logaritmi - definizione e proprieta' · logaritmi del dividendo e del divisore aventi la...
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IPSSART Aversa - Prof Nunzio ZARIGNO - Anno scolastico 2009-10
Logaritmi e Proprietà 1
I LOGARITMI
Definizione di logaritmo
Definizione
Si dice LOGARITMO in base a, con , di un numero reale positivo b, e si scrive logab, l'esponente al quale occorre elevare a per ottenere b. In simboli
a si dice base del logaritmo,
b si dice argomento del logaritmo.
Osservazioni
1. La scrittura log senza aver specificato base e argomento è priva di significato, è come
scrivere senza aver specificato indice e radicando. 2. Se il numero di cui si vuole calcolare il logaritmo è espresso già come potenza della base si
ha
in particolare
1log aa
01log b
Esempi: Calcolare i seguenti logaritmi:
1. 2. 3. 4. 5.
Il calcolo è abbastanza semplice quando è possibile esprimere sia la base a che l'argomento b come potenza di una stessa base. In caso contrario, come vedremo più avanti, sarà necessario utilizzare una calcolatrice scientifica.
1. Occorre chiedersi: qual è l'esponente che devo dare a 2 per ottenere 8?
2. Occorre chiedersi: qual è l'esponente che devo dare a 3 per ottenere 27?
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Logaritmi e Proprietà 2
3. Occorre chiedersi: qual è l'esponente che devo dare a 7 per ottenere 1/49?
4. Occorre chiedersi: qual è l'esponente che devo dare a 1/2 per ottenere 4?
5. Occorre chiedersi: qual è l'esponente che devo dare a 3 per ottenere 1?
Osservazione Il risultato ottenuto nell'esercizio 5 vale qualunque sia la base:
Osserviamo il grafico della funzione logaritmica
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Logaritmi e Proprietà 3
Fino ad ora abbiamo considerato esempi nei quali si voleva calcolare il valore del
logaritmo conoscendo base e argomento, procedendo nel seguente modo:
si scrive l'equazione esponenziale associata: , se l'argomento si può esprimere mediante una potenza della base, si applicano le proprietà delle potenze ricavando il valore della x
Vogliamo ora calcolare
1. la base, noti l'argomento ed il logaritmo 2. l'argomento noti la base ed il logaritmo
Vediamo la procedura per determinare la base x in . Per definizione di logaritmo abbiamo:
L'equazione è risolvibile facilmente se anche a si può esprimere come potenza con esponente b applicando le proprietà delle potenze.
Esempio 1
Determinare x in . L'equazione associata è dalla quale deduco immediatamente (osserva che la soluzione deve essere positiva per le ipotesi poste sulla base)
Esempio 2
Determinare x in logx.8 = -3 L'equazione associata è x -3 = 8 dalla quale si deduce che:
813 x da cui
21
x
Esempio 3
Determinare
Per la definizione di logaritmo si ha subito
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Logaritmi e Proprietà 4
LOGARITMI DECIMALI
In passato, quando avevano una notevole importanza per i calcoli, i logaritmi utilizzati più frequentemente erano quelli in cui la base è 10, detti logaritmi decimali. Essi sono indicati con o anche semplicemente con log x (notazione anglosassone)
Esempi
Per verificare i risultati, come per calcolare il logaritmo in base 10 di un qualunque numero, puoi utilizzare la calcolatrice scientifica dove i logaritmi decimali sono indicati con la notazione anglosassone (log).
LOGARITMI NATURALI
Si dicono logaritmi naturali o neperiani i logaritmi che hanno come base il numero
irrazionale e detto numero di Nepero.
Il numero di Nepero e è un numero trascendente, le cui prime cifre decimali sono
Il logaritmo in base e si indica di solito con ln x.
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Logaritmi e Proprietà 5
Proprietà dei Logaritmi
Dalle proprietà delle potenze si ricavano le proprietà dei logaritmi.
Proprietà 1
(1)
Il logaritmo del prodotto di due numeri reali positivi è uguale alla somma dei logaritmi aventi per argomenti i singoli fattori e per base la stessa base.
oppure
La somma di due o più logaritmi aventi ugual base, di numeri reali positivi, è uguale al logaritmo avente per base la stessa base e per argomento il prodotto degli argomenti.
Esempio 1.
Calcolare
Primo modo.
ed in base alla definizione di logaritmo, si ottiene
log2 (65536) = x 2x = 65536 2x = 216 x = 16 Secondo modo.
Applichiamo la proprietà (1):
ma , quindi si ha
X = 4 + 5 + 7 = 16 Ovviamente i due risultati coincidono. Quando non si è sicuri del risultato utilizzando entrambi i metodi si ha una verifica della correttezza.
Esempio 2.
Calcolare .
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Logaritmi e Proprietà 6
Esempio 3.
Calcolare .
Osservazione. Nella (1), l'ipotesi che i due fattori m, n siano positivi è necessaria. Infatti se i due
fattori fossero negativi non si potrebbe applicare la proprietà perché avrebbe senso, in quanto l'argomento risulta positivo perché prodotto di due fattori negativi, mentre logam e logan sono privi di senso avendo argomento negativo.
Per esempio:
mentre non è possibile applicare la proprietà (1) poiché le scritture e sono prive di significato, in quanto il logaritmo non è definito per argomenti negativi .
Proprietà 2
(2)
Il logaritmo del quoziente di due numeri reali positivi, è uguale alla differenza dei logaritmi del dividendo e del divisore aventi la stessa base del logaritmo di partenza. oppure La differenza di due logaritmi con ugual base e di argomenti reali positivi, è uguale al logaritmo avente per base la stessa base e per argomento il quoziente dei due argomenti. Esempio 1.
Calcolare .
Primo modo Come nello svolgimento del primo esempio della proprietà precedente, anche in questo caso si possono sviluppare i calcoli numerici indicati nell'argomento del logaritmo assegnato:
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Logaritmi e Proprietà 7
Secondo modo
Applichiamo la proprietà (2):
Da cui, sapendo che
si ha
.
Esempio 2.
Calcolare.
Esempio 3.
Calcolare .
Proprietà 3
(3)
Il logaritmo di una potenza di un numero positivo è uguale al prodotto tra l'esponente della potenza e il logaritmo, sempre nella stessa base, del numero positivo dato.
oppure
Il prodotto di un numero per il logaritmo di un numero positivo è uguale al logaritmo avente per base la stessa base e per argomento una potenza che ha per base l'argomento del precedente logaritmo e per esponente il fattore che moltiplicava il logaritmo precedente.
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Logaritmi e Proprietà 8
Esempio 1.
Calcolare
Applicando la proprietà (3), si ottiene:
Proprietà 3 - Particolare
(3-P)
Il logaritmo della radice n-esima di un numero positivo è uguale al prodotto dell'inverso dell'indice per il logaritmo del radicando.
oppure
Il quoziente tra il logaritmo di un numero positivo e un numero naturale n è uguale al logaritmo della radice n-esima avente per radicando l'argomento del logaritmo.
Osservazione. Questa proprietà è un'immediata conseguenza della proprietà (3). Vedi l'esempio seguente.
Esempio 1.
Calcolare .
Applicando la proprietà (4), si ottiene:
Lo stesso risultato si otteneva applicando la proprietà (3):
.
Ricordiamo altre proprietà, già ampliamente utilizzate, conseguenze immediate della definizione: