me dida se l c t r i c a s J u a n An t on ioSu r e z Medidas Elctricas Segunda Edicin, marzo 2006 Nmero ISBN 950-43-9807-3 Hecho el depsito que marca la Ley 11.723 Medidas Elctricas1CAPTULOI:INTRODUCCINEl ingeniero debe conocer con suficiencia cada vez que realiza una medicin, el mtodo que estempleando, tipos y caractersticas de losinstrumentos utilizados, sus limitaciones y exactitud.Para remitirnos a un ejemplo prctico supongamos que debe realizar el clculo de una puestaa tierra de una instalacin. Previamente deber medir la resistividad del terreno. Para este fin emplearcon criterio instrumentos, mtodos, tcnicas de medidas que finalmente conducirn a la determinacindel valor de la resistividad. La exactitud de esta medicin quedar reflejada obviamente en el clculodefinitivo de la puesta a tierra. Conceptos bsicosEn el campo de las mediciones elctricas existen una serie de conceptos elementales que a modo deintroduccin a la asignatura es importante definirlos. Si bien muchos de ellos a priori parecentriviales,veremos que en algunos casos su significado difiere de la acepcin que comnmente se les da. Losconceptosbsicosqueexpresaremosaquserefierenalosinstrumentosdemedidas.Aclaracinimportante pues cuando hablamos de sensibilidad veremos que hay gran diferencia entre la sensibilidadde un instrumento y la sensibilidad deuna tcnica de medida. Mientras la primera la definiremos comola relacin entre efecto y causa, la segunda queda determinada por el cociente entre la magnitud X amedir y el mnimo incremento discernibleen la tcnica de medida empleada. xMedirSignifica comparar la magnitud correspondiente con una unidad apropiada.Bajoelconceptodemedirseentiendelaaccinderegistrarnumricamentemagnitudescuyoconocimiento es imprescindible para estudios cientficos, en mquinas e instalaciones, en la producciny distribucin de la energa elctrica, etc.Elvalordelamedidaquedaexpresadocomoelproductodelvalornumricoporlaunidadcorrespondiente.DeflexinSe denomina as a la cantidad de divisiones o en algunos casos a la cantidad de grados en que se desvala aguja indicadora sobre una escala de un determinado instrumento.La deflexin se la suele denominar con la letra griega . La deflexin mxima ser pues la mxima cantidad de divisiones o grados que tiene la escala de un instrumento ( ). maxCampo nominal de referencia:Nos indica el rango de un determinado parmetro en el cual el instrumento mantiene su grado deexactitud(clase).Estaindicacinvieneexpresadageneralmenteenelpropiocuadrantedelosinstrumentos. Por ejemplo si en encuentra escrita una leyenda subrayada: 40....60 Hz significa que elMedidas Elctricas2cEAlcancemax.100rangodemedida max mininstrumento mantiene su clase siempre y cuando el margen de frecuencia en la que el instrumento esutilizado no se aparte delos lmites fijados.ClaseDe momento la definiremos como el error absoluto mximo (diferencia entre valor medio y valorverdadero) que puede cometer el instrumento en cualquier parte de la escala, referido a su alcance yexpresado en valor porcentual:El cuadrante de un instrumento analgico lleva inscripto un nmero acompaado con el smbolo delprincipio de funcionamiento, que es el que identifica la clase del mismo. Como resulta obvio cuantomenor sea ese nmero mayor ser el grado de exactitud del instrumento. Sinoseencuentraestenmeroidentificatoriosignificaqueelfabricantenogarantizalaclasedelaparato, es decir su clase puede ser superior a 1.5. Veremos en el Captulo Teora de Errores, queexiste la posibilidad de determinar la clase a travs de un mtodo de medidadenominado contrastede instrumentos.Rango de medida:Se define as al tramo de la escala en el cual las lecturas son confiables. Puede ocurrir que en unadeterminadaescaladeunaparatoindicadororegistradortengaalprincipiodeellavaloresmuycomprimidos. En esa parte no es correcto medir, es por ello que en el rango de medida se expresacomo:El valor mximo del rango de medida queda definido como el alcance del instrumento, dato quehabremos de utilizar en la definicin de clase de un instrumento.Cuandoelinstrumentorespondeaunaleydedeflexinlineal(porcasoelinstrumentodeimnpermanenteybobinamvil,concamporadialyuniforme),laescalaserlinealsisetratadelaaplicacin como ampermetro o voltmetro. En este caso el rango de medida ser coincidente con elalcance del instrumento a excepcin que se trate del instrumento lupa de tensin que analizaremosen el Captulo III.Enelcasodelosinstrumentoscuyaleydedeflexinesdeltipocuadrtica,(hierromvil,electrodinmico) la escala ser lineal por cuanto el fabricante mediante dispositivos constructivos tratarqueseas.Noobstanteesto,siempreeneliniciodelaescalaseproduceinvariablementeunaMedidas Elctricas30 2030 40 50 60 70 80 90100 110120AFigura 1I K ISI12IFigura 2contraccin de la misma y la imposibilidad de su correcta calibracin (aproximadamente entre un 10a un 20% del alcance). Este es el caso del ampermetro electrodinmico que se ilustra a continuacin:Para el cuadrante del ampermetro que se ilustra en la figura 1, el rango ser de 105 divisiones.Tambinsepuededefinircomoelmargendevaloresdelamagnituddemedida,enelqueelinstrumento se atiene a los lmites de error definidos por la clase correspondiente (En el CaptuloTeora de Errores, veremos en detalle el concepto de clase de un instrumento). Margen de indicacinSe define as a toda la escala del instrumento.SensibilidadLa sensibilidad de un aparato de medida viene dada por la relacin existente entre la variacin de lasindicaciones (no del ngulo de desviacin) y la modificacin de la magnitud de medida ocasionada poraquella. En otras palabras definimos sensibilidad como la relacin entre efecto sobre causa.Si un instrumento (ejemplo el de imn permanente y bobina mvil) tiene una ley de respuesta:Grficamente se demuestra (figura 2) que para el mismo incremento de corriente corresponde siempreel mismo incremento de desviacin, de modo que la relacin entre ambos incrementos se mantieneMedidas Elctricas4SIVE=300 VR1 2000R22000Figura 3PURv2SddXddXxx

_, lim 0X Cmed E CAlcance AdivmAdivE max510050constante:El ejemplo anterior corresponde a un instrumento con escala lineal. Si la escala fuera alineal (curva 2,de la figura) el cociente entre incremento de desviacin sobre incremento de corriente vara de un puntoa otro de la curva. Resulta como expresin matemtica de la sensibilidad para un punto cualquiera dela escala:Constante de lectura:Se define como la relacin entre la magnitud mxima al final de la escala (denominada alcance) con suunidad correspondiente y la mxima deflexin en divisiones.Ejemplo:Si tenemos un instrumento con alcance 5 A. y un mximo de 100 divisiones, la constante de lecturaser:Cuando la aguja deflexiona una cantidad cualquiera , la magnitud que est midiendo ser:Consumo propio:Eslapotenciaabsorbidaporelinstrumentonecesariaparaprovocar su propia deflexin. El consumo propio es importantetenerlo en cuenta en mediciones de alta exactitud, pues es capazde producir notables distorsiones en las lecturas.Veamos un ejemplo sencillo en la medicin de tensin en elcircuito de la figura 3.El voltmetro -de resistencia interna igual a R2 -dar una lecturaigual a 100 V. con un error del 33% en defecto.El consumo propio expresado en unidades de potencia ser:Medidas Elctricas5ERFigura 4P R Ia a2Sobrec aXXarg'maxEs evidente que cuanto mayor ser Rv -en el caso ideal igual a infinito- tanto menor ser la potencia deconsumo y por ende el error de insercin.Similar demostracin puede hacerse en el caso de medicin de corriente:Para el caso del ampermetro su resistencia interna Ra deberaser mnima, en el caso ideal igual a cero.En algunos catlogos de instrumentosel consumo propio suele estar expresado en la cada de tensinque provoca la insercin del ampermetro cuando por el circuito circula una corriente igual al alcancedel instrumento. Para el voltmetro el consumo estar expresado en la corriente que circula por elinstrumento cuando entre sus bornes se aplica una tensin igual al alcance.Valores orientativos de consumo propio de acuerdo al tipo de instrumentos, son los siguientes:- Instrumentos de imn permanente y bobina mvil:Bajo, del orden de los miliwatts.- Instrumentos de hierro mvil y electrodinmicos:Medio, del orden de las unidades de Watt.- Instrumentos de induccin:Alto, del orden de 5 a 10 Watt.Resolucin instrumentalSe define como la variain de la magnitud de medida que ocasionade forma reproducible un cambio mnimo apreciable en la indicacin.En el ejemplo de la figura 4, el mnimo de variacinR que pro-voque un mnimo apreciable de variacin en la aguja del amperme-tro, un I, a ste se lo denominar resolucin instrumental, que pue-de valer desde un 1/5 hasta un 1/10 de divisin, dependiendo de lacalidad del aparato de medida.SobrecargaEs la relacin entre la cantidad mxima no destructiva que tolera el instrumento, sobre la cantidadmxima nominal.Si un voltmetro da alcance 100 V. tiene una sobrecarga del 150%, significa que hasta 150 V elinstrumentopuedeutilizarsesindestruirse.GeneralmenteelfabricantedavaloresdesobrecargaMedidas Elctricas6FF1 mI=1A I=1AFigura 5F Ilr022acompaado con su correspondiente tiempo de admisin.ExactitudEs el grado de proximidad del valor medido con el valor real o verdadero.PrecisinLa precisin de un instrumento indicador da idea de la repetibilidad de las lecturas en el mismo. Nosiempre un instrumento preciso significa que sea exacto. A la inversa un instrumento exacto ha de sersiempre preciso.Sistemas de unidadesYa hemos dicho que medir es comparar una magnitud con otra que se toma como unidad.Un sistema coherente de unidades es aqul que est constituido por un reducido nmero de unidadesfundamentales o primarias y de las unidades secundarias que de stas derivan.El Ing. Giorgi (1871-1959), desarroll el sistema que lleva su nombre y que se conoce abreviadamentecomo sistema MKS. El sistema toma como unidades fundamentales:L : LONGITUD [METRO]M: MASA [KILOGRAMO]T : TIEMPO [SEGUNDO]En el campo elctrico es necesario definir una cuarta unidad para que las derivadas queden definidas.La unidad elctrica fundamental adoptada por el Sistema Mtrico Legal Argentino (SIMELA) -quetoma las unidades del sistema MKS- es el ampre.Definicin del ampere:Es la intensidad de una corriente constante que, mantenida en dos conductores paralelos rectilneos,de longitud infinita y seccin circular despreciable, colocados a una distancia mutua de un metro,produzca entre los conductores, por cada metro de longitud, una fuerza de:

F = 2. 10-7 NLa unidad fundamental ampere se determina partiendo de lafuerza electrodinmica que acta sobre dos conductores porlos que pasa una corriente elctrica. Dicha fuerza viene dadapor:siendo r la distancia que separa los dos conductores, paraeste caso un metro,l longitud de los conductores (un metro) yla constante del campo magntico 0Medidas Elctricas7que vale:.0 76410125663 10 [ ][ ].[ ][ ]HmHmUNIDADES DE ELECTROTECNIAUnidad de tensin:El volt es la diferencia de potencial elctrico entre dos secciones de un conductor que es recorrido poruna corriente constante de un ampre, cuando la potencia disipada entre esas secciones es de un Watt.[U] = [P]/[I]= W/A = VUnidad de resistencia:ElOhmeslaresistenciaelctricaqueexisteentredosseccionesdeunconductor,cuandounadeferencia de potencial constante de un volt aplicada entre esas dos secciones produce en el conductoruna corriente de un ampre, siempre que dicho conductor carezca de fuerza electromotriz:[ ] [ ] / [ ] / R U I V A Cantidad de electricidad:El coulomb es la cantidad de electricidad transportada en un segundo por una corriente de un ampre:[Q] = [I].[t] = A . s = CInduccin magntica:El Weber es el flujo de induccin magntica que rodeado por un circuito de una sola espira produceen l una fuerza electromotriz de 1 Volt, si se lo lleva a cero en un segundo por disminucin uniforme:[ ] = [U]. [t] = V.s = Wb Energa:La unidad de energa resulta de la expresin:[U].[I].[t] = [U].[Q] = [I].[ ] Joule = V.C = V.A.tCoeficiente de autoinduccin:ElHenryeslainductanciaelctricadeuncircuitocerrado,enelqueseproduceunafuerzaelectromotriz de un volt, cuando la corriente elctrica que lo recorre vara uniformemente a razn deun ampre por segundo.Medidas Elctricas8[ ] [ ] / [ ] / L I Vs A H Farad:Es la capacidad de un capacitor elctrico entre cuyas armaduras aparece una diferencia de potencialde un volt cuando se carga con una cantidad de electricidad de un coulomb.[C] = [Q]/[U] = C/V = A.s/V = FOtras unidades derivadas:Intensidad de campo: V/mConductancia elctrica: Siemens, SInduccin magntica: Wb/m2, Tesla T.Intensidad magntica: ampre/metro: A/mFuerza magnetomotriz: ampre: AFlujo luminoso: lumen: lmIluminacin: lux: lxMltiplosPREFIJO SMBOLO FACTORTERA T 1012GIGA G 109MEGA M 106KILO K 103SubmltiplosPREFIJO SMBOLO FACTORMILI m 10-3MICRO 10-6NANO n 10-9PICO p 10-12Medidas Elctricas9P PC CP PC CFigura 6Patrones de unidadesLos patrones elctricos secundarios derivados de los primarios se obtienen de los patrones absolutos.En los laboratorios de medidas cumplen un papel muy especial los patrones elctricos secundarios deresistencias y de fuerza electromotriz, para el anlisis de errores y calibracin en general.Patrones de resistencias:Paraeldiseodepatronesderesistencias,seemplean hilos metlicos calibrados. Puesto queenlosmetalesvaramucholaresistividadenfuncin de la temperatura, se utilizan aleaciones.Cuando las resistencias son bajas -a partir de 10ohm, y menos- poseen la disposicin de cuatrobornes como muestra la figura:Loscontactosdetensinycorrientesestnseparados,evitandoaserroresdebidoalasresistenciasdecontactosenlosbornesdeconexin.El hilo convenientemente aislado va encerrado enunrecipientemetlicoysusterminalesvandispuestosexteriormenteenlatapa.Comovemos en el esquema de la figura 6 existen cuatro terminales: Dos de ellos, los de mayor seccin, sirvenpara conectar la resistencia patrn al circuito de medida y los otros dos -de menor seccin- se empleanpara medir la cada de tensin en la resistencia propiamente dicha. El recipiente metlico tiene perfora-ciones para poder sumergirlo en aceite. Ello se realiza cuando se desea mantener al elemento entemperatura rigurosamente constante. Generalmente en el centro del patrn de resistencia, existe unorificio que permite colocar un termmetro para la verificacin de la temperatura.En cuanto a la capacidad de disipacin las resistencias patrones tienen una disipacin del orden delWatt en aire y de 10 Watt sumergidas en aceite.A partir de estos valores y sabiendo el valor de la resistencia es fcil determinar la corriente que puedeadmitir: I P R /Se construyen resistores de valor fijo desde 0,1 miliohm hasta 100 kilo-ohm, calibrados generalmentepor el mtodo de comparacin.Aleaciones utilizadas en resistencias patrones:Las resistencias patrones se construyen con alambres de distintas aleaciones metlicas, porque losmetales puros tienen una resistencia especfica demasiada pequea y un coeficiente de temperatura dela resistencia especfica demasiado alta.De los materiales utilizados en la construccin de resistencias patrones se destacan:Medidas Elctricas10ZR j LC R CR c LCe + + ( )[( )( ) ( ) 112 22 2 2ZR j L jCR j L jCL jRR C j LCe ++ ( )( )( )( ) 1112L RCRXZeeeL RCRXZeeeManganinaAleacin conformada por 84% de cobre, 12% de manganeso y 4% de nquel, esta proporcin es unasolucin de compromiso a efectos de alcanzar mnimos valores de coeficiente de temperatura y tensintermoelctrica.Los coeficientes de temperatura y , alcanzan para 25los siguientes valores: = 10 .10 -6= -3.10-7..... -7.10-7Para el intervalo entre 20 y 30 C, la variacin de resistencia es de 10 a 20 p.p.m. (partes por milln).Otras caractersticas destacadas de esta aleacin es su resistencia especfica elevada (0,45, unas 25vecesmayorqueladelcobre),granestabilidaddesuvaloreneltiempoyreducidatensintermoelctrica (2 a 3V/C). Constantan:Aleacindecobrecon40a60%denquelyunapequeaproporcindemanganeso.Tienepropiedades anlogas las de la manganina, salvo su tensin termoelctrica con respecto al cobre,relativamente elevada: alrededor de 40V/C. Seutilizaestaaleacinpararesistenciasgrandes(porencimadelosmilohm),especialmenteencircuitos de corriente alterna, donde no influye la tensin termoelctrica.Resistores patrones en corriente alterna. Comportamiento.Como primera aproximacin una resistencia en corriente alterna se comporta como el circuito equi-valente de la figura 7, que consta de una resistencia pura R con una inductancia L y conectada enparalelo con una capacidad C.El circuito equivalente demuestra que al existir una componente reactiva, tendremos un ngulo dedesfasaje, que llamamos ngulo de error. Es evidente que para minimizar, la componente reactiva deber ser pequea. Para hallar el ngulo, partimos de la impedancia equivalente Ze:Medidas Elctricas11tgLRRC

_, LRRCLRRC RLC2tgXRL LC R CRee [ ( ) ] 12 2Puesto que el producto L.C es muy pequeo, puede despreciarse por lo que el ngulo de error valdraproximadamente:Siendo la constante de tiempo. Ahora bien como L y C estn distribuidas por todo el arrollamiento de la resistencia, la ecuacinanterior con la simplificacin anotada da aproximadamente el ngulo de error.Dimensionando adecuadamente el arrollamiento, la constante de tiempo puede hacerse igual a:ser igual a cero cuando: condicin para quetg 0De la expresin anterior:con lo cual deducimos:a) Para resistencias pequeas, la inductancia pura ha de ser baja y la capacidad alta.b) Para resistencias grandes la capacidad debe ser muy pequea.Medidas Elctricas12Figura 9: Arrollamiento de Row-landFigura 8: Bobinado bifilarDiseo de resistores para minimizar el errorPara la construccin de resistores de gran exactitud, con apreciable disminucin de los efectos de lafrecuencia se emplean distintos recursos constructivos. Algunos de ellos son los detallados a conti-nuacin:a) bobinado bifilar:Para resistencias chicas se utiliza esta disposicin que consiste en enrollar el conductor en doble lazo,de modo que el conductor de ida y vuelta estn casi uno al lado de otro, de este modo se compensanentre s las inductancias.Se usan para resistencia de 0,1 ohm hasta 1 ohm, pues la capacidad aumenta a medida que nosacercamosalosterminalesdelconductordoble,entreloscualesexistelamximadiferenciadepotencial.b)bobinas planas:En el denominado arrollamiento de Rowland, un conductor simple se devana en forma de hlice sobreuna delgada lmina de mica u otro material aislante, formado as una resistencia con mnima inductanciay capacidad reducida.Se utiliza en resistores de valores nominales superior a los 100 ohm.PATRN DE TENSINSe ha adoptado como patrn de trabajo del volt internacional, la relacin igual a 1/1,01830 de la f.e.m.de un pila normal Weston saturada a 20 C.Esta pila se la denomina tambin "pila de cadmio". El polo positivo es mercurio libre, encima y comoMedidas Elctricas13-+Solucin de SO CdCd-HgHgCristales de SOCd44SO Hg42Figura 10despolarizador se coloca una pasta de sulfato de mercurio (SO4Hg2), sulfato de cadmio (SO4Cd) y sudisolucin saturada. El polo negativo consta de amalgama de cadmio. El electrolito es una disolucinde sulfato de cadmio. La resistencia interna de la pila es de aproximadamente 150 ohm.Tienecomoventajaprincipalunagranestabilidadeneltiempo,adems,respetandorigurosasespecificaciones en su construccin, se logran unidades, cuyos valores nominales difieren entre s ensolo algunas p.p.m..La f.e.m. a 20 C fue definida como 1,01830 voltinternacional y disminuye aproximadamente en un0,004%porcadagradodevariacindetemperatura.Esimportanteaclararqueestegeneradorelectroqumico no es apto para entregar energa.Con precauciones se podr alcanzar valores nosuperiores a los 5A. Simbologa Los instrumentos utilizados en medidas elctricas pueden clasificarse de distintas formas:a) Por el principio de funcionamiento:Deacuerdoconelprincipiodefuncionamientoencontraremosinstrumentodenominadoselectromagnticos(comolosdeimnpermanenteybobinamvil,imnmvil,hierromvil),electrodinmicos, electrostticos, induccin, etc.b) Por el tipo de corriente que lo acciona.De corriente continua o alterna, de ambas corrientes.c) Por la exactitud.De acuerdo con ndices normalizados (0.25, 0.5, 1, 1.5, 2 y 3), se clasifican en instrumentos de tablero,laboratorio y patrn.Medidas Elctricas14Smbolos de representacin de los aparatos elctricos de medida en diagrama de circuitos:Tabla IInstrumento de medida, representacin generalSistema de medida de indicacin generalSistema de medida, de indicacin con desviacin dendice a ambos ladosInstrumento de medida, ampermetroW Vatmetrocondoselementosdemedidasparasistemas trifsicos (conexin Aron)Instrumento digitalInstrumento integrador (medidores de energa)Instrumento registradorEn la tabla siguiente aparecen los smbolos que normalmente se encuentran ubicados en el cuadrantede un instrumento analgico. Estos smbolos ayudan a identificar al instrumento por el tipo de grandorque mide, por el principio de funcionamiento, su posicin de trabajo, su clase (ndice de exactitud),tensin de prueba, etc.Tabla IISmbolo Instrumento AplicacionesImn permanente y bobinamvilampermetros, voltmetros,hmetros Medidas Elctricas15Imn permanente y bobinamvil con rectificadorampermetros, voltmetros encorriente alternaImn permanente y bobinamvil, cocientmetrohmetroLupa de tensin voltmetrosHierro mvil ampermetros, voltmetrosElectrodinmico, sin hierro ampermetros, voltmetros,vatmetrosElectrodinmico, cocientmetro fasmetros, frecuencmetrosElectrodinmico con ncleo dehierroampermetros, voltmetros,vatmetrosElectrosttico voltmetrosDe vibracin frecuencmetrosInduccin medidores de energaImn mvil ampermetrosSmbolos vinculados a su construccin y forma operativa:Pantalla electrostticaPantalla magntica (de hierro)ast Instrumento de disposicin astticaMedidas Elctricas16Tensin de prueba 500 V.2Tensin de prueba (el nmero interno expresado en kV)0Instrumento no cumple ninguna especificacin de tensin depruebademAtencin. Observar las instrucciones de empleo en undocumento separadoCorriente continuaCorriente alterna (sino indica la frecuencia se considera comomargen nominal el comprendido entre 45 y 65 Hz).Ambas corrientesTrifsico con un solo elemento de medidaTrifsico con dos elementos de medidaTrifsico con tres elementos de medidaResistencia en paralelo (separada del instrumento)Resistencia en serie (separada del instrumento)Ajuste de ceroPosiciones de trabajo:Posicin de trabajo vertical (instrumentos de tablero)Posicin de trabajo horizontal45Posicin de trabajo inclinada con indicacin del ngulo deinclinacinMedidas Elctricas1745..60..75Posicin de trabajo inclinada con un campo nominal de uso de45 a 75 (campo nominal de referencia 60)Exactitud, campo nominal de uso y referencia 1,5 ndice de clase de exactitud (referido a los erroresporcentuales del valor confiable). Valoresnormalizados:0,05 - 0,1 - 0,2 - 0,5 - 1 - 1,5 - 2,5 - 515...45....55...65 Hz Instrumento para ser utilizado desde 15 a 65 Hz. Campo nominal de uso 15 a 65 Hz.Campo nominal de referencia 45 a 55 HzTensin de pruebaDetermina la resistencia a tensiones elctricas de una aislamiento entre las conexiones y la caja. Laprueba se hace con tensin alterna de 50 Hz. De acuerdo a las tensiones nominales del instrumento corresponder la tensin de prueba:Tensin nominal delinstrumentoTensin de pruebaHasta 40 V 500 V40 hasta 650 V 2.000 V650 hasta 1.000 V 3.000 V1.000 hasta 1.500 V 5.000 V1.500 hasta 3.000 V 10.000 V3.000 hasta 6.000 V 20.000 V6.000 hasta 10.000 V 30.000 Vms de 15.000 V 2,2 Un +20.000 VMedidas Elctricas18Figura 11A excepcin de la primera (aparece el smbolo de la estrella sin nmero), en el resto queda expresadaen el instrumento con la estrella y el nmero correspondiente en KV.Ejemplo:Supongse que en un fasmetro se encuentra en la parte inferior del cuadrante los siguientes smbolosdibujados:

1,5 50250A /5 A la interpretacin de los mismos es la siguiente:Instrumento electrodinmico del tipo cocientmetro (o logmetro) con ncleo de hierro, para corrientetrifsica con un solo elemento de medida, de posicin de trabajo vertical, clase 1.5, frecuencia deutilizacin 50 Hz, con conexin a un transformador de corriente de 50/5 A.La tensin de prueba es de 2.000 V entre uno de los bornes y la cajaque lo contiene. El fabricante garantiza que si aplicamos una tensinalterna de 2.000 V a 50 Hz no circular ms de un miliampere decorriente de fuga.Medidas Elctricas 19DINMICADELOSINSTRUMENTOSINDICADORESDEROTACINLa Comisin Electrotcnica Internacional (CEI) define al instrumento indicador, aquel que indica entodo momento, el valor instantneo, el eficaz, el medio o el pico de la magnitud bajo medida.Un instrumento indicador estconstituido bsicamente de dos partes, una fija y otra mvil, comnmentellamada a esta ltima: rotor, rgano mvil o mecanismo de medicin, cuando va incluido la escala y laspiezas que producen el par de giro y el movimiento.uando la magnitud comienza a ser mensurable para el instrumento, el rgano mvil o rotor comienza agirar alrededor de un eje (nico grado de libertad) y luego de un cierto tiempo adoptar una posicindeterminada que es funcin de la magnitud a medir.Lafuncinqueligalamagnitudamedirconlaposicinadoptada,sellamaLEYDELINSTRUMENTO y puede ser en los distintos instrumentos indicadores -como luego veremos en elestudio particular de cada uno-: lineal, cuadrtica, logartmica, etc.En la siguiente tabla se resumede acuerdo al principio de funcionamiento, grandor de la medicin y tipode corriente,la clasificacin de los instrumentos con sus respectivas leyes de respuestas:Principiodefunciona-mientoMagnitud a medir Tipo de co-rrienteLey de respuestaImn permanente ybobina mvilcorriente, tensin c.c. KiHierro Mvil Corriente, tensin c.c. y c.a.dLdI2Electrodinmico Corriente, tensin, potencia, etc.(En corriente alterna -adems-frecuencia, factor de potencia,etc.c.c. y c.a. dMdI If mcosInduccin Potencia, energa c.a. KI I sen1 2Todos los instrumentos indicados en la tabla presentan alguna caracterstica en comn, porque engeneral se trata de instrumentos indicadores o registradores en los cuales se desarrolla una cupla motoragenerada directamente o indirectamente por el grandor de la medicin, la que debe alcanzar un valorMedidas Elctricas 20suficiente para forzar la rotacin de la parte mvil.Ecuacin de las cuplas en los instrumentos indicadores:Cualquiera sea el medio usado para producir la desviacin del sistema mvil, la cupla resultante dedicha fuerza debe ser equilibrada por la accin de una cupla opuesta (originada en general, por unresorte) que es funcin de la desviacin del sistema.Bajo la accin de estas cuplas opuestas, el sistema llega a una posicin de equilibrio. Simultneamentedebe haber un medio de absorber la energa del movimiento, para que el sistema se detenga en suposicin de equilibrio.Cupla de inercia:Si vara la magnitud a medir y se mueve el sistema mvil, aparecen pares dinmicos de giro que seoponen al movimiento. Esta cupla es debido a la forma geomtrica y peso del sistema mvil y est dadapor la expresin:C J JddtJddti 22Donde:: Aceleracin angular.J: Momento de inercia del sistema con respecto al eje derotacin.: velocidad angular. : Desviacin angular del sistema mvil. Cupla directriz, antagnica o de restitucin:Si debido a la excitacin elctrica o por un medio mecnico cualquiera, el sistema mvil del instrumentoes movido o apartado de su posicin de cero, un par o cupla mecnica que normalmente se logra conel desarrollo de un resorte en espiral, una cinta en suspensin o una cinta tensa, contrarresta el par degiro.Esta cupla es el producto de la constante del resorte y del ngulo de giro:C Kd r K : constante elstica del resorte.:ngulo de giro. SisuponemosporuninstantequelacupladeinerciaCiesnula,tendramosquealconectarelMedidas Elctricas 21Figura 12CdCm1Cm2CQPMA21Figura 11C K Cd m1 1 instrumento, la cupla motora en ese instante (= 0) es cero y cero la antagnica. Cuando el rotor comienza a girar describiendo un ngulo, con el crecer de va aumentando la cupla antagnica (Cd) opuesta a la motora. De este modo, cuando el ngulo descripto por el rotor alcanza un valor -porejemplo A-el balance de las cuplas es el siguiente:1) La cupla motora - cuyo valor suponemos constante- est representada en la figura por MQ (Fig.11).2) La cupla directriz, de sentido opuesto al dela motora, tiene un valor representado por elsegmento MP.3) La cupla actuante est dada por PQ.Como resultado general el rotor sigue girandoensentidodelamotora,perolacuplaactuanteescadavezmenor,hastaque,cuandoelngulollegaalvalor 1se cumple que:ahora la cupla motora aumentara el valorCm2 se rompe el equilibrio: el exceso en el sentido de la cupla motora impulsa al rotor en el sentido dengulos crecientes, hasta el valor finaltal que:K C Cd m22 2 Se ve que para cada valor de la cupla motoracorrespondeunvalorbiendeterminadode. Recordar que no se ha considerado en esteestudiolacupladeinerciaCi,niotrascuplas que se vern ms adelante.En el casoque el instrumento tenga resorte enespiral - uno de cuyos extremos es solidario aleje mvil- la cupla directriz vale:C Ea elKds 312 Siendo E: mdulo de elasticidad del materialMedidas Elctricas 22Figura 13 a: ancho de la cinta es: espesor de la cinta l: longitud de la cintaEstos resortes en espiral no deben tener efectos secundarios elsticos, ni envejecimiento y deberndependerpocodelatemperatura.Elmaterialqueseusaesbronce-fosforosoobienaleacionesespeciales de acero.En el caso de usar suspensin con cinta tensa - se estudiar ms adelante- la cupla directriz viene dadaporlasreaccioneselsticasquesedesarrollancomoconsecuenciadelatorsindelacintadesuspensin al actuar la cupla motora.Cuplas de amortiguamiento:Para disminuir la inevitable inercia de las oscilaciones del sistema mvil, cerca de la posicin establecidade equilibrio, cada instrumento tiene un dispositivo especial denominado amortiguador.Lacuplaamortiguantetienepuesporobjeto,absorberenergadelsistemaoscilanteyllevarlorpidamente a su posicin de equilibrio, para que pueda ser leda su indicacin.Los amortiguamientos pueden ser de dos tipos, segn su caracterstica predominante:l.- Conservativos2.- DisipativosEl amortiguamiento conservativo es tal que la mayor parte de la energa del sistema mvil es devueltaal circuito por accin regeneradora. Esto sucede, por ejemplo, en el galvanmetro, en el que el frenadodebido al aire es solamente una pequea parte del amortiguamiento total del sistema mvil.En la mayor parte de los instrumentos elctricos se usa un amortiguamiento disipativo, que tiene comoventaja sobre el anterior que no depende mayormente de las caractersticas del circuito al cual estconectado.Hay tres clases principales de amortiguamiento disipativo: a) Por rozamientob) Fluidoc) Magnticoa) El rozamiento entre dos superficies genera una cupla queesfuncindelacompresinrecproca,peronodelavelocidad.EsterozamientoestsiemprepresenteenlosMedidas Elctricas 23Figura 14iBl vR0soportes de la parte mvil del instrumento y tiene cierta influencia - aunquepequea- en la detencindel sistema mvil. Por esta razn, el sistema mvil no se detendr ensino en , siendop + un desplazamiento indeterminado, debido al rozamiento. Si se supone que solamente hay rozamiento, la amplitud de la oscilacin disminuye linealmente, mientrasqueloharsegnunaexponencialsielamortiguamientoesfluido.Enelcasorealsetieneunacombinacin de ambos, y el sistema se detiene antes que en cualquiera de los dos casos anteriores,aunque la diferencia es poco notable. En definitiva lo importante es la aparicin de indeterminacinintroducida por. b) El amortiguamiento fluido es proporcional a la velocidad. En la actualidad se usa nicamente elamortiguamiento por aire, en un dispositivo cerrado. Este generalmente consiste en un aspamvilliviana de aluminio que se mueve en una cmara cerrada en forma de sector, comprimiendo al aire, quefluye por sus bordes para equilibrar la presin (figura 13). Este flujo de aire cesa apenas el aspa dejade moverse.c) El amortiguamiento magntico (figura 14) tambin es proporcional a la velocidad. Se produce porlascorrientesparsitasinducidasenundiscoosectordealuminiofijadoalejeysituadoenelentrehierro de un imn permanente cuando el eje gira por la accin de la cupla motora. Estas corrientesreaccionan con el campo del imn y producen un par resultante que se opone almovimiento (figura 15).La magnitud aproximada del amortiguamiento se calcula como sigue: Si B es la densidad de flujo constante - y supuesta uniforme- en el entrehierro yv la velocidad linealdel elemento de disco bajo el entrehierro del imn; en el disco se induce una f.e.m.:e = B.l.vsiendo lla longitud del polo. Esta f.e.m. produce una corriente: Medidas Elctricas 24C Fr Bl I rB l rRa 2 2 20e Bl v BlaBl addt 2 22e N Bl addtDB l rR2 2 20ieRSiendo Rola resistencia efectiva del disco. La reaccin entre esta corriente y el campo produce una cupla amortiguante:Siendo r el radio y la velocidad angular. El coeficiente de amortiguamiento ser: ComoelvalordeRodebeserlomenorposible(paratenerunbuenvalordeD)losdiscosseconstruyen de aluminio, y el imn se coloca algo alejado del borde (pero no mucho, ya que al mismotiempo disminuye el brazo r y por ende el valor de la cupla) para permitir una mejor distribucin de laslneas de corriente., Enciertosinstrumentos(comolosdebobinamvil:galvanmetros,voltmetros,etc.)lacuplaamortiguante se obtiene por la accin de corrientes inducidas en la bobina mvil (figura 16) cuandorota en el campo magntico.La f.e.m. inducida en la bobina tiene un valor instantneo dado por:siendo:l: alto de la bobina mvil.a: ancho de la bobina.Para N espiras:

Esta f.e.m. origina una corriente:Medidas Elctricas 25Marco de aluminioCilindro de hierroFigura 16Disco de aluminioImn permanenteIFFigura 15C FaB l a NRddta 2 2 2 2Figura 17aD B l aNRSl aAlAl ++

_,

2 2 222 ( )Figura 17bC Dddta siendo R la resistencia total del circuito incluyendo la de la propia bobina. La interaccin entre elcampo y corriente origina la cupla amortiguante:Si R es grande (como en el caso de los voltmetros) la bobina mvil se arrolla sobre un soporte dealuminio - de muy baja resistencia- con lo que se consigue aumentar el amortiguamiento hasta un valorptimo. En este ltimo caso ser:Sistemas de suspensin:Yahemoscitadoalacupladerozamiento,diciendo que la misma se origina en el roce del ejedelsistemamvilconsucojinete.Hemosdichoque su valor es prcticamente independiente de lavelocidad angular y adems se opone al sentido dedesplazamiento, es por ello que se debe afectarladel doble signo: CrMedidas Elctricas 26Figura 18Figura 19d l tg 2En muchos instrumentos el sistema mvil se monta sobre pivotes, tal como muestra enlas figuras 17ay 17b. Este montaje puede ser vertical u horizontal. En los instrumentos de laboratorio porttiles,como regla, el sistema mvil est dispuesto verticalmente, mientras que en los de tableros es horizon-tal.A pesar del reducido peso del sistema mvil,la presin del pivote sobre el cojinete alcanza grandesvalores,teniendo en cuenta el pequesimo radio de curvatura del pivote (0,01-0,15 mm).Por estarazn los cojinetes de los instrumentos de medidas elctricas se elaboran al igual que en los relojes. Seusan piedras preciosas (gata, rub, zafiro, etc.) y los pivotes de acero de la mejor calidad: acero-plata, al cobalto- tungsteno, etc. Las monturas o engastes para cojinetes, en instrumentos porttiles yde tableros, se ejecutan en forma de tornillos con dimetro de 3 a 3,5 mm., de pequea rosca oredondos sin filetes. En algunos instrumentos se utilizan monturas redondas con resortes para amor-tiguar los golpes.En los instrumentos de alta sensibilidad esta cupla de rozamiento debe ser prcticamente nula, es porello que el sistema u rgano mvil est tensado con un hilo (oro o cobre-fsforo) a travs de losresortes.(Figuras 18)Cuando todava se requiere mayor sensibilidad, el sistema mvil adopta la disposicin colgante osuspendido (Figura 19). Este es el sistema generalmente adoptado por el galvanmetro donde unasensibilidad an mayor se logra por medio del sistema ptico (figura 20). El indicador es el rayo luminoso, libre de masa e inercia, permitiendo sistemas mviles con pequeosmomentos de inercia. Si se emplea una escala plana y con un ngulo de desviacin del sistemamvil, el nmero total de divisiones responder a la expresin:Medidas Elctricas 27Escala traslcidaSistema MvilEspejoFigura 21ldHaz incidenteHaz reflejado2Figura 20Conreflexionessucesivasutilizandovariosespejosseobtienetodavamayorsensibilidad.Unesquema de este tipo el dibujado en la figura 21.Medidas Elctricas 28 ESTUDIODELAECUACINDEL MOVIMIENTO Ecuacin del movimiento de un sistema mvil alrededor de un eje. El estudio de la ecuacin del movimiento en un instrumento elctrico indicador, conduce a la obtencin de la respuesta del mismo relacionada con los distintos parmetros que lo constituyen en funcin del tiempo. Porlasimplicidadyconvenienciadesudiseoelctricoymecnico,elmovimientodelsistema indicador de un instrumento elctrico es generalmente un movimiento de rotacin. Se puede considerar que estos dispositivos mecnicos tienen un sologrado de libertad: el de rotacin alrededor de su eje. La ecuacin mecnica a plantear es la que determina que la suma de los pares actuantes sobre un cuerpo rgido con un solo grado de libertad, es igual a la variacin del momento angular del sistema mvil: el vector H, tiene una sola componente a lo largo del eje de rotacin, por lo que su expresin se reduce: donde J es el momento de inercia del sistema mvil y es la posicin angular instantnea del sistema mvil. Es decir que la sumatoria de las cuplas actuantes iguala a la cupla de inercia: Reemplazando por sus respectivas expresionesy ordenando trminos se tendr: dtH d=kn1 = kC Ctdi22 = J =dJ =Ckn1 = k t ddJ = H C=C C-C -C i r d a mtMedidas Elctricas 29 Suponiendo despreciable el rozamiento: que resulta la ecuacin diferencial del movimiento de un instrumento. Es decir que la cupla motora iguala a la suma de las cuplas de inercia, de amortiguamiento y del resorte. Solucin de la ecuacin diferencial Las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden en coeficientes constantes, se encuentran a menudo en los estudios tcnicos. Un ejemplo ya conocido en Teora de Circuitoslo representa la corriente de malla del circuito serie RLC: e= t idC1+ Ri +t di dLt y dado que: t dq d= i reemplazando: Otro ejemploanlogolo encontramos en el esquema mecnico de la figura 22, donde un sistema masa resorte amortiguador, tambin lopodemos plantear con una ecuacin similar:

C=C K+dtd D +dtdJm r22t K +dtd D +dtdJ =C22m f = x k +t dx dc +tdxdmt22 e=Cq+t dq d R +tdqdLt22Medidas Elctricas 30 En la tabla I se resumen las analogas planteadas. Tabla I Instrumento elctrico J D K Cm Circuito serie RLC q L R 1/C E Sistemamecnico x m c k f Volviendo a la ecuacin del movimiento del instrumento de rotacin, resolvindola podemos determinar: Esta funcin es importante ya que nos permitir determinar en qu forma se produce el movimiento en los instrumentos de rotacin en funcin del tiempo. La solucin general de una ecuacin diferencial, lineal, con coeficientes constantes consiste en la suma de una solucin particular p(que representa el estado permanente o estacionario final e independiente deltiempo)yunasolucinhomogneah(representativadelestadotransitorio),quetiendea desaparecer con el tiempo. La solucin general debe tener las constantes arbitrarias que indique el orden de la ecuacin diferencial (en nuestro caso dos, ya que es de segundo orden, es decir aparece la segunda derivada). Para hallar la solucin homognea se plantea la ecuacin homognea: ypropone como solucin: f =t t p+ =0 = K + D + J = K +dtd D +dtdJ22 & & & mc kFigura 22Medidas Elctricas 31

siendo A una constante arbitraria y r una constante a determinar. Esta igualdad se cumplir si r toma los valores correspondientes a las races de la ecuacin: y entonces la solucin del rgimen libre estar formada por dos trminos: siendo B otra constante arbitraria y r1 distinta de r2. La solucin particular p en el rgimen permanente o estacionario se encuentra haciendo: p = E = constante y reemplazando en la ecuacin diferencial ser: eA =rth treA =r& e rA =rt 2& & Reemplazando en la ecuacin homognea: 0 = K) + r D +r(JeA2 rt 0 = K + r D +rJ2 obteniendo: JK-J4D+2JD- =r221 JK-J4D-2JD- =r222 eB +eA =t r t rh2 1 Medidas Elctricas 32 Kp= Cm

Luego la solucin general ser: r1 y r2 son races de la ecuacin caracterstica yno dependen de las condiciones iniciales. En tanto que A y B s dependen de las condiciones iniciales, que pasamos a plantear: Para t=0 0 =t dd, 0 =i calculamos A y B. Para la primera condicin: Be+eA + =r rp2 1 Para la segunda, calculando la derivada e igualando a cero: eB r + Ae

r+ 0 = t dd0 r20 r12 1 De las ltimas expresiones ordenando trminos: Resolviendo obtenemos: eB +eA +KC = + =t r t r mh p2 1 p= B + A0 = Br+ Ar 2 1 Medidas Elctricas 33 Reemplazando las constantes en la expresin de: t)er-rr+ ter-rr- (1 =r1 21r1 22p2 1 Analicemos ahora los valores que pueden tomar las races de la ecuacin caracterstica r1 y r2. La cantidad sub radical podr ser positiva, negativa o nula: 1)Movimiento peridico Si, por lo que r1 y r2 resultan ser races complejas conjugadas. p1 22r-rr- = Ap1 21r-rr- = BJKJ4D22 tendremos races reales y distintas. Reemplazando trminos: 2JD= aJK-J4D = b22 t) a + (1e- 1 =t a -p Medidas Elctricas 38 Para determinar las constantes volvemos a plantear las mismas condiciones iniciales anteriores: 0 =e rB +e Ar=t t r2 t r12 1 De las cuales se deducen las constantes A y B: p- = B + A Reemplazando las constantes obtenidas A y B en la ecuacin de respuesta: )e er-rr-e er-rr+ (1 =bt - at -2 11 bt at -2 12p Calculando por separado las relaciones: reemplazando en y ordenando trminos: 0 =Be+Ae+ =0 0p 0 = Br+ Ar 2 1 p2 12r-rr= Abb) + (a21- =r-rr2 12 ba) - (b21=r-rr2 11 )]2e-e( + )2e-e(ba[e- 1 =-bt bt -bt btat -p p2 11r-rr- = BMedidas Elctricas 39 0 5 10 15 20 25 3000. 511. 5220g( ) x130 0 x esta expresin es representativa del movimiento aperidico o sobreamortiguado que a diferencia del crtico alcanza la posicin final de equilibrio lentamente, como muestra la representacin grfica de la figura 25. RESPUESTA A UNA EXCITACIN SINUSOIDAL Estudiaremos ahora el caso de que la cupla motora aplicada al instrumento no es ya un valor constante aplicado sbitamente, sino una cupla que vara armnicamente en el tiempo. Planteamos la ecuacin diferencial para una cupla motora del tipo: siendo la pulsacin aplicada que es propia de la excitacin de la fuente de tensin sinusoidal, es totalmente independiente de las caractersticas del instrumento (no confundir con la utilizada en el anlisis transitorio). La solucin de la ltima ecuacin estar compuesta por una solucin homognea y una particular. Como para los instrumentos la solucin homognea (transitoria) se anula rpidamente, nos interesa ahora la respuesta particular; es decir la solucin estacionaria. Para ello suponemos: t senC=C o mt senC= K +dtd D +dt d Jo22 t)] b cosh + tb senh (ba[e- 1 =at -p Figra 25 Medidas Elctricas 40 que reemplazada en la ecuacin diferencial y agrupando trminos: t senC= tsenK) B + AD - B - ( + t cos A) K+ D B + A(-Jo2 2 Para que se cumpla la ecuacin anterior, es evidente que tiene que cumplirse: Despejando A y B del sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas: que reemplazados en la expresin de p:

,_

t sen) D ( + ) J - (KJ - K+ t cos) D ( + ) J - (KD -) D ( + ) J - (KC=2 2 222 2 2 2 2 2op Podramossuponeruntringulorectngulo,dondea=Dyb=K-2Jsonlosladosy z la hipotenusa: que forma con el lado a un ngulo .Reemplazando los coeficientes de cosenoy senocomo los lados del tringulo, se podr escribir: t) sen cos + t cos (-sen) D ( + ) J - (KC=2 22op Dividiendo numerador y denominador por K y recordando que: t sen B + tcos A =p 0 = AK+ D B + AJ -2 C= K B + A D - J B -o2 C) D ( + ) J - (KD -= Ao2 22 C) D ( + ) J - (KJ - K= Bo2 222 ) D ( + ) J - (K = z2 22 Medidas Elctricas 41 ) - t sen(DD2 + - 11KC=c o2o22op

,_

,_

,_

Co /K es la deflexin esttica, es decidir el valor final al que tenda la solucin cuando la cupla motora era constante e igual a Co. El ngulo de fase es igual a:

,_

o2c o2- 1DD2tg arc =J - KDtg arc = que indica el desfasaje 0 < >0 , el factor de amplificacin tiende a anularse para cualquier valor del amortiguamiento D. Es decir, que no habra prcticamente respuesta ante este tipo de excitaciones. 3) Si el amortiguamiento relativo es menor que 0,707 < =DD < 0c el factorAA@ llega a unmximo a medida que/0aumenta desde cero. Este mximo se obtiene siempre antes que =0 < DD0denominadondicedeprecisin.Sila expresin anterior se escribe en funcin del error: En la figura 9 se observa la curva de error gaussiano. En la grfica se consideran los dos ejes de abscisas correspon-dientesacadaunadelasvariables.Comolafuncin continua representa el universo de las variantes, esto es "n" tendiendo a infinito, la media aritmticav que es el valor medio de todas las series o conjuntos iguales x1 - n1=2in=1 it t veh= y) v - ( v h -(x)2 2 v - v = xyvx0-xvFigura 9Medidas Elctricas 75 demedicionesqueintegrandichouniverso,esestadsticamenteelvalorverdaderodelamagnitud medida. Si consideramos la funciny(x) ella representa la distribucin de las variantes a uno y otro lado del error x = 0 y si x1, xkson los errores lmites de un intervalo, tenemos por analoga, que la probabilidad de que un error cualquiera se encuentre dentro de esos lmites es: 212 1xx) x (dx y ) x , x ( p es decir, el rea comprendida entre la curva y(x), el eje de abscisas y las ordenadas correspondientes a esos errores lmites. La resolucin de esta integral es laboriosa, es por ello que se han perfeccionado tablas que resuelven el problema. Para la confeccin de esas tablas se estandariza la variable haciendo: Reemplazando: Adems sabemos por estadstica que: luego reemplazando: Para dos errores x1 y x2: En definitiva la integral queda expresada como: dt = dx , t = xx= t 2 2 2 2 2t h=x h 21= h 2t =t h=x h22 2 2 2 2 x=t ,x=t2211 Medidas Elctricas 76 dt e pttt) t , t (2122 12121 Esta ltima expresin representa la probabilidad de que el error de una medicin est comprendido entre dos valores x1 y x2, (t1, t2). Ejemplo: supongamosque se quiera conocer la probabilidad de que una variante est comprendida entre t v . Para la variable "t" tenemos los lmites: Siahoraentramosenlatablaquedefineelreaentreloslmites0yt,obtenemosparat=1una probabilidad igual a: p =0,3413 Como se trata de una curva simtrica, la probabilidad de que una variante se encuentre comprendida dentro de los lmites: es igual a:2 x 0,3413 = 0,6826 es decirel 68%. Ellosignificaquelasvariantesdeunaseriede mediciones estn afectadas por errores tales que el 68,3% de las mismas estn comprendidas entre ta partir de la media aritmtica. Se dice tambin que el 68%eslaprobabilidaddequeunavariantedela serie se encuentre comprendida en los lmites: 1 = =x=t; 0 =0=x=t2211 t v) v ( tx0-xt-t-1 1 0+s -s68%Figura 10Medidas Elctricas 77 Desviacin de la media de la muestra Parademostraratravsdeunrazonamientocualitativo"ladesviacinnormaldelamediadeuna muestra"supongamosdistribudossegnlacurvagaussiana 1-figura 12-, (alrededor de su media aritmtica que la denominamos ) los valores de las mediciones que integran un universo dado. V1V3V2m Figura11 Supongamos ahora que se toma al azar una muestra de "n" mediciones o variantes de dicho universo, tendremos tambin una media aritmtica de la muestra que llamamos v1 es lgico suponer que esta media aritmtica diferir de la media del universo: + + + nin iinv..nvnvvnv211 Si en las mismas condiciones se hace otra serie de "n" mediciones y se calculav2(su media aritmtica) sta tambin ser distinta de y de v1, ya que siendo fortuitos los errores presentes en cada medicin, no puede esperarse una misma compensacin estadstica de ellos en cada una de las dos series. Si tomamos "m" muestras del universo, tendremos entonces"m" medias aritmticas: 0 -v1 0 -v2 0 -vm Medidas Elctricas 78 Estas medias aritmticas constituyen a su vez una nueva serie que se distribuye alrededor de la media aritmtica del universo segn la curva gaussiana (2). Como se observa, la curva (2) tiene una dispersin menor que aquella de las variantes individuales que integran eluniverso;estoresultalgicosise piensaquelasmediasaritmticas estnafectadasporloserrores fortuitosenmenorgradoquecada unadelasmedicionesindividuales, porlotantoesdeesperarquela diferenciaentremediasaritmticas sea menor que la diferencia entre las variantes de cada serie. Por lo tanto ladesviacinnormaldelaseriede mediasaritmticasoloqueeslo mismo, la desviacin normal de una cualquiera de esas medias aritmticas, ser menor que la desviacin normal de una cualquiera de las variantes tomadas individualmente. Se puede demostrar aplicando propagacin de errores estadsticos, que la desviacin normal de la media aritmtica vestrelacionada con la desviacin normal de una variante cualquiera por la expresin: A semejanza de lo hecho en el caso del desvo o error de una variante tomada individualmente podemos hacer: Luego podramos expresar nuestra medicin de la siguiente manera: es lgico entonces que mediante esta acotacin tendramos una mayor aproximacin en la medicin, sin embargo todo esto no pasa de una aproximacin terica, ya que es imposible determinar fehacientemen-n=v v- v= tt v 12Figura 12Medidas Elctricas 79 te el valor de y por lo tanto . Muestras pequeas o n finito Por lo visto anteriormente sabemos entonces que el valor medio aritmtico de una muestra resulta de todas las mediciones, el ms probable y que adems este valor medio, tiene siempre una desviacin standard o varianza v menor que la de cualquier valor particular del grupo respecto de es decir: Puesto que en el estudio del comportamiento estadstico de materiales fabricados en serie, muchos ensayos son destructivos de la muestra, se pretende por razones econmicas limitar el nmero "n" de mediciones. Esinteresanteconocerentonces,cualesentrelosdistintosvaloresmedios vilaprobabilidadde ocurrencia de cada una de ellas frente a la media del universo (valor verdadero). EstofueresueltoporGosset(utilizandoelseudnimoStudent)quepublicen1908untrabajo denominado "Error probable de la media, estableciendo y desarrollando una funcin de distribucin de valores medios de varias muestras, relacionadas con la respectiva poblacin. Si llamamosv a la diferencia entre la media de la muestra vi y la media del universo .Se define el valor "t" por la expresin: Siendo: Los valores de "t" estn tabulados para distintas probabilidades de ocurrencia. A diferencia de las tablas de probabilidad de la distribucin normal, en las de Student para cada valor de "n" se da el error, a travs de la expresin: