limite autores: sílvia maria medeiros caporale joão paulo rezende karine angélica de deus...
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LimiteAutores:
Sílvia Maria Medeiros CaporaleJoão Paulo Rezende
Karine Angélica de DeusColaboradores:
José Antônio Araújo Andrade Marielle Aparecida Silva
A ideia intuitiva de limite
O estudo de funções exige, em diversas situações, certos cuidados.
A função f: R -> R, definida por, f(x) = x², por exemplo, não tem
restrições em seu domínio.
Observamos que quando o lado do quadrado tende a zero (l -> 0) , a área também tende a zero
(A -> 0) sendo este o valor limite dessa aproximação.
Podemos reescrever essa informação usando a notação de limite da seguinte forma:
ou
Lê-se:
Limite de A, quando x tende a zero é zero,
ou
Limite de l² , quando x tende a zero é zero.
ou
Essa mesma análise pode ser feita com a função f(x) = x², basta fazer os valores de x se
aproximarem de zero e observar o que acontece com a função.
A função está definida tanto para valores negativos quanto para valores positivos
Por isso podemos fazer x se aproximar de zero, por qualquer um dos lados, ou seja,
pela esquerda ou pela direita.
x se aproxima de zero pela
esquerda
x se aproxima de zero pela
direitaou seja, x assume
valores cada vez mais
próximos de zero, mas sempre
menores que zero
ou seja, x assume
valores cada vez mais
próximos de zero, mas sempre
maiores que zero.
x f(x) = x²
x se aproxima de zero pela
esquerda
Façamos então, nossas aproximações para a função f(x) = x².
- 2 4- 1 1
- 0,5 0,25- 0,25 0,0625- 0,05 0,0025
x f(x) = x²
x se aproxima de zero pela
direita
Façamos então, nossas aproximações para a função f(x) = x².
2 4 1 1
0,5 0,250,25 0,06250,05 0,0025
Observamos que quando x -> 0, y -> 0 , tanto pela direita como pela esquerda, o limite dessa
aproximação é zero, assim como acontecia no caso do quadrado.
ouPodemos reescrever essa informação usando a
notação de limite da seguinte forma:
ouLê-se:
Limite de f(x), quando x tende a zero é zero,
ou
Limite de x² , quando x tende a zero é zero.
Definição de limite –um ponto de vista informal
Dada uma função f, se tomarmos valores de x tão próximos de b quanto quisermos e f(x) se aproximar
cada vez mais de um valor L, dizemos que:
ou
Observação: O fato de
Não implica na função estar definida no ponto b.
Exemplo 1:
Seja a função
Não existe um número L que é limite da função
f(x), pois essa cresce sem cota quando x se aproxima de 0.
Portanto, trata-se de um limite infinito.
Limites laterais
Anteriormente para a função f(x) = x^2, mostramos que:
Quando x se aproxima de 0 pela direita, observamos que f(x) também se aproximava de 0.
Podemos denotar essas situações da seguinte forma:
E quando x se aproxima de 0 pela esquerda, observamos que f(x) também se aproximava de 0.
Definição: Limites laterais
Limite bilateral
Vimos anteriormente que para a função
Como
Dizemos que
é bilateral
Definição: Limite bilateral
Então, é um limite bilateral
Existência de um limiteDizemos que o limite bilateral de
uma função em um ponto b existe, se e somente se, os limites laterais
existem e são iguais.
Vejamos um exemplo...
Explique por que não existe Os limites laterais existem, mas são diferentes.
Cálculo de limitese
técnicas de determinação
Como calcular o seguinte limite?
Observe que bastava substituir o valor x=5 na função f(x)=x²-4x+3
Logo, lim p(x) = p(5)
Para qualquer polinômiotemos que
Determine o lim 5x = 4
O método utilizado no último exemplo não funciona para funções racionais em que o
denominador é nulo.
Há dois casos a considerar:
sendo
sendo
O limite pode ser
pela direita e
pela esquerda ouvice-versa.
Vejamos alguns exemplos...
Há dois casos a considerar:
sendo
Função racional
Limites infinitos
F(x) cresce sem cota quando x tende a b pela esquerda ou pela direita, logo
F(x) decresce sem cota quando x tende a b pela esquerda ou pela direita, logo
Vejamos alguns exemplos...