lib.sumdu.edu.ualib.sumdu.edu.ua/library/docs/rio/2011/m3137.pdf · Міністерство...
TRANSCRIPT
Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України
Сумський держаний університет
Шосткинський інститут
3137 МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
до практичних занять
на тему «Розрахунок простих електричних
кіл змінного струму»
з дисципліни «Теорія електричних та магнітних кіл»
для студентів напряму 0502 «Системна інженерія»
спеціальності 6.050201 «Комп’ютеризовані системи управління
та автоматика»
усіх форм навчання
Суми
Сумський державний університет
2011
2
Методичні вказівки до практичних занять на тему «Розра-
хунок простих електричних кіл змінного струму» з дисципліни
«Теорія електричних та магнітних кіл» / укладач А. В. Булашен-
ко. – Суми: Сумський державний університет, 2011. – 164 с.
Кафедра системотехніки та інформаційних технологій
ШІ СумДУ
3
Зміст
С.
1. МЕТА І ЗАВДАННЯ МЕТОДИЧНИХ ВКАЗІВОК ................. 4
2. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ КІЛ ЗМІННОГО СТРУМУ .................. 4 3. РЕАКТИВНІ ЕЛЕМЕНТИ У КОЛАХ ГАРМОНІЧНОГО
СТРУМУ ...................................................................................... 30 3.1. Котушка індуктивності ..................................................... 30
3.2. Конденсатор ...................................................................... 34 3.3. Опори та провідності у колах гармонічного струму ....... 38
3.3. Задачі для самостійного розв’язання ............................... 44 4 ОСНОВНІ ЗАКОНИ ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ ГАРМОНІЧНОГО
СТРУМУ ...................................................................................... 45 4.1 Закон Ома для кіл гармонічного струму ........................... 45
4.2 Закони Кірхгофа для кіл гармонічного струму................. 47 4.3. Перехід від послідовної схеми до паралельної ............... 49
5. ПОТУЖНІСТЬ У КОЛАХ ГАРМОНІЧНОГО СТРУМУ ...... 49 6 РОЗРАХУНОК ПРОСТИХ КІЛ ГАРМОНІЧНОГО СТРУМУ 54
7. ЕЛЕКТРИЧНІ КОЛА ІЗ КОТУШКАМИ ІЗ ВЗАЄМНОЮ
ІНДУКЦІЄЮ ............................................................................... 86
7.1. Розрахунок простих кіл символічним методом ............... 86 7.2. Приклади розв’язування задач ......................................... 89
8 КОМПЛЕКСНИЙ РОЗРАХУНОК КІЛ ГАРМОНІЧНОГО
СТРУМУ .................................................................................... 103
9 ЗАДАЧІ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ’ЯЗАННЯ ............... 121 9.1 Основні задачі .............................................................. 121
2.2.2 Додаткові задачі ........................................................ 135 СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ .......................................................... 148
ДОДАТОК А .............................................................................. 151 Додаток Б ................................................................................... 152
Додаток В ................................................................................... 158
4
1. МЕТА І ЗАВДАННЯ МЕТОДИЧНИХ ВКАЗІВОК
Метою цих методичних вказівок є набуття практичних на-
вичок під час розрахунку електричних кіл змінного струму за
законами Ома і Кірхгофа, еквівалентних перетворень. Наведені
найбільш поширені методи розрахунку складних електричних
кіл змінного струму.
Опрацювання методичних вказівок і виконання розрахун-
кового завдання сприяють практичному застосуванню розраху-
нкових методів електричних кіл змінного струму.
Методичні вказівки містять методи розрахунку простих
електричних кіл змінного струму за допомогою законів Ома та
Кірхгофа, методи розрахунку складних кіл: метод рівнянь Кірх-
гофа, контурних струмів, вузлових потенціалів, суперпозиції
(накладання), еквівалентного генератора, а також метод еквіва-
лентних перетворень електричних кіл.
Для полегшення сприйняття студентами матеріалу кожен
розділ після відповідних теоретичних викладень супроводжу-
ється прикладами.
Методичні вказівки можуть бути використані як допоміж-
ний засіб для проведення лекційних та практичних занять.
2. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ КІЛ ЗМІННОГО СТРУМУ
2.1. Змінний струм та напруга і методи їх представлення
Широке застосування змінного струму в електротехніці
почалося з часу розв’язання задач виробництва електричної
енергії та передачі її на значну відстань.
Основні поняття, що стосуються до змінного струму.
Змінний струм – це струм, що змінюється в часі. Значення
струму в будь-який момент часу називається миттєвим значен-
ням струму.
5
Струми, миттєві значення яких повторюються через рівні
проміжки часу в тій самій послідовності, називаються періодич-
ними, а найменший проміжок часу, через які ці повторення спо-
стерігаються – періодом Т.
Електричні кола, в яких значення та спрямування ЕРС, на-
пруг і струмів періодично змінюються у часі за синусоїдним за-
коном, називають колами синусоїдного струму чи просто кола-
ми змінного струму.
Аналітичний вираз для миттєвого значення гармонічного
струму
)sin()( Im tIti ,
де mI - амплітудне значення струму; I - фаза струму.
Аналітичний вираз для миттєвого значення гармонічної
напруги:
)sin()( Um tUtu ,
де mU - амплітудне значення напруги; U - фаза напруги.
Рисунок 2.1 – Часові діаграми синусоїдних струму та напруги
Із математичної точки зору гармонічними можна вважати
лише такі коливання, тривалість яких нескінченно велика. Фізи-
t
u(t), i(t)
Im
Um
T1
T2
6
чно здійснений процес не може бути нескінченно тривалим, от-
же, можна лише приблизно аналізувати його як гармонічний.
Початок координат часової діаграми слід розуміти так, що
саме в цей момент починається спостереження за процесом,
який виник нескінченно давно і буде існувати у наступний мо-
мент часу.
Час, протягом якого відбувається один цикл періодичного
процесу, називається періодом Т і вимірюється у секундах.
Кількість періодів за секунду називають лінійною часто-
тою
Tf
1 .
Одиницю виміру частоти називають герцом: 1Гц = 1с-1
.
Величину )( t називають фазою. Це аргумент гармо-
нічної функції, тобто кут, величина якого вимірюється у граду-
сах чи радіанах і визначає значення функції у даний момент ча-
су. Фаза складається із двох частин. Одна з них - це початкова
фаза, яка залежить від вибору моменту відліку часу і зростає з
часом. Швидкість зміни фази має назву кутова частота.
Протягом часу, який дорівнює періоду коливань Т, фаза
змінюється на 2T
T
2.
Кутова частота вимірюється у рад/с. (радіан за секунду).
Постійний струм можна розглядати як частинний випадок змін-
ного струму.
Початкова фаза гармонічного коливання характеризується
проходженням синусоїди через нульове значення до моменту
початку спостереження. Гармонічне коливання є періодичною
функцією, яка повністю характеризується трьома параметрами:
амплітудою, кутовою частотою та початковою фазою.
Якщо у колі синусоїдні джерела – це функції однакової
частоти, але із різними фазами, то має місце зсув фази.
7
Зсув фази – це різниця фаз двох синусоїд однакової часто-
ти.
Крім амплітудного та миттєвого, існує діюче значення
струму чи напруги.
Діюче значення періодичного струму чисельно дорівнює
значенню постійного струму, під час проходження якого через
резистор за період Т виділяється така сама кількість енергії, як і
при проходженні змінного.
.2
)0(2
1)
2
)2sin((
2
2
)2cos(1(1)(sin
1)(
1
2
0
2
0
2
0
22
0
2
mm
T
m
T
m
T
m
T
It
IT
T
tt
IT
dtt
IT
dttIT
dttiT
I
Діюче значення синусоїдної величини у 2 разів менше
від її амплітудного значення:
2
mII ,
2
mUU .
Приклад 2.1. У електричному колі гармонічного струму
діє струм )17314sin(27)( tti А. Знайти амплітудне значен-
ня, діюче значення, частоту та фазу.
Розв’язання
Амплітудне значення струму 27mI А.
Діюче значення струму визначається за формулою:
1.192
27
2 mI
I А.
Фаза струму 17I .
Кутова частота визначається із співвідношення
tt 314 і дорівнює 314 рад/с.
Лінійна частота визначається за формулою
50975.492
314
2
F Гц.
8
Приклад 2.2. Струм в електричному колі змінюється за
синусоїдним законом )30314sin(2)( tti . Визначити пока-
зання амперметра електромагнітної системи.
Розв’язання
Із заданого миттєвого значення струму визначаємо амплі-
тудне значення струму
2mI А.
Амперметр електромагнітної системи показує діюче зна-
чення струму, яке дорівнює
4.12
2
2 m
A
III А.
Приклад 2.3. Визначте амплітудне значення та запишіть
миттєве значення напруги джерела, якщо показання вольтметра
110U В.
Розв’язання
Вольтметр показує діюче значення напруги, тому ампліту-
дне значення дорівнює
56.15511022 UUm В.
Миттєве значення напруги джерела
)(56.155)()( ttUtu m В.
2.2. Відображення гармонічного струму комплексними
числами
Синусоїдний струм чи напругу можна представити векто-
ром на комплексній площині. Тоді синусоїдний струм чи напру-
га буде радіусом-вектором, який обертається відносно початку
координат з кутовою частотою проти годинникової стрілки.
Таким чином, будь-якому радіусу-вектору, який рівномірно обе-
ртається, однозначно відповідає синусоїдна функція
Дійсному гармонічному коливанню Ij
mIm eUUtIti )cos()( . Така відповідність ґрунту-
9
ється на формулах Ейлера, які пов’язують дійсні тригонометри-
чні функції з комплексними експоненціальними
2)cos(
jj ee
, 2
)sin(
jj ee
,
)sin()cos( je .
Коли використовується комплексна форма зображень, то
координати за осями х та у змінюються відповідно на осі ком-
плексної площини: дійсну Re (Real) та уявну Im (Imaginig). При-
чому будь-якому вектору на комплексній площині однозначно
відповідає комплексне число, яке може бути записане в алгебра-
їчній, показовій та комплексній площині.
Алгебраїчна форма запису комплексного числа:
bjai , де a - дійсна частина комплексного числа, b -
уявна частина комплексного числа, а 1j - уявна одиниця.
Алгебраїчну форму комплексного числа відкладають на
комплексній площині (рис. 2.2)
Тригонометрична форма запису комплексного числа:
)sin()cos( IjIi .
Показникова (експоненціальна) форма запису комплексно-
го числа: jeIi , де I - амплітуда комплексного вектора, - фа-
за комплексного вектора.
Комплексну величину, подану в показниковій формі теж
відкладають на комплексній площині (рис. 2.2).
Рисунок 2.2 – Зображення вектора на комплексній площині
10
Для переходу від однієї форми запису комплексного числа
до іншої використовують такі формули:
))(exp(22
a
barctgjbabjai
),sin()cos( IjI
де 22 baI , )(a
barctg , , )sin( Ib .
Отже, синусоїдну величину струму чи напруги можна
представити за допомогою комплексних чисел.
Таким чином, гармонічний струм )sin()( tIti m
можна представити у комплексній формі
)(exp)( tjItI mm , де
)(exp)( tjItI mm - миттєвий комплекс;
)(exp jII mm - комплексна амплітуда;
)(exp2
jI
I m - комплексний струм.
Отже, для запису миттєвого значення синусоїдної функції
комплексну амплітуду необхідно обов’язково записати в показ-
никовій формі.
Приклад 2.4. У колі діє гармонічна напруга
100100 jU . Знайти миттєве значення напруги.
Розв’язання
Знайдемо амплітудне значення напруги
2100)100()100( 22 mU .
Знайдемо початкове значення фази
4
3)
100
100(arctgU .
Запишемо миттєве значення напруги
)sin()sin()( UmUm tUtUtu
)4
3sin(2100 t .
)cos( Ia
11
Приклад 2.5. До вузла кола приєднані три гілки (рис. 2.3).
Знайти струм )(3 ti , якщо відомі два інших струми:
)sin(10)(1 tti , )45sin(10)(2 tti
Рисунок 2.3
Розв’язання
Для цього спочатку запишемо комплексні амплітуди двох
відомих струмів: 0
1 10 j
m eI А,
.07.707.7)45sin(10)45cos(1010 45
2 jjeI j
m
Тепер визначимо комплексну амплітуду третього струму
за допомогою першого закону Кірхгофа
.5.18)07.17
07.7(exp07.707.17
07.707.1707.707.710
5.2222
213
j
mmm
ej
jjIII
Представимо струм у синусоїдній формі
)5.22sin(5.18)(3 tti .
Приклад 2.6. Знайти напругу )()()( 21 tututu , якщо
)3
sin(100)(1
ttu В, )
6sin(50)(2
ttu В. Побудувати
векторну діаграму напруг.
Розв’язання
Представимо гармонічні напруги у показниковій формі:
31 100
j
m eU В та 62 50
j
m eU .
i3(t)
i1(t)
i2(t)
12
Представимо гармонічні напруги в алгебраїчній формі:
.6.8650)866.05.0(100
))60sin()60(cos(100))3
sin()3
(cos(1001
jj
jjU m
.253.43)5.0866.0(50
))30sin()30(cos(50))6
sin()6
(cos(502
jj
jjU m
Знайдемо напругу в алгебраїчній формі запису:
6.1113.93)253.43()6.8650(21 jjjUUU mmm .
Представимо напругу в показниковій формі запису:
6.1113.93 jU m
.145))3.93
6.111(exp(6.1113.93 65022 jearctgj
Визначимо напругу в аналітичній формі запису
)650sin(145)sin()( ttUtu m .
Побудова векторної діаграми напруг
Побудову векторної діаграми напруги починають для ал-
гебраїчної чи показникової форми запису напруги. Якщо почати
із показникової, то спочатку необхідно відкласти кут фази на-
пруги, а потім її амплітуду. Наприклад, для напруги
62 50
j
m eU спочатку треба відкласти кут 30º від початку ко-
ординат проти годинникової стрілки, а потім відкласти довжину
вектора, тобто його амплітуду 50В. Після того, як ми відкладемо
обидві напруги, то амплітуди шуканої напруги mU можна оде-
ржати за допомогою додавання векторів за правилом прямокут-
ника (рис. 2.4). Потім ми можемо виміряти значення амплітуди
напруги та її фазу і записати шукану напругу в показниковій
формі, після чого перейти до аналітичної форми запису.
13
Рисунок 2.4
Приклад 2.7. Амплітудне значення синусоїдальної вели-
чини напруги подано у комплексній формі 86 jUm В. Зо-
бразити її в аналітичній формі.
Розв’язання
Визначимо модуль амплітуди напруги:
10100642686 22 mU В.
Визначимо аргумент напруги:
3153)333.1()6
8(
arctgarctgU .
Оскільки напрямок кута повтору, як правило, беруть дода-
тніім, якщо вектор обертається від додатного напрямку дійсної
осі проти годинникової стрілки, то кут 3153 - це кут, визна-
чений за напрямком годинникової стрілки, а проти напрямку
годинникової стрілки матимемо
783063153360 U .
Якщо напруга промислової частоти 50f Гц, то
3145022 f с-1
. Тоді напруга в аналітичній формі
буде мати вигляд
)3153314sin(10)sin()( ttUtu Um В.
14
Приклад 2.8. Комплексна амплітуда напруги
100100 jUm В, частота 1f кГц. Записати вираз для мит-
тєвого значення напруги.
Розв’язання
Знайдемо кутову частоту
628010122 3 f с-1
.
Визначимо амплітуду напруги
2100100)100( 22 mU .
Визначимо аргумент напруги
45)1()100
100( arctgarctgU .
Кут 45 - це кут, визначений за напрямком годинникової
стрілки, а проти напрямку годинникової стрілки матимемо
31545360U .
Таким чином, миттєве значення напруги запишеться так
)3156280sin(2100)sin()( ttUtu m .
Приклад 2.9. Дані струми )120sin(6)(1 tti А та
)30sin(5.1)(2 tti А. Визначити струм )(ti , що дорівнює
різниці цих струмів )()()( 21 tititi .
Розв’язання
Подамо гармонічний струм в показниковому вигляді
120
11 6 jj
mm eeII I , 30
22 5.1 jj
mm eeII I .
Представимо струм у алгебраїчній формі
))120sin()120(cos(66 120
1 jeII j
m
2.53)866.05.0(6 jj А;
))30sin()30(cos(5.15.1 30
2 jeI j
m
75.03.1)5.0866.0(5.1 jj А.
Знайдемо різницю струмів в алгебраїчній формі
45.43.4)75.03.1()2.53(21 jjjIII mmm А.
15
Подамо струм у показниковій формі
.19.6))46360(exp(19.6))46exp(19.6
))035.1(exp(293.38
))3.4
45.4(exp(45.4)3.4(45.43.4
314
22
j
m
ejj
arctgj
arctgjjI
Приклад 2.10. Записати комплекс діючого значення гар-
монічної функції часу )150sin(2100)( otti А.
Розв’язання
Модуль комплексу діючого значення збігається із діючим
значенням синусоїдальної величини, а аргумент збігається з по-
чатковою фазою цієї величини ojj eIeI 150100 А.
Приклад 2.11. Записати комплекс діючого значения гар-
монічної функції часу )45sin(2100)( ottu В (рис. 2.5) та
відкласти його на комплексній площині.
Рисунок 2.5
Розв’язання
Запишемо комплекс діючої гармонічної напруги
.250250)45sin(100)45cos(100100 45 jjeUeU oojj ou
45o
j
1
U
0
50 2
j50 2
16
Приклад 2.12. Записати комплекс діючого значення си-
нусоїдальної функції часу )135sin(2100)( ottu B.
Розв’язання
Запишемо комплекс діючого значення гармонічної на-
пруги
)135sin(100)135cos(100100 135 oojjjeUeU
ou
250250 j .
Зобразимо напругу на векторній діаграмі (рис. 2.6).
Рисунок 2.6
Приклад 2.13. Записати комплекс діючого значення гар-
монічної функції часу )30cos(210)( otti А.
Розв’язання
Перейдемо від косинуса до синуса за допомогою тригоно-
метричних формул
)120sin(210)30cos(210 oo tti А,
звідси o
I jjeIeI 12010
, А.
0
135o
1
j
U
50 2
j50 2
17
Приклад 2.14. Записати комплекс діючого значення гар-
монічної функції часу )60cos(2100)( ottu В та побуду-
вати вектор напруги на комплексній площині.
Розв’язання
Перейдемо від косинуса до синуса
)150sin(2100)60cos(2100)( oo tttu B.
Представимо напругу в алгебраїчній формі запису компле-
ксного числа
.5035030sin10030cos100
)150sin(100)150cos(100100 150
jj
jeUeU
oo
oojj ou
Зобразимо напругу на векторній діаграмі (рис. 2.7).
Рисунок 2.7
Приклад 2.15. Знайти гармонічну функцію часу, яка зо-
бражена комплексом діючого значення ojeI 605 A.
Розв’язання
Визначимо струм як функцію часу
io jj IeeI
605 , звідси )60sin(25)( otti A.
1 0
150o
j
U
50 3
j50
18
Приклад 2.16. Знайти гармонічну функцію часу, яка зо-
бражена комплексом діючого значення ojeI 6010 A та побу-
дувати векторну діаграму.
Розв’язання
Запишемо
iooo jjjj IeeeeI
12024060 101010 , оскільки
oje 180)1( .
Звідси )120sin(210)( otti A.
Зобразимо струм на векторній діаграмі (рис. 2.8).
Рисунок 2.8
Приклад 2.17. Знайти гармонічну функцію часу, зобра-
жену комплексом діючого значення ojejI 3010 A, та побуду-
вати вектор струму.
Розв’язання
Запишемо
ioo jjj IeeejI
6030 1010 , оскільки j e j o90
.
Звідси )60sin(210)( otti A.
Зобразимо струм на векторній діаграмі (рис. 2.9).
1 0 120o
60o
j
I
I
19
Рисунок 2.8
Приклад 2.18. Знайти гармонічну функцію часу, що зо-
бражена комплексом діючого значення 5050 jU В, та по-
будувати вектор напруги.
Розв’язання
Перейдемо від алгебраїчної форми запису до показникової
.25050505050 454522 uoo jjj UeeejU
Запишемо напругу у тригонометричній формі
)45sin(100)( ottu В. Зобразимо напругу на векторній діаг-
рамі (рис. 2.9).
Рисунок 2.9
1 0
j
I j ej o
10 30
I ej o
10 30
45o
1 0
U j
50
j50
20
Приклад 2.19. Знайти гармонічну функцію часу, що зо-
бражена комплексом діючого значення 5050 jU В та побу-
дувати вектор напруги.
Розв’язання
Перейдемо від алгебраїчної до показникової форми запису для
напруги
.25050505050 13513522 uoo jjj UeeejU
Звідси )135sin(100)( ottu В.
Зобразимо напругу на векторній діаграмі (рис. 2.10).
Рисунок 2.10
Приклад 2.20. Знайти гармонічну функцію часу, зображе-
ну комплексом діючого значення ojejU 3060320 В, та по-
будувати вектор напруги.
Розв’язання
Представимо напругу у показниковій формі
.32030)310(
303103033032060320
606022
30
uoo
o
jjj
j
Ueee
jjejU
Звідси )150sin(5420)( ottu В.
Зобразимо напругу на векторній діаграмі (рис. 2.11).
135o
1 0
U
j 50
j50
21
Рисунок 2.11
Приклад 2.21. Знайти гармонічну функцію часу, зображе-
ну комплексом діючого значення ojejU 15060120 В, та по-
будувати вектор напруги.
Розв’язання
Перейдемо до показникової форми запису для напруги
.272090)330(33090
330301206012060120
15015022
60150
uoo
oo
jjj
jj
Ueeej
jejejU
Звідси )150sin(5420)( ottu В.
Зобразимо напругу на векторній діаграмі (рис. 2.12).
Рисунок 2.12
1 0
U
j
10 3
j30
150o
1 0
U
j
j30 3
90
22
Приклад 2.22. Визначити зсув фази u i між
струмом та напругою, комплекси діючих значень яких задані
2020 jU B, 33030 jI A, та побудувати вектор стру-
му та напруги на комплексній площині.
Розв’язання
Запишемо показникову форму напруги ojejU 1352202020 B .
Звідси визначимо фазу напруги o
u 135 .
Запишемо показникову форму струму ojejI 606033030 A .
Звідси визначимо фазу струму o
i 60 .
Знайдемо різницю фаз ooo
iu 7560135 .
Зобразимо напругу на векторній діаграмі (рис. 2.13).
Рисунок 2.13
Приклад 2.23. Знайти суму струмів i i i i 1 2 3 , мит-
тєві значення яких дорівнюють: )90sin(21001
oti А,
)135sin(1002
oti А, )135sin(1003
oti А, та побудувати
векторну діаграму струмів.
Розв’язання
Запишемо струми в алгебраїчній формі
100100 90
1 jeIoj А,
U
75o
30 20
j30 3
j20
1 0
j
23
5050250 135
2 jeIoj А,
5050250 135
3 jeIoj А.
Знайдемо загальний струм у комплексній формі
.2100100100
50505050100
135
321
io jj Ieej
jjjIIII
Звідси )135sin(200)( otti А.
Зобразимо векторну діаграму струмів (рис. 2.14).
Рисунок 2.14
Приклад 2.24. Визначити )(4 ti (рис. 2.15), якщо відомо:
)60sin(260)(1
otti А,
)60sin(290)(2
otti А,
tti sin260)(3 А.
Рисунок 2.15
Розв’язання
На основі першого закона Кірхгофа у комплексній формі:
3214 IIII .
Переведемо струми в алгебраїчну форму
I1 2I
I
I3
1 0
j
i4
i3
i2
i1
24
3303060 60
1 jeIoj A;
3454590 60
2 jeIoj A; 603 I A;
.3031515603454533030 4
60
4i
o jj eIejjI
Звідси )60sin(230)(4
otti А.
Зобразимо векторну діаграму струмів (рис. 2.16)
Рисунок 2.16
2.3. Задачі для самостійного розв’язання
Задача 2.1. Визначити параметри гармонічного струму
)(3 ti mI3 , , f , T , який є сумою струмів 2i та 1i . Побудувати
векторну діаграму струму )(3 ti . Значення струмів:
а) )902cos(4)(1 tti А, а 222 I ;
б) )452sin(10)(1 tti А, а 552 jI ;
в) )1352sin(6)(1 tti А, а 332 jI .
Задача 2.2. Визначити параметри гармонічної напруги
)(3 tu mU3 , , f , T , яка є сумою напруг 2u та 1u . Побудувати
векторну діаграму напруги )(3 tu . Значення напруги
а) )454cos(22)(2 ttu А, а 22 U .
б) )902cos(20)(1 ttu А, а 222 U ;
в) )1352cos(212)(1 ttu А, а 62 jU .
I2
I4
I3
I1
1 0
j
25
Задача 2.3. Графік напруги )(tu наведений на рис. 2.17. За
зазначеною різницею фаз 45IU
та заданих умов
10mU , 2I , 2/1 t , 2t знайти T , f , , mU , mI , )(ti ,
)(tu і побудувати векторну діаграму )(ti та )(tu .
Рисунок 2.17
Задача 2.4. На рис. 2.17 наведений графік потужності
)()( tptf C , побудувати графіки )(tuC , )(tiC , )(twC .
Задача 2.5. Для наведеної схеми (рис. 2.18) значення дже-
рел струму визначаються виразами )cos(2220)( 11 tte ,
)cos(2220)( 22 tte . Які будуть покази приладів за умови
12021 , 9021 ? За яким зсувом фаз 21 вольт-
метр покаже 220В?
Рисунок 2.18
Задача 2.6. Знайти амплітуду і початкову фазу напруги
)(te для кола (рис. 2.19), якщо )cos(10)(1 ttu ,
)60cos(10)(2 ttu , )60cos(10)(3 ttu ,
)60cos(10)(4 ttu .
e1(t)
e2(t)
V
t1 t2 0
f(t)
t
26
Рисунок 2.19
Задача 2.7. Знайти значення напруги )(1 tu , якщо на зовні-
шніх затискачах активного багатополюсника для кола, що зо-
бражене на рис. 2.20, )cos(20)(12 ttu , )60cos(10)(23 ttu ,
)60cos(10)(34 ttu , )cos(10)(54 ttu , consttu 10)(56 .
Рисунок 2.20
Задача 2.8. Знайти амплітуду та початкову фазу )(te для
кола (рис. 2.21), якщо )cos(10)(1 ttu , )60cos(10)(2 ttu ,
)60cos(10)(3 ttu , а вольтметр V показує діюче значення
230 В (усі напруги у вольтах). Опори 1R , 2R активні.
Z1 Z2 Z3
Z4 e(t) u1(t) u2(t) u3(t)
u4(t)
u34(t) u16(t)
2
3 1
4 5
6
27
Рисунок 2.21
Задача 2.9. Знайти амплітуду та початкову фазу струму
)(ti на вході паралельно з’єднаних елементів для кола (рис.
2.22), якщо )cos(20)(1 tti мА, )60cos(40)(2 tti мА,
)60cos(40)(3 tti мА, а амперметр А показує діюче значення
струму 250 мА. Опори 1R , 2R активні.
Рисунок 2.22
Задача 2.10. Визначити діюче значення заданого періоди-
чного струму (рис. 2.23), якщо відомі T , 1t , a .
Рисунок 2.23
R1 Z2 Z3
R2 e(t) u1(t) u2(t) u3(t)
u4(t) V
R2 R1 Y2 Y1
A
i(t)
i1(t) i2(t) i3(t) i4(t)
i(t)
t t1 t2
at
T
28
Задача 2.11. Визначити діюче значення заданого періоди-
чного струму (рис. 2.24) та обчислити його, якщо відомі
15T мкс, 31 t мкс, 8mI мА. У межах від 0 до 1t функція
струму є прямою лінією.
Рисунок 2.24
Задача 2.12. Визначити діюче значення заданого періоди-
чного струму (рис. 2.25) та обчислити його, якщо відомі
30T мкс, 51 t мкс, 7mI мА. У межах від 0 до 1t функція
струму є прямою лінією.
Рисунок 2.25
Задача 2.13. Визначити діюче значення заданого періоди-
чного струму (рис. 2.26) та обчислити його, якщо відомі
45T мкс, 101 t мкс, 9mI мА. У межах від 0 до 1t та від 1t до
2 1t функція струму є прямою лінією.
Im i(t)
t1 T t
Im i(t)
t1 T t
29
Рисунок 2.26
Задача 2.14. Періодична напруга )(tu має вигляд прямоку-
тних імпульсів з тривалістю 51 t мкс та амплітудним значен-
ням 6mU В. Визначити такий період T , щоб діюче значення
цієї напруги дорівнювало 3В. Графік цієї напруги наведений на
рис. 2.27.
Рисунок 2.27
Im
i(t)
t1 T t 2t1
t
Um
u(t)
t1 T
30
3. РЕАКТИВНІ ЕЛЕМЕНТИ У КОЛАХ ГАРМОНІЧНОГО
СТРУМУ
У колах гармонічного струму, окрім резистора, необхідно
враховувати опори індуктивності та ємності, що зумовлюються
часовою зміною струму та напруги.
3.1. Котушка індуктивності
Котушка індуктивності – це елемент, який має властивість
запасати енергію у вигляді магнітного поля. Параметрами ко-
тушки є резистивний опір kR та індуктивність L , що вимірюєть-
ся в Гн (Генрі).
Нехай у котушці проходить гармонічний струм (рис. 3.1 а):
)sin()( tIti mL .
Рисунок 3.1
Напруга на котушці індуктивності визначається за законом
Фарадея
)90sin()cos()(
)( tILtILdt
tdiLtu mm
LL .
Реактивний індуктивний опір LX визначається за форму-
лою LX L та вимірюється в омах (Ом), а повний реактив-
ний опір LL jXZ .
Струм у колі з індуктивністю визначається такими співвід-
ношенням:
31
90
90
jL
j
LL
L
L eL
U
Le
U
Lj
U
Z
UI
.
Із виразів для струму та напруги котушки індуктивності
випливає, що напруга на котушці випереджає за фазою струм на
90º чи струм відстає від напруги на 90º (рис. 3.1 б). Отже, кут
зсуву фаз між напругою та струмом котушки дорівнює 90º.
Миттєве значення потужності у колі із ідеальною індукти-
вністю
)sin()90sin()()()( tItUtituts mm
)2sin(2
)2sin(tIU
tIU mm
.
Отже, у колі з індуктивністю відбувається неперервний
періодичний процес обміну енергією між електричною мережею
(джерелом енергії) і магнітним полем індуктивності. Цю енер-
гію називають реактивною енергією, і відповідно потужність
цієї енергії – реактивною потужністю Q , яка визначається мак-
симальним значенням.
Таким чином, миттєве значення потужності )(ts , що над-
ходить до ідеальної котушки, дорівнює миттєвому значенню ре-
активної потужності )(tq .
Приклад 3.1. У електричному колі із котушкою індуктив-
ності 100L мГн діє джерело напруги )100sin(220)( ttu В.
Визначити індуктивний опір.
Розв’язання
Визначаємо кутову частоту із виразу для напруги. Відомо,
що )sin()( tUtu m . Отже, порівнявши обидва вирази знахо-
димо, що 100 с-1
.
Визначаємо реактивний індуктивний опір котушки
1010100100 3 LX L Ом.
32
Приклад 3.2. Індуктивність 10L мГн живиться від дже-
рела напруги )60314sin(100)( ttu В. Визначити струм у
електричному колі та побудувати векторну діаграму.
Розв’язання
Знайдемо індуктивний опір
14.31010314 3 LX L Ом.
Знайдемо діюче значення напруги
92.7041.1
100
2
100
2 mU
U В.
Запишемо напругу у комплексній формі
6092.70 jjeeUU U В.
Обчислимо величину струму
90
6060
14.3
92.70
14.3
92.70j
jj
L e
e
j
e
Xj
UI
150)9060( 58.2214.3
92.70 jj ee .
Тут ми використали формулу 901 jej .
Побудуємо векторну діаграму (рис. 3.2).
Для побудови векторної діаграми виберемо масштаби:
за напругою 20U В/см;
за струмом 5I А/см.
Рисунок 3.2
Re
Im 0
U
I
-60º -150º
33
Із рис. 2.6 видно, що фаза напруги випереджає струм на
90º. Справді, якщо 90)150(60IU .
Приклад 3.3. Струм індуктивного елемента заданий
)302cos(8)( ttiL , 2L Гн. Знайти )(tu L та побудувати
векторну діаграму.
Розв’язання
Розрахунки будемо здійснювати у комплексній формі, ви-
користовуючи метод комплексних амплітуд.
Представимо гармонічний струм у показниковій формі 308 j
mL eI .
Знайдемо опір на котушці індуктивності 904422 j
L ejjLjZ .
Визначимо напругу у показниковій формі 60)3090(3090 323284 jjjj
mLLmL eeeeIZU .
Побудуємо векторну діаграму (рис. 3.3).
Рисунок 3.3
Як бачимо із рис. 3.3 зсув фази між напругою та струмом
становить 90º 90)30(60IU .
Re
Im
0
ImL
UmL
60º
-30º
34
3.2. Конденсатор
Конденсатор – це елемент, що запасає енергію у вигляді
електричного поля. Параметром конденсатора є ємність, що ви-
мірюється у фарадах (Ф).
Нехай до конденсатора прикладена синусоїдальна напруга
)sin()( tUtu mC .
Рисунок 3.4
Струм через конденсатор (рис. 3.4 а) визначається таким
співвідношенням:
)90sin()cos()(
)( tUCtUCdt
tduCti mm
C .
Реактивний ємнісний опір визначається за формулою
CX C
1, а повний реактивний опір – CC jXZ та вимірю-
ється в омах (Ом).
Напруга на конденсаторі визначається за формулою 90)( j
CCC eXIjXIZIU , де 90jej .
Із виразів для струму та напруги конденсатора видно, що
струм конденсатора випереджає за фазою напругу на 90º чи на-
пруга відстає від струму на 90º (рис. 3.4 б). Отже, кут зсуву фази
між напругою та струмом становить -90º.
Миттєве значення потужності )(ts в колі з конденсатором
)90sin()sin()()()( tItUtituts mmCC
)2sin(2
)2sin(2 tIU
tIU mm
.
35
Таким чином, у колі із конденсатором, як і у колі із індук-
тивністю, відбувається неперервний періодичний обмін енергі-
єю між мережею та конденсатором. Потужність, що характери-
зує швидкість зміни цієї енергії, називається реактивною потуж-
ністю.
Отже, реактивна енергія (потужність) коливається між
джерелом електричної енергії і споживачем та йде на утворення
магнітних полів у котушках і електричних полів у конденсато-
рах.
Приклад 3.4. Визначити покази амперметра у гілці із кон-
денсатором 500C мкФ, якщо до нього прикладена напруга
)100sin(120)( ttu .
Розв’язання
Визначимо реактивний ємнісний опір конденсатора
2010500100
116
CX C
Ом.
Діюче значення напруги на конденсаторі
85.842
120
2 mU
U В.
Амперметр показує діюче значення струму, тому визначи-
мо його за виразом
24.420
85.84
CX
UI А.
Приклад 3.5. Конденсатор ємністю 80C мкФ приєдна-
ний до джерела струму )30314sin(10)( tti А. Визначити
напругу та реактивну потужність на конденсаторі. Побудувати
векторну діаграму.
Розв’язання
Визначимо діюче значення струму у колі
1.741.1
10
2 mI
I А.
36
Запишемо діюче значення струму у комплексній формі
301.7 jjeeII I А.
Визначимо ємнісний опір
401080314
116
CX C
Ом, CC XjZ .
Визначимо напругу на конденсаторі 60903030 284401.7)40(1.7 jjjj
C eeejeZIU .
Знайдемо реактивну потужність
4.20161.740 22 IXIUQ CC Вар.
Побудуємо векторну діаграму.
Для побудови векторної діаграми треба вибрати масштаби:
масштаб за напругою 50UM В/см;
масштаб за струмом 2IM А/см.
Рисунок 3.5
Як видно із рис. 3.5, напруга відстає від струму на кут -90º
за фазою. Справді зсув фази між напругою та струмом визнача-
ється за формулою 903060IU .
Re
Im
0
ImL
UmL
30º
-60º
37
Приклад 3.6. Напруга на ємнісному елементі
)453cos(5)( ttuC з 4C Ф. Знайти )(tiC та побудувати
векторну діаграму.
Розв’язання
Запишемо напругу у показниковій формі 455 j
mC eU .
Визначимо провідність конденсатора 90121243 j
C ejjCjY .
Визначимо струм у показниковій формі 135)4590(4590 6060512 jjjj
mCCmC eeeeUYI А.
Запишемо аналітичний вираз миттєвого значення для струму на
конденсаторі
)1353cos(60)cos()( ttIti ImCC А.
Побудуємо векторну діаграму
Визначимо масштаби:
масштаб за струмом 20IM А/см;
масштаб за напругою 2UM В/см.
Рисунок 3.6
Як видно із векторної діаграми, що зображена на рис. 3.6,
зсув фази між напругою та струмом дорівнює
9013545IU .
Отже, напруга відстає від струму на кут -90º на конденса-
торі.
Re
Im
0
ImС
UmС
45º
135º
38
3.3. Опори та провідності у колах гармонічного струму
Повним опором пасивного двополюсника Z у колі сину-
соїдального струму називається відношення діючих або амплі-
тудних значень напруги та струму, що є законом Ома в компле-
ксній формі:
I
U
I
UZ
m
m
.
Повний опір кола складається з активної складової та реак-
тивної
XjRZ .
Активний опір пасивного двополюсника R у колі синусої-
дального струму називається відношенням активної складової
амплітудного значення напруги до амплітудного значення стру-
му або активної складової діючого значення напруги до діючого
значення струму.
Реактивний опір пасивного двополюсника X у колі сину-
соїдального струму називається відношенням реактивної скла-
дової амплітудного значення напруги до амплітудного значення
струму або реактивної складової діючого значення напруги до
діючого значення струму.
Отже, ))(exp()exp( 22
R
XarctgjXRjZZ Zm .
Аналогічно вводяться поняття повної Y , активної G та
реактивної B провідностей.
Отже, повна провідність визначається BjGY та ви-
мірюється в См (сименсах).
Приклад 3.7. До джерела гармонічної напруги
)314sin(110)( ttu увімкнений споживач з опором 10R Ом.
Визначити показ амперметра у цьому колі та потужність, що
споживається.
Розв’язання
Діюче значення напруги джерела дорівнює
39
78.772
110
2 mU
U В.
Амперметр показує діюче значення струму, яке визначаємо
згідно із законом Ома для кола з опором R :
778.710
8.77
R
UI А.
Потужність, яку споживає споживач на опорі R :
605778.710 22 IRP Вт.
Приклад 3.8. Визначити комплексний опір, якщо напруга
та струм задані виразами )60sin(2100)( ottu В,
)15sin(210)( otti А.
Розв’язання
Переведемо струм та напругу у показникову форму ojeU 60100 В,
ojeI 1510 А.
Знайдемо опір на основі закону Ома у комплексній формі
25251010
100 45
15
60
jee
e
I
UZ
o
o
o
j
j
j
Ом.
Приклад 3.9. Визначити миттєве значення падіння напру-
ги, якщо відомі струм )30sin(5)( otti А та комплексний
опір 33030 jZ Ом.
Розв’язання
Запишемо на основі закону Ома
mm IZU .
Представимо опір та струм у показниковій формі ojejZ 606033030 Ом,
oj
m eI 305 А.
Знайдемо напругу у показниковій формі
uooo j
m
jjj
m eUeeeU
903060 300560 , В.
Звідси )90sin(300)( ottu В.
40
Приклад 3.10. Визначити миттєві значення падіння напру-
ги, якщо відомі струм )15sin(10)( otti А та комплексна
провідність 1,01,0 jY .
Розв’язання
На основі закону Ома у комплексній формі Y
IU m
m
.
Подамо струм та провідність у показниковій формі oj
m eI 1510 А, ojejY 4521.01,01,0 .
Запишемо вираз для напруги
uo
o
o
j
m
j
j
jm
m eUee
e
Y
IU
30
45
15
25021,0
10 .
Звідси )30sin(250)( ottu , В.
Приклад 3.11. Визначити провідність Y , якщо відомий
комплексний опір 1010 jZ Ом.
Розв’язання
Компексна провідність визначається за формулою
ZY
1 .
Компексний опір визначається за формулою ojejZ 452101010 Ом.
Звідси 05,005,0205,0210
1 45
45je
eY
o
o
j
j
.
Приклад 3.12. Знайти вираз для комплексного опору Z
(рис. 3.7) та комплексної провідності Y, якщо 10R Oм,
10L Гн, 1000 с-1
Рисунок 3.7
L R
41
Розв’язання
Визначимо комплексний опір гілки ojejLjRZ 452101010 Ом.
Визначимо провідність кола
05,005,0205,0210
11 45
45je
eZY
o
o
j
j
.
Приклад 3.13. Знайти вираз для комплексного опору Z
(рис. 3.8) та комплексної провідності Y , якщо 10R Oм,610 c
-1, 1,0C мкФ.
Рисунок 3.8
Розв’язання
Визначимо комплексний опір гілки
;2101010101,010
110
1 45
66
ojejjC
jRZ
Визначимо комплексну провідність гілки
05,005,0205,0210
11 45
45je
eZY
o
o
j
j
.
Приклад 3.14. Визначити параметри заданих гармонічних
функцій напруги та струму у колі. Побудувати векторну діагра-
му струмів та напруг. Миттєве значення струму
)452sin(10)( ttiL А та значення провідності кола 2LY .
Знайти індуктивність кола L . Визначити такі параметри: mLU ,
mLU , LU , , T , I , U , Z , LI , mLI .
Розв’язання
C R
42
Запишемо миттєве значення струму на котушці індуктив-
ності )452sin(10)( ttiL А.
З виразу для миттєвого значення струму запишемо такі па-
раметри:
частота 2 с-1
;
фаза струму 45I ;
амплітудне значення струму 10mLI А;
З виразу для струму знайдемо такі параметри:
дійсне значення струму
14.74.1
10
2
10
2 mL
L
II А;
показникова форма струму
4510 jj
mLmL eeII I ;
період
2T ;
алгебраїчна форма запису
77)7.07.0(10))45cos()45(sin(10 jjjImL .
Запишемо вираз для напруги на котушці індуктивності
)1352sin(52
)452sin(10)()(
90
t
e
t
Y
titu
j
L
LL В.
Запишемо вираз для провідності
90221 j
LL ejYjL
j
LjY
См.
З виразу для напруги запишемо та визначимо такі параметри:
амплітудне значення напруги 5mLU В;
дійсне значення напруги 57.34.1
5
2 mL
L
UU В;
показникова форма 455 j
mL eU В.
алгебраїчна форма запису
))135sin()135(cos(5 jU mL 5.35.3)7.07.0(5 jj ;
43
фаза напруги 135U .
Запишемо вираз для провідності котушки індуктивності:
LjYL
1.
Виразимо з цього виразу індуктивність кола
4
1
22
1
22
119090
jj
L eeYjL
Гн.
Побудуємо векторну діаграму струму та напруги (рис. 3.9).
Рисунок 3.9 – Векторна діаграма струмів та напруг
1
1
2 3 4 5 6 7 8
2
3
4
5
6
7
Re
Im
Um
Im
0
-1
-2
-3
-4
44
3.3. Задачі для самостійного розв’язання
Задача 3.1. Діюче значення струму у котушці 573.0I А,
а її індуктивність 982.0L Гн. Активним опором котушки інду-
ктивності можна знехтувати. Визначити миттєве значення на-
пруги на котушці у момент часу 0t , якщо початкова фаза
струму 63I , а частота 50f Гц.
Задача 3.2. Діючі значення активних складових напруги і
струму становлять 120 В та 1.5 А. Активна провідність двопо-
люсника 5 мСм. Визначити повний, активний, реактивний та
комплексний опори двополюсника, якщо кут зсуву фаз між на-
пругою та струмом 0 . Записати миттєві значення реактив-
них складових напруги і струму, якщо початкова фаза струму
35I .
Задача 3.3. Якою повинна бути величина L, щоб реактивна
потужність на ній дорівнювала за величиною потужності на ак-
тивному опорі R. Чому буде дорівнювати для цього випадку по-
тужність при заданій напрузі )10cos(25)( ttu ,
c/11000 .
45
4 ОСНОВНІ ЗАКОНИ ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ ГАРМОНІЧ-
НОГО СТРУМУ
Основними законами електричних кіл є закон Ома та зако-
ни Кірхгофа. Закон Ома і закони Кірхгофа для миттєвих значень
напруг і струмів формулюються однаково і незалежно від того,
чи є кола лінійні, чи нелінійні, змінюються чи не змінюються в
них напруги та струми в часі.
4.1 Закон Ома для кіл гармонічного струму
Розглянемо коло, що зображене на рис. 4.1. У колі діє гар-
монічний струм )sin()( im tIti .
R L
C
i
u
Рисунок 4.1
Запишемо другий закон Кірхгофа для кола, що зображене
на рис. 4.1,
CLR uuuu .
Запишемо напругу через струм та перепишемо одержане
рівняння
idtCdt
diLiRu
1.
Одержали інтегрально-диференціальне рівняння. Підста-
вимо в рівняння значення гармонічного струму, а оскільки у ко-
лі діє гармонічний струм, то і напруга буде гармонічною функ-
цією.
)]sin([)sin()sin( imimum tIdt
dLRtItU
46
dttIC
im ))sin((1
.
Перепишемо рівняння у комплексній формі
tjjm
tjjm
tjjm
tjjm eeI
CjeeLIjReeIeeU iiiu
1 .
Перепишемо рівняння
tjm
tjm
tjm
tjm eI
CjeILjReIeU
1
,
де ujmm eUU
та ij
mm eII
.
Скоротивши рівняння на tje , одержимо
mmmm ICj
ILjRIU
1
.
У правій частині одержаного рівняння винесемо струм mI за
дужки
)1
(Cj
LjRIU mm
.
Одержане співвідношення називають законом Ома у ком-
плексній формі та записують так
)( jZIU mm ,
де Cj
LjRjZ
1
)( .
Вираз )( jZ називають комплексним опором кола. Його
можна переписати за допомогою формули jZejZ )( .
Враховуючи правила переходу від алгебраїчної форми за-
пису комплексного числа до показникової, можна записати, що
модуль Z та аргумент комплексного опору визначаються як
22 )1
(C
LRZ
, R
CL
arctg
1
.
Модуль комплексного опору називають повним опором ді-
лянки.
47
Проаналізувавши одержаний результат, зазначимо, що
комплексне перетворення перетворило диференціальне рівняння
на алгебраїчне.
У комплексній формі закон Ома буде мати такий вигляд:
Z
UI
.
Звідси випливає, що комплексний опір електричного кола
дорівнює відношенню комплексної напруги на затискачах дано-
го кола до комплексного струму у цьому колі.
4.2 Закони Кірхгофа для кіл гармонічного струму
Перший закон Кірхгофа в комплексній формі випливає із
запису символічного зображення рівняння за першим законом
Кірхгофа для миттєвих значень струму.
Якщо )()sin()( tItIti mkimkk , де k – це є кількість
гілок, що приєднані до будь-якого вузла.
Таким чином, у комплексній формі рівняння першого за-
кону Кірхгофа для електричних кіл синусоїдального струму має
вигляд
0 kI , 0 mkI .
Отже, алгебраїчна сума комплексних амплітуд струмів (чи
комплексних струмів) у вузлі дорівнює нулеві.
Другий закон Кірхгофа в комплексній формі випливає із
запису символічного зображення за другим законом Кірхгофа
для миттєвих значень напруг.
Якщо )()sin()( tUtUtu mkumkk та
)()sin()( tEtEte mpempk , де k – це є кількість пасивних
елементів у контурі, p – це кількість джерел ЕРС .
Рівняння другого закону Кірхгофа в колах синусоїдального
струму має вигляд
pk EU , mpmk EU .
З урахуванням закону Ома другий закон Кірхгофа може
бути сформований так: алгебраїчна (комплексна) сума спаду на-
48
пруг на активних і реактивних елементах будь-якого контуру
дорівнює алгебраїчній (комплексній) сумі ЕРС, які діють в цьо-
му контурі. Правила запису рівнянь залишаються такими, як і
для електричних кіл постійного струму.
Як було зазначено раніше, повним опором пасивного дво-
полюсника Z у колі гармонічного струму називається відно-
шення діючих або амплітудних значень напруги та струму, що є
законом Ома в комплексній формі:
I
U
I
UZ
m
m
.
Повний опір кола складається з активної складової та реактивної
XjRZ .
Активний опір пасивного двополюсника R у колі синусої-
дального струму називається відношенням активної складової
амплітудного значення напруги до амплітудного значення стру-
му або активної складової діючого значення напруги до діючого
значення струму.
Реактивний опір пасивного двополюсника X у колі сину-
соїдального струму називається відношенням реактивної скла-
дової амплітудного значення напруги до амплітудного значення
струму або реактивної складової діючого значення напруги до
діючого значення струму.
Отже, ))(exp()exp( 22
R
XarctgjXRjZZ Zm .
Аналогічно вводяться поняття повної Y , активної G та
реактивної B провідностей.
Отже, повна провідність визначається BjGY та ви-
мірюється в См (сименсах).
49
4.3. Перехід від послідовної схеми до паралельної
Перехід від послідовної схеми до еквівалентної паралель-
ної здійснюється за формулою
Y= jBGXR
Xj
XR
R
XR
jXR
jXR
1222222
.
Перехід від паралельної до еквівалентної послідовної схе-
ми здійснюється за формулою
222222
11
BG
Bj
BG
G
XG
jBG
jBGYZ
=R+jX.
5. ПОТУЖНІСТЬ У КОЛАХ ГАРМОНІЧНОГО СТРУМУ
У колах синусоїдного струму є активна, реактивна та пов-
на потужності.
Активна потужність P - це середнє значення миттєвої по-
тужності за період
cos IUP , де )(R
Xarctg , де X - це реактивна
складова повного опору кола, R - активна складова повного
опору кола.
Активна потужність вимірюється у ватах (Вт).
Реактивна потужність визначається так:
sin IUQ .
Реактивна потужність вимірюється у варах (Вар).
Повна потужність S визначається за формулою
IUS .
Комплексна потужність
QjPIUS * , де *I - спряжений комплекс струму.
Потужності можуть бути також розраховані за діючими
значеннями струму та відповідного опору за формулами: 2IRP , 2IXQ , 2IZS .
50
Як видно із наведених виразів, потужності утворюють три-
кутник потужностей, у якого катети відповідають P та Q , а гі-
потенуза – S .
Повна і активна потужності завжди додатні. При 0
(резистивно-індуктивні кола) реактивна потужність Q додатна,
а якщо 0 (резистивно-ємнісні кола) то Q - від’ємна.
Повна потужність S характеризує найбільше значення се-
редньої потужності (активної), яку можна одержати в колі для
заданих діючих значень напруги та струму.
Із трикутника потужностей коефіцієнти потужності ви-
значаються як
S
Pcos ,
S
Qsin .
Для вимірювання активної потужності використовується
ватметр. Показання ватметра визначається за формулою
]Re[cos *IUIUPW .
Для активної, реактивної та комплексної потужностей ви-
конується баланс потужності.
Приклад 5.1. Визначити комплекс повної потужності,
якщо )15sin(100)( ottu В, )30sin(10)( otti А.
Розв’язання
Повна потужність визначається за формулою
IUS ~.
Подамо струм та напругу у показниковій формі ojeU 15250 В,
ojeI 3025 А.
Запишемо комплексно-спряжений струм ojeI 3025
А.
Розрахуємо вираз для повної потужності
2250225050025250~ 453015 jeeeIUS
ooo jjj
.
51
Приклад 5.2. Визначити активну та реактивну потужно-
сті, якщо )15sin(220 otu В, )45sin(2100 otu В,
)45sin(210 oti А.
Розв’язання
Повна потужність визначається за формулою
IUjQPS ~.
Представимо струм та напругу у показниковій формі ojeU 15220 В,
ojeI 4510 А.
Запишемо комплексно-спряжений струм ojeI 4510
А.
Розрахуємо потужність
10031002001020~ 304515
ooo jjj eeeIUS .
Звідси 3100P Вт, 100Q ВАр.
Приклад 5.3. Відомі струм та напруга )90sin(10 oti
А, )60sin(100 otu В. Визначити активну та реактивну
потужності.
Розв’язання
Активна потужність визначається як
cosSP .
Реактивна потужність визначається як
sinSQ .
де *IUS , iu .
Звідси
3250)9060cos(2
10
2
100 ooP Вт;
250)9060sin(2
10
2
100 ooQ ВАр.
52
Приклад 5.4. Визначити опори кола (R та L, рис. 5.1),
якщо tu sin2100 В, )90sin(20 oti А.
Рисунок 5.1
Розв’язання
Визначимо опір кола
25
1
25
10
25
1 90
jje
U
IY
oj
m
m
См.
Звідси R , 25 LXX Ом.
Приклад 5.5. Електричне коло із послідовно з’єднаних ре-
зистора з опором 10R Ом, котушкою індуктивності
50L мГн і конденсатора ємністю 1000C мкФ увімкнено до
електричної енергії гармонічної напруги з діючим значенням
220В та частотою 50Гц. Обчислити повний опір кола, коефіцієнт
потужності, діюче значення струму, напруги на елементах кола,
активну, реактивну та повну потужності.
Розв’язання
Визначимо реактивний індуктивний опір котушки
7.151050502 3 LX L Ом.
Обчислимо реактивний ємнісний опір конденсатора
18.3101000314
116
CX C
Ом.
Визначимо повний опір кола
CL XjXjRZ .
Визначимо амплітуду опору
i
U X R
53
16)18.37.15(10)( 2222 CLm XXRZ Ом.
Визначимо коефіцієнти потужності
625.016
10cos
Z
R , 81.0
16
18.37.15sin
Z
X .
Звідси знайдемо кут 54)81.0arcsin( .
Визначимо діюче значення струму
8.1316
220
mZ
UI А.
Діючі значення напруг
на резисторі 138108.13 IRU R В;
на котушці 2167.158.13 IXU LL В;
на конденсаторі 18.38.13 IXU CC В.
Визначимо діюче значення прикладеної напруги
220)44216(138)( 2222 CLR UUUU В.
Визначимо потужності
активну 1900625.08.13220cos UIP Вт;
реактивну 238081.08.13220sin IUQ Вар;
повну 30408.13220 IUS ВА.
54
6 РОЗРАХУНОК ПРОСТИХ КІЛ ГАРМОНІЧНОГО
СТРУМУ
Приклад 6.1. У колі (рис. 6.1) із номіналами елементів
10R Ом, 318C мкФ, ttu 314sin2100)( В. Визначити на-
пругу )(tuC.
Рисунок 6.1
Розв’язання
Комплексний струм у колі визначається за комплексним
законом Ома
ojm
c
mm e
CjR
U
jXR
UI 4510
1
А.
Напруга у колі визначається за законом Ома
oj
CCcm eIjXU 45
. 100 В.
Звідси )45314sin(100 o
c tu В.
Приклад 6.2. У колі (рис. 6.2) із номіналами елементів
40 LXR Ом, )150sin(240)( o
L ttu В. Визначити напругу
на вході кола )(tu .
C
R
55
Рисунок 6.2
Розв’язання
Комплексний струм у колі визначається за законом Ома у
комплексній формі
oj
L
mm e
jX
UI 606
А.
Визначаємо напругу у колі
oj
mLm eIjXRU 1052240)( В.
Звідси )105sin(2240)( ottu В.
Приклад 6.3. Чому дорівнює показанння вольтметра 1V ,
що увімкнений у коло гармонічного струму (рис. 6.3), якщо
вольтметр 2V показує 30 В, 12R Ом, 5CX Ом.
Рисунок 6.3
Розв’язання
Діючі значення напруги та струму визначаються за формулами
302 IXU C В, звідси 62 CX
UI А.
R
L
56
Звідси 1021263021 RIUU В.
Приклад 6.4. Визначити миттєве значення напруги u у
колі (рис. 6.4), якщо коло має такі номінали елементів
101 R Oм, 10C мкФ, 2L мГн, 410 c-1
,
)45sin(2100)( ottu В; )90sin(10)( otti А.
Рисунок 6.4
Розв’язання
На основі другого закону Кірхгофа EUIZ .
Подамо напругу в алгебраїчній формі
250250100 45 jeEoj В.
Подамо опір у показниковій та алгебраїчній формах ojej
CjLjRZ 452101010
1
Ом.
Подамо струм у показниковій формі 9025 jeI А.
Розрахуємо значення комплексної напруги oo jj eejU 9045 25210250250
uo jj Ueej
9021002100 .
)90sin(200 otu В.
L C
e U
R
57
Приклад 6.5. У колі гармонічного струму (рис. 6.5) всі
чотири вольтметри показують одне й те саме значення напруги
–100В. Визначити )(tu , якщо взяти o
uL45 .
Рисунок 6.5
Розв’язання
Оскільки CLR UUU , то C
LR
1
(у колі резонанс
напруги).
Звідси напруга визначається як
ojLR e
Lj
URIRUU 45100
В.
Тоді )45sin(2100)( ottu В.
Приклад 6.6. У колі (рис. 6.6) LXR , амперметр показує
10 А. Визначити i1 , якщо припустити, що o
i 30 .
Рисунок 6.6
i1 R
i
L
58
Розв’язання
Із векторної діаграми знаходимо:
)75sin(211
otIi А, 22
2
2
1 III ,
оскільки LXR , то 22
12 II , звідси 252
11 II А.
Визначаємо )75sin(10 oti А.
Приклад 6.7. Визначити струм )(ti у колі (рис. 6.7) , якщо
ttu sin2120)( В, 12 cXR Ом, 6LX Ом.
Розв’язання
Знайдемо значення комплексного струму
oj
cL
ejX
U
jX
U
R
UI 45210
А.
Звідси )45sin(20)( otti А.
Рисунок 6.7
Приклад 6.8. Визначити покази амперметра A2 , якщо
покази приладів 1A , 3A , 5A відповідно дорівнюють: 5А, 5А, 3
А (рис. 6.9). Векторна діаграма струмів подана на рис. 6.8.
i
R
L
C
59
Рисунок 6.8
Розв’язання
Із векторної діаграми визначимо 42
5
2
34 III А,
32
4
2
152 IIII А.
Звідси 62 I А.
Рисунок 6.9
Приклад 6.9. Визначити покази електромагнітного
вольтметра (рис. 6.10), якщо 200E В, 1021 RR Ом, 51LX
Ом, 602CX Ом, 20
1CX Ом, 15
2CX Ом.
Розв’язання
Вольтметр показує діюче значення напруги
U
I2
I1
I4
I3
I5
I I2 5
5 2 4
3 1
C R L
60
.260)()( 22
321 21
2
2
CCL
C
C
XXXRRR
EXIXU
Рисунок 6.10
Приклад 6.10. Визначити комплексний опір кола Z
(рис. 6.11), якщо 61 R Oм, 532 RR Oм, 10C мкФ,
5,0L мГн, 410 c-1
.
Рисунок 6.11
Розв’язання
Знайдемо загальний комплексний опір кола
32
321
ZZ
ZZZZ
,
C1 R2
C3
R3 R1
L1
E
C1
R2 L2
R1
R3
61
де 1061
1
11 jC
jRZ
Ом; 55222 jLjRZ Ом,
533 RZ Ом.
Запишемо загальний комплексний опір кола oje
j
jZ 4529
5)55(
5)55()106(
.
Приклад 6.11. Визначити миттєве значення струму i у
колі (рис. 6.12), якщо 21 R Oм, 202 C мкФ, 6,01 L мГн,
532 RR Oм, 410 c-1
, )120sin(2100)( ottu В.
Рисунок 6.12
Розв’язання
На основі закону Ому комплексній формі Z
UI
.
Запишемо напругу у показниковій формі ojeU 1202100 .
Загальний комплексний опір кола визначається за формулою
32
321
ZZ
ZZZZ
,
де 62111 jLjRZ Ом; 551
2
22 jC
jRZ
Ом;
533 RZ Ом;
C2 R2
L1 R1
R3
62
Розрахуємо числові значення комплексного опору та струму ojejZ 452555 Ом ,
ojeI 7520 .
Звідси )75sin(220)( otti А.
Приклад 6.12. Визначити струми у гілках кола (рис. 6.13)
та скласти рівняння балансу потужності, якщо коло має такі но-
мінали елементів ttu 314sin225)( В, 5R Ом, 8L мГн,
637C мкФ.
Рисунок 6.13
Розв’язання
На основі закону Ома у комплексній формі Z
UI
.
Запишемо напругу у комплексній формі 025 jeU В.
Запишемо комплексний опір кола
5,25,25,25,255
)5(55,2
)(
jj
j
jj
jXR
jXRjXZ
C
CL Ом.
Знайдемо комплексний струм із закону Ома
105,2
25
Z
UI
А.
Визначимо значення комплексних струмів у гілках
1 L
R C
2
1I
2I
U
I
63
oj
CC
ejjjXR
RI
Z
UI 4512
1 255555
510
А;
oj
C
C ejj
j
jXR
jXI
R
UI 4512
2 255555
510
А.
Складемо рівняння балансу потужності:
Загальна потужність джерела 2501025~
IUSд ,
де 250)~
Re( дд SP Вт, 0)~
Im( дд SQ ;
потужність приймача:
2505)25( 22
2 RIP Вт;
2505.21022
LL XIQ Вар;
2505)25( 22
1 cc XIQ Вар;
пд PP , CLд QQQ ;
250Вт = 250Вт, 0 вар = 0 вар.
Приклад 6.13. У колі змінного струму, що зображене на
рис. 6.14, діє гармонічна напруга )1000sin(297)( ttu В. Но-
мінали елементів такі: 1521 RR Ом, 601 L мГн,
502 C мкФ. Визначити миттєве і діюче значення струму у ко-
лі, діюче значення напруги другого споживача 2U , показ ватме-
тра, а також активну, реактивну та повну потужності другого
споживача ( 2R - 2C ).
64
Розв’язання
Визначимо опори реактивних елементів
6010601000 3
11 LX L Ом,
2010501000
116
2
12
C
X C
Ом.
Діюче значення вхідної напруги
2102
297
2 m
Д
UU В.
Запишемо комплекс діючого значення напруги
210210 0 jj
Д eeUU U В.
Запишемо загальний опір усього кола
4030201560152211 jjjXjRXjRZ CL .
Запишемо загальний опір усього кола в показниковій формі 3153)30/40( 504030 jarctgj eeZ .
За законом Ома визначимо комплекс діючого значення
3153
31532.4
50
210
j
je
eZ
UI
.
Отже, діюче значення струму дорівнює
R1
R2
C2
U2
L1
u(t)
i
Рисунок 6.14
W
65
2.4ДI А.
Знайдемо амплітудне визначення струму
94.522.42 Дm II A.
Запишемо миттєве значення струму
)31531000sin(94.5)sin()( ttIti im .
Визначимо показання ватметра
]882Re[]2.4210Re[]Re[ 31.5313.53* jj
W eeIUP
2.519]6.705512Re[ j Вт.
Визначимо комплексний опір другого споживача 13.53
22 252015 j
C ejXjRZ Ом.
Комплекс діючого значення напруги 26.10613.5313.53
22 1032.425 jjj eeeIZU В.
Отже, діюче значення напруги
1032 U В.
Визначимо комплексну потужність другого споживача
13.5313.5326.106*
22 4412.4103 jjj eeeIUS
8.3526.264 j ВА.
Звідси запишемо активну, реактивну та повну потужності
другого споживача
6.264P Вт, 8.352Q ВА, 441S ВА.
66
Приклад 6.14. Коло гармонічного струму, схема якого зо-
бражена на рис. 6.15, має такі номінали елементів 301 R Ом,
502 R Ом, 721 X Ом, 1002 X Ом. Діюче значення стру-
му джерела дорівнює 5.1J А. Визначити діюче значення на-
пруги на клемах джерела струму, а також покази амперметрів.
Розв’язання
Обчислимо комплексні опори та провідності гілок 38.67
111 787230 jejXjRZ Ом,
,01183.0004931.001282.078
11 38.67
38.67
1
1 СмjeeZ
Y j
j
43.63
222 8.11110050 jejXjRZ ,
.08.0004.0008944.08.111
11 43.63
38.63
2
2 СмjeeZ
Y j
j
Визначимо комплексну провідність паралельно з’єднаних
гілок
R1 R2
X2
U X1 J
I1
Рисунок 6.15
A1 A2
I2
67
.00972.0003834.00893.0
008.0004.001183.0004931.0
23.23
21
Cмej
jjYYY
j
Припустимо, що початкова фаза струму джерела дорівнює
нулю. Тоді комплекс діючого значення струму джерела буде
5.1 JJ А.
Напруга джерела розраховується за формулою
23.23
23.2333.154
0092.0
5.1 j
je
eY
JU
В.
Звідси запишемо діюче значення напруги
33.154U В.
Визначимо комплекси діючих значень струму у паралель-
них гілках
15.44
38.67
23.23
1
1 979.178
33.154 j
j
j
ee
e
Z
UI
А,
66.86
43.63
23.23
2
2 3804.18.111
33.154 j
j
j
ee
e
Z
UI
А.
Звідси запишемо покази амперметрів
979.111 II A А,
3804.122 II A А.
Приклад 6.15. Діюче значення напруги на вході кола (рис.
6.16) 100U В. Знайти діюче значення струмів гілок, якщо
80R Ом, 20CX Ом, 60LX Ом. Перевірити виконання
балансу потужності. Побудувати векторні діаграми струмів та
напруг.
Розв’язання
Комплексна напруга кола буде 100UU В.
68
Комплексний опір кола
j
jj
XR
XRXjZ
L
LC
6080
608020
6.3217.344.188.284.388.2820 jejjj Ом.
Знайдемо струм у колі
6.32
6.32926.2
17.34
100 j
je
eZ
UI
А.
Напруга на ділянці 2 – 3 5.201.536.32
2323 45.1404896.2 jjj eeeZIU В.
Знайдемо струм у гілках:
5.205.20
23 756.180
45.140 jj
R ee
R
UI
А,
5.695.20
23 341.260
45.140 jj
L
L ej
e
Xj
UI
А.
Діючі значення струмів у гілках
926.2I А, 756.1RI А, 341.2L
I А.
Перевіримо виконання балансу потужності.
Розрахуємо комплексну потужність джерела
5.1576.246926.2100 6.32* jeIUS j
U ВА.
R
1 C
IR
L
U
I
Рисунок 6.16
IL
2
69
Отже, маємо активну потужність джерела 6.246UP Вт та
реактивну потужність джерела 7.157UQ .
Розрахуємо комплексну потужність споживача
)()( 222
LLRCZ jXIRIjXIS .
Підставимо числові значення
)60(341.280756.1)20(926.2 222 jjSZ
5.1576.246 j ВА.
Отже, одержали активну потужність споживача
6.246ZP Вт та реактивну 5.157ZQ ВА.
Оскільки ZU PP та ZU QQ , то баланс потужності вико-
нується.
U
1U 23U I
RI
LI
Im
Re
Рис. 3.85 Рисунок 6.17
На рис. 6.17 на комплексній площині побудовані векторні
діаграми струмів та напруг.
Розрахуємо напругу 6.122
1 52.58)( j
C ejXIU В.
70
Приклад 6.16. Визначити струми у гілках за допомогою
законів Кірхгофа для схеми, що зображена на рис. 6.18, параме-
три якої подані нижче tte 314sin220)(1 В;
tte 314sin220)(3 В; 5.31821 CC мкФ; 162 L мГн;
52 R Ом, 103 R Ом.
Рисунок 6.18
Розв’язання
Подамо джерела струму у комплексній формі 201 E В,
202 E В.
Складемо систему рівнянь на основі рівнянь Кірхгофа
.)(
;)(
;0
33322
1221
321
22
22
EIRIjXRjX
EIjXRjXIjX
III
CL
LCC
Підставимо числові значення
C1
1I 3I
)(1 te )(3 te
22I
2I
11I
C2
R2 R2
R3
L2
71
.2010)55(
;20)55(10
;0
32
21
321
IIj
IjIj
III
Запишемо розв’язки системи за допомогою методу Крамера
1
1I ,
2
2I ,
3
3I .
Розраховуємо визначники
200
10)55(0
0)55(10
111
j
j
jj
;
200
10)55(20
0)55(20
110
1
j
j ;
200200
10200
02010
101
2 jj
;
200
20)55(0
20)55(10
011
3 j
j
jj
.
Розрахуємо контурні струми
ojejj
I 9011
200
200
А, 11 I А,
)90314sin(2)(1
otti А;
72
ojejj
jI 452
2 21200
200200
, 22 I А,
)45314sin(2)(2
otti А; oje
j
jI 1803
3 1200
200
А,
13 I А, )180314sin(2)(3
otti А.
Баланс потужності
1E зростає у режимі джерела реактивної потужності, 3E
зростає у режимі джерела активної потужності:
2020120)1(20)(~~~
121131jjIEIESSS ддд
;
20101010)1(5)2( 22
3
2
32
2
232 RIRIPPP RR•p Вт;
221221
2
2
2
2
2
1 LccLCc•p XIXIXIQQQQ -10-
20+10=-20Вт.
пPд PP , птд QQ ;
20Вт = 20Вт, 20вар = 20вар.
Приклад 6.17. Розв’язати попередню задачу методом
контурних струмів.
Розв’язання
Складемо систему рівнянь на основі методу контурних струмів
;
;
322221121
122121111
EIZIZ
EIZIZ
де
).55())((
;515)(
;155)(
22
22
212
22112
3222
211
jXXjRZZ
jXXjRRZ
jXXXjRZ
CL
CL
CcL
Підставимо числові значення в систему
.20)515()55(
;20)55()155(
2211
2211
IjIj
IjIj
73
Розв’яжемо систему рівнянь методом Крамера
.1;1 222
111
IjI
Визначимо струми у гілках
.1
;21
;1
223
45
22112
111
II
ejIII
jIIoj
Приклад 6.18. Визначити 11Z та 22Z , якщо 10101 jZ
Ом, 552 jZ Ом, 10103 jZ Ом.
Рисунок 6.19
Розв’язання
Визначимо власний опір першого контура
203111 ZZZ Ом.
Взаємний опір контурів ojejZZZ 135
32112 2101010 , Ом.
Визначимо власний опір другого контура
5153222 jZZZ Ом.
74
Приклад 6.19. Визначити 11E у колі (рис. 6.20), якщо
10104321 jZZZZ Ом; ojeE 45
1 2100 В, ojeE 135
2 250 В.
Рисунок 6.20
Розв’язання
Власна ЕРС контура
)5050()100100(2111 jjEEE ojej 452150150150 В.
Приклад 6.20. Елементи електричного кола, що зображене
на рис. 6.21, мають такі параметри: 501 R Ом, 1003 R Ом,
1001 CX Ом, 1002 CX Ом, 1001 LX Ом, 1.0J А,
202 jE , В 253 jE В. Визначити струм у гілках електри-
чного кола, вхідну напругу та записати вирази для їх миттєвих
значень.
Розв’язання
Визначимо додатні напрямки проходження струмів у кон-
турах (рис. 3.87) та запишемо систему рівнянь на основі законів
Кірхгофа
.
,
,
2332322
221111
321
EEIXjRIXjI
EIXjIRI
JIII
LC
C
75
Підставимо в одержані рівняння числові значення
.45)100100(100
,20100)10050(
,1.0
32
21
321
jIjIj
jIjIj
III
Рисунок 6.21
Після розв’язання системи рівнянь у середовищі MathCAD
знайдемо такі значення струмів у гілках: 815.142
1 146.0088.0116.0 jejI А, 759.48
2 194.0146.0128.0 jejI А, 39.69
3 25.0234.0088.0 jejI А.
Запишемо комплексний опір у першій гілці кола 43.63
111 8.11110050 j
C ejXRZ Ом.
За законом Ома визначимо напругу у цій гілці: 359.8443.63815.142
11 279.168.111146.0 jjj eeeZIU В.
Приклад 6.21. Для кола (рис. 6.22) визначити 11Y та 12Y ,
якщо ojeZZZZZZ 45
654321 210 , Ом.
76
Рисунок 6.22
Розв’язання
Знайдемо власну провідність першого вузла
.15,015,0220
3111 45
542
11 jeZZZ
Yoj
Взаємна провідність ojej
ZYY 135
2
2112 205,005,005,01
.
Приклад 6.22. Для кола (рис. 6.23) визначити 33I , якщо
1010654321 jZZZZZZ Ом; 1001001 jE В;
1001006 jE В.
Розв’язання
Власний комплексний струм третього вузла
1010141.14210
200
1010
200 45
456
6
1
133 je
ejZ
E
Z
EI j
j
А.
3
6E
1E
Z4 Z3
Z1
1 2
Z6 Z5
Z2
77
Рисунок 6.23
Приклад 6.23. Розв’язати задачу методом двох вузлів,
якщо коло (рис. 6.24) має елементи 1001 E В, 503 jE , В,
10LX Ом, 10CX Ом, 10R Ом.
Рисунок 6.24
R
1I 1 3I
2
2I XL
XC
3E
1E
3
6E
1E
Z4 Z3
Z2
Z1
1 2
Z6 Z5
78
Розв’язання
Визначимо напругу між 1-м та 2-м вузлами
)1(10
1
)50100(10
1
111
1131
12
j
jj
RjXjX
ER
EjX
Y
EYU
CL
L
2525821.432
50
1
50 45
45
90
jee
e
j
j j
j
j
.
Визначимо струми у гілках
5,125,210
25251001211 j
j
j
jX
UEI
L
;
555
2525122 j
j
j
jX
UI
C
,
5,75,210
75251233 j
j
R
UEI
.
Приклад 6.24. У колі (рис. 6.25) діюче значення гармоніч-
ного ЕРС 2E В, частота 1000f Гц та номінали елементів
1601 R Ом, 27002 R Ом, 303 R кОм, 1.0C мкФ,
001.0G См. На частоті f комплексне навантаження
600300 jZ Ом. Знайти миттєве значення струму у наванта-
женні. Розрахувати баланс потужності.
79
Розв’язання
Визначимо напрям струмів у гілках. Запишемо рівняння за
першим законом Кірхгофа
0321 CIIII , 034 CIIII .
Виразимо струми гілок через напруги 10U , 20U
1
101
R
UEI
,
2
102
R
UI
,
3
20103
R
UUI
,
CC
Z
UUI 2010
,
Z
UI 20
,
)( 1014 UEGUGI .
Підставимо вирази для струмів у рівняння одержані за пе-
ршим законами Кірхгофа. Таким чином, одержуємо рівняння
для вузлових напруг
1
20
3
10
321
)11
()1111
(R
EU
ZRU
ZRRR CC
,
GEUZRZ
UGZR CC
20
3
10
3
)111
()11
( .
Обчислимо частоту
С
R1
R2
R3
E
1I
2I
4I
CI
I
Z 10U 20U
1UG
1U
3I 1 2
0 0
Рисунок 6.25
80
310283.6100022 f .
Розрахуємо опір ємності
jj
C
j
CjZC
3
6310592.1
101.010283.6
1
.
На основі одержаних рівнянь запишемо систему рівнянь
.
,
2222202110
1112201110
JYUYU
JYUYU
У одержаній системі
30000
1
2700
1
160
11111
321
11
CZRRRY
jj
43
310283.610654.6
10592.1
1
.
jjZRZY
C
3
3
2210592.1
1
30000
1
600300
1111
j44 1005.7107 ,
jZRY
C
3
3
1210592.1
1
30000
111
j45 10283.610333.3 ,
001.010592.1
1
30000
1113
3
21
j
GZR
YC
j44 10283.610667.9 ,
013.0160
2
1
11 R
EJ А, 002.02001.022 EGJ А.
Після розв’язання системи рівнянь одержимо 052.7
10 751.1215.0738.1 jejU ,
881.115
20 386.1247.1605.0 jejU .
Розрахуємо комплексне діюче значення струму навантаження
jj
j
Z
UI 3320 10638.110259.1
600300
247.1605.0
453.52310066.2 je А.
81
Обчислимо амплітудне значення струму навантаження 33 10922.210066.22 mI А.
Отже, амплітудне значення струму навантаження
92.2mI мА.
Початкова фаза струму навантаження
5.52I .
Таким чином, запишемо миттєве значення струму
)5.52sin(92.2)( tti мА.
Розрахуємо напруги гілок
)215.0738.1(2101 jUEU
373.39339.0215.0262.0 jej ;
)247.1605.0()215.0738.1(201012 jjUUU
964.31762.2462.1342.2 jej .
Обчислимо струм 373.393373.39
14 10339.0339.0001.0 jj eeUGI А.
Розрахуємо комплексну потужність джерела
jj
R
UES ДЖ
33
1
1 10687.21028.3600
215.0262.02
ВА.
Розрахуємо комплексну потужність споживача
jee
jj
IUZ
U
Z
U
R
U
R
U
R
US
jj
C
СП
33373.393881.115
2
3
2222
4*
20
2
20
2
12
3
2
12
2
2
10
1
2
1
10687.21028.310339.0386.1
600300
386.1
10592.1
762.2
30000
762.2
2700
751.1
160
339.0
Оскільки потужність джерела дорівнює потужності спожи-
вача, то баланс виконується.
82
Приклад 6.25. Розв’язати задачу 6.23 методом накладан-
ня.
Розв’язання
Розрахуємо струми у колі, якщо діє тільки джерело 1E (рис.
6.26).
Рисунок 6.26
Знайдемо загальний опір кола, що зображене на рис. 3.21:
;624210)(
12 jjjjXR
jXRjXZjXZ
c
cLL
Знайдемо опори у гілках
.55510
)5()55(
;1010510
10)155(
;155811.15325.6
100
62
100
13
12
565.71
565.71
11
jj
jj
jXR
jXII
jj
j
jXR
RII
jeejZ
EI
C
C
C
j
j
Розрахуємо струми у колі, якщо діє тільки джерело 3E
(рис. 6.27)
45
90
3
12
333
142.14
50
1010
50
)( j
j
CL
CL e
e
j
j
jXjX
jXjXR
E
ZR
E
Z
EI
5,25,2536.3 45 je j А;
83
5,25,21
1231 jjX
ZIIL
А;
5,251
1232 jjX
ZIIC
А.
Визначимо струми у гілках методом накладання
.5,75,2555,25,2
;55551010
;5,125,25,25,2155
333
222
111
jjjIII
jjjIII
jjjIII
Рисунок 6.27
Приклад 6.26. Визначити струм у XC методом еквівален-
тного генератора для схеми із задачі 6.23.
Розв’язання
Визначимо напругу неробочого ходу для схеми, що зображена
на рис. 6.28 а
25251
50
11
1121
jj
j
RjX
ER
EjX
U
L
LHX
.
Визначимо опір еквівалентного генератора
551010
)10(10)(j
j
j
jXR
jXRZ
C
LЕГ
.
Визначимо струм у колі, що зображене на рис. 3.23 б
84
55555
2525j
jj
j
jXZ
EI
CЕГ
ЕГ
.
а б
Рисунок 6.28
Приклад 6.27. Визначити ,2R за яким зсув фаз між U та
I дорівнює o45 , 31 R Ом, 5LX Ом у колі, що зображене на
рис. 6.29.
Розв’язання
Визначимо загальний опір кола (рис. 6.29)
22
2
2
2122
2
2
2
1
L
L
L
L
L
L
XR
RXjR
XR
RXR
jXR
jRXZ
.
Для того щоб зсув фази був 45o
, необхідно, щоб )Im()Re( ZZ :
22
2
2
2122
2
2
2
L
L
L
L
XR
RXR
XR
RX
.
Звідси одержуємо рівняння
.075252 2
2
2 RR
Розв’язавши рівняння, одержимо 152 R Ом.
85
Рисунок 6.29
Приклад 6.28. Коло, що зображене на рис. 6.30 має пара-
метри 10I А, 100E В, ZR2
1 , jXRZ . Визначити по-
кази ватметра
Розв’язання
Повна потужність визначається за формулою
IUS ~.
Струм визначається за формулою
222
2222
XR
UXj
XR
UR
jXR
U
Z
UI
.
Визначимо активну потужність
R
U
Z
RUSP
2
2)
~Re(
2
2
2
.
(оскільки RZ 2 за умовою).
Визначимо діюче значення струм у колі
102
R
U
Z
UI А.
Звідси визначаємо активний опір
10I
UR Ом.
Відповідно активна потужність
R1
R2 U
I
X
86
500102
100
2
22
R
UP Вт.
Рисунок 6.30
7. ЕЛЕКТРИЧНІ КОЛА ІЗ КОТУШКАМИ ІЗ ВЗАЄМНОЮ
ІНДУКЦІЄЮ
7.1. Розрахунок простих кіл символічним методом
Два контури індуктивно або взаємноіндуктивно зв’язані,
якщо частина магнітного потоку, створеного струмом одного з
контурів, пронизує інший (рис. 7.1).
L1
i1
L2
i2
Рис. 3.52 Рисунок 7.1
Характерною ознакою електричних кіл з взаємною індук-
тивністю є те, що електромагнітні процеси в їх елементах впли-
* *
Z U
I Z
87
вають один на однин і в основі цього впливу лежить закон елек-
тромагнітної індукції, який вивчався в курсі фізики.
Індуктивний зв’язок елементів утворюється як спеціально,
так і небажано. Індуктивний зв'язок застосовується в трансфор-
маторах, дозволяє регулювати власну індуктивність контура за
допомогою зміни індуктивного зв’язку між елементами контура,
регулювати фазові зсуви між напругами і струмами і т. п.
Індуктивний опір взаємоіндукції визначається таким чином:
MX M .
На схемах інформацію про спосіб зв’язку між котушками
подають через поняття однойменних затискачів. Затискачі двох
котушок вважають однойменними, якщо за однакових напрямів
струмів відносно цих затискачів магнітні потоки самоіндукції і
взаємоіндукції у кожній котушці збігаються за напрямом. На
практиці однойменність затискачів котушок залежить від їх вза-
ємного розташування і напряму намотування.
З енергетичної точки зору в електричному колі за наявнос-
ті взаємоіндукції за рахунок магнітного потоку взаємоіндукції
здійснюється передача потужності із одного контура в інший.
Взаємоіндуктивні котушки зображуються, як зазначено на
рис. 7.2. На рисунку знаком «» позначений початок обмотки.
L1
i1
L2
i2 M
( ) ( )
Рис. 3.54
Рисунок 7.2
Коли власний і взаємні магнітні потоки спрямовані в один
бік – узгоджене включення. В різні – неузгоджене.
Напруга на котушці індуктивності визначається із закону
електромагнітної індукції
88
dt
diL
dt
deuL
.
Напруга запишеться таким чином
dt
diM
dt
diL
dt
dEuL
2
.
Запишемо вираз для напруги при узгодженому ввімкненні
котушок індуктивностей у диференціальний формі
dt
diM
dt
diLu 21
11
та у комплексній
2111 IMjILjU .
Опір визначається за формулою
)( ML XXjZ .
Запишемо вираз для напруги при неузгодженому ввімк-
ненні котушок індуктивностей у диференціальній
dt
diM
dt
diLu 21
11
та комплексній формі
2111 IMjILjU .
Опір визначається за формулою
)( ML XXjZ .
Порівнюючи напруги та опори цих методів ввімкнення на-
вантаження (таблиця 7.1) та використовуючи закон Ома, одер-
жуємо, що струм при неузгодженому зв’язку буде більший, ніж
при узгодженому.
Таблиця 7.1
Параметри Узгоджений зв'язок Неузгоджений зв’язок
Напруга 1222 IMjILjU 1222 IMjILjU
Опір )( ML XXjZ )( ML XXjZ
Далі розглянемо розрахунки кіл із взаємоіндуктивними ко-
тушками на прикладах.
89
7.2. Приклади розв’язування задач
Задача 7.1. Знайти зсув фази
між струмом та напругою у колі
(рис. 3.18) на частоті Коло
має такі параметри елементів
, ,
взаємоін-
дукція .
Рисунок 7.1
Розв’язання
Розрахунки будемо здійснювати у нормованих одиницях:
опір – кОм, індуктивність – мГн, ємність – нФ.
Оскільки струм через котушки індуктивності та
проходить узгоджено, то запишемо вхідний опір кола
Визначимо опори елементів
Підставимо числові значення у вираз для вхідного опору кола
Оскільки , то зсув фази між струмом та напругою
буде не чим іншим як фазою виразу вхідного опору. Отже, зсув
фази між струмом та напругою становить .
90
Задача 7.2. Визначити напругу на котушці у колі при
узгодженому та неузгодженому проходженні струмів (рис. 7.2),
якщо джерела струму працюють на частоті , взаємна
індукція , Струми джерела визна-
чаються за законами
,
Рисунок 7.2
Розв’язання
Розрахунки будемо здійснювати у нормованих одиницях:
опір – кОм, ємність – нФ, індуктивність – мГн, частота –
рад/мкс.
Запишемо комплексні амплітуди струмів
, .
Визначимо опори котушок
кОм, кОм.
Визначимо опір зв’язку
кОм.
Визначимо напругу при узгодженому проходження струмів
Перейдемо до функції часу
В.
Визначимо напругу за неузгодженого протікання струмів
Перейдемо до функції часу
, В.
91
Задача 7.3. Для заданого кола (рис. 7.3) із однаковими ко-
тушками споживана активна потужність становить .
Струм та напруга у колі становлять
Частота джерела напруги стано-
вить Гц. Знайти параметри елементів кола , , , ,
Рисунок 7.3
Розв’язання
Активна потужність кола визначається за формулою
Звідси визначимо опір
Колова частота визначається як
За другим законом Кірхгофа для першого контура
Визначимо амплітуду напруги на першій котушці
Звідси визначимо
Оскільки котушки однакові, то
Струм у першій котушці через взаємоіндукцію створює у
другій котушці напругу взаємоіндукції
92
Оскільки , то , оскільки ,
то
Звідси визначимо взаємоіндукцію
Оскільки , то , і опір може бути будь-
яким.
Коефіцієнт зв’язку визначається
Опір може набрати будь-яких значень, оскільки струм
Задача 7.4. Знайти вхідний опір кола (рис. 7.4) та запи-
сати систему рівнянь на основі методу контурних струмів. Замі-
нити магнітні зв’язки керованими джерелами. Записати систему
рівнянь
Рисунок 7.3
Розв’язання
Узгоджене чи неузгоджене проходження струмів будемо
визначати, виходячи з того, як контурні струми проходять через
котушки із магнітним зв’язком.
Складемо систему рівнянь на основі методу контурних
струмів
Запишемо матрицю опорів
* *
93
Визначимо визначник системи
Із записаної матриці через визначники визначимо вхідний
опір кола
Зобразимо еквіваленту схему, замінивши індуктивні
зв’язки керованими джерелами. Як керовані джерела оберемо
джерело напруги, кероване струмом (рис. 7.5).
Рисунок 7.5
Складемо систему рівнянь на основі методу контурних
струмів для заданої схеми
Перенесемо невідомі змінні із правої частини рівнянь у ліву
Спростимо систему
Як видно, системи рівнянь збіглися, отже, схема зображена
правильно.
94
Приклад 7.5. Розрахувати струми у колі із індуктивно
зв’язаними гілками.
Рисунок 7.5
До кола (рис. 7.6) прикладена синусо-
їдальна напруга з діючим значенням
U=600В. На частоті прикладеної напруги
реактивні опори XL1=XL2=XC=300Ом,
XМ=1.5XL1. Знайти діючі значення струмів
у гілках. Потужність передається з однієї
гілки в іншу за рахунок індуктивного
зв’язку між ними. Побудувати векторні
діаграми струмів. Опір 100R Ом.
Розв’язання
Запишемо окремо опори кожної з гілок з урахуванням уз-
годженого ввімкнення котушок індуктивності з індуктивно
зв’язаними гілками.
Знайдемо опір взаємоіндукції
4503005.15.1 1 LM XX Ом.
Опір першої гілки з урахуванням узгодженого ввімкнення
котушок індуктивності
45030010011 jjjXjXRZ ML 405.82637.756750100 jej .
Опір другої гілки з урахуванням узгодженого ввімкнення
котушок індуктивності
30045030010022 jjjjXjXjXRZ CML 47.77977.460450100 jej .
Знайдемо струм у гілках:
1) струм у першій гілці
2) струм у другій гілці
;785.0104.0)991.0132.0(793.0
))405.82sin()405.82(cos(793.0793.0977.756
600 405.82
405.82
1
1
Ajj
eeZ
UI j
j
95
За першим законом Кірхгофа знайдемо струм
055.2386.027.1282.0785.0104.021 jjjIII А.
Далі необхідно побудувати векторну діаграму (рис. 7.7).
Рисунок 7.7 – Векторна діаграма струмів
Запишемо потужність, що передається з однієї гілки в іншу
за рахунок взаємоіндукції
,47.73434.272450)163.0605.0(
450))785.0(785.0104.02104.0(450)785.0104.0( 2222
11
jj
jjXIP MM
jjXIP MM 326.322019.690450)27.1282.0( 22
22 .
Приклад 7.6. Знайти струми гілок кола, що зображенs на
рис. 7.8. Величини комплексних опорів jZ 8101 Ом,
jZ 63 Ом, реактивні опори індуктивностей 61 LX Ом,
102 LX Ом , активний опір 62 R Ом, величини джерел ЕРС
.27.1282.0)976.0217.0(302.1
))47.77sin()47.77(cos(302.1302.1977.460
600 47.77
47.77
2
2
Ajj
eeZ
UI j
j
-1.4
-1.2
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 Re
Im
I1
0
I2
96
501 E В, jE 502 В, коефіцієнт зв’язку 85.0k . Перевірити
виконання балансу потужності.
Рисунок 7.8
Розв’язання
Визначимо комплексний опір взаємоіндукції
jjXXjkjXZ LLMM 584.610685.021 Ом.
Визначаємо додатні напрямки контурних струмів у гілках.
Рівняння складені за методом контурних струмів у матри-
чній формі
22
11
22
11
2221
1211
E
E
I
I
ZZ
ZZ
.
Знайдемо власні комплексні опори контурів
MLL ZXXjZZZ 2)( 212111 ,
13122 LXjZZZ .
Взаємні комплексні опори контурів
ML ZjXZZ 1112 , 1221 ZZ .
Власні ЕРС контурів
2111 EEE , 122 EE .
У власний комплексний опір першого контура 11Z увійшла
величина MZ2 , оскільки контурний струм 11I орієнтований
відносно однойменних затискачів елементів 1LX та 2LX однако-
во.
97
У взаємний комплексний опір 12Z увійшла величина MZ ,
оскільки контурний струм 11I та 22I орієнтований відносно од-
нойменних затискачів елементів 1LX та 2LX не однаково.
Підставимо числові значення в матричне рівняння
50
5050
81058.410
58.41017.2116
22
11 j
I
I
jj
jj
.
Розв’язавши одержану систему рівнянь, одержуємо зна-
чення контурних струмів
jI 56.445.111 А, jI 31.511.022 А.
Визначимо струми гілок 72
112 78.456.445.1 jejII А, 89
223 31.531.511.0 jejII А,
)31.511.0()56.445.1(22111 jjIII
15054.176.034.1 jej А.
Розрахуємо напруги на елементах кола
jjjIjXU LXL 03.854.4)76.034.1(6111 В,
jjjIjXU LXL 52.1457.45)56.445.1(10222 В,
jjjIjXU MM 56.930)56.445.1(584.621 В,
jjjIjXU MM 82.898.4)76.034.1(584.612 В,
jjjIZUZ 27.1834.7)76.034.1()810(111 В,
jjIZUZ 32.2771.8)56.445.1(6222 В,
jjjIZU 68.088.31)31.511.0()6(333 В.
Визначаємо напруги
jZIjXZIU ML 68.012.18)( 21111 В,
jZIjXZIU ML 68.5088.31)( 122122 В,
jZIU 68.088.31333 В.
Комплексна потужність джерел
98
)76.034.1(50*
22
*
11 jIEIES ДЖ
jjj 8.348.160)56.445.1(50 ВА.
Комплексна потужність споживача *
33
*
22
*
11 IUIUIUSСПОЖ )76.034.1()68.012.18( jj
)56.445.1()68.5088.31( jj
jjj 8.348.160)31.511.0()68.088.31( ВА.
Баланс потужності виконується, оскільки потужність дже-
рела дорівнює потужності споживача.
Приклад 7.7. Розрахувати струм у котушках трансформа-
тора та напругу на всіх елементах кола (рис. 7.9), що має такі
номінали 1621 LLL мГн, 2021 RRR Ом, коефіцієнт
магнітного зв’язку КЗВ=0.625, активний опір навантаження
100HR Ом, частота джерела 200F Гц, діюче значення на-
пруги 1001 U В.
Розв’язання
Рівняння, складені за методом контурних струмів, будуть
мати такий вигляд:
21121111 )( IMjIZIMjIXjRU ,
22222212 )( IZIXjRRIMjE H .
З другого рівняння визначимо струм
1
22
2 IZ
MI
.
Підставимо це значення у перше рівняння
99
1
22
22
111
22
22
111 )( IZZ
MZII
Z
MIZU BX
.
Виконаємо перетворення комплексного вхідного опору:
2
22
2
22
2222
22
11
2222
22
11
)(
XR
XjRMXjR
XjR
MXjRZBX
BXBX XjRXKjRKXjR 22
2
22
2
11 де
HBX RRRRKRR 22222
2
1 , ,
22222
2
1 , XXXKXX BX ,
2
22
2
22
222
XR
MK
.
Обчислимо опори:
1.20101620022 3
11 LfLX Ом,
1.2022 LX Ом,
12010020222 HRRR Ом,
LKLLKMX CBCBM 21
6.121016625.02002 3 Ом.
Коефіцієнт трансформації:
1035.01.20120
6.1222
2
2
22
2
22
22
XR
MK
.
Обчислимо вхідний активний та реактивний опори
3.211201035.020 2
22
2
1 RKRRBX Ом,
9.191.201035.01.20 2
22
2
1 XKXX BX Ом.
Визначимо повний опір первинного контура 05.432.299.193.21 j
BXBXBX ejXjRZ .
Визначимо струм в первинному контурі
5.43
5.43
11 43.3
02.29
1000
j
jBX
eeZ
UI
А.
100
Струм у вторинному контурі визначимо за умови рівності
активних потужностей у внесеному активному опорі в первин-
ний контур і в активному опорі первинного контура:
)()( 2
2
2
2
12
2
HH RRIIRRK , звідки
355.012 IKI А.
Визначимо напруги на всіх елементах вторинного та пер-
винного контурів
5.35355.01002 IRU HH В,
6943.31.20111 IXU X В,
15.7355.01.20222 IXU X В,
6.6843.320111 IRU В,
1.7355.020222 IRU В,
2.4343.36.1211 IXU MM В,
46.4355.06.1222 IXU MM В.
Приклад 7.8. У колі, що зображене на рис. 7.10, визначи-
ти струми гілок за наявності взаємоіндукції між котушками ін-
дуктивності 1L та 2L . Обчислити напругу на елементах схеми та
побудувати сумісну топографічну діаграму напруг та векторну
діаграму струмів. Скласти рівняння енергетичного балансу та
визначити активну потужність, що передається магнітним пото-
ком взаємоіндукції, якщо 81 R Ом, 301 LX Ом, 42 R Ом,
102 LX Ом, 6.15MX Ом, 8.53 R Ом, 15.11 CX Ом,
7.34 R Ом, 12 CX Ом. Вхідна напруга
)20sin(2380)( ttu В.
101
Рисунок 7.10
Розв’язання
Для розрахунків скористаємося методом контурних стру-
мів. Виберемо додатні напрями проходження контурних струмів
по контурах. Запишемо систему рівнянь
,0
,
222211
122111
ZIZI
UZIZI
де
15.18.5308131111 jjjXRjXRZ CL 5.643285.288.13 jej Ом,
32142222 RjXjXRRjXZ CCL
8.5115.17.3410 jjj 2.306.1585.75.13 jej Ом,
)15.18.5(6.15)( 132112 jjjXRjXZZ CM 1097.1775.168.5 jej Ом.
Підставимо числові значення в систему
.06.157.17
,3807.1732
2.30
2
109
1
20109
2
5.64
1
jj
jjj
eIeI
eeIeI
Після розв’язання системи рівнянь одержуємо 2.63
1 23.8 jeI А, 7.57
2 33.9 jeI А.
Від знакf «-» у виразі для комплексного струму 2I можна поз-
бутися, змінивши аргумент комплексу на : 3.1647.15
2 33.933.9 jj eeI А.
102
Струм у третій гілці визначимо за першим законом Кірхгофа 8.203.1642.63
213 6.1333.923.8 jjj eeeIII А.
Визначимо напругу на ділянках кола 2.632.63
11 84.65823.8 jj
ab eeRIU В,
3.63.748.26 9.3.2615.1459.246 jjj eee В,
9.128.263.74
122 3.1434.1283.93 jjj
MLcd eeejXIjXIU В,
33.1643.164
21 3.37433.9 jj
df eeRIU В,
3.1793.164
242 1.36)17/3(33.9)( jj
Cfk ejejXRIU В,
328.20
133 1.4.80)15.18.5(6.13)( jj
Cck ejejXRIU В.
За результатами розрахунків будуємо сумісну топографіч-
ну діаграму напруг та векторну діаграму струмів (рис. 7.11).
Рисунок 7.11
Розрахуємо баланс потужності.
Розрахуємо потужність генератора
214122804.312723.8380 2.432.6320*
1 jeeeIUS jjj
Отже, активна потужність 2280P Вт, а реактивна
2141Q ВАр.
При обчисленні потужності споживача необхідно враховувати
також потужність, що обумовлена взаємоіндукцією.
Розрахуємо потужність взаємоіндукції
103
2.63903..164*
12
*
1.1 23.86.1533.9 jjj
MbcMM eeeIXjIIUS
6.23011751198 1.11 je j ,
3.164902.63*
21
*
2.2 33.96.1523.8 jjj
McdMM eeeIXjIIUS
6.2306.11751198 1.191 je j ,
Обчислимо потужність споживачів елементів
1
2
33
2
22
2
24
2
22
2
21
2
11
2
11
2
1 CCLLCП jXIRIjXIRIRIjXIjXIRIS
Обчислимо загальну потужність
)6.2306.1175()6.2301175(2.2602228521. jjjSSSS MMСПСПЗАГ
214122851198 1.191 je j .
Отже, активна потужність споживача 2285СПP Вт, а ре-
активна – 2141СПQ ВАр. Оскільки активна та реактивна по-
тужності споживача та генератора рівні між собою, то баланс
потужності збігся і можна вважати, що розрахунок кола викона-
ний з достатньою точністю.
8 КОМПЛЕКСНИЙ РОЗРАХУНОК КІЛ ГАРМОНІЧНОГО
СТРУМУ
Приклад 8.1 Коло, що зображене на рис. 8.1, має парамет-
ри, що подані у таблиці 83.1. Необхідно розрахувати всі струми
у гілках кола методом законів Кірхгофа, методом контурних
струмів та методом вузлових потенціалів, розрахувати баланс
потужності та побудувати векторні діаграми струмів та напруг.
Таблиця 8.1
1Е
м В 3Е
м В
1
град 3
град
1R
Ом 2R
Ом 3R
Ом
1L
мГн 2L
мГ
н
3L
мГн
4L
мГ
н
70 90 60 -100 75 10
0
50 32 32 64 32
М23 мГн М24 мГн 1С мкФ 3С мкФ F Гц
15 10 4 2 300
.2.260222857.2128.1072871.3222.3485.81020329.541 jjjjj
104
L3
L2
L1
L4 R3
R2
E3
E1
C3
C1
A
V
W
M23 M24
R1
1
Рисунок 8.1 – Вихідна схема
Розв’язання
Оберемо напрямки протікання струмів у гілках схеми, що
зображена на рис. 8.1 та оберемо напрямки обходу контурів
(рис. 8.2)
L3
L2
L1
L4 R3
R2
E3
E1
C3
C1
A
V
W
M23 M24
i1 i3
i2
1 контур
2 контур
R1
1
Рисунок 8.2 – Схема для розрахунку струмів
за законами Кірхгофа
Знаки перед опором взаємної індукції обираються у відпо-
відності до напряму струмів у котушках індуктивності. Так,
струм 1i входить у початок L4, а струм 2i – у кінець L2, тобто по
відношенню до струму 1i котушки L4 та L2 ввімкнені зустрічно,
105
тому перед опором взаємної індукції обраний від’ємний знак.
Струм 3i входить у початок котушки L3, тобто по відношенню
до струму 1i котушки L2 та L3 ввімкнені зустрічно, тому перед
опором взаємної індукції обраний додатний знак.
Складемо систему рівнянь в інтегрально-диференціальній
формі за законами Кірхгофа
.)(1
,1
,
31
243
232
2223
3
223
3333
13
231
242
2221
12
241
4111
1
321
Edt
diM
dt
diM
dt
diLRidti
Cdt
diM
dt
diLRi
Еdt
diM
dt
diM
dt
diLRi
dt
diL
dt
diM
dt
diLRidti
C
iii
Складемо систему рівнянь за законами Кірхгофа у компле-
ксній формі
.)(1
,1
,
32412332222
3
32323333
12332412222112424111
1
1
321
EMjIMjILjIRICj
IMjILjIRI
EMjIMjILjIRILjIMjILjIRICj
I
III
Згідно з варіантом завдання розрахуємо значення джерел
jeeE
E jjm 866.42749.242
70
2
60.11
1 ,
jeeE
E jjm 673.62051.112
90
2
100.33
3 .
Обчислимо кругову частоту 310885.130022 F Гц.
Обчислимо опори гілок
jjCj
Z C 629.13210410885.1
1163
1
1
Ом,
jjCj
Z C 258.26510210885.1
1163
3
3
Ом,
jjLjZ L 319.60103210885.1 33
11 Ом,
106
jjLjZ L 319.60103210885.1 33
22 Ом,
jjLjZ L 637.120106410885.1 33
33 Ом,
jjLjZ L 319.60103210885.1 33
44 Ом,
jjMjZ M 274.28101510885.1 33
2323 Ом,
jjMjZ M 85.18101010885.1 33
2424 Ом.
Підставимо дані у систему рівняннь у комплексній формі
.)(
,
,
32412332222332323333
1233241222211242411111
321
EZIZIZIRIZIZIZIRI
EZIZIZIRIZIZIZIRIZI
III
MMLCML
MMLLMLC
Підставимо числові дані в систему
.672.62051.11)85.18274.28319.60100(
258.265274.28.637.12050
,866.42749.24274.2885.18319.60
100637.12085.18319.6075629.132
,
1322
3233
312
212111
321
jjIjIjII
jIjIIjI
jIIjI
IIjIIjIIj
III
Розрахувавши систему за допомогою пакета MathCad
отримаємо:
.196.0185.0065.0
,387.0334.0196.0
,301.015.0261.0
434.109
3
415.120
2
212.150
1
j
j
j
ejI
ejI
ejI
Складемо систему рівнянь за методом контурних струмів.
Виберемо напрямки проходження контурних струмів у контурах
(рис. 8.3).
107
L3
L2
L1
L4 R3
R2
E3
E1
C3
C1
A
V
W
M23 M24
i1 i3
i2
І11
І22
R1
1
Рисунок 8.3 - Схема для розрахунку струмів за МКС
Складемо систему рівнянь за методом контурних струмів:
.
,
322222111
112221111
ЕZIZI
ЕZIZI
Запишемо повний опір першого контура
.628.1017521
2422141
1
11 jMjLjRLjLjRCj
Z
Запишемо загальний опір двох контурів
jMjMjLjRZZ 743.691002423222112 .
Запишемо повний опір другого контура
2322
3
3322 21
MjRLjCj
LjRZ
j754.27150 .
Підставимо числові значення в систему рівнянь
.673.62051.11)754.27150()743.69100(
,866.42749.24)743.69100()628.10175(
2211
2211
jjIjI
jjIjI
Розрахувавши систему за допомогою пакета MathCad,
отримаємо:
..196.0185.0065.0
,301.015.0261.0
434.109
22
212.150
11
j
j
ejI
ejI
Знайдемо струми у гілках кола
108
.196.0185.0065.0
,387.0334.0196.0
,301.015.0261.0
434.109
3
415.120
2
212.150
1
j
j
j
ejI
ejI
ejI
Розрахуємо покази амперметра, вольтметра, ватметра. Ам-
перметр буде показувати струм 3I , отже: 434.109
3 196.0185.0065.0 jejI А.
Амперметр покаже 0.196 А. Напруга між точками підклю-
чення вольтметра
,
де
jRIUR 217.11596.19221 В,
jMLjIUL 758.15024.9)( 24422 В.
Підставимо числові значення 827.116265.78842.69321.35 j
V ejU В.
Вольтметр покаже 78.265 B. Ватметр буде показувати реа-
льну частину добутку відповідних струму та напруги:
)(*
2IUP WW .
Обчислимо напругу між точками підключення ватметра
(рис. 8.4)
)( 2414111 MLLW ZZZIRIU
596.96064.38812.37372.4 jej В.
Струм *
2I беремо комплексно-спряженим зі струмом 2I
jI 334.0196.0*
2 А.
Обчислимо потужність ватметра:
)334.0196.0()812.37372.4( jjPW
819.23748.14956.5492.13 jej .
Отже, ватметр покаже 14.748 Вт.
121 EUUU LR
109
L3
L2
L1
L4 R3
R2
E3
E1
C3
C1
A
V
W
M23 M24
i1 i3
i2
R1
1
UW
IW
UV
Рисунок 8.4
Побудуємо векторну діаграму струмів, використовуючи
розраховані значення струмів у гілках:
.196.0185.0065.0
,387.0334.0196.0
,301.015.0261.0
434.109
3
415.120
2
212.150
1
j
j
j
ejI
ejI
ejI
Побудуємо за допомогою математичного пакета MathCAD
векторну діаграму струмів (рис. 8.5).
I1
I2
I3
Im(I)
Re(I)
Im(I)
Рисунок 8.5 - Векторна діаграма струмів
Для побудови топографічної векторної діаграми напруг ро-
зрахуємо напруги у першому контурі схеми, що зображена на
рис. 8.6.
110
L3
L2
L1
L4 R3
R2
E3
E1
C3
C1
A
V
W
M23 M24
i1 i3
i2
R1
1
IW
U1
UL4
UL1
UR2
UC1
UL2 1 контур
А
В
Рисунок 8.6 - Напруга у першому контурі
Розрахуємо напруги у 1-му контурі
75)15.0261.0(111 jRIU
212.50.1579.22217.11596.19 jej В,
,336.12063.12723.285.18)334.0196.0(
319.60)15.0261.0(
279.77
242414
Bejjj
jjZIZIU
j
MLL
jjZIU LL 319.60)061.0332.0(111
,159.1876.15021.9 212.60 Bej j
100)334.0196.0(222 jRIU
415.120746.38414.33615.19 jej В,
,116.23065.5554.22274.28)185.0065.0(
85.18)15.0261.0(319.60)334.0196.0(
658.12
233241222
Bejjj
jjjjZIZIZIU
j
MMLL
,929.39653.34836.19)629.132()15.0261.0( 788.119
111 BejjjZIU j
CC
Побудуємо топографічну векторну діаграму напруг (рис.
10.7), вибравши обхід 1-го контура, як зазначено на рис. 8.7.
111
U1
UL4
UL3
U2
UL2
UC1
E1
Im(U)
Рисунок 8.7 - Топографічна векторна діаграма напруг
Для побудови топографічної векторної діаграми напруг ро-
зрахуємо напруги у 2-му контурі схеми, що зображена на рис.
8.8.
L3
L2
L1
L4 R3
R2
E3
E1
C3
C1
A
V
W
M23 M24
i1 i3
i2
R1
1
IW
U3
UL3
UR2
UC3
UL2
2 контур
А
В Рисунок 8.8 - Напруга у другому контурі
Розрахуємо напруги у 2-му контурі
50)194.0115.0(333 jRIU
669.12841.12689.9754.7 jej В,
112
,52.33702.13591.30274.28)255.0177.0(
637.120)194.0115.0(
873.155
232333
Bejjj
jjZIZIU
j
MLL
,057.31515.25707.17100)255.0177.0( 76.124
222 BejjRIU j
,713.19035.0712.19274.28)194.0155.0(
85.18)061.0332.0(319.60)255.0177.0(
101.0
233241222
Bejjj
jjjjZIZIZIU
j
MMLL
)258.265()194.0155.0(333 jjZIU CC
Bej j 669.38836.65136.41402.51 .
Побудуємо топографічну векторну діаграму напруг (рис.
7.8), вибравши обхід 2-го контура, як зазначено на рис. 8.9.
Рисунок 8.9 - Топографічна векторна діаграма напруг
Оскільки сума напруг у контурі дорівнює нулю, як видно з
топографічної векторної діаграми, отже, розрахунки здійснені
правильно, оскільки діаграма ілюструє виконання другого зако-
ну Кірхгофа у 2-му контурі.
Зобразимо на рис. 8.10 сумісну векторну діаграму струмів
та топографічну векторну діаграму напруг, причому струми на
діаграмі збільшимо у 100 разів.
113
Рисунок 8.10 - Суміщена топографічна векторна діаграма
струмів та напруг у 2-му контурі
Побудуємо векторну діаграму гілок відносно точок АВ
(рис. 8.7). Для цього розрахуємо напруги гілок відносно точок
АВ.
Напруга першої гілки
11411 EUUUUU LLCAB
368.94592.38479.38939.2 jej В.
Напруга другої гілки 632.85
221 592.38479.38939.2 j
LAB ejUUU В.
Напруга третьої гілки 632.85
32332 592.38479.38939.2 j
CLAB ejUUUEU В.
За розрахованими даними побудуємо векторні діаграми
напруг (рис. 7.10).
U3
UL3
UC3
UL2
U2
E3
I1
I2
I3
Re(I,U)
Im(I,U)
114
Im(U)
Re(U)
Рисунок 8.11 - Векторна діаграма напруг відносно точок АВ
Розрахунок кола методом двох вузлів без індуктивних
зв’язків. Перетворимо схему, що зображена на рис. 8.11, відки-
даючи індуктивні зв’язки між котушками та замінюючи магнітні
зв’язки. Якщо індуктивно-зв’язані котушки увімкнені у вузол
однойменними затискачами (початками або кінцями), то в третю
гілку потрібно увімкнути котушку з М, а від індуктивностей са-
мих котушок відняти по М, а якщо індуктивно-зв’язані котушки
увімкнені у вузол різнойменними затискачами – в третю гілку
потрібно увімкнути котушку з -М, а до індуктивностей самих
котушок додати М. Зобразимо схему одержаного кола (рис.
8.12).
L3+M23
L2-M24+M23
L1
L4-M24 R3
R2
E3
E1
C3
C1
A
V
W
i1 i3
i2
R1
1
M24 -M23
Рисунок 8.12 - Схема для розрахунку методом двох вузлів
115
Позначимо у схемі два вузли та пронумеруємо гілки (рис.
8.13). Потенціал нульового вузла візьмемо за нуль (φ0=0).
L3+M23
L2-M24+M23
L1
L4-M24 R3
R2
E3
E1
C3
C1
A
V
W
i1 i3
i2
R1
1
M24 -M23
0
1
φ0
φ1
Гілка 1
Гілка 2
Гілка 3
Рисунок 8.13 - Схема для розрахунку методом двох вузлів
Розрахуємо опори гілок.
Опір 1-ї гілки визначається як
jMLMLjXRZ C 116.5975)( 231244111 Ом.
Опір 2-ї гілки визначається
jMMLjRZ 743.69100)( 2324222 Ом.
Опір 3-ї гілки визначається як
jMLMjXRZ C 497.9750)( 23324333 Ом.
Розрахуємо провідності гілок як
jjZ
Y 33
1
1 10482.610224.8116.5975
11
Сім,
jjZ
Y 33
2
2 10692.410728.6743.69100
11
Сім,
jjZ
Y 33
3
3 10121.810165.4497.9750
11
Сім.
Оскільки всі три гілки під’єднані до вузлів 0 та 1 парале-
льно, то знайдемо загальну провідність, додавши провідності
всіх вузлів
jYYYY 3
321 10911.9019.0 Сім.
116
Знаходимо струми у гілках, де стоять джерела ЕРС,
jYEI 513.0074.01111 А,
jYEI 351.0463.03333 А.
Складемо рівняння на основі методу двох вузлів, причому
якщо струм входить у вузол, то його беремо зі знаком «+», якщо
виходить із вузла, то його беремо зі знаком «-».
33111 IIY
З рівняння знаходимо
j
jj
Y
II3
33111
10911.9019.0
)351.0463.0(513.0074.0
j095.47689.3 В.
Розрахуємо струми у гілках схеми, що зображена на рис. 8.2
j
jj
Z
EI
116.5975
)095.47689.3()866.42749.24(
1
111
j15.0261.0 А,
jj
j
ZI 334.0196.0
743.69100
)095.47689.3(00
2
12
А,
j
jj
Z
EI
497.9750
)095.47689.3()673.62051.11(
3
133
j185.0065.0 А.
Складемо порівняльну таблицю розрахунків струмів у
трьох гілках схеми за методом законів Кірхгофа, методом кон-
турних струмів та методом вузлових потенціалів (табл. 8.2).
Таблиця 8.2 - Порівняння результатів розрахунків різними ме-
тодами
Метод розрахунків Розраховані струми
I1 I2 I3
МЗК -0.261-0.15j -0.196-0.334j -0.065+0.185j
МКС -0.261-0.15j -0.196-0.334j -0.065+0.185j
МВП -0.261-0.15j -0.196-0.334j -0.065+0.185j
117
Розрахуємо потужності для споживачів
jZIZIZISСПОЖ 438.7726.233
2
32
2
21
2
1 ВА.
Отже,
ВтPСПОЖ 726.23 , ВарQСПОЖ 438.7 .
Здійснимо окремо розрахунок активної та реактивної по-
тужностей споживачів. Розрахуємо активну потужність спожи-
вача
.726.23185.0065.050334.0196.0100
15.0216.075
22
22
33
2
22
2
11
Втjj
jIRIRIRPСПОЖ
Розрахуємо реактивну потужність споживача
ВарIC
MLIMML
IC
MLLIXXX
IXXXIXXXXQ
CML
MMLCMLLСПОЖ
438.7)1
()(
)1
()(
)()(
2
3
3
233
2
223242
2
1
1
2441
2
33233
2
223242
2
112441
Розрахуємо потужності для джерел:
jEIEIS ДЖ 438.7726.233311 ВА, де
*
1I та *
3I – це комплексно-спряжені струми.
Отже,
ВтPДЖ 726.23 , ВарQДЖ 438.7 .
Оскільки ДЖСПОЖ SS , то баланс потужності виконується,
отже розрахунки здійснені правильно.
Приклад 8.2. Розрахувати електричне коло гармонічного
струму різними методами (рис. 8.14). Коло має такі номінали:
101 R Ом, 242 R Ом, 153 R Ом, 1.191 L мГн,
5.633 L мГн, 4552 C мкФ, 120U В, 50f Гц. Визначити
струми у гілках кола, скласти баланс потужності та побудувати
векторну діаграму струмів, суміщену із топографічною діагра-
мою напруг.
118
Рисунок 8.14
Розв’язання
Розв’яжемо задачу методом перетворень.
Визначимо кутову частоту 3145022 f
Визначимо опори гілок кола у комплексній формі
610101.1931410 3
111 jjLjRZ
31)10/6(22 6.11610 jjarctg ee .
6
2
2210455314
124
1
C
jRZ
511625724 jej .
3
333 105.6331415 jLjRZ 553252015 jej .
Якщо початкова фаза напруги не задана, то 120UU .
Визначимо повний опір кола
1339
)2015)(724(610
32
321
j
jjj
ZZ
ZZZZ
55237.268.104.24 jej .
Визначимо значення струму у колі
5523
55231 5.47.26
120
j
je
eZ
UI .
Струми у паралельних гілках визначаються
54105523
32
312 74.2
1339
20155.4
jj e
j
je
ZZ
ZII .
53585523
32
213 74.2
1339
7245.4
jj e
j
je
ZZ
ZII .
119
Визначимо струми у гілках методом контурних струмів
(рис. 8.15)
Рисунок 8.15
Розв’язання
Складемо систему рівнянь
.0)()(
;)()(
33222211
22221111
LjRC
jRI
C
jRI
UC
jRI
C
jRLjRI
Підставимо числові значення
.0)1439()724(
;120)724()134(
2211
2211
jIjI
jIjI
Розв’яжемо систему методом Крамера. Знайдемо визнач-
ники
)1339()34(
1339724
72434jj
jj
jj
3.421098739812)724())724( jejjj ;
.493315604680120)1339(13390
7241204.18
1
jejj
j
j
.30008402880120)724(0724
1203426.16
2
jejj
j
j
Знайдемо значення струму у гілках
82.11.45.41098
4933 9.23
3.42
4.18
1111 je
e
eII j
j
j
;
120
3.2424.173.21098
300 56.58
3.42
26.16
2223 je
e
eII j
j
j
;
)3.2424.1()82.11.4(22112 jjIII 77.1073.251.0676.2 jej .
Перевіримо баланс потужності. Визначимо комплексну
потужність усього кола
218494))5523sin()5523(cos(5405405.4120 55.235523*jjeeIUS j
Звідси 494P Вт, 218Q вар.
Значення активної та реактивної потужностей 2222
33
2
22
2
11 73.21573.2245.410 IRIRIRP
494112180202 Вт. 2222
33
2
22
2
11 73.21573.2245.410 IXIXIXQ
5.2191505.52122 Вт.
Побудуємо векторну діаграму струмів та суміщену потен-
ціальну діаграму потенціалів (рис. 8.16).
Рисунок 8.16
Визначимо потенціали точок:
035
32
21 4.68
j
bcbcb eZZ
ZIZU ;
51795410
2 18.19)7(74.2)( jj
Cece ejejXIU ; 52315358
33 8.54)20(74.2)( jj
Lfcf ejejXIU ;
1.18795.44.68 55233055
11 jeejXI jj
Lbd ;
13.014.12011 jRIda ;
121
9 ЗАДАЧІ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ’ЯЗАННЯ
9.1 Основні задачі
Задача 9.1 Визначити параметри синусоїдального струму
, , , , який є сумою струмів та . Побуду-
вати векторну діаграму струму . Значення струмів
а) А, а ;
б) А, а А;
в) А, а А.
Задача 9.2 Визначити параметри синусоїдальної напругу
, , , , , яка є сумою напруг та . Побуду-
вати векторну діаграму напруги . Значення напруги
а) А, а ;
б) А, а ;
в) А, а ;
Задача 9.3 Для наведеної схеми
(рис. 9.1) значення джерел струму ви-
значаються виразами
,
. Які бу-
дуть показання приладів за умови
, ? За
яким зсувом фаз вольтметр
покаже 220В?
Рисунок 9.1
e1(t)
e2(t)
V
122
Задача 9.4. Знайти
амплітуду і початкову фазу
напруги для кола (рис.
9.2), якщо
,
Рисунок 9.2
Задача 9.5. Знайти амплітуду та початкову фазу для
кола (рис. 9.3), якщо ,
, а вольтметр
показує діюче значення В (всі напруги у вольтах). Опо-
ри , активні.
Рисунок 9.3
123
Задача 9.6. Знайти амплітуду та початкову фазу струму
джерела струму на вході паралельно з’єднаних елементів
для кола (рис. 9.4), якщо мА,
мА, мА, а
амперметр А показує діюче значення струму мА. Опори
, активні.
Рисунок 9.4
Задача 9.7. Знайти зна-
чення напруги , якщо на
зовнішніх затискачах активного
багатополюсника (рис. 9.5) ви-
значена напруга
,
,
.
Рисунок 9.5
Задача 9.8. Визначити
діюче значення заданого пері-
одичного струму (рис. 9.6),
якщо відомі , , .
Рисунок 9.6
i(t)
t t1 t2
at
T
u34(t) u16(t)
2
3 1
4 5
6
124
Задача 9.9. Визначити діюче
значення заданого періодичного
струму (рис. 9.7) та обчислити його,
якщо відомі мкс, мкс,
мА. У межах від 0 до фу-
нкція струму є прямою лінією. Рисунок 9.7
Задача 9.10. Визначити діюче
значення заданого періодичного
струму (рис. 9.8) та обчислити його,
якщо відомі мкс, мкс,
мА. У межах від 0 до фун-
кція струму є прямою лінією.
Рисунок 9.8
Задача 9.11. Визначити діюче значення заданого періоди-
чного струму (рис. 9.9) та обчислити його, якщо відомі
мкс, мкс, мА. У межах від 0 до та від до
функція струму є прямою лінією.
Рисунок 9.9
Im i(t)
t1 T t
Im i(t)
t1 T t
Im
i(t)
t1 T t 2t1
125
Задача 9.12. Періодична на-
пруга має вигляд прямокутних
імпульсів з тривалістю мкс
та амплітудним значенням
В. Визначити такий період , щоб
діюче значення цієї напруги дорів-
нювало 3В. Графік цієї напруги на-
ведений на рис. 9.10.
Рисунок 9.10
Задача 9.13. Котушка індуктивності під’єднується спочат-
ку до джерела постійної напруги 100В, а потім до джерела сину-
соїдальної напруги 100 В з частотою 50 Гц. У першому випадку
амперметр, під’єднаний до котушки, показав струм 5А, а у дру-
гому – 2А. Визначити індуктивність котушки, вважаючи, що її
активний опір від частоти не залежить. В умові наведені діючі
значення струму та напруги.
Задача 9.14. Вхідна провідність на частоті дорівнює
мСм. На вході пасивного двополюсника напруга
, В. Визначити струм на вході
цього двополюсника та активну і реактивну потужності, які він
споживає. Вказати розмірності розрахованих величин.
Задача 9.15. Коло складається з послідовно з’єднаних опо-
ру та індуктивності. Вхідна провідність кола на частоті
МГц дорівнює мСм. Визначити величину
опору та ємності , а також повний опір на вході цього
кола та його фазу.
Задача 9.16. Коло складається з паралельно з’єднаних
опора та індуктивності. Вхідний опір кола на частоті
дорівнює кОм. Визначити величину опора
та індуктивності , а також модуль вхідної провідності
цього кола та його фазу.
t
Um
u(t)
t1 T
126
Задача 9.17. На вході пасивного двополюсника напруга та
струм визначаються виразами В,
мА. Знайти активну та реактивну потуж-
ності, що споживається двополюсником. Накресліть його послі-
довну та паралельну схеми заміщення та визначити їх парамет-
ри, якщо .
Задача 9.18. На вході пасивного двополюсника струм ви-
значається за виразом мА. Вхідний
опір на робочій частоті дорівнює кОм.
Накреслити його паралельну схему заміщення, визначити її па-
раметри та знайти напругу на вході .
Задача 9.19. На вході пасивного двополюсника у гармоні-
чному режимі амплітуда напруги 10В, амплітуда струму 2.5 мА.
Кут зсуву фаз між цими напругами та струмом становить .
Визначити величину комплексного вхідного опору цього двопо-
люсника та його діючу складову. Визначити активну потуж-
ність, що споживається двополюсником.
Задача 9.20. На вході пасивного двополюсника напруга
, В. Вхідна провідність на частоті
дорівнює мСм. Визначити струм
на вході цього двополюсника, параметри його елементів та
намалювати послідовну схему заміщення. Визначити активну і
реактивну потужності, які він споживає. Вказати розмірності
розрахованих величин.
Задача 9.21. На вході пасивного двополюсника напруга
, В. Вхідний опір на частоті
дорівнює кОм. Визначити струм на вхо-
ді цього двополюсника, параметри його елементів та намалюва-
ти паралельну схему заміщення. Визначити активну і реактивну
потужності, які він споживає. Зазначити розмірності розрахова-
них величин.
127
Задача 9.22. На вході пасивного двополюсника напруга та
струм визначаються виразами В,
мА. Знайти активну та реактивну поту-
жності, що споживаються двополюсником. Накреслити його по-
слідовну схему заміщення та визначити її параметри, якщо
.
Задача 9.23. На вході пасивного двополюсника напруга та
струм визначаються виразами В,
мА. Знайти активну та реактивну поту-
жності, що споживаються двополюсником. Накреслити його по-
слідовну схему заміщення та визначити її параметри, якщо
.
Задача 9.24. На вході пасивного двополюсника напруга та
струм визначаються виразами В,
мА. Знайти вхідний опір та провідність,
активну та реактивну потужності, що споживаються двополюс-
ником. Накреслити його послідовну схему заміщення та визна-
чити її параметри, якщо .
Задача 9.25. На вході пасивного двополюсника напруга
В. Вхідний опір на частоті
дорівнює кОм. Визначити струм )(ti на
вході цього двополюсника, параметри його елементів та на кре-
слити послідовну схему заміщення. Визначити активну і реак-
тивну потужності, які він споживає. Назвати розмірності розра-
хованих величин.
Задача 9.26. Доброт-
ність RC-кола (рис. 9.11) на
відомій частоті дорівнює
4. На вході цього кола дію-
чі значення напруги та
струму дорівнюють відпо-
відно 20 В та 10 мА. Знайти
та .
Рисунок 9.11
128
Задача 9.27. Активний опір RC-кола (рис. 9.11) на відомій
частоті дорівнює 3кОм. На вході цього кола діючі значення
напруги та струму дорівнюють відповідно 50 В та 10 мА. Знайти
опір та коефіцієнт потужності. Зазначити розмірності знай-
дених величин.
Задача 9.28. Доброт-
ність RL-кола (рис. 9.12) на
відомій частоті дорівнює 4.
На вході цього кола діючі
значення напруги та струму
дорівнюють відповідно 20 В
та 5 мА. Знайти опори та
.
Рисунок 9.12
Задача 9.29. Активний опір RL-кола (рис. 9.12) на відомій
частоті дорівнює 3кОм. На вході цього кола діючі значення
напруги та струму дорівнюють відповідно 50 В та 10 мА. Знайти
опір та коефіцієнт потужності. Зазначити розмірності знай-
дених величин.
Задача 9.30. Добротність RL-кола (рис. 9.12) на відомій
частоті дорівнює . На вході цього кола діючі значення на-
пруги та струму дорівнюють відповідно 10 В та 2 мА. Знайти
опори та .
Задача 9.31. У колі (рис. 9.13)
усталений синусоїдний режим. Абсо-
лютні значення опорів усіх елементів
становлять 10. Визначити повний вхі-
дний опір та повну вихідну провід-
ність, визначити струм , якщо
. Побудувати якісно векто-
рну діаграму.
Рисунок 9.13
129
Задача 9.32. Коло (рис.
9.14) працює в усталеному
гармонічному режимі на
частоті . На цій частоті
Ом. Показання
вольтметрів В,
В, В. Визначити по-
казання вольтметра .
Рисунок 9.14
Задача 9.33. Коло (рис. 9.15)
працює в усталеному гармонічному
режимі на частоті та має такі па-
раметри джерел напруги:
В,
В.
Які покази вольтметру при
– , якщо .
Рисунок 9.15
Задача 9.34. Коло (рис. 9.16)
працює в усталеному гармонічному
режимі на частоті і має такі пара-
метри джерел напруги
В,
В. Які
покази вольтметра при
– , якщо Рисунок 9.16
e1(t)
V e2(t
) R1
L1
C1
e1(t)
V e2(t)
R1
L1
C1
R1 V
L1 C1
C2
L2
V1 V2
V3
E1
130
Задача 9.35. Напруга на вході кола (рис.
9.17) на частоті с-1
визначається як
В. Яка повинна бу-
ти величина індуктивності , щоб реактивна
потужність на ній дорівнювала за величиною
потужності на опорі кОм. Чому будуть
дорівнювати для цього випадку ці потужнос-
ті?
Рисунок 9.17
Задача 9.36. Струм на
вході кола (рис. 9.18) на частоті
с-1
визначається виразом
мА.
Знайти напругу та показан-
ня вольтметра, якщо мГн,
кОм.
Рисунок 9.18
Задача 9.37. Напруга на індуктивності кола (рис. 9.18) на
частоті с-1
визначається за виразом
В. Знайти струм та показання
амперметра, якщо мГн, кОм.
Задача 9.38. Коло (рис. 9.18) працює в усталеному гармо-
нічному режимі. Амплітуди струмів в опорі та індуктивності
однакові та дорівнюють 5мА. Визначити показання амперметра
та амплітуду напруги
, якщо мГн, кОм.
Задача 9.39. Струм на вході
кола (рис. 9.19) на частоті
с-1
визначається за вира-
зом мА.
Знайти напругу та показання
вольтметра, якщо нФ,
кОм.
Рисунок 9.19
e(t) R
L
V e(t)
i(t
)
R L
A
V
131
Задача 9.40. Напруга на ємності кола (рис. 9.19) на частоті
с-1
визначається виразом В.
Знайти струм та показання амперметра, якщо нФ,
кОм.
Задача 9.41. Коло (рис. 9.19) працює в усталеному гармо-
нічному режимі. Амплітуди струмів в опорі та ємності однакові
та дорівнюють 10мА. Визначити показання амперметра та амп-
літуду напруги
, якщо нФ, кОм.
Задача 9.42. Знайти вхідний опір
кола (рис. 9.20) на частоті с-1
Яка
буде початкова фаза вхідного струму,
якщо на вхід подати напругу
В, якщо
мГн, нФ, кОм.
Рисунок 9.20
Задача 9.43. Знайти діюче зна-
чення струму та струм у джерелі на-
пруги мА на час-
тоті с-1
для кола (рис. 9.21),
якщо мГн, нФ, кОм.
Рисунок 9.21
Задача 9.44. Знайти вхідний опір
кола (рис. 9.22) на частоті с-1
.
Яка буде початкова фаза вхідного стру-
му, якщо на вхід подати напругу
В, якщо
мГн, нФ, кОм.
Рисунок 9.22
L
e(t) R C
L e(t)
R C
L e(t)
R C
132
Задача 9.45. Знайти струм та на-
пруги гілок для кола (рис. 9.23), якщо
на вхід подати напругу
В із номі-
налами елементів кола Гн,
Ф, Ом, Ом.
Рисунок 9.23
Задача 9.46. Визначити вхідний опір кола (рис. 9.24) та
струм , якщо кОм, кОм, =1 кОм,
кОм, кОм, кОм.
Рисунок 9.24
Задача 9.47. Коло (рис. 9.25) не мі-
стить Z незалежні джерела. Матриця
опорів для метода контурних струмів цієї
схеми симетрична відносно головної діа-
гоналі. Напруги та є гармоні-
чними функціями однієї частоти. Рисунок 9.25
Якщо В, а , то мА. Чому
буде дорівнювати струм , якщо , а В.
L e(t)
R1 C
R2
Z E1 E2
I1 I2
133
Задача 9.48. Визначити вхідний опір кола (рис. 9.26) та всі
струми та напруги, якщо кОм,
кОм, кОм, кОм, кОм,
В.
Рисунок 9.26
Задача 9.49. Величина джерела струму
мА у колі (рис. 9.27). Абсолютні зна-
чення опорів всіх реактивних елементів дорівнюють 0.5 кОм.
Знайти показання приладів.
Рисунок 9.27
А1
А3
V
А2
А1
1
L2 C2
R3
R2 R1
J(t)
L1 C1
134
Задача 9.50*. Для лінійної системи, що містить елементи
R(g), L, C та ДСКН за методом вузлових напруг складена мат-
риця провідностей (p=jω). Ваги елементів підібрані таким чи-
ном, що провідності – мСм, індуктивності – мГн, ємності – нФ.
Намалювати можливий варіант схеми та вказати номінали еле-
ментів.
Матриця провідностей
Задача 9.51. Знайти вхідний опір
кола (рис. 9.28) та записати систему
рівнянь на основі методу контурних
струмів. Замінити магнітні зв’язки ке-
рованими джерелами. Записати систе-
му рівнянь.
Рисунок 9.28
Задача 9.52. Знайти вхі-
дний опір кола (рис. 9.29)
та записати систему рівнянь
на основі методу контурних
струмів. Замінити магнітні
зв’язки керованими джерела-
ми. Записати систему рівнянь.
Рисунок 9.29
* *
* *
*
*
135
Задача 9.53. Знайти зсув фа-
зи між струмом та напругою у ко-
лі (рис. 9.30) на частоті
Коло має такі параметри елемен-
тів , ,
взаємо-
індукція .
Рисунок 9.30
Задача 9.54. Для заданого
кола із однаковими котушками
(рис. 9.31) споживана активна по-
тужність становить .
Струм та напруга у колі станов-
лять
Рисунок 9.31
Частота джерела напруги становить Гц. Знайти парамет-
ри елементів кола , , , ,
2.2.2 Додаткові задачі
Задача 9.55. Графік на-
пруги наведений
на рис. 9.32. За зазначеною
різницею фаз
та заданих умовах =10 В,
, , знайти , , , , ,
та побудувати векторну діаг-
раму та .
Рисунок 9.32
Задача 9.56. На рис. 9.32 наведений графік потужності
побудувати графіки , , .
t1 t2 0
f(t)
t
136
Задача 9.57. У колі гармонічного струму через індуктив-
ність мГн струм визначається виразом
. Знайти .
Задача 9.58. У колі гармонічного струму струм через єм-
ність пФ визначається виразом .
Знайти напругу .
Задача 9.59. У колі гармонічного струму модуль опору на
індуктивності 1 Ом напруга визначається виразом
. Знайти струм та індуктивність .
Задача 9.60. У колі гармонічного струму модуль опору на
ємності 1 Ом струм визначається виразом
. Знайти напругу та ємність .
Задача 9.61. У колі гармонічного струму через індуктив-
ність мГн напруга визначається виразом
. Знайти струм .
Задача 9.62. У колі гармонічного струму через ємність
пФ напруга визначається виразом
. Знайти струм .
Задача 9.63. Потокозчеп-
лення індуктивного елемента
задане графічно (рис. 9.33), індук-
тивність Гн. Визначити за-
кони зміни напруги та струму,
побудувати діаграми їх миттєвих
значень. Рисунок 9.33
Задача 9.64. Графік струму
через ємність заданий графіч-
но (рис. 9.34), ємність мкФ.
Визначити закони зміни напруги
та побудувати його графік, якщо
.
Рисунок 9.34
i(t)
t 0
8
-4
1
2 3 4
t,с
ψ(t), Вб
2
1 2 4
137
Задача 9.65. Коло складається із паралельно з’єднаних
опора з провідністю мСм та індуктивністю мГн
на частоті с-1
Знайти повний вихідний опір та провід-
ність.
Задача 9.66. Якісно побудува-
ти векторну діаграму для кола (рис.
9.35).
Рисунок 9.35
Задача 9.67. У колі (рис. 9.35) усталений гармонічний ре-
жим. Абсолютні значення опорів всіх елементів становить 10.
Активна потужність Вт. Визначити всі струми у колі,
комплексну вхідну напругу та активну, реактивну і повну поту-
жності.
Задача 9.68. Котушка з активним опором Ом, ін-
дуктивності Гн підключена до джерела гармонічної
напруги, діюче значення якої В, а частота Гц.
Визначити повний опір катушки, струм зсуву фаз між напругою
та струмом, активну, реактивну і повну потужності.
Задача 9.69. Для визначення актив-
ного пору та індуктивності катушки у
коло змінного струму з частотою
Гц підключені вольтметр, амперметр
та ватметр (рис. 9.36). Прилади дали такі
показання В, А, Вт.
Визначити активний опір та індуктив-
ність катушки.
Рисунок 9.36
L I1
C
I2
I
138
Задача 9.70. За показаннями трьох
вольтметрів, що ввімкнені у коло (рис. 9.37)
визначити потужність, що витрачається у
індуктивній котушці , , якщо Ом,
а показання приладів В, В,
В. Побудувати векторну діаграму
напруг.
Рисунок 9.37
Задача 9.71. Індуктивна катушка, па-
раметри якої Ом, мкГн та
конденсатор з втратами, еквівалентні пара-
метри якого Ом, мкФ,
з’єднані послідовно (рис. 9.38). Яка напруга
прикладена до кола, якщо амперметр по-
казав А? Частота змінного
Рисунок 9.38
струму кГц. Визначити добротності конденсатора та ка-
тушки, напругу на катушці та конденсаторі с втратами
, потужність, що втрачається на кожному з цих елементів.
Побудувати векторну діаграму напруги та струму.
Задача 9.72. Для визначення параметрів еквівалентної
схеми пасивного двополюсника АВ (рис. 9.39 а) виміряна на-
пруга В, струм А та потужність Вт. Для
визначення характеру еквівалентного реактивного опору цього
двополюсника послідовно з ним ввімкнули конденсатор (рис.
9.39 б). У цьому ж випадку при тій же прикладеній напрузі при-
бори показали А т а Вт. Частота змінного
струму кГц. Визначити параметри еквівалентної схеми
двополюсника.
Рисунок 9.39
139
Задача 9.73. Прилади, що підклю-
чені до пасивного двополюсника АВ
(рис. 9.40, ключ К розімкнений), пока-
зали В, А Вт.
Для визначення характера реактивного
опора двополюсника паралельно до
нього ввімкнули конденсатор (ключ К
замкнений), ємнісний
Рисунок 9.40
опір якого Ом, при цьому прибори показали
В, А Вт. Визначити еквівалентні параметри
двополюсник.
Задача 9.74. За показаннями при-
ладів, що ввімкнені у коло (рис. 9.41)
визначити струм, що протікає у нерозга-
луженій ділянці кола, опір кожної гілки
та повний опір кола. Замінити дане коло
еквівалентним послідовним
Рисунок 9.41
колом з , . Побудувати векторну діаграму, якщо
В, А, А, А. Побудувати векторну
діаграму напруг.
Задача 9.75. Для визначення па-
раметрів конденсатора з втратами йо-
го ввімкнули до джерела синусоїдаль-
ної напруги В,еквівалентної
схеми пасивного
Рисунок 9.42
двополюсника АВ (рис. 9.42 а) виміряна напруга В,
частотою кГц. При цьому амперметр показав струм
А, а ватметр – потужність мВт. Визначити ,
та , двох схем (рис. 2.46 б), еквівалентних до конденса-
тора з втратами. Чому дорівнює добротність конденсатора?
140
Задача 9.76. Комплексна напруга та струм пасивного дво-
полюсника дорівнюють В та А. Обчи-
слити комплексний опір та провідність. Які еквівалентні пара-
метри двополюсника? Визначити активну та реактивну складові
напруги та струму, активну, реактивну та повну потужності.
Побудувати векторну діаграму напруги та струмів.
Задача 9.77. Послідовно із котушкою,
параметри якої Ом, мГн,
ввімкнений активний опір Ом (рис.
9.43). Визначити напругу на котушці , її
зсув фаз по відношенню до прикладеної на-
пруги, а також потужність, що витрачається у
катушці. До кола прикладена напруга
В, частотою Гц. Побудувати
векторну діаграму напруг та струмів.
Рисунок 9.43
Задача 9.78. Послідовно з активним опором Ом
ввімкнена індуктивна катушка з опором Ом. Через ка-
тушку проходить струм А, а загальна напруга, що прикла-
дена до кола В. Частота струму кГц. Визначити
індуктивність катушки.
Задача 9.79. Яка напруга прикла-
дена до кола (рис. 9.44), якщо амперметр
показує струм А, а опори її еле-
ментів Ом, Ом,
Ом, Ом?
Рисунок 9.44
Задача 9.80. У колі (рис. 9.44) напруга В. Пара-
метри елементів кола такі Ом, мкФ, Ом,
мкФ, с-1
. Чому дорівнює напруга, що прикладена
до кола?
141
Задача 9.81. До напруги В
ввімкнені послідовно з’єднані катушка ін-
дуктивності ( Ом, Ом) та
конденсатор з втратами ( Ом,
Ом). Визначити комплексні напру-
ги на катушці 1U та конденсаторі та зсув
фаз між ними (рис. 9.45).
Рисунок 9.45
Задача 9.82. До напруги В ввімкнені послідовно
з’єднані катушка індуктивності ( Ом, Ом) та
конденсатор з втратами ( Ом, Ом). Визначити
комплексні напруги на катушці та конденсаторі та зсув фаз
між ними (рис. 9.45).
Задача 9.83. Коло
(рис. 9.46) має такі парамет-
ри X1 = 2 Ом, Х2 = 3 Ом,
Х3 = 6 Ом, R = 8 Ом.
Вольтметр V2 показує 10 В.
Знайти показання решти
приладів.
Рисунок 9.46
Задача 9.84. Коло (рис. 9.47)
має такі параметри X1 = 2 Ом,
Х2 = 3 Ом, Х3 = 6 Ом, R3 = 8 Ом.
Амперметр А2 показує 2 А. Знай-
ти показання решти приладів.
Рисунок 9.47
142
Задача 9.85. Коло (рис.
9.48) має такі номінали
X1 = 4 Ом, R2 = 3 Ом, R3 = 4 Ом,
Х3 = 3 Ом. Вольтметр V2 показує
15 В. Знайти показання решти
приладів.
Рисунок 9.48
Задача 9.86. Коло (рис. 9.48) має такі номінали Х1 = 4 Ом,
R2 = 3 Ом, R3 = 4 Ом, Х3 = 3 Ом. Амперметр А3 показує 3 А.
Знайти показання решти приладів.
Задача 2.87. Коло (рис. 9.48) має такі номінали Х1 = 4 Ом,
Х3 = 3 Ом, R2 = 3 Ом, R3 = 4 Ом. Амперметр А2 показує 5 А.
Знайти показання решти приладів.
Задача 9.88. Коло (рис.
9.49) має такі номінали
Х1 = 5 Ом, Х2 = 10 Ом,
Х3 = 8 Ом, R = 6 Ом. Вольт-
метр V2 показує 20 В. Знайти
показання решти приладів.
Рисунок 9.49
Задача 9.89. Коло (рис. 9.49) має такі номінали
Х1 = 5 Ом, Х2 = 10 Ом, Х3 = 8 Ом, R = 6 Ом. Амперметр А1 по-
казує 1 А. Знайти показання решти приладів.
Задача 9.90. Коло (рис. 9.49) має такі номінали
Х1 = 5 Ом, Х2 = 10 Ом, Х3 = 8 Ом, R = 6 Ом. Амперметр А2 пока-
зує 1 А. Знайти показання решти приладів.
Задача 9.91. Коло (рис. 9.49) має такі номінали
Х1 = 5 Ом, Х2 = 10 Ом, Х3 = 8 Ом, R3 = 6 Ом. Амперметр А3 по-
казує 1 А. Знайти показання решти приладів.
143
Задача 9.92. Коло (рис.
9.50) має такі номінали
Х1 = 3 Ом, Х2 = 5 Ом,
R = 3 Ом, Х3 = 6 Ом. Ам-
перметр А1 показує 1 А. Знай-
ти показання решти приладів. Рисунок 9.50
Задача 9.93. Коло (рис. 9.51)
має такі номінали R1 = 6 Ом,
ХC = 8 Ом, R2 = 10 Ом,
R3 = 8 Ом, XL = 6 Ом. Амперметр
А1 показує 1 А. Знайти пока-
зання решти приладів.
Рисунок 9.51
Задача 2.94. Коло (рис. 9.51) має такі номінали R1 = 6 Ом,
R2 = 8 Ом, R3 = 6 Ом, ХL = 8 Ом, XC = 8 Ом. Амперметр А1 по-
казує 1 А. Знайти показання решти приладів.
Задача 9.95. Коло (рис. 9.52)
має такі номінали XL1 = 10 Ом,
R2 = 8 Ом, ХC = 6 Ом, R3 = 2 Ом,
XL3 = 6 Ом. Амперметр А3 показує 1
А. Знайти показання решти приладів.
Рисунок 9.52
Задача 9.96. Знайти струми у гілках та
нерозгалуженій частині кола (рис. 9.53),
якщо прикладена напруга В, а опір
Ом, Ом, Ом,
Ом. Побудувати векторну діагра-
му.
Рисунок 9.53
144
Задача 9.97. У колі (рис. 9.54)
прикладена напруга В, а опір
Ом,
Ом,
Ом. Визна-
чити струми , , , активні та реак-
тивні потужності всього кола та окре-
мих гілок. Побудувати векторну діаг-
раму.
Рисунок 9.54
Задача 9.98. До напруги В ввімкнені два послідов-
но з’єднаних комплексних опори Ом,
Ом. Визначити, яким чисто ємнісним опором не-
обхідно шунтувати опір , для того, щоб струм у нерозгалуже-
ній частині кола (в опорі ) збігається за фазою зі прикладе-
ною напругою. Обчислити при цьому всі струми.
Задача 9.99. Для кола (рис. 9.55) ви-
значити ємність , при якій струм у галь-
ванометрі відсутній за умови балансу міс-
тка. Відомо, що Ом,
Ом, Ом. Частота
змінного струму Гц.
Рисунок 9.55
Задача 9.100. Для кола (рис. 9.56)
визначити всі струми у гілках методами
контурних струмів та вузлових напруг,
якщо відомо В, В,
В, Ом,
Ом.
Рисунок 9.56
145
Задача 9.101. Для кола (рис. 9.56) визначити всі струми у
гілках методами контурних струмів та вузлових напруг,якщо
відомі В, В,
В,
Ом, Ом,
Ом.
Задача 9.102. Для кола (рис. 9.57) ви-
значити всі струми у гілках неврівноваже-
ного моста. Прикладена до кола напруга
В. Опір елементів кола Ом,
Ом,
Ом, Ом,
Ом. Розрахувати потужність, що
витрачається у колі. Розрахувати задачу ме-
тодами контурних струмів та вузлових на-
пруг. Методом еквівалентного генератора
знайти струми , .
Рисунок 9.57
Задача 9.103. Опори кола (рис.
9.58) Ом, Ом, ЕРС
В. При якому опорі наван-
таження в ньому виділиться мак-
симальна потужність і чому вона до-
рівнює?
Рисунок 9.58
Задача 9.104. Для кола (рис.
9.59) знайти опір навантаження
, при якому у колі виділиться
максимальна потужність, та обчи-
слити її, якщо Ом,
Ом, ЕРС В.
Рисунок 9.59
146
Задача 9.105. У колі (рис. 9.60) з
джерелом струму, що керується стру-
мом , знайти напругу на кон-
денсаторі, якщо ,
, МОм,
МОм, МОм.
Рисунок 9.60
Задача 9.106. У колі (рис. 9.61) з
джерелом струму, що керується стру-
мом , знайти напругу на пер-
шому резисторі , якщо
В, , Ом,
Ом, Ом,
Ом.
Рисунок 9.61
.
Задача 9.107. Знайти передавальну функцію за напругою
підсилювача низької частоти на тріоді (рис. 9.62), якщо
МОм, мА/В, кОм, внутрішній опір джерела
струму кОм, а внутрішній опір лампи кОм.
Еквівалентна схема підсилювача наведена (рис. 9.62).
.
Рисунок 9.62
147
Задача 9.108. Знайти передавальні функції за напругою та
струмом підсилювача низької частоти на біполярному транзис-
торі (рис. 2.71), що ввімкнений зі спільною базою, якщо
В, Ом, Ом, Ом,
МОм, МОм. Еквівалентна схема підсилювача
наведена (рис. 9.63).
Рисунок 9.63
Задача 9.109. У транзисторному каскаді підсилювача ни-
зької частоти при ввімкненні транзистора зі спільним емітером
(рис. 2.72) знайти передавальну функцію за напругою та стру-
мом, а також вхідний та вихідні опори, якщо Ом,
, Ом, кОм, кОм. Еквівалентна
схема підсилювача наведена (рис. 9.64).
Рисунок 9.64
148
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1. Теорія електричних та магнітних кіл: конспект лекцій: у 5
частинах. Частина 1: Лінійні електричні кола постійного
та змінного струму / укладач А.В. Булашенко –
Суми:Вид-во СумДУ, 2010. – 177с.
2. Теорія електричних та магнітних кіл: конспект лекцій у 5
частинах. Частина 2: Складні лінійні та нелінійні елект-
ричні кола змінного струму / укладач А.В. Булашенко -
Суми:Вид-во СумДУ, 2010. – 175с.
3. Теорія електричних та магнітних кіл: конспект лекцій у 5
частинах. Частина 3: Перехідні процеси у лінійних елект-
ричних колах із зосередженими параметрами / укладач
А.В. Булашенко - Суми:Вид-во СумДУ, 2010. – 220с.
4. Теорія електричних та магнітних кіл: конспект лекцій у 5
частинах / укладач А.В. Булашенко. – Суми:Вид-во Сум-
ДУ, 2010. – Ч.4. – 181с.
5. Теорія електричних та магнітних кіл: конспект лекцій: у
5-ти частинах / укладач А.В. Булашенко. – Суми:Вид-во
СумДУ, 2010. – Ч.5. – 157с.
6. Методичні вказівки до виконання розрахункової роботи з
дисципліни «Теорія електричних та магнітних кіл» на те-
му «Розрахунок лінійних електричних кіл в усталених
режимах» / укладач А. В. Булашенко. – Суми: Вид-во
СумДУ, 2010. – 87с.
7. Методичні вказівки до виконання курсової роботи з дис-
ципліни «Теорія електричних та магнітних кіл» на тему
«Розрахунок перехідних процесів у лінійних електричних
колах із зосередженими параметрами» / укладач
А. В. Булашенко. – Суми: Вид-во СумДУ, 2008. – 78 с.
8. Методичні вказівки до практичних робіт на тему «Розра-
хунок електричних кіл несинусоїдального періодичного
струму» з дисципліни «Теорія електричних та магнітних
кіл» / укладач А.В. Булашенко. - Суми:Вид-во СумДУ,
2010. – 38с.
149
9. Методичні вказівки до виконання лабораторних робіт з
дисципліни «Теорія електричних та магнітних кіл» на те-
му «Усталені режими у лінійних електричних колах із зо-
середженими параметрами» / укладач А. В. Булашенко. –
Суми: Вид-во: СумДУ, 2008. – 70с.
10. Методичні вказівки до самостійного вивчення теми «Лі-
нійні електричні кола трифазного струму» з дисципліни
«Теорія електричних та магнітних кіл» / укладач А.В. Бу-
лашенко - Суми:Вид-во СумДУ, 2010. – 64с.
11. Методичні вказівки до самостійного вивчення теми «Час-
тотний метод та метод змінних стану аналізу перехідних
процесів у лінійних електричних колах та моделювання
перехідних процесів у Electronics Workbench 5.12» з дис-
ципліни «Теорія електричних та магнітних кіл» / укладач
А. В. Булашенко - Суми:Вид-во СумДУ, 2010. – 137с.
12. Атабеков Г. И. Основы теории цепей. – М.: Энергия,
1969. – 424с.
13. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники.
Электрические цепи. – М.: Высш. шк., 1984. – 559с.
14. Зевеке Г.В., Ионкин П.А. и др. Основы теории цепей:
учебник для вузов. - М.: Энергоатомиздат, 1989. – 528 с.
15. Зернов Н. В., Карпов В. Г. Теория радиотехнических це-
пей – Л.: Энергия, 1972.– 916с.
16. Попов В. П. Основы теории цепей: учеб. для вузов спец.
«Радиотехника». – М.: Высш. шк., 1985.– 496с.
17. Теоретичні основи електротехніки: підручник: у 3 т.
Т. 1. Усталені режими лінійних електричних кіл із зосе-
редженими параметрами / за заг. ред.. І. М. Чиженка,
В. С. Бойка. – К.: Політехніка, 2004. – 272с.
18. Шегедин О. І., Маляр В. С. Теоретичні основи електроте-
хніки. – Львів: Магнолія плюс, 2004. – 168с
19. Електротехніка: підручник / за заг. ред.. В. І. Коруда. – 3-
тє вид., перероб. і доп. – Львів.: Магнолія плюс, 2006. –
447с.
150
20. Петренко І. А. Основи електротехніки та електроніки:
навч. посіб. для дистанційного навчання: у 2 ч. – Ч. 1:
Основи електротехніки. – К.: Університет «Україна»,
2006. – 411 с.
21. Електротехніка та електроніка. Теоретичні відомості, ро-
зрахунки та дослідження за підтримки комп’ютерних те-
хнологій: навчальний посібник/ за заг. ред.. А. А. Щерби
та В. М. Рябенького. – К.: Корнійчук, 2007. – 488с.
22. Основи теорії електронних кіл: підручник / за ред. д. т. н.,
проф. П. Г. Стахіва. – Львів: Магнолія, 2006 – 296с.
23. Новгородцев А. Б. 30 лекций по теории электрических
цепей. – СПб.: Политехника, 1995. – 520с.
24. Демирчан К. С., Нейман Л. Р., Коровкин Н. В.,
Чечурин В. Л. Теоретические основы электротехники:
учебник для вузов. – 4-е изд. – СПб.: Питер, 2004. – Т. 1,
464с.
25. Попов В. П. Основы теории цепей: учебник для вузов. –
4-е изд., испр. – М.: Высш. шк., 2003. – 575 с.
26. Гумен М. Б., Гуржій А. М., Співак В. М. Основи теорії
електричних кіл. Кн. 1. Аналіз лінійних електричних кіл.
Часова область / за ред. М. Б. Гумена – К.: Вища шк.,
2003. – 399с.
27. Мурзин Ю. М., Волков Ю. И. Электротехника. –
СПб.:Питер, 2007. – 448с.
28. Нейман Л. Р., Коровкин Н. В., Селина Е. Е.,
Чечурин В. Л. Теоретические основы электротехники.
Сборник задач. – СПб.: Питер, 2004. – 512 с.
29. Теоретические основы электротехники: справочник по
теории электрических цепей / под ред. Ю Бычкова, В. Зо-
лотницкого, Э. Чернышева. – СПб.:Питер, 2007. – 332 с.
151
ДОДАТОК А
(обов’язковий)
Зразок титульного аркуша
Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України
Сумський державний університет
Шосткинський інститут
Кафедра системотехніки та інформаційних технологій
ЗВІТ ІЗ ПРАКТИКИ з дисципліни «Теорія електричних та магнітних кіл»
на тему «Розрахунок простих лінійних електричних кіл
гармонічного струму»
Номер варіанта ___
Керівник:
Викладач Булашенко
Андрій Васильович
Відмітка про захист
____________/_________
____________/_________
Виконавець:
ст. ___________________
гр. СУ-
_______________________
Підпис студента
Шостка 2011
152
Додаток Б
(інформаційний)
Розрахунок кола гармонічного струму
1. За номером варіанта знайти у таблиці Б.1 схему електри-
чного кола та параметри її елементів. Частоту коливань ЕРС
взяти 50f Гц.
2. Знайти струми методом перетворень та методом контур-
них струмів.
3. Побудувати векторну діаграму струмів та суміщену то-
пографічну діаграму напруг.
4. Перевірити баланс потужності.
5. Знайти покази приладів.
Таблиця Б.1
Вар
. E,
B
C1,
мкФ
C2,
мкФ
C3,
мкФ
L1,
мГн
L2,
мГн
L3,
мГн
R1,
Ом
R2,
Ом
R3,
Ом
1 150 637 300 – – 8 9 2 3 4
2 100 – – 100 15.9 – 15.9 8 3 4
3 120 637 – – – 9 15.9 8 3 4
4 200 – 300 – 15.9 15.9 15.9 8 3 4
5 220 637 – 100 – - 15.9 8 – 4
6 100 100 300 – 15.9 47.7 – 10 – 10
7 120 – – 100 15.9 – 115 – 4 100
8 200 – 159 – – – 115 10 4 100
9 220 – 318 – 15.9 – 115 10 4 100
10 50 – 637 – 15.9 – – 5 – 8
11 100 637 – 100 – 15.7 6.37 – 10 8
12 120 – 300 100 31.8 – – 5 – 8
13 200 - - 100 31.8 – – 5 10 8
14 220 637 - 200 – 15.9 – 5 10 8
15 150 100 200 – 15.9 – 10 2 10
16 100 - 1600 200 31.8 – – – 8 10
17 120 100 – 200 – 15.9 – 10 8 10
153
Продовження табл. Б.1 В
ар. E,
B
C1,
мкФ
C2,
мкФ
C3,
мкФ
L1,
мГн
L2,
мГн
L3,
мГн
R1,
Ом
R2,
Ом
R3,
Ом
18 200 637 – 200 – 31.8 – – 8 10
19 220 – 1600 – 31.8 – 95 10 8 –
20 50 – 159 – 31.8 – 95 15 10 10
21 100 – 159 200 15.9 – – 15 – 10
22 120 – 159 200 15.9 – – – 10 20
23 200 637 159 200 - 31.8 95 15 10 20
24 220 637 159 - - - 95 - 10 20
25 150 - 159 - 25 - 95 6 10 20
26 100 637 159 637 - - 95 6 - 20
27 100 - 159 - 25 - 95 6 4 -
28 200 - 159 637 25 - 95 6 - 20
29 220 637 - 637 - 9 - 6 - 20
30 50 318 637 - - - 31.8 - 10 40
31 100 318 - 300 - - 31.8 - 10 10
32 120 - - 300 19.1 15.9 31.8 40 - 10
33 200 318 - 300 - 15.9 31.8 10 10 40
34 220 318 - 300 - 15.9 31.8 - 10 10
35 50 - 318 - 19.5 - 31.8 8 10 4
36 100 637 - 200 - 31.8 95 8 - 4
37 150 637 - 200 - 31.8 - 8 10 4
38 200 - 318 200 15.9 - 95 8 - 4
39 220 - - 200 15.9 31.8 95 8 - 4
40 50 637 - 200 - 31.8 95 4 40 40
41 100 - 318 2000 9.55 - - 4 40 4
42 120 500 - - - 15.9 95 4 - 4
43 200 500 - 159 - 15.9 - 40 10 40
44 220 - 318 159 9.55 - 95 - 10 40
154
Продовження додатка Б
Продовження табл. Б.1
Вар
. E,
B
C1,
мкФ
C2,
мкФ
C3,
мкФ
L1,
мГн
L2,
мГн
L3,
мГн
R1,
Ом
R2,
Ом
R3,
Ом
45 50 500 159 159 - - 31.8 35 20 40
46 100 500 - - - 15.9 31.8 35 - 40
47 120 - 159 - 15.9 - 31.8 35 20 80
48 200 318 318 159 - - 31.8 35 20 80
49 220 318 - 159 - 31.8 31.8 35 20 80
50 50 - 318 - 15.9 - 31.8 5 10 80
Схеми подані на рисунках Б.1 – Б.50. Номер рисунка від-
повідає номеру варіанта.
Рисунок А.1 Рисунок Б.2 Рисунок Б.3
Рисунок Б.4 Рисунок Б.5 Рисунок Б.6
Рисунок Б.7 Рисунок Б.8 Рисунок Б.9
155
Продовження додатка Б
Рисунок Б.10 Рисунок Б.11 Рисунок Б.12
Рисунок Б.13 Рисунок Б.14 Рисунок Б.15
Рисунок Б.16 Рисунок Б.17 Рисунок Б.18
Рисунок Б.19 Рисунок Б.20 Рисунок Б.21
Рисунок Б.22 Рисунок Б.23 Рисунок Б.24
Рисунок Б.25 Рисунок Б.26 Рисунок Б.27
156
Продовження додатка Б
Рисунок Б.28 Рисунок Б.29 Рисунок Б.30
Рисунок Б.31 Рисунок Б.32 Рисунок Б.33
Рисунок Б.34 Рисунок Б.35 Рисунок Б.36
Рисунок Б.37 Рисунок Б.38 Рисунок Б.39
Рисунок Б.40 Рисунок Б.41 Рисунок Б.42
157
Продовження додатка Б
Рисунок Б.43 Рисунок Б.44 Рисунок Б.45
Рисунок Б.46 Рисунок Б.47 Рисунок Б.48
Рисунок Б.49 Рисунок Б.50
158
Додаток В
(інформаційний)
I. Вважаючи, що індуктивний зв'язок між котушками від-
сутній: визначити струми у всіх гілках схеми; побудувати векто-
рну діаграму струмів та топографічну діаграму напруг; скласти
баланс активних та реактивних потужностей; побудувати на од-
ному графіку криві миттєвих значень е1 та i3; визначити пока-
зання ватметра.
II. Враховуючи взаємну індуктивність котушок та вва-
жаючи заданий струм у першій гілці i, а ЕРС е1 невідомою, ви-
значити невідомі струми та ЕРС; побудувати векторну діаграму
струмів та топографічну діаграму напруг.
Вказівки
1. При врахуванні взаємної індуктивності як заданий стру-
му у першій гілці i1 необхідно взяти струм, що існує в цій самій
гілці за відсутності індуктивного зв’язку.
2. На топографічних діаграмах повинні бути показані век-
тори напруг на всіх елементах схеми.
3. Напруга на елементах схеми, що мають взаємну індук-
тивність, повинна бути розділені на складові.
4. Номер схеми відповідає порядковому номеру, під яким
прізвище студента записане у журналі групи. Числові дані пара-
метрів схеми наведені у таблиці та обираються у відповідності
до номера групи.
159
Таблиця В.1
Параметри Номер групи
1 2 3 4
Е1, В
Е2, В
*
R1, Ом
L1, мГн
С1, мкФ
R2, Ом
L2, мГн
С2, мкФ
R3, Ом
L3, мГн
С3, мкФ
*12K
*13K
*23K
f, Гц
100
100
/6
4
20
200
5
30
250
2
10
200
0
0,6
0,8
50
100
120
/4
6
30
200
4
50
300
4
20
300
0,6
0
0,8
50
220
140
/4
6
40
300
8
10
200
6
60
200
0,6
0,8
0
50
200
200
/2
8
4
40
8
6
80
6
4
30
0
0,6
0,8
50
Зауваження:
1. – кут, на який Е1 випереджає Е2.
2. **
231312 ,, KKK – коефіцієнти індуктивного зв’язку котушок у
гілках 1, 2, 3.
160
Продовження додатка В
Рисунок В.1 Рисунок В.2
C2
1E
L1
L3
2E
L2
3
C3
R1
R2 C1
W
Рисунок В.3 Рисунок В.4
Рисунок В.5 Рисунок В.6
C2
1E
L1
L3
2E
L2
8
W
C3
R1
R3
Рисунок В.7 Рисунок В.8
C1
1E
L1
L3
L2
1 W
C3
R1
R2
R3
2E
C2
1E
L1
L3
2E
L2
2
W
C3
R1
R3
C1
C2
1E
L1
L3
2E
L2
4
W
C3
R1
R3
C1
R3
C2
1E
L1
L3
2E
L2
5
W
C3
R1 R2
R3
C2
1E
L1
L3 2E
L2
6
C3
R1 R2
W
C1
C2
1E
L1
L3
2E
L2
7
C3
R1
R2 W
R3
161
Продовження додатка В
C2
1E
L1
L3
2E
L2
10
C3
R1
R2 C1
W
R3
Рисунок В.9 Рисунок В.10
C1
1E
L1
L3
2E
L2
11
R3
R2
R1
W
C3
Рисунок В.11 Рисунок В.12
C2
1E
L1
L3
2E
L2
14
C3
R1
R2
R3
W
Рисунок В.13 Рисунок В.14
C2
1E
L1
L3 2E
L2
16
R1 R2
W
C1
R3
Рисунок В.15 Рисунок В.16
C1
1E
L1
L3
2E
L2
9
R3
R2
R1
C2
W
C2
1E
L1
L3
L2
12
C3
R1
R2 C1
W
2E
R3
C2
1E
L1
L3
2E
L2
13
W
C3
C1
R2
R3
C1
1E
L1
L3
2E
L2
15
C3
R2
R1
C2
W
162
Продовження додатка В
C2
1E
L1
L3
L2
17
R1
R2
W
2E
R3
C2
1E
L1
L3 2E
L2
18
R1 R2
W
C3 R3
Рисунок В.17 Рисунок В.18
C2
1E
L1
L3
L2
19
C3
R1
R2
W
2E
R3
C2
1E
L1
L3
L2
20
C3
R1
R2
W
2E
Рисунок В.19 Рисунок В.20
C2
1E
L1
L3
L2
22
C3
R2
C1
W
2E
Рисунок В.21 Рисунок В.22
C2 1E
L1
L3
L2
23
C3
R2
C1
W
2E
R3
C1
1E
L1
L3
2E
L2
24
W
C3
R2
R3
Рисунок В.23 Рисунок В.24
C2
1E
L1
L3
L2
21 R2
C1
W
2E
R3
163
Продовження додатка В
C1
1E
L1
L3
2E
L2
25
R3
R2
R1
W
1E
L1
L3
2E
L2
26
C3
R1
R2 C1
W
R3
Рисунок В.25 Рисунок В.26
C1
1E
L1
L3
2E
L2
27
R3
R1
W
C3
Рисунок В.27 Рисунок В.28
1E
L1
L3
2E
L2
30
C3
R1 R2
R3
W
Рисунок В.29 Рисунок В.30
1E
L1
L3
2E
L2
32
R1 R2
W
C1
R3
Рисунок В.31 Рисунок В.32
C2
1E
L1
L3
L2
28
C3
R1
R2 C1
W
2E
1E
L1
L3
2E
L2
29
W
C3
C1
R2
R3
C1
1E
L1
L3
2E
L2
31
C3
R2
R1
W
164
Навчальне видання
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
до практичних занять
на тему «Розрахунок простих електричних
кіл змінного струму»
з дисципліни «Теорія електричних та магнітних кіл»
для студентів напряму 0502 «Системна інженерія»
спеціальності 6.050201 «Комп’ютеризовані системи управління
та автоматики»
усіх форм навчання
Відповідальний за випуск Г. М. Худолей
Редактор Н. В. Лисогуб
Комп’ютерне верстання А. В. Булашенка
Підп. до друку , поз.
Формат 60х84/16. Ум. друк. арк. . Обл.-вид. арк. . Тираж 50 пр. Зам. №
Собівартість видання грн к.
Видавець і виготовлювач
Сумський державний університет,
вул. Римського-Корсакова, 2, м. Суми, 40007
Свідоцтво суб’єкта видавничої справи ДК № 3062 від 17.12.2007.
165
Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України
Сумський державний університет
Шосткинський інститут
3137 МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
до практичних занять
на тему «Розрахунок простих електричних
кіл змінного струму»
з дисципліни «Теорія електричних та магнітних кіл»
для студентів напряму 0502 «Системна інженерія»
спеціальності 6.050201 «Комп’ютеризовані системи управління
та автоматики»
усіх форм навчання
Суми
Сумський державний університет
2011
166
Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України
Сумський державний університет
Шосткинський інститут
До друку та в світ
дозволяю на підставі
«Єдиних правил», п.2.6.14
Заступник першого проректора –
начальник організаційно-методичного
управління В. Б. Юскаєв
3137 МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
до практичних занять
на тему «Розрахунок простих електричних кіл змінного струму»
з дисципліни «Теорія електричних та магнітних кіл»
для студентів напряму 0502 «Системна інженерія»
спеціальності 6.050201 «Комп’ютеризовані системи управління
та автоматики»
усіх форм навчання
Усі цитати, цифровий
та практичний матеріал,
бібліографічні
відомості перевірені,
написання одиниць
відповідає стандартам
Укладач А. В. Булашенко
Відповідальний за випуск Г. М. Худолей
Директор Шосткинського інституту В. Л. Акуленко
Суми
Сумський державний університет
2011