linear programming

B CNG THNG TRNG I HC CNG NGHIP TP. HCM

Nguyn c Phng

Bi ging Quy hoch tuyn tnh

MSSV: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H tn: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

TP. HCM Ngy 4 thng 10 nm 2011

Mc lcMc lc 1 Gii thiu quy hoch tuyn tnh 1.1 Mt s v d dn n bi ton quy hoch tuyn tnh . . . 1.2 Cc dng ca bi ton quy hoch tuyn tnh . . . . . . . . 1.2.1 Bi ton quy hoch tuyn tnh dng tng qut . . 1.2.2 Bi ton quy hoch tuyn tnh dng chun . . . . 1.2.3 Bi ton quy hoch tuyn tnh dng chnh tc . . 1.3 Quan h dng chun v chnh tc . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 i chiu bt ng thc ca cc rng buc . . . . . 1.3.2 Bin khng rng buc . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Quan h dng chun, chnh tc . . . . . . . . . . . 1.4 Dng ma trn ca bi ton quy hoch . . . . . . . . . . . 1.5 Phng n chp nhn c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 ngha hnh hc ca bi ton quy hoch tuyn tnh . . . 1.6.1 Phng php th . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2 Tnh cht ca tp phng n chp nhn c . . . 1.7 im cc bin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Phng n c bn chp nhn c . . . . . . . . . . . . . 1.8.1 Nghim c bn ca Ax D b . . . . . . . . . . . . . 1.8.2 Thnh lp phng n cc bin . . . . . . . . . . . . 1.8.3 Phng n cc bin v phng n ti u . . . . . . i 1 1 5 5 5 6 8 8 9 10 14 15 16 16 18 21 22 23 26 30

ii

MC LC 1.9 Bi tp chng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 33 36 37 41 41 43 51 53 58 65 65 67 69 73 82 87 87 89 93 93 94 94 96 96 . . . . . . . .

2 Phng php n hnh 2.1.1 Phng n cc bin ban u . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Du hiu ti u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Chn bin vo c s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Chn bin ra khi c s . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5 Lp bng n hnh mi . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Thut ton n hnh cho bi ton min . . . . . . . . . . . 2.3 Bi ton chnh tc khng c sn ma trn n v . . . . . . 2.4 Bi tp chng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 L thuyt i ngu 3.1 V d dn n bi ton i ngu . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Bi ton i ngu ca bi ton max 3.1.2 Bi ton i ngu ca bi ton min . . . . . . . . . 3.2 Cc nh l v i ngu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Bi tp chng 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Bi ton vn ti 4.1 Bi ton vn ti cn bng thu pht . . . . . . . . . . . . . 4.2 Phng n cc bin ca bi ton vn ti . . . . . . . . . . 4.3 Cc phng php thnh lp phng n cc bin . . . . . 4.3.1 Phng php cc ph thp nht . . . . . . . . . . 4.3.2 Phng php gc Ty - Bc . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Phng php Vogel (Fogel) . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Thut ton th v gii bi ton vn ti . . . . . . . . . . . 4.4.1 Thut ton quy khng cc ph chn . . . . . . . 4.4.2 Xy dng phng n cc bin mi

2.1 Phng php n hnh cho bi ton quy hoch dng chun 33

. . . . . . . . . 101

MC LC 4.5 Mt s trng hp c bit ca bi ton vn ti . . . . . . 4.5.1 Bi ton vn ti khng cn bng thu pht . . . . . 4.5.2 Bi ton vn ti c cm . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Bi ton vn ti cc i cc ph . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Bi tp chng 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ti liu tham kho

iii 105 105 107 109 110 115

Chng 1 Gii thiu quy hoch tuyn tnh1.1 Mt s v d dn n bi ton quy hoch tuyn tnh V d 1.1 (Bi ton lp k hoch sn xut). Mt tri ca cc khc g thnh cc tm vn. C hai loi vn: vn thnh phm v vn s dng trong xy dng. Gi s, i vi: Vn thnh phm cn 2 gi ca v 5 gi bo 10m vn. Vn xy dng cn 3 gi ca v 3 gi bo 10m vn. My ca lm vic ti a 8 gi trong ngy, v my bo lm vic ti a 15 gi trong ngy. Nu li nhun ca 10m vn thnh phm l 120 (ngn ng), v li nhun ca 10m vn xy dng l 100 (ngn ng). Trong ngy, tri ca phi ca bao nhiu vn mi loi li nhun ln nht? Gii.

2

Gii thiu quy hoch tuyn tnh

V d 1.2 (Bi ton khu phn n). Chuyn gia dinh dng nh thnh lp mt thc n gm 2 loi thc phm chnh A v B. C mt (trm gram): Thc phm A cha 2 n v cht bo, 1 n v carbohydrate v 4 n v protein. Thc phm B cha 3 n v cht bo, 3 n v carbohydrate v 3 n v protein. Nu mt (trm gram) thc phm A gi 20 (ngn ng) v mt (trm gram) thc phm B gi 25 (ngn ng). Nh dinh dng mun thc n phi cung cp t nht 18 n v cht bo, 12 n v carbohydrate v 24 n v protein. Bao nhiu (trm gram) thc phm mi loi c gi nh nht nhng vn cung cp dinh dng? Gii.

1.1 Mt s v d dn n bi ton quy hoch tuyn tnh

3

V d 1.3 (Bi ton vn ti). Mt nh sn xut c 2 nh my: Mt nh my Vnh Phc v mt nh my Bnh Dng. C 3 kho hng phn phi sn phm t H Ni, TP. HCM v Cn Th. Nh my Vnh phc; Bnh Dng, c kh nng cung cp ti a 100; 140 tn mi tun. Lng cu ca cc kho H Ni, TP. HCM v Cn Th ln lt t 100; 60 v 80 tn tr ln. Chi ph vn chuyn (trm ngn) mi tn cho nh bng bn di. Hi cn vn chuyn bao nhiu tn hng ha t nh sn xut n cc kho hng H Ni, TP. HCM v cn th chi ph nh nht nhng vn p ng nhu cu?

4``` ``` Trm thu ``` ``` ``` Trm pht ```

Gii thiu quy hoch tuyn tnh H Ni W1 :100 5 8 TP. HCM Cn th W2 :60 W3 :80 7 9 7 10

Vnh Phc-Q1 : 100 Bnh Dng-Q2 :140

Gii.

1.2 Cc dng ca bi ton quy hoch tuyn tnh 1.2 Cc dng ca bi ton quy hoch tuyn tnh 1.2.1 Bi ton quy hoch tuyn tnh dng tng qut

5

T cc v d mc 1.1, bi ton quy hoch tuyn tnh tng qut c pht biu nh sau: Tm x1 ; x2 ; : : : ; xn sao cho z D c1x1 C c2x2 C C cnxn ! max .hay min/ Vi cc rng buc 8 a11 x1 C a12x2 C C a1nxn ./.D/ b1 < a x C a x C C a x ./.D/ b 21 1 22 2 2n n 2 : : : : : : : : : : : : : a x C a x C C a x ./.D/ b m1 1 m2 2 mn n m (1.1)

(1.2)

Hm tuyn tnh (1.1) gi l hm mc tiu. H bt phng trnh tuyn tnh (1.2) gi l cc rng buc. V tri ca cc rng buc l cc hm tuyn tnh vi x1 ; x2 ; : : : ; xn l cc bin s.

1.2.2 Bi ton quy hoch tuyn tnh dng chun Chng ta ni bi ton quy hoch tuyn tnh c dng chun nu n c dng nh sau: Tm x1 ; x2 ; : : : ; xn sao cho z D c1 x1 C c2x2 C C cn xn ! max; .hay min/ Vi cc rng buc 8 a11x1 C a12x2 C C a1nxn b1 < a x C a x C C a x b 21 1 22 2 2n n 2 : : : : : : : : : : : : : a x C a x C C a x b m1 1 m2 2 mn n m xj 0; j D 1; 2; : : : ; n (1.3)

(1.4) (1.5)

6


1.2.3 Bi ton quy hoch tuyn tnh dng chnh tc Chng ta ni bi ton quy hoch tuyn tnh c dng chnh tc nu n c dng nh sau: Tm x1 ; x2 ; : : : ; n sao cho z D c1x1 C c2 x2 C C cnxn ! max; .hay min/ Vi cc rng buc 8 a11x1 C a12 x2 C C a1nxn D b1 < a x C a x C C a x D b 21 1 22 2 2n n 2 : : : : : : : : : : : : : a x C a x C C a x D b m1 1 m2 2 mn n m xj 0; j D 1; 2; : : : ; n (1.6)

(1.7) (1.8)

V d 1.4. Cho bit dng ca cc bi ton quy hoch tuyn tnh sau: a. z D 3x1 C 2x2 ! min Vi cc rng buc 2x1 C x2 4 3x1 2x2 6 x1 0; x2 0 b. z D 2x1 C 3x2 C 4x3 ! max Vi cc rng buc 8 3x3 < 3x1 C 2x2 2x1 C 3x2 C 2x3 : 3x1 x2 C 2x3 x1 0; x2 0; x3 0 4 6 8

c. z D 3x1 C 2x2 C 3x3

2x4 ! max

Vi cc rng buc 8 4x4 D 7 < 2x1 C 6x2 C 2x3 3x1 C 2x2 5x3 C x4 D 8 : 6x1 C 7x2 C 2x3 C 5x4 4 x1 0; x2 0; x3 0; x4 0Mt s sch c nh ngha khc v dng chun v dng chnh tc. Cc bn cn c k nh ngha khi tham kho cc ti liu khc.

1.2 Cc dng ca bi ton quy hoch tuyn tnh d. z D 2x1 C 5x2 C x3 C x4 C 4x5 ! min Vi cc rng buc 3x1 C 2x2 x3 C 2x5 D 4 4x1 C 5x2 C 3x3 C 2x4 D 7 x1 0; x2 0; x3 0; x4 0; x5 0 e. z D 2x1 C 5x2 ! max Vi cc rng buc 3x1 C 2x2 6 2x1 C 9x2 8 x1 0 f. z D 2x1 C 3x2 ! min Vi cc rng buc 8 x3 D 4 < 2x1 C x2 3x C 2x2 C x3 D 8 : 1 x1 x2 D 6 x1 0; x2 0

7

Ch . Bi ton tm gi tr nh nht ca hm mc tiu c th vit thnh bi ton tm gi tr ln nht ca hm mc tiu v ngc li. iu ny cc bn s thy qua quan h: 1 0 n n X X (1.9) cj xj A cj xj D max @ minj D1 j D1

tng ng

min z D

max. z/

(1.10)

Do , khng mt tnh tng qut trong phn l thuyt ta ch pht biu bi ton tm gi tr ln nht ca hm mc tiu .max z/. Bi ton tm gi tr nh nht hm mc tiu .min z/ th c th s dng (1.10). V d 1.5. Chuyn cc bi ton quy hoch tuyn tnh tm max hm mc tiu thnh tm min hm mc tiu hay ngc li a. z D 2x1 C 3x2 C 4x3 ! max Vi cc rng buc

8 8 3x3 < 3x1 C 2x2 2x C 3x2 C 2x3 : 1 3x1 x2 C 2x3 x1 0; x2 0; x3 0 b. z D 3x1 C 2x2 ! min Vi cc rng buc 2x1 C x2 4 3x1 2x2 6 x 0; y 0 Gii. 4 6 8


1.3 Quan h dng chun v chnh tc 1.3.1 i chiu bt ng thc ca cc rng buc Nu ta nhn hai v ca bt phng trnh k1 x1 C k2x2 C C kn xn b vi 1 ta c bt phng trnh k1x1 k2 x2 knxn b

1.3 Quan h dng chun v chnh tc

9

V d 1.6. Chuyn bi ton quy hoch tuyn tnh sau sang dng chun: z D 2x1 C 3x2 C 4x3 ! max Vi cc rng buc 8 3x3 < 3x1 C 2x2 2x1 C 3x2 C 2x3 : 3x1 x2 C 2x3 x1 0; x2 0; x3 0 Gii.

4 6 8

1.3.2 Bin khng rng buc Ta bit, mt s bt k chnh l hiu ca hai s khng m. Gi s xj khng c rng buc khng m, chng ta c th thay xj bng hai bin C xj 0 v xj 0 sao cho C xj D xj xj Vi cch ny chng ta c th chuyn bi ton khng c rng buc khng m thnh bi ton c rng buc khng m. V d 1.7. Chuyn bi ton quy hoch tuyn tnh sau sang dng chun z D 2x1 C 5x2 ! max Vi cc rng buc 3x1 C 2x2 6 2x1 C 9x2 8 x1 0 (1.11) (1.12) (1.13)

10 Gii.


Nhn xt. Mi bi ton quy hoch tuyn tnh u c th chuyn i thnh dng chun bng cc cch nh trn. 1.3.3 Bin i bi ton quy hoch dng chun thnh dng chnh tc Xt rng buc thc i trong bi ton quy hoch tuyn tnh dng chun ai1 x1 C ai 2x2 C C ai nxn bi (1.14)

Chng ta c th chuyn rng buc (1.14) thnh phng trnh tuyn tnh bng cch thm vo bin ph xnCi 0; v ai1 x1 C ai 2x2 C C ai nxn C xnCi D bi (1.15)

Bi ton quy hoch tuyn tnh dng chun chuyn thnh dng chnh tc c dng nh sau z D c1x1 C c2x2 C C cnxn ! max Vi cc rng buc 8 a11 x1 C C a1nxn C xnC1 D b1 < a x C C a x C xnC2 D b2 21 1 2n n : : : : : : : : : : a x C C a x C xnCm D bm m1 1 mn n x1 0; : : : ; xn 0; xnC1 0; : : : ; xnCm 0

1.3 Quan h dng chun v chnh tc

11

V d 1.8. Chuyn bi ton quy hoch tuyn tnh sau sang dng chnh tc z D 120x1 C 100x2 ! max Vi cc rng buc 2x1 C 3x2 8 5x1 C 3x2 15 x1 0; x2 0 Gii.

V d 1.9. Chuyn cc bi ton quy hoch tuyn tnh sau sang dng chnh tc a. z D 3x1 C 2x2 ! min Vi cc rng buc 2x1 C x2 4 3x1 2x2 6 x1 0; x2 0

12 b. z D 2x1 C 3x2 C 4x3 ! max Vi cc rng buc 8 3x3 < 3x1 C 2x2 2x1 C 3x2 C 2x3 : 3x1 x2 C 2x3 x1 0; x2 0; x3 0 4 6 8


c. z D 3x1 C 2x2 C 3x3

2x4 ! max

Vi cc rng buc 8 4x4 D 7 < 2x1 C 6x2 C 2x3 3x1 C 2x2 5x3 C x4 D 8 : 6x1 C 7x2 C 2x3 C 5x4 4 x1 0; x2 0; x3 0; x4 0

d. z D 2x1 C 5x2 ! max Vi cc rng buc 3x1 C 2x2 6 2x1 C 9x2 8

1.3 Quan h dng chun v chnh tc x1 0

13

e. z D 2x1 C 3x2 ! min Vi cc rng buc 8 x3 D 4 < 2x1 C x2 3x1 C 2x2 C x3 D 8 : x1 x2 D 6 x1 0; x3 0

14


1.4 Dng ma trn ca bi ton quy hoch Xt bi ton quy hoch dng chun: z D c1x1 C c2x2 C C cnxn ! max Vi cc rng buc 8 a11 x1 C a12x2 C C a1nxn b1 < a x C a x C C a x b 21 1 22 2 2n n 2 : : : : : : : : : : : : : a x C a x C C a x b m1 1 m2 2 mn n m xj 0; j D 1; 2; : : : ; n 1 0 t B B ADB @ 0 a11 a12 a1n a21 a22 a2n : : : : : : : : : am1 am2 amn C C C; A B B xDB @ x1 x2 : : : xn 1 C C C; A B B bDB @ 0 b1 b2 : : : bm 1 C C C; A B B cDB @ 0 c1 c2 : : : cn 1 C C C A

Chng ta c th vit bi ton quy hoch trn thnh dng ma trn: Tm x 2 Rn sao cho z D cT x ! max Vi cc rng buc Ax b x0 V d 1.10. Vit bi ton quy hoch tuyn tnh sau di dng ma trn. z D 120x1 C 100x2 ! max Vi cc rng buc 2x1 C 3x2 8 5x1 C 3x2 15 x1 0; x2 0 Gii.

1.5 Phng n chp nhn c

15

1.5 Phng n chp nhn c nh ngha 1.1 (Phng n chp nhn c). Vct x 2 Rn tha tt c cc rng buc ca bi ton quy hoch tuyn tnh c gi l phng n chp nhn c. V d 1.11. Cho bi ton quy hoch tuyn tnh: z D 120x1 C 100x2 ! max Vi cc rng buc 2x1 C 3x2 8 5x1 C 3x2 15 x1 0; x2 0 v cc phng n: 1 x1 D ; 2 Gii.

x2 D

2 1

;

x3 D

1 3

;

x4 D

2 2

Phng n no l phng n chp nhn c?

16


nh ngha 1.2 (Phng n ti u). Phng n chp nhn c lm cho hm mc tiu c gi tr ln nht (nu l bi ton max) hay nh nht (nu l bi ton min) th c gi l phng n ti u. 1.6 ngha hnh hc ca bi ton quy hoch tuyn tnh Trong phn ny ta xt n phng php gii bi ton quy hoch tuyn tnh bng hnh hc. Phng php hnh hc ch gii bi ton quy hoch tuyn tnh hai hoc ba bin. Tuy nhin, ngha ca phng php ny cho ta tng xy dng thut ton i s c th gii c bi ton rt ln s c trnh by trong chng 2. 1.6.1 Phng php th gii bi ton quy hoch tuyn tnh V d 1.12. Gii bi ton quy hoch tuyn tnh z D 4x C 3y ! max Vi cc rng buc x C y 4 5x C 3y 15 x 0; y 0 Gii.

1.6 ngha hnh hc ca bi ton quy hoch tuyn tnh

17

V d 1.13. Gii bi ton quy hoch tuyn tnh z D 2x C 5y ! max Vi cc rng buc 3x C 2y 6 x C 2y 2 x 0; y 0 Gii.

18


1.6.2 Tnh cht ca tp phng n chp nhn c nh ngha 1.3 (on thng). on thng ni hai im x1 v x2 c nh ngha fx 2 Rn jx D x1 C .1 /x2 ; 0 1g (1.16)

Theo , nu D 0 chng ta c x2 , v nu D 1 chng ta c x1. Nhng im thuc on thng vi 0 < < 1 c gi l cc im trong ca on, v x1 v x2 c gi l im bin ca on thng.x1 x D x1 C .1 /x2 x2

Hnh 1.1: x1 ; x2 l hai im bin, x l im trong

nh l 1.4. Cho x1 v x2 l hai phng n chp nhn c ca bi ton quy hoch tuyn tnh. im x D x1 C .1 /x2 ; 0 1, trn on ni hai im x1 v x2 : Khi i. x cng l phng n chp nhn c. ii. Nu cc gi tr hm mc tiu cT x1 D cT x2 th cT x D cT x1 D cT x2 : iii. Nu cc gi tr hm mc tiu cT x1 < cT x2 th cT x < cT x2 : Chng minh. Gi s bi ton quy hoch tuyn tnh c rng buc aT x b: V x1 v x2 l hai phng n chp nhn c cho nn aT x1 b v aT x2 b:

1.6 ngha hnh hc ca bi ton quy hoch tuyn tnh i. Vi x D x1 C .1 chng ta c

19

/x2 ; 0 < < 1, trn on ni hai im x1 v x2 ; aT x D aT .x1 C .1 /x2 /

D aT x1 C .1 /aT x2 b C .1 /b < b Do x tha rng buc cho nn x cng l phng n chp nhn c. Vy, cc im trn on ni hai phng n chp nhn c l cc phng n chp nhn c. ii. Theo i), x l phng n chp nhn c. cT x D cT .x1 C .1 D cT x1 C .1 D cT x2 D cT x1 Vy cc phng n chp nhn c cng thuc mt on thng th cng gi tr hm mc tiu. iii. Vi x D x1 C .1 /x2 ; 0 < < 1, trn on ni hai im x1 v x2 ; chng ta c cT x D cT .x1 C .1 D cT x1 C .1 < cT x2 C .1 /x2 / /cT x2 /cT x2 D cT x2 /x2 / /cT x2

T nh l ny, xt tp cc phng n chp nhn c l on thng ni bi hai im x1 ; x2 th mt im bin c gi tr hm mc tiu ln nht v im bin cn li c gi tr hm mc tiu nh nht. V d 1.14. Xem li bi ton quy hoch tuyn tnh nh v d 1.12 trang 16. z D 4x C 3y ! max Vi cc rng buc x C y 4 5x C 3y 15 x 0; y 0

20y 4 A x1 x B x2 C 0 2 (a) x

Gii thiu quy hoch tuyn tnhy 4 z=3 2 A x1 B x x2 C 0 2 (b) Hnh 1.2: x

2

a. Ta thy xT D .1=2I 2/; xT D .2I 1=2/ l phng n chp nhn c v 1 2 im x thuc on ni hai im x1 ; x2 : im x nh bi 2 x D x1 C .1 / x2; D 3 cng l phng n chp nhn c, xem hnh 1.2a. b. Cho hai phng n chp nhn c xT D .1=2I 7=3/ v xT D .2I 1=3/ 1 2 c cng gi tr hm mc tiu l .z=3 D 3/ ; th phng n x thuc on ni hai im x1 x2 : im x nh bi 2 x D x1 C .1 / x2; D 3 cng cng gi tr hm mc tiu l .z=3 D 3/ ; xem hnh 1.2b. nh ngha 1.5 (Tp li). Tp S 2 Rn c gi l tp li nu vi hai im phn bit bt k x1 v x2 thuc S th on ni hai im x1 v x2 cng nm trong tp S: V d 1.15. Cc tp con ca R2 trong hnh 1.3 l cc tp li. Cc tp con ca R2 trong hnh 1.4 khng phi l tp li. nh l 1.6. Tp tt c cc phng n chp nhn c S D fxjAx D b; x 0g ca bi ton quy hoch tuyn tnh dng chnh tc l mt tp li. Chng minh. Gi x1 ; x2 2 S l hai phng n chp nhn c, theo nh l 1.4(i) th x D x1 C .1 /x2 cng l phng chp nhn c. Do x 2 S; hay S l tp li

1.7 im cc binC D x1 A y x2 B (a) x2 x1 x (d) (e) Hnh 1.3: x2 x1 (a) x2 x1 (b) Hnh 1.4: (c) x2 x1 x (f) y (b) x1 x2 A C x1 x2 B (c) x1 x2 x1 x2

21

1.7 im cc bin nh ngha 1.7 (T hp li). im x 2 Rn l t hp li ca r im x1 ; x1 ; : : : ; xr trong Rn nu tn ti 1 ; 2 ; : : : ; r 0; 1 C 2 C C r D 1 sao cho x D 1 x1 C 2 x2 C C r xr : nh l 1.8. Tp cha tt cc t hp li ca hu hn cc im trong Rn l mt tp li. Chng minh. Gi S l tp cha tt c cc t hp li ca r im x1 ; x1 ; : : : ; xr trong Rn : Ly x; y 2 S x D 1 x1 C 2 x2 C C r xr ;r X i D0 r X i D0

i D 1;

i > 0

y D 1 x1 C 2 x2 C C r xr ;0 0 0

i D 1;

0

i > 0

0

22


im thuc on ni hai im x; y c dng z D x C .1 /y 0 0 0 D .1 C 1 1 /x1 I .2 C 2i D1 r P

2 /x2I : : : I .r C r0 0

0

0

r /xr

0

Ta thy

i C i

0

i D 1;

0

i C i

i > 0: Cho nn z 2 S; hay

S l tp li. nh ngha 1.9 (im cc bin ca tp li). im x ca tp li S c gi l im cc bin ca S nu x khng l t hp li ca hai im ca S khc x:B C

A E 0 Hnh 1.5:

D

V d 1.16. Tp li nh hnh 1.5, cc im A; B; C; D v E l im cc bin. Nhn xt. T nh ngha im cc bin, ta thy im x 2 S l im cc bin nu x D x1 C .1 /x2 ; x1 ; x2 2 S; > 0 th x1 D x2 D x: nh ngha 1.10 (Phng n cc bin). im cc bin ca tp cc phng n chp nhn c cn gi l phng n cc bin. 1.8 Phng n c bn chp nhn c Trong phn ny ta s kt hp tng ca phng php hnh hc v phng n cc bin c trnh by trong phn 1.6 v 1.7 gii bi

1.8 Phng n c bn chp nhn c

23

ton quy hoch tuyn tnh bng cng c i s. Ta s thy vai tr quan trng ca phng n cc bin trong vic tm phng n ti u ca hm mc tiu thng qua nh l 1.18. Do im cc bin rt kh xc nh bng phng php hnh hc khi bi ton quy hoch c t ba bin tr ln. Cho nn phn ny s trnh by phng php i s tm phng n cc bin. Cc khi nim c trnh by trong phn ny l nghim c bn, phng n c bn, phng n c bn chp nhn c. c th nh ngha phng n c bn, trc ht ta xt bi ton quy hoch tuyn tnh dng chnh tc z D cT x ! max Vi cc rng buc Ax D b x0 (1.17)

(1.18) (1.19)

Trong A l ma trn cp m n; c 2 Rn ; v b 2 Rm : t cc ct ca ma trn A l A1; A2 ; : : : ; An : Rng buc (1.18) c vit thnh x1 A1 C x2 A2 C C xn An D b Ta c hai gi s v ma trn A W Th nht l m n: Th hai l ma trn A c m dng c lp tuyn tnh. Ngha l hng ca A l m; khi trong n ct ca A s c m ct c lp tuyn tnh. Hai gi s ny ng cho bi ton quy hoch tuyn tnh dng chnh tc c bin i t bi ton quy hoch tuyn tnh dng chun. 1.8.1 Nghim c bn ca Ax D b Nghim c bn ca Ax D b c xy dng nh sau: (1) Chn tp T gm m ct c lp tuyn tnh ca A (Chn c s cho Rm ). m S c nhiu nht Cn tp T

(1.20)

24 (2) n

Gii thiu quy hoch tuyn tnh m bin tng ng vi cc ct cn li cho bng khng.

(3) Phng trnh Ax D b c vit li x1 A1 C x2 A2 C C xn An D b (1.21)

Trong Ai l ct th i ca A: t i1; i2 ; : : : ; im l ch s cc bin khng cho bng bng khng. H phng trnh (1.21) c vit gn xi1 Ai1 C xi2 Ai2 C C xim Aim D b h ny c m phng trnh, m n c duy nht mt nghim. (4) Nghim ca h ny kt hp vi n m thnh phn ta cho bng khng trn c gi l nghim c bn ca Ax D b: V d 1.17. Cho h phng trnh tuyn tnh bn n nh sau x1 C x2 C x3 D 4 5x1 C 3x2 C x4 D 15 Tm tt c nghim c bn. Gii. (1.22)


25

Trong mt nghim c bn bt k, n m bin c gi tr cho bng khng c gi l bin khng c bn, v m bin gii c gi l bin c bn. Nghim c bn l nghim ca h phng trnh Ax D b nn n khng cn phi tha iu kin x 0; v do nghim c bn khng nht thit phi l phng n chp nhn c ca bi ton quy hoch tuyn tnh. (1.17), (1.18) v (1.19). nh ngha 1.11 (Phng n c bn chp nhn c). Xt bi ton quy hoch tuyn tnh dng chnh tc c tp cc rng buc S D fxjAx D b; x 0g, nghim c bn ca Ax D b tha iu kin x 0 c l phng n c bn chp nhn c.

26


V d 1.18. Tm tt c cc phng n c bn chp nhn c ca z D 4x1 C 3x2 ! max Vi cc rng buc x1 C x2 C x3 D 4 5x1 C 3x2 C x4 D 15 xj 0; j D 1; : : : ; 4 Gii.

1.8.2 Thnh lp phng n cc bin Tp m ct c lp tuyn tnh ca A lp thnh mt c s ca Rm : Khng mt tnh tng qut, ta gi s m ct cui ca A c lp tuyn tnh. Gi S D fxjAx D b; x 0g l tp li cc phng n chp nhn c ca (1.17), (1.18) v (1.19). nh l 1.12. Gi s m ct cui ca A; c k hiu A1; A2 ; : : : ; Am l c lp tuyn tnh v0 0 0

x1 A1 C x2 A2 C C xm Am D b0 0 0 0 0 0

(1.23)

trong xi 0; 8i D 1; 2; : : : ; m: Khi im0

x D .0; 0; : : : ; 0; x1 ; x2 ; : : : ; xm /0 0 0

l phng n cc bin (im cc bin ca S). Chng minh. D dng ta c x l phng n chp nhn c ca bi ton quy hoch tuyn tnh (1.17), (1.18) v (1.19).


27

Gi s x khng l im cc bin ca S: Khi x l im trong ca mt on thuc S: Ngha l c hai im phn bit u; v 2 S khc x v s ; 0 < < 1 sao cho x D u C .1 /v (1.24) Trong u D .u1; u2 ; : : : ; un v v D .v1; v2 ; : : : ; vn T (1.24) chng ta c 0 D ui C .1 0 xj D ui C .1 /vi ; /vi ; 1i n m 1j m (1.25)m ; v1 ; v2 ; : : : ; vm /0 0 0

m ; u1 ; u2 ; : : : ; um /

0

0

0

0 0

Bi v ui ; vi v ; 1 l cc s dng cho nn ui D 0 v vi D 0 vi i D 1; 2; : : : ; n m: u l phng n chp nhn c nn u1 A 1 C u2 A 2 C C un A n D b0 0 0 0 0 0

(1.26)

Ly (1.23) tr cho (1.26) ta c .x10 0 0

u1/A1 C .x20

0

0

0

u2 /A2 C C .xn

0

0

0

un/An D b0 0

Bi v A1 ; A2; : : : ; Am c lp tuyn tnh, nn xi D vi ;0 0

81 i m

hay x D u; suy ra gi thit x u l sai. Vy x l im cc bin ca S: Nhn xt. Chng minh x D .x1 ; : : : ; xn / l phng n cc bin: Kim x l phng n chp nhn c. t T D fAj jxj > 0g; trong Aj l cc vct ct ca A: Nu cc vct ca T l c lp tuyn tnh th x l phng n cc bin.

28


V d 1.19. Chng minh xT D .1; 2; 3; 0/ l phng n cc bin ca bi ton z D 4x1 C 3x2 C 7x3 C 8x4 ! min Vi cc rng buc 8 < 3x1 C 3x2 C 4x3 C 5x4 D 21 7x1 x2 C x3 C 6x4 D 8 : 2x1 x2 C 5x3 C 2x4 D 15 xj 0; j D 1; : : : ; 4

Gii.

nh ngha 1.13. Phng n cc bin ca bi ton quy hoch tuyn tnh dng chnh tc c gi l khng suy bin nu s thnh phn dng ca n l m: Nu s thnh phn dng t hn m th gi l phng n cc bin suy bin. nh l 1.14. Nu x D .x1; x2 ; : : : ; xn / l phng n cc bin ca tp cc phng n S D fxjAx D b; x 0g th cc ct ca A tng ng xj > 0 c lp tuyn tnh. Chng minh. n gin, ta sp xp v nh s li cc ct ca A v cc 0 0 0 thnh phn ca x sao cho k thnh phn cui ca x, k hiu x1 ; x2 ; : : : ; xk l cc s dng. Vy phng trnh (1.20) c vit x1 A1 C x2 A2 C C xk Ak D b0 0 0 0 0 0

(1.27)

1.8 Phng n c bn chp nhn c0 0 0

29

Ta cn chng minh rng A1 ; A2; : : : ; Ak l c lp tuyn tnh. Ta chng minh bng phn chng, gi s chng khng c lp tuyn tnh. Ngha l tn ti c D .c1; c2 ; : : : ; ck / 0 sao cho c 1 A1 C c 2 A2 C C c k Ak D 00 0 0

(1.28)

Nhn (1.28) vi hng s d > 0, u tin cng kt qu vi (1.27) ta c phng trnh (1.29), sau tr kt qu vi (1.27) ta c phng trnh (1.30). .x1 C dc1/A1 C .x2 C dc2/A2 C C .xk C dck /Ak D b0 0 0 0 0 0

(1.29) (1.30)

.x1

0

dc1/A1

0

.x2 C dc2/A2 C C .xk

0

0

0

dck /Ak D b0

By gi ta chn hai im trong Rn , v D .0; 0; : : : ; 0; x1 C dc1; x2 C dc2; : : : ; xk C dck /0 0 0

v w D .0; 0; : : : ; 0; x10

dc1; x2 xj jcj j0

0

dc2; : : : ; xk

0

dck /

Bi v d l hng s dng bt k, ta chn nh sau: 0 < d < minj

;

cj 0

Vi cch chn d nh trn, ta thy k thnh phn sau ca v; w l cc s dng. Mc khc, t (1.29) v (1.30) ta cng c v; w l phng n chp nhn c. Nhng ta li c 1 1 x D v C w; 2 2 tri vi gi thit ban u x l im cc bin. Vy gi s k ct cui ca A c lp tuyn tnh l sai. H qu 1.15. S phng n cc bin ca tp phng n chp nhn c S D fxjAx D b; x 0g l hu hn. Chng minh. Bi v s h c m vct ct c lp tuyn tnh l hu hn, nn theo nh l 1.14 th s phng n cc bin ca S l hu hn. H qu 1.16. S thnh phn dng ca mt phng n cc bin ti a l m:

30


Chng minh. Theo nh l 1.14, cc ct ca A tng ng vi cc thnh phn dng ca phng n cc bin x 2 S l c lp tuyn tnh trong Rm . Nhng khng th c nhiu hn m vct c lp tuyn tnh trong Rm : Do s thnh phn dng ca mt phng n cc bin ti a l m: nh l 1.17 (Tng ng gia phng n cc bin v phng n c bn chp nhn c). x l im cc bin ca S D fxjAx D b; x 0g khi v ch khi x l phng n c bn chp nhn c. V d 1.20. Tm tt c cc phng n cc bin ca z D 4x1 C 3x2 ! max Vi cc rng buc x1 C x2 C x3 D 4 5x1 C 3x2 C x4 D 15 xj 0; j D 1; : : : ; 4 Gii.

1.8.3 Quan h gia phng n cc bin v phng n ti u nh l 1.18. Nu bi ton quy hoch tuyn tnh dng chnh tc c phng n ti u th s c mt phng n cc bin l phng n ti u. Nhn xt. Nh nh l 1.18, nu ta chng minh c bi ton quy hoch tuyn tnh dng chnh tc c phng n ti u, th n s c phng n cc bin l phng n ti u. Trn y chng ta c th tm c tt c cc phng n cc bin (v s phng n cc bin l hu hn theo h qu). Do trong s cc phng n cc bin va ch ra, ln lt th tng phng n ta c phng n ti u.


31

Rng buc ca bi ton quy hoch tuyn tnh dng chnh tc Ax D b l mt h m phng trnh tuyn tnh n n. nh l 1.12 v 1.14 cho ta mi quan h gia im cc bin ca tp cc phng n chp nhn c S D fxjAx D b; x 0g v s c lp tuyn tnh cc ct ca A: nh l 1.19. iu kin cn v bi ton quy hoch tuyn tnh dng chnh tc c phng n ti u l tp cc phng n khng rng v hm mc tiu b chn trn (nu l bi ton max) hoc b chn di (nu l bi ton min). V d 1.21. Gii bi ton quy hoch tuyn tnh z D 4x1 C 3x2 ! max Vi cc rng buc x1 C x2 C x3 D 4 5x1 C 3x2 C x4 D 15 xj 0; j D 1; : : : ; 4 Gii. Bi ton quy hoch ny c cc phng n cc bin Nghim c bn x1 D .3=2I 5=2I 0I 0/ x2 D .3I 0I 1I 0/ x3 D .4I 0I 0I 5/ x4 D .0I 5I 1I 0/ x5 D .0I 4I 0I 3/ x6 D .0I 0I 4I 15/ Phng n cc bin Gi tr hm mc tiu x1 D .3=2I 5=2I 0I 0/ x2 D .3I 0I 1I 0/

x5 D .0I 4I 0I 3/ x6 D .0I 0I 4I 15/

32 1.9 Bi tp chng 1


Bi tp 1.1. Bng phng php hnh hc gii bi ton quy hoch tuyn tnh z D 4x1 C 3x2 ! min Vi cc rng buc 8 < x1 C x2 6 2x C 3x2 6 : 1 x1 x2 2 x1 ; x2 0 p n: Phng n ti u xT D .4I 2/ gi tr hm mc tiu z D Bi tp 1.2. Cho bi ton quy hoch tuyn tnh: z D 2x1 C 6x2 C 4x3 2x4 C 3x5 ! max Vi cc rng buc 8 D 52 < x1 C 2x2 C 4x3 4x2 C 2x3 C x4 D 60 : x1 C 3x2 C x5 D 36 xj 0; j D 1; : : : ; 5 10:

Chng minh xT D .0I 34=3I 22=3I 0I 2/ l phng n cc bin. Bi tp 1.3. Cho bi ton quy hoch tuyn tnh z D x1 2x2 C 2x3 ! min Vi cc rng buc x1 C x2 D 6 2x2 C x3 D 8 xj 0; j D 1; 2; 3 a. Tm tt c cc phng n cc bin. b. Tm phng n ti u. p n: a. Phng n cc bin xT D .2I 4I 0/ I xT D .6I 0I 8/ 1 2 T b. Phng n ti u x D .2I 4I 0/

Chng 2 Phng php n hnh2.1 Phng php n hnh cho bi ton quy hoch dng chun Xt bi ton quy hoch tuyn tnh dng chun z D c1 x1 C c2x2 C C cn xn ! max Vi cc rng buc 8 a11x1 C a12x2 C C a1nxn b1 < a x C a x C C a x b 21 1 22 2 2n n 2 : : : : : : : : : : : : : a x C a x C C a x b m1 1 m2 2 mn n m xj 0; j D 1; 2; : : : ; n ta t 0 B B ADB @ a11 a12 a1n a21 a22 a2n : : : : : : : : : am1 am2 amn 1 0 x1 x2 : : : xn 1 0 b1 b2 : : : bm 1 0 (2.1)

(2.2) (2.3)

Bi ton c dng ma trn

C C C; A

B B xDB @

C C C; A

B B bDB @

C C C; A

B B cDB @

c1 c2 : : : cn

1 C C C A

z D cT x ! max Vi cc rng buc Ax b x0

(2.4) (2.5) (2.6)

34

Phng php n hnh

Trong phn ny ta gi s b 0; phn 2.3 s trnh by bi ton cho trng hp b khng khng m. By gi ta s bin i bi ton sang dng chnh tc bng cch thm m n ph. z D c1x1 C c2x2 C C cnxn ! max Vi cc rng buc 8 a11x1 C C a1nxn CxnC1 D b1 < a x C C a x CxnC2 D b2 21 1 2n n : : : : : : : : : : a x C C a x CxnCm D bm m1 1 mn n x1 0; : : : ; xn 0; xnC1 0; : : : ; xnCm 0 Ta vit bi ton di dng ma trn z D cT x ! max Vi cc rng buc Ax D b x00

(2.7) (2.8) (2.9)

Gi S D fA x D b; x 0g l tp li cc phng n chp nhn c ca bi ton quy hoch tuyn tnh (2.7), (2.8), (2.9). Theo 1.8 chng 1 th phng n c bn chp nhn c ca bi ton quy hoch tuyn tnh l 0 im cc bin ca S0 0

trong A l ma trn m .m C n/ c dng 0 a11 a12 a1n 1 B a 0 B 21 a22 a2n 0 A DB : : : : : : : @ : : : : : am1 am2 amn 00

0 1 : : : 0

0 0 : : : 1

1 C C C A

nh ngha 2.1 (Cc bin lin k). Hai im cc bin khc nhau trong 0 S c gi l lin k nu chng ch khc nhau mt cp bin c bn. V d 2.1. Xem li v d 1.21 trang 31, cc im cc bin .3=2I 5=2I 0I 0/ ; .3I 0I 1I 0/ ; .0I 4I 0I 3/ ; .0I 0I 4I 15/ :

2.1 Phng php n hnh cho bi ton quy hoch dng chun

35

Hai im cc bin .3=2I 5=2I 0I 0/ v .3I 0I 1I 0/ l lin k bi v bin c bn ca im cc bin th nht l x1 ; x2 v bin c bn ca im cc bin th hai l x1 ; x3 : Hai im cc bin .3I 0I 1I 0/; .0I 4I 0I 3/ khng lin k. Nm 1947, nh ton hc George Bernard Danzig a ra phng php n hnh, l phng php bt u xt t mt im cc bin ban u (phng n c bn chp nhn c) ln lt xt n cc im cc bin lin k sao cho lm tng gi tr hm mc tiu. Qu trnh tin hnh n lc thu c phng n ti u hoc gi tr hm mc tiu khng hu hn. Phng php n hnh c ba bc: (1) Thnh lp mt phng n cc bin (2) Xt xem phng n cc bin hin hnh l phng n ti u hay cha. Nu phng n cc bin ny l phng n ti u th kt thc. Ngc li sang bc (3) (3) Tm phng n cc bin lin k sao cho gi tr hm mc tiu ln hn hoc bng gi tr hm mc tiu ca phng n cc bin trc . (4) Quay v bc (2). minh ha phng php n hnh ta xt bi ton dng chun. z D 4x1 C 3x2 ! max Vi cc rng buc x1 C x2 4 5x1 C 3x2 15 xj 0; j D 1; 2 Chuyn bi ton sang dng chnh tc: Gii. (2.10) (2.11) (2.12)

36

Phng php n hnh

2.1.1 Phng n cc bin ban u bt u phng php n hnh, ta phi tm mt phng n cc bin chp nhn c. Vi gi s bT D .4I 5/ 0 ta tm phng n cc bin rt d dng, ch vic cho tt c cc bin khng c bn bng x1 D x2 D 0. Ta tm: x3 D 4; x4 D 15 Phng n cc bin ban u l: .x1 I x2 I x3 I x4 / D .0I 0I 4I 15/ thun tin cho vic lp bng n hnh, ta vit hm mc tiu 2.10 nh sau 4x1 3x2 C z D 0 (2.13) y ta xem z l cng mt bin, mc khc x1 D x2 D 0 nn gi tr hm mc tiu by gi z D 0: Bng n hnh cho nh bng 2.1 x3 x4 x1 1 5 -4 x2 x3 1 1 3 0 -3 0 Bng 2.1: x4 0 1 0 z 0 0 1 4 15 0

Nhn xt. Cc dng trong bng n hnh: i. Dng u tin lit k tn bin x1 ; x2 ; x3 ; x4 v z tng ng cho tng ct. ii. Dng hai v ba l cc h s ca hai rng buc (2.11). iii. Dng cui lit k h s cj ca hm mc tiu (2.10). iv. Ct u tin bn tri cho bit bin x3 ; x4 l bin c bn ca dng mt v hai.

2.1 Phng php n hnh cho bi ton quy hoch dng chun v. Phn t dng cui, ct cui l gi tr hm mc tiu.

37

Ch . Trong bng n hnh, bin c bn ca phng n cc bin hin thi c cc tnh cht: i. Bin c bn ch xut hin trong mt phng trnh (rng buc) v bin c bn ny c h s l C1: ii. Ct c bin c bn ton l s 0 tr s C1 l h s ca bin c bn. iii. Gi tr ca bin c bn l gi tr nm cng dng ct cui. iv. H s ca bin c bn hm mc tiu , cj D 0. n y bi ton quy hoch c chuyn sang bng n hnh. Bng n hnh th hin tt c thng tin ca cc rng buc, hm mc tiu, phng n cc bin v gi tr ca hm mc tiu tng ng. Bng n hnh tng qut ca bi ton quy hoch (2.7), (2.8), (2.9) cho nh bng 2.8. xnC1 xnC2 : : : xnCm x1 x2 xn xnC1 xnC2 xnCm z a11 a12 a1n 1 0 0 0 b1 a21 a22 a2n 0 1 0 0 b2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : am1 am2 amn 0 0 1 0 bm c1 c2 cn 0 0 0 1 0 Bng 2.2: Bng n hnh ca phng n cc bin ban u

2.1.2 Du hiu ti u Tip tc, ta s tm hiu du hiu xc nh phng n cc bin trong bng c lm hm mc tiu ti u cha? Trong v d ny, chng ta c th tng gi tr ca z D 1 3x2 C 3 0x4 4x C 0x C khng c bn c bn

bng cch tng gi tr ca bin khng c bn (hin tai x1 D x2 D 0).

38

Phng php n hnh

Tng qut, mt hm mc tiu ta c th vit X X 0 xj cj xj C zDkhng c bn c bn

(2.14)

By gi gi tr ca z c th c tng ln bng cch tng gi tr ca bin khng c bn c h s hm mc tiu m trong bng n hnh t gi tr 0. Nu lm iu ny th phi c mt bin c bn khc (gi tr bin ny khc khng) tr thnh bin khng c bn (gi tr bng khng) bi v s bin c bn khng thay i. Vic i gi tr ca mt bin c bn v gi tr 0 th khng lm thay i gi tr ca hm mc tiu bi v h s hm mc tiu ca bin c bn l 0. n y ta c du hiu ti u nh sau: nh l 2.2 (Du hiu ti u). Nu h s hm mc tiu ca bng n hnh l khng . cj D 0/ i vi bin c bn v khng m . cj 0/ i vi bin khng c bn th phng n cc bin hin thi trong bng n hnh l phng n u. nh l 2.3 (Du hiu c phng n cc bin tt hn). Nu h s hm mc tiu ca bng n hnh l khng . cj D 0/ i vi bin c bn v m . cj < 0/ i vi bin khng c bn s c phng n cc bin khc tt hn, ngha l lm gi tr hm mc tiu ln hn. Nhn xt. Nu trong bng n hnh: cj 0; 8j th phng n cc bin hin thi l phng n ti u.

C cj < 0 th phng n cc bin hin thi khng l phng n ti u. V d 2.2. Cho bi ton quy hoch tuyn tnh z D 7x1 C 26x2 9x3 ! max Vi cc rng buc x1 2x2 D 5 x2 C x3 D 7 xj 0; j D 1; 2; 3 a. Chng minh xT D .5I 0I 7/ l phng n cc bin.


39

b. Xt xem xT c l phng n cc bin ti u ca bi ton hay khng. Gii.

V d 2.3. Cho bi ton quy hoch tuyn tnh z D 5x1 x2 19x3 16x4 ! max Vi cc rng buc 8 x1 C x2 C 2x3 3x4 D 5 < 2x1 x2 C x3 C 5x4 D 2 : 3x1 C 4x2 C 7x3 8x4 D 9 xj 0; j D 1; : : : ; 4 Chng minh xT D .25=13I 64=13I 0I 8=13/ l phng n cc bin, ti u ca bi ton cho. Gii.

40

Phng php n hnh

2.1 Phng php n hnh cho bi ton quy hoch dng chun 2.1.3 Chn bin vo c s

41

Gi s bng n hnh by gi c cj < 0 th lc ny gi tr hm mc tiu cha ti u. Do cn c s iu chnh gi tr ca cc bin. Trong v d: z D 1 3x2 C 3 0x4 4x C 0x C khng c bn c bn

Ta thy nu x1 tng 1 n v th z tng 4 n v, trong khi x2 tng 1 n v th z tng 3 n v, do ta nn tng gi tr ca x1 : Vy x1 l bin vo c s Nh li rng, h s ca cc bin khng c bn cj > 0 hay trong bng n hnh th cj < 0: Vy ta chn bin xv vo c s nu min cj I cj < 0 D cv Ct cha bin vo c s c gi l ct xoay # x1 1 5 -4 x2 x3 x4 1 1 0 3 0 1 -3 0 0 Bng 2.3: z 0 0 1

x3 x4

4 15 0

2.1.4 Chn bin ra khi c s Gii (2.11) cho x3 ; x4 ta c ( x3 D 4 x1 x2 x4 D 15 5x1 3x2 Ta tng gi tr ca x1 v gi nguyn gi tr ca x2 D 0 ( x3 D 4 x1 x4 D 15 5x1

(2.15)

T (2.15) cho thy, khi tng gi tr ca x1 th x3 ; x4 gim. Vy vn l x tng n gi tr no? Nh li rng x3 ; x4 0 do ta tng gi tr x1

42 sao cho:

Phng php n hnh

( x3 D 4 x1 0 x4 D 15 5x1 0 ( x1 4=1 x1 15=5 D 3

(2.16)

Gii (2.16) ta c

Ta thy rng, ta ch c th tng gi tr ca x1 n minf4I 3g D 3. Phng n cc bin by gi l x1 D 3; x2 D 0; x3 D 1; x4 D 0

Phng n ny l phng n lin k vi phng n trc. Bin c bn by gi l x1 v x3 ; bin khng c bn by gi l x2 v x4 : Bin ra khi c s trong trng hp ny l x4 ; xem bng 2.4. # x1 1 5 -4 x2 x3 1 1 3 0 -3 0 Bng 2.4: x4 0 1 0 z 0 0 1

x3 x4

4 15 0

Dng cha x4 ca bng n hnh gi l dng xoay, phn t nm trn dng xoay v ct xoay gi l phn t trc. Trong v d ca ta phn t trc l (5). # x1 1 (5) -4 x2 x3 1 1 3 0 -3 0 Bng 2.5: x4 0 1 0 z 0 0 1

x3 x4

4 15 0

2.1 Phng php n hnh cho bi ton quy hoch dng chun Nhn xt. Gi s xv l bin vo c s. Nu bi br min I aiv > 0 D aiv arv th bin xr l bin ra khi c s. 2.1.5 Lp bng n hnh mi

43

n y, ta xc nh c bin mi vo c s v bin ra khi c s, lc ny: Bin c bn l x1 ; x3 Bin khng c bn l x2 ; x4 x1 x3 x1 Bng 2.6: V x1 l bin c bn mi trong dng hai ca rng buc nn: H s ca x1 trong rng buc th hai l 1. Ta chia hai v ca rng buc th hai cho phn t trc (l 5). 3 1 x1 C x2 C x4 D 3 5 5 (2.17) x2 x3 x4 z

Bin x1 khng c mt trong rng buc th nht v hm mc 3 1 tiu. c iu ny, ta thay x1 D 3 x2 x4 trong 2.17 vo rng 5 5 buc th nht 1 3 x2 x4 C x2 C x4 D 4 (2.18) 3 5 5 tng ng 2 1 x2 C x3 x4 D 1 (2.19) 5 5

44 v hm mc tiu

Phng php n hnh

3 4 x2 C x4 C z D 12 5 5 Ta c bng n hnh mi nh bng 2.7. x1 0 1 0 x2 x3 2/5 1 3/5 0 -3/5 0 Bng 2.7: x4 -1/5 1/5 4/5 z 0 0 1

(2.20)

x3 x1

1 3 12

Nhn xt. Tm tt thut ton n hnh: x1 a11 : : : ar1 : : : am1 c1 : : : : : : # xv xn xnC1 a1v a1n 1 : : : : : : : : : : : : .arv / arn 0 : : : : : : : : : : : : amv amn 0 cv cn 0 Bng 2.8: : : : : : : xnCm 0 : : : 0 : : : 1 0 z 0 b1 : : : : : : 0 br : : : : : : 0 bm 1 0

xnC1 : : : xr : : : xnCm

Bc 1: Chn bin vo c s. Nu min cj I cj < 0 D cv th bin xv vo c s. Ngc li, nu cj > 0 vi mi j th phng n cc bin hin thi l phng n ti u. Bc 2: Chn bin ra c s. Nu br bi I aiv > 0 D min aiv arv th bin xr l bin ra khi c s. Ngc li, nu khng tm c bin ra khi c s th bi ton khng c phng n ti u. Bc 3: Lp bng n hnh mi. Ta xc nh bin xv l bin vo v xr l bin ra khi c s. Ta lp bng n hnh mi

2.1 Phng php n hnh cho bi ton quy hoch dng chun Xc nh phn t trc arv : Chia dng cha phn t trc cho phn t trc. Cc phn t dng i ct j khc ca bng c tnh aij aiv =arv D aij arv arj aiv =arv aij D arj arv z D 4x1 C 3x2 ! max Vi cc rng buc x1 C x2 C x3 D 4 5x1 C 3x2 C x4 D 15 xj 0; j D 1; : : : ; 4 c minh ha trong v d trn bng thut ton n hnh. Gii.

45

V d 2.4. Gii li chi tit bi ton

46

Phng php n hnh

Nhn xt. Trong cc bng n hnh, ct cha z khng thay i qua cc bc lp. Do , n gin ta s khng ghi ct z trong bng n hnh. V d 2.5. Gii bi ton quy hoch tuyn tnh z D 2x1 3x2 C x3 ! max Vi cc rng buc 8 5x2 C x3 15 < x1 3x C 2x2 2x3 20 : 1 4x1 C x3 10 xj 0; j D 1; 2; 3 Gii.


47

V d 2.6. Gii bi ton quy hoch tuyn tnh z D 2x1 C 3x2 C x3 ! max Vi cc rng buc 8 5x2 C x3 D 6 < x1 2x1 C 2x2 7 : x1 C 2x2 5 xj 0; j D 1; 2; 3 Gii.

48

Phng php n hnh

V d 2.7. Gii bi ton quy hoch tuyn tnh z D 2x1 x2 C x3 C x4 ! max Vi cc rng buc 8 x4 D 2 < x1 C x2 C 2x3 2x2 7x3 C 3x4 C x5 D 3 : 3x3 C 2x4 C x6 D 7 xj 0; j D 1; : : : ; 6

2.1 Phng php n hnh cho bi ton quy hoch dng chun Gii.

49

50

Phng php n hnh

V d 2.8. Gii bi ton quy hoch tuyn tnh dng chnh tc z D x1 C 2x2 2x3 C x4 x5 C 2x6 ! min Vi cc rng buc 8 x2 5x3 C x4 D 5 < 2x1 x1 2x2 C 2x3 C x5 D 4 : 4x1 C x2 C x3 C x6 D 2 xj 0; j D 1; : : : ; 6 Gii.

2.2 Thut ton n hnh cho bi ton min

51

2.2 Thut ton n hnh cho bi ton min Thut ton n hnh cho bi ton tm gi tr nh nht ca hm mc tiu v c bn ging vi bi ton tm gi tr ln nht. Ta c du hiu ti u c pht biu nh sau: nh l 2.4 (Du hiu ti u). Nu h s hm mc tiu ca bng n hnh l khng . cj D 0/ i vi bin c bn v khng dng . cj 0/ i vi bin khng c bn th phng n cc bin hin thi trong bng n hnh l phng n u. nh l 2.5 (Du hiu c hiu phng n cc bin tt hn). Nu h s hm mc tiu ca bng n hnh l khng . cj D 0/ i vi bin c bn v dng . cj > 0/ i vi bin khng c bn s c phng n cc bin khc tt hn, ngha l lm gi tr hm mc tiu ln nh. Nhn xt. Nu trong bng n hnh: cj 0; 8j th phng n cc bin hin thi l phng n ti u.

C cj > 0 th phng n cc bin hin thi cha l phng n ti u. V d 2.9. Gii bi ton quy hoch tuyn tnh z D x1 C x2 3x3 ! min Vi cc rng buc 8 x2 C x3 1 < 2x1 4x1 C 2x2 x3 2 : 3x1 C x3 5 xj 0; j D 1; 2; 3

52 Gii.

Phng php n hnh

2.3 Bi ton chnh tc khng c sn ma trn n v 2.3 Bi ton chnh tc khng c sn ma trn n v Gi s cn gii bi ton quy hoch tuyn tnh dng chnh tc z D cT x ! max Vi cc rng buc Ax D b x 0

53

(2.21)

Trong A khng c ma trn n v, b 0 . Chng hn cn gii bi ton sau: V d 2.10. Gii bi ton quy hoch tuyn tnh z D 3x1 C 4x2 C 5x3 6x4 Vi cc rng buc 8 < x1 C x2 C x3 C 2x C x2 C : 1 C 3x2 C x3 C xj 0; j D 1; : : : ; 4 ! max 13x4 D 14 14x4 D 11 14x4 D 16

Gii. Do ma trn cc h s A khng c ma trn n v nn cha xc nh c phng n cc bin ban u. V tp cc phng n l h phng trnh tuyn tnh nn ta c th bin i c ba vct n v 0 1 0 1 1 1 1 13 14 1 1 1 13 14 d2 @2 1 0 14 11A d2 Dd2 2d1 @0 1 2 12 17A d2 D ! ! 0 3 1 14 16 0 3 1 14 16 1 0 1 1 1 13 14 @0 1 2 12 17A 0 3 1 14 16 0 1 0 @0 1 0 0d1 Dd1 d3 Dd3

1 1 1 3 2 12 17 A 1 22=5 7

1 0 d2 ! @0 1 3d2 0 0

0

1 2 5 0

1 12 22

1 1 0 0 27=5 4 d1 Dd1 Cd3 ! @0 1 0 16=5 3A d2 Dd2 2d3 0 0 1 22=5 7

1 3 17 A 35

d3 D 1=5d3

!

54 Bi ton lc ny l

Phng php n hnh

z D 123=5x4 C 35 ! max Vi cc rng buc 8 C 27=5x4 D 4 < x1 x2 C 16=5x4 D 3 : x3 C 22=5x4 D 7 xj 0; j D 1; : : : ; 4 Vi bi ton ny ta c bng n hnh nh sau x1 x2 x3 x1 1 0 0 0 x2 0 1 0 0 x3 0 0 1 0 x4 27/5 16/5 22/5 123/5 4 3 7 35

Phng n ti u x D .4I 3I 7I 0/; gi tr ti u z D 35 Nhng c th trong qu trnh bin i sau khi c cc vct n v m phng n khng tha iu kin khng m th cch lm trn rt kh gp mt phng n cc bin ban u. V d 2.11. Gii bi ton quy hoch tuyn tnh z D 2x1 x2 2x3 ! max Vi cc rng buc x1 C x2 x3 D x1 C 2x2 C x3 D xj 0; j D 1; 2; 3

1 2

V ma trn cc h s A khng c ma trn n v nn cha xc nh c phng n cc bin ban u. V tp cc phng n l h phng trnh tuyn tnh nn ta c th bin i c hai vct n v. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 3 4 ! ! 1 2 1 2 0 1 2 3 0 1 2 3

2.3 Bi ton chnh tc khng c sn ma trn n v Bi ton lc ny l z D 6x3 11 ! max Vi cc rng buc x1 3x3 D x2 C 2x3 D xj 0; j D 1; 2; 3

55

4 3

n y ta gp kh khn trong vic tm phng n cc bin. Ta dng phng php sau y gi l phng php nh thu gii cho trng hp ny. Xt bi ton quy hoch tuyn tnh dng chnh tc: z D c1x1 C C cnxn ! max Vi cc rng buc 8 a11x1 C C a1nxn D b1 < a x C C a x D b 21 1 2n n 2 : : : : : : : : : : : : : a x C C a x D b m1 1 mn n m xj 0; j D 1; : : : ; xn (2.22)

Thm cc n y1; : : : ; ym 0 m ta gi l n gi vo m rng buc khi bi ton c dng z D c1 x1 C C cnxn Vi cc rng buc 8 a11x1 C C < a x C C 21 1 : : : : : : : a x C C m1 1 My1 Mym ! max (2.23)

a1nxn C y1 D b1 a2nxn C y2 D b2 : : : : : : amnxn C ym D bm

xj 0; j D 1; : : : ; nI yi 0; i D 1; : : : ; m

Trong M l s dng rt ln, ln hn bt k s no m ta cn so snh. nh l 2.6. Bi ton (2.22) c phng n ti u x D .x1 ; : : : ; xn / khi v ch khi bi ton (2.23) c phng n ti u y D .x1 ; : : : ; xn ; 0; : : : ; 0/:

56

Phng php n hnh

Ch . Khi gii bi ton (2.23) bng phng php n hnh th cc h s hm mc tiu c cha tham s M: V M ln nn khi so snh cc gi tr c tham s M ta c quy c nh sau a>0 aM C b > 0 , a D 0; b > 0 ac aM C b > cM C d , a D c; b > d V d 2.12. Gi li bi ton quy hoch tuyn tnh v d 2.11 z D 2x1 x2 2x3 ! max Vi cc rng buc x3 D x1 C x2 x1 C 2x2 C x3 D xj 0; j D 1; 2; 3 Gii.

1 2

2.3 Bi ton chnh tc khng c sn ma trn n v

57

V d 2.13. Gii bi ton quy hoch tuyn tnh z D 2x1 C 5x2 ! max Vi cc rng buc 2x1 C 3x2 6 x1 C 2x2 4 x1 ; x2 0 Gii.

58

Phng php n hnh

2.4 Bi tp chng 2 Bi tp 2.1. Gii cc bi ton quy hoch tuyn tnh: a. z D x1 2x2 C 2x3 ! min Vi cc rng buc x1 C x2 C 4x4 D 6 2x2 C x3 C 5x4 D 8 xj 0; j D 1; : : : ; 4 p n. Phng n ti u xT D .2I 4I 0I 0/ ; gi tr hm mc tiu zD 6 b. z D 2x1 C 3x2 C x3 ! max

2.4 Bi tp chng 2 Vi cc rng buc 8 5x2 C x3 6 < x1 2x1 C 2x2 2x3 7 : x1 C 2x2 C x3 5 xj 0; j D 1; 2; 3

59

p n. Phng n ti u xT D .125=12I 17=6I 39=4/ ; gi tr hm mc tiu z D 469=12: c. z D 2x1 C x2 C x3 C 3x4 ! max Vi cc rng buc x1 C 2x2 C x3 D 16 x2 C 4x3 C 2x4 8 xj 0; j D 1; : : : ; 4 p n. Phng n ti u xT D .16I 0I 0I 4/ ; gi tr hm mc tiu z D 44: d. z D x1 7x2 2x3 zx4 ! max

Vi cc rng buc x1 C 3x2 C x3 C x4 10 2x1 C 5x2 C x3 C 4x4 15 xj 0; j D 1; : : : ; 4 p n: Phng n ti u xT D .10I 0I 0I 0/ ; gi tr hm mc tiu z D 10: e. z D 15x1 C 19x2 ! min Vi cc rng buc 8 < 3x1 C x2 3 x1 C x2 2 : 3x1 C 4x2 7 x1 ; x2 0 p n. Phng n ti u xT D .1I 1I 1/ ; gi tr hm mc tiu z D 34:

60

Phng php n hnh

Bi tp 2.2. Cho bi ton quy hoch tuyn tnh: z D 4x1 5x2 7x3 ! max Vi cc rng buc 3x1 C x2 C x3 D 6 x1 C 2x2 C 3x3 D 14 xj 0; j D 1; 2; 3 a. Chng minh xT D .0I 4I 2/ l phng n cc bin, nhng khng phi l phng n ti u. b. Hy xy dng mt phng n cc bin mi tt hn phng n cc bin cu a. Bi tp 2.3. Cho bi ton quy hoch tuyn tnh: z D x1 C 2x2 2x3 ! max Vi cc rng buc x1 C x2 C 4x4 D 6 2x2 C x3 C 5x4 D 8 xj 0; j D 1; : : : ; 4 a. Chng minh xT D .0I 2=3I 0I 4=3/ l phng n cc bin, nhng khng phi l phng n ti u. b. Hy xy dng mt phng n cc bin mi tt hn phng n cc bin cu a. Bi tp 2.4. Cho bi ton quy hoch tuyn tnh: z D 4x1 3x2 C 7x3 C 8x4 ! min Vi cc rng buc 8 < 2x1 C 3x2 C 4x3 C 5x4 D 20 8x1 x2 C x3 C 6x4 D 9 : 2x1 x2 C 5x3 C 2x4 D 15 xj 0; j D 1; : : : ; 4 Chng minh xT D .1I 2I 3I 0/ l phng n cc bin, ti u ca bi ton.

2.4 Bi tp chng 2 Bi tp 2.5. Cho bi ton quy hoch tuyn tnh: z D x1 C x2 C mx3 ! min Vi cc rng buc 2x1 C x2 C x3 D 4 3x1 C 2x2 C 3x3 D 7 xj 0; j D 1; 2; 3 a. Chng minh xT D .1I 2I 0/ l phng n cc bin ca bi ton. b. Tm m x l phng n ti u.

61

Bi tp 2.6. Mt cng ty sn xut hai loi sn: sn ni tht v sn ngoi tri. Nguyn liu sn xut gm hai loi A, B vi tr lng tng ng l 16 tn v 18 tn. sn xut 1 tn sn ni tht cn 1 tn nguyn liu A v 2 tn nguyn liu B. sn xut 1 tn sn ngoi tri cn 2 tn nguyn liu A v 3 tn nguyn liu B. Qua iu tra th trng cng ty bit rng nhu cu sn ni tht khng hn sn ngoi tri qu 1 tn. Gi bn mt tn sn ni tht l 4000 USD, gi bn mt tn sn ngoi tri l 3000 USD. Khi sn xut 1 tn sn ni tht phi b ra mt chi ph l 1300 USD, khi sn xut 1 tn sn ngoi tri phi b ra mt chi ph l 1000 USD. Hi cn sn xut mi loi sn bao nhiu tn c li nhun ln nht? p n. Phng n ti u xT D .21=5I 16=5/ ; gi tr hm mc tiu z D 17740 Bi tp 2.7. Mt cng ty sn xut hai loi sn ni tht v sn ngoi tri. Nguyn liu sn xut gm hai loi A, B vi tr lng l 6 tn v 8 tn tng ng. sn xut mt tn sn ni tht cn 2 tn nguyn liu A v 1 tn nguyn liu B. sn xut mt tn sn ngoi tri cn 1 tn nguyn liu A v 2 tn nguyn liu B. Qua iu tra th trng cng ty bit rng nhu cu sn ni tht khng hn sn ngoi tri qu 1 tn, nhu cu cc i ca sn ni tht l 2 tn. Gi bn mt tn sn ni tht l 2000 USD, gi bn mt tn sn ngoi tri l 3000 USD. Hi cn sn xut mi loi sn bao nhiu tn c doanh thu ln nht? p n. Phng n ti u xT D .4=3I 10=3/ ; gi tr hm mc tiu z D 38000=3:

62

Phng php n hnh

Bi tp 2.8. Mt cng ty sn xut hai loi thc phm A, B. Nguyn liu sn xut gm ba loi bt, ng v du thc vt. Vi tr lng d tr tng ng l 30 tn, 12 tn, 6 tn. sn xut: 1 tn thc phm loi A cn 0,5 tn bt, 0,5 tn ng, 0,2 tn du thc vt. 1 tn thc phm loi B cn 0,8 tn bt, 0,4 tn ng, 0,4 tn du thc vt. Gi bn mt tn thc phm A l 4000 USD, gi bn mt tn thc phm B l 4500 USD. Hi cn sn xut mi loi thc phm bao nhiu tn c doanh thu ln nht? p n. Phng n ti u xT D .20I 5/ ; gi tr hm mc tiu z D 102500 Bi tp 2.9. Mt x nghip d nh sn xut ba loi sn phm A, B v C. Cc sn phm ny c ch to t ba loi nguyn liu I, II v III . S lng cc nguyn liu I, II v III m x nghip c ln lt l 30, 50, 40. S lng cc nguyn liu cn sn xut mt n v sn phm A, B, C c cho bng sau y:H HH NL H SP HHH H

I 1 1 2

II 1 2 3

III 3 2 1

A B C

X nghip mun lp k hoch sn xut thu c tng s li nhiu nht (vi gi thit cc sn phm lm ra u bn ht), nu bit rng li 5 triu ng cho mt n v sn phm loi A, li 3,5 triu ng cho mt n v sn phm loi B, li 2 triu ng cho mt n v sn phm loi C. a. Lp m hnh bi ton Quy hoch tuyn tnh. b. Bng phng php n hnh, hy gii bi ton trn. p n. Phng n ti u xT D .5=2I 25=2I 15=2/ ; gi tr hm mc tiu z D 285=4

2.4 Bi tp chng 2

63

Bi tp 2.10. Mt X nghip chn nui cn mua mt loi thc n tng hp T1, T2, T3 cho gia sc vi t l cht dinh dng nh sau: 1 kg T1 cha 4 n v dinh dng D1, 2 n v dinh dng D2, v 1 n v dinh dng D3. 1 kg T2 cha 1 n v dinh dng D1, 7 n v dinh dng D2, v 3 n v dinh dng D3 1 kg T3 cha 3 n v dinh dng D1, 1 n v dinh dng D2, v 4 n v dinh dng D3. Mi ba n, gia sc cn ti thiu 20 n v D1, 25 n v D2 v 30 n v D3. Hi X nghip phi mua bao nhiu kg T1, T2, T3 mi loi cho mt ba n bo m tt v cht dinh dng v tng s tin mua l nh nht? Bit rng 1 kg T1 c gi l 10 ngn ng, 1 kg T2 c gi l 12 ngn ng, 1 kg T3 c gi l 14 ngn ng. p n. Phng n ti u xT D .5=18I 49=18I 97=18/ ; gi tr hm mc tiu z D 998=9 Bi tp 2.11. Mt X nghip x l giy, c ba phn xng I, II, III cng x l hai loi giy A, B. Do hai phn xng c nhiu s khc nhau, nn nu cng u t 10 triu ng vo mi phn xng th cui k phn xng I x l c 6 t giy loi A, 5 t giy loi B. Trong khi phn xng II x l c 4 t giy loi A, 6 t giy loi B. Phn xng III x l c 5 t giy loi A, 4 t giy loi B. Theo yu cu lao ng th cui k X nghip phi x l t nht 6 tn giy loi A, 8 tn giy loi B. Hi cn u t vo mi phn xng bao nhiu tin x nghip hon thnh cng vic vi gi tin u t l nh nht. p n. Phng n ti u xT D .5=2I 45=4I 0/ ; gi tr hm mc tiu z D 275=2 Bi tp 2.12. Mt gia nh cn t nht 1800 n v prtin v 1500 n v lipit trong thc n mi ngy. Mt kilgam tht b cha 600 n v prtin v 600 n v lipit, mt kilgam tht heo cha 600 n v prtin v 300 n v lipit, mt kilgam tht g cha 600 n v prtin v 600 n v lipit. Gi mt kilgam tht b l 84 ngn ng, gi mt kilgam tht heo l 71 ngn ng, gi mt kilgam tht g l 90 ngn ng. Hi

64

Phng php n hnh

mt gia nh nn mua bao nhiu kilgam tht mi loi bo m tt khu phn n trong mt ngy v tng s tin phi mua l nh nht? p n. Phng n ti u xT D .2I 1I 0/ ; gi tr hm mc tiu z D 239

Chng 3 L thuyt i ngu3.1 V d dn n bi ton i ngu V d 3.1. C m loi nguyn liu d tr dng sn xut ra n loi sn phm. lm ra mt sn phm j cn aij nguyn liu i cho nh bng sau:HH HH SP NL HHH H

1 2 : : : m Gi bn

x1 x2 1 2 a11 a12 a21 a22 : : : : : : am1 am2 c1 c2

: : :

xn NL d tr n a1n b1 a2n b2 : : : : : : amn bm cn

Trong , lng nguyn liu d tr th i l bi v gi bn mi sn phm j l cj : Yu cu tm s lng sn phm x1 ; x2 ; : : : ; xn sao cho tng doanh thu ln nht. Gii.

66

L thuyt i ngu

V d 3.2. Vi gi thit ging nh v d 3.1, gi s c mt ngi mun mua li ton b nguyn liu trn.H HH SP HH H NL H H

y1 ; 1 y2 ; 2 : : : ym ; m Gi bn

x1 x2 1 2 a11 a12 a21 a22 : : : : : : am1 am2 c1 c2

: : :

xn NL d tr n a1n b1 a2n b2 : : : : : : amn bm cn

Tm gi bn nguyn liu i; yi : Ngi bn khng b thit. Ngi mua c mua vi gi r nht. Gii.

3.1 V d dn n bi ton i ngu 3.1.1 Bi ton i ngu ca bi ton max

67

Hai bi ton quy hoch tuyn tnh sau gi l cp bi ton i ngu. Bi ton 1 gi l bi ton gc, bi ton 2 gi l bi ton i ngu. Mt rng buc v iu kin v bin trn cng mt dng gi l cp rng buc i ngu. Bi ton gc (1) Bi ton i ngu (2) 0 z D c1x1 C C cnxn ! max z D b1 y1 C C bm ym ! min ai1 x1 C ai 2 x2 C C ai nxn bi yi 0 ai1 x1 C ai 2 x2 C C ai nxn bi yi 0 ai1x1 C ai 2 x2 C C ai nxn D bi yi 2 R xj 0 a1j y1 C a2j y2 C C amj ym cj xj 0 a1j y1 C a2j y2 C C amj ym cj xj 2 R a1j y1 C a2j y2 C C amj ym D cj Nhn xt. Quan st cp bi ton i ngu trn ta c cc nhn xt: Trong cp bi ton i ngu trn, h s ca rng buc th i ca bi ton gc tr thnh h s ca bin yi trong bi ton i ngu. Ngc li, h s ca xj trong bi ton gc chnh l h s ca dng j trong bi ton i ngu. H s ca hm mc tiu ca bi ton gc tr thnh h s v phi ca rng buc v ngc li. V d 3.3. Vit bi ton i ngu ca bi ton gc sau v cho bit cc cp rng buc i ngu z D 2x1 C x2 8x3 ! max Vi cc rng buc 8 < 7x1 C 4x2 C 2x3 28 3x1 x2 C 3x3 D 10 : 2x1 C 3x2 x3 15 x1 0; x2 0 Gii.

68

L thuyt i ngu

V d 3.4. Vit bi ton i ngu ca bi ton gc sau v cho bit cc cp rng buc i ngu z D 2x1 C 3x2 ! max Vi cc rng buc 8 < 3x1 C 2x2 2 x1 C 2x2 5 : 4x1 C x2 1 x1 0; x2 0 Gii.

3.1 V d dn n bi ton i ngu

69

3.1.2 Bi ton i ngu ca bi ton min Bi ton gc (1) Bi ton i ngu (2) 0 z D c1x1 C C cnxn ! min z D b1 y1 C C bm ym ! max ai1 x1 C ai 2 x2 C C ai nxn bi yi 0 ai1 x1 C ai 2 x2 C C ai nxn bi yi 0 ai1x1 C ai 2 x2 C C ai nxn D bi yi 2 R xj 0 a1j y1 C a2j y2 C C amj ym cj xj 0 a1j y1 C a2j y2 C C amj ym cj xj 2 R a1j y1 C a2j y2 C C amj ym D cj

Hai bi ton quy hoch tuyn tnh ny gi l cp bi ton i ngu. Bi ton 1 gi l bi ton gc, bi ton 2 gi l bi ton i ngu. Mt rng buc v iu kin v bin trn cng mt dng gi l cp rng buc i ngu.

V d 3.5. Vit bi ton i ngu ca bi ton gc sau v cho bit cc

70 cp rng buc i ngu

L thuyt i ngu

z D 4x1 C 3x2 7x3 C x4 x5 ! min Vi cc rng buc 8 3x5 12x1 C 5x2 < x1 x3 4x4 5x5 2x4 2x1 C x2 C x3 : 3x1 C 4x2 5x3 C x4 x1 ; x3 0I x2 2 RI x4 ; x5 0 Gii.

5 2 1 D 17

V d 3.6. Vit bi ton i ngu ca bi ton gc sau v gii bi ton

3.1 V d dn n bi ton i ngu i ngu bng phng php n hnh z D 10x1 C 8x2 C 19x3 ! min Vi cc rng buc 8 < x1 C x2 C x3 6 3x1 C 2x3 2 : x1 C 2x2 C 5x3 5 x1 ; x2 ; x3 0 Gii.

71

72

L thuyt i ngu

Nhn xt. Bi ton quy hoch tuyn tnh gc dng z D cT x ! min Vi cc rng buc Ax b x0 trong c 0 th bi ton i ngu c dng chun z D bT y ! max Vi cc rng buc0

AT y c y0 c gii trc tip bng phng php n hnh. Ch . Cc phn sau, ta ch xt bi ton gc dng min :

3.2 Cc nh l v i ngu 3.2 Cc nh l v i ngu Cho cp bi ton gc, i ngu nh sau: Bi ton gc (1) Bi ton i ngu (2) 0 z D c1x1 C C cnxn ! min z D b1 y1 C C bm ym ! max ai1 x1 C ai 2 x2 C C ai nxn bi yi 0 ai1 x1 C ai 2 x2 C C ai nxn bi yi 0 ai1x1 C ai 2 x2 C C ai nxn D bi yi 2 R xj 0 a1j y1 C a2j y2 C C amj ym cj xj 0 a1j y1 C a2j y2 C C amj ym cj xj 2 R a1j y1 C a2j y2 C C amj ym D cj

73

nh l 3.1 (i ngu yu). Nu xT D .x1 ; : : : ; xn / l phng n chp nhn c ca bi ton gc v yT D .y1; : : : ; yn / l phng n chp nhn c ca bi ton i ngu th c1x1 C C cnxn b1y1 C C bm ym (3.1)

(Ngha l gi tr hm mc tiu ca bi ton gc lun ln hn hoc bng gi tr hm mc tiu ca bi ton i ngu) Chng minh. Ta t ui D .ai1x1 C ai 2x2 C C ai nxn bi /yi 0 vj D xj cj .a1j y1 C a2j y2 C C amj ym/ 0 Cho nnm X n X

ui D vj D

.ai1x1 C ai 2 x2 C C ai n xn xj cj

bi /yi 0

Do

i D1 n X j D1

i D1 n X j D1

.a1j y1 C a2j y2 C C amj ym/ 0

0

m X i D1

ui C

n X j D1

vj D .c1x1 C C cnxn /

.b1 y1 C C bm ym/

Ta c iu cn chng minh.

74

L thuyt i ngu

H qu 3.2 (Du hiu khng c phng n chp nhn c). i. Nu hm mc tiu ca bi ton quy hoch tuyn tnh gc khng gii ni di, th bi ton i ngu khng c phng n chp nhn c. ii. Nu hm mc tiu ca bi ton quy hoch tuyn tnh i ngu khng gii ni trn, th bi ton gc khng c phng n chp nhn c. Chng minh. Do s tng t ta ch chng minh i). Gi s bi ton gc khng gii ni di tc tn cc phng n chp nhn c xk D k k .x1 ; : : : ; xn / sao cho gi tr hm mc tiuk k z D c1 x1 C C cnxn !

1 khi k ! 1

Ta chng minh bng phn chng, gi s bi ton i ngu c phng n chp nhn c yT D .y1; : : : ; ym /. Khi , do nh l i ngu yuk k k k b1 y1 C C bm ym c1 x1 C C cnxn vi mi xT D .x1 ; : : : ; xn /

Cho k ! 1 ta c iu v l b1y1 C C bm ym Vy ta c iu cn chng minh. H qu 3.3. Cho x D .x1 ; : : : ; xn / v y D .y1 ; : : : ; ym/ l phng n chp nhn c tng ng ca bi ton gc v bi ton i ngu. Nu gi tr hm mc tiu ca hai bi ton ny bng nhau, ngha l c1 x1 C C cnxn D b1 y1 C C bm ym

1

(3.2)

th x v y l phng n ti u tng ng ca hai bi ton. Chng minh. Gi x D .x1; : : : ; xn / l mt phng n chp nhn c bt k ca bi ton gc. Theo nh l i ngu yu ta c b1 y1 C C bmym c1x1 C C cnxn

do c1x1 C C cn xn c1 x1 C C cnxn Vy x D x1 ; : : : ; xn l phng n ti u ca bi ton gc. Tng t, ta c y l phng n ti u ca bi ton i ngu.

3.2 Cc nh l v i ngu

75

nh l 3.4 (i ngu mnh). Nu mt trong hai bi ton quy hoch tuyn tnh gc hoc i ngu c phng n ti u th: i. Bi ton quy hoch kia cng c phng n ti u. ii. Gi tr hm mc tiu ti u ca hai bi ton bng nhau. Chng minh. Bi ton quy hoch tuyn tnh c nhiu dng tng ng, cc bi ton i ngu ca ca dng tng ng cng l cc dng tng ng. Cc bi ton tng ng cng c cng gi tr ti u. Do ta ch cn chng minh nh l cho mt trng hp c th z D cT x ! max Vi cc rng buc Ax b x0 Trong b 0: Ta s p dng phng php n hnh cho bi ton ny. Trc ht bi ton c dng chnh tc z D cT x ! max Vi cc rng buc Ax C Imw D b x; w 0 Gi s ton ny c phng n ti u xT D x1 ; : : : ; xn : V bi ton c phng n ti u cho nn sau mt s bc hm mc tiu c dng zDz C n X j D1 cj xj

C

m X i D1

di wi

y, cj D 0 v dj D 0 vi cc bin xj v wi l bin c bn ca phng n ti u. V z l gi tr ti u ca hm mc tiu nn n X i D1 cj xj

zDz D Ta t yi D di ;

(3.3)

i D 1; : : : ; m

76

L thuyt i ngu

Trc ht ta chng minh yT D y1 ; : : : ; ym l phng n chp nhn c ca bi ton i ngu. Tht vy, v zDn X j D1

cj xj D z C

n X j D1 n X j D1

cj xj

C

m X i D1 m X i D1

di wi . yi/ @bi cj C m X i D1

D z C D z

cj xj C

0

m X i D1

bi yi C

n X j D1

n X j D1

yiaij

!

aij xj A xj

1

Hai v l biu din ca cng mt hm tuyn tnh nn cc h s tng ng phi ng nht. Do z D cj Dm X i D1 cj

bi yim X i D1

(3.4) yiaij (3.5)

C

T (3.3) v (3.4) ta c cT x D yT b: Vi phng n ti u ca bi ton gc th h s ca hm mc tiu phi nh hn hoc bng khng, tc cj 0; j D 1; : : : ; n v di 0; i D 1; : : : ; m: V vy, theo (3.5)m X

bi yi cj ; di 0;

j D 1; : : : ; n i D 1; : : : ; m

(3.6) (3.7)

i D1 yi D

Tc l yT l phng n chp nhn c ca bi ton i ngu. Theo h qu 3.2 v do cT x D yT b nn y l phng n ti u. nh l 3.5 ( lch b). Gi s x; y tng ng l phng n chp nhn c ca bi ton gc, bi ton i ngu. Khi x; y l ti u khi v ch khi .ai1x1 C ai 2 x2 C C ai nxn bi /yi D 0 xj .a1j y1 C a2j y2 C C amj ym cj / D 0 8i 8j (3.8) (3.9)

3.2 Cc nh l v i ngu Chng minh. Ta t ui D .ai1x1 C ai 2x2 C C ai nxn bi /yi 0 vj D xj cj .a1j y1 C a2j y2 C C amj ym/ 0 Cho nnm X

77

ui D vj D

i D1 n X j D1

n X

.ai1x1 C ai 2 x2 C C ai n xn xj cj

bi /yi 0

i D1 n X j D1

.a1j y1 C a2j y2 C C amj ym/ 0

Do 0m X i D1

ui C

n X j D1

vj D .c1x1 C C cnxn /

.b1 y1 C C bm ym/

Theo nh l i ngu mnh, nu xT D .x1 ; : : : ; xn / v yT D .y1; : : : ; ym/ l phng n ti u ca bi ton gc v bi ton i ngu th .c1x1 C C cnxn / D .b1 y1 C C bm ym/: Do ui D vj D 0 vi mi i; j: Ngc li nu ui D vj D 0 vi mi i; j th .c1x1 C C cnxn / D .b1 y1 C C bm ym/: Theo h qu 3.3 th x v y cng l phng n ti u. V d 3.7. Cho bi ton quy hoch tuyn tnh z D 4x1 C 3x2 C 8x3 ! min Vi cc rng buc x1 C x3 D 2 x2 C 2x3 D 5 xj 0; j D 1; 2; 3 c phng n ti u ca bi ton i ngu l yT D .2I 3/: Hy tm phng n ti u ca bi ton gc.

78 Gii.

L thuyt i ngu

V d 3.8. Cho bi ton quy hoch tuyn tnh z D 2x1 C 2x2 C x3 C 4x4 ! max Vi cc rng buc 8 < 5x1 C x2 C x3 C 6x4 D 50 3x1 C x3 C 2x4 16 : 4x1 C 3x3 C x4 23 xj 0; j D 1; : : : ; 4 c phng n ti u xT D .0I 14I 6I 5/: Hy tm phng n ti u ca bi ton i ngu. Gii.

3.2 Cc nh l v i ngu

79

V d 3.9. Cho bi ton quy hoch tuyn tnh z D 4x1 C 9x2 C 16x3 8x4 Vi cc rng buc 8 x3 C < 5x1 C 4x2 x1 C 2x2 C 4x3 : x1 2x2 x3 C x1 ; x2 ; x3 0 20x5 ! min 3x4 C x5 2x4 5x5 2x4 C 3x5 D 5 9 2

a. Pht biu bi ton i ngu ca bi ton trn. b. Kim tra tnh ti u ca phng n xT D .2I 0I 1I 2I 3/ v tm phng n ti u ca bi ton i ngu. Gii.

80

L thuyt i ngu

3.2 Cc nh l v i ngu V d 3.10. Gii bi ton quy hoch tuyn tnh z D 10x1 C 8x2 C 19x3 ! min Vi cc rng buc 8 < x1 C x2 C x3 6 3x1 C 2x3 2 : x1 C 2x2 C 5x3 5 xj 0; j D 1; : : : ; 3 Gii.

81

82

L thuyt i ngu

3.3 Bi tp chng 3 Bi tp 3.1. Gii cc bi ton qui hoch tuyn tnh a. z D 2x1 C 3x2 C 4x3 ! min Vi cc rng buc 6x1 C 3x2 C 2x3 19 2x1 C 6x2 C 3x3 24 xj 0; j D 1; 2; 3 p n. Phng n ti u xT D .7=5I 53=15I 0/ ; gi tr hm mc tiu z D 67=5 b. z D x1 C x2 C x3 ! min

3.3 Bi tp chng 3

83

Vi cc rng buc 8 < 6x1 C 2x2 C x3 20 x1 C 7x2 C 3x3 25 : 3x1 C x2 C 8x3 30 xj 0; j D 1; 2; 3 p n. Phng n ti u xT D .131=60I 127=60I 8=3/ ; gi tr hm mc tiu z D 209=30 Bi tp 3.2. Cho bi ton quy hoch tuyn tnh z D 2x1 C x2 C x3 C 3x4 ! max Vi cc rng buc 8 2x2 C x3 D 16 < x1 x2 C 4x3 C x4 8 : x2 2x3 C 3x4 20 xj 0; j D 1; : : : ; 4 a. Pht biu bi ton i ngu ca bi ton trn. b. Hy gii mt trong hai bi ton ri suy ra phng n ti u ca bi ton cn li. Bi tp 3.3. Cho bi ton quy hoch tuyn tnh z D 5x1 C x2 C x3 C 16x4 ! max Vi cc rng buc 8 x1 C x2 C 2x3 3x4 D 5 < 2x1 x2 C x3 C 5x4 D 2 : 3x1 C 4x2 C 7x3 8x4 D 9 xj 0; j D 1; : : : ; 4 a. Hi xT D .25=13I 64=13I 0I 8=13/ c phi l phng n ti u ca bi ton trn khng? b. Vit bi ton i ngu ca bi ton trn v tm phng n ti u ca bi ton i ngu. Bi tp 3.4. Mt X nghip x l giy, c ba phn xng I, II, III cng x l hai loi giy A, B. Do hai phn xng c nhiu s khc nhau, nn

84

L thuyt i ngu

nu cng u t 10 triu ng vo mi phn xng th cui k phn xng I x l c 6 t giy loi A, 5 t giy loi B. Trong khi phn xng II x l c 4 t giy loi A, 6 t giy loi B. Phn xng III x l c 5 t giy loi A, 4 t giy loi B. Theo yu cu lao ng th cui k X nghip phi x l t nht 6 tn giy loi A, 8 tn giy loi B. Hi cn u t vo mi phn xng bao nhiu tin x nghip hon thnh cng vic vi gi tin u t l nh nht. p n. Phng n ti u xT D .5=4I 45=4I 0/ ; gi tr hm mc tiu z D 55=4: Bi tp 3.5. Mt gia nh cn t nht 1800 n v prtin v 1500 n v lipit trong thc n mi ngy. Mt kilgam tht b cha 600 n v prtin v 600 n v lipit, mt kilgam tht heo cha 600 n v prtin v 300 n v lipit, mt kilgam tht g cha 600 n v prtin v 600 n v lipit. Gi mt kilgam tht b l 84 ngn ng, gi mt kilgam tht heo l 71 ngn ng, gi mt kilgam tht g l 90 ngn ng. Hi mt gia nh nn mua bao nhiu kilgam tht mi loi bo m tt khu phn n trong mt ngy v tng s tin phi mua l nh nht? p n. Phng n ti u xT D .2I 1I 0/ ; gi tr hm mc tiu z D 239: Bi tp 3.6. Cho bi ton quy hoch tuyn tnh. z D x1 2x2 C x3 Vi cc rng buc 8 x1 2x2 < 2x1 3x2 : x1 x1 ; x3 ; x5 0 x4 C x5 ! min C x3 C 3x4 C 2x3 C x4 C 3x3 2x5 D x5 4x5 6 4 8

a. Pht biu bi ton i ngu ca bi ton trn, chng ta tp phng n ca bi ton i ngu l tp rng. b. Kim tra tnh ti u ca phng n xT D .5I 6I 1I 4I 0/ cho bi ton gc c. Chng ta bi ton cho khng c phng n ti u. Hng dn gii. a. Ch ra khng c phng n no tha cc rng buc ca bi ton i ngu.

3.3 Bi tp chng 3

85

b. S dng nh l lch b, vi phng n xT D .5I 6I 1I 4I 0/ th khng tn ti phng n no ca bi ton i ngu tha nh l lch b. c. Chng minh bng phn chng. Gi s bi ton gc c phng n ti u th bi ton i ngu cng c phng n ti u (theo nh l i ngu mnh 3.4). iu ny tri vi cu a). Vy ta c iu phi chng minh.

86

L thuyt i ngu

Chng 4 Bi ton vn ti4.1 Bi ton vn ti cn bng thu pht Gi s:PP PP PP Thu PP PP Pht P

b1

b2

bj c1j c2j : : : cij : : : cmj

bn c1n c2n : : : ci n : : : cmn

a1 a2 : : : ai : : : am

c11 c12 c21 c22 : : : : : : ci1 ci 2 : : : : : : cm1 cm2

C m ni cung cp hng ha (trm pht), trm pht i cha ai n v hng ha i D 1; : : : ; m: C n ni tiu th hng ha (trm thu), trm thu th j cha bj n v hng ha j D 1; : : : ; n: Tng lng pht bng tng lng thu, ngha lm X i D1

ai D

n X j D1

bj

(4.1)

Cc ph vn chuyn mt n v hng ha t ni cung cp th i n ni tiu th th j l cij :

88

Bi ton vn ti

Yu cu ca bi ton l tm lng hng phn phi xij 0 t trm pht th i n trm thu th j sao cho: Tng chi ph vn chuyn thp nht zD Gii ta khon m XX i D1 j D1

cij xij ! min

(4.2)

Ca hng nhn hngm X i D1

n X j D1

xij D ai ;

i D 1; : : : ; m

(4.3)

xij D bj

j D 1; : : : ; n

(4.4)

Bng phn phi lng hng vn chuyn xij t trm pht th i n trm thu th j thng c trnh by nh sau: ai bj b1 b2 bj c1j x1j c2j x2j cij xij cmj xmj bn c1n x1n c2n x2n ci n xi n cmn xmn

a1 a2 : : : ai : : : am Ma trn

c11 c12 x11 x12 c21 c22 x21 x22 ci1 ci 2 xi1 xi 2 cm1 cm2 xm1 xm2 0

tha cc rng buc (4.3) v (4.4) c gi l phng n chp nhn c.

1 x11 x12 x1n Bx C B 21 x22 x2n C xDB : : : C : : A @ : : : : xm1 xm2 xmn

(4.5)

4.2 Phng n cc bin ca bi ton vn ti

89

Tnh cht 4.1. Bi ton vn ti cn bng thu pht lun c phng n ti u. Chng minh. Ta cn chng minh tp cc phng n chp nhn c khc rng v hm mc tiu lun b chn di. Tht vy ta c xij D ai bj 0; m P ai 8i; j (4.6)

i D1

l phng n chp nhn c vn X

m X

n n X ai bj ai X bj D ai ; D m xij D m P P j D1 j D1 ai ai j D1 i D1 i D1

i D 1; : : : ; m

(4.7)

Hm mc tiu b chn di bi khng zDn m XX i D1 j D1

m m X ai bj bj X xij D ai D bj ; D m m P P i D1 i D1 ai ai i D1 i D1 i D1

j D 1; : : : ; n

(4.8)

cij xij 0

(4.9)

Vy theo tnh cht ca bi ton quy hoch tuyn tnh, bi ton vn ti lun c phng n ti u. Tnh cht 4.2. Ma trn h s cc rng buc ca bi ton vn ti c hng bng m C n 1: 4.2 Phng n cc bin ca bi ton vn ti nh ngha 4.3 ( chn, loi). i. Ta vit .i I j / l dng i ct j: ii. Trong bng vn ti, nhng c xij > 0 c gi l chn, nhng c xij D 0 gi l loi.

90

Bi ton vn ti

nh ngha 4.4 (ng i). Ta gi mt ng i l tp hp cc chn sao cho: Trn cng mt dng hay mt ct khng c qu hai chn. Hai chn lin tip th nm trn cng mt dng hay mt ct. V d 4.1. Dy cc chn sau to thnh mt ng i:

V d 4.2. Cc chn sau c lp thnh ng i khng, ti sao?

nh ngha 4.5 (Chu trnh). Mt ng i khp kn c gi l mt chu trnh.

4.2 Phng n cc bin ca bi ton vn ti V d 4.3. Dy cc chn sau to thnh mt chu trnh

91

Tnh cht 4.6. Mt bng vn ti c m dng, n ct th tp cc chn khng cha chu trnh c ti a m C n 1 . Tnh cht 4.7. Vi mt phng n c m C n 1 chn khng cha chu trnh, th vi bt k mt loi no c a vo phng n th loi ny cng vi mt s chn cho to thnh chu trnh v chu trnh ny l duy nht. V d 4.4. Xt bng vn ti 3 dng, 4 ct vi mt phng n c 3C4 1 D 6 chn cho nh sau

Khi ta thm mt loi bt k th loi ny kt hp vi mt s chn ny to thnh chu trnh. Chng hn, ta thm loi .1; 2/ vo phng n th ny s kt hp vi cc .3; 2/I .3; 3/I .2; 3/I .2; 1/I .1; 1/ to thnh chu trnh.

92

Bi ton vn ti

nh l 4.8. Mt phng n c gi l phng n cc bin ca bi ton vn ti khi v ch khi tp cc chn ca n khng cha chu trnh. nh ngha 4.9. Mt phng n cc bin c m C n 1 chn c gi l phng n cc bin khng suy bin. Ngc li, mt phng n cc bin c t hn m C n 1 chn c gi l phng n cc bin suy bin. V d 4.5. Phng n sau l phng n cc bin khng suy bin ai bj 30 40 50 7 4 40 3 35 15 60 2 9 6 50 10

80 1 30 5 7 45 5 55 12 2

V d 4.6. Phng n sau l phng n cc bin suy bin ai bj 40 100 60 4 5 40 20 50 3 1 5 50

80 1 40 2 4 70 2 100 4

1 2 100

Nhn xt. Mt phng n c bn c cc c chn c th khng lp thnh mt ng i.

4.3 Cc phng php thnh lp phng n cc bin 4.3 Cc phng php thnh lp phng n cc bin 4.3.1 Phng php cc ph thp nht

93

tng chnh ca phng php ny l phn phi lng hng ln nht c th vo c cc ph thp nht. Phng php phn phi lng hng xij c thc hin nh sau: 8 ai loi dng i; bj D bj ai < (4.10) xij D minfai I bj g D bj loi ct j; ai D ai bj : ai D bj loi dng i ct j

Lp li qu trnh trn cho cc tip theo n khi yu cu ca trm pht, trm thu c tha mn. Phng n thu c bng phng php ny l phng n cc bin. V d 4.7. Bng phng php cc ph thp nht, thnh lp mt phng n cc bin ca bi ton vn ti: ai bj 30 40 5 7 2 50 7 4 3 60 2 9 6

80 1 45 5 55 12 Gii.

94 4.3.2 Phng php gc Ty - Bc

Bi ton vn ti

Ta u tin phn phi lng hng nhiu nht vo gc Ty - Bc trn bng vn ti. Khi nu: Trm pht no ht hng th ta xa dng cha trm pht . Trm thu no nhn hng th ta xa ct cha trm thu . Sau lp li qu trnh trn i vi nhng cn li. Phng n c thnh lp bng phng php gc Ty - Bc l phng n cc bin V d 4.8. Bng phng php gc Ty - Bc, thnh lp phng n cc bin ca bi ton vn ti ai bj 30 40 5 7 2 50 7 4 3 60 2 9 6

80 1 45 5 55 12 Gii.

4.3.3 Phng php Vogel (Fogel) Phng php Vogel cho ta mt phng n cc bin kh tt, theo ngha n rt gn vi phng n ti u.

4.3 Cc phng php thnh lp phng n cc bin

95

i) Trn mi dng, mi ct ca ma trn cc ph ta tnh hiu s gia hai gi tr cc ph nh nht. ii) Chn dng hay ct c hiu s ny ln nht (nu c nhiu dng hay ct tha iu kin ny th ta chn mt dng hay mt ct trong cc dng, ct ny) iii) Phn lng hng nhiu nht vo c cc ph nh nht trn dng hay ct va chn c. (Khi nu ni no pht ht hng th ta xa dng cha ni pht . Nu ni no nhn hng th ta xa ct cha ni nhn . Lc ct (dng) ny hiu s s khng tnh cho bc sau). iv) Lp li ba bc ni trn vi nhng cn li cho n ht. Ta thu c phng n cc bin. V d 4.9. Bng phng php Vogel tm phng n cc bin ca bi ton vn ti: ai bj 30 40 5 7 2 50 7 4 3 60 2 9 6

80 1 45 5 55 12 Gii.

96

Bi ton vn ti

4.4 Thut ton th v gii bi ton vn ti gii bi ton vn ti, ta thc hin bn bc nh sau: Bc 1. Thnh lp phng n cc bin bng mt trong cc phng php: cc ph thp nht, Ty - Bc, Vogel. Bc 2. Xt xem phng n cc bin hin thi ti u hay cha bng thut ton quy khng cc ph chn. Nu phng n cc bin hin thi l phng n ti u th thut ton kt thc. Ngc li sang bc 3. Bc 3. Xy dng phng n cc bin mi tt hn xem 4.4.2. Bc 4. Quay v bc 2. 4.4.1 Thut ton quy khng cc ph chn Xt bi ton quy hoch tuyn tnh c phng n cc bin ban u khng suy bin (c m C n 1 chn). Nu bi ton c phng n cc bin suy bin (c t hn m C n 1 chn) th ta thm chn gi .i; j / vi xij D 0 vo sao cho cc chn gi ny v cc chn ban u khng to thnh chu trnh. V d 4.10. Xt bi ton vn ti c phng n cc bin suy bin ai bj 40 100 60 4 5 40 20 50 3 1 5 50

80 1 40 2 4 70 2 100 4

1 2 100

4.4 Thut ton th v gii bi ton vn ti Ta thm chn gi .1; 2/ vi x12 D 0 th bi ton c m C n ai bj 40 100 60 50 1 chn

97

80 1 40 2 0 4 40 3 5 4 1 70 2 20 50 5 1 2 100 4 100 Thut ton quy khng cc ph thc hin nh sau: Ln lt cng vo cc cc ph dng 1; : : : ; m mt lng r1 ; : : : ; rm v vo ct 1; : : : ; n mt lng s1 ; : : : ; sn sao cho tng cc ph trn cc chn bng khng. V d 4.11. Quy khng cc ph cc chn ca bng vn ti. ai bj 30 40 50 7 4 40 3 35 15 60 2 9 6 50 10

80 1 30 5 7 45 5 55 12 ri sj 1 5 Gii. 30 5 7 2 2

7 4 40 3 35 15

2 9 6

50 10

12

98

Bi ton vn ti

Bi ton vn ti sau khi quy khng cc ph chn: ai bj 30 30 35 40 15 40 50 60 50 10

80 45 55

nh l 4.10. Ln lt cng vo cc cc ph dng 1; : : : ; m mt lng r1 ; : : : ; rm v vo ct 1; : : : ; n mt lng s1 ; : : : ; sn tc thay cij bi cij D ri C sj C cij th ta c bi ton mi c cng phng n ti u vi bi ton c. Nhn xt. Theo nh l 4.10, bi ton vn ti vi phng n cc bin ai bj 30 40 50 7 4 40 3 35 15 60 2 9 6 50 100

80 1 30 5 7 45 5 55 12 2

v bi ton vn ti sau khi quy khng cc ph cc chn vi phng n cc bin ai bj 30 40 50 10 0 40 0 35 15 60 0 0 -2 50 10

80 0 30 9 4 45 -3 55 5 0

l tng ng nhau. Ngha bi ton quy khng cc ph ti u th bi ton ban u cng ti u v chng cng phng n ti u.

4.4 Thut ton th v gii bi ton vn ti

99

Ta nhn thy, trong bi ton quy khng cc ph trn dng 2, c .2; 1/ c cc ph r hn cc ph cc chn .2; 3/ v .2; 4/ nn phng n hin thi cha ti u. nh l 4.11 (Du hiu ti u). Bi ton vn ti sau khi quy khng cc ph cc chn: Nu cij 0 vi mi .i; j / th phng n cc bin hin thi l phng n ti u.0

Nu tn ti cij < 0 th c th tm mt phng n mi tt hn phng n hin thi.0

V d 4.12. Chng minh phng n cc bin hin thi ca bi ton vn ti sau khng phi l phng n ti u. ai bj 30 40 50 60

80 1 30 5 40 7 10 2 9 7 4 45 5 40 5 3 6 55 12 2 55 Gii.

100

Bi ton vn ti

V d 4.13. Chng minh phng n cc bin hin thi ca bi ton vn ti sau l phng n ti u. ai bj 30 40 50 7 4 40 3 35 15 60 2 9 6 60

80 1 20 5 45 5 10 7 55 12 2 Gii.


101

4.4.2 Xy dng phng n cc bin mi Trn bng quy khng cc ph tm Bc 1. vo l loi c cij m nht (l s m c gi tr tuyt i ln nht).0

Bc 2. Xc nh chu trnh cha vo va xc nh bc 1. vo nh du (+), cc chn cn li trn chu trnh nh du xen k du (-), (+) trn chu trnh. Bc 3. Xc nh phng n cc bin mi. Lng iu chnh q D min xij j.i; j / c du (-) Phng n cc bin mi: 8 xij C q < xij D xij q : xij ai bj 30 50 c du (+) c du (-) khng c du (4.11)

V d 4.14. Cho bi ton vn ti c phng n cc bin 80 5 50 3 2 20 20 40 40 1 6 5 40

90 3 30 2 1 70 4 40 7 4

Chng minh phng n cc bin hin thi cha ti u. Xy dng mt phng n khc tt hn. Gii.

102

Bi ton vn ti

V d 4.15. Cho bi ton vn ti c phng n cc bin ai bj 25 25 3 10 5 10

10 5

30 7 25 6 5 8 2 2 20 3 20

Chng minh phng n cc bin hin thi cha ti u. Xy dng mt phng n khc tt hn. Gii.


103

V d 4.16. Gii bi ton vn ti

104 bj 50 40 5 9 2 70 12 11 3

Bi ton vn ti

ai

80 5 20 7 60 4 Gii.

4.5 Mt s trng hp c bit ca bi ton vn ti

105

4.5 Mt s trng hp c bit ca bi ton vn ti 4.5.1 Bi ton vn ti khng cn bng thu pht Trng hp pht ln hn thu. Ta thm trm thu gi bnC1 ; vi lng hng l bnC1 Dm X i D1

ai

n X j D1

bj ;

ci nC1 D 0;

i D 1; : : : ; m

Lc ny bi ton cn bng thu pht. Trng hp pht t hn thu. Ta thm trm pht gi amC1 ; vi lng

106 hng l amC1 Dn X j D1

Bi ton vn ti

bj

m X i D1

ai ;

cmC1i D 0;

j D 1; : : : ; n

Lc ny bi ton cn bng thu pht. V d 4.17. Gii bi ton vn ti khng cn bng thu pht cho bi bng vn ti sau: ai bj 100 65 5 4 2 95 2 5 7

80 7 70 3 150 9 Gii.

4.5 Mt s trng hp c bit ca bi ton vn ti

107

4.5.2 Bi ton vn ti c cm y l bi ton vn ti m v mt l do no c mt ni pht khng th chuyn ch hng n mt ni nhn no c. gii quyt vn ny chng ta cho cc ph l M; vi M l s dng rt ln, ln hn bt k s no cn so snh. Sau chng ta gii nh nhng bi ton trnh by trn. V d 4.18. Gii bi ton vn ti vi hai cm cho nh sau: ai bj 100 65 5 95 11 5 8 7 40 10 7

80 6 70 10 150 9

108 Gii.

Bi ton vn ti

4.6 Bi ton vn ti cc i cc ph

109

4.6 Bi ton vn ti cc i cc ph Bc 1. Thnh lp phng n cc bin bng phng php cc i cc ph, chng ta phn phi lng hng nhiu nht vo c cc ph ln nht. Bc 2. Xt xem phng n cc bin hin thi ti u hay cha bng thut ton quy khng cc ph chn. Nu cij 0 vi mi .i; j / th phng n cc bin hin thi l phng n ti u, thut ton kt thc.0

Nu tn ti cij > 0 th c th tm mt phng n mi tt hn phng n hin thi, chuyn sang bc 3.0

Bc 3. Xy dng phng n cc bin mi tt hn, ch vo l loi 0 c cij > 0 ln nht, cc bc tip theo lm ging bi ton min : Bc 4. Quay v bc 2. V d 4.19. Gii bi ton vn ti cc i cc ph sau: ai bj 70 55 5 6 8 85 11 5 7 60 10 7 4

90 6 80 10 100 9 Gii.

110

Bi ton vn ti

4.7 Bi tp chng 4 Bi tp 4.1. Gii bi ton vn ti

4.7 Bi tp chng 4 bj 30 50 2 1 4 80 5 3 2 40 1 6 5

111

ai

90 3 70 4 40 7

p n: Phng n ti u 0 1 30 20 0 40 x D @ 0 30 40 0 A ; 0 0 40 0 Bi tp 4.2. Gii bi ton vn ti: ai bj 40

z D 400

100 2 4 1

60 4 5 2

50 3 1 5

80 1 70 2 100 4

p n: Phng n ti u 0 1 20 60 0 0 x D @20 0 0 50A ; 0 40 60 0 Bi tp 4.3. Gii bi ton vn ti: ai bj 20

z D 390

30 8 7 8

45 6 7 9

50 11 12 10

40 5 30 6 55 8

112 p n: Phng n ti u 0 1 0 0 40 0 x D @20 5 5 0 A ; 0 25 0 30 sj 45 100 16 17 14

Bi ton vn ti

z D 930

Bi tp 4.4. Gii bi ton vn ti c cm ri 50 15 9 10 13 60 11

70 100 10 85 12

Bi tp 4.5. Cho bi ton vn ti cn bng thu pht v mt phng n: ai bj 40 45 60 7 45 2 20 65 2 65 10

p n: Phng n ti u 0 1 0 10 0 60 x D @45 5 50 0 A ; 0 85 0 0

z D 2995

90 4 25 5 1 65 5

3 6 55 1115 2 40 a. Tnh cc ph vn chuyn ca phng n ny, chng minh phng n cc bin cho khng phi l phng n ti u. b. Xut pht t phng n trn hy xy dng mt phng n mi tt hn (ch cn mt phng n mi tt hn). Bi tp 4.6. Mt nh my ch bin tht, sn xut ba loi tht: b, ln, cu, vi tng lng mi ngy l 480 tn b; 400 tn ln; 230 tn cu. Mi loi u c th bn c dng ti hoc nu chn. Tng lng cc

4.7 Bi tp chng 4

113

loi tht nu chn bn trong gi lm vic l 420 tn. Ngoi ra nu thm ngoi gi 250 tn (vi gi cao hn). Li nhun thu c trn mt tn c cho bng bng sau: (vi n v l triu ng)@ @ @ @

Ti 8 4 4

Nu chn 11 7 9

B Ln Cu

Nu chn Ngoi gi 14 12 13

Mc ch ca nh my l tm phng n sn xut lm cc i li nhun. Hy tm phng n ti u.

114

Bi ton vn ti

Ti liu tham kho[1] Phan Quc Khnh, Trn Hu Nng. (2000). Quy hoch tuyn tnh. NXB Gio dc. [2] Nguyn nh Tng. (2010). Quy hoch tuyn tnh. [3] L Khnh Lun. (2006). Quy hoch tuyn tnh . NXB Lao ng. [4] Bi Phc Trung. (2003). Quy hoch tuyn tnh. NXB Lao ng - X hi. [5] Bernard Kolman, Robert E. Beck. (1995). Elementary Linear Programming with Applications. Elsevier Science & Technology Books. [6] Robert J. Vanderbei. (2007). Linear Programming, Foundations and Extensions Third Edition. Springer Publication. [7] George B. Dantzig, Mukund N. Thapa. (1997). Linear Programming, Introduction. Springer Publication.

linear programming

Documents