lingkaran_ mhor

8/19/2019 Lingkaran_ Mhor

1/18

(1.13a)

(1.13b)

θmax

= sudut regangan geser maksimum

γ xy = 2ε

xy= regangan geser

sin

costan

max

max

max

2

22

θθ

θ ε ε

γ = = −

−xx yy

xy

}{max

.( )γ ε ε γ 2

1

22

2

= ± − +xx yy xy

1.6. Lingkaran Mohr untuk Tegangan Bidang dan Regangan Bidang

Lingkaran Mohr diperkenalkan oleh seorang insinyur Jerman !tto

Mohr (1"3#$1%13). Lingkaran ini digunakan untuk melukis trans&ormasi

tegangan maupun regangan baik untuk persoalan$persoalan tiga dimensi

maupun dua dimensi. 'ang perlu diatat adalah baha perputaransumbu elemen sebesar q ditunjukkan oleh perputaran sumbu pada

lingkaran Mohr sebesar 2q, .dan sumbu tegangan geser positif adalah

menunjuk ke arah bawah. *engukuran dimulai dari titik + positif bila

berlawanan arah jarum jam, dan negatif bila sebaliknya. *ada bagian

ini kita hanya akan membahas lingkaran Mohr untuk tegangan dan

regangan dua dimensi.


2/18

Lingkaran Mohr untuk Tegangan Bidang

*ada persamaan (1.#a) bila suku dipindahkan ke ruas

kiri dan kemudian kedua ruasnya dikuadratkan maka akan didapat

,,,(1.1-a)

edangkan pada persamaan (1.#) bila dikuadratkan akan didapat

,,,(1.1-b)

*en/umlahan persamaan$persamaan (1.1-a) dan (1.1-b) menghasilkan

(1.1#)

*ersamaan (1.1#) merupakan persamaan lingkaran pada bidang st yang

pusatnya di dengan /ari$/ari . Lingkaran tersebut ditun/ukkan pada

0ambar 1." di baah ini yang dilukis dengan prosedur sebagai berikut

x yσ σ+2

( )2 2

2 2 2

2 22 2 2 2

x

x y x yxy x y xyco s si n' sin cosσ

σ σ σ σ θ τ θ σ σ τ θ θ− +

= −

+ + −

( )2 2 2

222

22 2 2x y xy

x y

x y xyco s sin' ' sin cosτ τ θ σ σ θ σ σ τ θ θ= + −

− −

2

2

2

2

2 2x

x yx y

x yxy' ' 'σ σ σ τ σ σ τ− +

+ = −

+


3/18

1. uatlah sumbu σi/ horisontal.

2. *eriksa harga tegangan normal σxx atau σ

yy yang seara

matematis lebih keil. ila bernilai negati& /adikanlah tegangan

tersebut sebagai titik yang mendekati tepi kiri batas melukissedangkan bila positi& maka titik yang mendekati batas

kiri adalah titik σi/ = .

3. *eriksa harga tegangan normal σxx atau σ

yy yang seara

matematis lebih besar. ila bernilai positi& /adikanlah tegangan

tersebut sebagai titik yang mendekati tepi kanan batas melukis

sedangkan bila negati& maka titik yang mendekati batas kanan adalah

titik σi/ = .

-. 4entukan skala yang akan digunakan sehingga tempat melukis bisa

memuat kedua titik tersebut dan masih tersisa ruangan di sebelah kiridan kanannya. 4entukan titik$titik batas tersebut sesuai dengan

skala yang telah ditentukan.


4/18

#. 4entukan letak titik$titik σi/ = dan sumbu τ serta σ

i/ terkeil

dan σi/ terbesar bila belum terlukis pada sumbu σ

i/ .

5. agi dua /arak antara tegangan terkeil dan tegangan terbesar

sehingga diperoleh pusat lingkaran *.

6. 4entukan letak titik + pada koordinat (σi/ terbesar τ

xy ).

". Lukis lingkaran Mohr dengan pusat * dan /ari$/ari *+.

%. 4arik garis dari + melalui * sehingga memotong lingkaran Mohr di

. Maka titik akan terletak pada koordinat (σi/ terkeil τxy ).0aris + menun/ukkan sumbu asli θ = elemen tersebut.

Contoh 1.1 ebuah elemen dari bagian konstruksi yang dibebani

menerima tegangan tarik pada arah sumbu x sebesar 2" M*a

tegangan tekan pada arah sumbu y sebesar - M*a serta tegangangeser pada bidang tersebut sebesar 12 M*a.


5/18

7iminta a. Lukisan lingkaran Mohr.

b. esar rotasi mengelilingi sumbu 8 untuk mendapatkan

tegangan geser maksimum menurut lingkaran Mohr.

*eriksa hasil tersebut dari persamaan (1.1).. esar tegangan geser maksimum menurut lingkaran

Mohr. *eriksa hasil tersebut dengan rumus (1.11) dan hasil

yang didapat pada b. di atas.

d. esar perputaran mengelilingi sumbu 8 untuk

mendapatkan tegangan geser bernilai nol menurutlingkaran Mohr. *eriksa hasil ini dengan persamaan

(1.").

e. esar tegangan$tegangan utama menurut lingkaran

Mohr. *eriksa hasil tersebut dengan persamaan$persamaan

(1.%) dan dari hasil pada pada d. di atas.


6/18

*enyelesaian

a. Lingkaran Mohr

1) uat sumbu si/ horisontal.

2) 4egangan normal terkeil syy = $- M*a negati& sehinggadigunakan sebagai titik di dekat batas kiri.

3) 4egangan normal terbesar sxx = 2" M*a positi& sehingga

digunakan sebagai titik di dekat batas kanan.

-) 7iambil skala 1m = - M*a. 9emudian ditentukan titik syy

= $ - M*a di sebelah kiri dan sxx = 2" M*a di sebelah kanan

yang ber/arak (sxx : s

yy) dari titik s

yy di sebelah kiri.

#) Lukis sumbu t yang ber/arak - M*a di sebelah kanan titik

syy .

5) 7engan membagi dua sama pan/ang /arak syy

ke sxx akan

didapat titik *.

6) Menentukan letak titik + pada koordinat (sxx

txy

) =

(2"12).

") 7engan mengambil titik pusat di * dan /ari$/ari sepan/ang*+ lingkaran Mohr dapat dilukis.


7/18

0ambar 1.". Lingkaran Mohr untuk 4egangan idang

b. esar rotasi mengellilingi sumbu 8 menurut lingkaran Mohr dengan

mengukur didapat

θmax

= # x 2 θmax

= # x ($#3o) = 25o 3;.

edangkan menurut persamaan (1.1) didapat

tan 2θmax

= − (2" : -) < (2 x 12) = − 4/3

2θmax

= − #3o "; atau θmax

= − 25o 3-;


8/18

. esar tegangan geser maksimum menurut lingkaran Mohr

τmax

= # x - M*a = 2 M*a.

edangkan menurut persamaan (1.11) akan didapat

d. esar rotasi mengellilingi sumbu 8 menurut lingkaran Mohr dengan

mengukur didapat

θp = # x 2θ

p= # x 36o = 1"o 3;.


tan 2θp = (2 x 12) < (2" : -) = 3/4

2θp = − 35o #2; atau θ

max = − 1"o 25;

e. esar tegangan$tegangan utama menurut lingkaran Mohr

σ1 = " x - M*a = 32 M*a.

σ2= $2 x - M*a = $" M*a.


( )

( )

12 2

2 2 2

280 40

2

1

2280 40 120 320

280 40

2

1

2280 40 120 80

σ

σ

= −

+ + + =

= − − + + = −

MPa

MPa


9/18

Lingkaran Mohr untuk Regangan Bidang

*ada persamaan (1.6a) bila suku dipindahkan ke ruas kiri

dan kemudian kedua ruasnya dikuadratkan maka akan didapat

,,,(1.15a)

edangkan pada persamaan (1.6) bila dikuadratkan akan didapat

,,,(1.15b)

*en/umlahan persamaan$persamaan (1.15a) dan (1.15b) menghasilkan

xx yyε ε+

2

( )2 2

2

2

2

2 2

2

2

2

2

2 2x x

xx yy xx yy xyxx yy

xy

' ' cos sin sin cosε ε ε ε ε

θ γ

θ ε εγ

θ θ− +

= −

+

+ −

( )

2 2

2

2

2

2 2 2 2 2 2 2 2

x y xy xx yy

xx yy

x y' ' ' '

cos sin sin cos

γ γ

θ ε ε

θ ε ε

γ

θ θ

=

+

−

− −


10/18

(1.16)

*ersamaan (1.16) merupakan persamaan lingkaran pada bidang

yang pusatnya di dengan /ari$/ari

Lingkaran tersebut ditun/ukkan pada 0ambar 1.% di baah ini yang

dilukis dengan prosedur sebagaimana melukis lingkaran Mohr untuktegangan dengan mengganti σxx σ

yy dan τ

xy berturut$turut men/adi

εxx ε

yy dan γ

xy < 2. *enerapannya lihat ontoh 1.2 pada halaman 21.

2 2 2 2

2 2 2 2x xxx yy x y xx yy x y

' '

' ' ' 'ε

ε ε ε ε ε ε−

+

+

=

−

+

ε γ

2xx yyε ε−

20,

2 2

2 2

xx yy xyε ε γ −

+

1.7. Hubungan Antara Tegangan Dengan Regangan

>ntuk de&ormasi normal geser maupun gabungan keduanya hubungan

antara tegangan dan regangan untuk bahan$bahan isotropis pada

pembebanan dalam batas proporsional diberikan oleh hukum Hooke.

Jadi hukum ?ooke tidak berlaku untuk pembebanan di luar batas

proporsional. ?ukum ?ooke diturunkan dengan berdasarkan pada

analisis tentang energi regangan spesifik.


11/18

+pabila besar tegangan$tegangannya yang diketahui maka hukum

?ooke untuk persoalan$persoalan tiga dimensi hubungan antara

tegangan normal dengan regangan normal dapat dituliskan seara

matematis sebagai berikut

(1.1")

7engan E dan berturut$turut adalah modulus alastis atau modulus

'oung dan angka perbandingan *oisson. edangkan pada de&ormasi

geser untuk ! adalah modulus geser hubungannya adalah

(1.1%)

( )

( )

( )

xx xx yy zz

yy yy xx zz

zz zz xx yy

E

E

E

ε σ νσ νσ

ε σ νσ νσ

ε σ νσ νσ

= − −

= − −

= − −

1

1

1

( )

( )

( )

xy

xy xy xy

xzxz xz xz

yz

yz yz yz

G E

G E

G E

ε γ τ ν τ

ε γ τ ν τ

ε

γ τ ν τ

= = = +

= = = +

= = =

+

2 21

2 2

1

2 2

1


12/18

edangkan untuk menari tegangan normal yang ter/adi bila regangan

normal dan si&at$si&at mekanis bahannya diketahui digunakan

persamaan$persamaan

(1.2)

elan/utnya untuk de&ormasi geser bentuk hukum ?ooke adalah

(1.21)

( ) ( ) ( ) ( ){ }

( ) ( ) ( ) ( ){ }

( ) ( ) ( ) ( ){ }

xx xx yy zz

yy yy xx zz

zz zz xx yy

E

E

E

σ ν ν

ν ε ν ε ε

σ ν ν

ν ε ν ε ε

σ ν ν

ν ε ν ε ε

=+ −

− + +

=+ −

− + +

=+ −

− + +

1 1 21

1 1 21

1 1 21

( )

( )

( )

xy xy xy xy

xz xz xz xz

yz yz yz yz

E EG

E EG

E EG

τ ν

ε ν

γ γ

τ ν

ε ν

γ γ

τ ν

ε ν

γ γ

=+

=+

=

=+

=+

=

=+

=+

=

1 2 1

1 2 1

1 2 1


13/18

*ersamaan$persamaan (1.1") sampai dengan (1.21) dapat /uga

diberlakukan untuk persoalan$persoalan dua dan satu dimensi yakni

dengan memasukkan harga nol untuk besaran$besaran di luar dimensi

yang dimaksud.

Contoh 2 *embebanan seperti pada ontoh 1 untuk bahan dengan

si&at$si&at mekanis modulus 'oung @ = 2 0*a dan angka

perbanding$an *oisson n = 2%. Modulus geser ditentukan dengan

0 = @ < 2(1 : n).

7iminta a. ?itunglah regangan$regangan yang ter/adi.

b. Lukisan lingkaran Mohr untuk regangan yang ter/adi.

. esar rotasi mengelilingi sumbu 8 untuk

mendapatkan regangan geser maksimum menurut

lingkaran Mohr. *eriksa hasil tersebut dari

persamaan (1.1).

d. esar regangan geser maksimum menurut lingkaran

Mohr. *eriksa hasil tersebut dengan rumus

(1.11) dan hasil yang didapat pada b. di atas.


14/18

e. esar perputaran mengelilingi sumbu 8 untuk

mendapatkan regangan geser bernilai nol

menurut lingkaran Mohr. *eriksa hasil ini dengan

persamaan (1.").

&. esar regangan$regangan utama menurut lingkaranMohr. *eriksa hasil tersebut dengan persamaan$

persamaan (1.%) dan dari hasil pada pada d. di atas.

*enyelesaian

a) 7ari persamaan (1.1") dan (1.1%) akan didapat

b. Lingkaran Mohr

1) uat sumbu ei/ horisontal.

2) Aegangan normal terkeil eyy = $55me sehingga

merupakan titik di dekat batas kiri.

( )

( )

xx

yy

ε µε

ε µε

=

=

+ − = =

− − − = − = −

1

200000280 0,29.40 0,29.0 0,001458 1458

1

20000040 0,29.280 0,29.0 0,000606 606

( )xy atauxy

xyε γ µε γ µε= = + = = =2

1 0,29 120200000

0,000774 774 1548.


15/18

3) Aegangan normal terbesar exx = 1-#"me sehingga

merupakan titik di dekat batas kanan.

-) 7iambil skala 1m = 2#me. 9emudian ditentukan

titik eyy = $55me di sebelah kiri exx = 1-#"me disebelah kanan dan ber/arak (e

xx : e

yy) dari

titik eyy di sebelah kiri.

#) Lukis sumbu t yang ber/arak 55me di sebelah

kanan titik eyy .

5) 7engan membagi dua sama pan/ang /arak eyy

ke exx

akan didapat titik *.

6) Menentukan letak titik + pada koordinat (exx

exy

) =

(1-#"66-).

") 7engan mengambil titik pusat di * dan /ari$/arisepan/ang *+ lingkaran Mohr dapat di$lukis.

%) 7engan menarik garis dari + leat * yang memotong

lingkaran Mohr di akan di dapat kedudukan

titik (eyy

exy

) = ($55$66-).


16/18


17/18

. esar rotasi mengelilingi sumbu 8 menurut lingkaran Mohr

dengan mengukur didapat

θmax

= # x 2 θmax

= # x ($#3o) = 25o 3;.

edangkan menurut persamaan (1.1) didapattan 2θ

max = − (1-#" : 55) < (2 x 66-) = − 4/3

2θmax

= − #3o "; atau θmax

= − 25o 3-;

d. esar regangan geser maksimum menurut lingkaran Mohr

εxy$max = #2 x 2#µε = 13µε.edangkan menurut persamaan (1.11) akan didapat

e. esar rotasi mengellilingi sumbu 8 menurut lingkaran Mohr

dengan mengukur didapat

θp = # x 2θ

p= # x 36o = 1"o 3;.


tan 2θp = (2 x 12) < (2" : -) = 3/4

2θp = − 35o #2; atau θmax = − 1"

o 25;

maxmax (

γ ε µε

2

1

221458 606) 21548 1290= =− ± + + = ±xy


18/18

&. esar regangan$regangan dasar menurut lingkaran Mohr

ε1 = 5% x 2#µε = 162#µε.

ε2 = $3# x 2#µε = $"6#µε


( )

( )

1

2

1458 606

2

1

2

21458 606 21548 1716

1458 606

2

1

2

21458 606 21548 864

ε µε

ε µε

=

=

−+ + + =

−− + + = −

lingkaran_ mhor

Documents