lineas de espera

LINEAS DE ESPERA

Unidad 3 Planeación de la Capacidad

INTRODUCCION

En diferentes ocasiones de la vida, la mayoría de las personas que viven en la sociedad moderna han esperado en una fila para recibir algún tipo de servicio

Ejemplos: bancos, supermercados,

INTRODUCCION

El sistema de líneas de espera está conformado por una serie de elementos o componentes, entre ellos: Unidades (clientes, máquinas, etc) que

solicitan servicio La línea de espera en sí El servicio

INTRODUCCION

Llegadas

Sistema

Población de Clientes

Proceso de Fila

Clientes que esperan

Proceso deServicio

TERMINOLOGIA Y NOTACION

POBLACION DE CLIENTES

Es el conjunto de todos los clientes posibles de un sistema de líneas de espera.

Al considerar a los clientes, la principal preocupación es el tamaño de la población


Por decir, para un banco o un supermercado donde el número de clientes es bastante grande, el tamaño de la población se considera infinita.

Ahora, consideremos una fábrica que tiene cuatro máquinas que a menudo requieren servicio en el taller; las máquina son los clientes y el taller el servidor, el tamaño de la población es finito.


PROCESO DE LLEGADA

Es la forma en que los clientes de la población llegan a solicitar un servicio.

La característica más importante del proceso de llegadas es el tiempo entre llegadas


Este lapso es importante porque mientras menor sea el intervalo de tiempo, con más frecuencia llegan los clientes, lo cual aumenta la demanda de servidores disponibles.


PROCESO DE LINEAS DE ESPERA

Es la forma en que los clientes esperan a que se les dé un servicio.

Los clientes pueden esperar en una sola fila que es denominado sistema de fila de una sola línea.


Al contrario, los clientes pueden elegir una de varias filas en la que deben esperar a ser atendidos, a éste se le denomina sistema de filas de línea múltiples.


Clientes que esperan

Servidores ServidoresClientes que esperan

SISTEMA DE UNA FILA SISTEMA DE FILAS MULTIPLES


Otra característica del proceso de líneas de espera es la disciplina de líneas, es decir, la forma en que los clientes que esperan son seleccionados para ser atendidos.

Algunas de las formas más comunes son:


- Primero en Entrar, Primero en Salir (PEPS): Los clientes son atendidos en el orden en que van llegando a la fila.

- Primero en Entrar, Ultimo en Salir (VEPS): El cliente o unidad que ha llegado más recientemente es el primero en ser atendido, ejemplo, en una línea de producción los productos que llegan a una estación de trabajo son apilados uno encima del otro


- Selección de Prioridad: A cada cliente que llega se le da una prioridad y se elige según ésta para brindarle el servicio, ejemplo, pacientes que llegan a la sala de urgencias de un hospital; mientras más severo sea el caso, mayor será la prioridad del “cliente”.


PROCESO DE SERVICIOForma y rapidez con que son

atendidos los clientes.En algunos casos puede existir más

de una estación en el sistema el cual proporcione el servicio, estos son denominados sistemas de filas de canal múltiple


Los clientes pueden pasar a una de varias estaciones de trabajo posibles.

En estos sistemas los servidores pueden ser idénticos, en el sentido que proporcionan la misma clase de servicio con igual rapidez, o pueden ser no idénticos.


Al contrario del sistema múltiple, consideremos un proceso de producción con una estación de trabajo que proporciona el servicio requerido. Todos los productos deben pasar por esa estación, en este caso es un sistema de filas de canal sencillo.

MODELO BASICO

Considere la máquina copiadora de la oficina de servicio secretarial.

Suponga que los usuarios llegan a la máquina y forman una sola fila.

Cada uno de los que llegan utilizan la máquina por turno para llevar a cabo una tarea específica.

MODELO BASICO

Estas tareas varían, desde obtener la copia de una página, hasta la producción de 100 copias de un informe de 25 hojas.

Este sistema se conoce como línea de espera de un solo servidor (o de un solo canal).

MODELO BASICO

Las preguntas sobre éste o cualquier otro sistema de líneas de espera se centran en cuatro cantidades:El número de personas en el sistemaLa cantidad de personas haciendo filaEl tiempo de espera en el sistemaEl tiempo de espera en la fila

MODELO BASICO

PROCESO DE LLEGADASA cada llegada se le denominará un “trabajo”.Debido a que el tiempo entre llegadas no se

conoce con certeza, se requiere especificar una distribución de probabilidad

En este modelo se utiliza una distribución exponencial

MODELO BASICO

PROCESO DE LLEGADAS La distribución exponencial no es simétrica; por

ejemplo, si los clientes llegan en promedio cada 5 minutos, exponencialmente 2/3 de ellos tendrán tiempos interarribos de menos de 5 minutos y 1/3 mayor a ese tiempo. En cambio, en una distribución normal la mitad tendría tiempos menores a 5 minutos entre llegadas y la otra mitad mayores

MODELO BASICO

PROCESO DE LLEGADASLa distribución exponencial queda definida

con un solo parámetroEste parámetro, llamado lambda λ, es la tasa

media de llegadas; esto es, cuántos trabajos llegan (en promedio) durante un periodo específico.

MODELO BASICO

PROCESO DE LLEGADASPor ejemplo: λ=0.05 trabajos por minuto,

quiere decir que, en promedio, 5/100 de un trabajo llega cada minuto.

Pero es más fácil interpretar en términos de un intervalo mayor. Tiempo promedio entre dos llegadas, que es el tiempo medio interarribos.

MODELO BASICO

PROCESO DE LLEGADAS FORMULA:

tiempo promedio entre llegadas = tiempo medio interarribos = 1/λ

Por lo tanto, si λ=0.05,

tpo.medio interarribos = 1/λ = 1/0.05 = 20 En promedio, un trabajo llega cada 20 minutos

MODELO BASICO

PROCESO DE SERVICIOEn el modelo básico, el tiempo que toma

terminar un trabajo también es tratado mediante una distribución exponencial.

El parámetro para esta distribución se conoce como mu μ, que es la tasa media de servicio, para este caso, en trabajos por minuto

MODELO BASICO

PROCESO DE SERVICIO Por ejemplo, μ=0.10, esto implica que 10/100 del

trabajo es efectuado cada minuto. FORMULA:tiempo promedio de servicio = 1/μ

Por tanto, si μ=0.10,tpo.prom.de serv = 1/μ = 1/0.10 = 10

En promedio se completa un trabajo cada 10 minutos

MODELO BASICO

TAMAÑO DE LA FILA DE ESPERANo hay límite en el número de trabajos que

pueden estar en la fila en espera, por lo tanto es infinita.

DISCIPLINA EN LAS FILAS DE ESPERALos trabajos son atendidos con un criterio de

PEPS.

MODELO BASICO

HORIZONTE DE TIEMPOLa operación del sistema se considera como

si ocurriera continuamente en un horizonte infinito.

POBLACION FUENTEHay una población infinita susceptible de

hacer un arribo.

MODELO BASICO

Los valores de estos dos parámetros son todo lo que se necesita para calcular varias características de operación importantes del modelo básico.

A continuación se enlistan, con su fórmula, las características de operación para el modelo básico:

MODELO BASICO

CARACTERISTICA SIMBOLO FORMULA

Utilización - λ / μ

Número de clientes L λ / (μ-λ)

esperado en el sistema

Número de clientes Lq λ2 / μ(μ-λ)

esperado en la fila de espera

Tiempo de espera promedio W 1 / (μ-λ)

Tiempo esperado en la fila Wq λ / μ(μ-λ)

Probabilidad de que el P0 1 - (λ/μ)

sistema está desocupado

ADVERTENCIA! Las fórmulas sólo son válidas si λ<μ, si esta condición

no se cumple, el número de personas en la fila crecerá sin límite

MODELO BASICO

EJEMPLOEn el modelo de la máquina copiadora, el

cual λ=0.05 y μ=0.10, tenemos:

UTILIZACION = λ/μ = 0.05/0.10 = 0.5 = 50% de utilización

P0 = 1-λ/μ = 1-0.5 = 50% de que el sistema esté desocupado

MODELO BASICO

L = λ/(μ-λ) = 0.05/(0.10-0.05) = 1 trabajo en el sistema

Lq = λ2/μ(μ-λ) = (0.05)2/0.10(0.10-0.05) = 0.0025/0.005 = 0.5 trabajos en fila de espera

W = 1/μ-λ = 1/(0.10-0.05) = 20 minutos en el sistema (incluyendo fila y servicio)

Wq = λ/μ(μ-λ) = 0.05/0.10(0.10-0.05) = 10 minutos haciendo fila

MODELO BASICO

Uso de los ResultadosSupongamos que la administración analiza esta

información. Durante un día de ocho horas hay: 8 hrs X 60 min = 480 minutos, y si λ=0.05, en promedio llegan 5/100 trabajos por minuto, así que:

0.05 X 480 = 24 llegadas en una díaSabemos que en promedio cada persona pasa

20 minutos en el sistema (W)

MODELO BASICO

Uso de los ResultadosPor lo tanto, un total de 24 llegadas al día X

20 minutos por llegada = 480 minutos, u ocho horas se utilizan en esta instalación

MODELO BASICO

Uso de los Resultados La administración podría pensar que esto es

demasiado y podría tomar una serie de medidas: Comprar otra máquina con menor tiempo medio de servicio Comprar otra máquina y utilizar ambas, modificando el

sistema de filas de espera Enviar a parte del personal a otra instalación de copiado y

que fuera menos ocupada

Clasificación de los Modelos de Líneas de Espera

Clasificación de los Modelos

Se debe identificar las características de un sistema de líneas de espera para aplicar las técnicas matemáticas apropiadas.

Método de Clasificación

En este método de clasificación se consideran los siguientes supuestos:

el tamaño de la población de clientes es infinita los clientes que llegan esperan en una sola filael espacio de espera en cada línea es infinito

Método de Clasificación Proceso de Llegadas. Este símbolo

describe la distribución de tiempo entre llegadasD, para denotar que el tiempo entre llegadas

es determinístico.M, para denotar que los tiempos entre llegadas

son probabilísticos y siguen una distribución exponencial.

G, para denotar que los tiempos entre llegadas son probabilísticos y siguen una distribución general diferente a la exponencial.

Método de Clasificación Proceso de Servicio. Este símbolo

describe la distribución de tiempos servicioD, para describir un tiempo de servicio

determinístico.M, para denotar que los tiempos de servicio

son probabilísticos y siguen una distribución exponencial.

G, para denotar que los tiempos de servicio son probabilísticos y siguen una distribución general diferente a la exponencial.


Proceso de Líneas de Espera. Este número, c (o también puede ser s), representa cuántas estaciones o canales paralelos existen en el sistema.


Así que en el ejemplo de la máquina copiadora de la oficina es un modelo:

M/M/1 donde, la primer letra se refiere a

la distribución de llegadas, la segunda a la distribución del servicio y, el número, a la cantidad de servidores en el sistema.

Ejercicios

M/M/3Llegadas con distribución exponencialServicio con distribución exponencial3 servidores

D/G/1Llegadas con número determinísticoServicio con distribución general1 servidor

MODELO: M/M/s

MODELO: M/M/s

Población de clientes infinita. Proceso de llegadas con probabilidad

exponencial. Proceso de líneas de espera que consiste en una

sola línea de capacidad infinita, con disciplina de primeras entradas primeras salidas.

Proceso de servicio que consiste en s servidores idénticos, los cuales atienden a los clientes de acuerdo a una distribución exponencial.

FórmulasINDICE FORMULA

Utilización λ sμ

Prob. de que el sistema esté vacío (P0)

1

n=0Σs-1(λ/μ)n + (λ/μ)s λ -1

n! s! sμ

Unidades en fila (Lq) P0 (λ/μ)s UTILIZACION s! (1 - UTILIZACION)²

Unidades en sistema (L) Lq + λ/μ

Tiempo en fila (Wq) Lq / λ

Tiempo en sistema (W) Wq + 1/μ

1 -

Ejemplo M/M/s

El laboratorio de hematología del Hospital General atiende a gran cantidad de personas. La mayor parte de los pacientes nuevos deben pasar por el laboratorio de hematología como parte del proceso de diagnóstico y debe ser examinado por un técnico.

El director del Hospital debe decidir cuántos técnicos contratar.

Ejemplo M/M/s

Suponga que el tiempo interarribos está dado por una distribución exponencial de 0.20 por minuto.

Así mismo, suponga que cada servidor es idéntico y cada tiempo de servicio está dado por una distribución exponencial, con una tasa promedio de servicio de mu = 0.125 pacientes por minuto.

Ejemplo M/M/s

Para una línea de espera con múltiples servidores, existirá un estado estable, siempre y cuando λ < sμ, donde s es el número de servidores.

Ejercicio 1

El banco Santander emplea tres cajeros los sábados. El tiempo interarribos y el tiempo de servicio a los clientes tienen ambos una distribución exponencial. Los clientes llegan a una tasa de 20 por hora, y el tiempo medio de servicio es de seis minutos. Los clientes forman una sola fila y son atendidos por el primer cajero disponible. Encuentre:

lineas de espera

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