lineární algebra pro it

Lineární algebra pro IT

Ing. Petr Beremlijski, Ph.D.Katedra aplikované matematiky, FEI

[email protected], místnost EA 534 (Nová FEI)

http://homel.vsb.cz/~ber95/LAIT/lait.htm


Aplikace I: dopravní problém

Úvodní přednáška LA-IT

S1=100

S2=300

S3=50

O1=100

O2=170

O3=100

O4=80

x1,1

x1,2

x1,3

x2,2

x2,3

x2,4x3,1

x3,4



Soustava lineárních rovnic:

x1,1 100, x1,2 0, x1,3 0

x2,2 170, x2,3 100, x2,4 30

x3,1 0, x3,4 50

8010017010050300100

4,34,2

3,23,1

2,22,1

1,31,1

4,31,3

4,23,22,2

3,12,11,1

xxxx

xxxx

xxxxx

xxx

x1,1 50 q, x1,2 50 p q, x1,3 100 p

x2,2 220 p q, x2,3 p, x2,4 80 q

x3,1 50 q, x3,4 q

pro lib. p,q 0 50,100 a qp



S1=100

S2=300

S3=50

O1=100

O2=170

O3=100

O4=80

100

00

170

100

30 050


8010017010050

300100

,,

10100000000101000000101001000001110000000011100000000111

4,3

1,3

4,2

3,2

2,2

3,1

2,1

1,1

bxA

xxxxxxxx

• Řešitelnost soustavy– soustava nemá řešení

(zboží nelze rozvést)– soustava má jediné řešení

(zboží lze rozvést jediným způsobem)

– soustava má nekonečně mnoho řešení (zboží lze rozvést různým způsobem – možno dále specifikovat jakým)


Maticový zápis soustavy:

Ax b



S1=100

S2=300

S3=50

O1=100

O2=170

O3=100

O4=80

c1,1=1c1,2=4c1,3 =2

c2,2=1.5

c2,3=2.5c2,4 =0.5c 3,1

=2

c3,4=0.5

Náklady na přepravu zboží:

1,1 1,2 1,3 2,2 2,3 2,4 3,1 3,4

1,1 1,2 1,3 2,2 2,3 2,4 3,1 3,4

1,1 1,2 1,3

2,2 2,3 2,4

3,1 3,4

1,1 3,1

Nalézt , , , , , , , 0 tak, aby

1 4 2 1.5 2.5 0.5 2 0.5

bylo co nejmenší, a zároveň10030050

100

x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x xx x x

x xx x

1,2 2,2

1,3 2,3

2,4 3,4

17010080

x xx x

x x


oxbAxxc a kde ,min T

5.025.05.25.1

241

4,3

1,3

4,2

3,2

2,2

3,1

2,1

1,1

cccccccc

c


Optimalizační úloha:

Maticový zápis:

Aplikace II: vyhledávací nástroje

• Knihovny o tisících knih či jiných dokumentů– Manuální indexování pomocí klíčových slov– Boolovské vyhledávání

• Internet o miliónech webových stránek a dalších dokumentů– Vyhledávání na základě podobnosti k dotazu– Statisíce klíčových slov– Automatické indexování

• Vyhledávací nástroje jsou založeny na základech lineární algebry!


Aplikace II: seznam receptů• R1: Čočka po orientálsku

– Ingredience: cca 1/4 kg čočky, 2 rajčata, 1 mrkev, 1 větší cibule, kousek celeru (nemusí být), sůl, olej, špetka saturejky, kari podle chuti

• R2: Fazole s klobásou – Ingredience: 300 g bílých fazolí, 2 bobkové listy, 200 g klobásy, 1 velká

cibule, 2 lžíce hladké mouky, 1 lžíce mleté papriky, 4 lžíce kečupu, 1 palička česneku, majoránka

• R3: Klobásový koláč se špenátem – Ingredience: 250 g polohrubé mouky, 140 g másla, sůl, 1 cibule, 300 g

mraženého špenátu, pepř, muškátový oříšek, 2 lžíce strouhanky, 500 g bílé klobásy v celku, 1 lžíce oleje, 100 g strouhaného sýra (např. goudy), 3 vejce, 6 lžic mléka


Aplikace II: seznam receptů II• R4: Chilli con carne

– Ingredience: 500 g mletého hovězího masa, 200 g červených fazolí, 2 lžíce oleje, 1 cibule, 2 zelené papriky, 500 g rajčat, 2 stroužky česneku, 1 lžíce sladké papriky, 1/2 lžička chilli, 1/2 lžičky oregana, 1/4 lžičky pepře, bobkový list, petželka, sůl

• R5: Argentinská čočka – Ingredience: 350 g čočky, olej, 2-3 velké cibule, 1 klobása, ostrý kečup

Hamé, sůl, pepř• R6: Čočka s kuřecím masem a mandlemi

– Ingredience: 200 g čočky, 500 g kuřecích prsíček, 2 cibule, 100 g plátků mandlí, sůl, kari koření, 2 bobkové listy, olej

Recepty převzaty z www.recepty.cz


Aplikace II: klíčová slova

• Fazole (Fazolí)• Čočka (Čočky)• Kuřecí (Kuřecího)• Hovězí (Hovězího)• Klobása (Klobásy)• Česnek (Česneku)

Je třeba provést indexování

K1 se vyskytuje v R2,4 K2 se vyskytuje v R1,5,6K3 se vyskytuje v R6 K4 se vyskytuje v R4 K5 se vyskytuje v R2,3,5K6 se vyskytuje v R2,4


Aplikace II: matice klíčových slov a dokumentů

• Řádky matice reprezentují klíčová slova

• Sloupce reprezentují dokumenty

• Prvky matice představují počty výskytů klíčových slov v dokumentech

• Sloupcové vektory pak představují výskyt klíčových slov v dokumentech


0 1 0 1 0 01 0 0 0 1 10 0 0 0 0 10 0 0 1 0 00 1 1 0 1 00 1 0 1 0 0

A

Aplikace II: dotazy

• Vyber „zdravý“ recept, tj. který bude obsahovat fazole, čočku a nebo kuřecí maso– Vektorový zápis: q1=[1,1,1,0,0,0]

• Vyber „nezdravý“ leč „chutný“ recept, který obsahuje klobásku a česnek– Vektorový zápis: q2=[0,0,0,0,1,1]

• Výběr receptů tak závisí na „blízkosti“ dotazů q1, q2 k jednotlivým sloupcům matice A– popisují výskyty klíčových slov v jednotlivých dokumentech


Aplikace II: test blízkosti• Vzdálenost bodu dotazu od

bodu definovaného sloupcem matice A

• Cosinus úhlu mezi vektorem dotazu a sloupcem matice A


( ,, 1,...,6

|| ||·|| ||)

cosAi

i Ai

q si

q s

62

,1

, 1,...|| || ( ) ,6A Ai k i k

k

q s q s i

Aplikace II: výsledek vyhledávání• Test blízkosti: cosinus úhlu mezi vektorem dotazu a sloupcem matice A


1

2

3

4

5

6

cos 0.5774coscos 0cos 0.3333cos

0.3333

0.4082cos 0.8165

1

2

3

4

5

6

cos 0coscos 0.7071cos 0.4082

0.8165

cos 0.5000cos 0

Dotaz q1 Dotaz q2

Čočka s kuřecím masem a mandlemi

Fazole s klobásou

Aplikace III: délka vodiče


Určete potřebnou délku vodiče zavěšeného na sloupech vysokého napětí, pokud jsou sloupy od sebe vzdáleny 12 metrů.

L

u

G


huu

huu

121

010

)(tg

)(tg


u0 u1u2 u3

u4

u5u6h h h h h h

P PG

)sin()(tg Malé deformace:

u1- u0

h

h

u2- u1u1

u0 0

1

u22

Linearizace úlohy:

P1

-P1

P0


huuPPP

huuPPP

1211

0100

)sin(

)sin(


P

P

u0

u1

0

1

G

PGhuuu

hGh

uuPh

uuP

hGPP

2

210

1201

10

2

)(


FhuuuFhuuuFhuuuFhuuuFhuuu

2654

2543

2432

2321

2210

22

22

2


Soustava lineárních rovnic:

0

26

12

0278.0300

81.985.0"lanatuhost "

60

uu

mLhmL

F

gPGF l

1112.021112.021112.021112.021112.02

54

543

432

321

21

uuuuu

uuuuuu

uu

0.27800.44480.50040.44480.2780

5

4

3

2

1

uuuuu

Au=b


0192.2278.02

)()0(

22

201

210

uuhuu


[0,u0]

[h,u1]0538.12

0192.20069.20008.20008.20069.20192.2

655443322110

uuuuuuuuuuuuLu

Pokud jsou sloupy od sebe vzdáleny 12 metrů, potřebujeme 12.0538 metrů vodiče.

Výpočet délky:

Norma vektoru:

u0 u1u2 u3

u4

u5u6h h h h h h

Aplikace IV: složitější úloha


At=b

Aplikace V: ještě složitější úloha

Úvodní přednáška LA1

Paralelní řešení

0,00000010,000001

0,000010,0001

0,0010,01

0,11

10100

100010000

1000001000000

Čas řešení log (s)

100 400 1600 6400 25600

Počet neznámých

Gaussova metoda Rozložení oblasti

Škálovatelné algoritmyV případě paralelních algoritmů je výpočetní náročnost přímoúměrná počtu neznámých


Současné superpočítače

• Tianhe-2• Intel Xeon E5• Kylin Linux• 3 120 000 jader• 33.86 PetaFlops

• http://www.top500.org

National University of Defense Technology, Guangzhou,China

http://en.wikipedia.org/wiki/National_University_of_Defense_Technology



http://en.wikipedia.org/wiki/Guangzhou

http://en.wikipedia.org/wiki/China

IT4Innovations – superpočítač v Ostravě

http://www.it4i.cz

http://www.it4i.cz/stavba.php

IT4Innovations – superpočítač v Ostravě

• Malý klastr – Anselm • zprovozněn v květnu 2013• http://www.it4i.cz/hardware/• https://docs.it4i.cz/anselm-cluster-documentation

• Velký klastr • předpokládáné uvedení do provozu v průběhu

roku 2015• http://www.it4i.cz/hardware/

http://www.it4i.cz/hardware/

https://docs.it4i.cz/anselm-cluster-documentation

http://www.it4i.cz/hardware/

• www.it4innovations.eu• www.it4i.eu• www.it4innovations.cz• www.it4i.cz

Obsah předmětu• Operace s vektory a maticemi

– vlastnosti těchto operací• Řešení soustav lineárních rovnic• Teorie vektorových prostorů

– řešitelnost soustav lineárních rovnic• Lineární zobrazení a transformace

– zobecnění soustav lineárních rovnic• Multilineární zobrazení, determinanty• Úvod do spektrální analýzy


Cíle předmětu• Seznámení se se základy maticového počtu• Zvládnutí principů řešení soustav lineárních rovnic (řešení,

teoretické souvislosti)• Porozumění pojmu vektorového prostoru (jeho vlastnosti a

použití)• Seznámení se s pojmy, základními vlastnostmi a užitím

lineárních a multilineárních zobrazení a problematikou s nimi související

• Pochopení základních pojmů spektrálni analýzy• Aplikace


Organizace výuky

Cvičení (C)

Demonstrované Cvičení (C1)

Přednáška (P)LB1IKT02, LB1IKT03, LB1IKT09, LB1IKT10

LB1IKT02, LB1IKT03

LB1IKT02 LB1IKT03

LB1IKT09, LB1IKT10

LB1IKT09 LB1IKT10


Hodnocení• Cvičení (max. 30 bodů)

– Písemný test 1 (12 bodů), minimálně 3 body je nutno získat– Písemný test 2 (12 bodů) , minimálně 3 body je nutno získat– 1 písemný test je možno opravit– Zápočtový projekt (6 bodů) , minimálně 3 body je nutno získat– Aktivní účast na „koncových“ cvičeních (aktivní účastí se rozumí

přítomnost na 80% cvičení, očekává se, že student je na cvičení připraven z přednášky a demonstrovaného cvičení, případně samostudiem, a zapojuje se do jeho průběhu, v případě, že student nenaplní toto očekávání, není mu započítána účast)

– Pro udělení zápočtu je nutno získat minimálně 10 bodů a splnit podmínku aktivní účasti.


Hodnocení• Písemná zkouška (max. 70 bodů)

– Ukázka zkouškové písemné práce

• Celkem (max. 100 bodů)– nevyhověl (0-50 bodů)– dobře (51-65 bodů)– velmi dobře (66-85 bodů)– výborně (86-100 bodů)


http://homel.vsb.cz/~ber95/LAIT/zadani.pdf

Literatura• Základní literatura

– Z. Dostál, Lineární algebra, VŠB-TU Ostrava 2000 – Z. Dostál, V. Vondrák, D. Lukáš, Lineární algebra, VŠB-TU Ostrava 2012

http://mi21.vsb.cz/modul/linearni-algebra– M. Demlová, B. Pondělíček, Úvod do algebry, ČVUT Praha 1996– Sylaby přednášek na http://homel.vsb.cz/~ber95/LAIT/lait.htm

• Doplňková literatura– L.Šindel, Sbírka úloh z algebry, VŠB-TU Ostrava 2006– B. Budinský, J. Charvát, Matematika I, SNTL Praha 1987 – V. Havel, J. Holenda, Lineární algebra, SNTL/Alfa Praha 1984 – J. Schmidtmayer, Maticový počet a jeho použití v technice, SNTL Praha 1967– J. Vrbický, D. Šalounová, M. Sedláček, Lineární algebra, VŠB-TU Ostrava 1994– Sylaby cvičení na http://homel.vsb.cz/~ber95/LAIT/lait.htm


http://mi21.vsb.cz/modul/linearni-algebra





lineární algebra pro it

Documents