logique table des mati eres - montefiore institute 2011-02-22آ  la logique tient une part...

LOGIQUE

Cours de deuxième année de bachelier en Philosophie

P. Gribomont

2003-2008

Table des matìeres

1 Introduction 3 1.1 Enseigner la logique formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 3

1.1.1 Quelques atouts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Quelques problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.1.3 Quelques solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.4 Digression : Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

1.2 Qu’est-ce que la logique ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 7 1.2.1 La logique des propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8 1.2.2 La logique prédicative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9

1.3 Trop simple, la logique ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 10 1.4 Logique et mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 11

2 Logique propositionnelle : syntaxe et śemantique 13 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

2.1.1 Généralités sur les propositions . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 13 2.1.2 Généralités sur les connecteurs . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 15 2.1.3 Les connecteurs vérifonctionnels . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 18 2.1.4 Les connecteurs usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

2.2 Digression : la récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 20 2.2.1 Les nombres naturels, de la “définition” à l’axiomatisation . . . . . . . 20 2.2.2 La récurrence et sa justification . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 21 2.2.3 Utiliser la récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 22 2.2.4 Un usage incorrect de la récurrence . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 24 2.2.5 Récurrence non numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 24

2.3 Syntaxe du calcul des propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 24 2.3.1 Les règles de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.2 Les règles simplificatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 26 2.3.3 Les notations polonaises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26 2.3.4 Formules et sous-formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27 2.3.5 Exemples de récurrence non numérique . . . . . . . . . . . .. . . . . 27

2.4 Sémantique du calcul des propositions . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 27 2.4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4.2 Les connecteurs naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30 2.4.3 Formalisation d’un texte en langage naturel . . . . . . . .. . . . . . . 31 2.4.4 Logique et arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32

2.5 Relation de conséquence logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 32 2.5.1 Consistance et validité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 33 2.5.2 Conséquence logique, équivalence logique . . . . . . .. . . . . . . . 34 2.5.3 Echange et substitution uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 36

2.6 Quelques théorèmes sémantiques . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 43 2.6.1 Interpolation et définissabilité . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 43 2.6.2 Théorème de compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45

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3 Procédures de d́ecision analytiques 49 3.1 La méthode des tables de vérité . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 49 3.2 Les tableaux sémantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 50

3.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2.2 Technique de construction du tableau . . . . . . . . . . . . . .. . . . 51 3.2.3 Propriétés de la méthode des tableaux sémantiques . . . . . . . . . . . 55 3.2.4 Digression : le mouvement et le changement . . . . . . . . . .. . . . 55 3.2.5 Adéquation et complétude de la méthode des tableaux sémantiques . . 57 3.2.6 Ensembles de Hintikka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.3 La méthode analytique des séquents . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 58 3.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.3.2 Interprétation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58 3.3.3 Propriétés de la méthode des séquents . . . . . . . . . .. . . . . . . . 60 3.3.4 Extension d’écriture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 60 3.3.5 Règles réversibles, règles analytiques et synth´etiques . . . . . . . . . . 60 3.3.6 Différences entre conditionnel et séquent . . . . . . .. . . . . . . . . 61 3.3.7 Tableaux signés vs. séquents . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 62

3.4 Le raisonnement automatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 62 3.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.4.2 Digression : Leibniz et le raisonnement automatisable . . . . . . . . . 63 3.4.3 Automatiser la logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63 3.4.4 Cubes, clauses et formes normales . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 64 3.4.5 Clauses de Horn et ensembles de Horn . . . . . . . . . . . . . . . .. . 65 3.4.6 L’algorithme de résolution unitaire . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 66 3.4.7 La programmation logique propositionnelle . . . . . . . .. . . . . . . 68 3.4.8 Prolog propositionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 69

3.5 Quelques exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 70 3.5.1 Argumentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.5.2 Analyse de formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.5.3 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.6 La méthode de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 79 3.6.1 Formes normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.6.2 La règle de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 83 3.6.3 Complétude de la méthode de résolution . . . . . . . . . .. . . . . . . 84 3.6.4 Procédure de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 87

3.7 Exercice de récapitulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 89 3.7.1 Méthode directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.7.2 Méthode algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90 3.7.3 Tableau sémantique (notation réduite) . . . . . . . . . .. . . . . . . . 90 3.7.4 Réduction à la forme conjonctive . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 91 3.7.5 Résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.7.6 Résolution généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 92 3.7.7 Méthodead-hoc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

ii

4 Méthodes d́eductives : le syst̀eme de Hilbert 94 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94 4.2 Axiomes et règle d’inférence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 95 4.3 Preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.4 Dérivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97 4.5 Quelques résultats utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 98

4.5.1 Principes de composition et de substitution uniforme. . . . . . . . . . 98 4.5.2 Règles d’inférence dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 98

4.6 Règle de déduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 99 4.6.1 Adéquation de la règle de déduction . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 99

4.7 Théorèmes et règles dérivées supplémentaires . .. . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.7.1 Théorèmes supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 100 4.7.2 Quelques autres règles dérivées . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 102

4.8 Adéquation et complétude du système de Hilbert . . . . .. . . . . . . . . . . 103 4.8.1 Adéquation du système de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 103 4.8.2 Lemme de Kalmar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.8.3 Démonstration du lemme de Kalmar . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 104 4.8.4 Complétude du système de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 105

5 Logique prédicative : syntaxe et śemantique 106 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106 5.2 Syntaxe du calcul des prédicats simplifié . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 108

5.2.1 Lexique, termes et formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 108 5.2.2 Portée des quantificateurs, variable libre, variable liée . . . . . . . . . . 109 5.2.3 Fermetures universelle et existentielle . . . . . . . . . .. . . . . . . . 111

5.3 Sémantique du calcul des prédicats . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 111 5.3.1 Interprétations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111 5.3.2 Règles d’interprétation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 111 5.3.3 Capture de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.3.4 Satisfaction, modèle . . . . . . . . . . . . .