limita unei functii intrun punct.doc
TRANSCRIPT
Proiect didactic Clasa : a - XI - a A / Matematica - Informatica Lectie de verificare si dobandire de noi cunostinte
Proiect didactic
Data :
Clasa : a - XI - a A / Matematica
OBIECTUL: Matematica
Unitatea de invatare : Limite de functii
Titlul lectiei : definitia limitei unei functii intr - un punct cu vecinatati
Tipul lectiei : Lectie de verificare si dobandire de noi cunostinte
COMPETENTE SPECIFICE :
3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului diferential in rezolvarea unor
probleme si modelarea unor procese4. Exprimarea cu ajutorul notiunilor de limita, continuitate, derivabilitate, monotonie, a unor proprietati cantitative si calitative ale unei functii5. Studierea unor functi 222h72c i din punct de vedere cantitativ si calitativ utilizand diverse procedee: majorari, minorari pe un interval dat, proprietatile algebrice si de ordine ale multimii numerelor reale in studiul calitativ local, utilizarea reprezentarii grafice a unei functii pentru verificarea unor rezultate si pentru identificarea unor proprietati6. Explorarea unor proprietati cu caracter local si/ sau global ale unor functii utilizand continuitatea , derivabilitatea sau reprezentarea grafica .
OBIECTIVE OPERATIONALE :
1. Prin rezolvarea exercitiilor la tabla , elevii sa demonstreze ca
pot aplica in rezolvarea exercitiilor , criteriul raportului ,
lema lui Stolz - Cesaro si criteriul radicalului si pot opera liber
cu ele .
2. Elevul sa - si insuseasca notiunea de punct de acumulare , definitia
limitei unei functii intr - un punct cu vecinatati si teoremele de
caracterizare a limitei unei functii .
3. Folosirea corecta a limbajului matematic si exprimarea
orala , scrisa privind notiunea de punct de acumulare , definitia
limitei unei functii intr - un punct cu vecinatati si teoremele de
caracterizare a limitei unei functii.
4. Sa aplice notiunile invatate in rezolvarea exercitiilor propuse
de catre profesor .
5. Sa dezvolte imaginatia si gandirea creatoare
STRATEGII DIDACTICE :
Principii didactice :
Principiul participarii si invatarii active. Principiul asigurarii progresului gradat al performantei. Principiul conexiunii inverse ( feed - back )
Metode de invatamant :
conversatia explicatia exercitiul descoperirea expunerea
Forme de evaluare :
observatia prin lucru individual
Forme de oganizare a clasei :
frontala individuala
Resurse materiale :
materiale didactice : fise de lucru , manualul , proiect didactic
Mijloace de invatare : tabla , creta
Resurse procedurale :
investigatia stiintifica problematizarea observarea sistematica a elevului rezolvarea de probleme/situatii problema.
Material bibliografic :
Marcel Tena , etc. - Matematica M1 , Manual pentru
clasa a - XI - a , Ed. ART Grup Editorial , 2006
Ion Petrica - Probleme de algebra pentru liceu Vom.III
( clasele XI - XII) , Ed. Petrion Bucuresti , 1995
Eugen Radu , etc. - Matematica M1 , Manual pentru
clasa a - XI - a , Ed. ALL , 2006
Evenimentelelectie
Obiective Continutul lectiei Strategii didactice
Moment organizatoric
Activitatea profesorului Activitatea elevului conversatia
Saluta clasa.
Se rezolva unele probleme extradidactice aparute.
Noteza absentele
Elevul de serviciu prezinta lista elevilor carelipsesc.
Verificarea cunostintelor din lectia precedenta si reactualizarea celor necesare
comunicarii temei noi :
a) controlul
temelor date
elevilor pentru
acasa
- Ce tema ati avut de pregatit pentru acasa?
- Sunt intrebari de tema pentru acasa?
Invita un elev la tabla sa rezolve un exercitiu din tema de acasa.
Precizeaza titlul lectiei.
Numescexercitiile:
Un elev rezolva Ex.
Exercitiu individual
b) Verificarea cunostintelor din lectiaprecedenta
- Enuntul teoremelor : criteriului raportului , lema lui Stolz - Cesaro si criteriul radicalului ?
Concomitent cu exercitiul din tema propune pentru un elev din clasa un exercitiu asemanator cu lucrul de acasa : Ex.
Profesorul verifica si apreciaza oral rezultatele obtinute.
Trei elevi enuntacriteriul raportului ,lema lui Stolz - Cesaro si criteriul radicalului Doi elevi rezolva exercitiu
Conversatia Exercitiu
Dirijareainvatarii
Def. Fie D R , D∅ . Un punct
x0 ∈ se numeste punct
de acumulare pentru D daca oricare ar fi V∈V( x0) avem :
( V)∩D ∅.
Notam multimea punctelor de acumulare ale multimii D cu D/ .
Def. Daca un punct apartine multimii D si nu este punct
de acumulare pentru D , atunci el se numeste punct izolat pentru D .
Expunere
Mai precis : a∈D este punct izolat pentru D daca exista
U∈ V( a) a.i. ( U)∩D =∅ ( vecinatatea U are in comun
Un elev rezolva la tabla Ex. 2 Explicatie Descoperire
cu multimea D cel mult punctul a ) .
Ex. 1. D =ℕ . In acest caz D/ =
Rezolvare : Fie V = ∈V( ) .
( V)∩D ∅ ( V contine toate numerele naturale mai mari sau egale cu 1+ [] ) .
Ex.2. D=[ 0 , 1) . In acest caz D/ =[ 0 , 1] .
0 x0 1 2
Rezolvare : ( [ ) ( | ) ) ( | )
- punctele interioare din x0 ∈( 0 , 1 ) sunt evident punctele de acumulare pentru D .
- orice vecinatate a lui 1 si orice vecinatate a lui 0 are elemente
in comun cu D (deci 0 si 1sunt puncte de acumulare pentru D )
- punctul 2 este izolat pentru D : alegand V=(1,7; 2,3) ∈ V( 2)
avem V∩D = adica ( V)∩D =∅
Consideram functiile
f:RR , f(x) = x+3 si g: R R , g(x) =
ln . Graficele lor ne sunt cunoscute din casa a-IX-a , respectiv a-X-a .
Graficul lui f Graficul lui g
Sa consideram numarul real x0 = 0 . Observam pe grafice ca
atunci cand x se apropie foarte mult de x0 = 0 , fara a atinge insa acest numar , valorile f(x) se apropie oricand de mult de
numarul ℓ1=3 , iar valorile g(x) se apropie oricand de mult de
numarul ℓ2= .Aceasta apropiere intuitiva a lui x catre x0 ,
respectiv a lui f(x) catre ℓ1 sau a lui g(x) catre ℓ2 , o vom
descrie matematic cu ajutorul notiunii de vecinatate .Def. Fie f : D R , D R ,
D∅si x0 ∈D/. Punctul ℓ∈
este limita functiei in x0 daca
V∈V(ℓ) , U∈V( x0) ,
astfel incat f(x) ∈V pentru orice x∈D∩U , x x0 .
Limita functiei in punctul x0 se
noteaza si se
citeste ,, limita cand x tinde la x0 din f(x) ''
Teoreme de caracterizare a limitei unei functii
Criteriul
Definitia cu vecinatati a limitei unei functii este echivalenta are o transcriere in limbaj de inecuatii si inegalitati .
Fie x0 ∈ si ℓ∈ .
Expunere Descoperire
O vecinatati oarecare U∈V( x0) poate fi :
- , cu , daca x0 =
- , cu , daca x0 =
- cu , daca x0 ∈R .
O vecinatati oarecare V∈V(ℓ) poate fi :
, cu , daca ℓ =
- , cu , daca ℓ =
- cu , daca ℓ∈R .
In aceste conditii definitia ,, cu vecinatati '' a limitei unei functii este echivalenta cu urmatoarele propozitii '
Cazul x0 = ; ℓ =
,, astfel incat
f(x) < pentru orice x∈ D , x <
Ex .1.
Intr-adevar , pentru ,
avem .
Alegand .
Atunci pentru orice ave
m Cazul x0 ∈R ; ℓ =
,
, astfel incat
f(x) < pentru orice x∈ D , x x0 ,
.
Ex. 2.
Un elev rezolva Ex. 3 Descoperire
Intr-adevar , pentru ,
Daca alegem avem x
,
lnx <
Cazul x0 = ; ℓ =
,, astfel incat
f(x) < pentru orice x∈ D , x >
Ex. 3.
Teorema :Daca limita unei functii exista atunci ea este unica .
Intensificarea
retinerii si
asigurarea
trasferului
Ex1. Sa se determine celelalte 6 cazuri ale teoremelor de caracterizare a limitei unei functii
Ex2. Sa se arate ca
Trei elevi expune la tabla celelalte
cazuri aleteoremelor de caracterizare a limitei unei functii .
Un elev rezolva Ex. 2
Exercitiu comentat
Concluzii si realizarea feed-back-ului
Fac o scurta recapitulare a notiunilor care au fost utilizate in decursul lectiei si generalizez cu ajutorul elevilor notarea si comentarea activitatii elevilor pe parcurs.
Despre ce am vorbit astazi la lectie?
Enuntul teoremelor invatate ?
- Se rezolva la tabla exercitii ca aplicatii la notiunile prezentate
Elevii raspund la intrebari .
- Elevii rezolva exercitiile de pe fisa de lucru .
Apoi prezinta la tabla
rezolvarea lor .
Conversatia Descoperire
Asigurareatransferului
Stabilesc tema pentru acasa (man.ex:1pag 110;din culegere ex: 2 pag 110).si de rezolvat exercitiile din fisa .Ofer indicatii cu privire la rezolvarea exemplelor ce ar putea prezenta dificultati.
Isi noteaza in caiete tema pe acasa Conversatie
Limite de functii
Clasa a-XI - a A 2008-2009
Ex .1. ( 1)
Rezolvare : Fie , f(x) = x3 Intr-adevar , pentru , avem f(x) <
..... .
Alegand > 0 . Atunci ( 1) , a. i. f(x) = pentru orice
Ex. 2. (2)
Rezolvare : Fie , f(x) = lnx
Intr-adevar , pentru , avem f(x) < , ...... , .
Atunci ( 2) , a. i. f(x) = lnx pentru orice x , , x 0
Ex .3. ( 3)
Rezolvare : Fie , f(x) = 2x - 3
Intr-adevar , pentru , avem f(x) > , 2x - 3 > , .......
Atunci ( 3) , ... a. i. f(x) pentru orice ,
Ex .4. ( 4 )
Rezolvare : Fie , f(x) =
Intr-adevar , pentru , avem , , ,
. Atunci ( 4) , a. i. pentru orice ......
Ex .5. ( 5)
Rezolvare : Fie , f(x) = 2x + 1
Intr-adevar , pentru , avem f(x) < , 2x + 1 < , =
. Atunci ( 5) , ... a. i. f(x) pentru orice .....
Ex .6. ( 5)
Rezolvare : Fie , f(x) =
Intr-adevar , pentru , avem , ,
,
Atunci ( 6) , ...... a. i. pentru orice ......
Ex .7. ( 7)
Rezolvare : Fie , f(x) = 2x2 + 1
Intr-adevar , pentru , avem , x , x .......
Pt.
Fie
............................