Logistic Regression

Jonathan Harrington

Befehle: logistic.txt

1. Logistic Regression: allgemeine Einführung

Dalgaard, P. (2002) Introductory Statistics with R. Insbesondere Kap. 11

D. Cook, P. Dixon, W. M. Duckworth, M.S. Kaiser, K. Koehler, W. Q. Meeker and W. R. Stephenson. Binary Response and Logistic Regression Analysis.

http://www.faculty.sbc.edu/bkirk/Biostatistics/course%20documents%20for%202006/Logistic%20Regression%20Analysis.doc

Literatur

Baayen, R.H. Analyzing Linguistic Data: A practical introduction to Statistics. S. 213-234

Johnson, Keith (in press). Quantitative Methods in Linguistics. Blackwell. Kapitel 5.

Verzani, J. (2005). Using R for Introductory Statistics (Ebook ueber die LMU UB). Kapitel 12

1. Logistic Regression: allgemeine Einführung

Mit logistic Regression wird eine Regressionslinie an Proportionen angepasst.

Aus verschiedenen Gründen kann jedoch die lineare (least-squares) Regression nicht auf Proportionen angewandt werden.

Vor allem liegen Proportionen zwischen 0 und 1 während lineare Regression keine solchen Grenzen kennt (und daher könnte ein lineares Regressionsmodell Proportionen unter 0 oder über 1 vorhersagen).

Außerdem wird in der linearen Regression eine konstante Varianz angenommen; jedoch kann bewiesen werden, dass je höher der Proportionsdurchschnitt, umso größer die Varianz.

Diese (und andere) Probleme können überwunden werden:

1. wenn log-odds statt Proportionen modelliert werden

2. Durch Einsetzung von 'maximum likelihood' anstatt 'least squares'.

1. Logistic Regression: allgemeine Einführung

y = mx + b

logodds(y) = mx + bLeast-squares Regression

Logistic Regression

Es wird nicht angenommen, dass die Werte Stichproben aus einer Normalverteilung sind.

Ein Vorteil von logistic Regression:

Einige Daten

high low1950 30 51960 18 211971 15 261980 13 201993 4 322005 2 34

In 1950 produzierten 30 Sprecher /lo:st/ und 5 /lɔst/.

jahr = as.numeric(rownames(lost))jahr = jahr - 1950

lost

Log-odds

p q=1-p Odds = p/q Log-Odds = log(p/q)

0.8 0.2 log(4) = 1.39

0.5 0.5 1 0

4

bedeutet 4:1 (wie im Pferderennen). Die Wahrscheinlichkeit vom Erfolg (p) ist 4 Mal so groß wie Scheitern (q)

p: Proportion 'Erfolg'. lo:st lɔst

32 8

n

40

p

0.8

(prop. lOst)(prop. lo:st)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-4-2

02

4Die Logit-Funktion

p (Erfolg)

Log-

odds

log(

p/(1

-p))

Log-odds also log (p/q) als Funktion von p

Log-odds haben Werte zwischen ±∞

Log-odds

2. Anwendung der logistic Regression in R: glm()

Das Ziel: nach der Anwendung von logistic Regression geben wir einen beliebigen Jahrgang ein, und das Modell soll uns die Proportion von /lo:st/ vorhersagen. zB Eingabe 1962, Proportion (lo:st) = ?

Jahr ist daher in diesem Fall die unabhängige Variable, Proportion von /lo:st/ die abhängige Variable.

Mit logistic Regression ist die abhängige Variable immer ein kategorialer Wert von 2 Möglichkeiten: ja oder nein, rot oder grün, 0 oder 1, weiblich oder männlich, wach oder eingeschlafen, /lo:st/ oder /lɔst/, Erfolg oder Scheitern, usw.

g = glm(lost ~ jahr, binomial)

Ergebnis: ein Log-Odd pro Jahr

unabhängige Variable (der Jahrgang)

bedeutet: logistic Regression ('binomial' weil wie in der binomialen Verteilung wir mit 2 Werten (ja/nein, Erfolg/Scheitern zu tun haben).

wird modelliert durch

Abhängige Variable

Eine 2-spaltige Matrix: Anzahl von 'ja' und 'nein' (hier /lo:st/ und /lOst/)

lost high low1950 30 51960 18 211971 15 261980 13 201993 4 322005 2 34

Da die Ausgabe der Regression in log-odds ist, müssen wir die Proportionen ebenfalls umwandeln, wenn wir die Regressionslinie sehen wollen.

Die vorhergesagten Werte überlagern

text(jahr, predict(g), "x", col=3)

Eine Abbildung der Daten in diesem Raum:

# Proportion von /lo:st/ berechnenp = lost[,1]/apply(lost, 1, sum)# log-oddslodd = log(p/(1-p))plot(jahr, lodd, type="b")# Regressionslinie überlagernabline(g, col=2)

0 10 20 30 40 50

-3-2

-10

1

jahr

lodd

x

x

x

x

x

x

3. Abbildung der Regressionslinie

neuerwert = data.frame(jahr = 12)ergebnis = predict(g, neuerwert, se.fit=T)ergebnis$fit

Vorhersage: Wert für 1962

abline(h=ergebnis$fit, lty=2, col="blue")

Wir können durch die Transformation (2) die Regressionslinie auch in einem Raum von Jahr x Proportionen abbilden.

Von Proportionen in log-odds

Von log-odds zurück in Proportionen

)1

log(p

pL

L = log(p/(1-p))

L

L

e

ep

1

p = exp(L)/(1+exp(L))

[1] 1.386294

[1] 0.8

Abbildung der Regression

(1)

(2)

p = 0.8

curve(exp(m*x + k)/(1+ exp(m*x+k)), xlim=c(0, 60), add=T, col=2)

# Regression überlagern

# Proportionen von /lo:st/ berechnen

p = lost[,1]/apply(lost, 1, sum)

plot(jahr,p)

# Abbildung Jahr x Proportionen

Die Regression

)(

)(

1 kmx

kmx

e

ey

coef(g)(Intercept) jahr

1.10432397 -0.07026313 k = coef(g)[1]m = coef(g)[2]

Abbildung: Jahr x Proportionen

und die vorhergesagten Werte liegen wieder auf der Linie:

vorher = predict(g)text(jahr, exp(vorher)/(1+exp(vorher)), "x", col=3)

0 10 20 30 40 50

0.2

0.4

0.6

0.8

jahr

p

x

x

x

x

xx

Abbildung Jahr x Proportionen

4. Anwendung der logistic Regression auf die Berechung einer perzeptiven Grenzen zwischen Kategorien

Experiment. Anhand der Sprachsynthese wurde ein F2-Kontinuum in 11 Schritten synthetisiert. 5 Vpn. (L1-Englisch) mussten zu jedem Stimulus mit "I" oder "U" antworten. Bei welchem F2-Wert liegt die Grenze zwischen den Vokalen? Die Anzahle der Bewertungen ist hier:

u i2311 0 52176 0 52023 0 51885 0 51770 0 51667 0 51548 2 31437 4 11351 5 01269 5 0

Bei F2 = 1437 Hz gab es 4 Urteil für "U", ein Urteil für "I"

ui

Ein Vektor von Proportionen p = ui[,1]/apply(ui, 1, sum)

p2311 2176 2023 1885 1770 1667 1548 1437 1351 1269 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.4 0.8 1.0 1.0

Bei 1437 Hz waren 80% der Urteile "U" (und daher 20% "I")

Eine Abbildung von F2 als Funktion dieser Proportionen

f2werte = as.numeric(rownames(ui))plot(f2werte, p, ylab="Proportion /u/ Urteile", xlab="F2 (Hz)")

Eine logistische Regression an diese Werte anpassen

logui = glm(ui ~ f2werte, family=binomial)Die Urteile aus den F2-Werten vorhersagen

Mit der Methode auf S. 13-14 die logistische Regressionskurve überlagern

m = coef(logui)[2]k = coef(logui)[1]

curve(exp(m*x + k)/(1+ exp(m*x+k)), xlim=c(1200, 2400), add=T, col=2)

Die Koeffiziente

Die logistische Regressionskurve

Die 50% Grenze (Umkipppunkt)Die 50% Grenze (Umkipppunkt)

= zu welchem F2-Wert, ist ein Urteil für "I" genauso wahrscheinlich wie ein Urteil für "U"?

)(

)(

1 kmx

kmx

e

ey

Es kann bewiesen werden, dass dies mit

-k/m in dieser Formel

gegeben wird (in diesem Beispiel ist y die Proportion, p, und x ist F2werte)

-k/m

1516.723

abline(v=-k/m, lty=2, col="blue")

Lineare Regression: R2 oder adjusted R2 und ein F-testLogistic Regression: G2 und ein 2-test.

G2 = Null deviance – residual deviance

Für ein signifikantes Ergebnis wollen wir daher, dass Null deviance hoch und Residual deviance klein ist.

wenn dieser Wert 0 wäre, dann wären alle Proportionen in allen Jahren gleich (und die Regressionslinie wäre horizontal)

je höher dieser Wert, umso unwahrscheinlicher ist es, dass die Werte überhaupt durch die Regression modelliert werden können.

5. Signifikanz-Test

Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Proportion von /lo:st-lɔst/ durch den Jahrgang vorhergesagt werden kann?

69.3634 - 8.2422 [1] 61.1212

G2 = Null deviance - residual deviance

summary(g)

Null deviance: 69.3634 on 5 degrees of freedomResidual deviance: 8.2422 on 4 degrees of freedom

…

Der Test mit anova() ist ob G2 signifikant von 0 abweicht:

anova(g, test="Chisq")

Df Deviance Resid. Df Resid. Dev P(>|Chi|)NULL 5 69.363 jahr 1 61.121 4 8.242 5.367e-15

Die Proportionen folgen einem Trend (2(1)=61.2, p < 0.001)

g = glm(lost ~ jahr, binomial)

6. Zwei unabhängige Variablen.

Hier sind genau dieselben Daten aber zusätzlich nach männlich-weiblich aufgeteilt.

female lost 1950 1960 1971 1980 1993 2005n n 16 9 8 8 4 1y n 14 9 7 5 0 1n y 0 6 10 7 10 15y y 5 15 16 13 22 19

lost high low1950 30 51960 18 211971 15 261980 13 201993 4 322005 2 34

In 1971 waren 26 Tokens [lost] und 15 [lo:st]

von diesen 26 waren 10 von Männern und 16 von Frauen erzeugt.

8M, 7F

(a) Gibt es einen Trend? Also weniger [lo:st] in späteren Jahren?

(b) Ist die Proportion [lost]/[lo:st] in M und F unterschiedlich verteilt?

female lost 1950 1960 1971 1980 1993 2005n n 16 9 8 8 4 1y n 14 9 7 5 0 1n y 0 6 10 7 10 15y y 5 15 16 13 22 19

Dies ist ein Problem der mehrfachen Logistic Regression:

logodds (lo:st) = b0 + b1year + b2Geschlecht

(also in diesem Fall eine Linie im 3D-Raum)

Geschlecht

Year

logodds(lo:st)

Und eine gerade Linie in einem 3D-Raum

(b0 ist das Intercept,b1 und b2 die Neigungen)

pfad = "das Verzeichnis wo ich lost2.txt gespeichert habe"lost2 = as.matrix(read.table(paste(pfad, "lost2.txt", sep="/")))

high low0.0 16 010.0 9 621.0 8 1030.0 8 743.0 4 1055.0 1 150.1 14 510.1 9 1521.1 7 1630.1 5 1343.1 0 2255.1 1 19

M

W

195019601971198019932005195019601971198019932005

}}

high = Spalte 1 = /lo:st/

low = Spalte 2 = /lOst/

Daten-Vorbereitung

J = c(jahr, jahr)

G = c(rep(0, 6), rep(1, 6))

J

G

[1] 0 10 21 30 43 55 0 10 21 30 43 55

[1] 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1

Zuerst eine Abbildung…

p = lost2[,1]/apply(lost2, 1, sum)

interaction.plot(J, G, p)

0.0

0.4

0.8

J

me

an

of

p

0 10 21 30 43 55

G

mf

Nimmt die Proportion von /lo:st/ in späteren Jahren ab? (Die Unterschiede zwischen m und f ignorieren).

Ja Nein Vielleicht

Unterscheiden sich m und f in der Proportion von /lo:st/? (Die Unterschiede in den Jahrgängen ignorieren).

Ja Nein Vielleicht

Modell berechnen…

mehrg = glm(lost2 ~ J + G, binomial)

g2 = glm(lost2 ~ J, binomial)

anova(g2, test="Chisq")

Analysis of Deviance TableDf Deviance Resid. Df Resid. Dev P(>|Chi|)

NULL 11 89.557 year 1 61.121 10 28.436 5.367e-15

Wenn wir übrigens G weglassen, dann müssten wir trotz der anderen Aufteilung der Daten das gleiche Ergebnis wir vorhin bekommen:

Coefficients:(Intercept) J Gm 1.87754 -0.07524 1.20282 Degrees of Freedom: 11 Total (i.e. Null); 9 ResidualNull Deviance: 89.56 Residual Deviance: 15.61 AIC: 51.51

logodds(lo:st) = 1.87754 - 0.07524J+ 1.20282G

mehrg = glm(lost2 ~ J + G, binomial)

anova(mehrg, test="Chisq")

Df Deviance Resid.Df Resid. Dev P(>|Chi|)NULL 11 89.557 J 1 61.121 10 28.436 5.367e-15G 1 12.822 9 15.613 3.425e-04

M und F unterscheiden sich in der Proportion von lo:st/lOst, 2(1) = 12.82, p < 0.001

Die Proportion von 'lo:st' nimmt in späteren Jahren ab, 2(1) = 61.12, p < 0.001.

mehrg

Mit 2 oder mehr Variablen soll auch geprüft werden, ob sie miteinander interagieren.

Eine Interaktion zwischen den unabhängigen Variablen – in diesem Fall Geschlecht und Jahrgang – liegt vor, wenn sie eine unterschiedliche Wirkung auf die abhängige Variable ausüben wie in 1 und 2, aber nicht in 3 und 4

7. Die Interaktion zwischen 2 Variablen

1950 2000

prop(lo:st)

1950 2000 1950 2000 1950

2000

prop(lo:st) prop(lo:st) prop(lo:st)

1 2 3 4

m

f

Wenn eine Interaktion vorliegt, dann können signifikante Ergebnisse in einer der unabhängigen Variablen nicht uneingeschränkt akzeptiert werden.

zB wenn eine Interaktion vorkommt, gibt es vielleicht eine Wirkung von Jahrgang auf die Proportion von /lo:st/ nur in Männern aber nicht in Frauen usw.

Die Interaktion zwischen 2 Variablen0.

00.

20.

40.

60.

81.

0

year

mea

n of

p

0 10 21 30 43 55

geschl

mf

dies scheint aber hier nicht der Fall zu sein.

Die Interaktion zwischen 2 unabhängigen Variablen, A und B, kann in R mit A:B geprüft werden.

Daher in diesem Fallg = glm(lost2 ~ J + G + J:G, binomial)

Eine Abkürzung dafür (und mit genau demselben Ergebnis)

g = glm(lost2 ~ J * G, binomial)

Die Interaktion zwischen 2 Variablen

anova(g, test="Chisq")

Df Deviance Resid. Df Resid. Dev P(>|Chi|)NULL 11 89.557 J 1 61.121 10 28.436 5.367e-15G 1 12.822 9 15.613 3.425e-04J:G 1 0.017 8 15.596 0.896

d.h. die Interaktion ist nicht signifikant und J:G kann aus dem Regressionsmodell weggelassen werden.

Start: AIC= 53.49 lost2 ~ J * G Df Deviance AIC- J:G 1 15.613 51.506<none> 15.596 53.489

Df Deviance AIC<none> 15.613 51.506- G 1 28.436 62.328- J 1 80.018 113.910

Wir bleiben also beiCall: glm(formula = lost2 ~ J + G, family = binomial)

Residual Deviance: 15.61 AIC: 51.51

library(MASS)

stepAIC(g)

Dies wird auch durch stepAIC() bestätigt:

AIC wird kleiner wenn wir J:G weglassen

Weitere Folien zum Durchlesen...

Aus dem vorigen Beispiel wird auch klar, dass ähnlich wie 2 Logistic Regression angewandt werden kann, auch wenn die Gruppe nur aus 2 Ebenen besteht.

Gibt es einen signifikanten Unterschied zwischen M und F?

gmf = glm(lost2 ~ G, "binomial")

anova(gmf, test="Chisq")

Df Deviance Resid. Df Resid. Dev P(>|Chi|)NULL 11 89.557 G 1 9.539 10 80.018 0.002

M und F unterscheiden sich in der Proportion von lo:st/lOst (2(1) = 9.5, p < 0.002).

8. Logistic Regression und zwei Ebenen

high low0.0 16 010.0 9 621.0 8 1030.0 8 743.0 4 1055.0 1 150.1 14 510.1 9 1521.1 7 1630.1 5 1343.1 0 2255.1 1 19

m = apply(lost2[1:6,], 2, sum)f = apply(lost2[7:12,], 2, sum)mf = rbind(m, f)rownames(mf) = c(0, 1)colnames(mf) = c("high", "low")mf

Wir bekommen dasselbe Ergebnis wenn Logistic Regression auf die entsprechende Tabelle angewandt wird:

lost2

l.mf = c(0,1)

gmf2 = glm(mf ~ l.mf, "binomial")

anova(gmf2, test="Chisq")

high low0 46 481 36 90=

(kodiert nur nach M und F)

und man bekommt dann fast das gleiche Ergebnis mit einem 2-Test, der direkt auf die Tabelle angewandt wird:

chisq.test(mf)

Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction

data: mf X-squared = 8.6985, df = 1, p-value = 0.003185

Ein 2-Test kann jedoch nicht verwendet werden, bei einer Gruppenanzahl von > 2 …

Haben (a) Alter und (b) Geschlecht einen Einfluss auf die Proportion von /lo:st/?

Hier sind dieselben Daten aufgeteilt in 2 Altersgruppen sowie M/F

Gruppe 1 = Vokal = high/lowGruppe 2 = Geschl = M/F (=0/1)Gruppe 3 = Alter = alt/jung

3 Gruppen jeweils 2 Ebenen

high lowalt.0 43 35alt.1 30 15jung.0 3 13jung.1 6 75

lost3

Zuerst eine Abbildung

high lowalt.0 43 35alt.1 30 15jung.0 3 13jung.1 6 75

# Alter kodierenA = c(0, 0, 1, 1)# Geschlecht kodierenG = c(0, 1, 0, 1)

prop = lost3[,1]/apply(lost3, 1, sum)

interaction.plot(A, G, prop)

im Geschlecht?

ja nein

Signifikanter Einfluss auf lo:st/lOst?

im Alter? vielleicht

ja nein vielleicht

Interaktion zwischen A und G? ja nein vielleicht

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

A

mea

n of

pr

op

0 1

G01

g = glm(lost3 ~ A * G, binomial)

anova(g, test="Chisq")

Df Deviance Resid. Df Resid. Dev P(>|Chi|)NULL 3 67.758 A 1 64.452 2 3.306 9.893e-16G 1 0.398 1 2.908 0.528A:G 1 2.908 0 -4.441e-16 0.088

Es gab einen signifikanten Einfluss vom Alter (2(1)=64.2, p < 0.001) aber nicht vom Geschlecht auf die Proportion von /lo:st/. Die Interaktion zwichen Alter und Geschlecht war nicht signifikant (p > 0.05).