lógica proposicional fidel vera obeso -...

Lógica Proposicional Fidel Vera Obeso

Universidad Nacional del Santa DAM 1

OBJETIVO N° 01

Conceptualizar la lógicacomo ciencia y reconocer suimportancia en el avancecientífico.

Analice la siguiente información sobre

ACTIVIDAD N° 01

1.1. LA LÓGICA COMO CIENCIA:

CONCEPTUALIZACIÓN:

Considerando que la lógica estudia tanto la estructura como

el contenido del pensamiento, conceptualmente afirmamos

que “La Lógica (en general) es la ciencia que estudia las leyes

dialécticas y lógico-formales, los métodos, los procedimientos,

las propiedades y las relaciones; sobre la base de las teorías

del pensamiento”.

ESQUEMÁTICAMENTE:

Principios y/o leyes

Métodos

Formas

Procedimientos

Propiedades

Relaciones

- Identidad - No contra-

dicción. - Tercio excluido - Razón

suficiente. - Unidad y lucha

de contrarios. - Tránsito de

cantidad en calidad.

- Negación de la negación

- Inducción - Deducción - Análisis - Síntesis

- Concepto - Juicio - Raciocinio

- Definición - Clasificación - División - Explicación - Argumentación - Refutación - Demostración - Exposición - Investigación

- Espacio - Tiempo - Movimiento - Cantidad - Cualidad

- Causa - Efecto - Necesidad - Casualidad - Posibilidad - Realidad - Singular,

particular, universal.

LÓGICA (en general)



LA LÓGICA Y LA CIENCIA:

Cuando el gran físico Albert Einstein inició sus

investigaciones sobre el micromundo, no lo hizo sobre la

base de nada, sino que tuvo que estudiar y someter a crítica

las leyes y teorías de la física clásica del macromundo. Es a

partir de estas premisas que fue estableciendo

deducciones, inducciones y analogías que finalmente

significan la creación de una nueva teoría: la teoría de la

relatividad. Sin embargo no fue suficiente que Einstein

conociese para sí, intersubjetivamente, sino que era

necesario que el mundo, la humanidad también lo

conociese, de allí que tuviese el autor que publicar, hacer

público sus investigaciones.

Este ejemplo nos muestra que la ciencia, puede ser

entendida como proceso (investigación científica) y también

como producto (publicación o exposición de los resultados

de la investigación científica).

En ambos casos, la ciencia necesita de la lógica, sin ésta no

puede desenvolverse.

a) Como proceso la ciencia necesita de la lógica en tanto

leyes, procedimientos, métodos, propiedades y relaciones

sobre la base de las formas del pensamiento, para que el

científico en confrontación con la realidad, alcance la

verdad objetiva.

Aquí el peso mayor recae en la lógica del contenido

(condición suficiente para la ciencia).

b) Como producto la ciencia en tanto teoría a exponerse,

publicarse, necesita de la lógica para organizarse,

sistematizarse, estructurarse, formalizarse a fin de

poder demostrar su validez o corrección lógico-formal:

Aquí el peso mayor recae en la lógica formal (condición

necesaria para la ciencia).



IMPORTANCIA DE LA LÓGICA PARA EL AVANCECIENTÍFICO-TECNOLÓGICO: • Permite en base al conocimiento ya obtenido y validado,

deducir nuevos conocimientos.

• En base a razonamientos inductivos (de lo particular a lo

general), podemos plantear hipótesis o predicciones

científicas; sin experimentación.

• Permite la formalización del lenguaje científico para la

posterior demostración de validez, tornándose preciso,

exacto, convencional y universal.

• En tanto métodos lógicos son el puente entre los métodos

de investigación científica y los métodos de exposición

científica.

• Es la base y hasta el momento la fundamentación de las

matemáticas (consideradas ciencias exactas), según la cual

se puede deducir de un conjunto de axiomas un conjunto

de teoremas. También se usa la inducción y analogíamatemática.

• El desarrollo y el progreso de la lógica implican el

desarrollo y el progreso de las ciencias y la tecnología, por

ejemplos los circuitos lógicos son el fundamento de los

circuitos eléctricos y de todo el sistema de computación.

Ahora, con las computadoras se pueden hacer cálculos y

predicciones sumamente complejos.

• Por sus aplicaciones a la matemática, a la lingüística, al

análisis del lenguaje natural, al análisis de los

razonamientos filosóficos, las aplicaciones al método

científico, y en general, no hay campo de la ciencia ni de la

tecnología contemporánea donde la lógica no sea utilizada.

En este sentido, la lógica es la columna vertebral de todos

los acontecimientos en cuanto lo organiza coherentemente.

• En la vida diaria hacemos uso de la lógica constantemente,

incluso para cruzar una pista, porque previamente

razonamos: “si viene un carro, no debo cruzar la pista.

Viene un carro. Luego, no debo cruzar la pista”, o cuando

un campesino ve una densa nube en el cielo infiere que va

a llover, y así podemos mencionar situaciones donde se usa

la lógica indefinidamente.



Resuelve a continuación el siguiente

ACTIVIDAD N° 02

CUESTIONARIO SOBRE LA LÓGICA COMO CIENCIA:

1) ¿Cómo se conceptualiza la lógica como ciencia? Haga un

diagrama de dicha conceptualización.

2) ¿Cómo se relaciona la lógica y la ciencia? Cite algunos ejemplos

prácticos.

3) Con ejemplos explique la importancia de la lógica en la vida

diaria.

4) ¿Qué aplicaciones de la lógica podemos citar? Cite algunos

ejemplos prácticos.

5) ¿Por qué es necesaria la lógica para las ciencias?



OBJETIVO N° 02

Definir e identificarproposiciones.

Estudie la siguiente información sobre

ACTIVIDAD N° 01

1.2. PROPOSICIÓN. DEFINICIÓN Y CLASES: EL CONCEPTO: Es una de las formas del reflejo del mundo en el pensar,

mediante el cual se entra en conocimiento de la esencia de

los fenómenos y procesos. En otras palabras, es el

pensamiento. En otras palabras, es el pensamiento

elemental, la unidad lógica básica que presenta al objeto o a

una clase de objetos refiriéndose a sus caracteres esenciales

o indicando relación entre ellos.

Ejemplos: • Carpeta (designa un objeto real físico)

• Alegría (designa un objeto real o psíquico)

• Número (designa objeto abstracto).

• Perseverancia (designa valor)

• Todos, algunos (indican relación entre los anteriores)

Finalmente, un concepto no afirma ni niega nada,

simplemente indica algo ya sea objeto o entidad.

EL TÉRMINO: Es la expresión, manifestación, explicitación lingüística del

concepto. Es decir, es la palabra o palabras con la cual se

expresa un conjunto. Así: • El concepto estricto “cerebro” se expresa con un solo término

o palabra.

• El concepto estricto “Universidad Nacional del Santa” se

expresa con varios términos o palabras.



Ej.: Todo número par es divisible por dos.

Es la expresión lingüística del juicio, de cuyo contenido osignificado se puede saber con certeza si es verdadero ofalso empíricamente y que generalmente se expresa comooración declarativa. A nivel de pensamiento se llama juicio ya nivel de lenguaje se llama proposición, por eso se dice quelas proposiciones son la envoltura material de los juicios.

LA PROPOSICIÓN:

Es una relación o conjunto de conceptos que se caracterizanpor construir una afirmación o aseveración de algo. Es unaforma, una estructura del pensamiento que objetivamente esverdadero o falso. LA ORACIÓN: Convencionalmente, es una palabra o conjunto de palabrascon sentido o significado propio. CLASIFICACIÓN DE LAS ORACIONES: 1) Declarativas o Aseverativas:

a) Informativas (Informan) Ej.: 2 + 3 = 5

b) Descriptivas (Describen) Ej.: La tierra gira alrededor del sol.

c) Explicativas (Explican) Ej.: El área de un cuadrado de 4 cm de lado es16m2 porque para hallar el área de un cuadrado semultiplica lado por lado.

2) Expresivas o no Aseverativas: a) Exclamativas (Sentimientos, interjecciones)

Ej.: ¡Viva el Perú! b) Imperativas (Órdenes)

Ej.: Silencio c) Desiderativas (Deseos, súplicas)

Ej.: Quiero viajar al Cuzco d) Interrogativas (Preguntas)

Ej.: ¿Qué hora es?

EL JUICIO:



En síntesis, el proceso lógico puede esquematizarse del

modo siguiente:

A modo de resumen se da el siguiente cuadro para que

pueda identificar proposiciones.

Son proposiciones

No son proposiciones

• Las oraciones

aseverativas.

• Las leyes científicas.

• Las fórmulas

matemáticas.

• Las fórmulas y/o

esquemas lógicos.

• Los enunciados cerrados

o definidos.

• Los hechos o personajes

literarios.

• Los proverbios, modismos y

refranes.

• Creencias religiosas,

supersticiones y mitos.

• Las interrogantes.

• Las órdenes.

• Las interjecciones.

• Los deseos, dudas y súplicas.

• Los abiertos o indefinidos.

JUICIO OBJETO

SE REFLEJA

PROPOSICIÓN



EJEMPLO 1 De las siguientes oraciones, identificar las que sonproposiciones. 01) Cuando x > 3 entonces x2 > 9 02) Peter Drucker es autor de la obra “El Líder del Futuro”. 03) La traducción en inglés de “yo te amo” es “I love you”. 04) ¡Viva el Perú! 05) Dadme la vida o dadme la muerte. 06) ¡Chimbote! Alma mater de lucha y de inquietud. 07) ¿A qué hora termina el examen? 08) Todo triángulo es un polígono 09) Juega un papel preponderante en el desarrollo y

conservación de los recursos.

10) El ADN es la molécula maestra de la célula. 11) El área del círculo es... 12) Es un método didáctico activo. 13) Del dicho al hecho hay mucho trecho. 14) Hoy tendré un mal día, se me cruzó un gato negro. 15) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

Solución: La característica fundamental de una proposición esverdadera o falsa empíricamente. De acuerdo a esto: Son proposiciones: 1, 2, 3, 8 y 10 (oraciones aseverativas) 15 (fórmula matemática) no son proposiciones: 5 y 6 (oraciones aseverativas) 4 (interjección) 7 (interrogante) 9, 11 y 12 (enunciados abiertos o indefinidos)



13 (refrán) 14 (superstición) CLASES DE PROPOSICIONES:

Simples, atómicas o elementales: Aquellas que carecen de

conectores lógicos.

Compuestas, moleculares o coligativas: Aquellas que

tienen uno o más conectores lógicos.

EJEMPLO 2 De las siguientes proposiciones, identificar las proposiciones

simples y las proposiciones compuestas.

01) No existe la capa de ozono.

02) El SIDA y la TBC son enfermedades.

03) Los ofidios tienen extremidades o bien vértebras.

04) Los medios de comunicación son necesarios en lapedagogía.

05) i2 ≠-1

06) Cero es un número par o impar.

07) La relación ( ){ }1/ 2221 =+∈ yxRyx es una función y

representa una circunferencia.

08) Si 2 es un número irracional entonces es un númeroreal.

09) 0=− hx Sí y sólo sí x = h

10) Manipular la computadora y la impresora son ejemplos

de aprendizaje motor.

11) “Peruanicemos al Perú” es un tema crítico-científico-

literario de José María Arguedas.

12) Las palabras: mármol, carácter, baúl, tórax llevan tilde

por ser graves prosódicas.

13) Los metaloides son combinables con oxígeno para

formar anhídridos.



14) En todo proceso redox existen uno o más elementos que

se oxidan.

15) X + 6 = 4, si x = -2

Solución:

4 y 13 son proposiciones simples pues carecen de

conectores lógicos.

1 y 5 tienen la negación como conectivo. El símbolo

matemático ≠ "diferente a" es equivalente a "no es igual a".

1, 7, 10, 11 y 12 tienen la conjunción como conectivo.

3, 6 y 14 tienen la disyunción como conectivo.

8 y 15 tiene como conectivo el condicional.

9 tiene el bicondicional como conectivo.



Resuelve a continuación la siguiente

ACTIVIDAD N° 02

PRÁCTICA SOBRE PROPOSICIÓN. DEFINICIÓN Y CLASES:

01) De las siguientes expresiones:

(1) Todo lo agradable es bueno

(2) ¡Viva el Perú carajo!

(3) Hay mujeres en la tierra

(4) Los alumnos de historia hicieron la tarea

(5) Entrégame mi libro de lógica.

No son proposiciones:

a) 2, 3 y 5 b) 2 y 5 c) 2, 4 y 5 d) N.A. e) T.A.


(1) Solo sé que nada sé

(2) El calor dilata los cuerpos

(3) x + y = y + x

(4) Vargas Llosa es el mejor escritor del Perú

(5) Café es una palabra aguda.

No son proposiciones:

a) 1, 3 y 4 b) 1, 3 y 5 c) 3, 4 y 5 d) 1 y 3 e) sólo 1


(1) Los cuerpos caen por acción de la gravedad.

(2) La materia es energía concentrada.



`

(3) El valor de π = 3.1416

(4) H2O es la fórmula del agua

(5) The sun is the center of our planetary system

Son proposiciones:

a) 1, 2, 4, 5 b) 1, 2, 3 y 4 c) 1,2, 5 d) 1,2 y 3

e) Todas.


(1) El agua no se solidifica a 0°

(1) tg x = 1 cuando x=π/4

(2) 2-1 = ½ no obstante 12/1

2 1

=−

(3) x2 + y2 = 1; es la ecuación de una circunferencia

(4) 4 + 3 ≠ -3 -4

Son proposiciones compuestas:

a) 2, 3 y 4 b) 2, 3 y 5 c) 1,2 y 3 d) 1,2, 3 y 5

e) 1, 3, 5


(01) El ozono filtra los rayos ultravioletas

(02) nkknk

nknC ≤−

= ,)!(!

!),(

(03) 11 2 −=↔=− ii

(04) El aire contiene oxígeno e hidrógeno

(05) The earth rotates around the sun

No son proposiciones compuestas:

a) 1, 2, 3 y 5 b) 1, 2 y 3 c) 1 y 5 d) Sólo 1

e) 1 y 2



OBJETIVO N° 03 Formalizar proposicionesusando variablesproposicionales y losconectivos lógicos, ydeterminar su valor de verdad.


ACTIVIDAD N° 01

- Del Metalenguaje:

Son variables de mayor amplitud que las anteriores y

sirven para denotar proposiciones compuestas. Se usan

las letras mayúsculas, generalmente, a partir de: A, B,

C,...

Operadores o Conectivos Lógicos:

La Negación

Símbolo: ~ __,',¬ Esquema lógico ~ p, _,', ppp¬ Lectura “no p”, “nunca p”,

“es absurdo que p” “es falso que p” “es inconcebible que p” “es imposible que p” “no ocurre que p” “no es verdad que p” “es mentira que p”

“jamás p”, “tampoco p” “es inadmisible que p” “no acaece que p” “no es innegable que p” “carece de todo sentido que p” “de ninguna forma se da p” “es erróneo que p” “es incierto que p” “nadie que sea p” etc...

- Del Lenguaje Objeto:

Las proposiciones simples se pueden denotar por medio

de letras minúsculas, generalmente, a partir de: p, r, s....

NOTACIÓN, VALORES DE VERDAD Y LECTURA:

Variables proposicionales:

1.3. OPERADORES O CONECTIVOS LÓGICOS:



La Disyunción Débil o Inclusiva

Símbolo: ∨, +

Esquema lógico p ∨ q, p + q Lectura “p o q”

“a menos que p, q” “p ó también q” “p ó de lo contrario q”

“p salvo que q” “p a menos que q” “p excepto que q” “p ó en tal sentido q” etc...

La Disyunción Débil o Exclusiva Símbolo: ∨, ∆, ↔, >--<, ≡

Esquema lógico p ∨ q, p ∆ q , p ↔q, p >--< q, p ≡ q Lectura “o p ó q”

“p no equivale a q” “p no se define como q” “ya sea p ya sea q”

“o bien p o bien q” “p es diferente a q” “ya bien p ya bien q” “p se contrapone a q” “p excluye a q” “p ó solamente q” “p o únicamente q”

El Operador de Nicond Símbolo: /

Esquema lógico p/q, ~p∨ ~q, ~ (p ∧ q). Lectura “no p ó no q”

“es falso que no pe y no q”

La Conjunción

Símbolo: ∧, ., &

Esquema lógico p ∧ q, p.q , p&q

Lectura “p y q” “p pero q” “p aunque q” “p sin embargo q” “p incluso q” “p así como q” etc...

“p también q” “p del mismo modo q” “p de la misma forma q” “p tal como q” “p al igual que q” “p no obstante q” “p es compatible con q” “no sólo p también q” “siempre ambos p con q” “tanto p como, cuanto q”



El operador de Sheffer Símbolo: ↓

Esquema lógico p ↓ q, ~p∧~q, ~(p∨q) Lectura “ni p ni q” , “es falso que p ó q”

El Condicional

Símbolo: →, ⊃ Esquema lógico p → q, p ⊃ q Lectura “si p entonces q”

“cuando p así pues q” “con tal de que p es obvio que q” “en virtud de que p es evidente q” “dado p por eso q” “en cuanto p por tanto q” “de p deviene q” “de p deducimos q” “p sólo si q”

“ya que p bien se ve que q” “siempre que p por consiguiente q” “como quien que p por lo cual q” “en el caso de que p en tal sentido q” “toda vez que p en consecuencia q” “en la medida que p de allí q” “en el caso de p en este caso q” “p impone q” “p es condición suficiente para q” etc...

• En la condicional:

p → q

• Después de las siguientes palabras va el antecedente de

una condicional (INDICADORES DE PREMISAS):

puesto que como es indicado por

dado que la razón es que

a causa de por las siguientes razones

porque se puede inferir de

pues se puede derivar de

se sigue de se puede deducir de

como muestra en vista de que

ya que cuando

si cada vez que, siempre que, a

condición de que, es condición

necesaria para, es suficiente para.

La Conclusión

El consecuente La tesis El efecto

La Premisa

El Antecedente La Hipótesis La causa



En este caso el esquema lógico es: s r

Este conectivo se llama REPLICADOR.

El Bicondicional Símbolo: ↔, ≡

Esquema lógico p ↔ q, p ≡ q

Lectura “p sí y sólo si q” “p se define como q” “p es lo mismo que q” “p es idéntico a q” etc....

“p es equivalente, equivale a q” “p siempre que y sólo cuando q” “p cada vez que y sólo si q” “p es equipolente a q” “p es de la forma q” “p es condición necesaria y suficiente para q”.

EJEMPLO 1

Formalizar o simbolizar las siguientes proposiciones.

1) Estudias Lógica o Biología, pero no ambas a la vez.

(p ∨ q) ∧ ~ (p ∧ q)

(p ∨ q) ∧ ~ (p ∧ q) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ↓ q)

2) O bien los animales son vertebrados o bien invertebrados, pero

(p ∆ ∼p) ∧

no es el caso que sean invertebrados a la vez vertebrados.

∼ (∼p ∧ p)

(p ∆ ∼p) ∧ ∼ (∼p ∧ p)

3) Un enunciado abierto no es una proposición a menos que

∼p ∨

se le asignen valores a la variable. q

∼p ∨ q

Premisa Antecedente

Palabra Indicador de premisa

Consecuente Conclusión



4) Una condición necesaria para que Rocío no sea premiada con un libro

← ∼p

es que estudie matemáticas y no apruebe el examen.

(q ∧ ∼r)

∼p → (q ∧ ∼r)

5) Como es hora laborable, se concluye que en el juzgado

hay jueces y testigos, dado que, si es hora laborable, en

el juzgado hay jueces, y hay testigos, si en el juzgado hay

jueces.

Solución:

Sean:

p: hora laborable

q: hay jueces en el juzgado

r: hay testigos en el juzgado.

• Simbolizando sólo las proposiciones simples:

Como p, se concluye que q y r, dado que, si

p, q, y r si q.

• Simbolizando los operadores condicionales:

[p → (q ∧ r) dado que (p → q) ∧ (r si q)]

• Simbolizando los replicadores:

[(p → q) ∧ (q→r)] → [p → (q∧r)]



VALORES VERITATIVOS DE LOS OPERADORES

O CONECTIVOS LÓGICOS

p ∼p

V F

F V

(A) (B) (C) (D) (E) (F) (G)

pq p ∨ q p ↓ q p ∆ q p ∧ q p / q p → q p ↔ q

VV V F F V F V V

VF V F V F V F F

FV V F V F V V F

FF F V F F V V V

• En el álgebra de Boole,

• La parte sombreada es la regla de operación de cada

operador

• (A) y (B) son de valores de verdad opuestos

(D) y (E)

• Sentido convencional de la verdad formal.

(A) es V ↔ al menos p es 1 ó q es 0

(C) es V ↔ p y q tienen valores de verdad desiguales

(E) es V ↔ cuando menos p es 0 ó q es 0

(G) es V ↔ p y q tienen valores de verdad iguales

etc.

• Sentido convencional de la falsedad formal:

(D) es F ↔ al menos p es 0 ó q es 0

(F) es F ↔ p es 1 y q es 0

(G) es F ↔ p y q tienen valores de verdad desiguales

(C) es F ↔ p y q tienen valores de verdad iguales. etc.

V es 1 F es 0



• Se puede construir un mapa conceptual de los valores de

verdad de un operador, por ejemplo:

Mapa Conceptual de los Valores de Verdad de p ∆q

V entonces F

p ∆ q es

Si p es V

F entonces V

P ∆ q es

V entonces V

p ∆ q es

Si p es F

F entonces F

p ∆ q es

EJEMPLO 2

Si la proposición q → r es falsa, el valor de verdad de las

siguientes proposiciones:

I. r ∧ (p ∨ r) II. ~ (q ∧ r) III. p ∧ (q → r)

Son respectivamente:

(a) FVFV (b) VVFV c) VFVF d) FFFV e) FVVF Solución:

Sabemos que:

q → r ≡ F ∴

V → F

F Luego:

I. r ∧ (p ∨ r) ≡ F

F ∧ V

F

q ≡ V∴

r ≡ F



II. ∼ (q ∧ r) ≡ V

∼ F

V

III. ( r ∧ ∼q) → p ≡ V

( F ∧ F) → p

F → p cualquiera sea el valor de verdad de p

V

IV. p ∧ (q → r) ≡ F

P ∧ F

F cualquiera sea el valor de verdad de p Respuesta (e)

EJEMPLO 3

Dadas las proposiciones:

q : “ 7 es un número racional”

p y r cualquier proposición

además se sabe que:

~[ (r ∨ q) → (r → p) ] es verdadera

Hallar el valor de verdad de:

I. r → (∼ p ∨ ∼ q)

II. [ ( r ↔ (p ∧ q)] ↔ (q ∧ ∼p)

III. ( r ∨ ∼p) ∧ (q ∨ p)

(a) VVV (b) FFF c) VFV d) FVV e) VVF

Solución:

Del dato, q ≡ F, además

(r ∨ q) → ( r → p) ≡ F

V → F

(i) r → p ≡ F (ii) r v q ≡ V

V → F V v F

p ≡ F ∴ q ≡ F

r ≡ V



I. r → (∼p v ∼q) ≡ V

V → (V v V)

V → V

F

II. [ (r ↔ (p ∧ q)] ↔ (q ∧ ∼p) ≡ V

(V → F) ↔ (F v V)

F ↔ F

V

III. ( r ∨ ∼p) ∧ (q ∨ p) ≡ F

(V v V) ∧ (F v F)

V ∧ F

F Respuesta (c)

EJEMPLO 4

Si se sabe que:

{[(r ∨ s) → t] ∆ (p v q) } ∧ {∼{[(r ∆ t) ∧ s] →(∼q ∧ ∼p)}} es verdadera, hallar el valor de verdad de:

I. {[(p ∨ q) → r ] ∆ ( t → p )} ∆ r

II. [ (r → s) ∨ ∼t ] → ∼(p ∨ q)

III. ∼ (p ∨ q) ∧ ( t → ∼ ∆)

(a) VVV (b) VFF c) VFV d) FVV e) VVF Solución:

Para que toda la proposición sea verdadera, cada una de las

expresiones entre llaves debe ser verdadera, o sea:

(i) {[( r ∨ s) → t ] ∆ (p ∨ q)} ≡ V

(ii) {∼{[( r ∆ t) ∧ p] → (∼q ∧ ∼p)}} ≡ V

V



De (ii)

[(r ∆ t) ∧ s] → (∼q ∧ ∼p) ≡ F

V → F

• (r ∆ t) ∧ s ≡ V

V ∧ V

• (∼q ∧ ∼p) ≡ F → ∼ (q v p) ≡ F

De (i) {[( r ∨ s) → t ] ∆ (p ∨ q)} ≡ V

F ∆ V

• ( r ∨ s) → t ≡ F

V F

Luego, evaluando los casos pedidos:

I. {[(p ∨ q) → r ] ∆ ( t → p )} ∆ r ≡ V

{[(V → V ] ∆ ( F → p )} ∆ V

{V ∆ V } ∆ V

F ∆ V

V

II. [ (r → s) ∨ ∼t ] → ∼ (p ∨ q) ≡ F

[ (V → V) ∨ V ] → ∼ (V)

[ (V ∨ V ] → F

V → F

F

t ≡ F∴

r ≡ V

∴ q v p≡ V

s ≡ V



IV. ∼ (p ∨ q) ∧ ( t → ∼ ∆) ≡ F

F ∧ ( F → F)

F ∧ V

F Respuesta (b)



Resuelve a continuación los siguientes

ACTIVIDAD N° 02

EJERCICIOS SOBRE FORMALIZACIÓN DE PROPOSICIONES:

A. Formalizar o simbolizar las siguientes proposiciones:

1. No es cierto que 19 sea divisible por 9 ó por 19.

2. Einstein dice la verdad pues la teoría de la relatividad no es

exacta ni las leyes de la mecánica son absolutas.

3. En primavera soplan vientos fuertes o hace mucho frío, pero

no garúa, sin embargo es una bonita estación.

4. Las leyes de la mecánica son exactas, si Newton dice la

verdad, y sólo sí, el movimiento no es relativo.

5. 24 es un número par, o múltiplo de 6 y de 2, pero no es

divisible entre 10 ni entre 14.

6. Carlos es profesional sí y sólo sí, es graduado universitario.

Ocurre que Carlos es matemático. Por lo tanto, si Carlos es

matemático entonces es graduado universitario.

B. 7 La fórmula q → p se traduce como:

1) Hago deporte porque estoy sano.

2) Es necesario llorar para estar tranquilo.

3) Hago mis tareas al tener vacaciones.

4) Sólo si bailo, me divierto.

Son correctas:

a) 2, 3 y 5 b) 2 y 5 c) 2, 4 y 5 d) N.A. e) T.A.



8 La fórmula [( p ∧ q ) ∧ r ] ↔ s, se traduce como:

1) No sólo la distancia es una magnitud del movimiento sino

que el tiempo también lo es igual que la velocidad y la

aceleración siempre y cuando se defina como cambio de

un lugar a otro.

2) La distancia es una magnitud del movimiento del mismo

modo el tiempo y la velocidad por lo cual y según lo cual

el movimiento es el cambio de ubicación.

3) El tiempo, la velocidad y la aceleración son magnitudes

del movimiento, si el movimiento es cambio de espacio.

4) El avión aunque también el barco al igual que el bus son

medios de transporte cada vez que y sólo sí trasladan

pasajeros de un lugar a otro.

5) El perro, tanto como el gato lo mismo que el asno son

animales útiles para el hombre es equivalente a decir que

son domésticos.

Son correctas:

a) 1, 2, y 3 b) 2, 3 y 4 c) 3, 4 y 5 d) 2, 4 y 5

e) 1, 3 y 5

9. La fórmula q → p, se traduce como:

1) Si eres buen estudiante lógicamente serás buen

profesional.

2) Ingresarás a la universidad porque eres buen estudiante.

3) De ser buen estudiante obviamente ingresarás a la

universidad.

4) Ingresarás a la universidad si eres buen estudiante.

5) Crecen las plantas siempre que haya humedad en la

tierra.

Son correctas:

a) 1, 2, y 3 b) 2, 3 y 4 c) 3, 4 y 5 d) 2, 4 y 5

e) 1, 3 y 5



EJERCICIOS SOBRE VALORES VERITATIVOS:

C. 10. Si la proposición:

(p ∧ ∼q) → (p → r) es falsa,

Se afirma que:

I. p ∨ q es falsa

II. r → q es verdadera

III. ∼q → p es verdadera

Son ciertas:

a) Sólo I b) sólo II c) Sólo I y III

d) Sólo II y III

11. Si la proposición:

(p ∆ q) → (q → r) es falsa, luego:

I. (p ↔ q ) no es falsa

II. (q v s) no es falsa

III. (q → p) es verdad

Son ciertas:

a) Sólo I b) sólo II c) Sólo I y III

d) Sólo II y III e) I, II y III

12. Si la proposición:

∼{[(p ∧ q) → r ] → (r ∨ s)} es verdadera

Hallar el valor de verdad de:

I. (p ∧ q) ↔ (r ∧ s)

II. ∼ [(p ∧ s) ↔ r] → (w ∆ p)

III. [q ∧ (r ∧ w)] ∆ [p → (s→q)]

Son ciertas:

a) VVV b) FVV c) FFV d) FFF e) VFV



OBJETIVO N° 04 Determinar cuándo unaproposición compuesta es unatautología, contradicción ocontingencia.


ACTIVIDAD N° 01

1.4. TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN O CONTINGENCIA:

Una proposición molecular es una tautología si, como

resultado de su evaluación, los valores de verdad del

operador de mayor jerarquía son todos verdaderos. Si estos

valores son todos falsos es una contradicción. Si no es una

tautología ni una contradicción es una contingencia.

Para evaluar una proposición compuesta es necesario

construir su tabla de valores de verdad respetando la

jerarquía de los operadores de menor a mayor.

El total de valores de verdad por cada variable es 2n, donde

“n” es el número de variables proposicionales, cambiándolos

mitad V y mitad F por cada columna, respectivamente.

EJEMPLO 1

Determinar, previa evaluación; si cada uno de los siguientes

esquemas moleculares es una tautología, contradicción o

contingencia.

1. [(p ∆ ∼q) ∧ ∼ ( r ∧ q ) ] ↔ ∼ [ ( p ∆ ∼q) → (q ∧ r ) ]

2. [ (∼p ∧ q) → ∼r ] ↔ [ r ∧ ∼ (p ∨ ∼q ) ]

3. [ p ∨ (q → ∼r ) ] ∧ [ (∼p ∨ r ) ↔ ∼q ]



Solución: 1. N° de variables proposicionales: 3

Total de valores por cada variable: 23 = 8

[(p ∆ ∼q) ∧ ∼ ( r ∧ q ) ] ↔ ∼ [ ( p ∆ ∼q) → (q ∧ r ) ]

1 2 3 4 5 6 7 8

p q r ∼q p ∆ 1 r ∧ q ∼ 3 2 ∧ 4 2 → 3 ∼ 6 5 ↔ 7

1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1

1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1

1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1

1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1

0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1

0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1

0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1

0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1

El esquema molecular Operador principal o

es una TAUTOLOGIA de mayor jerarquía

2.

[ (∼p ∧ q) → ∼r ] ↔ [ r ∧ ∼ (p ∨ ∼q ) ]

1 2 3 4 5 6 7 8 9

p q r ∼ p 1 ∧ q ∼ r 2 → 3 ∼ q p v 5 ∼ 6 r ∧ 7 4 ↔ 8

1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0

1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0

1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0

1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0

0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0

0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0

0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0

0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0


es una CONTRADICCIÓN de mayor jerarquía



01

3.

[ p ∨ (q → ∼r ) ] ∧ [ (∼p ∨ r ) ↔ ∼q ]

1 2 3 4 5 6 7 8

p q r ∼ r q → 1 p ∨ 2 ∼ p 4 ∨ r ∼ q 5 ↔ 6 3 ∧ 7

1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0

1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1

1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1

1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0

0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0

0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0

0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1


es una CONTINGENCIA de mayor jerarquía




ACTIVIDAD N° 02

EJERCICIOS SOBRE EVALUACIÓN DE PROPIEDADES

COMPUESTAS: Determinar, previa evaluación, si cada uno de los siguientes

esquemas moleculares es una tautología, contradicción o

contingencia.

1. ∼ { (p ∧ q) ∨ [ p ∧ (∼p ∨ q) ] } ↔ (p → ∼q)

2. {[(∼p ) ↓ q] ∨ (q ↓ p) } ↔ { [ (∼p ) ↓ ( ∼ q) ] ∨ ( p ↓ q) }

3. {[(p ↓ q) ↓ ( q l p) ] ↔ (p ∧ q) } ↔ [ ∼ (p ∧ q) ↔ (p l q)]

4. [(∼ p → q) ∆ ∼ r ] ∨ {[( q ∧ r) → ∼ p] ∧ p}

5. ∼[∼ (p ∨ q) ↔ (q ∨ p)] → [∼ q → (p ∨ r) ]

6. ∼{[(p ∨ ∼q) ∧ ∼ (r ∧ p)] ↔ ∼ [ (p ∨ ∼q) → (q ∧ r) ] }

7. ∼ ⏐∼ { ∼ [ ∼ ( ∼ p ∧ q) ↔ ∼r] → ∼ (∼r ∨ ∼q)} ↔ [p ∧ ∼ ( r ↔ q) ] |

8. Como es hora laborable, se concluye que en el juzgado hay

jueces y testigos, dado que, si es hora laborable, en el juzgado

hay jueces, y hay testigos, si en el juzgado hay jueces.



OBJETIVO N° 05 Determinar cuándo dosproposiciones compuestas sonlógicamente equivalentes ycuando una implica a la otra.


ACTIVIDAD N° 01

1.5. EQUIVALENCIA E IMPLICACIÓN:

Dos esquemas moleculares A y B son equivalentes si

tienen los mismos valores de verdad en su operador

principal, o si unidos por el bicondicional el resultado es

una tautología. Es decir, A ≡ B si A ↔ B es una tautología.

Un esquema molecular A implica a otro B si unidos por el

condicional, en ese orden, el resultado es una tautología. Es

decir,

A implica a B si A → B es una Tautología;

B implica a A si B → A es una Tautología

EJEMPLO 1

Dados los siguientes esquemas moleculares:

A = (p → q) ∨ ( r ∧ p)

B = ∼p ↔ (∼r ↔q)

C = ∼q → (∼ r → ∼ p)

Determinar los que son equivalentes

Solución:



A B C

p q r (p→q) ∨ (r∧ p) ∼[∼ p ↔ (∼ r ↔ q )] ∼ q → (∼ r → ∼ p)

1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0

1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0

1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0

1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0

0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1

0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1

0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1

0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1

A y B tienen los mismos valores de

verdad en su operador de mayor

jerarquía, por lo tanto:

A ≡ C

EJEMPLO 2

Dados los siguientes esquemas moleculares:

A = p ↔ ∼q

B = ∼ (p ∨ r)

C = q → p

D = ∼ (q → ∼r)

Determinar:

1) Si A implica a C

2) Si B es implicado por D

3) Si C implica a la disyunción de A, B, y D

4) Si A entonces B está implicado por la negación de C.



Solución:

1) A implica a C si A → C es una tautología verificando:

A C A → C

p q ∼ (p ↔ ∼ q) q → p [∼ (p↔ ∼ q)]→ (q→p)

1 1 1 0 0 1 1

1 0 0 1 1 1 1

0 1 1 0 0 0 1

0 0 1 0 1 1 1

Por lo tanto, A implica a C es una tautología

2) B es implicado por D si D → B es una tautología

verificando:

D B D → B

p q r ∼ (q → ∼ r) ∼ (p ∨ r) [∼(q→∼r)]→ [∼(p∨r)]

1 1 1 1 0 0 0 1 0

1 1 0 0 1 1 0 1 1

1 0 1 0 1 0 0 1 1

1 0 0 0 1 1 0 1 1

0 1 1 1 0 0 0 1 0

0 1 0 0 1 1 1 0 1

0 0 1 0 1 0 0 1 1

0 0 0 0 1 1 1 0 1

Por lo tanto, no es una tautología

B no es implicado por D es una contingencia



3) C implica a la disyunción de A, B y D si C → (A∨B∨D) es

una Tautología.

Verificando:

C A ∨ B ∨ D C→(A ∨ B ∨ D)

p q r q → p ∼(p↔∼q)]∨ ∼(p∨r)∨ ∼(q→∼r]

1 1 1 1 1 1 0 1 1

1 1 0 1 1 1 0 0 1

1 0 1 1 0 0 0 0 0

1 0 0 1 0 0 0 0 0

0 1 1 0 0 1 0 1 1

0 1 0 0 0 1 1 0 1

0 0 1 1 1 1 0 0 0

0 0 0 1 1 1 1 0 1

Por lo tanto, No es una tautología

C no implica a la disyunción es una Contingencia

de A, B y D

4) A entonces B está implicado por la negación de C si

∼C → (A → B) es una tautología. Verificando

∼ C A → B ∼ C → (A → B)

p q r ∼ (q →p) [∼(p↔∼q)]→∼(p∨r) ∼(q→p)→[∼(p↔∼q)→ ∼(p∨r) ]

1 1 1 0 1 1 0 0 0 1

1 1 0 0 1 1 0 0 0 1

1 0 1 0 1 0 1 1 0 1

1 0 0 0 1 0 1 1 0 1

0 1 1 1 0 0 1 1 0 1

0 1 0 1 0 0 1 1 1 1

0 0 1 0 1 1 0 0 0 1

0 0 0 0 1 1 0 1 1 1

Por lo tanto, es una tautología A entonces B está implicado por la negación de C.




ACTIVIDAD N° 02

EJERCICIOS SOBRE EQUIVALENCIA E IMPLICACIÓN:

I. En cada grupo de esquemas moleculares que aparecen a

continuación, determinar los que son equivalentes.

1. P = p ↔ ( ∼r ∧ q)

Q = (∼ p ↔ q) → r

R = q ↔ (p → ∼r)

2. P = Si los fenómenos naturales se comportan según las

leyes de la mecánica de Newton, entonces Newton

dice la verdad; sin embargo, la Física clásica no es

absoluta.

Q= Newton dice la verdad si la física clásica no es

absoluta, sí y sólo sí los fenómenos naturales no se

comportan según las leyes mecánicas de Newton.

R= Ni Newton dice la verdad ni la física clásica es

absoluta, o la física clásica no es absoluta a la vez

que los fenómenos naturales no se comportan

según las leyes mecánicas de Newton.



II. Dados los siguientes esquemas moleculares:

P = El estado es responsable de la economía del país sí y

sólo sí las leyes de la reforma económica no son

aplicables a la realidad.

Q = No se da el caso que las leyes de la reforma económica

sean aplicables a la realidad o el Estado sea responsable

de la economía del país.

R = Si los políticos dicen la verdad, entonces, o el Estado es

responsable de la economía del país o las leyes de la

reforma económica non son aplicables a la realidad.

Determinar:

1) Si P implica a Q

2) Si R es implicado por Q

3) Si Q implica a R

4) Si R implica a la disyunción de P y Q

5) Si la conjunción de P y Q está implicada por R.

6) Si la bicondicional de P y Q está implicada por R.

7) Si la negación de Q está implicada por la disyunción

de P y R.

8) Si la negación de la conjunción de P y R implica a la

negación de Q.



OBJETIVO N° 06 Enunciar, demostrar y aplicarlas principales leyes lógicas otautológicas notables.


ACTIVIDAD N° 01

1.6. PRINCIPALES LEYES LÓGICAS O TAUTOLOGÍAS

NOTABLES:

1) Identidad

(a) p → p ≡ T (b) p ↔ p ≡ p

2) No Contradicción:

∼ (p ∧ ∼p) ≡ ∼C ≡ T

3) Tercio Excluido:

p ∨ ∼p ≡ T

4) Idempotencia:

(a) p ∧ ∼p ≡ p (b) p ∨ p ≡ p

5) Conmutativa:

(a) p ∧ q ≡ q ∧ p (b) p ∨ q ≡ q ∨ p

6) Asociativa:

(a) p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) (b) p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r

7) Distributiva:

(a) p ∧ ( q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

(b) p ∨ ( q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

8) Doble Negación o Involución:

∼ (∼p) ≡ p



9) Absorción:

(a) p ∧ (p ∨ q) ≡ p

(b) p ∨ (p ∧ q) ≡ p

(c) p ∧ (∼p ∨ q) ≡ p ∧ q

(d) p ∨ (∼p ∧ q) ≡ p ∨ q

10) Morgan:

(a) ∼(p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q ≡ p/q

(b) ∼(p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼q ≡ p ↓ q

11) Condicional:

(a) p → q ≡ ∼p ∨ q

(b) ∼(p → q) ≡ p ∧ ∼q

12) Disyunción Fuerte:

p ∆ q ≡ (p ∨ q) ∧ ∼ (p ∧ q) ≡ (p ∧ ∼q) ∨ (q ∧ ∼p)

13) Transposición:

(a) p → q ≡ ∼p → ∼q

(b) (p ↔ q) ≡ ∼q ↔ ∼p

14) Transitiva:

(a) [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r)

(b) [(p ↔ q) ∧ (q ↔ r)] → (p ↔ r)

15) Elementos Neutros Respecto a ∧ y ∨

(a) p ∧ T ≡ p

(b) p ∨ T ≡ T

(c) p ∧ C ≡ C

(d) p ∨ C ≡ p



La demostración de las propiedades, leyes lógicas o

tautologías notables se realiza construyendo su tabla de

valores veritativos.

En los siguientes ejemplos se mostrará algunas de las

aplicaciones de las principales leyes lógicas o tautologías

notables, tales como equivalencia de proposiciones y

simplificación de proposiciones complejas.

EJEMPLO 1:

Hallar la proposición equivalente a:

“No es el caso que, hace frío y no se congele”

(a) Hace frío o no congela

(b) No hace frío o congela

(c) No hace frío o no congela

(d) Hace frío o congela

(e) Hace frío y no congela

Solución:

Consideramos p = hace frío q = congela

Formalizando:

No es el caso que p y no q

≡ ∼(p ∧ ∼q) Morgan

≡ ∼p ∨ q

cuya lectura es: “No hace frío o congela “. Respuesta (b)

EJEMPLO 2:

Hallar la proposición equivalente a:

“Hay que pagar 50 soles y servicio para ingresar al Club”

(a) No ingresar al club o pagar 50 soles, y servicio.

(b) Pagar 50 soles o ser socio, y no ingresar al club.



(c) Pagar 50 soles y ser socio, o no ingresar al club.

(d) Pagar 50 soles y no ser socio, y entrar al club.

(e) No es cierto que se pague 50 soles y ser socio, o ingrese

al club.

Solución:

Formalizando:

p = pagar 50 soles

q = ser socio

r = ingresar al club.

Hay que p y q para r.

≡ (p ∧ q) → r por condicional

≡ ∼(p ∧ q) ∨ r

Luego:

“No es cierto que se pague 50 soles y sea socio, o ingresa al

club”. Respuesta (c)

EJEMPLO 3:

Hallar la proposición equivalente a: “17 es primo porque, 17 es primo o 30 es par, y 30 es par”

(a) Si 17 es primo, entonces 30 no es par.

(b) Si 30 es par, entonces 17 no es primo.

(c) Si 17 no es primo, 30 no es par.

(d) 30 es par o 17 es primo.

(e) 17 es primo ya que 30 no es par.



Solución:

Formalizando:

p = 17 es primo

q = 30 es par

[(p ∨ q) ∧ q] → p ≡ q → p Por absorción

“Si 30 es par, 17 es primo”

≡ ∼q ∨ p Por condicional

“30 no es par o 17 es primo”

≡ ∼p → ∼q Por transposición

“Si 17 no es primo, 30 no es par”

Respuesta (c)

EJEMPLO 4: Simbolizar y luego simplificar la proposición:

“Viene a casa o se va de viaje, pero no viene; en

consecuencia se va de viaje”

(a) T b) C c) p d) p ∨ q e) p → q

Solución:

Formalizando:

Sea p = viene a casa

q = se va de viaje

p ó q, pero no p; en consecuencia q

≡ [(p ∨ q ) ∧ ∼p] → q

≡ [(q ∧ ∼p) → q por absorción



≡ ∼ (q ∧ ∼p) ∨ q por condicional

≡ (∼q ∨ p) ∨ q por Morgan

≡ p ∨ (∼q ∨ q) asociativa

≡ p ∨ T Tercio excluido

≡ T elemento neutro para ∨

Respuesta (a)

EJEMPLO 5:

Simbolizar y luego simplificar la proposición:

“Cuando obtenga mi título entonces ingresó a la carrera

magisterial, pero no ingresé a la carrera magisterial; luego

no obtuve mi título”

(a) ∼p b) p c) p ∧ q d) C e) T

Solución:

Formalizando:

Sea p = obtengo mi título

q = ingreso a la carrera magisterial

Cuando p entonces q, pero no q; luego no p

≡ [(p → q) ∧ ∼q] → ∼p

≡ [(∼p ∨ q) ∧ ∼q] → ∼p Condicional

≡ [∼p ∧ ∼q) → ∼p Absorción

≡ ∼[∼p ∧ ∼q) ∨ ∼p Condicional

≡ (p ∨ q) ∨ ∼p Morgan

≡ q ∨ (p ∨ ∼p) Asociativa

≡ q ∨ T Tercio excluido

≡ T Elemento neutro para ∨

Respuesta (e)



EJEMPLO 6 Determinar los esquemas más simples equivalentes a:

(a) ∼[∼ (p ∧ q) → ∼q] ∨ p

(b) [ (p → q) ∨ ∼p ] ∧ (∼q → p)

(c) [ p ∧ (∼r) ] ∨ [ (∼q )→ ∼(p ∧ r) ]

Solución: (a) ∼[∼ (p ∧ q) → ∼q ] ∨ p ≡ [∼ (p ∧ q) ∧ ∼(∼q)] ∨ p Condicional

≡ [∼ (p ∧ q) ∧ q] ∨ p Doble Negación

≡ [ (∼p ∨ ∼q) ∧ q] ∨ p Morgan

≡ [ (∼p ∧ q) ∨ q] ∨ p Absorción

≡ q ∨ p Absorción

(b) [ (p → q) ∨ ∼p] ∧ (∼q → p)

≡ [ (∼p ∨ q) ∨ ∼p] ∧ (q ∨ p) Condicional

≡ [ (∼p ∨ ∼p) ∨ q ] ∧ (q ∨ p) Asociativa

≡ [ ∼p ∨ q ] ∧ (q ∨ p) Idempotencia

≡ [ (∼p ∨ q) ∧ q ] ∨ [ (∼p ∨ q) ∧ p ] Distributiva

≡ q ∨ (q ∧ p) Absorción

≡ q Absorción

(c) [ p ∧ (∼r)] ∨ [ (∼q) → ∼(p ∧ r) ]

≡ [ p ∧ (∼r)] ∨ [ q ∨ ∼(p ∧ r) ] Condicional

≡ [ p ∧ (∼r)] ∨ [ q ∨ (∼p ∨ ∼r)] Morgan

≡ {[ p ∧ (∼r)] ∨ (∼r)} ∨ (q ∨ ∼p) Conmutativa y asociativa

≡ ∼r ∨ q ∨ ∼p Absorción

≡ (∼r ∨ ∼p) ∨ q Conmutativa y asociativa

≡ ∼ (r ∧ p) ∨ q Morgan

≡ (r ∧ p) → q Condicional



EJEMPLO 7: Si definimos @ como:

p @ q ≡ {∼p → [p → (q ∧ t ∧ r) ] }∧ p

Simplificar:

[ (p → q) @ (q ∧ p) ] @ (p ↔ q).

a) p b) p ∧ ∼q c) ∼p d) ∼q ∨ ∼p e) ∼p ∨ q Solución:

Por dato, tenemos:

p @ q ≡ {∼p → [p → (q ∧ t ∧ r) ] }∧ p

Por la condicional se obtiene

≡ {p ∨ [p → (q ∧ t ∧ r) ] }∧ p

Por absorción

≡ p

Es decir p @ q ≡ p

Luego, la proposición molecular a simplificar:

[ (p → q) @ (q ∧ p) ] @ (p ↔ q)

Aplicando la definición @ dos veces

≡ (p → q) @ (q ∧ p)

≡ p → q

≡ ∼ p ∨ q

Respuesta (e)




ACTIVIDAD N° 02

EJERCICIOS SOBRE LAS PRINCIPALES LEYES LÓGICAS O

TAUTOLOGÍAS NOTABLES:

1. Hallar la proposición equivalente a:

“La conducta puede ser acción u omisión”

(a) La conducta no es acción ni omisión.

(b) La conducta es acción más no omisión.

(c) La conducta no es acción no obstante es omisión.

(d) No es el caso que la conducta no sea acción ni omisión.

(e) No es cierto que la conducta sea acción o no sea omisión.

2. Hallar la profesión equivalente a:

“Toma decisiones oportunas e inteligentes, pues es libre”

(a) Es libre o toma decisiones oportunas e inteligentes.

(b) No es libre, o toma decisiones oportunas e inteligentes.

(c) Es libre y, toma decisiones oportunas como inteligentes.

(d) No es libre, ni toma decisiones oportunas e inteligentes.

(e) No es libre y, no toma decisiones oportunas o inteligentes.

3. Hallar la proposición equivalente a:

“Tendrá el título universitario o sustenta su tesis”

(a) Sustenta su tesis o el título universitario.



(b) No es el caso que, sustente su tesis y tenga el título

universitario.

(c) No es cierto que, sustente su tesis y no tenga el título

universitario.

(d) No tiene el título universitario, y sustenta su tesis.

(e) No es verdad que no sustente su tesis o tenga el título

universitario.

4. Simbolizar y luego simplificar la proposición:

“Si el conocimiento es hipotético, se prueba; y si se prueba,

entonces es eficaz; luego, es eficaz cuando es hipotético”

a) r b) p ∨ r c) T d) C e) (p ∨ ∼q) → r

5. Simbolizar y luego simplificar la proposición:

“Viene a casa o se va de viaje, pero no viene; en consecuencia

se va de viaje”

a) T b) C c) p d) p ∨ q e) p → q

6. Simplificar el esquema:

∼p → (p ∆ ∼q)

a) p → q b) q → p c) p ∧ ∼q

d) q ∨ ∼p e) p ∨ q

7. Simplificar el esquema:

∼[(p ∨ q) → ∼ (r → p)] ∨ ∼(q → p)

a) p ∨ q b) ∼p ∧ q c) p ∧ ∼q

d) ∼p e) q

8. Simplificar:

(p ∆ q) → (∼q ↔ ∼p) ∧ (p ∧ q)

a) p ∧ q b) p ∨ q c) ∼p ∧ q

d) p ∧ ∼q e) q ∨ ∼p



9. Simplificar:

{[ (p → q) ∧ p] ∨ ∼(q → p)} → ∼(p ∨ ∼q)

a) ∼p ∧ q b) ∼(p ∧ q) c) ∼p → q

d) p ∨ q e) ∼(p ∨ q)

10. Se define el conector @ como:

p @ q ≡ {[ (p ∆ q) ∧ ∼q ] ∨ ∼q }∨ q

Simplificar el esquema molecular:

{[ ∼ (p ∧ q) @ (t → w)] @ ∼q } @ ∼p

a) q b) ∼q c) ∼p

d) p e) p ∧ q


OBJETIVO TERMINAL:

Identificar, formalizar y sim

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

1) Conceptualizar la lógic

importancia en el avanc

2) Definir e identificar prop

3) Formalizar proposi

proposicionales y los co

valor de verdad.

4) Determinar cuando un

tautología, contradicción

5) Determinar cuando do

lógicamente equivalente

Universidad Nacional del Santa

6) Enunciar, demostrar

lógicas o tautologías not

OBJETIVOS

plificar proposiciones.

a como ciencia y reconocer su

e científico.

osiciones.

ciones usando variables

nectivos lógicos, y determinar su

a proposición compuesta es una

o contingencia.

s proposiciones compuestas son

s y cuando uno implica a la otra.

DAM 48

y aplicar las principales leyes

ables.


Instrucción: Resuelva

requerim

01) De las siguientes expresi

(01) El ozono filtra los ray

(02) knk

nknC−

= ,)!(!

!),(

(03) 11 2 −=↔=− ii

(04) El aire contiene oxíge

(05) The earth rotates aro

No son proposiciones com

a) 1, 2, 3 y 5 b) 1, 2 y 3

02) Si la proposición:

∼{[(p ∧ q) → r ] → (r ∨ s)}

Hallar el valor de verdad

I. (p ∧ q) ↔ (r ∧ s)

II. ∼ [(p ∧ s) ↔ r] → (w

III. [q ∧ (r ∧ w)] ∆ [p → (p

Son ciertas:

a) VVV b) FVV

03) Determinar si la si

Contradictorio o Conting

Como es hora labora

jueces y testigos, dad

hay jueces, y hay testi

04) Determinar cuáles de

equivalentes:

P = p ↔ ( ∼r ∧ q)

Q = (∼ p ↔ q) →

R = q ↔ (p → ∼rUniversidad Nacional del Santa

PRE - TEST POST – TEST

el Post-Test de acuerdo a los

ientos dados.

ones:

os ultravioletas

nk ≤

no e hidrógeno

und the sun

puestas:

c) 1 y 5 d) Sólo 1 e) 1 y 2

es verdadera

de:

∆ p)

→q)]

c) FFV d) FFF e) VFV

guiente proposición es Tautológico,

ente:

ble, se concluye que en el juzgado hay

o que, si es hora laborable, en el juzgado

gos, si en el juzgado hay jueces.

las siguientes proposiciones son

r

) DAM 50



05) Se define el conector @ como:

p @ q ≡ {[ (p ∆ q) ∧ ∼q ] ∨ ∼q}∨ q

Simplificar el esquema molecular:

{[ ∼ (p ∧ q) @ (t → w)] @ ∼q } @ ∼p

a) q b) ∼q c) ∼p

d) p e) p ∧ q

NOMBRE :

FECHA :

TIEMPO : 1 HORA – 30 MINUTOS



Copi, I. y Cohen, C. (

México: Editorial Limusa

Barker, S. (1991). Eleme

Hill Interamericana de M

Suppes, P. y Hill, SH.

Matemática. México: Edito

A

BIBLIOGRAFÍ

DAM 53

1996). Introducción a la Lógica.

, S.A. de C.V.

ntos de Lógica. México: McGraw-

éxico, S.A. de C.V.

(1992). Primer Curso de Lógica

rial Reverté, S.A.



PROLÓGO

OBJETIVOS

PRE-TEST

CONTENIDO

1.1. LA LÓGICA COMO CIENCIA

CONCEPTUALIZACIÓN E IM

EJERCICIOS ------------------

1.2. PROPOSICIÓN. DEFINICIÓN

EJERCICIOS ------------------

1.3. OPERADORES O CONECTOR

NOTACIÓN, VALORES DE VE

EJERCICIOS ------------------

1.4. TAUTOLOGÍA, CONTRADICC

EJERCICIOS ------------------

1.5. EQUIVALENCIA E IMPLICAC

EJERCICIOS ------------------

1.6. PRINCIPALES LEYES LÓGIC

TAUTOLÓGICAS NOTABLES

EJERCICIOS ------------------

POS – TEST --------------------------

BIBLIOGRAFÍA ----------------------

E
INDIC
DAM

PORTANCIA ------------------------------------ 01

---------------------------------------------------- 04

Y CLASES-------------------------------------- 05

---------------------------------------------------- 11

ES LÓGICOS

RDAD Y LECTURA ---------------------------- 13

---------------------------------------------------- 24

IÓN Y CONTINGENCIA----------------------- 27

---------------------------------------------------- 30

IÓN ---------------------------------------------- 31

---------------------------------------------------- 35

AS O

---------------------------------------------------- 37

---------------------------------------------------- 45

---------------------------------------------------- 49

---------------------------------------------------- 51

54



El estudio de la Lógic

desarrollar habilidades para e

concisa, incrementar la capac

utilizamos, y aumentar la cap

forma rigurosa y de analizarlos

beneficio es el reconocimiento d

todos los aspectos de las relacion

Las instituciones democrá

piensen por sí mismos, que disc

tomen decisiones con base en

evidencias. A través del estudi

solamente práctica en el arte de

razón, reforzando así y aseguran

En este módulo se abor

como ciencia; definición, clase

conectivos lógicos; tautología

equivalencia e implicación y

tautologías notables.

Los objetivos específicos

grupos de ejercicios se resuelva

contrario deberán volver a estu

resolver nuevamente los ejer

Resuelva los problemas propue

forma individual, luego en form

un grupo de un máximo de cinco

PRÓLOGO

DAM 55

a nos beneficia en lo siguiente:

xpresar ideas de manera clara y

idad de definir los términos que

acidad de elaborar argumentos en

críticamente. Pero quizás el mayor

e que la razón se puede aplicar en

es humanas.

ticas requieren que los ciudadanos

utan libremente los problemas y que

la deliberación y la evaluación de

o de la Lógica podemos adquirir no

razonar sino también respeto por la

do los valores de nuestra sociedad.

dan los siguientes temas: la lógica

s de proposiciones; operadores o

, contradicción y contingencia;

las principales leyes lógicas o

se logran siempre y cuando los

n con una eficacia del 80%, en caso

diar los cuadros correspondientes y

cicios incorrectos o no resueltos.

stos del modo siguiente: primero en

a grupal y por último preséntelos en

(05) integrantes.

El Autor

lógica proposicional fidel vera obeso -...

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