lineÁris algebrausers.itk.ppke.hu/~b_novak/la/lin_e_sk_2017.pdf · 2017. 9. 12. · a 11 x 1 +a 12...
TRANSCRIPT
![Page 1: LINEÁRIS ALGEBRAusers.itk.ppke.hu/~b_novak/LA/LIN_E_SK_2017.pdf · 2017. 9. 12. · a 11 x 1 +a 12 x 2 + a 13 x 3…a 1n x n =b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 + a 23 x 3…a 2n x n =b 2 a](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081618/60a698b0a1cb127bdd4ed0dd/html5/thumbnails/1.jpg)
LINEÁRIS ALGEBRA
• Bércesné Novák Ágnes
• Honlap:
http://users.itk.ppke.hu/~b_novak
• Követelményrendszer:
• Gauss elimináció
• Vektoralgebra:
• http://users.itk.ppke.hu/~b_novak/dmat/Vektorfolcop.pdf
![Page 2: LINEÁRIS ALGEBRAusers.itk.ppke.hu/~b_novak/LA/LIN_E_SK_2017.pdf · 2017. 9. 12. · a 11 x 1 +a 12 x 2 + a 13 x 3…a 1n x n =b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 + a 23 x 3…a 2n x n =b 2 a](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081618/60a698b0a1cb127bdd4ed0dd/html5/thumbnails/2.jpg)
Lineáris egyenletrendszerek
GAUSS ELIMINÁCIÓ (kiküszöbölés)
![Page 3: LINEÁRIS ALGEBRAusers.itk.ppke.hu/~b_novak/LA/LIN_E_SK_2017.pdf · 2017. 9. 12. · a 11 x 1 +a 12 x 2 + a 13 x 3…a 1n x n =b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 + a 23 x 3…a 2n x n =b 2 a](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081618/60a698b0a1cb127bdd4ed0dd/html5/thumbnails/3.jpg)
a11x1+a12x2+ a13x3…a1nxn =b1
a21x1+a22x2+ a23x3…a2nxn =b2
a31x1+a32x2+ a33x3…a3nxn =b3
…
am1x1+am2x2+ am3x3…amnxn= bm
x1+ 2x2+ 3x3+ 4x4 = 5
6x1+ 7x2+ 8x3+ 9x4 = 10
11x1+12x2+ 13x3+14x4 =15
16x1+17x2+ 18x3+19x4= 20
Definíció:
A lineáris egyenletrendszer (nevének megfelelően)
lineáris egyenletekből áll.
Lineáris az egyenlet, ha a benne szereplő
ismeretlenek legfeljebb első hatványon szerepelnek.
A lineáris egyenletrendszer
általános alakja n≠m: Példa:
![Page 4: LINEÁRIS ALGEBRAusers.itk.ppke.hu/~b_novak/LA/LIN_E_SK_2017.pdf · 2017. 9. 12. · a 11 x 1 +a 12 x 2 + a 13 x 3…a 1n x n =b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 + a 23 x 3…a 2n x n =b 2 a](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081618/60a698b0a1cb127bdd4ed0dd/html5/thumbnails/4.jpg)
Hol fordulnak elő egyenletrendszerek?
- Csillagászat: Gauss és a Ceres kisbolygó (asterodia)
- Kémiai számítások
- Fizikai számítások
- Közgazdaságtani számítások
- Biológiai számítások
- Mindenhol , pl.:
![Page 5: LINEÁRIS ALGEBRAusers.itk.ppke.hu/~b_novak/LA/LIN_E_SK_2017.pdf · 2017. 9. 12. · a 11 x 1 +a 12 x 2 + a 13 x 3…a 1n x n =b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 + a 23 x 3…a 2n x n =b 2 a](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081618/60a698b0a1cb127bdd4ed0dd/html5/thumbnails/5.jpg)
CSILLAGÁSZATLineáris egyenletrendszerek és a Ceres aszteroida
Guiseppi Piazzi
Felfedezte a Ceres-t
1801, Jan. 1
22 éjjel, 40 megfigyelés
Febr. 11., ELTŰNT!
„Napárnyék”
22 éjjel, 40 megfigyelés
(idő, szög1, szög2)
Szeptemberben publikálta
![Page 6: LINEÁRIS ALGEBRAusers.itk.ppke.hu/~b_novak/LA/LIN_E_SK_2017.pdf · 2017. 9. 12. · a 11 x 1 +a 12 x 2 + a 13 x 3…a 1n x n =b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 + a 23 x 3…a 2n x n =b 2 a](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081618/60a698b0a1cb127bdd4ed0dd/html5/thumbnails/6.jpg)
• Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
• Elimináció – Ceres! 1801 jan. 1.
• Komplex számok
• bizonyította be először az ALGEBRA ALAPTÉTELÉT.
Ha p(x) n-edfokú polinom, n > 0, melynek együtthatói komplexszámok, akkor a polinomnak a komplex számok körébenmultiplicitással számolva n gyöke van.
Példa:
![Page 7: LINEÁRIS ALGEBRAusers.itk.ppke.hu/~b_novak/LA/LIN_E_SK_2017.pdf · 2017. 9. 12. · a 11 x 1 +a 12 x 2 + a 13 x 3…a 1n x n =b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 + a 23 x 3…a 2n x n =b 2 a](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081618/60a698b0a1cb127bdd4ed0dd/html5/thumbnails/7.jpg)
← Carl Friedrich Gauss (24),
Megoldotta a 17 egyenletből
és 3 ismeretlenből
álló rendszert
GAUSS eliminációval
Sir Isaac Newton →
„Az ilyesfajta számítások
a legnehezebbek
az astronómiában”
← Gauss vázlata
a Ceres pályájáról.
Ceres képe a
Hubble
távcsővel→
![Page 8: LINEÁRIS ALGEBRAusers.itk.ppke.hu/~b_novak/LA/LIN_E_SK_2017.pdf · 2017. 9. 12. · a 11 x 1 +a 12 x 2 + a 13 x 3…a 1n x n =b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 + a 23 x 3…a 2n x n =b 2 a](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081618/60a698b0a1cb127bdd4ed0dd/html5/thumbnails/8.jpg)
KÖZÉPISKOLALineáris, kétismeretlenes egyenletrendszerek
1 közös pont
Egy megoldás:
X=0, y=-2
Az egyenletek konzisztensek
Nincs közös pont,az egyenesek párhuzamosak
Nincs megoldás
Inkonzisztens, ellentmondó egyenletek
Minden pont közös Végtelen sok megoldás
Összefüggő (és konzisztens) egyenletek
![Page 9: LINEÁRIS ALGEBRAusers.itk.ppke.hu/~b_novak/LA/LIN_E_SK_2017.pdf · 2017. 9. 12. · a 11 x 1 +a 12 x 2 + a 13 x 3…a 1n x n =b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 + a 23 x 3…a 2n x n =b 2 a](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081618/60a698b0a1cb127bdd4ed0dd/html5/thumbnails/9.jpg)
A fenti tapasztalat általában is igaz:
Minden lineáris egyenletrendszernek
(1) vagy pontosan egy megoldása van,
(2) vagy végtelen sok megoldása van
(3) vagy nincs megoldása
![Page 10: LINEÁRIS ALGEBRAusers.itk.ppke.hu/~b_novak/LA/LIN_E_SK_2017.pdf · 2017. 9. 12. · a 11 x 1 +a 12 x 2 + a 13 x 3…a 1n x n =b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 + a 23 x 3…a 2n x n =b 2 a](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081618/60a698b0a1cb127bdd4ed0dd/html5/thumbnails/10.jpg)
Síkok helyzete a térben
Bizonyítható,hogy az egyenesekhez hasonlóan a síkok egyenlete is a térben lineáris.
3 ismeretlenes lineáris egyenletrendszer 3 sík helyzetét írja le.
Írja az ábrák alá a megfelelő állítás számát!
Minden lineáris egyenletrendszernek
(1) vagy pontosan egy megoldása van,
(2) vagy végtelen sok megoldása van
(3) vagy nincs megoldása
![Page 11: LINEÁRIS ALGEBRAusers.itk.ppke.hu/~b_novak/LA/LIN_E_SK_2017.pdf · 2017. 9. 12. · a 11 x 1 +a 12 x 2 + a 13 x 3…a 1n x n =b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 + a 23 x 3…a 2n x n =b 2 a](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081618/60a698b0a1cb127bdd4ed0dd/html5/thumbnails/11.jpg)
(3)(2)(1)
2
53932
z
zyzyx
2z
15)2(3
yy
1y 2z
19)2(3)1(2
xx
2 ,1 ,1 zyx
Példa: LÉPCSŐS ALAK ÉS MEGOLDÁSA
![Page 12: LINEÁRIS ALGEBRAusers.itk.ppke.hu/~b_novak/LA/LIN_E_SK_2017.pdf · 2017. 9. 12. · a 11 x 1 +a 12 x 2 + a 13 x 3…a 1n x n =b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 + a 23 x 3…a 2n x n =b 2 a](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081618/60a698b0a1cb127bdd4ed0dd/html5/thumbnails/12.jpg)
De ha nem lépcsős?!
Akkor azzá tehető, hiszen:
- Szabad egyenleteket felcserélni
- Nem nulla számmal szorozni
- Egyik egyenlet számszorosát a másikhoz hozzáadni
Fentieket elemi sorműveleteknek nevezzük.
GAUSS ELIMINÁCIÓ:
Sorműveletek segítségével az egyenletrendszert lépcsős alakra
hozzuk
![Page 13: LINEÁRIS ALGEBRAusers.itk.ppke.hu/~b_novak/LA/LIN_E_SK_2017.pdf · 2017. 9. 12. · a 11 x 1 +a 12 x 2 + a 13 x 3…a 1n x n =b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 + a 23 x 3…a 2n x n =b 2 a](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081618/60a698b0a1cb127bdd4ed0dd/html5/thumbnails/13.jpg)
a11x1+a12x2+ a13x3…a1nxn =b1
a21x1+a22x2+ a23x3…a2nxn =b2
a31x1+a32x2+ a33x3…a3nxn =b3
…
am1x1+am2x2+ am3x3…amnxn= bm
α11x1+ α 12x2+ α13x3+… α 1nxn =1
α 22x2+ α23x3+… α 2nxn =2
α33x3+… α 3nxn =3
…
α mnxn=m
GAUSS ELIMINÁCIÓ:
Sorműveletek segítségével az egyenletrendszert lépcsős alakra
hozzuk
GAUSS ELIMINÁCIÓ:
Az i. lépésben az aii segítségével nullázzuk az ALATTA levő aji
(i<j) együtthatókat.
![Page 14: LINEÁRIS ALGEBRAusers.itk.ppke.hu/~b_novak/LA/LIN_E_SK_2017.pdf · 2017. 9. 12. · a 11 x 1 +a 12 x 2 + a 13 x 3…a 1n x n =b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 + a 23 x 3…a 2n x n =b 2 a](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081618/60a698b0a1cb127bdd4ed0dd/html5/thumbnails/14.jpg)
(3)(2)(1)
17552
43932
zyx
yxzyx
Példa:
MO::
(4)
17552
53932
(2)(2)(1)
zyx
zyzyx
(5)
1
53932
(3)(3)2)((1)
zy
zyzyx
(6)
42
53932
(5)(5)(4)
z
zyzyx
2
53932
)6((6) 21
z
zyzyx
2 ,1 ,1 zyx
Ezt meg már láttuk, hogy
visszahelyettesítéssel
hogyan lehet megoldani.
A MEGOLDÁS (1 db):
Gauss:1. lépés
Gauss: 2. lépés
Gauss: 2. lépés
![Page 15: LINEÁRIS ALGEBRAusers.itk.ppke.hu/~b_novak/LA/LIN_E_SK_2017.pdf · 2017. 9. 12. · a 11 x 1 +a 12 x 2 + a 13 x 3…a 1n x n =b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 + a 23 x 3…a 2n x n =b 2 a](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081618/60a698b0a1cb127bdd4ed0dd/html5/thumbnails/15.jpg)
(3)(2)(1)
132
222
13
321
321
321
xxx
xxx
xxxPélda:
MO:
)5()4(
245
045
13
(3)(3))1((1)
(2)(2)2)((1)
32
32
321
xx
xx
xxx
20
045
13
)5()5()1()4(
32
321
xx
xxx
? 0= -2 ? → inkonzisztens rendszer !
![Page 16: LINEÁRIS ALGEBRAusers.itk.ppke.hu/~b_novak/LA/LIN_E_SK_2017.pdf · 2017. 9. 12. · a 11 x 1 +a 12 x 2 + a 13 x 3…a 1n x n =b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 + a 23 x 3…a 2n x n =b 2 a](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081618/60a698b0a1cb127bdd4ed0dd/html5/thumbnails/16.jpg)
Példa:
MO:
(3)(2)(1)
13
0
13
)2()1(
21
32
31
xx
xx
xx
(3)(2)(1)
13
13
0
21
31
32
xx
xx
xx
(4)
033
0
13
(3)(3)(1)
32
32
31
xx
xx
xx
0
13
32
31
xx
xx
,32 xx 31 31 xx
Végtelen sok megoldás:
,
,
,13
3
2
1
tx
Rttx
tx
![Page 17: LINEÁRIS ALGEBRAusers.itk.ppke.hu/~b_novak/LA/LIN_E_SK_2017.pdf · 2017. 9. 12. · a 11 x 1 +a 12 x 2 + a 13 x 3…a 1n x n =b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 + a 23 x 3…a 2n x n =b 2 a](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081618/60a698b0a1cb127bdd4ed0dd/html5/thumbnails/17.jpg)
KÖZGAZDASÁGTANI ALKALMAZÁS
Vaszilij Leontief –NOBEL DÍJ 1973 közgazdaságtan
USA gazdasági rendszere-250 000 adat
500 egyenlet 500 ismeretlen (redukálta 42-42-re):
MARK II számítógép, lyukkártyás, 56 óra alatt oldotta meg
Maga program is több hónapi munka volt!
Példa (végtelen sok megoldásra): Egy év alatt azt figyelték meg, hogy
1. 1 egységnyi szolgáltatáshoz ( 0.3 egységnyi saját terméket, 0.3 egységnyi energiát, és 0.3
egységnyi nyersanyagot használnak fel.
2. 1 egységnyi energia előállításához 0.4 egységnyi szolgáltatás, 0.1 egységnyi energia és 0.5
egységnyi nyersanyag szükséges.
3. 1 egységnyi nyersanyag előállítása pedig 0.3 egységnyi szolgáltatást, 0, 6 egységnyi energiát, és
0.2 egységnyi (egyéb) nyersanyagot igényel.
Mennyit kell termelni az egyes szektorokban, hogy egyensúly legyen, ti. minden szektor elegendő
forrással rendelkezzék?
![Page 18: LINEÁRIS ALGEBRAusers.itk.ppke.hu/~b_novak/LA/LIN_E_SK_2017.pdf · 2017. 9. 12. · a 11 x 1 +a 12 x 2 + a 13 x 3…a 1n x n =b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 + a 23 x 3…a 2n x n =b 2 a](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081618/60a698b0a1cb127bdd4ed0dd/html5/thumbnails/18.jpg)
Mennyit kell termelni az egyes szektorokban, hogy egyensúly legyen, ti. minden szektor elegendő
forrással rendelkezzék?
Tételezzük fel, hogy a model ZÁRT: nincsen egyéb forrás és rendszerből nem távozik el termék.
3
2
1
321
321
321
2.06.03.0
5.01.04.0
3.03.03.0
p
p
p
ppp
ppp
ppp
Példa (végtelen sok megoldás): Egy év alatt azt figyelték meg, hogy
1. 1 egységnyi szolgáltatáshoz 0.3 egységnyi saját terméket, 0.3 egységnyi energiát, és 0.3
egységnyi nyersanyagot használnak fel.
2. 1 egységnyi energia előállításához 0.4 egységnyi szolgáltatás, 0.1 egységnyi energia és 0.5
egységnyi nyersanyag szükséges.
3. 1 egységnyi nyersanyag előállítása pedig 0.3 egységnyi szolgáltatást, 0, 6 egységnyi energiát, és
0.2 egységnyi (egyéb) nyersanyagot igényel.
tp
tp
tp
3
2
1
92.0
82.0
![Page 19: LINEÁRIS ALGEBRAusers.itk.ppke.hu/~b_novak/LA/LIN_E_SK_2017.pdf · 2017. 9. 12. · a 11 x 1 +a 12 x 2 + a 13 x 3…a 1n x n =b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 + a 23 x 3…a 2n x n =b 2 a](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081618/60a698b0a1cb127bdd4ed0dd/html5/thumbnails/19.jpg)
Ismeretlenek elhagyása, mátrixos alak
4=3z+4y+5x
2=5z+6y+7x
2=z+2y+3x
1
2
2
210
210
123
3/2
3/8
2
3/43/20
3/83/40
123
4
2
2
345
567
123.)1(
3
5.)3(.),1(
3
7.)2(
3
1
2
000
210
123
![Page 20: LINEÁRIS ALGEBRAusers.itk.ppke.hu/~b_novak/LA/LIN_E_SK_2017.pdf · 2017. 9. 12. · a 11 x 1 +a 12 x 2 + a 13 x 3…a 1n x n =b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 + a 23 x 3…a 2n x n =b 2 a](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081618/60a698b0a1cb127bdd4ed0dd/html5/thumbnails/20.jpg)
Ismeretlenek elhagyása, mátrixos alak
3
25
5
3615
725
021
3=3z+6y+15x
25=7z+2y5x
5=2y+x
Adott az alábbi mátrixos alak:
Írja fel az egyenleteket a mátrixos alakból!
MO.:
![Page 21: LINEÁRIS ALGEBRAusers.itk.ppke.hu/~b_novak/LA/LIN_E_SK_2017.pdf · 2017. 9. 12. · a 11 x 1 +a 12 x 2 + a 13 x 3…a 1n x n =b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 + a 23 x 3…a 2n x n =b 2 a](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081618/60a698b0a1cb127bdd4ed0dd/html5/thumbnails/21.jpg)
Példa (házi feladat): Adott az alábbi egyenletrendszer, írja fel a mátrixos alakot, és
keresse meg a megoldást Gauss eliminációval!
x-2y+3z=1
2x+y+z=-3
-x+2y-2z=0