Limita funkcie

2

1

1

1

xy x

x

2 1y x x

Čo rozumieme pod blížiť sa ?

1 21 1

lim lim 2x x

y y

Obe funkcie majú rovnaký priebeh aj hodnoty, pre všetky x okrem x=1. Je preto prirodzené očakávať, že obe funkcie sa blížia k rovnakej hodnote, ak x sa blíži k číslu 1. Číslo 2 sa nazýva limitov funkcie

2 1 111

1 1

x xxx

x x

Skúmajme funkciu: a porovnajme ju s funkciou

Hodnota funkcie sú blízke číslu 2, keď hodnoty premennej x sa málo odlišujú od čísla 1

Ku ktorej hodnote by sa blížila funkcia „prirodzeným“ spôsobom.

Ak by nebolo zakázané číslo x=1, daná funkcia by bola obyčajnou lineárnou

funkciou a jej grafom by bola priamka.

V bode, v ktorom funkcia nie je definovaná

2

1

1

1

xy x

x

2 1y x x

Limita funkcie

Ak ku každému číslu >0 , existuje také okolie bodu a, že

pre každé číslo xa, z tohto okolia je f(x) – b <

Pozn. Nezáleží na tom, ako sa správa funkcia v bode x=a, tento bod v

definícii nevystupuje, iba jeho okolie.

limx a

f x b

GEOMETRICKáINTERPRETÁCIA

Zvolme si epsilon a k nemu zobrazme zodpovedajúci pás. Potom musíme vedieť nájsť taký interval x-ov, aby

Je potrebné, aby sa hodnoty funkcie ľubovoľne málo líšili od čísla b, pre hodnoty x dostatočne blízko číslu a

Neexistencia limityNedokážeme nájsť také okolie bodu c, aby všetky funkčné hodnoty pre tieto x padli do pásu

všetky funkčné hodnoty pre akekoľvek x padnú mimo pásu

Pre tento pás neexistujú vhodné x

Nevlastná limita

Funkcia má v čísle a nevlastnú limitu (- ) , keď ku

každému číslu K, existuje také okolie čísla a, že pre každé

xa z tohto okolia je f(x)>K (f(x)<K ).

limx a

f x

K

Nedokážem funkciu v danom bode ohraničiť

Ukážka využitia aproximácie

0

sinlim 1 sinx

xx x

x

sin 0,017444180 180

0sin1 0,017452....

V radianoch

V okolí bodu x=0

Špecialne limity

11lim

x

x

ex

1

0

1lim x

x

x e

Pomocné vety

Ak funkcia f, g majú v bode a limity:

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )

lim ( )( )lim lim ( ) 0

( ) lim ( )

x a x a x a

x a x a x a

x a

x a x a

x a

f x g x f x g x b c

f x g x f x g x b c

f xf x bak g x

g x g x c

lim ( )

lim ( )

x a

x a

f x b

g x c

Limita v nevlastnom čísle

Čo rozumieme pod blížiť?

Funkcia má v nevlastnom bode , limitu b, ak ku každému

číslu >0, existuje také okolie (k, ) nevlastného bodu ,

že pre každé x z tohto okolia, t.j x>k platí:

f(x)-b < .

limx

f x b