libro trazos de geometría

8/12/2019 Libro Trazos de Geometra

1/42

GEOMETRA

ELEMENTAL PARA TRAZOS No hay duda de que las grficas computarizadas pueden mejorarla enseanza y el entendimiento de la mayora de los tpicos geomtricos;no se requiere introducir nuevos tpicos para hacer uso de estas nuevas herramientas.En mi opinin, los viejos tpicos vistos desde un ngulo contemporneo pueden ser tan

frescos y estimulantes para los alumnos, como los nuevos. Y son muchos! En muchospases hay una tendencia a tomar a la ligera este hecho, posiblemente porque la enseanzade la ciencia ha sido ms bien descriptiva y no explicativa, es decir, no matemtica.

Por el cual pongo en lnea este folleto. Para los que gusten de geometra.


2/42


3/42

Aplicacin 2hallar x en:

x

Solucin B

A C

D

O 60-

60

x

Primero: El DAB DOC (caso L-L-L)

Por tanto la m ABD = m OCD = , en consecuencia lamedida del ACB = 60 -Por ltimo, en el ABC Por teorema

x + ( + 60) + 60 - = 180x = 60

APLICACIONES DE CONGRUENCIA

O n

b

a

m

B

M

A

Si: OM es bisectriz

Teorema de la bisectriz

a = b m = n

O

A B

b a

Teorema de la mediatrizDe un segmento

De un ngulo

a = b

Es decir el AOB es

issceles de base AB

B

A C

O

El AOC es issceles

donde: AO = OC

El AOB COB

Caso: L-L-L

A

B

CX

am n

m n

M N

y

Teorema de la base media

= y (por que MN AC)

x = 2a

En:

Si:

X

am

n

Corolario:

n = m

x = 2a

75 15

4a

6 2 aa

Notables aproximados:

53/2

5a 5

37

53

3a

4a

aa

2a

10a

37/2

3a

a

25a 74

16

7a

24a

8

81

7a

2a5

a

17a

14

76

a

4a

TRAZOS Y PROPIEDADESObservacin: Se realizar las demostraciones ms complicadas alas necesarias.

1) Qu hacer en caso del siguiente ?B

A C2

1 Trazo interior:ro Se trata BM, interior y M AC formandom AMB = 2 . En consecuencia se tiene:

2 2

B

A C

C

M

2 Trazo exterior:do Anlogamente al exterior se traza BM

2M

B

3 Trazo especial:ro Para ello es necesario hacer un cambio devariable: = 2

Es decir:

4 2

Resulta:

3

Primertrazo

Cevianaexterior

Civianainterior

Segundotrazo

Se trazo

2) Qu hacer en un de la siguiente forma?

2

Resulta:

2

x = 60

Aplicacin 1hallar x en:

x

x

x

Solucin:

x

x

x

a

b

x

a

A

B

E D

C

Primero se deduce que la m BCE = m BEC = x(En el EBC issceles)Luego se deduce que m CED =Ahora el ABE DEC (caso A-L-A); por tanto a=b, elcual da como consecuencia un EBC equiltero.

CASOS ESPECIALES EN CONGRUENCIA

Congruencia en tringulos rectngulos

32 2

A

B

C

M

N

a

y

Observacin:

2a

Notables:

Teorema de la mediana relativaa la hipotenusa

m m

x

x = m

a

MN no esparalelo aAC

45

45

60

30

a n

a

2n

n3

a 2

6 2 a

7 8

Geometra

El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradiccin es la mdula principal del desarrollo (Lenin)


4/42


5/42


6/42

120x

60 A

Si:

120 2

90-3

x

x =

Demostracin: Recuerde que los pasos son los mismos a losproblemas anteriores.

2

90-3

90

-

2

x =

90- x

b

Si:

xA

B

D

C

E

2

a

a

x = 2

a = b

Demostracin:

2

9

0-

90-90

+ 90+

a b

El ADB CEB (Caso L-A-L)

x = 2 a = b

x

B

A N

P

C

x

a

Si: x = 2

a = b

b

a

2

90-

Demostracin: Los trazos son especificados en mismo volumen;pues son trazos conocidos.

a

2

2

90-

90-a

b

El ABN CNP(Caso L-A-L)

Propiedad: Resulta un rectngulo

x y

x=y=9 0 a = b

y

Demostracin:

a

bA D

CB

El DAB BCD (Caso L-A-L)

( - - )

x = 90 ; a = b m DBC =

5. Como trazar en el siguiente caso?

5k

23

1ero nos damos cuenta de que la medida del ngulo termina en 3 yun lado es como 5 el cual nos hace razonar con el siguiente

Notable aproximado:

5k

53

37

4k

3k

Entonces el trazo ser de la siguiente manera:

5k

23

302n

n

P

Punto cualquiera

PROBLEMA11 -Hallar x en: PROBLEMA12 -Hallar x en:


23 x

5k

8k

x44

48k

25k

Por ltimo: el ABN DCN (Caso L-A-L)

20 x

60

A

N

DCB

100 100

x = 20

SOLUCIN 10:Recordemos el trazo general:

2

90-

2

90-

2

90-

Sandra

Quispe

18

81

x

81

18

B

A E

D

C

18 x

B

A E

D

C

El ABE ECD:

x = 18

EN FORMAGENERALDEMUESTRA

60-

2 90-3

x

Si:

x =

x = 2 a = b

Demostracin: Solo se realizara las consecuencias ya que lospasos fueron realizadas en cada problema

60-

2 90-3

x

x =

60

90-

90-

2

60

x 21

3011 17 25

29x

SOLUCIN 11:

x

5k

8k

23

30 53

37

5k

37

53

4k

3k

x

5k

8k

23

30

37

8k

30

60

4k

4k

4k

4k

60

13 14

Geometra

Milton Cucho

Anglica Tomayro



7/42

x

8k

23

30

4k

4k

60

4k 4k 4k 4k

x + 60 = 90

x = 30

SOLUCIN 12:

x44

48k

25k

30

24k

25k

74

24k

x44

48k

25k

30

24k

60

24k

48k

30

24k

60

x44

48k

25k

30

24k

60

24k

24k

x + 60 = 90

x = 30

24k 24k 24k

SOLUCIN 13:

x 21

30=5(6)11

16

53

3(6)=18

74

4(6)=24

37

18

53

24

30

x 21

30

16

53

74

24

74

24

16

7

11

11

74

7

x = 74

SOLUCIN 14:

x 29

2517

45

16

45

716

7

74

24

25

45

x 29

2517

45

16

7745

45

45

7

17

7

45

x = 45

TRAZOS6. Como trazar en el siguiente caso?

Se recomienda trazar una ceviana exterior para formar un tringulo

issceles.

7. Qu trazo se debe realizar en el siguiente caso?

Recordar:

n

n

Entonces es necesario un trazo interior tal que forme un issceles.

1ero

nn

Finalmente se obtiene:

nn

8. Cules son las construcciones en este tipo de tringulo?30

; < 30

1 tipo de trazo:er Se construye un tringulo equiltero en funcindel lado mayor.

3030

Recuerda:

Finalmente se obtiene:

3030

Observacin: En la solucin de los problemas; se aplicar el casofinal, por que ya se demostr de donde viene el grfico final.

15 16

Geometra

YenyHuyhua

Aurelia

Diaz

Wilykiwy

Cesar Flores

FlorArons

Maria LuzCusi

JalachaTomayro

Lucia

CaboFlores

WalterJanampa



8/42

2 tipo de trazo:do Se construye un tringulo rectngulo, de talmanera que el lado mayor se transforma en hipotenusa.

302n

n

3 tipo de trazo:er Se construye un tringulo equiltero en funcindel lado menor.

30

30

A

C

B

N

Luego completamos el segmentoAN para obtener un tringuloisscelesANC

30

30

A

C

B

9. Qu hacer en este tipo de tri ?ngulo

60+

30

B

C

A

Se construye el ANB equiltero

60A

C

N

B

3030

60A

C

N

B

3030

Finalmente trazamos CN para tener como consecuencia el ANCissceles..

60

10. Qu hacer en este caso?

60-2A

B

C

D

Primero construimos el ABN equiltero, y por ltimo trazamosBC y ND del cual:

ABC AND (Caso L-A-L)

60-2A

N

B

C

D



20

x

+10

x +40

3

50

30

x


x30



20

60-2


10

x


x

80

2030 20

x

20+

x +20

20

10

3

10

20

30x

20

10 x70

30 20

1040

70x

10

x

40

60-2

x

60-2

60+

x

20

SOLUCIN 15:Recuerda:

+

nn

+

+

Trazamos DE para formar el issceles del BDE.

20+

x 20

20+

B

AD

C

E

Del grfico tenemos como consecuencia:

x 20

B

AD

C

E

ABD DEC (Caso L-A-L)

x = 20

Solucin 16:

n nn+ n+ n

Hacemos el trazo exterior BE del cual se observa que m BDE

= m BED = 10 + , entonces BDE issceles.

x

+10 +20

10

+10

B

AD

C E

x

+10 +20

10

+10

B

AD

C E

Del grfico el ABD EBC (Caso L-A-L)

x = 10

Geometra

EdelizaTomayro

Maria SoledadSalcedo

El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradiccin es la mdula principal del desarrollo (Lenin)1817


9/42

3

30

x

10

3

50

30

x

B

A C

N

M

50

50

50

De la construccin se tiene:ABC ACM (Caso A-L-A)

X = 3

3

50

B

A C50

x

x

A

M

50

50

3

C

x = 40

Solucin 19:Primero trazamos la altura relativa a la base.

x

10 30

Recuerde:

3030

2n

x

10 30

n n

n n2n

n

x

10n nD

n

B

CA

E

40

= 40 Por que el ABD LEAPor lo que: 40 =Por ltimo: + x + 10 = 90

40 + x + 10 = 90

L

Solucin 20:

20

30x

20

60-x30

60-x x

B

A

D

C

MDel grfico se deduce que el ABC ADM (Caso L-A-L)

x = 40

x = 60 - x = 20

Solucin 17:

Solucin 18:

3030

Solucin 21:Realizamos el trazo conocido y mencionado.Constituimos el ABN equilatero

+40

C

Trazamos:

+40C

+20

n n

m

n+m

M

+40C

+20

M

30

x

20

A

B

x

20

A

B

20

x

20

A20

B

El ABN MAC (Caso L-A-L)

X = 20

30

10

60

30

10

Ax

20

50

10

N

B

10

60

30

10

Ax

20

50

10

N

B

10

60

30

10A

x

20

50

10

N

B

X = 10

Geometra

NorisChavez

YovanaPalomino

YessicaFlores



10/42

Geometra

Se obtiene lo siguiente:

B

CA

4010

1010

10

X60

60

10

D

E

RoxanaLa Catalinita

JhonnyMeza

2

Recordar:

Recordar:

230 -

120-2

30

Aplicando la propiedad sealada:

Consecuencia:

X 30=

Solucin 22 Solucin 23 Solucin 24

C

B

A

40

10 10

X70

70

60+

30

60+

30

30

30

30

30

Reordar:

Roci lvaro

Se construye el ABE equiltero.

C

B

A

40

1010

10

X60

60

10

D

E

DA C AEC.

20

20

10

10 10

x

x

40

40

40

50

50 50

50

110

E L AB C B CD

x = 40

x = 30

x =

A

D

B

C

60-

60+60-

60+

60+2

60-2

1) 2)

60-2

_

Rubn Tomayro

Anabela Alca

60-2

_

60

60

60-2

2

x

x

x

x

x

60-2

2

60+2

60-2

x

60-2

Haciendo la construccin se obtiene:



11/42

Geometra

D B

60-2

E

A C

Solucin: 25Se construye el EBC equiltero

X X=

E

D B

A C

X =30

X

X

X

Solucin 26 Solucin 27

C

C

A

A

A

B

B

B

30

30-

x

10

10

20

20

20

20

20

60

60

30

30

40

40

60

60

D

D

D

N

N

E

E

Despus de construir el ACEequiltero. luego el

ACB ECD (L-A-L)

ACD EAD (L- L- L)Como el

BCD ECA

x

x

x

A

A

D

D

C

C

B

B

E

E

C

20

20

20

20

20

20

20

20

20

20

20

40

40

40

20

20

20

60

60

x

80

A

B

D

Delcual 2X =60.

X= 30

Solucin 28

Como el ABC ACD (L-A-L)En consecuencia se obtiene.

Se construye el ACD equiltero.

C

C

B

B

A

A

D

D

E

E

X

X

X =20

60 +

60

60

60 +

2 2

60

60

30

20 10

60 60

*

*YosmilEspilco

20

20

30

30

30

30

El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradiccin es la mdula principal del desarrollo (Lenin)23 24


12/42

Primero construimos el ABN equiltero por tanto:

Trazo Especial:

Luego prolongamos BC en K de tal manera que m

B

B

A

A

C

C

30

B

C

N

3030

A

Tener presente el siguiente

B

Recordar

30

30

K

B

A

C

N

30

CONSECUENCIA

Ada LuzOr

3030 3030

30+X30+X60

30-X

_ _

Nelson Mndez

De lo mensionado, trazamos KN del cual trae comoconsecuencia el AKN issceles y m KAM=30-X

-

Geometra



13/42

B

N

30

30

K

A

C

30

30-X

30-X

Ahora construimos el AKM equiltero y comoconsecuencia la m BAM=30-X

B

N

30

30

K

A

C

30

30-X

30-X

30-X

M

Despus de hacer el trazo MB se verifica que:(caso L-A-L), por tanto todos los datos que se

cumple en el tienen que cumplirse en el

osea quiere decir que el E es tambin issceles el cualse especificar en el otro grfico.

M ABKAN

K AN M AB

M AB

B

N

30

30

K

A

C

30

30-X

30-X

30-X

M30-

X

Como L es punto medioadems AC es mediatrizdel segmento MK.

B

N

30

30

K

A

C

30

30-X

30-X

3

0-X

M30-

X

--

--

L

60-X

Victor Pillaca Quispe

RecordandoM

K

30

30

LA

30

30

L

=

=

Geometra



14/42

=

=CA

M

K

=

= C

Carlos Contea

A

M

K

Finalmente, despues de trazar MC, se llega a la conclusinde que el ACK es issceles (MC=CK). Por ltimo; mMCB=120-X

B

N

30

30

K

A

C

30

30-X

30-X

30-X

M30-

X

----L

60-X

120-

X60-X

PROBLEMAS

30X

54

X

24

30

54 X30

X 84

42

Problema 29

Problema 30

Problema 31

Problema 32

Geometra



15/42

N

30

30

30

30

Sonia Navarro

30X

30

30-x

A C

B

K30

N

30

-x

Como la figura presenta las cualidades para x hacer el trazoanterior, entonces construimos el BCN equiltero. Y siobservamos la prolongacin del CK en A cumple el requisitoque la m KBA=30 y la medida del ABN es igual a 30-x(m ABN=30-x.)

-

30X

30

30-x

AC

B

K30

N

Ahora construimos el ABM equiltero y luego letrazamos el MC del cual observamos que: el ABN MBC(caso L-A-L). Quiere decir:

-

--

--

3030

30

30

B M

AK

B

M

A

K

Consecuentes

Entonces ellolo aplicamos.

30X

30

30-x

A C

B

K30

N

30

-x

M

30

-x

Como nos habamos

anticipado en el casoanterior entonces lessealamos los nuevosdatos.Construimos MK yluego aplicamos elteorema de labisectriz interior.

( AK )= MK

60-x

60-x=

Ana Artiaga30

X

30

30-x

A C

B

K 30

N

30

-x

M

30-x

30-x----60-X

Walter Palomino

Solucin 29

Geometra



16/42

C

30X

30

30-x

A

B

K 30

N

3

0-x

M

30-x

30-x

--

--60-X

60-X

120-2X

M

K

C

120-2X

120-2X

60-X

Para apreciar mejor lasolucin nosconcentramos en el

MCK: issceles.

LitoAlca

(120-2X)+(120-X)+(60-X)=180X=24

24

30

A

B

C

Primero observamos el siguiente acontecimiento:

24

30

A

B

C

30

N

Construimos el equiltero ABN.

6

30

A

B

C

30

N

6

30

A

B

C

30

N

6

KarinaCrdenas C.

Solucin 30

Geometra

Consecuenciafinal del trazo:ver pginas25-35.



17/42

3030

3030

CarlosTorres

24

30

A

B

C

30

N

30

6

6

K

Prolongamos AC en K tal que m CAK=30.-

Se construye el

Luego se traza MB tal que:

AKM equil tero

ABM NAK(caso L-A-L).

=

A

B

N

6

6

K

6

M

Carlos Rupire

24

30

A

B

C

30

N

30

6

6

K

6

M

24

30

A

B

C

30

N

30

6

6

K

6

M

36

6

Primero nos damos cuenta que el.KMB is sceles,

que en consecuencia: m MKC=36

=

=36

=

=36

36M

C

K

M

C

K

Hctor Suyca

KMC is sceles.

72

Miguel ngel Molina

36

=72

24

30

A

B

C

30

N

30

6

6

K

6

M

36

6

72

72

Se concluye que:BC=AK=KN.

Geometra

-

36



18/42

24

30

54 24

X

P

B

A C

Se traza BP (P en la prolongacin de CA). De tal forma que observamos el

PBC esissceles PB=BC.Adem s m APB=m ACB=24 ABPdel cual ya anunciamos sus trazos.

- -

Es decir llegamos a la siguiente conclusin:(ver pag. 34-36.)

6

N

30

6

6

6

24

30

54 24

X

P

B

A C

36

72

72

36

24+x

30

M

Extraemos los ngulos PBN y ABM, para comparar que:BAM. (caso L-A-L)NPB

54

30

P

B

N

54 24+XMA

B

30=24+X

X=6

Solucin 30 Solucin 31

Geometra

Recordar:(En el problema anterior se recalca los pasos)

24

30

54 XR

B

M La

ab

24

30

6

30

6

6

6

24

30

36

72

72

36

30

N

6

30

6

6

6

24

30

54 XP

B

M L

36

72

72

36

30

30

N

54

bb

a

a96

C

El PBN ABM (caso A-L-A)Es decir: (96 )-(--)-(54 ).Entonces a = bY si a = b el R

BL es issceles(RB=BL=a=b).

X=24

A

96



19/42

Despusdeconstruccn

:(verpag.34-36)

El

CB

(casoL-A-L)

Es

decir:(--)-(126

)-(--).

A

DEB

.

X=30

Geometra

Solucin 32

126

54

54

54

36

72

84

84

54

54

54

54

42

6

6

6

30

24

24

30

30

3

0

126

12

6

X

X

Adem

s:

A

C

E

D

B



20/42

X

60

60

60

60-

A

L

B

C

M

D

Propiedad 01

Demostracin:

En consecuencia:NCA (Caso: L-A-L)

del cul LA=NA=Tambin: x + = + 60

LBA

Primero construimos elABC equiltero y luego elMNC tambin equil

tero.

De la ecuacin

Ahora trazamos MA para identificar el(Caso: L-L-L) del cual se deduce que = --------------

ALM ANM

Geometra

X

60

60

60

60-

X

60- X = 60

I

I

A

L

B

C

M

D

II

II = =X + = + 60

=X + + 60

X = 60



21/42

Propiedad: 03

2

X=120-

DemostracinDemostracin

2 2

90-

90-

Trazamos BD para obtener elABD IS SCELES-

Realizamos el trazo en forma anloga a la demostracin anterior, yaplicamos la propiedad.

2

B

A

C

90-

90-

D

Geometra

Propiedad: 02

Propiedad:

120-2

60

X=2

x

120-2

x

y XX 2y = 2=

X 2=

Jhon Quispe

Edson Palomino


G t


22/42

Ahora trazamos AM bisectriz, altura mediana y mediatriz.Luego DH aBC--

-

---

Trazamos DH BC, para formar: DHC AMD-----

B

A

C

90-

90-

D

M

-

-

90-

B

A

C

90-

90-

D

M

-

-

-

H

=

=90-

30

2a

Por ltimo observamos que el DBH es notable de 30-60.B

A

C

90-

90-

D

M

-

-

-

H

=

=90-

30

Finalmente: X=(90- )+30X=120-

X = 60

Geometra

Estefh Cusi

Propiedad adicional:

2

2

X

X30 30-

90-

X = 30- + 30 +

30-

90-

X = 60

Demostracin

Consecuencia120-2

120-2

2

2 30

2

90 -

90 -

30 -

Recordar:

Leonardo Tomayro


Geometra


23/42

2

2 90-

90-

Ruth Cuenca

Demostracin

Propiedad: 04

X=

2

120-

2

90- 3

0

90-

A

B

C

D

Primero trazamos BD de tal modoque m ABD = m ADB=90-

-

Marco Alfaro

-

---

B

90-30

90-

A

C

D

M

-

-

90-30

90-

A

B

C

D

M

-

-

H

90-30

90-

A

B

C

D

M

-

-

H

Trazamos AM BD ybisectriz, mediana ymediatriz.

-----

Trazamos DH a BC

donde se forma elBHD notable de: 30-60 (DH=a)

-----

30

2a

2

DemtrioJanampa

Daniel Conde

-

-

-

-

Del grfico el AMD= DHCpor tanto: X=

Geometra


Geometra


24/42

Demostracin:

120-

A

B

C

D

Propiedad: 05

X=2

=+ +

120-

A

B

C

D

120+X

Trazamos L // L que en consecuencia se obtiene m ADN=X1 2

120-

A

B

C

D

120X

60

L2

L1

N

A

B

A

B L4

L3D

=

TRAZAMOS L //L3 4

TRAZAMOS L //L3 4

Godelina Chavez

Recordar:

Consecuencia

Recordar:

Observando el caso anterior trazamos BM//AD y enconsecuencia: BM=MD=AB=AD= y m BMD=X

--

Geometra

Justiniano Tomayro


Geometra


25/42

120-

A

B

C

D

120

X60

L2

L1

N

MX

6060

60

60

Fnix Garca

MarleniOr

Recordar:

Recordar:

C

120-

A

B

D

120X

60

L2

L1

N

M

X

Trazamos MC tal que seforme elMCD equil tero.

-

Trazamos BD y aplicamos lapropiedad mensionadopanteriormente

-

A

B

C

D

120X 60

L2

L1

N

M

X

X=2

52

Geometra


Geometra


26/42

Demostracin:

90-

Yolanda Flores

-

-

-

-

Recuerda:

A

B

C

D

90-

=

=H

M

30

3

0-

X=90- +30- X=120-2

A

B

C

D

X90-

90-

=

=H

M

Prolongamos CD en M tal que se forma el MBC HDA,por lo tanto: HD=BM=a.

-

X

2a

MirasolDaz

X=30

Del MBD (notablede 30-60) por loque m MDB=30.

A

B

C

D

90-

=

=

HM

30

Geometra

90-

Elmer C.CH.

2

A

B

C

D

X

90-

90-

=

=H

=

=

Recordar:

Recordar:

Propiedad: 06

B

AC

D

X=120-2

2

X


Geometra


27/42

Propiedad: 07

120-2

2

Si: X=

Figura:

Primer trazo

Segundo trazo

Javier Flores

120-2 120-260

60-60

120-2

60

Demostracin:Para ello es necesario conocer el trazo de la siguiente figura:

120-2

60

60

B N

C

D

A

Trazamos AN y aplicamosel trazo conocido (ABNC:equilatero)

-

Recuerda tambin; el siguiente trazo:

Estefany T.F

-

--- --

=

=

120-2

60

60

B N

C

D

A

=

=

Aplicamos lo mensionado en el grfico puesto que se presenta lascondiciones:

Recuerda:


Geometra


28/42

A

Recordar:

2

X

Ana Or

X=

120-2

60

60

B N

C

D

=

=

X=

2

Problema 35

Problema 33 Problema 34

Problema 36


2040

X

323

4X 3X

5X

X

3 2

3X 2X

X

30 40 X


10040 X

2020

4040

10 X


Geometra


29/42

Solucin 33Problema 41 Problema 42


-

7

--

X2

60

X2X

3XX

20X

100

5X

X

3X

24

54 X- -

45 X

60

2

2XX

2

X

2

2X



2

2

x

A C

P

B

N

Recordar:

x

X =120-

Thania Flores

Primero construimos el ABC ANC.

X

120-

2

A

N

C

P

B

En el APC

3 120-

+ =180

= 15

+2

Pero X = 120 -X = 120 - 15

X = 105


Geometra


30/42

Solucin 35

Del grfico observamos:BN = a +b.Por lo tanto:MC = a +b.Que en consecuenciatenemos MN = a.

Aplicamos la construccinmencionado en NBC.

120 - 4x8x +120 - 4X = 180

X = 15

3X X2X

2X

X X

b

aa

b

8X

4X

4X

X

X

2X

2X

4XA

C

B

L

NM

a

b

b

a8X

4X

X

X

2X4XA

C

B

L

NM

a

a

a

Solucin 34

Recordemos la consecuencia del trazo en la siguiente figura:

Trazamos AN para formar el N issceles. AB

3X8X

4X

4XX

4XA

C

B

L

NM

Pilar Linares

70

70

70

X

X

40

40

2(10)

40

X = 10

30

30

90-90- 22 2

90-

Recuerda:

Aplicamos el trazo y vemos queSe construye el caudriltero

KarinaFlores

100 = 120 - 20

=


Geometra


31/42

2X3X 3X

X

A

B

CD

2X2X

2X

X

A

B

CD

2X

120-2X

Solucin:36

Construimos el ANDcongruente al BCD. Yobservamos el ABDN

Luego nos fijamos en el ABD3X+ +3X Como: 120-2X

=

=180

=

=180

3X+120-2X+3X X 15

X

X

Solucin:37

X

A

B

C

D

22

23

-

-

N

2

X=120-2

A

B

N

C

Mara SoledadChipana

Luis Beltran

X

A

B

C

D

22

23

-

-

N

120-2

Ahora en el ABC

3 +X+2 =180

120-2

=20Como: X=120-2

X=120-2(20)

X=80

Construimos el ANC ADC


Geometra


32/42

Solucin:38

Primero anotamoslas primeras

consecuencias

2 2

Ivan Jessa

Como la figura presenta las condiciones para hacer el trazo de cevianaexterior, lo aplicamos:

Recordar:

120-X X

40 2020+X

A

B

CD

Construimos el AMD NAB

120-X X

20 2020

A

B

CD

20

N

M

20 X

=2X

Elizabeth Or

120-XRecordar:

En la figura observamos el cuadriltero ABDM cncavo con las condicionespara aplicar la propiedad:

120-X X

20 2020

A

B

CD

20

N

M

20 X

Luego: 20=2XX=10

120-X X

40 2020+X

A

B

CD

20

N

20

20

20


Geometra


33/42

Solucin:39

2 90-2 90- 2

90-

Ana Torres

40 80

X10

40 40

70

A

B

C

D

40 80

X10

40 40

70

A

B

C

D

40

70 80

N

Finalmente; en el cudrilterocncavo NACD.(80=120-(20)) cumple lacondicin de los cncavos:

X=40/2

X=20

Solucin:40

Primero hacemos la siguiente construccin y los datosconsecuentes de los mismos.

B80

100

40

8040

-X

20

20

N

A C

D

X

=2X

Elezabeth Cusi

120-X

B80

100

40

80 40-X

20

20

N

A C

D

X

120-XAplicamos la propiedad en el

cuadriltero sombreado:

20=2XX=10


Geometra


34/42

Solucin:41

5X

3X

X

3X

5X

X

3X

5X

A

B

C

D N

Primero colocamos los valores de los ngulos que parten como consecuenciade los datos.Luego trazamos la ceviana exterior CN que cumpla las siguientes

5X

3X

X

3X

5X

X

2X

4X

A

B

C

D N

M

X

X

Construimos el CMN ABC

5X

3X

X

3X

5X

X

2X

4X

A

B

C

D N

M

X

X

12-2X

Solucin:42

2

Nelson

2 2

Luego de hacer el trazo (DM) se trazaDB y se verifica que: ABD MDCEn consecuencia: el ABD es issceles(m ABD=X )

AD=BD

-

-

=+ +

CrisantoRojas

X

X

2X X3X

5X

A

B

CM

D

2X

X

Aplicamos la propiedad (m BDC=5X)

En el caudriltero DCMN cncavo m CDN=120-2X (Propiedad)Ahora 3X+5X+120-2X=180

X=10 A M

Construimos DPC

ADB

Luego en el DBC:

5X+120-2X+3X=180

X

X

2X X

2X

4X

B

C

D

2X

X

X

X P

1202X ( )Propiedad de cncavo


Geometra


35/42

Solucin:43

7

60

F

D

60+

B

E

CA X

=60

Jos Molina

60+

60

F

D

60+

B

E

CA X

60+

7

Construimos el AFC ADC

Recordar:

Por lo expuesto m EAF=60

Segun la figura el AEC esissceles (m SEAC=m AEC)

X=7

Solucin:44

X60

20

100

80 B

A

D

C

2 90-2 90- 2

90-

SegundinoMeza

X60

20

100

80 B

A

D

C

20

N

80

Construimos segn loexpuesto de la siguiente

120-2 X=2X

Jess Linares

2

Construimos ahora el ABM ADC

60

Recordar:

Recuerde:


B

Geometra


36/42

Solucin:46

45 X

6045

45

60

A

B

CD

E

2

45 X

6045

45

60

A

B

CD

E

2

60

60

60

60

60Erica T.F.

Primero construimos el BED (notable de 45-45)

Yuliza Linares

X

45 X

6045

45

60

A

B

CD

E

2

60

Aplicando la propiedad: X=90/2

X=45

Observacin: formas de reconocer al notables

2n

2

2n

60

30

22n

3

60

303

45

452

22


S l i

Geometra


37/42

X

60

20100

80B

A

D

C

20

N

80

20

100

X

M

Extrayendo la siguiente figuranotamos que es factible aplicar

la propiedad de los cuadrilteroscncavos.

X=10

120-2(10)

20

100

2(10)

N

B

M

Solucin:45B

A D C

2XX

2X

E

=

2

=

Se prolonga el BD para trazarle AE//BCde cual el ADE DBC

AE= BD=DE

- - -

B

A D C

2XX

2X

E

=

2

=2

N

X

X

Luis Dueas

Recuerda:

2

2

45

45

Extraemos el ABC queresulta como consecuenciade los trazos.

Despues de construir del AEN issceles

X=45


S l i

Geometra


38/42

Solucin:47

Trazamos AM//BC del cual el ADM BDC --

2

2n

3

60

303

Jaime Rayme

3

A

B

CD

M

2X

X

2X

3

A

B

M

2X

X

3

A

B

M

2X

X

30

60

2

X=30

Recuerda:

Aplicamos la propiedad ABM

Solucin:48

30

24

64 X- -

30

24

30

24

78

30

6

36

=

=

6

6

30

6

72 36

Yenito Chipana

30

24

78

30

636

=

=

6

6

30

6

72 36

X608454

60

A

B

CD

Despues de realizar la construccin se observaque el triangulo BCD issceles (BD=BC)

X=84


Ej i iGeometra


39/42

a)

b)y

X

8

5

23

c) y

X

48

25

44

d)

e)y

X

75

35

21

f)

g)

h)y

x16

15

20

i)

j)

y

x5

8

23

y

X

25

29

27

y

x

2

15

2

y

X

4

45

6 22 +

X 44

753

48-7

X 23

3-3

4 35

k)

X15

63 - 1

l)

X8

212 3

a)

X

20

b)

X

10 +

10

c)

X

20 +

20

D)X 21 +

21

X

Ejercicios1.- Hallar x e y

2.- Hallar x

a) X

1020

b) X

2142

c)

X

12

24

4 Hallar x y a

a)

X6942

3 a

b)X

6158

10 a

c)

X

66

48

7

a

d)

X

62

56

4 a

4

5 Hallar x en:

b)X

63

34

18

26

a)X

66

28

16

32

3 Hallar x


c)

7 H ll X

Geometra


40/42

f)

X

120

7

120

2

390

x

c)

2X 90 - 3 x

35

1025

d)

2X 90 - 3 x33

527

a)

X

12018

63

c)

2X

120

10

90 - 3x

120

d)

2X

120

5

90 - 3x

120

e)

X

120

6

120

2

390

x

e)

X 90 - 3x/2

28

632

f)

X 90 - 3x/2

37

723

6 Hallar x

b

X120

18

63

b)

X120

18

63

7 Hallar X en:

10

10

40

70

9

42

69

20

120

20

80

5

50

65

6

6

48

66

40

20

12

24

34

20

10

6

12

17

40

50

54

48

43

20

40

48

36

26

X

X

X

X

X


8 Hallar x9 Hallar x 10 Hallar x

Geometra


41/42

5

8

10

20

21

5

8

10

20

21

95

98

100

110

111

X

X

X

X

X

10

12

18

14

21

18

12

16

9

20

18

12

50

48

46

46

39

X

X

X

X

X

a)

b)

c)

d)

e)

9 Hallar x

a)

a)

c)

d)

e)

+ 10 + 10

+ 15 + 15

+ 20 + 20

+ 30 + 30

a a

a a

7 7

7 7

15 15

x x

x x

+ 26 + 26+ 13 + 13

a a

a a

a a

20 20

8 8

9 9

x x

x x

X X

2X 2X3X 3X

3 32 2

10 Hallar x

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j


Hallar X en:11 12Hallar x Hallar x 13 14 Hallar x

Geometra


42/42

27 3

X

10 2

0

X

21 9

X

18 1

2

X

25 5

X

Hallar X en:

20

30

X

30

30

X

40

30

X

2830

X

51

30

X

20

10

50

X

14

7

53

X

18

9

51

X

10

50

30X

12

48

30X

6

54

30X

18

42

30X

a) a)a)a)

b) b)b)

b)

c) c)c)

c)

d) d)d)

e) e)e)

11 12a a Hallar x 13 14 Hallar x

25

35

30

X

85 86El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradiccin es la mdula principal del desarrollo (Lenin)

libro trazos de geometría

Documents