p"�1�$ * "�/)1�# * , '2\ T d�ae* 4)4)' (�* . $ ' 8 328 ' .�(�+�$ "f, 8 "�+ ' ()! "�# 4q! "�# 4f<�8 .�+e! "�#�$ &�'%"�1�$ * "�/r%# ' ' s�+%.�+�tp' 8 8 Ji+ * /�, 'f(�* uv' # ' /�$ * .�$ * /�;).�8 * /�' .�#�, "�4fw�* /�.�$ * "�/63�* ' 8 (�+�$ &�'f8 * /�' .�#�, "�4fw�* /�.�$ * "�/ " !$ &�'5+ * /�;�8 '5(�' # * A�.�$ * A�' + 9 : "�#p* /�+ $ .�/�, ' J�$ &�'5"�1�$ * "�/6x%' 8 $ .2* +p' .�+ * 8 3�, "�4)1�<�$ ' (6.�+yz { | _ h{ } \ I�Y m%a ~ � � � \ Gpl�k�a �2� ��_�� D�E \ Gpl�k�a Y �Ol�keD�E ~ � ��Y m�Y K�Y ^ { \ m%a � ��l�ke�%\ ��b a �eY

� _ � b \ ��Y �0Y mpY KeY �faeF 8 /v\ �v� ��av�n\ K���� b ��T�a m�f� m Yt�&�' # '5� b � +p.�# ;�<�4)' /�$ +p.�# '�$ &�'5+ .�4)'%.�+�� _ � +p.�/�(6&�. A�'5wi' ' /6"�4)* $ $ ' ()! "�#pw�# ' A�* $ 3�9��%" $ * , '�$ &�. $! "�#pk�FnI2$ &�* +p* +�� <�+ $�.)8 * /�' .�#p, "�4fw�* /�.�$ * "�/�"�!e�]8 .�, s�.�/�(0��, &�"�8 ' +p� � + 9���c�0�0� �6� � �¡ e¢ £¥¤§¦ ¨ £5� ©ª� �«�0¬e­2®p e� ®p£¯ '0/�" t°w�# * ' ±�3�* 8 8 <�+ $ # . $ '0&�" t²$ "�.�1�1�8 3�"�<�#�1�# ' A�* "�<�+64)"�(�' 8 +)$ "�$ &�'0$ &�# ' '0! <�/�(�.�4)' /�$ .�84).�# s�' $ +]tp'5, "�/�+ * (�' # >�' ³�<�* $ 3�J' 7�, &�.�/�;�'f# . $ '5.�/�(6* /�$ ' # ' + $%# . $ '54).�# s�' $ + 9G T

Page 13: Lognormal-mixture dynamics and calibration to market volatility smiles

´ µ�¶ ·�¸%¹�º º ¸ ¶�» º]¹2º ¶ ¼�½ ¾�¼�¿]¹�À�» À�Á�¸ Â�Ã�¹ Ä�» À�Å2¹2½ ¼�À�¶ » À�Æ�¼�Æ�º]Á�» Ç�» Á�¸ À�Á�Ä�» ¸ È Á�É�Ê�Ëp¸%½ ¹�À6¹�º º Æ�Ì)¸¶ ·�¹ ¶e» À�¶ ¸ ¿ ¸ º ¶e¿ ¹�¶ ¸ ºe¹�¿ ¸]½ ¼�À�º ¶ ¹�À�¶�µ ¼�¿�¹�È È�Ì)¹�¶ Æ�¿ » ¶ » ¸ ºv¹�À�Áf¹�È È�¸ Í�Æ�¹�È�¶ ¼%ÎfÏ�Ð�ÑeÒp·�¸ À2¸ Ç�¸ ¿ Äfµ ¼�¿ Ëp¹�¿ ÁÌ)¸ ¹�º Æ�¿ ¸f½ ¼�» À�½ » Á�¸ º�Ë�» ¶ · ¶ ·�¸6Ó ¹�º º Æ�Ì)¸ Á0Æ�À�» Í�Æ�¸ Ô�¿ » º ¾�Õ À�¸ Æ�¶ ¿ ¹�È�Ì)¸ ¹�º Æ�¿ ¸�ÊiË�·�» ½ ·0·�¹�º%Ö�Ó × ÔpØqÙ Ú Û¹�º5À�Æ�Ì)¸ ¿ ¹�» ¿ ¸ Ê�¹�À�Á0¶ ·�¸)º ¶ ¼�½ ¾�Ü�» À�Á�¸ Â�Ã�¿ » ½ ¸)Á�Ä�À�¹�Ì)» ½ º Ê�Æ�À�Á�¸ ¿5º Æ�½ ·�Ì)¸ ¹�º Æ�¿ ¸�Ê�» º%Å�» Ç�¸ À�Ý�Ä�Ó Þ�ß�ÔË�·�¸ ¿ ¸)Ë]¸�Ã�Æ�¶2à�Ø�Îfá�É�Ñ�´ µ]¶ ·�¸�º ¶ ¼�½ ¾�Ü�» À�Á�¸ Â�Ã�¹ Ä�ºf¾�À�¼ Ë�À�Á�» º ½ ¿ ¸ ¶ ¸)Á�» Ç�» Á�¸ À�Á�º Ê�¶ ·�¸�Å�¸ À�¸ ¿ ¹�ÈÌ)¸ ¶ ·�¼�Á�¼�È ¼�Å�ÄfÁ�¸ º ½ ¿ » Ýi¸ Á)Ý�Ä)â Æ�º » ¸ È ¹5¹�À�Á)ã�Æ�¶ ¾�¼ Ë�º ¾�»�Ó ß ä�ä�å�Ô�½ ¹�À)ݸp¹�Ã�Ã�È » ¸ ÁiÑe´ Àf¶ ·�» º�½ ¹�º ¸ ÊvÓ Þ�ß�ÔË�» ¶ ·�à ØnÎ5Á�¸ æÀ�¸ ºp¶ ·�¸%½ ¼�À�¶ » À�Æ�¼�Æ�ºpÃ�¹�¿ ¶p¼�µv¶ ·�¸%Ã�¿ » ½ ¸%Á�Ä�À�¹�Ì)» ½ º]¹�À�Á�¶ ·�¸%¼�Ã�¶ » ¼�À)Ã�¿ » ½ ¸�µ ¼�¿ Ì2Æ�È ¹Ó Þ ç�Ô5·�¼�È Á�ºf¹�º2È ¼�À�Å0¹�º2è%é2» º2¿ ¸ Á�Æ�½ ¸ Á�Ý�Ä�¶ ·�¸�Ã�¿ ¸ º ¸ À�¶2Ç�¹�È Æ�¸�¼ µ%¹�È È�µ Æ�¶ Æ�¿ ¸6Á�» Ç�» Á�¸ À�Á�º Ñ�ê%ºf¶ ¼¶ ·�¸�½ ¹�È » Ý�¿ ¹�¶ » ¼�À2¶ ¼f¿ ¸ ¹�ÈiÌ)¹�¿ ¾�¸ ¶]Á�¹�¶ ¹�Ê�¶ ·�¸%Ã�¿ ¼�À�¼�Æ�À�½ ¸ Á�º ¾�¸ Ë�º]¶ ·�¹ ¶p¹�¿ ¸�½ ¼�Ì)Ì)¼�À�È Ä)Á�» º Ã�È ¹ Ä�¸ Á6» Àº ¶ ¼�½ ¾�Ü�» À�Á�¸ Â0Ì)¹�¿ ¾�¸ ¶ º%½ ¹�À Ýi¸f¿ ¸ ¶ ¿ » ¸ Ç�¸ Á0Ý�Ä0º Æ�» ¶ ¹�Ý�È Ä Ã�È ¹ Ä�» À�Å)Ë�» ¶ ·6¶ ·�¸fÃ�¹�¿ ¹�Ì)¸ ¶ ¸ ¿ º Êv¸ º Ãi¸ ½ » ¹�È È Äë Ê�Ë�·�» ½ ·�Ì)¹ Ä�¹�º º Æ�Ì)¸�·�» Å�·�È Ä�À�¸ Å�¹�¶ » Ç�¸2Ç�¹�È Æ�¸ º Ñ ì�¼ Ëp¸ Ç�¸ ¿ Ê�¿ ¸ Ã�¿ ¼�Á�Æ�½ » À�Å ·�» Å�·�È Ä�º ¶ ¸ ¸ Ã�½ Æ�¿ Ç�¸ ºµ ¼�¿]Ç�¸ ¿ Ä6º ·�¼�¿ ¶�Ì)¹�¶ Æ�¿ » ¶ » ¸ ºpÌ)¹ Ä�Ýi¸5º ¶ » È ÈiÃ�¿ ¼�Ý�È ¸ Ì)¹ ¶ » ½�Ñ´ µv¶ ·�¸�¹�º º ¸ ¶p» º]¹�À�¸ Â�½ ·�¹�À�Å�¸%¿ ¹ ¶ ¸�Ê�Ëp¸�½ ¹�À�¹�Å�¹�» À)¹�º º Æ�Ì)¸�½ ¼�À�º ¶ ¹�À�¶p» À�¶ ¸ ¿ ¸ º ¶]¿ ¹�¶ ¸ º�µ ¼�¿�¹�È ÈÌ)¹ Õ¶ Æ�¿ » ¶ » ¸ º]¹�À�Á�Á�¸ À�¼ ¶ ¸%Ý�Ä�Î%¶ ·�¸%Á�¼�Ì)¸ º ¶ » ½�¿ » º ¾�Õ µ ¿ ¸ ¸%¿ ¹ ¶ ¸�¹�À�Á�Ý�Ä�Î í%¶ ·�¸pµ ¼�¿ ¸ » Å�À)¼�À�¸ Ñ�ê�Å�¹�» À�¸ Ç�¸ ¿ ĵ ¼�¿ Ëp¹�¿ Á6Ì)¸ ¹�º Æ�¿ ¸%½ ¼�» À�½ » Á�¸ º�Ë�» ¶ ·)¶ ·�¸%¿ » º ¾�Õ À�¸ Æ�¶ ¿ ¹�ÈiÌ)¸ ¹�º Æ�¿ ¸%¹�À�Á)¶ ·�¸%¸ Â�½ ·�¹�À�Å�¸5¿ ¹ ¶ ¸%Á�Ä�À�¹�Ì)» ½ º ÊÆ�À�Á�¸ ¿]º Æ�½ ·)Ì)¸ ¹�º Æ�¿ ¸�Ê�» º�Å�» Ç�¸ À)Ý�Ä Ó Þ�ß�Ô�Ë�·�¸ ¿ ¸pËp¸�Ã�Æ�¶]à ØnÎ�á6Î í Ñeê%ºe¶ ¼%¶ ·�¸�½ ¹�È » Ý�¿ ¹ ¶ » ¼�À5¶ ¼f¿ ¸ ¹�ÈÌ)¹�¿ ¾�¸ ¶fÁ�¹ ¶ ¹�Ê�º » À�½ ¸2¶ ·�¸2¸ Â�½ ·�¹�À�Å�¸�¿ ¹ ¶ ¸fÇ�¼�È ¹ ¶ » È » ¶ » ¸ º�¹�¿ ¸f¶ Ä�Ã�» ½ ¹�È È Ä0º Ì)» È ¸ Á0¹ º » Ì)Ã�È » æ¸ Á Ç�¸ ¿ º » ¼�À¼ µ�¼�Æ�¿pÌ)¼�Á�¸ Èv½ ¹�À6Ýi¸5Æ�º ¸ ÁiÑ�â ¼�¿ ¸ ¼ Ç�¸ ¿ ʶ ·�¸5È ¹�½ ¾�¼ µeÁ�¹�¶ ¹)½ ¼�Ì)Ã�¹�¿ ¸ Á�¶ ¼2Ë�·�¹�¶pËp¸5·�¹ Ç�¸f» À6¼�¶ ·�¸ ¿Ì)¹�¿ ¾�¸ ¶ º%Ì)¹ Ä0È ¸ ¹�Á ¶ ¼�¼ Ç�¸ ¿ Ã�¹�¿ ¹�Ì)¸ ¶ ¸ ¿ » î ¹ ¶ » ¼�À0Ã�¿ ¼�Ý�È ¸ Ì)º Ñ5Ò�¼�¶ ·�» º%¸ À�ÁiÊ�» À Ì)¹�À�Ä0º » ¶ Æ�¹�¶ » ¼�À�º�Ë]¸½ ¹�À6º ¹�µ ¸ È Ä6º ¸ ¶ ë ØnÐ�Ñïe» À�¹�È È Ä�Ê Ë]¸p½ ¼�À�º » Á�¸ ¿�¶ ·�¸p½ ¹�º ¸]Ë�·�¸ ¿ ¸]¶ ·�¸p¹�º º ¸ ¶�» ºe¹%µ ¼�¿ Ëp¹�¿ Á)ðv» Ýi¼�¿�¿ ¹�¶ ¸ Ñ�Òp·�¸]µ ¼�¿ Ëp¹�¿ Á2ð�» ݼ�¿¿ ¹ ¶ ¸5¹�¶p¶ » Ì)¸�×]µ ¼�¿]¶ ·�¸5Ãi¸ ¿ » ¼�Á�¶ ·�¹ ¶%Å�¼�¸ º]µ ¿ ¼�ÌO¸ Â�Ã�» ¿ Ä ñ�¶ ¼)Ì)¹ ¶ Æ�¿ » ¶ Ä)òC» ºpÁ�¸ æÀ�¸ Á Ý�Äó�Ó × ô ñ�ô ò5ÔeØ ßõ Ó ñ�ô ò5Ô�ö ÷ Ó × ô ñ�Ô÷ Ó × ô ò%Ô á�ß ø%ôË�·�¸ ¿ ¸ õ Ó ñ�ô ò%Ôf» ºf¶ ·�¸�Ä�¸ ¹�¿fµ ¿ ¹�½ ¶ » ¼�À�µ ¿ ¼�ÌLñn¶ ¼0ò5Ñ�Òp·�» º2» ºf¶ ·�¸�µ Æ�À�Á�¹�Ì)¸ À�¶ ¹�È]Í�Æ�¹�À�¶ » ¶ Ä�¶ ·�¹ ¶» ºfÌ)¼�Á�¸ È È ¸ Á�» À�¶ ·�¸6½ ¸ È ¸ Ý�¿ ¹�¶ ¸ Á�ð�» ݼ�¿fÌ)¹�¿ ¾�¸ ¶)Ì)¼�Á�¸ È ºfµ ¼�¿2» À�¶ ¸ ¿ ¸ º ¶�¿ ¹ ¶ ¸ º Ñ�Òp·�¸�µ ¼�¿ Ëp¹�¿ Á�¿ ¹�¶ ¸Á�Ä�À�¹�Ì)» ½ ºfËp¸6Ã�¿ ¼�ü�º ¸6¹�¿ ¸�¶ ·�¸ À�Å�» Ç�¸ À�Ý�ÄBÓ Þ�ß�Ô5Ë�·�¸ ¿ ¸6Ë]¸6Ã�Æ�¶�àCزÐ�Ê]º » À�½ ¸6ó�Ó ù ô ñ�ô ò%Ôf» º2¹Ì)¹�¿ ¶ » À�Å�¹�È ¸�Æ�À�Á�¸ ¿2¶ ·�¸�µ ¼�¿ Ëp¹�¿ Á�Ì)¸ ¹�º Æ�¿ ¸6ú%û�Ñ�ü�» Ì)» È ¹�¿ È Ä ¶ ¼0¶ ·�¸6¸ Í�Æ�» ¶ Ä�Ì)¹�¿ ¾�¸ ¶ Ê]¹�È º ¼�» À�¶ ·�¸» À�¶ ¸ ¿ ¸ º ¶f¿ ¹�¶ ¸2Ì)¹�¿ ¾�¸ ¶fÃ�¿ ¼�À�¼�Æ�À�½ ¸ Á�º ¾�¸ Ë�ºf¹�¿ ¸2¼ µ ¶ ¸ À�Á�» º Ã�È ¹ Ä�¸ ÁiÑ�ý%À�½ ¸)¹�Å�¹�» À ¶ ·�¸2Ã�¹�¿ ¹�Ì)¸ ¶ ¸ ¿ ëÃ�È ¹ Ä�º�¹fµ Æ�À�Á�¹�Ì)¸ À�¶ ¹�Èv¿ ¼�È ¸%» À�¶ ·�¸5½ ¹�È » Ý�¿ ¹ ¶ » ¼�À)¶ ¼2Ì)¹�¿ ¾�¸ ¶%Á�¹ ¶ ¹�Ñþ]ÿ ����������� ������� ������������������������Òp·�¸�Ç�» ¿ ¶ Æ�¹�È È Ä�Æ�À�È » Ì)» ¶ ¸ Á�À�Æ�Ì2ݸ ¿2¼ µ%Ã�¹�¿ ¹�Ì)¸ ¶ ¸ ¿ º2½ ¹�À�¿ ¸ À�Á�¸ ¿f¶ ·�¸6Ì)¼�Á�¸ Èp½ ¹�È » Ý�¿ ¹ ¶ » ¼�À0¶ ¼�¿ ¸ ¹�ÈÌ)¹�¿ ¾�¸ ¶2Á�¹ ¶ ¹0¸ Â�¶ ¿ ¸ Ì)¸ È Ä�¹�½ ½ Æ�¿ ¹�¶ ¸ Ñ�ì�¼ Ëp¸ Ç�¸ ¿ ÊeË�·�¸ À�º ¼�È Ç�» À�Å6¶ ·�¸�¼�Ã�¶ » Ì)» î ¹ ¶ » ¼�À0Ã�¿ ¼�Ý�È ¸ Ìc½ ¼�À�Õº » º ¶ » À�Å)» À Ì)» À�» Ì)» î » À�Åf¶ ·�¸! Á�» º ¶ ¹�À�½ ¸ "�ݸ ¶ Ëp¸ ¸ À0Ì)¼�Á�¸ È�¹�À�Á0Ì)¹�¿ ¾�¸ ¶%Ã�¿ » ½ ¸ º�¹�½ ½ ¼�¿ Á�» À�Å)¶ ¼)º ¼�Ì)¸µ ¹ Ç�¼�¿ » ¶ ¸]½ ¿ » ¶ ¸ ¿ » ¼�ÀiÊ ¶ ·�¸pº ¸ ¹�¿ ½ ·fµ ¼�¿e¹%Å�È ¼�Ý�¹�È�Ì)» À�» ÌfÆ�ÌB½ ¹�À2Ýi¸]Í�Æ�» ¶ ¸]½ Æ�Ì2ݸ ¿ º ¼�Ì)¸p¹�À�Á2» À�¸ Ç�» ¶ ¹�Ý�È Äº È ¼ Ë5Ñfü�Æ�Ã�Ãi¼�º ¸fÄ�¼�Æ0·�¹ Ç�¸6ß Ð�Ã�¹�¿ ¹�Ì)¸ ¶ ¸ ¿ º%¹�À�Á$# Æ�º ¶�%6ü�º º » Ý�È ¸5Ç�¹�È Æ�¸ º�µ ¼�¿�¸ ¹�½ ·�¼ µ�¶ ·�¸ Ì6Ñ5Òp·�» º» Ì)Ã�È » ¸ º]¶ ·�¹�¶%Ì)¼�¿ ¸%¶ ·�¹�À ¼�À�¸fÌ)» È È » ¼�À�Á�» &v¸ ¿ ¸ À�¶5½ ¼�ÌfÝ�» À�¹�¶ » ¼�À�º�¼ µ]Ã�¹�¿ ¹�Ì)¸ ¶ ¸ ¿pÇ�¹�È Æ�¸ º Êi·�¸ À�½ ¸2¼�Ý�Õ# ¸ ½ ¶ » Ç�¸�µ Æ�À�½ ¶ » ¼�ÀfÇ�¹�È Æ�¹�¶ » ¼�À�º Ê�¹�¿ ¸]½ ¼�À�º » Á�¸ ¿ ¸ ÁiÑeÒp·�¸pÆ�º ¸]¼�µ¹%È ¼�½ ¹�È Õ º ¸ ¹�¿ ½ ·f¹�È Å�¼�¿ » ¶ ·�ÌB½ ¹�À2¹�½ ¶ Æ�¹�È È Äº ø ¸ Á�Æ�Ã2¶ ·�¸p½ ¹�È » Ý�¿ ¹�¶ » ¼�À2Ã�¿ ¼�½ ¸ º º Ñ�ì�¼ Ëp¸ Ç�¸ ¿ Ê�¶ ·�¸ º ¸�¹�È Å�¼�¿ » ¶ ·�Ì)ºeÆ�º Æ�¹�È È Ä2Ã�¿ ¼ Ç�» Á�¸pÍ�Æ�» ¶ ¸pÁ�» &v¸ ¿ ¸ À�¶

ß ç

Page 14: Lognormal-mixture dynamics and calibration to market volatility smiles

')(�* +-, . *�')/ / 01. 2�3 (�465 065 7�,83 (�3 5 3 '19�4):�, * *-0)(;5 7�,8<�'1. ')=$, 5 , .�>)')9 :�, * ?�@ (A<�. '1/ 5 3 / , B�5 7�, . , C 0). ,)B�3 5-3 *')2D>�3 * ')E�9 ,85 0F:�* ,�'$4)9 01E�')9�* , '). / 7G'19 4)01. 3 5 7�=H+�3 5 7;C , +I=$0D2�, 9�<�'). '1=$, 5 , . *-'1(�2;5 7�, (G. , J�(�,�5 7�,* , '1. / 7A+�3 5 7A'F9 0D/ ')9')9 410). 3 5 7�=K'). 01:�(�2;5 7�,�9 '1* 5�* 0)9 :D5 3 01(;E�, 3 (�46C 01:�(�2�?L , 5�:�*�'1* * :�=$,8+�,67�' >1,6MN01<D5 3 0)(A=$' 5 :�. 3 5 3 , *�O�P-QRO�S�QIT T T�QROU$?�V�,�* , 58W X Y Z�[ \^] X _ O�Z `C 0).$a;\cb)d T T T d ef')(�2�g�\cb1d T T T d M�?^h-7�,G01<D5 3 0)(R<�. 3 / ,i_ j)k1`F01(�9 lm3 =$<�9 3 / 3 5 9 li2�, <�, (�2�*;0)(5 7�,GC :�(�/ 5 3 01(�*;n X o *;* 3 (�/ ,G5 7�,!p1:�'1()5 3 5 3 , *$5 7�' 5A2�3 . , / 5 9 lR')q�, / 5G3 5;'1. ,A5 7�,!W X Y Z o * ?Hh-7�,i=$0D2�, 9/ '19 3 E�. ' 5 3 01(�B 5 7�, . , C 01. , BD=6:�* 5�E�,�<�, . C 01. =$, 2F0)(65 7�, * ,�>)'1. 3 ')E�9 , * ?�h-7�,-* , 5�0 C�/ 01(�* 5 . ')3 (15 *rW X Y Z s�P�tW X Y Z)u O Z v O Z s�P B�C 0).-, ')/ 7Aa�')(�2$g�B�=6:�* 5�E�,�5 7�, (A3 ()5 . 0D2�:�/ , 2;5 0$' >10)3 2A3 =$')413 (�'). l$>)')9 :�, *�C 01.�5 7�,C :�(�/ 5 3 01(�*Fn�X o * ?Rw8(m'12�2�3 5 3 0)(�'19�/ 01(�* 5 . ')3 (15$3 *F01(�5 7�,A<�'). '1=$, 5 , .Fx�B�+�7�3 / 7m=F:�* 5$* ')5 3 * C l�5 7�,/ 01(�2�3 5 3 0)(Ay t{z�| xr} ~ �GC 0).�, '1/ 7;5 . '12�, 2G* 5 . 3 �),�y�?h�0m. , 2�:�/ ,!5 7�,i(1:�=FE�, .A0)C6<�'1. ')=$, 5 , . *;+-,!=$' l^')* * :�=$,!5 7�' 5G(�0m/ 7�'1(�4), *A0D/ / :�.A'19 0)(�4

5 7�,A=$' 5 :�. 3 5 l�2�3 =$, (�* 3 0)(mE)lR* , 5 5 3 (�4iW X Y Z \c�W X6t�� B�+�7�3 / 7R3 *F'19 +�' l�*F/ 0)(�* 3 * 5 , ()5$+�3 5 7m* 01=$,')2�=$3 * * 3 E�9 ,6n X o * ?6h-7�,6J�5 5 3 (�4;pD:�')9 3 5 lG7�0 +-, >1, .�=$' lA+-0). * , (i/ 01(�* 3 2�, . '1E�9 l)?6w�*85 0$5 7�,F(D:�=6E�, .0 C�9 0)41(�0). =$'19r2�, (�* 3 5 3 , *�5 0G/ 7�0D01* , B�3 5F3 *�, (�0):�417i5 0G* , 5Fe�\�jG0).6e�\�kG3 (�=$0)* 5F<�. ')/ 5 3 / '19')<�<�9 3 / ' 5 3 01(�* ?��� ���^��������K�8� �H���A���� � ��������� ���h-7�,$J�5 5 3 (�4GpD:�')9 3 5 li0)C-5 7�,;, �D5 , (�2�, 2m=$0D2�, 9�_ j � `�7�'1*6E�, , (iJ�. * 5$3 ()>1, * 5 3 4)')5 , 2mE)lm��. 3 410G')(�2� , . / :�. 3 0F_ j �1�)� E�`�5 7�. 01:�4)76=$'1. �), 5r2�')5 '�0)CD5 7�,�@ 5 ')9 3 '1( � @ ��k � , p1:�3 5 l63 (�2�, ��?V�,�7�, . ,�/ 01(�* 3 2�, .'!2�3 q, . , ()5$, �D'1=$<�9 ,;E�')* , 2m01(m3 ()5 , . , * 5;. ' 5 , *6>10)9 ')5 3 9 3 5 l�2�' 5 '�?���. , / 3 * , 9 l1B�+�,A:�* ,;5 7�,A/ '1<�9 , 5>10)9 ')5 3 9 3 5 3 , *65 7�' 5A'). ,G* 5 . 3 <�<�, 2mC . 01=�5 7�,!p1:�0)5 , 2�3 (D� 5 7�, � =$01(�, lR')(�2R01:D5 � 0)C � 5 7�, � =$01(�, lR��:�. 0/ '1<��  �0D01.�>10)9 ')5 3 9 3 5 3 , *�'1*80)C�¡�0 >1, =6E�, .Fb ¢ 5 7�Brj �1�)� ?�V�,6C 0D/ :�*�01(G5 7�,6>1019 ' 5 3 9 3 5 3 , *-0)C�5 7�,65 +�0)�l1, '1.�/ ')<�9 , 5 *�+�3 5 7$5 7�,8:�(�2�, . 9 l�3 (�4 L 3 E�01.�. ')5 ,�. , * , 5 5 3 (�4F' 58b1? £�l1, '1. * ?�h-7�,8:�(�2�, . 9 lD3 (�46C 0). +-'). 2. ' 5 ,83 *�£DT kDj)¤;B15 7�,8/ 01(�* 3 2�, . , 2;* 5 . 3 �), *�'). ,8¢1¤;BD¢�? j1£)¤;BD¢�? £1¤$B�¢�? ¥1£)¤;B�£1¤$B�£1? j)£1¤$B�£1? £)¤;B�£D? ¥1£)¤;B¦ ¤;B ¦ ? j1£)¤;B ¦ ? £1¤I'1(�265 7�,-'1* * 0D/ 3 ')5 , 2A_ =$3 2�`>1019 ' 5 3 9 3 5 3 , *'1. ,�b)£1? j)j1¤$B�b £D? b ¢1¤;B�b £D? b � ¤;B�b £D? �1§ ¤;Bb £D? �1¨ ¤;B�b)£1? b j1¤$Bb £D? b)¥)¤;B�b)£1? j § ¤$Bb £D? ¢ � ¤;Bb £D? £1j)¤;B�b)£1? ¦ ¨ ¤$?© , 5 5 3 (�4�eª\^jF_ 5 7�,�3 (�2�, �$2�, (�* 3 5 l$3 *r'�=$3 �D5 :�. ,-0 C�5 +-0�9 014)(�01. =$')9�2�, (�* 3 5 3 , * ` B1W X [ \^] X _ b1T £1` Ba�\�b)d jDB1'1(�2$«�S�\�b¬A«�P B1+�,�9 0D0)�), 26C 0).r5 7�,-')2�=$3 * * 3 E�9 ,�>)'19 :�, *�0 C«�P B1W1P BDW S�')(�2$x!=$3 (�3 =$3 ­ 3 (�45 7�,F* pD:�'). , 2i<�, . / , (15 ')41,F2�3 q, . , (�/ ,$E�, 5 +-, , (�=$0D2�, 9r'1(�2!=$'1. �), 5;_ =$3 2�`�<�. 3 / , * ?FV�,F0)ED5 '13 (�, 2«�PA\ � T j)¢Db)j1B�«�SG\ � T ¥1£ §1§ B�W1PA\ � T b j)¢1¥DB�W)SG\ � T b ¨ ¢)¢i'1(�2Rx�\ � T b ¢1¥1j)£D?Rh-7�,G. , * :�9 5 3 (�43 =$<�9 3 , 2$>10)9 ')5 3 9 3 5 3 , *�'1. ,8<�9 0 5 5 , 2;3 (A®r3 4):�. ,�£DBD+�7�, . ,85 7�, lA'). ,8/ 0)=$<�'1. , 2;+�3 5 7;5 7�,8=$'1. �), 5�=$3 2>10)9 ')5 3 9 3 5 3 , * ?@ (�5 7�3 *�, �D'1=$<�9 ,F+-,;/ 01:�9 2�0)ED5 '13 (i'G* ')5 3 * C ')/ 5 0). liJ�5 5 3 (�4A5 0A5 7�,;/ 01(�* 3 2�, . , 2�=$'1. �), 5F2�')5 '

')9 . , ')2Dl6+�3 5 7$'8=$3 �D5 :�. ,-0 C�5 +�062�, (�* 3 5 3 , * ?r@ (�2�, , 2�B15 7�,-C ')/ 5r5 7�')5r5 7�,-3 =$<�9 3 , 2�>1019 ' 5 3 9 3 5 l�* =$3 9 ,�3 *')9 =$01* 5� �')5�7�, 9 <�, 2A3 (G')/ 7�3 , >D3 (�4$* :�/ 7G'$/ ')9 3 E�. ')5 3 0)(;. , * :�9 5 ?�¯�0 +-, >1, . B�')*�'19 * 0F* 7�0 +�(G3 (A�-. 3 4)0')(�2 � , . / :�. 3 0A_ j �)�1� E�` B�* 5 , , <�, .-/ :�. >1, *-=$' l;E�,�+-, 9 9�. , <�. 0D2�:�/ , 2;5 0D0D?�h�065 7�3 *�, (�2�B�3 (�/ . , ')* 3 (�45 7�,F(D:�=6E�, .�ec0)C-E�')* 3 /F9 014)(�01. =$')9�2�, (�* 3 5 3 , *�=$' liE�,$7�, 9 <DC :�9�5 0G. , 5 . 3 , >1,F'A9 '1. 4), .�>)'1. 3 , 5 l!0 C3 =$<�9 3 , 2$>1019 ' 5 3 9 3 5 l$* 5 . :�/ 5 :�. , * ?

b ¢

Page 15: Lognormal-mixture dynamics and calibration to market volatility smiles

0.04 0.045 0.05 0.055 0.06 0.0650.15

0.151

0.152

0.153

0.154

0.155

0.156

0.157

0.158

Market volatilities Calibrated volatilities

°r± ²1³�´ µ�¶1·�¸�¹ º » ¼-º)½�» ¾�µ�¿ À1¹ ± Á�´ À » µ Â$Ã1º1¹ À » ± ¹ ± » ± µ ¼rÃ�¼-» ¾�µ�Ä$À)´ Å)µ »�Ä$± Â$Ã1º1¹ À » ± ¹ ± » ± µ ¼ ÆÇÉÈ�Ê;Ë!Ì�Í Î!ÏrÐ Ê$Ë!ÏÑ�µ;¾�À Ã1µ;Ò�´ º1Ò�º1¼ µ Â�» Ó�ºiÀ)¼ ¼ µ » Ô Ò�´ ± ¿ µ;Ä$ºDÂ�µ ¹ ¼�» ¾�À)»FÀ)´ µ;¿ À)Ò�À1Á�¹ µ;º ½�´ µ Ò�´ ºDÂ�³�¿ ± Õ�²!ÖD³�± » µ;²)µ Õ�µ ´ À1¹Ã1º)¹ À)» ± ¹ ± » ×m¼ » ´ ³�¿ » ³�´ µ ¼ ÆH°r± ´ ¼ »;Ó�µ!¾�À Ã1µ!± Õ1» ´ ºDÂ�³�¿ µ ÂRÀ1Õ�Â�µ Ø�Ò�¹ À)± Õ�µ ÂR» ¾�µ�Ù ¹ º)²1Õ�º)´ Ä$À1¹ Ô Ä$± ØD» ³�´ µ ÚÀ)¼ ¼ µ » Ô Ò�´ ± ¿ µ6ÂD×DÕ�À1Ä$± ¿ ¼ Û�À)Õ�ÂA» ¾�µ ÕAÓ-µ6¾�À Ã1µ6µ Ø1» µ Õ�Â�µ ÂG» ¾�± ¼�Ä$ºDÂ�µ ¹Á)×GÄ$µ À)Õ�¼8º ½�À)ÕGÀ)Ü$Õ�µ�» ´ À1Õ�¼ Ô½ º)´ Ä$À)» ± º)Õ�Æ�Ý�º)» ¾!Ä$ºDÂ�µ ¹ ¼8À)´ µFÀ)Õ�À1¹ ×1» ± ¿ À)¹ ¹ ×;» ´ À1¿ » À1Á�¹ µ ÛÀ)Õ�Âiµ Ø�Ò�¹ ± ¿ ± »8Ò�´ ± ¿ µ ¼8½ º)´8Þ�³�´ º)Ò�µ À1ÕDÔ ¼ » ×D¹ µ¿ À1¹ ¹�º1ÒD» ± º)Õ�¼-À1´ µ8´ µ À)Â�± ¹ ×AÂ�µ ´ ± Ã1µ ÂAÀ1¼-¹ ± Õ�µ À)´-¿ º1Ä6Á�± Õ�À)» ± º)Õ�¼-º ½rÝ-¹ À)¿ Å1Ô ßD¿ ¾�º1¹ µ ¼�Ò�´ ± ¿ µ ¼ Æ°�³�´ » ¾�µ ´ Ä$º1´ µ Û�º)Õ�¿ µ8µ ± » ¾�µ ´�Ä$ºDÂ�µ ¹�¾�À)¼�Á�µ µ Õ;¿ À)¹ ± Á�´ À)» µ ÂF» º6» ¾�µ�Ò�¹ À1± ÕFÃ)À)Õ�± ¹ ¹ À�Ä$À1´ Å)µ » ÛDÓ�µ8À1´ µ

À)Á�¹ µ8» ºFÒ�´ ± ¿ µ�µ Ø�º » ± ¿�Ò�À » ¾DÔ Â�µ Ò�µ Õ�Â�µ Õ)»8¿ ¹ À)± Ä$¼�» ¾�´ º)³�²1¾GàAº1Õ)» µFá�À)´ ¹ ºF¼ ± ÄF³�¹ À » ± º1Õ�Æâ�µ ´ ×F½ µ Ó^µ Ø�± ¼ » ± Õ�²�Ä$ºDÂ�µ ¹ ¼�Ò�´ º)Ò�º)¼ µ�µ ØDÒ�¹ ± ¿ ± »�À1¼ ¼ µ » Ô Ò�´ ± ¿ µ�ÂD×DÕ�À1Ä$± ¿ ¼r» ¾�À)»�À)´ µ�¿ º1Õ�¼ ± ¼ » µ Õ1»�Ó�± » ¾

À!²1± Ã1µ ÕR´ ± ¼ Å)Ô Õ�µ ³D» ´ À1¹8ã ½ º1´ Ó�À1´ Â�ä6Â�± ¼ » ´ ± Á�³D» ± º)Õ�ÆmàGº)´ µ º Ã1µ ´ Û�» ¾�µAÀ)´ Á�± » ´ À1´ ± ¹ ×i¹ À1´ ²)µ;ÕD³�Ä6Á�µ ´$À)Õ�¿ º1Õ)» ´ º1¹ ¹ À)Á�± ¹ ± » ×!º)½8Ò�À)´ À1Ä$µ » µ ´ ¼F´ µ Õ�Â�µ ´Fº1³�´FÄ$ºDÂ�µ ¹�³�Õ�± ÖD³�µ$½ ´ º1Ī» ¾�± ¼FÒ�º)± Õ1»Fº)½�ÃD± µ Ó�Æ�å Õ�½ À)¿ » Û¿ ¾�ºDº)¼ ± Õ�²�À)¼rÄ$À1Õ)×FÒ�À)´ À1Ä$µ » µ ´ ¼rÀ)¼�Ó-µ-¹ ± Å)µ�Ò�´ ºDÂ�³�¿ µ ¼�À8¹ À1´ ²)µ�æ�µ ØD± Á�± ¹ ± » ×�± Õ6» ¾�µ-Ä$ºDÂ�µ ¹�¿ À1¹ ± Á�´ À » ± º1Õ» º�´ µ À)¹Dº)ÒD» ± º1Õ6Â�À » À�Û)À)¹ » ¾�º1³�²)¾6º)Õ�µ�Õ�µ µ Â�¼�» º8Á�µ Ó�À1´ µ�º ½�Ò�º)¼ ¼ ± Á�¹ µ�Ò�´ º1Á�¹ µ Ä$¼�´ µ ¹ À » µ Â�» º�º Ã1µ ´ ç�» » ± Õ�²À)Õ�ÂA½ µ À1¼ ± Á�± ¹ ± » ×;º ½�» ¾�µ�¿ À)¹ ± Á�´ À)» ± º)Õ;Ò�´ ºD¿ µ ¼ ¼�À1¼�½ À)´-À1¼�» ¾�µ�µ ØDµ ¿ ³D» ± º1Õ;» ± Ä$µ�± ¼-¿ º1Õ�¿ µ ´ Õ�µ Â�Æ

è�é!éiê Ë!ë!Ð ìå Õi» ¾�± ¼�À1Ò�Ò�µ Õ�Â�± Ø�Û�Ó-µ$¿ À)¹ ¿ ³�¹ À » µF» ¾�µ$¼ Å)µ Ó�Õ�µ ¼ ¼FÀ)Õ�Â�Å1³�´ » º1¼ ± ¼6º ½�» ¾�µ;Ä$À)´ ²1± Õ�À)¹rÂ�± ¼ » ´ ± Á�³D» ± º)Õiº ½» ¾�µ6¹ º1² Ô Ò�´ ºD¿ µ ¼ ¼�íî�ï · ð�¹ Õã î�ï ä ñr¹ Õ�ã î�ò ä Û�ó8ôIõ�Æ8ö8¼8± ¼�µ À)¼ ± ¹ ×G¼ ¾�º Ó�Õ�Û½ º)´8µ À1¿ ¾Gó8ô�õ$» ¾�µ6Â�µ Õ�¼ ± » ×

÷ ¶

Page 16: Lognormal-mixture dynamics and calibration to market volatility smiles

ø ùAúû�ürý þ-ÿ1ý ��� ������ �� �$ý ��� ��� � ø)ù � ø � ��������� ��þ ý � ý � þ �ú� ü � ����� ���� � �"! # � � û üû�$�% �'&�Iû�$ ( ) � ü � û�$ ( ) ��+*, - .�/�0 -213 - � 4 � 5 6 7 � �98 #;: 16 3 <- � 4 �>= � :@? 4'A /< 3 <- � 4 � B < &CD þ ý ��ÿ>� �� ù ��E �F� ����;� ��� � �G� E � ��� � ��� ��� ø ��� ��� ø ù �>� ý ��� ���FE ø �>��ý ����� ý ø � ø)ù ��� ��þ ý � ý � þ�ý þ�ÿ)ý ��� �H���� ���� þ ����� �F� ý ��� ���FE ø �I��ý ��� � ý ø ��þ ø)ù � �� E ø � � � þ 8 ø ����ý ��ÿ�� ø ��� ��� þ J9K;� �� �����L !NM úû ü O � ? 4 : 16�P < � 4 � QL ! M úû <ü O � ? < 4 < AR� 1 :@? 4 � P < � 4 �NA 1S PNT � 4 � QL !NM úûVUü O � ? U 4 UVA@W ? 4�X 1 : 16 ? 4 Y P < � 4 �NA WS � ? 4 : 6�� P T � 4 � : 1Z PN[ � 4 � QL ! M úû Tü O � ? T 4 T : 6 ? < 4 < � ? 4 : W9� P < � 4 �NA W 6 X ? < 4 < : S ? 4NA\6 Y PNT � 4 � : 16 � ? 4 : W9� P [ � 4 �NA 11 ] P'^ � 4 � QK_�� � � P'` � 4 �F� �+*, - .�/�0 - 3 `- � 4 � Ca � ��ý ø ��þ����9�-þ � � �1ý ÿ��� ù ø � K;��� ��E ��� E ��� � � ý ø ��þV� � ���I� ø � �� ù ø � � ø K�ý ��ÿ � ��8�� � þ þ ý ø ��þ ù ø �V� ��;����� ý ����E ��Jþ b�� K_��� þ þ"������b���� � ø þ ý þ ø)ù;úû�üV������� � � ! �c ��� !'M úû�ü O � P < � 4 �NA 1S PNT � 4 � : 1S;d P < � 4 � e <f9b�� K !'M úû�ü O � 1 6 d P < � 4 � e < : 6 d P < � 4 � e U A@W P < � 4 � PNT � 4 � : 1 6 PNT � 4 � : P [ � 4 �Z X P < � 4 �NA /T P T � 4 � : /T d P < � 4 � e < Y U g <h ��� � !'M úû�ü O � S Z P�T � 4 �NA\6 S P [ � 4 �NA\6 S d P < � 4 � e U : S Z P < � 4 � PNT � 4 �1 ] X P < � 4 �NA /T P�T � 4 � : /T d P < � 4 � e < Y <A P ^ � 4 �NA ] d P < � 4 � e < P T � 4 � : W d P < � 4 � e T : S P < � 4 � P'[ � 4 �1 ] X P < � 4 �NA /T P T � 4 � : /T d P < � 4 � e < Y <a ��"��� ø ���_� �98�� � þ þ ý ø ��þ;��� �"� � � �� ��ý ��� ø � ��� �H�����H��ý i�E ��� ��� ø þ � ���9��j�k ����� � ��J�ý �F��� �����_�� � 8 ù ���� ø � � ��� � ����ÿ��"� �� �l�)þ ù ø � � ø K�þ �c ��� !NM úû ü O �+*, - .m/F0 - 3 <- � 4 �NA 1S *, - .�/�0 -�n 3 <- � 4 � : *, o .�/'0 o 3 <o � 4 � p <1 ]

Page 17: Lognormal-mixture dynamics and calibration to market volatility smiles

q9r�s t_uNv�wxmy z {}|�~ ���}�� �m�m� � ��� ��;� � � | �}�� ����� � � ��_� � � � �V� �}�� �m�m� � � �>��F� � � | �R�� �m�m� � � ��_� � � �N��_� � �� �m� � � � ��;� � � � �� � �� ��� � � � � ��;� � � | � �� ��� � � � ��;� � � � � � � � �{}|�}�� �m�m� � � �>��F� � � | �}�� ����� � � ��_� � � � � � ~ � � �>��F� � � | �R�� �m�m� � � ��_� � � �� � �}�� �m� � � � �� � � � � �� �}�� �m� � � � � �� � � � | �}�� ��� � � � �� � � � � � � � � �� ��� � uNvFwxmy z {�� � �R�� ��� � � � �� � � � � � �F�}�� �m� � � � �� � � � � � �� � � � | �}�� ��� � � � �� � � � � �~ � � �R�� ���m� � � ��F� � � � �� �R�� ���m� � ��� ��F� � � | �R�� �m�m� � � ��;� � � � � � �� � �� ��� � � ��� �� � � � | � �� �m� � � � �� � � � � �~ � � �}�� �m� � � � �� � � � � �� �}�� �m� � � � �>�� � � � | �R�� �m� � � � �� � � � � � � �{R� � �}�� �m�m� � � �>�� � � � | �R�� �m�m� � � �� � � � � �"� � � � � ��� � � � �� | � �}�� ����� � � ��9�~ � � �R�� ��� � � � ��F� � � � �� �R�� ��� � � ��� ��F� � � | �}�� �m� � � � ��;� � � � � � �¡ 

t_¢�s � s�£m¤ ¥ � ¢�s ¦ §�¨ � ¨ � s ©�£�t;s ¢�§ ª�s>¨ s � � �'« { � ��F� � � | �}�¬ �m�m� ¬ � �¬ � � � ­® sH¯ §�¥@s §�¨ ¤ ¦ ° ¨ s s � ¢�§ � §G¨ �9± ¯ ¤ s ¥ � ¯ ²�¥�³�¤ � ¤ ²�¥µ´ ² � � ¢�s¨ r�s t_¥�s ¨ ¨ � ²G¶�sH¥�s ·�§ � ¤ ª�sH¤ ¨ � ¢�§ �~ � � �>�� � � � | �}�� �m� � � �>�� � � �F¸º¹ ´ ² � s §�¯ ¢H» £9t_¢�s � s §�¨;§>¨ �9± ¯ ¤ s ¥ � ¯ ²�¥�³�¤ � ¤ ²�¥I´ ² ��� ¢�s"r ��� � ²�¨ ¤ ¨ � ²¶ms;¦ § � ·�s �'� ¢�§�¥��"¤ ¨ � ¢�§ � � � � � ��� � � � �� |�� �R�� �m� � � � �� ¸R¹ ´ ² � s §�¯ ¢I» ­V¼ ¥�³�s s ³I¨ � ¯ ¢�¯ ²�¥�³�¤ � ¤ ²�¥�¨§ � s ¦ § � ·�s ¦ °H¨ § � ¤ ¨ ½ms ³H´ ² �;� s §�¦ ¤ ¨ � ¤ ¯ � ¥�²�¥9¾ ©�§ � ¢�²�¦ ²�·�¤ ¯ §�¦ � ª�§�¦ � s ¨;²�´ � ¢�s ¿�²9³�s ¦N©�§ � §�¿�s � s � ¨ ­¼ ¥º² � ³�s �I� ² ³�s §�¦;t_¤ � ¢\¿�² � s � ¨ s � ¾ ´ � ¤ s ¥�³�¦ °\s À�© � s ¨ ¨ ¤ ²�¥�¨ £;tFsG¯ §�¥\¥�s ·�¦ s ¯ � §�¦ ¦ � s � ¿�¨It_¤ � ¢� Á� � � � � Â� � � � ² ´�¥�²�¥9¾ ¿�¤ ¥�¤ ¿ � ¿Ã³�s · � s s £mt_¢�¤ ¯ ¢¦ s §�³�¨ � ² � ¢�s"´ ²�¦ ¦ ² t_¤ ¥�·>§�©�© � ² À9¤ ¿�§ � ¤ ²�¥�¨ «Ä § � uNv wx y z ÅRÆ � � � � { �Ç � ��� � � � �� � � �q9r�s t_uNv�wxmy z Å � �IÈ Æ � � � � É � |@Æ � � � �È Æ � � � � É � � �{Ê| � � �}�� �m�m� � � �>��F� � � | �R�� �m�m� � � ��_� � � �

�� � �� ��� � � � ��F� � � � � � � Ë ¹� ��� � uNv�wxmy z ÅR� Æ � � � �

È Æ � � � � É �{º� � �N�}�� �m�m� � ��� ��;� � � | �}�� ����� � � ��_� � � � �� �}�� �m�m� � � ��;� � � � � ¸ �

q � ¯ ¢G§�©�© � ² À9¤ ¿�§ � ¤ ²�¥�¨ � ��� ¥G² �9�"� ²¶msI§�¯ ¯ ��� § � sI¤ ¥G¿�²�¨ � © � §�¯ � ¤ ¯ §�¦'¨ ¤ � � § � ¤ ²�¥�¨ £N§�¥�³Gs ¨ ©�s ¯ ¤ §�¦ ¦ °´ ² � ¥�²�¥9¾ ©�§ � ¢�²�¦ ²�·�¤ ¯ §�¦mª�§�¦ � s ¨;²�´ � ¢�s ¿�²9³�s ¦N©�§ � §�¿�s � s � ¨ ­~ Ì

Page 18: Lognormal-mixture dynamics and calibration to market volatility smiles

Í_ÎIÏ�Ð Ñ Ò�Ï�Ó�Ô�Õ Ñ�Ö'×FÑ�ØmÐ�Ï�Õ Õ ÙµÚ Û�Ð�Î Ü Ý�Ñ Þ ß à�ÑHÔ�Ï�Þ ß Ü Ú á�Õ Ï�Þ Ú Ï�Î ÑHÛ â_Ï�Ó�Ü Ò9ß á�Þ Ñ�Û â;ß ×;ÛGÝ�Ñ Ð�Î Ü ß Ü Ñ Î ÖÏ�Ð�Ý�Î Ñ ß Ö�ß à�Ñ Þ Ñ â Û�Þ Ñ ÖmãåäRæ9Ömç�èFé ä}ç�Ï�Ð�Ý�çmê;é äÊë;ì\ç�í�î Ñ Û�ï9ß Ï�Ü Ð�éð Ï�Þ ñ'ò�óômõ ö"÷ çmø êèVù ú ûNüRù ë;ì\ç û ø êêFù ú ûý9þ Ñ × ñ ò�óômõ ö"÷ ì�ÿæ ç ù ë;ì\ç û�� ø êèVù ú û ì\ø êêFù ú û � ê� çmø êè ù ú ûNüRù ë;ì\ç û ø êê ù ú û � � � ê� á�Þ ß ñ'ò�óômõ ö"÷ ÿ ç�ø��èVù ú ûNüRù ë_ì@ç û ø��êFù ú û� ç�ø êè�ù ú ûNüRù ë_ì@ç û ø êêFù ú û � êâ Þ Û�Ó�×_à�Ü Ú àÜ ß_Ü Î;Ü Ó�Ó�Ñ Ý�Ü Ï ß Ñ_ß à�Ï ß Ö�â Û�Þ��Ü �Ñ ÐGø è ù ú û Ï�Ð�ÝGø ê ù ú û Ö � á�Þ ß ñ'ò�óômõ ö Ü Î;Ó�Ï Ò�Ü Ó>á�ÓÃâ Û�ÞçHä}ç��_é ä ø êê�ù ú ûø êè ù ú ûNü ø êê ù ú ûÏ�Ð�Ýß à�Ñ��Ï�Õ á�Ñ Û â'ß à�Ñ Ó�Ï�Ò9Ü ÓIá�Ó þ á�Þ ß Û�Î Ü Î;Ü Î� á�Þ ß ñ'ò�óômõ ö� � ��� � ä � ø êèVù ú ûNü ø êê�ù ú û � ê� ø êèVù ú û ø êêFù ú û��

� Ñ ß ß Ü Ð��\ø è ù ú û Ï�Ð�Ý}ø ê ù ú û �Ï�Þ ÙRÏ�Î×FÑ Õ Õ Ö_ß à�Ñ Ó�Ï Ò�Ü Ó>á�Ó þ á�Þ ß Û�Î Ü Î�Ú Ï�Ð���Þ Û ×åÜ Ð�Ý�Ñ ØmÐ�Ü ß Ñ Õ Ù ù ß ÛÜ Ð9ØmÐ�Ü ß Ù û í������������� ���!" ë # Í$�Ñ Õ Õ Ï�Ð�Ñ Ý�Ï�Ö&%Gí Ö�'mÞ Ü Ñ Ý�Ó�Ï�Ð�Ö&(_í Ö&)_Û�Õ Ó�Ñ Î Ö�* í Ï�Ð�Ý ý Ï�Ó�Ô�Ñ Þ Ü&+Ií ù ë ,&,&- û (FÏ�Õ Ü ï�Þ Ï ß Ü Ð�� ð Û�Õ Ï�ß Ü Õ .Ü ß Ù ý á�Þ â Ï�Ú Ñ Î/�Ü Ï$*_Ñ Õ Ï ß Ü �Ñ . 0�Ð�ß Þ Û�Ô�Ù1%Ü Ð�Ü Ó�Ü 2 Ï ß Ü Û�Ð�í 3�Þ Ñ Ô�Þ Ü Ð�ß í&(FÛ�á�Þ Ï�Ð�ß�4 Ð�Î ß Ü ß á9ß ÑFÛ�â5%Ï�ß à6.Ñ Ó�Ï ß Ü Ú Ï�Õ ý Ú Ü Ñ Ð�Ú Ñ Î í57_Ñ ×98�Û�Þ þ;: Ð�Ü �Ñ Þ Î Ü ß Ù�í" æ #�<;Õ Ï�Ú þ Ö5'Fí�Ï�Ð�Ý ý Ú à�Û�Õ Ñ Î Ö/%Gí ù ë ,&- ÿ û= à�Ñ13�Þ Ü Ú Ü Ð��HÛ â?>"Ô9ß Ü Û�Ð�Î_Ï�Ð�Ý (FÛ�Þ ÔmÛ�Þ Ï ß Ñ � Ü Ï�ï�Ü Õ Ü ß Ü Ñ Î í@�A B6C D5E�F�A G$H$A F I J I K E�F�L$K A DMA N1O�P ë�Ö�Q ÿ - . Q&R�,9í" ÿ #�<;à�á�Ô�Ü Ð�Ý�Ñ Þ Ö�<"í ù ë ,�, P û 4 Ó�Ô�Õ Ü Ñ ÝS*_Ü Î þ . 7_Ñ á9ß Þ Ï�ÕM3�Þ Û�ï�Ï�ï�Ü Õ Ü ß Ù;+ Ñ Ð�Î Ü ß ÙS'má�Ð�Ú ß Ü Û�Ð�ÎFâ Þ Û�ÓT>"Ô6.ß Ü Û�Ð 3�Þ Ü Ú Ñ Î é>ÍU(FÑ Ð�ß Þ Ï�ÕV<;Ï�Ð þ 3'Ñ Þ Î ÔmÑ Ú ß Ü �Ñ�í/4 ÐXW A C Y K E Z J I D�[]\�A F E�J I F I J O^I DXJ _�Y W I D5E�D5K I E�F`aE�C b6Y J Z Ö;ë ÿ - . ë Q&-9íM0�Ý�Ü ß Ñ Ý ï�Ù � Ð�Ü ��à�ß ÖVc9í ÖVÏ�Ð�Ý ý Ï�ß Ú à�Ñ Õ Õ Ö ý í�<;á9ß ß Ñ Þ ×;Û�Þ ß à])_Ñ Ü Ð�Ñ Ó�Ï�Ð�Ð�í>_Ò9â Û�Þ Ý�í

" � #�<;Þ Ñ Ñ Ý�Ñ Ð�Ö�+Ií = ímÏ�Ð�Ý � Ü ß 2 Ñ Ð9ïmÑ Þ ��Ñ Þ Ö�* í ) í ù ë ,6- P û 3�Þ Ü Ú Ñ Î;Û â ý ß Ï ß Ñ . (FÛ�Ð�ß Ü Ð���Ñ Ð�ß$(FÕ Ï�Ü Ó�Î?4 Ó1.Ô�Õ Ü Ú Ü ß;Ü Ð^>"Ô9ß Ü Û�ÐS3�Þ Ü Ú Ñ Î í @�A B6C D5E�F�A G$d$B&Z I D5Y Z Z R9ë�Ö�Q�æ9ë . Q&R9ë�í" R #�<;Þ Ü ��Û�Ö +>í Ö Ï�Ð�Ýe%�Ñ Þ Ú á�Þ Ü Û9Ö�'Fí ù æ f&f�f�Ï û í Í"Ð�Ï�Õ Ù9ß Ü Ú Ï�Õ�Ó�Û9Ý�Ñ Õ Î�â Û�Þ5�Û�Õ Ï ß Ü Õ Ü ß Ù_Î Ó�Ü Õ Ñ Î�Ï�Ð�Ý Î þ Ñ ×_Î í<;Ï�Ð�Ú Ïg4 %^4FÜ Ð�ß Ñ Þ Ð�Ï�ÕNÞ Ñ ÔmÛ�Þ ß í

" Q�#�<;Þ Ü ��Û�Ö�+Ií ÖmÏ�Ð�Ý^%�Ñ Þ Ú á�Þ Ü Û9Ö�'Fí ù æ f&f�f�ï û í�ÍÊÓ�Ü Ò�Ñ Ý6. á�ÔÎ Ó�Ü Õ Ñ í�h I Z b ý Ñ Ô9ß Ñ Ó>ï�Ñ Þ Ö'ë æ ÿ . ë æ�Q9íë P

Page 19: Lognormal-mixture dynamics and calibration to market volatility smiles

i j k�lm n o o p q6r s�t�q�p u vMw x5y�q�z^{�p |�}5p m ~&p m v5�ex/� � ���&�&�$���6o n t�q^�Vm n � p u v5� �g��� n p zS�Vm n � pe�Vm t6� p u u p uy&q�z^�&o t6� ��y&u o n ���Vt&� y o n � n o ��x6�Vm p ��m n q�o x��/t�q�z�t&qSl?|�u n q�p u u��6� ��t6t�� x

i ��ke�?y&m m v��/x v��/y�m n v�w x�y�q�zS�5y&m n ����t��5t�|�� t&|g��xM� � ���&�&�?�?� t&u p zS��t�m �����6o n t�qg�?y�� |�y�o n t�q1�$n o ��6�gn � p u x��Vm p ��m n q&o x�{$y�o n t�q�u ly�q��ew^t�q&o ~�t&�gp m �^�6p � |�m n o n p u x

i ��ke�?t �5v�s6x5� � �&j&����{$t�o p uVt&q;���6o n t�qg�Vm n � n q�~�� ���?t�q�u o y&q�o�V� y�u o n � n o �1t��5�Vy&m n y�q�� p��n �M|�u n t�q�u x� t&m �&n q�~g��y��5p m x5�&o y&q6� t�m zS �q�n ¡&p m u n o ��x

i � ¢�ke�?t �5v�s6x$y�q�z�£$t�u u^��xe� � �6j ¤6�g���p^�?y�� |�y�o n t�q¥t �g���6o n t�q�u;� t�mS�$� o p m q�y o n ¡&pa�&o t6� ��y&u o n ��Vm t6� p u u p u x/¦�§ ¨6© ª�«�¬�§ ­�®V¯ ª�«�ªM° ¯ «�¬�±$° § ªM§ ²1¯ ° ³´6vM� µ6� r � ¤&¤6x

i ��� k���p m �gy&q5v��x�y&q�zS¶�y&q�n v�� x/� � ���&µ&�?£$n z�n q�~1t�q^yg�6�gn � p�x�·¯ ³ ¸���p }�m |�y�m �&v�´&¹ r ´&�6xi � ¹ k���p m �gy&q5vV�x�y&q�zX¶�y&q�n vV� x$� � �&���6�e�&o t6� ��y�u o n �;� �g��� n p zX�/m p p u �S��m }�n o m y�~&pg�Vm n � n q�~S�$n o �

�&o t6� ��y&u o n �$�/p m �Uy�q�zS�&o m n ��p��&o m |�� o |�m p$t��5�?t�� y�o n � n o �&x&º ª�» ¼ © ª5«�» ¯ § ª�«�¬�¦�§ ¨6© ª5«�¬M§ ­g½5¾�¼ § © ¼ » ¿¯ ° «�¬/«�ª5À1Á?Â&Â�¬ ¯ ¼ À1®V¯ ª5«�ª5° ¼$�&v�¤6� r �&� ¢�x

i � ´�k���|���n m p v�l$x/� � ���&µ&�?�Vm n � n q�~1�$n o �Syg�6�gn � p�x�·¯ ³ ¸es�y�q6|�y�m �&vM� ��r ¹�¢6xi � µ�k���|���n m p vMl$xV� � �&�&j&��Vm n � n q�~gy&q�z Ã$p z�~�n q�~g�$n o �a�6�gn � p u x5Äa«�» ¾�¼ ²g«�» ¯ ° ³g§ ­�Å1¼ © ¯ Æ�«�» ¯ Æ�¼eÇM¼ ¿

° ¨6© ¯ » ¯ ¼ ³ v/p z�n o p z }&�awax �ex ÃexM��p �g��u o p m�y&q�za��x £�xM�V� n u � y6v/�?y&�e}�m n z�~&p1 $q�n ¡&p m u n o � �Vm p u u v�?y&�e}�m n z�~&p vM� ¢&´ r ���&��x

i � � keÈ�|�t6ve�$xe� � ���&�&�S���6o n t&q��Vm n � n q�~X�$n o �9Ã$p o p m t&~�p q�p t&|�u^���6�5p � o y o n t&q�u xS½5¾�¼^®V¯ ª5«�ª5° ¯ «�¬·$¼ Æ ¯ ¼ Éa´&´6v��6� r �6¹&x

i � ¤�k�Ã�p u o t&q5v6��x�� � �&��´6�M�¥�?� t&u p z1��t&m �Ê�6t�� |6o n t&q�� t�mV���6o n t�q�u/�$n o �1�&o t6� ��y&u o n �V�Vt&� y o n � n o �$�$n o �������� n � y�o n t�q�u/o t�l?t&q�z1y&q�zg�?|�m m p q�� �;���6o n t&q�u x6·$¼ Æ ¯ ¼ É˧ ­?®V¯ ª�«�ªM° ¯ «�¬�Ç�» ¨�À�¯ ¼ ³�¤�v&´6¹�j r ´&µ�´�x

i � j k�Ã�|�� � v$s6x?y�q�z � ��n o p�v�ex�� � �&�&j&�1���p^�Vm n � n q�~Xt �e���6o n t&q�ugt�q¥�$u u p o ug�$n o �¥�&o t6� ��y&u o n ��?t�� y�o n � n o n p u x�¦�§ ¨6© ª5«�¬/§ ­�®V¯ ª�«�ªM° ¯ «�¬M«�ª5À^Ì?¨�«�ª�» ¯ » «�» ¯ Æ�¼�Á$ª5«�¬ Í ³ ¯ ³´6v5¹��6� r ´&¢�¢�x

i � ��kes�y&� ���p m o �5v6s6x �$x y&q�z�£$|�}�n q�u o p n q5v�wax6� � �&��¤6�5£$p � t ¡&p m n q�~��Vm t�}�y&}�n � n o ����n u o m n }�|6o n t�q�u�� m t&����6o n t&qS�Vm n � p u xM¦�§ ¨6© ª�«�¬�§ ­$®V¯ ª5«�ª5° ¼$�&�&v5� ¤6�&� r � ¤&´6�&x

i � ��kew^p � n � ��v � x £�x vVy&q�zX���t��gy&u vV�$x �/x� � �&�&j&��£$p � t ¡&p m n q�~ y�qX��u u p o Î u1� �g��� n p za�V���¥� m t&����6o n t&q¥�Vm n � p u �Ë��q�������� n � y�o n t�qËo tË�?m |�z�p]��n ����|�m n q�~Xo ��pXÈ�|�� �g�?m n u n u x�¦�§ ¨6© ª�«�¬e§ ­®V¯ ª5«�ª5° ¯ «�¬M«�ª5À^Ì?¨�«�ª�» ¯ » «�» ¯ Æ�¼�Á$ª5«�¬ Í ³ ¯ ³´&¹6v���� r �����&x

i ¹ ¢�kew^|�u n p � y�v5w x�y&q�zS£$|6o ��t �$u �6n v5wax/� � �&���6�wSy&m o n q�~�y&� p�wSp o ��t6z�u$n qS��n q�y�q�� n y��Mw^t6z�p � � n q�~�x�6��m n q�~&p m x�lp m � n q5x

i ¹&� k��Vm n ~&p q&o v�s6x �VvM£$p q�y�|�� o1�exMy�q�zX�6� y�n � � p o��ex?� ¹ ¢&¢�¢6�$�$qa��|6o t�m p ~�m p u u n ¡&p;�?t�q�z�n o n t&q�y���l?n rq�t&�gn y��M���6o n t&qS�Vm n � n q�~gw^t6z�p � x��Vm p ��m n q&o x� $q�n ¡&p m u n o6Ïp�z�pe�?p m ~���x

i ¹�¹ k�£$n o � ��p ��v�£�x s6x?� � �&��¢6���?y�� �?���6o n t�q �?y�� |�y�o n t�q^� t&m���n u � m p o pg{$t&m �gy��Vw^n �&o |�m p u xV¦�§ ¨6© ª5«�¬§ ­�®V¯ ª�«�ªM° ¯ «�¬�·$¼ ³ ¼ «�© ° ¾;� ´6v5¹ �6� r ¹ �&¤6x

� �

Page 20: Lognormal-mixture dynamics and calibration to market volatility smiles

Ð Ñ Ò�Ó�Ô$Õ�Ö�× Ø�Ù Ú Û × Ø5Ü�ÝaÞ/ß à á&á�â6ã?ä ågæ�ç × Û è;é× Ø�ê�åg× ë&ç�ì/í Û Û Ù Þ/î�ï ð6ñ ò�ó�ô�ï õ$öV÷ ò5ó�ò5ø ù?â&á6Ü5ú�ú6à û ü6à ü6ÞÐ Ñ â�Óeý6þ�× ågÿ�ê�Ü��1ÞMß à á�á&Ò&ã?éê�Õ�Ø�è�Ù$ê ���Ví ê&Ö�ë�Ö�× ç × Ú ��Þ��$÷ � ��æ�í × ç Ü�Ò�Ò�û Ò6ú&ÞÐ Ñ � Ó�ì/ê&ågæ�ÿ&× Ø�Ù Ü�Ô�Þ �eÞ/ß Ñ � ����ë6ã?ý&Ú ê�� ÿSä Ø�è�Û ����Õ6Ú Õ�í Û Ù�ÝSë&í ÿ�Û Ú Ù �$ý&Ú ê�� þ�ë�Ù Ú × ���?ê�ç ë�Ú × ç × Ú �;Ý^ê6è�Û ç Ù

ë&Ø�è^ý6åg× ç Û Ù Þ��Ví Û æ�í × Ø&Ú Þ���Û æ�ë�í Ú ågÛ Ø�Ú$ê ����× Ø�ë�Ø�� Û Þ���× Û Ø�Ø�ë��$Ø�× �&Û í Ù × Ú �Sê ��ì/Û � þ�Ø�ê&ç ê � ��ÞÐ Ñ ��Ó�ì/ê&ågæ�ÿ&× Ø�Ù Ü&Ô�Þ �1Þ6ß Ñ ��� �&Ö�ã���× ��Û èeä Ø�� ê�ågÛ���Õ6Ú Õ�í Û Ù�Ý^ë�í ÿ�Û Ú Ù �Vý&Ú ê�� þ�ë�Ù Ú × ���Vê&ç ë Ú × ç × Ú ��Ý^ê6è�Û ç Ù

ë&Ø�è^ý6åg× ç Û Ù Þ��Ví Û æ�í × Ø&Ú Þ���Û æ�ë�í Ú ågÛ Ø�Ú$ê ����× Ø�ë�Ø�� Û Þ���× Û Ø�Ø�ë��$Ø�× �&Û í Ù × Ú �Sê ��ì/Û � þ�Ø�ê&ç ê � ��Þ

Ñ �