logika stosowana - wyk ad 6 - zbiory i logiki rozmyte czesc 2 logika ...szczuka/ls/lecture6.pdf ·...

Logika StosowanaWykład 6 - Zbiory i logiki rozmyteCzęść 2 – Logika possybilistyczna

Marcin Szczuka

Instytut Informatyki UW

Wykład monograficzny, semestr letni 2017/2018

Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2018 1 / 23

Plan wykładu

1 Wstęp

2 Miary konieczności i możliwości

3 Składnia logiki possybilistycznej

4 Rozmyta semantyka dla logiki possybilistycznej

5 Pełność logiki possybilistycznejPoprawność logiki possybilistycznejPełność


Idea logiki rozmytej

Podstawową ideą logiki possybilistycznej jest związanie z każdą formułąpewnej liczby, odzwierciedlajacej stopień konieczności w jakim ta formułajest prawdziwa.W dalszych rozważaniach będziemy się opierać na pewnym zbiorze zdańatomowych (atomów) P = p0, p1, . . .. Przez L oznaczymy zbiór wszystkichwyrażeń logicznych, które mogą być zbudowane z atomów wybranych z Pza pomocą klasycznych operacji logicznych ∧,∨,¬ oraz nawiasów.

Definicja – KlauzuleKlauzulą nazwiemy wyrażenie postaci:

ϕ1 ∨ ϕ2 ∨ . . . ∨ ϕn,

gdzie ϕ1 (i = 1, . . . , n) jest literałem atomowym tj. formułą atomową lubnegacją takiej formuły.


Klauzule, miara koniecznościKlauzule są zwykle interpretowane jako reguły, gdyż klauzula postaci

¬pi1 ∨ . . . ∨ ¬pik ∨ pik+1∨ . . . ∨ pin

jest równoważna implikacji

pi1 ∧ . . . ∧ pik ⇒ pik+1∨ . . . ∨ pin .

Zbiór wszystkich klauzul będziemy oznaczać przez K0. Zbiór klauzul wnaszych rozważaniach rozszerzymy ponadto o formuły > i ⊥, które sąodpowiednio zawsze prawdziwe lub zawsze fałszywe. Będziemy używaćoznaczenia K = K0 ∪ {>,⊥}.Definicja – miara konieczności (necessity)Miarą konieczności nazwiemy przyporządkowanie N : L −→ [0, 1] takie, że:

1 N(>) = 1

2 N(⊥) = 0

3 N(ϕ ∧ ψ) = min(N(ϕ), N(ψ))

4 N(ϕ) = N(ψ) gdy ϕ i ψ są wyrażeniami logicznie równoważnymi.Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2018 4 / 23

Plan wykładu

1 Wstęp






Własności konieczności

Wartość N(ϕ) odpowiada na pytanie w jakim stopniu jest koniecznaprawdziwość formuły ϕ.

Z powyższej definicji wynika, że dla każdej formuły ϕ ∈ L jedna z wartościN(ϕ) lub N(¬ϕ) musi być zerem.

Do policzenia wartości N(ϕ ∧ ψ) dla koniunkcji wystarczy tylko znajomośćN(ϕ) i N(ψ).

Nie jest to jednak wystarczające do określenia wartości alternatywy inegacji. Z tego powodu logika possybilistyczna nie jest logikąprawdziwościową (ang. truth-functional).


Miara konieczności – przykład

Niech N : L −→ [0, 1] będzie zdefiniowane jako:

N(ϕ) =

{1 ϕ jest tautologią0 w przeciwnym przypadku

Wtedy dla pewnych formuł atomowych p0, p1 nie będących tautologiamimamy N(p0) = N(¬p0) = N(p1) = N(¬p1) = 0, aleN(p0 ∨ ¬p0) = N(>) = 1 6= 0 = N(p0 ∨ p1).Analogicznie dla negacji N(⊥) = N(p0) = 0, aleN(¬⊥) = N(>) = 1 6= 0 = N(¬p0).Dla alternatywy w ogólnym przypadku można tylko określić, że:

N(ϕ ∨ ψ) ≥ max(N(ϕ), N(ψ))

gdyż zachodzi:

N(ϕ) = N(ϕ ∧ (ϕ ∨ ψ)) = min(N(ϕ), N(ϕ ∨ ψ))

orazN(ψ) = N(ψ ∧ (ϕ ∨ ψ)) = min(N(ψ), N(ϕ ∨ ψ))


Miara możliwości, baza wiedzy

Definicja – miara możliwosciPrzekształcenie Π : L −→ [0, 1] nazywamy miarą możliwości dla L, gdyistnieje taka miara konieczności N , że: Π(ϕ) = 1−N(¬ϕ).

Π(ϕ) ma własności 1,2 i 4 z definicji N , a ponadto

Π(ϕ ∨ ψ) = max(Π(ϕ),Π(ψ)).

Definicja – niepewna baza wiedzyW ⊆ K× (0, 1] nazywamy niepewną (possybilistyczną) bazą wiedzy gdy{(>, α) : α ∈ (0, 1]} ⊆ W.

Baza wiedzy to zbiór formuł, z których każdej towarzyszy liczba zprzedziału (0,1]. Parę postaci (ϕ, α) ∈ K × (0, 1] nazywamy klauzuląniepewną. α wyznacza dolną granicę dla miary (nieznanej) konieczności tj.(ϕ, α) ∈ W oznacza, że N(ϕ) ≥ α.


Plan wykładu

1 Wstęp






Rezolucja possybilistyczna

W definicji bazy wiedzy warunek {(>, α) : α ∈ (0, 1]} ⊆ W jest potrzebnyze względów formalnych, aby możliwe było wykazanie (ϕ, β) gdy zachodzi(ϕ, α) i β ≤ α. Zwykła baza wiedzy, czyli zbiór aksjomatów W ⊆ Kodpowiada bazie niepewnej W = W × {1}.Aby móc dedukować niepewne klauzule ze zbioru niepewnych klauzul(niepewnej bazy wiedzy) potrzebujemy reguły wnioskowania.

Reguła rezolucji possybilistycznej(ψ ∨ ϕ1, α1) (¬ψ ∨ ϕ2, α2)

(ϕ1 ∨ ϕ2,min(α1, α2))

Possybilistyczna rezolucja orzeka, że informacja o (ψ ∨ ϕ1, α1) i(¬ψ ∨ ϕ2, α2), co odpowiada N(ψ ∨ ϕ1) ≥ α1 i N(¬ψ ∨ ϕ2) ≥ α2

wystarcza do stwierdzenia, że N(ϕ1 ∨ ϕ2) ≥ min(α1, α2).


Wnioskowanie possybilistyczne

Zaopatrzeni w (possybilistyczną) regułę wnioskowania syntaktycznego izbiór aksjomatów (bazę wiedzy) możemy pokusić się o zdefiniowaniedowodliwości (wywodliwości), czyli odpowiednika relacji syntaktycznejkonsekwencji `. Dokonamy tego w dwóch krokach. Najpierw określimy coto znaczy wywieść coś bezpośrednio (w jednym kroku), a następnierozszerzymy to na ogólne pojęcie dowodliwości.Definicja – wywód bezpośredniNiech W i W ′ będą niepewnymi bazami wiedzy. Powiemy, że W ′ może byćbesposrednio wywiedziona z W jeśli istnieje klauzula niepewna(ϕ, α) ∈ K × (0, 1] taka, że:

1 W =W ′ \ {(ϕ, α)}2 Istnieją klauzule ψ,ϕ1, ϕ2 ∈ K oraz α1, α2 ∈ (0, 1] takie, że:

(a) α = min(α1, α2)(b) ϕ jest równoważne z ϕ1 ∨ ϕ2

(c) (ψ ∨ ϕ1, α1) ∈ W i (¬ψ ∨ ϕ2, α2) ∈ W


Wywód, konsekwencja syntaktyczna

Definicja – possybilistyczna konsekwencjasyntaktycznaNiech W będzie niepewną bazą wiedzy, a (ϕ, α) ∈ K × (0, 1] klauzuląniepewną. Powiemy, że (ϕ, α) może być dowiedziona z W (ozn.W ` (ϕ, α)) jeśli istnieje sekwencja W0,W1, . . . ,Wn niepewnych bazwiedzy takich, że:

1 W =W0

2 Wi+1 można bezpośrednio wywieść z Wi

3 (ϕ, α) ∈ Wn

Powyższa definicja stanowi zakończenie konstrukcji części syntaktycznej dlalogiki possybilistycznej. Dalej wprowadzimy (rozmytą) semantykę dla tejlogiki i pokażemy, że jest ona poprawna i pełna.


Plan wykładu

1 Wstęp






Interpretacja standardowa

Dla wyraźnego wyróżnienia “klasycznych” wartości logicznych prawdy (1) ifałszu (0) w tej części wykładu będziemy się posługiwać oznaczeniamiv-verum na oznaczenie prawdy i f -falsum na oznaczenie fałszu.

Definicja – interpretacja standardowaPrzypożądkowanie I : P −→ {v, f} przypisujące każdej formule atomowejwartość prawdy lub fałszu nazywamy interpretacją standardową(podtawieniem standardowym).

Interpretacja standardowa I , może być za pomocą odpowiednich formułdla ∨,∧,¬ kanonicznie rozszerzona do interpretacji I∗ : L −→ {v, f}.Zbiór wszystkich interpretacji nad P oznaczamy przez B(P).Przez F(B(P)) będziemy oznaczać rodzinę wszystkich zbiorów rozmytychw B(P).Z każdą niepewną bazą wiedzy możemy związać podzbiór rozmyty w B(P).


Stopień (nie)zgodności

Niech W będzie niepewną bazą wiedzy i (ϕ, α) ∈ K × (0, 1] klauzuląniepewną.

(i) Zbiór rozmyty µ(ϕ,α) ∈ F(B(P)) jest zadany przez funkcjęprzynależności:

µ(ϕ,α)(I) =

{1 gdy I∗(ϕ) = v1− α w p.p.

(ii) Zbiór rozmyty µW ∈ F(B(P)) jest zadany przez:

µW(I) = inf{µ(ϕ,α)(I) : (ϕ, α) ∈ W}(iii) Wartość

cons(W) = sup{µW(I) : I ∈ B(P)}nazywamy stopniem zgodności (niesprzeczności) W.(iv) Wartość

inc(W) = 1− cons(W)

nazywamy stopniem niezgodności (sprzeczności) W.Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2018 15 / 23

Stopień niezgodności

Wartość µ(ϕ,α) ∈ [0, 1] określa w jakim stopniu podstawienie I jest zgodnez klauzulą (ϕ, α). Jeśli ϕ jest prawdziwe przy przy podstawieniu I, to I jestcałkowicie zgodne z (ϕ, α). Gdy I∗(ϕ) = f pomimo, że wiemy (ϕ, α),zgodnośc zachodzi tylko w stopniu nie większym niż 1− α.Analogicznie, zgodność niepewnej bazy wiedzy to infimum po zgodnościachformuł do niej należących.

Definicja – konsekwencja possybilistycznaNiech W będzie niepewną bazą wiedzy i (ϕ, α) ∈ K × (0, 1] klauzuląniepewną. Powiemy, że W |= (ϕ, α), gdy inc(W ∪ (¬ϕ, 1)) ≥ α.

Powyższa definicja odpowiada własności logiki klasycznej, w której formułęϕ można było udowodnić ze zbioru formuł W przez pokazanie, żeW ∪ {¬ϕ} jest sprzeczny.Zauważmy, że ¬ϕ nie musi być klauzulą, ale na szczęście poprzedniadefinicja odnosi się do dowolnego zbioru formuł.


Plan wykładu

1 Wstęp






Poprawność logiki possybilistycznej

Wprowadziliśmy zarówno semantykę jak i syntaktykę dla logikipossybilistycznej. Sprawdzimy teraz, że te dwa pojęcia pozostają ze sobą wzwiązku. Innymi słowy, będziemy chcieli wykazać poprawnośc i pełnoślogiki possybilistycznej (rozmytej).

Najpierw zajmiemy się związkiem “`⇒ |=”, czyli poprawnościa rozmytejlogiki possybilistyczej.

Twierdzenie – poprawność logiki possybilistycznejNiech W będzie niepewną bazą wiedzy i (ϕ, α) ∈ K × (0, 1] klauzuląniepewną. Wtedy

W ` (ϕ, α) ⇒ W |= (ϕ, α).


Dowód poprawności logiki possybilistycznej

Niech W(ϕ,α) ⊆ W będzie zbiorem wszystkich klauzul niepewnych, którezostały wykorzystane w wywodzie (ϕ, α) z W za pomocą rezolucjipossybilistycznej. Oczywiście W(ϕ,α) ⊆ K × [α, 1]. W zapisie formalnym:

W(ϕ,α) = {ψ : ∃β∈[α,1](ψ, β) ∈ W(ϕ,α)}

Jeżeli zaniedbamy stopnie prawdziwości w possybilistycznym wywodzierezolucyjnym ϕ z W(ϕ,α) to otrzymamy zwykły (klasyczny) wywódrezolucyjny. To zaś oznacza, że W ′ =W(ϕ,α) ∪ {(¬ϕ, 1)} jest sprzecznymzbiorem formuł (w klasycznym sensie). Zatem dla każdej interpretacji Iistnieje formuła ψI ∈ W ′ taka, że I∗(ψI) = f . Stąd zaś wynika, że dlawszystkich interpretacji I zachodzi

µW∪{(¬ϕ,1)}(I) ≤ 1− α.

Stąd zaś

inc(W∪{(¬ϕ, 1)}) = 1−sup{µW∪{(¬ϕ,1)}(I) : I ∈ B(P)} ≥ 1−(1−α) = α.


Plan wykładu

1 Wstęp






Pełność logiki possybilistycznej

Aby zamknąć krąg musimy pokazać, że zależność “|=⇒`” zachodzi dlalogiki possybilistycznej.

Twierdzenie – pełność logiki possybilistycznejNiech W będzie niepewną bazą wiedzy i (ϕ, α) ∈ K × (0, 1] klauzuląniepewną.Wtedy

W |= (ϕ, α) ⇔ W ` (ϕ, α).

Dowód:W |= (ϕ, α) ⇐ W ` (ϕ, α) już pokazaliśmy (poprawność). Pozostajepokazać “⇒”.Zgodnie z definicją W |= (ϕ, α) mamy

α ≤ inc(W ∪ {(¬ϕ, 1)}) = 1− sup{µW∪{(¬ϕ,1)}(I) : I ∈ B(P)},czyli dla każdej interpretacji I zachodzi

µW∪{(¬ϕ,1)}(I) ≤ 1− αMarcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2018 22 / 23

Dowód pełności

Kontynuacja z poprzedniego slajdu

µW∪{(¬ϕ,1)}(I) ≤ 1− α

oznacza, że zbiór

W ′′ = {ψ : ∃β∈[α,1](ψ, β) ∈ W} ∪ {(¬ϕ, 1)}

jest sprzeczny.Zatem klauzula ϕ może być wyprowadzona ze zbioru formułW =W ′′ \ {¬ϕ} za pomocą zwykłej (nie possybilistycznej) rezolucji.Taki klasyczny dowód rezolucyjny może być przekształcony wpossybilistyczny dowód rezolucyjny, w którym używane są tylko klauzulepostaci (ψ, β) ∈ W ′′ dla β ≥ α.W ten sposób otrzymujemy, że W ` (ϕ, γ) dla pewnego γ ≥ α.Stosując pojedyńczy krok rezolucji possybilistycznej dla klauzul (ϕ, γ) i(>, α) otrzymujemy żądany wynik.


logika stosowana - wyk ad 6 - zbiory i logiki rozmyte czesc 2 logika ...szczuka/ls/lecture6.pdf ·...

Documents