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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARA
CENTRO DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE FISICA
PROGRAMA DE POS-GRADUACAO EM FISICA
LUIS JOSE SILVEIRA DE SOUSA
LOCALIZACAO DE CAMPOS EM
BRANAS ISOTROPICAS E
ANISOTROPICAS EM SEIS DIMENSOES
FORTALEZA
2013
LUIS JOSE SILVEIRA DE SOUSA
LOCALIZACAO DE CAMPOS EM
BRANAS ISOTROPICAS E
ANISOTROPICAS EM SEIS DIMENSOES
Tese de Doutorado apresentada ao Programade Pos-Graduacao em Fısica da UniversidadeFederal do Ceara, como requisito parcial paraa obtencao do Tıtulo de Doutor em Fısica.Area de Concentracao: Fısica da MateriaCondensada.
Orientador: Prof. Dr. Carlos Alberto SantosAlmeida
FORTALEZA
2013
LUIS JOSE SILVEIRA DE SOUSA
LOCALIZACAO DE CAMPOS EMBRANAS ISOTROPICAS E
ANISOTROPICAS EM SEIS DIMENSOES
Tese de Doutorado apresentada ao Programade Pos-Graduacao em Fısica da UniversidadeFederal do Ceara, como requisito parcial paraa obtencao do Tıtulo de Doutor em Fısica.Area de Concentracao: Fısica da MateriaCondensada.
Aprovada em 07/2013
BANCA EXAMINADORA
Prof. Dr. Carlos Alberto Santos Almeida (Orientador)Universidade Federal do Ceara (UFC)
Prof. Dr. Roberto Vinhaes Maluf CavalcanteUniversidade Federal do Ceara (UFC)
Prof. Dr. Wilami Teixeira da CruzInstituto Federal de Educacao, Ciencia e Tecnologia do
Ceara (IFCE)
Prof. Dr. Carlos Alex Sousa da SilvaInstituto Federal de Educacao, Ciencia e Tecnologia da
Paraiba (IFPB)
Prof. Dr. Jose Abdalla Helayel - NetoCentro Brasileiro de Pesquisas fısicas (CBPF)
Dados Internacionais de Catalogacao na PublicacaoUniversidade Federal do Ceara
Biblioteca Setorial de Fısica
A000p Sousa, Luis Jose Silveira de .Localizacao de campos em branas isotropicas e anisotropicas
em seis dimensoes / Luis Jose Silveira de Sousa. – 2013.106 p.;il.
Tese de Doutorado - Universidade Federal do Ceara, Departa-mento de Fısica, Programa de Pos-Graduacao em Fısica, Centrode Ciencias, Fortaleza, 2013.
Area de Concentracao: Fısica da Materia CondensadaOrientacao: Prof. Dr. Carlos Alberto Santos Almeida
1. Mundo brana. 2. Ondas estacionarias. 3. Localizacao decampos. 4. Anisotropia. 5. Campo fantasma. I.
CDD:000.0
A Deus, acima detudo e por tudo.A todos os meus
familiares,especialmente pais e
irmas.A nova famıla queganhei ao vir para
Fortaleza.A minha namorada.
AGRADECIMENTOS
A Deus Uno e Trino.
A meus familiares: meus pais Joao e Maria, minhas irmas Jaqueline e Concibida - minhapequena Carmelita. Aos tios, tias, primos e primas, afilhados, afilhadas, comadres, com-padres... a todos, emfim, pelo apoio e incentivo. Todos merecem ter o nome citado massao tantos... Estao no meu coracao.
A famılia que me acolheu, me adotou por assim dizer. A D. Zenaide e S. Napoleao.Aos seus filhos, particularmente meu irmao Kilpatrick que acreditou em mim mais do queeu mesmo. Deus sabe o quanto lhes sou grato. Muito obrigado por tudo!
A minha namorada, Rafaela, por toda a ajuda, compreensao, amizade, companheirismo,pela alegria, pela forca, pelo apoio incessante... A D. Irene pelo cuidado filial que temtido para comigo. Eu lhes sou muito grato!
Aos professores e demais funcionarios do Departamento de Fısica da UFC, particular-mente ao meu orientador, professor Dr. Carlos Alberto pelas mais diversas licoes, pelapaciencia, confianca e compreensao.
Aos meus amigos que sempre me incentivaram. Aos colegas do LASSCO, particularmente,os professores Wilami e Alex, companheiros dos tempos de UECE. Devo agradece-los peloincentivo para realizacao da prova de admissao para o doutorado, no caso o Prof. Wil-ami, e ainda por participarem diretamente na minha formacao, ambos, Wilami e Alex. Enecessario agradecer tambem aos professores Euclides e Victor pelas varias vezes em queme auxiliaram na compreensao de varios assuntos da nossa area de estudos. Aos demaiscolegas: Diego, Davi, Julio, Samuel, Wagner, Ivan, Hudson, Aristeu, Maluf e Lucianatambem sou muito grato pelas mais variadas licoes de fısica e de vida. Desculpem secometi a injustica de esquecer alguem. Tenho aprendido muito com voces, meus caros.
Aos colegas professores e servidores do IFCE (Baturite e Caninde); a tantas outras pes-soas que colaboraram para que se tornasse possıvel realizar este trabalho. A todos muitoobrigado. Muito desse trabalho devo a voces!
RESUMO
Nesta tese propoe-se o estudo de mundos branas isotropicos e anisotropicos em seis di-mensoes. No que concerne as branas anisotropicas e realizada a extensao de cinco paraseis dimensoes de um modelo de mundo brana com solucao de ondas gravitacionais esta-cionarias. Nao ha preocupacao quanto ao estudo da cosmologia mas, principalmente,evidencia-se os mecanismos de localizacao de campos em tais cenarios. Em cinco di-mensoes a brana e gerada por um campo do tipo fantasma, o qual nao satisfaz as condicoesde energia. Por esta razao no modelo em seis dimensoes aqui apresentado houve a pre-ocupacao de que o mesmo seja gerado por materia normal a. No contexto de branasisotropicas algumas solucoes relevantes foram obtidas. Particularmente, foi construıdauma 4-brana como solucao das equacoes de Einstein em seis dimensoes, sendo que nestecaso a dimensao compacta pertence a brana e deve ser considerada pequena o suficientepara que a membrana possa representar o universo visıvel (compactificacao hıbrida). Estasolucao representa uma brana espessa o que generaliza modelos ja presentes na literatura,como o defeito tipo corda, por exemplo. Nessa geometria foi realizada a localizacao doscampos escalar, vetorial e fermionico. Ainda no contexto de branas isotropicas foi re-alizada a localizacao do campo de Kalb-Ramond em um defeito tipo corda. No que serefere aos modelos de branas anisotropicas propostos aqui b, foi possıvel generalizar omodelo de cinco para seis dimensoes obtendo as seguintes solucoes: um modelo de branaespessa anisotropica, o qual generaliza o modelo de brana espessa homogenea referidoanteriormente; uma versao mais simples deste modelo, em que se considera uma 4-branafina em seis dimensoes e dois outros modelos de brana anisotropica com solucao de on-das estacionarias sendo um na presenca de materia nao normal c e um outro gerado pormateria normal, o que vem a ser o resultado principal desta tese. Nesta geometria foipossıvel resolver o problema da hierarquia a maneira do que se obtem em modelos do tipoRandall-Sundrum. No que concerne a localizacao de campos em branas anisotropicasforam considerados os campos escalar e fermionico na brana fina antes referida. A local-izacao para ambos os campos foi realizada com sucesso.
Palavras-chave: Mundo brana. Ondas estacionarias. Localizacao de campos.Anisotropia. Campo fantasma.
aChama-se materia normal aquela que satisfaz as quatro condicoes classicas de energia: condicoesnula, fraca, forte e dominante. Uma breve revisao neste assunto pode ser encontrada no apendice.
bDeve-se destacar que os modelos de branas anisotroicas considerados aqui, as quais sao geradas porondas gravitacionais estacionarias, nao sao os modelos mais comuns de branas anisotropicas consideradosna literatura.
cMateria nao normal e aquela que viola ao menos uma das quatro condicoes de energia referidas acima.
ABSTRACT
This work describes isotropic and anisotropic braneworlds emphasizing the localizationof fields in this scenarios. In spite of studding its cosmology, the approach consider theviability of field localization in such models. It is relevant to say that the anisotropic modelpresented here was first implemented in five dimensions. This solution was obtained inthe presence of a phantom like scalar field, but this kind of matter do not satisfies theclassical energy conditions. By this reason in the work proposed here it has been triedto obtain a standing wave braneworld solution in the presence of normal matter. In thecontext of isotropic braneworld it was found important solutions. Particularly, it wasobtained a 4-brane as solution of a six dimensional Einstein gravitational theory withthe feature that the compact dimension belongs to the brane (hybrid compactification).This solution, which represents a thick brane, generalizes some braneworld models in sixdimensions, as the string-like defect. The localization of the scalar, vector and fermionfields was successfully performed. An other relevant result obtained in six dimensionalisotropic braneworld was the study of localization of the tensor or Kalb-Ramond fieldin the string-like defect. In the context of anisotropic standing wave braneworld it waspossible to generalizes the original five dimensional model to six dimensions. Particularly,the thick braneworld cited above was generalized for the case of an anisotropic thick brane.A simplified solution in the form of a thin brane was found and the study of localizationfor the scalar and fermions fields was implemented. This solution was obtained with aphantom like scalar as source similar to the solution found in five dimensions. Finally ithas been found a solutions in the presence of not normal and normal matter. This lastversion satisfies the energy conditions and presents the possibility to solve the hierarchyproblem in the same way that one solve it in Randall-Sundrum-like models.
Keywords: Braneworld. Standing waves. Field localization. Anisotropy. Phantom field.
LISTA DE FIGURAS
1 Fator de warp - brana fina - e−2krc|ϕ| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 26
2 Fator de warp - brana espessa - e−A(r). . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 26
3 Perfil do fator de warp e−A(r) para β = 1; a = 1 . . . . . . . . . . . . . p. 30
4 Perfil de t0(r) = tθ(r) para v = −1 (linha cheia), e para v = 1 (linha
seccionada) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 31
5 Perfil de tr(r) para v = 1 (linha cheia), e para v = −1 (linha seccionada) p. 31
6 Perfil de 〈Ttt〉 , a = 1, ω = 3, 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 40
7 Perfil de 〈Txx〉 , a = 1, ω = 3, 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 40
8 Perfil de ρ(r) para a = 1 e ω = 12, 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 49
9 Perfil de ρ(r) para a = -1 e ω = 12, 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 49
10 Perfil de 〈T 〉 , ω = 5, 76. A linha cheia representa 〈Ttt〉. A linha sec-
cionada representa 〈Trr〉. A linha pontilhada representa 〈Txx〉 = 〈Tyy〉 =
〈Tzz〉 = 〈Tθθ〉. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 52
11 Perfil de 〈T 〉 , ω = 9, 09. A linha cheia representa 〈Ttt〉. A linha sec-
cionada representa 〈Trr〉. A linha pontilhada representa 〈Txx〉 = 〈Tyy〉 =
〈Tzz〉 = 〈Tθθ〉. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 52
12 Perfil de 〈T0〉 . ω = 5, 76 e a = 1 para linha seccionada; ω = 11, 52 e
a = 2 para linha pontilhada; ω = 17, 28 e a = 3 para linha cheia. . . . . p. 53
13 Perfil de 〈T0〉. ω = 5, 76 e a = 1 para linha seccionada; ω = 2, 88 e
a = 0, 50 para linha pontilhada; ω = 1, 92 e a = 0, 33 para linha cheia. . p. 53
14 Perfil de 〈R〉. ω = 5, 76 (linha seccionada), ω = 9, 09 (linha pontilhada),
ω = 12, 3 (linha cheia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 53
15 Perfil de 〈R(4)〉. ω = 5, 76 (linha seccionada), ω = 9, 09 (linha pontil-
hada), ω = 12, 3 (linha cheia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 53
16 Perfil de (A′′ + 72A′2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 56
17 Perfil de 3A′′(r) + 32A′2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 56
18 Funcao ρ para c > 0; c = 0, 2;ω = 1, 028. . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 61
19 Funcao ρ para c < 0; c = −0, 2;ω = 1, 028. . . . . . . . . . . . . . . . . p. 61
20 Media temporal das componentes nao nulas de 〈TMN 〉 para c > 0 (c =
0,250). Linha pontilhada: 〈T tt 〉. Linha pontilhada-seccionada: 〈T xx 〉 =
〈T yy 〉 = 〈T zz 〉. Linha seccionada: 〈T rr 〉 Linha cheia: 〈T θθ 〉. . . . . . . . . p. 62
21 Media temporal das componentes nao nulas de 〈TMN 〉 para c < 0 (c = -
0,250). Linha pontilhada: 〈T tt 〉. Linha pontilhada-seccionada: 〈T xx 〉 =
〈T yy 〉 = 〈T zz 〉. Linha seccionada: 〈T rr 〉 Linha cheia: 〈T θθ 〉. . . . . . . . . p. 62
22 Media temporal das componentes nao nulas de 〈TMN 〉 para c > 0 (c =
0,200). Linha pontilhada: 〈T tt 〉. Linha pontilhada-seccionada: 〈T xx 〉 =
〈T yy 〉 = 〈T zz 〉. Linha seccionada: 〈T rr 〉 Linha cheia: 〈T θθ 〉. . . . . . . . . p. 63
23 Media temporal das componentes nao nulas de 〈TMN 〉 para c < 0 (c = -
0,200). Linha pontilhada: 〈T tt 〉. Linha pontilhada-seccionada: 〈T xx 〉 =
〈T yy 〉 = 〈T zz 〉. Linha seccionada: 〈T rr 〉 Linha cheia: 〈T θθ 〉. . . . . . . . . p. 63
24 Media temporal para o escalar de curvatura do bulk 〈R6〉 para c > 0. . . p. 64
25 Media temporal para o escalar de curvatura do bulk 〈R6〉 para c < 0. . . p. 64
26 Media temporal das componentes nao nulas de 〈TMN 〉 para c > 0 (c =
0,250). Linha pontilhada: 〈T tt 〉. Linha pontilhada-seccionada: 〈T xx 〉 =
〈T yy 〉 = 〈T zz 〉. Linha seccionada: 〈T rr 〉 Linha cheia: 〈T θθ 〉. . . . . . . . . p. 65
27 Media temporal das componentes nao nulas de 〈TMN 〉 para c < 0 (c = -
0,250). Linha pontilhada: 〈T tt 〉. Linha pontilhada-seccionada: 〈T xx 〉 =
〈T yy 〉 = 〈T zz 〉. Linha seccionada: 〈T rr 〉 Linha cheia: 〈T θθ 〉. . . . . . . . . p. 65
28 Perfil de V(r) para β = 2; a = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 81
29 Media temporal da exponencial da funcao u, 〈ebu〉 para b.C1 = ±1; a = 1
; ω = 12, 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 87
30 Media temporal da exponencial da funcao u, 〈ebu〉 para b.C1 = ±3; a = 1
; ω = 12, 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 87
31 Integral de e12 ρ para b.C2 = ±3; a = k = pz = 1 ; ω = 12, 3 . . . . . . . p. 89
SUMARIO
1 INTRODUCAO p. 13
2 MUNDO BRANA DO TIPO RANDALL-SUNDRUM EM CINCO
E SEIS DIMENSOES p. 19
2.1 Solucoes em cinco dimensoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 21
2.1.1 Solucao tipo bounce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 23
2.1.2 O modelo Randall-Sundrum (RS) . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 24
2.2 Solucoes em seis dimensoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 27
2.2.1 Solucao do tipo brana espessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 28
2.2.2 Defeito tipo corda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 31
3 SOLUCOES DE ONDAS ESTACIONARIAS PARA BRANAS ANISOTROPICAS
p. 34
3.1 Brana gerada a partir de ondas gravitacionais estacionarias em cinco
dimensoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 37
3.2 Outras solucoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 41
3.3 Branas geradas a partir de ondas gravitacionais estacionarias em seis
dimensoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 43
3.3.1 Solucao do tipo brana fina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 46
3.3.2 Solucao do tipo brana espessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 53
3.3.3 Brana gerada por ondas gravitacionais estacionarias na presenca
de uma fonte normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 57
4 LOCALIZACAO DE CAMPOS EM BRANAS EM SEIS DIMENSOES p. 67
4.1 Localizacao de campo em um defeito tipo corda . . . . . . . . . . . . . p. 67
4.1.1 Localizacao do campo escalar em um defeito tipo corda . . . . . p. 68
4.1.2 Localizacao do campo vetorial no defeito tipo corda. . . . . . . . p. 69
4.1.3 Localizacao do campo fermionico em um defeito tipo corda . . . p. 72
4.1.4 Localizacao do campo de Kalb-Ramond em um defeito tipo corda p. 75
4.2 Localizacao de campo em uma brana espessa em seis dimensoes . . . . p. 79
4.2.1 Campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 79
4.2.2 Campo vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 82
4.2.3 Campo fermionico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 83
4.3 Localizacao de campos em uma brana gerada por ondas gravitacionais
estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 84
4.3.1 Localizacao do campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 84
4.3.2 Localizacao do modo zero do campo fermionico . . . . . . . . . p. 90
5 CONCLUSOES E PERSPECTIVAS p. 93
6 APENDICE - CONDICOES CLASSICAS DE ENERGIA p. 98
6.1 Condicao nula de energia - NEC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 98
6.2 Condicao fraca de energia - WEC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 99
6.3 Condicao forte de energia - SEC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 99
6.4 Condicao dominante de energia - DEC . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 99
REFERENCIAS p. 101
13
1 INTRODUCAO
Nos ultimos anos surgiram modelos de universo nos quais se considera que o mundo
em que vivemos esta ’imerso’ em um universo com dimensoes extras chamado bulk. Den-
tre esses modelos denominados de mundo brana (braneworld) destacam-se os que foram
inicialmente propostos por Arkani-Hamed, Dimopoulos e Davili [1, 2, 3], conhecido sim-
plesmente como modelo ADD e o modelo de Randall e Sundrum (RS), [4, 5], do qual
o trabalho aqui introduzido representa uma extensao. A razao principal de se estudar
modelos com dimensao extra reside na possibilidade de explicar algumas dificuldades que
surgem no Modelo Padrao, como o problema da hierarquia.
Um dos aspectos estudados nos diversos modelos de brana e a possibilidade de ”local-
izacao”de campo em um tal modelo. No cenario proposto originalmente por RS assume-
se que todos os campos estao limitados a se propagar apenas na brana (ou membrana)
enquanto que a gravidade e livre, por assim dizer, para se propagar em todo o bulk. En-
tretanto, assumir , a priori, que todos os campos, a excecao da gravidade, estao restritos
a se mover apenas na brana nao parece uma opcao suficientemente rigorosa. Por isso e
necessario buscar mecanismos teoricos de localizacao de campo na membrana [6]. Em
razao disso, a capacidade de um dado modelo de localizar campos e agora um parametro
para classifica-lo (ou nao) como potencial candidato a nosso universo 1 . E vasta a liter-
atura sobre a localizacao de campos em branas tanto em cinco, [4, 5, 6, 7, 8, 9], quanto
em seis dimensoes [10, 11, 12, 13, 14, 15, 16].
A maioria dos modelos de mundo brana presentes na literatura sao estaticos, ho-
mogeneos e isotropicos. No entanto, apesar de que, em larga escala, nosso universo de fato
se apresenta homogeneo e isotropico, a teoria de Friedmann–Lemaıtre–Robertson–Walker
(FLRW), que descreve o referido universo, nao e capaz de explicar certas caracterısticas
do mesmo. Por exemplo: porque nosso universo e isotropico hoje uma vez que ele deve
ter sido anisotropico em seu estagio inicial? Alem disso, se na teoria de FLRW e im-
1Vale ressaltar que ha modelos de brana que nao consideram estudos de localizacao de campos, masse voltam para a cosmologia que se pode obter dos mesmo.
14
plementada uma perturbacao encontram-se novos modelos que seriam mais importantes
em epocas iniciais do que o modelo FLRW, ou, dizendo de outra maneira, flutuacoes
estatısticas puras em FLRW nao colapsam rapido o suficiente para formar as galaxias ob-
servadas hoje [17]. Uma vez que os modelos de mundos branas pretendem descrever nosso
universo e razoavel, pelo que foi dito acima, considerar modelos de branas anistropicas.
Encontram-se na literatura trabalhos nesta perspectiva [18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25].
Nestes trabalhos o interesse maior reside em estudar a cosmologia de tais modelos (os
quais sao anisotropicos, mas homogeneos) desconsiderando-se o estudo de localizacao de
campos nesses cenarios, na maioria dos casos. Excessao feita a alguns deles, particular-
mente ao modelo de brana gerado a partir ondas gravitacionais estacionarias no qual os
autores consideram a localizacao de gravidade [18], campos escalar e tensorial [9], bosons
[8] e fermions [26] . Este modelo em 5 dimensoes representa uma generalizacao de RS
para o caso em que a metrica e nao estatica e anisotropica. Conforme citado acima, a
localizacao do modo zero de todos os campos do Modelo Padrao foi estudada neste cenario
sendo considerada exitosa para todos a excecao do campo fermionico cuja funcao de onda
para o fermion direito e divergente.
Nesta tese objetiva-se estudar a localizacao de campos em branas isotropicas e anisotropicas
em seis dimensoes. No que se refere as branas anisotropicas, particularmente, houve a
preocupacao em se construir um modelo que seja eficiente na localizacao de campos e
que resolva o problema da hierarquia. Para isso propoe-se uma generalizacao para seis
dimensoes do modelo de Merab [18] tendo em vista nao a cosmologia, mas o estudo da
localizacao de campos na referida geometria. Uma das principais dificuldades apresen-
tadas pelo modelo de ondas gravitacionais estacionarias referido acima consiste no fato de
que a fonte e um campo escalar do tipo fantasma. Teorias com esse tipo de fonte via de
regra apresentam dificuldades de estabilidade. No modelo de cinco dimensoes ja referido
o campo escalar do tipo fantasma e identificado com o escalar de Weyl. Sendo a teoria
de Weyl estavel, tambem sera a teoria de brana com o campo escalar fantasma. Esta e a
logica seguida no trabalho ja citado. No entanto, conforme sera visto ao longo dessa tese,
as componentes do tensor momento energia nessa teoria nao satisfazem as condicoes de
energia (vide apendice 6). Por isso procurou-se encontrar solucoes de ondas estacionarias,
em seis dimensoes, geradas por uma fonte de materia que satisfaca as condicoes classicas
de energia (vide apendice 6). E importante observar que a afirmacao ”a solucao de ondas
estacionarias( ou a brana) e gerada por materia normal”segue a afirmacao do modelo
original de que e um campo do tipo fantasma que gera a referida brana, ou solucao de
ondas estacionarias.
15
Como sera visto o modelo de Merab foi extendido para 6 dimensoes e neste novo
cenario a localizacao do modo zero para os campos escalar e fermionico foi obtida. In-
teressante destacar que em cinco dimensoes nao foi possıvel localizar o fermion direito,
enquanto que em seis dimensoes o estudo se mostrou exitoso. No que concerne as solucoes
na presenca de materia normal, as mesmas foram obtidas, embora tenha sido necessario
considerar constante cosmologica anisotropica no bulk, o que nao vem a ser um absurdo
tendo em vista que ha modelos reais que consideram variacao na constante cosmologica.
Alem disso obteve-se solucao de onda gravitacional estacionaria na presenca de fonte
que satisfaz algumas das condicoes de energia, sem a necessidade de uma constante cos-
mologica anisotropica, o que vem a ser um avanco com relacao ao modelo de Merab em
cinco dimensoes.
Ao longo do desenvolvimento desta tese foi realizado um estudo de revisao da bibli-
ografia, como nao poderia deixar de ser. Particularmente foram revisadas as solucoes das
equacoes de Einstein em cinco e seis dimensoes, no contexto de mundo brana, as quais
podem ser interpretadas como defeitos topologicos, mais precisamente, solucao do tipo
parede de domınio e defeito tipo corda, respectivamente. Foram obtidas solucoes que cor-
respondem a branas finas e espessas em ambos os casos. Neste contexto se deu o estudo de
localizacao de campos em branas isotropicas, em seis dimensoes. Estes estudos geraram
dois trabalhos que foram publicados no decorrer da tese e serao melhor detalhados nos
capıtulos especıficos. A seguir a estrutura da tese sera apresentada.
Uma breve revisao da chamada fısica de dimensoes extras, naquilo que se considera
mais relevante para o desenvolvimento desta tese, e realizada no capıtulo (2). No mesmo
sao apresentadas algumas solucoes que generalizam os modelos revisados. Na subsecao
(2.1.1) foi obtida a solucao tipo kink para as equacoes de Einstein em cinco dimensoes,
tendo um campo escalar (kink) como fonte. Esta e uma solucao ja conhecida na liter-
atura. Ela generaliza o modelo de RS para o caso de uma brana espessa. Este, por
sua vez, e discutido na subsecao (2.1.2) do capıtulo referido acima. Essa revisao geral
e importante para que se possa posicionar os resultados aqui obtidos diante do que ja
existe na literatura. Ainda no capıtulo (2), na subsecao (2.2.1), descreve-se como obter
uma 4-brana como solucao das equacoes de Einstein em seis dimensoes, sendo que neste
caso a dimensao compacta pertence a brana e deve ser considerada pequena o suficiente
para que a membrana possa representar o nosso universo (compactificacao hıbrida). A
solucao encontrada na subsecao 2.2.1 representa um generalizacao do defeito tipo corda
estudado por alguns autores, particularmente Oda, [6]. Esses resultados fazem parte de
um trabalho que foi recentemente publicado na resvista Physics Letter B - PRB [27] sob o
16
tıtulo ”Brane bounce-type configurations in a string-like scenario”. O capıtulo e finalizado
com a obtencao de um defeito tipo corda como solucao das equacoes de Einstein em seis
dimensoes. Este modelo representa uma generalizacao direta do modelo original de RS,
para seis dimensoes. Neste cenario foi realizado a localizacao do campo de Kalb-Ramond,
complementando outros trabalhos que ja tinham sido feito na localizacao dos campos
escalar, de gauge e fermionicos, [6]. Os resultados da localizacao do campo de Kalb-
Ramond foram publicados tambem na PLB sob o tıtulo ”Tensor gauge field localization
on a string-like defect”, [16].
O estudo das branas anisotropicas, geradas por ondas estacionarias, se inicia no
capıtulo (3). Ja na secao (3.1) e discutido a solucao de ondas gravitacionais estacionarias
para uma brana gerada a partir de um campo do tipo fantasma, [18], o qual e utilizado
como referencia para as solucoes de brana anisotropicas aqui obtidas. O referido modelo
generaliza o modelo RS pois que a presenca dos fatores eu(r,t), eu(r,t), e−2u(r,t) diante das
variaves x, y e z, respectivamente, torna a metrica anisotropica. Tal modelo consiste em
uma solucao para as equacoes de Einstein em cinco dimensoes, tendo como fonte um
campo do tipo fantasma, sendo a metrica anisotropica, conforme ja foi dito. Uma das di-
ficuldades que este modelo apresenta e justamente o fato de a fonte ser um campo escalar
do tipo fantasma, uma vez que teorias na presenca de tais campos costumam apresentar
problemas de instabilidade. Para escapar dessas dificuldades a teoria e ”mergulhada”em
um modelo de gravidade de Weyl em cinco dimensoes. Pelo que foi possıvel analisar
mesmo nessas circunstancias a teoria nao satisfaz as condicoes de energia. Trata-se de
solucoes na presenca de uma fonte exotica (vide apendice (6) para a definicao de materia
exotica).
Foi realizado um esforco no sentido de obter outras solucoes, alem da que foi obtida
por Merab ([18]), ainda em cinco dimensos. Na secao (3.2) e apresentada uma solucao de
vacuo e uma solucao na presenca de uma constante cosmologica. No entanto em nenhum
dos casos foi possıvel obter solucao do tipo onda gravitacional estacionaria, embora tal
solucao exista em quatro dimensoes, [28].
A generalizacao para seis dimensoes do modelo de Merab e realizada na secao (3.3).
Foram obtidas solucoes que representam tanto brana fina quanto brana espessa. Alem
disso foi possıvel obter solucao na presenca de materia ”nao normal”, que e bem menos
ruim do que materia exotica. Uma generalizacao direta do modelo de Merab foi obtida
na subsecao (3.3.1). Esta solucao consiste no modelo de ondas estacionarias generalizado
de cinco para seis dimensoes, o que vem a ser um dos objetivos desta tese. No entanto,
17
o modelo muito se assemelha ao de Merab, principalmente no que concerne a natureza
exotica da fonte. Por outro lado, no que se refere a localizacao de campos, se mostra mais
eficiente. Os resultados aqui obtidos encontram-se em um trabalho submetido ao Journal
of Physics G - JPG, [29] sob o tıtulo ”A 6D standing-wave Braneworld”. Alem dessa
solucao foi possıvel generalizar tanto o modelo de 4-brana considerado na subsecao 2.2.1,
como o proprio modelo obtido na subsecao (3.3.1), referido acima, atraves da obtencao
de uma solucao de brana espessa na presenca de uma metrica anisotropica. Esta solucao
se encontra na subsecao (3.3.2). Apesar de mais geral que as duas anteriores esta solucao
esta incompleta pois apenas se obteve o fator de warp e colocou-se a equacao para a funcao
que representa a anisotropia em uma forma separavel, de tal maneira que se possa ter uma
solucao do tipo onda estacionaria. No entanto esta equacao nao foi resolvida e fica como
perspectiva de trabalho futuro resolve-la e estuda-la melhor. Por fim, na subsecao (3.3.3)
obteve-se uma solucao do tipo onda estacionaria na presenca de uma fonte nao normal
(satisfaz a todas as condicoes de energia, a excessao da condicao dominante). Todas as
componentes da pressao como a densidade de energia para essa fonte sao positivas. Alem
disso e possıvel obter solucao com fator de warp crescente ou decrescente. Apresenta
ainda a vantagem de resolver o problema da hierarquia, coisa que nao e possivel no modelo
original de Merab, bem como no modelo de seis dimensoes apresentado em (3.3.1). No
entanto a solucao e gerada por materia que, apesar de ter as componentes do tensor
momento energia todas positivas e de satisfazer as condicoes NEC, WEK e NEC nao
satisfaz a condicao DEC, que seria suficiente para assegurar estabilidade. Por isso uma
nova solucao foi obtida desta vez satisfazedendo a todas as condicoes classicas de energia
acima referidas. Esta solucao, no entanto, exige que a constante cosmologica assuma
diferentes valores ao longo das coordenadas espaciais e temporal. Em outras palavras, a
constante cosmologica neste caso e anisotropica e nao homogenea. Estes resultados estao
submetidos ao Journal of High Energy Physics - JHEP, com tıtulo ”A 6D standing-wave
Braneworld in the presence of a normal matter source”, [30].
A localizacao de campos e o objeto do capıtulo (4) desta tese. Na secao (4.1) foi
considerado o estudo dos campos escalar (4.1.1), vetorial (4.1.2), fermionico (4.1.3) e
tensorial (4.1.4). Os tres primeiros sao apresentados como uma revisao bibliografica en-
quanto que a localizacao do campo tensorial (Kalb-Ramond), conforme foi dito, resultou
em um trabalho recentemente publicado [16]. Nem todos os campos do modelo padrao
foram considerados no modelo de brana anisotropica, mas apenas os campos escalar e
fermionico. No entanto, no modelo de brana espessa descrito na subsecao 2.2.1 o modo
zero dos campos escalar, vetorial e fermionico foram estudados. Nao houve um estudo
18
para o caso da gravidade porque o resultado e semelhante ao que se obtem para o campo
escalar. A localizacao do campo escalar nesse modelo e obtida na subsecao (4.2.1). O
resultado mostra que a localizacao e possıvel para o modo zero. Interessante notar que
nao ha necessidade de interacao adicional, alem da gravitacional, para se obter localizacao
do modo zero do campo escalar. No caso do campo vetorial tambem foi possıvel obter
a localizacao (4.2.2), o mesmo acontecendo para o campo fermionico (4.2.3). Para que
fosse possıvel este ultimo resultado foi necessario alterar a derivada na equacao de Dirac
de tal forma a considerar um acoplamento mınimo, semelhante ao que acontece no caso
do defeito tipo corda. Na subsecao (4.3.1) considera-se a localizacao do campo escalar
na brana anisotropica estudada na subsecao (3.3.1). Mais uma vez e possıvel verificar a
localizacao do modo zero. Diferente do resultado obtido em [11] em que o campo escalar
e localizado em um defeito tipo corda para um fator de warp que decresce exponencial-
mente, aqui obteve-se a localizacao para um fator exponencialmente crescente. Por fim
foi realizado o estudo da localizacao do campo fermionico neste mesmo cenario, 4.3.2. Foi
possıvel mostrar que ha localizacao do modo zero o que vem a ser um resultado destacavel
uma vez que em cinco dimensoes nao foi possıvel obter tal resultado.
Conclusoes do que ja foi feito e perspectivas para o desenvolvimento futuro sao apon-
tadas no capıtulo (5). O apendice (6) traz uma breve descricao das condicoes classicas
de energia que a materia deve obedecer para que se tenha um modelo aceitavel (embora
haja modelos fısicos que nao satisfacam algumas dessas condicoes, conforme apresentado
no mesmo apendice).
19
2 MUNDO BRANA DO TIPORANDALL-SUNDRUM EMCINCO E SEIS DIMENSOES
Por volta dos anos 20 surgiram as primeiras teorias que consideravam a existencia de
dimensoes extras no universo, as denominadas teorias de Kaluza-Klein [31], nas quais o
acrescimo de uma dimensao espacial extra no espaco-tempo quadridimensional tinha a
pretensao de unificar eletromagnetismo e gravidade. Outras motivacoes existem para se
estudar teorias com dimensoes extras como, por exemplo, a necessidade de se explicar a
velocidade com que as estrelas orbitam o centro das galaxias (a massa necessaria descon-
hecida estaria oculta em dimensoes espaciais extras) e o fato de a interacao gravitacional
se mostrar tao fraca em nosso planeta [32]. Nesse contexto, depois de um vazio de cerca de
60 anos, teorias com dimensoes extras voltaram a literatura. In 1982 Akama [33] usou a
dinamica de vortice de Nielsen-Olesen para localizar o nosso universo em uma membrana
mergulhada em um espaco tempo de seis dimensoes. Trabalhos semelhantes foram publi-
cados em 1983 e 1985, por Rubakov e Shaposhnikov [34] e Visser [35], respectivamente.
Os modelos ADD [1, 2, 3] e RS [4, 5] oferecem solucoes para o problema da hierarquia
[36] e alternativas a compatificacao do tipo Kaluza-Klein.
Nao e exagero dizer que os trabalhos de Randall e Sundrum sao paradigmaticos no
contexto de dimensoes extras. Este trabalho que consiste em uma teoria de gravidade
em 5 dimensoes foi rapidamente estendido de forma a compreender mais dimensoes. Par-
ticularmente em seis dimensoes alguns autores contribuiram em menos de um ano do
surgimento do modelo original, [6, 10, 37]. O modelo de RS e usado como referencia de
universo com dimensoes extras do qual o mundo em que se passam os fenomenos descritos
pela dita fısica do modelo padrao e uma membrana, ou simplesmente brana. O modelo
proposto nesta tese, em seis dimensoes, apresenta-se como uma generalizacao do modelo
RS.
Nas proximas secoes o modelo RS original e algumas de suas extensoes para seis
20
dimensoes serao descritas. Tambem sera estudado o modelo anisotropico de Merab. Serao
apresentados modelos em cinco e seis dimensoes, por isso considerar-se-a inicialmente o
seguinte ansatz para a metrica em um espaco tempo D-dimensional
ds2 = gMNdxMdxN
= gµνdxµdxν + gabdx
adxb
= e−A(r)gµνdxµdxν − dr2 − e−B(r)dΩ2
n−1 (2.1)
onde M,N, ... denotam ındices do espaco tempo D-dimensional , µ, ν, ..., representam
ındices na membrana p-dimensional e a, b, ... representam as n-dimensoes espaciais extras.
Como sera visto, para alguns dos modelos considerados aqui, a parte da metrica que no
devido limite representa a brana, gµνdxµdxν , e em alguns casos, a funcao que multiplica
a dimensao extra compacta conterao termos do tipo eu, e−2u, e−3u, onde u e uma funcao
que depende das variaveis r e t, u = u(r, t). Esta funcao e que definira a anisotropia nos
modelos de branas com solucao do tipo onda estacionaria.
A acao e dada em D-mimensoes por
S = − 1
2κ2D
∫dDx√−g(R− 2Λ) +
∫dDx√−gLm (2.2)
na qual κD representa a constante gravitacional D-dimensional , Λ e a constante cos-
mologica do bulk e Lm e a Lagrangiana de algum campo de materia. Nesta tese sera
usada, de maneira geral, a convencao de sinais de Landau [38], conforme observado em
Misner, Thorne e Wheeler [39]. Apenas nas subsecoes (2.1.2) e (2.2.1) sera utilizada a
metrica com assinatura (−,+,+,+), por conveniencia, para seguir os trabalhos originais.
As equacoes de Einstein obtidas da variacao da acao (2.2) com relacao ao tensor gMN
sao dadas como segue
RMN −1
2gMNR = ΛgMN + κ2
DTMN (2.3)
onde o tensor TMN e definido por
TMN =2
κ2D
1√−g
δSmδgMN
(2.4)
e o tensor de Ricci e obtido pela contracao do tensor de curvatura, RMN = RPMPN , o qual
e dado na forma tradicional
RPMQN = ∂QΓPMN − ∂NΓPMQ + ΓRMNΓPRQ − ΓRMQΓPRN (2.5)
21
onde a conexao da metrica tambem se expressa na forma ja conhecida
ΓPMN =1
2gPQ (∂MgQN + ∂NgQM − ∂MgMN) (2.6)
e, finalmente, o escalar de curvatura e dado por R = gMNRMN .
A seguir serao analizadas solucoes para a metrica (2.1) que correspondem, respecti-
vamente, a uma membrana do tipo parede de domınio e ao modelo RS que e obtido desse
como um caso limite. Apesar deste ultimo ser a referencia de mundo brana considerado
nesta tese nao sera apresentado como primeiro exemplo, como ate parece mais didatico,
porque preferiu-se apresentar solucoes mais gerais para as equacoes de Einstein e destas
extrair as solucoes particulares. E o oposto do desenvolvimento historico, talvez, mas
acredita-se que nao trara prejuızo a compreensao do leitor.
2.1 Solucoes em cinco dimensoes
Nesta secao serao apresentados dois tipos basicos de modelos de branas em cinco
dimensoes. O primeiro deles e o modelo descripo por Kehagias [4]. Trata-se de uma
geometria com brana espessa, caracterizada por um fator de warp suave, cuja fonte e um
kink. O segundo e o modelo RS. Os conceitos aqui apresentados sao basicos e certamente
bastante conhecidos do leitor familiarizado com modelos de mundo brana. No entanto,
tendo em vista que esta tese e devotada ao estudo de mundo brana (especificamente
branas geradas por ondas gravitacionais) parece necessario apresentar esses conceitos.
Encontrar solucao de brana consiste em resolver as equacoes de Einstein para uma metrica
especıfica, que possa ser separada de tal forma que se destaque a metrica da brana e a
das dimensoes extras, devendo a metrica da brana, no limite conveniente, coincidir com
a metrica de Minkowski em um espaco-tempo quadridimensional. A fonte de materia
pode ser apresentada explicitamente como em Kehagias [4] e RS [4], por exemplo, ou
escrevendo-a de forma generica como em Oda [6] e Ghergeta [10]. A metrica geral 2.1 e
conveniente para os propositos dessa tese, bastando para isso escolher n = 1 ou n = 2
para cinco e seis dimensoes, respectivamente, alem de acrescentar os termos que definem
a anisotropia, quando for o caso. Para esta secao assume-se n = 1, que corresponde ao
caso de uma dimensao extra, portanto a metrica (2.1), sem anisotropia, e reescrita como
ds2 = e−A(r)gµνdxµdxν − dr2. (2.7)
22
A presenca do fator de warp (o fator exponencial) na metrica acima merece ser destacada.
A funcao A depende apenas da dimensao extra r. Isso significa que uma vez fixada a
posicao da brana no bulk sua metrica sera equivalente ou conforme a de Minkowski. Isso
significa que na brana sera valida a fısica do modelo padrao [40].
Isto posto e chegado o momento de se obter as componentes do tensor de Einstein
para (2.7). Para esta metrica as unicas componentes nao nulas da conexao (2.6) sao
Γxrx = Γyry = Γzrz = Γtrt = −1
2A′(r) (2.8)
e
Γrxx = Γryy = Γrzz = −Γrtt =1
2e−A(r)A
′(r) (2.9)
onde x, y, z, t sao as componentes usuais do espaco tempo de Minkowski, r e a dimensao
extra e a linha,′, representa derivada com relacao a coordenada extra. As componentes
nao nulas do tensor de Ricci, por sua vez, resultam
Rxx = Ryy = Rzz = −Rtt =1
2e−A(r)
(−2A
′2(r) + A′′(r)), (2.10)
Rrr = −A′2(r) + 2A′′(r). (2.11)
Para possibilitar o calculo do tensor de Einstein falta ainda o escalar de curvatura, o qual
e dado a seguir
R = 5A′2(r)− 4A
′′(r). (2.12)
Com isso o tensor de Einstein e dado por
Gxx = Gyy = Gzz = −Gtt =3
2e−A(r)
(A′2(r)− A′′(r)
), (2.13)
Grr =3
2A′2(r). (2.14)
Para resolver a equacao de Einstein e necessario especificar a fonte. Isto sera feito
nas proximas subsecoes, nas quais serao apresentadas as solucoes de Kehagias [4], o qual
como sera visto representa uma brana espessa, e o modelo RS [4].
23
2.1.1 Solucao tipo bounce
O tıtulo desta subsecao remete ao trabalho de Kehagias que assim denomina a solucao
obtida. Outros autores diriam solucao do tipo kink (por isso essa denominacao tem sido
usada ao longo da tese) ou que a brana esta localizada numa parede de domınio ou ainda
que e a propria parede de domınio [41], [42]. A solucao obtida aqui segue um caminho
ligeiramente diferente do trabalho de Kehagias inclusive no que se refere a assinatura da
metrica. Ha tambem a diferenca no fator de warp, pois no trabalho original a funcao
A(r) e multiplicada por 2. Alem disso ha ausencia de algumas constantes na definicao do
campo escalar utilizado aqui, em comparacao com o modelo original.
Depois dessas breves consideracoes pode-se avancar para a solucao das equacoes de
Einstein. Considerando-se um campo escalar acoplado a gravidade o tensor momentum
energia para tal configuracao e obtido a partir de (2.4)
TMN = ∂MΦ∂NΦ− gMN
(1
2∂CΦ∂CΦ + V (Φ)
), (2.15)
considerando-se que a Lagrangiana do campo escalar seja dada por
Lm =1
2gMN∂MΦ∂NΦ + V (Φ). (2.16)
Com isso as equacoes de Einstein (2.14), (2.13) e (2.3), para Λ = 0, se resumem ao sistema
a seguir:
3
2
(A′2(r)− A′′(r)
)= κ2
5
(1
2φ′2 + V (φ)
)(2.17)
3
2A′2(r) = κ2
5
(3
2φ′2 + V (φ)
)(2.18)
em que κ5 representa a constante gravitacional em cinco dimensoes. A partir do sistema
acima pode-se determinar a funcao de warp A(r). Para isso subtrai-se (2.18) de (2.17)
resultando na seguinte equacao
A′′(r) = κ2
5φ′2. (2.19)
E importante notar que na ausencia de gravidade, para um potencial do tipo V (φ) =
(φ2 − 1)2, a acao (2.2) admite solucao do tipo bounce, com o campo dado por
24
φ(r) = tanh(r) (2.20)
No caso em maos, na presenca de gravidade, admite-se uma solucao do tipo kink (2.20),
encontra-se o fator de warp e depois retorna-se as equacoes de Einstein (2.18), (2.17) e
calcula-se o novo potencial. Portanto, para φ dado em (2.20) a solucao de (2.19) e dada
por
A(r) =2
9κ2
5 log(cosh2(r)) +1
9κ2
5 tanh2(r) (2.21)
para a qual A(0) = A′(0) = 0. A equacao para o potencial e obtida eliminando-se φ de
(2.18) e (2.17)
V =3
4κ25
(3A
′′(r)− 2A
′2(r))
(2.22)
A partir das derivadas de A dadas a seguir
A′(r) = −2
9κ2
5 tanh(r)(tanh2(r)− 3
); A
′′(r) =
2
3κ2
5
(tanh2(r)− 1
)2, (2.23)
substituindo-se em (2.22), usando (2.20) obtem-se para o potencial
V =3
2
(φ′2 − 1
)2
− 2
27κ2
5φ2(φ2 − 3
)2(2.24)
o qual reduz-se ao caso em que nao ha gravidade no limite κ25 → 0. Esta solucao corre-
sponde a uma membrana espessa que no limite r →∞ assume a forma do modelo RS, ou
seja, e−A ∝ e−|r| para r →∞. O fato de que esta solucao e uma generalizacao do modelo
RS sera melhor discutido ao final deste capıtulo. Como sera visto na subsecao (2.2.1)
este modelo foi generalizado para seis dimensoes, tendo este resultado sido publicado na
revista Physics Letter B [27]. A seguir sera analizado o modelo RS.
2.1.2 O modelo Randall-Sundrum (RS)
Sera apresentado aqui o modelo conhecido na literatura como RSI, [5]. A descricao
desse modelo exige a solucao das equacoes de Einstein em 5 dimensoes em um pro-
cedimento semelhante ao que foi feito acima, embora os modelos apresentem algumas
diferencas. A primeira delas que se deve destacar e a fonte que neste caso e dada por
T(RSI)MN = −
√−G
4M3
(Vvis√−gvisgvisµν δ
µMδ
νNδ(ϕ− π) + Vcom
√−gcomgcomµν δµMδ
νNδ(ϕ)
)(2.25)
25
em que os sub(super)escrito vis, com referem-se, respectivamente, as branas visıvel, com
a qual identifica-se nosso universo quadridimensional, e companheira [40]. Esta fonte
representa pois as branas e ϕ representa a dimensao extra que neste caso e compacta. A
metrica no modelo RSI pode ser obtida de (2.7) fazendo-se A ≡ 2krc|ϕ| e r ≡ r2cϕ em que
rc representa a distancia entre as branas, tambem chamado de raio de compactificacao.
Com essas modificacoes, usando-se a assinatura −+ ++, a metrica para o modelo RSI e
dada por
ds2 = e−2krc|ϕ|ηµνdxµdxν + r2
cdϕ2 (2.26)
onde k e uma constante e ηµν representa a metrica de Minkowski.
O modelo RSI, portanto, consiste em um espaco tempo com cinco dimensoes com
duas 3-branas, uma das quais modela nosso universo, e uma dimensao extra transversa a
estas, a qual da-se o nome orbifold. Esta dimensao extra tem simetria Z2 a qual possibilita
a identificacao entre (xµ, ϕ) e (xµ,−ϕ). A dimensao extra e angular e as duas 3-branas
podem ser fixadas nos extremos ϕ = 0 e ϕ = π desta dimensao, alem disso a geometria do
bulk e anti de Sitter, (AdS5), [5, 40]. O modelo RSII pode ser obtido de RSI tomando-se
o limite rc → ∞, [4]. Neste caso ha apenas uma 3-brana presente e a dimensao extra e
nao compacta.
Uma das razoes do sucesso, por assim dizer, do modelo RS reside na sua viabilidade
fenomenologica. Isto se reflete, por exemplo, na forma como este modelo apresenta uma
solucao simples para o problema da hierarquia. Alem disso, uma vez que o fator de warp
depende apenas da coordenada extra, a fixacao da brana torna sua metrica conforme o
espaco de Minkowski, implicando em uma brana apta a suportar todos os campos do
modelo padrao, uma vez que a metrica (2.26) e um caso particular da metrica mais geral
(2.7). No entanto, a localizacao de alguns campos exige a presenca de campos auxiliares,
como o dilaton, no setup de RS, fato que motivou a busca por modelos de branas mais
gerais que fossem capazes de localizar os campos do modelo padrao atraves da interacao
gravitacional, unicamente. Esta abordagem resumida do modelo RS e suficiente para o
momento, outros aspectos serao discutidos em capıtulos posteriores.
Antes de fechar este capıtulo e interessante voltar a solucao tipo kink encontrada na
subsecao (2.1.1) e compara-la com o modelo RSI da subsecao (2.1.2) atual. O primeiro
aspecto a comparar diz respeito aos fatores de warp que sao esquematizados nas figuras
(1) e (2) a seguir. Como se ve das figuras a solucao tipo bounce apresenta um fator de
warp localizado que se aproxima daquele encontrado no modelo RS para grandes valores
26
-3 -2 -1 1 2 3j
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
e-k rc ¡j¥
Figura 1: Fator de warp - brana fina -e−2krc|ϕ| .
-3 -2 -1 1 2 3r
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
e-A HrL
Figura 2: Fator de warp - brana espessa -e−A(r).
de r, condizente com e−A(r) ∝ e−|r| no limite r → ∞ como ja tinha sido dito antes. Dai
pode-se concluir que na solucao tipo bounce, para regioes distantes da brana, o espaco
tempo e anti de Sitter, como no caso RS, [43]. No entanto o primeiro modelo, em que
a brana e espessa, nao apresenta singularidade, sendo esta caracterıstica uma vantagem
com relacao ao modelo RS. Alem disso e mais realıstico um cenario em que a brana ou
membrana tenha alguma espessura [44]. E importante explicar que entende-se por brana
espessa uma estrutura que se espalhe pela dimensao extra de tal forma que sua influencia
e percebida nas vizinhancas da posicao ao longo da referida dimensao, na qual a brana se
localiza. Em cinco dimensoes ela se assemelha a parede de domınio ferromagnetica [43].
As figuras (1, 2) revelam ainda que a exponencial da funcao A(r) tem o mesmo perfil
para r± → ∞ o que torna o fator de warp da solucao tipo bounce condizente com a
simetria Z2. Por fim, a forma do fator de warp com um pico apenas em r = 0 demonstra
que a geometria se localiza junto a brana espessa ou parede de domınio [43]. Esta solucao
e interessante tambem porque propicia a construcao de modelos de brana relacionadas a
defeitos topologicos.
Fica por aqui esta analise inicial de modelos de brana em 5 dimensoes, os quais serao
revisitados para que outros aspectos como a generalizacao para modelos (anisotropicos)
obtidos a partir de ondas estacionarias e localizacao de campos sejam estudados. Na
proxima secao os modelos acima serao discutidos em seis dimensoes.
27
2.2 Solucoes em seis dimensoes
A generalizacao do modelo RS para seis dimensoes aconteceu tao logo surgiu o modelo
original [6, 10, 37]. O modelo aqui analizado parte da metrica (2.1) para o caso n = 2,
ainda sem anisotropia, o que resulta
ds2 = e−A(r)gµνdxµdxν − dr2 −R2
0e−B(r)dθ2 (2.27)
em que R20 e uma constante e as coordenadas r e θ estao restritas aos respectivos intervalos:
0 ≤ r ≤ ∞, 0 ≤ θ ≤ 2π. Este modelo, consistente com invariancia de Poincare em quatro
dimensoes foi estudado por varios autores em diferentes contextos. Para o escopo desta
tese e importante destacar que as equacoes de Einstein obtidas da metrica (2.27) podem
ter como solucao um defeito tipo corda [6, 10, 37] bem como uma 4-brana em um cenario
com compactificacao hıbrida, [45], por exemplo. Mais uma vez, a exemplo do que se
passa em cinco dimensoes, como foi visto na secao 2.1, e possıvel relacionar a brana com
um defeito topologico: parede de domınio em cinco dimensoes, defeito tipo corda em
seis... Para a metrica dada acima, uma outra possıvel solucao do sistema de equacoes
de Einstein e encontrada quando se admite a presenca de um campo escalar no bulk, de
forma semelhante ao que se obteve em 5 dimensoes em que a solucao e do tipo parede
de domınio. Neste caso nao se pode falar em parede de domınio mas e ainda possıvel
a solucao na forma de uma 4-brana em que a coordenada compacta reside na brana,
correspondendo a uma compactificacao hıbrida. A proposito a expressao compactificacao
hıbrida e utilizada por Koley [45] para referir ao fato de a coordenada compacta pertencer
a brana, diferente do defeito tipo corda, por exemplo, em que a dita coordenada faz parte
do espaco extra.
E tempo de obter as equacoes de Einstein para a metrica (2.27). Para isso calcula-se
inicialmente as componentes nao nulas do sımbolo de Christoffel, (2.6), que neste caso sao
dadas por
Γxrx = Γyry = Γzrz = Γtrt = −1
2A′(r), (2.28)
Γrxx = Γryy = Γrzz = −Γrtt =1
2e−A(r)A
′(r), (2.29)
e
Γrθθ =1
2R2
0e−B(r)B
′(r); Γθrθ = −1
2B′(r) (2.30)
28
Resumindo um pouco a quantidade de equacoes e suprimindo, portanto, as componentes
do tensor de Ricci, uma vez que os calculos muito se assemelham ao que se fez em cinco
dimensoes, pode-se exibir diretamente as componentes nao nulas do tensor de Einstein
Gxx = Gyy = Gzz = −Gtt =1
4e−A(r)
(6A
′2 + 3A′B′+B
′2 − 2(3A′′
+B′′))
(2.31)
Grr =3
2A′2(r) + A
′B′
(2.32)
Gθθ =1
2R2
0e−B(r)(5A
′2(r)− 4A′′) (2.33)
Assumindo-se para o tensor momentum energia a expressao (2.4) as equacoes de
Einstein (2.3), (2.31), (2.32) e (2.33) resultam, de forma geral 1
1
4
(6A
′2 + 3A′B′+B
′2 − 2(3A′′
+B′′))
= κ25
(1
2φ′2 + V (φ)
)+ Λ (2.34)
3
2A′2(r) + A
′B′= κ2
5
(3
2φ′2 + V (φ)
)+ Λ (2.35)
e1
2(5A
′2(r)− 4A′′) = κ2
5
(1
2φ′2 + V (φ)
)+ Λ (2.36)
as quais nao diferem muito do que se obteve em cinco dimensoes. No entanto no que se
refere a localizacao de campos e a estabilidade esta solucao em seis dimensoes se mostra
mais vantajosa em relacao a solucao de cinco dimensoes, como sera visto. A seguir serao
ilustradas duas possıveis solucoes para este sistema de equacoes. No primeiro caso a
solucao corresponde a uma 4-brana espessa e no segundo caso tem-se o correspondente
do modelo RS em seis dimensoes
2.2.1 Solucao do tipo brana espessa
A brana obtida aqui como solucao das equacoes de Einstein (2.34 - 2.36)pode ser clas-
sificada como topologicamente nao trivial, conforme classificacao dada em Dzhunushaliev
[44] pois e gerada por um unico campo escalar, conforme discutido acima. Para obter
uma solucao do tipo 4-brana espessa admitir-se-a o caso especial em que A(r) = B(r).
Com esta simplificacao, a metrica (2.27) equivale a um defeito tipo corda local conforme
1Poderıamos ao inves do tensor momentum energia nos referir a Lagrangeana 2.16 que tambem car-acteriza o campo real.
29
descricao dada no trabalho de Oda [6], embora como sera visto a solucao encontrada
aqui nao seja um defeito topologico. Alem disso, naquele artigo o autor optou pelo
ansatz A(r) = cr, em que c e uma constante. Portanto o trabalho aqui representa uma
generalizacao daquele, sendo esta abordagem inedita na literatura, fato que justifica a
elaboracao de um trabalho o qual foi publicado na revista Physics Letter B, sob o tıtulo
”Brane bounce-type configurations in a string-like scenario”, [27].
Para o caso A(r) = B(r) as equacoes (2.31), (2.32) e (2.33) assumem a forma mais
simples a seguir1
2(5A
′2(r)− 4A′′) = −κ2
6
(1
2φ′2 + V (φ)
)− Λ (2.37)
5
2A′2(r) = κ2
6
(1
2φ′2 − V (φ)
)− Λ. (2.38)
Resalve-se que neste caso preferiu-se usar a assinatura −,+,+,+, que esta de acordo com
[27].
Estas equacoes, descontando-se a diferenca de sinais em virtude da assinatura da
metrica sao as mesmas que se encontrou no caso da solucao tipo bounce, quais sejam,
(2.17) e (2.18), com diferencas apenas nos fatores que multiplicam as derivadas de A.
Portanto a solucao para A(r) e a mesma que foi obtida para a solucao do tipo parede
de domınio, (2.21), sendo o potencial tambem equivalente ao caso da solucao em cinco
dimensoes, (2.24). Cabe, portanto, a pergunta: que tem esta solucao a oferecer alem
do que ja se obtem em cinco dimensoes? Sem querer detalhar todos os pormenores da
diferenca que pode haver entre os dois modelos, para o escopo desta tese importa saber
que para determinados modelos nos quais a localizacao de certos campos nao e possıvel
em cinco dimensoes, a simples generalizacao destes para seis dimensoes torna possıvel a
localizacao . Um exemplo disso e a localizacao do campo de gauge que so e possıvel com
a adicao de um campo auxiliar na teoria, em cinco dimensoes [43], entretanto pode ser
localizado em seis dimensoes apenas atraves da interacao gravitacional, como pode ser
visto em Oda [6] e sera revisto aqui no capıtulo sobre localizacao. Esta, portanto, e a
principal razao do interesse em estudar o mesmo modelo em cinco o seis dimensoes, neste
trabalho.
Retornado as equacoes (2.37) e (2.38), φ representa o campo escalar que gera a brana,
o qual sera dado por
φ(r) = ν tanh(ar) , (2.39)
com a2 ≡ λν2/2. O potencial corresponde ao modelo λφ4, ou seja, V (φ) = λ4(φ2 − ν2)2.
30
Assim, a partir das equacoes (2.37) e (2.38) encontra-se para a funcao A(r) a equacao
diferencial A′′
=κ264φ′2 cuja solucao e
A(r) = β ln cosh2(ar) +β
2tanh2(ar) (2.40)
onde β = 13κ2
6ν2. Um perfil do fator de warp e−A(r) e dado na figura (3). O grafico
se apresenta deslocado da origem, no entanto foi apenas para enaltecer visualmente que
representa uma brana com espessura nao negligenciavel. O mesmo apresenta um pico
onde se localiza a brana, alem disso e finito, ou seja e−A(r) → 0 para r → ∞. Isto
0 2 4 6 8 10r
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0e-A HrL
Figura 3: Perfil do fator de warp e−A(r) para β = 1; a = 1
assegura que a relacao entre as escalas de Plank reduzidas em quatro (Mp) e seis (M6)
dimensoes dada a seguir e finita (2.41),
M2p = 2πM4
6
∫ ∞0
dre−3/2A(r), (2.41)
o que qualifica o modelo como potencial canditado a resolver o problema da hierarquia, o
que vem a ser uma das razoes, embora nao a unica, de se estudar modelos com dimensoes
extras [10].
No que concerne as condicoes de energia pode ser observado a partir das componentes
t0, tr, tθ que dependendo dos valores das constantes presentes na definicao do campo
escalar, estas componentes podem ser positivas, assegurando a satisfacao das referidas
condicoes. Na figura 4 tem-se os perfis das componentes t0(r) = tθ(r) e na figura 5 tem-se
a componente tr(r). Percebe-se que a depender dos valores escolhidos para v tais com-
ponentes podem ser positivas ou negativas. Por isso pode-se afirmar que a configuracao
de bounce assegura a satisfacao das condicoes de energia, o que qualifica o modelo como
fisicamente aceitavel. Isto vem a ser um resultado destacavel em comparacao com o mod-
elo de Koley [45], por exemplo, em que as condicoes de energia nao sao satisfeitas. Nisso
reside tambem outra vantagem de considerar a solucao do tipo bounce em seis dimensoes,
ao inves de cinco dimensoes como proposto inicialmente por Kehagias e revisto aqui na
subsecao 2.1.1.
31
2 4 6 8 10r
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0t0@rD
Figura 4: Perfil de t0(r) = tθ(r) parav = −1 (linha cheia), e para v = 1 (linhaseccionada)
2 4 6 8 10r
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0tr@rD
Figura 5: Perfil de tr(r) para v = 1 (linhacheia), e para v = −1 (linha seccionada)
Quando for abordada a localizacao de campos no capıtulo (4) sera realizada a lo-
calizcao dos campos escalar, de gauge e o campo fermionico no modelo acima descrito.
Nao e possıvel dizer que esta solucao seja um defeito topologico pois sendo em seis di-
mensoes ela teria de representar o defeito tipo corda para merecer tal denominacao. No
entanto, conforme revisao dada na proxima subsecao, a solucao obtida acima poderia ser
valida apenas em uma regiao exterior ao nucleo da brana exigindo-se que em seu interior
fossem validas as condicoes (2.46), as quais determinam um defeito tipo corda. Assim
seria possıvel falar de um defeito tipo corda ate mais realista do que a que se considera em
Oda [6], que sera revista a seguir. No entanto, preferiu-se assumir uma 4-brana em que
a dimensao compacta e pequena o suficiente para que nela seja valida a fısica do modelo
padrao [45].
2.2.2 Defeito tipo corda
Uma vez que o universo conhecido pode ser identificado com um defeito topologico,
precisamente uma parede de domınio, em um bulk com cinco dimensoes, e natural inquirir
sobre a possibilidade de outros defeitos topologicos em um bulk com mais dimensoes extras
poderem ser identificados com o universo do modelo padrao. Daı surgirem, por exemplo,
os modelos que consideram a existencia de defeito tipo corda e monopolo em espaco-tempo
com dois e tres dimensoes extras, respectivamente [37]. O interesse principal aqui reside na
descricao do defeito tipo corda uma vez que os estudos feitos aqui se restringem a modelos
de brana em seis dimensoes 2. Alguns dos primeiros trabalhos na tentativa de obter o
2Os modelos de cinco dimensoes, como se ver, tem sido estudados como forma de obter os devidosconhecimento para o desenvolvimento do trabalho principal da tese.
32
que hoje se denomina defeito tipo corda em um bulk com duas dimensoes espaciais extras
foram realizados por [34, 37, 46, 47]. No que se refere ao estudo de localizacao de campos
em um defeito tipo corda Gherghetta [10], estudou o modo zero e os modos massivos para
gravidade, Oda [6] estudou a localizacao do modo zero para os campos escalar, vetorial e
fermionicos de spin 1/2 e 3/2 alem da gravidade; estudou ainda os modos massivos para
os campos escalar e vetorial [12].
O estudo da localizacao de fermions tambem foi realizado por Liu et al. [48]. A seguir
e apresentada um defeito tipo corda como solucao das equacoes de Einstein seguindo o
desenvolvimento efetuado em [6]. A localizacao do campo de Kalb-Ramond foi obtida
ao longo do desenvolvimento desta tese e tal estudo se encontra publicado sob o tıtulo
”Tensor gauge field localization on a string-like defect”[16].
A metrica 2.27, como ja foi dito, e compatıvel com um defeito tipo corda. Gherghetta
[10] considera uma solucao com uma 3-brana na origem da dimensao extra, r = 0, como
sera considerado aqui. Similar modelo e considerado por Oda [6]. Assumir-se-a para o
tensor momentum energia o ansatz
T µν = δµν t0(r), T rr = tr(r), Tθθ = tθ(r) (2.42)
onde ti(i = o, r, θ) sao funcoes apenas de r, a coordenada radial. Este ansatz garante
simetria esferica. Para este cenario, no caso sem fonte (ti = 0), as equacoes de Einstein
para A = B = cr, sendo c uma constante, tem como solucao um defeito tipo corda local
com
c2 =2
5(−Λ) (2.43)
exigindo que se tenha Λ < 0. Esta solucao e facilmente obtida das equacoes (2.34), (2.35) e
(2.36) substituindo-se as componentes do tensor energia momentum nestas equacoes pelo
ansatz 2.42. Neste caso a solucao para o fator de warp resulta e−cr, o que equivale, por
assim dizer, a uma generalizacao do modelo RS para seis dimensoes. No caso tr = −tθ,que representa uma quebra espontanea de simetria [6, 37] obtem-se como solucao um
defeito tipo corda global
c1 = c− 8
pcκ2Dtθ (2.44)
c2 =1
p(p+ 1)(−8Λ + 8κ2
Dα) > 0 (2.45)
onde A(r) = cr e B(r) = c1r.
Vale ressaltar que estas solucoes sao validas apenas fora do nucleo da corda. Dentro do
nucleo, para que se tenha a solucao do tipo corda e necessario que as seguintes condicoes
33
sejam satisfeitas
(e−
12B(r))′|ε0 = − δ
2π;(e−
12B(0))′|ε0 = 1; e−B(ε) = 0 (2.46)
onde δ e o defice angular e ε e um pequeno raio contendo a brana. Estas condicoes de
contorno nao sao de grande relevancia quando se esta interessado apenas na localizacao
de campo, [6].
Neste modelo tambem e possıvel resolver o problema da hierarquia, como no caso
do modelo RS em cinco dimensoes. Alem disso, ao contrario do que ocorre em cinco
dimensoes, nesse caso nao ha necessidade de ajuste fino entre a constante cosmologica
no bulk e a tensao na brana. Isto se deve ao fato de que no caso de cinco dimensoes
o espaco unidimensional na parede de domınio e flat equanto que em seis dimensoes o
espaco bidimensional ao redor da corda cosmica pode ser curvo, [10].
Apesar desta solucao ser um defeito tipo corda, na pratica ela funciona como se fosse
uma 4-brana tendo em vista que o fator que multiplica a dimensao extra compacta θ,
e e−cr ou e−c1r, portanto nao obedece as condicoes (2.46). E neste sentido que se afir-
mou que o modelo proposto na subsecao 2.2.1 pode ser modificado para comportar uma
3-brana que na linguagem desta subsecao corresponde a um defeito tipo corda local em
quatro dimensoes, mas tendo como solucao externa o perfil de brana espessa la determi-
nado. Um tal modelo uma vez construido seria, obviamente, uma generalizacao deste que
descrevemos nesta subsecao (2.2.2).
Com isto encerra-se este capıtulo. No proximo os modelos que foram estudados aqui
serao generalizados para o caso em que a metrica e anisotropica e as equacoes de Einstein
suportam solucoes de branas geradas por ondas estacionarias.
34
3 SOLUCOES DE ONDASESTACIONARIAS PARABRANAS ANISOTROPICAS
A suposicao de que o universo conhecido e isotropico, embora esteja de acordo com
o que se observa em larga escala, deixa sem respostas algumas perguntas intrigantes e
relevantes, tais como: porque nosso universo e isotropico hoje uma vez que ele deve ter
sido anisotropico em seu estagio inicial? A mais comum resposta dada pela cosmologia
e que a expansao exponencial (inflacao) no universo primordial eliminaria a anisotropia.
No entanto, tem sido mostrado que modelos realısticos de universo inflacionario tem ex-
pansao aproximadamente, mas nao exatamente exponencial [49]. Por outro lado Watan-
abe, Kanno e Soda mostraram que em um modelo com expansao aproximadamente expo-
nencial persiste alguma anisotropia [50]. Alem disso, se na teoria de Friedman-Lamaıtre-
Robertson-Walker (FLRW), que descreve o universo conhecido e implementada uma per-
turbacao encontram-se novos modelos que seriam mais importantes em epocas iniciais
do que o modelo FLRW, ou, dizendo de outra maneira, flutuacoes estatısticas puras em
FLRW nao colapsam rapido o suficiente para formar as galaxias observadas hoje [17].
Se ha razoes para estudar anisotropia no universo, igualmente ha razoes para estudar
modelos de branas anisotropicas, uma vez que os modelos de brana tem todos a pretensao
de representar o universo. Neste sentido e possıvel encontrar uma gama variada de trabal-
hos que descrevem mundo brana em cenarios anisotropicos, [18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25].
Hoogen e Ibanez [20] consideram um modelo de brana anisotropico do tipo Bianchi II em
que a fonte e uma combinacao de um fluido perfeito com um campo escalar minimamente
acoplado, o qual e restrito a se propagar apenas na brana. Um dos resultados desse tra-
balho e que a dinamica inicial do modelo e determinada pela energia cinetica do campo
escalar. Ja Fabbri et al. [21] consideram um mundo brana anisotropico do tipo Bianchi
I e mostram que em um bulk estatico um tal modelo nao suporta um fluido perfeito, em
geral, embora haja situacoes em que tal brana pode ser embebida em um fluido perfeito.
35
De maneira geral a grande maioria dos estudos de brana anisotropica estao interessado na
cosmologia dos modelos, nao ha preocupacao quanto ao estudo de localizacao de campos,
excessao feita ao trabalho de Merab [18] cuja extensao para seis dimensoes sera realizada
neste capıtulo. Este modelo, recente na literatura, descreve um cenario exotico em que a
brana e gerada por ondas gravitacionais estacionarias, sendo a fonte o campo escalar do
tipo fantasma, ou seja, com um sinal negativo em frente ao termo cinetico na Lagrangiana
[8, 9, 18]. Como sera visto aqui o modelo original ja foi por nos generalizado, inclusive
para seis dimensoes, e se encontra submetido ao PRD sob o tıtulo ”A 6D standing-wave
Braneworld”, [29].
Para o estudo do modelo anisotropico considerado aqui inicia-se pela metrica que
generaliza aquela usada na secao (2.1), precisamente a metrica (2.7)
ds2 = eA(r)(dt2 − eu(r,t)dx2 − eu(r,t)dy2 − e−2u(r,t)dz2
)− dr2 (3.1)
onde A(r) e uma funcao que depende apenas de r e u = u(r, t) e a funcao que determina
a anisotropia e depende de t e r.
Nas expressoes a seguir, o ponto representa derivada com relacao ao tempo enquanto
que a linha representa derivada com relacao a variavel extra r. Os termos nao nulos da
conexao para esta metrica sao
Γxtx = Γyty =1
2u; Γztz = −u (3.2)
Γxrx = Γyry =1
2(A′+ u
′); Γzrz =
1
2(A′ − 2u
′); Γtrt =
1
2A′, (3.3)
Γtxx = Γtyy =1
2euu; Γtzz = −1
2e−2uu; (3.4)
e
Γrxx = Γryy = −1
2eA+u(A
′+ u
′); Γrzz = −1
2eA−2u(A
′ − 2u′); Γrtt =
1
2eAA
′. (3.5)
A partir destes calculam-se as componentes nao nulas do tensor de Ricci
Rxx = Ryy = −1
2eA+u
(2A
′2 + A′′ − e−Au+ 2A
′u′+ u
′′)
(3.6)
Rzz = −1
2eA−2u
(2A
′2 + A′′
+ 2e−Au− 4A′u′ − 2u
′′)
(3.7)
36
Rtt =1
2eA(
2A′2 + A
′′ − 3e−Au2)
(3.8)
Rrt = −3
2uu′
(3.9)
Rrr =1
2
(−2A
′2 − 4A′′ − 3u
′2)
(3.10)
Enquanto isso o escalar de curvatura le-se
R = 5A′2 + 4A
′′+
3
2
(−e−Au2 + u
′2)
(3.11)
Finalmente as equacoes de Einstein resultam
Gxx = Gyy =
(1
4eA+u
)(
6A′2 + 6A
′′ − 3e−Au2 + 2e−Au− 4A′u′+ 3u
′2 − 2u′′)
= κ25Txx − gxxΛ (3.12)
Gzz =
(1
4eA−2u
)(
6A′2 + 6A
′′ − 3e−Au2 − 4e−Au+ 8A′u′+ 3u
′2 + 4u′′)
= κ25Tzz − gzzΛ (3.13)
Gtt = −3
4eA(
2A′2 + 2A
′′+ e−Au2 + u
′2)
= κ25Ttt − gttΛ (3.14)
Grt = −3
2uu′= κ2
5Trt (3.15)
Grr =3
4
(2A
′2 − e−Au2 − u′2)
= κ25Trr − grrΛ (3.16)
onde o tensor energia momentum nao esta determinado, em princıpio. No entanto, pela
equacao (3.15) verifica-se que no caso de a fonte ser um campo escalar ele deve ser do
tipo fantasma. A proposito, o tensor momentum energia para um campo escalar do tipo
37
fantasma, em cinco dimensoes, e dado por
TMN = −∂MΦ∂NΦ + gMN1
2∂CΦ∂CΦ + gMNV (Φ) (3.17)
o qual pode ser obtido da Lagrangeana geral para um campo fantasma, para a metrica
com assinatura (+,−,−,−,−) [51] que e considerada nesta secao
Lp = −gMN 1
2∇MΦ∇NΦ− V (Φ). (3.18)
A partir de (3.17), para o caso V (Φ) = 0 as equacoes de Einstein (2.3) podem ser reescritas
como
RMN = −κ25∂Mφ∂Nφ+
2
3gMNΛ (3.19)
cujas componentes nao nulas sao dadas por
Rxx =2
3eA+uΛ = Ryy (3.20)
Rzz =2
3eA−2uΛ (3.21)
Rtt = −κ25φ
2 − 2
3ΛeA (3.22)
Rrt = −κ25φφ
′(3.23)
Rrr = −κ25φ′2 +
2
3Λ (3.24)
A seguir serao apresentadas algumas solucoes para as equacoes de Einstein a comecar
pelo modelo de Merab [18] que sera discutido na proxima subsecao.
3.1 Brana gerada a partir de ondas gravitacionais
estacionarias em cinco dimensoes
O modelo aqui descrito representa uma generalizacao do modelo RS uma vez que
apresenta anisotropia, mas no limite u → 0, no que se refere ao ansatz para a metrica,
resulta igual ao modelo RS para A(r) = 2a|r|. A solucao apresentada aqui segue aquela
apresentada originalmente em [18], portanto considerar-se-a apenas ondas estacionarias
”se propagando para a direita”, ou seja, A(r) = 2ar. Com isso a metrica (3.1) assume a
forma mais simples
ds2 = e2ar(dt2 − eu(r,t)dx2 − eu(r,t)dy2 − e−2u(r,t)dz2
)− dr2 (3.25)
38
onde a e uma constante. Percebe-se pela metrica que a mesma e uma combinacao do
modelo RS, atraves do fator de warp e2ar com os termos anisotropicos eu(r,t), e−2u(r,t)
os quais deformam as coordenadas x, y, z da metrica. Como sera visto a funcao u(r, t)
tem nos em pontos especıficos de r nos quais o espaco tempo torna-se efetivamente AdS.
Levando-se os campos de materia a se ligar a estes nos tem-se finitos ou infinitos universos-
ilhas. Uma vez que se move para longe desses nos havera alongamento/encolhimento nas
direcoes x, y, z dependendo do sinal de u. Essa caracterıstica da metrica sera utilizada
posteriormente no estudo da localizacao de campos neste setup.
As componentes do tensor de Ricci (3.6 - 3.10), para A = 2ar, resultam
Rxx = Ryy = −1
2e2ar+u
(8a2 − e−2aru+ 4au
′+ u
′′)
(3.26)
Rzz = −1
2e2ar−2u
(8a2 + 2e−2aru− 4au
′ − 2u′′)
(3.27)
Rtt =1
2e2ar
(8a2 − 3e−2aru2
)(3.28)
Rrt = −3
2uu′
(3.29)
Rrr =1
2
(−8a2 − 3u
′2)
(3.30)
Comparando-se (3.23) e (3.29) conclui-se que se deve ter
φ =
√3
2κ25
u (3.31)
agora pela comparacao de (3.26) e (3.20), fazendo-se Λ = −6a2 encontra-se para u, e
consequentemente para φ, a seguinte equacao diferencial
−e−2aru+ 4au′+ u
′′= 0 (3.32)
O interesse aqui reside em encontrar uma solucao do tipo onda estacionaria para esta
equacao. Para isso as variaveis devem ser separadas com a escolha
u(r, t) = Csen(ωt)f(r) (3.33)
39
onde C e ω sao constantes. Com isso a equacao diferencial para a funcao f(r) assume a
forma
f′′
+ 4af′+ ωe−2arf = 0 (3.34)
cuja solucao e imediata
f(r) = Ae−2arJ2
(ωae−ar
)+Be−2arY2
(ωae−ar
)(3.35)
onde A e B sao constantes de integracao, J2 e Y2 sao as funcoes de Bessel de ordem 2, do
primeiro e segundo tipo, respectivamente. Normalmente na resolucao de problemas fısicos
a solucao que equivale a Y2 e dispensada de imediato em virtude desta funcao apresentar
divergencia na origem. No entanto, a presenca de e−ar no argumento de Y2 previne a
existencia de divergencia e portanto a solucao geral pode ser mantida, em princıpio. No
entanto, assumindo-se que u(t, 0) = 0 e necessario que A ou B seja zero uma vez que os
zeros das funcoes J2, Y2 nao coincidem. Para que se tenha u(t, 0) = 0 e necessario ainda
queω
a= X2,n (3.36)
onde X2,n representa o n-esimo zero de J2, Y2 dependendo se A ou B e nulo. Vale ressaltar
ainda que a condicao 3.36 quantiza as frequencias de oscilacao, ω.
Agora que se obteve a solucao para u pode-se melhor analisar o comportamento
assintotico da metrica (3.25). Para a > 0 e grandes valores de r, a funcao u tende a
zero, resultando em um espaco AdS multiplicado por um fator e2ar. No caso a < 0, uma
vez que se desloca dentro do bulk, distancias ao longo das direcoes x, y crescem com e2ar
enquanto que na direcao z essas distancias decrescem com e−2ar .
Alem disso a funcao u e oscilatoria em r assumindo o valor zero sempre que f(r) = 0.
Em cada um desses valores rm a metrica 3.25 se torna a ja conhecida metrica do modelo
RS. A este comportamento oscilatorio da funcao u associam-se as ”ilhas-univeros”AdS
dentro do bulk. Para o fator de warp crescente, a > 0, em ambos os casos A = 0 ou
B = 0 a funcao f e consequentemente u tem n+ 1 zeros correspondendo a n+ 1 ”ilhas”.
No caso de um fator de warp decrescente, a < 0 a quantidade de ilhas e infinita.
Em um posterior capıtulo se mostrara como essas ”ilhas”de AdS podem localizar cam-
pos. A esse respeito e importante destacar o mecanismo atraves do qual se pode localizar
campos neste modelo de ondas gravitacionais estacionarias. Dois possıveis mecanismos
sao sugeridos no modelo original: no primeiro assume-se que as ondas gravitacionais esta-
cionarias confinam materia de forma analoga ao confinamento possibilitado por ondas
eletromagneticas estacionarias, ou seja, atraves de forcas de quadrupolo. O outro mecan-
40
ismo seria um possıvel acoplamento entre o campo do tipo fantasma e o campo de materia.
Este acoplamento seria tal que faria com que as partıculas se congregassem nas regioes
em que o campo fantasma e nulo, ou seja, nas ”ilhas”de AdS.
O modelo de Merab conforme apresentado aqui e construido a partir de um campo
escalar (do tipo) fantasma. Modelos construıdos a partir esse tipo de materia normal-
mente apresentam problemas de estabilidade e nao obedecem as condicoes de energia,
particularmente a condicao forte. Para sanar esta dificuldade o campo do tipo fantasma
e identificado com o escalar de Weyl e uma vez que o modelo de Weyl e estavel conclui-se
que o modelo em estudo aqui tambem goza de tal caracterıstica. De fato, embora os au-
tores nao mostrem, o modelo nao apresenta problemas de energia infinita como acontece
em alguns modelos com campo fantasma mas e possıvel mostrar, ao menos esquemati-
camente, que as condicoes de energia nao sao obedecidas neste modelo. De fato para
a metrica 3.25 as componentes (parcialmente) positivas do tensor 3.17 sao Txx, Tyy, Tzz
enquanto que a componente Trr e completamente negativa, bem como a densidade de en-
ergia. Para ilustrar segue abaixo um esquema das componentes 〈Ttt〉 e 〈Txx〉. O sımbolo
〈〉 indica media temporal. Como pode ser visto a densidade de energia (a componente Ttt
1 2 3 4 5r
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
Ttt
Figura 6: Perfil de 〈Ttt〉 , a = 1, ω = 3, 38
1 2 3 4 5r
-0.5
0.5
1.0
1.5
Txx
Figura 7: Perfil de 〈Txx〉 , a = 1, ω = 3, 38
do tensor momentum energia) e completamente negativa ou nula, enquanto que a compo-
nente Txx tem apenas uma pequena parte negativa, o mesmo acontecendo com Tyy, Tzz.
A componente Trr como ja foi dito, e completamente negativa o que leva a violacao de
todas as condicoes de energia. Como sera visto quando este modelo for generalizado pra
seis dimensoes, essas grandezas variam com a variacao dos valores de a e ω mesmo que
a razao entre elas permaneca constante. De acordo com as definicoes dadas no apendice
(6) trata-se de materia exotica pois viola ate a condicao nula - NEC.
Com isso se encerra esta breve descricao da obtencao de um mundo brana gerado
41
por ondas gravitacionais estacionarias. Em quatro dimensoes ha solucoes de ondas esta-
cionarias para as equacoes de Einstein no vacuo e na presenca de uma parede de domınio
([28]). Na proxima subcecao sera apresentada para o sistema de equacoes (3.12 - 3.16)
uma tentativa de se obter uma solucao de vacuo.
3.2 Outras solucoes
Inspirado por resultados obtidos em quatro dimensoes em que se obtem solucoes do
tipo ondas estacionarias tanto no vacuo quanto em uma parede de domınio [28], foram
realizadas algumas tentativas neste sentido, em cinco dimensoes. A primeira tentativa
consiste em verificar se este modelo e compatıvel com uma solucao dinamica de vacuo,
seja uma solucao do tipo Kasner ([52] - pagina 178) ou do tipo ondas estacionarias. Pode-
se resolver o problema de forma mais geral considerando-se o caso em que, TMN = 0, no
entanto ainda na presenca da constante cosmologica. A equacao 3.15 exige que se tenha
u′= 0 ou u = 0. Fazendo-se u independente de de r o sistema (3.12 - 3.16) e simplificado
para
Gxx = Gyy =
(1
4eA+u
)(
6A′2 + 6A
′′ − 3e−Au2 + 2e−Au)
= gxxΛ (3.37)
Gzz =
(1
4eA−2u
)(
6A′2 + 6A
′′ − 3e−Au2 − 4e−Au)
= gzzΛ (3.38)
Gtt = −3
4eA(
2A′2 + 2A
′′+ e−Au2
)= gttΛ (3.39)
Grt = 0 (3.40)
Grr =3
4
(2A
′2 − e−Au2)
= grrΛ (3.41)
42
Pretende-se verificar se o sistema de equacoes, (3.37 - 3.41), admite uma solucao
dinamica de vacuo, nas condicoes que foi especificado cima. Para isso subtrai-se a equacao
(3.37) de (3.38), depois de ter multiplicado ambos os lados das mesmas por eA+u e eA−2u,
respectivamente. Fazendo isso encontra-se u = 0 o que implica em u(t) = b.t + t0, onde
b e t0 sao constantes de integracao. Uma equacao para a funcao A e obtida depois de
subtrair (3.39) de (3.41) resultando
A′′(r) + 2A
′2(r)− 4
3Λ = 0 (3.42)
onde Λ e a constante cosmologica do bulk. A solucao geral para esta equacao e
A(r) =1
2log
[cosh
(√2Λ
3(2r − 3C1)
)]+ C2 (3.43)
em que C1 e C2 sao constantes de integracao.
Esta solucao nao difere muito da que foi encontrada na secao anterior, uma vez que
ainda representa uma solucao com fator de warp crescente. Alem do mais, considerando-
se Λ = 0, para que se tenha realmente o vacuo, encontra-se-ia A(r) = C, sendo C uma
constante o que naturalmente nao e uma solucao significativa. Na verdade ela implica
que se deve ter t0 = 0 e u(t) = b. Portanto esta e uma solucao estatica ao contrario do
que se esperava obter. Conclui-se que a partir da metrica (3.1) nao e possıvel encontrar
uma solucao dinamica de vacuo para as equacoes de Einstein. Por fim, mesmo no caso
em que se considere Λ nao nulo, segundo a solucao encontrada acima, nao ha dependencia
temporal em u. E possıvel mostrar ainda a impossibilidade de se encontrar uma solucao
dinamica para este conjunto de equacoes na presenca de um campo escalar ”fısico”ou
”canonico”(aquele cujo sinal no termo cinetico da Lagrangeana e o contrario do que se
tem para o campo escalar fantasma), em cinco dimensoes, pois para isso seria necessario
considerar (3.40) como sendo nulo o que implicaria na necessidade de se ter Φ = 0 ou
Φ′
= 0 o que iria levar a uma situacao semelhante ao que se encontrou acima. Mas
como sera visto em seis dimensoes e possıvel encontrar solucoes com um fator de warp
suave, ou seja, solucoes do tipo brana espessa e mesmo com densidade de energia positiva
especificando-se uma fonte apropriada.
Em suma, para se obter uma solucao do tipo onda estacionaria nos modelos anisotropicos
aqui estudados e necessario que a fonte seja um campo escalar do tipo fantasma. A seguir
serao consideradas solucoes em seis dimnesoes e nestas sera feito um esforco no sentido de
procurar alguma configuracao de materia que possa gerar solucao do tipo brana espessa
43
e principalmente alguma solucao que satisfaca as condicoes de energia.
3.3 Branas geradas a partir de ondas gravitacionais
estacionarias em seis dimensoes
Um dos principais objetivo desta tese e a generalizacao do modelo de Merab revisado
aqui na secao (3.1) para seis dimensoes tendo em vista a possibilidade de se obter um mod-
elo mais eficiente na localizacao de campos do que o referido modelo em cinco dimensoes e
com isso obter uma geometria que possibilite a localizacao dos campos do modelo padrao
apenas por meio da interacao gravitacional. Concluıda esta parte e constatando que este
objetivo foi cumprido, inclusive obtendo-se a localizacao do campo fermionico, o que nao
foi possıvel em cinco dimensoes, surgiu o interesse de buscar um modelo que ao inves de
uma brana anisotropica fina pudesse ser identificado com uma brana espessa. A razao
disso e que, como ja foi dito, uma brana (membrana) com espessura se apresenta mais
realıstica, alem disso a espessura da brana e importante na localizacao de campos, par-
ticularmente dos modos massivos [6]. Para fechar os principais objetivos deste trabalho
restava obter uma solucao de ondas estacionarias na presenca de uma fonte normal 1.
Estes objetivos foram atingidos e nesta secao sera mostrado como e possıvel obter tais
cenarios. O estudo da localizacao dos campos ficara para o proximo capıtulo.
Em seis dimensoes o ansatz para a metrica anisotropica para o modelo aqui consider-
ado e dado pela expressao
ds2 = eA(dt2 − eudx2 − eudy2 − e−3udz2
)− dr2 −R2
0eB+udθ2, (3.44)
onde A(r) e B(r) sao funcoes de r , apenas, e u e funcao de r e t. Este ansatz generaliza
o defeito tipo corda global considerado em [11, 37].
Para nao ficar muito repetitivo o procedimento de obtencao das solucoes sera feita
uma reducao na quantidade de equacoes, portanto serao suprimindas as componentes nao
nulas da conexao. No entanto algumas expressoes sao indispensaveis para que se possa
compreender os resultados finais. Para as solucoes consideradas nesta secao, a exemplo
do que se fez em cinco dimensoes, e necessario expressar o tensor de Ricci. Eis portanto
1Vale sempre lembrar que uma fonte de materia e dia normal quando satisfaz as condicoes classicasde energia que sao revisadas aqui no apendice
44
as componentes nao nulas do tensor de Ricci, para a metrica (3.44)
Rxx = Ryy =
(−1
4eA+u
)(
4A′2 + 2A
′′+ A
′B′ − 2e−Au+ (4A
′+B
′)u′+ 2u
′′)
(3.45)
Rzz =
(1
4eA−3u
)(−4A
′2 − 2A′′ − A′B′ − 6e−Au+ 3(4A
′+B
′)u′+ 6u
′′)
(3.46)
Rtt =1
4eA(
4A′2 + 2A
′′+ A
′B′ − 12e−Au2
)(3.47)
Rrt =1
4u(A
′ −B′ − 12u′) (3.48)
Rrr =
(1
4
)(−4A
′2 −B′2 − 8A′′ − 2B
′′+ 2(A
′ −B′)u′ − 12u′2)
(3.49)
Rθθ =
(−1
4R2
0eB+u
)(B′2 + 2B
′′+ 4A
′B′ − 2e−Au+ (4A
′+B
′)u′+ 2u
′′)
(3.50)
Tao necessario quanto o conjunto de equacoes acima sao as equacoes de Einstein para a
compreensao das solucoes obtidas aqui. As componentes nao nulas do tensor de Einstein
sao
Gxx = Gyy =
(1
4eA+u
)(
6A′2 +B
′2 + 3A′B′+ 6A
′′+ 2B
′′+ 6(u
′2 − e−Au2) + 2e−Au− 5A′u′ − 2u
′′)
= κ26Txx + gxxΛ6 (3.51)
45
Gzz =
(1
4eA−3u
)(
6A′2 +B
′2 + 3A′B′+ 6A
′′+ 2B
′′+ 6(u
′2 − e−Au2)− 6e−Au+ (11A′+ 4B
′)u′+ 6u
′′)
= κ26Tzz + gzzΛ6 (3.52)
Gtt =
(1
4eA)
(−6A
′2 −B′2 − 3A′B′ − 6A
′′ − 2B′′ − 6(u
′2 + e−Au2) + (A′ −B′)u′
)= κ2
6Ttt + gttΛ6 (3.53)
Grt =1
4u(A
′ −B′ − 12u′) (3.54)
Grr =
(1
4
)(
6A′2 + 4A
′B′ − 6(u
′2 + e−Au2) + (A′ −B′)u′
)= κ2
6Trr + grrΛ6 (3.55)
Gθθ =
(1
4R2
0eB+u
)(
10A′2 + 8A
′′+ 6(u
′2 − e−Au2) + 2e−Au− 5A′u′ − 2u
′′)
= κ26Tθθ + gθθΛ6 (3.56)
Para encontrar uma brana anisotropica fina, o equivalente do modelo de Merab em seis
dimensoes, sera necessario considerar um campo escalar fantasma como fonte. Para um tal
campo a expressao do tensor momento-energia pode ser encontrado no inıcio deste capıtulo
(3), mas sera repetido aqui pra facilitar a consulta TMN = −∂MΦ∂NΦ + gMN12∂CΦ∂CΦ +
gMNV (Φ). A partir desta expressao pode-se, a maneira do que foi realizado tambem no
46
inıcio deste capıtulo, reescrever as equacoes de Einstein como 2
RMN = −κ26∂MΦ∂NΦ− 1
2gAB(κ2
6V (Φ) + Λ6) (3.57)
Solucoes para estas equacoes serao apresentadas a seguir. Na subsecao 3.3.1, logo a
seguir, sera obtida a solucao de ondas estacionarias com brana fina em seis dimensoes. Os
resultados obtidos nesta subsecao resultaram em um trabalho que se encontra submetido
a revista Physical Review D (PRD) sob o tıtulo ”A 6D standing-wave Braneworld”[29].
3.3.1 Solucao do tipo brana fina
O ponto de partida para obtencao da brana anisotropica em seis dimensoes semel-
hante ao modelo de Merab consiste em escolher uma metrica apropriada. Conforme
procedimento feito em cinco dimensoes, considera-se o conjunto de equacoes (3.45 - 3.50)
combinado com (3.57) para o caso A(r) = B(r) o que resulta
Rxx = Ryy =
(−1
4eA+u
)(
5A′2 + 2A
′′ − 2e−Au+ 5A′u′+ 2u
′′)
=1
2eA+uΛ6 (3.58)
Rzz =
(−1
4eA−3u
)(
5A′2 + 2A
′′+ 6e−Au− 15A
′u′ − 6u
′′)
=1
2eA−3uΛ6 (3.59)
Rtt =1
4eA(
5A′2 + 2A
′′ − 12e−Au2)
= −κ26Φ2 − 1
2eAΛ6 (3.60)
Rrt = −1
4u(12u
′) = −κ2
6ΦΦ′
(3.61)
2Esta e uma expressao geral, mas nas solucoes apresentadas nas proximas subsecoes o potencial V (Φ)sera considerado nulo.
47
Rrr =
(1
4
)(−5A
′2 − 10A′′ − 12u
′2)
= −κ26Φ′2 +
1
2Λ6 (3.62)
Rθθ =
(−1
4R2
0eA+u
)(
5A′2 + 2A
′′ − 2e−Au+ 5A′u′+ 2u
′′)
=1
2R2
0eA+uΛ6 (3.63)
A partir de 3.61 e necessario que se imponha Φ =√
3κ6u. Para que se tenha uma solucao do
tipo onda estacionaria semelhante ao que se obteve em cinco dimensoes a funcao u deve
obedecer a relacao
−e−Au+5
2A′u′+ u
′′= 0 (3.64)
Pelas equacoes (3.58), (3.59), (3.60) e (3.63) esta equacao para u exige que se tenha
Λ6 = −12(5A
′2 + 2A′′). No entanto esta condicao aplicada em (3.62) exige que se tenha
A′′(r) = 0. Assim a solucao possıvel para o fator de warp neste cenario e A = cr + c0.
Para que se tenha A(0) = 0 e para que se assemelhe mais ao modelo de cinco dimensoes
assume-se A(r) = 2ar. Com isso a metrica (3.44) assume a forma
ds2 = e2ar(dt2 − eudx2 − eudy2 − e−3udz2
)− dr2 −R2
0e2ar+udθ2. (3.65)
Enquanto isso a constante cosmologica e dada por Λ6 = −10a2 o que exige que se tenha
Λ6 < 0 para que a constante a seja real.
Pretende-se resolver (3.64) no caso em que A(r) = 2ar a qual resulta
−e−2aru+ 5au′+ u
′′= 0 (3.66)
Para resolver esta equacao inicialmente separa-se as variaveis r e t assumindo-se que se
possa escrever
u(r, t) = g(t)ρ(r) (3.67)
Para que (??) seja separavel basta que g(t) obedeca ao requisito basico: g ∝ g. Em outras
palavras, g(t) pode ser uma funcao exponencial, seno, cosseno..., do tempo. Assumindo-se
48
que g(t) satisfaca essa condicao, substituindo-se (3.67) em (??) encontra-se para a variavel
ρ(r)
ρ′′(r) + 5aρ
′(r) + α2e−2arρ(r) = 0 (3.68)
em que α e uma constante que resulta da derivada temporal de g.
Esta equacao pode ser reescrita atraves de uma mudanca de variavel e na nova variavel
ela se apresentara bem familiar. Seja entao
z =α
|a|e−ar; ρ = Fh (3.69)
onde F =(α|a|
)5/2
e−52ar. Com isso obtem-se a conhecida equacao de Bessel de ordem 5
2,
para a nova variavel z
∂2h(z) +1
z∂h(z) +
(1− 25
4
1
z2
)h(z) = 0 (3.70)
onde ∂ = ∂/∂z. A solucao geral desta equacao e dada por
h(z) = AJ 52(z) +BY 5
2(z) (3.71)
em que A e B sao constantes de integracao e J , Y sao as funcoes de Bessel do primeiro e
segundo tipo, respectivamente. Em termo da variavel r a solucao resulta
ρ(r) = C1e− 5
2arJ 5
2(α
|a|e−ar) + C2e
− 52arY 5
2(α
|a|e−ar) (3.72)
onde C1, C2 sao as novas constantes. Ate aqui a obtencao da funcao u atraves da relacao
(3.67) depende da especificacao de g. Como o objetivo aqui e obter uma solucao do tipo
onda escacionaria e natural que se faca opcao por u(r, t) = sen(ωt)ρ(r) onde ρ assume a
forma
ρ(r) = C1e− 5
2arJ 5
2(ω
|a|e−ar) + C2e
− 52arY 5
2(ω
|a|e−ar) (3.73)
que foi dada anteriormente com a diferenca apenas de substituir α por ω. Apesar desta
solucao ser muito semelhante aquela de cinco dimensoes, no que se refere a localizacao de
campos elas apresentam resultados diferentes, como sera visto.
A solucao acima e naturalmente oscilatoria na variavel r e a exemplo do que se viu
em cinco dimensoes considera-se que para r = 0 a razao ω|a| coincida com um zero de
alguma das funcoes de Bessel J 52, Y 5
2de forma que a funcao u se anule na origem. Cada
”no”corresponde a uma ilha AdS conforme interpretacao do trabalho original. Como se
encontra ilustrado nas proximas figuras a quantidade de nos e finita para a > 0 e infinita
no caso em que a < 0. Neste caso considerou-se ω = 12.3 e a = +1, a = −1 para as figuras
49
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0r
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
ΡHrL
Figura 8: Perfil de ρ(r) para a = 1 e ω =12, 3
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0r
-50
50
ΡHrL
Figura 9: Perfil de ρ(r) para a = -1 e ω =12, 3
(8) e (9), respectivamente. Em ambos os casos a razao ω|a| corresponde ao terceiro zero de
J 52. Como se ve no primeiro caso a quantidade de nos e finita enquanto que no segundo
caso esta mesma quantidade tende ao infnito. Considerando-se que os campos se localizam
nestes ”universo-ilhas”de AdS e suficiente considerar que se tenha uma quantidade finita
de zeros, portanto que a > 0.
Como se viu na secao (3.1) para evitar os problemas de instabilidade comuns em
modelos com campo do tipo fantasma, o modelo de ondas estacionarias em cinco dimensoes
foi inserido em uma geometria de Weyl. Aqui preferiu-se avaliar as componentes do
tensor momento-energia e mostrar que nao ha problemas de energia infinita, apesar de
tambem nao satisfazer as condicoes de energia. No entanto, para que se tenha um cenario
fisicamente aceitavel e suficiente que as componentes do tensor momentum-energia, bem
como o escalar de curvatura sejam finitos. Na figura (10) sao mostrados os perfis das
quantidades 〈Txx(r)〉 = 〈Tyy(r)〉 = 〈Tθθ(r)〉 = 〈Tzz(r)〉, 〈Trr(r)〉 e 〈Ttt(r)〉, de acordo
com a definicao do tensor momentum energia (3.17). Nessa figura assume-se os seguintes
valores para as constantes: C2 = 0, a = κ = R0 = 1 e C2 = 8/3, ω = 5.76, que equivale ao
primeiro zero da funcao J5/2. Na figura (11) foram plotadas as mesmas quantidades, mas
neste caso tem-se ω = 9.09, o que corresponde ao segundo zero de J5/2. Nas figuras (12)
e (13) a energia foi plotada mais uma vez, neste caso mantendo-se constante a razao ω/a,
enquanto ω, a variam. Um perfil do escalar de curvatura do bulk 〈R〉 e exibido na (12).
Nesse caso a frequencia ω assume os valores 5,76, 9,09 and 12,3, que sao os tres primeiros
zeros de J5/2. Finalmente, na figura (13) tem-se um esquema do escalar de curvatura em
4D R(4) para os mesmos valores de ω. O sımbolo 〈F 〉 representa a media temporal da
funcao F . A quantidade 〈ebu〉 que aparece em algumas componentes da metrica, como
50
sera visto ao se estudar a localizacao do campo escalar neste modelo, e dada por
〈ebu〉 = I0(bρ(r)), (3.74)
onde b e uma constante e I0 e a funcao de Bessel modificada de ordem zero. A funcao
ρ(r) e dada por (3.73) para C2 = 0. Como sera visto no capıtulo sobre localizacao para
b = −1 ou b = −3 esta quantidade varia pouco, sendo aproximadamente 1.
As figuras mostram que para o modelo proposto aqui nenhuma dessas importantes
quantidades, quais sejam, as componentes do tensor momento-energia e o escalar de cur-
vatura, sao infinitas, embora a fonte seja um campo do tipo fantasma. Nas figuras (10) e
(11), como ja foi dito, tem-se um esquema da media temporal das componentes do tensor
momento-energia, em que as constantes assumem os valores acima destacados. A linha
cheia representa 〈Ttt(r)〉, a linha seccionada representa 〈Trr(r)〉 e, finalmente, a linha
pontilhada representa 〈Txx(r)〉 = 〈Tyy(r)〉 = 〈Tθθ(r)〉 = 〈Tzz(r)〉. Como pode ser visto a
partir dessas figuras, a densidade de energia, independentemente do valor da razao ω/a, e
sempre negativa, convergindo para zero mais rapidamente para o primeiro zero da funcao
de Bessel. Por outro lado, as componentes da pressao apresentam perfis bem diferentes.
Enquanto que 〈Txx(r)〉 = 〈Tyy(r)〉 = 〈Tθθ(r)〉 = 〈Tzz(r)〉, oscilam entre valores positivos
e negativos, 〈Trr(r)〉 e sempre negativa. Vale destacar que densidade de energia positiva
com pressao negativa e tıpico de modelos gerados por campos do tipo fantasma [53], mas
no caso considerado aqui, como se verifica, a densidade de energia assume sempre valores
negativos o que mostra a natureza exotica da fonte, que nao e um campo fantasma no sen-
tido que se considera na literatura [8, 9, 26, 51], daı porque se diz que e do tipo fantasma.
Apesar destas caracterısticas nao ortodoxas, todas essas quantidades sao finitas o que e
menos problematico em comparacao com teorias, na presenca de campos fantasma, que
apresentam densidade de energia infinita. E importante ressaltar que a presenca de mod-
elos que nao satisfazem a condicao de energia dominante e comum na literatura. Pode-se,
por exemplo, citar a versao em 5D deste modelo [18], que conforme foi verificado nao
obedece a nenhuma das condicoes, como um dos casos em que esta condicao de energia
nao e satisfeita. Em modelos de brana em 6D tambem ha modelos que apresentam esta
caracterıstica heterodoxa, como o modelo proposto por Koley-Kar [45] e o defeito tipo
corda ja discutido aqui [10].
Pode-se observar nas figuras (12) e (13) que os valores das constantes a e ω podem
influenciar o perfil da densidade de energia mesmo no caso em que a razao ω/a e mantida
constante. Em ambas as figuras foi plotada a densidade de energia variando-se os valores
de a e ω enquanto que a razao ω/a = 5, 76 foi mantida fixa. Na figura (12) inicia-se com
51
a = 1 e ω = 5, 76 (linha seccionada), depois estes valores sao multiplicados por 2 (linha
pontilhada) e 3 (linha cheia). Ja na figura (11) inicia-se com os mesmos valores que em
(10) com a diferenca que estes valores agora sao divididos por 2 e 3, linhas pontilhada e
cheia, respectivamente. Os resultados mostram que ao se elevar os valores das constante,
figura (12), a densidade de energia tende a convergir para zero mais rapidamente mas isso
tendera a torna-la mais negativa proximo a origem. Por outro lado, como pode ser visto
na figura (13), se os valores das constantes decrescem, mantendo-se constante a razao
entre elas, tem-se o processo inverso no sentido em que a energia se torna menos negativa
proximo a origem, e no que se refere a convergencia a energia tende para valores constantes
mas diferente de zero. Tambem nestes casos, e isto e realmente o que se pretende mostrar
com essas figuras, nao ha problema de energia infinita.
Por fim, na figura (14) o escalar de curvatura do bulk foi plotado para diferentes
valores de ω: ω = 5, 76 (linha seccionada); ω = 9, 09 (linha pontilhada) e ω = 12, 3
para a linha cheia. Em todos os casos 〈R〉 e finito e positivo, tendendo a ser constante
assintoticamente. Na figura (15), que apresenta o perfil para R(4), percebe-se que na
origem, ou seja, na brana ele e nulo, no entanto fora da brana apresenta-se diferente de
zero e negativo. A exemplo do que se passa com a energia, o escalar de curvatura da
brana decresce com o aumento de ω. Neste ultimo grafico os valores assumidos por ω sao:
ω = 5, 76 (linha seccionada); ω = 9, 09 (linha pontilhada) e ω = 12, 3 (linha cheia).
A partir das figuras (10−15) percebe-se que este cenario e mais caracterıstico de uma
brana espessa que de uma brana fina, uma vez que a mesma se encontra na origem mas sua
influencia se extende para as vizinhancas. Este comportamento parece ser consequencia
da natureza exotica da fonte que a gera. Deve-se ressaltar mais uma vez que as figuras
representam a media temporal das quantidades em estudo. Portanto, e possıvel que
haja algum intervalo de tempo em que as condicoes de energia sejam satisfeitas. Esta
observacao e importante uma vez que a existencia de sistemas fısicos em que a condicao
de energia dominante e violada em certos intervalos de tempo e comprovada [51] .
Com isso se encerra esta subsecao. As solucoes aqui encontradas muito se assemelham
ao caso de cinco dimensoes, como nao poderia deixar de ser. Principalmente no que se
refere ao tensor momento-energia esta solucao em seis dimensoes se apresenta semelhante
ao modelo de Merab. Isto e importante pois o fato de o modelo de cinco dimensoes ser
estavel e de o modelo construıdo aqui, em seis dimensoes, ser semelhante sugere que este
tambem seja estavel. No entanto este modelo em seis dimensoes apresenta uma vantagem
sobre o modelo original que consiste no fato de ser mais eficiente na localizacao de campos,
52
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4r
-4
-2
2
4TMN@rD
Figura 10: Perfil de 〈T 〉 , ω = 5, 76. Alinha cheia representa 〈Ttt〉. A linha sec-cionada representa 〈Trr〉. A linha pontil-hada representa 〈Txx〉 = 〈Tyy〉 = 〈Tzz〉 =〈Tθθ〉.
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4r
-4
-2
2
4TMN@rD
Figura 11: Perfil de 〈T 〉 , ω = 9, 09. Alinha cheia representa 〈Ttt〉. A linha sec-cionada representa 〈Trr〉. A linha pontil-hada representa 〈Txx〉 = 〈Tyy〉 = 〈Tzz〉 =〈Tθθ〉.
por assim dizer. No proximo capıtulo isso sera evidenciado. No entanto este capıtulo
prossegue pois e necessario procurar outras solucoes para as equacoes de Einstein neste
cenario. Particularmente nas proximas subsecoes serao apresentadas solucoes de brana
espessa e solucoes que satisfacam as condicoes de energia.
53
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0r
-30
-25
-20
-15
-10
-5
T00@rD
Figura 12: Perfil de 〈T0〉 . ω = 5, 76 ea = 1 para linha seccionada; ω = 11, 52 ea = 2 para linha pontilhada; ω = 17, 28 ea = 3 para linha cheia.
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0r
-3.0
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
T00@rD
Figura 13: Perfil de 〈T0〉. ω = 5, 76 e a = 1para linha seccionada; ω = 2, 88 e a = 0, 50para linha pontilhada; ω = 1, 92 e a = 0, 33para linha cheia.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r
10
20
30
40
50R@rD
Figura 14: Perfil de 〈R〉. ω = 5, 76 (linhaseccionada), ω = 9, 09 (linha pontilhada),ω = 12, 3 (linha cheia)
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4r
-5
-4
-3
-2
-1
RH4L@rD
Figura 15: Perfil de 〈R(4)〉. ω = 5, 76(linha seccionada), ω = 9, 09 (linha pon-tilhada), ω = 12, 3 (linha cheia)
3.3.2 Solucao do tipo brana espessa
Nesta subsecao pretende-se resolver o conjunto de equacoes (3.51 - 3.56) de tal forma
que a solucao na forma de ondas gravitacionais estacionarias corresponda a uma brana
espessa na origem da coordenada r. Considerar-se-a o caso mais simples em que A = B.
Para melhorar a compreensao as equacoes de Einstein serao repetidas aqui
Gxx = Gyy =
(1
4eA+u
)(
10A′2 + 8A
′′+ 6(u
′2 − e−Au2) + 2e−Au− 5A′u′ − 2u
′′)
= κ26Txx + gxxΛ6 (3.75)
54
Gzz =
(1
4eA−3u
)(
10A′2 + 8A
′′+ 6(u
′2 − e−Au2)− 6e−Au+ 15A′u′+ 6u
′′)
= κ26Tzz + gzzΛ6 (3.76)
Gtt =
(1
4eA)
(−10A
′2 − 8A′′ − 6(u
′2 + e−Au2))
= κ26Ttt + gttΛ6 (3.77)
Grt =1
4u(−12u
′) = κ2
6Trt (3.78)
Grr =
(1
4
)(
10A′2 − 6(u
′2 + e−Au2))
= κ26Trr + grrΛ6 (3.79)
Gθθ =
(1
4R2
0eA+u
)(
10A′2 + 8A
′′+ 6(u
′2 − e−Au2) + 2e−Au− 5A′u′ − 2u
′′)
= κ26Tθθ + gθθΛ6 (3.80)
Neste caso o tensor momento-energia nao sera especificado a priori, ao contrario, sera
feita a suposicao de que a solucao procurada existe e de posse da solucao encontrar-se-
a as componentes do tensor momento-energia. Em seguida estas mesmas componentes
serao avaliadas quanto a satisfazer as condicoes de energia.
Como ja foi visto, para A = B uma equacao para u que possibilite uma solucao do
tipo onda estacionaria pode ser obtida das equacoes (3.75), (3.76) ou (3.80) e dada por
−e−Au+5
2A′u′+ u
′′= 0. (3.81)
Se isso for feito nas tres equacoes citadas acima e se for feita a escolha Λ6 = −14(10A
′2 +
8A′′), que tambem pode ser obtida na equacao (3.77), entao tudo leva a uma solucao na
55
presenca de um campo do tipo fantasma conforme foi obtido na subsecao anterior. Mas
isso iria exigir que a funcao A fosse linear em r e a pretensao de encontrar uma solucao
com brana espessa teria falhado. Ao inves disso exige-se que as derivadas da funcao A
satisfacam a relacao
A′′(r)− A′2(r) + Λ6 = 0, (3.82)
cuja solucao para Λ6 > 0 e, a menos de constantes de integracao
A(r) = − log[cosh
(√Λ6r)]
(3.83)
Este solucao implica em um fator de warp, eA, que representa uma brana espessa. Mas
para isso e necessario que as componentes do tensor momento-energia satisfacam as
relacoes
κ26Txx = κ2
6Tyy = −gxx(
3
2(u′2 − e−Au2) + (A′′ +
7
2A′2)
), (3.84)
κ26Tzz = −gzz
(3
2(u′2 − e−Au2) + (A′′ +
7
2A′2)
), (3.85)
κ26Ttt = −gtt
(3
2(u′2 + e−Au2) + (A′′ +
7
2A′2)
), (3.86)
κ26Trr = −grr
(−3
2(u′2 + e−Au2) + (
7
2A′2 − A′′)
), (3.87)
κ26Tθθ = −gθθ
(3
2(u′2 − e−Au2) + (A′′ +
7
2A′2)
). (3.88)
A componente Trt deve coincidir com a componente do tensor de Einstein Grt. Como
pode ser visto, as componentes (3.84 - 3.88) sao formadas pela adicao do tensor momento-
energia referente a um campo do tipo fantasma, conforme subsecao anterior, mais derivadas
da funcao A(r), que fazem lembrar a relacao entre o potencial do campo escalar e as
derivadas da funcao de warp no caso dos modelos de brana do tipo bounce ou kink nas
subsecoes (2.1.1) e (2.2.1). E possıvel observar ainda que se trata de uma configuracao
anisotropica de materia, o que ja se deveria esperar e que esta de acordo com o modelo
original e com o que foi descrito anteriormente. O conjunto de equacoes acima pode ser
escrito em uma forma concisa como segue
κ26TMN = (TMN)fantasma + VMN(A′, A′′) (3.89)
56
em que (TMN )fantasma representa as componentes do tensor momento-energia to tipo fan-
tasma considerado na subsecao anterior e VMN(A′, A′′) e uma funcao das derivadas primeira
e segunda de A multiplicada pela metrica. Isto nao e uma representacao tensorial em que
sejam validas as regras de soma de Einstein, mas apenas uma forma concisa de escrever as
componentes do tensor energia-momento dadas explicitamente no conjunto de equacoes
(3.84 - 3.88).
Para que se tenha Λ6 < 0 as derivadas de A presentes no sistema de equacoes (3.84 -
3.88) devem ser dadas por A′′(r) + 32A′2 para a componente Trr e 3A′′(r) + 3
2A′2 para as
demais componentes. A equacao para A sera identica (3.82) e a solucao difere de (3.83)
apenas pela substituicao de Λ6 por seu modulo. Mais uma vez a solucao representara uma
brana espessa, neste caso o bulk e AdS enquanto que no primeiro caso e dS.
Esta solucao naturalmente ainda nao esta concluıda pois e necessario resolver (3.81)
para determinar u. Percebe-se que e possıvel usar a mesma estrategia que na secao
anterior para separar as variaveis no entanto a funcao dependente de r nao pode ser
resolvida analiticamente, por isso a discussao a respeito das condicoes de energia nao
poderao ser feitas para este modelo, neste momento. No entanto e possıvel fazer algum
comentario ao menos baseado no fator de warp. A seguir sao plotadas as quantidades
(A′′ + 72A′2) e (3A′′(r) + 3
2A′2) para os casos em que Λ6 > 0 e Λ6 < 0, respectivamente.
1 2 3 4 5r
-3
-2
-1
1
F@rD
Figura 16: Perfil de (A′′ + 72A′2)
1 2 3 4 5r
-3
-2
-1
1
F@rD
Figura 17: Perfil de 3A′′(r) + 32A′2
Como se ve as quantidades adicionadas ao campo do tipo fantasma irao contribuir
para tornar positivas as componentes do tensor momento-energia em algum intervalo e
em outro contribuirao para que as mesmas se tornem negativas. Embora esta seja uma
analise muito superficial e razoavel dizer que as condicoes de energia serao violadas neste
modelo tambem. Mas tambem e verdade que nao ha problemas com energia infinita.
No entanto, uma analise mais aprofundada precisa ser feita inclusive com a obtencao da
57
funcao u. Isto sera deixado como perspectiva de trabalho futuro.
Assim esta subsecao e concluıda. O modelo proposto aqui generaliza aquele apresen-
tado na subsecao anterior (3.3.1) para o caso em que a solucao e uma 4-brana espessa. E
possıvel dizer que a solucao e do tipo onda estacionaria desde que exista solucao para a
parte de u dependente de r. Trata-se mais uma vez de um modelo em que a dimensao
compacta esta contida na brana, ou seja, uma compactacao hıbrida. Um dos objetivos, a
obtencao de uma solucao com brana espessa, foi atingido mas o tensor energia-momento
que neste caso pode ser tido como uma generalizacao do campo do tipo fantasma parece
nao satisfazer as condicoes de energia, embora esta seja uma analise expeculativa.
Na proxima subsecao considerar-se-a uma solucao mais geral em que A e B sao difer-
entes e mais uma vez sera feita a tentativa de encontrar uma solucao que satisfaca as
condicoes de energia.
3.3.3 Brana gerada por ondas gravitacionais estacionarias napresenca de uma fonte normal
O objetivo desta subsecao, como foi dito, consiste em resolver as equacoes de Einstein
na presenca de metrica (3.44) para o caso em que o tensor momento-energia satisfaz as
condicoes de energia. Como foi visto nas subsecoes (3.3.1) e (3.3.2) nos casos em que
A = B foi possıvel encontrar solucoes na forma de ondas gravitacionais estacionarias
tanto para uma brana fina quanto para uma brana espessa mas para isso a fonte era um
campo escalar do tipo fantasma, no primeiro caso e um ”campo escalar do tipo fantasma
modificado”, no segundo caso, sendo que nos dois casos a fonte e exotica, ou nao-ortodoxa,
do ponto de vista que a energia e negativa bem como algumas componentes da pressao.
Nesta secao a abordagem levara em conta que A e B sao diferentes mas lineares em r,
como no defeito tipo corda descrito na subsecao (2.2.2). Portanto, nesta subsecao as
funcoes de warp serao A(r) = 2cr e B(r) = c1r. Com isso a metrica e dada por
ds2 = e2cr(dt2 − eudx2 − eudy2 − e−3udz2
)− dr2 −R2
0ec1r+udθ2. (3.90)
Para esta metrica as componentes nao nulas da equacao de Einstein sao dadas por
−(
1
4
)(
24c2 + c21 + 6cc1 + 6(u
′2 − e−2cru2) + 2e−2cru− 10cu′ − 2u
′′)
58
= κ26T
xx + Λ6 (3.91)
−(
1
4
)(
24c2 + c21 + 6cc1 + 6(u
′2 − e−2cru2)− 6e−2cru+ (22c+ 4c1)u′+ 6u
′′)
= κ26T
zz + Λ6 (3.92)
(1
4
)(−24c2 − c2
1 − 6cc1 − 6(u′2 + e−2cru2) + (2c− c1)u
′)
= κ26T
tt + Λ6 (3.93)
1
4u(2c− c1 − 12u
′) = Trt (3.94)
−(
1
4
)(
24c2 + 8cc1 − 6(u′2 + e−2cru2) + (2c− c1)u
′)
= κ26T
rr + Λ6 (3.95)
−(
1
4
)(
40c2 + 6(u′2 − e−2cru2) + 2e−2cru− 10cu
′ − 2u′′)
= κ26T
θθ + Λ6 (3.96)
Para alcancar o objetivo aqui, o procedimento e semelhante ao que foi feito na secao
anterior. Isso significa que as componentes do tensor momento-energia serao escolhidas de
tal forma que a solucao para u(r, t) seja do tipo onda gravitacional estacionaria e devem
ainda ser todas positivas. Ha algumas maneiras de se obter tal configuracao, como por
exemplo, assumindo-se que o tensor momento-energia tenha como componentes nao nulas
as seguintes
59
κ26T
xx = κ2
6Tyy = −1
4
(6(u′2 − e−2cru2)− 4
3(2c− c1)u′ + 6cc1
), (3.97)
κ26T
zz = −1
4
(6(u′2 − e−2cru2)) + 6cc1
), (3.98)
κ26T
tt =
1
4
(−6(u′2 + e−2cru2) + (2c− c1)u′ − 6cc1
), (3.99)
κ26T
rr = −1
4
(−6(u′2 + e−2cru2) + (2c− c1)u′ − c2
1 + 8c1c), (3.100)
κ26T
θθ = −1
4
(6(u′2 − e−2cru2)− 4
3(2c− c1)u′ + 16c2 − c2
1
). (3.101)
Mais uma vez a componente κ26Trt deve coincidir com a componente Grt. A presenca do
produto c1c na maioria das componentes e indispensavel para que se consiga obter valores
positivos para as mesmas. Percebe-se tambem que o tensor momento-energia acima pode
ser dado como a soma de parcelas que podem ser classificadas: uma delas associada a
um campo escalar do tipo fantasma, uma outra que depende das derivadas de A e B e,
diferente do caso da secao anterior, quando se admitiu A = B, mais uma parcela que
depende de u′.
Alem disso a constante cosmologica Λ6 deve satisfazer a relacao
Λ6 = −1
4(24c2 + c2
1). (3.102)
Com isso e necessario que se tenha Λ6 < 0 o que permite encontrar uma relacao entre c,
c1 e |Λ6|c1 = ±
√4|Λ6| − 24c2 (3.103)
onde
c2 ≤ 1
6|Λ6|. (3.104)
Finalmente a equacao para u resulta
−e−2cru+1
6(22c+ 4c1)u
′+ u
′′= 0 (3.105)
Esta equacao embora muito semelhante aquela encontrada para o caso da brana fina
3.68, e mais geral e oferece uma solucao bem mais interessante, embora tambem muito
60
semelhante a que foi encontrada naquela ocasiao. De fato o fator que multiplica u′
nao
depende apenas de c como na outra ocasiao e isto resultara em uma solucao que possi-
bilite a existencia de fator de warp tanto crescente, como ja se obteve em (3.3.1), como
decrescente. Como se ve a equacao (3.105) tambem e separavel e a funcao u mais uma vez
pode ser escrita como o produto u(r, t) = sin(ωt)ρ(r). Como o procedimento e semelhante
ao que se fez em 3.66 nao sera repetido aqui. A solucao geral para a funcao ρ(r) sera dada
por
ρ(r) = D1e−a
2rJ− a
2c(ω
|c|e−cr) +D2e
−a2rJ a
2c(ω
|c|e−cr) (3.106)
onde D1, D2 sao constantes de integracao, J− a2c, J a
2c, sao as funcoes de Bessel de ordens
− a2c
e a2c
, respectivamente. A constante a neste caso e dada por a = 22c+4c16
. Com isso
encontra-se uma solucao do tipo onda estacionaria em seis dimensoes que generaliza o
modelo original de Merab [18] e aquele que foi obtido aqui na subsecao (3.3.1).
E preciso especificar em que sentido esta solucao e mais geral que aquela obtida na
subsecao (3.3.1). De fato aqui se percebe que, desde que sejam obedecidas as condicoes
expressas em (3.103) e (3.104), e possıvel escolher a ordem da funcao de Bessel na solucao
e trabalhar com a que for mais conveniente. Outra caracterıstica interessante e que a
exponencial que multiplica a funcao de Bessel e aquela que esta no argumento da mesma
funcao dependem de constantes diferentes, a e c, respectivamente. Esse fato torna possıvel
que se tenha c > 0 ou c < 0 possibilitando a existencia de fatores de warp tanto crescente
quanto decrescente. Alem disso, como sera visto a seguir, esta solucao combinada com
as componentes do tensor momento energia apresentados anteriormente mostra que tal
solucao se da na presenca de uma fonte ”nao normal”mas que tambem nao e exotica
como as anteriores. Dependendo dos valores das constantes e possıvel mostrar que todas
as componentes do tensor momento energia sao positivas, assegurando a satisfacao das
condicoes de energia, menos a DEC 3 .
Para o que se propoe aqui e suficiente considerar a = −4c, o que implica c1 = −232c.
Neste caso a solucao 3.106 pode ser reescrita como
ρ(r) = D3e2crJ2(
ω
|c|e−cr)−D4e
2crY2(ω
|c|e−cr) (3.107)
em que D3 e D4 sao constantes de integracao, enquanto que J2 e Y2 sao, respectivamente,
3Diz-se que a materia e nao normal por violar uma das condicoes de energia, no caso a DEC. Noentanto em virtude de todas as componentes do tensor energia momento serem positivas poder-se-ia falarde materia normal. De toda forma sera mantida a classificacao de materia adotada aqui e explicada noapendice (6).
61
as funcoes de Bessel de primeiro e segundo tipo, de ordem 2. Para que se tenha valores
finitos para as componentes do tensor momento-energia e necessario fazer D4 = 0 e
considerar a parte que depende de J2 como sendo a solucao da parte de u dependente de
r.
Neste caso ainda e possıvel falar de ”ilhas de AdS”mas a quantidade de ilhas ou nos em
J2 e finita para c < 0 enquanto que para c > 0, para os valores das constantes escolhidos
aqui, nao ha oscilacao, como pode ser visto nas figuras abaixo.
5 10 15 20r
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
ΡHrL
Figura 18: Funcao ρ para c > 0; c =0, 2;ω = 1, 028.
5 10 15 20r
-0.15
-0.10
-0.05
0.05
ΡHrL
Figura 19: Funcao ρ para c < 0; c =−0, 2;ω = 1, 028.
As medias temporais das componentes do tensor momento-energia estao esquemati-
zadas nas figuras abaixo, tendo em vista o que foi dito acima sobre a solucao para u. Na
figura 20 essas quantidades sao mostradas para c = 0, 250;ω = 1, 285 de tal forma que a
razao entre as duas constantes resulte em 5.14, que equivale ao segundo zero da funcao
J2. Na figura (21) tem-se c = −0, 250;ω = 1, 285. A linha pontilhada representa 〈T tt 〉 en-
quanto que a curva pontilhada-seccionada representa 〈T xx 〉 = 〈T yy 〉 = 〈T zz 〉. A componente
〈T rr 〉 e dada pela curva seccionada e filnalmente 〈T θθ 〉 e representado pela curva cheia (a
media temporal de Trt e nula). Como se percebe todas essas quantidades sao positivas e
aproximadamente constantes, sendo a energia a que assume menor valor. Aumentando-se
os valores de |c| e ω, mantendo constante a razao, essas quantidades tendem a assumir
valores mais constantes. Isso se deve a presenca do termo −cc1 nas quantidades (3.97
- 3.101), pois para o caso a = −4c a relacao entre c e c1 resulta c1 = −232c, tornando
positiva a quantidade −cc1 o que acaba por tornar positivas as componentes do tensor
momento-energia (3.97 - 3.101). No entanto, diminuindo-se os valores de |c| e ω ainda
mantendo constante a razao ω/|c| e possıvel ver maiores variacoes nas componentes (3.97
- 3.101) inclusive com a possibilidade de se ter energia negativa, como pode ser visto nas
figuras (24) e (25), nas quais os valores das constantes sao c = 0, 200 e ω = 1, 028.
62
0 5 10 15 20r
1
2
3
4T M
N @rD
Figura 20: Media temporal das compo-nentes nao nulas de 〈TMN 〉 para c > 0 (c= 0,250). Linha pontilhada: 〈T tt 〉. Linhapontilhada-seccionada: 〈T xx 〉 = 〈T yy 〉 =〈T zz 〉. Linha seccionada: 〈T rr 〉 Linha cheia:〈T θθ 〉.
0 5 10 15 20r
1
2
3
4T M
N @rD
Figura 21: Media temporal das compo-nentes nao nulas de 〈TMN 〉 para c < 0 (c= - 0,250). Linha pontilhada: 〈T tt 〉. Linhapontilhada-seccionada: 〈T xx 〉 = 〈T yy 〉 =〈T zz 〉. Linha seccionada: 〈T rr 〉 Linha cheia:〈T θθ 〉.
Tambem o escalar de curvatura foi averiguado para se constatar que nao assume
valores infinitos. Nos graficos (??) e (??) a seguir o escalar de curvatura do bulk e
mostrado e como se percebe ele e assintoticamente constante tanto para c positivo quanto
negativo.
Mais uma caracterıstica destacavel desta solucao e o fato de a mesma resolver o
problema da hierarquia. Os modelos de Merab em cinco dimensoes e sua extensao para
seis dimensoes obtida aqui na subsecao (3.3.1) possuem fator de warp exponencialmente
crescente, portanto a integral que relaciona as escalas de Plank no bulk e na brana
M24 = 2πM4
6
∫ ∞0
dre(2c+c12
)r (3.108)
divergira para 2c = c1 = 2a, sendo a > 0, que equivale as casos de cinco e seis dimensoes
acima referidos. No entanto para a solucao dada acima, no caso a = −4c e c1 = −23c/2
ter-se-ia a solucao para o problema da hierarquia. Neste caso um dos fatores de warp
seria crescente, e2cr, e o outro decrescente, ec1r. Esta e apenas uma das situacoes possıveis
pois ha outras maneiras de relacionar a, c, c1 de forma a se obter componentes do tensor
momento-energia positivas.
Resta ainda obter uma solucao na presenca de materia normal. Uma das saıdas para
isso seria o uso de uma constante cosmologica anisotropica. A existencia e a estrutura
da radiacao cosmica de fundo - cosmic microwave background (CMB) bem como o con-
hecimento da estrutura do universo (distribuicao das galaxias, expansao acelerada...) dao
63
0 5 10 15 20r
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0T M
N @rD
Figura 22: Media temporal das compo-nentes nao nulas de 〈TMN 〉 para c > 0 (c= 0,200). Linha pontilhada: 〈T tt 〉. Linhapontilhada-seccionada: 〈T xx 〉 = 〈T yy 〉 =〈T zz 〉. Linha seccionada: 〈T rr 〉 Linha cheia:〈T θθ 〉.
0 5 10 15 20r
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0T M
N @rD
Figura 23: Media temporal das compo-nentes nao nulas de 〈TMN 〉 para c < 0 (c= - 0,200). Linha pontilhada: 〈T tt 〉. Linhapontilhada-seccionada: 〈T xx 〉 = 〈T yy 〉 =〈T zz 〉. Linha seccionada: 〈T rr 〉 Linha cheia:〈T θθ 〉.
suporte aos modelos ΛCDM que consideram a existencia de materia escura e fria - cold
dark matter(CDM). Em tais modelos a constante cosmologica, dependente do tempo,
assume valores diferentes em diferentes direcoes, portanto e anisotropica [54], [55] . Out-
ros modelos com Λ anisotropica podem ser citados [56], [57], [58]. Modelos em que a
”constante”cosmologica varia espacialmente tambem tem sido considerados: [59], [60],
[61], [62]. Em um recente trabalho em que se propoe a expansao do modelo de RS
para alem das cinco dimensoes [63] os autores sugerem a existencia de uma constante
cosmologica anisotropica do tipo Λ = diag(Ληµν ,Λ5,Λθ, ...,Λθ), em que ηµν representa
a metrica do espaco tempo de Minkowski em quatro dimensoes. Inspirado por estes
trabalhos propoe-se uma constante cosmologica anisotropica que possibilite um cenario
semelhante ao acima descrito mas com ρ ≥ |p| em que ρ representa a densidade de energia
e p a pressao. Considerando-se, por exemplo, que a constante cosmologica neste modelo
seja do tipo Λ = diag[gµν(Λt,Λ,Λ,Λ),Λ5,Λθ], sendo Λ dado por (3.102) e que as demais
componentes da ”constante”cosmologica assumam os valores Λt = −14(24c2 + c2
1 − 2cc1),
Λr = −14(24c2 + 2cc1) e Λθ = −1
4(40c2 − 6cc1) entao a media temporal das componentes
do tensor momento energia serao dadas por
κ26〈T xx 〉 = κ2
6〈T yy 〉 = κ26〈T zz 〉 = κ2
6〈T θθ 〉 = −1
4
(6(u′2 − e−2cru2) + 6cc1
), (3.109)
κ26〈T tt 〉 =
1
4
(−6(u′2 + e−2cru2)− 8cc1
), (3.110)
64
0 5 10 15 20r
1
2
3
4
5
6RHrL
Figura 24: Media temporal para o escalarde curvatura do bulk 〈R6〉 para c > 0.
0 5 10 15 20r
1
2
3
4
5
6RHrL
Figura 25: Media temporal para o escalarde curvatura do bulk 〈R6〉 para c < 0.
κ26〈T rr 〉 = −1
4
(−6(u′2 + e−2cru2) + 6c1c
). (3.111)
Como pode ser visto pelos graficos a seguir, para a = −4c, c1 = −232c isso ja seria
suficiente para assegurar a condicao dominante de energia o que garante estabilidade.
Pela figura 26 percebe-se que para c > 0, mas pequeno, ha possibilidade de violacao
desta condicao de energia. Entretanto para c < 0 a referida condicao e assegurada de
forma mais satisfatoria. Muitas outras maneiras ha de encontrar uma fonte normal de
materia para uma solucao de onda estacionaria, no contexto aqui abordado. Apesar
de ser uma abordagem puramente teorica, como ja foi dito, a existencia de modelos
teoricos com variacao, seja espacial ou temporal, da constante cosmologica se justifica
por observacoes experimentais. Ressalve-se ainda que em [63] assume-se que a constante
cosmologica tenha um so valor na brana. No entanto como aqui se trata de um modelo
anisotropico e pela necessidade de se obter energia maior que pressao, resolveu-se assumir
que ha uma diferenca entre as componentes espaciais e a temporal, na brana. Por fim,
em termos de Λ as outras componentes da constante cosmologica sao dada como Λt =715625
Λ, Λr = 4625
Λ e Λθ = 436625
Λ. Ve-se que a diferenca entre os valores da constante
cosmologica nas componentes espacial e temporal da brana nao e muito significativa neste
exemplo considerado aqui. No entanto a diferenca pode ser ainda menor para que se tenha
satisfacao da DEC. Isso pode ser visto, particularmente no grafico da figura (21). Pelo que
se percebe la as componentes da energia e da pressao sao aproximadamente iguais. Aquela
solucao nao obedece a condicao dominante de energia em virtude dos valores assumidos
pelas componentes r e θ do tensor momento energia. Portanto as componentes r e θ da
constante cosmologica precisam sofrer variacao mais significativa enquanto que na brana
65
esta variacao nao necessita ser muito elevada para que se tenha a validade da DEC.
0 5 10 15 20r
0.5
1.0
1.5
2.0T M
N @rD
Figura 26: Media temporal das compo-nentes nao nulas de 〈TMN 〉 para c > 0 (c= 0,250). Linha pontilhada: 〈T tt 〉. Linhapontilhada-seccionada: 〈T xx 〉 = 〈T yy 〉 =〈T zz 〉. Linha seccionada: 〈T rr 〉 Linha cheia:〈T θθ 〉.
0 5 10 15 20r
0.5
1.0
1.5
2.0T M
N @rD
Figura 27: Media temporal das compo-nentes nao nulas de 〈TMN 〉 para c < 0 (c= - 0,250). Linha pontilhada: 〈T tt 〉. Linhapontilhada-seccionada: 〈T xx 〉 = 〈T yy 〉 =〈T zz 〉. Linha seccionada: 〈T rr 〉 Linha cheia:〈T θθ 〉.
Com isso se encerra este capıtulo. Aqui foi feita uma descricao do modelo original
de Merab [18] em cinco dimensoes mostrando como se obtem uma solucao do tipo onda
estacionaria tendo como fonte um campo escalar do tipo fantasma, conforme a subsecao
(3.1). Em seguida este modelo foi estendido para seis dimensoes o que foi feito na subsecao
(3.3.1). Este modelo em seis dimensoes, no que concerne a localizacao de campos, e mais
eficiente que o modelo de Merab, no entanto como aquele tambem apresenta densidade
de energia negativa uma vez que a fonte neste caso tambem e um campo escalar do
tipo fantasma. O referido modelo originou um trabalho que se encontra submetido a
revista Physical Review D (PRD) sob o tıtulo ”A 6D standing-wave Braneworld”[29].
Na subsecao (3.3.2) obteve-se uma solucao que corresponde a uma brana espessa em seis
dimensoes. Trata-se de uma generalizacao do modelo descrito em (3.3.1), mas para o
caso da brana espessa nao foi possıvel resolver analiticamente a equacao para u o que
foi deixado como perspectiva de trabalho futuro. Ainda neste caso as componentes do
tensor momento-energia revelam a natureza exotica da fonte que origina a brana, emb-
ora nao haja problemas com energia infinita. Este modelo podera ser util no estudo de
localizacao dos modos massivos dos campos do modelo padrao. Vale lembrar que neste
contexto de branas anisotropicas com solucao de ondas estacionarias, o estudo de local-
izacao de modos massivos ainda nao foi realizado, seja em cinco ou mais dimensoes . Em
seguida foi encontrada uma solucao na forma de ondas gravitacionais estacionarias na
66
presenca de uma fonte nao normal de materia (esta classificacao para materia significa
que a densidade de energia pode ser positiva bem como as demais componentes do ten-
sor momento-energia, conforme visto acima (3.3.3), embora haja violacao da condicao
dominante de energia). Por fim, atraves da introducao de uma constante cosmologica
anisotropica, foi possıvel obter uma solucao na presenca de fonte normal de materia. As
solucoes descritas neste capıtulo, particularmente as que foram apresentadas nesta ultima
subsecao (3.3.3), encerram uma busca por uma solucao que fosse ao mesmo tempo na
forma de ondas estacionarias, pois ja se observou que no que concerne a localizacao de
campos estas solucoes sao interessantes, mas que tambem satisfizesse as condicoes de ener-
gia. Estas solucoes obtidas aqui, acrescidas do estudo de localizacao de campos faz parte
de um trabalho que esta submetido ao Journal of High Energy Physics - JHEP [30], sob
o tıtulo A 6D standing wave braneworld in the presence of normal matter. Estas duas
ultimas subsecoes abriram a possibilidade de se investigar outros tipos de solucao e como
perspectiva de trabalho futuro fica o projeto de tentar encontrar um defeito tipo corda
anisotropico cuja solucao assuma a forma de ondas gravitacionais estacionarias.
No proximo capıtulo serao apresentados estudos de localizacao de campos nos mod-
elos considerados na subsecao (2.2.1) no qual se estudara os campos escalar, vetorial e
fermionico. No modelo estudado na subsecao (2.2.2) se estudara a localizacao dos mesmos
campos acima alem do campo de Kalb-Ramond. Para os modelos anisotropicos serao es-
tudados os campos escalar e fermionico mas apenas no modelo de brana fina considerado
na subsecao (3.3.1).
67
4 LOCALIZACAO DE CAMPOSEM BRANAS EM SEISDIMENSOES
Para verificar se um campo e localizado em uma brana, o procedimento matematico
pode ser sumarizado como segue: considerando-se modelos com uma dimensao extra nao
compacta, r, por exemplo, analiza-se a integral nesta dimensao ou, em outras palavras,
investiga-se a possibilidade de existir uma funcao de onda de estado ligado associada
com esta dimensao. Valores finito ou infinito para a integral implicam em localizacao
ou nao localizacao, respectivamente. Os modos massivos sao avaliados efetuando-se a
decomposicao do tipo Kaluza-Klein [6, 12]. Uma outra maneira de abordar os modos
massivos consiste em transformar a equacao para a variavel r em uma equacao do tipo
Schroedinger, por meio de uma conveniente mudanca de variavel, e em seguida resolve-la.
Em muitos trabalhos nao e possıvel encontrar para esta equacao resultante uma solucao
analıtica. Nestes casos, para analizar a possibilidade de que os os modos massivos se
localizem na brana e necessario procurar modos ressonantes [5, 6, 43, 64, 65].
4.1 Localizacao de campo em um defeito tipo corda
Nesta secao sera ilustrado o estudo de localizacao de campos em seis dimensoes,
precisamente no defeito tipo corda considerado na subsecao (2.2.2). As analises aqui
se referem ao modo zero dos campos escalar, vetorial, fermionico e do campo de Kalb-
Ramond. Com relacao a este ultimo, no trabalho originado e publicado durante a execucao
desta tese foi considerado o estudo de localizacao dos modos zero e massivos, [16], mas
nesta tese apenas o estudo do modo zero sera considerado pois os modos massivos nao
sao objeto deste trabalho.
68
Para os estudos realizados aqui considerar-se-a a metrica geral
ds2 = e−A(r)gµνdxµdxν + dr2 +R2
0e−B(r)dθ2 (4.1)
A assinatura da metrica (−,+,+,+) foi escolhida de forma que coincida com aquela
utilizada no trabalho original [6].
4.1.1 Localizacao do campo escalar em um defeito tipo corda
O ponto de partida para o estudo de localizacao de um campo e justamente a equacao
de movimento que o mesmo obedece na geometria considerada. No caso de um campo
escalar a equacao do movimento
1√−g
∂M(√−ggMN∂NΦ
)= 0 (4.2)
para a metrica (4.1) resulta
P−1ηµν∂µ∂νΦ + P−p2 Q
−12 ∂r(P
p2Q
12∂rΦ) +Q−1∂2
θΦ = 0, (4.3)
na qual foi usada a notacao mais compacta gµν = P (r)ηµν , e−A(r) = P (r) e R2
0e−B(r) =
Q(r). A quantidade ηµν representa a metrica quadridimensional do espaco-tempo de
Minkowski e p e a dimensao da brana que neste caso deve ser p = 4 (isto e valido apenas
fora do nucleo da corda, como ja se falou, o que significa que no exterior da corda tem-se
uma 4-brana).
Assumindo-se que o campo escalar possa ser decomposto como segue
Φ(xM) = φ(xµ)χ(r)Θ(θ) = φ(xµ)∑
χm(r)eilθ (4.4)
e que na metrica p-dimensional o mesmo satisfaca a equacao de Klein-Gordon
ηµν∂µ∂νφ(x) = m20φ(x), (4.5)
a equacao para a variavel nao compacta r assume a forma
∂2rχm +
(pP
′
2P+Q′
2Q
)∂rχm +
(1
Pm2
0 −1
Ql2)χm = 0 (4.6)
Esta equacao claramente admite para o caso m0 = l = 0 (onda-s) uma solucao constante
χm = χ0 = constante. Substituindo esta solucao na acao para o campo escalar
69
Sm =−1
2
∫dDx√−ggMN∂MΦ∂NΦ (4.7)
e facil verivicar que Φ0(xM) = φ(xµ)χ0 se localiza no defeito tipo corda. Para verificar
isto basta que a expressao acima para Φ(xM) seja substituido em (4.7). Evidenciando
apenas a integral na variavel r que e a parte interessante aqui tem-se
I0 =
∫drP p/2−1Q1/2 = R0
∫dre−[(p/2−1)c+1/2c1]r (4.8)
Para que se tenha localizacao e necessario que a integral I0 seja finita. Observa-se que de
maneira geral para c > 0 e c1 > 0 a integral e finita e obtem-se localizacao. No entanto
lembrando a relacao entre c e c1 que sera repetida aqui
c1 = c− 8
pcκ2Dtθ (4.9)
c2 =1
p(p+ 1)(−8Λ + 8κ2
Dα) > 0 (4.10)
pode-se escrever a condicao para que I0 seja finita na forma de uma desigualdade, para
c > 0,1
κ2D
Λ < tθ <−(p− 1)
2κ2D
Λ (4.11)
e
tθ >−(p− 1)
2κ2D
Λ (4.12)
para c < 0. Vale lembrar ainda que neste modelo Λ < 0, ou seja, o bulk e um espaco
anti-de Sitter. Portanto a localizacao do campo escalar em um defeito tipo corda ocorre
para uma fator de warp decrescente que equivale a localizacao de campo de spin zero em
uma brana com tensao positiva no modelo de Randall-Sundrum em cinco dimensoes.
4.1.2 Localizacao do campo vetorial no defeito tipo corda.
O procedimento aqui e semelhante ao que se fez na subsecao (4.1.1) acima. Inicia-se
portanto a partir da acao para o campo vetorial
Sm =−1
4
∫dDx√−ggMNgRSFMRFNS, (4.13)
onde FMN = ∂MAN − ∂NAM . A partir desta acao a equacao do movimento encontrada e
dada por1√−g
∂M(√−ggMNgRSFNS) = 0, (4.14)
70
a qual pode ser reescrita como
P−1ηµνgMN∂µFνN + P−p/2Q−1/2∂r(Pp/2Q1/2gMNFrN) +Q−1gMN∂θFθN = 0. (4.15)
Escrevendo-se explicitamente FMN a equacao acima pode ser reescrita em uma forma
mais simplificada como segue
[ηµν∂µ∂ν
+P (4−p)/2Q−1/2∂r(P(p−2)/2Q1/2∂r) + PQ−1∂2
θ ]Aλ
−P (4−p)/2Q−1/2∂r(P(p−2)/2Q1/2∂r∂λAr) = 0, (4.16)
[ηµν∂µ∂ν + PQ−1∂2θ ]Ar = 0, (4.17)
e
∂r(Pp/2Q−1/2∂θAr) = 0. (4.18)
Para chegar a estes resultados assumiu-se a condicao de gauge Aθ = 0. Para encontrar uma
solucao para o sistema de equacoes (4.16 - 4.18) o campo vetorial A(xM) sera decomposto
como
Aµ(xM) = aµ(xµ)∑
ρmeilθ, (4.19)
Ar(xM) = ar(x
µ)∑
ρmeilθ. (4.20)
Pode-se verificar que para as condicoes acima o sistema (4.16 - 4.18) admite para a onda-
s (l = 0) e massa zero m0 = 0 uma solucao constante, ρm = ρ0 = constante e ar =
constante. Para que isso seja verdadeiro e necessario ainda admitir ∂µaµ = ∂µfµν = 0,
sendo fµν definido como fµν = ∂µaν − ∂νaµ.
Para verificar que esta solucao constante se localiza no defeito e necessario que ela seja
substituida na acao inicial (4.13) . Feito isso fica facil verificar que a integral na variavel
r e dada como
I1 =
∫ ∞0
drP p/2−2Q1/2 = R0
∫ ∞0
dre−[(p/2−2)c+ 12c1]r (4.21)
E necessario como no caso do campo escalar que esta integral I1 seja finita. Esta condicao
pode mais uma vez ser reescrita na forma de uma desigualdade , para c > 0,
1
κ2D
Λ < tθ <−(p− 3)
4κ2D
Λ (4.22)
e
tθ >−(p− 3)
4κ2D
Λ (4.23)
71
para c < 0. E interessante notar que no caso p = 4 que deve ser considerado conforme
o trabalho original, a integral I1 depende exclusivamente do valor de c1 para que seja
convergente. Isto explica porque nao e possıvel a localizacao do campo vetorial no mod-
elo de Randall-Sundrum em cinco dimensoes, seja para um fator de warp crescente ou
decrescente, uma vez que neste caso o fator que depende de c1 nao esta presente. Isto
mostra tambem a importancia da geometria na localizacao de campos, pois e o fator mul-
tiplicativo da dimensao extra compacta, existente em seis dimensoes mas nao em cinco,
que determina a localizacao do campo vetorial no primeiro caso.
E possıvel encontrar a mesma solucao acima sem a necessidade da condicao de gauge
Aθ = 0. Considerando-se, por exemplo, que esta funcao dependa apenas de r, Aθ = Aθ(r),
o sistema (4.16 - 4.18) assume a forma
[ηµν∂µ∂ν
+P (4−p)/2Q−1/2∂r(P(p−2)/2Q1/2∂r) + PQ−1∂2
θ ]Aλ
−P (4−p)/2Q−1/2∂r(P(p−2)/2Q1/2∂r∂λAr)− PQ−1∂θ∂rAθ = 0, (4.24)
[ηµν∂µ∂ν + PQ−1∂2θ ]Ar − PQ−1∂θ∂rAθ = 0, (4.25)
e
∂r(Pp/2Q−1/2(∂rAθ − ∂θAr)) = 0. (4.26)
Assumindo-se as decomposicoes 4.19 e 4.20 e possıvel ainda obter a solucao constante
ρm = ρ0 = constante e ar = constante para a onda-s e modo zero, mas neste caso a
funcao Aθ deve satisfazer a equacao
A′′θ(r) +
(−2A′ +
B′
2
)A′θ(r) = 0, (4.27)
em que foi utilizado o fato de que P (r) = e−A(r), Q(r) = R20e−B(r). A solucao geral desta
equacao pode ser expressa como segue
Aθ(r) = K1
∫ r
e2A(r)− 12B(r)dr +K2, (4.28)
sendo K1, K2 constantes de integracao. Obviamente essa equacao admite solucao mais
simples como Aθ = constant e neste caso obter-se-ia os mesmos valores para localizacao
do modo zero do campo vetorial que foram obtidos acima. Esta solucao constante sera
importante quando for considerada a localizacao do campo fermionico em uma brana
espessa.
72
4.1.3 Localizacao do campo fermionico em um defeito tipo corda
Nesta subsecao sera demonstrado a localizacao do campo fermionico em um defeito
tipo corda. Inicialmente sera utilizado o procedimento devido a Oda [6] o que mostrara
que nao e possıvel a localizacao em um defeito tipo corda no caso em que o fator de warp e
exponencialmente decrescente, como os campos escalar e vetorial vistos anteriormente. No
caso do campo fermionico e possıvel obter localizacao para o fator de warp crescente. No
entanto ha uma outra abordagem devido a Liu et. al. [48] em que e possıvel a localizacao
de fermion para um fator de warp decrescente.
Inicialmente segue-se o procedimento de Oda, comecando por explicitar a acao para
o campo fermionico em seis dimensoes
S =
∫d6x√−gΨiΓMDMΨ. (4.29)
A correspondente equacao de movimento e dada como(ΓµDµ + ΓrDr + ΓθDθ
)Ψ(xM) = 0 (4.30)
onde ΓM representa a matriz gamma no espaco curvo que se relaciona com as matrizes
no espaco plano pela expressao
ΓM = hMMγM , (4.31)
na qual o vielbein hMM
e definido como
gMN = ηMNhMMh
NN . (4.32)
A derivada covariante assume a forma padrao
DM = ∂M +1
4ΩMNM γMγN , (4.33)
na qual a conexao de spin ΩMNM e definida como
ΩMNM =
1
2hNM
(∂Mh
NN − ∂NhNM
)+
−1
2hNN
(∂Mh
MN − ∂NhMM
)− 1
2hPMhQNhRM
(∂PhQR − ∂QhPR
)(4.34)
Para escrever explicitamente (4.30) e necessario que se calcule as matrizes ΓM bem
como a derivada covariante. A partir da metrica (4.1) e da relacao (4.31) conclui-se que
73
a relacao entre as matrizes gamma curvas e planas sao dadas por
Γµ = P−12γµ; Γr = γ r; Γθ = Q−
12γ θ. (4.35)
De modo analogo
γµ = P−12 Γµ; γr = Γr; γθ = Q−
12 Γθ. (4.36)
As componentes nao nulas da conexao de spin (4.34) sao
Ωrµµ = −1
2P−
12P ′δµµ; Ωrθ
θ = −1
2Q−
12Q′δθθ . (4.37)
Nas duas expressoes acima foi utilizada mesma notacao das subsecoes anteriores em que os
fatores de warp sao identificados com as funcoes P (r) e Q(r). Finalmente as componentes
da derivada covariante (4.33) podem ser obtidas explicitamente o que resulta
DµΨ =
(∂µ −
1
4
P ′
PΓrΓµ
)Ψ; DθΨ =
(∂θ −
1
4
Q′
QΓrΓθ
)Ψ; DrΨ = ∂rΨ. (4.38)
A partir das relacoes (4.36) e (4.37) a equacao do movimento (4.30) pode ser reescrita.
Antes, porem e conveniente decompor a funcao Ψ a maneira do que foi feito para os campos
escalar e vetorial. No caso do campo fermionico uma escolha conveniente e Ψ(xM) =
ψ(xµ)α(r)eilθ, exigindo-se ainda que ψ(xµ) satisfaca a equacao de Dirac na brana, γµ∂ψµ =
0. Para o caso da onda-s e considerando-se o que foi dito acima a equacao (4.30) e reescrita
como (∂r +
P ′
P+
1
4
Q′
Q
)α(r) = 0. (4.39)
Para chegar a esse resultado ja foi usado o fato de que a dimensao da brana e 4, p = 4.
A solucao geral para esta equacao e dada por
α(r) = c2P−1Q−
14 (4.40)
sendo c2 uma constante de integracao. Resta agora verificar se esta solucao e normalizavel.
Para isso e necessario que seja substituıda na acao (4.42) e que a integral resultante na
variavel r seja finita. Feita a substituicao a integral que interessa aqui assume a forma
I 12∝∫ ∞
0
drP32Q
12α(r)2. (4.41)
Resta agora substituir (4.40) em (4.42) o que resulta
I 12∝ c2
2
∫ ∞0
drP32P−2 = c2
2
∫ ∞0
dre12c. (4.42)
74
No ultimo passo foi feita a substituicao P = e−cr. Como pode ser visto a integral e finita
apenas se c < 0 o que implica em um fator de warp exponencialmente crescente, diferente
do que foi visto nas duas subsecoes anteriores. No entanto ha uma maneira de se obter
a localizacao do modo zero do fermion no defeito tipo corda para o caso de um fator de
warp decrescente, conforme demonstrado em [48]. O procedimento consiste em modificar
a derivada covariante (4.33) pelo acrescimo de um acoplamento mınimo. Fazendo isso a
nova derivada resulta em
DM = ∂M +1
4ΩMNM γMγN − ieAM , (4.43)
onde AM e um campo de calibre e e representa a carga eletrica, sendo i a unidade ima-
ginaria. Esta modificacao naturalmente nao altera a relacao entre as matrizes gama
(4.36) bem como as componentes nao nulas da conexao de spin (4.37). As componentes
da derivada covariante ficam alteradas, como nao poderia deixar de ser e sao dadas neste
caso por
DµΨ =
(∂µ −
1
8
P ′
PΓrΓµ − ieAµ
)Ψ; DθΨ =
(∂θ −
1
8
Q′
QΓrΓθ − ieAθ
)Ψ; DrΨ = (∂r − ieAr) Ψ.
(4.44)
Para escrever a equacao do movimento e necessario especificar a maneira como as matrizes
de Dirac atuam no spinor Ψ. Uma discussao apropriada a esse respeito, em portugues,
pode ser encontrado em [66]. Seguindo este trabalho assume-se que o spinor possa ser
decomposto em suas partes direita ΨR e esquerda ΨL como segue
Ψ(xM) = (ΨRαR + ΨLαL)eilθ (4.45)
As matrizes gama atuam nesses espinores como segue
Γµ∂µΨR(xµ) = mΨL(xµ); Γµ∂µΨL(xµ) = mΨR(xµ) (4.46)
Naturalmente que para m = 0 tem-se Γµ∂µΨR(xµ) = Γµ∂µΨL(xµ) = 0. Deve-se ter ainda
γrΨR(xµ) = +ΨR(xµ); γrΨL(xµ) = −ΨL(xµ), (4.47)
γθΨR(xµ) = +iΨR(xµ); γθΨL(xµ) = iΨL(xµ). (4.48)
Aplicadas essas condicoes e considerando-se apenas o modo zero a equacao do movimento
assume a mesma expressao seja para os modo esquerdo ou direito. Portanto, para a onda-s
a equacao resultante sera(∂r +
P ′
P+
1
4
Q′
Q− ieAr(r) + eQ−
12Aθ(r)
)α(r) = 0. (4.49)
75
Foi assumido que na brana a equacao de Dirac e valida, γµ∂µΨ(xµ) = 0 e que o campo
AM pode ser decomposto em suas componentes Aµ(xµ), Ar(r), Aθ(r). A solucao de (4.49)
e dada por
α(r) = c3P−1Q−
14 exp
(∫ r
(ieAr − eQ−12Aθ)dr
)(4.50)
Substituindo-se esta solucao na acao (4.42) a integral em r resulta
I 12∝∫ ∞
0
(drP−
12 exp
(−2e
∫ r
Q−12Aθ
))=
∫ ∞0
dr exp
(1
2cr − 2eR−1
0
∫ r
e12c1rAθ
).
(4.51)
Ha varias formas de se escolher Aθ de tal forma que (4.51) seja finita, conforme discutido
em [48], sendo
Aθ(r) = λe−12c1r (4.52)
a mais simples dela. Com esta escolha obtem-se a localizacao do modo zero para o fermion
em um defeito tipo corda com fator de warp decrescente, bastando para isso que λ satisfaca
a condicao
λ >c
4eR0. (4.53)
Com isso fica concluido o estudo da localizacao do modo zero do campo fermionico em
um defeito tipo corda. Mais uma vez os resultados mostrados aqui, como nas subsecoes
anteriores, sao uma revisao do que ja se tem na literatura e servirao para direcionar as
tentativas de localizar estes campos no mundo brana garado por ondas gravitacionais
estacionarias. Na proxima subsecao sera considerado o estudo de localizacao do campo
tensorial ou campo de Kalb-Ramond neste mesmo cenario. Os resultados apresentados
aqui fazem parte de um trabalho realizado no decorrer desta tese o qual foi publicado na
revista PRB [16].
4.1.4 Localizacao do campo de Kalb-Ramond em um defeitotipo corda
Os resultados apresentados aqui fazem parte do trabalho [16], sob o tıtulo Tensor
gauge field localization in a string-like defetc, conforme ja foi dito. Neste trabalho foi
realizado o estudo de localizacao dos modos zero e massivos, no entanto neste tese apenas
a localizacao dos modos zero sera demonstrada, em conformidade com as outras secoes.
Antes de iniciar os procedimentos necessarios para provar a localizacao do campo,
conforme realizado nas subsecoes anteriores, e necessario lembrar que o campo de Kalb-
Ramond, sendo um campo antisimetrico 2-form e auto-dual em gemetrias com seis di-
76
mensoes. Alem disso nao e simples encontrar uma formulacao lagrangeana que seja man-
ifestamente invariente de Lorentz (MLI - do ingles manifestly Lorentz invariant). Na
verdade formulacoes com acao nao covariante para este modelo foram consideradas nos
seguintes trabalhos [67, 68, 69, 70]. Mas o modelo MLI foi desenvolvido por Pasti, Sorokin
e Tonin, o chamado formalismo PST [71]. Antes do surgimento do formalismo PST outros
modelos MLI foram contruidos por McClain [72], que considerou um conjunto infinito de
campos auxiliares e por Pasti [73] cuja teoria dependia de um conjunto finito de campos
auxiliares. Mas no formalismo PST os autores mostraram que os dois formalismo anteri-
ores sao equivalentes e que de fato e necessario apenas um campo escalar auxiliar para se
obter o modelo MLI para o campo antisimetrico 2-form em seis dimensoes.
Para que se compreenda melhor esse modelo a acao no formalismo PST e dada por
[71]
S =
∫d6x
[−1
6HLMNH
LMN +1
∂Qa∂Qa∂Ma(x)HMNLHNLR∂Ra(x)
], (4.54)
onde HMNL e o campo anti auto-dual definido como HMNL = HMNL − ∗HMNL e a(x) e
um campo escalar que se transforma como um campo de Goldstone (δa(x) = ϕ(x)). E
importante notar que a variacao da acao (4.54) com respeito a a(x) nao produz nenhuma
equacao de movimento adicional. De fato e possıvel definir um vetor unitario tipo-tempo
uM = ∂Ma(x) = δ0M que resultara em uma acao sem a presenca do campo auxiliar, a(x),
embora um tal modelo nao seja MLI [71, 74]. Outra possibilidade consiste em definir um
um vetor tipo-espaco ∂Ma(x) = δ5M , em que 5 representa alguma coordenada espacial.
Neste caso a acao (4.54) assumira a seguinte forma [71, 74]
S =
∫d6x
[−1
6HLMNH
LMN +1
2H5MNHNL5
], (4.55)
Percebe-se que neste caso o campo auxiliar a(x) nao esta presente na acao, no entanto,
mais uma vez o modelo obtido nao e MLI, porem este caso representa o formalismo
para um campo livre dado em [75]. Observa-se, por fim, que nao e possıvel assumir
uM = ∂Ma(x) = 0 porque a norma uM esta presente no denominador de (4.54). Entretanto
e possıvel, em princıpio, encontrar um limite apropriado uM → 0 de tal forma que o
conteudo fısico do modelo seja preservado [71].
Pelo breve comentario feito acima conclui-se que para que se obtenha um modelo
MLI para o campo de Kalb-Ramond, em uma geometria em seis dimensoes, e necessario
levar em conta o fato de que o campo e auto-dual e para implementar a autodualidade
77
no modelo e necessario, no mınimo, um campo auxiliar. Mas tambem percebe-se que e
possıvel construir modelos interessantes, a formulacao de campo livre sem quiralidade-
free chiral filed formulation, sem a necessidade de que o modelo seja MLI.
Diante disso preferiu-se neste trabalho nao abordar a natureza autodual do campo de
Kalb-Ramond. Sera mostrado que mesmo neste caso e possıvel obter localizacao do modo
zero - dos modos massivos tambem, embora esta parte nao conste nesta tese - no defeito
tipo corda. Um argumento para que isso ocorra e que neste caso a geometria e deformada
ou curva enquanto que no formalismo PST e considerado o espaco-tempo de Minkowski
em seis dimensoes. Portanto, em virtude da geometria do bulk ser curva ela possibilita a
localizacao do campo na brana sem a necessidade do campo auxiliar.
Isto posto, aplica-se agora o formalismo de localizacao de campos ja demonstrado
nas outras subsecoes. Sera mostrado mais uma vez que no caso de as constantes c e tθ
satisfazerem determinadas condicoes o modo zero do campo de Kalb-Ramond se localiza
no defeito tipo corda .
A partir da acao para o campo tensorial (campo de Kalb-Ramond)
Sm =−1
12
∫dDx√−ggMQgNRgLSHMNLHQRS, (4.56)
a respectiva equacao do movimento pode ser derivada
∂Q[√−gHMNLg
MQgNRgLS] = 0 (4.57)
Depois de um pouco de algebra a equacao acima pode ser escrita na forma
P−1(r)∂µHµσβ +P−p/2+2(r)Q−1/2(r)∂r[P
p/2−2(r)Q1/2(r)Hσβr ] +Q−1(r)∂θH
σβθ = 0 (4.58)
na qual as definicoes utilizadas em outras subsecoes foram repetidas aqui. Ei-las: gµν =
ηµν , e−A(r) = P (r) e R2
0e−B(r) = Q(r).
Assume-se as seguintes condicoes de gauge Bµr = Bµθ = 0 e decomposicao para o
campo de Kalb-Ramond
Bµν(xM) = bµν(xµ)∑
ρm(r)eilθ (4.59)
Brθ(xM) = brθ(xµ)∑
ρm(r)eilθ (4.60)
Definindo ∂µhµσβ = m2
0bσβ a equacao para a variavel r resulta
∂2rρm(r) +
((p
2− 2)
P′(r)
P (r)+Q′(r)
2Q(r)
)∂rρm(r) +
(1
P (r)m2
0 −1
Q(r)l2)ρm(r) = 0, (4.61)
78
em que l e o numero quantico angular.
Esta equacao naturalmente admite para o modo zero (m0 = 0), onda-s (l = 0) e
brθ = constant, uma solucao constante. Na verdade brθ em geral nao precisa ser constante
mas com esta consideracao a localizacao do campo de Kalb-Ramond se torna semelhante
ao que se obteve para os campos escalar e vetorial, dados nas subsecoes anteriores e
devidas a Oda [12].
Agora substitui-se a solucao constante na acao (4.56) e usa-se o fato de que A(r) = cr
e B(r) = c1r, para que se obtenha a integral em r
I0 ∝∫drP
p2−3Q1/2 ∝
∫dre−[( p
2−3)c+ 1
2c1]r (4.62)
Mais uma vez e necessario que I0 seja finita. Esta condicao, como ja foi dito, exige que
para c > 0,1
κ2D
Λ < tθ <−(p− 5)
6κ2D
Λ (4.63)
e para c < 0
tθ >−(p− 5)
6κ2D
Λ. (4.64)
As condicoes (4.63) e (4.64) sao muito similares ao que se obteve para os campos
escalar e vetorial conforme visto acima e no trabalho original [6]. De fato a diferenca entre
as relacoes esta relacionada com o rank do tensor (campo) em questao. e interessante
notar tambem que no caso em que p = 4 e c1 = c, que corresponde ao defeito tipo
corda local, a integral (4.62) sera convergente apenas para c < 0. Isso significa que para
um defeito tipo corda local o modo zero do campo de Kalb-Ramond, como no caso do
campo fermionico, e localizavel apenas se o fator de warp for exponencialmente crescente,
diferente do que ocorre com os campos escalar e vetorial que nesse caso serao localizaveis
apenas para c > 0.
Para concluir esta secao seria interessante efetuar a localizacao dos modos zero grav-
itacional. Entretanto no caso da gravidade a condicao para que haja localizacao e a
mesma que para o campo escalar. Por esta razao o estudo da localizacao de gravidade
nao consta aqui embora possa ser encontrado no trabalho de Oda [12].
Encerrada essa secao o proximo passo consiste no estudo de alguns desses campos,
quanto a sua localizacao, na geometria considerada na subsecao (2.2.1), precisamente uma
4-brana espessa em um espaco tempo AdS em seis dimensoes.
79
4.2 Localizacao de campo em uma brana espessa em
seis dimensoes
O desenvolvimento geral dado na secao anterior sera utilizado aqui para descrever a
localizacao de campos no modelo que representa uma 4-brana espessa em um bulk com
seis dimensoes, aquele que foi descrito subsecao (2.2.1). Este modelo e mais geral que o
defeito tipo corda local, caso em que A = B = cr pois se trata de uma brana espessa,
enquanto que aquele representa uma brana fina. No entanto, em certo sentido, e mais
simples que um defeito tipo corda global pois neste caso os fatores de warp, embora sejam
lineares em r, sao diferentes, tais sejam A = cr e B = c1r. Ha ainda uma diferenca
importante entre os dois modelos, pois um defeito tipo corda e representado por uma 3-
brana enquanto que no caso em discussao aqui trata-se de uma 4-brana, significando que
a coordenada compacta pertence a brana. Os resultados obtidos nesta secao fazem parte
de um trabalho que esta sendo finalizado e em breve sera submetido a revista Europhysics
Letters. Para facilitar a consulta a metrica que caracteriza este modelo e repetida aqui
ds2 = e−A(r)gµνdxµdxν + dr2 +R2
0e−A(r)dθ2 (4.65)
Tendo em vista que no estudo de localizacao dos campos escalar, vetorial, fermionico
e tensorial dado na secao anterior foram utilizadas equacoes gerais utilizando-se e−A(r) =
P (r) e R20e−B(r) = Q(r) sera feito uso de algumas destas equacoes nesta secao, quando
conveniente, para que nao haja muita repeticao . Na proxima subsecao sera demonstrada a
localizacao do modo zero para o campo escalar. Este resultado, como ja foi dito, faz parte
do segundo trabalho publicado durante o desenvolvimento desta tese [27]. Os resultados
obtidos aqui se assemelham aos que foram apresentados na subsecao (4.1.1), na qual se
demonstrou a localizacao do campo escalar no defeito tipo corda. Portanto esta subsecao,
como as demais desta secao, sera mais resumida que aquela.
4.2.1 Campo escalar
A equacao do movimento para o campo escalar em seis dimensoes
1√−g
∂M(√−ggMN∂NΦ
)= 0 (4.66)
80
pode ser reescrita, separando-se as coordenadas da brana das coordinadas extra, como
eA(r)−B(r)/2∂µηµν∂νΦ + ∂r
(e−2A(r)−B(r)/2∂rΦ
)+e2A(r)−B(r)/2
R20
∂2θΦ = 0 , (4.67)
onde ηµν e a metrica quadri-dimensional no espaco-tempo de Minkowski. Preferiu-se usar
aqui a metrica mais geral, (2.27), que sera depois simplificada para o caso A(r) = B(r).
Assumindo-se a seguinte decomposicao para o campo escalar
Φ(xM) = φ(xµ)∑lm
χm(r)eilθ , (4.68)
pode-se separar as variaveis na equacao (4.67). Entao, impondo que ηµν∂µ∂νφ = m2φ, a
seguinte equacao e obtida para a varıavel radial
eA(r)+B(r)/2∂r[e−2A(r)−B(r)/2∂rχ(r)
]+
[m2 − l2eB(r)−A(r)
R20
]χ(r) = 0 (4.69)
que pode ainda ser reescrita como
χ′′(r)−(
2A′(r) +B′(r)
2
)χ′(r) +
[m2eA(r) − l2eB(r)
R20
]χ(r) = 0 , (4.70)
Para resolver esta equacao, efetuam-se mudancas nas variaveis dependente e indepen-
dente com a finalidade de se obter uma equacao do tipo Schrodinger. Entao, assumindo-se
z′(r) = eA(r)/2, obtem-se
χ(z)−
(3A(z)
2+B(z)
2
)χ(z) +
[m2 − l2eB(z)−A(z)
R20
]χ(z) = 0 , (4.71)
onde os pontos significam derivada com respeito a z.
Fazendo-se χ(z) = Ω(z)Ψ(z) com Ω(z) = Ω0e(3A(z)+B(z))/4, onde Ω0 e uma constante
de integracao, tem-se
−d2Ψ(z)
dz2+ V (z)Ψ(z) = m2Ψ(z) , (4.72)
onde
V (z) =
[3A(z) + B(z)
4
]2
−
[3A(z) + B(z)
4
]+
l2
R20
eB(z)−A(z) . (4.73)
No caso em que A ≡ B, a expressao (4.71) e simplificada para
χ(z)− 2A(z)χ(z) +
[m2 − l2
R20
]χ(z) = 0 . (4.74)
81
Alem disso, a equacao de Schrodinger e o potencial sao dados, respectivamente, por
−d2Ψ(z)
dz2+ V (z)Ψ(z) = m2Ψ(z) (4.75)
com
V (z) = A(z)2 − A(z) +l2
R20
. (4.76)
Em termos das derivadas de r o potencial (4.76) escreve-se como
V (r) = e−A(r)
[3A′(r)2
2− A′′(r)
]+
l2
R20
(4.77)
o qual e um potencial vulcao, como pode ser visto na figura a seguir
2 4 6 8 10r
-3
-2
-1
1
V@rD
Figura 28: Perfil de V(r) para β = 2; a = 1
Este tipo de potencial e muito comum na literatura, no contexto de modelos de brana e
localizacao de campo sendo importante pra assegurar localizacao.
Retornando agora a equacao (4.70), para estudar o modo zero m = 0 e ”onda s”l = 0,
a mesma se reduz a
χ′′(r)−(
2A′(r) +B′(r)
2
)χ′(r) = 0 . (4.78)
Esta equacao admite, como unica solucao finita, a solucao trivial χ0 = constant. Entao,
para investigar a localizacao do modo zero e necessario substituir esta solucao na acao
S = −1
2
∫d6x√−ggMN∂MΦ∂NΦ (4.79)
Para o caso em estudo aqui tal acao se reduz a
S0 = −1
2
∫d6xR0e
−A(r)−B(r)/2ηµν∂µΦ0∂νΦ0 (4.80)
A integral que intessa aqui e dada por
I ∝∫ ∞
0
dre−A(r)−B(r)/2 (4.81)
82
A possibilidade de localizacao do modo zero para o campo escalar e garantida se
a integral for finita. Portanto, e suficiente que A(r) + B(r)/2 > 0. No caso em que
A(r) = B(r), justamente o que se considera aqui, e necessario apenas que A(r) > 0
para que se tenha a referida localizacao. Verifica-se facilmente que a funcao (2.40) para
A(r) obedece esta condicao. Este resultado mostra que neste caso se obteve localizacao
do modo zero do campo escalar. E importante notar que nao foi necessaria a inclusao
de nenhum mecanismo nao gravitacional para localizacao do campo neste background o
que representa uma vantagem em relacao ao modelo apresentado em [44] que tambem
representa uma brana espessa em seis dimensoes.
O procedimento dado aqui a partir da expressao (4.71) que visa transformar a parte
radial da equacao do movimento em uma equacao do tipo Schrodinger de fato nao e
necessarios para demonstrar a localizacao do modo zero. Bastaria para isso, conforme foi
visto na subsecao (4.1.1), partir da equacao (4.70), que naturalmente admite uma solucao
constante para o modo zero e onda-s e depois inserir esta solucao constante na acao e
mostrar a localizacao. No entanto, o procedimento apresentado aqui e vantajoso quando
se pretende estudar os modos massivos, principalmente quando a equacao (4.70) nao tem
solucao analıtica. Neste caso e necessario avaliar a existencia de graus ressonantes e a
forma do potencial dado na figura (26) da indıcios de que se possa obter localizacao dos
modos massivos tambem.
Para os demais campos, como nesta tese nao se fara o estudo dos modos massivos,
sera feito uso das expressoes obtidas na secao anterior para demonstrar a localizacao dos
mesmos neste cenario e sob que condicoes isso e possıvel.
4.2.2 Campo vetorial
Tudo o que foi desenvolvido na subsecao (4.1.2) pode ser utilizado aqui, uma vez que
se considerou la uma metrica mais geral que 4.65, a metrica considerada nesta secao. Isto
e verdade porque as funcoes P (r) e Q(r) sao validas para A(r) e B(r) quaisquer. Sendo
assim nao e necessario desenvolver mais uma vez em detalhes os calculos que levam a
localizacao do campo vetorial, bastando apenas provar que a integral em r e finita para
a funcao A(r) = B(r) dada em (2.40). A integral interessante aqui e dada em (4.21) que
no caso em estudo resulta
I1 =
∫ ∞0
drP p/2−2Q1/2 = R0
∫ ∞0
dre−12B(r) (4.82)
83
Para que a integral acima seja finita e necessario apenas que B(r) = A(r) seja maior
que zero. Conforme ja foi visto esta condicao e satisfeita o que assegura a localizacao do
campo vetorial neste cenario. E importante notar mais uma vez que a integral depende
apenas da parte da metrica que e dependente de θ, a variavel compacta que nao esta
presente em uma geometria com cinco dimensoes. Mais uma vez fica clara a importancia
da geometria na localizacao de campo em uma brana.
Na proxima subsecao sera analizado o campo fermionico.
4.2.3 Campo fermionico
Conforme foi discutido na subsecao anterior nao e necessario desenvolver toda a
equacao do movimento para o campo fermionico em seis dimensoes para se obter a parte
radial da equacao do movimento e averiguar se a integral em r e finita ou nao. De fato
mais uma vez sera feito uso do que ja foi desenvolvido na secao anterior para fazer essa
averiguacao.
Considerando-se a equacao (4.42) aqui repetida
I 12∝∫ ∞
0
drP32P−2 ∝
∫ ∞0
dre12A(r), (4.83)
percebe-se que nao e possıvel, como na subsecao (4.1.3), obter a localizacao do campo
fermionico para um fator de warp suave A(r) = β ln cosh2(ar) + β2
tanh2(ar), que e dado
em (2.40). E nao e possıvel sequer assumir um β < 0 pois β = 13κ2
6ν2. Portanto neste
caso aqui nao e possıvel recorrer a um fator de warp crescente. A unica saıda e utilizar o
procedimento devido a [48] e que foi discutido na subsecao (4.1.3). Neste caso a condicao
para que se obtenha localizacao vai depender da finitude da integral (4.51) que assumira
a forma
I 12∝∫ ∞
0
(drP−
12 exp
(−2e
∫ r
Q−12Aθ
))=
∫ ∞0
dr exp
(1
2A(r)− 2eR−1
0
∫ r
e12A(r)Aθ
).
(4.84)
Para que esta integral seja convergente e suficiente escolher Aθ = constante. Fazendo isso
e observando que A(r), para r →∞, pode ser aproximada como A(r) = k.r, sendo k uma
constante, ficara facil observar que a integral acima converge. Neste caso ela sera dada
como
I 12∝∫ ∞
0
dr exp
(1
2kr − Ce
12kr
), (4.85)
onde C =2eR−1
0
k. Desde que C > 0 esta integral naturalmente convergira.
84
Com isso conclui-se a localizacao do modo zero do campo fermionico na 4-brana
espessa. Comparando a secao anterior como esta seria necessario considerar o estudo
do campo de Kalb-Ramond para que esta se tornasse semelhante a aquela. No entanto o
campo tensorial, como pode ser visto pela expressao (4.62) nao e localizavel para o caso em
que A = B no defeito tipo corda, a menos que o fator de warp seja exponencial crescente.
Um fator de warp crescente no cenario considerado aqui nao e possivel conforme discussao
acima, portanto o campo tensorial nao pode ser localizado na geometria considerada nesta
secao. Talvez neste caso fosse interessante a autodualidade do campo e o campo auxiliar,
devidamente escolhido, poderia sanar esta dificuldade. No entanto esta abordagem fica
como perspectiva de trabalho futuro.
4.3 Localizacao de campos em uma brana gerada por
ondas gravitacionais estacionarias
Nesta secao sera feito o estudo de localizacao de campos no modelo de ondas gravita-
cionas estacionarias em seis dimensoes descrito na subsecao (3.3.1). Serao considerados
apenas os campos escalar e fermionico. O estudo deste ultimo e bastante relevante pois
em cinco dimensoes nao foi possıvel obter localizacao do fermion direito, enquanto que
em seis dimensoes isto e possıvel, como sera visto. A localizacao do campo escalar sera
considerado inicialmente, ja na proxima subsecao, sendo o campo fermionico considerado
logo depois.
Para facilitar a consulta a metrica usada no referido modelo e repetida aqui
ds2 = e2ar(dt2 − eudx2 − eudy2 − e−3udz2
)− dr2 −R2
0e2ar+udθ2. (4.86)
O fato de ser anisotropica fara com que a equacao do movimento exija tratamento ligeira-
mente diferente do que foi feito nas secoes anteriores uma vez que nao e possıvel escrever
ds26 = e2arηµνdx
µdxν − dr2 −R20dθ
2, sendo ηµν a metrica de Minkowski.
4.3.1 Localizacao do campo escalar
A intencao aqui e verificar se o setup caracterizado por (4.86) localiza o modo zero do
campo escalar. Para isso vale lembrar que a acao para este campo, na referida metrica, e
dada por
85
S =1
2
∫d6x√−ggMN∂MΦ∂NΦ (4.87)
da qual a equacao do movimento e derivada
1√−g
∂M(√−ggMN∂NΦ
)= 0 (4.88)
A partir da metrica (4.86) verifica-se que√−g = R2
0e5ar. Entao a equacao (4.88) pode
ser reescrita como
[∂2t − e−u
(∂2x + ∂2
y
)− e3u∂2
z −e−u
R20
∂2θ
]Φ = e−3ar
(e5arΦ
′)′
(4.89)
Considerando-se para o campo escalar uma solucao do tipo
Φ(xM) = Ψ(r, t)χ(x, y)ζ(z)eilθ (4.90)
e substituindo-se (4.90) em (4.89) resulta no seguinte sistema de equacoes
(∂2x + ∂2
y
)χ+
(p2x + p2
y
)χ = 0, (4.91)
∂2zχ+ p2
zχ = 0 (4.92)
e [∂2t + e−u
(p2x + p2
y
)+ e3up2
z +l2e−u
R20
]Ψ = e−3ar
(e5arΨ
′)′. (4.93)
As quantidades px, py e pz representam as componentes do momento nas direcoes x, y, y,
para u(r, t) = 0, mas no geral nao se pode dizer que se tratam das componentes do
momento no espaco curvo.
Agora retorna-se a (4.93) e separa-se as variaveis r e t assumindo-se Ψ(r, t) = eiEtρ(r),
onde E2 = p2x + p2
y + p2z, o que resulta
(e5arρ(r)
′)′− e3arG(r)ρ(r) = 0, (4.94)
onde
G(r) =(p2x + p2
y
) (e−u − 1
)+ p2
z
(e3u − 1
)+
l2
R20
e−u. (4.95)
Percebe-se por esta ultima expresssao que no caso u = 0 a equacao (4.94) admite uma
86
solucao constante, conforme foi visto na subsecao (4.1.1) e de fato, neste caso, para a < 0,
caso de um fator de warp decrescente, teria-se a localizacao do modo zero, o que nao
poderia deixar de ser, pois para u = 0 o referido cenario e equivalente ao defeito tipo
corda, no que se refere a localizacao de campo.
No entanto, e preciso considerar a solucao geral. Para isso, a maneira do que se fez
na secao (4.2.1), escreve-se a equacao (4.94) em uma forma analoga a um problema de
mecanica quantica nao relativıstica atraves da mudanca de variavel ρ(r) = e−52arΨ(r).
Fazendo isso, obtem-se
Ψ′′(r)− V (r)Ψ(r) = 0, (4.96)
onde
V (r) =25
4a2 + e−2arG(r). (4.97)
Para realizar a localizacao do campo escalar e necessario obter a funcao Ψ, dependente
de r e t em 4.93. Isso sera feito resolvendo-se a equacao 4.96, no entanto apenas o modo
zero e ”onda s”sera considerado, a exemplo do que foi feito nas secoes anteriores. Alem
disso, considerar-se-a ω >> E o que torna razoavel utilizar a media temporal de V (r)
reduzindo o problema a uma unica variavel, r. Sendo assim, usando-se as seguintes
expressoes
ebu =+∞∑n=0
(bu)n
n!(4.98)
ω/2π
∫ 2π/ω
0
[sin(ωt)]m = 2−2n(2n)!(n!)−2; (m = 2n) (4.99)
encontra-se
⟨ebu⟩
= 1 ++∞∑n=1
(b)2n
22n(n!)2[C1e
− 52arJ 5
2(ω
ae−ar) + C2e
− 52arY 5
2(ω
ae−ar)]2n = I0(bρ(r)) (4.100)
onde I0 e a funcao de Bessel modificada do primeiro tipo, de ordem zero. Mesmo neste
caso, como pode-se observar em uma verificacao rapida da expressao (4.100), encontrar
solucao analıtica para (4.96) nao e trabalho simples. Portanto as solucoes aqui obtidas
serao aproximacoes assintoticas.
87
Para C2 = 0 em (3.106), a funcao u(r, t) dependera da funcao de Bessel do primeiro
tipo J 52. Com isso, a expansao (4.100) sera dada por
⟨ebu⟩
= 1 ++∞∑n=1
(bC1)2ne−5anr
22n(n!)2[J 5
2(ω
ae−ar)]2n (4.101)
E possıvel mostrar que esta solucao e aproximadamente constante. Na verdade, para
ω = 12, 3 e a = 1, b.C1 = ±1 ela e aproximadamente 1, conforme se pode observar no
grafico (29) a seguir. Na figura (30) a mesma funcao e plotada considerando-se b.C1 = ±3.
A partir dessas figura pode-se concluir que, para r → 0, r → +∞ e possıvel eliminar os
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0r
0.5
1.0
1.5
2.0eu HrL
Figura 29: Media temporal da exponencialda funcao u, 〈ebu〉 para b.C1 = ±1; a = 1 ;ω = 12, 3
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0r
0.5
1.0
1.5
2.0eu HrL
Figura 30: Media temporal da exponencialda funcao u, 〈ebu〉 para b.C1 = ±3; a = 1 ;ω = 12, 3.
termos que dependem da exponencial em (4.95), seja (e−u − 1) ou (e3u − 1). Na hipotese
de eliminacao do primeiro termo as constantes devem assumir os mesmos valores consider-
ados na figura (25) acima, para a segunda hipotese seria necessario apenas que o produto
bC2 = ±1/3.
O que foi dito acima se justifica em razao da necessidade de se estudar o comporta-
mento de 4.96 em duas regioes distintas: distante e proximo da brana. Para o primeiro
caso, ou seja, r → +∞ o argumento em J 52
vai a zero, (ω/a)e−ar → 0, entao a expressao
4.101 sera aproximada como⟨ebu⟩≈ 1. Consequentemente a equacao 4.96 assumira a
forma simples
Ψ′′(r)− 25
4a2Ψ(r) = 0 (4.102)
cuja solucao e e±52ar. Escolhendo-se Ψ = e−
52ar e a > 0 a solucao para Ψ e naturalmente
88
convergente. Esta solucao e a mesma encontrada em cinco dimensoes, para a localizacao
do campo escalar, no mesmo limite assintotico considerado aqui [9]. No entanto, a funcao
dependente de r que interessa aqui e dada por ρ(r) = e−52arΨ(r), logo ρ(r) = e−5ar.
E necessario que esta solucao uma vez inserida na acao 4.87 resulte em uma integral
convergente em r. A partir da referida acao percebe-se que a integral em r dependera do
determinante da metrica√−g = R0e
5ar e dos termos provenientes de gMN . Estes termos,
por sua vez, resultam em e−2ar. E necessario lembrar que, conforme figura (6) a funcao
u(r, t) → 0 quando r → +∞. Sendo assim a integral resultante em r, a partir da acao
(4.87) e dada por
I0 ∝∫ ∞
0
e−2ardr (4.103)
que e naturalmente convergente para a > 0, o que significa que o campo escalar, ao menos
neste limite, e localizado para um fator de warp crescente.
Mas falta estudar a equacao (4.96) para r → 0. Neste caso as quantidades (e−u − 1) e
(e3u − 1) serao mantidas, sendo assim a equacao (4.96) pode ser aproximada ate segunda
ordem em r como
Ψ′′(r)−
(65
2ca2r2 − 12car + c
′)
Ψ(r) = 0 (4.104)
Essa aproximacao esta baseada na figura (26) em que para r ≈ 0 percebe-se que ebu pode
ser aproximada para uma funcao quadratica em r, dependendo do valor de b.C1. Neste
caso ha uma generalizacao da equacao encontrada em cinco dimensoes para este limite.
As constantes c and c′
sao dadas, respectivamente, por
c =
(C1
Γ(72)
)2 ( ω2a
)5
(p2x + p2
y + 9p2z) (4.105)
c′=
25
4a2 + c (4.106)
A equacao 4.104 e denominada equacao do cilindro parabolico cuja soluao geral e dada
por
Ψ(r) = E1Dµ
(−12(2c)1/4√
a√
653+
(√a√
130c
)r
)
+ E2Dν
(−i12(2c)1/4√
a√
653+ i
(√a√
130c
)r
)(4.107)
onde D e a funcao cilindro parabolico e E1, E2 sao constantes de integracao. Para que se
89
tenha uma solucao real deve-se escolher E2 = 0. Os ındices µ, ν sao dados, respectiva-
mente, por
µ = −64a√
130c− 144c+ 130c′
130a√
130c(4.108)
ν =−4225a
√c− 72
√130c+ 65
√130c
′
8450a√c
(4.109)
Inserindo-se esta solucao na acao para o campo escalar, como se fez antes, a integral
resultante sera
I0 ∝∫ ∞
0
e12arDµ
(−12(2c)1/4√
a√
653+
(√a√
130c
)r
)dr. (4.110)
Esta integral e convergente conforme pode ser visto pelo grafico abaixo. Percebe-se que a
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4r
0.5
1.0
1.5
2.0
e0,5 a rΡ
Figura 31: Integral de e12 ρ para b.C2 = ±3; a = k = pz = 1 ; ω = 12, 3
integral assume um valor maximo na origem e decai a medida que se afasta de zero. Como
foi dito a integral e convergente, como no outro limite considerado acima. Para este grafico
as constantes devem assumir os seguintes valores: a = 1, ω = 12, 3, c = 2.831, 62, c′
=
2837, 87 e as constantes C1 e E1 foram ajustadas, a primeira ficando dependente de c e
das componentes do momento e a segunda assumindo o valor E1 = 0, 001 para compensar
os valores elevados de c e c′. Estes valores foram escolhidos assim para que se tivesse
µ = 0, embora se pudesse considerar outras ordens para a funcao cilindro parabolico.
Estes resultados mostram que ha localizacao do modo zero para o campo escalar neste
modelo. Conforme se observou no outro limite, a localizacao e possıvel para um fator de
warp crescente, diferente do modelo tipo corda no qual a localizacao ocorre para um fator
de warp decrescente. [11, 12].
Na proxima subsecao sera estudada a localizacao do modo zero do campo fermionico
neste mesmo cenario. Como sera visto, mais uma vez e possıvel obter a localizacao para
um fator de warp crescente e neste caso este modelo em seis dimensoes se mostra mais
eficaz na lozalizacao de campos do que sua versao em cinco dimensoes.
90
4.3.2 Localizacao do modo zero do campo fermionico
E o momento de estudar a localizacao do modo zero para o campo fermionico na
brana gerada por ondas gravitacionais estacionarias. E um procedimento que muito se
assemelha ao que foi discutido na subcecao (4.1.3), no entanto em virtude das dferencas
na geometria e necessario detalhar a equacao do movimento resultante nesta geometria,
ao inves de aproveitar o que ja foi feito para o caso do defeito tipo corda. A acao para o
campo fermionico em seis dimensoes nao muda
S =
∫d6x√−gΨiΓMDMΨ. (4.111)
A equacao do movimento pode ser escrita em termos de suas componentes na brana e das
componentes extras (ΓµDµ + ΓrDr + ΓθDθ
)Ψ(xM) = 0 (4.112)
onde ΓM representa as matrizes curvas que como se viu se relacionam com as matrizes
planas pela expressao
ΓM = hMMγM , (4.113)
na qual o o vielbein hMM
e dado por
gMN = ηMNhMMh
NN . (4.114)
A derivada covariante assume a forma padrao
DM = ∂M +1
4ΩMNM γMγN (4.115)
e a conexao de spin ΩMNM e definido como
ΩMNM =
1
2hNM
(∂Mh
NN − ∂NhNM
)+
−1
2hNN
(∂Mh
MN − ∂NhMM
)− 1
2hPMhQNhRM
(∂PhQR − ∂QhPR
)(4.116)
A partir da metrica (4.86), dada no inıcio desta secao, e da expressao para as matrizes
gama (4.113) encontra-se explicitamente a relacao entre as matrizes curvas e planas
Γt = e−arγ t; Γx = e−ar−u2 γx; Γy = e−ar−
u2 γ y;
Γz = e−ar+3u2 γ z; Γr = γ r; Γθ = R−1
0 e−ar−u2 γ θ. (4.117)
Baixando-se os ındices basta inverter as funcoes que multiplicam as matrizes planas para
que se obtenha novamente a relacao delas com as matrizes curvas.
91
As componentes nao nulas da coonexao de spin (4.116) sao
Ωtxx = Ωty
y =1
R0
Ωtθθ = − u
2eu/2; Ωtz
z =3u
2e−3u/2; Ωrz
z =
(a− 3u
′
2
)ear−3u/2;
Ωrxx = Ωry
y =1
R0
Ωrθθ =
(a+
u′
2
)ear+u/2; Ωrt
t = aear. (4.118)
Mais uma vez admite-se o caso em que ω >> E de tal forma que seja valido tomar
a media temporal da equacao do movimento para o fermion (4.112). Alem disso assume-
se que o spinor possa ser decomposto como Ψ(xA) = ψ(xµ)ρ(r)eilθ. Satisfeitas essas
condicoes a equacao do movimento pode ser escrita como[D + γr
(5a
2+ ∂r
)− e−arR−1
0 l2⟨e−u/2
⟩]ψ(xµ)ρ(r) = 0, (4.119)
onde o operador D e dado por
D = e−ar[(⟨
e−u/2⟩− 1)
(γx∂x + γy∂y) +(⟨e3u/2
⟩− 1)γz∂z
]. (4.120)
Para obter estas expressoes admitiu-se que na brana u = 0 o que conforme foi visto
quando se obteve a funcao u e verdade. Sendo assim e valido escrever γµ∂µψ(xν) = 0 ou
γt∂tψ(xν) = −γi∂iψ(xν).
Mais uma vez nao e possıvel encontrar uma solucao analıtica pra equacao resultante
(4.119) portanto sera necessario considerar os limites r → 0 e r → ∞. Como foi visto
na secao (4.3.1) e possıvel escolher as constantes de tal forma que 〈ebu〉 ≈ 1 para ambos
os limites considerados anteriormente. Admitindo esta condicao e considerando a onda-s
(l = 0), o operador 4.120 se anula e a equacao (4.119) assume a forma simples(5a
2+ ∂r
)ρ(r) = 0. (4.121)
A solucao para esta equacao e simplesmente ρ(r) = F1e−(5/2)ar, sendo F1 uma constante
de integracao. Inserindo-se esta solucao na acao (4.111) a integral em r sera dada como
I1/2 ∝∫ ∞
0
dre−ar. (4.122)
Portanto a integral e convergente e pode-se afirmar que ha localizacao do modo zero do
campo fermionico para a > 0 neste caso. Este e um resultado esperado haja vista que
para a > 0 o fator de warp nesse modelo e crescente e este resultado se assemelha ao que
foi obtido no defeito tipo corda. Modelo semelhante a este, inclusive com semelhantes
resultados para localizacao dos campos escalar, vetorial e fermionico foi recentemente
92
considerado na literatura [76].
Assim fica concluıdo este ultimo capıtulo da tese. Ainda seria necessario considerar
os campos vetorial e tensorial para que esta secao se assemelhasse as outras duas deste
capıtulo. O campo vetorial e certamente localizavel, haja vista os resultados obtidos no
trabalho mencionado anteriormente. Quanto ao campo tensorial fica como perspectiva de
trabalho futuro estudar a localizacao do mesmo neste cenario. Resta ainda o estudo dos
modos massivos que nao foram considerados seja em cinco ou seis dimensoes.
Poder-se-ia tambem estudar a localizacao de campos no modelo descrito na subsecao
3.3.3. De fato estes estudos foram realizados e os resultados fazem parte de um trabaho
submetido ao JHEP, [30]. os resultados da localizacao dos campos escalar e fermionico
nesta geometria nao foram considerados aqui por se assemelhar bastante com o que se
obteve nesta ultima subsecao.
A seguir encontram-se algumas conclusoes sobre os resultados obtidos e descritos nesta
tese, alem de perspectivas de trabalhos futuros.
93
5 CONCLUSOES EPERSPECTIVAS
No contexto de mundo brana ha interesse de estudar, alem da propria cosmologia, a
possibilidade de localizacao dos campos do modelo padrao nos referidos modelos (como
ja foi citado alguns estudos se preocupam exclusivamente em estudar a cosmologia). Vale
ressaltar tambem que a resolucao de problemas que nao encontram resposta no modelo
padrao, como o problema da hierarquia, e uma das grandes motivacoes para o estudo de
modelos de brana. Alem disso ha uma busca por modelos anisotropicos que em alguns
aspectos ou , em outras palavras, determinados perıodos do desenvolvimento do universo
parecem mais adequados para descrever nosso universo que o modelo FLRW.
Ao longo desta tese foi realizado o estudo de mundo brana em cinco e seis dimensoes,
enaltecendo principalmente os modelos de brana anisotropica com solucao de onda esta-
cionaria e em seis dimensoes. Iniciou-se com o estudo de modelos em cinco dimensoes
contemplando branas fina e espessa. No contexto de brana fina em cinco dimensoes foi
revisado, na subsecao (2.1.2), o modelo de Randall-Sundrum tipo I, [4]. No que se refere
a brana espessa foi feita uma revisao do modelo considerado por Kehagias, [4], o qual
propoe uma brana gerada por um campo escalar tipo kink, (2.1.1). Estes modelos de
grande relevancia na literatura, particularmente o primeiro, sao de relevancia particular
nesta tese. O primeiro por ser paradgmatico na literatura de mundo brana e o segundo
por apresentar uma generalizacao desse e por se apresentar mais realista uma vez que
uma membrana real tem espessura nao desprezıvel. Este tambem tem se mostrado mais
eficaz quanto a localizacao de modos massivos. O outro modelo em cinco dimensoes e
justamente o de Merab, [18], o qual motivou o trabalho se pode considerar como dos
principais desta tese - a solucao de onda estacionaria para uma brana em seis dimensoes.
O modelo de Merab representa uma generalizacao do modelo de RS, mas nao do modelo
de Kehagias uma vez que nao e possıvel converter o primeiro no segundo por alguma
aproximacao. Apesar de o modelo de Merab ter um comportamento que de certa forma
94
se assemelha a um modelo de brana espessa, nao e exatamnte uma brana espessa. Como
se viu na subsecao (3.1) a solucao de ondas estacionarias em cinco dimensoes se da na
presenca de um campo do tipo fantasma. Trata-se de uma fonte de materia exotica e
de fato nao satisfaz as condicoes de energia. No entanto, o modelo e mergulhado em
uma geometria de Weyl em cinco dimensoes, a qual e estavel. Nesse contexto merece
uma reflexao a respeito da necessidade de satisfazer as condicoes de energia para que se
tenha um modelo estavel. De toda forma a violacao das condicoes de energia em cinco
dimensoes despertou o interesse por solucoes de ondas estacionarias na presenca de uma
fonte normal de materia. Ainda em cinco dimensoes foi feito um esforco no sentido de
se obter uma solucao de onda estacionaria no vacuo, a maneira do que existe em qua-
tro dimensoes. Estas tentativas estao descritas na subsecao (3.2). Ao menos atraves da
abordagem la implementada pode-se dizer que tal solucao nao e possıvel. Vale ressaltar
que se tal solucao fosse possıvel em certo sentido viabilizaria a possibilidade de solucao
na presenca de um campo ”fısico”ou ”canonico”ou nao fantasma, o qual pode representar
materia normal. Como nao foi possıvel em cinco dimensoes restou buscar por tal solucao
em seis dimensoes.
Como se viu foi possıvel generalizar o modelo de Merab para seis dimensoes mantendo
a solucao de ondas gravitacionais estacionarias. Foram obtidas tres solucoes ligeiramente
diferentes: a primeira representa uma brana fina anisotropica, gerada por um campo
escalar do tipo fantasma, em seis dimensoes (3.3.1). Este modelo e muito similar ao
de Merab com a vantagem de ser mais eficiente quanto a localizacao de campos. No
que se refere ao tipo de materia que o gera nao difere do modelo de cinco dimensoes,
tratando-se mais uma vez de uma teoria na presenca de materia exotica. Os resultados
dessa subsecao, juntamente com a localizacao dos campos escalar e fermionico foram
submetidos a revista PRD, [29]. A outra solucao corresponde a uma brana espessa, no
entanto e uma solucao incompleta tendo em vista que nao se resolveu a equacao para
encontrar o campo escalar que gera a brana. Porem pelos resultados obtidos ate esse
ponto ja se percebe que a solucao pode ser do tipo onda gravitacional estacionaria mas a
materia que o gera tambem apresenta natureza exotica (3.3.2). A terceira solucao seria
uma generalizacao do defeito tipo corda global para o caso em que a brana e anisotropica,
(3.3.3). Esta solucao se mostrou mais interessante que as demais porque apesar de se dar
na presenca de uma materia nao normal, mas que tambem nao e exotica. Alem disso ela
apresenta a possibilidade de resolucao do problema da hierarquia o que nao e possıvel
no modelo de Merab ou no modelo de seis dimensoes considerado em (3.3.1). 1. Por
1Vale ressaltar que, dependendo da forma da solucao para o campo escalar no modelo de brana
95
fim, esta ultima solucao pode ser adaptada de tal forma que se tenha uma solucao na
presenca de fonte normal de materia. Esta ultima admite a variacao de Λ ao longo das
coordenadas extras. Modelos que assumem que a constante cosmologica sofra variacao
espaco-temporal existem na literatura, e esta propriedade foi utilizada na construcao
desta solucao de ondas estacionarias. Os resultados obtidos nesta secao, acrescidos da
localizacao dos campos escalar e fermionico, estao em um trabalho submetido ao JHEP,
[30].
Outro objetivo da tese consistia no estudo da localizacao de campos em modelos de
brana isotropica e anisotropica, em seis dimensoes. Conforme foi explicitado ao longo desse
texto, a possibilidade de localizacao de campo em brana anisotropica, em cenarios mais
gerais do que os ja existentes na literatura, se mostrou bastante viavel. Antes, porem, de
abordar o estudo de localizacao de campos nas branas anisotropicas e importante resaltar
a solucao do tipo brana espessa, em seis dimensoes que foi obtida na subsecao (2.2.1).
Este modelo generaliza o defeito tipo corda discutido na subsecao (2.2.2), alem de ser
mais geral tambem que o modelo considerado por Koley [45], o qual tambem considera
uma 4-brana em um bulk com seis dimensoes em que a dimensao compacta pertence a
brana e deve ser considerada pequena o suficiente para que a membrana possa representar
o universo visıvel (compactificacao hıbrida); e mais ”eficiente”ainda, do ponto de vista da
localizacao de campos, que aquele modelo descrito em [44], pois como pode ser visto, a
localizacao do campo escalar no cenario apresentado aqui nao exigiu nenhuma interacao
alem da gravitacional. Os resultados obtidos nessa subsecao, como ja foi dito, foram
publicados na revista PRB, [27]. Ainda no contexto de brana isotropica, particularmente
no defeito tipo corda foi realizado o estudo de localizacao dos campos escalar, vetorial,
fermionico e tensorial. O estudo deste ultimo nesse contexto ainda era inedito na literatura
e tais resultados foram publicados tambem na PRB [16].
Dos modelos de ondas estacionarias em seis dimensoes apresentados nesta tese apenas
um foi testado quanto a localizacao de campos, justamente o modelo de brana anisotropica
fina, (3.3.1). O modelo de brana espessa nao poderia ter sido utilizado pois nao foi re-
solvido completamente. O modelo tido como mais interessante, ao menos do ponto de
vista da materia que o gera, alem do fato de resolver o problema da hierarquia, nao teve
os resultados de localizacao de campos apresentados aqui. A razao de nao ter sido consid-
erado a localizacao de campos nesta geometria e que tais resultados muito se assemelham
aos que foram obtidos para o modelo de brana fina. Isso ocorre porque ambos os modelos
espessa, se for possıvel resolver a equacao, ela tambem se mostra conveniente para resolver o problemada hierarquia.
96
tem como solucao para a variavel radial r a funcao do primeiro tipo de Bessel, J , sendo
possıvel obter o segundo modelo como simplificacao do primeiro, que e mais geral.
Para o modelo de brana fina descrito na subsecao (3.3.1) foi realizado o estudo de
localizacao dos campos escalar, (4.3.1), e campo fermionico, (4.3.2). Em ambos os casos foi
considerado uma media temporal das equacoes interessantes para localizacao, justamente
as que se referem a variavel radial r. A localizacao do campo escalar se deu para um fator
de warp exponencialmente crescente, o contrario do que ocorre em cinco e seis dimensoes,
nos modelos de RS e defeito tipo corda, respectivamente. Este fato parece esta relacionado
com a geometria da brana que e anisotropica. Ja para o campo fermionico o resultado se
assemelha ao que foi encontrado por Oda, para um defeito tipo corda, [11].
Estes foram, em suma, os reultados obtidos ao longo do desenvolvimento desta tese.
Pode-se dizer que os objetivos foram alcancados, uma vez que foi possıvel construir mod-
elos de brana isotropicos e anisotropicos, de estudar a localizacao de campos em ambos
os cenarios e ainda foi possıvel construir um modelo anisotropico na presenca de fonte
normal de materia. Este ultimo, bem como o modelo construıdo a partir de materia nao
normal, esta apto a resolver o problema da hierarquia.
Resta alguns desenvolvimentos a serem feitos e que fica como perspectiva de trabalho
futuro. Um dos primeiros seria a complementacao do modelo de brana espessa, inclusive
para melhor analizar se a materia do qual e gerado e mesmo exotica como se supoe ou se
traz alguma grata surpresa. Outros desenvolvimentos que parecem imediatos sao o estudo
de localizacao dos campos gravitacional, vetorial e tensorial neste contexto. E importante
ressaltar que o estudo desses campos ja foi realizado em cinco dimensoes, sendo possıvel
a localizacao. Em seis dimensoes o campo vetorial foi considerado em um modelo muito
semelhante ao que foi apresentado aqui, [76]. Neste modelo, alem do campo vetorial
foram estudados o campo escalar e o campo fermionico, portanto apesar de que esses
estudos nao foram realizados nesta tese e muito provavel a localizacao desses campos
nos modelos aqui considerados. Uma outra abordagem que devera ser implementada
e a busca de um modelo de 3-brana anisotropica com solucao de ondas estacionarias.
Seria uma generalizacao do defeito tipo corda. E interessante ainda considerar o estudo
de localizacao dos modos massivos o que nao foi feito ainda seja em cinco ou em seis
dimensoes. Neste contexto talvez se mostre interessante a solucao de brana espessa. Por
fim fica a intencao de estudar esse modelos do ponto de vista de sua cosmologia para que
se possa dessa maneira verificar de forma mais concreta sua viabilidade na resolucao de
problemas em fısica.
97
Eis portanto o trabalho que nos propomos realizar. E nossa pretensao continuar os
estudos das solucoes aqui obtidas, aprimora-las e testa-las no campo fenomenologico. E
nosso desejo que este trabalho seja util para os que se aventurarem neste tema.
98
6 APENDICE - CONDICOESCLASSICAS DE ENERGIA
Neste breve apendice serao apresentadas as condicoes classicas de energia conforme
descritas em livros textos como Wald, [52], Hawking, [77] e Visser, [78]. Optou-se por usar
um apendice por entender que este conteudo, embora importante nas discussoes presentes
principalmente no capıtulo (3), nao faca parte do conteudo principal da tese. A exposicao
aqui feita esta amparada no que vem principalmente no segundo livro citado acima e nao
houve preocupacao no sentido de provar as ditas condicoes de energia.
De acordo com Visser [78] ha no mınimo sete condicoes de energia que sao rotineira-
mente ”invocadas”em Relatividade Geral, quais sejam: a condicao nula de energia - NEC
(do ingles Null energy condition); a condicao fraca de energia - WEC (weak energy con-
dition); a condicao forte - SEC (strong energy condition); a condicao dominante - DEC
(dominant energy condition); a condicao de energia nula media - ANEC (averaged null
energy condition); condicao fraca de energia media - AWEC (averaged weak energy con-
dition) e, finalmente, a condicao forte de energia media - ASEC (averaged strong energy
condition). Apesar de haver estas sete condicoes nem todas costumam ser usadas em um
mesmo contexto. Para esta tese e suficiente recorrer apenas as quatro primeiras, portanto
apenas estas serao descritas aqui. Para um tensor momento energia escrito na forma
diagonal Tµν = (ρ, p1, p2, p3) as condicoes de energia acima podem ser definidas como
segue.
6.1 Condicao nula de energia - NEC
A condicao nula de energia estabelece que para algum vetor nulo kµ a desigualdade
Tµνkµkν ≥ 0 e satisfeita. Em termos das componentes do tensor momento energia isto e
escrito como
ρ+ pj ≥ 0, ∀j (6.1)
99
Esta condicao de energia e utilizada, por exemplo, no teorema de singularidade de Penrose
[78]. Ela e suficiente para garantir que a densidade do universo diminui quando seu volume
aumenta e sua violacao significa que algo de muito incorreto foi feito, [79]. Segundo a
classificacao dada em [79] a materia que viola a condicao nula e dita ”exotica”.
6.2 Condicao fraca de energia - WEC
Para satisfazer a WEC e necessario que a materia satisfaca TµνVµV ν ≥ 0 em que V µ
e algum vetor tipo tempo. Esta condicao exige que a densidade de energia medida por
algum ”observador tipo tempo”seja positiva. Sua expressao em termos das componentes
de Tµν e a seguinte
ρ > 0, ρ+ pj ≥ 0, ∀j. (6.2)
Como se ver a condicao WEC engloba a condicao NEC.
6.3 Condicao forte de energia - SEC
Esta condicao tambem esta definida em termos de vetores tipo tempo. Ela estabelece
que sendo V µ algum vetor tipo tempo entao e valida a desigualdade(Tµν − T
2gµν)V µV ν ≥
0, sendo T = Tµνgµν . Isto pode ser escrito como
ρ+ pj ≥ 0, ρ+∑j
pj ≥ 0, ∀j. (6.3)
A condicao SEC compreende a condicao nula mas nao implica, em geral, a condicao fraca
[78]. Barcelo e Visser afirmam que a condicao SEC e violada em todo processo cosmologico
inflacionario. Mais que isso, afirmam ser a violacao da SEC uma propriedade generica
de campos escalares. Ha inclusive quem sugira que esta condicao seja abandonada como
restricao razoavel nas propriedadas da materia [80]. Seguindo a classificacao de Visser
[79] a materia que viola especificamente a condicao SEC secebe o nome de anormal.
6.4 Condicao dominante de energia - DEC
Por fim a condicao dominante de energia exige que TµνVµV ν ≥ 0 e que TµνV
ν nao
seja tipo espaco. Em termo de ρ e p tem-se
ρ > 0, e pj ∈ [−ρ,+ρ], ∀j. (6.4)
100
Atraves do ”teorema da conservacao”Hawking e Ellis mostram, usando a DEC, que nao
e possıvel haver propagacao de energia fora do cone de luz. Isso implica em que se uma
fonte de energia obedece a DEC ela e estavel [81].
Para completar a nomenclatura a respeito dos tipos de materia, segundo classificacao
dada por Visser, [79], chama-se ”materia normal”aquela que obedece as quatro condicoes
de energia acima. Se alguma fonte viola alguma daquelas condicoes e chamada de ”nao
normal”; e anormal se viola SEC e exotica quando viola NEC, como ja se disse. O
mesmo autor afirma que a violacao da NEC se da normalmente em nıveis quanticos.
Classicamente ”toda lagrangeana decente”satisfaz tal condicao (vale ressaltar, no entanto,
que o modelo de brana dado em [45], quando se considera um campo do tipo fantasma
como fonte, viola esta condicao). No entanto, encontrar fontes que violam WEC e DEC
e relativamente facil, enquanto que a violacao destas duas mas, concomitantemente, a
satisfacao de NEC e SEC e possıvel atraves de uma constante cosmologica negativa. Por
fim, violar SEC e facil (mas nao tanto) e desobedece-la obedecendo as demais e possıvel
atraves de uma constante cosmologica positiva ou atraves de uma epoca cosmologica
inflacionaria [79].
A violacao de algumas destas condicoes pode ser vista em teorias bastante familiares.
A condicao SEC pode ser violada, por exemplo, em teoria com um campo escalar min-
imamente acoplado. No efeito Casemir todas as quatro condicoes acima WEC, SEC,
DEC e NEC sao violadas. O dito ”vacuo comprimido”tambem viola as quatro condicoes
anteriores, mas assim como o efeito Casimir nao viola as condicoes de energia medias
AWEC, ANEC, ASEC. Outras situacoes em que ocorrem violacao destas condicoes sao
na evaporacao de Hawking, no vacuo de Hartle-Hawking e em inflacoes cosmologicas [78].
101
REFERENCIAS
[1] ANTONIADIS, I.; ARKANI-HAMED, N.; DIMOPOLUS, S.; DVALI, G. New dimen-sions at a millimeter to a Fermi and superstrings at a TeV, Phys.Lett. B, 436, (1998)257–263.
[2] ANTONIADIS, I.; ARKANI-HAMED, N.; DIMOPOLUS, S.; DVALI, G. The Hierar-chy problem and new dimensions at a millimeter, Phys. Lett. B, 429, (1998), 263–272.
[3] ANTONIADIS, I.; ARKANI-HAMED, N.; DIMOPOLUS, S.; DVALI, G. Phys. Rev.D, 59, Phenomenology, astrophysics and cosmology of theories with submillimeterdimensions and TeV scale quantum gravity, (1999), 086004.
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