Lic. JOSEPH V, RUITON RICRA

Sean los siguientes polinomios en “x”:

P(x) = 5x + 2, x {-1; 0; 1; 3; 4; 9}Q(x) = x2 + 3x - 1, x {-2; -1; 0; 3; 9}

Evaluar y completar el siguiente cuadro:

x -2 -1 0 1 3 4 9

P(x)

Q(x)

x -2 -1 0 1 3 4 9

P(x) --- -3 2 7 17 22 47

Q(x) -3 -3 -1 --- 17 --- 107

ECUACIÓNECUACIÓNEs una relación de igualdad que se establece entre dos expresiones matemáticas de por lo menos una variable y que se verifica para un determinado conjunto de valores asignados a sus variables.

Ejemplo 1: x – 6 = 10 x

Ejemplo 2: x2 – 2 = x + 4

Ejemplo 3: x3 = x

se verifica para x = 8 ( 1 solución o 1 RAÍZ)

se verifica para x = 2 ó x = 3 ( 2 soluciones o 2 RAÍCES)

se verifica para x = 0 ó x = 1 ó x = 1 ( 3 soluciones o 3 RAÍCES)

CONJUNTO SOLUCIÓN:

Se llama conjunto solución o conjunto de soluciones a aquel conjunto cuyos elementos verifican la igualdad de las expresiones que forman una ecuación.Para el ejemplo 1: C.S. = {8}Para el ejemplo 2: C.S. = {2 ; 3}Para el ejemplo 3: C.S. = {1; 0; 1}

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONESCLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES

1. Ecuaciones numéricas

Ejemplo: 3x + 5 = 10(2x – 3 )+7

2 . Ecuaciones literalesEjemplo: ax + b = a(b – x )

SEGÚN LOS COEFICIENTES DE SUS VARIABLES

SEGÚN SU GRADO

1. Ecuaciones lineales o de primer grado

Ejemplo: 7x – 2(x + 1) = 3x +2

2 . Ecuaciones de segundo gradoEjemplo: 2x2 + 3x = 6 – 2x

1. Ecuación CompatibleEs aquella que tiene al menos un elemento en su conjunto solución; puede ser determinada o indeterminada

a) Determinada: Tiene un número finito de soluciones.

b) Indeterminada: Tiene un número infinito de soluciones.

Ejemplos: 2x + 8 = x + 11 C.S. = {3}

x(x+2)(x–3) = 0 C.S. = {2; 0; 3}

Ejemplo: 5x – 4 = 2x – 1 + 3x – 3

2. Ecuación IncompatibleEs aquella que no tiene solución.

Ejemplo:

C.S. = {… 2; 1; 0; 1; 2; ... }

C.S. = { } ó C.S. =3x + 5 = 8 + 3x

SEGÚN EL TIPO DE SOLUCIÓN

No existe ningún valor de x que verifique la igualdad.

ECUACIONES LINEALES

Una ecuación lineal en la variable x es una ecuación que puede escribirse en la forma:

ax + b = 0

donde a y b son constantes y a ≠ 0.

ECUACIONES EQUIVALENTES

Dos o más ecuaciones se definen como equivalentes si el Conjunto Solución es común para todas.

Ejemplos:

1) 2(x – 5) = x – 4 C.S = {6}

2) x – 6 = 0 C.S = {6}

Luego las dos ecuaciones son equivalentes.

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES

Resolver una ecuación es un proceso que consiste en determinar todas las soluciones o raíces que verifican la ecuación, o bien, demostrar que éstas no existen.

TEOREMAS DE TRANSFORMACIÓN DE ECUACIONES

Teorema I: “Las ecuaciones F(x) = G(x) y F(x) – G(x) = 0, son equivalentes ”

Ejemplo.- Si: 2x – 1 = x + 4

Teorema II: ”Las ecuaciones G(x) = F(x) y F(x) + = G(x) + , son equivalentes para cualquier número real ”.

Ejemplo.- Si: 3x + 7 = x + 4

Teorema III: Para todo número real distinto de cero, las ecuaciones:

F(x) = G(x) y . F(x) = . G(x), son equivalentes.

Ejemplo.- Si: 5x- 9 = x - 2

(2x – 1) – (x + 4 ) = 0

3x + 7 + (-7) = x + 4 + (-7)

3.(5x - 9) = 3.(x – 2)