1

5(*8/$5,=$&,Ï1'(,0È*(1(60(',$17(

(&8$&,21(6(1'(5,9$'$63$5&,$/(63'(

*Definición de imagen ruidosa*Regularización de una imagen ruidosa

-Métrica en el espacio de imágenes-Gradiente generalizado-Digitalización

*Regularización mediante difusión:-Lineal (Tihonov)-NO lineal isotrópica (Perona-Malik)-Realzando bordes (EED)-Realzando coherencia (CED)-Combinada

*Esquemas numéricos-Doble discretización-Esquemas explícitos: AOS-Esquemas implícitos: Crack-Nicholson

*Aplicación al caso de imágenes en color-Difusión monocanal-Doble difusión

1 2

1

(0, ) (0, ) ... (0, )

( ) :

:

( , ( ))

P

P Q

P P

D D D

, [

[ [ , [

+

Ω = × × ×

Ω ⊂ →Σ Ω ⊂ →

→

&

& & &

'HILQLFLyQGHLPDJHQUXLGRVD

P Q ,PDJHQHQHVFDODGHJULVHV P Q LPDJHQ05,

Rectángulo

Función acotada de 2 [ ( )]Q/ Ω

Hipersuperficie asociada

5HJXODUL]DFLyQGHXQDLPDJHQUXLGRVD

( ) ( ) ( ) ( ) , [ , [ , [ [υℜ

→ = −& & & &

1[ ( )]min ( )

Q

, +

, ( ,∈ Ω

=

2( )= ( )

W

( , G, [ G[ 6G[

Ω Ω

=∫ ∫& & &

1[ ( )]Q+ Ω

P Q

Hipótesis de ruido aditivo de alta frecuenciay baja amplitud

Def. de imagen regularizada, obtenida minimizando un “gradiente”

Métrica “global” definida para funcionesacotadas con variación acotada de

Métrica “local”Tensor de estructura

*UDGLHQWHGHXQDLPDJHQHQHVFDODGHJULVHVQ

2

22

2

( ) ( )

2, =

= ,0

= ,

L L M

L

W

[ L L [ [ M

P

[

L

[ [ \

[ \ \

G, , G[ , G[ G[ , , G[

,, [ [ 5

[

, , ,P 6 , , 6

, , ,

,

, ,V

, ,

µ±

⊥

±

= ∇ = =

∂= ∈∂

= = ∇ ⊗ ∇ ∈

∇

∇ ∇

∇ ∇

& &

& &

& &

&

& & &

& &

Componentes del gradiente

Tensor de estructuraSemidefinido positivo

*UDGLHQWHGHXQDLPDJHQHQFRORUQ

( )

31 2

1

1 2 3 2

3

2 2 21 2 3 1 1 2 2

( ) , , ( )

( )

= ( ) , ( ) , ( ) ( ) ,

( )

2,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

L M L

M

L M L L L M

M

W W

L [ [ M [

L L L

[

W

LM [ [ [ [ [ [ P

[

[ [ [ [ \ [

,, ,G, G[ , , G[ , [ [

[ [ [

,

6 , , , , , , 6 6

,

P

, , , , , , ,6

∂∂ ∂= = ∂ ∂ ∂ = ∈

=

+ + +=

& &

3 3

2 2 21 1 2 2 3 3 1 2 3

11 22

12 211 22 12

22 11

) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= 22

, ( - ) 4

\ [ \

[ \ [ \ [ \ \ \ \

, ,

, , , , , , , , ,

V V

V

V V V V

V V

µ±

±

+ + + + +

+ ± ∆

= ∆ = + − ± ∆

&Tensor de estructuraSemidefinido positivo

,∇&

1

Th. (min-max, Rayleigh-Ritz)

( ) á

( ) max/min ( )

W

[

6HD I [ [ 6[ XQD IRUPD FXDGU WLFD GHILQLGD SRVLWLYD

I V I [ 6V Vµ± ± ± ±=

== ⇔ =

&

& & &

& & & &

2 var

W

/D LDFLRQ G, G[ 6G[ HV WLPD HQ ODV GLUHFFLRQHV

GH ORV DXWRYHFWRUHV GH 6 DVRFLDGRV D ORV DXWRYDORUHV WLPRV

= & & Ùp

Ùp

&XUYDVGHQLYHO\Pi[LPDYDULDFLyQ

2

'LJLWDOL]DFLyQGHODLPDJHQ

1 2( ) partición en subrectángulos

(pixels, voxels)

( ) ( ) multiarray definido a partir de ( ) LM LM

3 P P N

, [ , , [ 3

Ω → Ω × =

→ = Ω& & y ( ), [

&

’ ’ ’, ’’ ’

Extensión de con ceros, ,..etc( * ) S S

LM UV U V U U V V

U S V S

, PLUURULQJ, 0 0 , − −=− =−

= ∑ ∑

0 0 0 0 1 0

0 1 1 derivada respecto de x 1 4 1 laplaciano

0 0 0 0 1 0

0 1 2 1 2 1

1 0 1 derivada gaussiana 0 0 0

2 1 0 1 2 1

0 0

0 0

− = − = − − −

− − − = − = − −

derivada respecto de x (Gradiente de Sobel)

2 1( ) * convolución con una máscara L L L

[ LM [ [ S, [ , 0 0 0 +→ ∈&

'HULYDGDGLJLWDO

5HJXODUL]DFLyQGHXQDLPDJHQUXLGRVD

1

2

( )

( ,0) ( )n=2 o 3, m=1, min ( )

( , ) ( , ), +W

, [ , [, [ G

, [ W , [ W∈ ΩΩ

=∇ Ω ⇔

∂ = ∇ ⋅ ∇∫

& && & & && &

1 ( )min ( ) ( , ( ), ( )) 0

L

L

[

, +

L [

G( , [ , [ , [ G (

, G[ ,

φ φφ∈ Ω

Ω

∂ ∂= Ω ⇒ ∇ = − =∂ ∂∫

&

& & &

-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.44

0.45

0.46

0.47

0.48

0.49

0.5

(0, ) ( )

( , )

0HWRGR GHO JUDGLHQWH GHVFHQGLHQWH

FRQ VROXFLRQ LQLFLDO , [ , [

, W [(

W

=∂ = −∇

∂

& &

&&

(FXDFLyQGHGLIXVLyQOLQHDO

7LNKRQRY

Euler-Lagrange

2

2 2

( , )min 2( , )[ \ 5

[ \ ( [ \∈

− ⇒ ∇ = −&

( )

2

412 / 22

2

/ 2 22

1( , ) ( ) * ( ) ( ) ....

(2 )

1( ) exp

22

\

W

PPW

Q

, [ W , [ * [ , [ \ H G\ G\

[* [σ

πσ

σπσ

−

Ω

= = −

= −

∫∫&

& & & & &

&&

“La regularización mediante difusión lineal (ISOTRÓPICA) equivale a multiplicarla transformada de Fourier por otro núcleo gaussiano”

(Koenderink)

6ROXFLRQHVDQDOtWLFDV

( ,0) ( )

’( ( , ) )1( , ) ( , )

2 ( , )W

, [ , [

, [ W, [ W , [ W

, [ W

φ

=

∇∂ = ∇ ⋅ ∇ ∇

& &

&& && &

&

³0HQRUGLIXVLyQGRQGHHOJUDGLHQWHHVPD\RUHQORVERUGHV´

³0D\RUGLIXVLyQGRQGHHOJUDGLHQWHHVPHQRU´

'LIXVLyQ12OLQHDOLVRWUySLFD

funciones de difusión

2 2

1

( ) ( )

[ 5

, ,[ \

5, ,, ,

\ [[ \

η=∂ ∂

∂ ∂ = ∂ ∂∂ ∂ −+ ∂ ∂∂ ∂

&&

( )( , ) ( , ) ( , ) ( , ) W GLDJ, W G , W G , W ' , Wη ηη ξ ξξη η η η∂ = ∂ + ∂ = ∇ ⋅ ∇

& &

& & & &

'HVDFRSORGHODVHFXDFLRQHV

’( ( , ) )1( , ) ( , )

2 ( , )W

, [ W, [ W , [ W

, [ W

φ ∇∂ = ∇ ⋅ ∇ ∇

&

& &

& &

&

3

2 2

2 2

2( , ) ( , )

2

’( ( , ) )’’( ( , ) ),

( , )

( , ), 1 2

, W , W

. .

(1 *(1(5$/

, [ WG , [ W G

, [ W

3(521$ 0$/,.

, WG H G H

.

η ξ

η η

η ξ

φφ

η∇ ∇− −

∇= ∇ =

∇

−

∇= = −

& &

&

&

&

&

9HQWDMDVGHODGLIXVLyQLVRWUySLFD

-Problema bien planteado (well posed) &DWWp/LRQV0RUHO

-Técnica para probar existencia, unicidad y regularidad de las soluciones,basada en el th. de Stampachia ±$QiOLVLV IXQFLRQDOGH%Up]LV

-Dependencia continua de la solución respecto de la condición inicial basada enlema de Gronwall-Bellman±$QiOLVLV IXQFLRQDOGH%Up]LV

-Convergencia de distintos algoritmos numéricos explícitos

'HVYHQWDMDVGHODGLIXVLyQLVRWUySLFD

-En algunos puntos el coeficiente se puede hacer negativo y entonces se una difusión inversa que refuerza el ruido.

Fξ

( , ) * ( , )

-Cotet-Germain

problema bien planteado

( , ) ( * )( , )

-Weickert

, [ W , , * [ W

, [ W , , * [ W

σ σ

σ σ

∇ → ∇ = ∇⇔ ∇ → ∇ = ∇

& & &

& &

& & &

& &

'LIXVLyQ12OLQHDODQLVRWUySLFD

( )( ,0) ( )

( , ) ( , )W

, [ , [

, [ W ' , [ W

=

∂ = ∇ ⋅ ∇

& &

& && &

: ( , )

( ( ))

P P P

' /

[ ' 6 [

Ω ⊂ →

→

& &

11

10 0

( ) ( )

( ) ( ) tensor de estructura suavizado

, eigensistema ordenado de

: lim lim

P

P

L L L L LL

L

P

6 [ 6 [

6 , , [

V V V

, ,

2%6 V V

, ,

σ σ

σ σ

σ σ

σ

µ µ=

=

⊥

→ →

⇒ =

∇ ⊗ ∇

⊗

∇ ∇= =∇ ∇

=

∑& &

& &

&

& & &

& &

& &

& &

2

2

2

2

1

1,..., 1

5

P

L L L

L

,

.

L

,

.

P

' V V

H L P

,H

σ

σσ

λ

λ

λ

=

∇−

∇−

= ⊗

= = −

∇=

∑ & &

'LIXVLyQPDQWHQLHQGRORVERUGHV

(JGHV (QKDQFHG 'LIXVLRQ

Según el ruido

'LIXVLyQPDQWHQLHQGRORVERUGHV

(JGHV (QKDQFHG 'LIXVLRQ

El índice de coherencia es un buen detector de bordes pero tanto el ruido como el suavizado tienden a disminuirla.

4

Ejemplo de detección de bordes calculando la coherencia de la luminosidad

, ,11

10 0

,

( ) ( )

( )* ( ) tensor de estructura doblemente suavizado

, eigensistema de

: lim lim

P

P

L L L L LL

L

P

6 [ 6 [

6 , , * [

V V V

, ,

2%6 V V

, ,

σ σ ρ

σ ρ σ ρ

σ σρ ρ

σ σ

σ ρ

µ µ=

=

⊥

→ →

⇒ =

∇ ⊗ ∇

⊗

∇ ∇= =∇ ∇

=

∑& &

& &

&

& & &

& &

& &

& &

1

1,..., 1

si coherencia=0

(1 )

P

L L L

L

L

P.

' V V

L P

H

λ

λ αα

λα α

=

−

= ⊗

= = −

=+ −

∑ & &

21/( ) si coherencia 0

( 0.001, 0.01 )

P

. YDORUHV ILMRV

µ µ

α

−

≠= =

'LIXVLyQPDQWHQLHQGRODFRKHUHQFLD

&RKHUHQFH (QKDQFHG 'LIXVLRQ

Según la orientación

11 12 11 22,

12 22

12 211 22 12

22 11

1 2 11 22 1 2 121 22

1 1 2 12 1 2 111 2

2

, = 2

2, ( - ) 4

1 ( )( ) ( )

2

( ) 1 ( )(

2

L L L

L

P

V VV V

6

V V

V

V V V V

V V

V V V

' V V

V V

σ ρ µ

λ λ λ λλ λλ

λ λ λ λλ λ

±

±

=

=

+ ± ∆=

= ∆ = + − ± ∆

+ − − + + ∆ ∆ = ⊗ =− + −+ −

∆

∑

&

& &

22 )V

∆

&iOFXORGHOWHQVRUGHGLIXVLyQ

&RKHUHQFH (QKDQFHG 'LIXVLRQ

&iOFXORGHOWHQVRUGHGLIXVLyQ

&RKHUHQFH (QKDQFHG 'LIXVLRQ

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

11 12 13

, 12 22 23

13 23 33

2 2 21 1 2 1 3 1

221 2 3

22 2

2 1 2 3

3

1 2 1 2 12 cos ; 2 cos ; 2 cos

3 3 3 3 3 3 3 3

1; ; det

21 1

3 ; det2 3

P

V V V

6 V V V

V V V

- - -

, , ,

, WU 6 , WU 6 WU 6 , 6

- WU 6 WU 6 , , -

σ ρ

π πµ θ µ θ µ θ

=

=

= + + = + − = +

= = − =

= − = + = ( ) ( )

( )

31 1 2 3

33/ 22

12 9 27

27

3 3cos 3 0

2 3

6 , , , ,

-

-

πθ θ

= + +

= ≤ ≤

5

3

3 3 3 3

2 2 2 21 3 3 3 3 33 11 22

23 3 33 11 22

2 2 2 21 3 3 3 3 33 11 22

( )( ) si , 1,2

( ) ( ) ( ( ) )

( )( ( ) ) si

( ) ( ) ( ( ) )

LM

L

NN L L N M M N

N L M N M M N N N

NN L L N N N

N L M N M M N N N

'

'

6 V 6 VL M

6 V 6 V 6 V V

6 V 6 V VL

6 V 6 V 6 V V

λ µ µµ µ µ µ

λ µ µ µµ µ µ µ

=

=

=

=

+ +=

+ + + + + + −

+ + + −+ + + + + + −

∑

∑

33

2 233 11 22

2 2 2 21 3 3 3 3 33 11 22

,

1,2

( ( ) )

( ) ( ) ( ( ) )

adjunto ij del tensor

NN N N

N L M N M M N N N

LM

'6 V V

6 V 6 V 6 V V

6 6σ ρ

λ µ µµ µ µ µ=

=

=

+ + −+ + + + + + −∑

([SUHVLyQVLPEyOLFDPHQWHFHUUDGD&ORVHG )RUP

SDUDHOWHQVRUGHGLIXVLyQ&(''

1

P

L L L

L

' V Vλ=

= ⊗∑ & &

'LIXVLyQFRPELQDGD(('\&('

$SOLFDFLyQDODLPDJHQ'GHXQFXHUSRELROyJLFR

REWHQLGDSRUPLFURVFRStD FRQIRFDO

Reconstrucción 3D

Reconstrucción 3D usando:-Difusión combinada EED-CED-Closed Form para el tensor de estructura

$SOLFDFLyQDODLPDJHQ'HQFRORU

GHXQFXHUSRELROyJLFR

6

( )

( )

, 1

1

, 1

1

, 1

Discretizaci n temporal(Euler expl cito -forward- )

Discretizaci n espacial (Digitalizaci n)

( + )*

U V

U V

P

W [ UV [

U V

N N P

N

[ UV [

U V

P

N N N N

LM UV LM LM

U V

, ' ,

, ,' ,

W

, , W 0 , $,

=

+

=

+

=

∂ = ∂ ∂

− = ∂ ∂∆

= ∆ =

∑

∑

∑

Ù Í

Ù Ù

(VTXHPDVQXPpULFRV

Operador de transición

1, 1,1, 1,

1, 1, 1, 1,

* , o 2

1 1* ( ) ( ( ) ( )) ( )( ) ( )( )

2 2

* ( ) (

L M L MF

[ [ LM L M [ [ LM L M [ [

N N N N

[ [ [ [ [ [ LM L M L M LM L M LM LM L M

F

[ \ [

D E

'

E F

, ,

, , , , , , , , , ,

D , D , D , D D , , D D , ,

E , E

+ −− +− +

− + + −+ + − −

=

−

∂ ∂ = − ∂ ∂ = − ∂ ∂ =

∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = + − − + −

∂ ∂ ∂ ∂

, 1 1, 1 1, 1 1, 1, 1 1, 1

11, , 1 1, 1 , 1 , 1

, 1

1) ( ) ( )

4

1 1( ) ( ) ....... ( + )*

4 2

F N N N N

[ L M L M L M L M L M L M

PN N N N N N

LM LM L M L M L M L M LM L M UV LM

U V

, E , , E , ,

, , W E E , F F , , W 0 ,

+ + + + − − − + − −

+− + − + + +

=

= − − −

= + ∆ − + + + + = ∆ ∑

(VTXHPDVQXPpULFRV'LVFUHWL]DFLyQ HVWiQGDU

(VTXHPDVQXPpULFRV'LVFUHWL]DFLyQ HVWiQGDU

Máscara stándar

Otras máscaras??

3UREOHPD Cuando el incremento de tiempo es pequeño el algoritmo anteriorpierde estabilidad (la convergencia se mantiene).

6ROXFLyQ Modificar el algoritmo suponiendo la descomposición del operadorde transición (AOS).

( )

1

, 1

11

1 , 1

(I+ )*

1I (I+ )*

P

N . N N

LM UV LM LM

U V

P P

N . . N

LM OO UV LM

O U V

U V

, W 0 , $,

, P W 0 W 0 ,P

+

=

−+

= =≠

= ∆ =

= − ∆ ∆

∑

∑ ∑

3UREOHPD Cuando el incremento de tiempo es pequeño el algoritmo anteriorpierde estabilidad (la convergencia se mantiene).

6ROXFLyQRecurrir a algoritmos implícitos

( ) ( )1

, 1 , 1

Discretizaci n temporal

(Euler implicito -backward-, Crank-Nicholson,.. 0)

(1 ) U V U V

N N P P

N N

[ UV [ [ UV [

U V U V

, ,' , ' ,

W

α

α

α α+

+

= =

≠− = − ∂ ∂ + ∂ ∂

∆ ∑ ∑

Ù

Detectores de bordes: gradiente, coherencia, laplaciano,..

-10 -5 5 10

1.5

2

2.5

3

-10 -5 5 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-10 -5 5 10

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

( ) tanh( ) 2, [ [= + 2( ) sech ( ), [ [∇ = 2( ) 2sech ( ) tanh( ), [ [ [∆ = −

( )( , ) ( , )W, [ W ' , [ W∂ = ∇ ⋅ ∇

& &

& &

23 ( )W, WU ' ,∂ = ∇

&

( ) ( ) ( )2

22 2

( )

2 ( ) 2tr( ) tr( )

' 6 , ,

' , , , , , ,

, , , , , ' , ' ,

= = ∇ ⊗ ∇

∇ ⋅ ∇ = ∇ ⋅ ∇ ⊗ ∇ ∇ = ∇ ⋅ ∇ ∇ =

= ∇ ∇ ∇ + ∇ ∆ = ∇ + ∆

& &

& & & & & & & & &

& & & & &

7

( )( , ) ( , )W L L, [ W ' , [ W∂ = ∇ ⋅ ∇

& &

& &

( )( )2

1

Q

LM

W L LM L

M

, WUD]D ' 4 ,δ=

∂ = + ∇∑&

( ) ( )( )

2 2 21 2 3 1 1 2 2 3 3

2 2 21 1 2 2 3 3 1 2 3

2

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

[ [ [ [ \ [ \ [ \

[ \ [ \ [ \ \ \ \

Q

LM

L LM L

M

, , , , , , , , ,' 6

, , , , , , , , ,

' , WUD]D ' 4 ,δ=

+ + + += = + + + +

∇ ⋅ ∇ = + ∇∑

& & &

Detectores de bordes: gradiente, coherencia, laplaciano,..(VSDFLRGHFRORU

Matiz

Briillo

(VSDFLRGHFRORU

2 3( ) :

x ( (x), (x), (x))

, [

5 * %

Ω ⊂ →→

&

& & & &

(x) .49 .31 .2 (x)

(x) .17697 .8124 .01063 (x)

(x) .0 .01 .99 (x)

4 (x) 9 (x)(x) (x)

(x) 15 (x) 3 (x) (x) 15 (x) 3 (x)

.1978 1

; 5

< *

= %

; <X Y

; < = ; < =

X

=

= =+ + + +

=

& &

& &

& &

& &

& &

& & & & & &

2 2

3

.4683

(x)(x) arctan

(x)

(x) ( (x) ) ( (x) )

116 (x) 16 (x) .008856(x)

903.3 (x) (x) .008856

1

1

1

1 1

Y

Y Y+

X X

6 X X Y Y

< <9

< <

=

−= −

= − + −

− >=

≤

&

&

&

& & &

& &

&

& &

2 3( ) :

x ( (x), (x), (x))

, [

+ 6 9

Ω ⊂ →→

&

& & & &

'LIXVLRQ HVSDFLRGHFRORU

2

(x)

( ) :

x ( (x), (x) )L+

, [

9 6 H

Ω ⊂ → ×→

&

&

& & &

1) Propiedades geométricas dependen de la luminancia

( )( )W9 9 9φ∂ = ∇ ⋅ ∇ ∇

& &

2) El nivel de difusión depende de la geometría local de la luminancia

( )( )W. 9 .φ∂ = ∇ ⋅ ∇ ∇

& &

(x )(x)= (x) CrominanciaL+. 6 H

&

& &