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1

LIMITE DE UMA SEQUÊNCIA

Seja a sequência 1

2,

2

3,

3

4, …

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2

LIMITE DE UMA SEQUÊNCIA

Seja a sequência 1

2,

2

3,

3

4, …

Pode-se visualizar que os termos da sequência

𝑎𝑛 =𝑛

𝑛+1 se aproximam de

1 quando 𝑛 se torna grande.

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3

Definição 2: Uma sequência 𝑎𝑛 converge para L

𝑎𝑛 → L ou lim𝑛→∞

𝑎𝑛 = 𝐿

se dado 𝜀 > 0 existe um N tal que 𝑎𝑛 − 𝐿 < 𝜀 para todo n ≥ 𝑁.

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4

Definição 2: Uma sequência 𝑎𝑛 converge para L

𝑎𝑛 → L ou lim𝑛→∞

𝑎𝑛 = 𝐿

se dado 𝜀 > 0 existe um N tal que 𝑎𝑛 − 𝐿 < 𝜀 para todo n ≥ 𝑁.

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5

Observação: A comparação da Definição anterior com a

Definição do limite de uma função mostra que a única

diferença entre lim𝑛→∞

𝑎𝑛 = 𝐿 e lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) = 𝐿 é que 𝑛 precisa

ser inteiro.

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6

𝐓𝐞𝐨𝐫𝐞𝐦𝐚 𝟑: Se 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞

𝑓(𝑥) = 𝐿 e 𝑓(𝑛) = 𝑎𝑛 quando 𝑛 é

inteiro, então lim𝑛→∞

𝑎𝑛 = 𝐿.

Observação: A comparação da Definição anterior com a

Definição do limite de uma função mostra que a única

diferença entre lim𝑛→∞

𝑎𝑛 = 𝐿 e lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) = 𝐿 é que 𝑛 precisa

ser inteiro.

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7

lim𝑛→∞

1

𝑛𝑟 = 0 se 𝑟 > 0

Em particular, como sabemos que lim𝑥→∞

1

𝑥𝑟 = 0 quando 𝑟 > 0

temos como consequência do Teorema anterior:

Resultado 4:

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8

E se 𝑎𝑛 se tornar grande quando 𝑛 tende ao infinito???

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9

E se 𝑎𝑛 se tornar grande quando 𝑛 tende ao infinito???

Definição 5: 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

𝑎𝑛 = ∞ significa que para cada M > 0

existe um inteiro N tal que, se n > N então 𝑎𝑛 > M. (sequência divergente)

A sequência é dita convergente se o lim𝑛→∞

𝑎𝑛 existe,

caso contrário é dita divergente.

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10

𝐏𝐫𝐨𝐩𝐫𝐢𝐞𝐝𝐚𝐝𝐞𝐬 𝐝𝐨𝐬 𝐥𝐢𝐦𝐢𝐭𝐞𝐬: Se *𝑎𝑛+ e *𝑏𝑛+ forem sequências convergentes ec uma constante.

1) 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

(𝑎𝑛+𝑏𝑛) = 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

𝑎𝑛+ 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

𝑏𝑛

2) 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

(𝑎𝑛 − 𝑏𝑛) = 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

𝑎𝑛 − 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

𝑏𝑛

3) 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

c 𝑎𝑛 = c 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

𝑎𝑛

4) 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

(𝑎𝑛 ∙ 𝑏𝑛) = 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

𝑎𝑛 ∙ 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

𝑏𝑛

5) 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

𝑎𝑛

𝑏𝑛 =

𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

𝑎𝑛

𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

𝑏𝑛 , com 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

𝑏𝑛 ≠ 0

6) 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

𝑎𝑛𝑝 = 𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞𝑎𝑛

𝑝 com p e 𝑎𝑛> 0

Exemplo: Calcule lim𝑛→∞

𝑛

𝑛+1

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11

𝐓𝐞𝐨𝐫𝐞𝐦𝐚 𝐝𝐨 𝐂𝐨𝐧𝐟𝐫𝐨𝐧𝐭𝐨: Se 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 ≤ 𝑐𝑛, para 𝑛 ≥ 𝑛𝑜 e 𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞𝑎𝑛 = L e 𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞𝑐𝑛 = L

então 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

𝑏𝑛 = L.

Teorema 6: Se 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

𝑎𝑛 = 0 então 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

𝑎𝑛= 0

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12

Exemplo: Determine o limite da sequência cos2 𝑛

3𝑛

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13

Exemplo: Determine o limite da sequência cos2 𝑛

3𝑛

Exercício: Determine o limite das sequências, caso

existam.

1.4𝑛2

2𝑛2+1

2.sen 𝑛

𝑛

3.−1 𝑛

𝑛

4. −1 𝑛

5.ln 𝑛

𝑛

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14

Para que valores de r a sequência 𝑟𝑛 é convergente?

A sequência 𝑟𝑛 é convergente para −1 < 𝑟 ≤ 1 e diverge

para todos os outros valores de 𝑟.

Demonstração:

Resultado 7:

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𝐃𝐞𝐟𝐢𝐧𝐢çã𝐨 𝟖: Uma sequência 𝑎𝑛 é denominada 𝒄𝒓𝒆𝒔𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 se𝑎𝑛 < 𝑎𝑛+1 para todo 𝑛 ≥ 1 e é denominada decrescente se 𝑎𝑛 > 𝑎𝑛+1 para todo 𝑛 ≥ 1 .

• A sequência é dita monótona se for crescente ou

decrescente.

Exemplos:

1. A sequência 𝑛

2𝑛+1 é crescente ou decrescente?

2. Mostre que a sequência 3

𝑛+5 é decrescente.