lógica

ISBC: Tema 3Lógica

José Carlos Cortizo Pérez http://www.esp.uem.es/jccortizo [email protected]

Departamento de Sistemas Informáticos Escuela Superior Politécnica Universidad Europea de Madrid

http://www.esp.uem.es/gsi

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mailto:[email protected]

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José Carlos Cortizo Pérez

Lógica


Lógica

Lógica, transfondo histórico

Silogismo lógico

Lógica Escolástica

Redes Semánticas

Razonamiento Automático

Lógica Proposicional

Lógica de Predicados

Índice del tema


Lógica

Deriva del griego Λογικός

que significa razón

La lógica es la ciencia encargada de estudiar el pensamiento a través de las Formas Mentales

Se considera que Aristóteles fue el que fundó la Lógica como un medio de conocimiento


Definición


Lógica

En el siglo V a.C. Sócrates levantó una gran controversia declarando que “solo se que no se nada”

Esto chocó profundamente con la autosatisfacción de la gente que declaraba conocer el conocimiento fundamental acerca de temas como la verdad, belleza, virtud o justicia

Recreando los procesos dialécticos de Sócrates, su discípulo Platón estableció los fundamentos de la gnoseología (epistemeología)


Transfondo histórico


Lógica

Aristóteles (discípulo de Platón) llevó el énfasis de la filosofía desde la naturaleza del conocimiento al problema (más práctico) de la Representación del Conocimiento

El resultado del trabajo de Aristóteles fue una enciclopedia de todo el conocimiento de su época




Lógica

Pero antes de poder recopilar todo este conocimiento, Aristóteles tuvo que inventar términos para representar gran parte del mismo

Lógica

Física

Metafísica

etc.José Carlos Cortizo Pérez



Silogismo Lógico

Además de definir la terminología y hacer una recopilación del conocimiento, Aristóteles desarrolló la lógica como un método preciso para razonar acerca del conocimiento

Inventó el Silogismo como un patrón consistente en 3 partes para representar deducciones lógicas



Silogismo Lógico

Si todas las plantas de hoja ancha son caducas

y todas las parras tienen la hoja ancha

entonces todas las parras son caducas.


Ejemplo


Silogismo Lógico





EjemploPremisa mayor


Silogismo Lógico





EjemploPremisa menor


Silogismo Lógico





EjemploConclusión


Silogismo Lógico

Si el que se cumpla A implica que se cumpla B, y que se cumpla B implica que se cumpla C, entonces el que se cumpla A implica que se cumpla C

Si el que se cumpla A implica que se cumpla B, y que se cumpla B implica que se no se cumpla C, entonces el que se cumpla A implica que no se cumpla C


Formalización



Los escolásticos clasificaron los silogísmos aristotélicos para hacerlos más fáciles de recordar

A: Universal afirmativo: Todo A es B

I: Particular afirmativo: Algún A es B

E: Universal negativo: Ningún A es B

O: Particular negativo: Algún A no es B




Combinando, surgen patrones:

bArbArA: A-A-A

Todas las plantas de hoja ancha son caducastodas las viñas son de hoja anchaentonces, todas las viñas son caducas


Patrones



Combinando, surgen patrones:

bArbArA: A-A-A


Patrones

Todo M es PTodo S es MTodo S es P

Todas las plantas de hoja ancha son caducasTodas las viñas tienen la hoja anchaEntonces todas las viñas son caducas



cElArEnt: E-A-E


Patrones

Ningún M es PTodo S es MNingún S es P

Nada con aspecto distraído es un elefanteTodos los profesores tienen aspecto distraídoEntonces ningún profesor es un elefante



dArII: A-I-I


Patrones

Todo M es PAlgún S es MNingún S es P

Todos los trailers tienen 18 ruedasAlgún IBECO es trailerEntonces, algún IBECO tiene 18 ruedas



fErIO: E-I-O


Patrones

Ningún M es PAlgún S es MAlgún S es no-P

Ningún Corvette es un trailerAlgún Chevrolet es un CorvetteEntonces, algún Chevrolet no es un trailer



Muchás más figuras

cEsArE

cAmEstrEs

fEstInO

bArOcO

etc.


Patrones


Redes Semánticas

Además de las notaciones lineales para la lógica, se han desarrollado notaciones gráficas

La primera red semántica surgió como un comentario al margen sobre las categorías de Aristóteles, de la mano del filósofo Porfirio, formando el conocido árbol del conocimiento de Porfirio



Redes Semánticas


Árbol de Porfirio


Redes Semánticas

Una red semántica (también denominado esquema de representación en Red) es una forma de representación de conocimiento lingüístico en la que...

Los nodos son conceptos

Los enlaces entre nodos son relaciones entre conceptos

Estas redes toman la forma de grafos



Redes Semánticas



Redes Semánticas

Existen diversos tipos de relaciones semánticas como son

Hiponimia (instancia concreta, p.e. un hipónimo de coche es descapotable)

Hiperonimia (generalización)

Meronimia (relación de pertenencia, es-parte-de)

Sinonímia (relación de equivalencia)

etc.José Carlos Cortizo Pérez



El primer acercamiento al razonamiento automático fueron los discos rotatorios de Ramon Lull, aplicando el ineficiente algoritmo de Generar y Probar


Primer acercamiento



En el siglo XVII, Leibniz diseñó la primera calculadora mecánica, así como utilizó matemáticas para formalizar los patrones del silogismo

Leibniz asignó números primos a conceptos primitivos y los multiplicó para derivar conceptos compuestos


Lógica Matemática




Lógica Matemática

material = 3

animado = 7

sensitivo = 13

racional = 19

inmaterial = 5

inanimado = 11

insensitivo = 17

irracional = 23

substancia = 2



Ya que Cuerpo es sustancia y material, su número será 6 = 2 x 3

El número para Mineral será 66 = 2 x 3 x 11

El número para Humano será 10.374 = 2 x 3 x 7 x 13 x 19


Lógica Matemática



Esto permite distintos tipos de razonamiento:

Para saber si algo pertenece a una clase, basta con ver si es divisible por el valor de la clase

Humano/Mineral = 10.374/66 != 0

Ningún humano es mineral

Humano/Cuerpo = 10.374/6 != 0

Todo humano es cuerpoJosé Carlos Cortizo Pérez

Lógica Matemática



Esto permite también modelar el silogismo lógico

El numero para “planta de hoja ancha” es divisible por el número para “caduca”

El número para “viña” es divisible por el número para “planta de hoja ancha”

Entonces, el número para “viña” es divisible por el número para “caduca”


Lógica Matemática


Lógica proposicional

Estudia

las proposiciones o sentencias lógicas

sus posibles evaluaciones de verdad

en el caso ideal, su nivel absoluto de verdad


Introducción



Es un enunciado declarativo que puede ser verdadero o falso, pero no ambos a la vez

Se representan mediante variables formalizadas como letras

Se pueden componer proposiciones mediante la aplicación de operadores. Las fórmulas, en función de su tabla de verdad

Tautología: Proposición siempre verdadera

Contradicción: Proposición siempre falsa

Contingencia: Proposición que puede ser v o fJosé Carlos Cortizo Pérez

Proposición



El alfabeto está constituido de los siguientes símbolos

Símbolos de puntuación: (, )

Símbolos de verdad: true, false

Símbolos proposicionales: P, Q, R, P1

Conectivos: ¬, ⋀, ⋁, →, ↔


Sintaxis



Fórmulas bien formadas

(Q ⋀ P)

true

¬ P

(Q ⋀ P) →(R ⋁(S ⋀ Q))


Sintaxis



Fórmulas mal formadas

(Q P ⋀)

true →

P ¬


Sintaxis



Orden de predecencia de los operadores

(menor prec) ¬, ⋀, ⋁, →, ↔ (mayor prec)

Así pues, la fórmula

(((Q ⋀ P) ⋁ (¬ S)) → Q)

Queda resumida en

Q ⋀ P ⋁ ¬ S→ QJosé Carlos Cortizo Pérez

Sintaxis



Esta función es la encargada de asociar un valor (v o f) a una fórmula dada

Para poder asociar este valor, necesitamos aplicar las tablas de verdad a los conectivos


Función de interpretación




Tablas de verdad



Lógica: Si Sócrates es hombre y todos los hombres son mortales, entonces Sócrates es mortal

Definición: Si Carlos es soltero, entonces no es casado

Causal: Si llueve, entonces el tejado se moja

Discurso: Si Hitler era un genio, entonces soy tío de un chimpancé


Tipos de implicación



¬ ( p ∧ q ) = ( ¬ p ) ∨ ( ¬ q )

¬ ( p ∨ q ) = ( ¬ p ) ∧ ( ¬ q )

¬ ¬ p = p


Reglas de equivalencia



La lógica proposicional nos proporciona formas de argumentación que, a pesar de ser simples, nos permiten argumentar y razonar

Modus ponendo ponens (Modus ponens)

Modus tollendo tollens (Modus tollens)


Argumentación



El Modus Ponens es una argumentación simple que se refiere a la afirmación del antecedente

Es una regla simple de inferencia que dice

Si P, entonces Q

y P

concluimos Q


Modus ponens

Si llueve se moja mi coche

Está lloviendo

Mi coche se está mojando



El Modus tollens se refiere a una prueba por contraposición

Es una regla simple de inferencia que dice

Si P, entonces Q

y no Q

concluimos que no P


Modus tollens

Si llueve se moja mi coche

Mi coche está seco

No llueve



La lógica proposicional nos permite modos básicos de inferencia

Pero es poco expresiva y flexible


Conclusiones


Lógica de predicados

La lógica de predicados estudia las frases declarativas con mayor grado de detalle que la lógica proposicional

Considera la estructura interna de las proposiciones

Tomando como elemento básico los objetos y las relaciones entre los objetos, así que distingue entre

Qué se afirma (predicado o relación)

De quién se afirma (objeto)José Carlos Cortizo Pérez

Introducción



El alfabeto de la lógica de predicados está formado por

Conjunto de símbolos de variables: x, y, z, x1, y1, ..., xn, zn

Conjunto de símbolos constantes: a, b, c, a1, b1, ..., an, bn

Conjunto de letras de función: f, g, h, f1, g1, h1, ...

Conjunto de letras de predicado: P, Q, R...


Sintaxis


Lógica de predicadosTambién contamos con conectivas

Las mismas que usamos para la lógica de predicados

¬, ⋀, ⋁, →, ↔

Más cuantificadores

∀ Cuantificador universal

∃ Cuantificador existencial

Y símbolos de puntuación: (, ) José Carlos Cortizo Pérez

Sintaxis



“Todos los estudiantes de informática son listos”

I(x) = “x es estudiante de informática”

L(x) = “x es listo”

El resultado quedaría

∀x(I(x)➝L(x))


Ejemplo práctico



“Todas las modelos son guapas, Lucía es modelo, luego Lucía es guapa”

(∀x(Modelo(x)➝Guapa(x))∧Modelo(Lucía))➝Guapa

(Lucía)

En proposicional no podríamos modelarlo


Más ejemplos



Una fórmula es satisfacible si existe por lo menos una interpretación y una atribución de valores a las variables libres, que resulta verdadera

Un modelo es una interpretación que satisface una fórmula para cualquier atribución de valores a las variables libres

Una fórmula es una tautología si es verdad para toda interpretación y atribución de valores a las variables

Una fórmula es una contradicción si no existe ninguna interpretación y atribución de valores que sea verdadera


Interpretación


¿Alguna pregunta?


Bibliografía

Libro 1: Aristóteles, “Metafísica”

Capítulo 1: John F. Sowa, “Knowledge Representation: Logical, Philosophical and Computational Foundations”

En la red: José E. Labra Gayo y Daniel Fernández Lanvin, “Cuaderno didáctico, Lógica de Predicados”

Específica

lógica

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es palgn s es malgn

implica que se cumpla

implica que se cumpla

hoja anchaentonces todas

hoja ancha son caducasy

aspecto distrado es

traileralgn chevrolet

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