1

1

Lineær beamoptik 1

Wille kapitel 3.1 til og med 3.6 (undtagen 3.3)

•Koordinatsystem

•Indledning / overblik

•Rækkeudvikling af feltet

•Bevægelsesligningen

•Løsning af bevægelsesligningen

•Transfermatricer og partikelbaner

•Dispersion

•Momentum Compaction factor

2

Koordinatsystem

Vi vil benytte et koordinatsystem der følger en ideel partikel, altså en partikel der bevæger sig på idealbanen.

Vi antager, at partiklen

hovedsagelig bevæger sig i

s-retningen, så dens

hastighed kan skrives

v=(0,0,vs), og at B-feltet kun

har komponenter vinkelret

på s, dvs B=(Bx,Bz,0).

2

3

Indledning/overblik

Ved design af en accelerator planlægger man hvordan den ideelle bane af partiklerne skal være.

Denne bane kaldes idealbanen (the orbit i bogen).

Idealbanen er sammensat af både lige og krumme strækninger. Partiklerne bliver holdt fast på idealbanen af dipolmagneter hvor banen ikke er en ret linie.

En partikels opførsel er bestemt af dens position og impuls (x,z,s,p), dens vinkelafvigelse (x’,z’)=(dx/ds, dz/ds) samt impulsafvigelsen (Dp).

Idealbanen vil kun følges af en ideel (teoretisk) partikel, i.e. en partikel med nominel impuls (Dp=0) og ideelle startbetingelser (x,x’,z,z’)=(0,0,0,0).

I virkeligheden har partikler små afvigelser i position, vinkel og impuls. Desuden er de magnetiske elementer ikke perfekte.

Derfor må man have fokuserende elementer der styrer partiklerne ind mod idealbanen, og dermed bevirker at de oscillerer om denne.

Lineær beamoptik handler om at beskrive partiklernes bane i en sådan maskine.

Vigtigt: I lineær beamoptik er der ingen kobling mellem x og z bevægelsen, og vi kan altså behandle dem separat.

4

Bevægelse af en ladet partikel i et B-felt

Bevægelse i et B-felt: BR=p/e. (Magnetisk stivhed (Rigidity))

Denne ligning fandt vi sidste gang ved at sætte

Lorentzkraften evB lig med centrifugalkraften pv/R

I horisontalt plan:

Rækkeudvikling af Bz i omegnen af Bz0 giver

Med dette udtryk for Bz(x) kan vi nu finde for en

partikel med en afvigelse i x-retningen.

),,(

1

szxR

3

5

Feltet som sum af multipoler

Da

har vi altså

Bevægelsen kan altså opdeles i en sum af bidrag fra

multipoler, der hver især har en effekt på beamet.

Betragter vi kun de to første led taler vi om lineær beamoptik.

6

Multipoler

Enheder: 1/R: m-1, k: m-2, m: m-3, o: m-4 .....

‘Rigtige’ felter, gradienter etc. fås ved at gange med stivheden, BR

4

7

Denne kvadrupol er fokuserende i det horisontale, og defokuserende i det vertikale plan.

Feltet øges lineært med afstanden fra centrum.

Fokusering i feltet fra en kvadrupol

8

Fokusering med kvadrupoler

Man benytter ofte flere q-poler efter hinanden. Herved fås

Horisontalt

Vertikalt

fokusering i begge planer, da den fokuserende q-pol

gennemløbes i størst afstand fra den optiske akse.

5

9

Sekstupol

Sekstupoler benyttes til

korrektion af fokuseringsfejl

i kvadrupoler på grund af

impulsafvigelser, den

såkaldte kromaticitet.

Den vender vi tilbage til

senere.

10

Bevægelsesligningen (1)

Vort mål er at finde en differentialligning hvis løsning giver x(s) og z(s) når vi kender Bx(s), Bz(s) samt x,x’,z og z’ i ét punkt, altså for én værdi af s.

Det kræver dog en lille omvej. Vi starter:

I områder med B-felt må koordinatsystemet roteres.

Rotation med en vinkel j fører vektorene x0A og s0A over i vektorene x0 og s0.

Transformationen kan skrives:

Vi differentierer mht j, og ser let at:

og

Vi beskriver bevægelsen af en partikel i et koordinatsystem der følger idealbanen.

6

11

Bevægelsesligningen (2)

Nu kommer tiden ind i billedet. Vi kender de vinkelafledede af s og x, så den tidafledede af disse vektorer kan findes hvis vi kender vinkelens tidsafledede.

Denne findes dog let, idet:

og dermed

Vi har altså nu (i xs planen):

Dette var et vigtigt skridt, idet partiklens positionsvektor jo kan skrives:

Vi kan nu finde første og anden tidsafledede af r (3.12). Disse indgår også i

udtrykket for Lorentzkraften (via F og p), så nu får vi B-feltet med i ligningerne.

12

Bevægelsesligningen (3)

Vi kan nu altså finde udtryk for og . (ligning 3.12)

Men samtidig har vi jo Lorentzkraften som, hvis vi udnytter at og

, samt at Bs er 0, giver os flg udtryk

Vi kan nu sætte de to udtryk for lig hinanden, og

forenkle det ved kun at betragte x og z

koordinaterne, idet feltets virkning på s-hastigheden

kan negligeres. Endelig bruger vi, at p=mv.

Ved hjælp af tegningen til højre ses, at

7

13

Bevægelsesligningen (4)

Efter lidt regnerier med ovenstående tilnærmelser finder man

Så skal vi se på impulsen: Vi antager, at partiklens impuls kun afviger lidt fra den

ideelle partikels impuls, dvs p = p0 + Dp.

Vi har da, at

D

D

D

00

0

00

11

1

1111

p

p

pp

ppppp

Fra rækkeudviklingen af feltet har vi at og

Da både x, z, og Dp/p er små, ser vi bort fra alle produkter af dem.

Så ender vi med: Endelig har vi den søgte

bevægelsesligning.

Den kaldes også Hill’s ligning,

og er den centrale ligning i

lineær beamoptik

14

Løsninger til Hill’s ligning: Forudsætninger

Vi betragter kun horisontal bevægelse, da horisontal og vertikal bevægelse er uafhængige af hinanden (i lineær beamoptik).

Vi benytter den tilnærmelse, at felter (udtrykt ved 1/R og k) er konstante gennem et magnetisk element, og falder brat til nul ved enderne (hard-edge model).

Vi antager foreløbig, at der ikke er nogen impulsspredning (Dp = 0).

Vi vil kun betragte separate multipoler (ingen combined function magneter).

Vi vælger den konvention for kvadrupoler, at k<0 i en horisontalt fokuserende kvadrupol, og k>0 i en defokuserende.

Vi vil starte med at finde udtryk for bevægelsen i ét element af gangen.

8

Hyperbolske funktioner

15

16

Løsninger til Hill’s ligning: Kvadrupoler 1

Da der ikke er noget dipolfelt er R uendelig, og altså 1/R=0, Hill’s ligning er så:

x’’(s) – kx(s) = 0

Vi starter med en horisontalt defokuserende kvadrupol, og har altså k>0.

Ligningen kan løses analytisk. Den generelle løsning er:

Konstanterne A og B er bestemt af startbetingelserne, dvs af x0 og x’0 , altså hhv.

position og vinkel med s ved indgangen til magneten.

Da sinh(0)=0 og cosh(0)=1 fås ved at sætte s=0 at k

xBxA

´00 og

Vi har altså følgende ligning for banens forløb i en defokuserende kvadrupol:

9

17

Løsninger til Hill’s ligning: Kvadrupoler 2

Det er praktisk at skrive løsningen i matrixnotation:

hvor

Som det ses af forløbet af

sinh og cosh funktionenerne

stemmer løsningen meget

godt overens med vore

forventninger til banen i et

defokuserende element.

En partikelbane vil altid blive

bøjet væk fra aksen.

18

Løsninger til Hill’s ligning: Kvadrupoler 3

Ganske tilsvarende finder vi for en fokuserende kvadrupol (k<0):

Her er bevægelsen

oscillerende om den

ideelle bane, svarende til

bevægelsen af en kugle

der triller i en tagrende:

med

10

19

Kvadrupoler: Fokallængde (ikke nævnt i lærebogen)

Sammenlign med en samlelinse: Hvis lys rammer linsen i afstanden x fra den

optiske akse, er vinkelændringen q x/f , hvor f er linsens fokallængde.

For en fokuserende kvadrupol med længde s får vi, med x0 =1, x0’=0 at

)sin(

)cos(

0

1

)cos()sin(

)sin(1

)cos(

)(

)(

skk

sk

skskk

skk

sk

sx

sx

Dvs, at vinkelændringens størrelse er )sin( skk

Da sin(x)~x for små værdier af x, bliver vinkelændringen -|k|s for lille værdi af s,

dvs en ‘tynd’ kvadrupol.

Sammenlign nu med ligningen for fokallængde i en optisk linse med x=1 :

Vi har da: 1/f = -ks, og altså at fokallængden er f=-1/ks.

Produktet ks kaldes også den integrerede gradient.

Vi så før, at to kvadrupolmagneter med modsat fortegn af k vil fokusere i begge

planer. Det gælder dog kun, hvis deres indbyrdes afstand er mindre end f.

20

Løsninger til Hill’s ligning: Dipol

Hill’s ligning:

Løsningen ligner den for k<0, altså

En dipol fokuserer altså i det horisontale plan.

Det er dog en svag fokusering. I en

typisk kvadrupol er k~5 m-2, mens

R i en dipol sjældent er under et

par meter, svarende til k<0.25m-2.

De første synkrotroner der blev

bygget havde kun svag fokusering,

og dermed et meget stort beam.

11

21

Løsninger til Hill’s ligning: Driftstrækning

For en strækning uden B-felter bliver matricen

Bemærk, at for alle de løsninger vi har fundet gælder, at det(M)=1.

Når en afbildning har en determinant på 1, betyder det at skalaforholdet er 1,

dvs at arealer er bevaret. Det kommer vi til at høre mere om.

22

Dipol: kantfokusering

Rx

)tan(0

D

Vertikalt:

I en sektormagnet er polenderne vinkelret på

orbit.

I en rektangulær magnet er polenderne parallelle,

dvs der er en vinkel mellem orbit og polkanten.

Dette giver en horisontal defokusering af beamet.

Afbøjningen i vinkel som funktion af x0 bliver

Af figuren til venstre ses, at der sker en vertikal

fokusering i randfeltet på en rektangulær dipol.

Man kan vise, at afbøjningen i vinkel som

funktion af z0 bliver

Rz

)tan(0

D

Kantfokusering fungerer altså præcis som en defokuserende kvadrupol.

Mere om det senere i denne forelæsning

12

23

Matrixformulering: 4-vektor format

Vi kan behandle ´både x,x’,z og z’ på een gang ved at introducere

Herunder er et par eksempler på 4x4 transfermatricer:

(Bemærk: ingen xz kobling: masser af nuller!)

24

Én transfermatrix for hele acceleratoren.

Nu da vi kan beskrive beamet ved ind- og udgang af et element kan vi finde én

matrix der beskriver hele systemet ved at gange matricerne for de enkelte

elementer sammen. Et eksempel:

13

25

Hvis magnetens længde er l og radius af orbit i magneten er R, bliver de to

kantvinkler

Eksempel: Rektangulær magnet:

Antag at l<<R. Da har vi

Med får vi nu

Med l2/2R2 ~ 0 får vi

Sammenlign nu dette med udtrykket for

en sektormagnet (midterste matrix i

udtrykket ovenfor).

Bemærk: Den horisontale fokusering er

blevet vertikal.

26

Impulsafvigelse: Dispersion (1)

Jvf. Hill’s ligning har

impulsafvigelse (Dp<>0) kun

betydning hvis 1/R<>0, dvs at

partiklen bevæger sig i et

dipolfelt.

I et dipolfelt får vi så den inhomogene differentialligning

Vi ønsker nu at finde partikelbanen, x(s), der hører til en givet impulsafvigelse.

Det er praktisk at finde denne bane for en bestemt afvigelse, Dp/p=1.

Denne bane vil vi kalde D(s). Den er altså løsning til

Kender vi nemlig D(s), kan vi let finde baneafvigelsen for en vilkårlig

impulsafvigelse ved at gange med impulsafvigelsen, altså xD(s)=D(s)*Dp/p

14

27

Impulsafvigelse: Dispersion (2)

Dette er en inhomogen differentialligning.

Standardmetode til løsning: Find løsning til den homogene ligning (højreside

0), find én løsning til den inhomogene ligning og addér de to.

Vi fandt tidligere den generelle løsning til den homogene ligning da vi så på

løsning af Hill’s ligning for en dipol.

Da nu konstanten Dp=R er løsning til den inhomogene ligning har vi altså den

generelle løsning:

Vi gentager ligningen for D:

28

Impulsafvigelse: Dispersion (3)

Konstanterne A og B bestemmes af startbetingelserne D(0)=D0 og D’(0)=D’0.

De bliver

Så har vi udtrykket for dispersionsfunktionen:

Eller på matrixform i H-planen (3x3 matrix p.g. af konstantleddet) :

En partikel med impulsafvigelse har altså positionen

Hvor x(s) er banen uden impulsafvigelse

og

15

Dispersion: ASTRID2

29

30

Flere matricer (1)

Da partikler med afvigende impuls altså følger en dispersiv bane må vi udvide

vores tidligere 2x2 matrice i det horisontale plan.

Fokusering afhænger også af partiklens impulsafvigelse (kromaticitet), men det

vil vi foreløbig se bort fra. Vi vender senere tilbage til det.

I det horisontale plan kan vi altså finde partikelbanen ved hjælp af:

For kvadrupoler, driftstrækninger og kantfokusering bliver M

Her er de 4 elementer øverst til venstre de 2x2 matrixelementer vi allerede

har fundet. Nullerne angiver, at impulsafvigelse ikke ændrer noget. I dipoler

ser det dog anderledes ud som vi så på forrige slide.

16

31

Flere matricer (2)

For en dipol fandt vi 3x3 matricen i horisontalt plan:

Vi kan nu udvide matrixformalismen til begge planer.

Transformationen bliver da:

32

Flere matricer (3)

Igen har vi, at for alle elementer undtagen dipoler har vi 5x5 matricer der er

sammensat af de velkendte 2x2 matrixelementer:

For en dipol finder vi derimod (jvf. 3.103)

De to led i kolonne 5 øverst viser effekten af dispersionen på den horisontale

bevægelse. I vertikalt plan er dipolen en driftstrækning.

Nu har vi altså værktøjet til at finde partikelbaner i en vilkårlig struktur inklusiv

indflydelse af impulsafvigelse.

17

33

Momentum Compaction Factor (1)

Vi har set, hvordan en partikel med impulsafvigelse følger en dispersiv bane

der afviger fra den bane partikler uden impulsafvigelse følger.

I en cirkulær maskine fører det til, at banelængden L og dermed omløbstiden

bliver en smule anderledes.

Omløbstiden er vigtig for fasefokusering (kommer senere), og vi er derfor

interesserede i at kende denne forøgelse af banelængde.

Vi definerer derfor en momentum compaction factor, :

Det at en bane er dispersiv gør kun en

forskel i dipoler.

Her vil banelængden være

Dp>0

34

Momentum Compaction Factor (2)

Vi kan finde banelængden ved at integrere hele ringen rundt:

Da det første integral jo er den ikke-dispersive banelængde, har vi altså at

forøgelsen på grund af dispersion bliver:

Da momentum compaction factor er defineret som har vi: