licence 1ère année math-informatique1 représentation logique des données
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Licence 1ère année Math-Informatique 1
Représentation logique des Représentation logique des donnéesdonnées
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DéfinitionDéfinition
Un système de numération est une représentation de variables. Ces variables codées sont basées sur un ensemble de symboles
appelés «chiffres», (digits), et de règles de composition représentant les opérations entre ces variables.
Les opérations de base sont l’addition, la multiplication et les autres opérations arithmétiques.
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Base d’un système (1/2)Base d’un système (1/2)
La base d’un système numérique est le nombre de chiffre de l’ensemble.
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Base d’un système (2/2)Base d’un système (2/2)
( N ) ( N ) rr = [ (partie entière) , (fraction) ] = [ (partie entière) , (fraction) ]
rr
r r base baseN N nombre nombre
Ex. = [ 124 , 659 ]Ex. = [ 124 , 659 ]10
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Représentation des nombresReprésentation des nombres
Notation juxtaposé :
( N )r = ( an-1 an-2 … a1 a0 , a-1 a-2 … a-m )r
0 ai ou a-f r - 1
Ex. : ( 741,10)8
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Notation polynomiale et poids de chiffres :
N a rr jj
j m
n 1
[N]r= an-1• rn-1+an-2 • rn-2+…+ a0 • r0 +
a-m+1 • r-m+1+a-m • r-m
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PolynomialePolynomiale
Ex.: [191.27]10
1X102 + 9X101 + 1X100 + 2X10-1 + 7X10-2
Ex.:[ 4021.2]5
4X53 + 0X52 + 2X51 + 1X50 + 2x5-1
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Quelques basesQuelques bases
Type Base Chiffres Exemple
Décimal 10 0-9 121.9
Hexadécimal 16 0-9,A,B,C,D,E,F 1A7.F2
Octal 8 0-7 121,6
Binaire 2 0-1 1011.1101
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PolynomialePolynomiale
Ex.: 191.27
1X102 + 9X101 + 1X100 + 2X10-1 + 7X10-2
Ex.: 4021.25
4X53 + 0X52 + 2X51 + 1X50 + 2x5-1
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Le système binaireLe système binaire
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Le système binaireLe système binaire Toute l’information en électronique digital est binaire.
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Alors…Alors…
Equivalent décimal:
1x8 + 0x4 +1x2 + 1x1 +1x0.5 + 1x0.25 + 0x0.125 +1x0.0625
1011.1101 = 11.8125
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Décimal - BinaireDécimal - Binaire
0 0000
1 0001
2 0010
3 0011
4 0100
5 0101
6 0110
7 0111
8 1000
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Licence 1ère année Math-Informatique 14
Opérations arithmétiquesOpérations arithmétiques
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OpérationsOpérations
On se souvient que:
0 + 0 = 01 + 0 = 0 + 1 = 11 + 1 = 0 [ 1]
0 * 0 = 01 * 0 = 0 * 1 = 01 * 1 = 1
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Addition
Opération sur les nombres, en Opération sur les nombres, en base 2base 2
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Multiplication
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ComplémentsCompléments
Fonction :
Utilisées pour simplifier les opérations de soustraction en base r
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Complément à rComplément à r
rn – N Si N 0
0 Si N = 0
n = Nombre de chiffres
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Exemples rExemples r
Complément à 10 de [ 52520 ]10
n =5
Alors = 105 – 52520 = 47480
Complément à 10 de [ 0,3267 ]10
n =0
Alors = 1 – 0,3267 = 0,6733
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Complément à r-1Complément à r-1
rn – 1 - N Si N 0
0 Si N = 0
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Exemples r-1Exemples r-1
Complément à 9 de [ 52520 ]10
n =5Alors = 105 - 1 - 52520 = 99999- 5250
= 47479
Complément à 9 de [ 0,3267 ]10
n =0Alors = 100 - 10-4 – 0,3267 = 0,9999 – 0,3267 = 0,6732
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Complément à 2 en binaireComplément à 2 en binaire
Changer les 0 1
Additionner 1
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ExempleExemple
N = 1 0 1 1 0 0
0 1 0 0 1 1
+ 1
Cà2(N) = 0 1 0 1 0 0
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Complément à 1 en binaireComplément à 1 en binaire
Changer les 0 1
N = 1 0 1 1 0 0
Cà1 (N) = 0 1 0 0 1 1
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Codes décimal / octal / hexadécimal : Codes décimal / octal / hexadécimal :
Décimal Octal Hexadécimal
0 0 0
1 1 1
… … …
6 6 6
7 7 7
8 10 8
9 11 9
10 12 A
11 13 B
12 14 C
13 15 D
14 16 E
15 17 F
16 20 10
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A quoi ça sert?…A quoi ça sert?…
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Soient: M = 72532 Trouver M - N
N = 03250
Cà9(N) = 105 – 1 - 3250 = 96749
M + 96749 = 72532
+ 96749
--------------
1 69281
SoustractionsSoustractions
69281 +1 = 69282
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Soient: M = 03250 Trouver M - N
N = 72532
Cà9(N) = 99999 - 72532 = 27467
03250
+ 27467
--------------
0 30717
SoustractionsSoustractions
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Autre exempleAutre exemple
Complément à 9 de 30717:
99999 – 30717 = 69282
- 69282M – N =
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Complément à 2 ex.1Complément à 2 ex.1
Soient: M = 1010100 Trouver M - N
N = 1000100
Cà2(N) = 0111011 + 1 = 0 1 1 1 1 0 0
M + Cà2(N) = 1010100
+ 0111100
--------------
1 0010000
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Complément à 2 ex.2Complément à 2 ex.2
Soient: M = 1000100 Trouver M - N
N = 1010100
Cà2(N) = 0101011 + 1 = 0 1 0 1 1 0 0
M + Cà2(N) = 1000100
+ 0101100
--------------
0 1110000
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Ex.2 cont…Ex.2 cont…
Complement à 2 du résultat anterieur :
X = 1110000
Cà2(X) = 0001111 + 1 = 0 0 1 0 0 0 0
M – N = - 10000
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Changement de baseChangement de base
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Base N en base 10 : Base N en base 10 :
Méthode de substitution
Ex. : (101.11)2 ( ?)10
1X22 + 0X21 + 1X20 + 1X2-1 + 1X2-2
4 + 0 + 1 + ½ + ¼ = 5.75
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Base 10 en base M : Base 10 en base M :
Méthode par division et multiplication
Ex. : (19.75)10 ( ?)2
Partie entière Partie fractionnaire
19 2 = 9 + 1 .75 X 2 = 1.50
9 2 = 4 + 1 .50 X 2 = 1.00 4 2 = 2 + 0 .00 X 2 =
0.00
2 2 = 1 + 0
1 2 = 0 + 1
= 1 0 0 1 1 . 1 1 0
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Base N en base M : Base N en base M :
N en 10 : Substitution
10 en M : Multiplication