liczby zespolone - math.us.edu.pl · liczby zespolone. argument liczby zespolonej liczby zespolone....
TRANSCRIPT
![Page 1: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/1.jpg)
Liczby zespolone
C := R2.
R2 3 (a,b) = (a,0) + (0,b) = a · (1,0) + b · (0,1).
R ⊂ C, R 3 x ↔ (x ,0) ∈ C.
i := (0,1), 1 = (1,0)
(a,b) = a(1,0) + b(0,1) = a + bi .
R2 3 (a,b) = z = a + bi ∈ C.
a- czesc rzeczywista liczby zespolonej z, <ez = ab-czesc urojona liczby zespolonej z, =mz = b.Liczby rzeczywiste: x = (x ,0) = x + 0i .
Liczby zespolone
![Page 2: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/2.jpg)
Liczby zespolone
C := R2.
R2 3 (a,b) = (a,0) + (0,b) = a · (1,0) + b · (0,1).
R ⊂ C, R 3 x ↔ (x ,0) ∈ C.
i := (0,1), 1 = (1,0)
(a,b) = a(1,0) + b(0,1) = a + bi .
R2 3 (a,b) = z = a + bi ∈ C.
a- czesc rzeczywista liczby zespolonej z, <ez = ab-czesc urojona liczby zespolonej z, =mz = b.Liczby rzeczywiste: x = (x ,0) = x + 0i .
Liczby zespolone
![Page 3: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/3.jpg)
Liczby zespolone
C := R2.
R2 3 (a,b) = (a,0) + (0,b) = a · (1,0) + b · (0,1).
R ⊂ C, R 3 x ↔ (x ,0) ∈ C.
i := (0,1), 1 = (1,0)
(a,b) = a(1,0) + b(0,1) = a + bi .
R2 3 (a,b) = z = a + bi ∈ C.
a- czesc rzeczywista liczby zespolonej z, <ez = ab-czesc urojona liczby zespolonej z, =mz = b.Liczby rzeczywiste: x = (x ,0) = x + 0i .
Liczby zespolone
![Page 4: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/4.jpg)
Liczby zespolone
C := R2.
R2 3 (a,b) = (a,0) + (0,b) = a · (1,0) + b · (0,1).
R ⊂ C, R 3 x ↔ (x ,0) ∈ C.
i := (0,1), 1 = (1,0)
(a,b) = a(1,0) + b(0,1) = a + bi .
R2 3 (a,b) = z = a + bi ∈ C.
a- czesc rzeczywista liczby zespolonej z, <ez = ab-czesc urojona liczby zespolonej z, =mz = b.Liczby rzeczywiste: x = (x ,0) = x + 0i .
Liczby zespolone
![Page 5: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/5.jpg)
Liczby zespolone
C := R2.
R2 3 (a,b) = (a,0) + (0,b) = a · (1,0) + b · (0,1).
R ⊂ C, R 3 x ↔ (x ,0) ∈ C.
i := (0,1), 1 = (1,0)
(a,b) = a(1,0) + b(0,1) = a + bi .
R2 3 (a,b) = z = a + bi ∈ C.
a- czesc rzeczywista liczby zespolonej z, <ez = ab-czesc urojona liczby zespolonej z, =mz = b.Liczby rzeczywiste: x = (x ,0) = x + 0i .
Liczby zespolone
![Page 6: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/6.jpg)
Liczby zespolone
C := R2.
R2 3 (a,b) = (a,0) + (0,b) = a · (1,0) + b · (0,1).
R ⊂ C, R 3 x ↔ (x ,0) ∈ C.
i := (0,1), 1 = (1,0)
(a,b) = a(1,0) + b(0,1) = a + bi .
R2 3 (a,b) = z = a + bi ∈ C.
a- czesc rzeczywista liczby zespolonej z, <ez = ab-czesc urojona liczby zespolonej z, =mz = b.Liczby rzeczywiste: x = (x ,0) = x + 0i .
Liczby zespolone
![Page 7: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/7.jpg)
Liczby zespolone
C := R2.
R2 3 (a,b) = (a,0) + (0,b) = a · (1,0) + b · (0,1).
R ⊂ C, R 3 x ↔ (x ,0) ∈ C.
i := (0,1), 1 = (1,0)
(a,b) = a(1,0) + b(0,1) = a + bi .
R2 3 (a,b) = z = a + bi ∈ C.
a- czesc rzeczywista liczby zespolonej z, <ez = ab-czesc urojona liczby zespolonej z, =mz = b.Liczby rzeczywiste: x = (x ,0) = x + 0i .
Liczby zespolone
![Page 8: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/8.jpg)
Płaszczyzna zespolona
Liczby zespolone
![Page 9: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/9.jpg)
Płaszczyzna zespolona
Liczby zespolone
![Page 10: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/10.jpg)
Płaszczyzna zespolona
Liczby zespolone
![Page 11: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/11.jpg)
Płaszczyzna zespolona
Liczby zespolone
![Page 12: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/12.jpg)
Płaszczyzna zespolona
Liczby zespolone
![Page 13: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/13.jpg)
Moduł liczby zespolonej
|z| = odległosc z od 0.
z = a + bi = (a,b) ⇒ |z| =√
a2 + b2.
Liczby zespolone
![Page 14: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/14.jpg)
Moduł liczby zespolonej
|z| = odległosc z od 0.
z = a + bi = (a,b) ⇒ |z| =√
a2 + b2.
Liczby zespolone
![Page 15: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/15.jpg)
Moduł liczby zespolonej
|z| = odległosc z od 0.
z = a + bi = (a,b) ⇒ |z| =√
a2 + b2.
Liczby zespolone
![Page 16: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/16.jpg)
Moduł liczby zespolonej
|z| = odległosc z od 0.
z = a + bi = (a,b) ⇒ |z| =√
a2 + b2.
Liczby zespolone
![Page 17: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/17.jpg)
Moduł liczby zespolonej
|z| = odległosc z od 0.
z = a + bi = (a,b) ⇒ |z| =√
a2 + b2.
Liczby zespolone
![Page 18: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/18.jpg)
argument liczby zespolonej 6= 0
TwierdzenieNiech z = x + yi ∈ C, z 6= 0. Istnieje dokładnie jedna liczbaφ ∈ [0,2π), dla której
sinϕ =y|z|, cosϕ =
x|z|.
Liczbe te nazywamy argumentem głównym liczby zespolonej zi oznaczamy Arg z.
Liczby zespolone
![Page 19: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/19.jpg)
Argument liczby zespolonej
Liczby zespolone
![Page 20: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/20.jpg)
Argument liczby zespolonej
Liczby zespolone
![Page 21: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/21.jpg)
Argument liczby zespolonej
Liczby zespolone
![Page 22: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/22.jpg)
argument liczby zespolonej 6= 0
TwierdzenieNiech z = x + yi ∈ C. Jesli Arg z = ϕ, to
sin(ϕ+ 2kπ) =y|z|, cos(ϕ+ 2kπ) =
x|z|.
Argumentem liczby zespolonej z nazywamy zbiór{ϕ+ 2kπ, k ∈ Z} i oznaczamy arg z.
Liczby zespolone
![Page 23: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/23.jpg)
argument liczby zespolonej
Liczby zespolone
![Page 24: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/24.jpg)
argument liczby zespolonej
Liczby zespolone
![Page 25: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/25.jpg)
argument liczby zespolonej
Liczby zespolone
![Page 26: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/26.jpg)
dodawanie liczb zespolonych
(a,b) + (c,d) = (a + c,b + d)(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Liczby zespolone
![Page 27: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/27.jpg)
odejmowanie liczb zespolonych
(a,b)− (c,d) = (a− c,b − d)(a + bi)− (c + di) = (a− c) + (b − d)i
Liczby zespolone
![Page 28: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/28.jpg)
odejmowanie liczb zespolonych
(a,b)− (c,d) = (a− c,b − d)(a + bi)− (c + di) = (a− c) + (b − d)i
Liczby zespolone
![Page 29: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/29.jpg)
odejmowanie liczb zespolonych
(a,b)− (c,d) = (a− c,b − d)(a + bi)− (c + di) = (a− c) + (b − d)i
Liczby zespolone
![Page 30: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/30.jpg)
mnozenie liczb zespolonych
(a,b) · (c,d) := (ac − bd ,ad + bc)i2 = (0,1) · (0,1) = (0 · 0− 1 · 1,0 · 1 + 1 · 0) = (−1,0) = −1(a+bi) · (c +di) = ac +adi +bci +bdi2 = (ac−bd) + (ad +bc)i
Liczby zespolone
![Page 31: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/31.jpg)
mnozenie liczb zespolonych
(a,b) · (c,d) := (ac − bd ,ad + bc)i2 = (0,1) · (0,1) = (0 · 0− 1 · 1,0 · 1 + 1 · 0) = (−1,0) = −1(a+bi) · (c +di) = ac +adi +bci +bdi2 = (ac−bd) + (ad +bc)i
Liczby zespolone
![Page 32: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/32.jpg)
mnozenie liczb zespolonych
(a,b) · (c,d) := (ac − bd ,ad + bc)i2 = (0,1) · (0,1) = (0 · 0− 1 · 1,0 · 1 + 1 · 0) = (−1,0) = −1(a+bi) · (c +di) = ac +adi +bci +bdi2 = (ac−bd) + (ad +bc)i
Liczby zespolone
![Page 33: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/33.jpg)
dzielenie liczb zespolonych
a+bic+di dla a,b, c,d ∈ R, (c,d) 6= (0,0)
(a,b) : (c,d) = (ac + bdc2 + d2 ,
−ad + bcc2 + d2 )
a + bic + di
=ac + bdc2 + d2 +
−ad + bcc2 + d2 i
Liczby zespolone
![Page 34: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/34.jpg)
dzielenie liczb zespolonych
a+bic+di dla a,b, c,d ∈ R, (c,d) 6= (0,0)
(a,b) : (c,d) = (ac + bdc2 + d2 ,
−ad + bcc2 + d2 )
a + bic + di
=ac + bdc2 + d2 +
−ad + bcc2 + d2 i
Liczby zespolone
![Page 35: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/35.jpg)
sprzezenie liczby zespolonej
sprzezenie liczby zespolonej
Liczbe z := (x ,−y) = x − yi nazywamy liczba sprzezona doliczby z = x + yi .
zz = |z|2
zz = (x + yi)(x − yi) = x2 − y2i2 = x2 + y2 = |z|2.
a + bic + di
=(a + bi)(c − di)(c + di)(c − di)
=
ac − adi + bci + bdc2 + d2 =
ac + bdc2 + d2 +
−ad + bcc2 + d2 i .
Liczby zespolone
![Page 36: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/36.jpg)
sprzezenie liczby zespolonej
sprzezenie liczby zespolonej
Liczbe z := (x ,−y) = x − yi nazywamy liczba sprzezona doliczby z = x + yi .
zz = |z|2
zz = (x + yi)(x − yi) = x2 − y2i2 = x2 + y2 = |z|2.
a + bic + di
=(a + bi)(c − di)(c + di)(c − di)
=
ac − adi + bci + bdc2 + d2 =
ac + bdc2 + d2 +
−ad + bcc2 + d2 i .
Liczby zespolone
![Page 37: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/37.jpg)
sprzezenie liczby zespolonej
sprzezenie liczby zespolonej
Liczbe z := (x ,−y) = x − yi nazywamy liczba sprzezona doliczby z = x + yi .
zz = |z|2
zz = (x + yi)(x − yi) = x2 − y2i2 = x2 + y2 = |z|2.
a + bic + di
=(a + bi)(c − di)(c + di)(c − di)
=
ac − adi + bci + bdc2 + d2 =
ac + bdc2 + d2 +
−ad + bcc2 + d2 i .
Liczby zespolone
![Page 38: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/38.jpg)
postac trygonometryczna liczby zespolonej (róznej od0)
z = x + yi = |z|( x|z|
+y|z|
i) =
= |z|(cosϕ+ i sinϕ),
gdzie ϕ ∈ arg z.
przykłady
3 = 3(cos 0 + i sin 0),i = 1(cos (π/2) + i sin (π/2)),−2− 2i = 2
√2(cos(5/4π) + i sin(5/4π).
Liczby zespolone
![Page 39: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/39.jpg)
postac trygonometryczna liczby zespolonej (róznej od0)
z = x + yi = |z|( x|z|
+y|z|
i) =
= |z|(cosϕ+ i sinϕ),
gdzie ϕ ∈ arg z.
przykłady
3 = 3(cos 0 + i sin 0),i = 1(cos (π/2) + i sin (π/2)),−2− 2i = 2
√2(cos(5/4π) + i sin(5/4π).
Liczby zespolone
![Page 40: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/40.jpg)
mnozenie liczb zespolonych danych w postacitrygonometrycznej
Niech z = |z|(cosϕ+ i sinϕ)w = |w |(cosψ + i sinψ).Wtedy
z · w = |z||w |(cos(ϕ+ ψ) + i sin(ϕ+ ψ)).
Liczby zespolone
![Page 41: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/41.jpg)
dzielenie liczb zespolonych danych w postacitrygonometrycznej
Niech z = |z|(cosϕ+ i sinϕ)w = |w |(cosψ + i sinψ), w 6= 0.Wtedy
zw
=|z||w |
(cos(ϕ− ψ) + i sin(ϕ− ψ)).
Liczby zespolone
![Page 42: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/42.jpg)
potegowanie liczby zespolonych danej w postacitrygonometrycznej
Niech z = |z|(cosϕ+ i sinϕ).Wtedy
zn = (|z|)n(cos(nϕ) + i sin(nϕ)).
przykład
(1 + i)3 =
Liczby zespolone
![Page 43: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/43.jpg)
potegowanie liczby zespolonych danej w postacitrygonometrycznej
Niech z = |z|(cosϕ+ i sinϕ).Wtedy
zn = (|z|)n(cos(nϕ) + i sin(nϕ)).
przykład
(1 + i)3 =
Liczby zespolone
![Page 44: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/44.jpg)
potegowanie liczby zespolonych danej w postacitrygonometrycznej
Niech z = |z|(cosϕ+ i sinϕ).Wtedy
zn = (|z|)n(cos(nϕ) + i sin(nϕ)).
przykład
(1 + i)3 =13 + 3 · 12 · i + 3 · 1 · i2 + i3 =1 + 3i − 3− i =−2 + 2i
Liczby zespolone
![Page 45: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/45.jpg)
potegowanie liczby zespolonych danej w postacitrygonometrycznej
Niech z = |z|(cosϕ+ i sinϕ).Wtedy
zn = (|z|)n(cos(nϕ) + i sin(nϕ)).
przykład
(1 + i)3 =13 + 3 · 12 · i + 3 · 1 · i2 + i3 =1 + 3i − 3− i =−2 + 2i
Liczby zespolone
![Page 46: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/46.jpg)
potegowanie liczby zespolonych danej w postacitrygonometrycznej
Niech z = |z|(cosϕ+ i sinϕ).Wtedy
zn = (|z|)n(cos(nϕ) + i sin(nϕ)).
przykład
(1 + i)3 =13 + 3 · 12 · i + 3 · 1 · i2 + i3 =1 + 3i − 3− i =−2 + 2i
Liczby zespolone
![Page 47: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/47.jpg)
potegowanie liczby zespolonych danej w postacitrygonometrycznej
Niech z = |z|(cosϕ+ i sinϕ).Wtedy
zn = (|z|)n(cos(nϕ) + i sin(nϕ)).
przykład
(1 + i)3 = (√
2(cos π4 + i sin π
4 ))3 =(√
2)3(cos 3π4 + i sin 3π
4 ) =
2√
2(−√
22 +
√2
2 ) =−2 + 2i .
Liczby zespolone
![Page 48: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/48.jpg)
potegowanie liczby zespolonych danej w postacitrygonometrycznej
Niech z = |z|(cosϕ+ i sinϕ).Wtedy
zn = (|z|)n(cos(nϕ) + i sin(nϕ)).
przykład
(1 + i)3 = (√
2(cos π4 + i sin π
4 ))3 =(√
2)3(cos 3π4 + i sin 3π
4 ) =
2√
2(−√
22 +
√2
2 ) =−2 + 2i .
Liczby zespolone
![Page 49: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/49.jpg)
potegowanie liczby zespolonych danej w postacitrygonometrycznej
Niech z = |z|(cosϕ+ i sinϕ).Wtedy
zn = (|z|)n(cos(nϕ) + i sin(nϕ)).
przykład
(1 + i)3 = (√
2(cos π4 + i sin π
4 ))3 =(√
2)3(cos 3π4 + i sin 3π
4 ) =
2√
2(−√
22 +
√2
2 ) =−2 + 2i .
Liczby zespolone
![Page 50: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/50.jpg)
potegowanie liczby zespolonych danej w postacitrygonometrycznej
Niech z = |z|(cosϕ+ i sinϕ).Wtedy
zn = (|z|)n(cos(nϕ) + i sin(nϕ)).
przykład
(1 + i)3 = (√
2(cos π4 + i sin π
4 ))3 =(√
2)3(cos 3π4 + i sin 3π
4 ) =
2√
2(−√
22 +
√2
2 ) =−2 + 2i .
Liczby zespolone
![Page 51: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/51.jpg)
pierwiastek z liczby zespolonej
definicjaPierwiastkiem n–tego stopnia z liczby zespolonej z nazywamyzbiór rozwiazan równania wn = z.
Gdy z 6= 0 to jest dokładnie n rozwiazan równania wn = z.Wszystkie one maja moduł równy n
√|z|, a ich argumenty
wynosza, kolejno, Arg zn , Arg z
n + 2πn , Arg z
n + 2 · 2πn ,. . .,
Arg zn + (n − 1) · 2π
n . Pierwiastek n–tego stopnia tworzy napłaszczyznie zespolonej n–kat foremny o srodku symetrii 0.
Liczby zespolone
![Page 52: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/52.jpg)
pierwiastek zespolony
przykłady√
9 = {3,−3},bo 32 = 9 i (−3)2 = 9.√−9 = {3i ,−3i},bo (3i)2 = −9 i (−3i)2 = −9.
3√−1 = {−1, 1
2 +√
32 i , 1
2 −√
32 i}.
Liczby zespolone
![Page 53: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/53.jpg)
pierwiastek zespolony
przykłady√
9 = {3,−3},bo 32 = 9 i (−3)2 = 9.√−9 = {3i ,−3i},bo (3i)2 = −9 i (−3i)2 = −9.
3√−1 = {−1, 1
2 +√
32 i , 1
2 −√
32 i}.
Liczby zespolone
![Page 54: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/54.jpg)
pierwiastek zespolony
przykłady√
9 = {3,−3},bo 32 = 9 i (−3)2 = 9.√−9 = {3i ,−3i},bo (3i)2 = −9 i (−3i)2 = −9.
3√−1 = {−1, 1
2 +√
32 i , 1
2 −√
32 i}.
Liczby zespolone
![Page 55: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/55.jpg)
pierwiastek zespolony
przykłady√
9 = {3,−3},bo 32 = 9 i (−3)2 = 9.√−9 = {3i ,−3i},bo (3i)2 = −9 i (−3i)2 = −9.
3√−1 = {−1, 1
2 +√
32 i , 1
2 −√
32 i}.
Liczby zespolone
![Page 56: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/56.jpg)
pierwiastek zespolony
przykłady√
9 = {3,−3},bo 32 = 9 i (−3)2 = 9.√−9 = {3i ,−3i},bo (3i)2 = −9 i (−3i)2 = −9.
3√−1 = {−1, 1
2 +√
32 i , 1
2 −√
32 i}.
Liczby zespolone
![Page 57: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/57.jpg)
3√−1
Liczby zespolone
![Page 58: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/58.jpg)
4√−1
Liczby zespolone
![Page 59: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/59.jpg)
Liczby zespolone, równania kwadratowe
Równanie z2 = −a, gdzie a jest liczba rzeczywista dodatnia,ma dwa rozwiazania w liczbach zespolonych:z = ±i
√a.
Kazde równanie kwadratowe o współczynnikach rzeczywistychmaalbo dwa pierwiastki rzeczywiste (∆ > 0)albo jeden pierwiastek rzeczywisty podwójny (∆ = 0)albo dwa sprzezone pierwiastki zespolone, gdy ∆ < 0, wtedyrównanie az2 + bz + c = 0 ma rozwiazania:z1 = −b−i
√−∆
2a , z2 = −b+i√−∆
2a .
Liczby zespolone
![Page 60: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/60.jpg)
Liczby zespolone, równania kwadratowe
Równanie z2 = −a, gdzie a jest liczba rzeczywista dodatnia,ma dwa rozwiazania w liczbach zespolonych:z = ±i
√a.
Kazde równanie kwadratowe o współczynnikach rzeczywistychmaalbo dwa pierwiastki rzeczywiste (∆ > 0)albo jeden pierwiastek rzeczywisty podwójny (∆ = 0)albo dwa sprzezone pierwiastki zespolone, gdy ∆ < 0, wtedyrównanie az2 + bz + c = 0 ma rozwiazania:z1 = −b−i
√−∆
2a , z2 = −b+i√−∆
2a .
Liczby zespolone
![Page 61: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/61.jpg)
Liczby zespolone, równania kwadratowe
Równanie z2 = −a, gdzie a jest liczba rzeczywista dodatnia,ma dwa rozwiazania w liczbach zespolonych:z = ±i
√a.
Kazde równanie kwadratowe o współczynnikach rzeczywistychmaalbo dwa pierwiastki rzeczywiste (∆ > 0)albo jeden pierwiastek rzeczywisty podwójny (∆ = 0)albo dwa sprzezone pierwiastki zespolone, gdy ∆ < 0, wtedyrównanie az2 + bz + c = 0 ma rozwiazania:z1 = −b−i
√−∆
2a , z2 = −b+i√−∆
2a .
Liczby zespolone
![Page 62: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/62.jpg)
Liczby zespolone, równania kwadratowe
Równanie z2 = −a, gdzie a jest liczba rzeczywista dodatnia,ma dwa rozwiazania w liczbach zespolonych:z = ±i
√a.
Kazde równanie kwadratowe o współczynnikach rzeczywistychmaalbo dwa pierwiastki rzeczywiste (∆ > 0)albo jeden pierwiastek rzeczywisty podwójny (∆ = 0)albo dwa sprzezone pierwiastki zespolone, gdy ∆ < 0, wtedyrównanie az2 + bz + c = 0 ma rozwiazania:z1 = −b−i
√−∆
2a , z2 = −b+i√−∆
2a .
Liczby zespolone
![Page 63: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/63.jpg)
Liczby zespolone, równania kwadratowe
Równanie z2 = −a, gdzie a jest liczba rzeczywista dodatnia,ma dwa rozwiazania w liczbach zespolonych:z = ±i
√a.
Kazde równanie kwadratowe o współczynnikach rzeczywistychmaalbo dwa pierwiastki rzeczywiste (∆ > 0)albo jeden pierwiastek rzeczywisty podwójny (∆ = 0)albo dwa sprzezone pierwiastki zespolone, gdy ∆ < 0, wtedyrównanie az2 + bz + c = 0 ma rozwiazania:z1 = −b−i
√−∆
2a , z2 = −b+i√−∆
2a .
Liczby zespolone
![Page 64: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/64.jpg)
równanie kwadratowe
z2 = −1rozwiazanie: z = i lub z = −i .z2 + 2z + 5 = 0∆ = 4− 4 · 5 = −16,
√∆ = {±4i},
z = −2−4i2 = −1− 2i lub z = −2+4i
2 = −1 + 2i .
Liczby zespolone
![Page 65: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/65.jpg)
równanie kwadratowe
z2 = −1rozwiazanie: z = i lub z = −i .z2 + 2z + 5 = 0∆ = 4− 4 · 5 = −16,
√∆ = {±4i},
z = −2−4i2 = −1− 2i lub z = −2+4i
2 = −1 + 2i .
Liczby zespolone
![Page 66: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/66.jpg)
równanie kwadratowe
z2 = −1rozwiazanie: z = i lub z = −i .z2 + 2z + 5 = 0∆ = 4− 4 · 5 = −16,
√∆ = {±4i},
z = −2−4i2 = −1− 2i lub z = −2+4i
2 = −1 + 2i .
Liczby zespolone
![Page 67: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/67.jpg)
równanie kwadratowe
z2 = −1rozwiazanie: z = i lub z = −i .z2 + 2z + 5 = 0∆ = 4− 4 · 5 = −16,
√∆ = {±4i},
z = −2−4i2 = −1− 2i lub z = −2+4i
2 = −1 + 2i .
Liczby zespolone
![Page 68: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/68.jpg)
równanie kwadratowe
z2 = −1rozwiazanie: z = i lub z = −i .z2 + 2z + 5 = 0∆ = 4− 4 · 5 = −16,
√∆ = {±4i},
z = −2−4i2 = −1− 2i lub z = −2+4i
2 = −1 + 2i .
Liczby zespolone
![Page 69: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/69.jpg)
równanie kwadratowe
z2 = −1rozwiazanie: z = i lub z = −i .z2 + 2z + 5 = 0∆ = 4− 4 · 5 = −16,
√∆ = {±4i},
z = −2−4i2 = −1− 2i lub z = −2+4i
2 = −1 + 2i .
Liczby zespolone
![Page 70: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/70.jpg)
rozkładanie wielomianów na czynniki
Kazdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych stopnia nmozna rozłozyc na iloczyn wielomianów stopnia pierwszego i,ewentualnie,trójmianów kwadratowych z wyróznikiem (∆)ujemnym.Kazde równanie wielomianowe stopnia n ma dokładnie npierwiastków zespolonych, jesli liczyc je z krotnosciami.
Liczby zespolone
![Page 71: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/71.jpg)
ez
ez := ex+yi = ex · eyi = ex (cos y + i sin y).
Liczby zespolone
![Page 72: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/72.jpg)
najpiekniejszy wzór matematyki
eπi + 1 = 0
Liczby zespolone
![Page 73: Liczby zespolone - math.us.edu.pl · Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby zespolone. Argument liczby zespolonej Liczby](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021723/5c78fbaf09d3f294278c11d7/html5/thumbnails/73.jpg)
Zadania
1. Oblicza) (1− 3i) + (3− 4i) =b) (2− 5i)(3 + 2i) =c) 1+3i
2−i =2. Rozwiaz równania kwadratowe w liczbach zespolonycha) z2 = −4b) z2 + z + 2 = 03. Oblicza) e2πi =b) e−1+(π/4)i
Liczby zespolone