libro módulo Álgebra lineal

3

INTRODUCCIÓN

El propósito del curso es que el estudiante apropie de manera significativa los elementos teóricos fundamentales de Algebra Lineal y desarrolle las competencias pertinentes para contextualizarlos en su campo de formación disciplinar. El Algebra Lineal es un área de las matemáticas que en las últimas décadas ha tenido un significativo desarrollo con el aporte de las ciencias computacionales. Su aplicabilidad en diversos campos del saber ha generado la necesidad de articularla al proceso formativo del profesional de hoy en día como herramienta de apoyo para resolver problemas en las más diversas disciplinas. En este sentido y por su carácter mismo, el curso hace aportes significativos al desarrollo de las competencias y aptitud matemática en el estudiante, en tanto potencia habilidad de pensamiento de orden superior, como la abstracción, el análisis, la síntesis, la inducción, la deducción, etc. El curso académico se encuentra básicamente en 3 unidades didácticas que contempla temas como los Vectores, Matrices y Determinantes. A través del curso académico de Algebra Lineal se dinamizan procesos de resignificación cognitiva y fortalecimiento del desarrollo de operaciones meta-cognitivas mediante la articulación de los fundamentos teóricos a la identificación de núcleos problémicos en los diferentes campos de formación disciplinar. No obstante, es importante que desde ahora el estudiante se compenetre con la dinámica del uso de los recursos informáticos y telemáticos como herramientas de apoyo a los procesos de aprendizaje.

4

En este sentido, el curso académico de Algebra Lineal articulará a su desarrollo actividades mediadas por estas tecnologías, como búsquedas de información en la Web, interactividades sincrónicas o asincrónicas para orientar acciones de acompañamiento individual o de pequeño grupo colaborativo y acceso a información disponible en la plataforma virtual de la universidad. Por último, la consulta permanente a diferentes fuentes documentales aportadas por el curso se tomará como estrategia pedagógica que apunte al fortalecimiento del espíritu investigativo. En este sentido, se espera que el estudiante amplíe la gama de opciones obviamente de diferentes orígenes, a las cuales se tendrá acceso a través de: material impreso, bibliotecas virtuales, hemerotecas, sitios web, etc. “El camino hacia el éxito está lleno de obstáculos, y la inteligencia con la que se manejen y rebases, se convertirá en el fruto más dulce para tu vida” Michelle D.

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UNIDAD I

VECTOR EN ºN

En esta unidad se pretende:

§ Tener un concepto claro de un vector, tanto en un sentido geométrico como analítico.

§ Diferenciar claramente los diferentes conjuntos de vectores § Reconocer las características en las operaciones básicas de

los vectores en el plano X y Y en el espacio. § Desarrollar un aprendizaje intuitivo, global y formal del

comportamiento de los mismos y aprendan a operar con ellos.

§ Proveer al estudiante de una base geométrica, fácilmente observable.

§ Comparar los resultados gráficos con lo analítico para obtener una comprensión clara de las operaciones.

Unidad

1

6

1.1 COMPETENCIAS A DESARROLLAR

§ Operar con vectores, aplicando su definición y sus propiedades.

§ Calcular el producto vectorial y utilizarlo para resolver problemas de tipo geométrico.

§ Determinar la ecuación vectorial de la recta y el plano. § Aplicar los conceptos anteriores para resolver problemas de

aplicación.

1.2 CONCEPTOS BÁSICOS

Para introducirse en el mundo del Álgebra Lineal, se inicia con el tema de Vectores, en el cual se debe tener claros algunos conceptos básicos. Entre los cuales se encuentra:

n°

Para hacer una clara explicación de lo que es el concepto de n° se comienza a interpretar a este de una manera específica

para llegar a una explicación de forma general:

Se comienza con:

ü 1 =° ° Lo cual se define como el conjunto de los números reales cuya representación gráfica es una recta numérica.

ü 2 = ×° ° ° que se define en este caso como el producto del conjunto de los números reales por sí mismo.

Nota: Al producto que se realiza entre dos conjuntos se le llama producto cartesiano y consiste en una relación entre los

7

elementos de los conjuntos cuyo resultado son parejas ordenadas.

A× B = a,b( ) / a ∈ A∧b∈ B{ }

Ejemplo:

A= −1, 12,3

"#$

%&'; B = −

35,1,0

"#$

%&'

A× B =−1,− 3

5)

*+

,

-., −1,1( ), −1,0( ), 12 ,−

35

)

*+

,

-.

12,1

)

*+

,

-.,12,0

)

*+

,

-., 3,−

35

)

*+

,

-., 3,1( ), 3,0( )

"

#

//

$

//

%

&

//

'

//

La figura 1, muestra las parejas ordenadas y representadas en el plano cartesiano, también llamado plano de dos dimensiones.

Figura 1. Plano cartesiano

8

ü 3 = × ×° ° ° ° este producto contiene como elementos la relación de tres elementos en forma ordenada.

La figura 2, muestra la gráfica de un punto en el espacio.

Figura 2. Plano de tres dimensiones

Luego ...n = × × × ×° ° ° ° ° representa un conjunto de relaciones de n elementos.

( ){ }, , ,..., / , , ,...,n a b c n a b c n= ∈° °

Este conjunto se dice que tiene representación en n dimensiones.

Vector: un vector es un valor numérico (magnitud), que tiene dirección y sentido. Los vectores se pueden nombrar con letras y una flechita encima de la letra 𝑎.

Su representación gráfica como un segmento dirigido (flecha)

9

�⃗�

�⃗� = 3𝑚/𝑠𝑒𝑔! �⃗� = 33𝑘𝑚/ℎ

Los vectores se utilizan para representar magnitudes físicas que tienen las mismas características que ellos.

Un ejemplo de estas magnitudes son: velocidad, aceleración, fuerza, etc.

Ejemplos:

Luego de tener estos conceptos básicos, podemos introducirnos en lo que es la definición algebraica de un vector en n° .

1.3 DEFINICIÓN ALGEBRAICA DE UN VECTOR EN n°

Sea ar

un vector de n° entonces se puede escribir de la forma

( )1 2 3, , ,..., na x x x x=r

donde 𝑥!, 𝑥!, 𝑥!,… 𝑥! , son las componentes

del vector.

Específicamente si: 2a∈r

° Entonces ( )1 2,a x x=r

3a∈r

° Entonces ( )1 2 3, ,a x x x=r

Podemos definir algunas características del vector en forma algebraica

10

1.4 MAGNITUD DE UN VECTOR EN n°

Sea 𝑎 un vector en n° entonces, la magnitud de 𝑎 que se representa simbólicamente de la siguiente forma:

2 2 2 21 2 3 ... na x x x x= + + + +

r

Es decir la magnitud de 𝑎 es igual a la suma de los cuadrados de sus componentes.

Ejemplo: dado el vector entonces, mur

= 2,−3( )

( ) ( )2 22 3 2 9 11m = + − = + =

ur

SENTIDO DE UN VECTOR n°

El sentido de un vector lo obtenemos por medio del signo + o –, En forma algebraica es cambiarle el signo al signo de las componentes:

𝑚 = −2,3 Entonces −𝑚 = 2,−3

( )5,7, 3z = − −r

Entonces ( )5, 7,3z− = −r

Específicamente vamos a definir la gráfica y la dirección de vectores en 2° Y 3°

1.5 GRÁFICA DE UN VECTOR EN 2°

Los vectores 2° se grafican en el plano cartesiano donde la primera componente 𝑥! se coloca en el eje X, y la componente 𝑥! se coloca en el eje Y. trazándose paralelas al eje X que pasen por la segunda componente y paralela al eje Y que pasen por la primera componente

11

Ejemplo: se grafica el vector ( )3,1m =ur

1.6 DIRECCIÓN

Cuando se habla de dirección en 2° se tienes que calcular un

ángulo con respecto al eje de las x, que en este caso se llama θ y se calcula utilizando una función trigonométrica.

tan𝜃 = !!!!

1 2

1

tana

xx

θ − ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠r

NOTA: el ángulo puede ser positivo si va en contra de las manecillas del reloj o negativo si va a favor a las manecillas del reloj, por efectos de formula su resultado siempre es menor de 90o

Figura 3. Grafica de un vector en el plano

12

figura 5. Dirección de un vector

Ejemplos: Sea los vectores ( ) ( )3,3 3,2a y b= = −r r

de la figura

3 hallar su dirección analíticamente:

1 12

1

3tan tan 453a

xx

θ − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

or

1 12

1

3tan tan 562b

xx

θ − −⎛ ⎞ −⎛ ⎞= = ≈⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

or

1.7 GRÁFICA DE UN VECTOR EN 3°

Los vectores 3° se grafican en un plano de tres dimensiones o también llamado el espacio la primera componente 𝑥! se coloca en el eje X, y la componente 𝑥! se coloca en el eje Y. trazándose paralelas al eje X que pasen por la segunda componente y paralela al eje Y que pasen por la primera componente

Ejemplo: Graficar en tres dimensiones el siguiente vector 32,3,2

m ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

ur

13

1.8 DIRECCIÓN DE UN VECTOR 3°

Cuando hablamos de dirección en 3° tenemos que calcular un

ángulo con respecto a cada uno de los ejes positivos del plano. Debemos tener en cuenta que se hallan tres direcciones y para esto se usa la función trigonométrica coseno:

Figura 6. Dirección de un vector en tres dimensiones

Figura 5. Grafica de un vector en el espacio

14

Sea ( )1 2 3, ,v x x x=r

11 1

12 2

13 3

cos , cos

cos , cos

cos , cos

x xentoncesv v

x xentoncesv v

x xentoncesv v

α α

β β

γ γ

−

−

−

⎛ ⎞⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎝ ⎠

r r

r r

r r

Ejemplo: dado el vector ( )4, 1, 2m = − −ur

hallar su dirección

( ) ( )1 1

2 22

1

1

4 4 4cos cos cos 2916 1 4 214 1 2

1 1cos cos 10321 212 2cos cos 11621 21

α α

β β

γ γ

− −

−

−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = = ≈⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠⎝ ⎠+ − + −

− −⎛ ⎞= ⇒ = ≈⎜ ⎟

⎝ ⎠

− −⎛ ⎞= ⇒ = ≈⎜ ⎟

⎝ ⎠

o

o

o

Ahora se define un vector que es muy útil en ciertas aplicaciones.

1.9 VECTOR UNITARIO

Sea el vector ( )1 2 3, , ,..., na x x x x=r

un vector en n° , entonces se

dice que ar

es un vector unitario si su magnitud es igual a 1.

El vector unitario se puede calcular de forma analítica con la siguiente formula:

15

$ 31 2, , ,..., nx xx xaaa a a a a

⎛ ⎞⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎝ ⎠

rr r r r r

Nota: La dirección del vector unitario es el mismo vector original.

Ejemplo: Sea el vector ( )3, 5a = −r

$ ( )

( )

( ) ( ) ( )22

3, 5 3, 5 3, 5 1 3 53, 5 ,9 25 34 34 34 343 5

a− − − ⎛ ⎞

= = = = − = −⎜ ⎟+ ⎝ ⎠+ −

Los vectores unitarios en 2° también se pueden calcular

analíticamente utilizando la dirección del vector dado:

$ ( ) $cos , cosa sen i sen jθ θ θ θ= = +$

Si tenemos que la dirección del vector ar

es 30° calcular su vector unitario:

$ ( ) ( )cos30 , 30 0.86,0.5a sen= ° ° =

Nota: esta fórmula solo es posible para vectores en dos dimensiones.

Existen unos vectores unitarios especiales en 2° y 3° porque están sobres los ejes del plano cartesiano y en el plano de tres dimensiones, además permiten representar otros vectores en función de ellos.

16

Figura 7. Vectores i y j

( ) $

( ) $ $1 2 1 2

1 2 3 1 2 3

,

, ,

v x x x i x j

a x x x x i x j x k

= = +

= = + +

r $r $

TALLER 1. DE LA UNIDAD

1. Realice la gráfica, magnitud y dirección de cada uno de los siguientes vectores:

a) ( )3,3a = −r

b) ( )3,3 2, 5d = −ur

c) 3 3 2, ,2 2 5

k ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

r

d) ( )0.5, 3.2f = −ur

e) $ $23 35

m i j k= + −ur $

f) $ $3 3z j k= −r

g) ( )5,0p = −ur

h) 37.5,7

r ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

r

i) $4 5 2 7o i j= − −r $

j) $3 0.38

a i j= − +r $

17

1. Demuestre que el vector 2 1,5 5

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

2. Muestre que los vectores ( ) ( )0,1 0,0,1j y k= =r r

3. De los vectores a continuación encuentre su vector

unitario.

a) ( )3, 1z = − −r

b) ( )3, 2v = −r

c) $ $3 2 3m i j k= + −

ur $

d) $ $1 2 3

2 5 2r i j k=− + −r $

1.10 OPERACIONES ENTRE VECTORES EN n°

En n° se pueden realizar varias operaciones entre vectores de

manera algebraica como son:

1.10.1 SUMA DE VECTORES EN n°

Sean ( ) ( )1 2 3 1 2 3, , ,..., , , ,...,n na x x x x y b y y y y= =r r

dos

vectores en n° entonces:

( )1 1 2 2 3 3, , ,..., n na b x y x y x y x y+ = + + + +r r

18

Ejemplos: Sean los vectores ( ) ( )3, 5 6, 7a y b= − = − −r r

calcular:

( ) ( )( ) ( )3 6 , 5 7 3, 12a b+ = + − − + − = − −r r

Podemos observar que

el resultado es un vector que tiene todas sus características, tales como magnitud dirección y sentido.

( ) ( )2 23 12 9 144 153a b+ = − + − = + =r r

( )1 112tan tan 43a bθ − −

+

−⎛ ⎞= = =⎜ ⎟−⎝ ⎠r r

1.10.2 MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR UN ESCALAR

Sea ( )1 2 3, , ,..., na x x x x=r

un vector en n° y k un escalar (un

número real cualquiera)

Entonces:

( )1 2 3, , ,..., nk a kx kx kx kx⋅ =r

19

Ejemplos:

Sea el vector

( ) ( ) ( )3, 5 3 3 3 3, 5 9, 15a y el escalar k a= − = ⇒ = − = −r r

como vemos el resultado también es un vector.

Nota: si multiplicamos por un escalar negativo el vector cambia de sentido

Ejemplos:

Sea el vector

( ) ( ) ( )3, 5 3 3 3 3, 5 9,15a y el escalar k a= − = − ⇒ − = − − = −r r

1.10.3 RESTA DE VECTORES n°

La resta es una operación particular de la suma ya que restar dos vectores es sumarle al primer vector el segundo vector con sentido contrario.

𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + −𝑏 Siendo a y b vectores en n°

Ejemplos:

Sean los vectores ( ) ( )3, 5, 1 6, 7, 3m y n= − − = − − −ur r

calcular:

( ) ( ) ( ) ( )3, 5, 1 6,7,3 9,2,2m n m n− = + − = − − + =ur r ur r

Se observa que el resultado es un vector que tiene todas sus características, tales como magnitud dirección y sentido, como por ejemplo:

Calcular la magnitud y dirección del vector m n−ur r

( ) ( ) ( )2 2 29 2 2 81 4 4 89m n− = + + = + + =ur r

20

11

12

13

9cos cos 1789

2cos cos 7889

2cos cos 7889

xm n

xm n

xm n

α α

β β

γ γ

−

−

−

⎛ ⎞= ⇒ = ≈⎜ ⎟

− ⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⇒ = ≈⎜ ⎟

− ⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⇒ = ≈⎜ ⎟

− ⎝ ⎠

o

o

o

ur r

ur r

ur r

1.10.4 PRODUCTO ESCALAR EN n°

Sean ( )1 2 3, , ,..., na x x x x=r

y ( )1 2 3, , ,..., nb y y y y=r

dos vectores

en n° :

1 1 2 2 3 3 ... n na b x y x y x y x y⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅r r

Ejemplo: sean los vectores

( ) ( )3, 5, 1 6, 7, 3m y n= − − = − − −ur r

Calcular: m nur rg

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3, 5, 1 6, 7, 3 3 6 5 7 1 3 18 35 4 21m n = − − − − − = − + − − + − − = − + + =ur rg g g g g

Se observa que el resultado es un escalar por eso esta operación se le llama también de esta forma.

21

1.10.4.1 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO ESCALAR

cosu v u v α=r r r rg

El producto escalar entre dos vectores es igual la multiplicación de las magnitudes de cada uno de los vectores por el coseno del ángulo entre ellos.

Si el ángulo que forman entre ellos es de 90º entonces se le da el nombre de vectores ortogonales y la interpretación

geométrica queda de la siguiente forma: 0a b =r rg

22

Si el ángulo que forman entre ellos es de 0º se les da el nombre de vectores paralelos y la interpretación geométrica queda de

la siguiente forma: a b a b=r r r rg

Con la interpretación geométrica también se puede hallar el ángulo entre dos vectores despejando la formula, la cual queda así:

1cos cosa b a ba b a b

α α −⎛ ⎞⎜ ⎟= ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

r r r rg gr r r r

Ejemplo: sean los vectores ( ) ( )3, 1 6, 3m y n= − = − −ur r

calcular el ángulo entre ellos.

( ) ( )

( ) ( ) ( )1 1

2 2 22

3, 1 6, 3 18 3 15cos cos cos10. 45 4503 1 . 6 3

α α − −− − − − + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ − − + −

g

1.11 PROYECCIONES EN 2°

Proyectar un vector sobre otro es trazar una perpendicular desde la punta de un vector hacia otro formando así un reflejo de él.

23

Para

encontrar la proyección de un vector analíticamente se utiliza la fórmula:

𝑝𝑟𝑜𝑦𝑎𝑏=

𝑎 ∙ 𝑏

𝑏! ∙ 𝑏

Ejemplo: Sean los vectores ( ) ( )3, 2 5, 4m y n= − = −ur r

calcular

el ángulo entre ellos.

proy m

n =

3,−2( )i 5,−4( )

52 + −4( )2"

#$

%

&'

2

"

#

$$$$$

%

&

'''''

i 5,−4( ) =

15+834

"

#$

%

&'i 5,−4( ) = 23

34i 5,−4( ) = 115

34,− 46

17"

#$

%

&'

1.12 PRODUCTO VECTORIAL

Esta operación solo se puede trabajar con vectores en 3° y

tiene este nombre porque su resultado es un vector, también suele ser llamada Producto Cruz

Sean ( )1 2 3, ,a x x x=r

y ( )1 2 3, ,b y y y=r

dos vectores en 3° ,

entonces se define el producto vectorial como:

( ) ( )$ ( )$2 3 2 3 1 3 1 3 1 2 1 2. . . . . .a b x y y x i x y y x j x y y x k× = − − − + −r r $

24

Sean los vectores ( ) ( )3, 5, 1 6, 7, 3m y n= − − = − − −ur r

calcular:

( ) ( )$ ( )$ $ $15 7 9 6 21 30 8 15 51m n i j k i j k× = − − − − + − − = + −ur r $ $

La magnitud de este vector representa también el área de un paralelogramo que forman dos vectores en un plano de tres dimensiones.

( )22 28 15 51 64 225 2601 2890m n× = + + − = + + =ur r

25

TALLER 2. UNIDAD 1

1. Sea ( ) 5 35,3 ,3 2

m y n ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

ur rencuentre:

a) m n+ur r

b) m n−ur r

c) 2 3m n+ur r

d) m mθ+

uur uur

e) ∑m n+

2. Dados los vectores $ $ $1 2 34 32 3 2

r i j k y s i k=− + − = − −r r$ $

calcular:

a) r s+r r

b) ( ) ( )2r s−uur r

g

c) ( ) ( )r s r s+ −r r r r

g

d) r s×r r

e) r s×r r

3. Calcular el producto entre los dos vectores dados y el ángulo entre ellos

a) $223

p i y s j= =ur r$

b) $ $3 2 2 2 3o i j y q i j= − + = −r r$ $

c) $ $ $3.7 4.6 0.7 3.5f i j k y z i k= − + − = − −ur r$ $

d) $ $ $ $k i j k y l i j k= − + − = − − −r r$ $

4. Determine si pares de vectores dados son ortogonales o paralelos

a) $ $3 5 ; 6 10p i j s i j= + = − −ur r$ $

26

b) $ $2 3 ; 9 6m i j n i j= − = − +ur r$ $

c) $ $2 4 ; 3u i j v i j= − = − +r r$ $

d) $7 ; 23r i s j= = −r r$

5. Dados los vectores $ $3 5 ; 6 10p i j s i j= + = − −ur r$ $ ;

$ $ $ $;k i j k l i j k= − + − = − − −r r$ $

a) Pr loy krr

b) Pr soy prur

1.13 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

En el espacio ( )3° se puede la ecuación de la recta y el plano

utilizando la misma base teórica que lo visto en 2°

1.13.1 VECTORES EN EL ESPACIO

Sean dos puntos en el espacio ( ) ( ), , , ,m a b c y n d e f= =

entonces se puede hallar un vector determinado por estos dos puntos de la siguiente forma:

( ) ( ) ( ) ( ), ,mn e a f b g c e a i f b j g c k= − − − = − + − + −uuur ) ) )

¸este vector

tiene el sentido dependiendo del punto inicial y el punto final, en este caso nuestro punto final es m y el punto final es n

Ejemplo:

Sean los puntos en el espacio ( ) ( )1,2, 3 2, 5,4m y n= − − = − −calcular el vector

mnuuur

Definido por estos dos puntos.

27

( ) ( )( ) ( )2 1 , 5 2,4 3 1, 7,7 7 7mn i j k= − − − − − − − = − − = − − +uuur ) ) )

1.13.2 ECUACIONES DE LA RECTA EN EL ESPACIO

A continuación se muestran varios tipos de ecuaciones en el espacio tales como:

1.13.2.1 ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA

Para hallar esta ecuación se necesita un punto sobre la recta L y un vector paralelo a dicha recta.

( ) ( ) ( )1 2 3, , , , , ,X Y Z a b c t x x x= +

, ,a b c Coordenadas de un punto sobre la recta

1 2 3, ,x x x Componentes de un vector paralelo a la recta

t es un escalar que se hace más grande o pequeño el vector paralelo a la recta.

1.13.2.2 ECUACIONES PARAMÉTRICAS

Estas ecuaciones se obtienen extendiendo la ecuación vectorial de la recta de la siguiente forma:

1

2

3

X a txY b txZ c tx

= +

= +

= +

28

1.13.2.3 ECUACIONES SIMÉTRICAS

Estas ecuaciones se obtienen despejando el escalar de las ecuaciones paramétrica y luego igualando.

1 2 3

; ; :X a Y b Z ct t t al igualar obtenemosx x x− − −

= = =

1 2 3

X a Y b Z cx x x− − −

= =

Nota: Las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta no son únicas porque los puntos que se toman siempre son arbitrarios y esto define estas ecuaciones siempre de manera diferente dependiendo de los puntos que se tome

Ejemplo: Dado los puntos ( ) ( )3,2, 6 3, 1,7P y Q= − = − − sobre una recta dada halla las ecuaciones vectorial, paramétricas y simétricas de la misma.

Como para hallar las ecuaciones de la recta se necesita un punto y un vector paralelo a ella entonces primero se encuentra el vector con los dos puntos dados.

( )6, 3,13PQ = − −uuur

Luego se escoge el punto P y se hallan las

ecuaciones.

Ecuación vectorial: ( ) ( ) ( ), , 3,2, 6 6, 3,13X Y Z t= − + − −

Ecuaciones paramétricas:

29

3 63 36 13

X tY tZ t

= −

= −

= − +

Ecuaciones simétricas

3 3 66 3 13

X Y Z− − += =

− −

1.13.3 ECUACIONES DEL PLANO EN EL ESPACIO

De la misma manera que se hallaron las ecuaciones de la recta en el espacio también se puede hallar las del plano especificando un punto en el espacio y un vector que es ortogonal a todos los vectores definidos en el plano, a este

vector se le llama vector normal ( )nr

.

1.13.1 PLANO

Sea Q un punto en el espacio y sea nr

un vector dado diferente

de cero. Entonces el conjunto puntos Z para los que se cumpla

que: 0QZ n =uuur r

g constituye un plano en 3° esto sucede porque los

vectores QZ y n son ortogonalesuuur r

Los planos se denotan generalmente por el símbolo π

30

1.13.2 ECUACIÓN VECTORIAL DEL PLANO

Sea ( ), ,Q a b c= un punto fijo sobre el plano con vector normal

( )1 2 3, ,n x x x=r

si ( ), ,Z e f g= es otro punto en el plano entonces

hallamos un vector ( ), ,QZ e a f b g c= − − −uuur

y como QZ y nuuur r

son

ortogonales tenemos que 0QZ n =uuur r

g y esto implica que:

( ) ( ) ( )1 2 3 0x e a x f b x g c− + − + − =

En este caso , ,e f g quedan fijos.

1.13.3 ECUACIÓN CARTESIANA DEL PLANO

Para esta ecuación necesitamos el vector normal ( )1 2 3, ,n x x x=r

y

un vector formado por el punto origen y el punto fijo tomado

en el plano ( ) ( )0, 0, 0 , ,OQ a b c a b c= − − − =uuur

De esta manera

definimos la ecuación de la siguiente forma:

1 2 3x a x b x c d+ + =

Donde: 1 2 3d x a x b x c OQ n= + + =uuur r

g

Ejemplo: Dado el punto ( )2, 3,5Q = − en el plano y un vector

normal ( )1,3, 5n = −r

hallar la ecuación del plano.

Primero se halla: 1.2 3. 3 5.5 2 9 25 32d = + − − = − − = −

Entonces la ecuación del plano:

31

3 5 32 3 5 32 0e f g e f g+ − = − ⇒ + − + = Es la ecuación del plano

TALLER 3. UNIDAD 1.

1. Halla las ecuaciones paramétricas de las rectas que pasan por: a) A=(2, 0, 5) y B= (–1, 4, 6) b) M=(5, 1, 7) y N=(9, –3, –1) c) P=(1, 0, –3) y Q=(1, 4, –3) d) R=(0, 2, 3) y S=(0, 2, 1)

2. Calcular tres vectores formados por los siguientes puntos.

3. Obtén las ecuaciones paramétricas, la ecuación en forma

continua y las ecuaciones implícitas de la recta que pasa por estos puntos: (–5, 3, 7) y (2, –3, 3)

4. Halla las ecuaciones paramétricas y la ecuación implícita del plano que pasa por P= (1, 7, –2), Q = (4, 5, 0) y R = (6, 3, 8). a) Halla otros tres puntos del plano. b) Calcula n para que A (1, n, 5) pertenezca al plano.

5. Halla las ecuaciones de los siguientes planos: a. Determinado por el punto A=(1,–3,2) y por los

vectores ( ) ( )2,1,0 1,0,3p y v= = −ur r

32

b. Pasa por el punto P=(2, –3, 1) y cuyo vector normal es

( )5, 3, 4n = − −r

c. Perpendicular a la recta 12 1 3x y z+= =

− y que pasa por el

punto (1, 0, 1).

6. Escribe la ecuación del plano que pase por los puntos (0, 0, 0), (2, 2, 0) y (1, 1, 2).

7. Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos A (1, 3, 2) y B (–2, 5, 0) y es paralelo a la recta:

33

UNIDAD II

SISTEMAS DE ECUACIONES

LINEALES m n× Y MATRICES

Unidad

2

34

En esta unidad se pretende:

§ Conocer las matrices y realizar operaciones. § Utilizar las matrices como herramientas en la solución de

sistemas de ecuaciones lineales. § Resolver sistemas de ecuaciones utilizando los métodos de

Gauss, Gauss Jordan e inversa

2.1 COMPETENCIAS A DESARROLLAR:

§ Identificar la notación matricial para escribir sistemas de ecuaciones lineales y resolverlos.

§ Calcular las operaciones fundamentales con matrices. § Realizar actividades de aplicación utilizando la definición

matricial problemas

2.2 SISTEMAS DE ECUACIONES m n×

Los sistemas de ecuaciones lineales con m-ecuaciones n-variables son expresiones de la forma:

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

31 1 32 2 33 3 3 1

1 1 2 2 3 3

.........

. . . . .

. . . . .

. . . . ....

n n

n n

n n

m m m mn n n

a x a x a x a x ba x a x a x a x ba x a x a x a x b

a x a x a x a x b

+ + + + =

+ + + + =

+ + + + =

=

=

=

+ + + + =

Estos sistemas tienen tres tipos de soluciones:

35

§ solución única donde cada variable tiene un único valor esto

sucede cuando m n=

§ solución infinita cuando cada variable tiene infinitos valores

esto sucede si m n<

§ no tiene solución cuando el resultado es una ecuación

degenerada es decir, 0 k= donde k es un escalar( número

real)

Nota: puede suceder que al resolver un sistema de ecuaciones

nos dé una ecuación de la forma: 0 0= esto significa que en el

sistema hay dos ecuaciones iguales, y podemos eliminar una de

las ecuaciones y trabajar con la otra.

Entre estas ecuaciones se pueden realizar operaciones que nos

pueden ayudar más adelante en la solución de sistemas de

ecuaciones lineales.

2.2.1 OPERACIONES ENTRE ECUACIONES

§ m nL L: Intercambio de una ecuación por otra, ;m nL L son

ecuaciones § m nL L+ Suma de una ecuación con otra

§ mkL Multiplicación de un escalar por una ecuación; k es un

escalar(número real) § m nkL L+ Multiplicación de un escalar por una ecuación y se

le suma otra ecuación

36

§ m nkL Lα+ Multiplicación de un escalar por una ecuación y se

le suma la multiplicación de otro escalar por otra ecuación; α es un escalar(número real)

Ejemplo: dado el sistema de ecuación lineal

1 2 3 1

1 2 3 2

1 2 3 3

4 3 2 1 :0 :

5 2 2 3 :

x x x Lx x x Lx x x L

+ − =

− + + =

+ − =

Se realizan las siguientes operaciones

23 :L− 1 2 33 3 3 0x x x− − =

1 22L L+ : 1 2 37 7 3 2x x x+ − =

1 3L L:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

5 2 2 30

4 3 2 1

x x xx x xx x x

+ − =

− + + =

+ − =

1 22 3L L+ : 1 2 35 9 2x x x+ − =

A continuación se muestra el método para resolver sistemas de ecuaciones lineales

2.2.1 1 MÉTODO DE GAUSS (ELIMINACIÓN GAUSSIANA)

Este método consiste en ir eliminando ecuaciones y variables utilizando operaciones entre ecuaciones, hasta llegar a una sola ecuación con una variable, que luego se reemplaza en las ecuaciones anteriores para calcular las otras incógnitas.

37

Ejemplo 1:

1 2 3 1

1 2 3 2

1 2 3 3

4 3 2 1 :0 :

5 2 2 3 :

x x x Lx x x Lx x x L

+ − =

− + + =

+ − =

Se eliminan ecuaciones y variable para llegar a dos ecuaciones con dos variables utilizando las siguientes operaciones:

2 14L L+

2 3 47 2 1 :x x L+ =

2 35L L+

2 3 57 3 3 :x x L+ =

Se utilizan las dos ecuaciones obtenidas para convertirlas en una solución con una sola variable.

4 51L L− +

3 32 2x x= ⇒ =

Se remplaza 3x en 4L

( )2 2 21 4 37 2 2 1 7 4 17 7

x x x −+ = ⇒ + = ⇒ = = −

Se remplaza 3x y 2x en 2L

1 1 1 13 11 11 112 0 07 7 7 7

x x x x− − + = ⇒− + = ⇒− = − ⇒ =

Se observa que el sistema tiene solución única

11 3, , 27 7

sol ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

38

Ejemplo 2:

1 2 3 1

1 2 3 2

2 3 0 :6 5 7 0 :x x x Lx x x L+ − =

− + =

Se eliminan ecuaciones y variable para llegar a una ecuación con una sola variable utilizando la siguiente operación:

1 23L L− +

2 3 314 10 0 :x x L− + =

Se observa que sólo queda una sola ecuación pero con dos variables esto significa que una variable debe depender de otra esto confirma que como m n< el sistema tiene infinita soluciones.

Se despeja en este caso la variable de menor subíndice.

2 3 2 3 2 3 2 310 514 10 0 14 104 2

x x x x x x x x−− + = ⇒− = − ⇒ = ⇒ =

−

Se reemplaza 2x en 1L

1 3 3 1 3 3 1 3

1 3 1 3 1 3

5 15 132 3 0 2 0 2 02 2 2

1313 13222 2 4

x x x x x x x x

x x x x x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − = ⇒ + − = ⇒ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= − ⇒ = − ⇒ = −

3 3 313 5, ,4 2

sol x x x⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

Ejemplo 3:

1 2 1

1 2 2

1 2 3

2 0 :3 1 :

3 3 :

x x Lx x Lx x L

− + =

+ =

− = −

39

Se eliminan ecuaciones y variable para llegar a dos ecuaciones con dos variables utilizando las siguientes operaciones:

2 12L L+

2 47 2 :x L=

2 33L L− +

3 510 6 :x L− = −

Se trabaja con las dos ecuaciones obtenidas para convertirla en una sola con una sola variable.

4 510 7L L+

0 32= −

Como se observar el resultado es una ecuación degenerada esto quiere decir que el sistema no tiene solución.

TALLER 1. UNIDAD 2

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de eliminación Gaussiana

1. 1 2 3

2 3

1 2 3

2 15

3 2 0

x x xx x

x x x

+ − = −

+ =

+ − =

2. 1 2 3

1 2 3

4 8 4 12 0

x x xx x x+ − =

− − + =

3. 1 2 4

1 2 3

2 3 4

2 15 02 2 2 3

x x xx x x

x x x

+ + =

+ + =

− − − =

40

4. 1 2

1 2

2 2

3 125 10

2 2 3

x xx xx x

+ =

+ =

− − = −

5. 1 2 3 4

1 2 3 4

10 2 4 82 5 2 4x x x xx x x x+ + + =

+ + + =

2.3 MATRIZ

Una matriz es una ordenación de vectores llamados vectores filas o vectores columnas, estas matrices se nombran con letras mayúsculas y sus elementos con letras minúsculas de la siguiente forma: ijA a= el subíndice ij significa la fila y la

comuna de la ubicación del elemento.

El número de vectores filas y vectores columnas determinan el tamaño de una matriz que en forma genera se simboliza como: m n× dondem es el número de vectores filas y n es el número de vectores columnas

2 3

3 5 34 6 5

×

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3 3

3 5 34 6 53 2 1

×

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

41

2.4 OPERACIONES ENTRE MATRICES

Como las matrices son compuestas por vectores filas y vectores columnas y con los vectores podemos hacer algunas operaciones, entonces, podemos hacer estas mismas operaciones entre matrices:

2.4.1 SUMA DE MATRICES

Para sumar matrices hay que tener en cuenta una condición necesaria: que tengan el mismo tamaño. Después de observar esto se suman como los vectores, componente a componente.

Ejemplo:

Sean las matrices

2 3 2 3

3 5 3 3 1 24 6 5 1 0 6

A y B× ×

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

calcular

?A B+ =

A+ B = 345635

!

"##

$

%&&+

−31

10

2−6

!

"##

$

%&&=

3+ −3( )4+1

5+16+0

3+ 25+ −6( )

!

"

##

$

%

&&=

0566

5−1

!

"##

$

%&&2×3

42

2.4.2 MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ

Para multiplicar un escalar por una matriz solamente multiplicamos el escalar por cada uno de los elemento de la matriz.

Ejemplo: dada la matriz 3 5 34 6 5

A−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠y el escalar 1

2k =

calcular 12A

3 5 3 3 / 2 5 / 2 3 / 21 1 .4 6 5 2 3 5 / 22 2

A− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2.4.3 PRODUCTO DE MATRICES

Para poder multiplicar matrices se debe tener en cuenta una condición necesaria para poder realizarse dicha operación: El número de columna de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda matriz.

La multiplicación de matrices se hace multiplicando cada una de las filas de la primera matriz por cada una de las columnas de la segunda matriz, como son vectores filas por vectores columnas se debe trabajar con la definición de multiplicación de vectores: componente a componente y los resultados se suman.

Ejemplo:

43

Sean las matrices 2 2 2 3

1 2 3 1 22 3 1 0 6

A y B× ×

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

calcular .A B

Se multiplica cada vector fila por cada vector columna convirtiéndolos todos en vectores filas.

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

1,2 . 3,1 3 2 5

1,2 . 1,0 1 0 1

1,2 . 2, 6 2 12 14

2,3 . 3,1 6 3 9

2,3 . 1,0 2 0 2

2,3 . 2, 6 4 18 22

− − = + =

− = − + = −

− − = − + − = −

− − = + =

− = − + = −

− − = − + − = −

Los resultados se ubican según la fila y la columna que se están multiplicando.

TALLER 2. UNIDAD 2

Dada las siguientes matrices:

44

2 41 0 3 1 2 2 4

; ; ; 3 22 3 2 5 6 3 2

0 1A B C D

−⎛ ⎞− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟= = = = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

1. .A B

2. 2 2A B−

3. ( ) ( ).A C A C+ −

4. 2 2A B+ 5. .B D+ .D B 6. 2 . .AC B D+

Dada las siguientes matrices hallar el valor de la matriz hallar el valor de la matriz X en cada ecuación.

1 0 2 4 2 4; ;

2 3 3 2 3 2A C D

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7. 2 3 2A C X D+ + =

8. 1 1. . .2 2AC X DC− =

9.

2 2 2 132

A C D X+ + =

10. . 3AC DC X C+ = − −

2.4.4 MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

Un sistema de ecuación de la forma:

45

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

31 1 32 2 33 3 3 1

1 1 2 2 3 3

.........

. . . . .

. . . . .

. . . . ....

n n

n n

n n

m m m mn n n


a x a x a x a x b

+ + + + =

+ + + + =

+ + + + =

=

=

=

+ + + + =

Se puede expresar por medio de una MATRIZ AMPLIADA que consiste en colocar los coeficientes de las variables y los términos independientes dentro de la matriz teniendo en cuenta que cada columna representa cada variable.

11 12 13 1 1

21 22 23 2 13

1 2 3

...

. . . . .

n

n

m m m mn n

a a a a ba a a a b

a a a a b

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Ejemplo 1:

Para el sistema

1 4

2 3

1 2

2 14 3 1

2

x xx x

x x

− + + = −

− = −

+ = −

46

La matriz ampliada es:

2 0 0 1 10 4 3 0 11 1 0 0 2

⎛− − ⎞⎜ ⎟

− −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

La Matriz ampliada

2 3 5 01 7 8 20 4 3 1

⎛− ⎞⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

El sistema que representa esta matriz es:

1 2 3

1 2 3

2 3

2 3 5 07 8 14 3 2

x x xx x x

x x

− + + =

+ + = −

− = −

Teniendo en cuenta que los sistemas de ecuaciones lineales se pueden convertir en matrices veremos unas operaciones entre filas que son importantes para más adelante en la solución de sistemas de ecuaciones.

2.4.5 OPERACIONES ENTRE FILAS

§ m nf f: Intercambio de una fila por otra fila, ;m nf f son filas

§ mkf Multiplicación de un escalar por una fila; k es un

escalar(número real) § m nkf f+ Multiplicación de un escalar por una fila y sumarle

otra fila

47

2.5 MÉTODO DE GAUSS-JORDÁN

Consiste en reducir por filas la matriz utilizando operaciones entre filas, hasta convertiría en una matriz de diagonal unos y los demás términos iguales a ceros.

1

13

1 0 0... 00 1 0 0

.. . . .0 0 0 1 n

bb

b

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Esto con el fin de que luego de pasarlo a sistema de ecuaciones de nuevo queden las siguientes soluciones

1 1

2 2

.

.

.

n n

x bx b

x b

=

=

=

Ejemplo: resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales por el método de Gauss-Jordán

Primero se convierte a matriz ampliada

1 2 3

1 2 3

2 3

2 3 5 07 8 14 3 2

x x xx x x

x x

− + + =

+ + = −

− = −

48

Se realizan operaciones entre filas para llegar a la matriz de diagonal 1 y los demás elementos iguales a cero:

1 2

1 2 2 2 2

2 1 12 3 3

2 1 17

74

2 3 5 0 1 7 8 11 7 8 1 2 3 5 00 4 3 2 0 4 3 2

1 7 8 11 7 8 121 20 17 21 2 0 1 17 17

0 4 3 2 0 4 3 2

3111 0 17 17210 1 171350 0 17

f f

f f f f f

f f ff f f

+ → →

− + →− + →

⎛− ⎞ ⎛ − ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟

− ⎯⎯⎯→ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞−⎛ − ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎯⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−−

⎯⎯⎯⎯⎯→

−

:

217

2617

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3 5 01 7 8 10 4 3 2

⎛− ⎞⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

49

3 2

3 1 13 2 2

17 135

11 1721 17

3111 0 17 1721 20 1 17 17

0 0 1 26135

71351 0 0160 1 0 45

0 0 1 26135

f f

f f ff f f

− →

+ →− + →

−⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎯⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

La solución del sistema es única

7 16 26, ,135 45 135

sol ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

Ejemplo 2:

Resolver el sistema de ecuación

Se convierte a matriz ampliada

1 1 2 2 31 1 0 1 10 3 2 4 2

⎛ − − − − ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠

1 2 3 4

1 2 4

2 3 4

2 2 31

3 3 4 2

x x x xx x x

x x x

− + + + =

+ + =

− − − = −

50


1 1

1 2 2 2 2

2 1 12 3 3

1.

1 1 2

1.3.

1 1 2 2 3 1 1 2 2 31 1 0 1 1 1 1 0 1 10 3 2 4 2 0 3 2 4 2

21 1 2 2 3 1 1 2 330 2 2 3 4 0 1 1 22

0 3 2 4 2 0 3 2 24

10

f f

f f f f f

f f ff f f

− →

− + → →

+ →+ →

⎛− ⎞ ⎛ − − − − ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ − ⎞⎛ − − − − ⎞ − − −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − − − −−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎯⎯⎯⎯→

120 1 1

31 1 220 0 1 41

2

⎛ − ⎞− −⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

3 1 13 2 2

1.1.

1 0 0 0 30 1 0 1 20 0 1 1 4

2

f f ff f f+ →

− + →

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯⎯→ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

El sistema tiene infinitas soluciones y se representa de la siguiente forma:

51

1

2 4 2 4

3 4 3 4

32 2

1 14 42 2

xx x x x

x x x x

=

+ = − ⇒ = − −

+ = ⇒ = −

Luego la solución del sistema es:

4 413, 2 ,42

sol x x⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟⎝ ⎠

Ejemplo 3:

Resolver el sistema de ecuaciones.

Primero se convierte a matriz ampliada


1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3 82 3 4 103 6 9 2

x x xx x xx x x

− + =

+ + =

− + =

1 2 3 82 3 4 103 6 9 2

⎛ − ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

52

1 2 21 3 3

23

1 2 3 8 1 2 3 82 3 4 10 0 7 2 63 6 9 2 0 0 0 22

f f ff f f

− + →− + →

⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎯⎯⎯⎯⎯→ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

El s una ecuación tiene solución porque nos da una ecuación

degenerada 0 22= −

Ejemplo 4:

Resolver el siguiente sistema de ecuación

Se convierte a matriz ampliada

3 1 42 3 56 2 8

⎛ − − ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠


1 2

1 2

1 2

3 42 3 56 2 8

x xx xx x

− = −

+ =

− = −

53

1 1

1 2 21 3 3

13

26

1 43 1 4 1 3 32 3 5 2 3 56 2 8 6 2 8

41331

23110 3 30 0 0

f f

f f ff f f

→

− + →− + →

⎛ − − ⎞⎛ − − ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− − − −⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−⎛ − ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Se observa que se ha eliminado una ecuación y la matriz queda de la forma:

411 33230 11

3 3

−⎛ − ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Nos queda un sistema 2 2×

Que se puede seguir resolviendo utilizando operaciones entre filas

2 3 32 23 1

311

41 4 711 1 1 033 3 113230 11 0 23 0 1 2313 3 11 11

f f ff f + →→−⎛ − ⎞ − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞−

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Se observa que el sistema de ecuaciones tiene solución única

7 23,11 11

sol ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

ACTIVIDAD 3 DE LA UNIDAD 2

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de Gauss-Jordán

54

1. 1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 12 5 102 2 2 3

x x xx x xx x x

+ + =−

+ + =

− − − =

2. 1 3

2 3

1 2

3 2 05 0

2 0

x xx x

x x

+ =

+ + =

− − =

3. 2 3 4

1 2 4

1 2 3 4

2 2 12 5 9

2 2 2 3

x x xx x xx x x x

+ − =−

+ + =

− − − − = −

4. 1 2 3 4

1 2 3 4

4 2 2 12 5 9 9x x x xx x x x+ + − =−

+ − + =

5. 1 2

2 2

1 2

2 55 4 82 3 7

x xx xx x

+ =

+ =

− − =

6. Un empresario tiene tres máquinas que son empleadas en la fabricación de cuatro productos diferentes. Para utilizar plenamente las máquinas estas estarán en operación 8 horas diarias. El número de horas que cada máquina es usada en la producción de cada uno de los cuatro productos está dado por

Producto 1 Producto 2 Producto 3 Producto 4 Máquina 1 3 2 2 2 Máquina 2 2 2 5 0 Máquina 3 3 4 0 2

Encuentre el número de unidades que se deben producir de cada uno de los 4 productos un día de 9 horas completas.

3x1: Es la cantidad de horas diarias que es usada la máquina 1 en la fabricación del producto 1.


55



Como la máquina 1 debe ser usada 9 horas diarias, entonces

tenemos que 1 2 3 43 2 2 2 9x x x x+ + + =

Procediendo de forma similar para las máquinas 2 y 3 obtenemos el sistemas de ecuaciones lineales siguiente.

1 2 3 4

1 2 3

1 2 4

3 2 2 2 92 2 5 93 4 2 9

x x x xx x xx x x

+ + + =

+ + =

+ + =

7. Determine las corrientes I1, I2 e I3 de la siguiente red:

Que se representa a partir del siguiente sistema de ecuaciones lineales después de haber la ley de corrientes de Kirchhoff utilizado

56

1 2 3

1 2

2 3

07 20 0

4 8 0

I I II II I

+ + =

+ − =

+ + =

2.6 TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ

La transpuesta de una matriz es intercambiar vectores filas en vectores columnas es decir si tenemos ijA a= ; entonces t

jiA a=

Ejemplo:

2 3

2 6 51 3 4

A×

⎛ ⎞= ⎜ ⎟− −⎝ ⎠

Entonces

3 2

2 16 35 4

tA

×

−⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

2.6.1 Propiedades de la transpuesta

• ( )t t tA B A B+ = + para A y Bmatrices del mismo

tamaño

• ( )t tkA kA= ;donde k es un escalar(número real)

• ( ). .t t tAB B A= para A y Bmatrices que cumpla la

condición de la multiplicación

2.7 MATRICES CUADRADAS

Las matrices cuadradas son aquellas que cumplen las condición que el número de sus filas es igual al número de sus columnas, también suelen ser llamadas de orden n que indica su tamaño

57

Ejemplo:

2 2

3 12 4

A×

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

;

3 3

1 3 04 1 52 9 2

B

×

−⎛ ⎞⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Las matrices cuadradas tienen una diagonal principal y una diagonal secundaria:

Diagonal principal son los términos 11 22 33, , ,..., nna a a a

Diagonal secundaria son los términos 1 33 1,..., ,...,n na a a

2.7.1 MATRICES CUADRADAS ESPECIALES

• Matriz diagonal. Es una matriz cuadrada cuyos elementos de la diagonal principal son diferentes de cero y los demás elementos de la matriz son ceros.

58

11

22

0 0... 00 0 0. . . .0 0 0 nn

aa

A

a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Esta matriz también se puede representar de la forma:

( ) ( )11 22 33, , ,..., nndiag A a a a a=

Ejemplo:

2 23 3

2 0 03 0

0 3 0 ;0 4

0 0 4B C

××

⎛ ⎞−⎛ ⎞⎜ ⎟= − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠

• matriz identidad. Es una matriz cuadrada cuyos elementos de la diagonal principal son iguales a 1 y los demás elementos de la matriz son ceros. A esta matriz se nombra como nI ,

donde n indica el orden de la matriz identidad.

3 2

1 0 01 0

0 1 0 ;0 1

0 0 1I I

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠

59

• Matriz escalar. Es una matriz cuadrada cuyos elementos de la diagonal principal es un número real igual. Esta matriz puede expresarse como el resultado de un escalar por la matriz identidad de cualquier orden

Ejemplo:

5 0 03 0

0 5 0 ;0 3

0 0 5E Z

⎛ ⎞−⎛ ⎞⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠

• Matriz triangular. Es una matriz cuadrada cuyos términos que están por debajo o por encima de la diagonal principal son iguales a ceros.

Ejemplo:

60

• Matriz simétrica. Es una matriz cuadrada que cumple la condición que es igual a su transpuesta, es decir tA A=

Ejemplo:

Estas matrices tienen características que la diferencias de las demás por ejemplos todos los elementos que están por encima de la diagonal principal son iguales a todos los elementos que están por debajo de esta misma.

• Matriz antisimétrica. Es una matriz cuadrada que cumple la condición que es igual al opuesto de su transpuesta, es decir tA A= − , también una matriz antisimétrica debe tener los elementos de la diagonal principal iguales a ceros.

Ejemplo:

61

• Matriz normal. Es una matriz cuadrada que cumple la condición que conmuta con su traspuesta es decir:

t tAA A A=

Ejemplo:

2 4 14 2 21 2 2

A−⎛ ⎞

⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Vamos a probar que esta es una matriz normal es decir que cumple con la conmutatividad.

Primero hallamos la traspuesta de la matriz

2 4 14 2 21 2 2

tA−⎛ ⎞

⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Ahora probamos la propiedad:

( )( )

( ) ( )

2 4 1 2 4 14 2 2 4 2 21 2 2 1 2 2

4 16 1 8 8 2 2 8 2 20 2 88 8 2 16 4 4 4 4 4 2 24 4

2 8 2 4 4 4 1 4 4 8 4 9

tAA− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ + − + + + + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − + + + + − + + − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟+ + − − + + − + + −⎝ ⎠⎝ ⎠

62

( )( ) ( )

( )

2 4 1 2 4 14 2 2 4 2 21 2 2 1 2 2

4 16 1 8 8 2 2 8 2 20 2 88 8 2 16 4 4 4 4 4 2 24 42 8 2 4 4 4 1 4 4 8 4 9

tA A− −⎛ ⎞⎛ ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎝ ⎠

+ + + − + − + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + − + + + − + − + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟− + + − + − + + + −⎝ ⎠⎝ ⎠

• Matriz ortogonal:

Es una matriz cuadrada que cumple la condición,

t tAA A A I= =

Ejemplo: dada la matriz Z demuestre que es ortogonal

2 33 2

Z−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Aplicamos la definición

2 3 2 3 13 0 1 01.3 2 3 2 0 13 0 113

tZ Z−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 2 3 13 0 1 01.3 2 3 2 0 13 0 113

tZ Z−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Por lo tanto la matriz Z es ortogonal

63

2.8 TRAZA DE UNA MATRIZ.

La traza de es la suma de los elementos de la diagonal principal de una matriz cuadrada. ( ) 11 22 33 ... nntra A a a a a= + + + +

Ejemplo:

Calculara la traza de la siguiente matriz

3 5 40 5 32 4 2

B−⎛ ⎞

⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

( ) ( )3 5 2 6tra B = + + − =

2.8.1 PROPIEDADES DE LA TRAZA

a. tra A+ B( ) = tra A( )+ tra B( ) ;donde A y B matricesdel mismo orden

b. ( ) ( ) ( ). ;tra kB k tra A k es un escalar número real=

c. tra A.B( ) = tra B.A( ) ;donde A y B matrices

del mismo orden

64

2.9 INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA

Sea A y B matrices cuadradas del mismo orden talque . .AB B A I= = entonces se dice que:

1A B− = ó 1B A− =

Ejemplo 1:

Sean las matrices cuadradas

1 3 2 12 3 23 8 6 3 1 02 6 3 2 0 1

A y B− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Demuestre que A es la inversa de B o lo contrario aplicando su definición

1 3 2 12 3 2 1 0 0. 3 8 6 3 1 0 0 1 0

2 6 3 2 0 1 0 0 1

12 3 2 1 3 2 1 0 0. 3 1 0 3 8 6 0 1 0

2 0 1 2 6 3 0 0 1

AB

B A

− − −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − − − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− − −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − − − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Queda demostrado que

1A B− = ó 1B A− =

65

2.10 CALCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ

Para calcular la inversa de una matriz cuadrada debemos colocar a esta primero que todo en una matriz ampliada de la siguiente forma:

( )A I

Esto muestra del lado izquierdo la matriz a quien se le halla la inversa y del lado derecho la matriz identidad del mismo orden.

Luego se realizan operaciones entre filas para convertir la matriz dada en la matriz identidad y la matriz identidad en la inversa de la matriz dada.

( )1I A−

Nota. Las únicas matrices que tienen inversa son las matrices cuadradas pero no toda matrices cuadradas tienen inversa.

Ejemplo 1:

Dada la matriz

2 35 4

Z ⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

Calcular 1Z −

Se representa la matriz en forma ampliada

2 3 1 05 4 0 1⎛ ⎞⎜ ⎟

−⎝ ⎠

Se realizan operaciones entre filas para calcular convertir la matriz del lado izquierdo en matriz identidad

66

1 1

2 21 2 2

2 1 1

1/2

25 23

32

3 1 012 3 1 0 225 4 0 1 0 15 4

3 11 001 31 222 25523 210 0 1 23 2322

341 0 23 230 1 5 2

23 23

f f

f ff f f

f f f

→

− →− + →

− + →

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ ⎟−− −⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟−⎝ ⎠

Luego la inversa será:

134

23 235 223 23

Z −⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟−⎝ ⎠

Ejemplo 2:

Dada la matriz

1 3 23 8 62 6 3

C− −⎛ ⎞

⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

Calcular la 1C−

Se expresa en forma de matriz ampliada

1 3 2 1 0 03 8 6 0 1 02 6 3 0 0 1

⎛ − − ⎞⎜ ⎟

− −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

Se realizan operaciones entre filas adecuadas para hallar la inversa

67

1 2 21 3 3

3 1 12 1 1

32

23

1 3 2 1 0 0 1 3 2 1 0 03 8 6 0 1 0 0 1 0 3 1 02 6 3 0 0 1 0 0 1 2 0 1

1 0 2 8 3 0 1 0 0 12 3 20 1 0 3 1 0 0 1 0 3 1 00 0 1 2 0 1 0 0 1 2 0 1

f f ff f f

f f ff f f

− + →− + →

+ →+ →

⎛ − − ⎞ ⎛ − − ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟

− − ⎯⎯⎯⎯⎯→ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ − − ⎞ ⎛ − ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎯⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯⎯→ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

La inversa de la matriz es

1

12 3 23 1 02 0 1

C−

−⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Ejemplo 3.

Dada la matriz

1 3 23 1 02 6 4

D⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Calcular 1D−

Se expresa la matriz en forma ampliada

1 3 2 1 0 03 1 0 0 1 02 6 4 0 0 1

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Se realizan operaciones entre filas para hallar la inversa convirtiendo la matriz del lado izquierdo en identidad.

68

1 2 21 3 3

32

1 3 2 1 0 0 1 3 2 1 0 03 1 0 0 1 0 0 10 6 3 1 02 6 4 0 0 1 0 0 0 2 0 1

f f ff f f+ →

− + →

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎯⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Se observa que la matriz D no tiene inversa

ACTIVIDAD 4 UNIDAD 2

1. Demuestre las propiedades de la transpuesta

a. ( )t t tA B A B+ = + para A y Bmatrices del

mismo tamaño

b. ( )t tkA kA= ;donde k es un escalar(número real)

c. ( ). .t t tAB B A= para A y Bmatrices que cumpla la

condición de la multiplicación. 2. Demuestre las propiedades de la traza

( ) ( ) ( ) ;tra A B tra A tra B donde A y B matrices del mismo orden+ = +

( ) ( ) ( ). ;tra kB k tra A k es un escalar número real=

( ) ( ). . ;tra AB tra B A donde A y B matrices del mismo orden=

3. Dar ejemplos de matrices:

a. Escalar b. Triangular c. Simétrica

d. Antisimétrica e. Normal

4. Hallar la inversa de las siguientes matrices

a. 2 33 5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

69

b.

1 5 02 3 92 1 4

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

c.

0 2 2 14 9 2 31 4 −2 30 2 2 1

"

#

$$$$

%

&

''''

d.

5 5 67 1 00 1 4

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2.11 MÉTODO DE LA INVERSA PARA RESOLVER SISTEMA DE ECUACIONES

Este método es utilizado para resolver sistemas de ecuaciones m n= es decir que el número de ecuaciones sea igual al número de variables

Para utilizar este método debemos convertir primero el sistema de ecuación en una ecuación matricial:

.A X B=

Donde Aes la matriz de los coeficientes de las variables del sistema; X es la matriz de las variables que pertenecen al sistema y B es la matriz de las constates o términos después del igual.

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

31 1 32 2 33 3 3 1

1 1 2 2 3 3

.........

. . . . .

. . . . .

. . . . ....

n n

n n

n n

m m m mn n n


a x a x a x a x b

+ + + + =

+ + + + =

+ + + + =

=

=

=

+ + + + =

70

111 12 13 1 1

21 22 23 2 2 13

1 2 3

...

. . . . ..

n

n

m m m mn nn

xa a a a ba a a a x b

a a a a bx

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Después de convertir en ecuación matricial se halla la inversa de la matriz de los coeficientes para poder hallar la solución de las variables de la siguiente forma:

1.X A B−=

Ejemplo 1.

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de la inversa.

1 2

1 2

2 3 25 4 1x xx x

+ =

− = −

Primero convertimos el sistema en ecuación matricial

1

2

2 3 25 4 1

xx⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Ahora se calcula la inversa de la matriz de coeficientes

71

1 1

2 21 2 2

2 1 1

1/2

25 23

32

3 1 012 3 1 0 225 4 0 1 0 15 4

3 11 001 31 222 25523 210 0 1 23 2322

341 0 23 230 1 5 2

23 23

f f

f ff f f

f f f

→

− →− + →

− + →

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ ⎟−− −⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟−⎝ ⎠

La inversa de la matriz es 34

23 235 223 23

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Se utiliza esta matriz para resolver el sistema de ecuaciones de la siguiente forma:

1.X A B−=

1

2

34 223 235 1223 23

xx

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ −− ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Realizamos la multiplicación de matrices

( )1

2

3 8 3 54 223 23 23 23 235 1 122 10 2

2323 23 23 23

xx

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−− ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Luego la solución del sistema es: 5 12,23 23

sol ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

72

Ejemplo 2.

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones

1 2 3

1 1 1

1 1 1

3 2 33 8 6 12 6 3 4

x x xx x xx x x

− − =

− − = −

− − =

Convertimos el sistema en ecuación matricial

1

2

3

1 3 2 33 8 6 12 6 3 4

xxx

− − ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Se halla la inversa de la matriz de los coeficientes

1 2 21 3 3

3 1 12 1 1

32

23

1 3 2 1 0 0 1 3 2 1 0 03 8 6 0 1 0 0 1 0 3 1 02 6 3 0 0 1 0 0 1 2 0 1

1 0 2 8 3 0 1 0 0 12 3 20 1 0 3 1 0 0 1 0 3 1 00 0 1 2 0 1 0 0 1 2 0 1

f f ff f f

f f ff f f

− + →− + →

+ →+ →

⎛ − − ⎞ ⎛ − − ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟

− − ⎯⎯⎯⎯⎯→ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ − − ⎞ ⎛ − ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎯⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯⎯→ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

La inversa de la matriz es 12 3 23 1 02 0 1

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Resolvemos el sistema.

1

2

3

12 3 2 3 36 3 8 313 1 0 1 9 1 0 102 0 1 4 6 0 4 2

xxx

− − − + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − − = − − + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ − − + + −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

73

Luego la solución del sistema es: ( )31, 10, 2sol = − − −

Ejemplo 3.

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones

1 2 3

1 2

1 2 3

3 2 13 02 6 4 3

x x xx xx x x

+ + = −

− + =

+ + =

Convertimos el sistema de ecuaciones en ecuación matricial

1

2

3

1 3 2 13 1 0 02 6 4 3

xxx

−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Se halla la inversa de la matriz de los coeficientes

1 2 21 3 3

32

1 3 2 1 0 0 1 3 2 1 0 03 1 0 0 1 0 0 10 6 3 1 02 6 4 0 0 1 0 0 0 2 0 1

f f ff f f+ →

− + →

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎯⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Observamos que la matriz no tiene inversa por consiguiente el sistema no tiene solución


Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método de la inversa

74

1.

1 2 3

1 2

1 2 3

3 2 13 02 5 3

x x xx xx x x

− + = −

− =

+ − = −

2. 1 2

2 2

2 3 73 7 5x xx x

− + =

− =

3. 1 2

2 2

3 03 5R RR R

− + =

− = −

4.

1 2 3

2 3

1 2 3

3 2 00

2 5 4 0

I I II I

I I I

− + =

− − =

− + − =

5. 2 3

1 2 3

1 3

3 2 92 5 47 3

V VV V VV V

− + =

− − − =

− =

6. 1 3

1 2 3

2 3

2 2 107 06 3

I II I I

I I

− + =

− − =

+ − = −

75

DETERMINANTES La función determinante es de gran importancia en la solución de sistemas de ecuaciones en esta unidad se dará las base para la obtención del objetivo principal que es aprender otro método para solución de sistemas de ecuaciones lineales.

Unidad

3

76

3.1 COMPETENCIAS A DESARROLLAR

• Calcular determinante y aplicar sus propiedades • Uso de los determinantes para hallar la inversa de una

matriz • Utilizar adecuadamente el método de Cramer para la

solución de sistemas de ecuaciones

3.2 DEFINICIÓN DE DETERMINANTES

Un determinantes es el valor numérico que se le asigna a una de una matriz cuadrada, se representa de la siguiente forma:

detA A=

3.2.1 DETERMINANTE 2X2 Es el determinante que se le asigna a una matriz de cuadrada de orden 2

. .a b

A a d c bc d

= = −

Ejemplo:

( ) ( )2 3

2. 3 4 .3 6 12 64 3

= − − − = − + =− −

77

3.2.2 DETERMINANTES 3X3 Es el valor numérico que se le asigna una matriz cuadrada de orden 3

( ) ( ). . . . . . . . . . . .a b cd e f a e i b f g d h c c e g d b i h f ag h i

= + + − + +

Este determinante se debe calcular utilizando el método de Sarrus

Ejemplo

( )( ) ( )2 3 20 1 5 6 30 0 2 0 10 24 12 262 1 3

− = + − + − + + = − − = −

− −

3.2.3 DETERMINANTES DE ORDEN SUPERIOR Es el valor numérico que se le asigna a una matriz de orden n

78

11

22

0 0... 00 0 0. . . .0 0 0 nn

aa

a

3.3 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

Estas propiedades son utilizadas especialmente para la solución de determinante de cualquier orden. 1. Si se tiene una matriz cuadrada que contenga una fila

o columna de ceros su determinante es igual a cero.

Ejemplos:

2 3 20 0 02 1 3

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

Entonces el det 0A =

2 0 2 33 0 3 15 0 4 16 0 1 0

B

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Entonces el det 0B =


1. Resolver los siguientes determinantes:

79

a.

312 52 13 2

−

b.

1,4 1,70,3 2,4−

c.

2 6 70 9 30 0 3

−

d. 2 6 74 9 32 6 7

−

−

e.

2 6 74 9 32 6 7

−

−

f.

0 0 70 9 32 6 7−

g.

2 6 24 12 32 6 1

− −

−

h.

2 3

2 2 5 3

i.

3 3 4

0 2 3

−

−

j.

2 3

2 2 5 3

2. Resolver los siguientes determinantes utilizando sus propiedades

a.

3 1 0 50 5 2 30 0 2 10 0 0 3

−

− −

−

b.

3 0 0 05 5 0 01 3 2 02 5 9 3− −

−

c.

3 1 6 5 42 5 2 3 51 0 2 1 66 3 1 3 63 1 6 5 4

−

− −

− −

−

−

80

d.

3 1 0 5 42 5 0 3 51 0 0 1 66 3 0 3 63 1 0 5 4

−

− −

−

−

−

e.

3 1 1 5 42 4 6 2 101 2 3 1 56 3 6 3 63 1 9 5 4

− −

− −

− −

−

−

f.

2 4 6 21 7 0 70 0 0 62 4 6 2

−

−

−

3.4 MENORES

Son los determinantes de la matriz menor que sale de suprimir una i-esima fila y una j-esima columna de otra matriz, se simboliza de la siguiente forma:

ijM

Ejemplo:

Dada la matriz 2 4 01 2 31 0 1

B⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

81

Encontrar los menores 32M y 22M

( )32

2 02. 3 6

1 3M = = − = −

−

( )22

2 02. 1 2

1 1M = = − = −

−

3.4.1 MENORES COFACTORES

Son los elementos ( )1 .i jij ijA M+= −

3.4.2 MATRIZ DE COFACTORES

Esta matriz está compuesta por los menores de otra matriz dada.

11 12 13 1

21 22 23 2

1 2 3

...

. . . .

n

nij

n n n nn

A A A AA A A A

A

A A A a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

3.4.3 ADJUNTA DE UNA MATRIZ

Es la traspuesta de la matriz de cofactores

82

11 21 31 1

12 22 32 2

1 2 3

...

. . . .

n

nTij

n n n nn

A A A AA A A A

A

A A A a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

3.4.4 INVERSA DE UNA MATRIZ UTILIZANDO LA ADJUNTA Y DETERMINANTES Otra forma de hallar la inversa de una matriz utilizando los determinantes

1 1B AdjBB

− =

Ejemplo:

Dada la matriz 2 4 01 2 31 0 1

B⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Hallar: Menores cofactores

( ) ( )1 111 11

2 31 . 1. 1. 2 2

0 1A M+ −

= − = = − = −−

83

( ) ( )( )1 212 12

1 31 . 1. 1. 1 3 1.2 2

1 1A M+ −

= − = − = − − − − = − = −−

( ) ( )1 313 13

1 21 . 1. 1. 0 2 1. 2 2

1 0A M+

= − = = − = − = −

( ) ( )2 121 21

4 01 . 1. 1. 4 0 1. 4 4

0 1A M+

= − = − = − − − = − − =−

( ) ( )2 222 22

2 01 . 1. 1. 2 0 1. 2 2

1 1A M+

= − = = − − = − = −−

( ) ( )2 323 23

2 41 . 1. 1. 0 4 1. 4 4

1 0A M+

= − = − = − − = − − =

( ) ( )3 131 31

4 01 . 1. 1. 12 0 1. 12 12

2 3A M+

= − = = − − = − = −−

( ) ( )3 232 32

2 01 . 1. 1. 6 0 1. 6 6

1 3A M+

= − = − = − − − = − − =−

( ) ( )3 333 33

2 41 . 1. 1. 4 4 1.0 0

1 2A M+

= − = = − = =

MATRIZ DE COFACTORES

2 2 24 2 412 6 0

ijB− − −⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

ADJUNTA DE UNA MATRIZ

Es la transpuesta de la matriz de cofactores

84

2 4 122 2 62 4 0

TijB

−⎛ ⎞⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

INVERSA DE UNA MATRIZ UTILIZANDO LA ADJUNTA Y DETERMINANTES

1 1B AdjBB

− =

Calculo del determinante de B

( ) ( )2 4 0

det 1 2 3 4 12 0 0 4 0 16 4 121 0 1

B = − = − − + − − + = − + = −

−

Calculo de la inversa

1

1 1 16 32 4 121 1 1 12 2 6 6 6 212

2 4 0 1 1 06 3

B−

−⎛ ⎞−−⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎜ ⎟− ⎜ ⎟⎝ ⎠ −⎜ ⎟

⎝ ⎠


1. Hallar los cada uno de los menores cofactores de las

siguientes

85

a. 2 4 40 3 10 0 3

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

b. 2 4 03 3 11 0 3

B⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

2. Calcular la matriz de cofactores y la adjunta de las matricees del punto 1.

3. Dadas las matrices, calcular los menores cofactores

indicados

a. 12 14 42 32

2 0 2 00 3 3 1

; , , ,5 1 4 16 3 1 0

B B B B B

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟=⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎝ ⎠

b. 33 34 42 22

1 5 2 20 8 3 1

; , , ,5 1 4 06 3 9 0

D B B B B

− −⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟=⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎝ ⎠

4. Calcular la inversa de las siguientes matrices utilizando

los cofactores y la adjunta de la matriz dada.

a. 2 4 03 3 11 0 3

B⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

b. 2 0 03 3 01 0 3

C⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

c. 0 0 40 3 31 4 3

D⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

d.

2 0 2 00 3 3 15 1 4 16 3 1 0

M

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟=⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎝ ⎠

86

3.5 CALCULO DE DETERMINANTES DE ORDEN SUPERIOR

Para calcular determinantes de orden superior se debe peocededer de la siguiente forma:

1. Se escoge un elemento 1ija = o en su defecto 0ija ≠

2. Convertir en cero los elementos que están en la columna del elemento escogido utilizando operaciones entre filas adecuadas.

3. Eliminar la fila y la columna del elemento escogido para obtener una matriz menor utilizando el signo del coofactor.

Este procedimiento se puede realizar tantas veces sea posible para llegar a una matriz de orden tres y poder resolver por el método de Sarrus antes visto

Ejemplo 1:

2 1 0 13 3 2 41 0 3 20 4 1 6

A

−

−=

1. Se escoge el elemento 43 1a =

87

2. Se hace cero los elementos del uno escogido

3. Se elimina la fila y la columna del uno escogido para

convertir en una matriz menor

( ) ( ) ( )72 1 1

1 3 11 16 352 16 36 11 48 384 402 443 8451 12 16

−

− = − − − − + + = − − = −

− −

Ejemplo 2:

2 1 0 1 44 3 2 4 01 0 3 2 00 4 1 6 05 1 3 5 0

B

−

−

=

− −

88

En algunos casos si la fila y la columna que se elimina, el número escogido es diferente de 1 se debe multiplicar el resultado por este número.

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 12 4

4.6 5.

6 3

2 1 0 1 44 3 2 4 0 3 14 4

4 3 2 4 01 0 3 2 1 0 3 2

4* 11 0 3 2 00 4 1 6 0 4 1 6

0 4 1 6 05 1 3 5 0 1 12 15

5 1 3 5 0

3 14 44* 1 * 1 4 1 6

1 12 15

4* 45 84 192 4 840 216 4* 231 628 4*397 1.588

f ff f

− ++

−− − −

−

= − ⎯⎯⎯⎯→

− −− −

− −

= − −

= − − − − − + = − − − = =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Ejemplo 3:

2 1 0 1 43 3 2 4 91 0 3 2 30 5 1 6 25 0 0 0 0

C

−

−

= =

−

−

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

4 24 3

2.6 3.

6 6

1 0 1 4 1 0 1 43 2 4 9 13 0 16 5

5* 10 3 2 3 15 0 16 95 1 6 2 5 1 6 2

1 1 45* 1 . 1 13 16 5

15 16 9

5* 144 75 832 960 117 80 5* 1051 763 5* 288 1440

f ff f+

− +

− −

−= − − ⎯⎯⎯⎯→

− −

− −

−

= − − −

− −

= − − − − − − + + = − − − − = − − =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

89


Resolver los siguientes determinantes de orden superior

2 1 5 1 32 3 2 4 0

1. 1 0 0 2 00 5 1 6 05 1 0 5 0

− −

− −

−

2 0 2 20 5 7 3

3.4 2 9 50 0 6 6

−

−

3.6 MÉTODO DE CRAMER PARA SOLUCIONAR SISTEMAS DE

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES n n×

Este método es utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales que tengan el número de ecuaciones igual al número de variables.

1 3 2 10 1 3 0

2.5 7 4 22 2 3 1− − −

− −

2 1 5 1 37 0 0 0 0

4. 1 6 0 2 40 5 1 3 55 1 0 5 6

− −

−

−

90

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

31 1 32 2 33 3 3 1

1 1 2 2 3 3

.........

. . . . .

. . . . .

. . . . ....

n n

n n

n n

n n n nn n n


a x a x a x a x b

+ + + + =

+ + + + =

+ + + + =

=

=

=

+ + + + =

Para hallar el valor de cada variable se debe proceder de la siguiente forma:

Se halla el determinante de la matriz de los coeficientes de las variables:

11 12 13 1

21 22 23 2

1 2 3

...

. . . .

n

n

n n n nn

a a a aa a a a

Dx

a a a a

=

Este determinante debe ser diferente de cero, 0Dx ≠ si este es igual a cero,el sistema de ecuaciones lineales no tiene solución.

1. Hallar el determinante de la matriz que contiene los coeficientes de cada una variables excepto los de la variable que se va hallar que son remplazados por los términos independientes del sistema de ecuaciones lineales. Luego se divide cada uno de los determinantes por el determinanteDxhallado anteriormente.

91

1 12 13 1

2 22 23 2

2 31

...

. . . .

n

n

n n n nn

b a a ab a a a

b a a ax

Dx= ;

11 1 13 1

21 2 23 2

1 32

...

. . . .

n

n

n n n nn

a b a aa b a a

a b a ax

Dx= ;…;

11 12 13 1

21 22 23 2

1 2 3

...

. . . .

n n n nn

a a a ba a a b

a a a bx

Dx=

Se debe anotar que las variables se pueden hallar de forma independiente según conveniencia.

Ejemplo 1. Resolver por el método de Cramer el siguiente sistema 2x2

1 2

2 2

2 3 73 7 5x xx x

− + =

− =

1. Hallar el Dx

2 314 9 5

3 7Dx

−= = − =

−

2. Calcular los determinante de las variables:

1

7 35 7 49 15 64 645 5 5 5

x− − − −

= = = = −

92

2

2 73 5 10 21 31 315 5 5 5

x

−

− − −= = = = −

64 31,5 5

sol ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

Ejemplo 2. Resolver por el método de Cramer el siguiente sistema 3x3

2 3

1 2 3

1 3

3 2 92 5 47 3

V VV V VV V

− + =

− − − =

− =

1. Hallar el Dx

( ) ( )0 3 22 1 5 0 0 105 14 6 0 105 20 1257 0 1

Dx−

= − − − = + + − − − + = + =

−

2. Calcular los determinante de las variables:

93

( ) ( )1

9 3 24 1 53 0 1 9 45 0 6 12 0 54 6 48125 125 125 125

x

−

− −

− + + − − + + −= = = =

( ) ( )2

0 9 22 4 57 3 1 0 12 315 56 18 0 327 74 401 401125 125 125 125 125

x

− −

− − − − + + − − −= = = = = −

( ) ( )2

0 3 92 1 47 0 3 0 84 0 63 0 18 84 45 129 129125 125 125 125 125

x

−

− −

− + − − + + − − −= = = = = −

48 401 129, ,125 125 125

sol ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠


1. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales nxn

a.

2 2 3

1 2 3

1 2 3

2 5 12 3 0

6 3 3

V V VV V VV V V

− − + =

− − − =

− − =

94

b.

2 2 3

1 2 3

1 2 3

5 2 5 12 3 33 2 3

I I II I II I I

− − + = −

− − − = −

+ + =

c. 1 2

1 2

2 12 0V VV V

− − =

− − =

d. 1 2

1 2

7 102 3 5R RR R

− =

− − =

e.

1 2 3 4

1 3

32

1 2 4

5 2 5 72 3 0

662 4 3

I I I II I

III I I

− + − =

− =

+ =+

− + + = −

2. Tres compuestos se combinan para formar tres tipos de

fertilizantes. Una unidad del fertilizante del tipo I requiere 10 kg del compuesto A, 30 kg del compuesto B y 60 kg del compuesto C. Una unidad del tipo II requiere 20 kg del A, 30 kg del B, y 50 kg del C. Una unidad del tipo III requiere 50 kg del A y 50 kg del C. Si hay disponibles 1600 kg del A, 1200 kg del B y 3200 del C. ¿Cuántas unidades de los tres tipos de fertilizantes se pueden producir si se usa todo el material químico disponible?

3. Obtener el valor de λ para que el sistema de ecuaciones:

7 64

x yx yλ

+ =

+ =

Tenga:

95

a. Solución única. b. No tenga solución.

4. Determinar el valor de a para que el sistema tenga o no solución.

2 3

2 32

1 2 3

3 10

3 2 2

I II I

I I a I a

− + = −

− − =

+ + = +

libro módulo Álgebra lineal

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