lİneer cebİr - İstanbul Üniversitesiauzefkitap.istanbul.edu.tr/kitap/endustrimuhlt_ue/...tanım...

LİNEER CEBİR

ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ LİSANS PROGRAMI

DOÇ. DR. MÜCTEBA UYSAL

İSTANBUL ÜNİVERSİTESİ AÇIK VE UZAKTAN EĞİTİM FAKÜLTESİ

İSTANBUL ÜNİVERSİTESİ AÇIK VE UZAKTAN EĞİTİM FAKÜLTESİ

ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ LİSANS PROGRAMI

LİNEER CEBİR

DOÇ. DR. MÜCTEBA UYSAL

Yazar Notu

Elinizdeki bu eser, İstanbul Üniversitesi Açık ve Uzaktan Eğitim Fakültesi’nde okutulmak için

hazırlanmış bir ders notu niteliğindedir.

1

ÖNSÖZ

Lineer cebir son yıllarda matematikçilerin, mühendislerin, matematik öğretmenlerinin,

iktisatçıların… vb matematiksel altyapıları için lüzumlu bir parçası haline geldi. Dolayısıyla bu

kitabın amacı insanların belirgin alanlarını ne olursa olsun lineer cebir dersi için bir giriş sunmaktır.

Bu amaçla bu kitapta irdelenecek konular: Matrisler, Lineer denklem sistemleri, vektör uzayları,

lineer dönüşümler, iç çarpım uzayları, determinantlar, özdeğer ve öz vektörlerdir.

2

İÇİNDEKİLER

ÖNSÖZ ...................................................................................................................................... 1

İÇİNDEKİLER .......................................................................................................................... 2

KISALTMALAR……………………………………………………………………………....5

YAZAR NOTU………………………………………………………………………………...6

1. MATRİSLER………………………………………………………………………………..7

1.1Matrisin Tanımı ve Gösterilişi………………………………………………………….....13

1.2. Matrislerin Eşitliği ...................................................... Hata! Yer işareti tanımlanmamış.4

1.3. Özel Tipte Matrisler ................................................... Hata! Yer işareti tanımlanmamış.5

I.3.1. Satır Matris ve Sütun Matris .......................................................................................... 15

I.3.2. Kare Matris………………………………………………………………………..16

I.3.3. Bir Kare Matrisin İzi………………………………………………………………16

I.3.4. Sıfır Matris………………………………………………………………………...17

I.3.5. Köşegen Matris……………………………………………………………………17

I.3.6. Skaler Matris……………………………………………………………………....18

I.3.7. Birim Matris………..……………………………………………………………..18

I.3.8. Üst Üçgensel Matris ve Alt Üçgensel Matris……………………………………...19

I.3.9. Matris Fonksiyonları……………………………………………………………....19

I.3.10. Matris Fonksiyonlarının Türevi………………………………………………….19

I.3.11. Matris Fonksiyonlarının İntegrali………………………………………………...20

2. MATRİSLERLE ARİTMETİK İŞLEMLER .................. Hata! Yer işareti tanımlanmamış.

2.1.Matrislerin Toplanması ve Skalerle Çarpılması………………………….........................32

2.2.Bir Matrisle vektörün çarpımı…………………………………………………………….34

2.3. Matrislerin Çarpımı………………………………………………………………………34

2.4. Matrisin Transpozesi……………………………………………………………………..40

2.5. İki Vektörün Skaler Çarpımı…………………………………………………………….41

2.6. Lineer Denklem Sistemi ve Matrisler .......................... Hata! Yer işareti tanımlanmamış.

3.BASAMAK MATRSİLER……………………………………………………………...….54

3.2. Elemanter (İlkel) Satır ve Sütun İşlemleri ......................................................................... 55

3.3. Blok Matrisler ................................................................................................................... 59

4.ELEMANTER MATRİSLER………………………………………………………………66

3

4.1. Elemanter (İlkel) Matrisler……………………………………………………………….72

4.2. Lineer Denklemlere Giriş .................................................................................................. 78

5. LİNEER DENKLEMLER ................................................................................................... 86

5.1. Lineer Denklem Sisteminin Çözümü ................................................................................ 92

5.2. Gauss Eliminasyon Yöntemi ............................................................................................. 93

5.3. Gauss –Jordan İndirgeme Yöntemi ................................................................................... 94

6. HOMOJEN LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİ VE VEKTÖR UZAYLARI ................ 105

6.1.Homojen Lineer Denklem Sistemleri...............................................................................111

6.2. Vektör Uzayları…………………………………………………………………………114

6.3. Alt Uzaylar ...................................................................................................................... 117

7.LİNEER BAĞIMSZILIK, BAZ VE BOYUT……………………………………………124

7.1. Lineer Bağımsızlık .......................................................................................................... 130

7.2. Baz ve Boyut ................................................................................................................... 135

8.KOORDİNATLAR VE BAZ DEĞİŞİMİ…………………………………………………145

8.1. Koordinatlar ve Baz Değişimi ......................................................................................... 151

8.2. Bir Matrisin Rankı ........................................................................................................... 156

8.2.1 Lineer Sistemlerle Rank İlişkisi……………………………………………………...159

9. İÇ ÇARPIM UZAYLARI .................................................................................................. 167

9.1. İç Çarpım ......................................................................................................................... 173

9.1.1 Cauchy-Schwarz Eşitsizliği ........................................................................................... 177

9.2. Vektörlerin Ortogonallığı ................................................................................................ 179

10.ORTONORMAL TABAN VE DETERMİNATA GİRİŞ……………………………….187

10.1. Ortonormal Taban ........................................................................................................ 193

10.2.. Determinantlar.............................................................................................................. 197

10.2.1. Determinantın Tanımı ve Geometriksel Manası ................................................ 197

10.2.2. Minörler ve Kofaktörler……………………………………………………….Hata! Yer işareti tanımlanmamış.

11. DETERMİNANTLAR VE UYGULAMALARI……………………………………….207

11.1.. Determinantın Özellikleri. ............................................................................................ 213

11.2.. Elemanter Matrislerin Determinantları ........................................................................ 214

11.3. Bir Matrisin Tersi .......................................................................................................... 217

11.4. Cramer Kuralı ................................................................................................................ 220

4

12. ÖZDEĞERLER VE ÖZVEKTÖRLER ........................................................................... 228

12.1. Özdeğerler ve Özvektörlerin Tanımı ............................................................................. 234

12.2. Köşegenleştirme ............................................................................................................ 238

13. ÖZDEĞER VE ÖZ VEKTÖRLERİN UYGULAMALARI……………………………249

13.1. Cayley-Hamilton Teoremi ............................................................................................. 255

13.2. Özdeğer ve Özvektörlerin Diferansiyel Denklemlere Uygulanışı .............................. 259

14. LİNEER DÖNÜŞÜMLER ............................................................................................... 269

14.1. Lineer Dönüşümün Tanımı ........................................................................................... 275

14.2. Lineer Dönüşümün Çekirdeği ve Görüntüsü ................................................................ 279

14.3. Lineer Dönüşümün Matris Gösterimi ........................................................................... 281

KAYNAKÇA……………………………………………………………………………….292

5

KISALTMALAR

L: Lineer

ÇekL: L nin Çekirdeği

Adj: Ek matris

Det: Determinant

YAZAR NOTU Bu kitapta konular öncelikle tanımları ve gerekli teoremleri ile anlatılmıştır. Sonrasında her konu

ile ilişkili çözümlü örnekler verilmiştir. Bu çözümlü örnekleri öğrencilerin kendilerinin de

uğraşarak bulmaları önerilir. Ayrıca son olarak bölüm soruları kısmında öğrencilere cevaplı test

soruları bırakılmıştır. Bu soruların da çözülerek cevaplarının karşılaştırılması ve başarının düşük

olması halinde ilgili bölüme tekrar çalışması önerilir. Bazı küçük matematiksel ve imla yazım

hatalarının doğal karşılanmasını temenni ederim.

6

1. MATRİSLER

7

Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?

1.1. Matrisin Tanımı ve Gösterilişi ..................................... Hata! Yer işareti tanımlanmamış.

1.2. Matrislerin Eşitliği ........................................................ Hata! Yer işareti tanımlanmamış.

1.3. Özel Tipte Matrisler ..................................................... Hata! Yer işareti tanımlanmamış.

I.3.1. Satır Matris ve Sütun Matris ..................................... Hata! Yer işareti tanımlanmamış.

I.3.2. Kare Matris………………………………………………………………………...9

I.3.3. Bir Kare Matrisin İzi………………………………………………………………9

I.3.4. Sıfır Matris………………………………………………………………………..10

I.3.5. Köşegen Matris……………………………………………………………………10

I.3.6. Skaler Matris……………………………………………………………………...11

I.3.7. Birim Matris………..…………………………………………………………….11

I.3.8. Üst Üçgensel Matris ve Alt Üçgensel Matris…………………………………….11

I.3.9. Matris Fonksiyonları……………………………………………………………...11

I.3.10. Matris Fonksiyonlarının Türevi………………………………………………..12

I.3.11. Matris Fonksiyonlarının İntegrali………………………………………………12

8

Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular

Matris nedir?

Matrisleri teknolojide nerelerde kullanırız?

Bir uçağın 3 boyutlu modellemesi ile matrislerin nasıl bir ilşkisi olabilir?

9

Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri

Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği

Matrisin Tanımı ve Gösterilişi

Matrisin tanımı ve

gösterilişi kavrayabilmek.

Okuyarak, fikir yürüterek, ve uygulama yaparak

Özel Tipte Matrisler Özel Tipte Matrisleri saptayabilmek

Okuyarak, fikir yürüterek, ve uygulama yaparak.

Matris Fonksiyonları Matrisler ile Fonksiyonlar

arasındaki ilişkiyi kavramak Okuyarak, fikir yürüterek, uygulama yaparak ve

araştırarak

10

Anahtar Kavramlar

Matris

Birim Matrris

Köşegen matris

Üçgensel matris

11

Giriş

Bu bölümde Lineer Cebir dersi için taban teşkil eden Matrislerin tanımı verecek ve bazı özel tipte matrisleri tanıyarak matrislerle aritmetik işlemlere giriş yaparız.

12

I.1.Matrisin Tanımı ve Gösterilişi

Matrisler; Temel bilimler, Mühendislik ve Sosyal bilimlerin uygulamasında sıkça

kullanıldıklarından birçok bilim dalı içim önemli bir yer teşkil etmektedirler. Matris hesabı

19.yüzyılın ortalarından beri bilinmektedir. Günümüzde ise teknolojinin gelişmesiyle birlikte

matrislerin kullanım alanları da genişlemektedir.

Tanım I.1: K bir skalerler cismi olmak üzere sonlu sayıdaki elemanları: ija ler olsun.

Burada 1,2,...,i m ve 1,2,...,j n dir. Bu elemanların dikdörtgen bir tabloda sıralanmış

11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 2

1 2 1 2

... ...

... ...

... ... ... ... ... ... ... ...

... ...

n n

n n

m m mn m m mn

a a a a a a

a a a a a a

a a a a a a

(I.1)

biçimine m n tipinde bir matris veya mertebesi m n olan bir matris denir. Buradaki

m satır sayısını, n ise sütun sayısını temsil etmektedir. Matrisler genellikle A,B,C,... gibi

büyük harflerle ve m n tipinde bir matris kısaca ij ijm n

a a

A veya ij m na

A hatta

bazı kaynaklarda ijaA ile gösterilmektedir. Buradaki ija elemanı matrisin .i satır ile .j

sütununun kesiştiği yerdedir. Bir matrisin ij m n

a

A gösteriminde indislerin sırası

önemlidir. ija elemanının sağ altına yazılan ilk indis i bu elemanın ait olduğu satırı, ikinci

indis j ise ait olduğu sütunu gösterir.

Tanım I.2:: Karşılıklı satır sayıları ve sütun sayıları eşit olan iki matrise aynı boyutlu veya

aynı tipte matrisler denir.

Örnek I.1

cismi üzerinden tanımlanan

13

3 2

1 2

3 0

2 / 3 4

x

A ve 3 2

2 5

0 0

2 5 4

x

B matrisleri aynı tiptendir.

Örnek 1.2.

1 3, 1 4i j için elemanları 1ija

i j

olan 3 4 boyutlu

ija A matrisi,

1 1 1 1

2 3 4 5

1 1 1 1

3 4 5 6

1 1 1 1

4 5 6 7

A

biçiminde gösterilir.

I.2. Matrislerin Eşitliği

Tanım I.3. :ija A ve

ijb B matrisleri verilsin. Eğer her 1,2,...,i m ve 1,2,...,j n

için ij ija b ise veA B matrislerine eşit matrisler denir ve bu matrisler A B şeklinde

gösterilir. Matematiksel olarak,

1,2,...,i m ve 1,2,...,j n için ij ija b A B

gösterilir.

Örnek I.3

2x y z w

x y z w

A ve 3 5

1 4

B

matrislerinin eşit olabilmesi için bilinmeyen harfleri bulun

14

3

2 3 5 1

1 4 2 5

4

x y

x y z w x y

x y z w z w

z w

olduğundan iki bilinmeyenli denklemleri çözme yöntemlerinden kolaylıkla

2, 1, 3 ve 1x y z w bulunur.

I.3. Özel Tipte Matrisler

Bazı matrisler tipine göre ya da elemanlarının taşıdıkları kısmi özelliklere göre özel

adlar alabilmektedirler. Bu bölümde, literatürde sıkça kullanılan matrisler tanımlanıp örnekler

sunulacaktır.

I.3.1. Satır Matris ve Sütun Matris

Tanım I.4 : Yalnız bir tane satır veya bir tane sütundan oluşan matrise sırasıyla satır matris(satır vektörü) veya sütun matris(sütun vektörü) denir.

Örnek I.4.

1 3 5 4 matrisi, 1 4 tipinde bir satır matris veya satır vektörü, 6

2

matrisi ise 2 1

tipinde bir sütun matris veya sütun vektörüdür.

Dolayısıyla vektör matrisin özel bir durumunu ifade eder. Örneğin üç tane vektör,

1 2 3

1 0 2

2 , 4 , 2

3 5 1

v v v

verilmiş olsun. Bunların oluşturduğu bir A matrisi,

1 2 3

1 0 2

, , 2 4 2

3 5 1

A v v v

15

formunda olur.

I.3.2. Kare Matris

Tanım I.4 : Satır sayısı sütun sayısına eşit olan bir matrise kare matris adı verilir. n satırlı,

n sütunlu bir kare matris genellikle n .mertebeden bir kare matris olarak anılır.

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

n

n

n n nn

a a a

a a a

a a a

A

n .mertebeden bir kare matrisin 1,2,...,i n için iia öğelerine matrisin köşegen

elemanları adı verilir.

Örnek I.5

1 3 5 2

3 5 0 1

6 4 2 5

4 2 4 3

A

kare matrisinin köşegen elemanları 1, -5, 2 ve -3 tür.

I.3.3. Bir Kare Matrisin İzi

Tanım I.5 : A kare matrisinin köşegen elemanlarının toplamına, bu matrisinin izi denir ve

İz A veya tr A ile gösterilir. Matematiksel olarak,

1

trn

kk

k

a

A

olarak gösterilir.

16

Örnek 1.6

1 3 5 2

3 5 0 1

6 4 2 5

4 2 4 3

A matrisinin izi,

tr 1 5 2 3 5 A .

Teorem 1.1: matrisleri verilsin.ij ija ve b A B

tr tr tr , A B A B

tr . tr .A B B A

I.3.4. Sıfır Matris

Tanım I.6 : Bir ija A matrisinin bütün elemanları sıfır ise yani , için 0iji j a ise

A matrisine bir sıfır matris denir ve genellikle O ile gösterilir.

Örnek I.7

0 00 , 0 0 ,

0 0

matrisleri farklı mertebeden sıfır matrisleridir.

I.3.5. Köşegen Matris

Tanım I.7 : ija A , n n lik bir kare matris olsun. için 0iji j a ise A matrisine

köşegen matris denir ve genelde 11 22, ,..., nndiag a a aA biçiminde gösterilir.

11

22

0 ... 0

0 ... 0

... ... ... ...

0 0 ... nn

a

a

a

A

matrisi .n mertebeden bir köşegen matristir.

17

I.3.6. Skaler Matris

Tanım I.8. : Köşegen üzerindeki bütün elemanları aynı skalere eşit olan köşegen matrise

skaler matris denir.

Örnek I.8

0 0 0

0 0 0

0 0 4 0

0 0 0

x

y

z

A

matrisinin skaler matris olması için köşegen üzerindeki elemanlar: 4x y z olmalıdır.

I.3.7. Birim Matris

Tanım I.9 : Bir kare matrisin köşegeni üzerindeki tüm öğeleri 1 ve geriye kalan bütün

öğeleri 0 ise, bu matrise birim matris denir. n n lik bir birim matris nΙ ile gösterilir ve

bilim dünyasında sıklıkla,

(II.2)

Biçiminde ifade edilir.Burada ij , literatürde Kronecker delta fonksiyonu olarak adlandırılır.

Örnek I.9.

2 3

1 0 01 0

, 0 1 00 1

0 0 1

Ι Ι

1,,

0,n ij ijn n

i j

i j

Ι

18

I.3.8. Üst Üçgensel Matris ve Alt Üçgensel Matris

Tanım I.10 : A bir kare matris olmak üzere için 0iji j a ise A matrisine, üst

üçgensel matris, için 0iji j a ise A matrisine, üst üçgensel matris denir.

Tanımdan anlaşılacağı gibi, alt üçgensel matrisin köşegeninin üstünde kalan öğeler ve üst

üçgensel matrisin köşegeninin altında kalan öğeler sıfırdır.

Örnek I.10

1 0 0

3 2 0

2 5 7

A alt üçgensel bir matris,

3 2 0 8

0 1 7 9

0 0 4 0

0 0 0 2

B üst üçgensel bir matristir.

I.3.9. Matris Fonksiyonları

Elemanları bir x değişkeninin fonksiyonu olan matrise matris fonksiyonu adı verilir. Örneğin

3×3 lük bir matris fonksiyonu şu şekilde gösterilir:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a x a x a x

x a x a x a x

a x a x a x

A

xA fonksiyonunun tüm elemanları her x değeri için sürekli ise matris fonksiyonu da

tüm x değerleri için süreklidir.

I.3.10. Matris Fonksiyonlarının Türevi

Bir xA matrisinin türevi xA ile gösterilir ve şu şekilde elde edilir:

( )( )

ij

ij

da xd xx a x

dx dx

AA

Yani matristeki her fonksiyonun türevi alınmalıdır.

19

Örnek 1.11

2

55

2 06

5 sincosxx

xxx x

e xe x

A A

Fonksiyonlar için daha önceden öğrendiğimiz türev kurallarının çoğu matris fonksiyonları

için de geçerlidir.

I.3.11. Matris Fonksiyonlarının İntegrali

Bir xA matris fonksiyonunun integrali ijx dx a x dx A olarak gösterilir ve türevde

olduğu gibi her bir elemanın integrali alınarak bulunur:

Örnek 1.12

2 3/3

0 05

0 5

0 0

6 6

1 sincos 5

t t

t

tt t

x

x dx dx t t

x dx et

e dx xdx

A

20

Uygulamalar

Matris türlerini kavramak için değişik kaynaklardan alıştırmalar yapılmalı.

Güncel hayatta karşılaştığınız ve matrislerle ifade edeceğiniz uygulamalar neler olabilir?

21

2. MATRİSLERLE ARİTMETİK İŞLEMLER

22


2.1. Matrislerin Toplanması ve Skalerle Çarpılması

2.2.Bir Matrisle vektörün çarpımı.

2.3.Matrislerin Çarpımı

2.4. Matrisin Transpozesi

2.5. İki Vektörün Skaler Çarpımı

2.6. Lineer Denklem Sistemi ve Matrisler

23


Matrisleri verilsin.Buna göre:

a) Hangi matrisleri kendi arasında toplayabiliriz?

b) Hangi matrisleri birbiriyle çarpabiliriz?

c) Her matrisin 4 katını alabilir miyiz?

24



Matrislerin Toplanması ve Skalerle Çarpılması

Matrislerin Toplanması ve Skalerle Çarpılmasını kavrayabilmek.

Okuyarak, fikir

yürüterek, ve bol

bol örnek çözerek

Bir Matrisle vektörün çarpımı Bir Matrisle vektörün çarpımını kavrayabilmek

Okuyarak, fikir

yürüterek, ve bol

bol örnek çözerek.

Matrislerin Çarpımı

Matrislerin çarpımını

kavramak

Okuyarak, fikir

yürüterek, ve bol


Matrisin Transpozesi Bir Matrisin Transpozesi

alabilmek

Okuyarak, fikir

yürüterek, ve bol


İki Vektörün Skaler Çarpımı İki Vektörün Skaler Çarpımını yapabilmek

Okuyarak, fikir

yürüterek, ve bol


Lineer Denklem Sistemi ve Matrisler Lineer Denklem Sistemi ve

Matrisler arasındaki ilişkiyi farjkedebilmek

Okuyarak, fikir

yürüterek, ve bol


25

Anahtar Kavramlar

Toplam matris

Çarpım matris

Transpoze

Katsayılar matrisi

26

Giriş

Bu bölümde matrislerde aritmetik işlemleri ve lineer denklem sistemlerinin matris

formunda ifade edilmesi teorik ve uygulamalı olarak incelenir.

27

2.1.Matrislerin Toplanması ve Skalerle Çarpılması

Tanım 2.1. : ij m n

a

A ve ij m n

b

B iki matris olmak üzere bunların toplamı,

11 11 12 12 1 1

21 21 22 22 2 2

1 1 2 2

...

...

... ... ... ...

...

n n

n n

ij ij m n

n n n n nn nn

a b a b a a

a b a b a ba b

a b a b a b

A B

Şeklinde karşılıklı ija ve ijb elemanlarının birbirisiyle toplanmasıdır. Burada da görüldüğü gibi

iki matrisin toplanabilmesi için hem satır hem de sütun sayılarının karşılıklı olarak birbirine

eşit olması gerekir.

Tanım 2.2. : ij m n

a

A bir matris ve k K bir skaler olmak üzere , bir k skaleri ile

A matrisinin çarpımı

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

n

n

ij m n

n n nn

ka ka ka

ka ka kak ka

ka ka ka

A

matrisin her elemanını k ile çarpmakla elde edilen matris kA matrisidir.

Bu iki tanımdan da gözlenildiği gibi A B ile kA matrisleri m n mertebesindedirler.

Buna ek olarak A matrisinin negatifini,

1 A A

ve A matrisi ile B matrisinin farkını,

A B A B

biçiminde tanımlarız. Toplamada olduğu gibi fark işlemi de farklı mertebelerde tanımsızdır.

28

Örnek 2.1.

1 2 3 4 6 8ve

0 4 5 1 3 7

A B

olsun. Buna göre,

1 4 2 6 3 8 5 4 11

0 1 4 3 5 7 1 1 2

A B

4.1 4. 2 4.3 4 8 124

4.0 4.4 4.5 0 16 20

A

3 6 9 8 12 16 5 18 73 2

0 12 15 2 6 14 2 18 29

A B

elde edilir. Buradaki 3 2A B ileriki konularda da göreceğimiz üzere veA B nin lineer

kombinasyonu denir.

Matrislerde toplama ve bir matrisin skalerle çarpımının özellikleri aşağıdaki teoremlerle

verilmiştir.

Teorem 2.1. : Herhangi bir K cismi üzerinde tanımlanan bütün m n tipindeki matrislerin

kümesi m

nK olsun. Herhangi bir , ve m

nKA B C matrisleri ve 1 2vek k K skalerleri için,

1 1 1

1 2 1 2

1 2 1 2

( )

( ) .

1 . .K

i v k k k

ii vi k k k k

iii vii k k k k

iv viii ve

A B = B A A B = A B

A B C A B C A A A

A 0 A A A

A A 0 A A 0 A 0

İspat 2.1.: Yukarda verilen matrislerde toplama ve bir skalerle çarpma işleminin tanımları

kullanılarak bu özelliklerin ispatı çok kolay yapılacaktır. Burada sadece v in ispatını

verelim. ij m n

a

A ve ij m n

b

B olsun.

29

1 1 1 1 1

1 1 1 1

1 1

ij ij ij ij ij ij

ij ij ij ij

k k a b k a b k a k b

k a k b k a k b

k k

A B =

A B

elde edilir.

2.2.Matrisle Vektörün Çarpımı İki matrisin genel matris çarpımını tanımlamadan önce matris vektör çarpımını

tanımlayalım. [ ],ijA a m n mertebesinde bir matris, ,jx x n mertebesinde bir sütun vektörü

ve ,iy y m mertebesinde bir sütun vektörü olsun.Matris vektör çarpımı sembolik olarak,

y Ax

biçiminde yazılır ve

1

, 1,22,...,n

i ij j

j

y a x i m

ile gösterilir. Örneğin,

11 3 0 5

24 2 1 5

3

2.3.Matrislerin Çarpımı

Tanım 2.3 : ij m n

a

A ve jk n p

b

B olsun. Yani A ’nın sütun sayısı B ’nin satır sayısına

eşit olmak üzere bu iki matrisin çarpımı .AB ile gösterilip bu çarpımın sonucu ik m pc

C

matrisiyle

1 1 2 2

1

. ...n

ij jk ik ij jk i k i k in nkm pm n n pj

a b c a b a b a b a b

formunda tanımlanır.

30

Örnek 2.2

1 2 5 6 1.5 2.7 1.6 2.8 19 22

3 4 7 8 3.5 4.7 3.6 4.8 43 50i

5 6 1 2 1.5 6.3 5.2 6.4 23 34 1 2 5 6

7 8 3 4 7.1 8.3 7.2 4.8 31 46 3 4 7 8ii

1 3 43 4

2 6 8iii

13 4 3.1 4.2 11

2iv

Not: Herhangi bir K cismi üzerinde sıfır matristen farklı olarak tanımlanan iki matrisin

çarpımı sıfır olabilir:

Örnek 2.3

K , 2 2 2 2

1 0 0 0

1 0 1 1X Xve

A O B O

Matrislerinin çarpımı,

2 2

1 0 0 0 0 0. .

1 0 1 1 0 0X

A B O

Örnek 2.4

2 1 3

1 1 2

1 2 1

A matrisi ve 3 22 9f x x x x fonksiyonu verilsin. Buna göre f A yı

bulunuz.

Özel olarak A kare matrisi için , 0

nA Ι alarak;

31

2 .A A A , 3 2.A A A ,…, 1.n nA A A

Kuvvetleri tanımlanabilir. Kare matrisin bu özelliğinden yararlanarak n. Dereceden bir

1 0... ,n

n if x a x a x a a K

yazmak suretiyle,

1 0...n

n nf a a a A A A

Matris polinomu tanımlanabilir. Buna göre,

olmak üzere 3 22 9 0f A A A A bulunur.

Tanım 2.4 : Bir A kare matrisinin karesi kendisine eşitse yani

2 A A

ise A ya İdempotent matris denir.

Örnek 2.5

21 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0

A A A

olduğundan idempotent matristir.

Matris çarpımı ile ilgili aşağıdaki teorem verilir.

Teorem 2.2 :

, ve ij jk ik p qm n n pa b c

A B C matrisleri ve k K skaleri verilsin.

1. AB C A BC

2 3

8 7 11 34 23 49 18 9 27

3 6 3 , 15 3 24 , 9 9 9 18

5 1 8 19 20 25 9 18 9

A A A

32

2. k k k AB A B A B

3. A B C AB AC

4. B C A BA CA

5.

İspat 2.2: 1.şıkkı ispatlayarak kolay olduğu için diğerlerini öğrenciye bırakalım.

Dikkatli incelersek hem AB C , hem de A BC çarpım matrisleri m q mertebelidir.

Matrislerin çarpımı tanımından,

1 1 1

1 1

p p n

kl ij jk klikilk k j

p n

ij jk kl

k j

a b c

a b c

A B C A B C

yazılır. Benzer şekilde

1 1

1 1

il

pn

ij jk kl

j k

pn

ij jk kl

j k

a b c

a b c

A BC

Elde edilir. Her iki çarpım sonucunda bulunan iki toplama işlemi aynıdır. Sonuç olarak

1 , 1 içinilil

i m l q AB C A BC

olduğundan

AB C A BC

yazılır.

Tanım 2.5 : veA B , n n tipinde birer kare matris olsunlar.

n AB BA Ι

33

olacak şekilde bir B matrisi varsa A matrisine tersinir matris veya singüler olmayan matris

denir. B ’ye A nın tersi denir ve 1 B A ile gösterilir.

Örnek 2.6

2 2

2 5 3 5 1 0

1 3 1 3 0 1

Tanım 2.6 : Tersi olmayan matrise singüler matris denir.

Örnek 2.7

1 0

0 0

A ve 1 2

0 1

C matrislerin singüler olup olmadığını test edelim.

Varsayalım A nın tersi 11 12

21 22

b b

b b

B olsun. O zaman 2 AB BA Ι olacağından

11 12 11 12

21 22

1 0 1 0

0 0 0 0 0 1

b b b b

b b

AB

0 1 olduğundan A nın tersi yok dolayısıyla singülerdir. C nin tersi B olsun. Bu durumda

11 12 11 21 12 22

21 22 21 22

2 21 2 1 0

0 1 0 1

b b b b b b

b b b b

CB

iki matrisin eşitliğinden,

11 21 21 12 22 222 1, 0, 2 0, 1b b b b b b

Denklem sistemi çözülürse,

11 2

0 1

C B

34

Bulunur ki C nin tersi var olduğundan singüler değildir.

Sonuç: a b

c d

A , 2 2 tipinde bir kare matris olsun.Eğer 0ad bc ise A ’ nın tersi

vardır ve 1 1 d b

c aad bc

A formundadır.Örneğin, önceki problemdeki C matrisinin

tersi,

11 2 1 21

0 1 0 11.1 2.0

C

Teorem 2.3 : Bir kare matrisinin tersi varsa tektir.

İspat 2.3 : Varsayalım A , n n tipinde bir kare matris olsun ve A ’ nın 1 2veB B olmak

üzere iki tersi olsun. Buna göre birim matrisin tanımı ve çarpımın birleşme özelliği

kullanılırsa,

1 1 1 2 1 2 2 2

n

n n Ι

B B Ι B AB B A B Ι B B

Bulunur. O halde A ’ nın tersi tektir ve 1

1 2

A B B yazılır.

Teorem 2.4 : A ve B tersinirlerse AB de tersinirdir ve 1 1 1 AB B A yazılır.

İspat 2.4 :

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

.

.

AB B A A BB A AA

B A AB B A A B B B

olduğundan 1 1 1 AB B A yazılır. Daha da genelleştirirsek eğer 1 2, ,..., nA A A tersinir

matrislerse çarpımları da tersinirdir ve

1 1 1 1

1 2 2 1... ...n n

A A A A A A

35

2.4. Matrisin Transpozesi

Tanım 2.7: Bir ij m n

a

A matrisinin satırları ve sütunlarının kendi aralarında yer

değiştirmesiyle elde edilen matrise A matrisinin transpozesi denir ve veyaT A A ile

gösterilir. Buna göre

T

ij jim n n ma a

A A

olarak yazılır.

Örnek 2.8. 1 2 3

0 4 5

A matrisinin transpozesi,

1 0

2 4

3 5

T

A dir.

Matrisler üzerindeki transpoze işleminin özellikleri aşağıdaki teoremle verilir.

Teorem 2.5 : A ve B matrisleri ve k K skaleri için

(i) T T T A B A B

(ii) TT A A

(iii) T Tk kA A

(iv) T T TAB B A

İspat 2.5 :

İlk 3 şıkkın ispatı oldukça kolay olup öğrenciye bırakılmıştır. Biz, .iv şıkkı ispatlayalım.

, ve ij jk ik p qm n n pa b c

A B C

matrisler olmak üzere matrislerin çarpımı

tanımından, 1 1 2 2

1

...n

ik ij jk i k i k in nkm pj

c a b a b a b a b

AB

36

1

nTT

ik ki kj ji

j

c c a b

AB

elde edileceğinden

1 1 1

n n nT T T T T

kj ji jk ij ij jk

j j j

T T

a b a b b a

AB

B A

ispat tamamlanır.

Tanım 2.8 : Bir matrisin transpozesi kendisine eşitse T A A simetrik, T A A

negatiflisine eşitse ters simetriktir.

Örnek 2.9

0 3 3

3 1 1

3 1 2

matrisi simetrik, 0 4

4 0

matrisi ise ters simetriktir.

Teorem 2.6 : A ve B simetrik matrisler olsun.

1. A+B matrisi simetrik bir matristir.

2. AB matrisinin simetrik olması için gerek ve yeter koşul AB=BA olmasıdır.

İspat 2.6 : 1. A ve B simetrik matrisler ise

veTT T T T

A A B B A B A B

A B

olduğundan A+B matrisi simetrik bir matristir.2. şık, öğrenciye bırakılmıştır.

2.5. İki Vektörün Skaler Çarpımı

Çarpım sonucunun skaler olduğu iki vektörün skaler çarpımı, .u v olarak gösterilir ve buna

bazen iç çarpım da denir. Skaler çarpım şu şekilde elde edilir:

1 2 1 2 1 1 2 2. ... ... ...T

n n n nu v u u u v v v u v u v u v

37

2.6. Lineer Denklem Sistemi ve Matrisler

Tanım 2.9: n bilinmeyenli m tane lineer denklem sistemi, Aşağıdaki matris denklemine

denktir.

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

...

...

... ... ... ... . .

...

n

n

m m mn n m

a a a x b

a a a x b

a a a x b

X BA

Yani AX B yazılabilir. Burada ija A katsayılar matrisini, X bilinmeyenler vektörünü

ve B sabitler vektörünü temsil eder. Lineer denklem sisteminin matris denklemi formunda bir

diğer yazılışı:

11 12 1 11

21 22 2 21

1 2

1 2 1

.... . . .

n

n

n

n n nn n

a a a b

a a a bx x x

a a a b

Örnek 2.10

3 2 5 9

3 4 3

x y z

x y z

Sistemi,

3 2 5 9

1 3 4 3

x

y

z

Matris denklemine ve

3 2 5 9

1 3 4 3x y z

Denklemine denktir.

38

Uygulamalar

Güncel hayattaki bazı problemleri matrislerin aritmetik işlemlerini kullanarak çözebilir miyiz? İlgili uygulamaları kaynak kitaplardan ve internetten araştırınız.

39

Uygulama Soruları

Bir çiftçinin 1.depoda 10 tane küçük,20 tane orta ve 30 tane büyük ebatlı; 2. Depoda 20 tane küçük,30 tane orta ve 40 tane büyük ve 3. Depoda 80 tane küçük,160 tane orta ve 100 tane

büyük ebatlı yumurtaları vardır. Bu çiftçinin her bir tipten yumurta sayısını bulmasını sağlayan matrissel işlemi yapınız.

40

Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti

Bu bölümde matrislerle aritmetik işlemler ve bir matrisin transpozesi ve ilgili özellikleri ve lineer denklem sistemleri ile matrisler arasındaki ilişki teorik ve uygulamalı olarak gösterildi.

41

Bölüm Soruları

Aşağıdaki soruların yanıtlarını verilen seçenekler arasından bulunuz.

1.

1

1, 1 2 1 1

2

0

A B

olmak üzer A.B matrisi aşağıdakilerden hangisidir?

A. 1 B. 0 C.

1 2 1 1

1 2 1 1

2 4 2 2

0 0 0 0

D.

1 2 1 1

1 2 1 1

2 4 2 2

1 2 1 1

E.

1 1 2 0

2 2 4 0

1 1 2 0

1 1 2 0

2. Aşağıdaki matrislerden hangisi transpozesine eşittir?

A.

1 0 0

2 1 1

0 2 1

B.

5 0 1

0 5 2

1 2 5

C.

1 2 3

2 1 3

3 3 1

D

5 4 6

4 0 1

6 1 2

E. Hiçbiri

3. A, 5x7 tipinde bir matris olmak üzere, AB - 2 5I işleminin yapılabilmesi için,

B hangi tipte bir matris olmalıdır?

A. 5x5 B. 7x7 C. 7x5

D. 5x7 E. Hiçbiri

42

4. .2 2

3 1A

ve 2 8f x x x ise aşağıdakilerden hangisi f A yı verir?

A . 4 8

12 16

B. 0 0

0 0

C. 1 0

0 1

D. 1 0

1 1

E. 0 0

1 0

5.

1

Y= 3

4

matrisi için TY Y aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A . 24 B. 25 C. 26 D. Çarpma işlemi yapılamaz E. 1

Cevaplar

1. C 2. D 3. C 4. B 5. C

43

3.BASAMAK MATRSİLER

44


3.1. Basamak Matris (Bir Matrisin Eşelon Formu)

3.2.. Elemanter (İlkel) Satır ve Sütun İşlemleri

3.3 .Blok Matrisler

45


1. Aşağıdaki matrislerde pivot elemanları işaretleyin

2. Bu matrislerden hangisi/hangileri basamak matrsitir?

3. Bu matrislerden hangisi/hangileri satırca indirgenmiş basamak matrsitir?

46



Basamak Matris (Bir

Matrisin Eşelon Formu)

I.6. Basamak Matrisi (Bir

Matrisin Eşelon Formu)

kavrayabilmek.

Okuyarak, fikir yürüterek,

ve bol bol örnek çözerek

Elemanter (İlkel) Satır ve Sütun İşlemleri

Bir Matrisle ilgili Elemanter

(İlkel) Satır ve Sütun İşlemlerini yapabilmek

Okuyarak, fikir yürüterek, ve bol bol örnek çözerek.

Blok Matrisler Blok Matrisleri kavramak Okuyarak, fikir yürüterek, ve bol bol örnek çözerek

47

Anahtar Kavramlar

Pivot eleman

Basamak matris

Satır ve sütun işlemleri

Kanonik form

Eşelon form

Blok matris

48

Giriş

Bu bölümde elemanter satır veya sütun işlemleri ile oluşturacağımız bir matrisin eşelon

formu veya kanonik formu dediğimiz basamak matris konusuna yoğunlaşırız. Ayrıca matris

hesaplamalarında çok önemli yer teşkil eden blok matrislerinden bahsederiz.

49

3. 1. Basamak Matris (Bir Matrisin Eşelon Formu)

Bir matrisin basamak biçimi 2. Bölümde de göreceğimiz üzere lineer denklem

sistemlerinin çözümünde önemli bir yer tutar.

Tanım 3.1 , m nA tipinde bir matris olsun. Aşağıdaki şartları sağlayan bir matrise A nın

satır basamak matrisi veya A nın satır eşelon formu denir.

1. 1 k m olacak şekilde öyle bir k tamsayısı vardır ki ilk k tane satır sıfırdan farklı

ve geri kalan son 1, 2,..., .k k m satırların hepsi sıfırdır.

2. Her bir , 1i i k için .i satırın ilk sıfırdan farklı bileşeni 1 2 ... kc c c olmak

üzere .ic sütun üzerindedir.

3. .ic sütunun 1, 2,...,i i m satırlarındaki bütün bileşenleri sıfırdır.

Kısaca özetlersek bir A matrisinin her bir satırında, sıfırdan farklı bir öğe, içinde bulunduğu

satırdan önce gelen satırdaki sıfırdan farklı olan ilk elemanın daha sağında yer alıyorsa A

matrisine satır basamak matris denir.

Satır basamak matrislerde her satırın sıfırdan farklı ilk elemanına pivot veya ayrık eleman

denir.

Örnek 3.1

1 5 0 2 1 0 0 01 2 3

0 2 0 3 0 1 0 00 0 1 , ,

0 0 0 0 0 0 1 00 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1

A

B C

Bu örnekte matrisler basamak matrislerdir. Pivot elemanlar 1, 2 ve 1 dir.

Örnek 3.2

1 0 0 1 0 0 1 0 0

0 0 0 , 0 1 1 , 0 4 0

0 0 1 0 1 0 2 0 1

D E F

50

D, E, F matrisleri basmak matris değildirler.

Tanım 3.2 , m nA tipinde bir matris olsun. Aşağıdaki şartları sağlayan bir matrise A nın

satırca indirgenmiş basamak matrisi(satır kanonik form) veya nın satırca indirgenmiş eşelon formu denir.

(i) Her bir pivot eleman 1 eşittir

(ii)Her bir pivot eleman bulunduğu sütunda sıfır olmayan tek elemandır.

Örnek 3.3

1 2 0 0 1

0 0 1 2 3

0 0 0 0 0

A

A matrisi hem basamak hem de satırca indirgenmiş basamak matristir fakat

1 2 3

0 0 1

0 0 0

B

B matrisi basamak matris olmasına rağmen satırca indirgenmiş basamak matris değildir.

Çünkü 2. kuralı sağlamamaktadır. Yani 1 olan pivot elemanı normalde bulunduğu sütunda

sıfırdan farklı tek eleman olması gerekirken sıfırdan farklı başka bir eleman olan 3

bulunmaktadır.

3.2. Elemanter (İlkel) Satır ve Sütun İşlemleri

Her matrisin satırca veya sütunca indirgenmiş basamak formu birtakım elementer satır veya

sütun işlemleri ile bulunabilir.

Tanım 3.3 Bir ij m n

a

A matrisi verilsin. Aşağıda tanımlanan işlemlere bu matris

üzerinde yapılan elementer işlemler denir.

51

i. A matrisinin herhangi iki satır veya sütununu kendi aralarında yer değiştirmek. Buna

1.tipten elementer işlem denir . .i satır ile .j satır yer değiştirmesini : 1 : i jE R R ile

gösterebiliriz.

ii. A matrisinin herhangi bir satır veya sütununu sıfırdan farklı bir sayı ile çarpmak. Buna

2.tipten elementer işlem denir. .i satırın sıfırdan farklı bir k skaleri ile çarpılması:

2 : i iE R kR ile gösterilir.

iii. A matrisinin herhangi bir satır veya sütununu sıfırdan farklı bir sayı ile çarpıp, diğer bir

satır veya sütununa eklemek. Bu işleme de 3.tipten elementer işlem denir. .i satırı, .j satırın

k skaleri ile çarpılarak .i satıra eklenmesi suretiyle yer değiştirmesini : 3 : i i jE R R kR

ile gösterilir. Örneklere geçmeden önce bir ilgili bir tanım verelim:

Tanım 3.4 veij ijm n m na b

A B matrisleri verilsin. Eğer A matrisine sonlu sayıda

elementer satır veya sütun işlemleri uygulanarak B matrisi elde ediliyorsa, A matrisi

B matrisine satırca veya sütunca denktir denir ve A B ile gösterilir. Herhangi bir A

matrisine ilkel satır işlemleri uygulanarak, A matrisine denk olan basamak matris elde

edilebilir. Bu şekilde elde edilen matrise A matrisinin basamak biçime dönüştürülmüş

matrisi denir.

Örnek 3.4

1 2 4 3

2 1 3 2

1 1 2 3

A

matrisine 1 3 2 23R R ve R R işlemleri uygulanırsa

1 1 2 3

6 3 9 6

1 2 4 3

B

satırca dengi elde edilir.

52

Örnek 3.5

1 2 3 1

2 1 2 2

3 1 2 3

A matrisini basamak formuna ve satır indirgenmiş basamak formuna

indirgeyiniz.

2 1 2

3 1 3 3 2 3

2

3 7 3

1 2 3 1 1 2 3 1

2 1 2 2 0 3 4 4

3 1 2 3 3 1 2 3

1 2 3 1 1 2 3 1

0 3 4 4 0 3 4 4

0 7 7 6 0 0 7 10

R R R

R R R R R R

A

Basamak formuna indirgenir. Satır indirgenmiş basamak formuna getirmedeki amaç; pivot

elemanların 1 ve bu elemanların bulunduğu sütundaki diğer elemanları ise 0 yapmaktır. Buna

göre en son kaldığımız basamak matristen hareketle,

3 32 2

2 3 21 1 2

1/71/3

4/32

1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3 1

0 3 4 4 0 1 4 / 3 4 / 3 0 1 4 / 3 4 / 3

0 0 7 10 0 0 7 10 0 0 1 10 / 7

1 0 1/ 3 5 / 3 1 0 1/ 3 5 / 3

0 1 4 / 3 4 / 3 0 1 0 4 / 7

0 0 1 10 / 7 0 0 1 10 / 7

R RR R

R R RR R R

1 3 11/3 1 0 0 15 / 7

0 1 0 4 / 7

0 0 1 10 / 7

R R R

olarak elde edilir.

Örnek 3.6

0 2 3 4 1

0 0 2 3 4

2 2 5 2 4

2 0 6 9 7

B matrisinin satırca kanonik formunu bulunuz.

53

4 4 3 1 1 4

3 4 32 1 2

0 2 3 4 1 0 2 3 4 1 0 0 2 3 4

0 0 2 3 4 0 0 2 3 4 0 0 2 3 4

2 2 5 2 4 2 2 5 2 4 2 2 5 2 4

2 0 6 9 7 0 2 1 7 3 0 2 1 7 3

0 0 2 3 4 0 0 2 3 4

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 2 5 2 4 2 0 6 9 7

0 2 1 7 3 0 2

R R R R R R

R R RR R R

B

3 1 3

1 1 3 3 4 44 1 4

2 4 1 3

3

1/2 , 1/2 , 1/21/2

,

0 0 2 3 4

0 0 0 0 0

2 0 0 18 19

1 7 3 0 2 1 7 3

0 0 2 3 4 0 0 1 3 / 2 2

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 0 0 18 19 1 0 0 9 19 / 2

0 2 0 17 / 2 5 0 1 0 17 / 4 5 / 2

1 0 0 9 19 /

R R R

R R R R R RR R R

R R R R

2 2

2 1 0 0 9 19 / 2

0 1 0 17 / 4 5 / 2 0 1 0 17 / 4 5 / 2

0 0 1 3 / 2 2 0 0 1 3 / 2 2

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

R R

Böylece bulunan matris A nın satırca indirgenmiş basamak matrisi ve satırca denk matrisidir.

Tanım 3.5 Bir A matrisinin basamak biçime dönüştürülmüşü olan formunun, sıfırdan farklı

satırları sayısına A matrisinin rankı denir ve r A ile gösterilir. Diğer bir manada ileriki

konularda da göreceğimiz gibi A matrisinin lineer bağımsız vektörlerinin sayısına o matrisin

rankı denir.

Özel olarak, herhangi bir sıfır matrisinin rankı 0 kabul edilir.

Örnek 3.7

1 0 0 9 19 / 2

0 1 0 17 / 4 5 / 2

0 0 1 3 / 2 2

0 0 0 0 0

A

matrisinde sıfırdan farklı en az bir eleman içeren satır sayısı 3 olduğundan 3r A tür.

54

3.3. Blok Matrisler

Tanım 3.6 Bir A matrisin yatay ve düşey çizgiler kullanılarak alt matris denilen daha küçük

mertebeli matrislere bölünmesine A matrisinin bloklara ayrılması denir.

Örnek 3.8

11 12 13

21 22 23

4 2 1 0 54 2 1 0 5

1 3 6 4 71 3 6 4 7

2 1 3 1 2 2 1 3 1 1

A A AA

A A A

yazabiliriz. Burada,

11 12 13

21 22 23

4 2 1 0 5, ,

1 3 6 4 7

2 1 , 3 1 , 1

A A A

A A A

A ve B blok iki matris olsun. Matris çarpım kurallarına bağlı kalrak A ve B marrislerin

çarpımından söz edilebilir.

Örnek 3.9

.

11 12

21 22

11 12

21 22

1 0 1 0

0 2 3 1

2 0 4 0

0 1 0 3

2 0 0 1 1 1

0 1 1 1 2 2

1 3 0 0 1 0

3 1 2 1 0 1

A

B BB

B B

A A

A A

Blok matrisleri için

11 12 11 12 11 11 12 21 11 12 12 22 11 12

21 22 21 22 21 11 22 21 21 12 22 22 21 22

B B B B B B C CAB C

B B B B B B C C

A A A A A A

A A A A A A

55

Olur. Burada 11 11 12 21 11B B C A A için işlem yapılırsa,

11

1 0 2 0 0 1 0 1 3 0

0 2 0 1 1 3 1 3 1 2

2 0 0 1 3 0

0 2 2 0 10 2

3 3 0

0 12 0

C

Aynı şekilde C matrisinin diğer elemanları da bulunursa çarpım matris,

3 3 0 1 2 1

0 12 0 3 7 5

0 12 0 2 2 2

9 2 7 2 2 1

AB

elde edilir.

56

Uygulamalar

Bir matrisi niçin basamak matris haline getiririz?

Basamak matrislerin fen bilimlerdeki uygulamaları nelerdir?

İlgili kaynaklardan ve internetten araştırınız.

57

Uygulama Soruları

Aşağıdaki matrisleri basamak ve satırca indirgenmiş basamak formuna getiriniz.

58


Bu bölümde bir matrisin elemanter satır veya sütun basamak işlemleri ile kanonik

formuna indirilmesine yoğunlaşıldı. Buradan hareketle blok matrislerinden bahsedildi.

59

Bölüm Soruları


1.

1 2 1 2 1

2 4 1 2 3

3 6 2 6 5

A

matrisinin basamak formu aşağıdakilerden hangisidir?

A.

1 2 1 2 1

0 0 3 6 1

0 0 0 6 1

B.

1 2 1 2 1

0 0 3 6 1

0 0 1 6 1

C.

1 2 1 2 1

0 0 3 6 1

0 0 0 6 1

C.

1 2 1 2 1

0 0 2 6 1

0 0 0 6 1

D.

1 2 1 2 1

0 0 3 6 1

0 0 0 5 1

E) Hiçbiri

2.

1 2 1 2 1

2 4 1 2 3

3 6 2 6 5

A

matrisinin satır kanonik formu aşağıdakilerden hangisidir?

A.

1 2 0 0 1

0 0 1 6 1

0 0 0 1/ 6 1

B.

1 2 0 0 4 / 3

0 0 1 0 0

0 0 0 1 1/ 6

C.

1 2 0 0 4 / 3

0 0 1 0 0

0 0 0 1 1/ 6

C.

1 2 0 0 2 / 3

0 0 1 0 0

0 0 0 1 1/ 6

D.

1 2 0 0 4 / 3

0 0 1 0 0

0 0 0 1 1/ 6

E) Hiçbiri

3.

i. Her kare matrisin bir üst üçgensel matristir

ii. Her üst üçgensel matris bir kare matristir.

Aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) i ve ii B)Yalnız ii C) Yalnız i D) Hiçbiri

60

4.

1 1 2 2 1

2 2 1 1 1

3 3 3 3 2

1 1 1 1 0

A

matrisinin satırca indirgenmiş basamak formu aşağıdakilerden

hangisidir?

A.

1 1 2 2 1

0 0 3 3 1

3 3 3 3 2

1 1 1 1 0

B.

1 1 2 2 1

0 0 3 3 1

0 0 0 3 2

0 0 0 0 0

C.

1 1 2 2 1

0 0 3 3 1

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

D.

1 1 0 0 1/ 3

0 0 1 1 1/ 3

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

E)

1 1 2 2 1

0 2 1 1 1

0 0 3 3 2

0 0 0 1 0

5. Dördüncü sorudaki matrisin rankı aşağıdakilerden hangisidir?

A.1 B.2 C.3 D.4 E.5

Cevaplar

1-A, 2-B, 3-B 4-D 5-B

61

4.ELEMANTER MATRİSLER

62


4.1. Elemanter (İlkel) Matrisler

4.2. Lineer Denklemlere Giriş

63


Aşağıdaki işlemleri matematiksel olarak yazabilir misiniz?

64



Elemanter Matrisler

Elemanter Matrisleri

kavrayabilmek.

Okuyarak, fikir yürüterek, ve bol bol örnek çözerek

Lineer Denklemlere Giriş Lineer denklemelerin

matrislerle ifade edilmesini

yapabilmek


65

Anahtar Kavramlar

Elemanter matris

Denk matrisler

Bir matrisin tersi

Genişletilmiş matris

66

Giriş

Bu bölümde, bir matrisin eşelon formunun uygulaması olan elemanter matris kavramı

incelenir. Bu elemanter matrisler yardımıyla bir matrisin tersinin nasıl elde edilebileceği

araştırılır. Son olarak lineer denklem sistemlerinin matris formda yazılarak katsayılar ve

genişletilmiş katsayılar matrisine odaklanılır.

67

4.1 Elemanter (İlkel) Matrisler

Bu bölümde elemanter matrisler satır veya sütun işlemlerinin bir uygulaması olarak

tanıtılacak, herhangi bir matrisin elemanter matrislerin çarpımı olarak nasıl yazılabileceğini ve

satır veya sütun işlemleriyle karesel bir matrisin varsa tersinin bulunmasını inceleyeceğiz.

Tanım 4.1 n

birim matrisinden elemanter satır işlemlerinin herhangi bir tipi uygulandığında

elde edilen matrise elemanter veya ilkel matris denir ve genellikle E ile gösterilir.

Örnek 4.1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

birim matrisi için

1

1 0 0

0 0 1

0 1 0

E

1.tip elemanter matris 2 3R R

2

5 0 0

0 0 1

0 1 0

E

2.tip elemanter matris 1 15R R

3

1 0 4

0 1 0

0 0 1

E

3.tip elemanter matris 1 1 34R R R

Teorem 4. 1 A , m n mertebesinde bir matris ve B de A ya uygulanan elemanter satır

veya sütun işlemler sonucu elde edilen bir matris olsun. ( )m n veya birim matrislerine aynı

68

elemanter satır veya sütun işlemlerinin uygulanması sonucu elde edilen matrise E denilirse,

.B EA dır.

Örnek 4.2

2 1 0 3

1 2 5 3

2 3 1 4

A

matrisinde 1 1 32R R R elemanter satır işlemi tanımlansın. Buna

göre

6 5 2 11

1 2 5 3

2 3 1 4

A

B

elde edilir. Aynı elemanter satır işlemini birim matrise uygularsak,

3

1 0 2

0 1 0

0 0 1

E

bulunur. Buradan

1 0 2 2 1 0 3 6 5 2 11

0 1 0 1 2 5 3 1 2 5 3

0 0 1 2 3 1 4 2 3 1 4

EA B

Bulunur. Buna göre B EA bağıntısı sağlanır.

Teorem 4.2 A ve B m n mertebesinde bir matris iki matris olsun. A matrisinin B

matrisine satırca denk olması için gerek ve yeter koşul 1 2 1...k kE E E EB A eşitliğini

sağlayacak sonlu 1 1, ,...,k kE E E elemanter matrislerinin olmasıdır. Diğer bir deyişle B

matrisi, A matrisine sonlu elamenter satır işlemleri uygulanarak elde edilebiliyorsa satırca

denktir.

69

Örnek 4.3

1 3 3 1 3

1 2

1 3 3 1 3

1 2

0 1 3 2 2 1 4 3 2 1 4 3

2 1 4 3 0 1 3 2 0 1 3 2

2 3 2 1 2 3 2 1 0 2 6 4

1 0 0 0 0 1 0 0 1

0 1 0 0 1 0 0 1 0

0 0 1 1 0 0 1 0 1

R R R R R

B B

R R R R R

E E

A

I

buradan 1 1 2 2 1 2 1, .B E B E B E E A A

Teorem 4.3. Her E elemanter matris tersinirdir ve tersi de aynı tipten bir elemanter matristir.

İspat 4.3 E bir elemanter matris ve elemanter işlem ise olsun. Yani E olsun.

Elemanter işlemin tersi de 1 , bir elemanter matrisin tersi ise 1E olarak alınsın. Yani

1 1E .

1 1 1

E

E E E

ve 1

1 1 1

E

E EE

Bu ise E elemanter matrisinin tersinir olduğunu ve tersinin ise 1 1E olduğunu

gösterir.

Örnek 4.4

2 2 1

1 0 0

0 1 0 ve : 2

0 0 1

I R R R

elemanter satır işlemi verilsin. Buna göre,

1 0 0

2 1 0

0 0 1

olur. Yukarda verilen operasyonun tersi:

1

2 2 1: 2R R R

olarak elde edilir. Bu operasyon birim matrise uygulanırsa,

70

1

1 0 0

2 1 0

0 0 1

Bulunur. Buradan,

1

1 0 0 1 0 0 1 0 0

2 1 0 2 1 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1

I

elde edilir. Benzer şekilde 1 bulunur.

A matrisinin tersinir olduğunu 1 2, ,..., n elemanter işlem dizisi ile birim matrisine satır

indirgenebildiğini kabul edelim. Elemanter satır işlemi olan bu dizinin ya uygulandığında

A matrisinin tersini 1A i verdiğini gösterelim,

iE , i işlemine karşılık gelen elemanter matris olsun. Kabullerimizden ve Teorem I.10.2 den

1 2 1...n nE E E E A Ι

olur. Buradan

1 1 1

1 2 1 1 2 1 1 2 1... ... ...n n n n n nE E E E E E E E E E E E

ΙA Ι AA ΙA A Ι

Elde edilir. Yani 1, , A A elde edebiliriz.

Örnek 4.5

1 0 2

2 1 3

4 1 8

A matrisinin tersini satır işlemleri ile bulalım.

,A blok matrisini oluşturup satırca indirgenmiş formuna getirelim:

71

2 1 2

3 1 3 2 2

3 2 3 2 3 2

241 0 2 1 0 0 1 0 2 1 0 0 1 0 2 1 0 0

, 2 1 3 0 1 0 0 1 1 2 1 0 0 1 1 2 1 0

4 1 8 0 0 1 0 1 0 4 0 1 0 1 0 4 0 1

1 0 2 1 0 0 1 0 0 1

0 1 1 2 1 0 0 1 0

0 0 1 6 1 1 0 0 1

R R RR R R R R

R R R R R R

A

3 3

1

1 2 2

4 0 1

6 1 1

1 0 0 11 2 2

0 1 0 4 0 1 ,

0 0 1 6 1 1

R R

A

Böylece A matrisinin tersi

1

11 2 2

4 0 1

6 1 1

A

Elde edilir. Eğer son blok matris , B formunda olmadığı durumda verilen matris ya satır

eşdeğer değildir ve tersinir olamaz.

Örnek 4.6

6 3 4

4 1 6

1 2 5

A

matrisinin tersini satır işlemleri ile bulalım.

6 3 4 1 0 0 1 2 5 0 0 1 1 2 5 0 0 1

, 4 1 6 0 1 0 4 1 6 0 1 0 0 9 26 0 1 4

1 2 5 0 0 1 6 3 4 1 0 0 6 3 4 1 0 0

1 2 5 0 0 1 1 2 5 0 0 1

0 9 26 0 1 4 0 9 26 0 1 4

0 9 26 1 0 6 0 0 0 1 1 2

A

Bu matrise göre A matrisinin rankı 2r A dir. Diğer taraftan birim matrisin rankı

3 3r Ι olduğuna göre, A matrisinden hareketle yapılan elemanter satır işlemleri ile 3Ι

72

birim matrisi elde edilemez. Çünkü A matrisi ile 3Ι birim matrisinin rankları farklı olduğu

için denk matrisler değillerdir. Dolayısıyla A matrisinin tersi yoktur.

Tanım 4.2 Sıfır matrisinden farklı her mxnA matrisinin bir takım elemanter işlemler

yardımıyla elde edilen | 0

0 0

nI

, | 0nI , 0

nI

veya nI matrislerine,

mxnA ya eşdeğer

olan kanonik formu denir.

Örnek 4.7

1 0 2

2 1 3

4 1 8

A matrisinin kanonik formunu bulunuz.

2 1 2 2 1 2

3 2 3

3 2 3

4 2

2

2 2

9/2

2

1 2 0 1 2 0 1 0 0

4 6 9 0 2 9 0 2 9

0 2 9 0 2 9 0 2 9

1 0 0 1 0 0

/ 2 0 1 9 / 2 0 1 9 / 2

0 2 9 0 0 0

1 0 0| 0

0 1 00 0

0 0 0

R R R C C C

R R R

C C C

A

R R

I

73

4.2. Lineer Denklemlere Giriş

Lineer denklemler, lineer cebir dersinin en önemli konularından birisidir.Lineer

cebirde birçok problem bir lineer denklem sisteminin imcelenmesine ve dolayısıyla da bir

vektör kümesinin oluşturduğu alt uzayın gösterilmesine eşdeğer olduğundan bu bölümde

sunulan teknikler ileri bölümlerde daha karışık işlemlere de uygulanabilecektir.

Tanım 4.3 : 1 2, ,..., ,na a a b ve

1 2, ,..., nx x x bilinmeyenleri göstermek üzere;

1 1 2 2 ... n na x a x a x b (II.1)

şeklindeki bir denkleme n bilinmeyenli bir lineer denklem denir. Burada 1 2, ,..., ,na a a b

denklemin katsayıları, b ise denklemin sabitidir. Örneğin, 1 2vex x yerine vex y koordinat

eksenlerini aldığımızda 3 2 12x y ifadesi 0,6 ve 4,0 noktalarından geçen bir doğru

denklemini belirtir.

Tanım 4.4 Sonlu sayıda lineer denklemin meydana getirdiği m denklem ve

n bilinmeyenden oluşan

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...

.............................................

...

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

(II.2)

Sisteme bir lineer denklem sistemi denir. Burada jx bilinmeyenlerinin katsayıları ija ve

lineer denklem sistemindeki sabitleri jb ler göstermektedir. 1 , 1j m i n Denklem

(II.2) sisteme m n sistemi de denir. Bu lineer denklem sisteminin çözümü , m denklemi

aynı anda sağlayan sıralı 1 2, ,..., nx x x sayılarının bulunması demektir. Eğer bir çözüm varsa

sisteme tutarlı, yoksa tutarsız denir.

74

Örnek 4.8

1 2 3

1 2 3

2 4

2 9

x x x

x x x

2 3 lük lineer denklem sisteminin çözümü için 5,1,3 ve 7, 2,0u v sıralı

çözümlerini test edelim. Bunun için her ikisini de ayrı ayrı denklem sisteminde yerine

yazalım:

5 2.1 3 4=4

5 2 2.3 9=9

Denklemlerin her birini sağladığından u bir çözümdür. v yi yerine yazarsak,

7 4 0 3 4

7 2 0 9 9

Birinci denklemi sağlamadığından v bir çözüm değildir. Denklem (II.2) deki sistemi matris-

vektör formunda yazmak istersek,

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

...

...

... ... ... ... . .

...

n

n

m n mn n m

a a a x b

a a a x b

a a a x b

X BA

(II.3)

yani AX B yazılabilir. Burada ija A katsayılar matrisini, X bilinmeyenler vektörünü

ve B sabitler vektörünü temsil eder. Diğer yandan,

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

n

n

m n mn m

a a a b

a a a b

a a a b

Matrisine de (II.2) sistemin genişletilmiş katsayılar matrisi denir. Bu matris bir lineer

denklem sisteminin çözümünde önemli rol oynar. Diğer yandan B sabitler vektörü sıfır

matrisi ise homojen lineer denklem sisteminin matris formunda gösterimi,

AX 0

75

olur.

Örnek 4.9

1 2 3 4

1 3 4

1 2 4

2 5 4 7

3 5

2 5 1

x x x x

x x x

x x x

Lineer denklem sistemi verilsin. Bu denklem sisteminin matris formunda yazılışı:

1

2

3

4

1 2 5 4 7

3 0 1 1 5

2 5 0 1 1

x

x

x

x

BAX

Burada katsayılar matrisi,

1 2 5 4

3 0 1 1

2 5 0 1

A

ve genişletilmiş katsayılar matrisi,

1 2 5 4 7

3 0 1 1 5

2 5 0 1 1

olur.

76

Uygulamalar

Elemanter matrisleri nerede kullanırız?

Bir matrisin tersini almada elemanter matrisleri nasıl kullanırız?

Her matrisin tersini alabilir miyiz?

Sorularının cevaplarını ilgili kaynaklardan araştırınız.

77

Uygulama Soruları

1. Aşağıdaki M matrisinin tersi var mıdır? Niçin?

78


Bu bölümde bir matrisin eşelon formunun uygulaması olarak elemanter matris konusunu irdelendi. Daha sonra elemanter matrisler yardımıyla bir matrisin tersinin nasıl elde edilebileceği araştırıldı. Son olarak lineer denklem sistemlerinin matrissel formda yazılarak katsayılar ve genişletilmiş katsayılar matrisine odaklanıldı.

79

Bölüm Soruları


1. Aşağıdaki matrislerden hangisi veya hangileri satır indirgenmiş basamak formundadır?

i.

1 0 0 0 3

0 0 1 0 4

0 0 0 1 2

ii.

0 1 0 0 5

0 0 1 0 4

0 0 0 1 3

iii.

0 1 0 0

0 0 1 0

0 1 0 2

iv.

0 1 0 0 2

0 0 0 0 1

0 0 0 1 4

0 0 0 0 0

v.

1 2 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 0 1

0 0 0 0 0

A. Yalnız i B. i,iii,v C. i, v

D. ii,iv E. ii. iii, iv

2. Aşağıda matrislerle satır indirgenmiş basamak formlar dengi verilmiştir. Hangisi yanlış

verilmiştir?

A. 0 0 0 1 2 0

2 4 0 0 0 0

B 0 1 3 1 0 2

1 2 4 0 1 3

C.

1 1 1 1 0 0

1 1 0 0 1 0

1 0 0 0 0 1

D.

2 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0

4 0 0 0 0 1

3. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A . T T TA B A B B 11

TTA A

C. T T TA B A B

D. , skalerT Tk A kA k E TTA A

4.

0 0 2

1 2 6

3 7 9

matrisinin tersi aşağıdakilerden hangisidir?

80

A .

12 7 2

9 3 1

2 0 0

B.

12 2 7

1/ 2 3 1

9 / 2 0 0

C.

1/ 2 3 1

12 7 2

9 / 2 0 0

D.

9 / 2 3 1

12 7 2

1/ 2 0 0

E.

12 7 2

9 / 2 3 1

1/ 2 0 0

5.

1 1 1 2

1 1 2 1

1 2 1 1

2 2 4 2

B

matrisinin rankı aşağıdakilerden hangisidir?

A . 1 B. 2 C. 3

D. 4 E. Hiçbiri

Cevaplar

1. C 2. D 3. C 4. E 5. C

81

5. LİNEER DENKLEMLER

82


5.1. Lineer Denklem Sisteminin Çözümü

5.2. Gauss Eliminasyon Yöntemi 5.3. Gauss –Jordan İndirgeme Yöntemi

83


2 kg lık bir cisimle kütlesi bilinmeyen bir C cisminin terazilerdeki denge durmları aşağıda verilmiştir.Buna göre C cisminin kütlesi hakkında ne söylenebilir?

84



Lineer Denklem Sisteminin

Çözümü


Çözümünü kavrayabilmek.


Gauss Eliminasyon Yöntemi


Gauss Eliminasyon Yöntemi ile çözümünü yapabilmek


Gauss –Jordan İndirgeme Yöntemi


Gauss –Jordan İndirgeme Yöntemi ile çözümünü

yapabilmek


85

Anahtar Kavramlar

Lineer denklemm sistemi

Gauss Eliminasyon Yöntemi

Gauss –Jordan İndirgeme Yöntemi

86

Giriş

Bu bölümde lineer denklemlerin çözüm kümesinin elemanter satır ve sütun işlemleri ile

nasıl elde edileceği araştırılır. Bu amaçla literatürde sıkça kullanılan Gauss eliminasyon

yöntemi ile Gauss-Jordan indirgeme yöntemi uygulamalarla incelenir.

87

5.1 Lineer Denklem Sisteminin Çözümü

Bu bölümde determinant kullanmadan bir lineer denklem sistemini Gauss eliminasyon ve

Gauss Jordan algoritmasıyla nasıl çözeceğimizi göstereceğiz. Ama öncelikle bazı tanımlar ve

teoremler verelim.

Tanım 5.1: Bir lineer denklem sistemi S ile gösterilmek üzere. Aynı çözüm kümesine sahip

1S ve 2S iki lineer denklem sistemine denktirler denir ve

1 2S S ile gösterilir.

Örnek 5.1

1 2 1 2

1 2 1 2

3 ( ) 2 9

7 3 13

i x x ii x x

x x x x

Sistemleri denktir. Çünkü her ikisinin çözüm kümesi 5,2Ç dir.

Diğer yandan işlemlerde kolaylık olması açısından bir sistemi meydana getiren denklemler

sırasıyla 1 2, ,..., ,mL L L olsun. Bu sistemde .r denklem

1 1 2 2: ... ( 1,2,.., )r r r rn n rL a x a x a x b r m

olarak ifade edilir.

Teorem 5.1 Basamak formunda verilen n bilinmeyenli r denklemli lineer denklem sisteminin

çözümünde iki durum vardır:

1. Bilinmeyen sayısı kadar denklem vardır. Yani r n . Bu durumda sistemin tek bir

çözümü vardır.

2. Bilinmeyen sayısından daha az denklem vardır. Yani r n dir. Bu durumda sistemde

n r serbest değişkenlere keyfi değerler verip sistemin çözümü elde edilir.

88

Örnek 5.2

1 2 3 1 2 3

1 2 1 3

1 2

. 2 3 . 2 9

7 7

3 13

i x x x ii x x x

x x x x

x x

.i Denklem sisteminde bilinmeyen sayısı kadar denklem olduğunda çözüm tektir. Ama .ii

denklem sisteminde 3 bilinmeyen 2 denklem olduğunda 3-2=1 değişkene keyfi değerler

vererek çözümler elde edilir.

Tanım 5.2. : Denklemlerden oluşan bir lineer denklem sistemi üzerinde denk sistemler elde

etmek için yapılan aşağıdaki her bir işleme elemanter işlem denir.

1. İki denklemin yerini değiştirmek. .i Denklem ile .j Denklemin yer değişimini kısaca

i jL L olarak gösterebiliriz.

2. Denklemlerden herhangi birini sıfırdan farklı bir sayı ile çarpmak. .i Denklemi bir

0k skaleri ile çarpılmasıyla değiştirmek için

i iL kL

3. Denklemlerden herhangi birisinin bir katını diğer denkleme eklemek. .j denklemi

.i denklemin k katına ekleyerek değiştirmek için

j j iL L kL

5.2.Gauss Eliminasyon Yöntemi Lineer denklem sistemlerinin çözülmesinde kullanılan en temel yöntem Gauss

eliminasyon yöntemidir. Bu yöntemde sistem yukarda verilen elemanter işlemlerle aşağıda

tanımlanan üçgensel forma getirilir. Elde edilen bilinmeyenlerin değerleri sistemde yerine

konularak diğer bilinmeyenler bulunur.

Tanım 5.3 : Bir sistemin .k denkleminde ilk 1k değişkenin katsayıları sıfır ve .k değişken

olan kx nın katsayısı sıfırdan farklı ise sisteme üçgensel formdadır denir.

89

Örnek 5.3

1 2 3 4

2 3 4

3 4

4

2 3 5 2 9

5 3 1

7 3

2 8

x x x x

x x x

x x

x

Bu şekilde üçgensel bir sistemin yalnız tek çözümü vardır. En alttaki denklemden

4 4x bulunarak bir üst basamaktaki denklemde yerine yazılırsa3 1x bulunur. Bu değerler

ikinci denklemde yerine yazılırsa 2 2x bulunur. Son olarak

4 3 24, 1ve 2x x x

değerleri birinci denklemde yerine yazılırsa 1 9x bulunur. Böylece sistemin 9, 2,1,4

çözümü elde edilir.

Eğer verilen lineer denklem sistemi üçgensel formda değilse Tanım II.2.1 da verilen

operasyonlarla sistem üçgensel forma getirilir.

Örnek 5.4

2 2 3 3 1 3 3 2 32 , 31 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 1 2

1 2 3 1 2 2

2 3 5 2 3 5 2 3 5

3 2 2 5 13 10 43 13 10 43

5 3 16 13 8 37 2 6

L L L L L L L L Lx x x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x

Üçgensel hale gelir buradan sistemin çözüm kümesi 1, 3, 2 .

5.3.Gauss –Jordan İndirgeme Yöntemi Bu yöntem lineer denklem sistemlerine sonlu sayıda elemanter işlemin sırasıyla

uygulanması ve sonuçta verilen lineer denklem sistemiyle aynı genel çözüme sahip daha basit

yapılı bir lineer denklem sistemi bulunmasına dayanır. Bu işlemleri yapılırken bir lineer

denklem sistemin genişletilmiş katsayılar matrisinin satırca indirgenmiş üçgensel formu

kullanılır. Bu yöntemle bir lineer denklem sisteminin çözümünün bulunmasına Gauss –Jordan indirgeme yöntemi denir.

Gauss Eliminasyonu ile Gauss –Jordan indirgeme yöntemi arasındaki fark; Gauss

denklemi çözmek için genişletilmiş katsayılar matrisinin basamak formu kullanılırken, Gauss

90

–Jordan ise satır indirgenmiş basamak formuna ihtiyaç vardır. Örneklere geçmeden önce her

iki yöntem için geçerli olan şu notu belirtelim: Verilen bir lineer sistemin bir çözümünün

olabilmesi için yeterli ve gerekli koşul; genişletilmiş katsayılar matrisinin basamak formunun

herhangi bir satırının 0b olmak üzere 0,0,...,0,b formunda olmaması gerekir.

Örnek 5.5

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3

2 5 4

3 2 5

x x x

x x x

x x x

denklem sisteminin çözümünü bulunuz.

Genişletilmiş katsayılar matrisi,

1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3

2 5 1 4 0 1 3 10 0 1 3 10

3 2 1 5 0 8 4 4 0 0 28 84

M

Basamak matrisi formuna indirgenir.Gauss eliminasyonu yöntemiyle çözüm:

3 3

2 3 2

1 2 3 1

28 84 3,

3 10 1

2 3 2

x x

x x x

x x x x

bulunur. Sistemin Gauss-Jordan yöntemi ile çözümü için basamak matrisi satırca indirgenmiş

basamak matrisi yani kanonik duruma getirmeliyiz:

1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 0 0 1 0 0 2

0 1 3 10 0 1 3 10 0 1 0 1 0 1 0 1

0 0 28 84 0 0 1 3 0 0 1 3 0 0 1 3

M

Buradan aynı çözüm 2, 1,3 elde edilir.

91

Örnek 5.6

3 4 5 6

3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 4 5 6

6 2 4 8 8

3 4 4 4

2 3 4 7 2

6 9 11 19 3 1

x x x x

x x x x

x x x x x x

x x x x x

denklem sisteminin çözümünü bulunuz.

Genişletilmiş katsayılar matrisi,

0 0 6 2 4 8 8 0 0 6 2 4 8 8

0 0 3 1 2 4 4 0 0 3 1 2 4 4

2 3 1 4 7 1 2 2 3 1 4 7 1 2

6 9 0 11 19 3 1 0 0 3 1 2 0 5

0 0 6 2 4 8 8 2 3 1 4 7 1 2

0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 2 0 5

2 3 1 4 7 1 2 0 0 6 2 4 8 8

0 0 3 1 2 0 5 0 0 0 0 0 0

A

0

2 3 1 4 7 1 2

0 0 3 1 2 0 5

0 0 0 0 0 8 2

0 0 0 0 0 0 0

basamak matrisi formuna indirgenir. Buradan satır işlemleriyle kanonik forma indirgersek

satırca denk olan,

1 3 / 2 0 11/ 6 19 / 6 0 1/ 24

0 0 1 1/ 3 2 / 3 0 5 / 3

0 0 0 0 0 1 1/ 4

0 0 0 0 0 0 0

M

elde edilir. Burada görüldüğü gibi 6 bilinmeyen ve 3 denklem var. Dolaysıyla çözümler 6-3=3

değişkene bağlı olarak çıkacaktır. Buna göre çözüm:

92

6

3 4 5 3 4 5

1 2 4 5 1 2 4 5

1,

4

1 2 5 5 1 2

3 3 3 3 3 3

3 11 19 1 1 3 11 19

2 6 6 24 24 2 6 6

x

x x x x x x

x x x x x x x x

elde edilir. Burada 2 4 5, ,x x x keyfi değerlerdir.

Örnek 5.7 Aşağıdaki lineer denklem sisteminin tutarlı olması için t Rasyonel sayısını

bularak t nin bu değeri için sistemi çözünüz.

2

0

3

x y

x y

x y t

Sistemin genişletilmiş katsayılar matrisi,

1 1: 2 1 1: 2 1 1: 2

1 1: 0 0 2 : 2 0 1: 1

3 1: 0 4 : 6 0 0 : 2

A

t t t

1 1: 2

0 1: 1

0 0 : 2

M

t

satırca indirgenmiş basamak matrisine denktir. Burada 2t ise sistem

tutarsız yani çözümü yok, 2t ise sistem tutarlı ve

1 1: 2 1 0 : 1

0 1: 1 0 1: 1

0 0 : 0 0 0 0

M

ve böylece 1, 1x y çözümü bulunur.

Örnek 5.8 Aşağıdaki lineer denklem sisteminde

2 4

2 3 5

3 4 5

x y z

x y az

x y z b

vea b nin hangi rasyonel değerleri için

1. Sistemin çözümü olmaz

2. Sistemin yalnız bir çözümü olur

3. Sistemin sonsuz çözümü vardır.

93

Öncelikle sistemin genelleştirilmiş katsayılar matrisi:

1 2 3 4

2 3 5

3 4 5

A a

b

olur. Bu matrisi satır kanonik forma getirelim:

2 1 2

3 1 3

3 2 3

23

2

1 2 3 4 1 2 3 4

2 3 5 0 1 6 3

3 4 5 0 2 4 12

1 2 3 4

0 1 6 3

0 0 2 8 6

R R RR R R

R R R

A a a

b b

a M

a b

Buradan

1 2 3 4

0 1 6 3

0 0 2 8 6

M a

a b

matrisine göre

1.durum: 2 8 0 4a a olsun. Bu durumda M matrisi,

1 0 0

0 1 0

60 0 1

2 8

u

M v

b

a

Kanonik formuna indirgenir ve buradan sistemin tek çözümü vardır:

6, ,

2 8

bz y v x u

a

2.durum. 4a olsun. Bu durumda M matrisi,

1 2 3 4

0 1 2 3

0 0 0 6

M

b

formuna indirgenir. Burada eğer 6b ise sistem tutarsız olup çözümü olmaz. Çünkü

0=1,2,3.. gibi mantıksız sonuçlar çıkar. Fakat 6b ise

94

1 1 221 2 3 4 1 0 1 2

0 1 2 3 0 1 2 3

0 0 0 0 0 0 0 0

R R R

M

elde edilir. Buradan

2 3 3 2

2 3 4 2 3 2 3 4 2

y z y z

x y z x z z x z

z keyfi değerine bağlı sonsuz çözüm bulunur.

95

Uygulamalar

Güncel hayatta karşılaştığımız lineer denklem modeline aktaracağımız birkaç problem söyleyebilir misiniz?

96

Uygulama Soruları

Bir odada x tane çantanın ve y yane de kutunun olduğunu varsayalım:

Her bir çantada 2 elma ve 4 muz; her bir kutuda ise 6 elma ve 8 muz olsun. Odada toplam 20 elma ve 28 muz olduğuna göre çanta ve kutu sayısını bulunuz.

97


Bu dersimizde lineer denklemlerin çözüm kümesinin elemanter satır ve sütun işlemleri ile nasıl elde edildiği araştırıldı. Bunun için literatürde sıkça kullanılan Gauss eliminasyon yöntemi ile Gauss-Jordan indirgeme yöntemleri uygulamalarla test edildi.

98

Bölüm Soruları


1.

2 4 5 3

3 5 2 4

4 6 9 2

x y z t

x y z t

x y z t

lineer denklem sisteminin çözümü aşağıdakilerden

hangisidir?

A. 3,0,0,0 B. (1,2,-1,4) C. Çözüm yok

D. (-1,-1,2,1) E. (1,-1,0,-18)

2.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1

1

1

kx x x

x kx x

x x kx

denklem sisteminde k nın hangi değeri için sistemin birden fazla

çözümü olur?

A.-1 B. 1 C. 2

D. 3 E. 4

3

2

2 3 4

3 5 2

4 14 2

x y z

x y z

x y a z a

Aşağıda verilen a rasyonel sayısının hangi değeri için denklem sisteminin çözümü olmaz?

A. -4 B. 4 C. 2

D. -3 E. -2

4

1

2

3

4

5

2 3 1 4 9 17

1 1 1 1 3 6.

1 1 1 2 5 8

2 2 2 3 8 14

x

x

x

x

x

denklem sisteminin çözümü ile ilgili aşağıdakilerden

hangisi doğrudur?

A.Çözüm yoktur

99

B.Her Reel sayı için sağlanır.

C.Aşikar çözümü vardır

D.Tek bir çözümü vardır.

5.Sonsuz çözümü vardır

5.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3 1

3 2 7

2 2 1

x x x

x x x

x x x

denklem sisteminin çözüm vektörü aşağıdakilerden hangisidir?

A.

1

3

2

B.

1

3

2

C.

3

1

2

D.

2

3

1

E.

1

3

2

Cevaplar

1-C, 2-B, 3-A 4-E 5-A

100

6. HOMOJEN LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİ VE VEKTÖR UZAYLARI

101


6.1.Homojen Lineer Denklem Sistemleri

6.2. Vektör Uzayları

6.3. Alt Uzaylar

102


1-

Matrisi verilsin. 0Mx homojen denklem sisteminin çözümünü bulun. 2- Yukardaki verilen sorunun çözümünü aşağıdaki formde yazabilir miyiz?Bu gösterim neyi temsil eder?

103



Homojen Lineer Denklem

Sistemleri

Homojen Lineer Denklem

Sistemlerini kavrayabilmek.


Vektör Uzayları Vektör Uzaylarını kavramak Okuyarak, fikir yürüterek, ve uygulama yaparak.

Alt Uzaylar Alt Uzayları kavramak Okuyarak, fikir yürüterek, uygulama yaparak ve

araştırarak

104

Anahtar Kavramlar

Homojen Lineer Denklem Sistemi

Vektör Uzayı Alt Uzay

105

Giriş

Bu bölümde homojen lineer denklem sistemleri ve özellikleri tanımlanarak çözüm

kümesinin bulunmasına odaklanılır. Ayrıca vektör uzaylarına giriş yapılarak alt uzay kavramı

incelenir.

106

6.1. Homojen Lineer Denklem Sistemleri

Tanım 6.1. : Denklem (II.2) de verilen lineer denklem sisteminde eğer sabitler olan

0, 1jb j m ise oluşan

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 1 2 2

... 0

... 0

.......................................

... 0

n n

n n

m m mn n

a x a x a x

a x a x a x

a x a x a x

(II.3)

Denklem sistemine homojen lineer denklem sistemi denir. Böyle bir denklem daima

tutarlıdır ve 1 20, 0,..., 0nx x x çözümüne sahiptir. Bu çözüme aşikâr (trivial) çözüm

denir. Bunun dışındaki herhangi bir çözüme ise aşikâr olmayan çözüm denir.

Örnek 6.1.

0

0

x y

x y

Homojen sisteminin sadece 0, 0x y aşikâr çözüme vardır. Fakat

0

0

x y z

x y z

Homojen sisteminin ise , 0x z y , z keyfi değerine bağlı olan aşikâr olmayan çözümü

mevcuttur. Şimdi homojen sistemin aşikâr çözümü ile ilgili bir teorem verelim.

Teorem 6.1. : n bilinmeyenli m lineer denklemli bir homojen sistem eğer m n ise daima

aşikâr olmayan bir çözüme sahiptir.

Teorem 6.2. : Varsayalım m n ve sistemin katsayılar matrisi satırca B matrisine denk

olsun. Bu matris satırca indirgenmiş basamak formunda olsun. Bu durumda B deki sıfır

107

olmayan satırların sayısı da r olsun. Yani n bilinmeyenli r denklemden meydana gelen bir

sistem elde edilir. Bu takdirde r m n ve böylece 0n r olur ve böylece bilinmeyenlerin

sayısı olan n r pozitif değerdir. Bu halde r tane bilinmeyen n r tane bilinmeyene bağlı

olarak çözülebilir . Böylece sistemin aşikâr olmayan bir çözümü vardır.

Sonuç olarak A , m n tipinde bir matris ve AX 0 homojen sistemi sadece aşikâr çözüme

sahipse m n olmalıdır.

Örnek 6.2.

1 2 3 4

1 4

1 2 3

0

0

2 0

x x x x

x x

x x x

Homojen lineer denklem sisteminin çözünün bulun.

Sistemin genelleştirilmiş katsayılar matrisi,

1 1 1 1 0

1 0 0 1 0

1 2 1 0 0

A

olur. Bu matrisi satır kanonik forma getirelim

1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0

1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0

1 2 1 0 0 1 2 1 1 0 0 2 1 1 0

1 0 0 1 0

0 1 0 1 0

0 0 1 1 0

A

M

bulunur. Burada

108

1 0 0 1 0

0 1 0 1 0

0 0 1 1 0

M

matrisinden görüldüğü üzere denklem sayısından fazla bilinmeyen vardır. Dolayısıyla

sistemin en az bir sıfır olmayan çözümü vardır. Yani,

3 4 3 4

2 4 2 4

1 4 1 4

0

0

0

x x x x

x x x x

x x x x

Elde eldir. 4x k için, , , ,k k k k çözümü bulunur.

Örnek 6.3.

2 0

2 5 2 0

3 4 0

x y z

x y z

x y z

sisteminin aşikâr olmayan çözümünün varlığını inceleyiniz.

Öncelikle sistemin genelleştirilmiş katsayılar matrisi:

1 2 1 0

2 5 2 0

3 1 4 0

A

olur. Bu matrisi basamak matris formuna getirelim:

1 2 1 0 1 2 3 0 1 2 3 0

2 5 2 0 0 1 8 0 0 1 8 0

3 1 4 0 0 7 5 0 0 0 61 0

A

Buradaki basamak matrisinde de görüldü gibi üç denklem ve üç bilinmeyen vardır.

Dolayısıyla homojen sistemin tek çözümü vardır. O da 0, 0, 0z y x aşikâr çözümüdür.

109

O(0,0)

Örnek 6.4.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 0

2 5 2 0

4 7 0

3 3 0

x x x

x x x

x x x

x x x

sisteminin sıfır olmayan çözümünün olup olmadığını inceleyiniz.

Sistemin genelleştirilmiş katsayılar matrisini yazarak basamak matris formuna indirgeyelim:

1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0

2 5 2 0 0 1 4 0 0 1 4 0

1 4 7 0 0 2 8 0 0 0 0 0

1 3 3 0 0 1 4 0 0 0 0 0

A

basamak formuna dikkat edilirse 3 bilinmeyen için 2 denklem vardır. Dolayısıyla sistemin

sıfır olmayan bir çözümü vardır. Çözüm,

2 3 2 3

1 2 3 1 3

4 0 4

2 0 9

x x x x

x x x x x

olacak şekilde 3x e bağlı olarak elde edilir. Özel olarak

3 1x için sistemin bir çözü

9,4, 1 elde edilir.

6.2.Vektör Uzayları

Hız, ivme, kuvvet gibi yön, doğrultu ve büyüklüğe sahip ifadeler vektörel büyüklüklerdir.

Düzlemde bütün noktaların kümesi 2 ile gösterilir ve 2 boyutlu uzay olarak tanımlanır. Şekil

III. de görüldüğü gibi 2 de bir vektör:

x

1 1( , )P x y

y

110

Şekil III. 1. 2 de bir vektör

orijinden 1 1,x y noktasına olan yönlü doğru parçasıdır. Bu 1

1

xu

y

, biçiminde 2x1 lik bir

sütun matrisi şeklinde gösterilir. 2 aynı yön ve uzunluğa sahip bütün eş yönlü doğru

parçalarının kümesi bir vektörü ifade eder. Vektörlerin bir k skaleri ile çarpılması,

1

1

kxku

ky

vektörün yön ve büyüklüğünü belirler ve toplanması ise

1 2 1 2

1 2 1 2

,x x x x

u v u vy y y y

matrislerde olduğu gibi yapılır.

Tanım 6.2 : V boş olmayan kümesi bir F cismi üzerinde toplama(+) ve çarpma(x) işlemleri

ile tanımlı olsun. Eğer bu küme aşağıdaki özellikleri sağlarsa V ye, F cismi üzerinde bir

vektör uzayı denir.

A. Her ,u v V için u v V .Toplama işlemine göre özellikler:

1. Her ,u v V için u v v u

2. , ,u v w V için u v w u v w

3. u V için 0u u olacak bir 0 V vardır. Burada 0 , sıfır vektörüdür.

4. u V için 0u u olacak bir u V vardır. Burada u , u nın ters işaretlisi

olarak adlandırılır.

A. Her veu V skaler için u V (V çarpma(.) işlemine göre kapalı)

5. ,u v V ve için u v u v

6. ,u V ve için u u u

7. ,u V ve için . u u

8. u V için 1.u u . Burada 1, F cisminin birim elemanıdır.

111

Örnek 6.5.

1

2

1

1

.

.

.

n

n

n

x

x

x

x

, nx1 reel sütun uzayı yukarda verilen bütün özelliği sağladığı için

vektör olarak alabiliriz. Dolayısıyla bütün mxn tipinde matrislerin kümesi m

nvektör uzayıdır.

Örnek 6.6. nP , derecesi n den küçük bütün polinomların kümesi

olsun. 1

1 1 0....n

nP x a x a x a . Örneğin; n=3 için 2

31 , 2 1x x P x P fakat

3

3.x x P Acaba

nP bir vektör uzayı mı? Bunun için np ve q P için,

1

1 1 0....n

np x a x a x a , 1

1 1 0....n

nq x b x b x b

1

1 1 1 1 0 0

1

1 1 0

.... ( )

( )

n

n n n

n

n n

p x q x a b x a b x a b P x

p x a x a x a x P x

Olduğundan nP bir vektör uzayıdır.

Örnek 6.7. nP , derecesi n ’ eşit bütün polinomların kümesi olsaydı,

3 3 3 3

3 3 31 , 2 1 1 2 1 3x x P x x P x x x x x P

vektör uzayı olmazdı.

Örnek 6.8. tamsayılar kümesi adi toplama ve çıkarma işlemlerine göre rasyonel sayılar

cismi üzerinde bir vektör uzayı oluşturamaz. Çünkü bir tamsayı ile rasyonel sayının çarpımı

her zaman tamsayı olamaz. Örneğin 2.1/ 3 2 / 3

Teorem 6.3 : V boş olmayan kümesi bir F cismi üzerinde bir vektör uzayı olsun.

1. Herhangi bir k skaleri ve 0 V için .0 0k

2. Herhangi bir u V vektörü ve 0 F için 0. 0u

112

3. k F ve u V için . 0 0 veya 0k u k u

4. Herhangi bir k skaleri ve herhangi bir u V vektörü için .k u k u ku

III.1 Alt Uzaylar

Bir V vektör uzayının boş olmayan bir altkümesi S olsun. Eğer bu küme aşağıdaki özellikleri

sağlarsa S, V’nin bir alt uzayıdır denir.

1.Sıfır vektör S in bir elemanı( 0 S )

2. veu S için u S

3. , içinu v S u v S

Sonuç: S, ancak ve ancak şu şartlar altında V’nin bir alt uzayıdır:

1. 0 S

2. ,u v S ve ,a b için au bv S

Tanım 6.3 : Her V vektör uzayının 0 ve V olmak üzere en az iki tane alt uzayı vardır ki

bunlar aşikâr uzay olarak adlandırılır. Bunların dışındaki alt uzaylara öz alt uzay denir.

Örnek 6.9.

1 2

1:1

xS x

alt uzay mı?

5 10, 2

1 2u u S

dolayısıyla alt uzay değil.

Örnek 6.10. 3V olsun. Üçüncü bileşeni sıfır olan vektörlerden oluşan

, ,0 : ,S a b a b alt uzay koşullarını sağlar. Çünkü 0 0,0,0 S ve ,a b

için au bv S .

Örnek 6.11. m olmak üzere 1 , :E x mx x kümesi düzlemin bir alt uzayıdır.

Fakat 2 ,2 1 :E x x x alt kümesi bir alt uzay değildir. Çünkü 2 , 0,0E noktasını

113

içermez. Dolayısıyla buradan düzlemin sıfır ve kendisinden farklı alt uzayları sadece orijinden

geçen doğrular olduğunu söyleyebiliriz.

114

Uygulamalar

Vektör uzaylarının fen bilimlerdeki uygulamalarını ders kaynaklarından ve bilgisayar üzerinden araştırınız.

115

Uygulama Soruları

Bir değişkenli fonksiyonlar kümesi:

İle gösterilsin. Bu kümede toplama işlemi:

Bir skalerle çarpma işlemi:

İle tanımlansın. Buna göre uzayının bir vektör uzayı olup olamayacağını kontrol edin.

116


Bu bölümde homojen lineer denklem sistemleri tanımlanarak çözüm kümesinin nasıl

elde edileceği incelendi. Ayrıca vektör uzaylarına giriş yapılarak alt uzay kavramı örneklerle

irdelendi.

117

Bölüm Soruları


1. Aşağıdaki homojen sistemlerden hangisi veya hangilerinin aşikâr çözümü vardır?

i.

3 2 0

8 8 0

3 2 4 0

x y z

x y z

x y z

ii.

3 2 0

2 3 0

3 2 2 0

x y z

x y z

x y z

iii.

2 5 4 0

2 3 2 3 0

4 7 6 0

x y z w

x y z w

x y z w

A. Yalnız i B. i ve ii C. Yalnız ii

D. i ve iii E. i, ii ve iii

2. Aşağıdaki matrislerden hangisinin tersi yoktur?

A.

1 1 1

1 1 0

2 0 0

B.

2 2 4

1 0 1

0 1 0

C.

4 6 3

0 0 7

0 0 5

D.

2 0 0

0 5 0

0 0 7

E.

1 2 4 6

0 1 2 0

0 0 1 2

0 0 0 2

3.

1

1 2 3

x y

tx y t

t x y

Denklem sisteminin tutarlı olabilmesi için t nin değeri aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?

A . 5 B. 4 C. 3

D. 2 E. 1

4.

3 7 0

2 4 1/ 2

1

6 4 10 3

x y z

x y z

x y z

x y z

Denklem sisteminin çözümü için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

118

B. Aşikâr çözümü var B. Çözüm yok C. Tek bir çözüm var

D. 3 1

3 , 2 ,2 2

x z y z z

keyfi E. 1 3

3 , 2 ,2 2

x z y z z

keyfi

5. nın hangi değerleri için aşağıda verilen homojen denklem sisteminin aşikâr olmayan

bir çözümü vardır?

3 0

3 0

x y

x y

A . 2 ve 4 B. 4 ve 5 C. 2 ve 5 D.1 ve 3 E . 3 ve 4

6.Aşağıdaki verilen kümelerden hangisi vektör uzayı değildir?

i. : | , 0a

P a bb

ii. , | ,x y x y

iii. Türevlenebilir bütün fonksiyonların kümesi : : | vardf

f fdx

A. Yalnız i B. i ve ii C. Yalnız ii


7.Aşağıdaki verilen kümelerden hangisi 3 , , | , ,a b c a b c ün alt uzayıdır?

i. , , | 2a b c a b ii. , , |a b c a b c

iii. , , | 0a b c ab

A. Yalnız ii B. i ve ii C. Yalnız i


Cevaplar

1. D 2. C 3. D 4. E 5. A 6.A 7.C

119

7.LİNEER BAĞIMSZILIK, BAZ VE BOYUT

120


7.1. Lineer Bağımsızlık

7.2. Baz ve Boyut

121


1. 3 de aşağıda verilen vektörler lineer bağımsız mıdır?

2.Aşağıda verilen küme 3 ü gerer mi? Vektörleri lineer bağımsız mıdır?

122



Lineer Bağımsızlık Lineer Bağımsız olup olmamayı kavrayabilmek.


Baz Bir vektör uzayının Bazını saptayabilmek.


Boyut Bir vektör uzayı ve alt uzayının boyutunu vermek

Okuyarak, fikir yürüterek, uygulama yaparak ve

araştırarak

123

Anahtar Kavramlar

Lineer bağımsızlık

Lineer bağımlılık

Baz

Boyut

124

Giriş

Bu bölümde vektörlerin lineer bağımsızlığı tanımlanır. Buradan hareketle bir vektör

uzayının başka bir vektör uzayı tarafından gerilmesi ve dolayısıyla baz ile boyut kavramı

incelenir.

125

7.1. Lineer Bağımsızlık

Tanım 7.1. : 1 2, ,..., nv v v , V vektör uzayının bir alt kümesi olsun. 1 2, ,..., n skalerler

olmak üzere , V’nin

1 1 2 2 ... n nv v v

Formundaki bir v vektörü 1 2, ,..., nv v v vektörlerinin Lineer toplamı veya lineer

kombinasyonu olarak adlandırılır.

Örnek 7.1. Herhangi bir 3, ,u a b c vektörü

1 2 31,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1e e e

vektörlerinin lineer kombinasyonudur. Çünkü

1 2 3

, , 1,0,0 0,1,0 0,0,1u a b c a b c

ae ae ae

Örnek 7.2. Bir 33,7, 4u vektörü 1 2 31,2,3 , 2,3,7 , 3,5,6v v v

Vektörlerinin bir lineer kombinasyonu olup olmadığını gösterin.

3,7, 4 1,2,3 2,3,7 3,5,6

2 3 , 3 6 ,3 7 6

u x y z

x y z x y z x y z

vektörleri eşitledikten sonra eşdeğer denklem sistemi,

2 3 3

3 6 7

3 7 6 4

x y z

x y z

x y z

Lineer denklem sistemi oluşur. Genişletilmiş katsayılar matrisini satır işlemleriyle basmak

formuna indirgeyerek bilinmeyenler bulunursa,

2, 4 ve 3x y z elde edilir. Böylece 1 2 32 4 3u v v v lineer toplamı biçiminde yazılır.

126

Tanım 7.2. : 1 2, ,..., nv v v vektörlerinin Lineer toplamlarının oluşturduğu kümeye 1 2, ,..., nv v v

vektörlerinin ürettiği veya gerdiği (span) alt uzay denir ve

1 2, ,..., nspan v v v ile gösterilir.

Örnek 7.3. 3

1 vektör uzayı 1 0 0

0 , 1 , 0

0 0 1

S

ile üretilmiştir. Çünkü herhangi bir 3x1

sütun matris,

1 0 0

0 1 0

0 0 1

a

b a b c

c

Şeklinde yazılır.

Örnek 7.4. 3

1 vektör uzayı 0 0 1

0 , 1 , 1

1 1 1

S

ile gerilir mi?

0 0 1

0 1 1 ,

1 1 1

a

b a b a ve c b

c

uygun değerler için gerildiği görülür.

Tanım 7.3. : 1 2, ,..., nv v v V vektör uzayının bir alt kümesi olsun.

1 1 2 2 ... 0n nv v v

1 2olacak şekilde yazılan bir denklemi için hepsi birden sıfır olmamak koşulu ile , , ,..., n

1 2skalerleri bulunabiliyorsa, , ,..., vekt rleri , aksi takdirde denklem

ancak

nv v v ö lineer bağlı

127

1 2 ... 0n

şartı ile sağlanıyorsa vektörler lineer bağımsızdır denir.

Örnek 7.5.

1 2 3

1 1 1

2 , 1 , 7

3 2 12

v v v

vektörleri

1 2 32 3 1 0v v v

olarak yazıldığı için lineer bağımlıdırlar.

3 7. deÖrnek 6

1 1 1

0 , 1 , 0

0 0 1

S

kümesinin lineer bağımlı olup olmadığının test edin.

Çözüm:

1 2 3

1 1 1 0

0 1 0 0

0 0 1 0

c c c

yazılır. Buradan

1 2 3

2 3 1 2 3

3

0

0 0

0

c c c

c c c c c

c

128

olduğundan vektörler lineer bağımsızdır.

Örnek 7.7

1 1 1

0 , 1 , 2

0 1

S

k

vektörlerinin lineer bağımsız olabilmeleri için k değerini bulalım.

Çözüm:

Bu defa basamak matrisi yöntemi ile yapalım

3

1 1 1 0 1 1 1 0

0 1 2 0 0 1 2 0 2 0

0 1 0 0 0 2 0

c k

k k

Buradan 2 için vektörler lineer bağımsızdır.k .

Örnek 7.8

P2 de

2 2 21 ,1 ,x x x x

vektörlerinin lineer bağımsız olup olmadığını araştırın.

2 2 2

1 2 3

1 2 3

3

1 2 3

1 1 0

0

0

0

c x c x c x x

c c c

c

c c c

buradan

129

1 2 3 0c c c

Olduğundan vektörler Lineer bağımsız olur.

Teorem 7.1 :

Sıfır vektöründen oluşan tek elemanlı küme lineer bağımlıdır.Daha genel olarak sıfır

vektörünü kapsayan her sonlu küme lineer bağımlıdır.

İspat 7.1 : Her c skaleri için

.0 0c

olduğundan vektör uzayı koşullarından c sıfırdan farklı olması durumda eşitlik doğru

olduğundan sıfır vektöründen oluşan tek elemanlı küme lineer bağımlıdır.

Bir vektörler kümesinin lineer bağımlı olup olmadığını farklı bir yolla araştıran bir teorem

verelim.

Teorem 7.2: n de

1

2( 1,2,..., )

..

i

i

i

ni

x

xx i n

x

olmak üzere n tane vektör olsun. Eğer

11 11 1

21 22 2

1 2

1 2

...

..., ,...,

... ... ... ...

...

n

n

n

n n nn

x x x

x x xx x x x

x x x

ise 1 2, ,..., nx x x vektörlerinin lineer bağımlı olması için gerek ve yeter şart x ’in singüler yani

tersinin olmamasıdır( det( ) 0)x

Örnek 7.9. 2,2,3 , 1,3,1 , 1, 5,3T T T

S vektörleri 3 de lineer bağımlı mıdır?

130

2 1 1 2 1 1

2 3 5 2 3 5 0

3 1 3 3 1 3

Olacağından vektörler lineer bağımlıdır.

7.2. Baz ve Boyut

Tanım 7.4: V vektör uzayının bir 1 2, ,..., nS v v v alt kümesi hem lineer bağımsız hem de

V vektör uzayını gererse S e bir taban veya baz denir.

Örnek 7.10. 3 de 1 2 3, ,e e e vektörlerinin lineer bağımsız olduğunu göstermiştik. İkinci

olarak

3

1 2 3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

a a

u b b a b c ae ae ae

c c

Olduğundan 1 2 3, ,e e e bir baz dır. Ve bu standart(doğal) taban olarak adlandırılır.

Örnek 7.11. 3P polinom uzayında 3 2 3 3, , 1S x x x x alt kümesinin gerdiği alt uzayın

S de kapsanan bir tabanını bulalım.

2 2 3 2 3 3

3 1

, 0, ,

ax bx c P ax bx c x x x x

a b c a c

olduğundan bu vektörler 3P ü gerer. Diğer yandan

3 2 3 3 1 0 0x x x x

olduğundan S lineer bağımsızdır. Buna göre S , 3P polinom uzayının bir tabanıdır.

Genel olarak nP nin standart tabanları 2 11, , ,..., nx x x dir.

131

Örnek 7.12

de baz olduğunu gösterin2 2

11 12 21 22

1 0 0 1 0 0 0 0, , , .

0 0 0 0 1 0 0 1E E E E

lineer bağımsızdır

1 11 2 12 3 21 4 22

1 2

1 2 3 4 11 12 21 22

3 4

0 0

0 0

0 00 , , , .

0 0

c E c E c E c E

c cc c c c E E E E

c c

0

Bu durumda,

2 2

11 12 21 22,

a b a baE bE cE dE

c d c d

2 2 yi gereceğinden onun bir bazıdır.

Teorem 7.3 : 1 2, ,..., nS v v v V vektör uzayının bir tabanı ve 1 2, ,..., rW w w w V de

lineer bağımsız ise r n dir.

Buradan şu sonucu çıkarabiliriz: Bir vektör uzayının iki tabanında aynı sayıda vektör vardır.

Tanım 7.5: Bir vektör uzayın herhangi bir tabanındaki vektör sayısına bu uzayın boyutu

denir ve boy V veya dim V ile gösterilir.

Örnek 7.13. 1 2, ,..., ne e e standart birim vektörleri ise 1 2( , ,..., ) ( )iboy e e e i i n dir.

Örnek 7.14 3P polinom uzayının boyutu 4 tür. Çünkü bir tabanı olarak 2 31, , ,S x x x

Örnek 7.15 m n nin boyutu m n dir.

Teorem 7.4 : V, boyutu sıfırdan büyük bir vektör uzayı olsun. Buna göre,

1. Lineer bağımsız herhangi n tane vektör V yi gerer.

2. V yi geren herhangi n tane vektör lineer bağımsızdır.

132

Teorem 7.5 : matrisleri denk ise satır uzayları birbirine eşittir, .ij ijmn mn

A a B b

Bu teoremden hareketle bir ij mnA a matrisi verildiğinde buna satır işlemleri uygulanarak

elde edilen basamak biçimi denk matrisi ij mnB b ise A ve B matrislerinin satır uzayları

eşittir. Diğer yandan basamak matrisin sıfırdan farklı satırları satır uzayı için bir taban teşkil

eder. Bu sayede n de verilen vektörler tarafından gerilen(span)(oluşturulan) alt uzay için

taban bulunur.

Örnek 7.16. 1, 2,5, 3 , 2,3,1, 4 , 3,8, 3, 5 vektörlerinden oluşan bir W uzayı

4 ün bir alt uzayı olsun. Bu alt uzayın boyutunu ve bazını bulunuz.

Çözüm: Satırları verilmiş vektörler olan matrisi yazarak satır eşdeğer basamak forma indirgeriz. En

son durumda lineer bağımsız vektör sayısı W nin boyutu, aynı zamanda bu matrisin rankıdır.

Ayrıca lineer bağımsız vektörler de W alt uzayının bazını oluşturur. Buna göre,

1 2 5 3 1 2 5 3 1 2 5 3

2 3 1 4 0 7 9 2 0 7 9 2

3 8 3 5 0 14 18 4 0 0 0 0

Olur. Burada sıfır olmayan 1, 2,5, 3 , 0,7, 9, 2 vektörleri basamak matrisin satır

uzayının aynı zamanda W, nin bir bazını oluşturur. Bazdaki vektör sayısı 2 olduğundan W nin

boyutu 2 dir.

Örnek 7.17: 4

1 uzayının W altuzayı, 1 2 3

1 1 2

1 1 2, ,

1 1 2

1 0 1

W span v v v

eşitliği ile

veriliyor. 1 2 3

1 1 2

1 1 2, ,

1 1 2

1 0 1

v v v

kümesinin içinden W alt uzayının bir

tabanını(bazını) ve boyutunu bulun.

133

Çözüm:

Sütunları verilmiş vektörler olan matrisi yazarak sütun eşdeğer basamak forma indirgeriz. Bir

matriste yapılan elementer satır veya sütun işlemlerinin matristeki lineer bağımsız sütunların

yerlerini değiştirmediğini biliyoruz. Bu gerçekten yararlanmak için sütun matrisini sütunca

indirgeyelim.

1 1 2 1 0 0 1 0 0

1 1 2 1 0 0 1 0 0

1 1 2 1 0 0 1 0 0

1 0 1 1 1 1 1 1 0

A

Olur. Burada sıfır olmayan 1 2

1 0

1 0,

1 0

1 1

w w

vektörleri A matrisinin birinci ve ikinci sütun

vektörlerine karşılık gelen 1 2

1 1

1 1,

1 1

1 0

v v

kümenin lineer bağımsız olduğu görülür.

Sonuç olarak1 2

1 1

1 1,

1 1

1 0

v v

kümesi sütun uzayı için W, nin bir bazı olarak alınabilir.

Bazdaki vektör sayısı 2 olduğundan W nin boyutu 2 dir.

Örnek 7.18: 3 , , : 2 0de W a b c a c alt uzayının bir bazını ve boyutunu bulunuz.

2 0a c denkleminin genel çözümü:

2

,

a s

b t t s

c s

Böylece

, , 2 , , 2,0,1 0,1,0a b c s t s s t

134

Yazılır. Bu durumda W alt uzayı ve 1 2

2,0,1 0,1,0v v vektörleri tarafından gerilir.

Bu vektörler birbirine paralel olmadığı için veya biri diğerinin bir katı olmadığı için veya satır

işlemleri ile elemanları sıfır olan bir satır oluşmayacağı için lineer bağımsızdır. Dolayısıyla

2,0,1 , 0,1,0 , W nin bir bazıdır. Bu alt uzayın boyutu da 2 dir.

Teorem 7.6 : V, n boyutlu bir vektör uzayı olsun.

1. Eleman sayısı n den küçük olan bir vektör kümesi V yi geremez.

2. Eleman sayısı n den fazla olan her küme lineer bağımlıdır.

Örnek 7.19: V, nin 0 alt uzayının boyutu sıfırdır. Çünkü 0 vektörü lineer bağımlı

olduğundan bir tabanını bulamayız. Sıfır uzayından farklı bir vektör uzayının da boyutu 1

dir. Çünkü sıfırdan farklı her vektör lineer bağımsızdır. Tabanı hiç olmazsa bir vektör

bulundurur.

Teorem 7.7 : ,W V vektör uzayının bir alt uzayı ise dim dimW V dir.

Örnek 7.20 2 nin standart tabanları 1 2,e e alınırsa 2dim dim 2W olduğundan 2 nin

alt uzayları 0, 1 ve 2 boyutlu olabilir. Bunlar da sırası ile sıfır uzayı, orijinden geçen doğrular

ve düzlemin kendisidir.

Teorem 7.8 : S , n boyutlu bir vektör uzayının bağımsız bir alt kümesi olsun. V, nin S’ i

kapsayan bir tabanı vardır.

Örnek 7.21. 1

3 uzayı için 1 0 1 , 0 11S kümesini kapsayan bir taban bulun.

1 0 1 , 0 11S kümesinin lineer bağımsız olduğu çok kolay görülür. 1

3 uzayının

1 1 0 0 , 0 1 0 , 0 0 1S standart tabanını alalım ve

1 0 0 , 0 1 0 , 0 0 1 , 1 0 1 , 0 11S

diyelim.

135

0 0 1 1 0 1 1 0 0

0 1 0 1 0 1 0 11 1 0 0

olduğundan 0 0 1 ve 0 1 0 vektörlerini kümeden atabiliriz. Bu durumda

1 0 0 , 1 0 1 , 0 11W

bir tabandır.

136

Uygulamalar

Bir vektör uzayı ile alt uzayının boyutu arasındaki temel bağıntıyı geometriksel olarak göstermeye çalışın.

137

Uygulama Soruları

U ve W, bir V vektör uzayının sonlu boyutlu alt uzayları iseler

, nin alt uzayı olur mu?, nin alt uzayı olur mu?

U W V

U W V

Niçin? 3 de örnekler verin.

138


Bu bölümde vektörlerin lineer bağımsızlığı örneklerle incelendi. Buradan hareketle bir

vektör uzayının başka bir vektör uzayı tarafından gerilmesi ve dolayısıyla baz ile boyut

kavramı uygulamalarla işlendi.

139

Bölüm Soruları

1 . V1 = {(x, y, z) | x = 0} ve V2 = {(x, y, z) | x = y ve z = 0}

R cismi üstünde tanımlı 3 vektör uzayının alt uzayları olduğuna göre, V1 + V2 vektör

uzayının boyutu kaçtır?

A.1 B. 2 C. 3

D. 4 E.5

2. , ve ,u v w z ; 2 nin üzerindeki iki farklı tabanı olsun. Buna göre aşağıdakilerden

hangisi her zaman doğrudur?

A . 2, ,u w v z nin bir bazıdır. B. 20,0 , ,v nin bir bazıdır.

C. 2, ,u z v w nin bir bazıdır D. 22 , ,u v nin bir bazıdır

E. 2, ,u w v z

3. V bir vektör uzayı; ,U ve W V nin iki alt uzayı olsun. Aşağıdakilerden hangisi her zaman

doğrudur?

A . ,U W V nin bir alt uzayıdır. B. ,U W W nin bir alt uzayıdır.

C. 0 ,U V nin bir alt uzayıdır. D. 0 ,U V nin bir alt uzayıdır

E. ,W U U nin bir alt uzayıdır

4. Aşağıdaki denklemleri verilen eğrilerden hangisi 2 nin bir alt uzayıdır?

A . 3y x . B. 3x y C. 0y

D. 3x E. x=-1

5. 3 uzayında 1 2 33, 1,5 , 4,1, 1 , 2, 3,0u u u vektörlerinin lineer bağımlı

olması için nın değeri ne olmalıdır?

A . 1/2. B.7/2 C.11/2

D. 15/2 E. -3/3

Cevaplar

1. C 2. D 3. D 4.C 5. C

140

8.KOORDİNATLAR VE BAZ DEĞİŞİMİ

141


8.1. Koordinatlar ve Baz Değişimi

8.2. Bir Matrisin Rankı

8.2.1 Lineer Sistemlerle Rank İlişkisi

142


1.

1 3 1 2 3

1 4 3 1 4

2 3 4 7 3

3 8 1 7 8

A

Matrisinin rankını bulun

3. 3 de

5

3

4

v

vektörünün 1 1 0

1 , 1 , 1

0 0 1

T

sıralı tabanına göre koordinatı nedir?

143



Koordinatlar ve Baz

Değişimi Koordinatlar ve Baz

Değişimi arasındaki ilişkiyi kavramak


Bir Matrisin Rankı Bir Matrisin Rankını saptayabilmek.


Lineer Sistemlerle Rank

İlişkisi Lineer Sistemlerle Rank

İlişkisni vermek


araştırarak

144

Anahtar Kavramlar

Koordinat

Geçiş matrisi Rank Satır uzayı Sütun uzayı Sıfır Uzayı

145

Giriş

Bu bölümde bir uzaydan başka bir uzaya geçildiğinde koordinat ve baz değişim durumu

irdelenir. Ayrıca herhangi bir uzay tarafından gerilen bir uzayın tabanını bulunur. Bunun için

de bir matrisin rankı kavramı verilerek lineer denklem sistemlerinin rank ile olan bağlantısı

incelenir.

146

8.1.Koordinatlar ve Baz Değişimi

Şimdiye kadar öğrendiğimiz bölümlerde herhangi bir tabandaki vektörlerin sırasının

önemi yoktu. Bu bölümde ise sıralı tabanları göz önüne alacağız.

Tanım 8.1. : Sonlu boyutlu bir F-vektörü uzayı ve sıralı bir tabanı 1 2, ,..., nS v v v ise V nin

her v vektörü 1 2, ,..., nc c c F olmak üzere,

1 1 2 2 ... n nv c v c v c v

şeklinde tek türlü yazılabilir. Buna göre 1 2, ,..., nc c c skaler sayılarına v vektörünün

koordinatları denir ve verilen S sıralı tabanına göre koordinat vektörü,

1

2

1

.

.

.S

n

n

c

c

v

c

c

ile verilir. Genel gösterime uygunluk açısından yuvarlak parantez yerine köşeli parantez

seçildi.

Teorem 8.1. : ,v w V ve c F için

.

.

S S S

S S

i v w v w

ii cv c v

147

Örnek 8.1. 3 de

5

3

4

v

matrisinin sıralı bir S tabanına göre koordinatları 5,3,4 tür. Şimdi

1 1 0

1 , 1 , 1

0 0 1

T

sıralı tabanına göre koordinatlarını bulalım:

1 2 3

5 1 1 0

3 1 1 1

4 0 0 1

v c c c

Eşitliğinden

1 2 3

1 2

3

3

5

4

c c c

c c

c

Lineer denklem sistemi elde edilir. Bu sistemin çözümü, 1 2 33, 2, 4c c c bulunur.

Böylece

3

2

4T

v

örnekte de görüldüğü gibi bir vektörün sıralı bir tabana göre koordinatları, başka bir sıralı

taban alındığında değişmektedir.

V vektör uzayının sıralı iki tabanı 1 2 1 2, ,..., , ,...,n nS v v v ve T w w w olsun. Bir

v V vektörünün bu tabanlara göre yazılışı

1 1 2 2 ... n nv c v c v c v ve 1 1 2 2 ... n nv d w d w d w olsun. S deki vektörlerin T tabanına

göre yazılışları,

1 11 1 21 2 1

2 12 1 22 2 2

1 1 2 2

...

...

... .....................................

...

n n

n n

n n n nn n

v a w a w a w

v a w a w a w

v a w a w a w

(*)

148

olsun. Bu durumda,

1

2

.

.

j

j

j T

nj

a

a

v

a

olur. .j sütunu j T

v olan bir F matrisini bulalım.

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

n

n

n n nn

a a a

a a aP

a a a

Matrisine S tabanından T tabanına geçiş matrisi denir. (*) denklem sistemdeki ifadeleri

1 1 2 2 ... n nv c v c v c v ve 1 1 2 2 ... n nv d w d w d w de yerine yazarsak

1 1

2 2

1 1

. .

. .

. .T S

n n

n n

d c

d c

v P P v

d c

d c

elde edilir. Bu eşitlikten 1

T S S Tv P v v P v bulunur ki burada T tabanından

S tabanına geçiş matrisi 1P elde edilir.

Örnek 8.2. 1

2 uzayında 5 7 3 1

, ve ,2 3 2 1

S T

sıralı tabanları verilsin. S

tabanından T tabanına geçiş matrisini bulalım.

149

1 1 2 1 2 1 2

5 3 15 3 2 2

2 2 1v x x x x ve x x

Lineer denklemlerinin çözümü, 1 23, 4x x bulunur. Buna göre

1

3

4Tv

bulunur. Aynı şekilde

2 1 2 1 2 1 2

7 3 17 3 3 2

3 2 1v x x x x ve x x

Denklem sistemi çözülürse, 1 24, 5x x bulunur ve buradan

2

4

5Tv

yazılır.Bulunan bu değerler P geçiş matrisinde yerine yazılırsa,

3 4

4 5P

bulunur.

Herhangi bir vektörün S tabanına göre koordinatlarını biliyorsak T S

v P v eşitliği

yardımıyla T tabanına göre koordinatları bulunabilir. Örneğin 1

2Sv

alsaydık formülden

3 4 1 11 8.

4 5 2 14 57T Sv P v

bulurduk.

Örnek 8.3. 3P de 21,2 ,4 2x x sıralı bazından 21, ,x x sıralı bazına

1. Geçiş matrisini bulunuz.

150

2. 1P bularak 22 4 6p x x x vektörünün 21,2 ,4 2x x sıralı bazına göre

koordinat vektörünü bulunuz.

2

2

2 2

1 .1 . 1, 0, 0

2 .1 . . 0, 2, 0

4 2 .1 . . 2, 0, 4

a b x cx a b c

x k l x m x k l m

x n p x r x n p r

Bu durumda geçiş matrisi

1 0 2

0 2 0

0 0 4

P

bulunur. Bunun tersini elamanter satır işlemleri ile bulursak,

1 0 2 1 0 0 1 0 2 1 0 0 1 0 0 1 0 1/ 2

0 2 0 0 1 0 0 1 0 0 1/ 2 0 0 1 0 0 1/ 2 0

0 0 4 0 0 1 0 0 1 0 0 1/ 4 0 0 1 0 0 1/ 4

P

yazılır. Buradan

1

1 0 1/ 2

0 1/ 2 0

0 0 1/ 4

P

elde edilir. 21,2 ,4 2S x x ’ nin 21, ,T x x sıralı bazına

1

1 0 1/ 2 6 7

0 1/ 2 0 4 2

0 0 1/ 4 2 1/ 2T S S T

p x P p x p x P p x

elde eldir. Buradan

2 212 4 6 7.1 2. 2 (4 2)

2x x x x

yazılır.

151

8.2.Bir Matrisin Rankı

Bu bölümde S kümesinin gerdiği V vektör uzayının bir tabanını bulmaya çalışacağız.

Bunun için S in maksimum olabilecek lineer bağımsız bir alt kümesini bulmaya çalışacağız.

Bunun için de rank diye adlandıracağımız bir sayı yardımıyla homojen denklem sisteminin

çözüm uzayının boyutu hakkında fikir edineceğiz ama önce önemli bir tanım verelim.

Tanım 8.2 :

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

m n tipinde bir matris olsun. Bu matrisin her satırının 1

n de bir vektör olarak düşünürsek

bu vektörlerin gerdiği alt uzaya A nın satır uzayı denir. Benzer şekilde A nın her sütununun

1

m de gerdiği alt uzaya da sütun uzayı denir.

Örnek 8.4

1 0 0

0 1 0A

matrisinin satır ve sütun uzaylarını bulalım.

Çözüm:

Satır uzayı için

1 0 0 0 1 0 0

Buradan 0 : , elde edilir. Aynı şekilde sütun uzayı,

1 0 0

0 1 0

olduğundan sütun uzayı,

152

: ,

elde edilir.

Teorem 8.2 : Satırca(sütunca) denk olan iki matris aynı satır(sütun) uzayına sahiptir.

Örnek 8.5 1

4 de

1 2 3

4 5

1 0 1 2 , 1 1 1 0 , 2 0 1 0 ,

[0 1 1 2], 2 1 1 2

v v v

v v

olmak üzere 1 2 3 4 5, , , ,S v v v v v ile üretilen V alt uzayının bir tabanının bulursak, V alt

uzayı

1 0 1 2

1 1 1 0

2 0 1 0

0 1 1 2

1 1 1 2

A

matrisinin satır uzayı olur. Elemanter satır işlemleri uygulanarak denk matrisi,

1 0 0 2

0 1 0 2

0 0 1 4

0 0 0 0

0 0 0 0

B

Elde edilir. Teoreme göre her iki matrisin satır ve sütun uzayı aynıdır. B nin satır uzayının bir

tabanı da

1 2 31 0 0 2 , 0 1 0 2 , 0 0 1 4w w w

Olmak üzere 1 2 3, ,T w w w alınabilir.

Tanım 8.2. : Bir matrisin satır(sütun) uzayının boyutuna bu matrisin satır(sütun) rangı denir.

Teorem 8.3 : Bir matrisin satır ve sütun rankları eşittir.

153

Tanım 8.3. : Bir matrisin satır veya sütun rangına o matrisin rangı denir ve rankA r A ile

gösterilir.

Örnek 8.6.

1 3 1 2 3

1 4 3 1 4

2 3 4 7 3

3 8 1 7 8

A

Matrisinin rank ını bulun.

Elemanter satır işlemleri ile

1 3 1 2 3 1 3 1 2 3 1 3 1 2 3

1 4 3 1 4 0 1 2 1 1 0 1 2 1 1

2 3 4 7 3 0 3 6 3 3 0 0 0 0 0

3 8 1 7 8 0 1 2 1 1 0 0 0 0 0

A

Buradan sıfır olmayan 2 tane satır olduğundan 2rankA

Örnek 8.7

6 3 4

4 1 6

1 2 5

A

matrisinin Rankını bulun.

6 3 4 1 2 5 1 2 5 1 2 5

4 1 6 4 1 6 0 9 26 0 9 26

1 2 5 6 3 4 0 9 26 0 0 0

A

matrisinde sıfırdan farklı en az bir eleman içeren satır sayısı 2 olduğundan 2r A tür.

Teorem 8.4 : Denk matrislerin rankları eşittir.

Teorem 8.5 : Rankları eşit matrisler denktir.

Her iki teoremden de şu sonucu çıkarabiliriz: ,A n n tipinde bir kare matris ise rankA n

olması için gerek ve yeterli koşul A ile nI matrisinin denk olmasıdır. Bu durumda A regüler

matristir.

154

8.2.1 Lineer Sistemlerle Rank İlişkisi

A katsayılar matrisi olmak üzere m denklemli ve n bilinmeyenli lineer denklem

sisteminin matris formu AX B ile ve ayrıca,

11 12 1 1

12 22 2 2

1 2

1 2

. . . .....

. . . .

. . . .

n

n

n

m m mn m

a a a b

a a a b

x x x

a a a b

şeklinde yazılabilir. Buna göre denklem sisteminin bir çözümünün olması için gerek ve yer

koşul B nin Anın sütunlarının bir lineer toplamı olarak yazılmasıdır. Bu da B nin A nın sütun

uzayında olması anlamına gelir Yani,

AX B bir çözümü vardır A B genişletilmiş katsayılar matrisinin rankının A nın

rankına eşit rankA rank A B olmasıdır.

Örnek 8.8

1 2 3

1 2 3

2

1 2 3

2

2 3

5

x x x

x x x

x x a x a

Lineer denklem sisteminin çözümünün olup olmayacağını a nın alacağı değerlere göre

derleyin.

Çözüm olabilmesi için katsayılar matrisinin rankına bakalım:

2 2 2

1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 3 2

1 2 1 3 1 1 2 1 0 1 2 1

1 1 5 0 0 4 0 0 4 2

A B

a a a a a a

olduğundan

1. 2 4 0a ve 2 0a ise 2rankA ve 3rank A B olacağından çözüm yok . Bu

durum ise 2a de gerçeklenir.

2. 2 4 0a ve 2 0a ise 2rankA rank A B ise sistemin tek parametreye

bağlı sonsuz çözümü vardır.

155

3. 2 4 0a ise yani 2, 2 3a rankA rank A B olduğundan sistemin tek bir

çözümü vardır.

Tanım 8.4. : N A , Bir A matrisinin sıfır uzayı ( 0AX sisteminin çözümü) olmak üzere

N A nın boyutuna A matrisinin sıfırlığı denir.

Teorem 8.6 : A , m n tipinde bir matris ise ( )rankA Boyut N A n dir.

Örnek 8.9

3 4

1 2 1 1

2 4 3 0

1 2 1 5

A

olmak üzere A nın rankı:

3 4

1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1

2 4 3 0 0 0 1 2 0 0 1 2

1 2 1 5 0 0 2 4 0 0 0 0

A

Buradan 2rankA bulunur. N A :Bir A matrisinin sıfır uzayı için

1 1

2 2

3 3

4 4

01 2 1 1 1 2 1 1

02 4 3 0 0 0 1 2

01 2 1 5 0 0 0 0

0

x x

x x

x x

x x

Buradan

3 4 4 3

1 2 3 4 2 1

2 0 2

2 2 0 3 2

x x x ve x

x x x x x ve x

Olduğuna göre

156

3 2

: ,2

N A

yazılır. Buradan

3 2 3 2

0 1

2 2 0

1 0

Buradan

2Boyut N A

bulunur ki

( ) 4rankA Boyut N A

gerçekler.

157

Uygulamalar

Örnek birkaç matris yazarak satır, sütun ve sıfır uzayını bulma ve bunların boyutları arasındaki ilişkiyi veren formulasyonu elde etmeye çalışın.

158

Uygulama Soruları

1. 4P polinom uzayında 2 4 2 4 2 4, 2 3 , 3x x x x x x germesinin bir bazını bulun.Bu verilen polinom kümesinin gösterdiği matrisin stır uzayının ve sütun uzayının ranklarını elde edin.

2. Aşağıda verilen matrisin rankını, satır uzayını, sütun uzayını ve sıfır uzayını bulunuz.

159


Bu bölümde bir uzaydan başka bir uzaya geçildiğinde koordinat ve baz değişimi

örneklerle irdelendi. Ayrıca herhangi bir uzay tarafından gerilen bir uzayın tabanının nasıl

bulunacağı incelenerek bir matrisin rankı kavramı verildi.

Diğer yandan lineer denklem sistemlerinin rank ile olan bağlantısı araştırıldı.

160

Bölüm Soruları

A-Aşağıdaki soruların yanıtlarını verilen seçenekler arasından bulunuz.

1. 2x + y + z = 5

x + y + z = 3

x − 2y + 2z = 0

doğrusal denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A. {(1, 1, 1)} B. {(2, 1, 0)} C. {(2, 2, −1)}

D. E. {(-2, 2, −1)}

2.

1 2

2 1

3 3

matrisinin satır rangı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A . 0 B. 2 C. 2

D. 3 E. Hiçbiri

3. 1 4

2 8A

olmak üzere 0AX homojen sisteminin çözüm uzayının boyut

aşağıdakilerden hangisidir?

A. 1 B. 2 C. 3

4. Aşağıdaki vektör kümelerinden hangisi, 2 uzayı için bir taban (baz) dır?

A. {(0, 3), (1, 1)} B. {(0, 1), (0, −1)} C) {(0, 0), (0, 1)}

D) {(−1, 2), (2, −4), (0, 0)}

161

5. Bir F cismi üzerindeki bir V vektör uzayının boyutu FBoy V olmak üzere, aşağıdakilerden

hangisi yanlıştır?

A . 2Boy . B. 2Boy C. 1Boy

D. 2 2Boy E. Hiçbiri

6. 4,U ’ün bir alt uzayı ve , , , : 0U a b c d b c d ile verilsin

Aşağıdaki vektör kümelerinden hangisi, U uzayı için bir taban (baz) dır?

A. {(0, 3), (1, 1)} B. {(0, 1), (0, −1)} C) {(1, 0,1,0), (0,-1,1,0), (0,-1,0,1)}

D {(1, 0,0,0), (0,-1,1,0), (0,-1,0,1)}

7. 4,U ’ün bir alt uzayı ve 1, 2,5, 3 , 2,3,1, 4 , 3,8, 3, 5 vektörlerinden oluşsun.

Aşağıdaki vektör kümelerinden hangisi, U uzayının boyutudur?

A . 2 . B. 3 C. 1

D. 4 E. Hiçbiri

Cevaplar

1. C 2. C 3. A 4-A 5-B 6-D 7- A

162

9. İÇ ÇARPIM UZAYLARI

163


9.1. İç Çarpım

9.1.1 Cauchy-Schwarz Eşitsizliği

9.2. Vektörlerin Ortogonallığı

164


1.

0 2 1

2 , 1 , 0

5 0 1

U

vektör kümesi 3ün ortogonal bir tabanı mıdır?

2.

1 0 0

0 , 1 , 0

0 0 1

V vektör kümesi 3ün ortonormal bir tabanı mıdır?

165



İç Çarpım İç Çarpım tanımı ve gösterilişi kavrayabilmek.


Cauchy-Schwarz Eşitsizliği Cauchy-Schwarz

Eşitsizliğini anlayabilmek


Vektörlerin Ortogonallığı Vektörlerin Ortogonallığini kavramak


araştırarak

166

Anahtar Kavramlar

İç Çarpım

İç Çarpım uzayı Ortogonallik

Ortonormallik

Cauchy-Schwarz Eşitsizliği

167

Giriş

Bu bölümde iç çarpım uzayları irdelenir. Bunun için iç çarpım uzayının tanımı ve

uygulamaları verilerek önemli bazı eşitsizliklere değinilir. Ayrıca vektörlerin ortogonallığı ve

ortonormalliği örneklerle incelenir.

168

9.İç Çarpım Uzayları

Vektör uzayları bölümünde düzlemdeki vektörlerden bahsederek vektör uzayını ve

özelliklerine değinmiştik. Matematikte bazı ifadeleri tek bir sayı ile skaler olarak ifade etmek

bize kolaylık sağlar. Vektör veya matrislerin tek bir sayı ile gösterimi ileriki bölümlerde

göreceğimiz determinant ve bu bölümde detaylı olarak inceleyeceğimiz norm kavramları ile

sağlanır. Yine iki vektör arasındaki açının tespitinde de bu kavramdan yararlanırız.

Dolayısıyla bu bölümde iç çarpım ve norm kavramlarını bunlarla ilgili temel bağıntıları

inceleyeceğiz.

9.1 İç Çarpım

1

2

3

x

xu

x

, 3 de bir vektör olmak üzere bu vektörün normu veya uzunluğu

2 2 21 2 3u x x x olarak tanımlanır. ve

1 1

2 2

3 3

a b

a a b b

b

, 3 de iki vektör olmak üzere

Şekil IV.1 den

Şekil IV.1 iki vektör ve arasındaki açı

bu vektörlerin arasındaki uzaklık Cosinüs teoreminden ,

169

2 2 22 cosb a b a b a

2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 2 cosb a b a b a b b b a a a b a

Buradan tamkareler açılır ve gerekli sadeleştirmeler yapılırsa,

1 1 2 2 3 3cos.

a b a b a b

a b

İki vektör arasındaki açı elde edilir. Eşitliğin ikinci tarafındaki 1 1 2 2 3 3a b a b a b toplamına

a ve b vektörlerinin iç çarpımı veya skaler çarpımı denir ve sıklıkla ,a b veya

a b sembolleri ile gösterilir. Genel olarak eğer , nx y ve ,i ix y olmak üzere

(1 i n ) bu vektörlerin iç çarpımı:

1 1 2 21

, ...n

n n i ii

x y x y x y x y x y

olarak yazılır. Bu denklemden hareketle,

22 2 21 2, ... nx x x x x x

yazılır. Buradan hareketle iç çarpım uzayının tanımını ve özelliklerini yazabiliriz.

Tanım 9.1 :V bir vektör uzayı olsun. ,u v V için ,u v ile gösterilen ve aşağıdaki koşulları

sağlayan , : V V , , ,u v u v fonksiyonuna V bir vektör uzayı üzerinde bir iç

çarpım, V bir vektör uzayına da bir iç çarpım uzayı denir. Bu iç çarpım uzayı , ,V ile

gösterilir.

i. Her ,u v V için , ,u v v u

ii. Her , ,u v w V için , , ,u v w u w v w

iii. Her ,u v V ve c için , ,cu v c u v

iv. Her u V için , 0 , 0 0u u ve u u u

170

Bu özellikler iç çarpımın tanımı kullanılarak rahatlıkla gösterilebilir.

Örnek 9.1: , nx y için 1 1 2 2, ... n nx y x y x y x y

İle tanımlı , fonksiyonu bir iç çarpımdır ve standart iç çarpım olarak adlandırılır.

Örnek 9.2: 3,x y için ve

1 4

2 3

4 5

x y

vektörlerinin iç çarpımını bulalım:

, 1.4 2 3 4.5 30x y

Örnek 9.3: ,ij ij n nn n n nA a B b M olsun. n nM matris uzayı üzerinde iç çarpım,

1 1

, ( : )n n

T Tij ij

j i

A B a b tr A B tr B A tr trace iz

Biçiminde tanımlandığına göre bu tanımın iç çarpım koşullarını sağladığını göstermek

oldukça kolaydır.

Örnek 9.4: 22

1 3 0 1,

2 4 2 3M de A B

matrislerinin iç çarpımlarını hesaplayalım:

2

1 1 2 2 11 11 21 21 12 12 22 221 1 1

,

1.0 2. 2 3.1 4.3 11

n n

ij ij j j j jj i j

A B a b a b a b a b a b a b a b

Bu sonucu matrislerin trace=iz tanımını kullanarak da bulabiliriz.

, TA B tr A B

171

olduğundan,

1 3 0 1 1 2 0 1 4 7, .

2 4 2 3 3 4 2 3 6 15

4 74 15 11

6 15

TA B A B

tr

Aynı sonuç bulunur.

Örnek 9.5: , ,V x a b aralığında sürekli reel fonksiyonların vektör uzayı

olsun. ,f x g x V olsun.Bu durumda ,C a b üzerinde,

,b

a

f g f x g x dx

İle tanımlı , fonksiyonu bir iç çarpımdır. Şimdi bunu gösterelim:

i. Her ,f g V için , ,b b

a a

f g f x g x dx g x f x dx g f

ii. Her , ,f g h V için

, , ,b b b

a a a

f g h f x g x h x dx f x h x dx g x h x dx f h g h

iii. Her ,f g V ve c için , ,b b

a a

c f g c f x g x dx c f x g x dx c f g

iv. Her f V için 2,b

a

f f f x dx

Analiz bilgimizden de hatırlanacağı üzere sıfırdan büyük veya eşit sürekli bir fonksiyonun

integrali de sıfırdan büyük veya eşittir. Bu durumda,

2, 0b

a

f f f x dx

olur. Eğer 0 , 0f f f olduğu açıktır.Tersine

172

2, 0 0b

a

f f f x dx f

dır.Şu halde iç çarpımın bütün şartlarını taşır.

Örnek 9.6: , ,V x a b aralığında sürekli karmaşık fonksiyonların vektör uzayı

olsun. ,f x g x V olsun. Bu durumda ,C a b üzerinde,

,b

a

f g f x g x dx

İle tanımlı , fonksiyonu bir iç çarpımdır.(Niçin?)

NOT: İç çarpımlı uzay; reel uzay ise Öklid uzayı, karmaşık (kompleks) ise Üniter uzayı

olarak adlandırılır.

9.1.1 Cauchy-Schwarz Eşitsizliği

Teorem 9.2 :V , bir iç çarpım uzayı ve her ,u v V vektörleri için

, .u v u v

dir. Bu eşitsizlikte sol taraf iç çarpımın mutlak değerini, sağ taraf ise vektörlerin normları

çarpımını temsil eder.

Örnek 9.7: karmaşık sayılar kümesini alalım. n boyutlu nV uzayında,

1 2, ,..., nu a a a ve 1 2, ,..., nv b b b karmaşık sayılardan oluşan vektörleri alalım.

1 1 2 2, ... n nu v a b a b a b

İç çarpımını alalım. Cauchy-Schwarz Eşitsizliğinden,

22 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 2, ... ... ...n n n nu v a b a b a b a a a b b b

173

Eşitsizliği elde edilir.

Örnek 9.8: , ,V x a b aralığında sürekli reel fonksiyonların vektör uzayı

olsun. ,f x g x V olsun. Bu durumda ,C a b üzerinde,

,b

a

f g f x g x dx

ile tanımlı , fonksiyonu bir iç çarpımı için Cauchy-Schwarz Eşitsizliği,

2

2 2 222, . .b b b

a a a

f g f x g x dx f x dx g x dx f g

Bu eşitsizlik kullanılarak daha önce de belirttiğimiz iki vektör arasındaki açı: 0,

1 1 2 2 3 3 ,cos

. .

a b a b a b a b

a b a b

elde edilir.

Örnek 9.9:

3 de 1,0,0 , 1,1, 2a b vektörleri arasındaki açı:

01 1 2 2 3 3 1cos 60

2.

a b a b a b

a b

Cauchy-Schwarz Eşitsizliğinin sonucunda matematikte sıkça kullandığımız ve adını üçgenin

bir kenar uzunluğunun diğer iki kenar uzunluğu toplamından küçük olmasından alan üçgen

eşitsizliği elde edilir.

Teorem 9.3 (Üçgen Eşitsizliği): V , bir iç çarpım uzayı ve her ,u v V vektörleri için

u v u v

174

İspat:

2

22 2

, , , , , , ,

, 2 , , 2 .

u v u v u v u u v v u v u u u v v u v v

u u u v v v u u v v u v

Her iki tarafın karekökü alınırsa,

u v u v

Üçgen eşitsitsizliği elde edilir.

9.2. Vektörlerin Ortogonallığı

Tanım 9.2: V bir iç çarpım uzayı olsun. Bu durumda ,u v V için , 0u v ise u ile

v vektörlerinin birbirine diktir veya ortogonaldir denir. ,U V vektör uzayının bir alt kümesi

olmak üzere eğer U nun elemanları ikişer ikişer birbirine dik (ortogonal) ise U alt kümesine

ortogonal küme denir.

Tanım 9.3 : Her vektörü birim uzunluğa sahip olan yani normu 1 birim olan ortogonal

kümeye ortonormal küme denir.

Örnek 9.10: 1

1u

ve 1

1v

vektörleri ,

, 1.1 1.1 0u v

olduğundan ortogonaldirler.

Örnek 9.11: 3 Öklid uzayının temel bazları:

1 2 31,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1e e e

175

Olmak üzere 1 2 1 3 2 3, , , 0e e e e e e dır. Yani her i j için , 0i je e olduğundan

verilen küme ortogonal kümedir. Ayrıca bu kümenin her elemanın normu

1 2 3 1e e e olduğundan 1 2 31,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1e e e kümesi 3 Öklid

uzayının ortonormal kümesidir.

Örnek 9.12: 1,1 aralığında tanımlı, reel değerli sürekli fonksiyonların vektör uzayında

23 1

1, ,2

xf x g x x h x

kümesinin ortogonal bir küme olup olmadığını

göstererek her birinin normunu bulunuz.

1 1 2

11

1 1

, | 02

xf g f x g x dx xdx

1 1 2 4 2

11

1 1

3 1 3, | 0

2 8 4

x x xg h g x h x dx x dx

1 1 2 3

11

1 1

3 1, 1. | 0

2 2

x x xf h f x h x dx dx

olduğundan kümenin elemanları ikişer ikişer birbirine diktir. Bu nedenle

23 1

1, ,2

xf x g x x h x

kümesi ortogonal bir kümedir. Ortonormal küme için

her birinin normlarına bakalım,

1 1

2 2

1 1

, 1 2 2 1f f f f x dx dx f

1 1

2 2 2

1 1

2 2, 1

3 3g g g g x dx x dx g

21 1

2 2 2

1 1

1 2 23 1 1

4 5 5h h x dx x dx h

olduğundan ortonormal küme değildirler.

176

Teorem 9.4: Bir V iç çarpım uzayında sıfırdan farklı vektörlerin bir ortogonal kümesi lineer

bağımsızdır.

Tanım 9.4 :V , n boyutlu bir vektör uzayı olsun.Bu uzayda sıfırdan farklı 1 2, ,..., nv v v

vektörleri ortogonal ise bu vektörlerin kümesi V için ortogonal bir tabandır.Eğer 1 2, ,..., nv v v

vektörleri ortonormal ise bu vektörlerin kümesi V için ortonormal bir tabandır.

Örnek 9.13

0 2 1

2 , 1 , 0

5 0 1

U

vektör kümesi 3ün ortogonal bir tabanı mıdır?

0 2

2 , 1 0. 2 2.1 5.0 2 0

5 0

Olduğundan 3ün ortogonal tabanı değildir.

177

Uygulamalar

Uzunluk ve ortogonallik kavramlarının nasıl ve niçin ortaya çıktığını araştırınız.

178

Uygulama Soruları

V, iç çarpımı 1

0

,f g f x g x dx biçiminde tanımlansın. 22, 2f x x g x x x

olsun.Buna göre ,f g ve f değerlerini bulunuz.

179


Bu bölümde iç çarpım uzaylarına odaklanıldı. Bunun için iç çarpım uzayının tanımı ve uygulamaları verilerek önemli bazı eşitsizlikler tanıtıldı. Buradan hareketle vektörlerin ortogonallığı örneklerle incelendi.

180

Bölüm Soruları


1. 3 de 3,4,5u vektörünün normu aşağıdakilerden hangisidir?

A. 25 B.5 C. 3 2

D. 7 3 E. 5 2

2. 3 de 2,3,5 ve 1, 4,3u v vektörleri arasındaki açının kosinüsü aşağıdakilerden hangisidir?

A. 5

2 5

B.

35

12 65

C.

55

2 65

D. 55

12 65

E.

45

12 65

3. 4 de 1,2, ,3 ve 3, ,7, 5u k v k vektörleri ortogonal ise k nın değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A. 1/2 B.2/3 C. 4/3

D.5/2 E. 7/4

4. 4ün

1 3

2 5,

3 7

4 8

U vektörlerine ortogonal olan bir tabanı aşağıdakilerden hangisidir?

181

A.

1 4

2 4,

1 0

0 1

B.

1 4

1 4,

2 1

0 0

C.

1 4

2 4,

1 0

0 1

D.

1 4

2 4,

1 0

0 1

E.

2 1

2 4,

1 0

0 1

5. 2P R de tanımlı 1 2,b

a

p p f x g x dx iç çarpımına göre 2

1 22, 1p x p x x

vektörleri arasındaki açının kosinüsü aşağıdakilerden hangisidir?

A. 15

7 B.

3 7

15 C.

2 15

7

D. 2 15

3 7 E.

5

65

Cevaplar:

1. E 2. D 3. C 4. A 5.D

182

10.ORTONORMAL TABAN VE DETERMİNATA GİRİŞ

183


10.1. Ortonormal Taban

10.2. Determinantlar

10.2.1. Determinantın Tanımı ve Geometriksel Manası

10.2.2. Minörler ve Kofaktörler

184


Bir matrisin ne zaman tersi olmayabilir?

Bir lineer bağımsız vektör kümesinin ortonormal tabanını yazabilir miyiz?

Lineer denklem sistemlerini determinant kullnarak çözebilir miyiz?

185



Ortonormal Taban Ortonormal Tabanı kavrayabilmek.

Okuyarak, fikir yürüterek, ve

uygulama yaparak

Determinantın Tanımı ve Geometriksel Manası

Determinantların tanımını öğrenmek

Okuyarak, fikir yürüterek, ve

uygulama yaparak.

Minörler ve Kofaktörle Minörler ve Kofaktörler

arasındaki ilişkiyi kavramak


araştırarak

186

Anahtar Kavramlar

Ortonormal taban

Determinant

Minörler ve Kofaktörle

187

Giriş

Bu bölümde dersimizde Gram –Schmidt ortogonallşetirme yöntemi ile bir vektör

uzayının ortogonal ve ortonormal tabanlarının nasıl elde edileceği araştırılır. Ayrıca

matematik, fen ve mühendislik alanındaki birçok problemin çözümünde kullanılan

determinant konusuna giriş yapılarak bazı özellikleri verilir.

188

10.1. Ortonormal Taban

Gram –Schmidt ortogonallşetirme yöntemi ile bir vektör uzayının ortogonal ve ortonormal

tabanlarını bulabiliriz.

Teorem 10.1:(Gram-Schmidt Ortogonalleştirme Yöntemi)

Her sonlu boyutlu iç çarpım uzayı bir ortonormal tabana sahiptir.

1 2, ,..., eU v v v kümesi V nin herhangi bir tabanı ise U kümesini Gram –Schmidt

ortogonallşetirme yöntemi ile aşağıdaki formatta ortogonalleştiririz:

i. 1 1u v al.

ii. 11 21 2 1

1 1 2 2 1 1

, , ... ,, , ,

nn n n n n n

n n

uu uu v v u v u v u

u u u u u u

Formüllerinden sırasıyla 2 3, ,..., nu u u vektörleri bulunur. Dolayısıyla V nin ortogonal bir

tabanı 1 2 3, , ,..., nu u u u bulunur.

iii. 1 2 3, , ,..., nu u u u vektörlerinin birim vektörleri 1 2 3, , ,..., nw w w w

ise 1 2 3, , ,..., nS w w w w V nin ortonormal bir tabanıdır.

Örnek 10.1: 3ün

1 1 1

1 , 0 , 2

1 2 3

U vektörlerine Gram –Schmidt ortogonalleştirme

yöntemi uygulayarak bir ortogonal ve bir bir ortonormal tabana çevirelim.

Önce

1 1

1

1

1

u v alalım.

2 12 2 1

1 1

1 1 1 1 0, 1.1 0.2 2.1

0 1 0 1. 1 1, 1.1 1.1 1.1

2 1 2 1 1

v uu v u

u u

189

3 1 3 23 3 1 2

1 1 2 2

1 1 0, , 1.1 2.1 3.1 1.0 2.1 3.1

2 1 1, , 1.1 1.1 1.1 0.0 1. 1 1.1

3 1 1

1 1 0 11

2 2. 1 1 1 / 22

3 1 1 1 / 2

v u v uu v u u

u u u u

Böylece,

1

1 0 1

1 , 1 , 1 / 2

1 1 1 / 2

E kümesi 3 için ortogonal bir tabandır. Bu tabanın bir

ortonormal taban olması için her vektörün birim vektörü bulunur. Dolayısıyla,

2

1/ 3 0 2 / 6

1/ 3 , 1 / 2 , 1 / 6

1 / 3 1/ 2 1/ 6

E kümesi 3 için ortonormal bir tabandır.

Örnek 10.2: 3ün 1 0 0

1 , 1 , 0

1 1 1

U

vektörlerine Gram –Schmidt ortogonallşetirme

yöntemi uygulayarak bir ortonormal tabana çevirelim. Şimdi yöntemi biraz daha kısaltalım.

Önce 1v normalize edelim:

11

1

1 / 3

1 / 3

1 / 3

vu

v

Sonra,

2 2 2 1 1

1 / 30 2 / 32

, 1 1 / 3 1 / 33

1 1 / 31 / 3

w v v u u

Değerleri bulunur ve bulunan bu vektör normalize edilir:

190

22

2

2 / 6

1 / 6

1 / 6

wu

w

Bulunur. Son olarak,

3 3 3 1 1 3 2 2

1 / 3 2 / 60 01 1

, , 1 1 / 3 1 / 6 1 / 23 6

1 1 / 21 / 3 1 / 6

w v v u u v u u

Bulunur ve 3w normalize edilirse,

33

3

0

1 / 2

1 / 2

wu

w

Bulunur. Böylece 3ün aranan ortonormal bazı:

1 2 3

1 / 3 2 / 6 0

1 / 3 , 1 / 6 , 1 / 2

1 / 3 1 / 6 1 / 2

u u u

bulunur.

Örnek 10.3: V, 1,1 aralığında tanımlı reel değişkenli sürekli fonksiyonların oluşturduğu

dercesi 3 olan reel değerli polinomlarım bir alt uzayı olsun .Bu alt uzayın bir bazı

2 30 1 2 31, , ,P f x f x x f x x f x x ise bunun ortonormal kümesini bulalım.

Gram –Schmidt ortogonallşetirme yöntemi uygularsak,

0 0 1g f alalım

1

1 0 11 1 0 1

0 0

1

.1,

.1,

1.1

x dxf f

g f f x xf f

dx

191

1 12 2

222 02 1 1 1

2 2 1 0 1 11 1 0 0

1 1

. .1,, 3 1

1, , 3

. 1.1

x xdx x dxf gf g x

g f g g x xg g g g

x xdx dx

3 2 3 1 3 03 3 2 1 0

2 2 1 1 0 0

1 1 123 3 3

23 1 1 1

2 1 11 2

1 11

3

, , ,

, , ,

3 1. . .1

3 3 11

33 1 . 1.1

3

5 3

5

f g f g f gg f g g g

g g g g g g

xx dx x xdx x dx

xx x

x x xdx dxdx

x x

Böylece,

2 3

1

3 1 5 31, , ,

3 5

x x xP x kümesi V için ortogonal bir tabandır. Bu tabanın bir

ortonormal taban olması için her vektörün birim vektörü bulunur:

1

0 0

1

, 1.1 2g g dx ;

1

1 1

1

, . 2 / 3g g x xdx ;

21 2

2 2

1

3 1, 8 / 45

3

xg g dx

21 3

3 3

1

5 3, 8 / 175

5

x xg g dx

Dolayısıyla,

2 32

1 3 3 7, , 3 1 , 5 3

2 2 82P x x x x

kümesi analizde önemli olan Legendre polinomların ilk dördü olup V için ortonormal bir tabandır.

192

10.2.Determinantlar

10.2.1 Determinantın Tanımı ve Geometriksel Manası

Bir F alanı üzerinden her A kare matrisine A nın determinantı denilen skaler bir sayı karşılık getirilir ve genellikle det veyaA A ile gösterilir. Determinantlar bilimin birçok alanında kullanıldıpı gibi özellikle Matematik alanı ile ilgili derslerde çok değişkenli fonksiyonların maksimum, minimum ve eyer noktalarının saptanmasında ve lineer denklem sistemlerinin çözülmesinde bize kolaylık sağlamaktadırlar. Determinantın daha kapsamlı tanımını vermeden önce bazı temel tanımlar verelim.

Tanım 10.1. Bir 11 12

21 22

a aA

a a

kare matrisi verilmiş olsun. A nın determinantı :

11 22 12 21det A A a a a a

bir skaler sayısı verecek şekilde tanımlanır. A nın determinantı için sıklıkla kullanılan diğer

bir notasyon 11 12

21 22

a a

a adır.

Örnek 10.4

2 1

3 4A

matrisinin determinantı,

2 1

det 2.4 3.1 53 4

A

olarak bulunur.

A , elemanları Reel sayılardan oluşan bir matris olsun. A nın determinantının

geometriksel bir yorumunu yapalım.Şöyle ki; 1 1 2 2, ve ,P x y Q x y düzlemde iki nokta

olsun. Bu noktalar Şekil 3.1 de gösterilen 0,0O orijinli bir üçgenin köşeleri olsun.

193

Şekil 3.1 OPQ Üçgenin alanı

Bu OPQ üçgeninin alanı 1 2

1 2

1

2

x x

y y değeridir. ˆs POQ ve OP ışını ile pozitif x ekseni

arasındaki açı 1 olsun. Kutupsal koordinatlardan

1 1 1 1 1 1cos ve sinx r y r yazılır. Burada

1OP r dir. OPQ üçgeninin alanı 1. .sin

2OP OQ değeridir. OQ ışını ile pozitif x ekseni

arasındaki açı 2 1 olsun. Buradan

2 2 2 2 2 2cos ve sinx r y r yazılır. Böylece,

2 1 2 1

2 1

2 1 2 1

2 1 2 1

1 2

2 1 2 1

1 2

1 1Alan . .sin . .sin

2 2

1. . sin cos cos sin

2

1sin . cos cos . sin

2

1 1

2 2

y x x y

OPQ OP OQ OP OQ

OP OQ

OQ OP OQ OP

x xy x x y

y y

yazılır. Diğer yandan 3n olmak üzere n n tipinde ijA a kare matrisin determinantının

değerini bulabilmek için öncelikle birkaç temel kavramın bilinmesine ihtiyaç vardır.Şimdi

onları verelim.

10.2.2.Minör ve Kofaktör Açılımları

Tanım 10.2 ijA a kare matrisi verilsin. Bu matrisin i.satır ve j. sütunun atılması suretiyle

elde dilen bir 1 1n n kare alt matrisinin determinantı ijM ile gösterilir ve A nın ija

elemanının minörü olarak adlandırılır.

194

2 1 4

5 2 3

8 7 3

A

matrisi için 23M minörü; A nın 2.satır ve 3.sütun elemanının silinmesiyle

elde edilen matrisin determinantıdır.Yani;

23

2 17.2 8.1 6

8 7M

olarak bulunur.

Tanım 10.3 2n olmak üzere n n tipinde ijA a kare matrisin determinantı ; + ve –

işaretleriyle değişen 1 1j ja M formunda n terimin toplamıdır. Burada 11 12 1, ,..., na a a , A nın

birinci satırındaki elemanları ve 1 jM ise 1 ja elemanının minörünü temsil etmektedir. Semboliksel olarak:

1

11 11 12 12 1 1

1

1 1

1

det ... 1

1

n

n n

nj

j j

j

A a M a M a M

a M

Bu tanım 2 2 lik matrisler için de geçerlidir:

11 11 12 12 11 22 12 21det A a M a M a a a a

Örnek 10.5

2 3 4

5 6 7

8 9 1

A

matrisinin determinantını bulalım.

11 11 12 12 13 13det A a M a M a M

olduğundan,

6 7 5 7 5 6

det 2. 3 4 2.(6 63) 3.(5 56) 4.(45 48) 279 1 8 1 8 9

A

195

Tanım 10.4 Bir A matrisinin işaretli minörüne A nın ija elemanının kofaktörü denir ve

ijC ile gösterilir. Buradan

1i j

ij ijC A M

yazılır. Minörün önünde bulunan 1i j açılımı işaretlerin bir satranç tahtası modelini verir:

...

...

...

... ... ... ...

Minör bir matrisi

2 1 4

5 2 3

8 7 3

A

matrisi için 23M minörü; 23 6M olarak bulunmuştu. Buna göre 23C

kofaktörü,

2 3

23 231 ( 1).6 ( 6)C A M

olarak bulunur.

Teorem 10.2. n n tipinde ijA a kare matrisinin determinantı herhangi bir satır veya

sütununun elemanları ile bunlara karşılık gelen kofaktörlerinin çarpımının toplamına eşittir.Buna determinatın Laplace genişlemesi de denir.

.i satır kullanılarak elde edilen determinant;

1 1 2 2 2

1

det ...n

i i i i in i ij ij

j

A a C a C a C a C

veya .j sütun kullanılarak elde edilen determinant:

196

1 1 2 2

1

det ...n

j j j j nj nj ij ij

i

A a C a C a C a C

Örnek 10.6

1 2 3

2 1 3

1 0 1

A

matrisinin determinantını 1.satırdaki elemanlara karşılık gelen kofaktörleri

kullanarak bulalım.

Çözüm:

Önce kofaktörleri bulursak,

1 1 1 2 1 3

11 12 13

1 3 2 3 2 11 1, 1 1, 1 1,

0 1 1 1 1 0C C C

Elde edilir. Determinant ise,

11 11 12 12 13 13det( ) 1. 1 2.1 3.1 4A a C a C a C

bulunur. Teorem1, bir çok sıfır içeren bir matrisin determinantını hesaplamada kolaylık

sağlar. Mesela, Eğer bir satırın veya sütunun elemanlarının çoğu sıfır ise bu elemanlara

karşılık gelen kofaktörlerle çarpımları sıfır olacağından bu kofaktörleri hesaplamaya gerek

kalmaz.Sadece sıfır olmayan eleman veya elemanların kofaktörleri hesaplanarak determinant

bulunur.Aşağıdaki örneği takip edelim:

Örnek 10.7.

2 3 0 5

1 2 1 6

3 2 0 2

1 1 0 1

A

matrisinin determinantını bulurken üçüncü sütunda daha fazla sıfır

olduğundan bu sütuna göre determinantı bulmaya çalışmak kolaylık sağlar. Buna göre,

197

2 3

2 3 0 52 3 5

1 2 1 61. 1 3 2 2

3 2 0 21 1 1

1 1 0 1

3 5 2 5 2 3

2 2 3 2 3 2

16 19 5 2

A

elde edilir.

Uygulamalar

1-Determinantla permutasyon arasındaki ilişkiyi araştırın.

2-İki matrisin toplamının determinantının ayrı ayrı determinantların toplamına eşit olmadığını fakat çarpımın determinantının ayrı ayrı determinantları çarpımına eşit olduğunu gösterin

198

Uygulama Soruları

1.

Matrisinin hangi şartla determinantının sıfır olacağını gösterin

2. Üst üçgensel bir matrisin determinantının köşegen üzereindeki elemanlarının bir çarpımı olduğunu gösteren uygulamalar yapın

199


Bu bölümde Gram –Schmidt ortogonallşetirme yöntemi ile bir vektör uzayının ortogonal

ve ortonormal tabanlarının nasıl elde edileceği araştırdı. Diğer yandan determimant kavramı

geometriksel ve cebirsel olarak tanıtılarak bazı özellikleri verildi.

.

200

Bölüm Soruları


1. 2 2XM de tanımlı iç çarpıma göre

1 2

3 4

matrisinin uzunluğu aşağıdakilerden hangisidir?

A. 10 B.20 C. 30

D. 2 5 E. 17

2. 4ün

1 1 1

1 1 2, ,

1 2 4

1 4 3

U vektörlerine ortonormal olan bir tabanı aşağıdakilerden

hangisidir?

A.

1 / 5 21 / 61 / 2

1 / 2 3 / 5 21 / 6, ,

1 / 2 0 6 / 5 2

1 / 2 2 / 6 2 / 5 2

B .

1/ 2 1 1/ 5

1 / 2 1 3 / 5, ,

1 / 2 0 6 /

1 / 2 2 2 / 5

C.

2 1 1

1 1 2, ,

1 3 4

1 4 3

D.

1/ 2 1 1

1/ 2 1 2, ,

1 / 2 2 4

1/ 2 4 3

E.

1 1 1

0 1 2, ,

1 2 4

1 4 3

3. 2 için aşağıdakilerden hangisi bir ortonormal tabandır?

A.

1 1,

1 0 B.

1 0,

0 1 C.

1 0 1, ,

1 1 1

D.

1 2,

1 2 E.

0 1,

0 3

201

4.

1 2 3

4 5 6

7 8 9

A matrisinin determinantı aşağıdakilerden hangisidir?

A.1 B .2 C.0 D. 7 E. 9

5. 2 2 2

1 1 1

a b c

a b c

matrisinin determinantı aşağıdakilerden hangisidir?

A. b a c a c b B . 2b a c a b c C. 2 2

b a c a b c

D. 2b a c a a c E. 2

a b a c c b

Cevaplar:

1. C 2.A 3.B 4.C 5.A

202

11. DETERMİNANTLAR VE UYGULAMALARI

203


11.1. Determinantın Özellikleri

11.2. Elemanter Matrislerin Determinantları

11.3. Bir Matrisin Tersi

11.4. Cramer Kuralı

204


1. Karesel bir matrisin determinantı transpozesinin determinantına eşit midir?

2. Bir matrisin determinantını satır sütun işlemleri ile nasıl buluruz?

3. Determint kullanrak bir matrisin tersini alabilir miyiz?

4. Singüler matris ne demektir?

5. Bir matrisnin tersinir olup olmadığını nasıl anlarız?

205



Determinantın Özellikleri Determinantın Özelliklerini

kavrayabilmek.

Okuyarak, fikir yürüterek, ve bol bol örnek ve uygulama yaparak

Elemanter Matrislerin

Determinantları Elemanter Matrislerin

Determinantları saptayabilmek


Bir Matrisin Tersi Bir Matrisin Tersi ile

determinant arasındaki ilişkiyi kavramak


Cramer Kuralı Lineer denklem sistemlerini

determint kullanarak

çözebilmek


206

Anahtar Kavramlar

Singüler matris

Ek matris

Cramer Kuralı

207

Giriş

Bu bölümde dersimizde matematik, fen ve mühendislik alanındaki birçok problemin

çözümünde kullanılan determinantların birtakım özellikleri gösterilir. Ayrıca elemanter

matrislerin determinantlarının bulunması incelenir. Buradan hareketle bir matrisin

determinantını kullanarak tersinin nasıl elde edileceği araştırılır. Buna ek olarak lineer

denklem sistemlerinin Determinant kullanılarak Cramer kuralı ile nasıl çözüleceği irdelenir.

208

11.1. Determinantın Özellikleri

Aşağıdaki teoremler bazı problemlerde determinantın hemen bulunabileceği bazı özel halleri

vermektedir.

Teorem 11.1 ijA a kare matrisi verilsin. Buna göre:

I. Eğer A matrisinin bir satırı veya sütunu sıfır ise determinant değeri de sıfırdır.

Örnek 11.1 :

12 3 4

2 8 0 0

0 0 0

A A

II. Eğer A matrisinin birbirinin aynısı iki satır veya sütunu varsa 0A

Örnek 11.2

2 3 1

1 4 2 0

2 3 1

III. TA A

Örnek 11.3

1 2 3

0 2 1 1.4 0.8 1. 4 0

1 2 1

A A

ve

1 0 1

2 2 2 1.4 0.8 1. 4 0

3 1 1

TA A

209

Teorem 11.2. Eğer ijA a matrisi alt(üst) üçgensel matris ise determinantı köşegen

üzerindeki elemanların çarpımına eşittir.

Örnek 11.4

1 2 5

0 4 100 1.4. 3 12

0 0 3

A A

Bir matrise önceki bölümlere gördüğümüz elemanter satır veya sütun işlemleri uygulanarak

alt veya üst üçgensel hale getirilerek Teorem IV.3 ve aşağıdaki teoremler yardımıyla

determinant değeri kolaylıkla bulunur.

11.2. Elemanter Matrislerin Determinantları

Teorem 11.3. A ve B matrisleri nxn lik matrisler olsun. B matrisi A matrisinden,

I. A nın herhangi iki satırının yerleri değiştirilerek elde edilmişse,

B A

Bu birinci satır işlemi ve 1E elemanter matrisi 1.tiptendir.

11 12

11 22 12 21

21 22

21 22

1 1 1 12 21 11 22 1

11 12

0 1, 1

1 0

a aA A a a a a

a a

a aE E A E A a a a a A E

a a

Olur.

II. A nın satırı veya sütununu bir k skaleri ile çarpılarak elde edilmişse,

B kA k A

Bu ikinci satır işlemi ve 2E elemanter matrisi 2.tiptendir

11 12

2 2 2 11 22 12 21 2

21 22

0,

0 1

ka kakE E A E A k a a a a k A E k

a a

210

III. Herhangi bir satırının(sütun) bir c katı diğer bir satırına(sütun) ilave edilerek

bulunmuşsa B A

Bu üçüncü satır işlemi ve 3E elemanter matrisi 3.tiptendir

11 12

3 3

11 21 12 22

3 12 11 11 22 12 11 12 21 3

1 0

1

, 1

a aE E A

ka a ka ak

E A ka a a a ka a a a A E

Teorem 11.4. E bir elamenter matris ise . veEA E A AE A E yazılır.

Örnek 11.5

4 3 2

3 2 5

2 4 6

A

matrisinin determinantını elamenter satır işlemleriyle üçgen formuna

getirerek bulalım.

3 31 3

3 3 12 2 1

3 32 2

3 3 2

1

2

43

11

54

1

2

4 3 2 4 3 2 1 2 3

3 2 5 2 3 2 5 2 3 1 5

2 4 6 1 2 3 4 3 2

1 2 3 1 2 3

2 0 8 4 2 0 8 4

4 3 2 0 5 10

1 2 3 1 2 3

2.4 0 2 1 2.4.5 0 2 1

0 5 10 0 1 2

1 2 3

2.4.5 0 2 1

0 0 3 / 2

R RR R

R R RR R R

R RR R

R R R

bulunur. Üçgensel forma geldiğine göre determinant köşegen elemanların çarpımıdır:

2.4.5.1. 2 . 3/ 2 120A

211

Teorem 11.5 ,A n n tipindeki kare bir matrisin regüler olması için gerek ve yeter koşul

0A olmasıdır. Buradan ,A n n tipindeki kare bir matrisin singüler olması gerek ve

yeter koşul 0A olmasıdır.

Örnek 11.6 1 2

3 4A

matrisi regüler midir?

1 2

2 03 4

A için regülerdir.

Teorem 11.6. ,A n n tipindeki kare bir matrisin RankA n olması için gerek ve yeter koşul

0A olmasıdır.

Örnek 11.7 1 2

3 5A

k

matrisinin rank’ının 2 olması için k nın durumunu bulun.

1 21 0 1

3 5A k k

k

Teorem 11.7. ,A n n tipindeki kare bir matris olsun. 0AX homojen lineer denklem

sisteminin aşikâr olmayan bir çözümünün olması için gerek ve yeter koşul 0A olmasıdır.

Örnek 11.8 1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 0

2 3 0

3 2 0

x x x

x x x

x x x

Homojen lineer denklem sisteminin aşikâr olmayan bir çözümünün olduğunu gösterin.

Teorem IV.6 dan, Katsayılar matrisinin determinantı

212

77 7

1 2 33 1 2 1 2 3

2 3 1 2 3 01 2 3 2 3 1

3 1 2

Olduğundan sistemin aşikâr olmayan çözümü vardır.

Teorem 11.8. ve ,A B n n tipindeki kare matrisler olsun. AB A B

Örnek 11.9

1 3 2 1,

2 4 3 5A B

olsun.

2, 13A B dir. Ayrıca 11 14

. . 26 2.1316 18

A B A B A B

11.3.Bir Matrisin Tersi

Tanım 11.1. ,A n n tipindeki kare bir matris olsun. Bu matrisin ija elemanını silip yerine

ijC kofaktörünü yazmak ve elde edilen matrisin transpozesini almak suretiyle elde edilen

jiC matrisine A nın ek (adjoint) matrisi denir ve adjA veya A ile gösterilir. Buna göre

ijA a nin ek matrisi:

11 21 1

12 22 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

n

n

n n nn

C C C

C C CadjA

C C C

dir.

213

Örnek 11.10

2 3 4

0 4 2

1 1 5

A

matrisi için adjA yi bulun.

1 1 1 2 1 3

11 12 13

2 1 2 2 2 3

21 22 23

3 1 3 2 3 3

31 32 33

4 2 0 2 0 41 18, 1 2, 1 4

1 5 1 5 1 1

3 4 2 4 2 31 11, 1 14, 1 5

1 5 1 5 1 1

3 4 2 4 2 31 10, 1 4, 1 8

4 2 0 2 0 4

C C C

C C C

C C C

dir.Buna göre,

18 11 10

2 14 4

4 5 8

adjA

Elde edilir.

Teorem 11.9. ,A n n tipindeki kare bir matris olsun.

nA adjA adjAA A I dir.

İspat 11.9.

1 1

.adjA .adjA An n

ij ij kj ik nik jk ikj j

A a A a C A A

Böylece ispat tamamlanır.

Örnek 11.11

2 3 4

0 4 2

1 1 5

A

matrisinin

18 11 10

2 14 4

4 5 8

adjA

olduğunu bir önceki

örnekte gördük. Buna göre,

214

2 3 4 18 11 10 46 0 0 1 0 0

0 4 2 . 2 14 4 0 46 0 46 0 1 0 46

1 1 5 4 5 8 0 0 46 0 0 1

A

Teorem 11.10. ,A n n tipindeki kare bir matris olsun. 0A ise 1 1A adjA

A

dır.

İspat 11.10: Teorem IV.7 den nA adjA adjAA A I dir. Burada 0A olduğu için,

1 1n nA adjA A adjA A I I

A A

Ve

1 1n nadjA A A I I

A A

bulunur.O halde 1 1A adjA

A

dir.

Örnek 11.12

1 2 3

4 5 6

8 8 9

A

matrisinin varsa tersini bulunuz.

1 2 35 6 4 6 4 5

4 5 6 2 3 3 08 9 8 9 8 8

8 8 9

A

Olduğundan A matrisi singüler değildir. Buna göre tersi vardır ve

215

11 21 31

1

12 22 32

13 23 33

5 6 5 6 2 3

8 9 8 9 5 6

4 6 1 3 1 31 1

8 9 8 9 4 63 3

4 5 1 2 1 2

8 8 8 8 4 5

3 6 31

12 15 63

8 8 3

C C C

A C C C

C C C

11.4 . Cramer Kuralı

Teorem 11.11 Sonlu sayıda lineer denklemin meydana getirdiği n denklem ve

n bilinmeyenden oluşan

11 11 12 2 1 1

21 11 22 2 2 2

1 11 2 2

...

...

.............................................

...

n n

n n

n n nn n n

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

bir lineer denklem sistemi verilsin denir. Bu lineer denklem deki sistemi matris-vektör

formunda yazmak istersek,

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

...

...

... ... ... ... . .

...

n

n

m n mn n m

a a a x b

a a a x b

a a a x b

X BA

yani AX B yazılabilir. Burada ija A katsayılar matrisini, X bilinmeyenler vektörünü

ve B sabitler vektörünü temsil eder. Ayrıca i , A matrisinde .i sütun yerine B yazılmasıyla

elde edilen bir matris oldun. Eğer 0A ise bu sistemin,

1 2

1 2, ,...,n

nx x x

216

Şeklinde tek bir çözümü vardır.

İspat 11.111: 0A olduğundan dolayı A bir regüler matristir. Buradan hareketle,

1 AX B X A B

yazılır.

1 1 1

11 21 1

2 2 2

12 22 2

1

1 23 33

1 11 2 21 1

2 12 2 22

...

.... . .1

. .... .. . .

. . .. . .

. . .

...

...

1

n

n

n n n

n

n n

x b bC C C

x b bC C C

A

x b bC C C

b C b C b C

b C b C

2

1 2 2

.

.

.

...

n n

n n n n nn

b C

b C b C b C

Olduğundan 1X A B eşitliğinden;

1 2

1 2, ,..., (1 )n

nx x x i n

Bulunur.

Örnek 11.13

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3 1

2 4

2 3

x x x

x x x

x x x

217

Lineer denklem sistemini Cramer kuralı ile çözünüz.

1

2

3

2 3 1 1

1 2 1 , 4 ,

2 1 1 3

x

A x

x

B X

Olmak üzere 2 3 1

1 2 1 2

2 1 1

A

olduğundan,

1 2 3

2 1 1 1 3 1 3 2 1

1 4 1 4 2 1 1 2 4

2 3 1 3 1 1 2 1 34 6 82, 3, 4

2 2 2x x x

Elde edilir. Dolayısıyla lineer denklem sisteminin çözüm vektörü

2

3

4

X

olarak bulunur.

Bu yöntem sadece n denklem ve n bilinmeyenden oluşan ve katsayılar matrisi regüler olan

lineer denklem sistemleri için uygulanabilir. Matrisin boyutu arttırıldığında örneğin 4n

olduğunda çok kullanışlı değildir. Bu durumda Gauss eliminasyon veya Gauss-Jordan

yöntemini daha elverişlidir.

.

218

Uygulamalar

Bir parelel yüzlünün hacminin elde edilmesinde determinantın rollünü araştırınız.

219

Uygulama Soruları

1- M matrisi karesel bir matris olmasın fakat . TM M ve .TM M matrisleri karesel

matrislerdir.Buna göre det( . ) det( . )T TM M M M eşitliğinin doğru olıup olmadığını araştırınız.

2- Aşağıdaki matrisin tersinir olup olmadığını kontrol ederek tersinir ise terslerini bulunuz..

220


Bu bölümde fen ve sosyal bilimlerinde birçok problemin çözümünde kullanılan determinantların birtakım özellikleri gösterildi. Ayrıca elemanter matrislerin

determinantlarının bulunması incelendi. Buradan hareketle bir matrisin determinantını kullanarak tersinin nasıl elde edileceği araştırıldı. Buna ek olarak lineer denklem sistemlerinin Determinant kullanılarak Cramer kuralı ile nasıl çözüldüğü görüldü.

221

Bölüm Soruları


1.

1 1 0

1 1 1

0 2 1

A

ise adjA aşağıdakilerden hangisidir?

A.

1 1 0

1 1 1

2 2 0

B.

1 1 1

1 1 1

2 2 0

C.

1 1 1

1 1 1

2 2 0

D.

1 1 1

1 1 1

2 2 0

E.

1 1 3

1 1 1

2 2 0

2.

1 2 2

3 1 0

1 1 1

A

ise 1 ?A aşağıdakilerden hangisidir?

A.

1 0 2

3 1 6

2 1 5

B.

1 0 2

3 1 6

2 1 5

C.

1 1 1

1 1 1

2 2 0

D.

1 1 1

1 1 1

2 2 0

E.

1 0 2

3 1 6

2 1 5

3. Aşağıdaki matrislerden hangisi singülerdir?

A.

2 1 1

0 5 2

1 3 4

B.

3 2 4

2 5 1

0 6 1

C.

2 1 4

6 3 2

4 1 2

D.

7 6 5

1 2 1

3 2 1

E.

1 2 2

3 1 6

2 1 5

222

4.

2x -5 y +2 z = 7

x + 2y -4z = 3

3x − 4y -6z = 5

doğrusal denklem sisteminin çözüm kümesini Cramer yöntemi ile aşağıdakilerden hangisi

sağlar?

A. {(1, 1, 1)} B. {(2, 1, 0)} C. {(5, 1, 1)}

D. E. {(-2, 2, −1)}

5 .

1 2 2 3

3 1 5 0

4 0 2 1

1 7 2 3

matrisine göre 42 ?C

A. -135 B. -103 C. 16

D. -13 E. -31

Cevaplar:

1. D 2. A 3. D 4. C 5.E

223

12. ÖZDEĞERLER ve ÖZVEKTÖRLER

224


6.1. Özdeğerler ve Özvektörlerin Tanımı

6.2. Köşegenleştirme

225


1-Determinatı başka matematiğin hangi uygulamalarında kullanırız?

2-Bir matrisle bir vektörün çarpımını aynı vektörün katına eşitleyen skaler sayılara ne denir?

3- 2 1

1 2A

matrisi için Ax x denklemini sağlayan x vektörünü ve sayılarını bulabilir

miyiz?

226



Özdeğerler ve Özvektörlerin Tanımı

Özdeğerler ve Özvektörlerin Tanımını kavrayabilmek.


Köşegenleştirme Bir matrisi

köşegenleştirilebiliyorsa köşegenleştirmek


227

Anahtar Kavramlar

Özdeğer

Özvektör

Karakteristik Denkelm

Köşegenleştirme

228

Giriş

Bu bölümde lineer cebir, diferansiyel denklemler gibi birçok derste uygulaması olan bir

matrisin özdeğerler ve öz vektörleri kavramları tanıtılır. Ayrıca öz değer ve öz vektörler

kullanılarak bir matrisin nasıl köşegenleştirilebileceği sorusuna yanıt aranır.

229

12.1. Özdeğerler ve Özvektörlerin Tanımı

Tanım 12.1: ,A n n tipindeki bir kare matris olsun.

Ax x (VI.1)

Eşitliğini sağlayan sıfırdan farklı bir x vektörü varsa skalerine A ’nın özdeğeri veya

karakteristik değeri denir. x vektörüne de özdeğerine karşılık gelen özvektör denir.

Örnek 12.1: 1 2

3 2A

matrisinin bütün özdeğer ve özvektörlerini bulunuz.

Ax x de bir skaler ve 1

2

xx

x

sıfır olmayan bir vektör olsun.Dolayısıyla denklemde

yerine yazılırsa,

1 1 1 2 1

2 2 1 2 2

21 2

3 23 2

x x x x x

x x x x x

(VI.2)

Olur. Buradan,

1 2 1 1 2

1 2 2 1 2

2 1 2 0

3 2 3 2 0

x x x x x

x x x x x

Homojen denklem sistemi oluşur. Bu denklem sisteminin sıfırdan farklı yani aşikâr bir

çözümünün olabilmesi için gerek ve yeterli koşulun katsayılar determinantının sıfıra eşit

olmasıyla mümkün olacağını bir önceki bölümde gördük. Buradan hareketle

21 2

3 4 4 ( 1) 03 2

230

Denkleminin çözüm değerleri 1 24ve 1 değerleri için skaleri A ’nın bir özdeğeri

olur. Bu özdeğerlere karşılık gelen özvektörleri bulmak için Denklem (VI.2) de yerine

yazılırsa,

i. 1 4 için

1 2 1

1 2 1 2

1 2 2

2 43 2 0, 3 2 0

3 2 4

x x xx x x x

x x x

olur. Buradan

1 22 için 3x x olacağından 1 4 özdeğerine karşılık gelen bir özvektör

2

3x

alınır.

ii. 2 1 için

1 2 1

1 2 1 2 1 2

1 2 2

22 2 0, 3 3 0

3 2

x x xx x x x x x

x x x

olur. Buradan 1 21 için 1x x olacağından 1 1 özdeğerine karşılık gelen bir özvektör

1

1x

alınır.Denklem VI.1 deki Ax x eşitliği,

0 0Ax x A x (VI.3)

formunda yazılır. A matrisine A nın karekteristik matrisi denir. Bu homojen denklem

sisteminin çözümünün olması dolayısıyla özdeğerlerinin olması için gerek ve yeterli

koşulun Denklem(VI.3) ün aşikâr olmayan bir çözüme sahip olmasıdır. Dolayısıyla bu

denklemin çözüm kümesi n in bir alt uzayı olan N A dır.( N A , bir A

matrisinin sıfır uzayıdır. Yani Denklem (VI.3) sisteminin çözümüdür.). Buradan hareketle ,

A nın bir özdeğeri ise çözüm uzayı 0N A ve Bu çözüm uzayındaki herhangi

sıfırdan farklı bir vektör, ya karşılık gelen bir özvektördür. Ayrıca N A alt uzayına

ya karşılık gelen öz uzay denir.

Denklem(VI.3) ün aşikâr olmayan bir çözüme sahip olması için gerek ve yeterli koşul A

matrisinin singüler olması yani 0A olmasıdır.Eğer det A açılırsa,

1

1 1det ... 0n n

n nA a a a (VI.4)

231

.n dereceden bir polinom elde edilir. Bu polinoma karakteristik polinom, det 0A

denklemine de A nın karakteristik denklemi denir. Karekteristik polinumun derecesi n

olduğundan n tane köke sahiptir. Bu kökler farklı, katlı veya kompleks(karmaşık) olabilir.

Buraya kadar anlattıklarımızı içeren aşağıdaki teoremi verelim:

Teorem 12.1 ,A n n tipindeki bir matris ve bir skaler olsun.Aşağıdaki ifadeler birbirine

denktir:

i. , A nın özdeğeridir.

ii. 0A x denklemi aşikâr olmayan bir çözüme sahiptir.

iii. 0N A

iv. A matrisinin singülerdir.

v. det 0A dır.

Örnek 12.2: 2 1

1 2A

matrisinin bütün özdeğer ve özvektörlerini bulunuz.

0A karakteristik denklemi,

22 1

4 3 1 ( 3) 01 2

Yazılır. Bu denkleminin çözüm değerleri 1 21ve 3 öz değerleridir. Bu özdeğerlere

karşılık gelen özvektörleri bulmak için Denklem (VI.3) de yerine yazılırsa,

i. 1 1

için

232

1

1 2 1 2

2

1 1 00

1 1 0

xx x x x

x

olur. Buradan

2x keyfi değeri için

1x olacağından 1 1 özdeğerine karşılık gelen bir özvektör

1

1x

alınır.

1 1 özdeğerine karşılık gelen sıfır uzayı 1

1,

1N A N A

yazılır.

ii. 2 3 için

1

1 2 1 2 1 2

2

1 1 0, 0

1 1 0

xx x x x x x

x

olur. Buradan 2x keyfi değeri için

1x olacağından 2 3

özdeğerine karşılık gelen bir öz vektör

1

1x

alınır.

2 3 özdeğerine karşılık gelen sıfır uzayı 2

13 ,

1N A N A

yazılır.

Örnek 12.3:

0 1 1

1 0 1

1 1 0

A

matrisinin özdeğer ve özvektörlerini bulunuz.

karakteristik denklemi,

23

1 1

1 1 3 2 1 ( 2) 0

1 1

Buradan özdeğerler 1 2 31ve 2 öz değerleridir.

i. Burada çift katlı 1 2 1 özdeğerlere karşılık gelen özvektörleri bulmak

için 1 0A A homojen denklem sistemi

1

2 1 2 3 1 2 3

3

1 1 10

1 1 1 00

1 1 1

x

x x x x x x x

x

olur.

Burada iki parametreye bağlı sonsuz çözüm elde edilir. Buradan 2 30, 1x x keyfi değeri

için 1 1x , 2 31, 0x x keyfi değeri için 1 1x olacağından 1 2 1 özdeğerine

233

karşılık gelen özvektörler 1 1

0 , 1

1 0

x

alınır. Burada da görüldüğü gibi 1 iki katlı

ve öz uzayının boyutu da 2 dir.

ii. 3 2 için

ii. 1 2 0A A homojen denklem sistemi

1 1

1 2 3

2 2

2 3

3 3

2 1 1 0 2 1 12 0

1 2 1 0 0 3 33 3 0

1 1 2 0 0 0 0

x xx x x

x xx x

x x

olur.

Buradan 1 2 3x x x bir parametreye bağlı sonsuz çözüm vardır. Öz uzayın bir tabanı olarak

1

1

1

alınabilir. Dolayısıyla 1 1 1

0 , 1 , 1

1 0 1

x

, 3

1 ün bir tabanıdır.

12.2 Köşegenleştirme

Tanım 12.2. ,A n n tipindeki bir matris olmak üzere,

1

21

0 ... 0

0 ... 0

... ... ... ...

0 0 ... n

k

kX AX D

k

Eşitliğini sağlayan bir D köşegen matris ve bir X , singüler olmayan matrisi varsa, n n

tipindeki A matrisine köşegenleştirilebilir denir. X ’ e de A matrisini köşegenleştirir denir.

Teorem 12.2. ,A n n tipindeki bir matrisin köşegenleştirilebilmesi için gerekli ve yeterli

koşul A nın n tane lineer bağımsız özvektöre sahip olmasıdır.

234

Teorem 12.3. , 2 2A tipinde 1 2ve özdeğerlerine ve bunlara karşılık gelen

1 2veX X özvektörlerine sahip olsun. P , de sütunları sırasıyla 1 2veX X olan bir matris

olsun. Bu durumda P singüler değildir ve

11

2

0

0P AP

Eşitliği gerçekler.

İspat 12.3. 1 1 1 2 2 2veAX X AX X olsun. Biz

1 2 0xX yX homojen sistemin sadece

aşikâr olmayan bir çözüme sahip olacağını göstereceğiz. Bilindiği üzere 1 2P X X

singüler değildir. Böylece varsayalım 1 2 0xX yX olsun. Bu durumda

1 2 .0 0A xX yX A

ve buradan

1 2 1 1 2 20 0x AX y AX x X y X

Olur. 1 2 0xX yX denklemini

1 ile çarpar 1 1 2 2 0x X y X eşitliğini kullanırsak,

2 1 2 0yX

Elde edilir. Böylece 2 1 0 ve 2 0X için 0y olur. Bu değer 1 2 0xX yX

denkleminde kullanılırsa 1 0 0xX x olur. 1 1 1 2 2 2veAX X AX X denklemleri

kullanılırsa

1 1

1 2 1 2 1 1 1 2 1 2

2 2

0 0

0 0AP A X X AX AX X X X X P

ve böylece

1 1 11 1

2 2 2

0 0 0

0 0 0P AP P P

235

Elde edilir. Bu teoremden genelleştirirsek eğer A köşegenleştirilebilir ise köşegenleştiren P

matrisinin sütun vektörleri A nın özvektörleridir. D köşegen matrisin köşegenleri de A nın

özdeğerleridir.

Örnek 12.4

2 1

1 2A

matrisinin1 21ve 3 özdeğerlerine karşılık gelen özvektörlerini sırasıyla

1 2

1 1ve

1 1X X

bulmuştuk. Buradan P matrisi,

1 1

1 1P

Olur.

11/ 2 1/ 2 2 1 1 1 1/ 2 1/ 2 1 1 1 0

1/ 2 1/ 2 1 2 1 1 1/ 2 1/ 2 3 3 0 3P AP

Elde edilir. Köşegen matrisin köşegen elemanları, A matrisinin özdeğerleri olduğu görülür.

Diğer yandan

1 1P AP D A PDP

Olacağından

1 11 1 11 1

2 2 2

0 0 0

0 0 0

n n n

n

nA P P P P P P

Yazılarak A matrisinin n.kuvvetini bulabiliriz.

236

Örnek 12.5

1 1

2 4A

matrisi verildiğine göre P matrisini ve 5A i bulunuz.


21 1

5 6 2 ( 3) 02 4

Yazılır. Buradan 1 22ve 3 öz değerleridir ve bu durumda A köşegenleştirilebilir

1 2 için

1

1 2

2

1 1 0 10

2 2 0 1

xx x x

x

olur

2 3

1

1 2

2

2 1 0 12 0

2 1 0 2

xx x x

x

olur. 1 için özvektörler kümesi

11 1 2 1

1 1 1 1P P

Yazılır.

12 1 1 1 1 1 2 1 2 3 2 0

1 1 2 4 1 2 1 1 2 6 0 3P AP D

237

1 1

5

5 5 1

5

1 1 2 12 0

1 1 1 10 3

1 1 64 32

1 1 243 243

179 211

422 454

P AP D A PDP

A PD P

Bulunur.

Örnek 12.6.

3 1 2

2 0 2

2 1 1

A

matrisi verildiğine göre P matrisini ve 5A i bulunuz.

2

2

3 1 22 2 2 2 0

det 2 2 3 1 21 1 2 1 2 1

2 1 1

3 2 2

1

A I

karakteristik denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri 1 2 30, 1ve 1 özdeğerlerini

verir. İlk olarak 1 0 a karşılık gelen öz vektör:

1 1

2 2 1 2 3

3 3

3 1 2 0 3 1 2 0

0. 0 2 0 2 0 2 0 2 0

2 1 1 0 0 1 1 0

x x

A I X AX x x x x x k

x x

Eğer 1

1

1 1

1

k X

özvektörü bulunur. Aynı şekilde 2 3 1 a karşılık gelen öz vektör:

1

2 2 1 3

3

2 1 2 0

1. 0 2 1 2 0

2 1 2 0

x

A I X x x x x

x

Olur. Eğer 1 3 2,x x x .Bu durumda,

238

1 0

1. 2 2 , ,

0 1

N A I

yazılırsa2 3 1 a karşılık gelen öz vektör:

2

1

2

0

X

ve 3

0

2

1

X

Alınır.Tüm bu öz vektörleri sütunları olarak kabul eden P matrisi,

1 1 0

1 2 2

1 0 1

P

Olarak yazılır.Buradan P matrisin tersi,

1

2 1 2

3 1 2

2 1 1

P

Olarak birçok yolla elde edebiliriz. Buna göre köşegenleştirmek için,

1

2 1 2 1 1 0 3 1 2 0 0 0

3 1 2 1 2 2 2 0 2 0 1 0

2 1 1 1 0 1 2 1 1 0 0 1

P AP D

1 1

5 5 1 5

5

1 1 0 0 0 0 2 1 2

1 2 2 0 1 0 3 1 2

1 0 1 0 0 1 2 1 1

3 1 2

2 0 2

2 1 1

P AP D A PDP

A PD P

A

bulunur. Bu durumda k için kA A yazılır

239

Uygulamalar

1-Bir matrisin hangi koşullarda köşegenleştirilebileceğini araştırın.

2-Bir matris köşegen hale getirildiğinde köşegen elemanlarının neyi gösterdiğini örneklerle deneyerek test edin.

240

Uygulama Soruları

1-Matrisinin özdeğerlerini bulun

2- Matrisinin özvektörlerini bulun

3-Özvektörlerinin lineer bağımsız oluıp olmadıklarını gösterin

241


Bu bölümde lineer cebir, diferansiyel denklemler gibi birçok derste uygulaması olan bir matrisin özdeğerler ve öz vektörleri tanıtıldı. Ayrıca bu öz değer ve öz vektörler kullanılarak

bir matrisin nasıl köşegenleştirildiği birtakım örneklerle gösterildi.

242

Bölüm Soruları

1.

1 3 3

3 5 3

6 6 4

A

matrisinin özdeğerleri aşağıdakilerden hangisidir?

A. {-2,4} B.{2,-4}, C.{-1,3} D.{3,-4} E.{0,5}

2. 1 1

2 1A

matrisinin özvektörleri aşağıdakilerden hangisidir?

A. {(1,2-i),(1,1+i)} B{(1,1-i),(1,1+i)} C{(-1,1-i),(1,1+i)}

D{(1,1-2i),(1,1+i)} E.Hiçbiri

3.

3 1 1

2 4 2

1 1 3

A

matrisinin P matrisi aşağıdakilerden hangisidir?

A.

1 1 1

1 0 2

0 1 1

B

1 1 1

1 0 2

0 1 1

C

1 1 1

1 0 2

0 1 1

D.

1 1 1

1 0 2

0 1 1

E.

1 1 1

1 0 2

1 1 1

4. Aşağıdaki matrislerdden hangisinin özdeğeri rasyonel sayı değildir.

10 9)

4 2A

B) 1 2

4 3

C) 0 3

7 0

D)

0 0

0 0

E)

1 0

0 1

243

5.

1 1 1

0 0 1

0 0 1

matrisinin özvektörleri aşağıdakilerden hangisidir?

0 1

) 1 , 1

0 0

A

B)

1 1

0 , 1

0 0

C)

1 1

0 , 1

0 0

D)

1 1

0 , 1

0 0

E)

1 1

1 , 1

0 0

Cevaplar:

1-A, 2-B, 3-B 4-C 5-D

244

13. ÖZDEĞER VE ÖZ VEKTÖRLERİN UYGULAMALARI

245


13.1. Cayley-Hamilton Teoremi

13.2. Özdeğer ve Özvektörlerin Diferansiyel Denklemlere Uygulanışı

246


1- Her matris kendi karakterisitik denkleminin bir kökü müdür?

2- Bir matrisin tersini özdeğer ve öz vektörlerini kullanarak bulabilir miyiz?

3- Bir lineer diferansiyel denklem sistemini öz değer ve öz vektörleri kullanarak çözebilir miyiz?

247



Cayley-Hamilton Teoremi Bir matrisin kendi karak

teristik denklemini

sağladığını görnek.


Özdeğer ve Özvektörlerin Diferansiyel Denklemlere

Uygulanışı

Lineer diferansiyel

denklemleri özdeğer ve öz vektörleri kullanarak çözebilmek


248

Anahtar Kavramlar

Karakteristik polinom

Minimal polinom

Lineer diferansiyel denklem sistemi

249

Giriş

Bu bölümde derste bir matrisin özdeğer ve öz vektörlerinin uygulamaları incelenir. İlk

olarak bir matrisin kendi karakteristik denklemini sağladığını ifade eden Cayley-Hamilton

teoremi ve uygulamaları ele alınır. Daha sonra özdeğer ve öz vektörlerin diferansiyel

denklemlere uygulanması incelenir.

250

13.1. Cayley-Hamilton Teoremi

Teorem 13.1 (Cayley-Hamilton) Her matris kendi karakteristik denkleminin köküdür.

Örnek 13.1. 1 2

3 2A

matrisinin karakteristik denklemi,

21 2

det 3 43 2

A A I

Olarak bulunur. Bu denklemde yerine A matrisi yazılırsa,

2

1 2 1 2 1 0 0 03 4

3 2 3 2 0 1 0 0A

Olduğu görülür.

Tanım 13.1: A , K üzerinde tanımlı bir n n tipinde kare matris olsun. 0f A olacak

şekilde mertebesi en küçük ve baş katsayısı 1 olan polinoma A nın minimum veya minimal

polinomu denir.

Cayley-Hamilton teoreminden A nın minimal polinomu karakteristik polinomu böler.

Buna göre i ler farklı özdeğerler ve 0id olmak üzere A nın karakteristik polinomu

1 2

1 2 ... kd d d

kf x x x x

formunda ise A nın minimal polinomu ile karakteristik polinomunun kökleri aynıdır. Buna ek

olarak Cayley-Hamilton teoreminden A nın minimal polinomunun karakteristik polinomu

böldüğünden, 1 j jr d olmak üzere A nın minimal polinomu

1 2

1 2 ... kr r r

kp x x x x

formunda olur.

251

Örnek 13.2

3 1 2

2 2 1

2 2 0

A

matrisinin minimal ve karakteristik polinomlarını bulunuz.

A nın karakteristik polinomu,

23 2

3 1 12 1 2 1 2 2

det 2 2 1 3 12 2 2 2

2 2

5 8 4 1 2

xx

A xI x xx x

x

x x x x x

Yazılır. Bu polinomun kökleri 1 ve 2 olduğundan minimal polinomun da kökleri 1 ve 2

olmalıdır.Bunun yanı sıra minimal polinom bu karakteristik polinomu böleceğinden dolayı

1 2r olmak üzere,

1 2r

p x x x

Şeklindedir. Bu polinomu A matrisinin sağlayıp sağlamadığına bakalım. 1r için,

2 1 1 1 1 1 2 0 1

1. 2. 2 1 1 2 0 1 2 0 1

2 2 1 2 2 2 4 0 2

p A A I A I

0

Olduğundan 1r için,seçilen bu polinom A nın minimal polinomu olamaz. Bu durumda diğer alternatif 2r alınırsa, 2r :

21 2p x x x

Cayley-Hamilton teoremini kullanarak bir matrisin tersini bulabiliriz.

Teorem 13.2: A , K üzerinde tanımlı bir n n tipinde kare matris olsun.A nın karakteristik

polinomu 1

1 1...n n

n nf x x a x a x a olsun. A matrisi tersinir ise,

1 1 2

1 1 1

1...n n

n n nnA A a A a A a I

a

İspat: Cayley-Hamilton teoremine göre her matris kendi karakteristik polinomunun kökü olduğundan:

252

1 1 1 2

1 1 1 1 1

1 2

1 1 1

1 2

1 1 1

1 2 1

1 1 1

... 0 ...

1...

1...

1...

n n n n

n n n n n n n

n n

n n n

n

n n

n n n

n

n n

n n

n

A A a A a A a I a I A A a A a I

I A A a A a Ia

I A A a A a Ia

A a A a I Aa

ispat tamamlanır.

Örnek 13.3:

3 1 2

2 2 1

2 2 0

A

matrisinin tersini karakteristik polinomundan yararlanarak bulunuz.

A nın karakteristik polinomu,

3 2 2

1 2 31 2 0 2 0 1

det 0 1 2 1 2 32 2 0 2 0 2

0 0 2

2 2 1 2

xx x

A xI x xx x x

x

x x x x x

Olduğundan her matris kendi karakteristik polinomunu sağlayacağına göre,

3 2 3 2 212 2 0 2 2 2

2A A A I I A A A I A A A I

Ve

1 212

2A A A I

Elde edilir. Buradan matrisin değeri yazılırsa,

2

1

3 1 2 3 1 2 1 0 01

2 2 1 2 2 2 1 0 1 02

2 2 0 2 2 0 0 0 1

1 2 7 / 2

0 1 1

0 0 1/ 2

A

253

Elde edilir. Cayley-Hamilton teoremini bir matrisin yüksek dereceden kuvvetinin

alınmasında da kullanabiliriz.

Örnek 13.4

2 3

1 1A

matrisi verildiğine göre 6A i bulunuz.

matrisinin karakteristik polinomu,

22 3

det 51 1

A

xx A xI x x

x

Olduğundan Cayley-Hamilton teoremine göre,

2 25 0 5A A I A A I

Eşitliğinden

3 2 4 3 2 5 4 3

6 5 4 4 3

3 2 3 3 2

2 2 2

5 5 5

5 6 5

6 5 5 11 30

11 5 30 41 55

41 5 55

96 205

A A A A A A A A A

A A A A A I

A A A A A

A A A A A

A I A

A I

Buradan

62 3 205 0 192 288 205 0 397 288

961 1 0 205 96 96 0 205 96 109

A

Elde edilir.

254

13.2. Özdeğer ve Özvektörlerin Diferansiyel Denklemlere Uygulanışı

Bir lineer diferansiyel denklem sistemi,

dxax by

dt

dycx dy

dt

verilsin. Burada a b

Ac d

reel veya kompleks değerli katsayılar matrisi, vex y ise t nin

birer fonksiyonu. Bu sistem matris-vektör formda aşağıdaki gibi yazılabilir:

X AX .

Burada

dx

x dtX ve X

y dy

dt

dir. Ayrıca 1 1vex y ise t nin birer fonksiyonu 1

1

xY

y

olmak X PY

yerine koyması yapılsın. Bu durumda

PY

X PY A X A PY

Olur. Buradan Y yi tek çekersek

1 1 11

2 2 1

1 11 1

1 1

2 11 12 1

0

0D

xX PY A PY Y P AP Y Y

y

dx dxx

xdt dtY

ydy dyy

dt dt

Değişkenlerine ayrılabilen diferansiyel denklemlere dönüşür Bunların ayrı ayrı çözümü,

255

1

2

1 11 1 1 1 1 1 1

1

1 12 1 2 1 2 2 1 2

1

ln

ln

t

t

dx dxx dt x t c x C e

dt x

dy dyy dt y t c y C e

dt y

Olur. Buradan

1

2

1 1

1 2

t

t

x C eY

y C e

ve

1

2

1

2

t

t

xC eX PY P

yC e

Eşitliğinden diferansiyel denklemin x ve y çözümleri bulunur. Dikkat edeceğimiz nokta

burada 1 2ve ler özdeğerlerimiz ve P de bu özdeğerlere karşılık gelen özvektörelerin

sütun matrisidir. Böylece özdeğer ve özvektörler sayesinde lineer diferansiyel denklem

sistemleri çözebiliriz. Şimdi bunu uygulamalarla görelim:

Örnek 13.5

2 3

4 5

dxx y

dt

dyx y

dt

Diferansiyel denklem sisteminin çözümünü bulunuz.

Katsayılar matrisi ,

2 3

4 5A


2

1 2

2 33 2 1 ( 2) 0 1, 2

4 5

256

Yazılır. Buradan 1 21ve 2 öz değerleridir.

1 1 için

1

1 2

2

3 3 0 10

4 4 0 1

xx x x

x

Olur.

2 2

1

1 2

2

4 3 0 34 3 0

4 3 0 4

xx x x

x

olur. 1, 1 için özvektörler kümesi

1 3

1 4P

bulunur. Diferansiyel denklemi çözmek için

1 1 2

2 1 2

31 3

41 4

x x x xxX PY

x y x xy

Olur. Ayrıca 1

1 1

tx C e

ve 2

2 2

tx C e

den

1 1

tx C e ve 2

2 2

tx C e

bulunur. X bilinmeyen vektörü için yukarda bu değerler yerine yazılırsa,

2

1 2 1 2

2

1 2 1 2

3 3

4 4

t t

t t

x x x C e C e

y x x C e C e

Denklem çözülmüş olur. Burada 0 0x ve y başlangıç değerleri bilindiği varsayımı altında

denklem,

257

1 2

1 2

0 3

0 4

x C C

y C C

1

1 1

2 2

0 01 3 1 3

0 01 4 1 4

x xC C

y yC C

bağıntısından C değerleri bulunarak özel çözümler elde edilir.

Örnek 13.6

4 6 , 0 1

3 5 , 0 0

dxx y x

dt

dyx y y

dt

Başlangıç değer problemini çözün.

Katsayılar matrisi ,

4 6

3 5A


2

1 2

4 32 1 ( 2) 0 1, 2

4 5

Yazılır.

1 1 için

1

1 2

2

3 6 0 22 0

3 6 0 1

xx x x

x

olur

2 2

258

1

1 2

2

6 6 0 10

3 3 0 1

xx x x

x

olur. Özvektörler kümesi

2 1

1 1P

Olur. Diferansiyel denklemi çözmek için

1 1 2

2 1 2

22 1

1 1

x x x xxX PY

x y x xy

Olur. Ayrıca 1 1

tx C e ve 2

2 2

tx C e den bulunur. X bilinmeyen vektörü için yukarda bu

değerler yerine yazılırsa,

2

1 2 1 2

2

1 2 1 2

2 2 t t

t t

x x x C e C e

y x x C e C e

Denklem çözülmüş olur. Burada 0 0x ve y başlangıç değerleri bilindiği varsayımı altında

denklem,

1 2

1 2

1 2

0

C C

C C

1

1 1

2 2

1 2 1 2 1 1 1 1 1 1

0 1 1 1 1 0 1 1 0 1

C C

C C

1 21, 1C C bularak denklemin çözümleri

2

2

2 t t

t t

x e e

y e e

elde edilir.

259

Uygulamalar

Lineer diferansiyel denklem sistemlerinin özdeğer ve özvektörler kullanarak elde ettiğiniz çözümü diferansiyel denklemeler dersinde gördüğünüz diğer yöntemlerle de çözerek sonuçları karşılaştırınız.

260

Uygulama Soruları

1-Bir matrisin karakteristik polinomu 31 4x x ise olabilecek minimal polinomlarını

yazınız.

2-

3 0 0

1 3 0

0 0 4

matrisinin minimal polinomunu bulunuz.

3-Fibonacci sayı dizisi{0,1,1,2,3,5,8,11,….} şeklindedir.Aşağıdaki biçimde matrissel ifade edilir.

1

1

1 11 1 1,

1 2 01 0 0

1 1, ,

1 1 0

n

n n

F n F n F

F n F n F

F nv T v v T

F n

Bu dizinin genel terimi olan F n i öz değer ve öz vektörleri kullanarak elde edin.

(İpucu: T matrisini köşegenleştirin)

261


Bu bölümde bir matrisin ve öz vektörlerinin uygulaması olarak bir matrisin kendi

karakteristik denklemini sağladığını ifade eden Cayley-Hamilton teoremi ve uygulamaları ele alındı. Daha sonra özdeğer ve öz vektörlerin kullanılarak diferansiyel denklemelerin çözümlerinin bulunması incelendi.

262

Bölüm Soruları

1.2 5

1 3A

matrisini kök kabul eden polinom aşağıdakilerden hangisidir?

B. 2 11t t

B. 2 11t t

C 2 2 11t t

D.

2 1t t E.

2 11t t

2.

1 4 3

0 3 1

0 2 1

A

matrisini kök kabul eden polinom aşağıdakilerden hangisidir?

A. 2 2 5 1t t t

B 2 2 5 1t t t

C 2 2 5 1t t t

D.

2 2 3 1t t t E.

2 2 5 2t t t

3.

2 1 0 0

0 2 0 0

0 0 1 1

0 0 2 4

A

matrisinin minimal polinomu aşağıdakilerden hangisidir?

2) 3 2A t t

B 23 2t t

C 23 2t t

D.

21 2t t E.

24 2t t

263

4.

3 2 , 0 13

5 4 , 0 22

dxx y x

dt

dyx y y

dt

Diferansiyel denklem sisteminin çözümü aşağıdakilerden hangisidir?

2

2

) 2 4t t

t t

A x e e

y e e

2

2

) 7 6

7 15

t t

t t

B x e e

y e e

2

2

) 2

12

t t

t t

C x e e

y e e

2

2

) 5

4

t t

t t

D x e e

y e e

2

2

) 7

15

t t

t t

E x e e

y e e

5.

5 2 2

2 5 2

2 2 5

A

matrisinin özdeğerleri aşağıdakilerden hangisidir?

A) {3,1,4} B) {1,1,3} C) {3,3,6} D) {3,3,9} E) {2,3,5}

Cevaplar:

1-B, 2-A, 3-C, 4-B, 5-D

264

14. LİNEER DÖNÜŞÜMLER

265


14.1. Lineer Dönüşümün Tanımı

14.2. Lineer Dönüşümün Çekirdeği ve Görüntüsü

14.3. Lineer Dönüşümün Matris Gösterimi

266


1- Bir f: 2 fonksiyonu 2x

x yy

ile tanımlansın.Bu gösterimi matrislerle nasıl

ifade ederiz?

2- Bu dönüşüm lineer midir?

3- 2

?3

f

4- 4 ? ?a

f ise a bb

267



Lineer Dönüşümün Tanımı Lineer Dönüşümün Tanımı kavrayabilmek.


Lineer Dönüşümün Çekirdeği ve Görüntüsü

Lineer Dönüşümün Çekirdeği ve Görüntüsünü bulabilmek


Lineer Dönüşümün Matris

Gösterimi Lineer Dönüşümün Matris Gösterimini yazabilmek


araştırarak

268

Anahtar Kavramlar

Lineer dönüşüm

Lineer dönüşümüm çekirdeği

Lineer operatör

269

Giriş

Kitabın son bölümünde lineer dönüşümler tanıtılır ve bir lineer dönüşümün çekirdeğinin

ve görüntüsünün ne anlama geldiği ve lineer dönüşümün matrissel gösterimi örneklerle

incelenir.

270

14.1.Lineer Dönüşümün Tanımı

Tanım 14.1: V ve W aynı F cismi üzerinde iki vektör uzayı olsun. V vektör uzayından W

vektör uzayına giden bir L fonksiyonu (tasviri) :L V W aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa

lineer dönüşüm veya lineer operatör adını alır.

i. , V için L L L

ii. V ve c F için L c cL

Bu teoremin iki koşulu, , ,V ve c d F için

L c d cL dL tek koşulla ifade edilir.

Örnek 14.1 1 2

2

xX

x

ve 3L x x olsun.

2, ,X Y ve c d F için 3L cX dY cX dY cL X dL Y

olduğundan bir lineer dönüşümdür.

Örnek 14.2 3 2:L dönüşümü 1 2 3 1 2, , ,L x x x L x x ile tanımlansın

. 2, ,X Y ve c d F için,

1 2 3 1 2 1 2 3 1 2, , , , , , ,X x x x L X x x Y y y y L Y y y

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2

1 2 1 2

, ,

,

, ,

L cX dY L cx dy cx dy cx dy

cx dy cx dy

c x x d y y

cL X dL Y

olduğundan lineerdir.

271

Örnek 14.3 1 2

2

xX

x

ve 1

2

xL x

x

olsun.

1 1

2 2

x xL

x x

olur. Acaba lineer dönüşüm mü?

2, ,X Y ve F için,

1 1 1 1

2 2 2 2

1 1

2 2

x y x yL X Y L

x y x y

x y

x y

L X L Y

Lineer dönüşümdür.

Örnek 14.4: 1 2

2

xX

x

ve 1

2 1

xL x

x

olsun.

1 1

2 2 1

x xL

x x

olur. Acaba lineer dönüşüm mü?

2X ve F için,

1 1

2 2

1 1

2 2

1

x xL X L

x x

x xL X L

x x

L X L X

Olduğundan Lineer dönüşüm değildir.

272

Örnek 14.5 3 3:L dönüşümü

1 2 3 1 2 3, , 1,2 ,L x x x x x x

ile tanımlansın .

2,X Y için, 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 3, , , , , , 1,2 ,X x x x L X x x Y y y y L Y y y y

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

, ,

1,2 ,

L X Y L x y x y x y

x y x y x y

1 2 31,2 ,L X x x x , 1 2 31,2 ,L Y y y y

olduğundan

1 1 2 2 3 32,2( ),L X L Y x y x y x y

elde edilir. Bu durumda,

L X Y L X L Y

Olduğundan lineer değil.

Örnek 14.6 2 3:L tanımlı 2

1

1

2

1 2

xx

L xx

x x

fonksiyonu lineer dönüşüm mü?

2, ,X Y ve F için,

2 2

1 1

1 1

2 2

1 1 2 2

2 2

1 1

1 2 1 2

x yx y

L X Y L x yx y

x y x y

x y

x y

x x y y

L X L Y

273

Lineer dönüşümdür.

Teorem 14.1: Eğer ,L V uzayında bir W vektör uzayına giden bir operatör ve 0Vile

0Wbulunduğu uzayların sıfır vektörleri ise,

i. 0 0V WL

ii. , V için L L L

İspat 14.1 :

i. 0V, V nin sıfır vektörü olduğundan 0 0 0V V V dir.L dönüşümü uygulanırsa,

0 0 0 0 0 0V V V V V wL L L L

ii.

( 1)

( 1)

L L L

L L

L L

L L

Tanım 14.2 : V, keyfi bir vektör uzayı olsun. v V için,

I v v

ile tanımlı lineer operatöre birim operatör denir.(Lineerlik şartları sağlar mı? Gösterin.

Örnek 14.7 : , , den , 'yeD C a b C a b tanımlanan türev operatörü,

D f f

lineer mi?

, , ,f g C a b ve için,

D f g f g af g D f D g

274

Olduğundan lineerdir.

14.2.Lineer Dönüşümün Çekirdeği ve Görüntüsü

Tanım 14.3: :L V W bir lineer dönüşüm olsun. ÇekL ile gösterilen V nin,

ker : 0WÇekL L v V L v

Kümesine L nin sıfır uzayı(sıfırlılığı) veya çekirdeği denir.

Tanım 14.4: :L V W bir lineer dönüşüm ve S, V’nin bir alt uzayı olsun. L S ile

gösterilen,

: ,L S w W w L v v S

kümesine S in görüntüsü denir. W nın ,L V L v v V alt kümesine de L nin değerler

kümesi veya görüntü kümesi denir. Bu aşağıdaki Şekil.VII.1 de resmedilmiştir.

Şekil.VII.1.S in görüntüsü

Teorem 14.2: ,V W iki vektör uzayı ve :L V W lineer dönüşüm olsun. Buna göre,

i ÇekL V nin bir alt uzayıdır

ii ,L S W nin bir alt uzayıdır.

İspat: Alt uzay kriterlerini tatbik edelim.

275

1 2 1 2 1 2, ( ) ( ) 0 0 0

.0 0

v v ÇekL L v v L v L v ÇekL

ve v ÇekL L v L v ÇekL

Olduğundan ÇekL V nin bir alt uzayıdır.

Örnek 14.8: 2 2:L bir lineer dönüşüm olsun. 1

0

xL x

lineer dönüşümün

ÇekL sini ve görüntü kümesini bulunuz.

20

:0

ÇekL X L X

1

1 2

2

00,( )

0 0

0:

xL x x x k

ÇekL kk

bulunur. ÇekL nin yalnız bir bağımsız vektörü olduğundan boyutu 1 dir.

Örnek 14.9 1

2 2 2

2

0

: ,L P L at bt c at bt c dt bir lineer dönüşüm olsun.

ÇekL =?

2 0 0rL L at bt c olacak şekilde bir 2

2at bt c P elemanı bulmalıyız.

1 3 2

2 1

0

0

0 | 03 2 3 2

t t a bL at bt c dt a b ct c

Buradan 3 2

a bc bulunur. Buna göre 2

23 2

a bat bt P şeklindeki polinomlar

2P

polinomlar uzayının bir çekirdeğini oluştururlar. Yani,

2 2 1 1: , ,

3 2 3 2

a bÇekL at bt a t b t a b

276

Olur. Burada 2 1

3t

ve 1

2t

lineer bağımsız olduklarından bunlar

2 1 1, ,

3 2t t ÇekL

nin tabanını teşkil ederler ve boyutu 2BoyÇekL dir.

. Örnek 14.10: 3 2:L tanımlı 1

1 2

2

3 2

2

xx x

xLx x

x

lineer dönüşümü ve 1 2, ,S e e ile

gerilen bir alt uzay olsun. ? , ?ÇekL L S

1

1 2

2 1 3 2

3 2

2

0

0

xx x

xL x x x kx x

x

3 :

k

ÇekL k k

k

,

1

1

1

k

: ÇekL nin bir tabanıdır. 1BoyÇekL dir.

2 2

1 0

0 0 0 : ,

0 1

: ,

S

L S

yazılır.

14.3..Lineer Dönüşümün Matris Gösterimi

V ve W , F bölgesi üzerinde ki vektör uzayı olsun. Varsayalım 1 2, ,..., mv v v V nin ve

1 2, ,..., nw w w W nin birer bazları olsun. :L V W lineer dönüşüm olsun. Bu durumda

1 2( ), ( ),..., ( )mL v L v L v ler W içinde vektörlerdir ve bu nedenle W uzayının baz elemanlarının

lineer kombinasyonu cinsinden yazılabilir. Yani,

1 11 1 12 2 1( ) ... n nL v a w a w a w

2 21 1 22 2 2( ) ... n nL v a w a w a w

…………………………………….

277

1 1 2 2( ) ...m m m mn nL v a w a w a w

Yazılabilir. Bu denklem sisteminin katsayılar matrisinin transpozesine ,

11 21 1

12 22 2

,

1 2

...

...

... ... ... ...

...

m

m

v w

n n mn

a a a

a a aL

a a a

1, 1,i ji m j nv ve w

bazlarına göre L lineer dönüşümünün matris gösterimi denir.

Örnek 14.11: 3 3:L ,

x x y z

L y x y z

z z

Lineer dönüşümünün doğal(standart) baza göre matris gösterimini bulunuz.

11 1 0 0 1

0 1 0 0 1 ,

0 0 0

L e L

20 0 1 0 1

1 0 1 0 1 ,

0 0 0

L e L

30 0 0 1 1

0 0 0 1 1 ,

1 1 1

L e L

Yazılır. Katsayılar matrisinin transpozesi yani bu sütunlardan oluşan matris :

1 1 1

1 1 1

0 0 1e

L

L nin doğal tabana göre matris gösterimidir.

278

Teorem 14.3: 1 2, ,... ne e e V nin bir bazı ve L , V uzayında bir lineer dönüşüm operatörü

olsun.Bu durumda herhangi bir v V vektörü için,

.

ee e

L v L v

Yazılır.

Örnek 14.12: 2 1:L P P lineer dönüşümü

L P x P x

ile tanımlansın. 2 , ,1V x x ve ,1W x sırasıyla 2 1P ve P in sıralı tabanları olsun. Buna

göre L ye karşılık gelen matrisi bulun.

2 22 2 0.1 ,

0L x x x

01 0. 1.1 ,

1L x x

01 0 0. 0.1 ,

0L x

bu sütunlardan oluşan matris :

2 0 0

0 1 0wL

lineer dönüşüm matrisi olur. Teoremden yola çıkarak 2p x P için

.w

wwL p x L p x

Yazılarak L p x i wL kullanarak bulabiliriz. Örneğin,

2 105 3 2 10 3

3p x x x L p x p x x

279

Diğer bir yolla wL kullanarak ,

52 0 0 10

. . 30 1 0 3

2w

wL p x L p x

Aynı sonuç bulunur.

Örnek 14.13 3,L uzayında 3 3:L

2

4

3

x y z

L y x y

z x

ile tanımlanan bir lineer operatör olsun.

a)

1 1 1

1 , 1 , 0

1 0 0

bazında L nin matrisini bulun

b) Herhangi bir 3v için .

i i viv v

L v L v eşitliğini doğrulayın.

a)

11 2.1 1 3 1 1 1 3

1 1 4.1 3 3 1 6 1 6 0 6

1 3.1 3 1 0 0 6

L v L

21 2.1 0 2 1 1 1 3

1 1 4.1 3 3 1 6 1 5 0 6 ,

0 3.1 3 1 0 0 5

L v L

31 2.0 0 0 1 1 1 3

0 1 4.0 1 3 1 2 1 1 0 2 ,

0 3.1 3 1 0 0 1

L v L

L nin belirtilen tabana göre matris gösterimi:

280

3 3 3

6 6 2

6 5 1iv

L

olur.

b) Diğer yandan 0

3

2

v

olsun.Bu durumda tabanların lineer toplamı cinsinden yazılımı:

0 1 1 1 2

3 2 1 1 1 3 0 1

2 1 0 0 3vi

v v

Olur .Aynı zamanda

0 2.3 2 8 1 1 1 0

3 0 4.3 12 0. 1 12 1 20 0 12

2 3.0 0 1 0 0 20iv

L v L

Bulunur. Böylece

3 3 3 2 0

. 6 6 2 . 1 12

6 5 1 3 20i iviv v

L v L v

eşitlik doğrulanır.

Örnek 14.14 3,L uzayında 3 2:L

, , 2 ,3L x y z x y y z

ile tanımlanan bir lineer operatör olsun.

a) L nin standart matrisini bulun.

b) Bu matrisi kullanarak 0,1, 1L in değerini elde edin.

a)

281

1

21,0,0

0L v L

2

10,1,0

3L v L

3

00,0,1 ,

1L v L

L nin belirtilen tabana göre matris gösterimi:

2 1 0

0 3 1ivL

b) Böylece 0,1, 1L için :

0 02 1 0 1

0,1, 1 . 1 . 10 3 1 4

1 1iv

L L

Bu cevabı satır formatında da yazabiliriz:

0,1, 1 2.0 1,3.1 ( 1) 1,4L

282

Uygulamalar

1-Matematik de sıkça kullanılan ve lineer dönüşüm veya operatör özelliği olan kavramları ve fonksiyonları araştırınız.

2-İzomorfizm ve homoforfizim kavramlarını araştırın

283

Uygulama Soruları

1-V, sayılar üzerinden n-kare matrislerin bir vektör uzayı ve B de V içindeki herhangi bir matris olsun. A V olmak üzere T A AB BA ile tanımlanan :T V V dönüşümünün bir lineer dönüşümü olup olmadığını kontrol edin.

2- Görüntüsü 1,2,3 (4,5,6)ve vektörleri ile oluşturulan 3 3:L lineer dönüşümünü bulunuz.

3- Çekirdeği 1,2,3,4 (0,1,1,1)ve vektörleri ile oluşturulan 4 3:L lineer dönüşümünü bulunuz.

284


Bu son bölümde lineer dönüşümler tanıtıldı. Diğer taraftan bir lineer dönüşümün

çekirdeğinin ve görüntüsünün ne anlama geldiği ve lineer dönüşümün matrissel gösterimi

incelendi.

285

Bölüm Soruları

1. Aşağıdaki lineer dönüşümlerden hangisi lineerdir?

A. 2 2: : , 2 ,F F x y x y x

B. 2 2 2 2: : , ,F F x y x y

C. 2: : ,1F F x x

D. 2: : , | |F F x y x y

E.Hiçbiri

2. Aşağıdaki lineer dönüşümlerden hangisi lineer değildir?

A. 3 2: : , , 1,F F x y z x y z

B. 3 2: : , , ,F F x y z z x y

C. 2: : 2 ,3F F x x x

D. Hiçbiri

E. 3 2: : , , 3 ,2 F F x y z z x y

3. 3 3: : , , 2 , , 2F F x y z x y y z x z lineer dönüşümün çekirdeğinin bazı


A. 1,0,1 , 0,1, 2 B. 1,0,1 , 0,1, 2

C. 1,0,1 , 0,1,2

D. 1,0,10 , 0,10,2

E. 2,0,1 , 0,1, 2

4.

3 1:L P P lineer dönüşümü

L P x P x

ile tanımlansın. 2 31, , ,V x x x ve 1,W x sırasıyla 3 1P ve P in sıralı tabanları olsun.

Buna göre L ye karşılık gelen matrisi aşağıdakilerden hangisidir?

286

A) 1 0 1 1

0 1 3 1

B) 0 0 2 0

0 0 0 6

C) 1 0 2 0

0 1 0 6

D) 1 0 1 0

1 1 0 6

E) 1 0 2 1

0 1 1 6

5. 3 uzayında doğal tabanlara göre x x

L y y z

z x y z

lineer dönüşümün matrisi


A)

1 0 1

1 1 1

1 1 1

B)

0 1 1

0 1 1

1 1 1

C)

0 0 1

1 1 1

1 1 1

D)

1 0 1

1 1 1

1 1 1

E)

0 0 1

0 1 1

1 1 1

Cevaplar:

1-A,2-A,3-B, 4-B,5-E

287

KAYNAKÇA

[1] Matthews, K.R: “Lineer Algebra”, University Of Queensland (2010)

[2] Seymour Lipschutz,S & Lipson,M.: “ Schaum's Outline of Linear Algebra, Schaum's

Outline Series, 4th Edition, (2008)

[3] Çallıalp, F. and Kuruoğlu, N.: “Lineer Cebir”,Ondokuz Mayıs Üniv., (1996)

[4] Çallıalp, F.: “Lineer Cebir Problemleri”,Birsen Yayınevi, 6.baskı/34, (2012)

[5] Altan, M.E.: “Lineer Cebir”,Mimar Sinan Üniv., (1995)

[6] Çetin, N. and Orhun, N.: “Lineer Cebir ”, Anadolu Üniv. (1998)

[7] Ergezen, F.: “Lineer Cebir Notları”, İTÜ, (2009).

[8] Pao,Y.C.: “Engineering Analysis”, CRC Press LLC, (2000).

[9] Leon, S.L.: “ Linear Algebra With Application”, Sixth edition.,(1999)

[10] Sabuncuoğlu,A.: “Lineer Cebir”,Nobel Yayın Dağıtım, (2010)

[11] Ağargün, A.G, Özdağ, H.: “Lineer Cebir ve Çözümlü Problemleri”,

Birsen Yayınevi, (2011)

lİneer cebİr - İstanbul Üniversitesiauzefkitap.istanbul.edu.tr/kitap/endustrimuhlt_ue/...tanım...

Documents