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A Geometria Escondida
Jose Natario
(Instituto Superior Tecnico)
Lisboa, Fevereiro de 2017
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Galileu Galilei (1564–1642)
“A Filosofia [Ciencia] esta escrita neste grande livro, o Universo,
que esta permanentemente aberto e ao alcance do nosso olhar.
Mas o livro nao pode ser compreendido sem antes aprendermos
a linguagem e os caracteres em que esta escrito. A linguagem e
a Matematica, e os caracteres sao triangulos, cırculos e outras
figuras geometricas, sem as quais e humanamente impossıvel
compreender uma unica palavra.”
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Manneken Pis (Bruxelas).
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Teorema de Kelvin (1824–1907)
α
sinα = 13 (portanto α ≃ 19,5o).
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Arco-ıris
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Leis de Kepler (1571–1630)
1. As orbitas dos corpos celestes sao seccoes conicas com o Sol
num dos focos.
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2. O segmento de recta que une o corpo ao Sol varre areas
iguais em tempos iguais.
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Geometria de Euclides (sec IV–III a.C.)
• Duas rectas distintas intersectam-se no maximo uma vez.
• Existem rectas que nao se intersectam (paralelas).
• Os angulos internos de um triangulo somam 180o.
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α
β
γ
α+ β + γ = 180o
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Geometria de Riemann (1826–1866)
E a geometria das superfıcies (espacos) curvos. Em vez de rectas
temos geodesicas (curvas de comprimento mınimo).
Na esfera, por exemplo, as geodesicas sao os cırculos maximos,
como o equador ou os meridianos. E por isso que para ir do
Porto para Nova Iorque, o aviao nao voa para oeste.
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Equador
Paralelo 41
Polo Norte
Polo Sul Meridiano do Porto
Meridiano de Nova Iorque
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Geometria da esfera
• Duas geodesicas distintas intersectam-se sempre em dois pon-
tos (nao existem paralelas).
• Os angulos internos de um triangulo somam mais de 180o.
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• Curvatura media =Angulo em excesso
Area do triangulo=
π2
4πR2
8
=1
R2.
• Na esfera, todos os triangulos possuem mesma curvatura media
(superfıcie de curvatura constante). Em geral, a curvatura de
uma superfıcie num ponto e o limite da curvatura media de
triangulos cada vez mais pequenos.
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Transporte paralelo
Um vector tangente que e transportado paralelamente ao longo
de uma curva fechada regressa ao ponto inicial rodado de um
angulo igual ao excesso.
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E o que acontece com o pendulo de Foucault:
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Pendulo de Foucault do Panteao de Paris.
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Equador
Paralelo 49
Polo Norte
Polo Sul
Meridiano de Paris
α
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A latitude λ, o pendulo de Foucault roda
α = 2π −
excesso︷ ︸︸ ︷
2πR(R−R senλ)︸ ︷︷ ︸
area
1
R2︸︷︷︸
curvatura
= 2π senλ
radianos por dia.
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Einstein (1879–1955)
O espaco(-tempo) e curvo e os raios luminosos seguem geodesicas.
Uma consequencia e o efeito de lente gravitacional, que origina
imagens multiplas de objectos astronomicos.
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Cruz de Einstein.
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Gravity Probe B (lancada em 2004)
As esferas mais esfericas do mundo...
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...arrefecidas abaixo de −271oC...
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...foram colocadas a rodar em orbita.
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Buracos negros
Cygnus X-1 (imagem de raios-X do telescopio Chandra).
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Sagittarius A∗ (imagem de raios-X do telescopio Chandra).
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horizonte
raio de luz circular
giroscopio
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Buraco negro a 600 quilometros...
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...e a 600 metros.
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Galileu Galilei (1564–1642)
“A Filosofia [Ciencia] esta escrita neste grande livro, o Universo,
que esta permanentemente aberto e ao alcance do nosso olhar.
Mas o livro nao pode ser compreendido sem antes aprendermos
a linguagem e os caracteres em que esta escrito. A linguagem e
a Matematica, e os caracteres sao triangulos, cırculos e outras
figuras geometricas, sem as quais e humanamente impossıvel
compreender uma unica palavra.”