TUGAS

“MATRIKS”

MATA KULIAH: LOGIKA DAN TEORI BILANGAN

OLEH:KHOIRUN NISA

1306409904

JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS MIPA

2013

1

KATA PENGANTAR

Puji syukur saya panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena dengna rahmat-Nya saya dapat menyelesaikan penyusunan makalah ini tanpa ada hambatan yang berarti. Sholawat serta salamsaya curahkan kepada nabi Muhammad SAW, keluarga, para sahabat, keluarga, serta para pengikutnya.

Makalah ini disusun dengan tujuan untuk memenuhi salah satu tugas terstruktur Mata Kuliah Logika dan Teori Bilangan.Dalam penyampaian materi di dalam makalah ini saya mencoba menyajikannya dengan bahasa yang mudah dan ringan agar dapat dimengerti oleh semua pihak.

Harapan saya, semoga makalah ini berguna untuk proses kegiatan belajar mengajar, dan saya sadar dalam pembuatan makalah ini masih jauh dari sempurna untuk itu kritik dan saran yang membangun sangat penulis harapkan untuk perbaikan di masa yang akan datang.

Depok, 7 Desember 2013

Penyusun

2

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR...................................................................................... iiDAFTAR ISI.................................................................................................... iiiBAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang .......................................................................... 41.2 Rumusan Masalah ..................................................................... 41.3 Tujuan ....................................................................................... 4

BAB II MATRIKS2.1 Pengertian Matriks..................................................................... 52.2 Jenis – Jenis Matriks ................................................................. 62.3 Operasi pada Matriks ................................................................ 92.4 Transpose Matriks ..................................................................... 122.5 Transformasi Elementer pada Baris dan Kolom ....................... 122.6 Matriks Ekuivalen ..................................................................... 132.7 Matriks Elementer ..................................................................... 142.8 Invers Suatu Matriks ................................................................. 142.9 Penyelesaian Sistem Persamaan Linier dengan Matriks ........... 23

BAB III PENUTUP3.1 Kesimpulan ............................................................................... 303.2 Saran.......................................................................................... 30

DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................... 31

3

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Tidak ada sekalipun persoalan di kehidupan kita ini yang bukan

merupakan aplikasi matematika. Dengan mengubahnya kedalam bahasa atau persamaan matematika maka persoalan tersebut lebih mudah diselesaikan. Tetapi terkadang suatu persoalan sering kali memuat lebih dari dua persamaan dan beberapa variabel, sehingga kita mengalami kesulitan untuk mencari hubungan antara variabel-variabelnya. Bahkan dinegara maju sering ditemukan model ekonomi yang harus memecahkan suatu sistem persamaan dengan puluhan atau ratusan variabel yang nilainya harus ditentukan.

Matriks, pada dasarnya merupakan suatu alat atau instrumen yang cukup ampuh untuk memecahkan persoalan tersebut. Dengan menggunakan matriks memudahkan kita untuk membuat analisa-analisa yang mencakup hubungan variabel-variabel dari suatu persoalan. Pada awalnya matrik ditemukan dalam sebuah studi yang dilakukan oleh seorang ilmuan yang berasal dari Inggris yang bernama Arthur Cayley (1821-1895) yang mana studi yang dilakukan untuk meneliti persamaan linier dan transformasi linear, awal dari semua ini matrik dianggap sebagai sebuah permainan karena matrik dapat diaplikasikan, sedangkan pada tahun 1925 matrik digunakan sebagai kuantum dan pada perkembangannya matrik digunakan dalam berbagai bidang

1.2 Rumusan MasalahBerdasarkan uraian di atas kami  menemukan permasalahan sebagai berikut :1. Apa pengertian atau definisi matriks serta bagaimana pengertian determinan

dan invers matriks?2. Bagaimana operasi penyelesaian matriks dan permasalahan pada matriks?

1.3 TujuanSetelah mempelajari bab ini, diharapkan kalian dapat :1. menjelaskan ciri suatu matriks;2. menuliskan informasi dalam bentuk matriks;3. melakukan operasi aljabar atas dua matriks;4. menentukan determinan matriks persegi ordo 2;5. menentukan invers matriks persegi ordo 2;6. menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan invers

matriks;7. menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan

determinan;

4

8. menentukan determinan matriks persegi ordo 3;9. menentukan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel.

BAB IIMatriks

2.1 PengertianMatriks adalah kumpulan bilangan berbentuk persegi panjang yang

disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur. Pemanfaatannya misalnya dalam menjelaskan persamaan linier, transformasi koordinat, dan lainnya. Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti dikalikan, dijumlah, dikurangkan dan didekomposisikan.

Notasi yang digunakan

Atau Atau

NOTASI MATRIKS

Matriks kita beri nama dengan huruf besar seperti A, B, C, dll. Matriks yang mempunyai I baris dan j kolom ditulis A=(aij ), artinya suatu matriks A yang elemen-elemennya aij dimana indeks I menyatakan baris ke I dan indeks j menyatakan kolom ke j dari elemen tersebut.

Secara umum :Matriks A=(aij ), i=1, 2, 3,…..m dan j=1, 2, 3,……., n yang berarti bahwa banyaknya baris m dan banyaknya kolom n.

Contoh :A= B= C=

Ukuran matriks 2 x 2 2 x 1 1 x 4Jumlah baris 2 2 1Jumlah kolom 2 1 4

-1 -3

2 12

-3

-4

2 3 12 -1

5

Matriks yang hanya mempunyai satu baris disebut MATRIKS BARIS, sedangkan matriks yang hanya mempunyai satu kolom disebut MATRIKS KOLOM. Dua buah matriks A dan B dikatakan SAMA jika ukurannya sama (mxn) dan berlaku aij = bij untuk setiap i dan j

Dari uraian yang telah disampaikan di atas, kita dapat mendefinisikan pengertian matriks sebagai berikut. 

Suatu matriks A berukuran m × n adalah susunan berbentuk persegi panjang yang terdiri atas m baris dan n kolom. 

Matriks A biasanya dinotasikan sebagai berikut.

aij menyatakan elemen matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j.

Untuk ukuran m × n, sering kali disebut ordo suatu matriks sehingga matriks A dapat ditulis Am x n. Kadang-kadang, bentuk umum matriks A dapat dituliskan secara singkat ke dalam notasi A = (aij), B = (bij), dan seterusnya.

Dari uraian di atas dapat diberikan definisi yang jelas tentang ordo matriks dan notasi matriks sebagai berikut.

Ordo suatu matriks adalah ukuran matriks yang menyatakan banyak baris diikuti dengan banyak kolom. Notasi dari matriks A dinyatakan dengan A = (aij).

2.2 Jenis – Jenis Matriks

Matriks Baris adalah Matriks Baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris

          Contoh :    A =  ( 2  1  3  -7 ) Matriks Kolom adalah  Matriks Kolom adalah matriks yang terdiri

dari satu kolom.

6

          Contoh :   

Matriks Tegak  adalah  suatu matriks yang banyaknya baris lebih dari banyaknya kolom.

          Contah : Matriks datar adalah Matriks  yang banyaknya baris kurang dari

banyaknya kolom.

       Contoh :

Berikut ini diberikan beberapa jenis matriks selain matriks kolom dan matriks baris(i) MATRIKS NOL, adalah matriks yang semua elemennya nol

Sifat-sifat :1. A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 02. A*0=0, begitu juga 0*A=0.

(ii) MATRIKS BUJURSANGKAR, adalah matriks yang jumlah baris dan jumlah kolomnya sama. Barisan elemen a11, a22, a33, ….ann disebut diagonal utama dari matriks bujursangkar A tersebut.Contoh : Matriks berukuran 2x2

A=

(iii) MATRIKS BUJURSANGKAR ISTIMEWAa. Bila A dan B merupakan matriks-matriks bujursangkar sedemikian

sehingga AB=BA maka A dan B disebut COMMUTE (saing).b. Bila A dan B sedemikian sehingga AB=-BA maka A dan B disebut

ANTI COMMUTE.c. Mtriks M dimana Mk+1=M untuk k bilangan bulat positif disebut matriks

PERIODIK.d. Jika k bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga Mk+1=M maka

M disebut PERIODIK dengan PERIODE k.e. Jika k=1 sehingga M2=M maka M disebut IDEMPOTEN.

1 0

2 3

7

f. Matriks A dimana Ap=0 untuk p bilangan bulat positif disebut dengan matriks NILPOTEN.

g. Jika p bilangan positif bulat terkecil sedemikian hingga Ap=0 maka A disebut NILPOTEN dari indeks p.

(iv) MATRIKS DIAGONAL, adalah matriks bujursangkar yang semua elemen diluar diagonal utamanya nol.Contoh :

A=

(v) MATRIKS SATUAN/IDENTITY, adalah matriks diagonal yang semua elemen diagonalnya adalah 1.Contoh :

A=

Sifat-sifat matriks identitas :1. A*I=A2. I*A=A

(vi) MATRIKS SKALAR, adalah matriks diagonal yang semua elemennya sama tetapi bukan nol atau satu.Contoh :

A=

(vii) MATRIKS SEGITIGA ATAS (UPPER TRIANGULAR), adalah matriks bujursangkar yang semua elemen dibawah diagonal elemennya = 0.

A=

1 3 2

1

0 1 2

3

4 0 0

0 4 0

0 0 4

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 0

0 2 0

0 0 3

8

(viii) MATRIKS SEGITIGA BAWAH (LOWER TRIANGULAR), adalah matriks bujursangkar yang semua elemen diatas diagonal elemennya = 0.

A=

(ix) MATRIKS SIMETRIS, adalah matriks bujursangkar yang elemennya simetris secara diagonal. Dapat juga dikatakan bahwa matriks simetris adalah matriks yang transposenya sama dengan dirinya sendiri.Contoh :

A= dan AT=

(x) MATRIKS ANTISIMETRIS, adalah matriks yang trnsposenya adalah negatif dari matriks tersebut. Maka AT=-A dan aij=-aij, elemen diagonal utamanya = 0Contoh :

A= maka AT =

(xi) MATRIKS TRIDIAGONAL, adalah matriks bujursangkar yang semua elemen-elemennya = 0 kecuali elemen-elemen pada diagonal utama serta samping kanan dan kirinya.Contoh :

A=

(xii) MATRIKS JODOH Ā, adalah jika A matriks dengan elemen-elemen bilangan kompleks maka matriks jodoh Ā dari A didapat dengan mengambil kompleks jodoh (CONJUGATE) dari semua elemen-elemnya.Contoh :

A= maka Ā= 2+3i 2i

5 3-i

2-3i -2i

5 3+i

1 2 0 0

1 2 3 0

0 2 3 4

0 0 4 5

0 1 -3

0

-1 0 4

2

0 -1 3

0

1 0 -4 -

2

1 2 0

2 3 1

0 1 1

1 2 0

2 3 1

0 1 1

1 0 0

0

4 2 0

0

9

(xiii) MATRIKS HERMITIAN. Matriks bujursangkar A=(aij) dengan elemen-elemen bilangan kompleks dinamakan MATRIKS HERMITIAN jika (Ā)'=A atau matriks bujursangkar A disebut hermitian jika aij = āij . dengan demikian jelas bahwa elemen-elemen diagonal dari matriks hermitian adalah bilangan-bilangan riil.Contoh :

A= maka dan Ā'=

2.3 Operasi Pada Matriks

Penjumlahan MatriksPenjumlahan matriks hanya dapat dilakukan terhadap matriks-matriks

yang mempunyai ukuran (orde) yang sama. Jika A=(aij ) dan B=(bij ) adalah matriks-matriks berukuran sama, maka A+B adalah suatu matriks C=(cij ) dimana (cij ) = (aij ) +(bij ) atau [A]+[B] = [C] mempunyai ukuran yang sama dan elemennya (cij ) = (aij ) +(bij )

Contoh :

A= B = C = maka

A+B = + = =

A+C = +

A+C tidak terdefinisi (tidak dapat dicari hasilnya) karena matriks A dan B mempunyai ukuran yang tidak sama.

Pengurangan matriksSama seperti pada penjumlahan matriks, pengurangan matriks hanya dapat

dilakukan pada matriks-matriks yang mempunyai ukuran yang sama. Jika ukurannya berlainan maka matriks hasil tidak terdefinisikan.

Contoh :

2 5+i

5-i

2 5-i

5+i

2 5+i

5-i

10

3 14 2

0 21 3

3 14 2

0 21 3

3+0 1+24+1 2+3

3 35 5

1 0 21 0 5

3 14 2

1 0 21 0 5

A= B= maka

A-B = - = =

Jika A, B, dan C matriks-matriks yang berordo sama maka pada penjumlahan dan pengurangan matriks berlaku sifat-sifat berikut.

a. A + B = B + A (sifat komutatif)b. (A + B) + C = A + (B + C) (sifat asosiatif)c. Unsur identitas penjumlahan, yaitu matriks O sehingga A + O = O + A = A.d. Invers penjumlahan A adalah –A sehingga A + (–A) = (–A) + A = O.

Perkalian Matriks dengan SkalarJika k adalah suatu bilangan skalar dan A=(aij ) maka matriks kA=(kaij )

yaitu suatu matriks kA yang diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k. Mengalikan matriks dengan skalar dapat dituliskan di depan atau dibelakang matriks. Misalnya [C]=k[A]=[A]k dan (cij ) = (kaij )

Contoh :

A= maka 2A=

Pada perkalian skalar berlaku hukum distributif dimana k(A+B)=kA+kB.Contoh :

A= B= dengan k=2, maka

K(A+B) = 2(A+B) = 2A+2B

2(A+B) = 2 + = =

11

3 44 5

0 23 4

3 44 5

0 23 4

3-0 4-24-3 5-4

3 21 1

1 2 3 0 -1 5

2* 1 2*2 2* 32* 0 2*-1 2*5

0 12 -1

3 41 1

0 12 -1

3 41 1

3 53 0

6 106 0

2A+2B = 2 + 2 =

Perkalian Matriks dengan MatriksBeberapa hal yang perlu diperhatikan :

1. Perkalian matriks dengan matriks umumnya tidak komutatif.2. Syarat perkalian adalah jumlah banyaknya kolom pertama matriks sama

dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua.3. Jika matriks A berukuran mxp dan matriks pxn maka perkalian A*B

adalah suatu matriks C=(cij ) berukuran mxn dimanacij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + ………………….+ aipbpj

Contoh : 1) A= dan B= maka

A x B= * = =

2) A= dan B= maka

A x B = =

Beberapa Hukum Perkalian Matriks :1. Hukum Distributif, A*(B+C) = AB + AC2. Hukum Assosiatif, A*(B*C) = (A*B)*C3. Tidak Komutatif, A*B B*A4. Jika A*B = 0, maka beberapa kemungkinan

(i) A=0 dan B=0(ii) A=0 atau B=0(iii) A0 dan B0

5. Bila A*B = A*C, belum tentu B = C

Perpangkatan Matriks Persegi

Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif dan A suatu matriks persegi,

12

0 12 -1

3 41 1

6 106 0

3 2 13

1

0

3 2 1

3

1

0

(3*3) + (2*1) + (1*0) 11

3 2 1

1 2 1

3

1

0

(3*3) + (2*1) + (1*0)

(1*3) + (2*1) + (1*0)

11

5

maka An = A × A × A × ... × A (sebanyak n faktor) atau dapat juga dituliskan An = A × An–1  atau An = An–1  × A.

2.4 Tranpose Matriks

Jika diketahui suatu matriks A=aij berukuran mxn maka transpose dari A adalah matriks AT =nxm yang didapat dari A dengan menuliskan baris ke-i dari A sebagai kolom ke-i dari AT.

Beberapa Sifat Matriks Transpose :(i) (A+B)T = AT + BT

(ii) (AT) = A(iii) k(AT) = (kA)T

(iv) (AB)T = BT AT

2.5 Transformasi Elementer pada Baris dan Kolom Suatu Matriks

Yang dimaksud dengan transformasi pada baris atau kolom suatu matriks A adalah sebagai berikut.

1. Penukaran tempat baris ke-i dan baris ke-j atau penukaran kolom ke-i dan kolom ke-j dan ditulis Hij(A) untuk transformasi baris dan Kij(A) untuk transformasi kolom.

Contoh :a. Penukaran baris

A= H12(A)

H12(A) berarti menukar baris ke-1 matriks A dengan baris ke-2b. Penukaran kolom

A= K23(A)

K13(A) berarti menukar kolom ke-2 matriks A dengan kolom ke-32. memperkalikan baris ke-i dengan suatu bilangan skalar h0, ditulis Hi

(h)(A) dan memperkalikan kolom ke-i dengan skalar k0, ditulis Ki

(k)(A). Contoh :

13

1 2 0

2 3 1

0 1 1

2 3 1

1 2 0

0 1 1

1 2 0

2 3 1

0 1 1

1 0 2

2 1 3

0 1 1

A= H2

(-2)(A)= K3(1/2)(A)=

3. Menambah kolom ke-i dengan k kali koom ke-j, ditulis K ij(k)(A) dan

menambah baris ke-i dengan h kali baris ke-j, ditulis Hij(h)(A).

Contoh :

H23(-1)(A)

A= H2 + (-1*H3)

K31(2)(A)

K3 + (2*K1)

2.6 Matriks Ekuivalen

Dua buah matriks A dan B disebut ekuivalen (A~B) apabila salah satunya dapat diperoleh dari yang lain dengan transformasi-transformasi elementer terhadap baris dan kolom. Kalau transformasi elementer hanya terjadi pada baris saja disebut ELEMENTER BARIS, sedangkan jika transformasi terjadi pada kolom saja disebut ELEMENTER KOLOM.Contoh :

A= dan B=

A dan B adalah ekuivalen baris karena jika kita mempertukarkan baris ke-1 dengan baris ke-2 pada matriks A atau H12(A), maka akan didapat matriks B.

K12(1) K42

(-1)

A= K1+(1*K2) K4+(-1*K2)

H12

14

1 2 0

-4 -6 -2

0 1 1

1 2 0

2 3 1

0 1 1

1 2 0

2 3 1/2

0 1 1/2

1 2 0

2 3 1

0 1 1

1 2 0

2 2 0

0 1 1

1 2 2

2 2 4

0 1 1

2 3 1

4 1 0

4 1 0

2 3 1

3 0 2 1

4 1 3 1

4 0 2 1

5 1 3 1

3 0 2 1

5 1 3 1

5 1 3 1

3 0 2 1

2.7 Matriks Elementer

An x n disebut matriks elementer jika dengan sekali melakukan transformasi elementer terhadap suatu matriks identity I diperoleh Anxn.

Contoh : Diketahui matriks

I3 = H12(I)

H31(k)(I)

H3+(k* H2)

H32(-4)(I)

H3+(-4* H2)

2.8 Invers Suatu Matriks

Dua hal penting yang diperlukan dalam mencari invers matriks adalah transpose dan determinan suatu matriks. Pada subbab sebelumnya, kalian telah mempelajari transpose matriks. Sekarang, kita akan mempelajari determinan matriks.

1. Determinan Suatu Matriks

a. Determinan Matriks Ordo 2 × 2

Misalkan A =   adalah matriks yang berordo 2 × 2 dengan elemen a dan d terletak pada diagonal utama pertama, sedangkan b dan c terletak pada diagonal kedua. Determinan matriks A dinotasikan ”det A” atau |A| adalah suatu bilangan yang diperoleh dengan mengurangi hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dengan hasil kali elemen-elemen diagonal kedua.

Dengan demikian, dapat diperoleh rumus det A sebagai berikut.

15

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 1 0

1 0 0

0 0 1

1 0 0

0 1 0

k 0 1

1 0 0

0 1 0

0 -4

1

det A =   = ad – bcb. Determinan Matriks Ordo 3 × 3 (Pengayaan)

Jika A =   adalah matriks persegi berordo 3 × 3, determinan A

dinyatakan dengan det A = 

Ada 2 cara yang dapat digunakan untuk menentukan determinan matriks berordo 3 × 3, yaitu aturan Sarrus dan metode minor-kofaktor.

Aturan SarrusUntuk menentukan determinan dengan aturan Sarrus, perhatikan alur

berikut. Misalnya, kita akan menghitung determinan matriks A3 × 3. Gambaran perhitungannya adalah sebagai berikut.

Metode Minor-KofaktorMisalkan matriks A dituliskan dengan [aij]. Minor elemen aij yang

dinotasikan dengan Mij adalah determinan setelah elemen-elemen baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan. Misalnya, dari matriks A3 × 3 kita hilangkan baris ke-2 kolom ke-1 sehingga :

16

Akan diperoleh M21 =   . M21 adalah minor dari elemen matriks A baris ke-2 kolom ke-1 atau M21 = minor a21. Sejalan dengan itu, kita dapat memperoleh minor yang lain, misalnya :

M13 = 

Kofaktor elemen aij, dinotasikan Kij adalah hasil kali (–1)i+j dengan minor elemen tersebut. Dengan demikian, kofaktor suatu matriks dirumuskan dengan :

Kij = (–1)i+j Mij

Dari matriks A di atas, kita peroleh misalnya kofaktor a21 dan a13 berturut-turut adalah

K21 = (–1)2+1 M21 = –M21 = 

K13 = (–1)1+3 M13 = M13 = 

Kofaktor dari matriks A3 × 3 adalah kof(A) =

Nilai dari suatu determinan merupakan hasil penjumlahan dari perkalian elemen-elemen suatu baris (atau kolom) dengan kofaktornya. Untuk menghitung determinan, kita dapat memilih dahulu sebuah baris (atau kolom) kemudian kita gunakan aturan di atas. Perhatikan cara menentukan determinan berikut.

Misalkan diketahui matriks A = 

17

Determinan matriks A dapat dihitung dengan cara berikut.Kita pilih baris pertama sehingga

det A = a11 K11 + a12 K12 + a13 K13

= a11 (–1)1+1 M11 + a12 (–1)1+2 M12 + a13 (–1)1+3 M13

= 

= a11(a22 a33 – a32 a23) – a12(a21 a33 – a31 a23) + a13(a21 a32 – a31 a22)= a11 a22 a33 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31

= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33

Tampak bahwa det A matriks ordo 3 × 3 yang diselesaikan dengan cara minor kofaktor hasilnya sama dengan det A menggunakan cara Sarrus.

c.  Sifat-Sifat Determinan Matriks1. Jika semua elemen dari salah satu baris/kolom sama dengan nol maka

determinan matriks itu nol.2. Jika semua elemen dari salah satu baris/kolom sama dengan elemen-elemen

baris/kolom lain maka determinan matriks itu nol.

Misal B =   (Karena elemen-elemen baris ke-1 dan ke-3 sama).

3. Jika elemen-elemen salah satu baris/kolom merupakan kelipatan dari elemen-elemen baris/kolom lain maka determinan matriks itu nol.

Misal A =   (Karena elemen-elemen baris ke-3 sama dengan kelipatan elemen-elemen baris ke-1).

4. |AB| = |A| ×|B|5. |AT| = |A|, untuk AT adalah transpose dari matriks A.

6. |A–1| =   , untuk A–1 adalah invers dari matriks A. (Materi invers akan kalian pelajari pada subbab berikutnya).

7. |kA| = kn |A|, untuk A ordo n × n dan k suatu konstanta. Sifat-sifat di atas tidak dibuktikan di sini. Pembuktian sifat-sifat ini akan kalian pelajari di jenjang yang lebih tinggi.

18

 Pengertian Invers MatriksMisalkan dua matriks A dan B adalah matriks berordo n × n dan In adalah

matriks identitas berordo n × n. Jika A × B = B × A = In maka matriks A disebut invers matriks B, sebaliknya B disebut invers matriks A. Dalam keadaan seperti ini maka dikatakan bahwa A dan B saling invers.

Jika matriks A mempunyai invers, dikatakan bahwa matriks A adalah matriks nonsingular, sedangkan jika A tidak mempunyai invers, matriks A disebut matriks singular. Invers matriks A ditulis A–1.

Menentukan Invers Matriks Berordo 2 × 2

Misalkan diketahui matriks A =   , dengan ad – bc ≠ 0.

Suatu matriks lain, misalnya B dikatakan sebagai invers matriks A jika AB = I. Matriks invers dari A ditulis A–1 . Dengan demikian, berlaku :

AA–1 = A–1A = I

Matriks A mempunyai invers jika A adalah matriks nonsingular, yaitu det A ≠ 0. Sebaliknya, jika A matriks singular (det A = 0) maka matriks ini tidak memiliki invers.

Misalkan matriks A =   dan matriks B =   sehingga berlaku A × B = B × A = I. Kita akan mencari elemen-elemen matriks B, yaitu p, q, r, dan s.

Dari persamaan A × B = I, diperoleh :

Jadi, diperoleh sistem persamaan :

ap + br = 1  dan  aq + bs = 0cp + dr = 0         cq + ds = 1

Dengan menyelesaikan sistem persamaan tersebut, kalian peroleh :

19

Dengan demikian,

Matriks B memenuhi A × B = I.

Sekarang, akan kita buktikan apakah matriks B × A = I?

Karena ad – bc ≠ 0, berlaku B × A =   = I

Karena A × B = B × A = I maka B = A–1.

Jadi, jika A =   maka inversnya adalah :

untuk ad – bc ≠ 0.

Menentukan Invers Matriks Berordo 3 × 3 (Pengayaan)

Invers matriks berordo 3 × 3 dapat dicari dengan beberapa cara. Pada pembahasan kali ini kita akan menggunakan cara adjoin dan transformasi baris elementer.

20

a. Dengan Adjoin

Pada subbab sebelumnya, telah dijelaskan mengenai determinan matriks. Selanjutnya, adjoin A dinotasikan adj (A), yaitu transpose dari matriks yang elemen-elemennya merupakan kofaktor-kofaktor dari elemen-elemen matriks A, yaitu :

adj(A) = (kof(A))T

Adjoin A dirumuskan sebagai berikut.

Invers matriks persegi berordo 3 × 3 dirumuskan sebagai berikut.

21

Adapun bukti tentang rumus ini akan kalian pelajari lebih mendalam dijenjang pendidikan yang lebih tinggi.

b. Dengan Transformasi Baris Elementer

Untuk menentukan invers matriks An dengan cara transformasi baris elementer, dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut berikut.

1) Bentuklah matriks (An | In), dengan In adalah matriks identitas ordo n.2) Transformasikan matriks (An | In) ke bentuk (In | Bn), dengan transformasi elemen baris.3) Hasil dari Langkah 2, diperoleh invers matriks An adalah Bn.

Notasi yang sering digunakan dalam transformasi baris elementer adalah :

a) Bi ↔ Bj : menukar elemen-elemen baris ke-i dengan elemen-elemen baris ke-j;b) k.Bi : mengalikan elemen-elemen baris ke-i dengan skalar k;c) Bi + kBj : jumlahkan elemen-elemen baris ke-i dengan k kali elemen-elemen baris ke-j.

Contoh Soal :

Tentukan invers matriks A =   dengan transformasi baris elementer.

Penyelesaian :

Jadi, diperoleh A–1 = 

22

Keterangan : 

1/2 B1 : Kalikan elemen-elemen baris ke-1 dengan 1/2.B2 – 5B1 : Kurangkan baris ke-2 dengan 5 kali elemen-elemen baris ke-1.B1 – B2 : Kurangi elemen-elemen baris ke-1 dengan elemen-elemen baris ke-2.2B2 : Kalikan elemen-elemen baris ke-2 dengan 2.

Contoh Soal :

Tentukan invers matriks A =   dengan transformasi baris elementer.

Jawaban :

Persamaan Matriks Bentuk AX = B dan XA = BMisalkan A, B, dan X adalah matriks-matriks berordo 2 × 2, dengan

matriks A dan B sudah diketahui elemennya, sedangkan matriks X belum diketahui elemen-elemennya. Matriks X dapat ditentukan jika A mempunyai

23

invers (matriks nonsingular). Untuk menyelesaikan persamaan matriks berbentuk AX = B dapat dilakukan dengan langkah berikut.

AX = B↔ A–1(AX) = A–1B↔ (A–1A)X = A–1B↔ IX = A–1B↔ X = A–1B

Dari persamaan terakhir tampak bahwa kedua ruas dikalikan dari kiri oleh A-

1 sehingga diperoleh bentuk penyelesaian X = A–1B. Untuk menyelesaikan persamaan matriks berbentuk XA = B dapat ditentukan dengan cara mengalikan kedua ruas dari kanan dengan A–1 sehingga diperoleh penyelesaian X = BA–1 seperti berikut.

XA = B↔ (XA)A–1 = BA–1

↔ X(AA–1) = BA–1

↔ XI = BA–1

↔ X = BA–1

Oleh karena itu, diperoleh penyelesaian X = BA–1. Dengan demikian, dapat disimpulkan sebagai berikut.Penyelesaian persamaan matriks AX = B adalah X = A–1B.Penyelesaian persamaan matriks XA = B adalah X = BA–1.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.

Contoh Soal :

Diketahui A =   dan B =   .Tentukan matriks X yang memenuhia. AX = B;b. XA = B.

Jawaban:Karena det A = 16 – 15 = 1 ↔ 0 maka matriks A mempunyai invers.

24

Jika dicari inversnya, kalian akan memperoleh A–1 = 

Dengan demikian, dapat kita tentukan sebagai berikut.

a. AX = B ↔ X = A–1B = b. XA = B ↔ X = BA–1 = 

2.9 Penyelesaian Sistem Persamaan Linear dengan Matriks

Matriks dapat digunakan untuk mempermudah dalam menentukan penyelesaian sistem persamaan linear. Pada pembahasan kali ini, kita akan menggunakannya untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dan tiga variabel.

1. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel adalah

ax + by = p ............................................................................ (1)cx + dy = q ............................................................................. (2)

Persamaan (1) dan (2) di atas dapat kita susun ke dalam bentuk matriks seperti di bawah ini.

Tujuan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel adalah menentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan itu. Oleh karena itu, berdasarkan penyelesaian matriks bentuk AX = B dapat dirumuskan sebagai berikut.

asalkan ad – bc ≠ 0.

Contoh Soal :

Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut dengan cara matriks.

2x + y = 7x + 3y = 7

25

Jawab:

Dari persamaan di atas dapat kita susun menjadi bentuk matriks sebagai berikut.

Dengan menggunakan rumus penjelasan persamaan matriks di atas, diperoleh sebagai berikut.

Jadi, diperoleh penyelesaian x = 1 dan y = 2.

2. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Kalian tentu tahu bahwa untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel dapat dilakukan dengan beberapa cara, misalnya eliminasi, substitusi, gabungan antara eliminasi dan substitusi, operasi baris elementer, serta menggunakan invers matriks. Kalian dapat menggunakan cara-cara tersebut dengan bebas yang menurut kalian paling efisien dan paling mudah.

Misalkan diberikan sistem persamaan linear tiga variabel berikut.

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Sistem persamaan linear di atas dapat kita susun ke dalam bentuk matriks seperti berikut.

26

Misalkan A =   , X =   , dan B = 

Bentuk di atas dapat kita tuliskan sebagai AX = B.Penyelesaian sistem persamaan AX = B adalah X = A-1 B. Dalam hal ini, A-

1 = 

Oleh karena itu, diperoleh :

asalkan det A ≠ 0.

Contoh Soal :

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut.

2x + y – z = 1x + y + z = 6x – 2y + z = 0

Jawaban :

Cara 1:

Operasi elemen baris, selain dapat digunakan untuk mencari invers matriks, dapat pula digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.

Dengan menggunakan operasi baris elementer.

27

Dengan demikian, diperoleh y = 2. Kita substitusikan nilai y = 2 ke persamaan (2) sehingga :

y + 3z = 11 ↔ 2 + 3z = 11↔ 3z = 11 – 2↔ 3z = 9↔ z = 3

Substitusikan y = 2 dan z = 3 ke persamaan (1) sehingga diperoleh :

x + y + z = 6 ↔ x + 2 + 3 = 6↔ x + 5 = 6↔ x = 6 – 5↔ x = 1

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 1, y = 2, dan z = 3.

Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya adalah {(1, 2, 3)}.

Cara 2:

Sistem persamaan linear di atas dapat kita susun ke dalam bentuk matriks sebagai berikut.

Misalkan A =   , X =   , dan B = 

Dengan menggunakan minor-kofaktor, diperoleh :

det A = 

det A = 2(3) – 1(0) + (–1)(–3) = 9

Dengan menggunakan minor-kofaktor, diperoleh :

28

Dengan cara yang sama, kalian akan memperoleh K31 = 2, K32 = –3, dan K33 = 1Dengan demikian, diperoleh : adj(A) = (kof(A))T.

Jadi, X = 

Jadi, diperoleh x = 1, y = 2, dan z = 3. Dengan demikian, himpunan penyelesaian sistem persamaan di atas adalah {(1, 2, 3)}.

3. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear dengan Determinan

Sistem persamaan linear yang disusun dalam bentuk matriks juga dapat ditentukan himpunan penyelesaiannya dengan metode determinan. Misalnya, sistem persamaan linear untuk dua variabel dan tiga variabel adalah sebagai berikut.

a. ax + by = pcx + dy = q

b. a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Pada sistem persaman linear dua variabel, bentuk tersebut dapat diubah ke bentuk matriks berikut.

29

 , dengan A =   , X =   , dan B =   .

D =   = ad – bc (Determinan koefisien x dan y, dengan elemen-elemen matriks A)

Dx =   = pd – bq (Ganti kolom ke-1, dengan elemen-elemen matriks B)

Dy =   = aq – cp (Ganti kolom ke-2, dengan elemen-elemen matriks B)

Nilai x dan y dapat ditentukan dengan rumus berikut.

Dengan cara yang sama dapat ditentukan D, Dx, Dy, dan Dz untuk sistem persamaan linear tiga variabel sebagai berikut.

Nilai x, y, dan z dapat ditentukan dengan cara berikut.

Contoh Soal :

Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan metode determinan.

a. 2x + y = 4x – 2y = –3

30

b. x + y + z = 0x + y – z = –2x – y + z = 4

Penyelesaian :

a. Sistem persamaan linear di atas dapat disusun dalam bentuk matriks berikut.

Kita tentukan nilai D, Dx, Dy .

D =   = – 4 – 1 = – 5

Dx =   = – 8 – (–3) = – 5

Dy =   = – 6 – 4 = – 10

Jadi, x =   =   = 1 dan y =   =   = 2.

b. Sistem persamaan linear tiga variabel di atas dapat disusun dalam bentuk matriks berikut.

31

BAB IIIPENUTUP

3.1 Kesimpulan

Pada dasarnya dalam kehidupan sehari-hari kita sering berhadapan dengan persoalan yang apabila kita telusuri ternyata merupakan masalah matematika. Dengan kata lain kita selalu bersentuhan dengan persoalan-persoalan yang berkaitan dengan matematika entah itu kita sadari ataupun tidak. Agar mudah difahami maka persoalan tersebut diubah kedalam bahasa atau persamaan matematika supaya persoalan tersebut lebih mudah diselesaikan. Tetapi terkadang suatu persoalan sering kali memuat lebih dari dua persamaan dan beberapa variabel, sehingga kita mengalami kesulitan untuk mencari hubungan antara variabel-variabelnya. Adapun matriks sendiri merupakan susunan elemen-elemen

32

yang berbentuk persegi panjang yang di atur dalam baris dan kolom dan di batasi sebuah tanda kurung di sebut matriks.

3.2 Saran

Kami sebagai penyusun menyadari bahwa dalam penulisan makalah ini termasuk jauh dari sempurna.Oleh karena itu, saya sangat mengharapkan saran dan kritik dan saran yang membangun dari para pembaca. Semoga makalah ini dapat memberi manfaat kepada saya dan pembaca pada umumnya.

33

DAFTAR PUSTAKA

Abdurahman . Drs. Maman. 1999. Matematika. Bandung: CV.ARMICO

Padil. 2011. Matematika. Solo: CV. Sindunata

Kuntarti, Sulistiyono dan Sri Kurnianingsih. 2004. Matematika. Jakarta: Esis

Tim MGMP Matematika Kab.Tulungagung. 2011. Matematika. Tulungagung

Yuana, R. A. 2009. Khazanah Matematika 3 : untuk Kelas XII SMA / MA Program Ilmu Pengetahuan.  Sosial. Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, Jakarta. p. 240.

34