libro sensibilidad

NG. SANTIAGO JAVEZ VALLADARES TOMO III

PRESENTACIÓN

Después de haber elaborado dos libros anteriores ( Modelos Lineales, Graficas),ahora me aboco a dar a conocer como un modelo se comporta ante algunos cambios que se pueden presentar.Claro esta que el Análisis de Sensibilidad se da fácilmente a nivel grafico, pero cuando se tiene modelos con amplitud de variables de decisión se tiene que recurrir a un software, en la actualidad se trabaja a nivel académico con LINDO o LINGO, ambos son de la misma “familia” se podría decir, la diferencia entre ellos es que el LINGO permite resolver modelos no lineales e incluso programar y hacer exportaciones con hojas de calculo, considerando estos factores y otros mas ,es que he desarrollado aplicaciones de modelos lineales resueltos con estos programas y analizados cada uno por medio de la sensibilidad.Hacer uso de la sensibilidad permite saber hasta cuanto puede soportar cambios el modelo en estudio, cuales son sus rangos tanto de coeficientes como de los recursos, además saber interpretar los costos reducidos y los precios duales.

Espero que en esta oportunidad tenga tu aceptación y permita que conozcas como se interpreta los reportes de la computadora, además como se puede mejorar la soluciona mediante cambios permitidos al modelo, te invito pus a ingresar a las siguientes paginas y deseo sea de suma ayuda para afianzar tus conocimientos en este tema de la Investigación de Operaciones.

Ing. Santiago Javez ValladaresTrujillo-Peru

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mailto:[email protected]

CAPITULO I

INTRODUCCIÓN

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1.1.-¿Qué es LINDO o LINGO ?Lindo es un sofware usado para la solución de modelos lineales, su nombre se debe a la nomenclatura de:LINDO (Linear, INteractive, and Discrete Optimizer), LINGO (Linear, INteractive, and General Optimizer)1.2.-¿Qué es Análisis de Sensibilidad?Es ver como se comporta el modelo elaborado ante algunos cambios que se pueden realizar.1.3.-¿Cómo se ingresan los datos a LINDO?Una vez elaborado el modelo lineal, se ingresa primero la Función Objetivo (F.O.):Si la F.O. es maximizar, se ingresa: MaxSi la F.O. es minimizar, se ingresa: MinLuego se ingresa los coeficientes con sus respectivas variables.Para ingresar las restricciones se escribe antes st (subjet to) (sujeto a )Una vez ingresado el modelo se culmina con la expresión end (fin).Ejemplo:max 2x1+3x2st2x1+3x2<=15x1+4x2>=10x1+2x2=8end1.4.-¿Cómo es el reporte de LINDO?Para responder esta pregunta no hay mejor manera que tener el reporte (la traducción se ha incluido para entender mejor el reporte).

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1(El modelo Lineal ha logrado su optimo en los pasos) OBJECTIVE FUNCTION VALUE (Valor de la Función Objetivo) 1) 15.00000 VARIABLE VALUE REDUCED COST (Variable) (Valor) (Costo Reducido) X1 6.000000 0.000000 X2 1.000000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES (Fila ) (Holgura o Superflua) (Precios Dual) 2) 0.000000 0.000000 3) 0.000000 -0.500000 4) 0.000000 2.500000

NO. ITERATIONS= 1(Número de Iteraciones)

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:(Rangos para los que no cambia la Base) OBJ COEFFICIENT RANGES(Rangos de Coeficientes de la función Objetivo) VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE(Variable) (Coeficientes) (Incremento (Decremento

Permitido) Permitido) X1 2.000000 INFINITY 0.500000 X2 3.000000 1.000000 INFINITY

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RIGHTHAND SIDE RANGES (Rangos de Términos Independientes) ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE (Fila) (Termino ( Incremento (Decremento

Independiente) Permitido) Permitido) 2 15.000000 INFINITY 0.000000 3 10.000000 6.000000 0.000000 4 8.000000 0.000000 3.0000001.5.-¿Qué partes se destacan en el reporte de LINDO?La estructura del reporte tiene las siguientes partes:a)Valor de la Función Objetivob)Valor de las Variables, Costos Reducidos.c) Rangos de coeficientes de las variables de la función objetivo.d)Rangos de coeficientes de los términos independientes de las restricciones.1.6.-¿Qué es un Costo Reducido?Es la cantidad que debe variar el coeficiente de una variable para que este llegue a tener valor.Pero esto depende de la función objetivo, por ejemplo si la función objetivo es de Maximización el costo reducido se debe sumar al coeficiente de la variable.si la función objetivo es de Minimización el costo reducido se debe restar al coeficiente de la variable.Ejemplo 1:Max 3x1+2x2Variable Valor Costo ReducidoX1 10 0.00000X2 0 3.50000La variable x2 para que llegue a tener valor su coeficiente debe ser:C2>(2+3,5)Ejemplo 2:Min 4x1+5x2Variable Valor Costo ReducidoX1 0 2.00000X2 10 0.00000La variable x1 para que llegue a tener valor su coeficiente debe ser:C1<(4-2)1.7.-¿Qué es una Variable de Holgura?Es la cantidad que sobra de un recurso. Aparecen cuando la restricción es <=1.8.-¿Qué es una Variable Superflua?Es la cantidad adicional que se usa de un recurso. Aparecen cuando la restricción es >=1.9.-¿Qué es un Precio Dual?Es la cantidad que se gana o se pierde en la función objetivo por cada unidad adicional que crece un recurso.El precio dual cuando su signo es positivo y su función objetivo es Maximización aumenta el valor de la función en esa proporción por cada unidad adicional. El precio dual cuando su signo es negativo y su función objetivo es Maximización disminuye el valor de la función en esa proporción por cada unidad adicional. El precio dual cuando su signo es positivo y su función objetivo es Minimización disminuye el valor de la función en esa proporción por cada unidad adicional. El precio dual cuando su signo es negativo y su función objetivo es Minimización aumenta el valor de la función en esa proporción por cada unidad adicional.

Función Objetivo (F.O)

Maximización

Función Objetivo (F.O.)

MinimizaciónPrecio Dual Positivo Aumenta la F.O. Disminuye la F.O.Precio Dual Negativo Disminuye la F.O. Aumenta la F.O.

10.-¿Para que sirven los rangos de los Coeficientes?Para hallar el valor máximo y minino ya sea del ingreso como del costo de cada variable.11.-¿Para que sirven los rangos de los términos Independientes (Recursos)?Para hallar el valor máximo y minino de uso de cada recurso.

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CAPITULO II

Análisis de Sensibilidad a Problemas

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2.1 Análisis de Sensibilidad (NIVEL A)

1)1) Una compañía fabrica dos modelos de sombrero: Bae , Viz y Ala. La fabricación de los sombreros se realiza en las secciones de moldeado, pintura y montaje. La fabricación de cada modelo Bae requiere 2 horas de moldeado, 3 de pintura y una de montaje. La fabricación del modelo Viz requiere tres horas de moldeado, 2 de pintura y una de montaje.La fabricacion frl modelo Ala requiere 2horas de moldeado, 2 horas de pintura y 1 hora de montaje Las secciones de moldeado y pintura disponen, cada una, de un máximo de 1.500 horas cada mes, y la de montaje de 600. Si el modelo Bae se vende a S/100 , el modelo Viz a S/120 y el de ala a S/ 110, ¿Qué cantidad de sombreros de cada tipo ha de fabricar para maximizar el beneficio mensual?

Solución:

Bae Viz Ala DisponibilidadMoldeado 2h 3h 2h 1500 h

Pintura 3h 2h 2h 1500 hMontaje 1h 1h 1h 600 h

Precio de Venta S/100 S/120 S/110

Variable de Decisión:Xi=Número de sombreros tipo i(i=Bae, Viz, Ala=1,2,3) a producir.Función Objetivo: Max=100x1+120x2+110x3Moldeado2x1+3x2+2x3<=1500Pintura3x1+2x2+2x3<=1500Montaje1x1+1x2+1x3<=600

Modelo PLMax 100x1+120x2+110x3st2x1+3x2+2x3<=15003x1+2x2+2x3<=15001x1+1x2+1x3<=600end

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 69000.00

VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 10.000000 X2 300.000000 0.000000 X3 300.000000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 10.000000 3) 300.000000 0.000000 4) 0.000000 90.000000

NO. ITERATIONS= 2

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RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 100.000000 10.000000 INFINITY X2 120.000000 45.000000 10.000000 X3 110.000000 10.000000 10.000000

RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 1500.000000 300.000000 300.000000 3 1500.000000 INFINITY 300.000000 4 600.000000 150.000000 100.000000

Interpretación:Ingreso por Precio de Venta: 69000 X1 0 sombreros tipo Bae, para que se elabore se debe tener un precio de venta mayor de:100 + 10=110 X2 300 sombrero tipo Viz, X3 300 sombreros tipo Ala

Moldeado:Se usan todas la horas de moldeado, por cada hora adicional se gana 10

Pintura: 300 horas sobra del departamento de pintura.Montaje: Se usan todas las horas de montaje, por cada hora adicional se gana 90

Optimalidad:

Rangos de Ci:Sombrero BaeX1 100.000000 10.000000 INFINITY(100-infinito)<=c1<=(100+10)-infinito<=c1<=110El precio máximo del sombrero tipo Bae es: 110 El precio mínimo del sombrero tipo Bae es: 0

Sombrero Viz X2 120.000000 45.000000 10.000000(120-10)<=c2<=(120+45)110<=c2<=165El precio máximo del sombrero tipo Viz es: 165 El precio mínimo del sombrero tipo Viz es: 110

Sombrero Ala X3 110.000000 10.000000 10.000000(110-10)<=c3<=(110+10)100<=c3<=120El precio máximo del sombrero tipo Ala es: 120 El precio mínimo del sombrero tipo Ala es: 100

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2)2) Un hipermercado necesita como máximo 16 cajas de langostino, 5 cajas de nécoras y 20 de percebes. Dos mayoristas, A y B, se ofrecen al hipermercado para satisfacer sus necesidades, pero sólo venden dicho marisco en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de langostinos, 1 de nécoras y 2 de percebes. Por su parte, B envía en cada contenedor 2, 1 y 7 cajas respectivamente. Cada contenedor que suministra A da una ganancia de S/210, mientras que los del mayorista B S/300 cada uno. ¿Cuántos contenedores debe pedir el hipermercado a cada mayorista para satisfacer sus necesidades mínimas con el menor coste posible?Solución:

Contenedor A Contenedor B Compra MáximaLangostino 8 cajas/contenedor 2 cajas/contenedor 16 cajasNécoras 1 cajas/contenedor 1 cajas/contenedor 5 cajasPercebes 2 cajas/contenedor 7 cajas/contenedor 20 cajasGanancia S/210/contenedor S/ 300/contenedor

Variable de Decisión:Xi= Numero de contenedores de tipo i(i=A,B=1,2) a pedir.Función Objetivo:Max=210x1+300x2Sujeto a:Cajas de Langostinos:8x1+2x2<=16Cajas de Nécoras:1x1+1x2<=5Cajas de Percebes:2x1+7x2<=20

LINDO:

Max 210x1+300x2St8x1+2x2<=161x1+1x2<=52x1+7x2<=20end



1) 1029.231

VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 1.384615 0.000000 X2 2.461539 0.000000


NO. ITERATIONS= 2


11

OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 210.000000 990.000000 124.285713 X2 300.000000 435.000000 247.500000


Interpretación:

Ganancia a obtener: 1029.231

Contenedores tipo A : X1 1.384615 Contenedores tipo B: X2 2.461539

Cajas de Langostinos: 0.000000 ,se usa todo lo disponible y si se pide una caja mas se gana: 16.730770Cajas de Nécoras: 1.153846 , son cajas que no se han usado por lo tanto su precio dual es :0.000000Cajas de Percebes:

0.000000,se usa todo lo disponible y si se pide una caja mas se gana: 38.076923

Optimalidad:Rangos en Ci La ganancia por cada tipo de contenedor tiene el siguiente rango:Tipo A: X1 210.000000 990.000000 124.285713(210-124.285713) <= c1<= (210+990)

El precio máximo es de :1200El precio mínimo es de:85,71Tipo B: X2 300.000000 435.000000 247.500000(300-247,5)<= c2<=(300+435)

El precio máximo es de :735El precio mínimo es de: 52,5Mientras se este dentro de estos rangos la solución no cambia.

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Rangos en Bi

Cajas de Langostinos: 16.000000 12.000000 10.285714(16-10,285714)<=b1<=(16+12)La máxima cantidad de cajas que puede comprar el supermercado es: 16+12=28La mínima cantidad de cajas que puede comprar el supermercado es: 16-10,285714=5,714Cajas de Nécoras: 5.000000 INFINITY 1.153846(5-1,153846)<=b2<=(5+infinito)La máxima cantidad de cajas que puede comprar el supermercado es: 5+infinito= InfinitoLa mínima cantidad de cajas que puede comprar el supermercado es: 5-1,153846=3,846Cajas de Percebes: 20.000000 10.000000 16.000000(20-16)<=b3<=(20+10)La máxima cantidad de cajas que puede comprar el supermercado es: 20+10=30La mínima cantidad de cajas que puede comprar el supermercado es: 20-16=4Si se mantienen dentro de estos rangos el modelo es optimo.

3)3) Un carpintero tiene que construir mesas rectangulares cuyas dimensiones no sobrepasen 2 metros y tales que la suma de su dimensión mayor y el doble de la menor no sobrepase 4 metros. ¿Cuál es el máximo valor del perímetro de dichas mesas?

Solución:Variable de Decisión:Xi= Dimensión del lado i(i=Mayor, Menor=1,2) de las mesas a construir.Función Objetivo:MAX=2X1+2X2Sujeto a:Dimensión del lado mayor:X1<=2Dimensión del lado menor:X2<=2Requerimiento:X1+2X2<=4

LINDO

MAX 2X1+2X2stX1<=2X2<=2X1+2X2<=4endLP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 6.000000



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NO. ITERATIONS= 2


OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 2.000000 INFINITY 1.000000 X2 2.000000 2.000000 2.000000


Interpretación:La máxima dimensión de la mesa es: 6.La dimensión del lado mayor es de: X1=2.La dimensión del lado menor es de: X2 =1.

Dimensión del lado mayor: 0.000000 ,se ha cumplido con el requerimiento, si se incrementa en una unidad ,la dimensión se incrementa en 1 unidadDimensión del lado menor: 1,se esta por debajo del requerimiento máximo en 1 dimensión, por lo tanto su precio dual es 0.000000Requerimiento:Se ha cumplido el requerimiento del perímetro, si este se incrementa la dimensión se incrementa en 1

Optimalidad:Rango en Ci

Lado Mayor X1 2.000000 INFINITY 1.000000(2-1)>=c1<=(2+infinito)La dimensión máxima del lado mayor es : 2+infinito = InfinitoLa dimensión mínima del lado mayor es: 2-1=1 Lado Menor X2 2.000000 2.000000 2.000000(2-2)<=c2<=(2+2)La dimensión máxima del lado menor es : 2+2 = 4La dimensión mínima del lado mayor es: 2-2=0. Cosa que seria imposible.

Factibilidad:Rangos en Bi

Dimensión del lado mayor: 2 2.000000 2.000000 2.000000(2-2)<=b1(2+2)El valor máximo del lado mayor es: 2+2=4El valor mínimo del lado mayor es: 2-2=0Dimensión del lado menor: 3 2.000000 INFINITY 1.000000

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(2-1)<=b2<=(2+infinito)El valor máximo del lado menor es: 2-1=1El valor mínimo del lado menor es: 2+infinito=infinito

Requerimiento: 4 4.000000 2.000000 2.000000(4-2)<=b3<0(4+2)

El valor máximo del requerimiento es: 4 +2=6El valor mínimo del requerimiento es: 4 -2=2

4) Una empresa fabrica dos tipos de colonia: A y B. La primera contiene un 15% de extracto de jazmín, un 20% de alcohol y el resto es agua y la segunda lleva un 30% de extracto de jazmín, un 15% de alcohol y el resto es agua. Diariamente se dispone de 60 litros de extracto de jazmín y de 50 litros de alcohol. Cada día se pueden producir como máximo 150 litros de la colonia B. El precio de venta por litro de la colonia A es de S/50 y el de la colonia B es S/20 . Hallar los litros de cada tipo que deben producirse diariamente para que el beneficio sea máximo.Solución:

A B DisponibleExtracto de jazmín 0,15 0,30 60 litros

Alcohol 0,20 0,15 50 litrosProducción

maxima150 litros

Precio de Venta S/ 50 S/ 20

Variable de Decisión:Xi= Número de litros de ingrediente i(i=Extracto de jazmin,Alcohol=1,2) a usar.Función Objetivo:Max=50x1+20x2Restricciones:Extracto de jazmín:0,15x1+0,30x2<=60Alcohol:0,20x1+0,15x2<=50Producción máxima:x2<=150

LINDOMax 50x1+20x2st0,15x1+0,30x2<=600,20x1+0,15x2<=50x2<=150

1) 12500.00



NO. ITERATIONS= 1

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OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 50.000000 INFINITY 23.333334 X2 20.000000 17.500002 INFINITY

RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 60.000000 INFINITY 22.500000 3 50.000000 30.000000 50.000000 4 150.000000 INFINITY 150.000000

Interpretación;El ingreso por las ventas es: 12500

Se va a producir: X1 250.litros de colonia tipo A X2 0.litros de colonia tipo B, para que esta pueda ser elaborada suPrecio debería de ser mayor de: 20 + 17.500002 = 37,5

Extracto de jazmín: Me esta sobrando 22.5 litros.Alcohol: No me sobra nada de alcohol, si compra un litro de alcohol mas gano: 250.Producción máxima de B Como no se elabora producto B ,150 sobra de demanda de este producto.

Optimalidad:Rangos en Ci:

COEF INCREASE DECREASE X1 50.000000 INFINITY 23.333334(50-23,333334)<=c1<=(50+infinito)El precio de venta máximo de la colonia tipo A es: 50+infinito=InfinitoEl precio de venta mínimo de la colonia tipo A es: 50-23,333334=26,66

X2 20.000000 17.500002 INFINITY(20-infinito)<=c2<=(20+17,5)El precio de venta máximo de la colonia tipo B es: 20+17,5=37,5El precio de venta mínimo de la colonia tipo B es: 20-infinito=0

Factibilidad:Rango en Bi:

Extracto de jazmín:

2 60.000000 INFINITY 22.500000(60-22,5)<= b1<=(60+infinito)37,5<=b1<=infinitoLa cantidad máxima de litros de extracto de jazmín es: InfinitoLa cantidad mínima de litros de extracto de jazmín es: 37,5

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alcohol: 3 50.000000 30.000000 50.000000(50-50)<=b2<=(50+30)0<=b2<=80La cantidad máxima de litros de alcohol es: 80La cantidad mínima de litros de alcohol es: 0

Producción máxima de colonia tipo B

4 150.000000 INFINITY 150.000000(150-150)<=b3<=(150+infinito)0<=b3<=infinitoLa cantidad máxima de litros de colonia tipo B es: InfinitoLa cantidad mínima de litros de colonia tipo B es: 0

5) Cada mes una empresa puede gastar. Como máximo, S/1.000.000 en salarios y S/ 1.800.000 . en energía (electricidad y gasoil). La empresa sólo elabora dos tipos de productos A y B. Por cada unidad de A que elabora gana S/80 y S/50 por cada unidad de B. El coste salarial y energético que acarrea la elaboración de una unidad del producto A y una del B aparece en la siguiente tabla:

A BCoste salarial 200 100Coste energético 100 300

Se desea determinar cuántas unidades de cada uno de los productos A y B debe producir la empresa para que el beneficio sea máximo.

Solución:Variables de Decisión:Xi = Número de unidades del producto i(i=A,B=1,2) a elaborar.

Función Objetivo:Max=80x1+50x2Restricciones:Coste Salarial:200x1+100x2<=1000000Coste Energético:100x1+300x2<=1800000

LINDOMax 80x1+50x2st200x1+100x2<=1000000100x1+300x2<=1800000end LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2


1) 452000.0


ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.380000 3) 0.000000 0.040000

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NO. ITERATIONS= 2



RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 1000000.000000 2600000.000000 400000.000000 3 1800000.000000 1200000.000000 1300000.000000

Interpretación:

Ganancia: 452000.

Producción:Tipo A: X1 2400 unidades del producto ATipo B: X2 5200 unidades del producto B

Coste Salarial: Se usa todo el dinero de costo salarial, si se usa una unidad mas del presupuesto se gana 0.38Coste Energético:Se usa todo el dinero de costo energético, si se usa una unidad mas del presupuesto segana 0.04

Optimabilidad:Rango de BiProducto A X1 80.000000 19.999998 63.333332(80-63,33)<=c1<=(80+19,99)16,67<=c1<=99,99

La ganancia máxima del producto A es: 99,99La ganancia minina del producto A es: 16,67

Producto B;

X2 50.000000 189.999985 9.999999(50-9,99)<=c2<=(50+189,99)40.01<=c2<=239,99La ganancia máxima del producto B es: 239,99La ganancia minina del producto B es: 40,01

Factiblidad:Bi

Coste Salarial: (1000000-400000)<=b1<=(1000000+2600000)

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600000<=b1<=3600000La cantidad máxima de dinero para coste salarial es: 3600000La cantidad mínima de dinero para coste salarial es: 600000

Coste Energético: (1800000-1300000)<=b2<=(1800000+1200000)500000<=b2<=3000000La cantidad máxima de dinero para coste energético es: 3000000La cantidad mínima de dinero para coste energético es: 500000

6) Una fábrica textil elabora prendas de punto de calidades A , B y C. Las de calidad A se fabrican con 1 unidad de lana y 2 unidades de fibra sintética y las de calidad B con dos unidades de lana y 1 de fibra sintética.,las de calidad C con 2 unidades de lana y 3 de fibra sintetica. Los beneficios obtenidos en la venta de las prendas son de S/1500 para las de calidad A ,S/1000 para las de calidad B y S/800 para las de calidad C. Sabiendo que sólo se dispone de 180 unidades de lana y 240 de fibra sintética, se pide:

a) Determinar cuántas prendas de cada tipo deben elaborarse para obtener un beneficio máximo si la producción no puede ser superior a 1.000 prendas.

b) ¿A cuánto ascenderá dicho beneficio? Justificar las respuestas.

Solución:

A B C DISPONIBLELANA 1 2 2 180FIBRA

SINTETICA2 1 3 240

Beneficios S/ 1500 S/ 1000 S/ 800

Variable de Decisión:Xi= Número de unidades de prendas de calidad i(i=A,B,C=1,2,3) a elaborar.Función Objetivo:Max=1500x1+1000x2+800x3Restricciones:Lana:1x1+2x2+2x3<=180Fibra Sintética:2x1+1x2+3x3<=240Producción:x1+x2+x3<=1000

LINDO

Max 1500x1+1000x2+800x3st1x1+2x2+2x3<=1802x1+1x2+3x3<=240x1+x2+x3<=1000end



1) 190000.0


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NO. ITERATIONS= 2


OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 1500.000000 500.000000 1000.000000 X2 1000.000000 2000.000000 250.000000 X3 800.000000 1533.333374 INFINITY

RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 180.000000 300.000000 60.000000 3 240.000000 120.000000 150.000000 4 1000.000000 INFINITY 860.000000

Interpretación:Beneficio: 190000

Producción: X1 100 prendas tipo A X2 40 prendas tipo B X3 0 prendas tipo C,para elaborarse debe tener un beneficio mayor de:800 + 1533.333374 = 2333,33

Lana: Se usa toda la lana disponible, si se usa 1 unidad mas se gana 166,666Fibra Sintética: Se usa toda la lana disponible si se usa 1 unidad mas se gana 666.666687Producción: 860 unidades de capacidad de producción no se usa.

Optimalidad:Rangos de Ci:Prenda tipo A

X1 1500.000000 500.000000 1000.000000(1500-1000)<=c1<=(1500+500)500<=c1<=2000El beneficio máximo del producto tipo A es:2000El beneficio mínimo del producto tipo A es:500

Prenda tipo B X2 1000.000000 2000.000000 250.000000(1000-250)<=c2<=(1000+2000)750<=c2<=3000El beneficio máximo del producto tipo B es:3000

20

El beneficio mínimo del producto tipo B es:750

Prenda tipo C X3 800.000000 1533.333374 INFINITY(800-infinito)<=c3<=( 800 +1533,33)-infinito<=c3<=2333,33El beneficio máximo del producto tipo C es:2333,33El beneficio mínimo del producto tipo C es: 0

Factibilidad:Rangos de Bi Lana: 180.000000 300.000000 60.000000(180-60)<=b1<=(180+300)120<=b1<=480Cantidad máxima de unidades de lana: 480Cantidad mínima de unidades de lana: 120

Fibra Sintética: 240.000000 120.000000 150.000000(240-150)<=b2<=(240+120)90<=b2<=360Cantidad máxima de unidades de fibra sintética: 360Cantidad mínima de unidades de fibra sintética: 90

Producción: 1000.000000 INFINITY 860.000000(1000-860)<=b3<=(1000+infinito)140<=b3<=infinitoCantidad máxima de unidades de producción: InfinitoCantidad mínima de unidades de producción: 140

Factibilidad:Rangos en Bi

Moldeado: 1500.000000 300.000000 300.000000(1500-300)<=b1<=(1500+300)1200<=b1<=1800Horas máximas para moldeado: 1800Horas mínimas para moldeado: 1200

Pintura: 1500.000000 INFINITY 300.000000(1500-300)<=b2<=(1500+infinito)1200<=b2<=infinitoHoras máximas para pintura: infinitoHoras mínimas para pintura: 1200

Montaje: 600.000000 150.000000 100.000000(600-100)<=b3<=(600+150)500<=b3<=750Horas máximas para montaje: 750Horas mínimas para montaje: 500

21

CAPITULO III

Análisis de SensibilidadNIVEL B

22

PROBLEMA 1.- Un editor dedica parte de su tiempo a la elaboración de afiches publicitaria. La empresa A le paga 5. por cada afiche elaborado y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 por afiche. El editor hace dos tiraje: una para los afiches A, en la que caben 120, y otra para los afiches B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de elaborar 150 afiches como máximo.

Afiche A Afiche B disponibleGanancia 5 7Cantidad <=120 <=100Cantidad Máxima 150

Variable:Xi= Número de afiches tipo i(i=A,B=1,2)Función Objetivo:Max 5x1+7x2StCantidad maxima de Afiche AX1<=120Cantidad maxima de afiche BX2<=100Cantidad maxima combinadaX1+x2<=150End

LINDO LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 950.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 50.000000 0.000000 X2 100.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 70.000000 0.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 0.000000 5.000000

NO. ITERATIONS= 2


OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 5.000000 2.000000 5.000000 X2 7.000000 INFINITY 2.000000

RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 120.000000 INFINITY 70.000000 3 100.000000 50.000000 70.000000 4 150.000000 70.000000 50.000000

23

OBJECTIVE FUNCTION VALUEGANANCIA

2) 950.0000

UNIDADES A ELABORAR

VARIABLE VALUE REDUCED COSTTIPO A

X1 50.000000 0.000000 TIPO B X2 100.000000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICESSOBRANTE DE CAPACIDAD DE AFICHE TIPO A

2) 70.000000 0.000000, precio dual cero

NO HAY SOBRANTE DE CAPACIDAD DE AFICHE TIPO B

3) 0.000000 2.000000 ,precio dual 2,es decir por cada afiche tipo B adicional se gana 2

NO HAY SOBRANTE DE CAPACIDAD MAXIMA

4) 0.000000 5.000000, precio dual 5,es decir por cada unidad adicional combinada se gana 5

NO. ITERATIONS= 2


OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE

X1 5.000000 2.000000 5.000000Para afiche tipo ALa ganancia máxima es : 5+2 =7La ganancia mínima es: 5-5=0 X2 7.000000 INFINITY 2.000000Para afiche tipo BLa ganancia máxima es : 7+infinito =InfinitoLa ganancia mínima es: 7-2=5

RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 120.000000 INFINITY 70.000000Afiche tipo A:Cantidad Máxima : 120+0=120Cantidad Mínima: 120-70=50 3 100.000000 50.000000 70.000000Afiche tipo B:Cantidad Máxima : 100+50=150Cantidad Mínima: 100-70=30

4 150.000000 70.000000 50.000000Cantidad máxima combinadaValor máximo : 150+70=220

24

Valor mínimo: 150-50=100PROBLEMA 2.- SONY fabrica dos productos: (1) el Pentium III un radiocasete portátil y (2) el Pentium IV. El proceso de producción de ambos productos se asemeja en que los dos necesitan un número de horas de trabajo en el departamento de electrónica, y un cierto número de horas de mano de obra en el departamento de montaje. Cada Pentium III necesita cuatro horas de trabajo de electrónica y dos en el taller de montaje. Cada Pentium IV necesita tres horas de electrónica y una en montaje. Durante el actual período de producción se dispone de doscientas cuarenta horas en el departamento de electrónica y de cien horas en el de montaje. Cada Pentium III vendido supone un beneficio de 700 dólares, mientras que para una Pentium IV el beneficio unitario es de 500 dólares. El problema de SONY es determinar la mejor combinación posible de Pentium III y PENTIUM IV que debe producir para alcanzar el máximo beneficio.

Pentium III Pentium IV DisponibleDpto. Electrónica 4h/unid 3h/unid 240 hDpto. Mano de Obra 2h/unid 1h/unid 100 hBeneficio $700/unid $500/unid

Variable de Decisión:Xi= Número de unidades del producto tipo i(i= Pentium III, Pentium IV=1,2) a producir.Función Objetivo:Max 700x1+500x2Restricciones:Dpto. Electrónica4x1+3x2<=240Dpto. Mano de Obra2x1+x2<=100

LINDOMax 700x1+500x2St4x1+3x2<=2402x1+x2<=100



1) 41000.0000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 30.000000 0.000000 X2 40.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 150.0000 3) 0.000000 50.0000 NO. ITERATIONS= 2 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 700.000000 300.000000 33.3333 X2 500.000000 0250.000 150.0000


25

Ganancia: 41000Producción: X1 =30 Pentium III , X2 =40. Pentium IV

Dpto Electronica,todo el tiempo se usa.y si se incrementa se gana 150 por cada hora adicional.Dpto de Mano de Obra, todo el tiempo se usa.y si se incrementa se gana 50 por cada hora adicional. Variación de beneficios:Pentium III ,

X1 700.000000 300.000000 33.3333(700-33,3)<=c1<=(700+300)667.7<=c1<=1000Beneficio maximo: 1000Beneficio minimo:667,7

Pentium IV X2 500.000000 25.0000 150.0000(500-150)<=c2<=(500+ 25)350<=c2<=525Beneficio máximo :525Beneficio mínimo: 350

Variación de horas:Dpto. electrónica: 2 240.000000 60.000000 40.000000(240-40)<=b1<=(240+60)200<=b1<=300Horas máximas :300 horasHoras mínimas: 200 horasDpto. Mano de obra 3 100.000000 20.000000 20.000000(100-20)<=b2<=(100+20)80<=b2<=120Horas máximas :120 horasHoras mínimas: 80 horas

26

Problema 3.

La empresa de zapatos Risto, elabora dos tipos de zapatos de adultos y de niños, los datos recogidos Se dan en la siguiente tabla:

RECURSOS ZAPATOS DE ADULTOS

ZAPATOS DE NIÑO DISPONIBLE

CUERO 35 PIES/DOCENA 24 PIES/DOCENA 1250 PIES/SEMANAPLANTAS 12

PLANTAS/DOCENA12 PLANTAS/DOCENA

COSTO DE PLANTAS

S/90/DOCENA S/60 /DOCENA

OTROS COSTOS S/42/DOCENA S/30/DOCENAPERFILADO S/28/DOCENA S/20/DOCENAENSUELADO S/30/DOCENA S/25/DOCENAALISTADO S/8/DOCENA S/8/DOCENACUEROS(S6/PIE) S/210/DOCENA S/144/DOCENACOSTO TOTAL S/408/DOCENA S/227/DOCENA

PRECIO DE VENTA

S/540/DOCENA S/300/DOCENA

UTILIDAD S/132/DOCENA S/73/DOCENA

DEMANDA 20 DOCENAS/SEMANA

15 DOCENAS/SEMANA

PERFILADO 8H/DOCENA-TRABAJADOR

8H/ DOCENA-TRABAJADOR

(6TRABAJ/DIA)(6DIAS/SEMANA)*(10H/DIA)

ENSUELADO 8H/ DOCENA-TRABAJADOR



ALISTADO 4H/ DOCENA-TRABAJADOR



Con la información dada, elaborar el modelo lineal y hacer el análisis de sensibilidad.

Solución:

Variable de decisión:Xi= Docenas de zapatos de tipo I(I= de adultos,de niños=1,2) a producir semanalmente

Función Objetivo:

Maximizar utilidades:

MAX=(S/132/docenas)(X1 docenas/semana)+(S/73/docena)(X2 docenas/semana)

Cuero:35X1+24X2<=1250Perfilado:8X1+8X2<=360Ensuelado:8X1+8X2<=420

Alistado:4X1+4X2<=180Demanda de zapatos de adultos:X1>=20

27

Demanda de zapatos de niños:X2>=15

LINDO

MAX132X1+73X2

ST

35X1+24X2<=12508X1+8X2<=3608X1+8X2<=4204X1+4X2<=180X1>=20X2>=15



1) s/4451.571 de utilidad semanal.

VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 25.428572 0.000000 ,producir 25.42 docenas de zapatos de adultos a la semana X2 15.000000 0.000000,producir 15 docenas de zapatos de niños a la semana

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 3.771429,todo el cuero se usa,por cada pie adicional se gana s/3.77 3) 36.571430 0.000000,sobra 36.57 horas de perfilado 4) 96.571426 0.000000,sobra 96.57 horas de ensuelado 5) 18.285715 0.000000,sobra 18.28 horas de alistado 6) 5.428571 0.000000,sobra 5.52 docenas de zapatos de adultos 7) 0.000000 -17.514286,sobra 0 docenas de zapatos para niños, por cada docena adicional se pierde s/17.51 .

NO. ITERATIONS= 2


OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 132.000000 INFINITY 25.541666, la utilidad de zapatos de adultos puede crecer infinito y puede disminuir s/25.54 X2 73.000000 17.514286 INFINITYla utilidad de zapatos de niños puede crecer s/17.51 y puede disminuir infinito

RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 1250.000000 160.000000 189.999985, se puede incrementar los pies de cuero en 160 pies o se puede disminuir 189.99 pies 3 360.000000 INFINITY 36.571430

28

se puede incrementar infinito las horas de perfilado o se puede disminuir 36.57 horas 4 420.000000 INFINITY 96.571426se puede incrementar infinito las horas de ensuelado o se puede disminuir 96.57 horas 5 180.000000 INFINITY 18.285715se puede incrementar infinito las horas de alistado o se puede disminuir 18.28 horas 6 20.000000 5.428571 INFINITYse puede incrementar 5.42 docenas la demanda de zapatos de adultos o se puede disminuir infinito 7 15.000000 7.916666 15.000000se puede incrementar 7.91 docenas la demanda de zapatos de niños o se puede disminuir 15 docenas

Modificando la disponibilidad de cuero e incrementando a su máximo el modelo queda:

MAX132X1+73X2

ST

35X1+24X2<=14108X1+8X2<=3608X1+8X2<=4204X1+4X2<=180X1>=20X2>=15

LINDO


OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 5055.000 ,la utilidad se increnta a s/ 5055. VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 30.000000 0.000000 X2 15.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 3.771429 3) 0.000000 0.000000 4) 60.000000 0.000000 5) 0.000000 0.000000 6) 10.000000 0.000000 7) 0.000000 -17.514286 NO. ITERATIONS= 2 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 132.000000 INFINITY 25.541666 X2 73.000000 17.514286 INFINITY RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 1410.000000 0.000000 350.000000 3 360.000000 INFINITY 0.000000 4 420.000000 INFINITY 60.000000 5 180.000000 INFINITY 0.000000 6 20.000000 10.000000 INFINITY 7 15.000000 0.000000 15.000000

29

Problema 4El año venidero una compañía constructora puede participar en dos futuros proyectos. El flujo

de efectivo trimestral para los dos proyectos (las flechas hacia arriba representan gastos) se

resume en la siguiente figura.

1.0 3.1 1.5 1.8 5.0 3.0 2.5 1.5 1.8 2.8

0 3 6 9 12 0 3 6 9 12

Todos los fondos están en millones de unidad monetaria. La compañía tiene efectivo de $1 000

000 por trimestre y puede obtener préstamos por una unidad igual, al principio de cada

trimestre, con un interés nominal de 10% anual. Cualquier préstamo debe pagarse al principio

del siguiente trimestre. De esta manera los fondos excedentes pueden invertirse al 8% anual.

La compañía constructora desea determinar el resultado neto (pérdida o ganancia) se si

emprenden los proyectos. Supóngase que la compañía puede participar en los proyectos de

forma parcial o total. La participación parcial escalará los fondos de flujo de efectivo en forma

proporcional.La empresa desea maximizar sus fondos al final del año.

SOLUCION

a) Variables

Pi = fracción del proyecto i por emprenderse (0 ≤ Pi ≤ 1), i = 1.2.

Bi = cantidad tomada en préstamos (millones de unidad monetaria) en el

trimestre j, j = 1, 2, 3, 4.

Si = cantidad excedente (millones de unidad monetaria) al principio del

trimestre j, j = 1, 2, 3, 4.

b) Grafica:

c) Modelos Matemático

P1 + 3 P2 + S1 = 1 +B1

3.1 P1 + 2.5 P2 – 1.02S1 + S2 + 1.025B1 = 1 + B2

1.5 P1 - 1.5 P2 – 1.02S2 + S3 + 1.025B2 = 1 + B3

-1.8 P1 – 1.8 P2 – 1.02S3 + S4 + 1.025B3 = 1 + B4

-5 P1 – 2.8 P2 – 1.02S4 + S5 + 1.025B4 = 0

30

0 ≤ Pi ≤ 1, i = 1, 2.

0 ≤ Bj ≤ 1, j = 1,2,3,4.

Global optimal solution found. Objective value: 4.836624 Total solver iterations: 6

Variable Value Reduced Cost S5 4.836624 0.000000 P1 0.7112528 0.000000 P2 0.000000 0.3796149 S1 0.2887472 0.000000 B1 0.000000 0.6121702E-02 S2 0.000000 0.5972392E-02 B2 0.9103617 0.000000 S3 0.000000 0.1540784 B3 1.000000 0.000000 S4 1.255255 0.000000 B4 0.000000 0.5000000E-02

Row Slack or Surplus Dual Price 1 4.836624 1.000000 2 0.000000 1.248827 3 0.000000 1.224340 4 0.000000 1.194478 5 0.000000 1.020000 6 0.000000 1.000000 7 0.2887472 0.000000 8 1.000000 0.000000 9 1.000000 0.000000 10 0.8963830E-01 0.000000 11 0.000000 0.1489784 12 1.000000 0.000000

Ranges in which the basis is unchanged:

Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease S5 1.000000 INFINITY 1.000000 P1 0.0 INFINITY 0.5173937 P2 0.0 0.3796149 INFINITY S1 0.0 0.6116225E-02 0.1675047 B1 0.0 0.6121702E-02 INFINITY S2 0.0 0.5972392E-02 INFINITY B2 0.0 0.5993967E-02 0.2069426 S3 0.0 0.1540784 INFINITY B3 0.0 INFINITY 0.1489784 S4 0.0 0.5000000E-02 3.797778 B4 0.0 0.5000000E-02 INFINITY

Righthand Side Ranges Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease 2 1.000000 1.580583 0.3352941 3 1.000000 1.612195 0.3420000 4 1.000000 0.1245146 1.264563 5 1.000000 INFINITY 1.255255

31

6 0.0 INFINITY 4.836624 7 1.000000 INFINITY 0.2887472 8 1.000000 INFINITY 1.000000 9 1.000000 INFINITY 1.000000 10 1.000000 INFINITY 0.8963830E-01 11 1.000000 0.1245146 1.000000 12 1.000000 INFINITY 1.000000

Análisis de Sensibilidad

Para el problema planteado, podemos observar en los cuadros que la solución recomendada

es: La empresa debe invertir en el proyecto 1 de manera parcial, con una participación del

71.13% y abstenerse de participar en el proyecto 2. Obteniendo así una fondo acumulado al

final del año de 5.8366 millones de Um.

También se puede determinar que si se desea obtener un poco más de fondo acumulado, es

recomendable gestionar un aumento en el préstamo del 3er trimestre, aumento que sería de

0.1245 millones de Um, obteniendo así un aumento en la función objetivo de 0.01855 millones

de Um.

PROBLEMA 5

El vivero Walnut tiene dos granjas en donde se cultiva trigo y maíz. Debido a las condiciones del suelo distintas, hay diferencias en el rendimiento y el costo al cultivar los cereales en las dos granjas. Ambas granjas cuentan cada una con 100 acres disponibles para el cultivo. Se deben sembrar 1100 bushel de trigo y 7000 bushel de maíz. Encuentre un plan de siembra q minimice el costo para poder cumplir con la demanda ¿Como se podría usar una generalización de este modelo para asignar en forma eficiente la producción de cultivos en toda una nación?

Granja 1 Granja 2 RequerimientoTrigo 400 bushel/acre 350 bushel/acre 1100 bulshelsCosto 90$/acre 80 $/acre Maíz 500 bushel/acre 850 bushel/acre 7000 bulshelsCosto 100 $/acre 120 $/acre Disponible 1000 acre 1000 acre

MODELO DE PL

min 90x11+80x12+100x21+120x22stx11+x21<=100 Acresx12+x22<=100 Acres400x11+350x12>=11000 bushels de trigo 500x21+650x22>=7000 bushels de maiz End

ANALISIS DE SENSIBILIDAD:



32

1) 3767.308 $/acre

VARIABLE VALUE REDUCED COST X11 27.500000 acres 0.000000 X12 0.000000 acres 1.250000 X21 0.000000 acres 7.692307 X22 10.769231 acres 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 72.500000 (slack) acres 0.000000 3) 89.230766 (slack) acres 0.000000 4) 0.000000 (surplus) bushels -0.225000 5) 0.000000 (surplus) bushels -0.184615

NO. ITERATIONS= 0


OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X11 90.000000 1.428571 90.000000 X12 80.000000 INFINITY 1.250002 X21 100.000000 INFINITY 7.692306 X22 120.000000 9.999998 120.000000

RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 100.000000 INFINITY 72.500000 3 100.000000 INFINITY 89.230766 4 11000.000000 29000.000000 11000.000000 5 7000.000000 57999.996094 7000.000000

Analizando las variables: X11:Es conveniente cultivar27.500000 acres trigo en la granja 1. X12: No es conveniente cultivar trigo en la granja 2. X21: No es conveniente cultivar maíz en la granja 1. X22 :Es conveniente cultivar10.769231 acres de maíz en la granja 2.

Analizando slack o surplus:

2) Sólo se uso27.5 acres, es decir hubo un sobrante de 72.5 acres .3) Se utilizó 10.77 acres, es decir hubo un sobrante de 89.23 acres 4) Se usaron los 11000 bushels, es decir no hubo excedentes.5) No hubo excedentes. Se usaron los 7000 bushels.

33

Problema 6

Steelco produce dos tipos de acero en tres acererías distintas. Cada acerería tiene disponibles en un mes dado 200 horas de tiempo de alto horno. Debido a las diferencias en los hornos de cada acerería, el tiempo y el costo por producir una tonelada de acero son distintas en cada una de ellas. El tiempo y el costo en cada una de ellas se proporciona en la tabla. Cada mes Steelco debe producir por lo menos 500 toneladas de acero 1 y 600 toneladas de acero2. Plantee un PL para minimizar el costo de producir el acero deseado.

Acero 1 Acero 2 Disponible

Acerería 1tiempo costo

20’ /tn $10 /tn

tiempo costo

22’/tn $11/tn

200 h/mes

Acerería2 24’ /tn $12/tn 18’/tn $9/tn 200 h/mes

Acerería 3 28’ /tn $14/tn 30’/tn $10/tn 200 h/mes

MODELO DE PLmin 10x11+11x12+12x21+9x22+14x31+10x32st20x11+22x12<=1200024x21+18x22<=1200028x31+30x32<=12000x11+x21+x31>=500x12+x22+x32>=600end

ANALISIS DE SENSIBILIDAD:



1) 10400.00 $/mes

VARIABLE VALUE REDUCED COST X11: 500.000000 tn/mes 0.000000 X12: 0.000000 tn/mes 2.000000 X21: 0.000000 tn/mes 2.000000 X22: 600.000000 tn/mes 0.000000 X31: 0.000000 tn/mes 4.000000 X32: 0.000000 tn/mes 1.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 2000.000000 (slack) min/mes 0.000000 3) 1200.000000 (slack) min/mes 0.000000 4) 12000.000000 (slack) min/mes 0.000000 5) 0.000000 (surplus) tn/mes -10.000000 6) 0.000000 (surplus) tn/mes -9.000000

34

NO. ITERATIONS= 2


OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X11 10.000000 2.000000 10.000000 X12 11.000000 INFINITY 2.000000 X21 12.000000 INFINITY 2.000000 X22 9.000000 1.000000 9.000000 X31 14.000000 INFINITY 4.000000 X32 10.000000 INFINITY 1.000000

RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 12000.000000 INFINITY 2000.000000 3 12000.000000 INFINITY 1200.000000 4 12000.000000 INFINITY 12000.000000 5 500.000000 100.000000 500.000000 6 600.000000 66.666664 600.000000

Analizando las variables:

X11:, Es conveniente producir 500.000000 tn/mes de acero de tipo 1 en la acerería 1. X12: No es conveniente producir acero de tipo 2 en la acerería 1. X21: No es conveniente producir acero de tipo 1 en la acerería 2. X22: Es conveniente producir 600.000000 tn/mes de acero de tipo 2 en la acerería 2. X31: No es conveniente producir acero de tipo 1 en la acerería 3. X32:No es conveniente producir acero de tipo 2 en la acerería 3.


2) Sólo se uso 10000 min/mes, es decir hubo un sobrante de 2000 min/mes. 3) Sólo se uso 10800 min/mes, es decir hubo un sobrante de 1200 min/mes. 4) Sólo se uso 0 min/mes, es decir hubo un sobrante de 12000 min/mes. 5) Se usaron los 500 toneladas/mes, es decir no hubo excedentes. 6) Se usaron los 600 toneladas/mes, es decir no hubo excedentes.

Problema 7

Candy Kane Cosmetics (CKC) fabrica el pefume Leslie, el cual requiere productos químicos y mano de obra. Hay dos procesos de producción: En el proceso 1 se transforma una unidad de mano de obra y dos unidades de productos químicos en 3oz de perfume. En el proceso 2 se transforma dos unidades de mano de obra y tres unidades de producto químico en 5oz de perfume. CKC gasta 3 dólares al comprar una unidad de mano de obra y 2 dólares por una unidad de productos químicos. Se pueden comprar cada año hasta 20000 unidades de mano de obra y 35000 unidades de productos químicos. Como no hay publicidad, CKC opina que puede vender 1000oz de perfume. Para estimular la demanda de Leslie, CKC. Desea contratar a la bella modelo Jenny Nelson. Jenny cobra 100 dolares la hora. Se estima que por cada hora que Jenny trabaja por la compañía la demanda del producto se incrementa en 200oz. Cada

35

onza del perfume Leslie se vende en 5 dólares. Utilice la PL para determinar como CKC puede maximizar su utilidad.

Proceso 1 Proceso 2 Costo Disponible

MO 1 unid/corrida 2 unid/corrida 3 $/unidad 2000 unidades

P. Químicos 2 unid/corrida 3 unid/corrida 2 $/unidad 35000unidades

Producción 3 onz/corrida 5 onz/corrida

Venta 1000 oz modelo

Precio de Venta 5 $/onza 5 $/onza 100$/unid 200 onz/unid

MODELO DE PL

max 15x1+25x2-100h-3x1-6x2-4x1-6x2st1x1+2x2<=200002x1+3x2<=350003x1+5x2-200h=1000end ANALISIS DE SENSIBILIDAD:

OBJECTIVE FUNCTION VALUE: 1) 118000.0$/corrida

VARIABLE VALUE X1 10000.000000 corrida X2 5000.000000 corrida H 270.000000 horas

ROW SLACK OR SURPLUS2) 0.000000 (slack) unidades 3) 0.000000 (slack) unidades

4) 0.000000 (slack) onzas

NO. ITERATIONS= 3


OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 15.000000 1.833333 2.250000 X2 25.000000 4.500000 2.750000 H -100.000000 100.000000 900.000000

RIGHTHAND SIDE RANGES

36

ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 20000.000000 3333.333252 2500.000000 3 35000.000000 5000.000000 5000.000000 4 1000.000000 14000.000000 INFINITY


El maximo beneficio es de 118000.0$/ y se da mediante lo sgte:

X1: Es conveniente 10000.000000 corridas en el proceso 1. X2 : Es conveniente 5000.000000 corridas en el proceso 2. H: Asimismo es conveniente contratar a la modelo por 270 horas.


2) Se usaron las 20000 unidades, no hubo sobrantes. 3) Se usaron las 35000 unidades, no hubo sobrantes. 4) Se usaron las 1000 onzas, no hubo sobrantes.

Problema 8El granjero Jones hornea dos tipos de pasteles (chocolate y vainilla)para complementar sus ingresos. Los pasteles de chocolate se pueden vender en 1 dólar cada uno y los de vainilla a 50centavos cada uno. Para elaborar un pastel de chocolate se requieren 20 minutos de horneado y 4 huevos. Cada pastel de vainilla requiere 40 minutos de horneado y solo un huevo. Se dispone de 8 horas de tiempo9 de horneado y de 30 huevos. Plantee un PL que maximice el ingreso del granjero.

Recursos Chocolate Vainilla Disponible

Horneado 20 min/unid de p.t 40 min/unid de p.t 8h

Huevos 4 unid/unid de p.t 1 unid/unid de p.t 30unid

P.venta 1$/unid de p.t. 50 cent/unid de p.t.

MODELO DE PL

max 100x1+50x2st20x1+40x2<=480 minutos de horneado4x1+1x2<=30 unidades de huevos end

ANALISIS DE SENSIBILIDAD: OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 985.7143 $

VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 5.142857 pasteles de chocolate 0.000000 X2 9.428572 pasteles de vainilla 0.000000

37

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 min 0.714286 3) 0.000000 huevos 21.428572

NO. ITERATIONS= 2





El máximo beneficio será de 985.7143 $ cuando se produzcan 5.142857 pasteles de chocolate y 9.428572 pasteles de vainilla


(2) y (3) son variables no básicas por lo tanto no existe minutos no huevos en exceso

38

CAPITULO IV

Análisis de SensibilidadCasos de Aplicación

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CASO I:

EMPRESA MORENOLa carpintería Moreno, ubicada en pasaje Condorcanqui252, La Esperanza, tiene dentro de sus productos ,tres que son de mayor demanda , roperos, sillones y camas, estos productos se vende al precio de 300 , 500 y 300 respectivamente, En su proceso de producción tiene el departamento de construcción, donde se utilizan unas 1.2 horas por cada ropero que se produce, 1.2 horas por sillón 1.7 horas por cama, se dispone de 1000 horas de trabajo.En el departamento de acabado se usa 0.8 horas para roperos, 2.3 para sillones y se dispone de 1200 horas.En cuanto a material a usar ,se tiene que para roperos se necesita 2 unidades, para sillones 4.5 y para camas 3 unidades, se dispone de 2000 unidades de materia prima.Se desea saber:1.-cual es su plan de producción y su ingreso máximo,¿cuánto gana por cada unidad que aumento de los recursos?2.- Si se tiene 2500 unidades de material ¿cual será el nuevo plan de producción?.3.-Si se tiene que cumplir con el pedido de 100 camas ,¿como afecta esto?4.-Si se quiere producir un nuevo tipo de cama, que da ingresos de 300, usa 1.8 horas de construcción, 0.3 horas de acabado y 1.3 de material, ¿Conviene elaborarlo?5.-Un persona externa desea que le brindemos 200 horas de construcción y nos paga s/150 la hora.¿Conviene hacer esto?6.-Si el precio de roperos baja a s/250,¿cuál e el nuevo plan de producción?Solución:Variables de DecisiónX1= Numero de roperos a producirX2= Numero de sillones a producirX3= Numero de camas a producir

Función Objetivo:Maximizar ingresosMAX 300X1+500X2+300X3RestriccionesDpto, de construcción1.2X1+1.2X2+1.7X3<=1000Dpto de Acabado0.8X1+2.3X2<=1200Material a usar2X1+4.5X2+3X3<=2000

LINDOMAX 300X1+500X2+300X3STCONSTR)1.2X1+1.2X2+1.7X3<=1000ACABADO)0.8X1+2.3X2<=1200MATERIAL)2X1+4.5X2+3X3<=2000END

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 276666.7


40

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES CONSTR) 0.000000 116.666664 ACABADO) 333.333344 0.000000 MATERIAL) 0.000000 80.000000

NO. ITERATIONS= 2



RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE CONSTR 1000.000000 199.999985 466.666656 ACABADO 1200.000000 INFINITY 333.333344 MATERIAL 2000.000000 555.555542 333.333313

Pregunta 1.-Ingreso máximo 276666.7

X1 700. roperos X2 133.333328 sillones X3 0. camas

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES CONSTR) 0.000000 116.666664 ACABADO) 333.333344 0.000000 MATERIAL) 0.000000 80.000000Por cada hora adicional en el dpto de construcción se gana s/ 116.66Por cada hora adicional en el dpto de acabado no se gana nadaPor cada kilogramo adicional se gana s/ 80

Pregunta 2.-

MAX 300X1+500X2+300X3STCONSTR)1.2X1+1.2X2+1.7X3<=1000ACABADO)0.8X1+2.3X2<=1200MATERIAL)2X1+4.5X2+3X3<=2500END

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 316666.7 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 500.000000 0.000000 X2 333.333344 0.000000 X3 0.000000 138.333344

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

41

CONSTR) 0.000000 116.666664 ACABADO) 33.333332 0.000000 MATERIAL) 0.000000 80.000000

NO. ITERATIONS= 2



RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE CONSTR 1000.000000 500.000000 99.999992 ACABADO 1200.000000 INFINITY 33.333332 MATERIAL 2500.000000 55.555550 833.333374Rpta Beneficio: 316666.7 Plan de producción: X1 500.roperos X2 333.333344 sillones X3 0.000000 camas

Pregunta 3.-MAX 300X1+500X2+300X3STCONSTR)1.2X1+1.2X2+1.7X3<=1000ACABADO)0.8X1+2.3X2<=1200MATERIAL)2X1+4.5X2+3X3<=2000CAMAS)X3>=100END



1) 262833.3


ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES CONSTR) 0.000000 116.666664 ACABADO) 456.666656 0.000000 MATERIAL) 0.000000 80.000000 CAMAS) 0.000000 -138.333328

NO. ITERATIONS= 3

42



RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE CONSTR 1000.000000 189.999985 376.666656 ACABADO 1200.000000 INFINITY 456.666656 MATERIAL 2000.000000 761.111084 316.666656 CAMAS 100.000000 418.518524 100.000000

RptaEl valor de la función objetivo baja a:

1) 262833.3 El Nuevo plan de producción es: X1 565.roperos X2 126.666664 sillones X3 100.camas

Pregunta 4.-

Nueva variable de decisión:X4= Cantidad a producir del nuevo estilo de cama

MAX 300X1+500X2+300X3+300X4STCONSTR)1.2X1+1.2X2+1.7X3+1.8X4<=1000ACABADO)0.8X1+2.3X2+0.3X4<=1200MATERIAL)2X1+4.5X2+3X3+1.3X4<=2000END



1) 276666.7

VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 700.000000 0.000000 X2 133.333328 0.000000 X3 0.000000 138.333344 X4 0.000000 13.999990


NO. ITERATIONS= 3

43


OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 300.000000 200.000000 6.422005 X2 500.000000 20.588188 200.000000 X3 300.000000 138.333328 INFINITY X4 300.000000 13.999986 INFINITY


Respuesta

El valor de la función objetivo original se mantiene:

1) 276666.7

El plan de producción original se mantiene X1 700 roperos X2 133.333328 sillones X3 0. camas X4 0.nuevo tipo de cama

Pregunta 5.-

MAX 300X1+500X2+300X3STCONSTR)1.2X1+1.2X2+1.7X3<=800ACABADO)0.8X1+2.3X2<=1200MATERIAL)2X1+4.5X2+3X3<=2000END



1) 253333.3



NO. ITERATIONS= 2

44




RptaEl Nuevo valor de la función objetivo es:S/ 253333.3 + S/150/h(200 h) = s/ 283333.3 ,como se aprecia su valor aumenta

El Nuevo plan de producción es: X1 400. roperos X2 266.666656 sillones X3 0. camas

Pregunta 6

MAX 250X1+500X2+300X3st1.2X1+1.2X2+1.7X3<=10000.8X1+2.3X2<=12002X1+4.5X2+3X3<=2000end



1) 241666.7



NO. ITERATIONS= 3


OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

45

COEF INCREASE DECREASE X1 250.000000 250.000000 27.777779 X2 500.000000 62.500000 250.000000 X3 300.000000 70.833336 INFINITY

RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 1000.000000 199.999985 466.666656 3 1200.000000 INFINITY 333.333344 4 2000.000000 555.555542 333.333313solución:

Ganancia 241666.7

Plan de producción: X1 700. sillas a producir X2 133.3 sillones a producir X3 0.0 camas a producir

Caso II:

“Tecnologías Palermo” S.R.L (SOCIEDAD RESPONSABLE LIMITADA)Problema Entero

Uno de los productos con mayor demanda en “Tecnologías Palermo “, es el tonner,(es un producto que se usa en las fotocopiadoras) ; entonces el modelo mixto que se va a elaborar se refiere a este producto, que en las ultimas doce semanas, según datos de la propia empresa ha mantenido su demanda, entonces primero se va a realizar un pronóstico para la demanda del próximo mes :Pronostico para calcular la demande del próximo mes

Semana Demanda1 402 403 404 40

Ahora otros Datos a considerar son:Precio de venta: s/ 20 / unidadCosto de Escasez: s/ 6 /unidadCosto de Inventario: s/ 0.50/unidadCosto de compra : s/ 14/unidadInventario inicial: 10 unidadesCosto Fijo de Inventario s/ 1

Cantidad de unidad posibles a quedar en inventario:

Semana 1 3 5 7 9

Semana 2 4 5 6 7Semana 3 5 6 7 8Semana 4 10 12 14 16

Según los datos obtenidos, un modelo de programación entera mixta aplicado a inventarios nos ayuda a determinar como va a estar desempeñándose óptimamente el sistema en las próximas cuatro semanas.El objetivo es maximizar la utilidad.Modelo PLVariables:Vi= Numero de unidades vendidas durante la semana i (i=1,2,3,4)

46

Ei= Numero de unidades en escasez durante la semana i (i=1,2,3,4)IFi= Numero de unidades en inventario durante la semana i(i=1,2,3,4)Ci= Numero de unidades compradas durante la semana i(i=1,2,3,4)Yij= 1 Unidades en inventario final en la semana i(i=1,2,3,4) en la opción j(j=1,2,3,4) 0 Unidades en inventario final en la semana i(i=1,2,3,4) en la opción j(j=1,2,3,4)Zi = 1 Se usa inventario en la semana i(i=1,2,3,4)

0 no se usa inventario

Formulas a usar:

Inventario Final: If = Io + C - VDemanda : D = V + E

Función Objetivo:Max = 20v1+20v2+20v3+20v4-6E1-6E2-6E3-6E4-0.5IF1-0.50IF2-0.50IF3-0.50IF4-14C1-14C2-14C3-14C4-1z1-1z2-1z3-1z4

Limitantes:Inventario semana 1IF1=10+C1-V1Demanda pronosticada semana 1V1+E1=40Inventario semana 2IF2=If1+C2-V2Demanda pronosticada semana 2V2+E2=40Inventario semana 3IF3= If2+C3-V3Demanda pronosticada semana 3V3+E3=40Inventario semana 4IF4= If3+C4-V4Demanda pronosticada semana 4V4+E4=40Inventario Final al final de la semana 1IF1>=3y11+5y12+7y13+9y14Y11+y12+y13+y14=1z1Inventario Final al final de la semana 2IF2>=4y21+5y22+6y23+7y24Y21+y22+y23+y24=1z2Inventario Final al final de la semana 3IF3>=5y31+6y32+7y33+8y34Y31+y32+y33+y34=1z3Inventario Final al final de la semana 4IF4>=10y41+12y42+14y43+16y44Y41+y42+y43+y44=1z4Unidades a Comprar en la semana 1c1<=30Unidades a Comprar en la semana 2c2<=60Unidades a Comprar en la semana 3c3<=40Unidades a Comprar en la semana 4c4<=50Unidades en inventario final en la semana 1if1>=5

47

Unidades en inventario final en la semana 2if2>=5Unidades en inventario final en la semana 3if3>=5Unidades en inventario final en la semana 4if4>=5

Pasando a forma de ingreso a LINDO

Max 20v1+20v2+20v3+20v4-6E1-6E2-6E3-6E4-0.5IF1-0.50IF2-0.50IF3-0.50IF4-14C1-14C2-14C3-14C4-1z1-1z2-1z3-1z4ST IF1+V1-C1=10V1+E1=40IF2+V2-C2-IF1=0V2+E2=40IF3+V3-C3-IF2=0V3+E3=40IF4+V4-C4-IF3=0V4+E4=4010y11+15y12+17y13+19y14-if1=0Y11+y12+y13+y14-1z1=014y21+15y22+16y23+17y24-if2=0Y21+y22+y23+y24-1z2=015y31+16y32+17y33+18y34-if3=0Y31+y32+y33+y34-1z3=010y41+12y42+14y43+16y44-if4=0Y41+y42+y43+y44-1z4=0c1<=30c2<=60c3<=40c4<=50if1>=5if2>=5if3>=5if4>=5

endint y11int y12int y13int y14int z1int y21int y22int y23int y24int z2int y31int y32int y33int y34int z3

int y41int y42int y43int y44

48

int z4


1) 811.0000 utilidad maxima

VARIABLE VALUE REDUCED COST Y11 1.000000 125.000000 Se usa inventario en la semana 1 en opción 1 Y12 0.000000 187.500000 Se usa inventario en la semana 1 en opción 2 Y13 0.000000 212.500000 Se usa inventario en la semana 1 en opción 3 Y14 0.000000 237.500000 Se usa inventario en la semana 1 en opción 4 Z1 1.000000 1.000000 Se usa inventario en la semana 1 Y21 0.000000 0.000000 Y22 1.000000 0.000000 Se usa inventario en la semana 2 en opción 2 Y23 0.000000 0.000000 Y24 0.000000 0.000000 Z2 1.000000 1.000000 Se usa inventario en la semana 2 Y31 1.000000 15.000000 Se usa inventario en la semana 3 en opción 1 Y32 0.000000 16.000000 Y33 0.000000 17.000000 Se usa inventario en la semana 3 en opción 3 Y34 0.000000 18.000000 Z3 1.000000 1.000000 Se usa inventario en la semana 3 Y41 1.000000 145.000000 Se usa inventario en la semana 4 en opción 1 Y42 0.000000 174.000000 Se usa inventario en la semana 4 en opción 2 Y43 0.000000 203.000000 Se usa inventario en la semana 4 en opción 3 Y44 0.000000 232.000000 Se usa inventario en la semana 4 en opción 4 Z4 1.000000 1.000000 Se usa inventario en la semana 4 V1 30.000000 0.000000 venta de 30 unidades en la semana 1 V2 40.000000 0.000000 venta de 40 unidades en la semana 2 V3 40.000000 0.000000 venta de 40 unidades en la semana 4 V4 40.000000 0.000000 venta de 40 unidades en la semana 5 E1 10.000000 0.000000 Unidades en escasez en la semana 1 E2 0.000000 12.000000 Unidades en escasez en la semana 2 E3 0.000000 11.500000 Unidades en escasez en la semana 3 E4 0.000000 12.000000 Unidades compradas en la semana 4 IF1 10.000000 0.000000 Inventario de 10 unidades en la semana 1 IF2 15.000000 0.000000 Inventario de 15 unidades en la semana 2 IF3 15.000000 0.000000 Inventario de 15 unidades en la semana 3 IF4 10.000000 0.000000 Inventario de 10 unidades en la semana 4 C1 30.000000 0.000000 30 Unidades compradas en la semana 1 C2 45.000000 0.000000 45 Unidades compradas en la semana 2 C3 40.000000 0.000000 40 Unidades compradas en la semana 3 C4 35.000000 0.000000 35 Unidades compradas en la semana 4

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 26.000000 3) 0.000000 -6.000000 4) 0.000000 14.000000 5) 0.000000 6.000000 6) 0.000000 14.500000 7) 0.000000 5.500000 8) 0.000000 14.000000 9) 0.000000 6.000000 10) 0.000000 12.500000 11) 0.000000 0.000000 12) 0.000000 0.000000 13) 0.000000 0.000000 14) 0.000000 1.000000

49

15) 0.000000 0.000000 16) 0.000000 14.500000 17) 0.000000 0.000000 18) 0.000000 12.000000 19) 15.000000 0.000000 20) 0.000000 0.500000 21) 15.000000 0.000000 22) 5.000000 0.000000 23) 10.000000 0.000000 24) 10.000000 0.000000 25) 5.000000 0.000000

CASO DE APLICACIÓN III:CONSTRUCCIÓN DE LINEA FERREA PARA IMPULSAR EL TURISMO EN LA PROVINCIA DE CANTAAntecedentes:Era el verano del 2004 cuando se invito a un grupo de ingenieros a participar de la toma de decisiones en el valle limeño de Canta, cuatro fuimos los seleccionados para realizar este trabajo. Al llegar a la reunión el alcalde Canteño señor Pablo Vilchez nos recibió con todos sus regidores y nos invito a pasar a la sala de sesiones donde de primera mirada pudimos observar una maqueta del anhelado ferrocarril que se deseaba construir allí, nos invito a tomar asiento y dijo:Miren Ingenieros, ustedes han sido seleccionados para que nos ayuden a planificar la instalación de la red de ferrocarril que deseamos construir para hacer más placentero el recorrido turístico que se hace en nuestro valle, como pueden apreciar estamos proponiendo la salida desde la calle 26 de Junio que es la calle principal de nuestro pueblo y donde seria la primera estación, además se venderían los boletos a los diferentes lugares a visitar y en cada lugar también se pueden vender boletos a cualquier otro dentro del recorrido del ferrocarril, esto por que algunos turistas desean bajar en algún lugar en especial, bueno el primer lugar a llegar partiendo desde Canta es Obrajillo, que queda a 3 kilómetros de acá, allí están las Cataras y la hidroeléctrica donde se puede visitar esta maravilla de la ingeniería así como los criaderos de truchas, 4 kilómetros después están San Miguel lugar privilegiado por su vista, donde se puede apreciar gran parte de nuestro valle y donde tenemos un Mirador muy visitado a parte de poder comprar queso por parte de los turistas.Bueno, aquí viene el problema, por presupuesto inicial solo podemos hacer un tramo directo, es decir desde San Miguel todavía se puede ir a Las lagunas y a la Cordillera de La Viuda que es muy bonito lugar y de sano esparcimiento o se puede hacer el tramo hacia Pariamarca y Huacos, lugares de gran producción láctea donde se pueden conseguir quesos, mantequillas y manjar blanco a precios bajos, como ven se debe elegir uno de esos tramos: o vamos a Pariamarca y Huacos o vamos a Las lagunas y a la Cordillera de La Viuda .Luego de un pequeño silencio el alcalde continuo:Hemos averiguado con algunos ingenieros mecánicos y gente familiarizada con los ferrocarriles y nos han dicho que según nuestro terreno se puede usar un tren desde Canta hacia la Cordillera de La Viuda de capacidad de 800 pasajeros o usar un tren desde Canta hacia Huacos con capacidad de 1200 pasajeros. Además según datos recogidos por nuestro departamento de turismo según encuestas ,el numero estimado de pasajeros que desean viajar entre cada par de estaciones al mes son:Estaciones de Llegadas

Estaciones de Destinos

Obrajillo San Miguel Pariamarca Huacos Las Lagunas

Cordillera de La Viuda

Canta 200 300 500 400 100 150Obrajillo 100 150 400 200 400

San Miguel 200 350 250 300Pariamarca 100

Las Lagunas

200

50

El Costo del viaje en tren ,es decir lo que cobraremos a los usuarios , entre cada tramo se ha calculado según nuestro personal encargado del departamento de Proyectos de la Municipalidad y lo tenemos en el siguiente cuadro:Estaciones de Llegadas


Obrajillo San Miguel Pariamarca Huacos Las Lagunas

Cordillera de La Viuda

Canta 8 12 17 21 24 30Obrajillo 10 15 19 15 23San Miguel 10 15 11 8Pariamarca 7Las Lagunas

9

Además el costo fijo de mantenimiento del tren en el tramo Canta – La Cordillera de La Viuda es de s/12000 y del tren del tramo Canta-Huacos es de s/ 10000.Estos son los datos ingenieros, nosotros deseamos decidir si va a ser rentable o no esta obra y si es así cual tramo conviene construir, si hubiera algún otro dato a proporcionales estamos presto a darles según nuestro alcance, terminando su exposición el Alcalde.Nos miramos entre los cuatro, vaya si que esto estaba un poco difícil, no era nada igual a los “problemitas” que resolvía el profesor en clase, además todo este pueblo estaba pendiente de nuestra respuesta y de verdad que se jugaba una cantidad de dinero considerable, bueno tuvimos que tomar una decisión, y tome valor y dije:Señores asumimos el reto, vamos a usar nuestros conocimientos para darle una solución a su propuesta, podemos reunirnos mañana, un murmullo se escucho en la sala y unas miradas asombradas de parte de mis amigos pude distinguir, señor para mañana a esta hora nos reunimos y le daremos a conocer la solución ,solo deseamos que nos den todo este día para trabajar, el alcalde se acerco me dio la mano y nos deseo suerte y salió, lo mismo hicieron los regidores y nos quedamos solos.

Preguntas:a) Haga un análisis de datos.b) Elabore un modelo linealc) Realice el análisis del resultado y el destino que debe llevar el ferrocarril.

Solución del Caso:a)Análisis de DatosPrimero pedimos un mapa del distrito para ubicar los lugares por donde se va a trasladar el tren, no interesaría las distancias entre ellas si no que serviría para realizar la formulación de programación lineal .Pasando a un dibujo apropiado se considera las ubicaciones de las siguientes maneras:

G

F

A B C D E

Donde:A: CantaB: ObrajilloC: San Miguel

51

D: PariamarcaE: HuacosF: Las LagunasG:La Cordillera de la Viuda Segundo, según vemos se tiene ingresos por los boletos vendidos además se tiene costos fijos, esto da a entender que la función objetivo es de maximizar las utilidades además se va a tener variables binarias por que se tiene costos fijos, esto llega entonces a considerar un modelo lineal entero mixto.

b) Modelo Lineal Entero:

Variable de decisión:Grande fue la discusión en cuanto a este factor, según los datos proporcionados y tomando en cuenta que lo deseado es transportar turistas la variable de decisión se va a considerar de la siguiente manera:Xij = Cantidad de pasajeros que viajara en el tren y que llega a la estación i y tiene destino j mensualmente.Y1 = 1 Se construye tramo de ferrocarril hasta Huacos 0 No se construye tramo de ferrocarril hasta HuacosY2 = 1 Se construye tramo de ferrocarril hasta Cordillera de la Viuda 0 No se construye tramo de ferrocarril hasta Cordillera de la Viuda

Limitantes:a) Capacidad de los trenes que efectúan los distintos tramos:

Tramo Canta Obrajillo la cantidad total de pasajeros que ingresa al ferrocarril en la estación A no debe superar la capacidad del tren que sale de esta estación:Xab+Xac+Xad+Xae+Xaf+Xag<=1200y1

Tramo Obrajillo San Miguel ,la cantidad total de pasajeros que efectuara este tramo no debe exceder la capacidad del tren. La cantidad de pasajeros corresponde a los que subieron al tren en A con destino C, D, E, F o G, mas los que subieron en B con los mismos destinos:Xac+ Xad + Xae + Xaf + Xag + Xbc + Xbd + Xbe + Xbf + Xbg<=1200y1

Tramo San Miguel Pariamarca, En el tramo C D la cantidad total de pasajeros corresponde, en este caso, a las personas que suben en la estación A, B ó C con destino D o E:Xad + Xae + Xbd + Xbe + Xcd+ Xce<=1200y1

Tramo Pariamarca - Huacos ,en el tramo D E la cantidad total de pasajeros corresponde, en este caso, a las personas que suben en la A, B, C ó D con destino E:Xae + Xbe + Xce + Xde<=1200y1

Tramo San Miguel-Las Lagunas, la cantidad total de pasajeros corresponde, en este caso, a los que suben en la estación A,B, o C con destino F ó G. La capacidad del tren que efectúasete tramo es de 800 pasajeros: Xaf + Xag + Xbf + Xbg + Xcf + Xcg<=800y2 Tramo Las lagunas-Cordillera de La Viuda, en el tramo F G la cantidad total de pasajeros corresponde, en este caso, a los que suben en A, B, C ó F con destino G:

Xag+Xbg+Xcg+Xfg<=800y2

Decisión a elegir el tramo:Y1+ y2 =1Llegadas Máximas a cada lugar:Xab<=200Xac<=300

52

Xad<=500Xae<=400Xaf<=100Xag<=150Xbc<=100Xbd<=150Xbe<=400Xbf<=200Xbg<=400Xcd<=200Xce<=350Xcf<=250Xcg<=300Xde<=100Xfg<=200

Función Objetivo:Como se tiene ingresos entre puntos del recorrido se a cambiado los nombres por la letras respectivas:

Estaciones de Llegadas


B C D E F GA 8 12 17 21 24 30B 10 15 19 15 23C 10 15 11 8D 7F 9

Entonces la función objetivo es:Maximizar los ingresos por la venta de boletos menos los costos fijos, esto queda expresado asi:Max=8xab+12xac+17xad+21xae+24xaf+30xag+10xbc+15xbd+19xbe+15xbf+23xbg+10xcd + 15xce + 11xcf +8xcg +7xde + 9xfg-10000y1-12000y2

Modelo Ingresado a LINDO

Max 8xab+12xac+17xad+21xae+24xaf+30xag+10xbc+15xbd+19xbe+15xbf+23xbg+10xcd + 15xce + 11xcf +8xcg +7xde + 9xfg-10000y1-12000y2stXab+Xac+Xad+Xae+Xaf+Xag-1200y1<=0Xac+ Xad + Xae + Xaf + Xag + Xbc + Xbd + Xbe + Xbf + Xbg-1200y1<=0Xad + Xae + Xbd + Xbe + Xcd+ Xce-1200y1<=0Xae + Xbe + Xce + Xde-1200y1<=0 Xaf + Xag + Xbf + Xbg + Xcf + Xcg-800y2<=0 Xag+Xbg+Xcg+Xfg-800y2<=0y1+y2=1Xab<=200Xac<=300Xad<=500Xae<=400Xaf<=100Xag<=150Xbc<=100Xbd<=150Xbe<=400Xbf<=200Xbg<=400

53

Xcd<=200Xce<=350Xcf<=250Xcg<=300Xde<=100Xfg<=200endinteger y1integer y2gin Xabgin Xacgin Xadgin Xaegin Xafgin Xaggin Xbcgin Xbdgin Xbegin Xbfgin Xbggin Xcdgin Xcegin Xcfgin Xcggin Xdegin Xfg

Solución de LINDO


1) 18550.00

VARIABLE VALUE REDUCED COST Y1 1.000000 10000.000000 Y2 0.000000 12000.000000 XAB 200.000000 -8.000000 XAC 300.000000 -12.000000 XAD 50.000000 -17.000000 XAE 400.000000 -21.000000 XAF 0.000000 -24.000000 XAG 0.000000 -30.000000 XBC 100.000000 -10.000000 XBD 0.000000 -15.000000 XBE 350.000000 -19.000000 XBF 0.000000 -15.000000 XBG 0.000000 -23.000000 XCD 50.000000 -10.000000 XCE 350.000000 -15.000000 XCF 0.000000 -11.000000 XCG 0.000000 -8.000000 XDE 100.000000 -7.000000 XFG 0.000000 -9.000000


54

5) 0.000000 0.000000 6) 0.000000 0.000000 7) 0.000000 0.000000 8) 0.000000 0.000000 9) 0.000000 0.000000 10) 0.000000 0.000000 11) 450.000000 0.000000 12) 0.000000 0.000000 13) 100.000000 0.000000 14) 150.000000 0.000000 15) 0.000000 0.000000 16) 150.000000 0.000000 17) 50.000000 0.000000 18) 200.000000 0.000000 19) 400.000000 0.000000 20) 150.000000 0.000000 21) 0.000000 0.000000 22) 250.000000 0.000000 23) 300.000000 0.000000 24) 0.000000 0.000000 25) 200.000000 0.000000

NO. ITERATIONS= 26 BRANCHES= 0 DETERM.= 1.000E 0

c) Análisis del Reporte:Utilidad mensual a obtenerS/ 18 550y1=1 se recomienda hacer el recorrido desde Canta hacia HuacosBoletos óptimos a vender:Xab= 200 boletos a vender desde Canta a ObrajilloXac= 300 boletos a vender desde Canta a San MiguelXad= 50 boletos a vender desde Canta a PariamarcaXae= 400 boletos a vender desde Canta a HuacosXbc= 100 boletos a vender desde Obrajillo a San miguelXbe= 350 boletos a vender desde Obrajillo a HuacosXcd= 50 boletos a vender desde San Miguel a PariamarcaXce= 350 boletos a vender desde San Miguel a HuacosXde= 100 boletos a vender desde Pariamarca hacia Huacos

El desarrollo de uso de asientos en el trayecto seria :Boletos óptimos a vender en Canta:Xab + xac+ xad + xae =200+300+50+400=950 pasajeros salen desde CantaUna vez que se llega a Obrajillo bajan:Xab=200Quedando 950-200=750 pasajeros que partieron desde Canta, aquí suben pasajeros que van desde Obrajillo hacia San Miguel =100Desde Obrajillo hacia Huacos =350Es decir suben 450 pasajeros, sumado a los 750 que ya están allí cubre el total de los asientos: 450+750=1200 asientos.Una vez que se llega a San Miguel bajan:Xac=300Xbc=100Quedando: 1200-300-100=800 pasajeros, aquí suben pasajeros que van desde San Miguel hacia Pariamarca=50Desde San Miguel hacia Huacos=350 Es decir suben 400 pasajeros, sumado a los 800 que ya estan alli cubre el total de los asientos 400+800=1200Una vez que se llega a Pariamarca bajan:

55

Xad=50Xcd=50Quedando 1200-50-50=1100 pasajeros, aquí suben pasajeros que van desde Pariamarca hacia Huacos =100,es decir suben 100 pasajeros, sumado a los 1100 que ya están allí cubre el total de asientos llegando 1200 pasajeros a Huacos.

CASO DE APLICACIÓN IV:TRANSPORTE

Se tiene que distribuir un producto a 6 clientes utilizando cualesquiera de 5 camiones. Los datos de costos de traslado de cada camión a cada cliente son:

Cliente A Cliente B Cliente C Cliente D Cliente E Cliente F Capacidad(TN)

Camión 1 $15 $12 $17 $21 $16 $18 1.5Camion 2 $17 $15 $16 $19 $18 $15 2Camion 3 $21 $20 $14 $13 $17 $19 1Camión 4 $18 $15 $17 $19 $15 $17 2Camión 5 $20 $18 $16 $17 $14 $19 1.5Demanda(TN)

0.2 0.5 0.8 1.5 0.9 1.2

Existe un costo fijo de $50 para los camiones 1,2 y 4 y de $30 para camiones 3 y 5 por cada viaje realizado. En cada viaje un camión puede llevar pedidos para varios clientes, pero no puede llevar pedidos parciales. Formule un modelo de PLE si cada camión puede visitar hasta tres clientes.

Cliente A

Cliente B

Cliente C

Cliente D

Cliente E

Cliente F

Capacidad(TN)

CostoFijo

Camión 1 $15 y1a

$12 y1b $17 y1c $21 y1d $16 y1e $18 y1f 1.5 $50 y1

Camion 2 $17 y2a $15 y2b $16 y2c $19 y2d $18 y2e $15 y2f 2 $50 y2Camion 3 $21 y3a $20 y3b $14 y3c $13 y3d $17 y3e $19 y3f 1 $30 y3Camión 4 $18 y4a $15 y4b $17 y4c $19 y4d $15 y4e $17 y4f 2 $50 y4Camión 5 $20 y5a $18 y5b $16 y5c $17 y5d $14 y5e $19 y5f 1.5 $30 y5Demanda(TN)

0.2 0.5 0.8 1.5 0.9 1.2

Variables:Yij 1 Camión i(i=1,2,3,4,5) atiende al cliente j (j=a,b,c,d,e,f)

0 Camión i(i=1,2,3,4,5) no atiende al cliente j (j=a,b,c,d,e,f)

Yi 1 Se usa camión i(i=1,2,3,4,5) 0 No se usa Camión i(i=1,2,3,4,5)

Min 15y1a+12y1b+17y1c+21y1d+16y1e+18y1f +17y2a+15y2b+16y2c+19y2d+18y2e+15y2f +21y3a+20y3b+14y3c+13y3d+17y3e+19y3f +18y4a+15y4b+17y4c+19y4d+15y4e+17y4f +20y5a+18y5b+16y5c+17y5d+14y5e+19y5f +50y1+50y2+30y3+50y4+30y5

y1a+y2a+y3a+y4a+y5a=1 y1b+y2b+y3b+y4b+y5b=1 y1c+y2c+y3c+y4c+y5c=1 y1d+y2d+y3d+y4d+y5d=1

56

y1e+y2e+y3e+y4e+y5e=1 y1f+y2f+y3f+y4f+y5f=10.2y1a+0.5y1b+0.8y1c+1.5y1d+0.9y1e+1.2y1f<=1.5y10.2y2a+0.5y2b+0.8y2c+1.5y2d+0.9y2e+1.2y2f<=2y20.2y3a+0.5y3b+0.8y3c+1.5y3d+0.9y3e+1.2y3f<=1y30.2y4a+0.5y4b+0.8y4c+1.5y4d+0.9y4e+1.2y4f<=2y40.2y5a+0.5y5b+0.8y5c+1.5y5d+0.9y5e+1.2y5f<=1.5y5

LINDOMin 15y1a+12y1b+17y1c+21y1d+16y1e+18y1f +17y2a+15y2b+16y2c+19y2d+18y2e+15y2f +21y3a+20y3b+14y3c+13y3d+17y3e+19y3f +18y4a+15y4b+17y4c+19y4d+15y4e+17y4f +20y5a+18y5b+16y5c+17y5d+14y5e+19y5f +50y1+50y2+30y3+50y4+30y5st y1a+y2a+y3a+y4a+y5a=1 y1b+y2b+y3b+y4b+y5b=1 y1c+y2c+y3c+y4c+y5c=1 y1d+y2d+y3d+y4d+y5d=1 y1e+y2e+y3e+y4e+y5e=1 y1f+y2f+y3f+y4f+y5f=10.2y1a+0.5y1b+0.8y1c+1.5y1d+0.9y1e+1.2y1f-1.5y1<=00.2y2a+0.5y2b+0.8y2c+1.5y2d+0.9y2e+1.2y2f-2y2<=00.2y3a+0.5y3b+0.8y3c+1.5y3d+0.9y3e+1.2y3f-1y3<=00.2y4a+0.5y4b+0.8y4c+1.5y4d+0.9y4e+1.2y4f-2y4<=00.2y5a+0.5y5b+0.8y5c+1.5y5d+0.9y5e+1.2y5f-1.5y5<=0endint y1aint y1bint y1cint y1dint y1eint y1f

int y2aint y2bint y2cint y2dint y2eint y2fint y3aint y3bint y3cint y3dint y3eint y3fint y4aint y4bint y4cint y4dint y4eint y4fint y5aint y5bint y5cint y5d

57

int y5eint y5f

int y1int y2int y3int y4int y5

SOLUCION


1) 226.0000

VARIABLE VALUE REDUCED COST Y1A 0.000000 15.000000 Y1B 0.000000 12.000000 Y1C 0.000000 17.000000 Y1D 0.000000 21.000000 Y1E 0.000000 16.000000 Y1F 0.000000 18.000000 Y2A 0.000000 17.000000 Y2B 0.000000 15.000000 Y2C 1.000000 16.000000 Y2D 0.000000 19.000000 Y2E 0.000000 18.000000 Y2F 1.000000 15.000000 Y3A 0.000000 21.000000 Y3B 0.000000 20.000000 Y3C 0.000000 14.000000 Y3D 0.000000 13.000000 Y3E 0.000000 17.000000 Y3F 0.000000 19.000000 Y4A 1.000000 18.000000 Y4B 1.000000 15.000000 Y4C 0.000000 17.000000 Y4D 0.000000 19.000000 Y4E 1.000000 15.000000 Y4F 0.000000 17.000000 Y5A 0.000000 20.000000 Y5B 0.000000 18.000000 Y5C 0.000000 16.000000 Y5D 1.000000 17.000000 Y5E 0.000000 14.000000 Y5F 0.000000 19.000000 Y1 0.000000 50.000000 Y2 1.000000 50.000000 Y3 0.000000 30.000000 Y4 1.000000 50.000000 Y5 1.000000 30.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.000000

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3) 0.000000 0.000000 4) 0.000000 0.000000 5) 0.000000 0.000000 6) 0.000000 0.000000 7) 0.000000 0.000000 8) 0.000000 0.000000 9) 0.000000 0.000000 10) 0.000000 0.000000 11) 0.400000 0.000000 12) 0.000000 0.000000

NO. ITERATIONS= 31 BRANCHES= 0 DETERM.= 1.000E 0

Respuesta Costo minima 226. Y2C = 1,camión 2 abastece al cliente C Y2F =1, camión 2 abastece al cliente F. Y4A =1,camión 4 abastece al cliente A. Y4B = 1,camión 4 abastece al cliente B. Y4E =1,camión 4 abastece al cliente E Y5D = 1,camión 5 abastece al cliente D. Y2 = 1,se usa camión 2. Y4 =1,se usa camión 4. Y5 =1,se usa camión 5.

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libro sensibilidad

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