lista series convergentes
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UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARAN - UTFPR
Campus Londrina
1
Disciplina: Clculo Diferencial e Integral III
1 LISTA: SEQUNCIAS E SRIES CONVERGENTES E DIVERGENTES
1. Ache os quatro primeiros termos da sequncia dada e lim nn
a
, se existir.
a) 3 2
n
n
b) 1 0,1 n
2. Determine se a sequncia converge ou diverge; se convergir, ache o limite.
a) 5
66
n
b) arctg n
c) 1.000 n d) ln
1n n
n
e) 4
2
4 1
2 1
n
n
f)
4
ne
n
g) 1
1
n
n
h) 2 2
2 1 2 1
n n
n n
Resposta: a) C; 0 b) C; 2
c) D d) C;0
e)D f) D g) C; e h) C; 1
2
3. Determine se a sequncia dada crescente, decrescente ou monotnica. A
sequncia limitada?
a) 1
2 3na
n
b) cos
2n
na
c) 2 1
n
na
n
Resposta: a) decrescendo; sim b) No monotnica; sim c) decrescendo; sim
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2
Srie telescpica , srie geomtrica e teste do n-simo termo
4. Dada a srie infinita, obtenha uma frmula para nS em termos de n . Determine
tambm se a srie infinita convergente ou divergente; se for convergente,
encontre a sua soma.
a) 1
1
2 1 2 1n n n
b) 1
5
3 1 3 2n n n
c)
1
ln1n
n
n
Resposta:
a) 1
;2 1 2
n
nS
n
b)
5 5;
3 1 3n
nS
n
c) ln 1 ; divergentenS n
5. Determine se a srie converge ou diverge. Se for convergente, obtenha a sua
soma.
a) 1
2
3
n
n
b) 1
1ln
n n
c) 1
n
n
e
d) 1
10
3nn
e)
1
1
3
4
n
nn
f)
1
1
2n n n
g) 1
2 0,1 0,2n n
n
h) 2
1 1n
n
n
i)
1
3 2
6
n n
nn
j) 2
1
1n
n e
k) 1
0
4
5
n
nn
l)
2
1
1
2n
n
n n
m) 2
1
2
4 3n n n
n)
1
ln2 5n
n
n
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3
Resposta:
a) 2 b) D c) 1
1e d) 5
e) 1
7 f)
3
4 g)
17
36 h) D
i) 3
2
6. Seja 2
3 1n
na
n
.
a) Determine se na convergente.
b) Determine se na convergente.
Resposta: a) C b) D
Teste da integral
7. Verifique as condies do teste da integral e determine se a srie converge ou
diverge.
a) 1
n
n
ne
b) 1
1
lnn n n
c) 32
ln
n
n
n
d) 1
21
n
n
e
n
Resposta:
a) C b) D c) C
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4
Teste da comparao e teste da comparao no limite
8. Determine se a srie converge ou diverge.
a) 2
1
1
1n n n
b)
1
5
2 3nn
c) 2
1
1
n
n
n
d) 1
3
2nn n
e) 1
1
1 2n n n n
f)
1
3 cos
3nn
n
g) 5
1 4n
n
n
h)
2
2 61
1
1n
n n
n n
Resposta:
a) C b) C c) D d) C e) C f) C g) C h) D
Sries alternadas
9. Determine se a srie converge ou diverge.
a)
1
1
1n
n n
b)
1
21
4 1
n
n
n
n
c)
1
21
1
4 1
n
n n
d) 1
1
14
n
n
n
n
e) 1
1ln
n
n
n
n
f) 1
ln1
n
n
n
n
Resposta:
a) C b) D c) C d) D e) C
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5
Convergncia Absoluta, teste da razo e teste da raiz
10.Determine se a srie absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
a) 1
2
3
n
n
b)
1
1
21
!
nn
n n
c) 2
1 !n
n
n
d) 11
!1
2
n
nn
n
e) 31
1 2sen
nn
n
f)
1
22
11
ln
n
n n n
g) 1n
sen n
n
h) 2 ln
nn
n
n
i) 1 !
n
n
n
n
j)
1
1
1n
n n n
k)
3
1
3n
n n
l)
1
1
5
n
n n
m) 1
15
n
n
n
n
n) 1
1
2 !n n
o)
11
3
4
n
nn
n
p)
1
3 41
11
1
n
n n
Resposta:
a) AC b) AC c) AC d) D
e) AC f) AC g) AC h) AC
i) D j) AC k) D l) CC
m) AC n) AC o) AC p) CC
11.Determine se a srie converge ou diverge. Se convergir, ache a sua soma.
a)
12
2 1
n nn
n b)
12
1
n nn
n
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6
c)
12 239
1
n nn d)
1 1ln
n n
n
e)
1
145
n
nn f)
1
11
n
n
g)
1
132n
nn h) 1
2
2 5 2 3n n n
i) 2
1
1
4 1n n
j)
1
3 2
6
n n
nn
Resposta: d) D f) D g) D h) C; 1
5
i) C; 1
2 j) C;
3
2
12.Deixa-se cair uma bola de borracha de uma altura de 10 metros. A bola repica aproximadamente metade da distncia aps cada queda. Use uma srie geomtrica
para aproximar o percurso total feito pela bola at o repouso completo.
Resposta: 30m
13.Mostre que a funo f determinada pelo n-simo termo da srie verifica a hiptese
do teste da integral. Use o teste da integral para determinar se a srie converge ou diverge.
a)
1
2 3
n
nen b)
3
ln
n n
n
Resposta: a) C b) D
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7
14.Se a srie de termos positivos, determine se converge ou diverge; se a srie
contm termos negativos, determine se absolutamente convergente,
condicionalmente convergente ou divergente.
a)
1 3 21
1
n nnn b)
1ne
n
n
e
c)
1
1
3
2
n
n
d)
1
1
11
n
n
n
n
e)
11
12
5
3
nn
n
n f)
12
2
nn
n
n
n
g)
1 1ln
!
n n
n h)
1
2
!12n
n
n
e
i)
1
12 29n
nn
j)
1
ln1
n
n
n
n
k) 1
11
n
nn n
l) 21
1 cos
n
n
n
Resposta: a) C b) D c) AC d)CC e)D f)C
g)D h) C i) AC j) CC k) D l) C
Srie de Potncias
15.Ache o intervalo de convergncia da srie.
a) nn
n
nx
n 1
41
2
0
b) nn
nx
n4
10
1
0
c)
0 3
1
n
n
nx
n d)
n
n
xn
n
22 1
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8
e) nn
nx
n10
2
1
1
f) nn
nn
xn
n3
11
1
g) 1
1
11
n n
n
xn
h)
2
0
2
2 !
nn
n
xn
i) 1
11 2 1
6
n n
nn
xn
Resposta: b) 6,14 c) 3,3 d) 1,1
e) 12, 8 f) converge s se 3x g) 1,1 h) ,
i) 5 7
,2 2
16.Desenvolva f x em srie de potncias.
a) 1
1 3f x
x
b)
1
2 7f x
x
c) 3xf x xe d) 3 xf x x e
e) 2 2ln 1 , 1f x x x x f) , 1f x arctg x x
Resposta: a) 0
13 ,
3
n n
n
x x
b) 0
1 7 21 ,
2 2 7
nn n
n
x x
c) 1
0
3
!
nn
n
xn
d) 30
11
!
n n
n
xn
e) 2 40
11
1
n n
n
xn
f) 2 1 / 20
11
2 1
n n
n
xn
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9
17.Ache a srie de Maclaurin para xf e indique o raio de convergncia.
a) 2cos xxf d) xxexf 2 b) xsenxxf 2 e) xxf 2ln c) xsenxxf cos f) xxf 2cos
Resposta:
c)
22 121
2 1 !
nn nx
n
f) (Use a frmula do ngulo metade)
2 12
1
21 1
2 !
nn n
n
xn
18.Ache uma srie de Taylor para xf em c .
a) 3
;cos
cxxf c) 4
;
csenxxf
b) 2;1
cx
xf d) 3; cexf x
Resposta:
b) 10
11 2
2
n n
nn
x
c)
2 1 2
0 0
1 11 1
4 42 2 1 ! 2 2 !
n nn n
n n
x xn n
19. (a) Desenvolva f x em srie de potncia e indique o intervalo de convergncia.
(b) Represente f x e f x dx em srie de potncias.
a) 1
1 3f x
x
b)
1
2 7f x
x
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10
Resposta:
a) 1 1
0 1 0
33 ; 3 ;
1
nn n n n n
n n n
x n x xn
b)
1 1
0 1 0
1 7 1 7 1 71 ; 1 ; 1
2 2 2 2 2 1 2
n n nn n nn n n
n nn n n
nx x x
n
20.Ache uma srie de potncias de 2 1
1
xf x
x
e determine o raio de convergncia.
R: 2
1 2 ; 1n
n
x x r
21. Ache a srie de Maclaurin para xf e indique o raio de convergncia. d) 2cos xxf e) xxexf 2 e) 3f x x sen x f) xxf 2ln
f) xsenxxf cos g) xxf 2cos g) cos 2f x x
(Sugesto: item (g); use a frmula do ngulo metade)
Resposta:
b)
2 12 2
0
31
2 1 !
nn n
n
xn
d)
22
0
21
2 !
nn n
n
xn
g)
2 12
1
21 1
2 !
nn n
n
xn
22. Ache uma srie de Taylor para xf em c.(No preciso verificar que lim 0n
nR x
)
d) 3
;cos
cxxf c) 4
;
csenxxf
e) 2;1
cx
xf d) 3; cexf x
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11
Resposta:
b) 10
11 2
2
n n
nn
x
c)
2 1 2
0 0
1 11 1
4 42 2 1 ! 2 2 !
n nn n
n n
x xn n
23. Use os dois primeiros termos no-nulos de uma srie de Maclaurin para aproximar
o nmero e estime o erro na aproximao.
a) 1
e d) 1e
b) cos 3 e) ln1,5
c) 0,5
2
0
cos x dx
Resposta:
d) a) 0,5 ; 0,125 b) 70,9986 ; 3,13 10
e) c) 60,4969 ; 9,04 10
24. Aproxime f por um polinmio de Taylor com grau n em c . b) Use a Desigualdade
de Taylor para estimar a preciso da aproximao nf x P x quando x estiver no intervalo dado.
a) , 4, 2, 4 4,2f x x c n x
b) , , 5, 04 2
f x senx c n x
c) 3 4 , 16, 3, 15 17f x x c n x
Resposta:
a) 2 51 12 4 4 ; 1,5625 10
4 64x x
b) 2 3 4 5
1 1 1 1 1 1; 0,00033
4 4 4 4 42 2 2 2 6 2 24 2 120 2x x x x x
c) 2 33 3 5
8 16 16 16 ; 0,00000348 1024 65536
x x x