Edictómdel mseemte

.a+d#g-L#@;:i:¿:*ffi#ir¡;lr-!{ !,iii::i*ajr.:{.-iq+l¡:í:is,!i.!j!d.it:.¡i!i.ii+-lÉ

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b. .-.. ..,,:-. :,.:,-=.=:':=:.::¡:¡¡S

#'ü"

Conocimientomatemáticoen la escuela

Enseñanzay aprendizajede lasmatemáticas

Propósitosgeneralesdel currículode matemáticas

El desarrollo teórico de la psicología,la filosofía,la sociología y la didáctica ha origina-do cambios en la concepción de las matemáticas escolares. Uno de los aportes másimportantes es advertir que todas las formas de conocimiento representan las expe-riencias de personas que interactúan en entornos, culturas y situaciones históricasparticulares. El conocimiento matemático, por lo tanto,deja de ser una estructura rígiday lineal de saberes, para entenderse como un conocimiento cultural e histórico,quedebe ser compartido,aprendido, evaluado y transformado por las n uevas generaciones.

Este carácter cultural del conocimiento matemático exige la transformación del espaciode enseñanza-aprendizaje y la discusión sobre la pertinencia y secuencialidad del con-tenido. Desde esta perspectiva, se necesita la construcción y negociación de significa-dos que permitan dar respuesta a problemas cotidianos.

Tradicionalmente,la enseñanza de las matemáticas se toma como un proceso acumula-tivo de contenidos y desarrollo de capacidades propias de los sistemas numérico,geométrico, métrico, aleatorio y variacional. Algunos sistemas se consideran más im-portantes que otros, y el énfasis de los procesos se hace en lo operacional. Esta situa-ción conlleva la desintegración y mecanización del saber matemático e impide la cons-trucción de signiflcados que permitan el conocimiento del contexto de los estudiantes.

La investigación en didáctica enseña que el desarrollo del pensamiento matemáticoes una actividad compleja, que se construye al enfrentar tareas cotidianas. En ella con-fluyen nociones matemáticas y procesos de razonamiento, resolución de problemas,modelación, elaboración y ejercitación de procedimientos. Por lo tanto,la enseñanzade las matemáticas no puede entenderse como un proceso lineal de transmisión deconceptos, sino como una acción en la que se privilegia la resolución de problemasreales,para que mediante la construcción y reconstrucción significativa de conocimien-tos se constituyan redes conceptuales.

Cualquiera que sea el currículo de cada institución y los mecanismos que adopte paraimplementarlo, la enseñanza de las matemáticas debe cumplir los siguientespropósitos:

' Generar una actitud favorable del estudiante hacia las matemáticas y estimular suinterés por el estudio.

' Desarrollar una sólida comprensión de los conceptos, procesos y estrategias básicasde las matemáticas,y la capacidad de utilizar todo ello en la solución de problemas.

' Desarrollar la habilidad para reconocer la presencia de las matemáticas en diversassituaciones de la vida real.

' Suministrar el lenguaje apropiado, que permita a los niños y las niñas comunicar demanera eficaz sus ideas y experiencias matemáticas.

. Estimular en el uso creativo de las matemáticas para expresar nuevas ideas, así comopara reconocer los elementos matemáticos presentes en otras actividades creativas.

Componentesdel currículode matemáticas

Siguiendo las recomendaciones de los lineamientos delárea,se proponen tres aspec-

tos para la elaboración de propuestas curriculares: procesos generales, conocimientos

básicos y contexto.

3,Wr**xswx g*m*ra&xx

Posibilitan el"aprender a aprender" las matemáticas. 5u desarrollo implica múlti-ples acciones didácticas, que superen el campo del contenido y se centren en el

aprendizaje significativo. Entre estos procesos están:

ff$*s"*t*mrY***mtr*

h¡ res*Ímc$ci*"t

de g:rm{:tcntns

Eje central del currículo de matemáticas y, como tal, objetivo básico

de enseñanza. Al resolver problemas,los estudiantes adquieren con-

fianza en el uso de las matemáticas y aumentan su capacidad de

comunicarse con este lenguaje y de emplear procesos de pensa-

miento superiores. El planteamiento y la resolución de problemas

debe emplearse como estrategia de aprendizaje. De igual manera,

es importante desarrollar un espíritu reflexivo acerca del proceso

que se sigue cuando se resuelve un problema o se toma una decisión.

$Tanor¡;i*anisr*tq¡

rmatssn;*tie*Proceso de ordenamiento lógico de ideas para alcanzar una conclu-

sión. Se relaciona con la explicación de los pasos necesarios para

llegar a u na conclusión, formular hipótesis, hacer conjeturas, encon-

trar contraejemplos y patrones y expresarlos matemáticamente, justi-

ficar las estrategias y los procedimientos, etc.También tiene que ver

con la posibilidad de argumentar ideas propias,comprendiendo que

las matemáticas, más que una memorización de reglas y algoritmos,son lógicas que multiplican la capacidad de pensar.

tclrnu**e*aür¡n"u

sn*tmrm*1t$e aProceso fundamental que permite a los estudiantes establecer víncu-los entre sus nociones intuitivas y el lenguaje simbólico de las mate-máticas. Es clave para que los estudiantes relacionen significativa-mente las representaciones (físicas, pictóricas, g ráficas, si m ból icas,

verbales y mentales) con las ideas y conceptos matemáticos.

filtq¡ri*$n*l*r¡ Actividad estructurante y organizadora, mediante la cual el conoci-miento y las habilidades adquiridas se emplean para descubrir regu-laridades, relaciones y estructuras desconocidas (Treffers y Goffree,

1 998). Los procesos de modelación se relacionan con la formulacióny resolución de problemas y pretenden transferir el conocimientomatemático a situaciones reales,en las que el estudiante pueda com-prender y utilizar modelos de pensam¡ento y acción.

fi$;¡ h¿rva¡cIcin*"

er:mparacfrdny *3mruitaci*n c$*

pr*cedilx"nF*x"ttcs

Se refiere a la capacidad de los estudiantes para hacer cálculos correc-

tamente, seguir instrucc¡ones, utilizar aparatos y herramientas de

cálculo, efectuar operaciones y transformar expresiones matemáti-cas. Es el aprendizaje de procedimientos o modos de "saber hacer"que pueden ser de tipo aritmético, métrico, geométrico y analítico.

Componentesdel currículode matemáticas

2. {.* rx a q,i wgi * rzta s b á¿sl *o *

Están relacionados con los procesos específicos que desarrollan el pensamientomatemático y con los sistemas propios de las matemáticas. Estos procesos se remi-ten a los pensamientos numérico, espacial, métrico, aleatorio y variacional.

Femsmrfiienr{s}

ata*nrór$c*

v *ist*rmns*$* r¡qxrcnrac*dn

Para la educación básica secundaria, este pensamiento se desarrollaalrededor de la comprensión y utilización de los números enteros,racionales e irracionales, y sus representaciones. Supone el desarro-llo de tres capacidades fundamentales:

. Comprensión de los números,las formas de representación,y las re-

laciones entre ellos y los sistemas numéricos. En los grados sexto y

séptimo se busca la comprensión de los números enteros y racio-

nales, su representación y expresión, como fracciones, decimales,

razones y porcentajes. En los grados octavo y noveno se estudianlos números irracionales y se avanza hacia la generalización alge-braica de propiedades y operaciones.

. Comprensión del sentido de las operaciones: destreza relacionadacon el reconocimiento del significado de las operaciones en los

diferentes conjuntos numéricos, el aprendizaje de los modelosusuales de las mismas y los efectos de aplicar cada una.

. Cólculo con números y aplicaciones de números y operociones: se re-

fiere a la adquisición de algoritmos informales y al trabajo para el

cálculo mental,la aproximación y la estimación y razonabilidad delos resultados.

ff*$saft'¡ient{j*s6':a**xÉ

y sE:i[ü$r*á]5

elqs*ri'T#tr'fr{*s

La geometría y el sentido espacial son componentes fundamentalesdel aprendizaje de las matemáticas. Estos ofrecen formas de inter-pretar y reflexionar sobre el ambiente físico y sirven como fundamen-to para el estudio de otros tópicos de la matemática y de las ciencias.Con el desarrollo del pensamiento espacial se busca que los estu-diantes examinen y analicen las propiedades de los espacios bidi-mensionales y tridimensionales, asícomo las formas y figuras geomé-tricas que se hallan en ellos.Cuando el estudio de las relaciones entreformas se hace más abstracto, los estudiantes deben lograr un en-tendimiento del papel de las definiciones y teoremas y ser capacesde construir sus propias demostraciones.

F*rrsn¡ni*r*tqpr:r*tric*p sist*masE** r'yrsri$e$*s

Los estándares para el pensamiento métrico se encaminan a desa-rrollar procesos y construir conceptos, como magnitud y medición.También buscan la comprensión de los procesos de conservación delas magnitudes,la selección de las unidades de medición,la aprecia-ción del rango de las magnitudes y la asignación numérica. Específi-camente se refieren a la identificación de atributos medibles;a la com-paración directa e indirecta de magnitudes; a la clasificación deunidades de medida; a la identificación y uso de reglas operativaspara comunicar medidas;a la construcción de medidas regulares paradeterminar la capacidad,el volumen,la longitud y el tiempo;a la trans-formación de unidades, y al reconocimiento del uso de propiedadesgeométricas en la resolución de problemas de medida.

Fsnsarníentm*e**mtslntm

y süxter*nsde *iatcls

El desarrollo del pensamiento aleatorio está ligado a la formación deun espíritu investigativo. Busca integrar la construcción de modelosde fenómenos físicos con el desarrollo de estrategias, como la simu-lación de experimentos. Parte de la exploración, organización e inter-pretación de datos, para desarrollar procesos de comparación y co-rrelación, que permitan hacer inferencias cualitativas, diseños, pruebasde hipótesis, reinterpretaciones y simulaciones.

ff*r'*s;$¡ir¡üq:ffit*

vu*nü*+C$*n"tm$

trr s*st*mexa$_q*hr';*íe*r

y a*'ra*ftu**s

En la vida práctica y en los contextos científicos,la variación se en-cuentra en ejemplos de dependencia entre variables o en situacio-nes en donde una misma cantidad varía. Estas situaciones se puedenaprovechar para iniciar el estudio del álgebra asociada con la des-cripción, el análisis y la generalización de hechos y propiedades arit-méticas, la descripción, aná I isis, identificación y uso de relaciones fu n-cionales, el dar significado a la variable, la construcción y uso demodelos lineales, el empleo significativo del lenguaje algebraico, elmodelamiento de situaciones con diversos tipos de funciones,la uti-lización de representaciones para analizar relaciones funcionales yhacer traducciones entre ellas.

&.{*vxt*x%*Se relaciona con los ambientes que rodean al estudiante y otorgan significación alas matemáticas.Variables como las condiciones socioculturales, el tipo de interac-ción,los intereses y creencias particulares y las condiciones del proceso de ense-ñanza-aprendizaje son clave para el diseño y ejecución de experiencias didácticas.En busca de un mayor aprovechamiento del contexto, como un recurso para la en-señanza-aprendizaje, se requiere la intervención activa del maestro, quien debedescubrir y proponer situaciones problema, que confieran sentido a las matemáti-cas. Por otra parte, el contexto es el espacio donde el estudiante puede aplicar susconocimientos y encontrar interrogantes y asociaciones que le permitan compren-der las matemáticas, no como un conjunto de reglas y operaciones, sino como unaposibilidad de "aprender haciendo'j

ohrMl. Historia de las matemáticas

Los números negativos ..........................9-1 1

oF¡ri@2. Historia de las matemáticas

Las operaciones con números enteros ...................... B1-83

Pensamiento

numérico

Pensamiento

variacional

Pensamiento

espacial

Pensamiento

métrico

Pensamiento

aleatorio

Pensamiento

variacional

Pensamiento

lógico

Posiciones relativasNúmeros enterosNúmeros enteros en la recta numérica ..................... 16-17Valor absoluto ............ 18-19Relaciones de orden entre números enteros ..........20-21

Solución de problemasRepresentar la situación prob1ema............................. 22-23

Desarrollo del sentido numérico .....24-25

Los enteros como operadores aditivos ..................... 26-27lnverso aditivo de un número entero ........................28-29

Solución de ecuaciones de la forma x + o = 0 ........ 30-31Los enteros como operadores multipl¡cativos ....... 32-33

12-1314-15

Solución de problemasTrabajar hacia atrás ............

Vectores ........................ 36-37Ángulos positivos y negativos.... ...... 38-39El plano con cuatro cuadrantes .......40-41

Medición del tiempo.......... 42-43

Adición de números enteros............ .. 84-85Propiedades de la adición entrenúmeros enteros ........86-87Sustracción de números enteros ...... 88-89Multiplicación de números enteros ............................ 90-91

Relación "ser múltiplo de" .................... ...........................92-93

Propiedades de la multiplicaciónde números enteros -94-95Potenciación de número enteros .....96-99Radicación de números enteros .. 100-i 01

División entre números enteros .. 102-103

Relación "ser divisor de" 104-105

Ordendelasoperaciones......................... 106-107

Solución de problemasPlantear una expresión numérica adecuada.......

Desarrollo del sentido numérico

Solución de ecuaciones aditivasResolución de ecuaciones mult¡plicativas ...........

Solución de ecuaciones con operacionescombinadas..

Solución de problemasPlantear y solucionar una ecuación

Relación de congruencia en polígonos ................

TraslacionesRotaciones en el planoReflexiones en el planoSimetríaComposición de movimientos en el p1ano..........

Unidades de longitud y área ...............

Perímetro de figuras planas .............

Área de figuras planasTeorema de Pitágoras

108-',r09

1 10-1 1 1

112-113114-115

116-1 17

34-35 118-119

120-121122-123124-125126-127

128-1291 30-1 31

't32-133

1 34-1 35136-137

1 38-1 39Coordenadas geográficas

Solución de problemas

........50-51

Utilizar una fórmula .. 52-53

Fenómenos aleatorios y determinísticos.................. 54-55

Experiencias probabilísticas .............. 56-57

' Población, muestra y variables ......... 58-59

' Organización y tabulación de datos .......................... 60-61

' Gráficas cartesianas ......62-63Pictogramas ................ 64-65

Solución de problemasElaborar una tabla .....66-67

Desarrollo del pensamiento lógicoLa proposición condicional ...............68-69

Evaluación ,...................70-7 5

Prueba Saber. ..............76-77

Control y seguimiento .........................78-79

Solución de problemasUnificar unidades de medida ........ 140-141

El lenguaje del a2ar............ 142-143Comparación de probabilidades .................... ......... 1 44-1 45

La moda de un grupo de datos.......... 146-147El promedio de un grupo de datos.......... 148-149La mediana de un grupo de datos.......... 150-151

Solución de problemasUsar datos de una gráfica 152-'l 53

Desarrollo del pensamiento lógicoValores de la verdad de una proposicióncondicional .............. 154-1 55

Evaluación 156-161

Prueba Saber. ...,...... 162-163

Control y seguimiento 164-165

s

3s@ o}}tffi{ffi- .rbi¡ e bs matemáticas

rlreosft-rcionarios y decimales.... 167-i69

- fT-dón fraccionaria de un decimal 172-173- -r q-¿dó{1 de exp res iones deci ma les .... ............ 1 7 4- 1 7 s- :brie¡ntoyredondeodedecinrales. 176-177- tzires con expresiones decimales "l7B-179- ry(adón abreviada con números.krr* -

- <¡-ih de problemasCtfu el resultado por aproximación .................. 1 g2-1 83

- Ehsroücdel sentidonumérico ...'184-.l85

- brne<__ 186-187- 1|ryrcbnes......................... 188-189- ttsÉdadft¡ndamental

-bproporciones................ ............190-19.|

r rE.¡{iin de problemasC.cuüu¡r una fórmula

- fqgmertos proporcionales ..........,................

- bernadeTales- ¡r¡ci¡Ír de semejanza entre- ltrptecias .............

- Carrucción de figuras

Écióndeftrinetro y área

Historia de las matemáticasEl gran Vitruvio..........................

Operadores fraccionarios ......

Números racionalesFracciones equivalentesLos números racionales y la recta numérica ......

Operadores inversosComparación de racionales .

Adición y sustracción de números racionales .... Multiplicación y de racionales' Potenciación y racionales..............

entre triángulos ..............

objeto ...........

Unidades de volumen y de capacidadVolumen de algunos sólidosUnidades de peso

Solución de problemasExpresar medidas en la misma unidad.................

La probabilidad de un eventoEscala de probabi1idades...............,.........

El porcentajeFrecuencia relativa y porcentaje

) ,/i2,/ i.',/l(e1r\\-\ I

\\J¡l i^. \,/ i(

Vistas

237-239

240-241242-243244-245246-247248-249250-251252-253254-255256-257258-2s9

260-26"1

262-263

264-265266-267268-269270-271272-273

274-275

276-277278-279

280-281282-283284-28s

286-287

288-289290-291

fhrira "t du5J.;1..ó

) \ r \\- r\.\\)Sd¡ción de p¡ohtthütrLSd¡ción de preb(e\g)ulher una represe\g.dión .....2{Z-2"t3

- kecuencia de un 214-215

E*inación de la probabiéun evento ..2't6-2't7Fecuencia absoluta

"....................

21 8-21 9

fucr¡encia relativa acumulada .....:-................... ......22O-22'l

Solr¡ción de problemasIt¡erpretar una gráfica estadística 222-223fhsanollo del sentido lógicola proposición bicondicional .........224-225

. Solución de problemasTomar decisiones.................... .......... 296-297

. Desarrollo del pensamiento lógicoAcertijos lógicos ...298-299

Evaluación 300-305

Prueba 5aber................ 306-307

Control y seguimiento 308-309

t-t-I

292-293294-295

Posiciones relativasCornprcndeo En una competencia de lanzamiento

de jabalina se ubica una bandera paraseñalar elmejor registro de la últimacompetencia.A partir de ella se anotala posición de los lanzamientos decada competidor. ¿Cuálfue la posiciónrelativa de los lanzamientos delos competidores con respecto

a la bandera?

. Ellanzamiento de Mario quedó 2 mantes de la bandera.

. El lanzamiento de Julión quedó I mdespués de la bandera.

. Ellanzamiento de Carlos quedó 4 mantes de la bandera.

'Ellanzamiento de Raúlquedó 2 mdespués de la bandera.

. Ellanzamiento de Armando quedó 3 mantes de la bandera.

Corlos Armondo Morio

Steve Backley, primer atleta británico en la historia que ha

alcanzado cuatro medallas de oro europeas consecutivas

Julión Roúl

3m 2m

Tomando como punto de referencia a Mario,las posiciones relativasde los otros competidores son:

-_ Carlos está 2 m atrás de Mario.

* Raúl está 4 m adelante de Mario.

- Julián está 3 m adelante de Mario.

--- Armando está 1 m atrás de Mario.

Julián observa los puntajes obtenidos en la competencia y compara, en la tabla,las posiciones de los demás jugadores con respecto a é1.

Carlos Armando Mario Julián Raúl

5.0 4.0 3.0 2.o 1.0

- Carlos está tres posiciones por debajo de la posición de Julián.

- Armando está dos posiciones por debajo de la posición de Julián.

- Mario está una posición por debajo de la posición de Julián.

- Raú\ está una posición por encima de \a posición de lu\ián.

2m1m

B Punlo de refelencioA portir de un punto

es posible determinordos sentidos u

orientociones, en

reloción con el punlo

determinodo.

Posición relolivoLugor que ocupoun objeto con

reloción o un punto

de referencio. Se

utilizon expresionesc0m0:

izquierdo - derecho

orribo - obojo

otrós - odelonte

ontes - después

m0y0r que -menor que

sobre - boio

? ::3.esenta la distribución'::3ecto a la roja, si:

de las balotas con

4. Determina la posición de cada uno de losárboles con respecto al pino.

9' De acuerdo con el nivel de líquido que indica lamarca roja,expresa la cantidad de unidades quehay en cada frasco, por encima o por debajo.

a. b. c. d. e.

La segunda guerra mundial terminó en 1945.Determina cuántos años antes o después delfinde esa guerra transcurrió cada acontecimiento.

a. Fundación del estado de lsrael (1948)

b. Primer hombre en la Luna (1969)

c. Revolución de octubre en Rusia (1917)

d. Separación de Panamá (1903)

e. Guerra civil española (193a)

ficeuelve7 Eduardo tiene cinco amigos que viven en la

misma cuadra. Describe la ubicación de lacasa de cada uno de sus amigos con respectoa 5u casa.

l@ooa. -a balota azulse ubica dos puestos antes de la

'cja.

b, -a balota amarilla se ubica un puesto despuésce la roja.

c -a balota verde se ubica dos puestos despuésde la roja.

d- -a balota morada se ubica un puesto antes deia roja.

:entifica a cada una de las chicas de la foto,:e acuerdo con su ubicación respecto de:atricia.

a. María está dos lugares a la derechade Patricia.

b. Juliana está tres lugares a la izquierda.

c. Lola está un lugar a la derecha.

d. Cristina está un lugar a la izquierda.

e. Francy está dos lugares a la izquierda.

Hizot )etermina la posición de cada una de las cani-

:as con respecto al hoyo.

@t¡@@tu@[@@

Números enterosComprendeo Esteban y Andrea practican un juego de carreras, que consiste en llevar sus

móviles al garaje correspondiente. Los movimientos estarón indicados porlas cartas que se socon por turnos.

\s\v-Pi

¿Cómo podrían describirse numéicamente los desplazamientos que se indicanen cada carta?

Se puede convenir que los desplazamientos se indiquen con un número,acompañado de signos como d para la derecha e i para la izquierda. El lugardonde está el punto de partida se denota con 0.

. Esteban:Dos lugares a la derecha de la estación -

2 d. Andrea:Tres lugares a la izquierda de la estación * 3 i

En matemáticas se ha convenido el uso del signo"más"(+) para designarderecha y el "menos"(-) para indicar izquierda. Esta notación determina losnúmeros relativos.

. Dos lugares a la derecha: -

+2 -

Se lee 2 positivo o más 2.

. Tres lugares a la izquierda: _* 5e lee 3 negativo o menos 3.

A. Los números precedidos por el signo 1 se denominan "enteros positivos"y se representan sobre una línea a la derecha del cero:

'El conjunto de todos los números enteros positivos se simboliza conZt .

B. Los números precedidos por el signo 2 se denominan "enteros negativos'lSe representan sobre una línea a la izquierda del cero.

,4-3-2-10. El conjunto de todos los números enteros negativos se simboliza conZ-.

La unión deZ+ ,Z- y el número cero forma el conjunto de los númerosenteros y se simboliza conZ.

5 -.1 3 2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +

cero

,J

SNúmeros relotivosSe determinon o

poriir de loubicoción de unpunto de referencio.

Números enlerosConstituyen lo unióndel conjunto de los

números negotivoscon el de los

números positivosy el cero. El númerocero es el punto de

referencio dentro del

conjunto de los

números enteros.

14

iecresenta con números enteros las cantida-:p< indicadas, tomando como punto de refe-

-scla el cero.

r i.¡atro unidades a la derecha

L Snco unidades a la izquierda

c 3<ho unidades a la derecha

d- S,ete unidades a la izquierda

¿ )oce unidades a la derecha

f. fiez unidades a la izquierda

iecresenta por medio de números relativos.

¡.3nce pasos adelante

L Quince pasos atrás

c )oce pasos atrás

d- )iecisiete pasos adelante

¿ "einte

pasos atrás

f. '"eintisiete pasos adelante

ltpresa med iante n ú meros

=mperatura.¿-' 2'C sobre 0

b.20 'C bajo 0

c 3 'C sobre 0

¿'65 'C sobre 0

¿ J0 "C bajo 0

I '00'C bajo 0

vos cada

*so lescribe con frases la posición de cada aviso, a

e¿rtir del que dice: "Parque'l Expresa la posi-aón de cada uno mediante un número entero.

* Describe con números enteros la profundidada la que se encuentra cada submarino.

* A partir de la posición en la que se encuentrael automóvil, determina si las siguientes afir-maciones son verdaderas o falsas.

a. El restaurante está 9 km adelante.

b. El montallantas está 5 km atrás.

c. El parque naturalestá 9 km adelante.

d. El peaje está 4 km atrás.

e. Elteléfono está 3 km adelante.

f. La estación está 6 km adelante.

.

7- Andrea se reúne con cuatro amigos: Betty,que es dos años mayor que ella; Cristina, quees tres años menor; Daniel, que es cuatroaños mayor,y Esteban,que es un año menor.

¿Cómo podría expresarse numéricamente la

diferencia de edades entre Andrea y cadauno de sus amigos?

relati

fl-.1lll;tl

Fr:rll

ffi

Números enteros en la recta numéricaf,omprendeo En el juego de "La Escalera'l los jugadores sacan por turnos una carta. Las cartas

rojas indican pasos de avonce, y las azules, pasos de retroceso. El juego consiste

en llegar, en la menor yytllad ( turnos, no::o lo ,_:":y;tl suOyioyd_e la escolera.

Soy Salomón y saqué 2 rojo. ¡

50y )al0m0n y saque ztolo_)*)i-------;-

\-n,J

I

Soy Adriana y

saqué 4 azul.

sw@1 4 /.a*:,!:r.aa se). - t I

De acuerdo con la carta que sacó cada jugador, ¿cómo podría representorse

la posición de cada uno en la recta numérico, a partir del punto de salida,luego del primer turno?

Cómo representar los números enteros en la recta numérica

a. Se elige un punto inicial, que se marca con 0.

b. Se elige una unidad de medida arbitraria y se marcan puntos a la derechay a la izquierda del cero con la misma unidad de medida.

c. Los números a la derecha del cero son los enteros positivos y los de la izquierdason los enteros negativos.

izrlirierdo

2 +l +2 aa +4 +5

Los desplazamientos de los jugadores se pueden

oco

-6 -5 4 3 2 1 0 +1 ¡2 +3 +4 +5 +6

Utilizando desplazamientos en la recta numérica se pueden representarmovi mientos sucesivos.. Un jugador retrocede 3 y luego avanza 4. ¿En qué punto queda?

rekocede 3

ovonzo 4

-6-5-4-3-210+1+2+3+4+5+6

. Otro jugador avanza 6 y luego retrocede 3. ¿En qué punto queda?

+6

>-U=

representar así:

c.oF-l/o-:(ñL

$ DesplozomientosSon movimientosde un lugor o ofoEl signo + se

interpreto como"ovonzor"

l+l+

0 +1

El signo -, se

interpreto como"retroceder".

l----------- l+

-1 0

ovonzo 6

refocede 3

6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 +4 +5 +6

r =-ioe el número entero que corresponde a

=3a letra en la recta numérica.

C EA D FB+a-i----#i----l--i-i----F*0

. ==2 cada conjunto de números enteros, se-'¿ ¿ en una recta numérica los puntossrre5OonOientes.

-6+5

-7

c.d.,-.--=\ \,*10 ",.= +12\3 -10 |-6 +6 ,t'---.*----

*r lcuentra la posición final de cada par de des-

:)¿zamientos, si se parte de cero en la recta- -^..,eriCa.

l .1¿anza 4 y retrocede 2

¡-l¿anza3yretrocede4: :.'anza 6 y retrocede 4

É- rr'anza 2 y retrocede 5

¿ :¿anza 3 y retrocede 8

i::lentra la posición final para cada par der:sclazamientos,sise parte de *3 en cada rec-

= rumérica.

¡- {vanza 5 y retrocede 2.

En cada caso, encuentra el segundo desplaza-miento del móvil para que haya llegado a la po-sición indicada.

a. l-------------J

+i#-15-10 -5 0 5 l0 t5 20 25 30 35

.g Para cada recta numérica,describe los avancesy retrocesos de un carro, si se parte de cero.

a.

-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 1

-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7

c. f-----.--.----------*l

-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 1

d.

-35-30-25-20-t5-10 -5 0 5 l0 l5 20 25 30 35

-70 -60 -50 -40 -30 -20 _10 0 l0 20 30 40 50

MZ En uno de los juegos de "La Escalera'í pilar

queda, después del primer turno, tres escalo-nes arriba de la salida. En el segundo turno que-da un escalón arriba de la salida,y después deltercer turno queda cuatro escalones por deba-jo.¿Cuáles fueron los desplazamientos que rea-lizó Pilar en cada turno? lndícalos con núme-

b.

-7

b.

0+l+2+3+4+5+6+7+g

o. :etrocede 3 y avanza '1.

-a -5 -4 -3 -2 -t 0 +t +2 +3

c- :etrocede 3 y retrocede 5.

+200 _2od

+ 1OO +309

-5 -4 -3 -2 -l 0 +l +2 +3

ro5 enteros.

Valor absoluto

o Ricardo y Lorenzo juegan al golf. Al hacer el lanzamiento al primer hoyo, la bolade Ricardo quedó 30 cm antes,y lo de Lorenzo,30 cm después.

-30 cm 30 cm

¿En qué posición y o qué distancio del hoyo quedoron las dos bolasT

La posición de las bolas de golf se puede representar por un número relativoque exprese la distancia que hay entre cada bola y el punto de referencia, y elsentido en que se toma.

. La medida de la distancia entre cada bola y el hoyo, considerado como elpunto cero, se llama valor absoluto. Este resultado es un número positivo.Se s\mbo\\za escr\b\endo e\ número entre dosbarrasvertrca\es:\ \Entonces,la posición y la distancia de cada bola con respecto al hoyose pueden representar así:

B volor obsolutoEs lo distoncio que

hoy entre un númeroy el punto cero (0).

El resultodo de eslomedido es siempreun número positivo.

Números opueslosDos números enteros

son opueslos si

estón o lo mismodistoncio de cero,

siluodos en sentidoscontrorios.

El opuesto de un

número entero +aes -d, y viceverso.

Bola

De Ricardo

j5ffi$"Wl${ñW$:üffi*i$ir¿ti,q#fíüxr*irri}íi$ffiffiffi.{,$Í$r*$*MieYá1tii,üif:á-iindy,iglrissg#Éáiitw

E1 la recta num,érica i NúmeJo refativg

F- 30 cm ontes ----------------l

Valor absoluto

-30t-300I F_ Distoncio : 30 cm ___________.t

tl- 30 cm después

-lDe Lorenzo r0 +30

,l-Distoncio : 30 cm ------------------*¡

Cuando dos números están a la misma distancia de cero y tienen signosdiferentes, se llaman números opuestos. El opuesto de +30 es -30.

+30

l-3ol:30

l+3ol:30

t Encuentra el valor relativo de cada desplaza-miento en las rectas numéricas.

a..r , r , r , r l-i*l r , ,, r--7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7

b.

-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7

C' F-l

-7-6-5-4-3*2-1 0 1 2 3 4 5 6 7

d.t*-,------------_

-7*6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7

e.I

-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 I 10 11

t.l+

-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5

Determina elvalor absoluto de cada desplaza-miento en las rectas numéricas.

a' r*--.i

-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7

-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 l

C. l#

-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7

d.

-14-12-10-8-6-4-2 0 2 4 6 8 10 12 14

e.

-35-30-25-20-15-10-5 0 5 10 15 20 25 30 35

f. l+

-70-60-50-40-30-20-100 .1 0 20 30 40 50 60 70

Halla el opuesto de cada número entero.

4 Determina el valor absoluto de cada númeroentero.

a.-1d.6

c. -6f. -35

ffi.s, Completa las frases:

a. El valor opuesto de un número positivo tienesigno

b. El valor opuesto de un número negativotiene signo

c. El valor absoluto de un número positivo tienesigno

d. Elvalor absoluto de un número negativotiene signo

€, Describe el número relativo y el valor absolutode la posición del balón en cada caso, si partede 0.

a.

nmr*n7 En la segunda jugada de la partida de golf, la

bola de Lorenzo quedó 5 cm antes del hoyoy la de Ricardo pasó sobre el hoyo y quedó a2 cm. ¿Cuál es el valor absoluto y el número re-lativo que representa la posición y la distanciade cada bola con respecto al hoyo?

b.7e. -15

@"#

b.

w0

C.

w0

d.

w0

e./-¡ct/

0

b.

a.3d. -5

b.2e. -1

c. -12i.23

Relaciones de orden entre números enterosCornprendeo Oswaldo, Alberto, Ramiro, Camilo y Donaldo

practican el juego del martillo, que consiste en

hacer subir un peso o lo lorgo de una polea

mediante un golpe que se da en lo base de un

tablero.

Primer intento

. Oswaldo quedó tres unidades por debajo

de la marca azul.

. Alberto, cinco unidades por encima.

. Ramiro, diez unidades por encima.

. (amilo, ocho unidades por debajo.

. Donaldo, doce unidades por debajo.

¿Cuóles la posición que olcanzó cado

uno, en orden ascendente?

Comparar números enterosSe tienen en cuenta diferentes casos.

a. Cuando se compara un númeronegativo con uno positivo, es mayorel positivo. Por ejemPlo, entre las

unidades alcanzadas por Oswaldoy Alberto se tiene:

b. Cuando se comparan dos númerospositivos, es mayor el que está más

alejado del punto cero (0). Entonces,

entre las unidades alcanzadas porAlberto y Ramiro se tiene:

c. Cuando se comparan númerosnegativos, es mayor el que está más

cerca de cero. Entonces, entre las

unidades alcanzadas por Oswaldo,

Camilo y Donaldo se tiene:

ll-305

5>-3 ó -3<5

Oswoldo Alberto

Alberto Romiro

llo 5 10

10>5 ó 5<10

Donoldo Comilo

llOswoldo

I

-12 -8 -3 0

-3> -8>_ 12 ó -12<-8<-3

S f ntre dos números

enteros, es menor

oquel que esté o loizquierdo del otro.

*-i----r*a<b

Ubicando todas las posiciones en una misma recta numérica se establece

el orden ascendente.DCOAR

-12 -8 3 0 5 10

Asíque: -12< -8< -3< +5< +10

Aplimr En cada recta numérica se han ubicado dos nú-

meros enteros, además del cero.

' ¿Cuál de estos dos números enteros esmenor y por qué?

a.#-'----f -------+--------F----

0 +1 +3

Localiza cada grupo de números en la rectanumérica y establece su orden de menor a

mayor.

a.-2,3,1 b. -10,2, -4c.2, -4, -2 d.5, 2, -3e. -6, -1, -4 Í.1,2, -8g. -5, -8, -2 h. -6, -3, -12

En cada caso, compara los dos números yestablece la relación menor que (<) o mayorque (>).

a. -1 +1 b. -2 +3

c.O -4 d.+4 +7

e. -5 -4 f. -5 +6

g.+5 -3 h. -5 -3

En cada grupo, ordena'de mayor a menor lossiguientes puntajes.

a.-10 4 23 8

b.-15 12 -9 -5

s Escribe el número anterior y el siguiente de cadanúmero entero.

a. -210c. -62

ttnalka6' Completa las frases.

a. Puesto que -2 es menor que 1,

entonces 1 es que -2.b. Puesto que -6 es menor que -4,

entonces -4 es

c. Puesto que -1 es mayor que -5,entonces

d. Puesto que -2 es menor que 0,

entoncese. Puesto que 3 es mayor que -4,

entonces

z lnterpreta cada uno de los enunciado y com-pleta la frase con la relación entre el primer y elúltimo número:

a. Como -3 es menor que 0 y 0 es menor que 1,

entonces -3 es que 1.

b.Como -5 es menor que -2 y -2 es menorque - 1, entonces -5 es que - 1.

c. Puesto que -3 es mayor que -8 y -8 es ma-

b. +245

d.' +299

b.

+1-2c.

-1-3d.

-2_2

yor que - 1 0,entonces -3 es

- 10.

d.Como -8 es menor que -5que -2,entonces -B es

que

y -5 es menorque -2.

fterrnflwI Al comparar la masa corporalde los integrantes

del equipo de baloncesto, con respecto a la deOswaldo, se tiene que: Alberto es 1 kg menospesado, Ramiro es 5 kg menos pesado, Camiloes 3 kg más pesado y Donaldo es 3 kg menospesado. ¿Cuál es el orden de los jugadores, delmás al menos pesado?

c. 6 -2 -1 12 -13-30 11 25

I Representar la situación problema

tt"$

o Roberto hoce reparaciones eléctricas. En un día hizo los

siguientes recorridos o lo largo de la avenida donde se

ubica su microempresa: siete cuadras al occidente,

ocho cuadras mós aloccidente,doce cuadros al

94.$3

orien'te, nueve cuadras más ol or¡entey once cuadras al occidente.

Alfinal de la jornado, ¿a cuóntascuadras se encuentra Robertode su microempresa?

1. ¿Cuántos desplazam¡entos realizó Roberto? (Cinco.)

2. ¿Enqué sentido.s se desplazó? (Al oriente y al occidente.)

3. ¿Qué pregunta el problema? (A cuántas cuadras está de su microempresa)

flsns¡4. Representa los desplazamientos

a lo largo de una recta numérica.

5. Elige un punto de referencia(ubicación de la microempresa) (-)Occidentey una unidad de medida o escala.

6. Sitúa en el esquema los cuatropuntos cardinales.

Rssghs7. Representa cada desplazamiento sobre la recta numérica.

a. Siete cuadras al occidente (-7) b. Ocho cuadras más al occidente (-8)c. Doce cuadras al oriente (+ 12) d. Nueve cuadras al oriente (+g).

e. Once cuadras al occidente (- 1 1)

Fensamnfiento

ONuméricot'ii;* t'¡;t iL rt-l¡:,,ri

" .1t: i:i i.1i :j:r i; t, 'li

I

aiiii-,"1ii ii::{t

Froaeso

O Comprende

O Ploneo

O Resuelve

O Reviso

c,

;.''' 1 ¡¡..i'l¡I t ii I i.'r

i:r;il;r¡ti';l,,; r:

i i il: i,l

' .. ::'' i

-8 -7

lllllllllllllllllllllllllll--15 -7-5-30 +6

+12

-11Roberto está ubicado en el punto -5 y su microempresa está en el punto 0.

Entonces, está a cinco cuadras de ella.

RrspuesrR: Roberto se encuentra cinco cuadras al occidente de su microempresa.

tu&il12. Coteja los datos del problema y los desplazamientos en la gráfica.

+9

Norte

Aplkn la ertr&gla1. Lorena hace diligencias en el edificio de lm-

puestos Nacionales. Para la primera,toma el as-censor y va hasta el piso 9o,a la oficina de aten-ción al público; de ahí baja cuatro pisos, hastala oficina de inmuebles; lueqo sube doce pisos,hasta la oficina de liquidación; sube tres pisosmás, hasta la oficina de cert ificados,y finalmen-te baja siete pisos, hasta la oficina de pagos.

¿En qué piso del edificio quedan las oficinasque visitó Lorena?

2. Marcela se dedica al montañismo. En una desus salidas viaja a un lugar que se encuentra a

nivel del mar y comienza a ascender. En primerlugar, sube hasta el Pico Colorado, a 70 dam;después desciende 25 dam, hasta el sitio llama-do El Refugio; luego asciende 30 dam, para co-nocer La Ladera; después desciende 50 dam,para ver El Cañón, y finalmente asciende48 dam, hasta el Alto del Mono. ¿Cuál de los si-tios donde estuvo Marcela tiene mayor altitud?

3. Óscar hace una fila con siete compañeros más.Esteban se encuentra en el puesto anterior a

é1, mientras que Laura está en el posterior. Dia-na se encuentra tres puestos antes que él;Jai-me, dos puestos antes;Gabriel, cuatro puestosantes,yYurise encuentra dos puestos despuésde é1. ¿Cuál es la localización, en la recta numé-

. rica,de las posiciones de los chicos de la fila conrespecto a la posición que ocupa óscar?

4. Un cartero reparte cartas a lo largo de una ca-lle.Comienza su trabajo a partir de la plazoletadel barrio y recorre siete cuadras hacia el nor-te. Luego, avanza cinco cuadras hacia el sur, y acontinuación avanza nuevámente ocho cua-dras hacia el sur.¿Cuál es la posición del carte-ro, con respecto a la plazoleta, al final de esterecorrido?

Formula7. Los amigos y amigas de Andrea viven en su misma

cuadra. Lorena vive dos casas a la derecha dela casa de Andrea, mientras que Sergiovive dos casas a la izquierda. Mariovive cinco casas a la derecha,y Angélica, dos casas a laderecha de la'casa de Mario.

¿Qué pregunta se podría formulara partir del enunciado?

5. Mauricio ha anotado en una tabla las posicio-nes relativas de los puestos en que se ubican ély sus cuatro mejores amigos en una fila, en re-lación con el lugar en donde él está.

G Mauricio 4

E Germán -3EL

= 50nla - ):9.; Néstor 1oo- Valentina - 1

¿Cuál es la localizaciónde cada uno del grupode amigos en la fila?

6. Mariana está ubicada 5 m a la izquierda de unárbol, y Ramiro está en la posición opuesta. ¿Aqué distancia se encuentra Ramiro de MarJana?

FIq)do

trftrfo]aFI

taFIdcnq)Q

senüido numérico

ilh,**s*f* ü"á,': '4ad.; ,"¿Wu.?" tt ,#ffi,Xffitle La clave de la caja fuerte se indica por medio

de giros de la perilla,la cual está subdivididaen unidades. Cada giro en sentido contrarioal de las manecillas del reloj, a partir de laposición inicial de la aguja, se puede indicarcon un número entero positivo, y cada giroen el mismo de las manecillas se puedeindicar con números enteros negativos.

ffil rt,*tmm*viia Un automóvil que se encuentra en el punto 0 hace un recorrido por el plano.

Su desplazamiento se indica con números enteros, de la siguiente manera:e Un número precedido del signo * significa que va hacia la derecha y avanza

la cantidad de unidades indicadas.

Ejemplo: +2

-4-3-2-10123e un número precedido del signo - significa que va hacia la izquierda

y retrocede la cantidad de unidades señaladas.

Ejemplo:-3 ffi I

-4-3-2-10a El movimiento compuesto *2, -3 lo sitúa en: - 1

Si el automóvit reatiza "1r,nu,ln,"l'"rprujuri"onto,

olsae "?ornrl

o, 4

+4 , -3, +5, -6, -2, +7, ¿a qué punto llega?

ffi@ffi

&zx*$* &* *a&*m* Este juego consiste en adivinar el número que cae-

rá en el dado. Antes de lanzarlo, cada uno de los ju-gadores propone un posible valor que se obtendráen el dado.

Si uno de los jugadores adivina el número,gana seispuntos; en caso contrario, pierde cuatro.

Para llevar la cuenta de los puntos es necesario quecada jugador elabore una recta, y en ella realice losmovimientos sucesivos, según el puntaje que segane o se pierda.

* Por ejemplo, alguien que adivinó un número y luegoperdió cuatro puntos registrará:

+6i

-4 -3 -2 -1 +3 +4 +5 +6 +7 +gI

Tiene en,# oo, puntos.o Gana eljugador que al final de seis turnos tenga el mayor puntaje.

';}z*W* **wll,r*¡ Colorea el modelo, según las instrucciones.

I a€Z+ m aeZ- I Punto de referen cia enZ

+1 +2+

Los enteros como operadores aditivosComprendeo En una partida de parqués,los participantes juegan con un solo dado y una

sola ficha, que parte de la casilla de solida. Para hacer mós divertido el juego,

establecieron alg u n as reg las.

j Cada u,t que salga un número par, i

1 el jugador avanza cuatro casillas más i

i 5i el número es impar, avanza

i el número de casillas oue indica--) |

" - el dado. oero inmediatamente--. el dado, pero inmediatamente

i retrocede cuatro casillas.

\t

A los tres jugadores a,b,c les correspondieron los números2,5y 6,

respectivamente.

A. Para hallar los avances con los números pares, se aplica el operador aditivoentero *4. Como es un entero positivo, actúa como un aumento del valorinicial. Esto es un desplazamiento hacia la derecha.

+4+4

a /-------------\--'------------

+4 +8+6+2-2

S0perodor oditivoentef0Añode uno contidodentero o otro númeroentero.

Esto odición ofecto

su 0v0nce 0

retroceso, según que

el operodor seopositivo o negotivo.

El operodor oditivocero (0) conservo lo

medido y el sentidode lo mognitud.

+4c ñ

6 10

-4b --------------\

51

B. Para los avances de los números impares se aplica el operador -4. Como es

un entero negativo, actúa como una disminución del valor inicial. Esto es un

desplazamiento hacia la izquierda.

+4-'------------r

-2 0 +2 +4 +6 +8 +10

-4

-5 4 3 2-1 0 +1+2 +3+4+5+6+7+8

I Empleando la recta numérica, encuentra el re-sultado de aplicar el operador aditivo sobre elnúmero dado.

a. +2---_-------\

+7

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

b. +7,/----=---tt\

-6

-6 -5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6

c. +5,---.....-.....................---\

+8

Andlral.,Observa las rectas numéricas y encuentra el

operador aditivo que se aplicó en cada casopara obtener el resultado.

a.

--,---------\

-6*4-2 0 2 4 6 8 10 12

b.

-3 ,2:'-). O 1 2 3 4 5 6 7

c' .i-' ,';;' ;;';r";:'..;; .. r-../,t-.i7r-------'....'..-\

t_____L_Lt ttttttttt_

4'Repiésánta enia reita numérica la aplicación,:fücg.siva d.-j6s operadores indicados y obtén

b. -3 -s

4

d. +1 +3/̂ \/ \

-5

Í. +1 -8^ ^/ \ / \-7

-1 Q, ,. .,' ., 1'. ,?'' 3'. /,. ,.:

a.

2 Completa la tabla. "'

flg*üchre5 En una partida de parqués en la que los parti-

cipantes juegan con las mismas condicionesdel problema de la página anterior, Martínavanza en su primer turno ocho casillas,y lue-go avanza diez más. ¿Cuáles fueron los núme-ros que le aparecieron al lanzar el dado en cada

Número

27

32

19

..:i i,:il.l;.:r.:t::! ii,:r.:ii:r::i.i,iii;:i;ili,rl i. i,;:liilr::.,: i;l,tr .: ij.ri':rl :. i , r:

r 0perador

-3 +2 -8 +11

24

43 ffil''

turno?

27

ffiMffi$#tffiff

Rlnverso odilivo deun númelo enleroEs oquel que se

encuentro o lomismo distoncio del

cero (0), pero en

sentido conlrorio.Es decir, su númeroopuesto.

0perodoles inversosDos númerosenteros son inversossi ol oplicor unodespués de otro se

vuelve ol estodoiniciol o punto cero(0)

lnverso aditivo de un número entero

o En un juego de Ruto,en el que los desplazamientosse realizan según las instrucciones de los cartasque van apareciendo ol azar,Javier haceun desplazamiento de + 5 km en el primerturno,y en el segundo realizo otro,que lo lleva de nuevo alpunto de partida.

¿Cuálfue la instrucción que apareció en

la carta que sacó en el segundo turno?

+5 km

7ltrffi;fI'i

Sitomamos como punto de referencia el sitio de partida y lo ubicamosen la recta numérica como el punto 0, se pueden representar a partir de estelos desplazamientos de Javier.

5km

' En el primer turno avanzó 5 km.

. 5i en el segundo turno Javiervolvió al punto de partida,significa que retrocedió 5 km.

La instrucción que había en la carta se puede interpretar como:

Retroceder 5 km Desplazarse -5 km

-5 es el inverso aditivo de 5.

Al aplicar sucesivamente dos operadores inversos se vuelve al punto inicial.

-5 km

RrspuesrR: La instrucción fue "desplozarse - 5 km".

Dos números enteros que son

. El inverso aditivo de 1 es - 1.

. El inverso aditivo de -7 es7.

inversos aditivos constituyen números opuestos.

-1 0 1

-707

oe)s lkm t

+5 km

r Ubica en las rectas numéricas el inverso aditi-vo de cada número entero.

a.o+4

b. 0+3

d.-60

Si a partir de 0 se realizan los siguientes des-plazamientos consecutivamente,¿cuál debe ser

el tercer desplazamiento para que se regresenuevamente al origen?

+z t-i\F*lb.

0

-1

&

+4

0

C.

-3

2 Encuentra el ¡nverso aditivoentero.

a. *6 b. +7

d. -9 e.-4g. -8 h. +9

i. + 10 k.-20

Afifu

de cada número

c.-12Í.+34

i.+15

t. - 105

3., Determina el proceso inverso, en cada caso:

a. Avanzar diez unidades.

b. Subir cuatro unidades.

c. Desplazar doce unidades a la derecha.

d. Bajar 20 unidades.

e. Girar 90" a la derecha.

!' Completa cada expresión.

a. 211 es el inverso de

b. -4 es el inverso de

c. +8 es el inverso de

d. -20 es el inverso de

e. *36 es el inverso de

f. + 1B es el inverso de

g. -4O es el inverso de

h. - 15 es el inverso de

¡. +200 es el inverso de

j. +25O es el inverso de

*MffiZ. En un juego de ruleta,

cuatro fichas y obtienedos consecutivos:

Angélica empieza conlos siguientes resulta-

Gana ocho fichas.

Pierde cinco fichas.

Gana cuatro fichas.

Pierde tres fichas.

Pierde dos fichas.

{|)

. Si en el siguiente turno quedó sin fichas, ¿cuálfue el resultado que obtuvo?

. Representa la situación en una recta numérica.

c.0

-2,-4d.

0

'+ Completa cada una de las proposiciones.

a. Si o es un número entero positivo, su inverso

aditivo tiene un signo

b. Si o es un número entero negativo, su inver-

so aditivo tiene un signo

S Propiedod delinverso oditivoEstoblece que loodición de cuolquiernúmero y su inverso

oditivo do comoresultodo 0

En generol,

d+(-d):0.Se lee: "a mósmenos a es iguolo cero".

PropiedodmodulolivoCuondo se odicionocero o cuolquiernúmero entero, el

resultodo es el

mismo número.

En generol:

O-la:aa-tO:ao+(-6):-6-a*O:-a

30

25+l-25)+x: 0+(-25)

O*x : 0+(-25)

x: *25

Solución de ecuaciones de la forma x + a = O

a En elfútbolamericano coda equipoavanza en territorio contrario la mayorcantidod de yardas posibles, o partirdel centro del campo. Durante unportido, Los Halcones avanzaron25 yd, pero el equipo contrario, en

u n a co ntra ofen siva, I og ró d evo lve rl o s

hasta elcentro del campo.

¿Cuál fue el desplazamientode Los Halcones en la contraofensiva?

El fútbol americano es uno de los deportes más tá(t¡cos y rudos.

Representación g ráficaSi se toma el centro del campo como punto de referencia y se denotacon cero,se puede representar la situación gráficamente:

+25

25 yd

Representación matemática. Esta situación podría formularse matemáticamente como:

¿Cuóles elnúmero que sumado con 25 da como resultado 0?

. Esta expresión corresponde a la ecuación:

25-|x:

Solución de ecuacionesSe utiliza la propiedad del inverso aditivo, y la propiedad modulativa.

25*x : 0

25*x+(-25) : 0+(-25)

_ En los números noturoles no es posible0 encontror un número que sumodo

con ofo dé como resullodo 0, pero en

los números enteros sí.

. Se adiciona el inverso aditivo de 25,en los dos lados de la igualdad.

. Se aplica la propiedad del ínverso aditívo25+(-25) :0

. Se aplica la propiedad modulativa.

. El valor de x es - 25.

RrspuEsrn: En la contraofensiva, Los Halcones se desplazaron - 25 yd.

AplirnI Encuentra el valor que le corresponde a la in-

cógnita x en cada una de las ecuaciones:

Re¡udY€s A partir del centro de la cancha de fútbol se rea-

lizan dos desplazamientos consecutivamente.

+11

0612 1B

Si en el siguiente pase el balón regresa al cen-

tro del campo:

a. ¿Cuál es la ecuación que se puede plantearpara hallar el último desplazamiento?

b. ¿Qué significado tiene la solución de dicha

ecuación?

En un juego de billar pool, las bolas están nu-

meradas, y si son introducidas ordenadamen-te en los huecos de la mesa se consideran pun-

tos a favor del jugador, pero si por error se

golpea una bola que no corresponde, se con-

sideran puntos en contra. Rafael ha obtenidoen un juego siete puntos; en el siguiente turnopierde y queda sin puntos.

. ¿Cuálfue el número de la bola que golpeó en

el segundo turno?

Una persona debe cierta cantidad de dinero.Después de pagar 5 97 400 su deuda quedó en

0.¿Cuál es el número entero que representa la

cantidad que debía?

Un buzo se sumerge a 15 m bajo el nivel del

mar. Para volver a la superficie, ¿qué desplaza-

miento debe realizar?

a.x+9:0c.x+(-7):0e.x + (-1) :0

b. -6*x:0d.8+x:0Í. -10 * x:0

Anclira2 Relaciona mediante flechas cada ecuación con

su solución corresPond¡ente.

a.5 * x:0b.-17 * x: 0

c.30 * x: 0

d.x + (-27): O

e.x+35:0t.-25*x:09.x+(-30):0

3 Plantea la ecuación que tenga comoel número entero indicado.

a. -9 es la solución de la ecuación.

b. -4 es la solución de la ecuación.

c. 13 es la solución de la ecuación.

d.45 es la solución de la ecuación.

. Plantea la ecuación correspondiente a cada

enunciado y determina su solución.

a. ¿Cuál es el número que sumado con 3 da comoresultado 0?

b. ¿Cuál es el número que sumado con 4 da comoresultado 0?

c. ¿Cuál es el número que sumado con -7 da

como resultado 0?

d.A cierto número se le suma -9 y da comoresultado 0. ¿Cuál es el número?

e. Si se agrega 1B a cierto número y da comoresultado 0. ¿Cuál es el número?

f. 21 sumado a cierto número da como resulta-

do 0. ¿Cuál es el número?

g.Cierto número sumado a -84 da como resul-

tado 0. ¿Cuál es el número?

h.5i a -104 se agrega cierto número, el resulta-do es 0. ¿Cuál es el número?

CECH)C3C@GDre@solución

rttlr'tllr-

31

-

BlOperodormulllplicotivoTronsformo uno

mogniludorientóndolo en un

senlido u olro,según seo positivo

o negotivo.

Los operodolesmulliplicolivospositivosMontienen el sentidode lo mognitudsobre lo que se

oplicon.

los operodolesmulliplicolivosnegotivoslnvierten el senlidode lo mognitudsobre lo que se

oplicon.

Los enteros como operadores multiplicativos

o En una competencia de salto lorgo se

mide la distoncio con respecto a lamorco del oño anterior. Jorge coyó6 cm por encimo de esta morca.Nelsond upl i ca esta di stanci a, tambi én porencima.En cambio,Lorenzo coyó altriple de esa distancia,pero por debajode la marca.

¿Cuóles lo posición en lo que quedoron

Nelson y Lorenzo con respecto a la marcadel oño anterior?

Tatiana Kotova,de Rusia,campeona europea

de salto largo (6,85 m).

Para hallar la diferencia entre la distancia de los saltos de Nelson y Lorenzorespecto de la marca, se deben efectuar los productos 2 X 6 y 3 x (-6),respectivamente.. Aplicar el operador multiplicativo 2x sobre 6 equivale a sumar dos veces 6.

Es decir, que 2 X 6 corresponde a aplicar dos veces el operador aditivo +6.

+6 +6

0 1 2 3 4 5 6 7 I I 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

. Aplicar el operador multiplicativo 3X sobre -6 equivale a sumar tres veces -6.Es decir, que 3 x (-6) corresponde a aplicar tres veces el operador aditivo -6.

-6 -6 -6

-22-21-20-19-18-17 -16-1s-14-13-12-11-10-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

R¡spursrR: Nelson quedó a * 12 cm de lo morca,y Lorenzo, a - l8 cm.

A. Los operadores multiplicativos positivos mantienen la orientaciónde un desplazamiento.. El operador entero 1 x mantiene la magnitud y el sentido de un desplazamiento.

del desplazamiento.. El operador entero x (- 1 ) mantiene la magnitud, pero cambia el sentido

del desplazamiento.

x(- 1)

X1

-l

a

B. Los operadores multiplicat¡vos negativos invierten la orientación

t Representa en las rectas numéricas la aplica-ción del operador multiplicativo sobre cadamagnitud.

a. Tres veces 4

0

b. Dos veces -3

0

c. Cinco veces -2

0

d. Cuatro veces 2

0

e. cuatro veces -1a:'

0

Completa cada expresión y represéntatrá.en lasrectas numéricas

. ,' i, ' ,:.,..;.:. ..'a. 3 x (-4) : , ." ....; .;' ':

Ancli¡aI Observa cada recta y completa la expresión

correspondiente.

- \/a.^

+4 +4 +4 +4

b.

c.

^.trtrtr

20

E

-22 20 - 18 -16,:=14--12 -10 -B -6 -4 -2 0

d. .x'' :r^ >t'\r-v'-Y--\^\,^\

.a jr+-t--l+-H-r I+FHFFF+-F+-F+-|-+-F+-F0

f Representa en cada recta numérica la aplica-cióri de los operadores dados y responde.

5x3#0

3x5'

0

. ¿Qué tienen en común las dos representaciones?

flesuelve5 Una persona consume

diariamente 2 lde agua.

¿Cuántos litros consu-me en una semana? Re-presenta esta situaciónen la recta numérica.

6 Una persona pierde 1 kg de peso mensualmen-te. Al cabo de cuatro meses, ¿cuántos kilos dediferencia tiene con respecto a su peso actual?Representa esta situación en la recta numér¡ca.

33

lPemsamnfiemto

i,i#;¡l*ri*c:

OVariacional; ,.. , -i "5r . " iJ {1\ ",.:1 |

, i\4mtn'irirt

j,l$*,*t*s"l*

illf *dásiiar:

Estraftegüa

',::: .i,'ri., itr:tiit-l

OTrobqjor hocio otrós.

: ::r. :,rr,, :11:ri,:l_ ;

{ a rtii. ,1r;f llij1l liti;ja;

'. i l,jf,j,r'tl i,tlr'; t-.t|1.i:,ir,.tl, ::: j:,; irir:.tt,rt.:.1,

. ,:'l .1", : , r::ji: , ;::, 1r,

. , j, ili, -r ' .ti jjija;!itii;

,a

r il-j,:: I r:i,.:. ;:t , l'l ;t.::

" . l,-iriil, ¡r j r].r:. ir:--.. ;r',

Trabajar hacia atráso Oswaldo cuenta con cierta cantidad de canicas

ol comenzor un juego de apuestas. En el primerturno quedó con el doble de las que tenía;en elsegundo, perdió cinco canicas. En el siguiente turnoganó eltriple de las que le quedaban,y por últimoperdió trece.Si alfinal le quedaron ocho canicas,

¿con cuántas comenzó eljuego?

1. ¿Cuál es la situación inicial y final de Oswaldo? (No se sabe con cuántas canicasempieza;al final quedó con ocho.)

2. ¿Cuántas veces juega Oswaldo? (Juega cuatro veces.)

3. ¿Qué datos se conocen? (El número de canicas que gana o pierde en cada turno.)

4. Representa el proceso deljuego con un esquema.

5. Utiliza operadores.

6. Reconstruye el proceso partiendo del resultado final.

f,Mr7. El proceso deljuego se puede describir mediante la aplicación sucesiva

de operadores enteros:

x(2) -5 -13x(3)I

i

;8.

Ii

i

+13

21 8

tercera pafte

,---------\ /.--------\721 8

+5;----------t:

127

la mitad

,.----------a

612

Para hallar la respuesta es necesario invertir el proceso y realizar las operacionescontrarias.

Terminó con ocho fichas.

Antes de la cuarta apuesta tenía trece fichas más.

Antes de la tercera apuesta tenía la tercera partedel resultado anterior (21).

Antes de la segunda apuesta tenía cinco másde lo que tenía al cabo de la segunda.

Antes de la primera apuesta tenía la mitad de lo quetenía alcabo de la primera.

Entonces,Oswaldo comenzó la partida con seis canicas.

Respursn:Oswaldo empezó a jugar con seis canicas.

tr, r9. ¿El resultado sat[sface las condiciones del problema? ¿Había otra solución?

Aplico la e¡trctegio1. Sofía contó el número de minutos de ejercicio

que realizó ciertos días de la semana. El martespracticó 10 min más que el lunes. El miércoles,el doble de ejercicio que el martes,y eljuevesrealizó 15 min menos que el miércoles.

Si esta última rutina fue de 45 min, ¿durantecuántos minutos se ejercitó el lunes?

2. Juan comienza su álbum con cierto número deláminas,y semanalmente duplica esta cantidad.

Si al cabo de tres semanas completa 64\ámi-nas, ¿con cuántas comenzó el álbum?

Resuelve3. Un grupo de cuatro amigos juegan a la ruleta.

-,lorge compra ocho fichas; Nelson, cinco; Pilar,

16,y Fernanda, nueve. Ubican sus fichas,y en laprimera apuesta los hombres duplicaron la can-tidad de fichas que tenían, mientras que las

mujeres la triplicaron. ¿Con cuántas fichas que-dó cada uno?

.1, Rolando tiene, al comienzo del día, S 4 500.Cuando llegó alcolegio le comunicaron que se

había ganado la rifa de 51 5 000. Si al final de lajornada terminó con el mismo dinero que te-nía inicialmente, ¿cuánto dinero gastó en el día?

5. Javier comienza un juego de carreras automo-vilísticas en su computador. En la carrera deprueba logra 80 puntos. En la primera carreradeljuego obtiene 90 puntos; en la segunda, 60;

en la tercera,16O,y en la cuarta gana 240 pun-tos. ¿Cómo puede expresarse matemática men-te la relación entre los puntajes finales de las

cuatro carreras, en comparación con los pun-tos obtenidos en la carrera de prueba? Utilizaoperadores enteros.

6. Al comprar el álbum de personajes famosos, a

Fredy le obsequian 1 8 estampil las. Al siguientedía ya tenía el doble; al tercer día se le perdie-ron nueve, pero al cuarto ganó cinco en un in-tercambio que realizó. ¿Cuántas estampillastenía Fredy al cuarto día?

Formulo7. Cambia los valores de los datos de uno de los

anteriores problemas y formula y resuelve unproblema similar.

8. Propón un problema que tenga que ver condinero, en donde se utilicen operadores multi-plicativos para resolverlo.

Adición de números enteros0onrprerdeA. lJn par de excursionistas viajan por el

departamento de Risaralda. lnician su

recorrido en Santo Rosa de Cabaly se

dirigen hacia el norte para llegar a

Chinchinó, situada a 14 km.Continúansu recorridoy Ilegan aVilla María,

situada a 22 km de Chinchinó.Armenio

-,,,,,,o,4m#.Lo TeboidoK

:-. Solento.nu colorcó

flReglos de odición de

los númelos entefosPoro sumor dosnúmeros enteros del

mismo signo se

sumon sus voloresobsolutos y ol

resultodo se le colocoel mismo signo de

los sumondos.

Poro sumor dosnúmeros enteros de

diferenfe signo se

reston sus volores

obsolutos, el menor

del moyol y ol

resultodo se leontepone el signodel número con

moyor volor obsoluto

¿A qué distancia, respecto de Santa Rosa de Cabol, se encuentran los excursionisto:-

Si se representan con números enteros positivos los desplazamientos,orientadosen sentido norte de Santa Rosa de Cabal,la posición en la que se encuentran al

final del recorrido se halla adicionando los dos trayectos. Para ello se aplican las

reglas de adición de los números enteros.

(+ 14 km) + (+22 km) : +36 km Lo sumo de dos números positivos es positivo,

Rrspursrn: Los excursionistas se encuentran a 36 km hacia el norte.

B. Después recorren 44 km hacia el sur, para llegar a Dos Quebradas. ¿Cuól es su

ubicación con respecto a la ciudad de Santa Rosa de Cabal?

. Si se representan con números enteros negativos los desplazamientosorientados en sentido sur,la posición en la que se encuentran los

excursionistas se halla adicionando los dos trayectos:

(36) + (-44) : -( -44 - 36 ) Lo sumo de dos números con diferente signo correspor;

-(44 - sor I _{e) :¿xj:T¡fffflJ';;H [H:"T["'lT3;'rrecedido

c:

RrspursrR: Los excursionistas se encuentran o 8 km al sur de Sonta Rosa de Cabal.

C. Finalmente,los excursionistas deciden visitar Pereira, a 7 km hacia el sur.

Ahora, ¿cuól es su ubicación con respecto a Santa Rosa de Cabal?

. Para determinar su posición se realiza la adición:

(-B) + (.-7) : -( -8 + \-7 ) Lo sumo de dos números negotivos es iguolo lo sumc

-(8 + t, : _ltt)

de sus volores cbsolulos' precedido delsigno menos

RespursrR: Su localización es 15 km al sur de Santa Rosa de Cabot.

I Halla las sumas.

a. -2 + (-3)c.5*7

b. 1 + (-2)d. 18 + 36

e.e+13 f.(-12)+(-25)9.(-6) + (-8) h.45-t 12

¡. (-13) + (-7) i. (-16) + (-e)k.(-10) + (-24) ¡. (-26) + (-50)

In cada suma, indica cuál de los dos sumandos:iene mayor valor absoluto y cuál es su respec-tivo signo. Observa el ejemplo.

a. 14 + (-5) El de mayor valor absolutoes 14. Signo positivo.

b.(-18) + 10

c. 28 + (-9)

d.24 + (-34)

e. t-45) + 50

Calcula las sumas.

a.(-15) + 8c.7 * (-20)e. 18 * (-12)g. (-25) + 23

¡. (-34) + 39

b. 180 + (-76)d.(-10s) + 80

f. 150 + (- 123)

h.22O + (-2s0)j.(-1840)+1520

o Reúnete con un compañero/a y propongan:

a. Tres ejemplos de adiciones entre números en-teros con diferente signo, cuyo resultado seapositivo.

b. Tres ejemplos de adiciones entre números en-teros con diferente signo, cuyo resultado sea

negativo.

z Completa.

a. Si a y b son dos números positivos,la suma

a*btienesigno:b. 5i o y b son dos números negativos,la suma

a -l b tiene signo:

c. 5ia es un número positivo y a es mayorque bi, la suma a -f b tiene signo:

d. Sia es un número negativo y d es mayorque b, la suma a i b tiene signo:

Resuclve8 Estando en Pereira, los excursionistas se inte-

resan por visitar tres sitios turísticos, ubicadosal oriente y al occidente de la ciudad. Para ello,realizan el recorrido que se muestra en la gráfi-ca y visitan en el orden A,By C los tres lugares.

¿Cuál es la localización,con respecto a Pereira,de cada uno de los sitios turísticos?

C Pereira B

Anolizsr Representa,en la recta numérica,la adición de

enteros con signo diferente. Sigue el ejemplo.

,9,+6-t

-7-6 5-4-3-2 1 0 1 2 3 4 5 6 1

6 + i-g)

a.5 * (-10) b. (-8) + 3

c. 7 + (-8) d. (-5) + 9

e.(-10) +4 f.6+(-2)

Plantea un ejemplo de cómo representarías la

adición de dos números enteros con el mismosigno.

+22 km

e Cuando los excursionistas realizaron el viajedesde Chinchiná hacia Villa María, pararon enun supermercado. Uno de ellos se bajó a com-prar agua y alimentos para el camino. Contabacon 5 1 5 000, gastó en total S 8 900 y guardó elcambio en su bolsillo. Más adelante encontró5 10 000 en otro bolsillo. ¿Cuánto dinero tieneel excursionista?

Propiedades de la adición de números enterosComprendeo Tres turistas recolectan dinero para visitor la ciudad de Guaduas. El primero

aporta 5 4 800, el segundo 5 5 300 y el tercero 5 I 000. 5i el transporte vale

5 8 000, ¿cuánto dinero sobra para continuar la visita?

Villa Guaduas, ubicada a 1 06,3 km de Bogotá. Cuna de Policarpa

Salavanieta,"la Pola'i heroína de la independencia.

Para resolver el problema se puede tomar la cantidad de dinero que se pagó por

el transporte como una cantidad negativa:(-8 000). El dinero recolectado como

cantidades positivas: (+4 800, +5 300, +8 000).

Se aplican las propiedades de la adición para resolver la operación:

(-8 000) + 4 800 + 5 300 + 8 000

DefiniciónPropiedad

La adición de números enteros

Clausurativa da como resultado un número

entero.

En una adición de números

.........1_1,.._ enterossepuedeintercambiart0nmutatrva

el orden de los sumandos sin

alterar el resultado.

En la adición de números enteros

Asociativa se pueden agrupar los sumandos

sin que se altere el resultado.

La adición entre un número

lnvertiva entero y su inverso aditivo es

igual a cero.

La adición de un número entero

Modulativa con el cero da como resultado

el mismo número.

Ejemplo

(-8000) + 4800 + 5300 +10n0 e z

(-8000) + 4800 + 5300 +4800 + s300 + (-8000) +

8000:10100

8000:8 000

B Propiedodes de loodiciónAlgunos propiedodesque cumple loodición de númerosenteros son:. Conmutotivo. Asociotivo. Modulotivo. lnvertivo

(4800 + s300) + [(-8000) + 8000] :

-8000*8000:0

(4800+s300)+0i

:,]0100 * 0:10100

Rrspursrn: Sobran S 10 100 para continuar la visita.

y (-85) -t 120:y 20 + (-34) :y (-- 150) + 6s :y 105 + (-35) :

z Realiza las operaciones asociando los suman-dos de dos maneras diferentes.

a.4+ (-12)+ 15

b. (-8) + 1s + (-5)c.20+(-7)+(-8)d.(-s)+(-12)+32e.45*25+(-30)f. 18 + (-22) + 13

g. (-200) + 80 + (-30)h. (-160) + (-45) + 105

¡ Encuentra eltérmino que falta en cada una delas siguientes adiciones.

a.6+ -0

Aplt*t1 Halla las sumas y comprueba la propiedad con-

mutativa en cada caso.

Asocia términos positivos y negativos paraagilizar operaciones.

a. 12*(-5)+8+(-2)b. 12+(-s)+8+(-4)c. 45 + (-19) + 10 + (-11)d.25+(-13)+8+(-10)e. (-70) + 38 + 12 + (-25)r. e24) + 16 + (-14) +12

g. (-45) + (- 15) + 17 + 13

h. (-3s) + 22 + 14 + (-12)

ldentifica en cada paso de los ejercicios laspropiedades que se utilizaron.

a.20 i (-16) + 9 + (-15) + 16:20 + 9 + (-15) + (-16) +16: (20 + 9) + (-rS) + [(-16) + 16]:29+(-15)+0:29+(-15):14

b.33 + (-24) + 2 + (-16) + (-ss): (33 + 2) + le2q + (- 16)l + (-3s): (35) + (-40) + (-3s): (-40) + [(35) + (-35)]: (_40) + 0: -40

Utilizando las propiedades de la adición entreenteros, obtén el resultado mentalmente.

a.5 f 14 + (-5):b. 10 + (-2) + (-8) + rz :c. 8 * (-5) + 12 + (- 15) + 8:

BwrelwI Dos turistas almuerzan frente al Museo delVi-

rrey Ezpeleta. Los platos que consumen valen5 20 000 y S 18 000. Si cuentan con un efectivode S 45 000 y S 38 000, respectivamente:

a. ¿Cuánto dinero les queda en total?

b. ¿Qué propiedades de la adición de númerosenteros se pueden utilizar?

c. Utiliza otros procedimientos.

a. 120 + (-85) :b. (-34) * 20:c. 65 + (-150):d. (-s5) * 105 :

¡ b.8+(-9)+ -8I .. +(-7)--7I o. 48 + (-48) :I . (-22t+ :_ 22

I f.(-i4t+20+14:

I ; ::;,' .':): : -:zl-*I . -,,,,ru tas propiedades conmutativa y asociati-

de números enteros

ú

TermalesdelQuindío 22T-

¿Cómo varía la temperaturade un lugor o otro en el recorrido?

El páramo de Letras tiene una temperatura de 8 .C, y el parque de los Nevados,14"C.Para hallar la variación de la temperatura entre estos lugares se hace lasustracción de sus respectivas temperaturas:

+14 -a

elií:,*f.¡iffi', ñ-e ^*¡. áa ¡#\ itu-H¡d * *r-a

: t -¡.r.i

Termoles edel Quindio

Sustracción

Nevado del Ruiz -97)woooderRuiz.¡|fl

Jgt - o Porque de los Ner:d-* *C.,añ¡gqk)-

-3-2-r0 I 2 3 4 5 6 7 8 I t0il 12t3)4 t5 t6 t7

- {-9}

ComprerdeEn una excursión se realiza ordenodamenteelrecorrido que aparece en elmapa.

Sitio Temperatura

Páramo de Letras B tParque de los Nevados 14 T

14 - 8:6RrspursrR: La temperatura sube 6"C al llegar al parque de los Nevados.

A. Para hallar la variación de la temperatura entre el parque de los Nevadosy el nevado del Ruiz, se hace la sustracción de números enteros.

(-e) - 14

Esta sustracción se puede interpretar como una adición del minuendocon el inverso aditivo del sustraendo:

(-9)+(-14):-9-14_oa

L¿

-14 -9

-23 -22 -21 20 'n ''

RrspursrR: Este resultado significa que del parque de los Nevados al nevadodel Ruiz la temperatura baja 23'C.

B. La variación de la temperatura entre el nevado del Ruiz y los termalesdel Quindío se puede hallar mediante la sustracción:

22 - (-e)Puede interpretarse como:

(22) + (+e)

22-(-9):22*9:31tz¿

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 1213 141516171819202122232425262728 293031

RrspursrR: La temperatura sube 31 "C del nevado del Ruiz a los termalesdelQuindío.

gSustrocción de

númetos enlerosSe puede interpretor

como lo odición del

minuendo con el

inverso odifivo del

sustroendo.

Siaybsonnúmeros enteros,

entonces:

a-b:a+(-b)

BB

I Expresa cada sustracción como una adición.

a.36 - (-14) b. 23 - 16

c. 45 - (-12) d.50 - 24

e. 20 - 16 f. (-40) - 18

s.(-3s) - (-10) h. (-76) - 54

z Expresa como una adición las siguientes sus-

tracciones, y encuentra su resultado.

a. 20 - (-8)c. 17 - (-s)e.36 - 13

9.46 - 24

¡ Halla el resultado.

a. (-10) - (-6) b. (-35) - s0

c. (-16) - e d. (-28) - (-10)e. (-2ü - 1a r. e84 - 28

g. (-30) - 18 h. (-24) - 36

Anolizr¡a Representa en la recta numérica las sustraccio-

nes,teniendo en cuenta que la sustracción en-

tre números enteros se interp' ta como una

adición. Sigue el ejemPlo.

(-6)-3: (-6)+(-3)-_o

t-6) 3

-6

10 9-8-7-6 5 4-3-2 1 0 1 2

a. Restar 2de28 b. Restar 10 de 6

c. Restar 9 de 6 d. Restar -7 de -5e. Restar -4 de -5 f. Restar -6 de 3

g. Restar -3 de 4 h. Restar -4 de 9

s Trabajen en grupo en el análisis de las siguien-

tes afirmaciones. Escriban falso (F) o verdadero(V), según corresponda. Den ejemplos,,

F,.V,a. Si dá un númáro bosit¡vo ié lüstiáe ',

I uno negativo, el resultado siempre es

. un número Positivo.

b. Si de un número negativo se sustrae

uno positivo, el resultado siempre es

un número Positivo.

c. Si de un número n.gutiuo se sustrae

uno positivo, el resultado puede ser

un número negativo.

d. Side un número entero se sustrae uno

entero mayor, el resultado es un nú-

mero negativo.

'é. Én rós nümeroi eÁteros, iustraér no

siempre significa disminuir,

Re¡uelvsó Cristina y Natalia exploran el parque nacional

de los Nevados. Cristina sube hasta un pico a

450 m de altura, mientras que Natalia descien-

de a una planada que está a 620 m del lugar

donde se hospedan. ¿Cuál es la diferencia en-

tre la altura del lugar al que llega Cristina y el

sitio al que baja Natalia?

7 Un agente viajero ha consultado la longitud de

cinco lugares a los que necesita viajar.

1 35' oeste 78o oeste 24o oeste 45o este 230" este

Atendiendo al orden en que visitará estos lu-

gares, ¿cuál es la diferencia de longitud, de un

lugar al siguiente?

b.32-s0d. 45 - (-60)f. 18 - 38

h. 28 - (-12)

frffiFcn*emic$a

aüm8ftgo

Multiplicación de números enteros

Como 3 y 40 tienen el mismo signo,

el signo del producto es positivo,

o Una excursión sale de Sincelejo y se dirigehacia el norte,ovanzando 40 km coda hora.

¿A qué distancio de Sinceleio se encontrarótres horas después de su partida?

La distancia recorrida por hora se representa con un entero positivo: +40 km,y el

tiempo transcurrido después de la partida, con el número positivo -l3.

. Para hallar la distancia que se ha recorrido se realiza una multiplicaciÓn entre

enteros:(+ S) X (+40) Esto equivole o odicionor lres veces +40.

Geométricamente se representa como:

+40 +40 +40

-10 o 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170

Entonces,(+S) x (+40) : 12O

. Otra manera de calcular el producto (+¡) x (+40) es multiplicar los valores

absolutos de los factores y aplicar la ley de los signos correspondiente.

(+3)x(+40) : +3l xl+¿Oi:*3X+40: 120

REspuesrn: Después de tres horas se han recorrido 120 km hacia el norte de Sinceleio.

Ley de los signos. El producto de dos enteros de igual signo es positivo:

+5 +5 +5l+l

(+3) x (+s) : * 3 X 5 : '15

BEI producto de

números enferos

se obtiene

multiplicondo susvolores obsolutos y

teniendo en cuento

lo ley de los signos.

Ley de los signos. El producto de dos

números enterospositivos es

positivo:

*X*:*' El producto de un

entero negotivopor uno positivo

es negotivo:

. El producto de dos

enteros negotivoses positivo:

-^--f

on

10

1+3r x l+51

¡4 t4 -4 -4 -4 4i-+F++->F+i+l--l

0481216202428I

(-6) x (-4): + -6 x -4 :-.24Se odiciono seis veces el opuesto de -4.

(-6) x (+3): - -61 x +3 : -18Se odiciono tres veces +3, en sentido

controrio (hocio lo izquierdo).

5I

l

i-6) x l-41

El producto de dos enteros de diferente signo es negativo:

-3 +3 -3 3 -3 +3l+.--+- -l+----_i-

21 -18 -15 -12 -9 6 -3 0

i-6 x +3i

-4 -4 -4LI

Sinceleio, capital de Sucre

-16 -12 8 -4(+3) x (-4): - l+31 x -4 :-*12

Aplirat Encuentra el producto.

a.12x9c.5x4e. (-1) x 8

g.3xGi. 4 x (-2)

AEollza! Encuentra dos números enteros que multipli-

cados den el producto indicado.

a,12x9 b. (-34) x (-s)c. (-4) x (-6) d. 124 x 1s

e. (-7) x (-8) f. (-125) x (-8)g. 15 x 4 h. (-262) x (-24)i. 8 x (- 10) i. eq x (12)k. 15 x (-6) t. (-6) x 20

Relaciona cada multiplicación con su producto.

a.6 x (-9)b. (-e) x Ic. (-s) x (-1)d. t x (-s)e. 6 x (-4)f.(-e) x (-6)

s.2 x (- 13)

h.(-6) x (-4)i. (-2) x (- 13)

j.9x8

a.27 : x

c. -18: x

b.45: X

d. -46: X

e.56: x f. -35: X

X h.63: X9. -90 :

i.72 : j. -81 :

Representa geométricamente las siguientesmultiplicaciones.

t'Completa las frases y el esquema de la ley delos signos para el producto.

a. El producto entre dos enteros negativos es:

b. El producto entre un entero positivo y unonegativo es:

c. El producto entre un entero negativo y unopositivo es:

d. El producto entre dos enteros positivos es:

Rm¡¡lrr:I Otra excursión que tiene programada la empre-

sa de turismo parte de Sincelejo hacia el sur auna velocidad de 50 km por hora.

a. ¿Cuál es la distancia a Sincelejo dos horas des-pués de comenzar elviaje?

b. ¿Cuál es la operación que se debe plantear?

z A partir de un punto P, una persona caminahacia la izquierda o a la derecha.

En qué posición se encontrará, respecto a p, alcabo del tiempo indicado:

a. A los 3 min si recorre l0# (metros porminuto)a la derecha.

b. A los 5 min si recorre 12 ft haciala izquierda.

c. A los 12 min si recorre I # hacia laizquierda.

d. A los 15 min si recorre 20 # hacia la

derecha.91

( )+s( )-24( )-54( )+24( )+26( )-72( )+54( )-s( )-26( )+72

b. 2 x (-4)d. (-3) x (-4)f. 2 x (-5)h. (-2) x 6

j. (-2) x (-s)

AplicnI Determina diez elementos de cada conjunto.

a. Múltiplos de 9

b. Múltiplos de -5c. Múltiplos de -2d. Múltiplos de 7

z Halla cinco múltiplos positivos y cinco negati-vos de cada número.

8 tr @[i:@¡ Determina los elementos de cada conjunto.

a. Múltiplos de 2 mayores que -5y menores que 9

b. Múltiplos de -3 mayores que - 10y menores que 13

c. Múltiplos de 5 mayores que -30y menores que 12

d. Múltiplos de -8 mayores que -20y menores que 10

¿ Relaciona la descripción de la izquierda con elnúmero correspondiente en la columna de laderecha.

a. Múltiplo de 2 y de 6 32

b. Múltiplo de -3 y de 5 50

c. Múltiplo de -2 y de7 - t 5

d. Múltiplo de 3 y de 9 35

e. Múltiplo de 5 y de 10 12

f. Múltiplo de -4 y de -8 -27g. Múltiplo de7 y de -5 28

/lnoliz¡¡ ldentifica cada conjunto.

{., Determina los conjuntos de múltiplos de 5 yde (-5) comprendidos entre -30 y 30. Redac-ta una conclusión acerca de la relación que hayentre ellos.

Ms={

Mc sr={

)

)

z, Analiza las características de los múltiplos delos números de 1 a 10 y completa las frases.

a. La última cifra de un múltiplo de 2 es un

número

b. La última cifra de un múltiplo de 4 es unnúmero

c. Un múltiplo de 5 puede terminar en

d. Un múltiplo de 7 puede terminar en

e. Los múltiplos de 10 siempre terminan en

[e¡uclws La alcaldía de una ciudad ha decidido plantar

árboles cada 18 dam a lo largo de la vía princi-pal. Si la vía se extiende 100 dam a la derecha y140 dam a la izquierda de la alcaldía, ¿cuántosárboles se podrán colocar a cada lado de la víay en qué posiciones?

s Sobre la Avenida Colombia, en Cali, se encuen-tra elHotel lntercontinental,en elque se hospe-da un grupo ecológico. Ellos deciden ubicarse alo largo de la vía cada 30 m, para recomendar a

los visitantes no arrojar basura. Si se hallan cin-co al lado izquierdo del hotely siete al lado de-recho, ¿qué tramo de la vía ocupan?

B -9-6-30

3

-25 -20-15 -10-50

SMúlfiplos de un

númelo enleroUn número entero bes múltiplo de otro

entero o, si b es el

producto de a por

cuolquiero de los

enteros.

-21 es múltiplo de

3, porque

3x(-7):-2t

Relación "ser múlt¡plo de"Cornprcndca La alcaldío de Bogotó ha puesto carteles informativos

para los turistas que ingresan a la ciudad.

Las pancartas estón ubicadas cada 4 km al orientey al occidente de la ciudad.Si en total se colocaroncinco pancartas o cado lodo, ¿cuóles sonlas ubicaciones de estas?

Alcaldía de Bogotá

Si se representan con números positivos las posiciones de las pancartas que se

ubican al oriente y con números negativos las que están al occidente, se tieneque la posición de las pancartas es:

occidente orien

-20 km -16 km -12km -8 km -4 km 4 km 8 km 12km 16 km 20 km

Las pancartas están colocadas en posiciones que corresponden a múltiplos de 4.

@@@EEEE@@@El conjunto de múltiplos de un número entero está conformado por aquellosque se obtienen al multiplicar dicho número por todos los enteros.

Cada uno de los números enteros tiene múltiplos positivos y negativos, y unelemento neutro que es cero.

EI conjunto de múltiplos de 4 (Mrr

...-12, -8, -4,0, 4, 8, 12, 16... Mo = {...-12, -8, -4,0,4, 8...}

Los puntos suspensivos indican que los múltiplos de un número entero forman unconjunto infinito.

Todo número entero es múltiplode símismo.

4X1:44 es múltiplo de 4

. 0 es múltiplo de todos los númerosenteros.

4X0:00 es múltiplo de 4

4 x (-4)-16

4 x (-2)-B

4 x (-1)-4

4x0ll

4x14

4x2I

4x312

4x416

rffiknsrmiento

numérico

Propiedades de Ia multiplicación de números ente

Comprendeo Ricardo y Alfredo comienzan a escalar una monta ña al mismo tiempo. El pri m ='

día Ricardo caminó 3 km cada hora durante cuatro horas v Alfredo caminó 4 k-codo horo durante tres horas.¿Cuól de Jos dos recorrió mayor distancia?

para calcular las distancias que recorrieron, se establecen las multiplicaciones

respectivas:

La s d o s m u) ti pTr c a ir o n e s em p\ ean \ o s m\sm os la t\ot es, per o ürspues\ss en

diferente orden,y el resultado es igual.Esto se debe a que

la multiplicación de enteros cumple la propiedad conmutativa.

Rrspuesrn: Ricardo y Alfredo recorrieron la misma distancia.

En general, para facilitar el cálculo del producto entre enteros es preciso tener en

cuenta las propiedades de la multiplicación.

Ricordo

3 km x 4: 12km

Alfredo

4 km X 3 : 12 km

Ejemplo

(-7) ' B: -56, s6?V8x5:40.40F-v

(-3) xB-8x(-3)-24: -24

[3xt rB)]x2:sx[( 18) x2](s4) x2:3x(-36)

(-108) : (-108)

(-18) ,1-(-18)

a"[l 10) -( B)]:[3 x (-10)] * ¡: x r-B)J : -s4

$ Propiedodes de

lo multiplicociónLo multiplicociónde números enteros

cumple, entre otros,

los propiedodes:

. Conmufotivo

. Asociotivo

. Modulotivo

. Disirrbutivo de lo

multiplicociónrespecto o loodición.

Definición

El producto de números enteros es

un número entero.

Cambiar el orden de los factores

no altera el producto.

Los factores de una multiplicación se

pueden asociar sin que el producto

cambie.

El producto de un número entero

por 1 es el mismo número.

El producto de un factor por una

adición es igual a la adición de los

productos del factor para cada

sumando.

Propiedad

Clausurativa

Conmutativa

Asociativa

Modulativa

Distributiva

Apli*r Encuentra el resultado en cada caso y comprue-

ba la propiedad conmutativa de la multiplicación.

a. 12 x (-2) b.(-1s) x 4

c. (-B) x (-7) d.(-120) x 1s

2 Asocia los términos de dos maneras diferentesy encuentra el producto.

a. (-6) x (-3) x 10 b. 6 x 8 x (-10)

c. (-5) x 6 x (-8) d. (- 12) x (-5) x (-4)

¡ Aplica la propiedad distributiva y encuentra el

resultado.

a.3x[s+(-2)]b.8 x [(-100) + 1]

c. (-4) x (10 + 7)

d. (-6) x [(-30) + 4]

e.8xl2o+(-3)lr. e4) x [(- 100) + (-5)]

Anolizo¡ Escribe el nombre de la propiedad que se apli-

ca en cada paso del siguiente proceso.

(-5 ) x t " t:?,]J,:,.,-, )r x (8 x 4)

1s x (8 x 4)

(10+s)x3232x(10+5)

:::,1',?;'i;J ''* Aplica las propiedades conmutativa y asociati-

va para facilitar las operaciones.

a.5 x (-13) x 2

b.(-4)x1sx(-5)c.4x(-9)x5d. (-2) x 23 x (-s)e. 25 x (-12) x 4

f.(-8)x60x(-25)

ó, Asocia términos positivos y negativos para agi-lizar las operaciones.

a. 12x (-s) x 8 x (-2)b.(-2)x3x(-50)x12c.(-5)x3x(-2)xod.(-4)x16x(-2s)x3

?' Expresa uno de los factores como una adicióny aplica la propiedad distributiva. Sigue el

ejemplo.

(-5) x 108 I l.?,i.'l::,..'¿-5) x 8l: (-500) + (-40)

- -540

* Utiliza las propiedades de la multiplicación entreenteros, para hallar el resultado mentalmente.

a.(-2) x(-5)xOx 12:?b.4x25x(-4)X13:?

tü*ü€hrso Ricardo hace cuentas con sus primos sobre la

cantidad de kilómetros que recorrieron en una

a. (-6) x 1a

c. (*a) x 18

e. 5 x (-13)

caminata.

Ricardo:

b. (-4) x 26

d.8 x (-34)f. (-6) x 130

t'---- -

i Recorrimos i

i 34 km.

3x14:3x(10+4):(3x10)+4:30*4:34

Jorge:

3x14 :3x(10+4): (3 x 10) + (3 + 4):30*7- Q-7

Recorrii 42ktMiguel:

3x14:3x(10+4): (3 x 10) + (3 x 4):30 + 12

AA-+¿

a. ¿Cuál de los tres chicos realizó correctamenteel cálculo?

b. ¿Qué errores cometieron los que se equivoca-ron en el cálculo?

95

I

Potenciación de números enteros

0 Un grupo de tunstas rnion o/ Caribe para practicar buceo. En la ilustración semuestran los posiciones de dos buceadores que estón bajo eloguay de algunasaves que sobrevuelan el lago.

I&*t (4),m

grupo de golondrinos

oovioto

j{ @\,m

eq2:eqx(-4):'¡6

(-4)3: (-4) x (-4) x (-4): [(-4) x (-4)] x (-4): 16 x (-4): -64

(4)3 :4x4x4:64

\n

. El buceador A se encuentra 4 m bajoel agua.La posición del buceador A es: -4 m

El buceador B está al cubo de laprofundidad en que se encuentra A.

La posición del buceador B es: (-+)'m

Elgrupo de golondrinas se encuentraal cubo de la distancia, pero sobre el

niveldelagua.La posición del grupo de golondrinases: (4)'m

La gaviota que sobrevuela el lago está

a una distancia que corresponde al

cuadrado de la distancia en la que está

el buceador A.

La posición de la gaviota es: (4)2 m

.\: :..::..! !:::a|" :.t_,.ltl--:':i:¡r1¡!.9rj:,1!1\irq:1.|lt:r.i!.,qyllii-ir1¡¡r.lijlltH,jatrllijfltt

. Como (-4) es un número negativoy el exponente 2 es par, entoncesla potencia es positiva.

. Como (-4) es un número negativoy el exponente 3 es impar, entoncesla potencia es negativa.

. Como 4 es un número positivo,la potencia es positiva.

$Potencios denúmelos enterosEn lo expresión(-2)3: -8(-2) es lo bose,

3 es el exponentey-Beslopotencio.

Los polencios de

bose posilivo

siempre sonpositivos.

Los potencios de

bose negolivo sonposilivos si el

exponente es por,

Son negolivos si el

exponenle es impor.

qA

Potencias de números enterosPara establecer la posición de estos elementos es preciso calcular las potencias

de números enteros.

hopiedades de la potenciación-s números enteros cumplen las siguientes propiedades de la potenciación:

¡loducto de potencias de igual base:ara multiplicar potencias de igual base se deja la misma base y se suman los:-xponentes de los factores.

3z 35X3s-32+ 5 + 3 - c10_J

mismo bose

Cociente de potencias de igual base:ara hallar el cociente de potencias de base igual se deja la misma base y se resta:elexponente del dividendo el exponente del divisor.

85-2:8s

iguol bose

. !n este caso es necesario que la base sea un entero diferente de 0.

Potencia de una potencia

-a potencia de una potencia se halla elevando la base al producto de los:Jponentes.

producto de exponentes

_[-------l(3')o : 32x4 : 3a

mismo bose

Potencia de un producto

-a potencia de un producto es igual al producto de las potencias de sus factores.

(+xo)s:4sx6s

Otras propiedades

' Todo número distinto de 0 que tenga exponente 0 es igual a 1.

30:1 40:1

. Todo número que tenga exponente 1 es igual al mismo número.

$ Propiedodes de lopotencioc¡ón

Dodos o, m, n e Z,se cumplen lossiguientespropiedodes:

. an x o': on+m

b: o'- m,a * O

'(an)':qnxm'(ax b)' : a'x bn

'ao:1'a1 :a

31 :3 71 :7

F= ,281

F -34t1F -?2elF -2Td)F 2torF--=rF - 1 oo¡-)(t 34tl

ApllG¡1 Realiza las operaciones propuestas.

_ta. 5'b.(-q2<. (2q2

d. (-D2e. 62

Í. 1o2

g.(-26)2

n. e tz)2i

2 Relaciona cada potenciación con su resultado. r

a.

b.

c.

d.

e.

f.

9.

h.

3 Calcula las potencias con exponentes pares.

a. (-5)o

b.(-2)6c. (-4)4

d.(-6)6e. (-7)o

r. e48g.(-e)2

h.(-s)8

Calcula las potencias con exponentes impares.a.(-3)5b.(-4)'c.(-2)5d.(-3)'e.(-5)5f.(-s)3g.(-8)3

h. (- 1o)s

s Halla el valor de las siguientes expresiones apli-cando las propiedades de la potenciación.

a.32 x 25 b.(-42 x (-2)3c. (32 x 4)2 d.[(-5)2 x (-S)1]2

(6r----aIFáTI(_6j-ts-lta-9r-3fi:--t----------LC_9[FO3 AI(_?trI(-(-it'-a

e.[(-2)2]3g. (62)2

o Resuelve los cocientes.

a. 4'42

r6c.u#

e. 9u

96

g. 6u

64

T Calcula el resultado.

a.22 x zs

b.(32 x 5)2

c.52xs2x50d. (-2)6

^o

--l+

(-2)"c7e.l-X33X3234

r. tq):x [(-8)1]3(-8)"g. (22)2 x 24

f. [(- 1 )2]s

h.t(-1) x (-1)412

b.cD'(-7)s

d.c4(-46

f. 88

gz

h.cu(- 1)o

Amlh¡.ü: Sin calcular el valor de la potencia, determina

sies negativa o positiva.

a. (-2)o es una potencia

b. (-6;s es una potencia

c. (6)t es una potencia

d. (- 1 0)e es una potencia

e. (-3)t es una potencia

Í. (7)n es una potencia

g. (-9f es una potencia

h. (- 1 5)7 es una potencia

Completa las siguientes frases indicando si lapotencia es positiva o negativa,según la basesea positiva o negativa,y el exponente sea paro impar. Observa el ejemplo.

a. (-13)6 es una potencia positiva, porque labase es negativa y el exponente es par .

b. (-20)s es una potencia , porque labase es y el exponente es

c. (15)6 es una potencia , porque labase es yel exponente es

d. (31)i es una potencia , porque labase es y el exponente es

I Determina cuáles de los siguientes enunciadosson verdaderos y justifica tu respuesta.

a. Si 2 es menor que 5, entonces 23 es menorques3 ( )

b. Si (- 1) es mayor que (-2), entonces (- I ),es mayor que (-z)2 ( )

c. Para todo a. x a, : or^ n ( )

d.Paratoao{ :a^+n ( )0'

Escribe el número que falta en cada caso.

a.32x3:36

b. 2x43:45

c.68X 2_610

d.e\3X2:28e.(-2)3x z:1-2¡s

:22

-1

Mrst3 De acuerdo con las posiciones de los persona_

jes y demás elementos que se muestra.n en lagráfica, ¿cuál es la posición de cada uno conrespecto a la superficie del agua?

ts En un centro vacacional de la ciudad de Mel_gar se construyeron catorce habitaciones porbloque. Si la cantidad de bloques construidoscoincide con el número de habitaciones quehay en cada uno, ¿cuántas habitaciones seconstruyeron en total?

!4 Un comerciante empaca 24 dulces en una bol_sa,24 bolsas en una caja y 24cajasen un barril.¿Cuántos dulces se empacarán en dos barriles?

{

#I

M]

Í. 24

2

49._3+

t'B:e2)

Radicación de números enterosConpmerdeo La radicación es una operación inversa a la potenciación,ya que permite

encontrar la base cuando se conoce el exponente y la potencia.

Potenciación

exponenle

I

-33 : -27ttbose poiencio

Radicación

exponente

Iqlq:-31t

potencio bose

Cálculo de la raíz de un enteroPara calcular la raízde un entero se tienen en cuenta las siguientes reglas:

. La raízcon índice par de un entero positivo tiene dos valores: uno positivoy el otro negativo.

.[l :2ó -2:enionces, "[T : * 2,yoque22:4y(-2)2: q

. La raízcon índice par de un entero negativo no t¡ene solución en los números

enteros.No tiene solución, yo que no es posible enconfor un nÚmero

entero que elevodo o lo 4 dé como respuesto -81 .

. La raízcon índice impar de un número entero tiene un valor, positivo o

negativo, dependiendo del signo del radicando:

3"En - _3 9132 :2porque -33 : *27 porque 2s : 32

Propiedades de la radicación de enteros

Ejemplo Generalización

#t4:Jt "^[+ {""b :'J; "qlt

IB ,l-"la

c7\l zt

l^6"l Zo :22 :2"

mnl m -\i d :a'It

¡"- 2.3i c7r/lo¿ :'16¿:Vo¿-

nl^l n mlV''la : \a

En general :Si a,b e Z,laraíz enésima de o se nota \[; : b si bn : a.

{-a

gRodicociónEs uno operociónque permite colculorlo bose de unopotencio.

Los términos de lo

rodicoción son:

índice loíz o bose\l\- i\la:bI

rodicondo oconiidodsubrodicol

Propiedad

Raíz de un producto: Es igual

al producto de las raíces de

los factores.

Raíz de un cociente: Es igual

al cociente de las raíces de los

factores.

Raíz de una potencia: Es igual

a la cantidad subradical, elevada

al cociente entre el exponente

y el índice.

Raíz de una raíz:Seobtiene

muhiplicando los índices

de ambas raíces.

Raíz de cero: La raíz de cero

siempre es cero.

o

b

"6: o i6: o i/O:O porque On:O

Aplio1 Escribe en cada uno de los espacios el número

que corresponda.

sf-d."tl zt: ,porque 3 :27

FV

FV

FV

FV

b.E14

Potencia

43:64

Cantidad

subradical

64

36

índiceRaíz

indicada

\,,8[

Raíz

4

6y -6

-3d.

'^t64

72:49

8y -8

Rssudrrc

e Un cubo puede armarse con729 cubos peque-ños.¿Cuántos cubos pequeños conforman unaarista?

z El álbum de muñecas se llena con 180 láminasy tiene 20 páginas. Si en cada página hay elmismo número de láminas,dispuestas en igualnúmero de columnas y de filas, ¿cuántas lámi-nas hay en cada columna?

64

.7-b. il - -2,porque (-2)':

,. ^[nS : 5, porque 5 -- 125

d.lG1 :3y-3,porque3 :81 y(-3) :81

sf-e. !-t : ,porque n: (-l)

z Calcula las siguientes raíces.

"' .Eo b. v_3tc.ffi d- { -27

e' u[ r' ilr43

Aplica las propiedades de la radicación ycalcula las raíces.

--u' I Jer

'' lGt

"'t/6u

Anüllua¿ Frente a los siguientes enunciados marca falso

(F) o verdadero (V), según corresponda.

a. La potencianción y la radicaciónson operaciones inversas V

b. Las raíces de índice par de cantidadesnegativas siempre existen.

c. Todo número entero tiene raíz

cuadrada entera.

d. Si un número entero positivo tienedos raíces diferentes, es porque el

índice de la raíz es par.

". ioOot los números negativostienen raíz cuadrada.

5,Completa el cuadro:

729 x 64

{r100

2532x 243

ri.if,d

oaaa

a

a.a

a

División

tomprede

entre números enteros

o En cierto lugor se observo undescenso de Ia temperotura dedoce grados, entre las doce deldía y las seis de la torde.Es decir,que en seis horas la temperaturavarió en - 12"C.

Suponiendo que la temperoturacambió en la misma medidacada hora, ¿en cuántovarióla temperatura por horaen el periodo registrado?

La variación de la temperatura entre las 12 m.y las 6 p.m.es de - 12oC,puesto que se presentó un descenso de la temperatura.

. Para hallar la variación de la temperatura por hora, se divide la variación totalde temperatura entre el número de horas.

(- 12) + 6 : -2 Se divide l2 enfe 6 y se coloco

un signo negotivo.

Rrspursre: La temperotura varió - 2 "C en coda horo, entre las 12 m.y las 6 p.m.

Cociente de números enterosPara obtener el cociente entre números enteros se emplea el mismo algoritmoque se utiliza para establecer el cociente entre números naturales, pero elresultado será positivo o negativo,según las siguientes reglas:

. El cociente entre dos números enteros positivos es positivo.

48+4:12. El cociente entre dos números enteros negativos es positivo.

(-56)+(-7):8. El cociente entre un número entero positivo y uno negativo es negativo.

63+(-9):-7. El cociente entre un número entero negativo y uno positivo es negativo.

I

QCociente entrenúmeros entefosEl cociente entre

números enteros

del mismo signoes siempre positivo:

(-)=(-):(+)(+) + (+): (+)

El cociente enlre

números enteros

de signo controrioes siempre negotivo:

(-) * (+): (-)(+) + (-): (-) (-s¿)+6:-9

ApltcaI Sin realizar las operaciones, determina si el co-

ciente de las divisiones es positivo o negativo.

a.45 + 9 b. (-35) + zc. (-6a) + (-8) d.28 + 4e.60 + 15 ¡. +g + (-7)s. (-72) + (-B) h. (-12 ) * (-o)¡. 18 + (-3) j. (-¿a) + 0

z Utiliza el mismo algoritmo de la división entrenaturales para realizar la operación y aplica la

ley de signos para el cociente.

a. 54 + (-3)b.384 + (-16)c. (-e1) + (-7)d. (-390) + 15

e. (-105) + 15

f. (-408) + (-2a)

9.180 + 12

h.3 640 + (-56)i. 45 + (-9)j. (-28) + 7

r Relaciona cada división con su cociente.

a.84 + 12

b. (- 108) + (-e)

c. (-135) + 9d.112 + (-8)e. (-84) + 12

f. (-135) + (-e)

s. (- 1 12) + (-8)h. (- 108) + 9

Analiro

( ) 1s

( )12( )-14( )7( ) -15( )-7( )14( )-12

a Escribe eltérmino que falta en cada operación.

a.70 + :14 b. 18 X : -72

c. (-5) x : 115 d. 60 + (-15) :

e. x(-12):-4O8

ü' Determina el valor de verdad de cada uno de los

enunciados.

a. El cociente entre dos númerospositivos es siempre positivo.

b. El cociente entre dos númerosnegativos es siempre negativo.

c. El cociente entre un número positivoy uno negativo es positivo.

d. El cociente entre un número negativoy uno positivo es negativo.

o Completa el esquema con los signos corres-pondientes.

a.++:+

b.

C.

d.

Bcsuelvez A continuación se presenta la variación de la

temperatura en algunas ciudades colombianas,registradas en un día particular:

. -. -. . . -. -. _ -. _:ri iir!-:]li1iii.,i1';:14:;i;:..iilTiriiiiiritt:jrllsilrNiiili:jjiiilfiriiHni{¡liirtf'*:,

r Ciudad . Variación de la temperatura

, Bogotá 18 T entre las 5 a. m. y las 1 1 a. m.

, iuiiqirrgi -16Tentrela 1 p,m,Itasop m

P:m: i

r Tunja , -lBtentrelas2p m,y_la¡8p,m.

. Si la temperatura varió en la misma medidacada hora, ¿cuál fue la variación por hora dela temperatura en esos periodos?

8 En el restaurante Bodeguita del Centro, uno delos más tradicionales de Santa Marta, un grupode quince personas consumieron la paella ne-gra de calamar,y pagaron un valor de 5 5a0 000.También degustaron un mojito cubano de5 t ZO 000. Si reunieron entre todos para pagarla cuenta, ¿cuánto tuvo que aportar cada uno?

Relación "ser divisor den'frffihnsamiento

numérieo0omprendec Cincuento y cuatro personas quieren realizar

un recorrido turístico por Santa Marta.La compañía que los orienta trata deconformar grupos que tengan el mismonúmero de personas. ¿Serón de seis

miembros? ¿De ochoTplaya de Santa ¡¡arta

5e trata de comprobar si 54 se puede dividir exactamente entre 6 y entre g.

' 6 es divisor de 54, porque lo divide sin dejar residuo;por lo tanto, la compañía puede hacer nueve gruposde seis personas en cada uno.

' 8 no es divisor de 54, porque lo divide dejando residuodiferente de cero. Entonces, la compañía no puedehacer grupos iguales de ocho personas en cada uno.

6 .- residuo

un número entero tiene divisores positivos y divisores negat¡vos.

Divisoresde 6 -6Divisoresde -4 -4

El conjunto de divisores de un número se representa así:

Dr: {-8, -4, -2, -1, 1,2, 4, B}

Algunas prop¡edades. Todo número entero es divisor de símismo.

(-7)+(-7):l -7 es divisor de -7. El uno es divisor de todos los números enteros.(-15)+1:-15

Criterios de divisibilidad

. Un número es divisible por 2 sitermina en

cifra par.

. Un número es divisible por 3 si la suma de

sus cifras es múltiplo de 3.

. Un número es divisible por cinco si su

última cifra es 5 ó 0.

. Un número es divisible por 6 si la suma de

sus cifras es múltiplo de 3 y además es par.

. Un número es divisible por 10 si su

última cifra es cero,

s4 ]6

-549

54L-48 6

1 es divisor de - 1S

Ejemplo

(-34),268, (210), B, etc.

1 323 es divisible por 3, porque 1 -t 3 + 2 -t 3 : 9

y 9 es múltiplo de 3.

4s, (22010), 30, (2905).

12 es divisible por 6 porque es par

y1 1- 2: 3.

40, (2 s00), 800, (230), (2 100)..

-3 -2 -1 1 2 3 6

-2 -1 1 2 4

$Divisor de unnúmeroUn número enteroa es divisor de unnúmero entero b, siel cociente de dividirbenoesunnúmero entero,(-6) es divisorde 72 porque

72+1-6¡:-12Conjunlo dedivisores de un

númeloEs el conjunto delos números que

lo dividen sin dejorresiduo.

AplimI Encuentra cinco elementos de cada conjunto.

?. Drz:b. D,s:c. Dre:

d' Dsu:

2 Encuentra el conjunto de divisores comunes alos dos números.

a.4y1 b.(-3)y2c. 12 y 18 d. (-6) y (-9)e. (-4) y (-o) f. 12 y (-8)s. (-4) y (- 10) h. (- 12) v (- t 8)

r Propón una pareja de números,cuyo productosea el número indicado.

a. X -9b. x :24c. X :-12d. x :-30

MSm$. Escribe tres números que cumplan las siguien-

tes condiciones.

a. Múltiplo de 3,6 y 10 a la vez

b. Divisible entre 5 y 3 a la vez

c. Divisible entre 3 y 9

d. Divisible entre 2 y 6 a la vez

o Aplica los criterios de divisibilidad y completaelcuadro.

i oiilisores ,' " -" ',' "r " "''t':"

''':-:: t:::'

Húmeros -, 2', 3 i 5 , 6

,]- r2naJv

3 780

- oc.OU

-270

2547

i4645rrt:

':_ 126 1 rl

150 l

29 210 ,

'l

lrl

liil

I

lr

e. :15

f. x :-36g. x :-18h. x :4O

Encuentra todas las parejas de números quecumplan la condición indicada.

a. Su producto es (-8).b. Su producto es (-12).c. 5u producto es 42.

d. Su producto es 25.

e. Su producto es (- 18).

f. Su producto es 48.

g. Su producto es 13.

h. Su producto es (-37).

7' Un número entero es primo sitiene exactamen-te cuatro divisores. Propón cinco ejemplos deenteros positivos y cinco enteros negat¡vos quesean números primos.

Rsuelve8 Una compañía de turismo ofrece tres tipos de

recorridos diferentes por la ciudad. Para el pri-mero tiene 36 inscritos, para el segundo 60 ypara eltercero 72.5e necesita dividir cada unode estos grupos en subgrupos, de manera quetodos los subgrupos tengan la misma cantidadde integrantes. ¿Cuál es la mayor cant¡dad depersonas que puede haber en cada grupo?

105

Orden de las operacionesComprendea Jul¡ón y Ana hacen los siguientes cólculos de forma diferente.

¿Cuól de los dos tiene la razón?

32+5XB:4-6

(32_J_,s) x (\7) 6

(37___a_--_2) - 6

(74 - 6)

68

6

6

6

nc

(42 0)--=-,/36

La distancia entre los sitios es 36 km.\((

Las distancia entre los sitios es 68 km.

-- *1-

32+ 5 x 8 + 4\/

32 + 40 =,432 + \ro-\or/-,u

'36/

B Orden de losoperocionesCuondo el orden de

los operociones no

estó indicodo conporéntesis, es

necesorio tener en

cuento que los

multiplicocionesy los divisiones se

reolizon primeroque los odrciones y

los sustrocciones.

32+ (5_a,-8)+ 4

32 + (40,,_-;-4)(32 + 10)

El resultado de las expresiones matemáticas con operaciones combinadasdepende del orden de las operaciones.

Cuando en las operaciones combinadas no se indica el orden en que se debenrealizar,se practica la siguiente regla:

a. Primero se realizan las multiplicaciones y las divisiones, en el ordenen que se encuentren de izquierda a derecha.

b. Luego se realizan las adiciones o las sustracciones que haya, en el ordenen que se encuentren de izquierda a derecha.

6 . Se calcula primero el producto.

6 . Luego se realiza la división.

6 . Después se practica la adición.

. Por último, se hace la sustracción.

REspuEsrR: Ana tiene la razón, pues la respuesta correcto es 36 km.

Para indicar el orden particular en que se realizan las operaciones, y para evitar que se puedan cometer errores,

es frecuente utilizar: paréntesis redondos ( ), paréntesis cuadrados o corchetes [ ] y llaves { }

Enlaexpresión (32 + 5) x (8 + 4) - 6se indica que se practican en primer lugar la

adición y la división.

se indica que se realiza en primer lugar la

multiplicación, luego la división y por último las

demás operaciones.

se indica que se efectúa en primer lugar la división,

luego la multiplicación, posteriormente la adicióny por último la sustracción.

En la expresión 32 + [(5 x 8) + 4] - 6

Enlaexpresión {32 + [5 x (8 + 4)]] - 6

Aplica1 Encuentra el resultado de cada expresión.

a.7 x2-3b.8-3x2+6c.6X4+3d.9+ 16+2-5e.25-8+3f.8+35+7-39.12+4+9h.18x5-44x2

2 Realiza las siguientes operaciones.

a.(5x7)+25b.(2x10)+(5x6)c. 13 * (20 + S)

d.(4-r2)x(5+3)e.49 + (12 - 5)

r.Qo+5)x(28+4)9.(16+8)+6h.(64'4)-(2xo)

¡ Ubica un par de paréntesis en .Jos posicionesdiferentes. Determina el resultado en cada caso.

a.12x5+9 b.36+4x3c.20-8x6 d.25- 12x5e.6X8+4 f.16+ 1O+2

¡ Sigue el orden indicado por los signos de agru-pación. Halla el resultado de cada expresión.

a.l(12x5)+91b.{24 - [8 x (7 - 3)]] + 12

c. l2o - (8 x 6)l

d. {3s x l(42: 6) + 3l} - 45

e.[(6x8)+4]f .24 + {1s0 - [60 + (s - 3)]]

Anoliras Analiza el orden en que tu calculadora hace las

operaciones. Si ingresas las operaciones4 + 6 x 3, ¿cuál es el resultado que obtienes?

¿En cuál de los dos órdenes realiza la calcula-dora las operaciones?

(4+6)x3 ó 4+(6x3)o Realiza cada operación, primero con lápizy pa-

pel,y luego comprueba con la calculadora.

a.12x5+9 b.36+4+8c.20-8xO d.25-30+6

z Coloca los paréntesis en forma adecuada, demanera que se obtenga el resultado indicado.

a.28*8+7-3:5b.4x9-5+8:2c.6x3+12-f 6:1d.3x13-7-11:7

s Usando todos los números del conjunto, escri-be operaciones combinadas que permitan ob-tener el resultado de cada casilla.

Resuelveg Manuela compró tres cajas de chocolates. En ca-

da una había dos chocolates rellenos de fresa,tres de piña, dos de naranja y tres de uva. Si

Manuela regaló cuatro chocolates de cada caja:

a. ¿Cuántos le quedaron en total?

b. Escribe las operaciones combinadasnecesarias para resolver el problemay ubica los paréntesis segúnconvenga.

43

1012 25

@gM

,ffi ",(

':4 \"r,re""' "'.t

ryq \-,a*2#

H

Estrategfiar' ',:::r li

:r'r1 ,-:, : r:.:,:,. -,.-,

O Plonleor uno expresiónnumélico odecuodo.

Froceso

Q Comprende

O Ploneo

O Resuelve

O Reviso

Plantear una expres¡ón numérica adecuadao Un grupo de seis amigos hacen un ahorro común

de 5 4 800 semanales por doce semanas.Duranteese tiempo gastaron 5 18 000,y ahora quierendividir el dinero que les queda en partes iguoles

¿Cuánto le corresponde a cada unoT

1. ¿Cuánto dinero ahorraron semanalmente los seis amigos? (Ahorraron 5 4 800semanales.)

2. ¿Cuánto dinero gastaron? (Gastaron 5 18 000.)

3. ¿Qué pregunta el problema? (Cuánto le corresponde a cada uno luego de des-contar lo gastado.)

Flanm4. Para resolver el problema es preciso plantear una expresión numérica,teniendo

en cuenta el orden en que se realizan las operaciones.

. Se determina la cantidad de dinero ahorrado:

4800X12:m. Se descuenta de esa cantidad el dinero que se gastó:

m-18000:h. Finalmente, se divide el resultado entre seis.

Y+6:YAsí,la expresión numérica es:

[(4 800 x 12) - 18 000] + 0

Sex¡drc5. Se realizan las operaciones, teniendo en cuenta los signos de agrupación.

[(4 800 x 12) - 18 000] + 6(57 600 - 18 000) + 6

39600+66 600

RespursrR: A cada amigo le corresponden S 6 600.

A*d¡s6. Mult¡plica el dinero que le corresponde a cada amigo por 6, súmale 18 000

y el resultado dlvídelo entre 12;debes obtener S 4 800.

*ütutuWk1. El padre de Alejandro divide diariamente la

suma de S 19 500 entre sus tres hijos. Del dineroque le corresponde, Alejandro gasta diariamen-te S 4 200 y lo demás lo ahorra.Al cabo de quin-ce días, ¿cuánto dinero tendrá ahorrado?

2. Para ganar puntos de descuento en un alma-cén, Rolando hace sus compras. En la primeracompra gana 45 puntos. Por la segunda recibe52. Al cabo de un mes ha acumulado el triplede los puntos que había obtenido en las dosprimeras compras,pero decide gastar 125 pun-tos para obtener cierto descuento. ¿Con cuán-tos puntos queda finalmente Rolando?

3. Adriana necesita comprar diez cuadernos,cuyovalor total es de S 84 000. Puesto que compravarios cuadernos, obtiene un descuento deS 600 en cada uno. Finalmente, ¿cuál es el cos-to de cada cuaderno?

4. Según la gráfica, ¿a cuántos metros de la alcal-día está ubicada la estación de policía?

5. Al llegar a Santa Marta, un grupo de caminan-tes ascienden hasta la ciudad perdida, ubicadaa 1 200 m sobre. el nivel del mar. Luego tomanun camino de descenso hasta 550 m sobre elnivel del mar, para visitar un )ago. Findmente,ascienden 270 m más, hasta el sitio en el que sehospedarán.¿A qué altura sobre el nivel del marse encuentra este lugar?

6. Un melómano sintoniza una emisora en eldial88.En cuanto se acaba la canción,mueve el dialsiete emisoras a la izquierda y luego trece a laderecha,en donde encuentra una canción quele gusta; finalmente, mueve el dial nueve emi-soras a la izquierda y sintoniza su emisora fa-vorita. ¿Cuál es el dial de esta última?

7. En su habitación,Juliana tiene un muñeco sus-pendido en un resorte.Siestira el resorte 18 cma partir de su longitud normal, este se retrae 27cm. Al término de este movimiento: ¿el resorteaumentó o disminuyó su longitud normal?

¿Cuál es la posición del resorte alfinal de estosmovimientos,con relación a la longitud normal?

8. Para perforar un pozo de petróleo se ha utiliza-do una sonda. Sien un movimiento dado un ex-tremo de la sonda está a -25 m de la superfi-cie de latierray el otro extremo está a 12 m deesta superficie, ¿cuál es la longitud de la sondaque se está utilizando?

Alcoldío Esloción

-g 0e OO||CIO.fiffi6 i,,,,.,.,ffiffiF"ms fEffii

9. Propón un problema en el que se deba plan-tear la expresión:

(3x5)+210.Propón un problema en el que se deba plan-

tear la expresión:

11. Para indicar los niveles de agua al llenar'unapiscina de 230 cm de profundidad se colocancinco marcas,a igual distancia una de la otra.

. Escribe una pregunta que pueda responder-se con la información del enunciado.

(12+6)+8

tElq)€

ot-ltrlo9{9{dcnc)Q

senüido numérico

Adivina el número en que piensa cada personaje.

Es menor que - 5,

es múltiplo de 4

y es mayor que - 1 1.

Es múltiplo de -7,es mayor que 20 y

es menor que 25.

"{*

número entero primo,

menorque -11 y

mayorque -15.¡, ^-

f¡ses

es

+X

cL

eColoca los signos de las operacioneselementales en las casillas vacías,

de manera que se consigan los

resultados indicados.

(- 10

(18

(-4)

3

10

: -10

: -11

-7

8)

2)

4)

6)

(3

(5

Da igual multiplicar o sumar: El pro-ducto de seis números enteros positivoses igual a su adición.Si se puede repetir un número tantas ve-ces como sea necesario, ¿cuáles son esos

números?

La falsa moneda: Un aficionado a las

monedas va un día a una tienda nu-mismática. El encargado le recomiendamuy fervientemente una moneda,de la cual asegura que es original,en la que aparece, por una cara, !el rostro del Emperador Augusto,y por la otra, la fecha:27 antesde Cristo.

Al observar la moneda, el aficionadola rechaza inmediatamente, pues

dice que es falsa. ¿Por qué?

Es divisible entre 5,

es negativo y

I es mayor que -8.' Gt-),{h's¿.: ..

-\ "dj

Construye una cuadrícula de 3 X 3,y en ella ano-ta nueve números enteros, positivos y negat¡vos.

Consigue o construye dos dados: marca uno con

color rojo y el otro con negro.

EI marcado con negro expresará los números posi-tivos,y el rojo,los negativos.

Eljuego consiste en conquistar la mayor cantidadde casillas de la cuadrícula.

Para conquistar una casilla, eljugador debe lanzarlos dados y plantear una operación con los núme-ros que aparezcan, de manera que dé como resul-tado uno de los contenidos de la cuadrícula.

Er¡vlpro:

La c¿rsilla es - 8 y aparece en los dados 4 y

-'2;para qanar ia casilla con esos núme-ros se pizrritea la expresión:

4Y(_)_):_8

Si eljugador iogra pla'rrear una operación que décomo resultado ei valcr de una casilla, se gana esa

casilla.

Gana el jugarlor que al cabo de diez turnos haya

conquistardo ia mayor cantidad de casillas.

Ubica los números 1,8, i 0, 1 5, i2,13,3,4,6,7,9,1i ,14,16,2y 5, uno por cada casilla,de tal manera que al euñlcti los núineros de cada fila, de cada columna y de cadadiagonal resulte 3.4:

.- ^\ _-,2 .'_--'*.---.*\,"

@,

-4 9 -1

-12 6 -8

7 -5 2I

I

_l

i\\i{1$d{iffiuu11ii'' -.

Para resolver la pregunta se plantea la ecuación:

x|11800:32000Para solucionar una ecuación aditiva, se adiciona el inverso ad¡tivo de ia cantidad que

acompaña a la incógnita a ambos lados de la igualdad.

. 5e identifica la cantidadque acompaña a la incógnita.

1 1 500 . Se adiciona el inverso aditivo de

1 1 500 a ambos lados de la ecuación.. Se realizan las operaciones y se aplica

la propiedad modulativa.x: 20 500

Rrspursre:Jovier tenía ahorrados S 20 500.

. El valor de la incógnita es 20 500.

B. Para entrar alteotro munic¡pal de Cali,Jav¡er cuentacon 5 g 500. Si luego de pagar el valor de la entroda Dinero que tenía 5 9 500

le quedan 5 5 200, ¿cuónto dinero pagó por la boleta Dinero que le queda 5 5 200

de entrada? costo de la entrada x

Para responder la pregunta se plantea la ecuación:

I 500 - x:5 200

En esta ecuación se están sumando 9 500 al inverso de la incógnita. Para solucionarlase tienen en cuenta los siguientes pasos:

SlEcuociónEs uno iguoldoden lo que se

desconocen unoo mós términos.

Solucionol uno

ecuociónEs encontror los

volores que

sotisfocen lo

ecuoción, es decir,que hocen que seo

cierto.

lnverso oditivoEl inverso de un

número entero x es

el número enteroque sumodo con xdo como resultodo0 El inverso oditivode x es su opuesto,es decir, -x.

x + (-x): 0

(-1) x - x: -4 300 x

x: 4 300

. Puesto que se quiere hallar el valor de x;,

t 4 \ de su opuesto (-x), se multiplica por (-'t - | ' a ambos lados de la última expresión.

. El valor de la incógnita es 4 300.

Solución de ecuac¡ones aditivas

A. Al llegar de vacaciones a Cali, Javier desea dar unpaseo por la ciudad. Para ello busca sus ahorrosy ademós recibe de su padre 5 t l 500.SifinalmenteJavier logra reunir S 32 000, ¿cuánto dinerotenía ahorrado?

Dinero que recibe de su padre

Dinero reunido

Dinero ahorrado

x -t 11 500 : 32 000

x-t 11500 + (-11 500) : 32 000 -x*0:20500

9 500 - x:5 200

9 500 + (-9 500) - x: 5 200 +

0-x:-4300

-x: -4 300

5 11 s00

s 32 000

X lglesia la Ermita,

ubicada en (ali

. Se identifica el valor que acompaña a la

incógnita.

(-g SOO). Se suma elinverso aditivo de 9 500,es de:' (- 9 500), a ambos lados de la ecuación.

' Se realizan las operaciones y se aplica la

propiedad modulativa.

RrspursrR: Javier pagó 5 4 300 por la entrada alteatro.

Aplicot Resuelve las ecuaciones.

a.x*56:78b.x*125:150c.x+43:85d. x * 165:270e.x*24:-104f.x-r(-34):85g.x+89:-120h.x*(-55):-130

2 Multiplica a ambos lados de la igualdadpor (- 1).

a.-x - -8c, -x : -120e.-4:-x

b. -x:78d.36:-xf. 450 : -x

Analiza5 Determina elvalor de verdad de las siguientes

afirmaciones. Justifica cada respuesta.

a. Para resolver la ecuación 4 - x : 52hayque sumar 4 a ambos lados del igual.

b. En la ecuación 16 - x :9, X - -7c. En la ecuación x + (-B) : 24, x:32d. Para resolver la ecuación x + (- 16) : 43

hay que restar 16 a ambos lados del igual.

e. Si -x : 5, entonces x : -5f. Si -x : 6, entonces x : 6

e Haciendo solo cálculo mental, responde cadasituación.

a. En la ecuación 3 400 - x : B 200,e| valor de laincógnita debe ser cercano a:

@G@)(=@ @@¡ Resuelve las ecuaciones.

a.30 - x: 6 b.50 - x: -8c.45 - x: -13 d. (-14) - x:20e.48-x:15 f.150-x:1829.90 - x: 148 h. (-30) - x: 45

e En cada caso plantea la ecuación correspon-diente y encuentra el valor de la incógnita.

a. Hallar el número que sumado con - 18 da72.

b. Hallar el número que sumado con 40 da 1 10.

c. ¿A qué número hay que restarle 14paraobtener 9?

d. ¿Cuál es el número que sumado con -7es igual a cero?

e. Hallar el número que exceda a 8 en 3.

f. Hallar el número que sumado con 6 dael doble de 12.

g. ¿A qué número hay que restarle -12 paraobtener 15?

h. Hallar un número que al ser sustraído de 280dé como resultado 120.

i. ¿Qué número debe sustraerse de -95 paraobtener -82?

b. En la ecuación 1 2 500 - x : 4 200,e1 valor dela incógnita debe ser cercano a:

Re¡uelve7 Para cada situación plantea la ecuación corres-

pondiente alenunciado y resuelve el problema.

a. Para hacer un recorrido por los alrededores deCali, Javier contaba con $ 35 000. En Yumbocompró algunos objetos para sus amigas. Si

luego de las compras le quedaron S 10 450,

¿cuánto dinero gastó?

b. En su visita a dos centros de interés importan-tes de Cali:el Museo Arqueológico y la Iglesiade San Francisco, Javier gastó 72 minutos; si

en el museo gastó 56 minutos, ¿cuánto tiem-po duró visitando la iglesia?

WResolución de ecuaciones multiplicativas

f,ornprendeA. Para asistir a una excursión, cada uno de

los asistentes pagó $ l6 000 por el valordeltransporte.Si en total se recaudaronS 400 000, ¿cuóntas personas pagaronla excursión?

Para resolver la pregunta se plantea la ecuación:

n X 16 000 : 400 000

Para despejar la incógnita en una ecuación multiplicativa es necesario dividir aambos lados de la ecuación, de modo que se iguale a 'l la cantidad queacompaña a la incógnita.

n x 16 000 : 400 000 . Se identifica la cantidad que estámultiplicando a la incógnita.

. Se divide entre 16 000 a amboslados de la ecuación.

n X '16 000 + 16 000 : 400 000 + 16 000

n x (16 000 + 16 000) :400 000 + 1G ooo .serealizanlasoperaciones.

n x ('l) :25

n: 25

Rrspuesrn:25 personas pogaron la excursión.

B. Liliana asistió con sus compañeros a laexcursión, que duró cuatro días. Ello gastódioriamente la misma cantidad de dinero.Si el gasto total fue de S 34 000, ¿cuóntogastó cada día?

_ Dinero recaudado:S 400 000Datos:

Valor individual: 5 16 000

lncógnita: Cantidad de personas:n

. Se aplica la propiedad modulativa.

. El valor de la incógnita es 25.

(antidad de días:4Datos:

Gasto total:5 34 000

lncógnita: Dinero que gastó cada día:n

SEcuociónmultiplicolivoPoro despejor loincógnito en uno

ecuociónmultiplicotivo se

divide o omboslodos de lo

ecuoción, entre el

foctor que

ocompoño o loincógnilo.

Para responder la pregunta hay que resolver la ecuación:

4 x n : 34 000 ' 5e identifica la cantidad que está multiplicandoa la incógnita.

4 + 4 x n:34 000 + ¿ 'sedivideaambosladosdelaecuaciónentre4.

@+q)xn:34000+4 . Se realizan las operaciones.

(1) X n : 8 500 . Se aplica la propiedad modulativa.

n :8 500 EI valor de la incógnita es 8 500.

RespuesrR: Liliana gastó diariamente 5 I 500.

ApllccI Completa los procesos para despejar la incóg-

nita. Soluciona las ecuaciones.

a.n x 7 : 105

n X 7 + : 105 +

n:b.16Xm:-144

mx 16+ :(_144)+m:

2 Resuelve las siguientes ecuaciones:

a.y x(-14) : 266 b.yx 11 : 143

c.zx16:-400 d.zx9:108e.yx (-24):432 t.yx7: -154g. z x (-SZ) : -448 h. z x 18 : -198

¡ Plantea una ecuación correspondiente paracada caso y resuélvela.

a. Hallar un número que multiplicado por 14 décomo producto 126.

b. ¿Cuál es el número que multiplicado por -9da como producto eltriple de 9?

c. Hallar el número que multiplicado por 25 décomo producto -25.

d. Hallarel número que multiplicado por -45 décomo resultado 810.

Analizo+ Completa los procesos, suprimiendo algunos

de los pasos.

a. n X 12:72n:72 +

n:b.mx(-8):184

m: 184 +

m:c,26xP:364

P:364 +

p:d.19 x z:475

z: 475 +

^¿-

5 Determina el valor de verdad de las siguientesafirmaciones.

a. Para resolver la ecuación 3 x y : 54hay que restar 3 a ambos lados del igual.

b. Para resolver la ecuación 20 x y : 120hay que dividir por 20 a ambos ladosdel igual.

c. Para resolver la ecuación y x (-9) : 63hay que sumar 9 a ambos lados del igual.

d. Para resolver la ecuación z x (-12) : 24hay que dividir por - 12 a ambos ladosdel igual.

e. Para resolver la ecuación (-8) X m :78hay que dividir por -8 a ambos ladosdel igual.

f. En la ecuación (-24) x p: -168, p:2.

Be¡uelve6 Plantea la ecuación correspondiente y resuel-

ve cada problema.

a. Durante la excursión se realizaron paseos dia-riamente,en trayectos de la misma extensión.Un joven hizo la cuenta de que en los cuatrodías de la estadía recorrieron 128 km. ¿Cuán-tos kilómetros, aproximada mente, recorrieroncada día?

b. La distancia entre el hotel y el embalse del pe-

ñón es de 4 860 m. Si en el trayecto los excur-sionistas gastan cuatro horas, y en cada horarecorren la misma distancia, ¿cuál es el trayec-to que recorren en cada hora?

c. La entrada alzoológico de la zona tiene un pre-cio de S7 400 por persona.Sien totalse paga-ron S 266 400 por la entrada de todo elgrupode excursionistas, ¿cuántas personas confor-man elgrupo?

Solución de ecuacionescon operaciones combinadas

Comprerdea La familia Gonzólezviaja o Santa Marta y calcula que los costos de movilización

son:5 4 500 por cada peaie y 5 54 000 por consumo de gasolina para todo

eltrayecto.si la cantidad de dinero que gastaron en el desplazamiento fue

de 5 99 000, ¿cuóntos peaies tuvieron que pagar en el recorrido?

Datos:

lncógnita:

(osto de combustible:5 54 000

Costo de cada peaje:5 4 500

Costo total:5 99 000

Cantidad de peajes: n

Para plantear la ecuación correspondiente a este enunciado hay que tener en

cuenta que:

Costo totol por peojes +

4500xnCosto del combuslible

54 000

Costo totol

99 000. Para responder a la pregunta se plantea la ecuación combinada:

4500Xn*54000:99000En esta ecuación,4 500 multiplica la incógnita y la cantidad 54 000 se está

sumando al lado de la incógnita.

Procedimiento

4 500 X n * 54 000 + (-54 000) :99 000 +$Ecuoción combinodo

Es oquello en lo que

hoy mós de uno

operoción.

3xm+5:23Poro despejor uno

vorioble en uno

ecuoción combinodo

se debe:

. Sumor o omboslodos el inverso

oditivo del términoque 0p0rece

sumondo ol lodode lo incógnito.

. Dividir o omboslodos por el

térmrno que

multiplico lo

incógnito.

4 500 X n * "":';' "'; :i:]'::;';'.'

4 500 x n :45 000

nx4500+4500:45000-

(-54 OO0) 'Se adiciona a ambos ladc'de la ecuación el inverso

aditivo del término que s.está adicionando al lado :=la incógnita.

(-54 000) ' Se realizan las operacione.

4 500 'Se divide a ambos lados c=

la ecuación por el términcque multiplica la incó9ni:=

4 500 . Se realizan las operacione.

' El valor de la incó9nitaes: n: 10.

n x (4 500 + 4 500) :45 000 -n x ('l): 10

Rrspursre: Lo familia Gonzólez pagó diez peaies hasta Santa Marta.

Aplicot Completa el proceso que se debe seguir para

despejar la incógnita.

a.4Xm-f 15:434Xm +15+ :43-l

4Xm* :mx 4 + :28+

mX =:

m:b.(-2) x n-t 40: 14

(-2)xn+40't :14+(-2)xn+ :nx(-2)+ :-26+

nx :n:

z Resuelve las ecuaciones.

a.3xn-l 5:17 b.Bxz-11 :85''G. 5 xy* 35 : 75 d.11 x m - 15-6?'e. 9 x n't 20:92 f.13 x y - 46: 11C-

¡ Encuentra el número que falta en cacia €aso.

a,7 X * 22:85b. (-15) x - 26': -,11fr,,c. 13X -24,:89' ' . ,.

d.24x -:94=-'22' .

e. (-9) x.¡.'' !"1,.7 - -100f. (-13) x +'135 : -12-5

Anoiiza+ lndita eiefden en que se deben re:álizar las ope-

raciones a arnbos ladc,,s de la ecuación para

despejar la incógrrita.

a.Bxm-125-i05 -'

Primero sumar (-.25) y luego dividir entre 8.

b.9xn+(-18):99

c.4xz-28:100

d.(-2)xp-r7:-45

s Describe paso a paso el proceso que se siguiópara resolver la ecuación.

a. 7Xn*17:457 X n + 17 + (-17) : 45 -r (-17)

7xn+(0):29nx7 +(7):28+(7)

nXl:4n:4

b. (-'5)xm+(-32):-112(-5) x fft.+ (--32) + 32 : -112 + 32

: -',',.,(=,5) Xm+' 0:-80

m-=16

e A,naliz.a y resuei,.,e cada situación.

a,?ar?;'re'solver la ecuación combinada6 X'ln * 12 : 48 se comienza por sumar a am-

bos lados de la ecuación (-12), y luego se divi-de a arnbos lados por 6. Si se intercambiara el

orden de las acciones, primero se dividiera en-

tre 6y luego se sumara (-12),¿se obtendría el

mismo resultado?

b.¿La solución de la ecuación 5 x n * 15 : 60

es equivalente a la solución de la ecuación15+5Xn:60?

c. ¿La solución de la ecuación (-a) X m * 60 :12 es equivalente a la soluciÓn de la ecuación(-60)+4xm:-127

Re¡uelve7 Plantea la ecuación combinada correspondien-

te y resuelve cada problema.

a. Para su estadía en la costa,la familia Gonzálezalquiló una cabaña, cuyo costo diario era de

S 24 000, para el grupo familiar, y de 5 6 500por persona adicional. Si diariamente se pa-

garon $ 63 000 por la cabaña, ¿cuántas per-

sonas adicionales fueron al paseo?

b. En uno de los almuerzos, la familia Gonzálezcancela $ 32 000 por todos los platos y $ 1 800

por cada bebida adicional que pidió.Si en to-tal pagaron S 41 000,¿cuántas bebidas adicio-nales pidieron?

,1.:r,r l:;::,.i:l,t-+li r li.:

OVariacional

@ Plonteor y solucionoruno ecuoción.

.jrf{i,..-iij.J'.:,

O Comprende

O Ploneo

O Resuelve

O Reviso

Plantear y solucionar una ecuaciónUn profesor organizó la visita o un museo con los estudiantes de su curso.Elvalor de la entrada de cada estudiante es de 5 3 200 y el alquiler del bus vale

S 24 000. Si en total el profesor calcula que la salida tiene un costo de S 81 600,

¿cuóntos estudiantes hay en el curso?.

.. I--tfu.ff--d

I,*. *i

Comprende1. ¿Cuánto vale la entrada de cada estudiante al museo? (S 3 200)

2. ¿Cuánto vale eltransporte hasta el museo? ($ 24 000)

3. ¿Cuánto vale en total la visita? ($ 81 600)

4. ¿Qué pregunta el problemaT (Cuántos estudiantes hay en el curso.)

Ploneo5. Para resolver el problema se plantea una ecuación.

volor de lo número de volor de costoentrodo por esludiontes mos ftonsporle lguol

totol

3 200 >< y + 24 000 81 600

Esdecir: 3 200 x y + 24 O0O: 81 600

Resuelve6. Se soluciona la ecuación.

3 200 x y -r 24 OOO - (-24 000) : 81 600 + (-24 000)

3200xy-r O:576003 200 x y - 3 200 : 57 600 + 3 200

y x (3200 + 3 200) : 57 600 + 3 200

y X 1 : 18

y:18REspursrR:En el curso hay 18 estudiantes.

Revisa7. Multiplica el número de estudiantes por el costo de la entrada y a este resultado

súmale 24Ojj.Debes obtener S 81 600.

Museo Nacional de Bellas Artes, Santiago de Chile

1.

2.

Aplicc la cstrctegiaUn grupo de amigos que asiste a cine paga porel valor de cada boleta 5 4 250 y por comestl-bles para todos gastan 5 22 000. si el gasto to-tal fue de S 56 000, ¿cuántos amigos asistierona cine?

Un vendedor de libros garra S 150 000 de sala-rio básico y una comisión de $ 12 000 por cadalibro que venda. Si en este mes recibió de suel-do S 450 000, ¿cuántos libros vendió?

3. Para aprovechar una oferta de camisetas, Este-la compró cierta cantidad a 5 12 500 cada una. Si

por la compra recibió un descuento de S 30 000y canceló en total $ 145 000, ¿cuántas camise-tas compró?

Resuelve

4. Simón está de cumpleaños y quiere que susamigos adivinen su edad mediante un acertijo.Simón dice: ¿Cuál es mi edad, si para cumplir37 años me hacen falta 23?

5. Gabriel quiere comprar una bicicleta, que cues-ta S 96 000. Él pretende ahorrar cada día la mis-ma cantidad de dinero y piensa que en un pla-zo de20 días ya tendrá ahorrada esa suma. Para

cumplir sus propósitos, ¿cuánto dinero debeahorrar Gabriel diariamente?

6. Sebastián ha sacado los ahorros de su alcancía.Sumando la cantidad de dinero que tiene enbilletes y los 5 13 400 en monedas, él pudo es-tablecer que el dinero total ahorrado es deS 32 400. ¿Cuál es la cantidad de dinero queahorró en billetes?

7. Un alpinista asciende hasta el páramo Cachirí,a 4225 m de altura. Una vez que llega a la cimadesciende un cierto trayecto, hasta llegar a lacarretera central. Si se sabe que la carretera estáubicada a3 472 m de altura, ¿cuál fue la distan-cia que descendió el alpinista desde la cimahasta la carretera?

8. Alejandra fue a un fotoestudio para tomar unasfotos de carné.Cada una de las copias que soli-cite tiene un valor de S 650. Si en total pagaS 7 800 por las fotos, ¿cuántas copias solicitó?

9. Teresita compró cierta cantidad de tela, a S 6 800el metro. Si además del costo de la tela tuvoque pagar S 6 800 más por el impuesto de lVA,y en total pagó S 136 000, ¿cuántos metros detela compró?

Formula10. Propón un acertijo,en el que se tenga que adi-

vinar la edad de una persona.

11. Formula una pregunta para esta situación:. Para realizar una jornada recreativa en elcur-

so,los 23 estudiantes tuvieron que dar la mis-ma cuota. El colegio aportó 5 20750 y en to-tal la actividad costó S A+ OOO.

12. Construye un enunciado, cuya formulaciónmatemática corresponda a la ecuación:

- x - 85