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MAT 001 2o¯ Sem. 2016 IMC–UNIFEI

Lista 3: Derivadas

1. São dados os gráficos das funções posições de dois corredores,  A  e  B, que correm 100metros rasos e terminam empatados.

a) Descreva e compare como os corredores correram a prova.

b) Em que instante a distância entre os corredores é maior?

c) Em que instante eles têm a mesma velocidade?

2. Se a reta tangente a  y  =  f (x) em (4, 3) passar pelo ponto (0, 2), encontre f (4) e f 

(4).

3. Se g(x) = x4 − 2, calcule g (1) e use o valor encontrado para determinar uma equaçãopara a reta que tangencia a curva  y =  g(x) em (1,−1).

4. Determine se existe ou não f (0) sendo  f (x) =

x

2 sen

1

x

  se  x = 0

0 se  x  = 0

5. A figura abaixo mostra os gráficos de três funções. Uma é a função da posição de umcarro, outra é a velocidade do carro e outra é a sua aceleração. Identifique cada curvae explique suas escolhas.

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6. Determine as equações das retas que são tangentes à curva   y   = 1 + x3 e que sãoparalelas à reta 12x − y = 1.

7. Encontre o valor de  c  tal que a reta  y  =   32

x + 6 seja tangente à curva  y  =  c√ 

x.

8. Derive as funções abaixo:

a)   f (x) =√ 

xex

b)   v(x) = −12/x5

c)   h(x) =

√ x +

  13√ 

x

2

d)   (x) =  x3

1 − x2

e)   p(x) = (1 − ex)(x4 − 2x3 + 1)

f)   f (x) = x5 − 2x3 + 8x2 − 7x + 3 + 2 tg(x) − 3 sec(x)

g)   g(x) =  cos x

1 − sen2(3x)

h)   s(x) = cos( 

sen(tg(πx)))

i)   y(x) =√ 

1 + 2e−3x2

 j)   u(x) = (x + (x + sen2 x)3)4

k)   h(x) = ln(x +√ 

x2 − 1)

l)   f (x) = ln

 a2 − x2a2 + x2

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9. Seja  g(x) =

2x   se  x ≤ 02x − x2 se 0 < x  1

2  b)  c ≤  1

2.

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15. Seja  P   um ponto sobre a curva  xy   =  c, onde  c   é constante. Considere  r  a reta quetangencia a curva em  P .

a) Mostre que o ponto médio do segmento de reta cortado da reta   r   pelos eixos

coordenados é  P .b) Mostre que o triângulo formado por   r   e pelos eixos coordenados sempre têm a

mesma área, não importa onde  P  esteja localizado sobre a curva.

16. Um analgésico oral é administrado a um paciente.   t  horas depois, a concentração domedicamento no sangue do paciente dada por

C (t) =  2t

3t2 + 16.

a) Qual é a taxa de variação da concentração do medicamento no sangue do pacientet horas após a administração?

b) Em que instante a concentração do medicamento começa a diminuir?

17. Após as primeiras  t  horas de uma viagem de 8 horas, um carro percorreu

D(t) = 64t + 10t2

3  − 2t

3

9  km.

a) Forneça uma expressão para a aceleração do carro em função do tempo.

b) A que taxa a velocidade do carro está variando em relação ao tempo após 6 horasde viagem? A velocidade está aumentando ou diminuindo neste instante?

c) Qual é a variação de velocidade do carro durante a sétima hora?

18. Um objeto de massa   m   é arrastado ao longo de um plano horizontal por uma forçaagindo ao longo de uma corda atada ao objeto. Se a corda faz um ângulo  θ   com oplano, então a intensidade da força é

F   =  µmg

µ sen θ + cos θ,

onde  µ   é o coeficiente de atrito e  g   é a aceleração da gravidade.

a) Encontre a taxa de variação de  F  em relação a  θ .

b) Quando esta taxa de variação é igual a zero?

19. Calcule os limites:

a) limx→0

sen3x

5x3 − 4x   b) limθ→0cos θ − 1

sen θ  c) lim

θ→0

sen θ

θ + tg  θ  d) lim

x→π/4

1 − tg xsen x − cos x

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20. Se  F (x) =  f (xf (xf (x))), onde  f (1) = 2,  f (2) = 3,  f (1) = 4,  f (2) = 5 e  f (3) = 6,encontre  F (1).

21. Use derivação impĺıcita para encontrar uma equação da reta tangente à curva

x2 + 2xy − y2 + x = 2no ponto (1, 2).

22. Encontre todos os pontos sobre a curva x2y2+xy = 2 onde a inclinação da reta tangenteé −1.

23. Encontre as equações de ambas as retas tangentes para a elipse   x2 + 4y2 = 36 quepassem pelo ponto (12, 3).

24. A figura abaixo mostra uma lâmpada localizada três unidades à direita do eixo   y   euma sombra originada pela região eĺıptica  x2 + 4y2 ≤ 5. Se o ponto (−5, 0) estiver naborda da sombra, qual a altura da lâmpada acima do eixo?

25. A figura mostra um ćırculo de raio 1 inscrito na parábola  y  =  x2. Encontre o centrodo ćırculo.

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26. Um carro viaja à noite em uma estrada com formato de uma parábola com seu vérticena origem (veja a figura). O carro começa em um ponto a 100 m a oeste e 100 mao norte da origem e viaja na direção leste. A 100 m a leste e a 50 m ao norte daorigem existe uma estátua. Em que ponto da estrada os faróis do carro vão iluminar

a estátua?

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