Logicke/deduktivne baze podataka

Kruna Matijevic Jelena PanticLjubomir Drakulovic

Sredinom 80tih godina, u zajednici koja proucava baze podataka, pocinje trend istrazivanja baza podataka baziranih na logiciIzrazi kao sto su logical database, inferential DBMS, expert DBMS, deductive DBMS, knowledge base, knowledge base management system (KBMS), logic as a data model, recursive query processing, itd, su poceli da se pojavljuju u istrazivackoj literature

nije uvek lako da se povezu takvi izrazi I ideje koje predstavljaju sa familijarnim termima I konceptima baza podataka

Ovo predavanje je pokusaj da se objasne logicki sistemi iz ugla nekoga ko je upoznat sa tradicionalnim relacionim bazama

Pokusacemo da objasnimo svaku ideju u tradicionalnim terminima, gde je to moguce

1984 Reiterov rad. Model teoretski pristup bazama:Eksplicitno zadate tabele I n-torke;Izvrsavanje upita se svodi na procenjivanje istinitosne vrednosti neke formule.Uvodi novi pogled na baze: dokazno teoretski:Baza kao skup aksioma,Izvrsavanje upita kao zakljucivanje.Primer:SPJX WHERE SPX.KOL > 250PROCESIRANJE NA TRADICIONALNI I NA NOVI NACIN.Prednosti dokazno-teoretske interpretacije baza podataka:Uniformnost predstavljanja;Uniformnost operacija;Semanticko modelovanje;Izvedene aplikacije.

Deduktivne aksiomePravilo zakljucivanja. Iz datih, izvodimo nove cinjenice.Npr:Anne je Bettina majka.Betty je Selijina majka. Po ociglednoj deduktivnoj aksiomi : Anne je Selijina baka.Neka je u sistemu relacija sa 2 kolone : Majka I Cerka u koju su smesteni parovi (Anne, Betty) I (Betty , Selia) If mother_of (x,y) and mother_of (y,z) then grandmother_of(x,z)Deduktivna aksioma definicja pogleda,npr:Var grandmother of view{Mx.mother as grandmother,My.daughter as granddaughter}Where mx.daughter = my.mother

Prethodni upit u terminima ovog pogleda:Gx.grandmother where gx.granddaughter= name {Selia}Gx.granddaughter where gx.grandmother = name{Anne}

Iskazni racunBuleanska algebraDistributivni zakoni:f AND (g OR h) (fAND g)OR(f AND h)F OR (g AND h) (f OR g) AND (f OR h)

De Morganovi zakoniNOT (f AND g) (NOT f) OR (NOT g) NOT (f OR g) (NOT f) AND (NOT g)Logika formalni metod rezonovanja.Izvrsavanje formalnih zadataka.Iskazni I predikatski racun : specijalni slucajevi logike.

CALCULUS: odnosi se na neki sistem simbolickog izracunavanja, u poslebnom slucaju izracunavanja istinitosne vrednosti.

Termi I formuleTermi : konstante, tvrdnje.Term se definise kao tvrdnja koja ukljucuje konstante I :Ili ne ukljucuje Buleanske operatore ili se nalazi u zagradamaIli je TRUE ili FALSEPrimer:Snabdevac S1 se nalazi u Londonu. jeste term.Snabdevac S1 isporucuje neki deo p. (p je promenljiva) -nije term.Formule koriste se u bazama podataka kao upiti.Formalna definicija: ::= | NOT | AND | OR | => ; ::= | ()

Procenjivanje formula u skladu sa istinitosnim vrednostima terma I tablicom Buleanskih operatora.

=> kao logicka implikacija, vazi f=>g (NOTf)OR g

Prioritet buleanskih operatora smanjivanje broja zagrada

Iskaz samo po prethodnoj definiciji.

Pravila izvodjenja za iskazni racunSvako tvrdenje je oblika |= f=>g.|= (f AND g) => f (uproscavanje)|= f => (f OR g) (dodavanje)|= ((f => g) AND (g => h)) => (f=>h) (hipoteticki silogizam)|= ((f OR g) AND NOT f) => g (disjunktivni silogizam)|= ((f OR g) AND (NOT f OR h)) => (g OR h) (rezolucija)|= (f AND (f=>g)) => g (modus ponens)NOT(f OR g) (NOT f) AND (NOT g)f => g (NOT f) AND (g)Dokazivanje je zapravo utvrdjivanje da li je g logicka posledica nekog niza formula (zakljucak I premise)f1,f2,,fn |- gUzastopna primena pravila izvodjenja na pocetne I na tako izvedene formule, tzv ulancavanje unapred.

Vrste dokazivanjausvajanje premise : ako je g oblika p=>q, usvojicemo dodatnu premisu p I dokazati da se iz osnovnih premisa I p izvodi q.lancanje unazad: umesto direktnog dokazivanja da vazi p=>q, dokazacemo da vazi kontrapozicija : NOT q => NOT p;svodjenje na kontradikciju tj umesto da dokazujemo da vazi p => q, pp da vaze I p I NOT q I odatle izvesti kontradikciju;Rezolucija: Ona nam dozvoljava da izbacimo medjuformule, tj ako su nam date f OR g I NOT g or h, mozemo odbaciti g I NOT g, I izvesti formulu f OR h. Primer :Hocemo da ustanovimo da li je sl. Dokaz valjan :A => (B=>C), NOT D OR A,B|- D=>C.(A,B,C I D su formule).Pocinjemo sa usvajanjem negacije zakljucka kao dodatne premise, td sada imamo:A =>(B => C)NOT D OR ABNOT (D => C)

Ove formule su implicitno u konjunkciji.Svaki red prevodimo u KNF(2.I 3. su vec u trazenom obliku).NOT A OR NOT B OR CNOT D OR ABD AND NOT CRazbijamo eksplicitne konlinkcije na njene operande:NOT A OR NOT B OR CNOT D OR ABDNOT COdavde primenjujemo rezoluciju I dobijamo:Rezolucijom po formuli A:NOT D OR NOT B OR CBDNOT C

Primenom rezolucije na NOT B I B, dobijamo :NOT D OR CDNOT C

Daljom primenom na D I NOT D:CNOT CFinalnom primenom dobijamo prazan skup [] ,tj kontradikciju primenom svodjenja na apsurd.

Predikatski racun

razlika izmedju iskaznog racuna i predikatskog racuna: predikatski racun omogucava da formule sadrze promenjljive I kvantifikatoreizjava dobavljas SI nabavlja deo P I neki dobavljac S nabavlja deo P nisu ispravne formule iskaznog racuna ali jesu ispravne formule predikatskog racuna.Tako, predikatski racun nam omogucava osnovu za izrazavanje upita kao sto je npr koji delovi se dostavljaju od nabavljaca SI ili naci nabavljace koji isporucuje neki deo ili naci nabavljace koji ne isporucuju neki deo uopste

Predikati

predikat je bulova funkcija, tj. funkcija koja za odgovarajuce zadate argumente za svoje parametre, vraca ili TACNO ili NETACNO npr >(x,y) ili lakse napisano x>y, je predikat sa dva parametra, x i yPredikat koji uzima n argumenata se zove predikat n-tog reda Predlog moze biti posmatran kao nulti predikat- on nema parametre

Zgodno je da se pretpostavi da predikati koji odgovaraju = >

Tako na primer, tabela nabavljaca S, moze biti posmatrana kao predikat sa cetri parametara S#, sname, status I grad.

Dalje, lakse je da se usvoji ocigledna skracena notacija- izrazi s(s1, smith, 20, london) I s(s6, white, 45, rome)- predstavljaju instance tog predikata

Neformalno, mozemo da posmatramo takve predikate zajedno sa bilo kojom primenjljivom integritetnom zabranom, koje su takodje predikati- definisanjem sta relaciona baza znaci .

Dobro formulisane formule

Sledeci korak je da se prosiri definicija formule. Da bi se izbegla konfuzija sa formulama iz pretnognog dela (koje su ustvari specijalan slucaj), prebacujemo se na izraz dobro formulisane formule(well formed formulas- wff, cita se weff), primer uproscene wff sintakse: ::= | NOT ()|()AND()|()=> ()|EXISTS ()|FORALL ()::=(NOT)(())

Poenta je jednostavno moguce negirana predikatska instancaSvaki mora biti konstanta, ime promenljive ili poziv funkcije, gde je svaki argument poziva funkcije constanta ili promenljiva, ili poziv funkcije. I (opciono) odgovarajuce zagrade su potrebne za nulti predikat. funkcije (nad I iznad bulovih funkcija koje su predikati ) su dozvoljene da bi dozvolile wff-u da ukljuci racunske izraze kao sto su +(x,y)- lakse napisano x + y- itdusvajamo uobicajna pravila za bulove operatore (NOT pa AND, pa OR, pa => ) da bi smanjili broj potrebnih zagrada za izrazavanje zeljenog reda procene.pretpostavlja se da smo upoznati sa kvantifikatorima EXISTS I FORALL. Ovde nas zanima samo first-order predikatski racun, koji bazno znaci da (a) nemamo predikatske promenljive (promenljive cije dozvoljene vrednosti su predikati), I samim tim (b) predikati ne mogu sami da budu izlozeni kvantifikaciji

de Morganov zakon moze biti generalizovan da bi se primenio na kvantifikovan wff, kao sto je prikazanoNOT (FORALL x (f)) = EXISTS x (NOT (f))NOT (EXISTS x (f)) FORALL x (NOT (f))u zadatom wff, svaka referenca na promenljivu je ili slobodna ili vezana. Referenca je vezana akko (a) se pojavljuje odmah posle EXISTS ili FOREALL ili (b) nalazi se u opsegu kvantifikatora i oznacava primenljivu kvantifikovanu promenljivu Referenca na promenljivu je slobodna akko nije vezanazatvoreni wff je onaj koji ne sadrzi slobodne reference promenljivih

Interpretacije I modeliSta wff znaci? Da bi dali formalni odgovor na ovo pitanje, uvodimo notaciju interpretacije. Interpretacija wff je definisana na sl. nacin:prvo, specifiramo univerzum nad kojim ce wff biti interpretirani. Drugim recima, specifiramo preslikavanje izmedjudozvoljenih konstanti iz formalnog sistema(domen promenljivih, u terminu relacionih baza) I objekata iz stvarnog sveta. Svaka pojedinacna konstanta odgovara tacno jednom objektu u univerzumudrugo, specifiramo znacenje za svaki predikat u terminu objekata u univerzumu trece, takodje specifiramo znacenje za svako funkciju u terminu objekata u univerzumuonda se interpretacija sastoji od kombinacije univerzumapreslikavanje individualnih konstanti u objekte iz tog univerzuma, plus definisano znacenje za predikate I funkcije tog univerzuma

uzecemo primer: neka univerzum bude skup brojeva {0,1,2,3,4,5};neka konstanta 2 odgovara objektu u tom univerzumu na ocigledan nacinneka predikat x > y bude definisan na uobicajen nacin Sada mozemo da dodelimo istinitosne vrednosti za wff kao sto su npr:

Primeticemo, da su I druge interpretacije moguce. Npr, mozemo da specifiramo univerzum da bude skup sigurnosnih nivoa:

Predikat > bi sad mogao da znaci vise siguran odSada shvatamo da su dve moguce interpretacije koje su date, izomorfne, tj moguce je da se podesi 1-1 preslikavanje izmedju njih,na dubljem nivou su te dve interptretacije ustvari jedna te ista.Ali mora biti jasno da mogu da postoje interpretacije koje koje su razlicite

Npr mozemo ponovo da posmatramo univerzum od 0 do 5, ali da definisemo > da znaci jednako.Naravno, to bi verovatno izazvalo dosta konfuzije, ali imamo i tu mogucnosttako bi prvi wff u listi (2>1) vracao vrednos false umesto true. dve interpretacije mogu biti stvarno razlicite u svakom smislu, a opet da daju iste istinitosne vrednosti za zadate skupove od wff-asvi wff-ovi o kojima smo raspravljali su bili zatvorenog tipa. uvek je moguce da se dodeli specificna istinitnosna vrednost za zatvoreni wffistinitosna vrednost otvorenog wff ce zavisiti od vrednosti koje su dodeljene slobodnim promenljivama. Npr otvoreni wffx>3

Sada definisemo model od skupa od (obavezno zatvorenog) wff da bude interpretacija za koju svi wff-ovi u skupu dodeljuju vrednost TACNO. Dve interpretacije smo dali za cetri wff

u uslovima brojeva od 0 do 5, to nisu modeli tih wff-ova, zato sto neki wff-ovi su dodelili false pod tom interpretacijom. Suprotno, prva interpretacija(u kojoj je > bila definisana kako treba) bi imala model za taj skup wwf-ova:

Primeticemo konacno, posto za zadat skup wff moze imati vise interpretacija u kojima su svi wff TACNI, onda moze imati i vise modela (generalno ).

To je moguce zato sto u modelno-teoretskom pogledu- baza podataka je samo skup wff-ova

Forma ClausaSvaku formulu predikatskog racuna WFF mozemo konvertovati u formu klauzeProces konverzije se odvija na sledeci nacin:Neka je dat primer WFF formule Forall x(p(x) and exists y(forall z(q(y,z)))),gde su p,q predikati a x,y,z su promenljiveEliminacija =>De Morganovi zakoni I primena pravila za notPrenex normalna forma forall x(exists y(forall z(p(x) and g(y,z))))Exists v(r(v)) je ekvivalentno sa r(a),gde je a nepoznata konstanta forall u(exists v((s(u,v))) je ekvivalentno sa forall u(s(u,f(u))),gde je f nepoznata funkcija f Dakle,sledeci korak je elimnacija egzistencijalnog kvantifikatora forall x(forall z(p(x) and q(f(x),z)))

Forma clausa nastavak:

Izostavljanje univerzalnog kvantifikatora p(x) and q(f(x),s)WFF pretvoriti u konjuktivnu normalnu formuNapisati svaku klauzu u posebnoj liniji I izostaviti and

Dokazno- teoretski pogled baza podatakaKlauza je izraz oblika

gde su A I B sve termi oblika

ovde je r predikat, a x1,x2,,xt su argumenti tog predikata Sad razmatramo dva bitna specijalna slucaja ove generalne konstrukcijem=0 , n=1Ovaj slucaj moze biti pojednostavljen na samo=>B1Ili drugim recima, (izbacivanjem simbola implikacije) na samo r (x1,x2,,xt), za neke predikate I neke skupove argumenata x1,x2,,xtAko su x-ovi konstante, klauzula predstavlja baznu aksiomu, tj to je izjava koja je uvek tacna.

2) m>0 ,n=1U ovom slucaju klauza ima oblik

A1 AND A2 AND AND Am => B

I moze biti posmatrana kao deduktivna aksiomaAlternativno, takva klauza moze biti posmatrana kao definisuca za integritet ogranicenja relaciono ogranicenje. Pretpostavimo da nabavljac S ima samo dva atributa, S# I gradOnda klauza

S (s,c1) AND S (s,c2) => c1 = c2

Izrazava ogranicenje da je city funkcionalno zavistan od S#

Prvo, tradicionalan pogled na bazu podataka moze biti posmatran kao modelno-teoretskiBaza podataka se posmatra tako da sadrzi kolekciju eksplicitno imenovanih relacija, gde svaka sadrzi skup eksplicitnih n-torki, zajedno sa eksplicitnim skupom integritetnih konstantiTo je percepcija koja moze biti karakterizovana kao modelno-teoretska, kao sto cemo objasniti:Domeni sadrze vrednosti koji treba da predstavljaju odredjene objekte u stvarnom svetu (preciznije, u nekim interpretacijama). One dakle odgovaraju univerzumuRelacije predstavljaju skup predikata ili otvoren wff koji treba da bude interpretiran nad tim univerzumomNpr relacija SP predstavlja predikat dobavljac S# dostavlja deo P# u kolicini QTYSvaka n-torka u datoj relaciji predstavlja instancu od odgovarajuceg predikata; tj, predstavlja predlog (zatvoren wff- ako nema promenljive) koji je nedvosmisleno tacan u univerzumu

Integralne konstante su otvoren wff, interpretiran nad istim univerzumom. N-torke I integritetna ogranicenja mogu zajedno biti posmatrani kao skup aksioma koje definisu odredjenu logicku teoriju Posto su sve te aksiome tacne u interpretaciji, onda po definiciji je ta interpretacija model te logicke teorije. Treba primetiti da model ne mora da bude jedinstvenPa je u pogledu teoretskog modela, samim tim, znacenje baze podataka modelIma mnogo mogucih modela, ima I mnogo znacenja, bar u pricipu. Dalje, upit koji se obradjuje u pogledu teoretskog modela je u osnovi proces koji obradjuje odredjeni otvoreni wff da bi otkrio koje vrednosti od slobodnih promenljivih u tom wff cine da wff odredi TACNO unutar modela

neophodno je da se usvoji druga perspektiva, ona u kojoj je baza podataka ekspicitno posmatrana kao odredjena logicka teorija, tj. kao skup aksioma.

znacenje baze podataka onda postaje, precizno, kolekcija svih TACNIH izjava koje mogu biti dedukovane iz tih aksioma. Ovo je dokazni-teoretski pogled.

U ovom pogledu, procena upita postaje proces dokazivanja teoreme

razlika izmedju modelnog I dokazno-teoretskog pogleda je: baza podataka moze imati vise znacenja u modelno-teoretskom pogledu, dok obicno ima tacno jedno znacenje u dokazno-teoretskom delu- osim ako (a) kao sto je ukazano ranije, da je jedno znacenje ustvari kanonsko znacenje u modelno-teoretskom slucaju, I u bilo kom slucaju (b) efekat da postoji samo jedno znacenje u dokazno-teoretskom slucaju prestaje da vazi, generalno, ako baza podataka ukljucuje bilo koju negativnu aksiomu.

Aksiome za zadatu bazu podataka (dokazno-teoretski pogled) mogu biti sumarizovanebazne aksiome, koje odovaraju vrednostima u domenu i n-torke u baznim relacijama. Ove aksiome grade ono sto ponekad zovemo extensional databaseaksioma o kompletnosti za svaku relaciju, koja izjavljuje neuspeh ili u suprotnom uspeh pojavljivanja n-torke u relaciji aksiome sa jedinstvenim imenom, svaka konstanta ima unikatno imeaksioma zatvorenog domena, ne postoji konstanta van domena baze podatakaskup aksioma

principijelne razlike izmedju modelno teoretskog I dokazno teoretskog pogleda

sa cisto pragmatickog gledista, nema puno razlikeaksiome dokazno teoretskog pogleda, imaju odredjene pretpostavke koje su implicitne u tom modeluneophodno je specificiranje dodatnih aksioma eksplicitno da bi bili u mogucnosti da primenimo dokazne tehnikelista aksioma ne pominje ogranicenje integriteta, jer je ta ogranicenja pretvaraju u deduktivni DBMSDokazno- teoretski pogled ima odredjenu elegancijupruza osnovu za lakse resavanje problema sa kojima relacioni sistemi imaju problema, npr nabavljac S6 je iz Pariza ili Rima, ili rekurzivnim upitimadokazno teoretski pogled pruza bolju i intuitivniju semantiku

Deduktivni sistemi baza podataka

Podrzavaju dokazno-teoretski oblik baza.Dedukuju nove podatke iz postojecih.INTENSIONAL DATABASE + EXTENSIONAL DATABASEPredstavljamo nasu snabdevac-proizvod bazu kao deduktivnu:

S# (S1) NAME (SMITH) INTEGER (5) CHAR (LONDON)S# (S2) NAME (JONES) INTEGER (10) CHAR (PARIZ)S# (S3) NAME (BLAKE) INTEGER (15) CHAR (RIM)S# (S4) NAME (CLARK) ItdSkup osnovnih aksioma za n-torke iz baznih relacija :S(s1, smith, 5, London);P(p1, nut,red, 12, London) itd.

Deduktivne DBMS primenjujemo na postojece baze konstruisane na standardni nacin.Prekrseni uslovi integriteta povlace nekonzistentan sistem aksioma,Atributi :S (s,sn,st, sc) => S# (s ) AND NAME (sn) AND INTEGER (st) AND CHAR (SC)P(P,PN,PL,PW,PC) => P# (P) ANDNAME (PN) ANDCOLOR (PL) ANDWEIGHT(PW) ANDCHAR(PC)Itd

Pravila koja se primenjuju na kljuc su u obliku:S (s,sn1,st1,sc1) and S(s,sn2,st2,sc2) =>Sn1 = sn2 ANDSt1 = st2 ANDSc1 = sc2Za strani kljuc:SP (s,p,q) =>S (s,sn,st, sc) ANDP(P,PN,PL,PW,PC) i pri cemu pretpostavljamo da se promenljive koje se javljaju na levoj ali ne I na desno strani implikacije egzistencijalno kvanifikovane, dok su one sa desne strane univerzalno kvantifikovane.Uvodimo nove deduktivne aksiome u nasu bazu:S (s,sn,st,sc) AND st>15 =>GOOD_SUPPLIER (s,st,sc)S (sx,sxn,sxt,sc) AND S(sy,syn,syt,sc) => SS_COLOCATED(sx,sy)S(s,sn,st,c) AND P (p,pn,pl,pw, c) => SP_COLOCATED (s,p)

Relaciona promenljiva PART_STRUCTURE: koji delovi px sadrze delove py kao svoje komponente 1.redaPART_STRUCTURE (px,py)=> P(px,xn,xl,xw,xc) AND P(py,yn,yl,yw,yc).Rekurzivna definicija:PART_STRUCTURE(px,py)=>COMPONENT_OF(px,py)PART_STRUCTURE(px,pz) AND COMPONENT_OF (pz,py) =>COMPONENT_OF(px,py) ,Pri cemu COMPONENT_OF(px, py) oznacava da je py komponenta dela px bilo kog reda.Mnogi jezici relacionog racuna ne dozvoljavaju I dalje rekurzije ovog tipa ni kada je u pitanju definisanje pogleda, ni upita itd.

DATALOG

Definisanje deduktivnih aksiomaHornove klauze bez funkcija definisane kao wwf u obliku:A1 AND A2 AND .... AND AnA1 AND A2 AND .... AND An => B U Datalog notaciji implikacija u obrnutom smeru tj drugi oblik se predstavlja kao B

Datalog definicija za GOOD_SUPPLIER :GOOD_SUPPLIER(s,st,sc)15,Neki uppiti nad ovakvim pogledom bili bi : ?

Nadgradnje DATALOG-aNegacije premisa, npr : SS_COLOCATED (sx,sy)

Rekurzivni upitiJedno od najznacajnijih svojstava deduktivnih baza podatakaPrimer comp(px,py)

b)izvrsenje rezultata transformacijeNeke od tehnika prikazacemo na primeruExplode part P1Tabela nad kojom cemo raditi je sl. Oblika I sadrzaja:

Naivni pristup

Najjednostavniji ali I najneefikasniji.Explode part p1 bi se predstavio upitom :COMP :=PS; do until COMP reaches fixpoint COMP := COMP union (COMP * PS);end;DISPLAY:= COMP where px => p#(p1);

Sve relacije po 2 atributa.

* oznacava join relacija PS I COMP po atributima ps.px I comp.py a zatim projekciju na ps.py I comp.px.Ponavljanje koraka iz prethodnih iteracija.

Stanje u relacijama posle 1. iteracije:

A posle druge:

Posle trece iteracije n-torke u tabelo PS * COMP su iste kao I u prethodnoj iteraciji COMP je dostigao fixpoint.Rezultujuca relacija dobijena primenom restrikcije je na slici:

Polunaivni pristupIzbegavanje ponavljanja izracunavanja Iz prethodnog koraka.U svakom koraku samo nove n-torke.NEW := PS; COMP := NEW; dountil COMP is empty NEW := (NEW * COMP) COMP; COMP := COMP UNION NEW;end.Inicijalno COMP I NEW su identicne.Posle 1. iteracije:

Stanje u posle druge iteracije prikazano je na slici, a posle trece Tabela NEW je prazna pa se izvrsavanje zaustavlja.

Staticko filtriranjeRestrikcija na pocetku.Koristi informacije iz zakljucka da bi se modifikovale premise.

Pseudo kod za isti primer:

Ovim zavrsavamo kratak uvod o temi baza podataka koje su bazirane na logici. Sveukupno, koncept logicki baziranih baza podataka izgleda zanimljivo; prednosti su pomenute u prethodnim oblastima.Jasna buduca prednost, je da logika bi mogla da formira bazu za naizgled nemogucu integraciju izmedju programskih jezika generalne svrhe I baza podataka. sistem bi omogucio jedan logicki baziran jezik u kome podatak je podatak nezavisno od toga da li se cuva u zajednickoj database ili je lokalan za aplikaciju.

Da pregledamo tacke materijala koji smo pokrili. Pocecemo sa kratkim uvodom u iskazni i predikatski racun, pocevsi sa sledecim konceptima, izmedju ostalih:interpretacija od skupa wff je kombinacija (a) univerzuma (b) preslikavanje individualnih konstanti koje se pojavljuju u tim wff u objekte u tom univerzumu, I (c) skup definisanih znacenja tih predikata I funkcija koje se pojavljuju u tim wffmodel za skup u wff je interpretacija za koji svi wff u skupu su tacni. Zadati skup wff moze imati bilo koji broj modela

dokaz je proces pokazivanja da odredjeni dati wff je logicka posledica od nekog datog skupa wff f1,f2,,fn (premise ).

Pominjali smo jedan dokazni metod, poznat kao rezolucija I unifikacija

ispitali smo dokazno-teoretski pogled baza podataka.

U takvom pogledu, baza podataka je posmatrana tako da sadrzi kombinaciju extensional baza podataka I intensional baza podataka:Extensional baza podataka sadrzi bazne aksiome, Intensional baza podataka sadrzi integritet ogranicenja I deduktivne aksiome.

znacenje baze podataka se onda sastoji od skupa teorema koje mogu biti dedukovane iz aksioma

Ukratko smo opisali DATALOG, korisnicki jezik za takav DBMS.

Jedna ocigledna razlika izmedju DATALOGA-a I relacionog jezika je da datalog podrzava rekurzivne aksiome, I samim tim rekurzivne upite

KRAJ