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•Conceito Lógica difusa é uma lógica multivalorada capaz de
capturar informações vagas, em geral descritas em uma linguagem natural e convertê-las para um formato numérico, de fácil manipulação pelos computadores de hoje em dia.
A representação depende não apenas do conceito, mas também do contexto em que está sendo usada.
A lógica difusa pode ainda ser definida como a lógica que suporta os modos de raciocínio que são aproximados, ao invés de exatos, como estamos acostumados a trabalhar.
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•HistóricoA Lógica Difusa foi desenvolvida por Lofti
A. Zadeh da Universidade da Califórnia em Berkeley na década de 60 e combina lógica multivalorada, teoria probabilística, IA e RNA para poder representar o pensamento humano, ou seja, ligar a linguística e a inteligência humana, pois muitos conceitos são melhores definidos por palavras do que pela matemática.
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•Objetivo A lógica difusa objetiva fazer com que as decisões
tomadas pela máquina se aproximem cada vez mais das decisões humanas, principalmente ao trabalhar com uma grande variedade de informações vagas e incertas, as quais podem ser traduzidas por expressões do tipo: a maioria, mais ou menos, talvez, etc. Antes do surgimento da lógica fuzzy essas informações não tinham como ser processadas.
A lógica difusa vem sendo aplicada nas seguintes áreas: Análise de dados, Construção de sistemas especialistas, Controle e otimização, Reconhecimento de padrões, etc.
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CaracterísticasBaseia-se em palavras e não em números,
ou seja, os valores verdades são expressos lingüísticamente. Por exemplo: baixo, médio, alto, e outros usados para definir estados de uma variável.
Possui vários modificadores de predicado como por exemplo: muito, mais ou menos, pouco, bastante, médio, etc;
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CaracterísticasPossui também um amplo conjunto de
quantificadores, como por exemplo: poucos, vários, em torno de, usualmente;
Faz usos das probabilidades lingüísticas, como por exemplo: provável, improvável, que são interpretados como números fuzzy e manipulados pela sua aritmética;
Manuseia todos os valores entre 0 e 1, tomando estes, como um limite apenas.
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Conjuntos DifusosConjuntos com limites imprecisos.
Altura(m)
1.75
1.0
Conjunto Crisp1.0
Função depertinência
Altura(m)
1.60 1.75
.5
.9
Conjunto Difuso
A = Conjunto de pessoas altas.
.8
1.70
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Conjuntos DifusosDefinição formal:
Um conjunto difuso A em X é expresso como um conjunto de pares ordenados:
}|))(,{( XxxxA A
Universo ouUniverso de discurso
ConjuntoDifuso
Função depertinência
(MF)
Um conjunto difuso é totalmente caracterizado Um conjunto difuso é totalmente caracterizado por sua função de pertinência (MF).por sua função de pertinência (MF).
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Conjuntos Difusos Um conjunto difuso A definido no universo de discurso
X é caracterizado por uma função de pertinência A, a qual mapeia os elementos de X para o intervalo [0,1].
A:X[0,1] Desta forma, a função de pertinência associa a cada
elemento x pertencente a X um número real A(X) no intervalo [0,1], que representa o grau de possibilidade de que o elemento x venha a pertencer ao conjunto A, isto é, o quanto é possível para o elemento x pertencer ao conjunto A.
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Função de Pertinência Reflete o conhecimento que se tem em relação a intensidade
com que o objeto pertence ao conjunto difuso. Características das funções de pertinência:
Medidas subjetivas;Funções não probabilísticas monotonicamente
crescentes, decrescentes ou subdividida em parte crescente e parte decrescente.
MFs
Altura (m)
“alto” no Brasil
1.75
.5
.8
.1
“alto” nos EUA
“alto” na Itália
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Universo Discreto X = {SF, Boston, LA}
(discreto e não ordenado) C = “Cidade desejável
para se viver” C = {(SF, 0.9), (Boston,
0.8), (LA, 0.6)}
X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} (discreto) A = “Número de filhos” A = {(0, .1), (1, .3), (2, .7),
(3, 1), (4, .6), (5, .2), (6, .1)}
0 2 4 60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
X = Número de filhos
Gra
u de
Per
tinên
cia
(a) Universo Discreto
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Universo Contínuo
X = (Conjunto de números reais positivos) (contínuo)
B = “Pessoas com idade em torno de 50 anos”
B = {(x, B(x) )| x em X}B x x( )
1
1 5010
2
0 50 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
X = Idade
Gra
u de
Per
tinên
cia
(b) Universo Contínuo
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Notação AlternativaUm conjunto difuso A, pode
alternativamente ser denotado por: x (discreto)
x (contínuo)
Obs.: Os símbolos e representam o conjunto dos pares ordenados (x, A(x)).
iiXx
A xxAi
|)(
xxAX
A |)(
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Variáveis Lingüísticas Uma variável numérica possui valores numéricos:
Idade = 65 Uma variável lingüística possui valores que não são
números, e sim, palavras ou frases na linguagem natural. Idade = idoso
Um valor lingüístico é um conjunto fuzzy. Todos os valores lingüísticos formam um conjunto
de termos: T(idade) = {Jovem, velho, muito jovem,...
Maduro, não maduro,... Velho, não velho, muito velho, mais ou menos velho,... Não muito jovem e não muito velho,...}
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Partição Difusa Partição difusa da variável lingüistica “Idade”,
formada pelos valores lingüisticos “jovem”, “maduro” e “idoso”.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
X = Idade
Grau
de
Perti
nênc
ia Jovem Maduro Idoso
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A(x) = 1 Height(A) = Maxx A(x) Supp(A) = {x| A(x) > 0 e x X} Core(A) = {x| A(x) = 1 e x X}
Crossover(A) = {x| A(x) = 0.5} A = {x| A(x) , x X} A+ = {x| A(x) > , x X}
Mais definições Normalidade Altura Suporte Núcleo
Pontos de Cruzamento -cut strong -cut
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TerminologiaMF
X
.5
1
0Núcleo
Pontos de Cruzamento
Suporte
- cut
Altura
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Ø
Open left or right, closed
Mais definições Conjunto nulo Força
Convexidade Simetria
n
ixiA
1
0
0.2
0.4
0.60.8
1
Gra
u de
Per
tinên
cia
(a) Dois conjuntos Fuzzy convexos
0
0.2
0.4
0.60.8
1G
rau
de P
ertin
ênci
a(b) Conjunto Fuzzy não-convexo
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Exemplo:X = {a, b, c, d, e}
A = {1/a, 0.3/b, 0.2/c, 0.8/d, 0/e} (normal) B = {0.6/a, 0.9/b, 0.1/c, 0.3/d, 0.2/e}
(subnormal)
Height(A) = 1 e Height(B) = 0.9Supp(A) = {a, b, c, d} e Supp(B) = {a, b, c, d,
e}Core(A) = {a} e Core(B) = Ø
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Exemplo (-cut)A = {0.3/a, 1/b, 0.5/c, 0.9/d, 1/e}
para 0.3 0 A = {a, b, c, d, e}
para 0.5 > 0.3 A = {b, c, d, e}
para 0.9 > 0.5 A = {b, d, e}
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A B, se B(x) A(x) para cada x X A = B, se A(x) = B(x) para cada x X A = X - A A(x) = 1 - A(x)
E(x) = Max [0, A(x) - B(x)]
C = A B c(x) = max(A(x), B(x)) C = A(x) B(x)
C = A B c(x) = min(A(x), B(x)) C = A(x) B(x)
Operações Básicas Subconjunto Igualdade Complemento Complemento Relativo
União
Interseção
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Representação
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
A está contido em B
Gra
u de
Per
tinên
cia B
A
(a) Conjuntos Fuzzy A e B (b) Conjunto Fuzzy não “A”
00.20.40.60.8
1A B
00.20.40.60.8
1
00.20.40.60.8
1
(c) Conjunto Fuzzy "A ou B"
00.20.40.60.8
1
(d) Conjunto Fuzzy "A e B"
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Exemplo (União|Interseção)X = {a, b, c, d, e}
A = {1/a, 0.7/b, 0.3/c, 0/d, 0.9/e} B = {0.2/a, 0.9/b, 0.4/c, 1/d, 0.4/e}
C = {1/a, 0.9/b, 0.4/c, 1/d, 0.9/e} D = {0.2/a, 0.7/b, 0.3/c, 0/d, 0.4/e}
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Formulação da MF Função Triangular
Função Trapezoidal
Função Gaussiana
Função Sino Generalizada
trimf x a b cx ab a
c xc b( ; , , ) max min , ,
0
trapmf x a b c dx ab a
d xd c( ; , , , ) max min , , ,
1 0
gbellmf x a b cx c
b
b( ; , , )
1
12
2
21
),,;(
cx
ecbaxgaussmf
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Formulação da MF
0 20 40 60 80 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Gra
u de
Per
tinên
cia
(a) Triangular
0 20 40 60 80 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Gra
u de
Per
tinên
cia
(b) Trapezoidal
0 20 40 60 80 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Gra
u de
Per
tinên
cia
(c) Gaussiana
0 20 40 60 80 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1G
rau
de P
ertin
ênci
a
(d) Sino Gerneralizada
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Propriedades (Interseção|União)
Comutatividade A B = B A A B = B A
Idempotência A A = A A A = A
Associatividade A (B C) = (A B) C = A B C A (B C) = (A B) C = A B C
Distributividade A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C)
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Propriedades (Interseção|União)
A Ø = A A X = X A Ø = Ø A X = A
A A B A A B A B A B
Se A B então B = A B A = A B
Se A B e B C então A C
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Propriedades (Comp.|Comp. Relativo)
Negação Dupla ( A) = A
Lei de Morgan (A B) = A B (A B) = A B
= X X =
Se A B então A B e A - B =
A - A = - A =
A - = A
Uma característica significante que distingue os conjuntos difusos dos conjuntos clássicos é: A A A A X
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Sistemas Difusos
Fuzificação das variáveis
Atribuir Graus de pertinência
Definir Funções de Pertinência
Saída Crisp
Defuzificação das variáveis
Aplicação das regras
Entradas Crisp ClassificaçãoEstimar uma medida com maior precisão
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FuzzificaçãoEtapa na qual os valores numéricos são
transformados em graus de pertinência para um valor lingüístico.
Cada valor de entrada terá um grau de pertinência em cada um dos conjuntos difusos. O tipo e a quantidade de funções de pertinência usados em um sistema dependem de alguns fatores tais como: precisão, estabilidade, facilidade de implementação...
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Determinação das regrasDescrição das situações nas quais há
reações através de regras de produção (If - then). Cada regra na saída especifica uma ou várias conclusões.
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Regras If - then
alta pequeno
médiaresistência = 5*velocidade
• Estilo MamdaniSe a pressão é alta, então o volume é pequeno
• Estilo Sugeno Se a velocidade é média, então a resistência = 5 * velocidade
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Sistema de inferênciaSe velocidade é baixa então resistência = 2Se velocidade é média então resistência = 4 * velocidadeSe velocidade é alta então resistência = 8 * velocidade
Regra 1: w1 = .3; r1 = 2Regra 2: w2 = .8; r2 = 4*2Regra 3: w3 = .1; r3 = 8*2
Velocidade2
.3
.8
.1
baixa média alta
Resistência = (wi*ri) / wi = 7.12
MFs
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Avaliação das regrasCada antecedente (lado if) tem um grau de
pertinência. A ação da regra (lado then) representa a saída difusa da regra. Durante a avaliação das regras, a intensidade da saída é calculada com base nos valores dos antecedentes e então indicadas pelas saídas difusas da regra. Alguns métodos de avaliação:
MinMax, MaxMin, MaxProduto, MinMin, MaxMedia, MaxMax e Soma dos produtos.
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Agregação das RegrasSão as técnicas utilizadas na obtenção de
um conjunto difuso de saída “x” a partir da inferência nas regras.
Determinam quanto a condição de cada regra será satisfeita.
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DefuzzificaçãoProcesso utilizado para converter o
conjunto difuso de saída em um valor crisp correspondente. Alguns métodos de defuzzificação:
Centróide,Média dos máximos,Distância de Hamming,Barras verticais,Método da altura, etc.