Logikai egypercesekAz elme jtkai

Bevezet?A testnek?A lleknek?Az elmnek?Vajon mi a helyes megfejts?Kzel 90 feladvny szolglja az elme jtkt s szrakoztat csiszolst e ktetben, melyek meg-

oldshoz brki btran hozzfoghat. A feladatokat nehzsgk szerint hrom csoportba soroltuk, me-lyek jellsei megtallhatak minden egyes feladvny mellett.

Ezen kpecskvel jellt feladatokba... kezd?k is belevghatnak, a feladatok a figyelemre, a logikai kszsg felpezsdtsre

alapoznak, s ltalban mell?zik a matematikai m?veletek alkalmazst.

Ezen kpecskvel jellt feladatokba btran belevghatnak mindazok, akik rendelkeznek valamelyes matematikai jrtas-

sggal, logikjukat akr a htkznapi let, akr valamely jtk keretben edzegetik.

Ezen kpecskvel jellt feladatokba... a komoly kihvst keres?k vgjk bele fejszjket, ezek megoldshoz valamilyen

eredeti tlet, meglts s biztos matematikai tuds szksgeltetik.

Minden fejezet vgn megtallhatak az adott fejezetbe tartoz feladatok megoldsai. A megold-sokat tbbnyire olyan rszletessggel adtuk meg, hogy knnyen megrthet?ek s megemszthet?eklegyenek mindenki szmra.

Kellemes id?tltst kvnnak a szerkeszt?k!

rkny Istvn egyperces novellihoz hasonlan ezeknek a feladvnyoknak is el?nyk, hogy azember id?t sprol velk, mert nem ignyelnek hossz hetekre-hnapokra terjed? figyelmet.

Amg a lgytojs megf?, amg a hvott szm (ha foglaltat jelez) jelentkezik, olvassunk el egy Egy-perces Novellt.

Rossz kzrzet, zaklatott idegllapot nem akadly. Olvashatjuk ?ket lve s llva, szlben s es?-ben vagy tlzsfolt autbuszon kzlekedve. A legtbbje jrkls kzben is lvezhet?!

()Figyelem!Aki valamit nem rt, olvassa el jra a krdses rst. Ha gy sem rti, akkor a novellban a hiba.Nincsenek buta emberek, csak rossz Egypercesek!

rkny Istvn: Hasznlati utasts

Mindennapi fejtegetsekVegyes, a mindennapokbl - s termszetesen a mindennapokat megf?szerez?, klnleges hely-

zetekb?l, tvoli vidkekr?l - mertett tletes feladatok gy?jtemnye ez a fejezet.

Mi volt a kdi tancsa?A sejk hallos gyn fekszik, s hvatja kt fit, hogy elmondja nekik a vgrendelett,

mely szerint kincseit a kzeli ozisban rejtette el. gy rendlelkezett, hogy fiai egytt indulja-nak el, s akinek a tevje ks?bb r az ozisba, az legyen az egsz kincs. Miutn apjukmeghalt, a kt fi nagy tanakodsba merlt. Mindegyik magnak szerette volna megszereznia kincset, de hogyan jusson tevje a msiknl ks?bb az ozisba? Hiszen ha pldul valamelyikk asivatagban letborozik, akkor a msik is azt teszi - s a vgn mindketten szomjan halnak.

Elmentek a kdihoz tancsot krni. A kdi felszltotta ?ket, hogy hajoljanak kzel. A fik tevikr?lleszllva teljestettk krst, s a kdi valamit sgott a flkbe. Erre mindketten felugrottak a vrako-z tevkre, s kegyetlen iramban elvgtattak az ozis fel, hagy elnyerjk a kincset. Mi volt a kdi tan-csa?

Fltkeny frjekKt fltkeny frj szeretne felesgestl egy folyn tkelni, azonban csak egy darab kt-

szemlyes csnak ll rendelkezskre. A frfiak fltik vetlytrsuktl hitvesket, gy egyikfrfi sem meri felesgt olyan trsasgban hagyni, amelyben frfi is van, ha ? nincs jelen.

Hogyan bonyoltottk le az tkelst?

Egyik tizenkilenc, msik egy hjn hszAz reg arab halln lvn, meghagyta, hogy tizenkilenc szp lovt hrom fia rklje.

A legid?sebb fi kapja lovainak felt, a kzps? a ne-gyedt, a legfiatalabb az tdt, Mikor apjuk meghalt, ahrom fi nem tudta a vgrendeletet vgrehajtani, hi-szen nem vghattk a lovakat tbb rszre. Elhvtk teht a blcskdit, aki, hogy a problmt megoldja, magval hozott egy lovat.gy az sszesen a hsz l felt, azaz tzet adott a legid?sebb fi-nak, negyedt, azaz tt a kzps?nek, s tdt, azaz ngyet alegfiatalabbnak. A maradk egyet pedig - a sajtjt - hazavitte. gyteht minden rendben volt a vgrendelet vgrehajtsa krl.

Vagy taln mgsem?

A kecske s a kposztaVan egy foly, amin t kellene kelnnk kis trsainkkal. Adott egy csnak is, amelyben egyszerre

csak egy dolgot vihetnk magunkkal a tlpartra. A feladat az. hogy tvigyk a kecskt, akposztt, no meg farkast is. A problma ott van, hogy ha magra hagyom kecskt a k-posztval, akkor a kposztnak annyi. Hasonlan a farkas is megeszi a kecskt, ha nemvagyunk ott. Hogyan vigyk t ?ket, hogy mind megmaradjanak (egyben)?

Hova t?nt a harmincadik dollr?Megrkezvn a szllodba, hrom amerikai knyelmes szllst kr a tulajdonostl, gy egy hrom-

szobs lakosztlyt rendeltek. 30 dollrrt fel is knltak nekik egy gynyr? lakosztlyt, aturistk pedig felmentek, hogy megnzzk. Megfelel?nek talltak mindent, s gy fejenknt10-10 dollrt sszeadtak, s tnyjtottk az ?ket felksr? hziszolgnak. Mikor a hziszol-ga tadta a tulajdonosnak a 30 dollrt, az akkor jtt r, hogy tvedett, hiszen a hromszobs lakosztlyra csak 25 dollr. gy a hziszolgval visszakldtt t darab egydollrost. A hziszolga felfel menetarra gondolt, hogy nehz volna az t darab egydollrost hrom ember kztt sztosztani, s ezrt kett?tzsebre vgott, a hrom turistnak pedig 1-1 dollrt adott vissza. gy vgl mindenki 9 dollrt fizetett,ami 3 x 9 = 27 dollr; kt dollr a hziszolga zsebben maradt, s ez sszesen 27 + 2 = 29 dollr, pedigeredetileg hrman 30 dollrt adtak ssze.

Hov t?nt a harmincadik dollr?

A zld keresztEgy igazgat titkrt keres, azonban egy nagyon gyes s talpraesett titkrra van szksge, s ilyet

nehz tallni. A sok jelentkez???l hrom intelligens fiatalembert vlasztott ki. Behvatta?ket szobjba, s a kvetkez?ket mondta:

- nk mindannyian intelligens fiatalemberek. Egy rdekes logikai gyakorlattal vlasz-tom ki nk kzl a legalkalmasabbat. Kt kis krtadarab van a kezemben, egy zld s egyfehr. Lekapcsolom a villanyt, s mindegyikk homlokra az egyik krtval egy kis keresztet rajzolok. Avillany felgyjtsa utn nk megnzik a msik kt jellt homlokt, s ha valamelyikk zld keresztetlt, akkor kiemeli a kezt. Abban a pillanatban, amikor egyikk rjn, hogy a sajt homlokra milyenszn? jelet rajzoltam, leteszi a kezt. Aki el?szr teszi le a kezt, s meggy???en megmagyarzza, mirtgondolja a homlokra rajzolt keresztet zldnek vagy fehrnek, az lesz az n titkrom.

Miutn mindenki megrtette az utastsokat, az igazgat leoltotta a villanyt, s a zld krtval mind-hrmuk homlokra keresztet rajzolt. A villany felgyjtsa utn mindhrom kz egyszerre emelkedett amagasba, s egszen rvid id? utn az egyik jellt, Logika r letette a kezt.

- Nagyon gyes - mondta az Igazgat -. s milyen szn? a kereszt az n homlokn?- Zld, igazgat r.Honnan tudta Logika r a kereszt sznt?

AutversenyCarnbridge-b?l Northyba kt mrfldes szerpentin autt vezet; az t els? mrfldje nehz hegyi

ton a Northy feletti magas hegy tetejre visz, s a msodik mrfldn ereszkedik alNorthyba. Egy neves autversenyz? vllalkozott arra, hogy a rendkvl nehz terep ellen-re 30 mf/ tlagsebessggel jut el Cambridge-b?l Northyba. A felfel vezet? ton, mintahogy azt a hegy tetejn elhelyezked? megfigyel?k konstatltk, csak 15 mf/ sebessggel tudott ha-ladni, mgis csak alig nhny msodperc ksssel rt Northy vrosba. Harmadnap temettk.

Ugyan mirt halt meg?

Hajszlpontos krdsVan-e Budapesten kt olyan ember, akinek pontosan ugyanannyi hajszla van? Lehet-

sges, hogy tbb ilyen is van? Legalbb hny? (Egy embernek legfeljebb 250.000 hajsz-la, Budapestnek legalbb 1.600.000 lakosa van.)

A lakoma raCaius s Sempronius kzs lakomat rendezett. Erre Caius 7, Sempronius pedig 8 tl telt hozott.

Vratlan vendgknt megrkezett Titus is, s egyenl?en megosztottk az telt egymskztt A Titus ltal elfogyasztott tel 30 denarius rtk? volt, s gy Titus ezt mondta:

- A hozott telmennyisg arnya 7:8, ebben az arnyban osztom el a pnzem. - S fize-tett Caiusnak 14. Semproniusnak pedig 16 denariust.

Sempronius tiltakozott a pnz ilyen felosztsa ellen, s mivel trsai nem hallgattak r, a brsghozfordult.

Mi volt a brsg helyes tlete?

LvsrEgy farmer lovat vsrolt 60 dollrrt. s eladta a szomszdjnak 70-rt.

Ks?bb rjtt, hogy jobb zletet is csinlhatott volna, ezrt kl-csnkrt a felesgt?l 10 dollrt visszavsrolta a lovat a szom-szdtl 80 dollrrt, s eladta a msik szomszdjnak 90-rt.

Mennyit keresett az zleten?

A villa titkaLord Wintrop, egy krnikus alkoholista s mellesleg multimilliomos, ismt alaposan elzott egy par-

tin, ezrt a bartai elhatroztk, hogy kemnyen megleckztetik.Tudni kell, hogy Lord Wintrop a kanadai Vancouverben lt egy villban, amely egy 200

holdas birtok kzepn. egy vlgyben llt. A villt s a kertet Lord Wintrop bartai tartottkrendben. Nos, a bartok a leckztets rszeknt felptettk a kert s a villa pontos msta legaprbb rszletekre kiterjed?en kidolgozva: a berendezs, a ruhk, a szappan, a fogkefe is tkle-tes msa volt a vancouveri villban lev?nek.

Azon az estn, amikor Lord Wintrop elzott. a bartai gyorsan repl?re raktk, s tszlltottk amsik kastlyba, amely Melbourne-ben, Ausztrliban volt. Lord Wintrop, rszeg lvn, semmit nemvett szre. Mikor felkelt, nem rezte magt valami jl, gyhogy bement a frd?szobba, kinyitotta ahideg vz csapjt, s megmosta az arct. Amikor belepillantott a lefolyba, ijedten kapta fel a fejt, skiltozni kezdett:

- Segtsg, elraboltak!Vajon mib?l tallta ki Lord Wintrop, hogy nem a sajt vancouveri kastlyban van?

BlcsekHrom reg blcs alszik egy nagy fa alatt. Egy arra jr csintalan gyerk?c mindhrmuk

homlokra egy piros krt fest, majd kacagva elszalad. Amikor a blcsek felbrednek, smegltjk egymst, nevetni kezdenek. Egyszer csak azonban az egyik elhallgat. Mirt?

Bann vagy narancs?A csodakert fin 25 bann s 30 narancs van. Egy-egy alkalommal kt gymlcst ve-

sznk le: ha egyformkat vettnk le, akkor egy narancs n? helyettk; ha klnbz?ket vet-tnk le, akkor egy bann n?. Utolsnak milyen gymlcs marad?

hes kanniblokTrtnt egyszer, hogy hrom hittr? kanniblok fogsgba kerlt. A kanniblok, miel?tt felfaltk

volna ?ket, leksrtk a folypartra, hogy megfrdjenek. A hittrt?k szembeszlltak az ?ketksr? hrom kannibllal, s megszereztk a csnakjukat. Csakhogy a csnakkal t kellettkelnik a folyn, hogy megmenekljenek, de a kanniblokat sem hagyhattk felgyelet nl-kl. Ha egy hittrt? egyedl marad a parton, miutn elment a csnak, azt azonnal megeszik a kannib-lok. Hogyan juthatnak t?

A nagy fogsEgy horgsztl megkrdeztk, hny halat fogott. A talnyos felelet gy hangzott:- Hszat remltem fogni, de ha hromszor annyit fogtam volna, mint amennyit tnyleg

fogtam, akkor is kett?vel kevesebb lett volna, mint ahnyat remltem.Hny hallal trt haza a horgsz?

Menekls a kannibl el?lvan egy tkletesen kr alak t. pp a t kzepn pancsolsz, amikor megjelenik a

parton egy kannibl. Ha a kannibl elkap, megesz. A vzben sokig kibrod, de nem addig,amg a kannibl a parton. Szerencsre a kannibl nem tud szni, viszont a szrazfldnugyanolyan gyorsan fut, mint te. Viszont a kannibl ngyszer gyorsabb a szrazfldn,mint te a vzben. Hogy tudsz elmeneklni a kannibl el?l?

Megoldsok

Mi volt a kdi tancsa?A kdi azt tancsolta nekik, hogy mindegyikk a msik tevjre ljn, s igyekezzk testvre tev-

jvel minl el?bb az ozist elrni. Ekkor ugyanis aki el?szr ri el az ozist, annak tevje r oda k-??bb, s ezzel elnyerte apja kincseit.

Fltkeny frjekEls? lpsben egy hzaspr tmegy, utna a frj visszajn. Msodszor a frfiak mennek t, majd a

msodik frj visszajn. Vgl a msodik pr evez t. (Arrl azonban nem szl a krnika, hogy a partonegyedl hagyott felesgek nem csaltk-e meg frjket egy odavet?dtt idegen frfival...)

Egyik tizenkilenc, msik egy hjn hszA kdi terve nagyon szellemes, azonban nyilvn nem a vgrendeletnek megfelel?kppen jr el,

ugyanis nem a tizenkilenc l megfelel? hnyadat adja az rksknek. Egybknt a problma forrsaa vgrendelet, mely rossz. Ugyanis az arab nem osztja szt teljes lllomnyt a fik kztt, mert va-laminek a fele, negyede s tde egytt az egsznek csak 19/20-ad rsze.

A kecske s a kposztaEls? krben tviszem a kecskt, majd visszamegyek, s tviszem a farkast (vihetnm a kposztt

is, a sorrend mindegy). Harmadikknt visszahozom a kecskt, s tviszem a kposzti. Vgl vissza-megyek a kecskrt s tviszem azt is.

Hova t?nt a harmincadik dollr?A krds feltevse s logikja helytelen. A 27 dollrbl kell kt dollrt levonni, s 27 - 2=25 dollr a

lakosztly ra.

A zld keresztLogika r rvelse - arra vonatkozan, hogy a homlokn lev? kereszt zld - a kvetkez? volt:- A homlokomon lev? kereszt vagy zld, vagy fehr. Ha fehr kereszt lenne a homlokomon, akkor

a msik kt jellt egy fehr s egy zld keresztet ltna. De mivel mindketten intelligensek, s ltjk,hogy egyikk sem teszi le a kezt, csak a kvetkez?t gondolhatjk: Mirt emelte fel a msik a kezt?Azrt, mert ? ltott egy zld keresztet, s mivel a harmadik homlokra rajzolt kereszt fehr, csak az nhomlokomra rajzolt zld keresztet lthatja, vagyis a homlokomon zld kereszt van. S mivel mindkettenj kpessg?ek, ezt a kvetkeztetst pillanatok alatt vghez tudtk volna vinni, s legalbb egyikk le-tette volna a kezt.

De mindkett? meg mindig feltartja a kezt. Ezrt a homlokomra rajzolt kereszt nem lehet fehr, gya homlokomon a kereszt zld.

AutversenyKt mrfld befutsa 30 mf/ sebessg mellett ngy percet vesz ignybe. A versenyz? viszont 1

mrfldet 15 mf/ sebessggel tett meg, azaz az els? mrfldre elhasznlta a teljes ngy percet. Csakgy lehetsges, hogy pr msodperc ksssel mgis megrkezett Northyba, ha a hegy tetejr?l lezu-hant.

Hajszlpontos krdsTermszetesen tallunk olyan embereket, akiknek ugyanannyi hajszluk van. Fggetlenl attl,

hogy tudjuk, Budapesten legalbb kt kopasz ember l, kimutathatjuk kt olyan ember ltezst is,akiknek ugyanannyi hajszla van.

Egy embernek legfeljebb 250.000 hajszla van. Vegynk 250.000 s 1 darab dobozt. Kln do-bozba tegyk be egy cdulra lerva azoknak a nevt, akik kopaszok, az els? dobozba azoknak a ne-vt, akiknek ppen egy hajszluk van, s gy tovbb, a 152. dobozba, akiknek ppen 152 hajszlukvan stb. Mivel minden embernek legfeljebb 250.000 hajszla van, minden ember neve belekerl vala-melyik dobozba. Mit jelentene az, ha lltsunk nem lenne igaz, azaz ha nem volna kt olyan ember,akinek ugyanannyi hajszla van? Azt, hogy nincsen olyan doboz, amibe kt cdula kerl, vagyis a c-dulk szma minden dobozban 0 vagy 1. De ilyen mdon legfeljebb 250.001 cdult helyezhetnk el adobozokban, vagyis ekkor pesten legfeljebb 250.001 ember lhetne; mrpedig tudjuk, hogy a pestilakosok szma legalbb 1,6 milli, s a kt adat nyilvn ellentmond egymsnak.

Ugyanez a mdszer arrl is meggy?z minket, hogy kell lennie legalbb 7 embernek, akiknekugyanannyi hajszluk van. Ha ugyanis minden szmbl legfeljebb hat lenne, akkor Pest lakosainakszma nem lehetne tbb, mint 1,5 milli. Pedig tudjuk, hogy a lakosok szma e felett van, teht leg-albb ht embernek ugyanannyi szm hajszla van.

A lakoma raA brsg 12 denariust tlt meg Caiusnak s 18-at Semproniusnak. tlett a kvetkez?kpp indo-

kolta; Titus 5 tl telt kapott, kett?t Caiustl s hrmat Semproniustl. gy a 30 denariust 2:3 arnybankell felosztania, s ez ppen a megtlt pnzmennyisg. Titus eljrsa akkor lett volna helyes, ha azegsz lakoma rt fizette volna meg, s nem csak azt, amit ? fogyasztott.

LvsrA farmernek kezdetben 60 dollrja volt, a kt zlet utn 90. 10-et visszaadott a felesgnek, kere-

sett teht 20 dollrt.

A villa titkaA lefolyban a vz egy meghatrozott irnyban rvnylik. Az szaki fltekn az ramutat jrsval

egyez?, mg a dli fltekn azzal ellenkez? irnyban. Amikor Lord Wintrop belenzett a lefolyba,azonnal felt?nt neki, hogy a vz az ellenkez? irnyban rvnylik, mint ahogy az otthonban megszokta.

BlcsekA hrom blcs, amikor meglttk egymst, nevetni kezdenek. mivel ltjk egymson a piros kari-

kkat. Mindegyikk azt gondolja, hogy rajta nincs karika, s az egyikk akkor hagyja abba a nevetst,amikor rjn, hogy rajta is van. Erre a kvetkez?kpp jhet r: jelljk a blcseket szmokkal, 1, 2 s3. Kpzeljk magunkat a 3. blcs helybe! Azt gondolom, hogy rajtam nincs karika. Ezrt azt gondo-lom, hogy a 2. blcs az 1. blcsn nevet, s viszont. Most n, mint 3. blcs elkpzelem, hogy n va-gyok a 2. blcs. Ekkor a 3. blcsn nem ltok karikt, az els?n viszont igen, valamint felttelezem,hogy rajtam nincs karika. De ekkor min nevet az 1. blcs? A 2. blcsnek teht r kell jnnie. hogy ?raj-ta van karika, s ekkor abbahagyn a nevetst - mindezt a 3. blcs gondolja gy vgig. Mivel a 3. blcsjoggal felttelezi, hogy a 2. blcs is okos, s mindezt gy vgig tudja gondolni (hiszen ezrt blcs), ab-ba fogja hagyni a nevetst, mivel a 2. blcs nem hagyja abba, ebb?l rjn, hogy rajta is kell lennie egykariknak.

Bann vagy narancs?Egy lpsben a bannok szma kett?vel cskken vagy vltozatlan marad. Mivel pratlan szm

bann van, mindenkppen bann marad a vgn. (A narancsok szma egy lpsben 1-gyel n? vagy1-gyel cskken.)

hes kanniblokEls? lps: egy hittrt? s egy kannibl thajzik, s a kannibl a tlparton marad, a hittrt? visz-

szajn. Msodik lps: a maradk kt kannibl thajzik a tlpartra, s egy ott marad. Harmadik lps:a kannibl (aki visszajtt) kiszll a csnakbl, s tmegy kt hittrt?. Negyedik lps: egy hittrt? ottmarad a tlparton egy kannibllal, visszahajzik egy hittrt? s egy kannibl. gy ezen az oldalon leszkt hittrt? s kt kannibl. tdik lps: ezek kzl kt hittrt? tevez a tlpartra, s ott kiszllnak acsnakbl. A velk lev? egy darab kanniblt tkldik a tbbi kanniblrt, akiket egyesvel t fog hozni.

A nagy fogs20 - 2 = 18, 18/3 = 6 halat fogott.

Menekls a kannibl el?lLegyen R sugar a t?. Elkezdesz csigavonalban szni. Mindaddig, mg az R/4 sugar krt el nem

red. Ezen bell gyorsabb mg gyorsabb vagy a kanniblnl kerleti sebessgben, mert pont R/4sugar krnl lesz ngyszer akkora a part kerlete. gy el tudod rni, hogy a kannibl pont a legmesz-szebb legyen, amikor elred R/4 krt. Ekkor elindulsz a legkzelebbi part irnyba. Ez 3/4 R. A kanni-blnak van R x ? flkrnyi tja. Ezek aranya: ?/(3/4)=4,18. teht tbb mint ngyszer akkora utat kellmegtennie, mint neked, gy kirsz, miel?tt odar.

Hny ves vagyok?Az letkorok s az vek szma a f?szerepl? ebben a fejezetben: ki s hogyan tudja minl tlete-

sebben kiszmoltatni sajt vagy pp rokonai letkort? J, ha otthon vagyunk a szmok jellemz?inekvilgban, s nem ijednk meg a meglep? fordulatoktl.

Zsuzsa kora- rdekes dolog - mesli Zsuzsa - hogy anym letkora pontosan a fele az apm s az

n letkorom sszegnek, apm s anym egytt 100 vesek, s mindkett?jk letkoratrzsszm. Vajon hny ves vagyok?

?? az egyenes beszd!Megkrdeztem egyik bartomat, hogy csaldjnak tagjai hny vesek. Bartom hres

arrl, hogy semmire sem hajland egyenes vlaszt adni, gy termszetesen erre a krdsresem, melyre gy vlaszolt:

- Hat v mlva apm hromszor annyi id?s lesz, mint n voltam akkor, amikor apm veinek sz-ma egyenl? volt az n s hgom akkori vei szmnak sszegvel. Jelenlegi korom ugyanannyi, mintapm kora volt akkor. 19 v mlva apm ktszer olyan id?s lesz, mint a hgom ma.

Most mr tudjuk, hny vesek bartom csaldtagjai?

Ki szereti az eperfagyit?Egy frfi, hogy elsse egy unalmas estjt, bemegy a brba, rendel egy italt, s szba

elegyedik a csapossal. Kis id? mlva megtudja, hogy a csaposnak hrom gyermeke van.- s mennyi id?sek a gyermekeid?- Ht, letkoruk szorzata 72.- Ennyib?l kptelensg kitallnom!- Rendben van, ha kimsz a brbl, s megnzed a hzszmot, megtudod az letkorok sszegt

is.A fick kimegy, megnzi a szmot s elgondolkodik.- Mg mindig nem tudok rjnni.A legfiatalabb nagyon szereti az eperfagyit - mondja mosolyogva a csapos.A kvncsi frfinak ekkor felcsillan a tekintete.- Most mr tudom!Mennyi id?sek ht a gyerekek?

Hny ves a kapitny? I.Egy haj hossznak, az rboc magassgnak, a

kapitny kisfia letkornak s a kapitny letkornakszorzata 303.335. Hny ves a kapitny?

Hny ves a kapitny? II.A kapitny most ktszer annyi id?s. mint a hajja

volt akkor, amikor a kapitny volt annyi id?s, mint most ahajja. A kapitny s a hajja sszesen 70 ves. Hnyves a kapitny?

A Brahma gymntt?iA benaresi templom kupolja alatt mrvnyasztalra er?stve hrom gymntt? csillog. Hajdanban,

a templom ptsekor az els? t?n 64 kzpen tfrt aranykorong helyezkedett el, legalul alegnagyobb, rajta egy kisebb, azon egy mg kisebb s gy tovbb, egyre cskken? tmr?-vel. Az isteni parancs gy szlt:

Mind a 64 korongot t kell helyezni a msodik gymntt?re. thelyezs kzben a harmadik gy-mntt?t is szabad hasznlni. A kvetkez? utastsokhoz kell tartsk magukat mindazok, akik az the-lyezssel megprblkoznak:

1. Egy t???l csak a legfels? korongot szabad levenni.

2. Korongot ttenni vagy csak res t?re szabad, vagy olyanra, melyen a legfels? korong tmr?jenagyobb, mint az tteend? korong.

3. Minden msodpercben egy thelyezs trtnjk.Amikor az utols korongot is thelyezik, akkor rkezik el a vilgvge.A feladat vgrehatshoz hny thelyezsre van szksg? Krlbell hny v mlva jn el a

vilgvge?

Lovag a pcbanA nemes lovag s a gonosz varzsl beszlgetnek. A gonosz varzsl egy klns feladvnyt ad a

lovagnak. Ha sikerl megfejtenie, elengedi fogsgbl, ha nem, meghal.V: Van nekem hrom fiam, talld ki, hny vesek! Annyi segtek, hogy letkoruk szor-

zata 36.L: Ht ebb?l mg nem tudom kitallni.V: Hrmjuk kornak sszege ppen annyi, ahny veg van az asztalon.A nemes lovag odanz, s megszmolja. hny veg van az asztalon.L: Mg mindig nem tudom megmondani.V: Azt mg elrulom, hogy a legkisebb fiamnak kk a szeme. Nos, nemes lovag, tudod a megol-

dst?

Megoldsok

Zsuzsa koraLegyen Zsuzsa anyja x, apja y ves, s Zsuzsa letkora z.Ekkor x s y trzsszmok, x + y = 100, s x = (y + z) / 2 . Tovbb nyilvnvalan kell, hogy x s y

is legalbb 12-vel nagyobb legyen, mint z. 100 tbbflekppen bonthat kt trzsszm sszegre, gypl. 100 = 41 + 59 = 53 + 47 = 71 + 29 stb.

Azonban Zsuzsa s szlei kzti letkor-klnbsg a legels? felbonts kivtelvel mindegyiknl ki-sebb lenne, mint 10 v, ami nyilvn nem lehetsges. gy Zsuzsa apja 59, anyja 41 ves, s ebb?lZsuzsa letkora 23 v.

?? az egyenes beszd!Legyen bartom apjnak, bartomnak s hgnak letkora rendre x, y, z.Tegyk fel, hogy u vvel ezel?tt volt az apa letkora ugyanakkora, mint bartom s hga akkori let-

kornak sszege. Az elbeszls szerint:(1) x + 6 = 3 (y - u),(2) x - u = (y - u) + (z - u),(3) y = x - u,(4) x + 19 = 2 z.(2) bal oldala s (3) jobb oldala megegyezik, teht a msik kt oldal is egyenl?, vagyis y = (y - u) +

(z - u), s gy z = 2 u. z ezen rtkt (4)-be helyettestvex = 4 u - 19,s ezt (3)-ba helyettestvey = x - u= 3 u - 19.Sikerlt x s y-t u-val kifejeznnk, s gy ezeket (1)-be tve mr csak egy ismeretlen maradt az

egyenletben.4 u - 13 = 3 (2 u - 19) = 6u - 57,ahonnan is u = 22,s gy x = 4u - 19 = 69, y = 3 u - 19 = 47, z= 2 u = 44.Az ilyen bonyolultabb feladatoknl rendszerint clszer? sok ismeretlent bevezetni. mert akkor a fel-

adat felttelei knnyen ttekinthet?kk vlnak, s knny? az egyenleteket fellltani. A fenti rejtvnymegoldsnl is, a ngy ismeretlen segtsgvel minden nehzg nlkl sikerlt a rejtvnyt megoldani.Az ilyenfajta rejtvnyek legtbbjnl clt lehet rni 1 vagy 2 ismeretlen segtsgvel is. Ilyenkor azon-ban sokkal nehezebb az egyenletek fellltsa. Pldaknt oldjuk meg a fenti feladatot csupn 2 isme-retlennel. Jellje x s y bartom, illetve bartom hgnak letkort abban az id?pontban, amikor azapa letkora x + y v volt. (Az el??? megoldsban ez u vvel ezel?tt volt). Az apa letkora s bartomletkora kztti klnbsg teht y v. Mivel a feladat szerint bartom jelenleg olyan id?s, mint bartomapja volt a fent emltett id?pontban, bartom jelenleg x + y ves, vagyis a krdses id?pont ta y v teltel, teht az apa jelenleg x + 2 y, hga 2 y ves.

A szveg szerintx + 2 y + 6 = 3 x,x + 2 y + 19 = 4 y.Az els? egyenlethl x = y + 3, amit a msodikba helyettestve y + 3 +2 y + 19 = 4 y, amib?l y = 22

s gy x = 25. Teht jelenleg az apa x + 2 y = 69 ves, bartom x + y = 47 ves, s hga 2 y = 44 ves.

Ki szereti az eperfagyit?Az els? informci alapjn (az letkorok szorzata 72) a gyermekek letkora a kvetkez? lehet. A

negyedik oszlopban az letkorok sszege szerepel:72 1 1 7436 2 1 3924 3 1 2818 4 1 2318 2 2 2212 6 1 1912 3 2 179 4 2 159 8 1 188 3 3 146 6 2 146 4 3 13Ha a msodik informci sem elg, hogy a hrom letkort megtudjuk. akkor az sszeg egy olyan

szm, ami kt permutcinak is az sszege. Ilyen sszeg csak egy van, a 14. A lehetsges letkorokekkor a 8, 3, 3 s a 6, 6, 2. A harmadik informci szerint van legfiatalabb gyermek, ezrt nem j az amegolds, ahol kt 3 ves gyerk?c van. A csapos gyermekei teht 6, 6 s 2 vesek.

Hny ves a kapitny? I.31 ves, mert 303.335 = 103 x 31 x 19 x 5 (prmtnyez?kre bontva), s 103 reg lenne kapitny-

nak, de j hajhossznak. 5 tl fiatal kapitnynak s rbocmagassgnak, de a fia letkora lehet. 19 tlfiatal kapitnynak s tl id?s a gyermeknek, gy ez lesz az rboc.

Hny ves a kapitny? II.Jellje x a kapitny mostani letkort, teht: 70 - x.A rgi letkora teht: 70 - x = x / 2x - (70 - x) = (70 - x) - (x / 2)3,5 x = 140x = 40

A Brahma gymntt?iHogy a feladatot egyszer?en megoldhassuk, el?szr ltalnostsunk. Azt az ltalnosabb krdst

vizsgljuk meg, hogy mennyi a msik t?re val legrvidebb traks lpsszma, ha korong van az els???n. Ezt a minimlis lpsszmot jelljk an-nel. Beltjuk. hogy an=2n-1-1

A feladatnak ez az ltalnostsa azrt clszer?, mert gy teljes indukcival tudjuk az lltst iga-zolni, majd utna n = 64 helyettestssel a rejtvny megoldst is elnyerjk.

Kpletnk n = 1-re j, hiszen az egyes t???l a kettesre egy korongot egy lpsben tehetek t, s gya1 = 1 = 21 - 1 valban igaz.

Tegyk fel, hogy n-1-re az lltst mr igazoltuk, azaz an-1 = 2n-1 - 1.Figyeljk a legrvidebb lpsszm traks azon mozzanatt, amikor a legals, n-edik korongot

rakom t az els? t???l a msodikra. Hogy ezt a lpst megtehessem, ahhoz az kell, hogy a tbbi n-1korong a harmadik t?n legyen, hiszen ha az els? korongon volna mg ms korong, akkor az als ko-rongot nem lehetne elvenni, s ha a harmadikon lenne valamilyen korong, akkor, mivel annak tmr?jeszksgkpp kisebb, mint a legals korong, ezrt a legals korongot nem lehetne trakni. Hogy eh-hez a helyzethez eljussunk, el?szr az n-1 fels? korongot t kellett tenni a harmadik t?re, s ha ezt alegegyszer?bb ton elvgeztem, ehhez 2n-1 - 1 lps szksges az indukcis feltevs rtelmben.Most teht t tudom tenni azt a korongot az els???l a msodik t?re. Ezutn mg t kell helyeznem amsik n-1 korongot a harmadik t???l a msodikra. Ezen traksoknl nem fog minket zavarni az n-edikkorong, hiszen azt mr nem kell elmozdtani, s mivel a legnagyobb tmr???, mindegyik ms korongotzavartalanul r lehet helyezni. gy teht mg annyi lpsre van szksgem, amennyi az n-1 korongtrakshoz szksges minimlis lpsszm, azaz 2n-1 - 1. Vagyis az sszes szksges lpsszm:

an = 2n-1 - 1 + 1+ 2n-1 - 1 = 2 x 2n-1.Teht abbl a feltevsb?l, hogy az llts n-1-re igaz, kvetkeztetni tudtunk arra, hogy n-re is igaz,

tovbb az n= 1 esetben belttuk az llts igazsgt, gy a teljes indukci elvnek megfelel?en azlltst teljes egszben bizonytottuk.

A fenti bizonyts sok mindent elrul. El?szr is kiderl az az Italunk burkoltan feltett tny, hogy afeladat valban megoldhat (amit lnyegben semmi sem biztostott), s a fenti bizonyts egyttal md-szert is adott az traks vgrehajtsra. Tovbb bebizonytottuk azt a szintn burkoltan felhasznlttnyt, hogy egyetlen legrvidebb megolds ltezik. Mindett?l fggetlenl, ha tudjuk, hogy a feladatmegoldhat, abbl nyilvnval, hogy van olyan megolds, melynl a lpsszm legrvidebb, de hogy

csak egyetlen ilyen van, azt bizonytani kell. A fenti bizonyts tolvassnl tisztn lthat, hogy a lertmdszer nemcsak elegend? az traks elvgzshez, hanem szksges is, vagyis bel?le valban azegyetlen traksi md olvashat ki.

Mivel a rejtvnyben n = 64, ezrt a kvnt trakshoz 264-1 lps szksges. 264-1 =18.446.744.073.551.615, s ennyi msodperc tbb mint 500 milli v, teht ha az isteni utasts mr prezer ve trtnt is, a vilg kzeli vgt?l mgsem kell flnnk.

Lovag a pcbanA lovag tudja a hrom oszt sszegt, mgsem tudja eldnteni. hny vesek a kisfik. Ez csak gy

lehetsges, ha tbb varici is kiad egy bizonyos sszeget.Lssunk egy pldt:1 + 1 + 36 = 38 (a 38 mskpp nem hozhat ki)1 + 2 + 18 (a 21 is csak egyflekppen llthat el?) stb.Egyetlen olyan sszeg van, ami tbbflekppen llthat el?, nevezetesen, amikor a fik letkor-

nak sszege 13. A kt eset: 1, 6, 6 s 2, 2, 9. Itt tudjuk felhasznlni a harmadik informcit: a legfiata-labb fi. Mivel msodik esetben az ikrek kztt nem teszek klnbsget, ezrt csak az 1, 6 6 jhetszba. A legfiatalabb fi teht 1 ves, s egy 6 ves ikerpr a msik kt fi.

lltom! Teht krdezek?lltsok, kijelentsek sorakoznak ezen fejezet feladvnyaiban, melyek kvetkeztetsekre s logi-

kai kapcsolatok felismersre ptenek. A nyomoz nnket er?sthetik ezek a feladvnyok, melyeklnyege, mikpp dertsk ki nhny informcimorzsbl, hogy mi is a megfejts.

A szabaduls remnyeRabsgban senyvednk a szultn udvarban. A kvetkez? ajnlatot

teszi a szultn: vlasztanunk kell kt ajt kzl. Az egyik m-gtt a szabadsg, a msik mgtt kt hes oroszln vr.Egyet krdezhetnk a ?rkt?l az ajtkkal kapcsolatban, sutna dntennk kell. Egy bkken? azrt van. Az egyik ?rmindig hazudik, a msik mindig igazat mond, de nem tudjuk, melyikmelyik. Mit krdezznk az egyik ?rt?l, hogy lehet?leg p b?rrel megsz-szuk?

Protagorsz tantsaI.e. az tdik szzadban lt s dolgozott Protagorsz, a nagy grg filozfus. Trtnt egyszer,

hogy egy tantvnyval, akit a jogi tudomnyokra tantott ki, a kvetkez?kpp llapodottmeg: a tantvnynak aszerint kell a tantsrt fizetnie, hogy az els? pert megnyeri-e, avagysem. A tantvny befejezte tanulmnyait, de csak nem akarta a jogi gyakorlatot megkezdeni.Protagorsz erre beperelte tantvnyt a fizets elmulasztsa miatt. Megindokolhat-e egy-rtelm?en, hogy helyesen cselekedett-e?

A bersaidi hely?rsgA bersaidi hely?rsgben t tiszt szolgl: egy hadnagy; egy szzados, egy ?rnagy egy alezredes s

egy ezredes. A tisztek neve: Brown, Smith, Dugas, Peter s Olaf. Mindegyikknek egyetlen??testvre van, s mindegyikk valamelyik bajtrsnak n?testvrt vette felesgl. Dugasnaklegalbb egyik sgora magasabb rang. mint ?.

A kvetkez?ket sikerlt eddigi szolglati helykr?l megtudni:Smith mindkt sgora szolglt Franciaorszgban, s ugyangy Peteri is, de az ezredes egyik sgo-

rrl sem mondhatjuk ezt el. A szzados meg nem szolglt Gallipoliban.Peter Palesztinban szolglt mindkt sgorval; a hadnagy mg nem volt ott.Az alezredes mindkt sgorval egytt mr volt Knban, Peter csak egyik sgorval volt Knban.Az ezredes mindkt sgorval szolglt Gallipoliban, de Knban mg nem volt.Olaf sem Gallipoliban, sem Knban nem szolglt mg.Melyik tisztel hogy hvjk?

Logikai gyakorlatA kvetkez? lltsok egyike okvetlenl igaz:1. Shakespeare minden szndarabjt Bacon rta;2. Shakespeare-nek tbb darabjt, de nem mindet Bacon

rta;3. Shakespeare-nek tbb darabjt nem Bacon rta.Mi nem tudjuk - s taln soha nem is fogjuk biztosan megtudni - melyik

llts igaz a fentiek kzl, s melyik nem. Van azonban a fenti hrom kztt kt olyan llts, amelymindkett? lehet igaz, de nem lehet mindkett? egyszerre hamis. Amellett van kztk kt olyan llts is,amelyek lehetnek egyszerre hamisak, de egyszerre igazak nem. Melyik kt-kt llts ez?

Fehrek s feketkKaka-szigeten ktfle nci lakik, fehrek s feketk. A fehrek is mr oly rgen laknak a szige-

ten, hogy kvlll nem is tudja a fehreket s feketket sznkr?l megklnbztetni. Csakegy jellembeli tulajdonsguk klnbzteti meg ?ket: a feketk mindig igazat mondanak, s afehrek mindig hazudnak.

Trtnt egyszer, hogy egy kutat vet?dtt a Kaka-szigetre. A kutat nem ismertenyelvket, de egy keveset tudott szoksaikrl. Megrkezsekor hrom szigetlak jelentkezett nla, aszolglatba szerettek volna lpni. Kett? kzlk trte valamennyire a kutat anyanyelvt. A kutattermszetesen csak fekete szolgt akart felvenni, ezrt megkrdezte az egyiket, Ablt:

- Abl, te fehr vagy fekete vagy?- Bhio, fa ktja marjion - volt a vlasz.- Na ebb?l egy szt sem rtettem. Meg tudnd mondani. Bislu, hogy mit mondott Abl?- Abl azt mondani, hogy ? fehr - vlaszolta Bislu.- S szerinted, Cacil?- Abl azt mondani, hogy ? fekete - vlaszolta Cacil.El tudjuk dnteni, hogy Bislu s Cacil fehr vagy fekete?

A borblyEgy idegen rkezett a vrosba, s szba elegyedik a szll borblyval.- Nagy a konkurencia? - krdezte.- , egyltalban nem - vlaszolta a borbly - Rajtam kvl egyltaln nincs is borbly

a vrosban. Azokat a frfiakat, akik nem maguk borotvlkoznak, mind n borotvlom. Deppen tlterheltsgemre val tekintettel - egyetlen olyan frfit sem borotvlok meg. akinmaga borotvlkozik.

Az idegen nevetve nzett r:- Az n szavaiban ellentmonds rejt?zik - mondta.A borbly azonban hiba kereste, sehogy sem tudott rjnni, milyen ellenmonds van szavaiban.

Mi taln kisegthetnnk?

Hogyan gy?zzk le a srknyt?Van egy vr, amelyet egy srkny ?riz, amely arrl h-

res, hogy minden lltsrl el tudja dnteni, hogy igaz vagyhamis. Ha igaz az llts, akkor meggeti az illet?t, ha ha-mis, akkor megeszi. Arra jr egy vndor, odamegy a sr-knyhoz, mond neki valamit, mire a srkny beengedi a vrba. Mit mon-dott a vndor? (lltsnak kell lennie.)

Blafalva tancsaA blafalvi tancs kilenc tagbl ll. A tancstagok: Fazekas, Katona, Kovcs, Lakatos, Mszros,

Szab, Szekeres, Szjgyrt s Sz?cs. A tancstagok foglalkozsai meglep? mdon: faze-kas, katona, kovcs, lakatos, mszros, szab, szekeres, szjgyrt s sz?cs. Termsze-tesen nem szksgszer?, hogy valaki azt a foglalkozst ?zze, amir?l a nevt kapta. A falu-ban nhny pletyka kapott szrnyra:

A mszros a katona apsa; Mszros megkrte a lakatos egyetlen lenyt, aki mr visszautas-totta Mszros kt rivlist, a kovcsot s fazekast. Szab lenya v?legnynek kivl teniszpartnere;Fazekas, aki agglegny, megnyerte a helyi sakk-klub vezet?jnek azt a tancstagot, aki nevt az ?foglalkozsrl kapta. Szekeres s veje egytt lottznak. A fazekas apja Kovcs felesgnek btyja. Asz?cs s a szab kzs zletket rokonilag is megalapoztk: egyms hgt vertk el felesgl. Egyiktancstagnak sincs tbb mint kt lnya; kt tancstagnak egy lnya van. A sz?cs neve ugyanaz, mint aSzab foglalkozsval azonos nev? tancstag foglalkozsa. Tovbb a szab neve ugyanaz, mintSzekeres foglalkozsval azonos nev? tancstag foglalkozsa.

Ebb?l ugyebr mr vilgos, hogy melyik tancstagnak mi a foglalkozsa? Vagy taln nem?

VendgsgbenEgy tanr hzaspr vendgsgbe vr egy orvos s egy mrnk hzasprt. Mg a sz?ke

asszony a konyhban srg-forog, a frje a sakkasztalt hozza rendbe (a). Csengetnek. Ahzigazda beengedi a kt barna s a kt fekete vendget (b). Pr perc mlva Sndor, Ta-

ms s Pl sakkfeladvnyokkal foglalkoznak, mg Dra, Ella s Piri tereferlnek (c). Bocsnatot krvea zavarsrt, nhny krdst intznk a trsasg tagjaihoz.

Megkrdezzk:1. Pltl, hogy milyen szn? a felesge haja? (d)- Barna.2. A mrnk hzaspr frfitagjtl. hogy Dra frjnek mi a neve? (e)- Tams.3. Pirit?l, hagy van-e kt egyforma hajszn? asszony a trsasgban? (f)- Igen.4. A tanrtl, hogy ki a felesge? (g)- Piri.5. A trsasg egy fekete haj tagjtl lettrsa foglalkozst. (h)- Orvos.Tvoztunkkor a trsasg egy vrs has tagja ksrt ki bennnket. (i)Sajnos a feleletek rtekt nagyon lerontja az, hogy az orvos hzaspr s a trsasg mg egy tagja

ezen az estn trfbl sohasem mondott igazat (j).De tudva azt, hogy a tbbiek viszont mindig igazat mondtak, mgis megllapthatjuk kinek-kinek a

foglalkozst, hajsznt s lettrsa nevt... Valban?

Nemtr?dm szl?kVgre mind az ten - Kati, vi, Zsuzsi, Panni s Rozi - tl voltak a pingpongversenyen. Szleik

azonban - gondoltk a lnyok - nem tr?dtek eleget ezzel a nagy esemnnyel. Ezrt meg-llapodtak. hogy mindenki csak fligazsgot r haza levelben, azaz egy igaz s egy nemigaz hrt, gy bntetik a nemtr?dm szl?ket.

Nzzk csak, mit rtak a versenyre vonatkozan leveleikben:Kati Panni a versenyen msodik lett Sajnos n csak harmadik lettem.vi rmmel rom nektek, hogy els? lettem, Zsuzsi pedig a msodik.Zsuzsi Harmadik lettem, vinek csak az utols hely jutott.Panni A msodik helyen ktttem ki. Rozi lecsszott a negyedik helyre.Rozi Negyedik lettem. De j Katinak, ? lett az els?.Vajon ki hnyadik lett a valsgban?

A hrom istensgHrom istensg l a jsdban egyms mellett; az igazsg istene, a hazugsg istene s a blcses-

sg istene. Meglehet?sen egyforma a klsejk, gy aztn senki nem tudja ?ket megkln-bztetni egymstl. Azt azonban mindenki tudja, hogy az igazsg istene mindig igazatmond, a hazugsg istene mindig hazudik, s a blcsessg istene nha hazudik, nha pe-dig igazat mond.

Egyszer egy filozfus rkezik a jsdba, hogy kidertse, melyik istensg melyik. El?szr a bal kzfel?l l? istensgnek tesz fel egy krdst:

- Ki l melletted, hatalmas isten?- ? az igazsg istene - felelte az isten mltsgteljesen.Ezutn a filozfus a kzpen l? istent?l krdezett:- Ki vagy te, dics?sges isten?- A blcsessg istene vagyok - gy a vlasz.Vgl a jobb kz fel l? isten kvetkezett:- s ki l a Te oldaladon, egeknek ura?- A hazugsg istene - vlaszolta az isten.Hogyan tudta ezek utn a filozfus azonostani az isteneket?

A f?mufti tletelt annak idejn Bagdad vrosban hrom kdi (mohamedn br), akik igencsak kit?ntek les

eszkkel, viszont egymssal llandan vitatkoztak, hogy vgl is ki kzlk a legokosabb.Elunvn a vitt, elmentek a f?muftihoz, hogy ebben a vits krdsben tegyen kztk igaz-sgot. A f?mufti vllalta a dnt?br szerept. A hrom kdit bevezette egy olyan szobba,ahol semmifle tkrz? fellet nem volt, majd eljk rakott t darab fezt (karima nlkli,bojtos sapka, arab viselet), melyek kzl kett?n arany, hrmon pedig fekete szn? bojt volt, s gy szlt:

- n most bektm mindhrmuk szemt, a fejetekre rakok egy-egy fezt, a maradk kett?t eldugom,majd leveszem a szemetekr?l a ktst. Ezt kvet?en magatokra hagylak benneteket. aki ezek utnels?knt mondja meg, hogy milyen szn? bojtos fez van a sajt fejn, hrmtok kzl az a legokosabb.

A f?mufti ekkp is cselekedett, mgpedig a hrom fekete bojtos fezt rakta a fejkre, mg a maradkkett?t, teht az arany bojtosakat pedig eldugta. Ezzel magra hagyta a hrom kdit, akik egy ideigsztlanul figyeltk egymst, majd az egyik hirtelen megszlalt:

- Rajtam fekete bojtos fez van!Krds: hogyan okoskodott a legokosabb kdi?

A szabadulsEgy szobban, melynek kt ajtaja kzl az egyik zrva, a msik nyitva van. kt ?r egy rabot ?riz. A

rab tudja, hogy az egyik ?r nagy hazudoz hrben ll,de azt nem, hogy melyik. A rab - rthet? mdon - sze-retne kijutni a szobbl, azonban nem prblkozhat azajtk nyitsval, pusztn egyetlen krdst tehet fel azegyik ?rnek. Mit krdezzen, hogy els?re meglelje a nyitott ajtt?(Matematikailag pontostva a feltteleket: az egyik ?r mindig ha-zudik. a msik mindig igazat mond.)

Fura Feri napjaiFura Feri elhatrozza. hagy mindennapos hazudozsait ezentl nha igazmondssal f?-

szerezi, azaz htf?n, szerdn s pnteken mindig igazat mond, ms napokon mindig hazu-dik. Egyszer azt mondta: Holnap igazat fogok mondani!. A ht melyik napjn trtnt ez?

lombli letVan egy sziget, melyen az emberek, amikor alszanak. teljesen letszer? lmokat lnek t. Rad-

sul lombeli letk ppgy folytatdik jszakrl jszakra, mint a nappali letk naprl napra. Ezen aszigeten ktfajta ember l. Az egyik nappali tpus, a msik jszakai. A nappali lakosokat azjellemzi, hogy minden, amit bren hisznek, az igaz, s minden, amit lmukban hisznek, azhamis. Az jszakai lakosoknl ez pont fordtva van, minden, amit lmukban hisznek, az igaz,s minden, amit bren hisznek, az hamis. Egyszer a k?vetkez? rejtvnyt adtam fel egy bartomnakerr?l a szigetr?l:

Egy lakos egyszer azt hitte, hogy ? nappali tpus, s bren van. Mifle volt az illet??A bartom gondolkodott egy darabig, aztn kzlte, hogy ennyi informcibl ezt nem tudja eldn-

teni, s megkrdezte: Te tudod, hogy milyen tpus volt az illet?, s hogy bren volt-e vagy aludt?Persze. Tudom, hogy milyen tpus, s azt is, hogy bren volt-e vagy sem - feleltem.Ekkor a bartom a kvetk?t krdezte: Ki lehetne derteni, hogy az illet? bren volt vagy aludt, ha

elrulnd, hogy nappali vagy jszakai tpus?Megvlaszoltam a krdst (igennel vagy nemmel), s a bartom mr knnyedn megoldotta a

rejtvnyt.A krds ezek utn: nappali vagy jszakai tpus az illet?, s bren volt-e, vagy aludt?

Vndorok vitjaHrom vndor rkezik egyms utn egy fogadba, s a pultnl egytt vrjk a fogadst. A fogads

sajnos rossz hrrel rkezik, minden szoba foglalt. Mivel ebben az id?szakban jjelente viha-ros erej? szl tombol. s sokat esik az es?, a fogads mgis megprbl valahogy szllsttallni jszakra a vndoroknak. Az istllfi szobjban van egy res gy; az els?knt r-kezett vndor alhat ott. A msodikknt rkezett alhat az istllban, a harmadik pedig alhat a disznl-ban, az mg mindig melegebb s szrazabb, mint odakint. A vndorok azonban elkezdtek vitatkozni azalbbiak szerint:

ron n rkeztem els?nek.Bla Nem igaz, n voltam az els?.Csaba Nem gy volt, n jttem el?szr.ron Hazudsz! n jttem els?nek, ahogy mr az el?bb is mondtam.Csaba , nem Bla jtt msodiknak.Bla Ez igaz.A fogads tudta, hogy a vndorok kzl az egyik mindig igazat mond, a msik mindig hazudik, a

harmadik mondatai pedig szigoran vltakozva hol igazak, hol hamisak.Kit hov szllsol el a fogads?

??tlen felesgekVan egy falu, ahol 100 hzaspr lakik. Nagyon vallsos a kzsg, s papnak mindent megtesznek.

A pap egy vasrnap kihirdeti, hogy a faluban vannak olyan felesgek, akik megcsaljk afrjket, s felszltja a frjeket, hogy ezeket a felesgeket hozzk el a templomba vasrna-pig. hogy meggynhassk b?neiket. Minden h?tlen felesget csakis a sajt frje viheti el a

templomba. Minden frfi tudja a msik felesgr?l, hogy az h?tlen-e, de a sajtjrl nem. Nem tudjasenkit?l megkrdezni, magnak kell kitallnia, hogy mi a helyzet. Cstrtk dlben mr ngy felesgvrt gynsra a templomban, s a pap nagyon elgedett volt, Hogyan jttek a frjek, hogy kit kell el-vinni a templomba?

ramsznet MackknlIgazmond Mackknl ramsznet van. A csald - Mack papa, Mack mama s Mack Lack -

ppen meghezett, szerencsre lent a pincben mg maradt a tlire flretett mzb?l 10csuporral.

Lement ht el?szr Mack papa, a stt pincben kitapogatott nhny mzesbdnt,megtmte a hast. majd visszament. gy tett Mack mama s Mack Lack is.

Minden szoks szerint trtnt: jl nevelt mack mdjra, havalamelyikk megkezdett egy csuprot, akkor azt az utols csep-pig ki is rtette, s mindenki jllakottan trt vissza. Tudjk mgegymsrl, hogy Mack papa ette a legtbb mzet, Mack mamakevesebbet evett, mint Mack papa, de tbbet, mint Mack Lac-k.

Egyszer csak bellt a Mack csaldhoz Mack nagybcsi:- Jaj, elfogyott a mzem, Mack papa, nektek van mg?

- Nem tudom - felelte Mack papa. - Mack mama, te taln tudod?- n sem tudom. s te, Mack Lack?- n sem tudom.- n mr tudom - mosolygott Mack papa.Honnan tudta? s mi is tudjuk?

Megoldsok

A szabaduls remnyeBrmelyikt?l krdezhetjk a kvetkez?t: Mit mondana a msik, ha azt krdeznm t?le, hogy melyik

ajt mgtt vannak az oroszlnok?Ekkor az igazmond nyilvn rmutatna a szabadsg ajtajra, hiszen a hazuds a hamisat mutatn.

A hazud pedig tudja, hogy az igazmond az oroszlnos ajtra mutatna, ezrt hazugsgbl a j ajtramutatna. gy a vlasz mindenkppen a szabadsgba vezet? ajt.

Emgtt valjban az a logikai ttel hzdik meg, miszerint nem(nem(igaz)) = igaz, hiszen ha igaz-nak a j ajtt nevezem, akkor mindkettejkkel pontosan ktszer tagadtatom az igaz ajtt, amib?l bizto-san a helyes vlaszt kapom.

Protagorsz tantsaProtagorsz mellett gy rvelhetnk: ha megnyeri a pert, akkor a brsgi dnts rtelmben meg-

kapja a pnzt, ha pedig elveszti a pert, akkor tantvnya megnyerte els? pert, gy szerz?dsk r-telmben fizetnie kell.

A tantvny viszont gy okoskodott: ha megnyerem a pert, akkor a brsgi dnts rtelmben nemfizetek, ha pedig elvesztem, akkor szerz?dsnk rtelmben nem kell fizetnem.

A gondolkods ktflesge termszetesen abbl addik, hogy mindketten a brsg tlete s aszerz?dsi megllapods kzl esetenknt a kedvez?t vlasztjk ki. Ha pl. megllapodunk abban,hogy mindenkpp a brsg tlete a dnt?, akkor termszetesen ezek a lehet?sgek elesnek.

A bersaidi hely?rsgVilgos, hogy minden tisztnek kt sgora van. Kvetkezskpp semelyik tiszt felesge sem n?vre

a n?vre frjnek. Teht a tisztek elhelyezhet?k ciklikus sorrendben gy, hogy minden tisztnek a ktsgora a kt oldaln legyen. Jelljk ?ket A, B, C, D s E-vel, s legyen A Smith. Mivel hrman szolgl-tak Franciaorszgban, s a msik kett? nem, Peter C vagy D kell, hogy legyen. Legyen Peter C, kvet-kezskpp A s C nem szolglt Franciaorszgban, s B az ezredes. Tovbb, B, C s D Palesztin-ban szolglt. Ebb?l addik, hogy a hadnagy A vagy E, s Olaf E. Vagy C s D, vagy C s B nem szol-glt Knban, gy A, E s B vagy A, E s D szolglt Knban, s mivel mi tudjuk, hagy B sohasem voltKnban, addik, hogy A, E s D volt ott, s hogy E az alezredes. gy a hadnagy A. Tovbb A, B s CGallipoliban szolglt, s E nem. Tudjuk, hagy a kapitny nem szolglt Gallipoliban, s gy nem lehet E,teht D. gy teht C csak az ?rnagy lehet. Mivel a tisztek kzl legalbb az egyik magasabb rang,mint Dugas, gy Dugas nem lehet B, teht D kell, hogy legyen, s Brown B. sszefoglalva a fentieket:

rang nv felesg lenykori nevehadnagy Smith Brown vagy Olafezredes Brown Peter vagy Smith?rnagy Peter Dugas vagy Brownszzados Dugas Olaf vagy Peteralezredes Olaf Smith vagy Dugas.Lthatjuk, hogy a tisztek nevt s rangjt pontosan egyeztetni lehet, de felesgk lenykori nevre

ktfle lehet?sg van.

Logikai gyakorlatA msodik s harmadik llts lehet egyszerre igaz, de nem lehet mindkett? hamis. Az els? s m-

sodik llts lehet mindkett? hamis, de nem lehet mindkett? igaz.

Fehrek s feketkA megolds azon a tnyen alapszik, hogy fggetlenl attl, hogy a megkrdezett fehr avagy feke-

te, mindegyik bennszltt arra a krdsre, hogy te fehr vagy, avagy fekete, csak azt vlaszolhatja,hogy fekete. Ugyanis ha fekete, akkor megmondja az igazat, s azt vlaszolja, hogy fekete, s hafehr, akkor hazudik, s ezrt vlasza ismt az, hogy fekete.

Teht Abl azt mondta. hogy ? fekete, vagyis Bislu hazudott fordtsakor, Bislu fehr, Cacil pedigigazat mondott, teht ? fekete.

A borblyNyilvnvalan ellentmonds van a borbly szavaiban. Azt kell csak megnzni, hogy ? maga melyik

csoportba tartozik; azok kz, akik nem maguk borotvlkoznak, vagy azok kz, akik nmagukat bo-rotvljk. Ugyanis ha nmagt megborotvlja, akkor egy nmagt megborotvlt borotvl meg, ellen-ttben azzal, amit mondott; ha pedig nem borotvlja meg nmagt, akkor egy olyat nem borotvl meg,aki nem maga borotvlkozik, mrpedig azt lltotta, hogy az ilyeneket mind ? borotvlja meg.

Hogyan gy?zzk le a srknyt?H, srkny r! Te most meg fogsz enni engem! (Ezzel az lltst sem az igaz, sem a hamis kate-

griba nem lehet besorolni.)

Blafalva tancsaAz egyszer?sg kedvrt a megolds folyamn a neveket s foglalkozsokat nagy s kis bet?kkel

jelljk a kvetkez?kpp: Kovcs A, a (A, ha nv s a, ha foglalkozs); Szjgyrt B, b; Sz?cs C, c;Szab D, d; Fazekas E, e; Katona F, f; Lakatos G, g; Mszros H, h; Szekeres K, k.

(1) h sgora f-nek, s K-nak a lenya frjhez ment. (2) H eljegyezte g lenyt, aki elutastotta e sa kzeledst, s D-nek a lenya mg nem ment frjhez; s mivel csak kt tancstagnak van lenya,ezrt (3) K foglalkozsa h s D foglalkozsa g. Tovbb (4) E agglegny s nem e. (5) e apja A fele-sgnek btyja. (6) b s d egyms hgt vettk el felesgl, gy (7) A nem lehet b vagy d.

Teht a kvetkez? kapcsolat ll fenn(8) D G X s 9) K H Y g x d h y dahol x s y mg szmunkra ismeretlenek.Azt is tudjuk hogy A meghzasodott; H s E agglegnyek; f, b, d megn?sltek; a s e aggleg-

nyek; kvetkezskpp H a, e vagy k lehet. Nem lehet azonban a, mert akkor (9) miatt A lenne d.Hasonlkpp nem lehet e vagy k, teht csak c lehet. (9)-b?l teht addik, hogy C foglalkozsa d.

b neve F vagy G lehet, (7) miatt nem lehet A. De (8) miatt se B, Se g nem lehet, s ezrt egyetlenlehet?sg szmra F. Ebb?l az is addik, hogy G foglalkozsa f. Most mr csak A, B s E a krdsek,akiknek a, e s k foglalkozsok maradtak Mivel azonban A n?s, ezrt k kell hogy legyen, s gy (4)-b?lE foglalkozsa a, marad teht B foglalkozsnak e.

sszefoglalva a fentieket:A tancstag neve foglalkozsaKovcs szekeresSz?cs fazekasSzjgyrt szabSzab lakatosFazekas kovcsKatona sz?csLakatos katonaMszros szjgyrtSzekeres mszros

VendgsgbenI. A vendglt tanr vrs haj, felesge sz?ke (a, b, i).II. A trsasgnak egy fekete haj mrnk tagja az, aki ezen az estn (az orvos hzaspron kvl)

nem mond igazat (h, j, I).III. A tanr teht igazat mond: a tanr sz?ke haj felesge Piri (II, g).IV Piri nem hazudhat, teht a msik kt asszony hajszne ugyanaz, vagy mindkett? fekete, vagy

mindkett? barna (I, II, III, f).V Pl semmikpp sem mondhat igazat, mert ha igazat mondana, akkor csak mrnk lehetne, de

akkor barna haj a felesge, a msik mrnk sem hazudhatna, ami ellentmond II-nek (I, II, III, j).VI. Pl teht a nem igazat mond barna haj orvos, s felesge fekete haj (V s IV),VII. Teht Tams a barna haj igazat mond mrnk, akinek felesge Dra, a fekete haj igazat

nem mond mrnk (II, VI, IV, II).VIII. A tanr neve teht Sndor (c, VI. VII), az orvos felesge pedig Ella (c, III, VII).sszefoglalva: a vrs haj tanr Sndor, sz?ke haj felesge Piri. A barna haj mrnk Tams,

fekete haj felesge Dra, a barna haj orvos Pl, fekete haj felesge Ella.

Nemtr?dm szl?kTeljesen mindegy, hogy melyik ponton tmadjuk meg a problmt, akrhonnan indulunk ki, egy-

formn knny? megoldani.Ketten lltjk, hogy Rozi a negyedik volt. Ha ez nem volna igaz, akkor Panni msodik lett volna

(Panni) (a zrjelben lev? utalsok az idzett levlrszletekre vonatkoznak), Kati pedig az els? (Rozi).De ha Kati az els?, akkor vi els? lltsa nem igaz, kvetkezskpp msodik lltsa az igaz, azazZsuzsi volna a msodik, ami nem lehetsges, mert mr tudjuk, hagy Panni a msodik.

gy teht igaz kell hogy legyen, hogy Rozi a negyedik. Ebb?l kvetkezik, hogy Panni nem a mso-dik, gy (Kati) Kati a harmadik, vi az tdik (Zsuzsi), Zsuzsi a msodik (vi). Teht mr csak Panni akrdses, neki az egyetlen resen maradt helyre, az els?re kell kerlnie.

gy teht a verseny helyezsi listja a kvetkez?: els? Panni, msodik Zsuzsi, harmadik Kati,negyedik Rozi, tdik vi.

A hrom istensgBalra l a blcsessg, kzpen a hazugsg, jobbra pedig az igazsg istene.A bal oldali isten nem lehet az igazsg istene, mert akkor nem mondan a kzps???l, hogy ? az

igazsg istene. A kzps? sem lehet az igazsg istene, mert akkor nmagrl nem mondott igazat.Teht a jobb oldali az igazsg istene. Akkor viszont igazat mondott, teht a kzps? a hazugsg

istene, gy a bal oldali mr csak a blcsessg istene lehet.

A f?mufti tleteA hrom kdi, mivel okos emberek, mindhrman rjnnek arra, hogy csak egy arany bojtos sapka

lehet a krben valamelyikkn. Ennek kt altmasztja Is van:1. Egyik?jk kt fekete sapkt lthat kt trsn, gy csak egy arany bojtos sapka lehet, ami ebben

az esetben sajt magn van, s ugyangy a msik kett? is ezt felttelezi.2. Ha kt arany bojtos sapka lenne, akkor a harmadik tag, aki ezt ltja, rgtn tudja, hogy mivel

tbb arany bojtos sapka nincs, gy az ? fejn csak fekete lehet.Ezrt a hrom kdi csak ll s gondolkodik, hogy a sajt fejn arany vagy fekete bojtos sapka van,

s ez a dnt?. Mivel a harmadiknak eszbe jut, hogyha az ? fejn arany bojtos sapka lenne, akkor amsik kett? knnyen kitallhatn, hogy az ? fejkn csak fekete lehet, de mivel ezek nem szlnaksemmit, akkor az ? fejn is csak fekete bojtos sapka lehet. Ezrt mondta, hogy az ? fejn fekete bojtossapka van.

A szabadulsTbb megolds is ltezik, a lnyeg, hogy dupla tagadsra kell knyszerteni a hazuds ?rt, mert az

mr a helyes vlaszt adja. Pldul: Ha megkrdeznm, hogy a bal oldali ajt van-e nyitva, azt felel-nd, hogy igen? (Az ajt nyitottsgt illet?en a hazuds ?r a valsg ellenttt vlaszoln. De mivelazt is megkrdeztk, hogy mit vlaszolna, letagadja a hamis vlaszt, azaz az igazat monda. Az igaz-mond ?rrel nincs problma.)

Fura Feri napjaiEz nem lehet igaz llts, mert akkor kt egyms utni napon mondana igazat. Teht ezt egy

hazuds napjn mondta, s a kvetkez? napnak is hazudsnak kell lennie, gy csak szombaton mond-hatta.

lombli letAbbl, hogy az illet? azt hitte, hogy ? nappali tpus, s bren volt, mindssze csak annyi kvetke-

zik, hogy ? nem jszakai tpus, aki aludt. gy hrom lehet?sg van.1. Az illet? jszakai tpus, s bren volt (hiedelme hamis).2. Az illet? nappali tpus, s aludt (hiedelme hamis).3. Az illet? nappali tpus, s bren volt (hiedelme hamis).Most tegyk fel, hogy megmondtam a bartomnak, hagy az illet? nappali vagy jszakai tpus; le-

hetsges, hogy ezutn mr meg tudta volna oldani a rejtvnyt? Nos, ez attl fggene, hogy mit mond-tam neki. Ha azt mondtam volna neki, hogy jszakai tpus, akkor ebb?l tudhatta volna, hogy az (1)eset az egyetlen lehet?sg, vagyis az illet? bren volt. Ha viszont azt mondtam volna neki, hogy azillet? nappali tpus, akkor ez az (1) lehet?sget kizrja, de marad a (2) s (3) eset, s a bartom sem-mikppen nem tudhatta volna, hogy a kett? kzl melyik teljesl, gy nem tudta volna megoldani a fel-adatot.

A bartom viszont nem is azt krdezte, hogy az illet? nappali vagy jszakai tpus, hanem azt,hogy meg lehetne-e oldani a feladatot, ha elrulnm, hogy az illet? nappali vagy jszakai tpus-e. Haaz illet? nappali tpus lenne, akkor nemmel kell vlaszolnom a bartom krdsre (hiszen amint lt-tuk, ha megmondanm, hogy az, illet? nappali tpus, akkor nem lehet megoldani a feladatot), de ha azillet? jszakai tpus, akkor igent kell vlaszolnom (hiszen amint lttuk, ha azt mondanm, hogy azillet? jszakai tpus, akkor meg lehetne oldani a feladatot).

Teht mivel a bartom rjtt, hogy az illet? jszakai tpus, s bren volt, nyilvn igent vlaszol-tam.

Vndorok vitjaMivel az els? 3 llts kzl pontosan 1 lehet csak igaz (s azt csak az igazmond mondhatta), gy

aki vltakozva mond igazat, ill. hazugsgot, az els? lltsban hazudott. Ezrt a msodik 3 lltskzl pontosan kett?nek igaznak kell lennie, hiszen csak a lkt? hazudhatott. ? pedig biztosan meg istette.

Az utols kt llts ugyanazt mondja, gy egyszerre igazak vagy hazugsgok, azaz az el???ek r-telmben csak igazak lehetnek, gy csak ron lehet a lkt?. Ezek szerint ron 2. lltsnak els? r-sze is hazugsg, azaz Csaba els? lltsa igaz, gy ? az igazmond. Ebb?l mr addik az elszllsolssorrendje:

1. Csaba2. ron3. Bla

??tlen felesgekBiztos, hogy van a faluban legalbb egy h?tlen felesg. Ha n egy h?tlenr?l sem tudok, akkor az

n felesgem h?tlen, s el kell vinnem a templomba. Ha n egy h?tlenr?l tudok, akkor mg nem biztos,hogy tnyleg csak egy van. Ha azonban htf?n nincs senki a templomban, akkor mindenki tudott leg-albb egyr?l, azaz minimum kt h?tlen van. Mivel n pontosan egyr?l tudok, ezrt az n felesgem amsik h?tlen, s kedden dlben ott lesz a templom lpcs?jn. Ha n kt h?tlenr?l tudok, akkor keddensem vihetem el, mivel lehet, hogy tnyleg csak kt h?tlen van. Ha azonban kedden dlben sincs ottsenki, akkor mindenki tudott legalbb kett? h?tlenr?l, azaz minimum hrom h?tlen felesg van. Miveln pontosan kett???l tudok, ezrt az n felesgem a harmadik h?tlen, s szerdn dlben ott lesz atemplomban mind a hrom. Ha n hrom h?tlenr?l tudok, akkor szerdn sem vihetem oda, mivel lehet,hogy tnyleg csak hrom h?tlen van. Ha azonban szerdn dlben sincsen ott senki, akkor mindenkitudott legalbb hromrl, azaz minimum ngy h?tlen van. Mivel n pontosan hromrl tudok, ezrt azn felesgem h?tlen, s cstrtk dlben ott lesz a templomban. Ezzel el is rtnk a megoldshoz. Angy felesg cstrtkre kerl a templomba, mivel minden ember ugyangy gondolkodik a faluban. Agondolatmenetet akrmeddig lehetne folytatni, teht pntek dlben mar tnek kellene lennie stb.

ramsznet MackknlMack Papa fogyasztsa legyen a tovbbiakban P, a mam M, Lack L.A kiindul felttelek: P > M > L > 0 s P + M + L

4) Most mr Papa is tudja, hogy M = 3 s L = 1. Teht, ha P = 5, maradt mz, ha P = 6, akkor nem.Ezt csak ? tudja, sem mama, sem Lack, sem mi.

Vigyzat, csalok!Krmnfont, becsaps feladvnyok gy?jtemnye ezen fejezet, csak a nyitott szemmel, jzan sz-

szel rendelkez?k vszelhetik t a feladvnyok megprbltatsait. rdemes m?veltsgi tudsanyagun-kat is aktivizlni, hogy rjjjnk az apr csalsokra, becsaps megfogalmazsok nyitjra.

Ki a pilta?Vezetsz egy repl?gpet. Benne l Alain Delon, Claudia Schiffer, Bo Derek, Marcello

Mastroianni, Ford Fairlane, Niki Lauda, Kovcs Jnos cip?fels?rsz-kszt?, Nagy Istvnrepl?gp-szerel?, Kiss Mria poln?, valamint Szab Piroska tolmcs. Vajon mi lehet apilta neve?

SzerelmeslevelekA kirly szpsges lnyt a vrtorony legmagasabb szobjba zrta, hogy rbrja az orszg rde-

keit szolgl hzassgra. A kirlykisasszony ugyanis nem Aranyfld uralkodjnak legid?-sebb fiba volt szerelmes. Szve a h?s Lovi lovagrt dobogott. Szerencsjre nhny apr-sgot magval vihetett a toronyba. Szolglja azt tancsolta neki, hogy vigye magval amadarait, ugyanis ezek kztt volt ht szlsebesen repl?, sajt nevels? postagalambjais.

- Toll s papr lesz nlad, kirlylny, az ablakot pedig brmikor kinyithatod. A lovagnak is van hatsajt postamadara, gy tudtok levelezni - a tbbi mr rajtad ll. Pontosan hny levelet vlthattak a ga-lambok segtsgvel?

Nz?pont krdseSosemvoltorszg kirlya kedvelte a szpet, s persze nmagt. Megbzott egy fest?t, hogy kszt-

sen rla egy kpet, hogy az utkor is gynyrkdni tudjon benne. Mikor a kp elkszlt, smegltta, borzaszt haragra gerjedt, s gy kiltott:

- Hogy mertl ilyet cselekedni, te ktbalkezes piktor!? A hajambl szakllt csinltl, aszmat felhztad a magasba, a bajuszom meg a homlokom helyn van? Megfizetsz ezrt,gazember! Brtnbe a kirlygnyolval!

Vajon hogyan meneklt meg a fest? a brtnt?l?

Kormos arcokKt kmnysepr? lemszott egy rgi krt?be. Egyikk olyan ktbalkezes volt, hogy

sszepiszkolta az arct, a msik azonban tiszta maradt. Munkjuk utn nem szltak egyszt sem egymshoz. Vajon melyikk fogja megmosni az arct?

Megtveszt? vgrendeletMeghal egy ember. s az gyvd el?tt felolvassk a vgrendelett: n, Bodri Jska, szletett

1859-ben Budapesten, most 1920-ban, az els? vilghbor utn 2 vvel a kvetkez? vg-rendeletet hagyom: Hzamat legid?sebb gyerekemre, Jzsefre hagyom. F?rsztelepemeta msodszltt fiamra, Krolyra hagyom. Vagyonomat pedig egyetlen lnyomra, Jolnrahagyom. Ha valamim mg hallom napjig lesz, azt osszk szt gyermekeim kztt egyenl? rszben.Alrs: Bodri Jska

Az gyvd tfutja a paprt, s kijelenti:- A vgrendelet hamis!Vajon honnan tudta?

Baja s Budapest kzttTrtnt egyszer, hogy nagy dulakods tmadt Bajn, az egyik kocsmban. sszecsa-

pott kt piros s kt kk ruhs frfi, s alaposan ellttk egyms bajt. A gond akkor kelet-kezett, mikor Budapest s Baja kztt kifogtak egy kk ruhs halottat. Vajon hol kell elte-metni az illet?t?

gyes-e a tolvaj?Egy tolvaj egy rgisgboltbl sikeresen elcsent egy rgi rmt. A felirata szerint

Kr. e. 53-ban vertk. Nagyon megrlt neki a tolvaj, s elkezdte szmolgatni, mennyit kap-hat rte a feketepiacon, ha minden Krisztus el?tti v 3000 forintot r. Vajon mennyit kapha-tott rte?

TojskrdsA tykl tetejt Marci gazda ferdre ptette. Az egyik oldala 55 fokos szgben, a m-

sik oldala 80 fokos szgben lejt. Tegyk fel, hogy egy oktondi kakas pp az l tetejnek azlre tojik egy tojst. Vajon melyik oldalon fog a fldre hullani?

SzerelmesekEgy jegenyefra, amely pontosan egyves, fl mter magassgban egy szvet vsett

egy szerelmespr, hogy meg?rizzk az utkornak is drga rzelmeiket. Vajon kt v mlvakb. milyen magasan lesz a szv?

Mennyi az annyi?Trtnt egyszer, hogy nem trtnt semmi. Trtnt egyszer, hogy mg mindig nem tr-

tnt semmi. s trtnt egyszer, hogy valaki megkrdezte: hny bet???l ll a legrvidebbhelyes vlasz erre a krdsre?

Mindent lt matrzokEgy haj szak fel halad, s a korltjnl kt matrz ll. Az egyik kelet, a msik nyu-

gat fel nz (nem fordulnak meg). Mindketten a tenger hullmait bmuljk. Egyszer csakgy szl az egyik a msikhoz:

- Egy kis korom van az orrodon!A msik vlaszol:- rdekes, rajtad pedig egy pk mszik!Hogyan lttk egyms arct a matrzok? Nem fordultak meg, semmilyen segdeszkzt nem hasz-

nltak (tkr).

Milyen a j f?nk?Egy ember elszeg?dtt dolgozni. Azt mondta a f?nknek, hogy szerinte a munkja

megr egy vben 200.000 Ft-ot. De a f?nknek ms volt avlemnye:

- Ide figyeljen. n a nap 24 rjbl 16-ot ellazsl. Te-ht az id? ktharmadt, ez egy vben (kb.) 238 nap. Marad 118 nap.Van mg 53 szombat s vasrnap, azaz 106 nap. Marad 12 nap.Szval azt hiszi, hogy megr nekem vi 200.000 Ft-ot az, hogy dol-gozik 12 napot?

Hol a hiba a f?nk okoskodsban?

A fekete kavicsA rabllovag elfogta egy el?kel? lny desapjt. A lny a lovag vrnak udvarn knyrgtt, hogy

eressze szabadon az apjt. A lovag lehajolt a fldre, s kt kavicsot tett egy b?rzacskba.Azt mondta, hogy ha a lny a fehret hzza kzlk, akkor szabadon engedi az apjt, ha afekett, akkor az rkre rab marad. Igen m, de a lny megltta, hogy a rabllovag kt feke-te kavicsot tett a zacskba.

Mit tehet a lny, hogy megszabaduljon az desapja?

Rmlom a szllodbanHt fradt ember trt be egy vidki szllodba. Szllst krtek, de kiktttk hogy mindegyikknek

kln szobt adjanak. Vendgltjuk kzlte, hogy csak hat szabad szobja van, de azrtremli, sikerl majd ignyknek

megfelel?en elhelyezni a kedves vendgeket. Az els? vendget bevezette az els? szo-bba, a msodikat pedig megkrte, hogy vrjon ott nhny percig. A harmadik vendget amsodik szobba, majd a negyedik vendget a harmadik szobba, az tdik vendget a negyedikszobba s a hatodik vendget az tdik szobba vezette. Ezutn visszament a hetedik vendgrt azels? szobba, s tvezette ?t a hatodik szobba. gy mindenkit knyelmesen elhelyezett.

Vagy mgsem?

Flresikerlt lomA nagyapm meslte, hogy francia nagyanyja napljban olvasta, hogy a nagyapm nagyanyja

meg a nagyapm nagyapja egyszer sznhzban voltak, s mivel nagyon unalmas volt a da-rab, a nagyapm nagyapja elaludt. ppen a francia forradalomrl lmodott, s mr a feje ottvolt a guillotine alatt, amikor vget rt a darab, s a nagyapm nagyanyja - hogy felbressze- megbkte a nyakt, mire a nagyapm nagyapja szvrohamot kapott, s szrnyethalt. Vajonmennyire hihet? a trtnet?

BrnykkEgy parasztnak 11 brnya van. Trtnt egyszer, hogy hatalmas vihart trt ki, mikzben

a brnykk legelsztek, gy kilencen kvl mind elpusztul. Mit gondolunk, hny brnyamarad ht a parasztnak?

A maffiaEgy frfi a maffia el?l menekl. Napok ta autzik, de vgl gy elfrad, hogy megszll egy elha-

gyatott kisvrosi motelben. A szobjban ppen kipakolja a kofferjt, amikor kopognak azajtn, s egy frfi nyit be. Mikor megpillantja embernket, a kvetkez?ket mondja: Elnzst!Azt hittem, hogy az n szobm. Ezek utn becsukja maga mgtt az ajtt, s tvozik. Amenekl? egy pillanatra megll, majd elkezdi visszadoblni holmijt a b?rndbe. Rjtt, hogy a maffiamegtallta. Vajon mib?l sejtette meg?

A favg btyjaA favg btyja meghalt, s egymilli (1.000.000) kanadai dollrt hagyott egyetlen cs-

csre. Br a pnzt trvnyesen kifizettk, a favg mgsem ltott bel?le egy huncut vasatsem. Hogyan trtnhetett ez?

MoszatEgy amerikai titkos laboratriumban kitenysztettek egy olyan moszatfajtt, mely olyan

gyorsan szaporodik, hogy minden percben megktszerezi nmagt. Ha egy tavat 60 percalatt tert be, hny perc alatt terti be a felt?

CsokivsrlsAnna s Zoli csokoldt vsrolnak. Annnak 24 forint kell mg egy csokihoz, Zolinak 2.

gy dntenek, egytt veszik meg a csokoldt, s sszerakjk a pnzket, m kiderl, hogymg gy sem tudjk a csokoldt megvenni. Mirt?

Megoldsok

Ki a pilta?Mivel a repl?gpet Te vezeted, ezrt a pilta neve a Te neved.

SzerelmeslevelekEgyet sem. A postagalamb ugyanis az otthonba tall vissza, gy a kirlylny hiba kld Lovi lo-

vagnak levelet, azt legfeljebb az otthon tartzkod desapja kaphatja meg.

Nz?pont krdseElegend? volt megfordtani a kpet, melyet a kirly rosszul nzett.

Kormos arcokAmelyikknek tiszta maradt, hiszen ? kormosnak ltja a msik arct - aki azonban azt hiszi, hogy

az v is olyan tiszta, mint a trs.

Megtveszt? vgrendeletAz els? vilghbor elnevezsb?l: ugyanis az els? vilghbor utn mg nem nevezhettk els?-

nek. Csak azutn kaphatta ezt a nevet, hogy volt msodik. gy a vgrendelet rja sem tudhatta mg,hogy lesz msodik - ennek alapjn jtt r az gyvd, hogy a vgrendelet hamis.

Baja s Budapest kzttHol mshol, mint a temet?ben

gyes-e a tolvaj?Ha az rme valban a Krisztus el?tti id?kb?l szrmazott volna, nem rhattk volna r, hogy

Kr. e. 53-ban (hiszen nem tudhattk, hogyan alakul majd ks?bb az id?szmts). gy az rme hamis,s a tolvaj egy lyukas petkot sem kap rte.

TojskrdsSemerre sem: a kakas ugyanis nem tojik tojst!

SzerelmesekUgyangy fl mter magasan, mert a fk a tetejkn n?nek, legfeljebb egy kicsit megn? a szv m-

rete.

Mennyi ar annyi?tb?l.

Mindent lt matrzokEgymssal szemben lltak

Milyen a j f?nk?A legf?bb hiba az, hogy htvgenknt is levont 106 x 16 rt, pedig azt nem kellett volna, gy a

htvgeket 80 rsnak szmolta.

A fekete kavicsAz eredeti megolds: vegye ki az egyik kavicsot, s ne mutassa meg a rabllovagnak. Ekkor nyu-

godtan mondhatja, hogy nzzk meg, milyen szn? maradt a zacskban. ? biztosan a msik szn?thzta.

Rmlom a szllodbanMgsem! A hiba ott van, hogy a msodik vendget egyttal hetediknek is szmoltuk, gy egyvalaki

mg mindig szllsra vr.

Flresikerlt lomA trtnet ott sntt, hogyha az illet? lmban szrnyethalt, akkor senki sem tudhatja, hogy mit l-

modott.

BrnykkMivel kilencen kvl mind elpusztult, kilenc brnya maradt.

A maffiaAz ember nem kopog a sajt szobjnak ajtajn, ebb?l jtt r a menekl?, hogy megtalltk, s

csak ellen?rizni akartk, hogy valban ?t keresik-e.

A favg btyjaMegolds: a favg n?. Az egyik fitestvre halt meg, s az letben maradt fitestvrre hagyott

1.000.000 kanadai dollrrl volt sz.

MoszatA megolds: 59 perc, mert ekkor a felnl tart, s ha megktszerez?dik, betlti a tavat.

CsokivsrlsA csokold 24 forintba kerl, Annnak ekkor ugyanis nincs egy forintja sem, s hiba rakja ?ket

Zoli 22 forintjval, az mg mindig nem teszi ki a 24-et.

Krtya- s b?vsztrkkk, sakkfeladvnyokLogikusan megrthet? s elsajtthat trkkk sorakoznak e fejezetben, melyek akr egy kisebb

trsasg elkprztatsra is alkalmasak. A sakkot szeret?k pedig j szemszgb?l is megkzelthetikkedvenc jtkukat.

t csomag krtyaten ltek az asztalnl, a b?vsz s ngy lelkes hve. A b?vsz szt krt:- Egy egyszer? trkkt szeretnk nektek bemutatni, remlem, rvid id? alatt ti is utnam tudjtok

majd csinlni.t kis csomag krtyt vett el?, mindegyik csomag t krtybl llt. Felszltotta a ngy

nz?t, hogy vlasszanak ki egy-egy csomagot maguknak. A kivlasztott csomagot ezutn akezbe vette, s mindenki gondolatban megjegyzett magnak egy lapot a csomagjbl.

A b?vsz sszeszedte az t krtyacsomagot, majd jbl sztrakta t kis, egyenknt tlapos cso-magra, s gy szlt:

- Sorra felmutatom nektek az t csomagot, mindegyiket legyez?szer?en szttertve. Aki ltja, hogya felmutatott lapok kztt van az ltala megjegyzett, az szljon, s n megmondom, melyik volt az a lap.

gy is trtnt. Mg amikor egy felmutatott csomagban kt nz?jnek is benne volt a kivlasztott lap-ja, akkor is felmutatta mindegyiknek pontosan azt, amelyikre gondolt.

Utna tudjuk ezt a trkkt csinlni?

Nagy problma - sakkproblmaAzt szerettem volna kiprblni, hnyflekppen tudok egy sakktbln kt klnbz?

szn? bstyt elhelyezni gy, hogy azok ne thessk le egymst. Szmtalan lehet?sgetprbltam vgig, s lttam, hogy ily mdon nagyon sok id?be telne, mg a problma vgrejrnk.

Vajon hogyan lehetne egyszer?en sszeszmolni az eseteket?

Randolini krtyatrkkjeRandolini, a hres b?vsz mindig nagy sikereket rt el a kvetkez? krtyatrkkel: vala-

melyik nz?nek odaadott egy krtyacsomagot. Felszltotta, hogy amg ? htat fordt, v-gezze el a kvetkez?ket:

1. Emelje meg a krtyacsomagot. ahnyszor csak akarja (ami azt jelenti, hogy a csomagot nhnyfels? lap felemelsvel kt rszre bontja, s a fels? lapokat vltozatlan sorrendben a csom aljra rak-ja. A csomag kettbontst gy kell elvgezni, hogy mind a fels?, mind az als flben tbb mint egy laplegyen).

2. Emelje le a csomag egy rszt, s helyezze a megmaradt csom mell.3 Az egyik csomt emelje meg, s a legals lapot tegye t a msik

csomba.4. Vgeredmnyben teht kt csomt kapott. A kett? kzl az egyi-

ket keverje meg, s nyjtsa t neki.Mg azt sem kellett Randolininek megmondani, melyik csomagot

adjk t, azt-e, amelyikb?l kivettk a lapot, vagy azt, amelyikbe ttettk.Randolini kezbe vette a krtyacsomag gy visszakapott rszt, kis

gondolkods, nzegets utn megmondta, melyik volt az a lap, amelyi-ket az egyik csomagbl ttettek a msikba, s ha ez a lap a kezben lev? csomban volt, a kznsgnagy csodlkozsa kzben ezt fel is mutatta. Mi lehetett Randolini trkkje?

Csak rk krdseVegynk el? egy rt, s partnernket szltsuk fel, hogy gondoljon egy szmot 1 s 12

kztt. Ezutn keznkbe vesznk egy ceruzt, s az ra szmlapjn a szmlap klnbz?szmain sszevissza elkezdnk kopogni. Megkrjk partnernket, hogy minden egyeskopogsnl szmoljon tovbb egyet a gondolt szmtl kezdve, s szljon, mikor a hszasszmhoz r. Trsunk meglep?dve lthatja, hogy ekkor mi ppen a gondolt szmra koppantottunk. Ho-gyan is csinlhattuk ezt?

Kt parti sakkLelkes sakkbart s sakkoz vagyok mr rgta, a bartn?met mgsem tudtam rvenni, hogy

megtanuljon jtszani. A lpseket is csak pphogy ismeri. Trtnt egyszer, hogy kt sak-koz bartom jtt hozzm ltogatba. Szoksunk szerint mindkett?jkkel egy-egy partisakkot jtszottam. Mi tagads, nagyon rossz formban voltam, s mindkt partiban csfosanmegvertek. Bartn?m, amikor bejtt a szobba, s megtudta veresgemet, kifakadt:

- Krem, hadd bizonytsak n a bartom helyett. Szeretnk mindkett?jkkel egy-egy partit jtszani.grem, hogy jobb eredmnyt rek el, mint a bartom. Mg azt az el?nyt sem krem, hogy mindktpartiban n legyek a kezd? fl. S?t, az egyikben vilgos, a msikban stt szeretnk lenni. Mg azt azel?nyt is megadom nknek, hogy mind a kt partit egyszerre jtszom.

gy is trtnt. S annak ellenre, hogy mindkt vendgem a t?le telhet? legnagyobb er?fesztsseljtszott, a bartn?m mgis sokkal jobb eredmnyt rt el, mint n. Hogyan lehetsges ez?

Hinyos sakktblaA 8 x 8-as sakktbla bal als s jobb fels? sarkt kivgtuk. Le lehet-e fedni ezt a tblt

hzagmentesen s tfeds nlkl 1 x 2-es dominkkal?

Megoldsok

t kis csomag krtyaA trkk termszetesen megismtelhet?: szedjk ssze a nz?kt?l a krtyacsomagokat, kpes ol-

dalukkal lefel, s gy tegyk ssze, hogy emlkezznk az sszeraks sorrendjre. Pl. legalulra te-gyk a bal els? nz? lapjt, majd a msodikt stb.

jra sztosztjuk egyesvel az t csomagot, s ezeket legyez?szer?en szttrjuk. Ha gy trjuk szt,hogy az als lapokat bal fel toljuk, a fels?ket jobb fel, akkor nyilvnval, hogy a bal szls? krtyaabbl az els? leosztsbeli csomagbl szrmazik, amelyiket a bal els? nz? vlasztott, a msodik amsodik nz???l stb. Teht ha valamelyik szttrs utn a harmadik nz? azt mondja, hogy az ltalagondolt lap kztk van, akkor az csak a balrl harmadik lehet. Hasonlkpp, ha ketten is szlnak,mindkett?nek oda tudjuk adni a gondolt lapot.

Nagy problma - sakkproblmaHelyezzk el a sakktbla egy tetsz?leges mez?jre a vilgos bstyt. Hogy ne thessk egymst,

a msik bstyt nem tehetjk arra a sorra, ill. oszlopra, ahova a vilgos bstyt tettk. Ez sszesen 15hely, azaz a msik bstyt 64 - 15 = 49 mez?re tehetjk. Miutn a fehr bstya 64-fle elhelyezshezmindig a stt bstya 49-fle elhelyezse jrul, felttelnknek megfelel?en a kt bstya sszesen64 x 49 = 3.136-flekpp helyezhet? el.

Randolini krtyatrkkjeA kiadott krtyacsomagnak ismerni kell a sorrendt (persze elg, ha ciklikus sorrendje ismeretes).

Az emelsek nem vltoztatnak a ciklikus sorrenden, ezt knny? ellen?rizni. Ha pl. a krtykat kirakjukkrbe, s megjegyezzk, mi hol fekszik, majd sszerakjuk, emelnk egy prat, s jbl kirakjuk a lapo-kat, azt tapasztaljuk, hogy ugyanazt a kpet kapjuk, csak esetleg elforgatva.

Most mr knny? az trakott lap kitallsra mdszert adni.A keznkbe adott krtyacsomagot rendezzk t az eredeti ciklikus sorrendnek megfelel?en. Kt

eset lehetsges: vagy egy olyan krtya van, amely ciklusba nem illik bele, vagy pedig a ciklusbl egykrtya hinyzik. Az els? esetben azt a krtyacsomt kaptuk, amelyikbe traktak a msik csomagbl, saz trakott lap az, amelyik kilg a ciklusbl; a msodik esetben (s a gyakorlatban ez fordul el? tbb-szr) azt a krtyacsomagot kaptuk, amelyikb?l elvettek egyet, s a hinyz egy lap lesz az, amit elvet-tek.

Nzznk egy pldt.Legyen az egyszer?sg kedvrt a krtyacsomagban mindssze 13 krtya 1, 2, 3, , 10, bubi

(B), dma (D), kirly (K), ebben a sorrendben sszerakva. Egy emels utn a sorrend pl.: 9, 10, B, D,K, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Mg egy emels 6, 7, 8, 9, 10, B, D, K, 1, 2, 3, 4, 5. (Lthatjuk egyttal azt is,hogy akrhny emels helyettesthet? egy alkalmas emelssel.) A krtyacsomagot mondjuk a kvet-kez? kt rszre bontjk: az egyik csomagban a 6, 7, 8, 9, 10, B, D, K, s a msikban 1, 2, 3, 4, 5 van. Amsodik csomagbl tteszik pl. a 2-t az els?be, sszekeverik, s ideadjk a kvetkez? sorrenddel: 6,D, K, 2, 9, 7, 13, 10, 8. A lapokat ekkor sorrendbe kpzeljk, s ltjuk, hogy a 6 s a K kztt minden lapmegvan, s a sorbl csak a 2-es lg ki, gy szksgkpp ez az ttett lap.

Termszetesen a trkk tnyleges kivitelezsnl clszer? 52 lapot hasznlni, s olyan gyes sor-rendb?l kiindulni, ami br knnyen megjegyezhet?, a nz?k szemben mgis sszekevertnek t?nik.

Csak rk krdseAz els? ht kopogsnl akrmelyik szmjegyre kopoghatunk. Nyolcadszorra a 12-es szmra, majd

a 11-esre, majd a 10-esre s gy tovbb, mindig eggyel visszafel. A trkk magyarzata a kvetkez?:mivel legfeljebb tizenkett?t lehet gondolni, az els? ht koppantsra senki sem ri el a 20-at. Ezrt ekkormg mindegy, hova koppantunk. A 8. koppantsnl az ri el a 20-at, aki 12-?t gondolt, teht nyolcad-szorra a 12-re kell koppantanunk. Kilencedszerre az ri el a 20-at, aki 11-et gondolt, teht kilenced-szerre a 11-re kell koppantanunk. s gy tovbb visszafel. gy tnyleg minden szmra akkor koppan-tunk, amikor a szni gondolja a 20-hoz r.

Kt parti sakkA megolds igen tletes, de egyszer?: a bartn?m egyms ellen versenyeztette a kt bartot. Te-

gyk fel, hogy az els? asztalnl volt a bartn?m stt, s a msodik asztalnl vilgos. Akkor az els?asztalnl l? bartom lpett valamit, bartn?m tment a msodik asztalhoz, s ugyanazt a lpst meg-tette, mint a vilgos. Vrt, mg a msodik asztalnl l? bartom vlaszolt a lpsre, majd visszamentaz els? asztalhoz, s ezt a vlaszhzst lpte meg az els? tblnl. Ugyanilyen mdszerrel jtszott to-vbbra is, vagyis vgeredmnyben az els? s msodik asztalnl l? bartaim egyms ellen jtszottak,s a bartn?m csak a lpseket tovbbtotta kzttk. Ezzel egy pont biztostva volt szmra, ugyanisvagy mindkt partiban dntetlenl vgez, vagy ha az egyikben veszt, akkor a msikban nyer.

Hinyos sakktblaA hinyos sakktbln nem egyenl? a fekete s a fehr mez?k szma, hiszen ha az tellenes sar-

kokat vgtuk le, akkor pl. feketb?l kett?vel tbb mez? lesz, mint fehrb?l (vagy fordtva). A dominkazonban ugyanannyi fehr s fekete mez?t fednek le, gy a sakktbla nem lefedhet?.

Mricskljnk!Ide ntjk, oda ntjk, elosztjuk, megszorozzuk - a lnyeg, hogy valahogy kiszmoljuk, megllapt-

suk a mrsek segtsgvel a feladvnyok megoldst. A gazdasgossg a dnt?: ebben az esetbena minl kevesebb minl tbb.

Borom, borom, te mindenem!dn s Ott nagy ivcimbork. Trtnt egyszer, hogy egytt mentek bort venni, s megegyeztek,

hogy elfelezik a finom ned?t - azonban csak egy nyolc-, egy t- s egy hromliteres ed-nyk volt. A nyolcliterest telimertk a borral, majd elkezdtek tanakodni, hogyan is tudnk abort kt egyenl? rszre osztani anlkl, hogy ms segdeszkzt ignybe vennnek. Ho-gyan lehetne segteni az ivcimborknak?

LgytraAligt s Benk?t 120 km-es nylegyenes t kti ssze. Ugyanabban a percben indul el egy ver-

senykerkprosokbl ll karavn Aligbl Benk? irnyba, s nhny amat?r kerkprosBenk???l Aliga fel. Az el?bbiek 25 km/, az utbbiak 15 km/ sebessggel haladnak.

Abban a pillanatban, amikor Aligrl elindult a versenykerkprosok raja, egy lgy r-plt el?re 100 km-es sebessggel egszen addig, amg a szemkzti csoporthoz nem r, s akkor (se-bessgb?l semmit sem vesztve) visszafordult az el?bbi csoport irnyba. gy replt oda-vissza a ktcsoport kztt, s gy is halt tragikus hallt a kt kerkpros had vletlen sszetkzsekor. Meg tud-nnk mondani, hogy h?si emlk? legynk hny km-t replt meglls nlkl?

Mrsi trkkEgy bartom gygyszerszetre adta a fejt. Praktizlsa kzben szmtalan meglepets rte, mert

kiderlt, hogy a legegyszer?bb dolgokban is sok minden sokkalta egyszer?bben vgezhet?el, mint ahogy azt ? gondolta. Mikor ktelkedtem benne, nhny mrsi trkkt meslt elnekem.

Ngy dobozunk van, melyek kzl hrom egyforma sly, s a negyedik eltr? sly. Viszont vanhrom msik dobozunk is, melyek ugyanakkora slyak, mint amekkora sly a ngy kzl a hrommegegyez?. Kt mrssel llaptsuk meg, hogy a ngy doboz kzl melyik a tbbit?l eltr?, s hogynehezebb vagy knnyebb! Slyokat nem hasznlhatunk, s csak egy ktkar mrleg ll rendelkez-snkre.

Borban frdve17 s egy 13 literes vdrm van, mindkett? teli borral. 10 liter bort szeretnk egy isme-

??smnek lemrni, hogy elvihesse a szletsnapi sszejvetelre, de csak egy 19 literesres vdrm van. Kimrhetem-e vajon csak ennek segtsgvel a 10 liter bort?

A matematikus nyomozEgy rend?rfelgyel? egy matematikust szerz?dtetett, hogy a munkjt okos tancsokkal segtse.

Az els? tetthelyen, egy nagy fogads helysznn mindjrt be is mutathatta a tudomnyt.Szznl tbb, de ktszznl kevesebb pohr vrsbor volt el?ksztve a vendgeknek,

s a rend?rfelgyel? szerint kzlk egyetlenegy mrgezett. , irgalom atyja, ne hagyj el!Matematikusunknak a lehet? legkevesebb mrssel kell megllaptania a helysznen, egykis hordozhat laboratrium segtsgvel, melyik a mrgezett bor. Egy mrsben tbb pohr tartalm-bl is lehet egy mintt sszekutyulni, s a mregb?l egsz kicsi dzis is kimutathat.

- Vlasszon egy poharat, el?szr azt mrjk egyedl! - szlt a matematikus a felgyel?hz.- De ht ez pazarls, gy biztosan tbb mrs kell majd, mint a minimum! - kpedt el a felgyel?.- Ugyan mr, ne higgye, csak tegye nyugodtan, amit mondok! - mosolygott a matematikus. - K-

lnben is egy kis szerencsejtk jt tesz az emsztsnek.Feltve, hogy a matematikus tudta, mit beszl, hny pohr bor volt a fogadson el?ksztve? Hny

mrst kellett maximlisan vgezni a laborban?

GyertyafeladatVan kt kancunk, amelyek pontosan egy ra alatt gnek le, de nem biztos, hogy

egyenletesen (teht lehet, hogy az els? flra alatt a kanc egyik harmada, a msik flraalatt a ktharmada g le). Hogyan tudnnk a kt kanccal pontosan negyedrt mrni?

Replni, de hogyan?Van egy sziget a Fldn, ahol specilis repl?k llomsoznak egy lgibzison. Egy re-

pl? tele tankkal meg tudja lenni a Fld kerletnek felt. A gpek nulla id? alatt tudnakzemanyagot tadni egymsnak a leveg?ben, nulla id? alatt fel- s leszllnak, egybknt

pedig konstans sebessggel replnek. Minden gpnek a kiindulsi reptrre kell leszllnia. Krds:hny repl?gp s hny tank nafta kell ahhoz, hogy 1 gp teljesen megkerlje a Fldet?

A banditk aranyaVolt egyszer hrom bandita (mint tudjuk, nem

valami megbzhat npsg, ?k sem bznak egy-msban), akiknek volt egy kupac aranypora. Eztgy szeretnk elosztani, hogy egyikk se krosod-jon a msik (vagy a msik kett?, ha azok esetleg sszebeszl-tek ellene) hibjbl Nincs semmi eszkzk hozz (mrlegvagy ilyesmi), csak gy szemre vagy esetleg kt kzben mre-getve tudnak osztani. Milyen mdszer szerint kell eljrniuk?

Megoldsok

Borom, borom, te mindenem!A feladat sokflekpp oldhat meg, az egyik mdszer a kvetkez?:1. A nyolcliteres ednyb?l teletltjk az tliterest (3, 5, 0), (Az ttekinthet?sg kedvrt mindig ler-

juk, hogy a hrom edny mindegyikben mennyi bor van; az els? helyen a 8, a msodik helyen az 5, aharmadik helyen a 3 literes ednyben lev? bor mennyisget jelljk.)

2. Az 5 literes ednyb?l teltettk a 3 literest (3, 2, 3).3. A 3 literes edny tartalmt a 8 literesbe tltjk (6, 2, 0).4. Az 5 literes ednyben lev? bort a 3 literesbe ntjk (6, 0, 2).5. A 8 literes ednyb?l telitltjk az 5 literest (1, 5, 2).6. Az 5 literes ednyb?l feltltjk a 3 literest (1, 4, 3).7. A 3 literes edny tartalmt a 8 literesbe ntjk (4, 4, 0), s ezzel a feladatot mr meg is oldottuk.

LgytraSzmtsuk ki el?szr, mennyi id? alatt tallkozik a kt kerkpr csoport. Ha ezt az id?t t-vel jelljk,

akkor a versenykerkprosok ezalatt 25 t-nyi utat, az amat?r kerkprosok 15 t-nyi utat tesznek meg(t-t rban mrjk). A tallkozs pillanatban a kt t egytt pp 120 km kell hogy legyen, gy 25 t +15 t = 120, vagyis 40 t = 120, t = 3 ra. A lgy ez alatt a 3 ra alatt repked a kt csoport kztt, vgig100 km/ sebessggel, gy sszesen 300 km-es utat tett meg h?si hallig.

Mrsi trkkJellje A, B, C, D a 4 dobozt, s a, b, c a msik hrmat. El?szr A, B, C-t rakjuk az egyik serpeny?-

be, s a, b, c-t a msikba. Hogy knyelmesen kvetni tudjuk a lehet?sgeket, a kvetkez? jellseketvezetjk be: A > 0, ha az A doboz nehezebb, mint a tbbi, A < 0, ha a doboz knnyebb, A = 0 jelli afennmarad esetet; egy bet?csoport, pl. A B C sszektve egy msikkal a > vagy < jellel jelli, hogy azels? csoportban ll dobozok sszslya nagyobb vagy kisebb, mint azok, melyeket a msik bet?cso-port jell.

Az els? mrsnl teht ABC-t hasonltjuk ssze abc-vel. A kvetkez? lehet?sgek fordulhatnak el?ABC > abc, akkor a kvetkez? mrsnl A s B-t tesszk a mrlegre, sha A > B, akkor A > 0, ha A < B, akkor B > 0. s vgl A = B esetnC > 0. A tovbbi eseteket szveg nlkl kzlveABC < abc, A > B, B < 0

A < B, A < 0A = B, C < 0

ABC = abc A > D, D < 0A < D, D > 0.

Lthatjuk. hogy kt mrs mindig elgsges, annak ellenre, hogy brmelyik doboz nehezebb sknnyebb is lehet, mint a tbbi.

Borban frdveA kimrst el tudjuk vgezni, mghozz 15 lpsben.(1) A 7 literes tartalmt tntjk a 19 literesbe (7, 13, 0), ahol a zrjelben lev? hrom szm rendre

a 19, 13 s 7 literes vdrk bortartalmt jelzi;(2) a 13-asbl feltltjk a 19-est (19, 1, 0);(3) a 19 literesb?l feltltjk a 7 literest (12, 1, 7);(4) a 7 literes tartalmt tntjk a 13 literesbe (12, 8, 0);(5) a 19 literesb?l telitltjk a 7 literest (5, 8, 7);(6) a 7 literesb?l feltltjk a 13 literest (5, 13, 2);

(7) a 13 literes tartalmt tntjk a 19 literesbe (18, 0, 2);(8) a 7 literes tartalmt tntjk a 13 literesbe (18, 2, 0);(9) a 19 literesb?l feltltjk a 7 literest (11, 2, 7);(10) a 7 literes tartalmt tntjk a 13 literesbe (11, 9, 0);(11) a 19 literesb?l feltltjk a 7 literest (4, 9, 7);(12) a 7 literesb?l feltltjk a 13 literest (4, 13, 3)(13) a 13 literes tartalmt ttltjk a 19 literesbe (17, 0, 3);(14) a 7 literes tartalmt tntjk a 13 literesbe (17, 3, 0);(15) s vgl a 19 literesb?l feltltjk a 7 literest (10, 3, 7), s a 19 literes ednyben 10 liter borunk

marad.

A matematikus nyomozA matematikus tudta, mit beszl. A felttelek rtelmben a felezses mdszer a legclravezet?bb:

vesznk a poharak felb?l egy kicsit, sszentjk, ez egy mrs, Ha pozitv a mrs (= mrget tall-tunk), a csoport egyik felvel ismteljk a mrst, ha negatv, az els? mrsb?l kihagyottak felvel.Knnyen belthat, hogy ez a technika akkor a legjobb hatsfok, ha 2n poharunk van. ilyenkor mg nmrs ppen de elegend?.

Ha - amint a matematikus lltotta - egy mrs elpazarlsa egy pohrra nem rontja a nyomozsgazdasgossgt, akkor biztosak lehetnk benne, hogy 2n + 1 poharunk van, hiszen ehhez minden-kppen n + 1 mrs kellene. 100 s 200 kztt csak egy 2n szm van, 27 = 128. Ezrt a poharak sz-ma 129, s sszesen legfeljebb 8 mrsre van szksg. Egsz pontosan: ha a felgyel?nek szeren-csje van, akkor 1, minden ms esetben 8 mrsre.

GyertyafeladatAz egyik kancot meggytjuk mindkt vgn, a msikat csak egyik vgn. A mindkt vgn g?

kanc pontosan fl ra alatt g le (s ez fggetlen attl, hogy az gs egyenletes-e vagy sem!). Ezutnmeggyjtjuk a msik kanc msik vgt is, s az abbl megmaradt flrnyi darab negyedra alattg le.

Replni - de hogyan?2 kisegt? repl?gp, 4 tank zemanyag s 1 tank abban a repl?gpben, amelyik krberepl.Ugyanis: a bzisrl felszll 3 repl?gp tele tankkal, kztk amelyik krberepl. zemanyaguk ne-

gyednek elfogyasztsa utn (teht a krberepls nyolcadnl) a 3. repl?gp maradk zemanya-gnak harmad-harmad rszvel teletlti a msik kett?t, majd hazarepl. jabb nyolcad tv megtteleutn a 2. repl? is tadja maradk zemanyaga harmadt az 1.-nek, majd hazarepl. Az 1. ezutnteljes zemanyagkszlett felhasznlva a tv hromnegyed rszig repl. A 2. s 3. ekzben teletan-kol, 2. a tv hromnegyednl (mr csak flig tele tankkal) tallkozik 1-essel, itt megfelezi vele mara-dk zemanyagt, majd egytt replnek a tv htnyolcadig, ahol vrja ?ket a 3. repl?gp. A 3. ma-radk zemanyagt harmadoljk s hazareplnek.

A banditk aranyaA megolds a kvetkez?: az egyik hromfel osztja a kupacot. A msik kivlaszt kett?t, ezeket

sszekeverik. A ki nem vlasztott az els?. A harmadik ktfel osztja az el?bb sszekevert kupacokat,s a msodik vlaszt egyet. A maradk a harmadik. Vagy:

1. A elosztja 3 fel az aranyat; 2. B, majd C vlaszt magnak egy-egy kupacot, a maradk A-lesz; 3. ezutn C, ha akar, felezhet B-vel (ez kizrlag C dntse); 4. majd B, ha akar cserlhet kupa-cot A-val. A 3. lps felezse azt jelenti, hogy sszentik a kupacokat, B megfelezi, C pedig vlasztmagnak egyet.

Nem csak matematikusoknakValamilyen matematikai problmra, egyenletrendszerre visszavezethet? feladvnyok csokrt rejtik

a tovbbi lapok. A fejtrst az okozhatja, hogy nem is olyan egyszer? megtallni a szvegek mlynrejl? logikt, s olyan tlettel tfordtani a matematika nyelvre, hogy elvezessen a megoldshoz.

HajtonMinden dlben s jflkor egy-egy hat indul el New Yorkbl Lisszabonba, s egy msik, ugyan-

azon az tvonalon Lisszabonbl New Yorkba. A hajt pontosan nyolc napig tart. Mltkori-ban ezzel a hajjrattal mentem New Yorkbl Lisszabonba, s azzal mlattam az id?met,hogy megszmoljam, mennyi haj jn velnk szembe. Hny szembejv? hajt szmolhat-tam meg? (Az indulskor rkez? s az rkezskor indul hajt is szembejv?nek tekintet-tem.)

Pontos id?Karrm nincs, viszont egy gynyr? s pontos llra dszti laksomat, melyet azonban minden-

nap fel kell hznom ahhoz, hogy m?kdjn. El?fordul azonban, hogy elfelejtem felhzni, srdim sincs, amely utn bellthatnm. Egyszer ppen egy bartomhoz indultam, amikorszrevettem, hogy a falirm megllt. Mg volt annyi id?m, hogy felhzzam s elindtsam.Az estt bartomnl tltttem. Gynyr? koncertet hallgattunk meg a rdiban, majd ha-zamentem, s pontosan belltottam az rmat. Hogyan tudtam a pontos id?t belltani anlkl, hogyvalaha is lemrtem volna, mennyi ideig tart a gyalogt bartom hztl hazig?

Kerkprtra a szmok krlKt j bart, Szervc s Bonifc kerkprtrra ment. Untk azonban a hossz hallgatsokat, gy

elhatroztk, hogy fejben is jtszhat jtkkal szrakoztatjk egymst. Bonifc a kvetke-??t javasolta:

- Biztosan te is ismered, Szervc, azt a jtkot, amit most szeretnk elmondani. Egyt?ltzig felvltva szmokat mondunk, s a mondott szmot mindig hozzadjuk a megel???ksszeghez. Az nyer, aki a szzat el?bb elri.

- Ismerem, s?t valamikor a trkkt is megmagyarztk - vlaszolta Szervc - s gy remlem, hogyismt hamar rjvk.

Nem telt bele sok id?, s mindketten rjttek a titokra. Vajon mi lehetett az?

KnyvvsrlsNgyen - Pter, Pl s fiaik, Tomi s Dani - knyveket vsroltak egy krti knyves-

boltban. Amikor a vsrlst befejeztk, kit?nt, hogy mindegyikk annyi tzforintost fizetett avsrolt knyvek mindegyikrt, ahny knyvet vett. Mindkt csald (apa s fi) 650 forin-tot klttt. Pter egy knyvvel vett tbbet, mint Tomi, s Dani csupn egy knyvet vsrolt.

Hogy hvjk Dani apjt?

KrtyacsataNgyen krtyznak: Andrs, Bla, Csaba s Dniel. Az els? fordul utn Andrsnak, Blnak s

Csabnak ktszer annyi pnze van, mint amennyivel leltek. A msodik fordul Andrs,Bla s Dniel pnzt ktszerezte meg, a harmadik fordulban Bla annyit veszt, hogyAndrs, Csaba s Dniel pnze duplzdik meg, mg az utols fordulban Andrs vesztannyit, hogy Bla, Csaba s Dniel pnze megktszerez?dik. A negyedik fordul utn mindegyikknek64 forintja van.

Mennyivel ltek le jtszani?

Szmb?vszetGondoljatok brmilyen szmot, vegytek ktszer, az eredmnyhez adjatok hozz egy pros sz-

mot, az sszeget ossztok el 2-vel, azutn szorozztok meg nggyel. A szorzatbl vegy-tek el a hozzadott szm ktszerest, vgl mondjtok meg, mit kaptatok eredmnyl. Azeredmnyb?l azonnal meg lehet llaptani a gondolt szmot. Hogyan?

A szultn kegyelt egy szultn a tvoli keleten, a tevk, a homok s a hremek birodalmban Egy szp napon

gy gondolta, hogy sszeadja strigulinak szmt, melyeket gyermekkora ta hzogatottszobjnak faln, azt dokumentlva, hny n?vel tlttte kellemesen idejt letben. Azeredmny lttn bizony nagyon megrl. ppen az el??? este rte el a b?vs ezret Ezrtmsnap reggel maghoz szltotta brtn?rt, hogy menjen le a 100 cells brtnbe, s azalbbiak szerint jrjon el:

El?szr fordtson minden cella zrjn egyet, majd minden msodik zron, majd minden harmadi-kon, majd minden negyediken, s gy tovbb egszen a szzadikig.

(Annyit kell tudni, hogy a cellkon binris zr tallhat, teht csak nyitott s zrt llapotuk van, egyelfordtsra nyit, mg egyre zr!)

Azt mondja a szultn, hogy azon rabok, akiknek a folyamat vgn nyitva marad a celljuk, elme-hetnek...

Vajon hny rab szabadul a szultn kegyb?l?

Megoldsok

HajtonHa a hajm pldul 10-n dlben indult el, s 18-n dlben rkezett, akkor az els? szembejv? ha-

j 2-n dlben indult, az utols pedig rkezsemkor, 18-n dlben. Kzben 16 nap, vagyis 32 flnaptelt el, mivel azonban a kezd? s a vgs? id?pont is szmt, 33 szembejv? hajt szmolhattam meg.

Pontos id?Azrt indtottam el az rt, hogy visszarkezsemkor meg tudjam llaptani, mennyi ideig voltam

tvol hazulrl. Ugyanis ha az otthoni rn eltelt id???l (amit meg tudok llaptani, ha elmenskor meg-nztem, mennyit mutat rm) levonom azt az id?t, amit a bartomnl tltttem, akkor pp a kt thozszksges id?t kapom. Ennek a felt hozzadom a hazaindulsom id?pontjhoz (amit mg bartomnlmegnztem), az gy kapott id?t lltottam be rmon hazarkezsemkor.

Nzzk t ezt a kis szmtst algebrailag is. Jelljk A-val azt az id?t, melyet rm elindulsomkormutatott. Bartom hzban megnztem odarkezsem s eljvetelem pontos idejt, jelljk ezt h sk-val. Amikor hazajttem, rm B id?t mutatott. Tvolltem ideje B - A. Ebb?l az id?hl (k - h)-t tltt-tem bartomnl, s ha i-vel jelljk az oda-, ill. visszajvs idejt, akkor teht 2 t = (B - A) - (k - h). gyhazarkezsemkor a pontos id? k + t volt.

Kerkprtra a szmok