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(NOCIONES DE ALGEBRA LINEAL)
MATRICES, SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES Y DETERMINANTES
MATRICES
Es un arreglo rectangular de números ordenandos en filas y columnas, que
presenta la siguiente estructura:
(a11a12 ⋯ a1 j⋯ a1n
a21a22 ⋯ a2 j⋯ a2n
⋮ ⋮ ⋮ai1ai2⋯ aij⋯ a¿
⋮ ⋮ ⋮am1am2⋯ amj⋯ amn
)mxn
Los aijson los elementos de la matriz;las “m-n” uplas horizontales son las filas, y
las “m-n” uplas verticales son las columnas.
El orden de la matriz esta dado por el número de filas y columnas (matriz de
orden mxn)
A= [aij]mxn
Donde: i= 1, 2,3,…, m
j=1, 2,3,…, n
Observación:
Los elementos de una matriz no necesariamente son números, también
pueden ser funciones.
La matriz no tiene valor numérico, no se le puede identificar con un número.
Igualdad de matrices
Dos matrices Ay B son iguales si y solo si son idénticas, es decir si son del
mismo orden y sus respectivos elementos son iguales.
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Dado el siguiente sistema de m ecuaciones lineales
Donde los a ij son los coeficientes, los x i son las variables o incógnitas y los b i
son los términos independientes o constantes
a11x1+a12 x2+…+a1n xn=b1
a21 x1+a22 x2+…+a2n xn=b2
…
am1 x1+am2 x2+…+amn xm=bm
Matricialmente se presenta
(a11a12 ⋯⋯ a1n
a21a22 ⋯⋯ a2n
⋮ ⋮ ⋮……
am1am2⋯⋯amn
)(x1
x2
⋮xn)=(
b1
b2
⋮bm
)Dónde:
A: es la matriz de los coeficientes
X: es la matriz de las incógnitas
B: es la matriz de los términos independientes
Matrices equivalentes
Se dice que una matriz A=[a ij]mxnes equivalente por filas a una matriz B=[b ij]mxn.Si
B se puede obtener de A por medio de un numero finito de las
llamadasoperaciones elementales por filas.
Operaciones elementales
Se llaman operaciones elementales o transformaciones elementales por filas
sobre una matriz A:
[E1 ]: intercambiar la fila i-ésima y la fila j- ésima
A X = B
[E2 ]: multiplicar la fila i-ésima por un escalar k (k≠0)
[E3 ]: reemplazar la fila i-ésima por k veces la fila j- ésima más la fila i-ésima
Ri→kR j+R i
Matriz escalonada
Se dice que una matriz se encuentra en su forma escalonada si el número de
ceros anteriores a la primera componente distinta de cero de una fila crece fila
por fila.
A los números diferentes de cero que se encuentran solos en una columna se
les llaman elementos distinguidos.
Rango de una matriz
Una de las definiciones está dada por la cantidad de filas no nulas en una
matriz escalonada.
Matriz ampliada
Es aquella matriz que se forma con los coeficientes y los términos
independientes de un sistema de ecuaciones lineales.
Se denota: [A: b]
El siguiente diagrama resulta útil para resolver un sistema de ecuaciones
lineales.
Ejemplo: resolver
x1- 2x2+ x3- x4- x5= -6
2x1+ 2x2- x3- x5= -4
4x1- 3x2+ x3- 2x4- 3x5= -16
3x1- 6x2+ 3x3- 3x4- 3x5= -18
Solución:
Inicio
AX= b[A:b]
el sistema es incompatible
no existe solución
r(A):r(Ab)
sistema compatible
r : n
existe infinitas
soluciones
n-r = kk: numero de parametros
hallar las soluciones
fin
existe solución
única
≠
¿
(1 −2 1 −1 −1 −62 2 −1 0 −1 −44 −3 1 −2 −3 −163 −6 3 −3 −3 −18
)(1 0 1 −1 −1 −60 0 −3 2 1 80 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0
)(3 0 0 −1 −2 −100 1 0 0 0 00 0 −3 2 1 80 0 0 0 0 0
)r(A) = 3 , r(AB) = 3 ,
∃ soluciones5−3=2 parametros
3x1- x4-2 x5= -10
x2= 0
-3 x3+ 2x4+ x5= 8
x4 = a
x5= b
x1=2b+a−10
3
x2= 0
x3=2a+b−8
3 ; a y b ϵ R
Ejemplo:
Resolver:
x1+ x2- x3+ x4= 0
3x1- x2+ 2x3+ 3x4= 7
x1+ 2x2- 2x3- x4= -1
3x3+ x4= 9
Solución:
(1 1 −1 1 03 −1 2 3 71 2 −2 −1 −10 0 3 1 9
)(1 0 0 0 10 1 0 0 20 0 1 0 30 0 0 1 0
)r(A) = r(AB) = 4 = n x1= 1 x2= 2 x3=3 x4 = 0
Ejemplo:
Para que valores de x el rango de la matriz es menor que 4.
(x 1 0 x0 x x 11 x x 0x 0 1 x
)Solución:
(x 1 0 x0 x x 11 0 0 −10 −1 1 0
)x ≠ 0 (x 0 1 x0 0 −1 −2 x0 0 2x 10 −1 1 0
)(x 0 1 x0 0 −1 −2x0 0 2 x+1 2 x+10 −1 1 0
)(1 0 0 −10 1 −1 00 0 1 2 x0 0 0 1−2x
)Observación:
Se dice que un sistema es homogéneo cuando los términos independientes
son ceros, es decir:
a11x1+a12 x2+…+a1n xn=0
…
am1 x1+am2 x2+…+amn xn = 0
El sistema tiene por lo menos una solución (llamada solución trivial)
x1=x2=…=xn=0 , por lo cual es consistente o compatible.
Una condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones
lineales tenga mas de una solución es que r(A) =r(Ab) = k ¿n , donde n es el
numero de incógnitas, en este caso el sistema posee soluciones no triviales.
Ejemplo
Resolver
CLASES DE MATRICES
Matriz cuadrada
Se presenta cuando el número de filas es igual al número de columnas, se
denota Anxn ,An
Matriz nula
Es una matriz en la cual todos sus elementos son ceros.
Ejemplo:
0 = (0 00 0)
Matriz diagonal
Es una matriz cuadrada en la cual los elementos fuera de la diagonal principal
son ceros. Ejemplo:
(3 0 00 2 00 0 5)
Matriz escalar
Es una matriz diagonal en al cual los elementos de la diagonal principal son
iguales.
Ejemplo:
(7 0 00 7 00 0 7)
Matriz identidad
Es una matriz escalar donde los elementos de la diagonal principal es el 1.
Ejemplo:
(1 0 00 1 00 0 1)
Notación: I n , I
Transpuesta de una matriz
La transpuesta de una matriz Amxn es la matriz construida a partir de A ubicando
la i-ésima fila de A en la i-ésima columna de la matriz transpuesta.
Notación: At
Si A=[a ij]mxn→At =[a ijt ]nxm= [a ji ]nxm
Matriz simétrica
Se presenta cuando A= At
La matriz debe ser cuadrada, los elementos de la diagonal principal
permanecen fijos al efectuar la transposición.
Matriz anti simétrica
Se presenta cuando A= - At
La matriz debe ser cuadrada, los elementos de la diagonal principal son ceros.
Matriz nilpotente
Es aquella matriz tal que si existe algún p entonces Ap = 0( 0 matriz nula)
Se dice que el grado de nilpotencia es p.
Matrizidempotente
Se dice que una matriz cuadrada A es idempotente siA2= A.
Matriz involutiva
Se dice que una matriz cuadrada A es involutiva si A2 = I.
Definición(Traza de una matriz)
Sea A una matriz cuadrada, la traza de A: tr(A) es la suma de elementos de la
diagonal principal de la matriz A.
tr(A) = a11+a22+…+ann
Propiedades
Sean A y B dos matrices y c un escalar tal que con A y B se puedan hacer
operaciones, entonces:
1) tr(A+B) = tr(A) + tr(B)
2) tr(AB) = tr(BA)
3) tr(c A) = ctr(A)
4) tr(At) = tr(A)
5) (A+B)t = At + Bt
6) (c A)t = c At
7) (AB)t = BtAt
8) (At)t = A
9) Si A es cuadrada entonces A+A t es simétrica y A−A t es anti
simétrica
10)Toda matriz cuadrada A se puede expresar como la suma
de una matriz simétrica y anti simétrica.
OPERACIONES CON MATRICES
Dadas las matrices A y B del mismo orden se tiene:
A+B = B +A
k(A+B) =kA+kB ; k es un escalar
A-B = A+ (-B)
Producto de matrices
A=[a ij]mxnB=[b jk ]nxpEntoncesAB=C = [c ik ]mxpPropiedades
1) A(BC) = (AB)C
2) (A+B)C =AC + BC
3) A(B+C) = AB + AC
4) No siempre: AB = BA (no conmutan)
5) 0.A = 0
6) AB = 0 no implica A= 0 ó B = 0
7) Si AB=AC no implica B=C
Obtención de la matriz inversa de una matriz mediante
operacioneselementales:
Se aplica el método de Gauss-Jordán.
Sea: A=[a ij]nxn(A: I) O: E (I: B)
Entonces; B=A-1
Siendo: “I” la matriz identidad, B es la matriz inversa.
Ejemplo:
A = (1 0 22 −1 34 1 8)
Solución:
(1 0 2 1 0 02 −1 3 0 1 04 1 8 0 0 1)(
1 0 2 1 0 00 −1 −1 −2 1 00 1 0 −4 0 1)
(1 0 0 −11 2 20 1 0 −4 0 10 0 1 6 −1 1)
A-1 = (−11 2 2−4 0 16 −1 1)
Obs: (1 0 22 −1 34 1 8)(
−11 2 2−4 0 16 −1 1) = (1 0 0
0 1 00 0 1)
Ejemplo:
Encuentre le matriz inversa de A, si existe.
A = (1 2 3 02 4 3 23 2 1 36 8 7 5
)Solución:
(1 2 3 0 1 0 0 02 4 3 2 0 1 0 03 2 1 3 0 0 1 06 8 7 5 0 0 0 1
)(6 0 0 5 3 0 5 −20 12 0 7 −15 0 −11 80 0 3 −2 3 0 1 −10 0 0 0 1 1 1 −1
)∄matriz inversa
Ejemplo:
Halle la inversa de la matriz A de orden “n”
Donde:
a ij=0 si i=j ; a ij=1 si i≠j
Matriz triangular superior
f 2−2 f 1f 3−4 f 1
Una matriz cuadrada se llama triangular superior si y solo si a ij=0 para i¿j
Ejemplo:
(1 2 30 4 50 0 6)
Matriz triangular inferior
Una matriz cuadrada A=[a ij]nxnes triangular inferior si y solo si a ij=0 para i<j
Ejemplo:
(1 0 0 00 2 0 01 0 3 02 1 0 4
)APUNTES SOBRE LOS NUMEROS COMPLEJOS
Definición: El conjunto de los números complejos es el conjunto R2 de pares
ordenados de números reales, dotado con las operaciones internas de adición y
multiplicación, definidas de la siguiente forma:
Adición:
(a ; b)+(c ; d) = (a+c ; b+d)
Multiplicación:
(a ; b).(c ; d) = (ac-bd ; ad+bc)
Notación
Todo elemento de se denomina número complejo.
Definición de número complejo
Un numero complejo es todo par ordenado de números reales (x ; y) que
pertenecen a C.
El primer elemento x, se denomina parte real de z y se denota por Re(z)
El segundo elemento y, se denomina parte imaginaria de z y se denota
por Im(z)
Ejemplo:
Propiedades
Sea
a)
b)
c)
d)
Representación grafica de un numero complejo
Cada numero complejo z = (a ; b), se puede representar por un punto P
de un plano; las partes real “ a “ e imaginaria “ b “ son las coordenadas
de P en un sistema cartesiano ortogonal cuyos ejes se llaman eje real y
eje imaginario.
El plano usado para representar el conjunto C de los números complejos
se denomina plano complejo (diagrama de Argand).
Como también cada punto del plano representa un vector de origen (0 ;
0) y extremo P, la correspondencia anterior nos permite representar a
cada numero complejo z por un vector .
Los números complejos como una extensión de los números reales
Sea R' 0 un subconjunto de C, formado por los pares ordenados cuya
segunda componente es cero: R' (a,b) / b 0 .
Consideremos la función:
f : R '
x (x , 0)
Podemos observar que f es inyectiva y suryectiva y por lo tanto biyectiva, además f conserva las operaciones de adición y multiplicación:
f(a)+f(b) = f(a+b), (a ; 0)+(b ; 0) = (a+b ; 0)
f(a).f(b) = f(ab), (a ; 0).(b ; 0) = (a.b ; 0)
Como existe una función biyectiva que conserva las operaciones
de adición y multiplicación, diremos que son isomorfos.Esto
significa que operar con lleva a resultados análogos a los obtenidos al operar con x, por este motivo podemos escribir:
Forma binomica de un número complejo
La notación cartesiana de un numero complejo z como par ordenado
no es conveniente para operar, por ejemplo, si resulta
muy laborioso calcular .
La unidad imaginaria
Al número complejo (0,1) se le denomina la unidad imaginaria y lo
representamos por i, entonces
Usando la multiplicación de complejos y la identificación de con
:
Entonces como: , podemos escribir:
Proposición
Todo número complejo puede ser representado en forma única
en la forma , denominada forma binomica de z
Potencias de la unidad imaginaria
De la tabla podemos deducir:
1) , entonces
La suma de cuatro potencias enteras consecutivas de la unidad
imaginaria es cero.
2) , , k es entero.
Corolario
3) , a,kenteros,
Definiciones
NúmeroReal:
Imaginario Puro:
Complejo nulo:
Opuesto de un complejo: si , su opuesto es
– Z
Re
ZIm
Conjugado de un complejo:
Si , se denomina conjugado de z al complejo definido por:
La conjugación nos permite calcular fácilmente el inverso de un complejo
en forma binomica
Complejos iguales:sea
Modulo de un número complejo
Sea , el modulo del complejo Z denotado por , se define como:
= (a; –b)
Re
Z=(a; b)Im
Ejemplo:
Z = 4 + 3i
Propiedadesdel conjugado de un numerocomplejo
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
II. Del módulo de un complejo
1.
2. (Complejo nulo)3. | Z1 . Z2 | = | Z1 | | Z2 |
4.
5.
6. | Z | = | | = | – Z |
7. | Z |2 = Z .
8. | Z1 + Z2 | | Z1 | + | Z2 | (Desigualdad triangular)
9. | Zn | = | Z |n ;Operaciones en forma cartesiana
Adición:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Sustracción:
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
Multiplicación:
(a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
División:
Potencia: ,
la potencia se vuelve laboriosa
Radicación: ,
la radicación se vuelve complicada
Argumento de un número complejo no nulo
El argumento de un número complejo, es el ángulo que forma el semieje positivo de abscisas, con la semirrecta que une el origen de coordenadas con el afijo de z. No se define el argumento del numero complejo (0 ; 0)
Dado , un argumento de z es cualquier tal que:
Podemos definir el conjunto de los argumentos de un número complejo z no nulo y denotarlo por arg z.
Argumento principal de un número complejo no nulo
Un número complejo , tiene infinitos argumentos si uno de
ellos es los demás están expresados por la fórmula: .Para que θ sea único, basta con imponer la condición adicional que
pertenezca a un cierto intervalo semiabierto de longitud tal como
, , etc.Entonces, de entre los infinitos argumentos de z,
se denomina argumento principal de y se denota Arg z, al
que verifica la condición .
Es decir , además
Nota: En otros países, el argumento principal de , es el
valor de , tal que
Propiedades
1)
2)
3)
Forma polar o trigonométrica de un número complejo
Dado el número
Im
r = | z |
Rea
Afijo de z
(a; b)b
De la figura:
,
, ,
r = módulo de complejo Z
= argumento principal del complejo Z
Como , entonces:
, es la forma polar o trigonométrica de z.
Operaciones en forma polar o trigonométrica
Sean:
Fórmula de “De Moivre”
Se usa para calcular senos y cosenos de ángulos múltiples
Ejemplo: Si n = 2
Identidades notables
Si
a)
b)
c)
d)
Ejemplo:
Si n = 6 ;
Notación fasorial
Se usa en el análisis de circuitos con corriente alterna
Notación científica
Se usa para abreviar la escritura de la forma polar:
Operaciones:
Sea: ,Entonces:
Propiedades:
1.
2.
3.
4.
5.
6.Forma exponencial de un número complejo
Formula de Euler
,
Como
(Forma exponencial de z)
Propiedades
1)
2)
3)
4)
5) ,
6)
7)
8)
Operaciones en forma exponencial
Sean: ,
a)
b)
c)
d)
Ejemplo: Sea Z = 1 – i
Re
Im
1
El argumento
Raíz enésima de la unidad
Si hacemos , entonces , las n raíces forman el
conjunto
w se denomina raíz enésima de la unidad.De la forma exponencial de las
raíces enésima de la unidad vemos que están en el círculo de radio uno
centrado en el origen y están uniformemente espaciadas sobre el cada
radianes. Cuando n = 2 estas raíces son , cuando las raíces corresponden a puntos situados en los vértices de un polígono regular de n
lados, este polígono está inscrito en el circulo de radio uno centrado en el
origen y tiene un vértice en el punto correspondiente a la raíz ; además el eje real es eje de simetría de dicho polígono regular.
Ejemplo: Calcular
Solución:
Nota:
a) La suma de las raíces enésimas de la unidad es cero.
b) El producto de las raíces enésimas de la unidad es
Raíces cubicas de la unidad
Si
Si
Si
Propiedades
a)
b)
c)
d)
La exponencial compleja
Si
Propiedades
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Lugar geométrico de números complejos
Para graficar el lugar geométrico o identificar geométricamente los conjuntos de números complejos z que verifican determinadas
condiciones, se remplazan en las condiciones o según
convenga .
Ejemplo: Graficar los números complejos z que verifican la condición:
Solución:
Es la ecuación de una circunferencia centrada en el origen de radio r
Ejemplo: Graficar los números complejos z que verifican la condición:
Solución:
Es la ecuación de una circunferencia centrada en de radio r
Ejemplo: Determine la gráfica del conjunto
Solución:
Sea
,
Entonces , en la relación (1),
, es la ecuación de una circunferencia de centro ( -1 , 2) y radio 1.
El polinomio complejo
Sea ,un polinomio definido sobre el conjunto de los números
complejos tiene la forma: ,
Donde: , es el grado del polinomio, , son los coeficientes
complejos
Teorema fundamental del algebra
Todo polinomio no constante con coeficientes complejos tiene al menos un cero complejo.
Teorema
Sea , ,un polinomio complejo
de grado , P(z) tiene n raíces complejas(contando cada una según
su multiplicidad). Es decir, existen n números complejos (iguales o
distintos) , tal que:
Teorema
1) Todo polinomio de grado impar con coeficientes reales tiene al menos una raíz real.
2) En los polinomios con coeficientes reales si es una raíz del
polinomio, entonces su conjugado también lo es.
Nota
Todo polinomio de grado , con coeficientes reales se puede factorizar:
a) como un producto de polinomios reales de grados uno y dos.
b) como un producto de polinomios complejos de grado uno.
Matrices con elementos complejos
Los elementos de una matriz pueden ser números complejos Z= a + bi, el
complejo conjugado se define Z=a-bi
Respecto a las operaciones tomemos como ejemplo:
A = (2+i 3−2 i4 5 i ), B = ( 3 2 i
1+i 2+3 i)Luego:
A+B= (5+i 35+i 2+8 i) AB= (11+4 i 10+9i
7+5i −15+18i)
2A= (4+2 i 6−4 i8 10 i )
El conjugado de una matriz denotado por Ā se obtiene al tomar el conjugado de
cada uno de los elementos de la matriz A.
La traspuesta conjugada de una matriz A sedenota por A*= Āt
Ejemplo:
A = (2+3 i 1−4 i6 7 i )
Ā = (2−3i 1+4 i6 −7 i )
A* = (2−3i 61+4 i −7 i)
Se dice que la matriz cuadrada “E” es hermitiana si E = E*
Ejemplo:
E = ( 2 3−4 i3+4 i 6 )
Ē = ( 2 3+4 i3−4 i 6 )
E*= ( 2 3−4 i3+4 i 6 ) => E = E*
PROPIEDADES
Sean “A” y “B” matrices con elementos complejos y “z” un número complejo.
1. (A + B)* = A* + B* transpuesta conjugada de una matriz
2. (zA)* = z A¿ traspuesta conjugada de un múltiplo escalar
3. (AB)* = B*A* traspuesta conjugada de un producto
4. (A*)* = A traspuesta conjugada de una traspuesta conjugada
Matriz Ortogonal
Es aquella matriz cuadrada donde se cumple: (A-1 = At)
Ejemplo:
A = (1 0 05 4 02 8 7)
Es una matriz ortogonal?
At = (1 5 20 4 80 0 7)
(1 0 0 1 0 05 4 0 0 1 02 8 7 0 0 1)(1 0 0 1 0 0
0 4 0 −5 1 00 0 7 8 −2 1)
(1 0 0 1 0 0
0 1 0−54
14
0
0 0 117
−27
17)
A-1 = (1 0 0−54
14
0
87
−27
17)
A no es ortogonal
Matriz normal:
Una matriz es normal si conmuta con su transpuesta. Las matrices simétricas,
anti simétricas u ortogonales son necesariamente normales.
A.At = At.A
Ejemplo: Hallar todas las matrices de orden 4x4 que sean conmutables con la
matriz A:
A = (0 10 0
0 01 0
0 00 0
0 10 0
)Solución: AB = BA
(0 10 0
0 01 0
0 00 0
0 10 0
)(a be f
c dg h
i jm n
k io p
) = (a be f
c dg h
i jm n
k io p
)(0 10 0
0 01 0
0 00 0
0 10 0
)(e fi j
g hk l
m n0 0
o p0 0
) = (0 a0 e
b cf g
0 l0 m
j kn o
)
Luego:
B = (a b0 a
c db c
0 00 0
a b0 a
)Ejemplo: Dadas las matrices
A = [aij] = [|i− j|]12x12 y
B = [bij] = [ i+j ]3x12
Hallar los elementos de C69 y C96 de “C = ABAt = [cij]
Ejemplo: Sea A = [aij] una matriz triangular superior de orden n tal que a ij = 1, si
i ≤ j
De A3 = [bij] hallar el elemento bij si:
a) i = 3 ; j = n
b) i = n ; j = 3
c) i = 3 ; j = 3
DETERMINANTES
El concepto de determinante surge con el problema de solución de un sistema
de ecuaciones lineales por ejemplo dado el sistema:
ax + by = r
cx + dy = s
Donde “x” e “y” son las incógnitas eliminando variables y despejando se tiene:
x = dr−sbad−bc
y = as−crad−bc
El numero ad-bc se encuentra como denominador en “x” e “y”.
En la forma matricial se tiene:
(a bc d )( xy ) = (rs)
Se dice que el determinante de la matriz de los coeficientes denotado por:
det (A) = detA = |A| = |a bc d| = ad-bc
el sistema tendrá solución si |A| ≠ 0
Definición
El determinante viene a ser una función que aplicada a una matriz cuadrada da
un único valor numérico.
Sea A un matriz cuadrada
Φ :Knxn R ó C
A=(a11 a12
a21 a22
⋯a1n
a2n
⋮ ⋱ ⋮an1 an2 ⋯ ann
)Cuyas filas son:
A1 = (a11, a12,…, a1n)
.
.
An = (an1, an2, …,ann)
La matriz A por filas es:
A = (A1,A2,…,Ai , … , An)entonces el determinante es
|A| = det (A1 , A2 , … , Ai , … , An)
En el determinante se verifica que
1. det(A1 , A2 , … , Ai , … , An)
2. det(B) = det(A1 , A2 , … , rAi , … , An)= r det(A1 , A2 , … ,Ai , … , An)= r det(A)
Observación: Si cualquier fila de A se multiplica por “r” , entonces |B| = r|A|
3. det(A1 , A2 ,… , Ai + Aj , … , An) = det(A1 , A2 ,… , Ai , … , An) + det(A1 , A2 ,
… ,Aj ,… , An)
para todo i = 1,2,3,…, n
4. det(In) = 1
Definición
Sea una matriz cuadrada de orden 2x2
A = (a11 a12
a21 a22)
El determinante de segundo orden es el número definido por:
|A| = a11 . a22- a12 . a21
Definición:
Sea una matriz cuadrada de orden 3x3
A = (a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33)
El determinante de tercer orden es el número definido por:
|A| = a11 .a22 .a33+ a12 .a23 .a31+ a13 .a21.a32- a31 .a22 .a13-a32 .a23 .a11 - a21 .a12 .a33
MENORES Y COFACTORES
Sea la siguiente matriz cuadrada de orden nxn
A= (a11 a12 ⋯a21 a22 ⋯⋮ ⋮ ⋱
a1 j ⋯ a1n
a2 j ⋯ a2n
⋮ ⋱ ⋮ai1 a i2 ⋯⋮ ⋮ ⋱a¿ an2 ⋯
aij ⋯ a¿
⋮ ⋱ ⋮anj ⋯ ann
)Sea Mij la submatriz cuadrada de orden n-1 que resulta de eliminar la fila “i” y la
columna “j” de la matriz A.
Entonces:
1) |M ij| se llama menor complementario del elemento aijde A.
2) El cofactor del elemento aij que se simboliza por Aij se define por:
A ij⏟cofactor
= (−1)i+ j⏟signo
¿M ij∨ ¿⏟menor
¿
Como “i+j” puede ser par o impar
Aij = ±|M ij|
Desarrollo de una determinante por cofactores
El determinante de una matriz cuadrada A = [aij]nxn es igual a la suma de los
productos de los elementos de cualquier fila o columna por sus respectivos
cofactores.
Para aplicar este desarrollo es necesario elegir una fila o una columna y
efectuar el desarrollo por dicha fila o dicha columna.
a) Si elegimos la fila “k” el desarrollo del determinante es:
|A| = ∑j=1
n
¿¿¿)
b) Si elegimos la columna “j” el desarrollo del determinante es:
|A| = ∑k=1
n
¿¿¿)
Ejemplo: A = (3 6 −90 2 13 −1 2 )
Si elegimos la 1rafila:
|A| = ∑j=1
3
¿¿¿) = (a¿¿11A11)¿ + (a¿¿12 A12)¿ + (a¿¿13 A13)¿
= 3| 2 1−1 2| + 6(-1)|0 1
3 2| + (- 9)|0 23 −1| = 87
Obs:si elegimos la primera columna
|A| = ∑k=1
n
¿¿¿) = (a¿¿11A11)¿ +(a¿¿21 A21)¿ + (a¿¿31 A31)¿
= 3| 2 1−1 2| + 0(-1)| 6 −9
−1 2 | + 3|6 −92 1 | = 87
MATRIZ DE COFACTORES
Sea A una matriz cuadrada de orden nxn y Aij es el cofactor de aij entonces la
matriz:
Cofact A = ( A11 A12 ⋯ A1n
⋮ ⋮ ⋱ ⋮An1 An2 ⋯ Ann
)Se llama matriz de cofactores de A. La transpuesta de esta matriz es conocida
como Matriz adjunta de A.
Propiedades de la matriz adjunta de A
1) adj (In) = In
2) adj (At) = (adj (A))t
3) adj (An) = (adj (A))n
4) adj (AB) = adj (B) adj (A)
5) adj (A-1) = (adj (A))-1 = A
detA
6) |adj(A )|= |A|n−1
7) adj (xA) = x-1adj (A)
TEOREMA
Una matriz A de orden n es no singular si y solo si el determinante no es nulo (
|A| ≠ 0).
PROPIEDAD:
La matriz A es invertible si y solo si el determinante no es nulo.
TEOREMA:
A (adj A) = det A (In)
COLORARIO:
Si A es una matriz no singular de orden n entonces:
A-1 = adj(A). 1|A| = (cofact (A))t .
1|A| ; |A| ≠ 0
Ejemplo: Halle la matriz inversa de A:
A = (3 6 −90 2 13 −1 2 ) A-1 = ( 5 −3 24
3 33 −3−6 21 6 ). 1
87 = (
587
−129
829
129
1129
−129
−229
729
229
)Observación:
1. Si una matriz tiene inversa entonces esta es única.
2. Si B es una matriz inversa de A entonces también se puede decir que A es la
matriz inversa de B.
3. No siempre una matriz cuadrada tiene inversa.
4. Se dice que una matriz cuadrada A es singular si y solo si su determinante
es cero.
5. Si una fila o columna de una matriz A se le suma el múltiplo de otra fila o
columna, entonces el valor del determinante no varía.
6. Si los elementos de una fila o columna cualquiera constan de dos términos,
el determinante puede expresarse como la suma de otros dos
determinantes.
7. El determinante de una matriz triangular superior o inferior es igual al
producto de los elementos de la diagonal principal.
8. det(A + B) ≠det(A) + det(B)
En general el determinante de una matriz triangular superior o inferior es igual
al producto de los elementos de la diagonal principal.
9. det(AB) = det(A)det(B)
En general el determinante de un producto de matrices es igual al producto de
los determinantes de las matrices siempre y cuando las matrices sea
cuadradas del mismo orden.
PROBLEMAS
Calcule el determinante de las siguientes matrices
1.[1 2 3−1 0 3−1 −2 0
⋯nnn
⋮ ⋱ ⋮−1 −2 −3 ⋯ 0
]DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
REGLA DE CRAMER
Es un teorema en el álgebra lineal que da solución a un sistema de ecuaciones
lineales trabajando con los determinantes.
Recibe el nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 – 1752) quien publico un
trabajo dando nociones sobre el método.
Si: AX = b es un sistema de ecuaciones lineales siendo: X = (x1 , x2, … , xn) el
vector de las incógnitas; b el vector de los términos independientes y A es la
matriz de los coeficientes, entonces las soluciones del sistema se representan:
xj = det ( A j )det(A )
Donde Aj es la matriz que resulta al remplazar la J-esima columna de A por el
vector columna b.
Ejemplo: Sea
X = (x1
x2
⋮xn) ; A = (a11 ⋯ a1n
⋮ ⋱ ⋮an1 ⋯ ann
)nxn
; B = (b1
b2
⋮bn)
Aj = (a11 ⋯ a1 , j−1
a21 ⋯ a2 , j−1
⋮ ⋱ ⋮
b1 a1 , j+1 ⋯b2 a2 , j+1 ⋯⋮ ⋮ ⋱
a1n
a2n
⋮an−1,1 ⋯ an−1 , j−1 bn−1 an−1 , j+1 ⋯ an−1 ,n
an1 ⋯ an , j−1 bn an , j+1 ⋯ ann
)Usando propiedades:
AX = B
A-1 AX = A-1B
I X = A-1 B
X = A-1 B
X = adj(A)B
|A|
X = A-1 B = adj(A)B
|A| = (cofactA )tB
|A| = ( A11 A12 ⋯ A1n
⋮ ⋮ ⋱ ⋮An1 An2 ⋯ Ann
)t
(b1
⋮bn)
|A|
=
(x1
⋮xn)
|A|
Xi= ∑j=1
n
A jib j
|A|
PROBLEMAS
1. Indique si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas, fundamente su
respuesta de manera rigurosa (demostrar).
a) Sea AX=0 un sistema homogéneo de n ecuaciones con n incógnitas, supongamos
que el rango o característica de A es R=n−1 entonces un vector no nulo cuyas
componentes sean los adjuntos de una fila de A es solución de AX=0
b) Si A es una matriz cuadrada de orden n y rango menor que n−1 entonces adjA=0
C) Si A es una matriz simétrica entonces también lo es la adj(A) 6 puntos
2. Discutir la compatibilidad según los valores de a∈R del sistema de ecuaciones
lineales. Determine la solución para los casos de compatibilidad.
ax+ y−z=a2
x− y+z=1
3 x− y−z=1
6 x− y+z=3 a 4 puntos
3. Usando propiedades hallar el determinante de
( x y x+ yy x+ y x
x+ y x y ) 3 puntos
4. Dada la matriz A¿Que relación deben satisfacer las constantes a ,b , c , d y d
Para que el rango de la matriz sea 2,3 y 4?
A=(0−1ab
1 a b0 c dcd
0e
−e0) 4 puntos
5. El sistema AX=b tiene solución por única solución (2 ;−2;3)t si la matriz
de
Cofactores de Aes ( 8 −4 −4−5 7 1−1 −1 5 ) . Determine los elementos de la matriz
columnab , si el determinante de A positivo. 3 puntos
Ejemplo 1:
Resolver utilizando la regla de Cramer el siguiente sistema de ecuaciones
lineales:
x1 + 3x2 + 3x3 = -2
2x1 + 2x2 + 3x3 = -5
x1+ 2x2 + 3x3 = 6
Ejemplo 2:
Sea: (m + 1)x + y + z = 2-m
x+(m + 1)y + z = -2
x + y + (m + 1)z= m
Halle “m” para que el sistema tenga solución única
Solución:
|A|=|m+1 1 11 m+1 11 1 m+1|=|
m+3 1 1m+3 m+1 1m+3 1 m+1|=
(m+3 )|1 1 11 m+1 11 1 m+1|=(m+3 )| 0 1 1
−m m+1 10 1 m+1|
¿
(m+3 ) (m )|1 11 m+1|= (m+3 ) (m ) (m )m≠0
Para m=0
x+ y+z=2
x+ y+z=−2
x+ y+z=0
(1 1 11 1 11 1 1
2−20 )→(1 1 1
0 0 00 0 0
010)
r(A)=1 r(Aa)=2
Solución
Para m=−3
(−2 1 11 −2 11 1 −2
5−2−3)→(−3 0 3
0 −3 30 0 0
010)
r(A)=2 = r(Aa) < 3 depende de un parámetro
Conclusión:
1º Para que tenga solución única: m 0m≠−¿¿3
2º Solución: m= 0
3º Más de una solución: m = -3
Ejemplo 3:
Realice un análisis de la compatibilidad del sistema para todos los valores de a
y b si:
ax+by+z=1
x+aby+z=b
x+by+az=1
Solución:
Analizando para la existencia de una solución:
|a b 11 ab 11 b a|=a|ab 1
b a|=|b 1b a|+| b 1
ab 1|¿b (a−1 )2(a+2)≠0
b≠0∧a≠1∧a≠−2
PROBLEMAS
1. Halle el rango de la matriz A para todos los valores de a y b.
A=(2 a ba a 0b
a+b00
b0
a+b00
a+b)
2. Determine el rango de la matriz, para cualquier valor de t
A=( 3 0 6t 2 2( t+1)
−2 4 0
3 t0
2 t−t 2)3. Halle la inversa de la matriz de orden “n” donde:
aij=0 , si i=j
aij=1 , si i j
4. Indique si es verdadero (v) o falso (f) (fundamente)
A) Si A y B son matrices cuadradas de orden “n” tal que AB=A y BA=B
A y B son idempotentes.
B) Si A es una matriz cuadrada de orden n entonces A + AT, ATA y AATson
matrices simétricas.
C) Si A y B son matrices ortogonales entonces A + B también es ortogonal.
D) Si A es nilpotente entonces es invertible.
E) Si A2 es simétrico entonces A es simétrico.
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Que valores debe tener m para que el sistema tenga solución
(m+1 ) x+ y+z=2−m
x+(m+1 ) y+z=−2
x+ y+(m+1 ) z=m
Solución
Para que el sistema de ecuaciones lineales tenga solución el determinante de
la matriz de coeficientes debe ser diferente de cero. │ A│≠0
det (A )=|m+1 1 11 m+1 11 1 m+1|=|
m+3 1 1m+3 m+1 1m+3 1 m+1|=(m+3 )|1 1 1
1 m+1 11 1 m+1|=(m+3 )| 0 1 1
−m m+1 10 1 m+1|=(m+3 )m|1 1
1 m+1|=(m+3 )m2≠0
El sistema tiene solución si y solo si (m+3 )m2≠0↔m≠∨m≠−3
Si m=0 tenemos el sistema x+ y+z=2
x+ y+z=−2
x+ y+z=0es unsistema inconsistente
Si m=−3 tenemos el sistema −2 x+ y+ z=5
x−2 y+z=−2
x+ y−2 z=−3
Trabajando con la matriz ampliada (dándole una forma escalonada)
Aa=|−2 1 11 −2 11 1 −2
5−2−3|→ (f 1 x f 2 )| 1 −2 1
−2 1 11 1 −2
−25−3|→ ( f 2+2 f 1; f 3−f 1)|1 −2 1
0 −3 30 3 −3
−21−1|→ ( f 3+ f 2 )|1 −2 1
0 −3 30 0 0
−210 |→(−1
3f 2)|1 −2 1
0 1 −10 0 0
−2−1 /3
0 |→( f 1+2 f 2)|1 0 10 1 −10 0 0
−8 ∕ 3−1 ∕ 3
0 |r ( Aa)=r (A )=2<3(tienemas de unasolucion)
Depende de un parámetro la solución es z=t , y=t−13, x=t−8
3, t∈R
1. 2. Calcular el determinante de las matriz
A=((50) (51) (52) (53) (54)(60) (61) (62) (63) (64)(70)(80)(90)
(71)(81)(91)
(72)(82)(92)
(73)(83)(93)
(74)(84)(94)
)
ESPACIOS VECTORIALES
Un espacio vectorial sobre un cuerpo K (en los reales o complejos) es un
conjunto V ϕ sobre el cual se define:
(Un espacio vectorial es un conjunto V de elementos llamados vectores, cuyas
operaciones de adición y multiplicación por un escalar se encuentran definidas
en dicho conjunto (u,v, w son vectores y c, d son escalares reales o
complejos).V es un conjunto no vacio.)
Axiomas de cerradura:
1º u+ v existe y es un elemento de V (V cerrado bajo la adición, ley de la
cerradura o clausura)
2º c.u es un elemento de V (V es cerrado bajo la multiplicación por un escalar).
Axiomas de adición:
3º u + v= v + u (propiedad conmutativa)
4º u + (v + w) = (u + v) + w (propiedad asociativa)
5ºExiste un elemento de V denominado vector cero o vector nulo tal que: u + 0
= u (0 es el elemento nulo o neutro)
6ºPara todo elemento de V existe un elemento llamado el negativo de u tal que:
u + (-u) = 0
Axiomas de la multiplicación por un escalar:
7º c (u + v) = cu + cv
8º (c + d) u= cu + du
9º c (du)= (cd) u
10º 1.u=u
Nota:
Un espacio vectorial es el conjunto V de elementos llamados vectores, cuyas
operaciones de adición y multiplicación por un escalar se encuentran definidas
en él y satisfacen los axiomas mencionados donde u, v y w son vectores de V ,
c, d son escalares.
Ejemplo:
Dado el conjunto A definido por:
(x1,y1) + (x2,y2) = (x1 + x2 + 1; y1 + y2 +1)
(x;y)= (∝+∝ x−1;∝+∝y -1)
Verifique si dicho conjunto se puede considerar como un espacio vectorial.
Solución:
Axiomas de la cerradura
Sea:
u=(x1;y1)
v=(x2;y2)
1º u+ v= (x1 + x2 + 1; y1 + y2 +1) =( z1;z2) A
2º (x1;y1)= (∝+∝ x1−1; ∝+∝ y1−1¿= (d1,d2) A
Axiomas de la adición:
3°(x1;y1) + (x2;y2) = ( x1 + x2 + 1 ; y1 + y2 + 1) = ( x2 + x1+1 ; y2 + y1+ 1)
=(x2;y2) + ( x1; y1)
4º (u1;u2) + (( v1;v2) + ( w1;w2)) =(u1;u2) + ( v1 + w1 + 1; v2 + w2 + 1)
=(u1 + v1 + w1 + 2 ; u2 + v2 + w2 + 2)= ((u1;u2) + ( v1;v2)) + ( w1;w2)
5º Sea a = (a1;a2) el vector nulo tal que:
(u1,u2) + (a1;a2) =(u1,u2) (u1 + a1 + 1,u2+ a2 + 1)=(u1,u2)
a=(-1;-1) vector nulo de A.
6º (u1;u2) + (b1;b2)=(-1,-1)
(u1+b1 + 1; u2 + b2 + 1)= (-1;-1)⟹ (b1;b2)=(-2-u1,-2-u2)
Axiomas de la multiplicación por un escalar:
7ºc(u+v)=c(u1+v1+1;u2+v2+1)=(c+c(u1+v1+1)-1;c+c(u2+v2+1)-1)
cu+cv=(c+cu1-1;c+cu2-1)+(c+cv1-1;c+cv2-1)
=(2c+cu1+cv1-1;2c+cu2+cv2-1)
=(c+c (u1+v1+1)-1; c+c(u2+v2+1)-1)
8º(c+d) u=cu+du
(c+d+(c+d)u1-1;c+d+(c+d)u2-1)
cu+du= (c+cu1-1;c+cu2-1)+(d+du1-1;d+du2-1)
=(c+d+(c+d)u1-1;c+d+(c+d)u2-1)
Ejemplo
Dado el conjunto A definido por A=¿
Donde (x1 , x2 )+( y1 , y2)=(|x1+ y1|, y2)
Los siguientes ejemplos son espacios vectoriales:
1. El conjunto de n-uplas de números reales.
Rn=¿{x=(x1,x2,x3,x4,x5,…,xn-1,xn) ; x=( x i) donde 1 i n ; xi∈R}, con las
operaciones x+y = (x1+y1,x2+y2,…,xn+yn)
λx=(λx1,λx2,…,λxn)
Observación
Ejemplo Sea V={1 } no es un espacio vectorial, si 1+1=2, pero 2 V no se
cumple la ley de la clausura o cerradura en la adición V no es espacio vectorial
2. El conjunto de matrices de dimensión nxm:
Mnxm ( ) ={A=(a ij )1≤i ≤n ;1≤ j≤m }
con las operaciones: suma de matrices y productos por números reales.
3. El conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales en la variable x.
P( )={∑k=0
n
ak xk :n∈N ,ak∈R}
con las operaciones de suma y producto por números reales
4.El conjunto de todas las funciones reales:
F( )={R→R } con las operaciones suma de funciones y producto por números
reales.
5. El conjunto de todas las sucesiones de números reales:
S={ (xn )n=0∞ : xn∈R ,n≥1 }
Ejemplo:
1) Sea V={0 } satisface los 10 axiomas, es un espacio vectorial, se le conoce
como ESPACIO VECTORIAL TRIVIAL
2) Sea V={( x ; y )/ y=2 x+1 , x∈ R } (x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)
=(x1+x2;2x1+1+2x2+1) = (x1+x2;2(x1+x2)+2)
No es un espacio vectorial, no cumple con el Axioma de la cerradura.
PROPIEDADES:
Si V es un espacio vectorial, entonces:
1° 0.u=0
2° (-1).u=-u ∀ u ∈V
SUBESPACIOS VECTORIALES
Se llama subespacio vectorial de un espacio vectorial V a cualquier
subconjunto no vacio S⊂V que es un espacio vectorial con las mismas
operaciones definidas sobre V
Si V es un espacio vectorial y S⊂V, S ≠ϕ
⟹ S es un subespacio vectorial de V ⟺ {u+v∈S ,∀u , v∈S }
{λu∈S , ∀ λ∈K , ∀u∈S }
TEOREMA:
Sea U un Subespacio de un espacio Vectorial V, U tiene como elemento al
vector cero de V.
COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES
Sea V un espacio vectorial, se dice que v ∈ V es combinación lineal de los
vectores {v1 ,v2 , v3 ,… ,vn }∈V, si existen α 1, α 2 ,… ,α n∈K tal que:
V= ∑i=0
n
αi v i
Ejemplo:
Expresar el vector (4,4,5) como una combinación lineal de los vectores (1,2,3);
(-1,1,4) y (3,3,2)
Solución:
(4,4,5)= x(1,2,3) + y(-1,1,4) + z(3,3,2)
x – y + 3z= 4
2x + y + 3z = 4
3x + 4y + 2z = 5
(1 −1 32 1 33 4 2
445)⟶ (1 0 2
0 1 10 0 0
001)no existen x,y,z , el sistema no tiene solución no se
puede formar una combinación lineal.
Ejemplo
Determinar si la matriz (−1 78 −1) es una combinación lineal de las matrices
{(1 02 1),(0 1
2 0) ,(2 −30 2 )} en el espacio vectorial M2x2
Solución:
(−1 78 −1)=x (1 0
2 1)+ y (0 12 0)+z (2 −3
0 2 )Luego
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
Sea V un espacio vectorial, se dice que el conjunto de vectores {v1 ,v2 , v3 ,… ,vn } es linealmente dependiente si y solo si existen α1 , α2 ,…,αn que pertenecen a K ,
con algún α i≠0 tales que la∑i=0
n
α i v i=0
En caso contrario se dice que el conjunto {v1 ,v2 , v3 ,… ,vn } es linealmente
independiente.
Si α i=0 ∀ i=1,2 ,…,n entonces los vectores son LI
Observación:
Para estudiar si un conjunto de vectores {v1 ,v2 , v3 ,…,vn } es linealmente
dependiente o independiente se plantea la ecuación ∑i=0
n
αi v i=0
Se estudian las soluciones, si admite alguna solución no nula el conjunto de
vectores es linealmente dependiente y si solo admite la solución nula es
linealmente independiente.
Ejemplo
v1=(1,0,-1,2) , v2=(1,1,0,1) y v3=(2,1,-1,1)
Indique sin son linealmente independientes.
Solución
x(1,0,-1,2) + y(1,1,0,1) + z(2,1,-1,1) = 0
x + y + 2z = 0
y + z = 0
-x –z = 0
2x + y + z = 0
(1 1 20 1 112
01
11
0000)⟶(
1 0 00 1 000
00
10
0001)
x=0, y=0 , z=0
Son vectores linealmente independientes
PROPIEDADES
1° {v } es linealmente dependiente si y solo si v=0
2° 0∈ A⊂V ⇒ Aes linealmente dependiente
3° {u , v } es linealmente dependiente ⟺ u = λv (λ≠0¿
4° Si A es L.I. y B⊂A ⇒B es linealmente independiente
5° A linealmente dependiente y A ⊂ B ⇒ B es linealmente dependiente.
6° A linealmente dependiente ⟺∃ v ∈ A que es combinación lineal de A.
OBSERVACIÓN
1. El conjunto {v1 ,v2 , v3 ,… ,vn } se llama conjunto dependiente o independiente
según sean los vectores LD ó LI
2. Se define al conjunto vació como independiente
3. Si dos de los vectores {v1 ,v2 , v3 ,… ,vn } son iguales entonces los vectores son
dependientes
4. Dos vectores v1 y v2 son dependientes si y solo sí uno de ellos es múltiplo
escalar del otro.
5. Todo vector no nulo de un espacio vectorial constituye un conjunto LI
6. El vector nulo de cualquier espacio vectorial constituye un conjunto LD
7. Un conjunto finito y no vacio de vectores es LD si y solo si algún vector es
combinación lineal de los demás
8. Un conjunto finito y ordenado de vectores al que no pertenece el vector nulo
es LD si y solo si algún vector es combinación lineal de los precedentes
DEFINICION
Los elementos del conjunto A={ai tal que i=1,2, .. , n} si son linealmente
independientes determinan una base.
Es decir el conjunto A es una base
Ejemplo:
Indique si el conjunto de vectores {2 t−1 ,t+cos2 t ,3+e3 t ,cos2 t+e3 t } es LI
SOLUCION
α (2 t−1 )+β (t+cos 2t )+θ (3+e3 t )+δ (cos2 t+e3 t )=0
t (2α+β )+cos2 t (β+θ )+e3 t (δ+θ )+ (−α+3θ )=0
2α+ β=0
β+δ=0
θ+δ=0
3θ−α=0
(2 1 00 1 00−1
00
13
0110
0000)⟶(
1 0 00 1 000
00
10
0001
0000)
α=0 , β=0 , δ=0 , θ=0
Es un conjunto L.I.
Ejemplo:
Sea V=R3, Luego ¿Es un subespacio?
W1= {( x , y , z ) talque 2
√3x+√5 y+z=0 ; x , y , z∈Z }
Solución:
El único punto que satisface es (0, 0, 0) W1 es un subespacio de R3
Ejemplo:
W2={( x , y , z )/2 y+3 z ≥0}¿esunsubespacio?
Solución:
Con un contraejemplo:
u W2
Para 1
(1) (3 , 2 , 0) (4) 3 (0) ≥ 0 (F)
W2 no es un subespacio
Lema:
Si V es un espacio vectorial y A v1 , v2 , … , vn está contenido en V,
entonces:
L(A) ∑i1
n
i v i, i K es un subespacio vectorial de V que se llama subespacio
generado por A. El conjunto A se llama Sistema de Generadores de L(A).
Ejemplo:
Si V R3 y A v1 (1,0,1) , v2 (1,1,1), entonces:
L(A) v v1v2 ; , Rv (,,) ; , R
Las ecuaciones:
X
Y
Z
Se llaman ecuaciones paramétricas de L(A)
Proposición:
Sea V un espacio vectorial y v1, v2, … , vn V, si vm es una combinación lineal
de v1, v2, … , vm-1 entonces L(v1, v2, … , vm) L(v1, v2, … , vm-1)
BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL
Definicion de base de un espacio vectorial
Un conjunto finito de vectores {v1 , v2 ,…,vn } recibe el nombre de base de un
espacio vectorial V si el conjunto genera al espacio V y dicho conjunto es
linealmente independiente.
Ejemplo:
Halle una base del sistema:
3x1 x2 8x3 2x4 x5 0
2x1 2x2 3x3 7x4 2x5 0
x1 11x2 12x3 34x4 5x5 0
x1 5x2 2x3 16x4 3x5 0
Solución:
8x1 19x3 3x4 4x5 0
8x2 7x3 25x4 4x5 0
Sea: x3 a x1−4 c+3b+19a
8
x4 b x24 c−25b+7a
8
x5 c
(x1 , x2 , x3 , x4 , x5) (−4 c+3b+19a
8,
4 c−25b+7a8
, a , b , c)
a(19/8,7/8,1,0,0) + b(3/8,-25/8,0,1,0) + c(-4/8,4/8,0,0,1)
Una base del sistema es (19/8,7/8,1,0,0) , (3/8,-25/8,0,1,0) , (-4/8,4/8,0,0,1)
también es una base (19,7,8,0,0) , (3,-25,0,8,0) , (-1,1,0,0,2)
V (19,7,8,0,0) + (3,-25,0,8,0) + (-1,1,0,0,2) (0,0,0,0,0)
19 + 3 - 0
7 - 25 + 0
8 0
8 0
2 0
Como estos vectores son Linealmente Independientes entonces forman una
base.
Obs. Desde el punto de vista intuitivo una base es un conjunto eficiente para
representar un espacio vectorial, en el sentido de que cualquier vector se
puede expresar como una combinación lineal de los vectores de la base,
además los vectores de la base son Linealmente Independientes.
3 1 -8 2 1 02 -2 -3 -7 2 01 11 -12 34 -5 01 -5 2 16 3 0
8 0 -19 -3 4 00 -8 7 -25 4 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
Definición
Se dice que un espacio vectorial V tiene dimensión finita “n” o es n-dimensional
denotado: dimV n, si existen vectores linealmente independientes e1, e2, …,
en que generan a V , el conjunto e1, e2, …, en se llama base de V y tiene como
dimensión n.
OBSERVACIONES
1. El origen es un subespacio de R3 , la dimension de este subespacio es cero
2. Los subespacios de una dimensión de R3 son rectas que pasan por el origen.
3. Los subespacios de dos dimensiones de R3 son planos que pasan por el
origen.
Definición.- Si un espacio vectorial V tiene una base que consta de n vectores
entonces la dimensión de V es n, que se denota por dim(V).
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Para qué valor de “a” o valores el conjunto: (0 a 00 1 0),(0 1 0
0 a a),(0 1 00 a 0)
es linealmente dependiente y no forma una base.
Solución:
(0 a 00 1 0) + (0 1 0
0 a a) + (0 1 00 a 0)(0 0 0
0 0 0)u + v + w 0
Es L.I. si 0
a 0
a + + 0
+ a + a 0
(0 0a 11 a
0 01 0a 0) (1 0
0 1a 0
a 00 01 0) , a 0
Para a1:
(1 00 11 0
1 00 01 0) (1 0
0 10 0
1 00 00 0)
+ 0 , 0
Para a -1:
(1 00 10 0
−1 00 00 0)
- 0 , 0
Para a -1, 0,1 es un conjunto L.D.
2. Sean los vectores: (1+a,1,1,1) ; (1,1+a,1,1) ; (1,1,1+a,1) ; (1,1,1,1+a)
Determine según los valores del parámetro “a”, la dimensión y una base del
subespacio que generan.
Solución:
x(1+a,1,1,1) + y(1,1+a,1,1) + z(1,1,1+a,1) + w(1,1,1,1+a) 0
x(1+a) + y + z + w 0
x + y(1+a) + z + w 0
x + y + z(1+a) + w 0
x + y + z + w(1+a) 0
, a -4 , a 0
x y z w 0
Para a -4 a 0 (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1) es una base, dim4.
Es la base canónica usual.
3. Determine un vector v de R3 sabiendo que:
- La suma de sus coordenadas es 3.
- v es combinación lineal de (2, 2,2) y (-1, 1,0)
- Los vectores (1, 0,1), (0, 1,0) y v son linealmente dependientes.
Solución:
1+a 1 1 11 1+a 1 11 1 1+a 11 1 1 1+a
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
Sea v (a, b, c) R3
a + b + c 3
x(2,2,2) + y(-1,1,0) (a,b,c)
(1, 0,1) + (0,1,0) + (a,b,c) (0,0,0)
2x – y a
2x + y b
2x c
x 1/2 , c 1 , a + b 2
Luego: (1,0,1) + (0,1,0) (a,b,c)
1 a 1 b
1 c 1 a b 1
v (1,1,1)
4. Sea F un subespacio vectorial de R3 formado por los vectores v (x, y, z)
tales que x – 2y + 4z 0. Halle una base a, b, c R3 tal que a, b F.
Solución:
F (x,y,z) / (x,y,z) R3 x -2y + 4z 0
(2y – 4z,y,z) y(2,1,0) + z(-4,0,1)
(2,1,0) , (-4,0,1)
(2,1,0) + (-4,0,1) = 0
Es una base: (2, 1,0), (-4, 0,1)del subespacio vectorial F de R3
Determina un plano que pasa por el origen y cuya ecuación está dado por
π : x−2 y+4 z=0
5. Sean S y T subespacios de R4 definidos por S (x , y, z , t) / x + y + z + t
0, 2x – y + 2z – t 0, 4x + y + 4z + t 0
T (x , y , z , t) / x a + b + 2c, y b + c, z -a + b, t 3b +3c
Obtener una base y la dimensión de T + S.
Solución:
En S: (x, y , z , t)
x + y + z + t 0
2x – y + 2z – t 0
4x + y + 4z + t 0
1 1 1 1 02 -1 2 -1 04 1 4 1 0
1 0 1 0 00 1 0 1 00 0 0 0 0
x + z 0
y + t 0
(x , -t , -x , t) x(1,0,-1,0) + t(0,-1,0,1)
(1,0,-1,0) , (0,-1,0,1)
En T:
(a+b+2c,b+c,-a+b,3b+3c) a(1,0,-1,0) + b(1,1,1,3) + c(2,1,0,3)
(1,0,-1,0) , (1,1,1,3) , (2,1,0,3)
S + T:
(1,0,0,2) , (0,1,0,-1) , (0,0,1,2)
TEOREMA
Sean U y W dos subespacios de dimensión finita de un espacio vectorial V
entonces dim (U+W)= dim (U) + dim (W) – dim (U∩W)
SUMA DIRECTA
La suma de V1 y V2 subespacios de V se llama suma directa si V1∩ V2 0, en
este caso se dice que dicha suma es directa y se denota V1V2, tanto V1 como
V2 se llaman sumandos directos.
Ejemplo:
En R3 sea U el plano xy y W el eje z, luego:
U (a, b, 0) / a, b R
W (0, 0, c) / c R
Verificar si U y W determinan una suma directa
SOLUCION
Cualquier vector (a, b, c) R3 se puede escribir como la suma de un vector
u y un vector w, es decir:
(a, b, c) (a,b,0) + (0,0,c)
1 0 -1 00 -1 0 11 0 -1 01 1 1 32 1 0 3
1 0 0 20 1 0 -10 0 1 20 0 0 00 0 0 0
En consecuencia R3 es la suma directa de U y W:
R3 U W
Ejemplo
R2se puede expresar como una suma directa de dos rectas arbitrarias, pero
distintas que pasan por el origen.
SOLUCION
Consideramos dos rectas arbitrarias que pasan por origen , dichas rectas son
subespacios de R2
L1={x (−3,7 ) tal que x ϵ R }yL2= {y (−2,5 )tal que yϵ R }
Sea (a ,b) un vector de R2 donde (a ,b )=x (−3,7 )+ y (−2,7)
a=−3 x−2 y
b=7 x+5 y
Despejando obtenemos x=−5a−2b ; y=7 a+3b
(a ,b )=(−5a−2b ) (−3,7 )+(7a+3b )(−2,5) , a y b∈ R
R2=L1+L2
Por otro lado, si (a ,b )∈ L1∩L2, entonces (a ,b )=x (−3,7) y (a ,b )= y (−2,5)
Lo cual implica que −3 x+2 y=0 y 7 x−5 y=0entonces x= y=0
L1∩L2={0 } , R2=L1⊕L2
COORDENADAS
Para indicar que [v1,v2, … ,vn] es una base del espacio vectorial definido por (V,
+, K, . ) se utiliza la notación [v], es decir cada vector “v” se puede expresar de
modo único como la combinación lineal de la base, dado que los vectores son
linealmente independientes, es decir si x V siendo x1, x2, … ,xn escalares
entonces:
x=x1 v1+ x2 v2+…+ xn vn
Respecto a la base dada el vector x V queda caracterizado por los
coeficientes de la combinación lineal.
Ejemplo: Determine las coordenadas de x=(−2,3) respecto de la base
[v ]= {(1,1 ) , (1,0)}Solucion
x=(−2,3 )=α (1,1 )+β (1,0) , resolviendo α=3 , β=−5 , luego x [v ]=( 3−5) las
coordenadas de x relativas a la base dada son 3 y -5
PROBLEMAS RESUELTOS
1. En el espacio P2 de los polinomios de grado ≤3, verifique si los siguientes polinomios son linealmente independientes o linealmente dependientes
P(X)=x3-3x2-5x+1, Q(X)=-x3-x2+5x+2, R(X)=-x3-7x2+4x
SOLUCION Formamos una combinación lineal e igualamos a cero.
aP(X)+bQ(X)+cR(X)=0x3+0x2+0x+0→a(x3-3x2-5x+1)+b(-x3-x2+5x+2)+c(-x3-7x2+4x)=0x3+0x2+0x+0→(a-b-c)x3+(-3a-b-7c)x2+(-5a+5b+4c)x+(a+2b)= 0x3+0x2+0x+0
Comparando:
a-b-c=0 -3a-b-7c=0 -5a+5b+4c=0 a+2b+0c=0
Resolvemos con la matriz ampliada:
(1 −1 −1 0−3 −1 −7 0−5 5 4 01 2 0 0
)→(1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 0
)Como r(A)=r(Ab)=n=3 ⇒el sistema es compatible, solución única.
∴a=b=c=0, e deduce que los polinomios P(X), Q(X) y R(X) forman un conjunto linealmente independiente.
2. Determine un base tal que en R2 un vector e encuentre en la recta L={x-y+z=0, 2x-z=0} y otros dos en el plano x+y+z=0
SOLUCION
Un vector de la base se encuentra en la recta L={x-y+z=0, 2x-z=0}
→x-y+z=0 y 2x-z=0 ⇒ x=t, y=3t y z=2t donde t es un parámetro.
entonces la recta está dada por L={(t;3t;2t)} → (t;3t;2t)= t(1;3;2); entonces (1;3;2) es vector contenido en L.
Dos vectores de la base se encuentran en P: x+y+z=0, si x=s y y=t
⇒ P:{(s;t;-s-t)}⇒P:{s(1;0;-1)+t(0;1;-1)}
Solo queda demostrar que el conjunto B= {(1; 3; 2), (1;0;-1),(0;1;-1)} es linealmente independiente.
→a(1;3;2)+b(1;0;-1)+c(0;1;-1)=(0;0;0) → (a+b;3a+c;2a-b-c)=(0;0;0)
Comparando
→a+b=0; 3a+c=0; 2a-b-c=0, resolvemos con la matriz ampliada:
(1 1 0 03 0 1 02 −1 −1 0 )→(1 0 0 0
0 1 0 00 0 1 0 ), comor(A)=r(Ab)=n=3⇒el sistema es
compatible, solución única.
→ a=0, b=0 y c=0
∴ La base es B={(1;3;2),(1;0;-1),(0;1;-1)}
3. Dado el conjunto de matrices B, indique si determinan una base.
i) B={(1 00 0 ) ;(
1 10 0 ) ;(
1 11 0 );(
0 00 1 )} 2i) B={
(1 00 1 ) ;(
−1 −11 0 )
;(1 01 0 );(
1 10 1 )}
SOLUCION
Para saber si B determina una base se debe demostrar
a) Si el conjunto es LIb) Si el conjunto genera A2x2
Demostración de a)
a(1 00 0 )+b
(1 10 0 )+c
(1 11 0 )+d
(0 00 1 )=(
0 00 0 )
→(a+b+c b+c
c d )=(0 00 0 ) , por comparación:
→a+b+c=0; b+c=0; c=0 y d=0
Resolviendo: a=b=c=d=0 ∴El conjunto es linealmente independiente.
Demostración de b)
a(1 00 0 )+b
(1 10 0 )+c
(1 11 0 )+d
(0 00 1 )=(
m np q )
→(a+b+c b+c
c d )=(m np q ); por comparación:
→a+b+c=m; b+c=n; c=p y d=q, resolviendo con la matriz ampliada:
(1 1 1 0 m0 1 1 0 n0 0 1 0 p0 0 0 1 q
)→(1 0 0 0 m−n0 1 0 0 n−p0 0 1 0 p0 0 0 1 q
), comor(A)=r(Ab)=n=4⇒el sistema es
compatible, solución única.
∴El conjunto si genera a A2x2
⇒El conjunto si es una base.
2i) B={(1 00 1 ) ;(
−1 −11 0 )
;(1 01 0 );(
1 10 1 )}, utilizando un procedimiento análogo al
anterior.
Demostración de a)
a(1 00 0 )+b
(1 10 0 )+c
(1 11 0 )+d
(0 00 1 )=(
0 00 0 )
→(a−b+c+d −b+d
b+c a+d )=(0 00 0 ) , por comparación:
→a-b+c+d=0; -b+d=0; b+c=0 y a+d=0
Resolviendo: a=b=c=d=0 ∴El conjunto es linealmente independiente.
Demostración de b)
a(1 00 0 )+b
(1 10 0 )+c
(1 11 0 )+d
(0 00 1 )=(
m np q )
→(a−b+c+d −b+d
b+c a+d )=(m np q ), por comparación:
→a-b+c+d=m; -b+d=n; b+c=p y a+d=q, resolviendo con la matriz ampliada:
(1 −1 1 1 m0 −1 0 1 n0 1 1 0 p1 0 0 1 q
)→(1 0 0 0 m /2−n−p /2+q/20 1 0 0 −m /2+ p /2+q/20 0 1 0 m /2+n+ p/2−q/20 0 0 1 −m /2+n+ p/2+q /2
)comor(A)=r(Ab)=n=4
⇒el sistema es compatible, solución única.
∴El conjunto si genera a A2x2
⇒El conjunto si es una base.
4. A) Extender el conjunto S={(1;1;-1;1),(1;1;0;1),(1;2;1;1)} para que formen una base de R4
B) si V es un espacio vectorial de dimensión 1. ¿Cómo son sus bases?
SOLUCION
A) La base pedida será S={(1;1;-1;1),(1;1;0;1),(1;2;1;1);(m;n;p;q)}
Primero demostraremos que el conjunto S es LI
a(1;1;-1;1)+b(1;1;0;1)+c(1;2;1;1)+d(m;n;p;q)=(0;0;0;0)
→(a+b+c+md;a+b+2c+nd;-a+c+pd;a+b+c+qd)=(0;0;0;0), por comparación
→ a+b+c+md=0; a+b+2c+nd=0; -a+c+pd=0 y a+b+c+qd=0; resolviendo con la matriz ampliada
(1 1 1 m 01 1 2 n 0−1 0 1 p 01 1 1 q 0
)→(1 0 0 −m+n−p 00 1 0 −3m−2n+ p 00 0 1 −m+n 00 0 0 −m+q 0
)Pero para que tenga la forma que nos conviene hacemos:
-m+n-p=0; -3m-2n+p=0; -m+n=0 y –m+q=1, resolviendo con la matriz ampliada
(−1 1 −1 0 0−3 −2 1 0 0−1 1 0 0 0−1 0 0 1 0
)→(1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 1
), luego m=n=p=0 y q=1
Rpta: La base será S={(1;1;-1;1),(1;1;0;1),(1;2;1;1);(0;0;0;1)}
B) Se sabe que la dimensión de una base viene dado por la cantidad de elementos de la base.
Si dim=1 ⇒La base solo tiene un elemento. Todas las bases del espacio vectorial deben ser equivalentes( es decir, multiplicados por un escalar)
Rpta: Las bases son conjuntos cuyos únicos elementos resulta de la multiplicación escalar del elemento de otra base.
5. Sean los subespacios del espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2
U={(x yz t ) tal que x-y+z-t=0}; V={
(x yz t ) , tal que x=λ, y=-λ, z=μ, t=-μ}; W{
(1 00 −1 ); (
1 11 1 )}
SOLUCION
En el conjunto U notamos: t=x-y+z, reemplazamos U={(x yz x− y+z )}
separamos según nos convenga: (x yz x− y+z )=x
(1 00 1 )+y
(0 10 −1 )+z
(0 01 1 )
⇒Una base de U es {(1 00 1 ) ;(
0 10 −1 );(
0 01 1 )}; dim(U)= 3
En el conjunto V notamos: v={( λ −λμ −μ )} separamos según nos convenga:
( λ −λμ −μ )=λ
(1 −10 0 )
+μ(0 01 −1 )
⇒Una base de V es {(1 −10 0 )
;(0 01 −1 )}; dim(V)= 2
En el conjunto W se debe verificar que sus elementos son linealmente independientes
→a(1 00 −1 )+b
(1 11 1 )=(
0 00 0 )→(a+b b
b −a+b )=(0 00 0 )
Comparando: a+b=0; b=0 y –a+b=0; resolviendo: a=b=0
Verifiquemos si genera a A2x2:
a(1 00 −1 )+b
(1 11 1 )=(
m np q )→(a+b b
b −a+b )=(m np q )
Comparando: a+b=m; b=n; b=p y –a+b=q
Resolviendo con la matriz ampliada:
[ 1 1 m0 1 n0 1 p−1 1 q
]→[1 0 m−n0 1 n0 0 p−n0 0 (m+q )/2−n
]; luego r(A)≠r(Ab); el sistema es
incompatible
⇒el conjunto W no es una base de A2x2
6. Dados los subespacios vectoriales de R3, s={(a;2a;a+b) tal que a y b R}, T={(x;y;z) tal que x=0, y=0}. Calcular una base y dimensión de ST, S+T
SOLUCION
ParaSᴒT: (a;2a;a+b)=(0;0;z), resolviendo a=0 y b=z ambos pertenecen a los reales
→SᴒT={(0;0;z)}, notamos
(0;0;z)=z(0;0;1)
⇒Una base de SᴒT es {(0;0;1)}, entonces dim(SᴒT)= 1
Para S+T
→S+T={(a;2a;a+b+z)} pero notamos:
(a;2a;a+b+z)=a(1:2:1)+(b+z)(0;0;1), entonces dim(S+T)=2
7.-Indique si los siguientes subconjuntos son espacios vectoriales: S={(x;y) tal que X≥0 y y≥0} de R2; T={(x;y)tal que ex+y=0}; W={(x;y;z) tal que x2+y2+z=0}
SOL:
Para que S sea un subespacio vectorial debe ser cerrada sobre la suma y la multiplicación escalar. Sean u y v que pertenecen a S.
u=(u1;u2) y v=(v1;v2) → u1;u2;v1;v2≥0→u1+v1≥0 y u2+v2≥0
→u+v=(u1+v1;u2+v2) pertenece a S
Sea k un escalar cualquiera →ku=k(u1;u2)=(ku1;ku2); pero si k≤0 ⇒ ku1≤0 yku2≤0
⇒ ku no pertenece a S
∴S no es un subespacio vectorial.
Para que T sea un subespacio vectorial debe ser cerrada sobre la suma y la multiplicación escalar. Sean u y v que pertenecen a T.
u=(u;eu) y v=(v;ev)
→u+v=(u+v;eu+ev), pero este vector no pertenece a T
∴T no es un subespacio vectorial.
Para que W sea un subespacio vectorial debe ser cerrada sobre la suma y la multiplicación escalar. Sean u y v que pertenecen a W.
u=(u1;u2;-u12-u2
2) y v=(v1;v2;-v12-v2
2)
→u+v=(u1+v1;u2+v2;-u12-u2
2-v12-v2
2), pero este vector no pertenece a W
∴W no es un subespacio vectorial.
8. Sea A=(5 0 01 5 00 1 5 ), para qu valores de X existe un escalar “a” tal que
AX=aX. Donde X es una matriz columna.
SOLUCION
AX=aX→ AX=aIX donde “I” es la matriz identidad
→(A-aI)X=0
→A-aI=(5−a 0 0
1 5−a 00 1 5−a ), formando la mtriz ampliada
→(5−a 0 0 0
1 5−a 0 00 1 5−a 0 )→(1 0 0 0
1 5−a 0 00 1 5−a 0 ) ;
si a≠5
→(1 0 0 00 1 0 00 0 1 0 ), esto genera una solución trivial.
Si a=5
→(1 0 0 01 0 0 00 1 0 0 ), este sistema tiene infinitas soluciones.
∴X(00m)
si a=5; X=(000 ) si a≠5
9. A) Determine una base y la dimensión para el conjunto W definido por las matrices simétricas de orden 2.
B) Averiguar si la matriz A=( 1 a b−a 1 c−b −c 1 ) es no singular.
SOL:
A) Sea W={(a cc b )ϵ M2x2 tal que a,b,cϵ R}; separamos la matriz
convenientemente
(a cc b )=a
(1 00 0 )+b
(0 00 1 )+c
(0 11 0 )
Además se prueba que {(1 00 0 ) ;(
0 00 1 ) ;(
0 11 0 )} son LI
⇒una base de W es {(1 00 0 ) ;(
0 00 1 ) ;(
0 11 0 )}; dim(W)= 3
B) A es singular si det(A)=0
Aplicando menores y cofactores a la f1
Det(A)=1(1+c2)-a(-a+bc)+b(ac+b)=1+a2+b2+c2 y esta expresión obviamente es mayor que 1
∴A es no singular.
10. Resolver el sistema XTB=XT; donde B=( 0 1 /2 1/21/3 1/3 1/31/ 4 0 3 /4 ).
SOLUCION
(XTB)T= (XT)T
→ BTX=X →(BT-I)X=0
→BT-I=(−1 1 /3 1/41/2 −2 /3 01/2 1 /3 −1/4 ), formando la matriz ampliada
(−1 1 /3 1/4 01/2 −2 /3 0 01/2 1 /3 −1/4 0 )→(1 −4 /3 0 0
0 1 −1/4 00 0 0 0 ) resolviendo el sistema.
X1=(4/3)t; x2=t y x3=4t
∴X=((4 /3) tt
4 t ), donde “t” es un parámetro lo cual no indica que hay infinitas
soluciones.
11.-Dados los subespacios vectoriales en R3. U={(x;y;z)ϵ R3 tal que x+y=0} y
W={(x;y;z)ϵR3 tal que y-z=0}.Determina una base y dimensión de UᴒW, UᴗW, U+W.
SOLUCION
Sea u ϵ U →u=(x;-x;z)=x(1;-1;0)+z(0;0;1) → Una base de U es {(1;-1;0);(0;0;1)}, dim(U)= 2
Sea wϵ W →w=(x;y;y)=x(1;0;0)+y(0;1;1) →Una base de W es {(1;0;0);(0;1;1)}; dim(W)=2
i) UᴒW :(x;-x;z)= (x;y;y) →x=-y=y → x=0 → (0;0;0)
Una base (UᴒW) es {(0;0;0)}; entonces dim(UᴒW)=0
ii) UᴗW: (x;-x;z) y (x;y;y); sea a=(3;-3;1) ϵUᴗW y b=(-3;1;1) ϵUᴗW
→a+b=(0;-2;2) no pertenece a UᴗW
⇒UᴗW no es un espacio vectorial. ∴no tiene base.
iii)U+W: aϵ U y bϵ W → m(1;-1;0)+n(0;0;1)+p(1;0;0)+q(0;1;1)=0
→( 1 0 1 0 0−1 0 0 1 00 1 0 1 0 )→(1 0 1 1 0
0 1 0 0 00 0 1 0 0 ) el sistema presenta solución única ,
entonces las vectores son LI
Una base de UᴗW es {(1;-1;0);(0;0;1);(0;0;1);(0;1;1)}. Dim(UᴗW)=4
12.- En R4 sean los vectores u=(1;0;-1;2); v=(λ;-1;0;1) y w=(0;λ;-1;1). Para que valores de λ el conjunto {u;v;w} es LD.
SOLUCION
Analizamos la independencia o dependencia lineal.
a.u+b.v+c.w=0 → a(1;0;-1;2)+b(λ;-1;0;1)+c(0;λ;-1;1)=0; formando la matriz ampliada.
(1 λ 0 00 −1 λ 0−1 0 −1 02 1 1 0
)→(1 1 0 00 1 −1 00 0 λ−1 00 0 0 0
); si analizamos λ=1
→R(A)=2<n=3; entonces presenta infinitas soluciones para λ=1. LD
13. Sean los subespacios S={(x;y;t;z) ϵ R4 tal que –x+y=0 y t=z} y T={(x;y;t;z) ϵ R4 tal que x=ay-at y z=-ay+at}. Determine las bases y la dimensión se S; T; SᴒT; SᴗT. Hallar “a” para que S+T tenga dimensión 3 y con “a” determine una base para SᴒT
SOLUCION
Sea s=(x;y;t;z)=(x;x;z;z)= x(1;1;0;0)+(0;0;1;1)
→Una base de S es {(1;1;0;0);(0;0;1;1)}, →dim(S)=2
Sea t=(x;y;t;z)=(ay-at;y;-ay+at;t)=y(a;1;-a;0)+t(-a;0;a;1)
→Una base de T es {(a;1;-a;0);(-a;0;a;1)}, →dim(T)=2
SᴒT: (x;x;z;z)= (ay-at;y;-ay+at;t)
→ resolviendo x=y=-z →(x;x;-x;-x)=x(1;1;-1;-1)
Una base de SᴒT es {(1;1;-1;-1)} →dim(SᴒT)=1
SᴗT: {(x;x;z;z) o (ay-at;y;-ay+at;t)} si a=(2;2;1;1) ϵSᴗTy b=(a+2;4;1-a;19)ϵ SᴗT
→a+b=(a+2;4;1-2;2), pero este vector no pertenece a SᴗT∴SᴗT no es espacio vectorial.
→dim(S+T)= dim(S) +dim(T)-dim(SᴗT)→ dim(S+T)= 3
S+T: m(1;1;0;0)+n(0;0;1;1)+p(a;1;-a:0)+ q(-a;0;a;1), se construye la matriz ampliada.
(1 0 a −a 01 0 1 0 00 1 −a a 00 1 0 1 0
); por lo menos uno debe ser dependiente →det(A)=0
Det(A)=
|0 1 01 −a a1 0 1
|-
|0 a −a1 −a a1 0 1
|=-(1-a)-a(1-a)-a2=-1+2a=0
∴ a=1/2
Problemas Resueltos
1. En el espacio P3de los polinomios de grado ≤ 3, verifique si los
siguientes polinomios son linealmente independientes o
linealmente dependientes
P(x)=x ³−3 x ²+5 x+1 ,Q(x)=x ³−x ²+6 x+2 ,R( x)=x ³−7 x ²+4 x
Planteamos la combinación lineal
0=α 1 (x3−3 x2+5x+1 )+α2 (x3−x2+6x+2 )+α3 (x3−7 x2+4 x )
0=β3 (α1+α 2+α3 )−β2 (3α 1+α2+7α 3 )+β (5α ¿¿1+6α2+4α 3)+(α1+2α 2)¿
Igualando coeficientes
α 1+α2+α3=0
3α 1+α2+7α 3=0
5α 1+6 α2+4α 3=0
α 1+2α2=0
Llevando a una matriz.
(1 1351
162
1 0740
000)→(
0 0001
0−12
0 0210
000)
Dando forma escalonada a la matriz se obtiene que:
2α 3=0
−α 2+α3=0
α 1+2α2=0
¿>α3=0 yα 2=0 y α 1=0
Se cumple que son Linealmente Independientes.
2. Determine una base tal que en R3 un vector se encuentre en la
recta L =
{x− y+z=0;2 x−z=0 }y otros dos en el plano π : x+ y+z=0
Elegimos un vector (x,y,z)
( x , y , z )=( x ,3 x ,2 x )=x (1,3,2 )→Base en larecta {(1,3,2)}
( x , y , z )=(− y−z , y , z )= y (−1,1,0 )+z (−1,0,1 )→Baseenel plano {(−1,1,0 ) , (−1,0,1)}
Una base será {(1,3,2 ) , (−1,1,0 ) ,(−1,0,1)}
3. Dado el conjunto de matrices B, indique si determinan una base
i) B = {(1 00 0) ,(1 1
0 0) ,(1 11 0) ,(0 0
0 1)}Para ser bases deben ser L.I.
(0 00 0)=α1(1 0
0 0)+α 2(1 10 0)+α3(1 1
1 0)+α 4(0 10 0)
α 1+α2+α3=0
α 2+α3=0
α 3=0
α 4=0
¿>α¿=α 3=α 4=0∴si , determinanunabase deB1¿
2i) B= {(1 00 1) ,(−1 −1
1 0 ) ,(1 01 0) ,(1 1
0 1)}
(0 00 0)=β1(1 0
0 1)+β2(−1 −10 0 )+β3(1 0
1 0)+β 4(1 10 1)
β1−β2+ β3+β4=0
−β2+ β3=0
β2+ β3=0
β1+ β4=0
Llevando a una matriz
(1 −1001
−110
1 1 0010
1 00 01 0
)→(0 0−101
010
1 0 0110
0 00 01 0
)Dando forma escalonada a la matriz se obtiene que:
β3=0
β3=β1=0
β2+ β3=0
β1+ β4=0
¿>β1=β2=β3=β4=0∴ si , determinanunabase de B2
4. A) Extender el conjunto S={(1,1 ,−1,1 ) , (1,1,0,1 ) ,(1,2,1,1) } para que
formen una base de R4
S=a (1,1 ,−1,1 )+b (1,1,0 ,−1 )+c (1 ,−2,1,1 )
S= (a+b+c ; a+b−2c ;−a+c ;a+b+c )
S= (a+b+c ) (1 ;0 ;0 ;1 )+(a+b−2c ) (0 ;1 ;0 ;0 )+(−a+c)(0;0 ;1 ;0)
R4=S={(1 ;0 ;0 ;1 ) , (0 ;1 ;0 ;0 ) , (0 ;0 ;1 ;0 ) }
5. Sean los subespacios del espacio vectorial de las matrices
cuadradas de orden 2
U={(x yz t ) tal que x− y+z−t=0}
V={(x yz t ) tal que x= λ , y=−λ , z=μ , t=−μ}
W={(1 00 −1) ,(1 1
1 1)} .Calcular la base y dimensión de U,V ,W ,U∩
W,U+W
Solución
U :
U= y (1 10 0)+z (−1 0
1 0)+t (1 00 1)
U={(1 10 0) ,(−1 0
1 0) ,(1 00 1)}=¿dim (U )=3
V :
V=α(1 −10 0 )+β (0 0
1 −1)
V={(1 −10 0 ) ,(0 0
1 −1)}=¿dim (V )=2
W :
W={(1 00 −1),(2 1
1 0)}=¿dim (W )=2
U∩W :
(a bc d )=α1(1 1
0 0)+α 2(−1 01 0)+α3(1 1
0 1)=β1(1 10 −1)+β2(2 1
1 0)
a=α 1−α 2+α3=β1+2 β2
b=α 1=β2
c=α2=β2
d=α3=−β1
¿>U∩W={(1 11 1)};dim (U∩W )=1
U+W :
a (1 10 0)+b(−1 0
1 0)+c (1 10 1)+d (1 1
0 −1)+e(2 11 0)=(0 0
0 0)
U+W=(a−b+c+d+2e a+eb+e c−d)
¿>U+W={(1 00 0) ,(0 1
0 0) ,(0 01 0) ,(0 0
0 1)}=¿dim (U+W )=4
6. Dados los subespacios vectoriales de R3
S={(a ,2a ,a+b ) tal quea y bϵ R } , T¿ {( x , y , z ) ϵ R3 tal que x=0 , y=0}
Determine una base y la dimensión de S∩T , S+T
Solución
S=a (1,2,1 )+b (0,0,1 )=¿ S={(1,2,1 ) , (0,0,1 ) }=¿ dim (S )=2
T=(0,0 , x )=x (0,0,1)=¿T={(0,0,1 ) }=¿dim (T )=1
S∩T : (a ,b , c )=α1 (1,2,1 )+α 2 (0,0,1 )=β1 (0,0,1 )
a=α 1=0
b=2α1=0
c=α1+α 2=β1
¿>S∩T= {(0,0,1 ) }=¿dim (S∩T )=1
S+T :
S+T=(1 2 10 0 10 0 1)=(1 2 0
0 0 10 0 0)
S+T= {(1,2,1 ) , (0,0,1 ) }=¿dim (S+T )=2
7. Indique si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales
S={( x , y ) ϵ R2 talque x≥0 , y≥0 } de R2; T={( x , y ) ϵ R2 talqueex+ y=0 } de R2,
W¿ {( x , y , z ) ϵ R3 talquex ²+ y ²+z=0 } de R3
∀u∈S ,∃−u∈S /u+(−u )=0
Seau=(3,3 )∈S
¿> (3,3 )+ (−u )=0
(−u )=(−3 ,−3 )∋S=¿Noes subespaciovectorial de R2
∃!0∈T /0+a=a ,a∈T
Seaa=(x ,−ex)
0+(x ,−ex )=(x ,−ex)
0=(0 ,0 )∋T=¿Noesunsubespacio vectorial de R2
∀w∈W ,θ∈ R ,θ∈θw∈W
W={x , y ,−(x2+ y2) }
θw=2( x , y ,−(x2+ y2 ))=(2 x ,2 y ,−(2 x2+2 y2 ))
θw=(2 x ,2 y ,−(2 x2+2 y2 ))
No tiene la forma(A , B ,−( A2+B2 ))
¿>Noes subespacio vectorial de R2
8. Sea A =(5 0 01 5 00 1 5) para que valores de X existe un escalar “a” tal
que AX=Ax donde X es una matriz columna.
X=(mnp )AX=ax
(5 0 01 5 00 1 5)x (
mnp )=a(mnp )
( 5mm+5nn+5 p )=(amanap )5m=am… (1 )
m+5n=an… (2 )
n+5 p=ap…(3)
De (1 )→a=5… (4 )
(4 ) en(2)
m+5n=5 a=¿m=0
(4 ) en(3)
n+5 p=5 p=¿n=0
X={(00p) / p∈R}
9. A) Determine una base y la dimensión para el conjunto W,
definido por las matrices Simétricas de orden 2.
w={(a mb m)/a ,b ,m,n∈R }
w=a (1 00 0)+m(0 1
1 0)+b(0 00 1)
α (1 00 0)+β (0 1
1 0)+γ (0 00 1)=(0 0
0 0)
α=β=γ=0=¿ES L . I .
{(1 00 0);(0 1
1 0);(0 00 1)}es unabasedeW
¿>Dim (W )=3
B) Averigüe si la matriz A= [ 1 a b−a 1 c−b −c 1 ] es no singular
|A|=¿1 a b−a 1 c−b −c 1
∨¿1| 1 c−c 1|+a| a b
−c 1|+(−b)|a b1 c|
|A|=1 (1+c2 )+a (a+cb )−b(ac−b)
|A|=1+c2+a2+abc−abc+b2
|A|=1+a2+b2+c2>0
|A|>0=¿esno singular
11. Dados los subespacios vectoriales de R3
U={( x , y , z )∈R3tal que x+ y=0} ,W={( x , y , z )∈ R3 tal que y−z=0 }
Determine una base y dimensión de U∩W ,U∪W ,U +W , ¿Es U⊕W=R3?
U=( x , y , z )=(− y , y , z )=(− y , y ,0 )+ (0,0 , z )= y (−1,1,0 )+z (0,0,1 )=¿ {(−1,1,0 ) , ( 0,0,1 ) }=¿Es L . I ., es unabasedeU
W=( x , y , z)=( x , y , y )=( x ,0,0 )+ (0 , y , y )=x (1,0,0 )+ y (0,1,1 )=¿ {(1,0,0 ) , (0,1,1 ) }=¿Es L. I . , esunabase deW
U+W
(−1 1010
001
0¿
101¿)→(
0 1010
000
0¿
101¿)
{(0,1,0 ) , (0,0,1 ) , (1,0,0 ) }→Esunabase deU+W y su dimensión es3
Si se sabeque=¿dim (U+W )=dim (U )+dim (W )−dim (U∩W )
→Ladimensión y base deU∪W esigualaU+W
U∩W
SeaV ϵU ∩W=¿V ϵU y V ϵW
V= (a ,b , c )=α 1 (−1,1,0 )+α2 (0,0,1 )=β1 (1,0,0 )+ β2(0,1,1)
−α 1=β1; α1=β2 ;α2=β2=¿α2=α1
V=α1 (−1,1,0 )+α 1 (0,0,1 )=α 1 (−1,1,1 )= {(−1,1,1 ) }esunabase y sudimensión es1.
ComoU ∩W ≠0=¿U⊕W noexiste∄
12. En R4 sean los vectores u=(1,0 ,−1,2 ) , v=( λ ,−1,0,1 ) ,w=(0 , λ ,−1,1)
Para que valores de λ el conjunto {u , v ,w } es LD
Para que U,V,W sean LD deben formar una combinación lineal y tener una
solución no trivial.
αU +βV +γW=0
α (1,0 ,−1,2 )+β (θ ,−1,0,1 )+γ (0 ,θ ,−1,1 )=(0,0,0,0)
α+θβ=0
−β+θγ=0
−α−γ=0
2α+ β+γ=0
Llevando a una matriz.
(1 θ0−12
−101
0 0θ−11
000)
Llevando a la forma de la matriz escalonada.
(1 θ000
−1θ
1−θ
0 0θ−10
000)
Paraθ=1
(1 1000
−110
0 01−10
000)→(
1 1000
−100
0 0100
000)
γ=b ;β=b ;α=−b=¿ Es L. D .
13. Sean los subespacios
S={(x , y ,t , z )∈ R4 tal que−x+ y=0 ,t=z }
T={(x , y , t , z)∈R4 tal que x=ay−at , z=−ay+at }
Determine una base y la dimensión de S ,T ,S ∩T ,S∪T ,
Hallar a paraque S+T tenga dimensión 3 y con a determine una base
para S∩T .
S= ( x , y ,t , z )=( x , x ,t ,t )=( x , x ,0,0 )+(0,0 , t ,t )=x (1,1,0,0 )+t (0,0,1,1 )=¿ {(1,1,0,0 ) , ( 0,0,1,1 ) }
¿>Esunabase de S y dedimensión2
T=( x , y , t , z )=(ay−at , y , t , at−ay )=(ay , y ,0 ,−ay )+(−at ,0 ,t , at )= y (a ,1,0 ,−a )+t (−a ,0,1 , a )=¿{ (a ,1,0 ,−a ) , (−a ,0,1 , a ) }
¿>Esunabase deT yde dimensión2
Llevando a una matriz y a continuación dándole forma escalonada
(1 10a
−a
010
0 0101
1−aa)→(
1 1002
−11−2a
1
0 0001
100)
Paraque tenga dimensión3=¿1−2a=0=¿a=1 /2
SeaV ϵ S∩T
V= (p ,q ,r )=α 1 (1,1,0,0 )+α2 (0,0,1,1 )=β1 (1,2,0 ,−1 )+ β2 (−1,0,2,1 )
α 1=β1−β2; α1=2 β1;α 2=2 β2;α 2=β2−β1=¿α 1=−α 2
V=α1 (1,1,0,0 )−α1 (0,0,1,1 )=α 1 (1,1 ,−1 ,−1 )=¿ {(1,1 ,−1 ,−1 ) }esunabase deS ∩T
PRODUCTO INTERNOSea V un espacio vectorial, un producto interno o producto escalar sobre V es una aplicación donde se verifica:
1. ⟨au+bv ,w ⟩=a ⟨u ,w ⟩+b ⟨ v ,w ⟩2. ⟨u , v ⟩= ⟨ v ,u ⟩3. ⟨u ,u ⟩≥0 , ∀u∈V ; ⟨u ,u ⟩=0↔u=0dondeu , v ,w son vectores y a ,b sonescalares
Un espacio vectorial necesita de una métrica, el producto interno garantiza una métrica en un espacio vectorial, el símbolo ⟨ x , y ⟩ se lee producto interno entre los vectores x e y.Todo producto interno de un espacio vectorial real asigna a cada par de vectores un único escalar real.Ejemplo: Se define sobre R2
β (x , y )=3 x1 y1+2 x1 y2+6 x2 y2+2 x2 y1
Donde x = (x1 , y1); y = (y1 , y2)
Indique si β es un producto interno.Solución: Para que β sea un producto interno se deben cumplir los axiomas:i) ⟨ x , y ⟩=⟨ y , x ⟩
⟨ x , y ⟩=3x1 y1+2x1 y2+6 x2 y2+2x2 y1
⟨ y , x ⟩=3 y1 x1+2 y1 x2+6 y2 x2+2 y2 x1
Se cumple:ii) ⟨ x+ y , z ⟩= ⟨ x , z ⟩+ ⟨ y , z ⟩ ,∀ x , y , z∈V
⟨ (x1 , x2 )+( y1 , y2 ) , ( z1 , z1 ) ⟩
¿3 (x1+ y1) z1+2 ( x1+ y1 ) z2+6(x2+ y2) z2+2 (x2+ y1 ) z1
¿ (3 x1 z1+2x1 z2+6 x2 z2+2 x2 z1 )+(3 y1 z1+2 y1 z2+6 y2 z2+2 y1 z1 )
¿ ⟨ (x1 , x2 ) , ( z1 , z2) ⟩+ ⟨ ( y1 , y2 ) , ( z1 , z2 )⟩
¿ ⟨ x , z ⟩+⟨ y , z ⟩
iii) ⟨ax , y ⟩=a ⟨ x , y ⟩ , ∀ x , y ϵ R ,a ϵ R
⟨a (x1 , x2 ) , ( y1 , y2 ) ⟩+ ⟨(a x1, ax2 ) , ( y1, y2 )⟩3a x1 y1+2a x1 y+6 ax2 y2+2a x2 y1
a (3 x1 y1+2 x1 y+6 x2 y2+2 x2 y1 )=a ⟨ x , y ⟩iv) ⟨ x , x ⟩≥0∀ xϵV ; ⟨ x , x ⟩=0⟺ x=0
⟨ x , x ⟩=3 x12+2x1 x2+6 x2
2+2x2 x1=3 x12+4 x1 x2+6 x2
2=(x12+4 x2
2 )¿ (2 x1
2+4 x1 x2+2 x22 )=(x1
2+4 x22 )+2 (x1+x1 )
2≥0v) ⟨ x , x ⟩=0⟺x=0⟹ ( x1
2+4 x22 )+2 (x1+x1 )
2=0 ;
x1¿0∧ x2=0
x=(0,0 )βes un producto internoEjemplo Indique si la expresión sobre R3,θ ( x , y , z )=x1 y1+2 x2 y2+3 x3 y3es un producto interno , donde u=(u1 , u2 ,u3) es un vector de R3Ejemplo Indique si la siguiente relación es un producto interno en R2 , donde α=(a1 , a2) , β (b1 , b2) y ⟨α , β ⟩=a1
2+b12+a1b1+a2b2DEFINICIÓN.-C – espacio vectorial con producto interno se llama espacio unitario, mientras R – espacio vectorial se llama espacio euclideo o espacio euclidiano.
ESPACIO EUCLIDIANO (o Euclideo)
Es todo espacio vectorial real con producto interno, la adjunción de un producto interno permite establecer una métrica en él, los conceptos de distancia, módulo de un vector, ángulo de dos vectores y ortogonalidad son nociones que dependen de un producto interno.Ejemplo: Sea (R2 ,+, R , . ) y lamatriz A=( 1 −2
−2 5 )La función ⟨ , ⟩ :R2 x R⟶R❑
❑ ⟨X ,Y ⟩=X t AY ¿es un producto interno?
PRUEBA:1. ⟨ X ,Y ⟩=X t AY
⟨Y , X ⟩=YtAX
(X t AY ) t=Y t A t X=Y t AXEntonces:⟨ X ,Y ⟩= ⟨Y , X ⟩
⟨ X ,Y ⟩=( x1 x2 )1 x2( 1 −2−2 5 )
2x 2( y1
y2)2 x1
=( x1−2x2 −2 x1+5x2 )1 x2( y1
y2)2x 1
¿ (x1−2 x2) y1+(−2 x1+5x2 ) y2= x1 y1−2 x2 y1−2x1 y2+5 x2 y2… (1 )
⟨Y , X ⟩=( y1 y2 )1x 2( 1 −2−2 5 )
2 x2(x1
x2)2x 1
=( y1−2 y2 −2 y1+5 y2 )1x 2( x1
x2)2x 1
¿ ( y1−2 y2 ) x1+(−2 y1+5 y2 ) x2= y1 x1−2 y2 x1−2 y1 x2+5 y2 x2… (2 )
2. ⟨ X+Y ,Z ⟩=(X+Y )t AZ=(X t+Y t ) AZ=X t AZ+Y t AZ¿ ⟨ X ,Z ⟩+ ⟨Y ,Z ⟩
3. ⟨∝ X ,Y ⟩=(∝X )t AY=∝X t AY=∝ ⟨ X ,Y ⟩
4. ⟨ X , X ⟩≥0⇔X t AX= (x1 x2 )( 1 −2−2 5 )(x1
x2)
¿ x12−2x1 x2−2x1 x2+5 x2
2=x12−4 x1 x2+5 x2
2=(x1−2x2 )2+x2
2≥0
⟨ X , X ⟩=0⇔X=0
(x1−2 x2)2+x2
2=0⇔x1=0 y x2=0
NORMA DE UN VECTORLa norma de un vector v que pertenece a un espacio vectorial V se define:|v|=‖v‖=√ ⟨ v , v ⟩
OBSERVACION
PRODUCTOS INTERNOS USUALES1. En el espacio vectorial de las funciones continuas sobre un intervalo acotado por a y b:
⟨ f , g ⟩=∫a
b
f ( x )g ( x )dx
2. En el espacio vectorial de las matrices de orden mxn :
⟨ A ,B ⟩=tr (A B t)
3. En el espacio vectorialRn :⟨a ,b ⟩=⟨ (a1 ,a2 ,…,an ) , (b1 , b2 ,…,bn )⟩
¿a1b1+…+anbn4. En el espacio vectorial Cn:⟨ A ,B ⟩=a1b1+a2b2+…+anbn5. En el espacio vectorial de los polinomios de grado ≤n
⟨ p ,q ⟩=p (x1 )q (x1 )+ p (x2 )q (x2 )+…+ p (xn )q (xn )
PROPIEDAD. Sea uϵ V y λ ϵ R se verifica que:
|λu|=|λ||u|
ANGULO ENTRE VECTORESSea V un espacio vectorial, sean u y v vectores de dicho espacio, existe un único θ que pertenece [0 , π ] tal que:
cosθ=⟨u , v ⟩|u||v|
A este número θ se le llama ángulo entre los vectores u y v y se denota por:θ=ang (u , v )
PROPIEDADES. ‖u‖≥0
. ‖u‖=0⟺u=0
. ‖∝u‖=|∝|‖u‖
.‖u+v‖≤‖u‖+‖v‖(Desigualdad triangular)
. |⟨u , v ⟩|≤‖u‖‖v‖(Desigualdad deCAUCHY−SCHWARZ )
. ‖u+v‖2+‖u−v‖2=2‖u‖2+2‖v‖2(Ley del paralelogramo)
OBSERVACION. En todo espacio con producto interno, el producto interno de cualquier vector y el vector nulo es 0 : ⟨u ,0 ⟩= ⟨0 , u ⟩=0
. Si u y v son dos vectores ortogonales en un espacio euclideo V entonces la norma de‖u+v‖2=‖u‖2+‖v‖2(teoremade pitágoras)
ORTOGONALIDADSea V un espacio con producto interno, sean u y v vectores del espacio vectorial V, se dice que u y v son ortogonales si el producto interno de estos vectores es cero ( ⟨u , v ⟩=0 ) .
Dos vectores son ortogonales ⟺ su producto interno es nulo o cerox⊥ y⟺ ⟨ x , y ⟩=0
Ejemplo:Sean las funciones reales continuas f ( x )=√2
2y g (x )=√3
√2x , definidas en el
intervalo [−1 ,1 ], dichas funciones son ortogonales:⟨ √2
2, √3√2
x ⟩=∫−1
1 √22
√3√2
x dx=√32
x2
2¿−1
1 =0⟹ sonortogonales
CONJUNTO ORTOGONAL DE VECTORES Un conjunto de vectores {x1 , x2 ,…,xn } en un espacio vectorial con producto interno es ortogonal si y solo si dos vectores cualesquiera distintos son ortogonales:
{x1 , x2 ,…,xn }es ortogonal⟺ i≠ j⟹ ⟨x i , x j ⟩=0
PROPOSICIONTodo conjunto ortogonal de vectores al que no pertenece el vector nulo es L IEjemplo: {(1 ,0 ,0 ) ,(0 , 3
5,45 ) ,(0 , 4
5,−
35 )} es un conjunto ortogonal
(1 ,0 ,0 ) .(0 , 35,45 )=0
(0 , 35,
45 ) .(0 , 4
5,−3
5 )=0
(1 ,0 ,0 ) .(0 , 45,−3
5 )=0
Es un conjunto ortogonalDEFINICION.- Se dice que un conjunto es ortonormal si es ortogonal y cada vector es unitario (la norma de cada vector es la unidad).DEFINICION.-Si una base es un conjunto ortogonal, se dice que es una base ortogonal. Si una base es un conjunto ortonormal se dice que es una base ortonormal.TEOREMASea {u1 ,…,un } una base ortonormal de un espacio vectorial Rn . Sea v un vector, dicho vector se puede expresar como una combinación lineal de los vectores de la base de la manera siguiente:
v=⟨v ,u1 ⟩u1+⟨v ,u2 ⟩u2+…+ ⟨v ,un ⟩un
Ejemplo: v=(7 ,−5 ,10 )
{(1 ,0 ,0 ) ,(0 , 35,45 ) ,(0 , 4
5,−
35 )}base ortonormal
Solución:(7 ,−5 ,10 )=⟨ (7 ,−5 ,10 ) , (1 ,0 ,0 ) ⟩ (1 ,0 ,0 )+⟨ (7 ,−5 ,10 ) ,(0 , 35 ,
45 )⟩(0 , 3
5,
45 )+ ⟨(7 ,−5 ,10 ) ,(0 , 4
5,−3
5 )⟩(0 , 45,−3
5 )¿7 (1 ,0 ,0 )+5(0 , 35 ,
45 )+ (−10 )(0 , 4
5,−3
5 )DEFINICIÓN.- La proyección de un vector v sobre un vector distinto de 0 (vector nulo) se denota:
Proyu v=⟨ v ,u ⟩‖u‖‖u‖
u
PROCESO DE ORTOGONALIZACION DE GRAM-SCHMIDTSea {v1 ,…,vn } una base del espacio vectorial V , el conjunto de vectores {u1 ,…,un } definido de la siguiente manera es ortogonal:Para tener una base ortonormal, se normaliza cada uno de los vectores u1 ,…,un :
u1=v1
u2=v2−Proyu1v2
u3=v3−Proyu1v3−Proy u2
v3
⋮
un=vn−Proy u1vn−…−Proyun−1
vn
Ejemplo:Dado el conjunto {(1 ,2 ,0 ,3 ) , (4 ,0 ,5 ,8 ) , (8 ,1 ,5 ,6 ) } es L.I. en R4 , los vectores forman una base para el subespacio de 3 dimensiones de R4. Construir una base ortonormal.Solución:Sean v1=(1 ,2 ,0 ,3 ) , v2=(4 ,0 ,5 ,8 ) , v3= (8 ,1 ,5 ,6 )
Aplicando GRAM-SCHMIDTSea {u1 , u2 ,u3 } un conjunto ortogonalu1=v1=(1 ,2,0 ,3 )
u2=v2−Proyu1v2= (4 ,0 ,5 ,8 )−
⟨ ( 4 ,0 ,5 ,8 ) , (1 ,2 ,0 ,3 ) ⟩‖(1 ,2 ,0 ,3 )‖‖(1 ,2 ,0 ,3 )‖
(1,2 ,0 ,3 )=(2 ,−4 ,5 ,2 )
u3=v3−Proyu1v3−Proy u2
v3=(8 ,1 ,5 ,6 )−⟨ (8 ,1 ,5 ,6 ) , (1 ,2,0 ,3 ) ⟩‖(1 ,2 ,0 ,3 )‖‖(1 ,2 ,0 ,3 )‖
(1 ,2 ,0 ,3 )
− ⟨ (8 ,1 ,5 ,6 ) , (2 ,−4 ,5 ,2 ) ⟩‖(2 ,−4 ,5 ,2 )‖‖(2 ,−4 ,5 ,2 )‖
(2,−4 ,5 ,2 )= (8 ,1 ,5 ,6 )−(2 ,4 ,0 ,6 )−(2 ,−4 ,5 ,2 )=¿
¿(4 ,1 ,0 ,−2)
{(1 ,2 ,0 ,3 ) , (2 ,−4 ,5 ,2 ) ,(4 ,1 ,0 ,−2)} Conjunto ortogonal⟨u1 ,u2 ⟩=0 , ⟨u1 , u3 ⟩=0 , ⟨u2 , u3 ⟩=0
{( 1
√14,
2
√14,0 ,
3
√14 ) ,( 27,−
47,57,27 ) ,( 4
√21,
1
√21,0 ,−
2
√21)}Conjunto ortonormal
PROYECCIONES SOBRE SUBESPACIOS. Sea V un espacio euclideo y sea U un subespacio vectorial de V .. Se llaman ortogonal U enV →U⊥al conjunto de todos los vectores de V ortogonales a cualquiera de U .
U⊥={vϵV / ⟨u , v ⟩=0∀u∈U }
. Sea V un espacio euclideo y U un subespacio vectorial de dimensión finita, entonces todo vector vde V se puede expresar de forma única como u1+u2 , donde u1∈U y u2∈U⊥ .
. Al vector u1 se le llama “Proyección ortogonal de v sobreU” y se denota Proyu v.. El vector u2 se conoce como “Componente de v sobre ” o proyección ortogonal de v sobreU⊥ .u2=v−Proy u v
TEOREMA DE LA MEJOR APROXIMACIÓNSea V un espacio vectorial euclideo y U un subespacio vectorial de dimensión finita dado v∈V se cumple:
‖v−Proyu v‖≤‖v−u‖∀u∈U
OBSERVACIONLas series de FOURIER {1 ,cos x , sin x ,cos 2x , sin 2x ,…,cosnx ,sinnx } es un conjunto ortogonal con respecto al producto usual definido en [0 ,2π ] .
Ejemplo:Considere el vector v=(3,2,6 )∈R3 , sea W un subespacio de R3 que consta de todos los vectores (a ,b ,b ) . Descomponer v en la suma de un vector que se encuentra en W y un vector ortogonal a W .
Solución:Se necesita una base ortonormal a W , cualquier vector de W se puede expresar como (a ,b ,b )=a (1,0,0 )+b (0,1,1 )
Sea el conjunto {(1,0,0 ) , (0,1,1 ) } una base (es unconjunto L. I .)Sea {u1 , u2 } una base ortonormal
u1= (1,0,0 ) , u2=(0 , 1
√2,
1
√2 )w=Proyw v=⟨v ,u1 ⟩u1+⟨v ,u2 ⟩u2= ⟨ (3 ,2 ,6 ) , (1 ,0 ,0 ) ⟩ (1 ,0 ,0 )+⟨ (3 ,2,6 ) ,(0 , 1
√2,
1
√2 )⟩(0 , 1
√2,
1
√2 )¿ (3 ,0 ,0 )+ 8
√2 (0 , 1
√2,
1
√2 )= (3 , 4 ,4 )
w⊥=V−Proyw v=(3 ,2 ,6 )−(3 ,4 ,4 )=(0 ,−2 ,2)
Luego:(3 ,2 ,6 )=(3 ,4 ,4 )+(0 ,−2 ,2 )
Ejemplo: Sea ⟨u , v ⟩=u1 v1+3u2v2+5u3 v3
u=(u1 , u2 ,u3)
v=(v1 , v2 , v3 )
Si es un producto interno, ortonormalice por GRAM-SCHMIDT {(−1 ,1 ,−1 ) , (−1,1 ,0 ) , (3 ,0 ,0 ) }
Solución: Verificando que la expresión es un producto internoi) ⟨ x , y ⟩=⟨ y , x ⟩⟨u , v ⟩=v1+3u2 v2+5u3 v3
⟨ v ,u ⟩=v1u1+3 v2u2+5 v3u3
⟨u , v ⟩= ⟨ v ,u ⟩ii) ⟨ x+ y , z ⟩= ⟨ x , z ⟩+ ⟨ y , z ⟩⟨ (x1+ y1 , x2+ y2 , x3+ y3 ) , ( z1 , z2, z3 )⟩=(x1+ y1 ) z1+3 (x2+ y2 ) z2+5(x¿¿3+ y3)z3 ¿
x1 z1+ y1 z1+3 x2 z2+3 y2 z2+5 x3 z3+5 y3 z3=⟨ x , z ⟩+⟨ y , z ⟩iii) ⟨αx , y ⟩=α ⟨ x , y ⟩⟨α (x1 , x2 , x3 ) , ( y1 , y2 , y3 ) ⟩=α x1 y1+3∝ x2 y2+5∝ x3 z3
¿∝ (x1 y1+3x2 y2+5x3 y3 )=∝ ⟨ x , y ⟩iv) ⟨ x , x ⟩≥0
⟨ x , x ⟩=x12+3 x2
2+5 x32≥0Sea u1= (−1 ,1 ,−1 ) , u2=(−1 ,1,0 ) , u3=(3 ,0 ,0)Sea b1=u1=(−1 ,1,−1 )
b2=u2−Proyb1u1=(−1 ,1 ,0 )−
⟨u2 , b1 ⟩‖b1‖
2 b1
¿ (−1 ,1,0 )−⟨ (−1 ,1,0 ) , (−1 ,1 ,−1 ) ⟩
√|(−1 ,1 ,−1 )|2(−1 ,1 ,−1 )
b2=(−1 ,1 ,0 )− 49
(−1 ,1 ,−1 )=(−59
,59,
49 )
b3=u3−Proy b1u3−Proyb2
u3
¿ (3 ,0 ,0 )−⟨ (3 ,0 ,0 ) , (−1 ,1 ,−1 ) ⟩
√|(−1 ,1 ,−1 )|2(−1 ,1 ,−1 )−
⟨ (3 ,0 ,0 ) ,(−59
,59,
49 )⟩
√|(−59
,59,49 )|
2 (−59
,59,49 )
¿ (3 ,0 ,0 )−(−13
,13,−1
3 )+ 34 (−5
9,59,
49 )=( 35
12,
112
,23)
{(−1 ,1 ,−1 ) ,(−59
,59,
49 ) ,( 35
12,
112
,23)}
PRODUCTO INTERNO
Sea V un espacio vectorial, un producto interno o producto escalar sobre V es
una aplicación ,:V. V C que verifica:
1. au + bv, w au, w + bv, w
2. u, vv, u
3. u, u0, u V, u, u 0 u 0
Un espacio vectorial necesita de una métrica, el producto interno, llamado
también producto escalar, garantiza una métrica en un espacio vectorial.
El símbolo ¿ x , y>¿ se lee “producto interno entre los vectores x e y”. Para que
la aplicación se llame producto interno, entonces deberá cumplir los siguientes
axiomas:
i. ¿ x , y≥¿ y , x>, ∀ x , y∈V
ii. ¿ x+ y , z≥¿x , z>+¿ y , z>,∀ x , y , z∈V
iii. ¿αx , y≥α<x , y> ,∀ x , y∈V∧α∈R
iv. ¿ x , x>≥0 ,∀ x∈V ∧< x , x≥0⇔x=0∀ x∈V
Todo producto interno en un espacio vectorial real asigna a cada par de
vectores un único escalar real.
ESPACIO EUCLIDIANO
Es todo espacio vectorial real con producto interno, la adjunción de un producto
interno permite establecer una métrica en él, los conceptos de: distancia,
módulo de un vector, ortogonalidad y ángulo entre dos vectores; son nociones
que dependen de un producto interno que se establezca en un espacio
vectorial.
Ejemplo:
Se define sobre ℝ2:
β (x , y )=3 x1 y1+2 x1 y2+6 x2 y2+2 x2 y1
Donde: x=(x1 , x2 ) ; y=( y1 , y2) Indique si β es un producto interno.
Solución:
Para que β se llamado producto interno, entonces deberá cumplir los 4
axiomas.
i) ¿ x , y≥¿ y , x>, ∀ x , y∈V
.¿ (x1 , x2 ) , ( y1 , y2 )≥3 x1 y1+2 x1 y2+6 x2 y2+2 x2 y1=3 y1 x1+2 y1 x2+6 y2 x2+2 y2 x1
.¿ ( y1 , y2) , (x1 , x2 )≥3 y1 x1+2 y1 x2+6 y2 x2+2 y2 x1
ii) ¿ x+ y , z≥¿x , z>+¿ y , z>,∀ x , y , z∈V
.
¿ x+ y , z≥¿ ( x1 , x2 )+( y1 , y2 ) , ( z1 , z2)≥¿ (x1+ y1 , x2+ y2) , ( z1 , z2 )≥3 (x1+ y1 ) ( z1 )+2 (x1+ y1 ) ( z2 )+6 (x2+ y2 ) ( z2 )+2 (x2+ y2 ) ( z1 )=3x1 z1+3 y1 z1+2 x1 z2+2 y1 z2+6x2 z2+6 y2 z2+2x2 z1+2 y2 z1=¿ x , z>+¿ y , z>¿
iii) ¿αx , y≥α<x , y> ,∀ x , y∈V∧α∈R
.¿ (α x1 , α x2 ) , ( y1 y2 )≥3 α x1 y1+2α x1 x2+6α x2 y2+2α x2 y1=α< x , y>¿
iv)¿ x , x>≥0 ,∀ x∈V ∧< x , x≥0⇔x=0∀ x∈V
.
¿ (x1 , x2 ) , ( x1 , x2)>¿3x12+2 x1 x2+6x2
2+2 x1 x2=(x1+2x2 )2+2 (x1
2+ x22 )≥0∧ si x1=x2=0⇒<(x1 , x2 ) , (x1 , x2)>¿0
Ejemplo:
En (Rn ,+, R , ∙) se define:
¿ ,>:Rn×Rn→R
¿ x , y>¿ x t y
Donde: x=(x1
x2
⋮xn) , y=(
y1
y2
⋮yn). Indique si es un producto interno.
Solución:
i) ¿ x , y≥xt y=(x1 x2…xn ) (y1
y2
⋮yn)=∑i=1
n
x i y i=∑i=1
n
y i x i=( y1 y2… yn )(x1
x2
⋮xn)=¿ y , x>¿
ii) ¿ x+ y , z≥(x+ y)t z=(x t+ y t ) z=x t z+ y t z=¿ x , z>+¿ y , z>¿
iii) ¿αx , y≥(αx)t y=α x t y=α<x , y>¿
iv) ¿ x , x≥x t x=∑i=1
n
x i2≥0
PROPIEDAD
En todo espacio con producto interno, el producto interno de cualquier vector y
el vector nulo es cero.
¿0 , x≥¿ x ,0≥0
Definición
La norma de todo vector v que pertenece a V es un número real no negativo:
‖v‖=|v|=√¿v , v>¿¿
En el espacio Euclidiano Rn representa la longitud del segmento de extremo O
y v=(x1 , x2 ,…,xn) en general la distancia entre dos puntos P y Q.
ORTOGONALIDAD
Sea (V ,+, R , ∙) un espacio vectorial con producto interno, se dice que dos
vectores son ortogonales sí y sólo sí su producto interno es nulo.
ORTOGONALIDAD
Sea (V, +, R, .) un espacio vectorial con producto interno, se dice que dos
vectores son ortogonales sí y sólo sí su producto interno es nulo.
Ejemplo:
Sea el conjunto de funciones reales continuas sobre el intervalo [−1,1 ]
⟨ f , g ⟩=∫−1
1
f x gx dx
Es una función definida en dicho espacio. Indique si los polinomios √22
y √3√2
x
son ortogonales.
Solución:
Realicemos el producto interno:
⟨ √22
, √3√2
x ⟩=∫−1
1 √22
√3√2
xdx=√34
x2| 1−1
=0
Como vemos, el producto interno si es nulo, por lo tanto si son ortogonales.
PROPIEDADES
1.- Desigualdad de Schawrs
En todo espacio vectorial euclidiano se cumple que el valor absoluto del
producto interno es menor o igual que el producto d los módulos de dichos
vectores.
¿
2.- Desigualdad triangular
En todo espacio con producto interno, el modulo de la suma de dos vectores
cualquiera es menor o igual que la suma de sus módulos.
|x+ y|≤|x|+|y|
3.- Ángulo entre dos vectores
Sean x e y dos vectores no nulos en un espacio con producto interno. De la
desigualad de Schawrs:
¿
−|x||y|≤<x , y>≤|x||y|
−1≤¿ x , y> ¿|x||y|
≤1¿
Para 0≤θ≤π
cosθ=¿ x , y> ¿|x||y|
¿
→<x , y≥|x||y|cosθ
CONJUNTO ORTOGONAL DE VECTORES
Un conjunto de vectores {x1 ,…,xn } en un espacio vectorial con producto interno
es ortogonal sí y sólo sí dos vectores cualesquiera y distintos son ortogonales.
Es decir si ⟨ x i , x j ⟩=0 ∀ i≠ j /1≤ i≤ j ≤n
Proposición:
Todo conjunto ortogonal de vectores al que no pertenece el vector nulo es
linealmente independiente.
Demostración:
Sea {x1 ,…,xr } un conjunto ortogonal tal que x i≠0 ∀ i=1,2 ,…,r y sea la
combinación lineal: ∑j=1
r
α j x j=0
Entonces para cada i=1 ,2…r consideramos:
⟨∑j=1
r
α j x j , x i⟩=¿0 , x i≥0
Luego
∑j=1
r
α j ⟨x j , xi ⟩=0
Como i≠ j→ ⟨x j , x i ⟩=0, la sumatoria se reduce a un único termino que se
obtiene si i= j es decir α i ⟨x i , x i ⟩=0 siendo x i≠0 entonces ⟨ x i , x i ⟩≠0 lo que indica
que α i=0 ∀ i=1 ,2 ,…, r
Finalmente decimos que {x1 ,…,xr } es L.I.
Definición:
Un conjunto de vectores en un espacio vectorial V se dice que es un conjunto
ortogonal si cada par de vectores es ortogonal.
Se dice que es un conjunto ortonormal si es ortogonal y cada vector es unitario.
Ejemplo:
Un conjunto ortonormal es: {(1,0,0 ) ,(0 , 35 ,45 ),(0 , 45 ,−
35)} debido a que:
(1,0,0 ) ,(0 ,35,
45 ) y (0 , 4
5,−3
5) son vectores unitarios
El producto interno, tomado de dos en dos, es 0
TEOREMA:
Un conjunto ortogonal de vectores diferentes del vector nulo en un espacio
vectorial V es L.I. en consecuencia determinan una base.
DEFINICIÓN
Una base que es un conjunto ortogonal se dice que es una base ortogonal. Una
base que es un conjunto ortonormal, se dice que es una base ortonormal.
Observación
Hay muchas bases para un espacio vectorial, la base que se utilice depende
del problema en consideración, se recomienda utilizar la base más
conveniente, a menudo la base más adecuada es un conjunto ortogonal o un
conjunto ortonormal.
ALGUNAS APLICACIONES DEL PRODUCTO INTERNO PARA R2
Ejemplos
01) Una recta L que pasa por P0∈R2 y en la dirección μ⃗ ≠0 es un conjunto
L= {P0+ t μ⃗/ t∈R }Si P=P0+ t μ⃗ es un punto arbitrario de L y v⃗ es un vector ortogonal a μ⃗ tal que
μ⃗= (−b ,a ) ; v⃗=(a ,b)
Entonces ¿ (P−P0 ) , v≥¿ t μ⃗ , v⃗≥t< μ⃗ , v⃗≥0
Es decir la ecuación cartesiana de L es:
SiP= (x , y ) ,P0=(x0 , y0 ) , v=(a ,b )
¿ (x−x0 , y− y0 ) , (a ,b )>¿0
ax+by+c=0
Donde: L= {( x , y )∈ R2/ax+by+c=0}
02) DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
La distancia de un punto Q∈R2 a la recta L= {P0+ tμ /t ∈R } μ≠0 , μ=(−b ,a), es la
longitud del segmento QP, donde P∈L
d (Q ,P )=|Q−P|,
vemos que Q−P=γv, con vortogonal a μ , γ∈R
O sea Q−P /¿v de donde
P=Q−γv=(r−γa , s−γb), siendo Q=(r , s )
En la ecuación cartesiana reemplazando :a (r−γa )+b ( s−γb )+c=0
γ=ar+bs+ca2+b2
d (Q ,P )=|ar+bs+ca2+b2(a ,b)|
d (Q ,P )=|ar+bs+c|√a2+b2
03) ÁREA DEL TRIÁNGULO
h es la distancia desde el punto final del
radio vector μ a la recta L / L= {tv / t∈R }={( x , y )∈R2/– bx+ay=0} donde
w esortogonal av
h=|−bc+ad|√a2+b2
=¿¿
Dado que Área = 12h|v| , se tendrá:
Área del triangulo=12|⟨μ ,w ⟩|
04) FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Por la ley de cosenos
|μ−v|2=|u|2+|v|2−2|μ||v|cosθ
Pero |μ−v|2=⟨ (μ−v ) , (μ−v ) ⟩=|u|2+|v|2−2 ⟨μ , v ⟩
Además vemos que w esortogonal av
Luego:
cosθ=⟨μ , v ⟩|μ||v|
,|w|=|u|
senθ=cos( π2 −θ)= ⟨μ ,w ⟩|μ||v|
senθ=⟨μ ,w ⟩|μ||v|
TEOREMA
Sea {μ1 ,…, μn} una base ortonormal, sea “ν” un vector en V , el vector ν se
puede expresar como una C.L de los vectores de las base de la manera
siguiente:
ν=(ν . μ1 )μ1+ (ν .μ2 )μ2+…+ (ν .μn )μn
Es decir ν=⟨ν ,μ1 ⟩ μ1+⟨ν ,μ2 ⟩ μ2+…+ ⟨ν , μn ⟩ μn
Ejemplo:
Dado el vector ν=(7 ,−5,10) se puede trabajar como C.L de los vectores:
µ1=(1,0,0 ) , µ2=(0 ,35,
45 ) , µ3=(0 , 4
5,−35 ), que determinan una base ortonormal
donde: ν .µ1=7 , ν .µ2=5 , ν . µ3=−10.
ν=7 (1,0,0 )+5(0 , 35 ,45 )−10 (0 , 4
5,−35 )
Definición
La proyección de un vector ν sobre un vector µ≠0, denotada porProyµν se
define:
Proyµν=υ .µ
‖µ‖‖µ‖µ
PROCESO DE ORTOGONALIZACIÓN DE GRAM-SCHIMDT
Sea {ν1 ,…, νn}una base para el espacio vectorial V , el conjunto de vectores
{μ1 ,…, μn}definido de la manera siguiente es ortogonal ( ⟨µi , µ j ⟩=0 , i≠ j ) . Para
Obtener una base ortonormal de ν , se normaliza cada uno de los vectores
μ1 ,…,μnes decir:
μ1=ν1
μ2=ν2−Proyµ1ν2
μ3=ν3−Proyµ1ν3−Proyµ2
ν3
………………………………….
μn=νn−Proyµ1νn−Proyµ2
νn−…−Proyµn−1νn
Ejemplo:
El conjunto {(1,2,0,3 ) , (4,0,5,8 ) , (8,1,5,6 ) } es L.I en R4, los vectores forman una
base para el subespacio de 3 dimensiones de Vde R4. Construya una base
ortonormal para ν .
Solución:
Sean ν1=(1,2,0,3 ) , ν2=( 4,0,5,8 ) , ν3=(8,1,5,6 ), aplicando Gram-Schmidt para
construir un conjunto ortogonal.
Sea: μ1=ν1=(1,2,0,3 )
μ2=ν2−Proyµ1ν2=( 4,0,5,8 )−
ν2 . µ1
‖µ1‖‖µ1‖µ1
μ2=( 4,0,5,8 )− (4,0,5,8 ) . (1,2,0,3 )(1,2,0,3 ) . (1,2,0,3 )
(1,2,0,3 )=(2 ,−4,5,2 )
μ3=ν3−Proyµ1ν3−Proyµ2
ν3
μ3= (8,1,5,6 )− (8,1,5,6 ) . (1,2,0,3 )(1,2,0,3 ) . (1,2,0,3 )
(1,2,0,3 )− (8,1,5,6 ) . (2 ,−4,5,2 )(2 ,−4,5,2 ) . (2,−4,5,2 )
(2,−4,5,2 )
μ3= (8,1,5,6 )−(2,4,0,6 )−(2 ,−4,5,2 )=( 4,1,0 ,−2 )
El conjunto ortogonal {(1,2,0,3 ) , (2 ,−4,5,2 ) , ( 4,1,0 ,−2 ) } es una base ortogonal para
ν.
⟹{( 1
√14,
2
√14,0 ,
3
√14 ) ,( 27,−47
,57,27 ) ,( 4
√21,
1
√21,0 ,
−2
√21 )} es una base
ortonormal de ν.
LEMA:
Un conjunto ortonormal{μ1 ,…, μn} es L.I y cualquier vector "𝜈" que pertenece a
V , es tal que el vector ω=ν−⟨ν ,μ1 ⟩ μ1− ⟨ν , μ2 ⟩ μ2−…− ⟨ν ,μn ⟩μn es ortogonal a
cada uno de los μi .
OBSERVACION
Las bases ortonormales desempeñan un papel importante en las espacios con
producto interno, en el lema anterior se muestra que siempre existe una base
ortonormal.
Ejemplo
Se define el producto interno ⟨u , v ⟩= (u1 v1+3u2 v2+5u3 v3 )ortonormalice por Gram-
Schmidt la base {(−1,1 ,−1 ) , (−1,1,0 ) , (1,0,0 ) }
Para u=(u1 ,u2 , u3 ) , v=(v1 , v2 , v3)
Solución
Sea x1=(1,0,0 ) , x2=(−1,1,0 ) , x3= (−1,1,−1 )
Hacemos y1=x1=(1,0,0)
y2=x2−Proy y1x2=(−1,1,0 )−
⟨ (1,0,0 ) , (−1,1,0 ) ⟩⟨ (1,0,0 ) , (1,0,0 ) ⟩
(1,0,0 )=¿
y2=(−1,1,0 )−( (1 ) (−1 )+3 (0 ) (1 )+5 (0 ) (0 )(1 ) (1 )+3 (0 ) (0 )+5 (0 ) (0 ) ) (1,0,0 )=(0,1,0)
y3=x3−Proy y1x3−Proy y2
x3=x3−⟨x3 , y1 ⟩⟨ y1 , y1 ⟩
y1−⟨ x3 , y2 ⟩⟨ y2 , y2 ⟩
y2
y3=(−1,1 ,−1 )−( (1 ) (−1 )+3 (1 ) (0 )+5 (−1 ) (0 )(1 ) (1 )+3 (1 ) (0 )+5 (1 ) (0 ) ) (1,0,0 )−( (−1 ) (0 )+3 (1 ) (1 )+5 (−1 )(0)
(0 ) (0 )+3 (1 ) (1 )+5 (0 )(0) )(0,1,0)
y3=(−1,1 ,−1 )+ (1,0,0 )−(0,1,0 )=(0,0 ,−1)
La base ortonormal es {(1,0,0 ) , (0,1,0 ) ,(0,0 ,−1)}
TEOREMA
Sea {ν1 ,…, νn} una base arbitraria con producto interno ν entonces existe una
base ortonormal {μ1 ,…, μn} de ν talque la matriz de transición de {ν i }a {μi } es
triangular para i=1 ,…. ,n. Se cumple:
μi=ai1 ν1+ai2 ν2+…+a iiν i
Prueba:
Consideremos μ1=ν1
‖ν1‖ entonces {μ1 } es ortonormal, luego consideramos un
ω2=ν2−⟨ν2 , μ1 ⟩ μ1 , μ2=ω2
‖ω2‖⟹ω2 es ortogonal a μ1 , entonces {μ1 , μ2} es
ortogonal.
Por el lema ω2 es ortogonal a μ1 , entonces {μ1 , μ2 } es un conjunto ortogonal.
ω3=ν3−⟨ν3 , μ1 ⟩μ1−⟨ν3 , μ2 ⟩ μ2 , tal queμ3=ω3
‖ω3‖ , nuevamente por el lema ω3 es
ortogonal, en general al obtener {μ1 ,…, μn} consideramos los siguiente:
ωi+1=ν i+1− ⟨ν i+1 , μ1 ⟩ μ1−…−⟨ν i+1 , μ i ⟩ μi ,μi+1=ωi+1
‖ωi+1‖ se puede observar que
ωi+1≠0 , ν i+1∉ L(μ1 ,…,μn) , {μ1 ,…, μn} es ortonormal que forma una base de “𝜈“.
Ejemplo:
Sea {ν1=(1,1,1 ) , ν2=(0,1,1 ) , ν3= (0,0,1 ) } una base de R3 , encuentre una base
Ortonormal utilizando el proceso de ortogonalización de Gram – Schmidt.
Solución:
Sea μ1=ν1
‖ν1‖=
(1,1,1 )√3
=( 1√3
,1√3
,1√3 )
Hacemos: ω2=ν2−⟨ν2 , μ1 ⟩ μ1=(0,1,1 )− 2
√3 ( 1
√3,
1
√3,
1
√3 )=(−23
,13,13 )
μ2=ω2
‖ω2‖=(−2
√6,
1√6
,1√6 ), luego ω3=ν3−⟨ν3 , μ1 ⟩μ1−⟨ν3 , μ2 ⟩ μ2
ω3=(0,0,1 )− 1
√3 ( 1
√3,
1
√3,
1
√3 )− 1
√6 (−2
√6,
1
√6,
1
√6 )=(0 ,−12
,12 ) ,
μ3=ω3
‖ω3‖=(0 ,−1
√2,
1√2 )
La base ortonormal es {μ1=( 1
√3,
1
√3,
1
√3 ), μ2=(−2
√6,
1
√6,
1
√6 )μ3=(0 ,−1
√2,
1
√2 )}.
PROYECCIÓN DE UN VECTOR SOBRE UN SUBESPACIO
Sea W un subespacio de Rn, sea {μ1 ,…, μn} una base ortonormal para W . Si
es un vector en Rn , la proyección de ν sobre W , denotada Proyw ν se
define como:
Proyw ν=⟨ν ,μ1 ⟩ μ1+ ⟨ν ,μ2 ⟩ μ2+…+⟨ν , μn ⟩ μn
TEOREMA:
Sea Wun subespacio de Rn, cada vector ν en Rn se puede expresar de forma
única de la siguiente manera:
ν=w+w⊥
Donde w se encuentra en W y w⊥ es ortogonal a W, los vectores w yw⊥ son:
w=Proyw ν y w⊥=ν−Proyw ν
Ejemplo:
Considere el vector ν=(3,2,6 ) en R3, seaW el subespacio de R3 que consta de
todos los vectores (a ,b ,b ). Descomponga ν en la suma de un vector que se
encuentra en W y un vector ortogonal a W .
Solución:
Se requiere una base ortonormal para W , cualquier vector de W se pueda
expresar de la siguiente manera: (a ,b ,b )=a (1,0,0 )+b (0,1,1 ) .
El conjunto {(1,0,0 ) , (0,1,1 ) } genera a W, es L.I formara una base para W .Los
vectores (1,0,0 ) y (0,1,1 ) son ortogonales, busquemos una base ortonormal
{μ1 , μ2 }
Para W , donde μ1=(1,0,0 ) y μ2=(0 , 1
√2,
1
√2 ),
w=Proyw ν=⟨ν ,μ1 ⟩ μ1+⟨ν ,μ2 ⟩ μ2w=⟨ (3,2,6 ) , (1,0,0 ) ⟩ (1,0,0 )+⟨ (3,2,6 ) ,(0 , 1
√2,
1
√2 )⟩(0 , 1
√2,
1
√2 )=(3,4,4 )w⊥=ν−Proyw ν=(3,2,6 )−(3,4,4 )=(0 ,−2,2, )
, luego se obtiene tiene lo pedido:
(3,2,6 )=(3,4,4 )+( 0 ,−2,2 , )
Ejemplo:
Dado los vectores:μ= (2,−1,2 ) , ν=(1,2,1 ) y w= (−2,3,3 ). Determine un vector de R3
que es la proyección ortogonal de w sobre el plano generado por μ y ν .
Solución
(2 −1 21 2 1)⟶ (1 0 1
0 1 0)Sea H= {(1,0,1 ) , (0,1,0 ) } donde h1= (0,1,0 ) , h2=(1,0,1 ); ⟨h1 , h2 ⟩=0 , H es ortogonal.
ProyHw=⟨ ⟨w ,h1 ⟩|⟨h1 ,h1 ⟩|⟩ h1+ ⟨ ⟨w ,h2 ⟩
|⟨h2 , h2 ⟩|⟩ h2=3 (0,1,0 )+ 12
(1,0,1 )=( 12,3 ,
12 ).
Otro método:
Sea μ= (2,−1,2 ) , ν=(1,2,1 ) vectores que pertenecen a H entonces
μ×ν=(−5,0,5 )=w1.
ProyHw=w−ProyHw1=(−2,3,3 )− (−2,3,3 ) (−5,0,5 )‖(−5,0,5 )‖‖(−5,0,5 )‖
(−5,0,5 )=( 12,3 ,
12 )
OBS:
Sea Vuna espacio euclideo yU un subespacio vectorial de V . Se llama
ortogonal de U en V al conjunto de todos los vectores de V ortogonales a
cualquier vector de U .
U⊥={v∈V / ⟨v ,u ⟩=0 ,∀u∈U }
PROPIEDADES:
1) Si v∈V es ortogonal a todos lo elementos de una base de U , entonces
v∈U⊥ .
2) Si U⊂W⟹W⊥⊂U⊥.
COMPLEMENTO ORTOGONAL
Sea un subespacioSde un espacio vectorial V , cuando los elementos de un
subespacio vectorial son ortogonales a S, se dice que dicho subespacio es un
complemento ortogonal .Se denota comoS⊥ y se denomina complemento
ortogonal porque la suma de las dimensiones de S y S⊥ es igual a la dimensión
del espacio vectorial V .
Ejemplo
Dado el subespacio vectorial N={(a −aa c ) tal quea ,c∈R} su complemento
ortogonal con respecto al producto interno ⟨ A ,B ⟩=tr (A⊥B) , en el espacio
vectorial de las matrices cuadradas de orden dos es igual al subespacio cuyos
vectores son ortogonales a cualquier base de N , entonces tomando una base
arbitraria B={(1 −11 0 ) ,(0 0
0 1)} y aplicando las condiciones de ortogonalidad con
un vector genérico del espacio vectorial, tenemos
⟨(1 −11 0 ) ,(w x
y z )⟩=0=tr (w+ y x+z−w −x )=0=w−x+ y→ x=w+ y
⟨(0 00 1) ,(w x
y z )⟩=0=tr( 0 0y z )=0=z+0
Tendremos el complemento ortogonal N⊥={(w w+ y
y 0 ) tal que w , y∈ R}OBSERVACION
En un espacio vectorial lineal complejo, un producto interno ⟨ x , y ⟩ es un número
complejo que satisface los mismos axiomas que los del producto interno real
excepto el de la simetría que se reemplaza por la relación ⟨ x , y ⟩=⟨ y , x ⟩ (simetría
hermitiana)
Ejemplo
Sea el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden dos con
elementos complejos y el producto interno definido por
⟨ A ,B ⟩=a11b11+a12b12+a21b21+a22b22
Calcular la distancia entre los vectores (−i 21+i 1−i) y (2−i −i
5 5 i)Solución
Sea (−i 21+i 1−i)−(2−i −i
5 5 i)=( −2 2+i−4+i 1−6 i)
Luego
‖( −2 2+i−4+i 1−6 i)‖=√⟨( −2 2+ i
−4+i 1−6 i) ,( −2 2+i−4+i 1−6 i)⟩=√(−2 ) (−2 )+(2+i )(2+i)+(−4+i)(−4+i¿)+(1−6 i)(1−6 i)=√4+(4+1 )+(16+1 )+(1+36 )=√63¿
Ejemplo
Dados los vectores ( i 2 1+i0 −3 i 1 ) y (−3 4 −2+ i
2 i 0 i ) , se define el producto
interno ⟨ A ,B ⟩=tr (A ¿B) .Determine el ángulo entre dichos vectores
Solución
⟨ A ,B ⟩=tr (( −i 02 3 i
1−i 1 )(−3 4 −2+i2 i 0 i ))=tr ( 3i −4 i 1+2 i
−12 8 −7+2 i−3+5 i 4−4 i −1+4 i)=7+7 i
También: ⟨ A , A ⟩=tr(( −i 02 3 i
1−i 1 )( i 2 1+i0 −3 i 1 ))=tr ( 1 −2 i 1−i
2i 13 2+5i1+i 2−5i 3 )=17
⟨B ,B ⟩=tr(( −3 −2 i4 0
−2−i −i )(−3 4 −2+i2 i 0 i ))=tr( 13 −12 8−3 i
−12 16 −8+4 i8+3 i −8−4 i 6 )=35
φ=arc cos (ℜ(7+7 i)√17√35 )=73,320
TEOREMA DE LA MEJOR APROXIMACIÓN
El teorema de la mejor aproximación resuelve el problema de la mínima
distancia de un punto a un subespacio vectorial. Dado un subespacio vectorial
Sde Rn y un vector x de Rn , se debe minimizar la distancia de xa un vector
genérico w∈S ; min {‖x−w‖:w∈S }se debe obtener un vector donde s alcanza
un mínimo.
Sea V un espacio vectorial euclideo y U⊂V un subespacio vectorial de
dimensión finita. Dado v∈V . Se cumple:
‖v−Proyu v‖≤‖v−u‖,∀u∈U
EJEMPLOS
1. Para el espacio vectorial con producto interno ⟨ f , g ⟩=∫−1
1
f ( x )g ( x )dxde las
funciones continuas en un intervalo [−1,1 ] .Determine el polinomio de grado
menor o igual que dos más próximo a la función f ( x )=cos(πx )
2.
Encuentre la mejor aproximación para cos x en el intervalo [0,1 ]
PROBLEMA 1
Ses f (u, v)¿6x1y1−¿ 4(x1y2 + x2y1) + 7x2y2 ; con un u¿(x1,x2), v¿(y1,y2)
¿Es un f (u, v) un producto interno?, de ser un producto interno determine la norma de (1,2).
SOLUCION
Para que f (u, v) sea un producto interno debe satisfacer las condiciones.
1. ⟨αu+γv ; z ⟩=¿<α(x1,x2)+γ (y1,y2);(z1,z2)> = < (αx1 + γy1,αx2 + γy2);(z1,z2) >
= 6(αx1 + γy1)z1 – 4[(αx1 + γy1)z2 + (αx2 + γy2)z1] + 7z2 (αx2 + γy2) ……(1)
También:
α<x,z> + γ<y,z> = α(6x1z1 – 4(x1z2 + x2z1) + 7x2z2) + γ (6y1z1 – 4(y1z2 + y2z1) + 7y2z2) ……..(2)
De (1) y (2)
⟨αu+γv ; z ⟩=α<x,z> + γ<y,z>
2. ⟨u , v ⟩ = 6x1y1−¿ 4(x1y2 + x2y1)+ 7x2y2 ……(3)⟨ v ,u ⟩ = 6y1x1−¿ 4(y1 x2 + y2x1)+ 7 y2x2 …….(4)
De (3) y (4) por definición ⟨u , v ⟩ = ⟨ v ,u ⟩
3. ⟨u ,u ⟩ = 6x21−¿ 4(x1x2 + x2x1)+ 7x2
2
= 6x21−¿ 8x1x2+ 7x2
= (2x1 – 2x2)2 + 2x21 + 3x2
2≥ 0
⟨u ,u ⟩ = 0 ↔ u = 0
f (u, v)¿6x1y1−¿ 4(x1y2 + x2y1)+ 7x2y2 ; es un producto interno.
La norma de u = ⟨1,2 ⟩
‖u‖=√ ⟨u ,u ⟩=√18=3√2
PROBLEMA 2
Sea el espacio vectorial R4 sobre R , se define el subespacio vectorial
W = {(x, y, t, z) / x + y – t + z = 0} y el vector v = { 1, -1, 2, 3}a) Construir una base ortogonal H para W
b)Exprese v como una Combinación Lineal de H y H⊥
SOLUCIÓN
a) (x,y,t,z) Si t = x + y + z ( x , y , x + y + z , z) = x( 1,0,1,0) + y(0,1,1,0) + z(0,0,1,1)
{ ( 1,0,1,0) ; (0,1,1,0) ; (0,0,1,1) } el conjunto LI y por lo tanto una base del subespacio W Si consideramos V1 = ( 1,0,1,0) , V2 = (0,1,1,0) y V3 = (0,0,1,1)
u1=¿V1 = (1, 0, 1,0)
u2=¿ V2 - Proyu1
V 2 = (0,1,1,0) - ¿V 2 ,u1>¿
¿<u1 , u1>¿u1¿
u2=¿(0,1,1,0) - ¿ (0,1,1,0 ) , (1,0,1,0 )> ¿12+02+12+02
¿.( 1,0,1,0) = (0,1,1,0) -
12
(1,0,1,0)
u2=¿ (- 12
, 1,12
,0)
u3=¿V3 - Proyu1
V 3- Proyu2
V 3= (0, 0, 1,1) - ¿(0,0,1,1) , (1,0,1,0 )> ¿12+02+12+02
¿
(1, 0, 1,0) - ¿(0,0,1,1) ,(−12
,1 ,12,0)> ¿
¿¿ ¿(- 12
, 1,12
,0)
u3= (0, 0, 1,1) - 12
(1, 0, 1,0) -
1232
(- 12
, 1,12
,0) = (- 12
, 0,12
,1) - 13
(- 12
, 1,12
,0)
u3= (-13
,- 13
, 13
,1)
Entonces la base ortogonal H para W es
H = { (1,0,1,0) ; (- 12
, 1,12
,0) ; (-13
,- 13
, 13
,1) }
b) Sea ( x , y , t , z )∈wtal que w⊥H
⟨ ( x , y , t , z ) , (1,0,1,0 ) ⟩=0→x+ t=0
⟨ ( x , y , t , z ) ,(−12
,1 ,12,0)⟩=0→−x+2 y+t=0
⟨ ( x , y , t , z ) ,(−13
,−13
,13,1)⟩=0→−x− y+t−3 z=0
( 1 0 1 0 0−1 2 1 0 0−1 −1 1 3 0)→(1 0 0 −1 0
0 1 0 −1 00 0 1 1 0 )
x−z=0 , y−z=0 , t+z=0( x , y , t , z )=( x , x ,−x , x )=x (1,1 ,−1,1)
Se obtiene{(1,1 ,−1,1)}Luego
(1 ,−1,2,3 )=α 1 (1,0,1,0 )+α2(−12
,1 ,12,0)+α 3(−1
3,−13
13,1)+β (1,1 ,−1,1)
Resoviendo tendremos α 1, α 2 , α3 , β
PROBLEMA 3
En R3 se define el producto interno ¿ x , y>¿x1y1+ 3x2y2 + 5x3y3 con un x¿(x1, x2,x3) y y¿(y1,y2,y3)
Mediante el proceso de Gram-Schmidt transformar la base { (1,1,1 ); (1,0,0 ) ;(1 ,−1,0)} en una base ortonormal.
SOLUCION
Sea v1=(1,1,1); v2=(1,0,0); v3=(1,-1,0) aplicando Gram-Schmidt para construir un conjunto ortonormal {u1,u2,u3} a partir de los vectores indicados.
Sea:
u1=v1= (1,1,1)
u2=(1,0,0)−¿ (1,0,0 ) , (1,1,1 )> ¿¿¿ ¿= (1,0,0)−1
9(1,1,1)=(
89
, −19
,−19
)
u3=(1,-1,0)
−⟨ (1 ,−1,0 ) ,( 89,−19
,−19
)⟩|⟨( 8
9,−19
,−19 ) ,( 8
9,−19
,−19
)⟩|(89,−19
,−19)−
⟨ (1 ,−1,0 ) ,(1,1,1)⟩|⟨ (1,1,1 ) , (1,1,1) ⟩|
(1,1,1)
u3=(1,-1,0)−11
8(
89
, −19
,−19
)+29
(1,1,1)=(0,−58
,38
)
{(1,1,1), ( 89
, −19
,−19
), (0,−58
,38
)} Es un conjunto ortogonal
⟨(1,1,1) ,( 89,−19
,−19
)⟩=89
- 39
-59
= 0
⟨(1,1,1) ,(0 ,−58
,38)⟩=-
158
+ 158
= 0
⟨( 89,−19
,−19) ,(0 ,−5
8,38)⟩=
1572
- 1572
= 0
Luego:
|u1|=√ ⟨u1, u1 ⟩=¿3
|u2|=√ ⟨u2, u2 ⟩=23√2
|u3|=√ ⟨u3, u3 ⟩=√ 158
La base ortonormal
{(13,
13,13
), ( 4
3√2,
−16√2
,−16√2
), (0, −54 √ 2
15 , 3
4 √ 215
)}
PROBLEMA 4
Sea el espacio euclideo de las funciones continúas en <-1,1> (intervalo),
definido el producto interno ¿ x , y>¿∫−1
1
x( y) y(t )dt, para que valor de λ los vectores
x(t )=t 2+1 y y(t )= λ(t 2+1), son ortogonales.
SOLUCION
¿ x , y>¿∫−1
1
x(λ( t
2+1))λ(t
2+1)dt = ∫−1
1
( λ2 (t 2+1)¿+1)λ (t2+1)¿dt
= ∫−1
1
( λ3 (t 2+1)¿+λ(t2+1))¿dt
Si x e y son ortogonales: ¿ x , y>¿0
PROBLEMA 5
Sean U1,U2,U3, los siguientes subespacios de R3
U1¿{(a,b,c)/a+b+c¿0}
U2¿{(a,b,c)/a¿c}
U3¿{(0,0,c)/c ∈ R3}
Probar que R3¿U1+U2¿U2+U3¿U1+U3 e indicar en qué caso la suma es directa.
SOLUCION
En U1 a + b + c = o → a = -b –c(a,b,c ) = (-b -c,b,c) = b(-1,1,0) + c(-1,0,1) {(-1,1,0); (-1,0,1)}Luego α(-1,1,0) + β(-1,0,1) = (0,0,0)α=β=0 ; es un conjunto LI entonces es una base de U1
En U2 a = c(a,b,c ) =(a,b,a)= a(1,0,1) + b(0,1,0){(1,0,1) ;(0,1,0)}Luego α(1,0,1) + β(0,1,0)= (0,0,0)α=β=0 ; es un conjunto LI entonces es una base de U2
En U3
(0,0,c ) = c(0,0,1) {(0,0,1) } ; es una base de U3
En U1+U2
U1 ∩U2 ∈V → U1 ∈ V ∩ U2 ∈ VV= m(-1,1,0) + n(-1,0,1)= p(1,0,1) + q(0,1,0)= (a,b,c )-m-n=p; m=q; n=p → q=m= -2pV=(a,b,c)= (p, -2p, p) = p(1,-2,1)U1 ∩U2 ={(1,-2,1)} ; (NO HAY SUMA DIRECTA DE U1 ⊕U2 )
(−1 1 0−1 0 11 0 10 1 0
)→(−1 0 00 0 21 0 10 1 0
)→(1 0 00 1 00 0 10 0 0
) {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} ; es una base de (U1+U2)
En U2+U3
U2 ∩U3 ∈V → U2 ∈ V ∩ U3 ∈ VV= k(1,0,1) + g(0,1,0)= f(0,0,1)= (a,b,c )K=0 ; g=0 ; k=f=0 → k=g=f=0
V=(a,b,c)=(0,0,0)U2 ∩U3 = 0; (SI HAY SUMA DIRECTA DE U2 ⊕U3)
(1 0 10 1 00 0 1)→(1 0 0
0 1 00 0 1) {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} ; es una base de (U2+U3)
En U1+U3
U1 ∩U3 ∈V → U1 ∈ V ∩ U3 ∈ VV= ñ(-1,1,0) + s(-1,0,1)= d(0,0,1)= (a,b,c ) -ñ -s = 0 ; ñ = 0 ; s = d → ñ = s = d = 0V=(a,b,c)=(0,0,0)U1 ∩U3 = 0; (SI HAY SUMA DIRECTA DE U1 ⊕U3)
(−1 1 0−1 0 10 0 1)→(−1 1 0
−1 0 00 0 1)→(0 1 0
1 0 00 0 1)→(1 0 0
0 1 00 0 1)
{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} ; es una base de (U1+U3)Luego del desarrollo comprobamos que se cumple que R3¿ U1+U2 ¿ U2+U3 ¿ U1+U3
PROBLEMA 6
Dado L = { t(1,-1,2) / tϵ IR }
Determine un plano P talque IR3 = L ⊕ P
SOLUCION
(x,y,z) pertenece a L y PDado que P es un plano tiene dimensión 2(x,y,z) = α(1,-1,2) = β(a,b,c) + θ(m,n,p) Si L y P hacen una suma directa entonces (x,y,z) = 01 = a + m (a,b,c) ; (1-a ; -1-b ; 2 - c)-1 = b + n 2 = c + p
Entonces el Plano P de dimensión 2 tiene como base a:{ (a,b,c) ; (1-a ; -1-b ; 2 - c) }
PROBLEMA 7
Si V1,V2,V3 son LI del espacio ( V, +,k, . ).Investigar la DL o IL de:
i) {V1+aV2+bV3,V2+cV3 ,V3}
ii) { V1,V2+aV3 , V3+bV2}
SOLUCION
Como sabemos que V1,V2,V3es LI
i) α (V1+aV2+bV3)+ β(V2+cV3) + γ (V3)¿0
V1(α) + V2(αa+β)+ V3(αb+γ+cβ)=0
α=0
αa+β=0 →α=β=γ=0 Por lo tanto es IL
αb+γ+cβ=0
ii) α (V1)+ β(V2+aV3) + γ (V3+bV2)¿0
V1(α ) + V2(β+bγ ¿ + V3(βa +γ ) = 0
α = 0
β+bγ = 0 →α=β=γ=0 Por lo tanto es IL
βa +γ = 0
PROBLEMA 8
Determine una base para el subespacio
U = { A = (a ij¿4x4 / tr(A) = 0 ; a12 - 2 a13 = 0 }
SOLUCION
(a11 2a13 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
)a11+a22+a33+a44=0
(−(a¿¿22+a33+a44)¿2a13 a13 a14
a21 a22 ¿a24¿a31¿a32¿a33¿a34¿a41¿a42¿a43¿a44¿)=
a13(0 2 1 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0
) +
a14(0 0 0 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0
)+ a21(0 0 0 01 0 0 00 0 0 00 0 0 0
)+a22(−1 0 0 00 1 0 00 0 0 00 0 0 0
)+a23(
0 0 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
)+ a24(0 0 0 00 0 0 10 0 0 00 0 0 0
)+a31(0 0 0 00 0 0 01 0 0 00 0 0 0
)+a32(
0 0 0 00 0 0 00 1 0 00 0 0 0
)+ a33(−1 0 0 00 0 0 00 0 1 00 0 0 0
)+ a34(0 0 0 00 0 0 00 0 0 10 0 0 0
)+a41(
0 0 0 00 0 0 00 0 0 01 0 0 0
)+a42(0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 1 0 0
)+a43(0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 1 0
)+a44(
−1 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 1
)
Entonces una base para el subespacio es:
{(0 2 1 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0
);(0 0 0 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0
);(0 0 0 01 0 0 00 0 0 00 0 0 0
);(−1 0 0 00 1 0 00 0 0 00 0 0 0
);(0 0 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
); (0 0 0 00 0 0 10 0 0 00 0 0 0
);(0 0 0 00 0 0 01 0 0 00 0 0 0
); (0 0 0 00 0 0 00 1 0 00 0 0 0
);(−1 0 0 00 0 0 00 0 1 00 0 0 0
);(0 0 0 00 0 0 00 0 0 10 0 0 0
);(0 0 0 00 0 0 00 0 0 01 0 0 0
);(0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 1 0 0
);(0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 1 0
); (−1 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 1
)}
PROBLEMA 9
¿Los polinomios 1; x-1; x2-3x+1; forman una base de P2, de ser cierto, exprese el polinomio 2x2-5x+6 como una C.L. de los vectores de dicho base?
SOLUCION
Verificar si es una base {1; x-1; x2-3x+1}
α+β (x−1)+γ(x2-3x+1)¿0
γx2 + x(β−3 γ )+(α−β+γ )=0
γ=0
β−3 γ=0 α=β=γ=0 Luego es un conjunto LI entonces es una base de P2
α−β+γ=0
Como es una base expresar el polinomio 2x2-5x+6 como una C.L. de los vectores de dicha base.
2x2-5x+6 = a(1)+b( x-1)+ c( x2-3x+1)
2x2-5x+6 = (c)x2+(b-3c)x+(a-b+c)
a-b+c =6
b-3c =-5
c=2
(1 −1 1 60 1 −3 −50 0 1 2 )→(1 −1 0 4
0 1 0 10 0 1 2 )→(1 0 0 5
0 1 0 10 0 1 2)
a=5, b=1, c=2 2x2-5x+6 = 5(1)+1( x-1)+ 2( x2-3x+1)
PROBLEMA 10
Indique si las siguientes proposiciones son V o F (fundamente)
a) Un conjunto de vectores que contenga 2 vectores iguales es LIb) Cualquier conjunto de vectores al que pertenece el vector nulo es LDc) Cualquier conjunto S de vectores LD contiene un subconjunto que es
LI d) Es LI el conjunto { ex , e3 x , x2, x}e) Es W1 = { (x,y,z) / 3y – 2z = 0 } un subespacio vectorialf) Es W2 = { (A ϵV / At=A } un subespacio vectorial
a) α(a,b,c,d) + β(a,b,c,d) + θ(x,y,z,t) = (0,0,0,0)
αa + βa + θx = 0αb + βb + θy = 0 Si α = β = 0 Necesariamente θ = 0αc + βc + θz = 0αd +βd + θt = 0 Entonces es V
b) α (0,0,0,0) + β(a,b,c,d) + θ(x,y,z,t) = (0,0,0,0)
α0 + βa + θx = 0α0 + βb + θy = 0 Si β = θ = 0 No necesariamente α = 0α0 + βc + θz = 0Entonces es LDα0 +βd + θt = 0 Por lo tanto es V
c) Es V porque en un conjunto LD siempre hay un coeficiente diferente que cero y los restantes son ceros por lo cual estos coeficientes restantes forman un conjunto LI.
d) αex+θe3 x+ βx2+λx = 0
Si α = β = θ = 0 , Necesariamente λ = 0 Por lo tanto es LI
Entonces es V
e) (x,y,32
y) = x(1,0,0) + y(0,1,32
)
Tiene una base {(1,0,0) ; (0,1,32
) }
α (1,0,0) + β(0,1,32
) = 0 α = β = 0 es LI
Por lo tanto es un subespacio vectorial.
f) (a11 b cb a22 dc d a33
)= a11(1 0 00 0 00 0 0)+a22(0 0 0
0 1 00 0 0)+¿
a33(0 0 00 0 00 0 1)+b (
0 1 01 0 00 0 0)+c(
0 0 10 0 01 0 0)+d (
0 0 00 0 10 1 0)
Tiene base:
{(1 0 00 0 00 0 0); (
0 0 00 1 00 0 0);(
0 0 00 0 00 0 1);(
0 1 01 0 00 0 0);(
0 0 10 0 01 0 0); (
0 0 00 0 10 1 0)}
Y es LI Por lo tanto es un subespacio vectorial.
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Exprese v=(1 ,−2 ,3,4 ) en funcion de w yw⊥
Sabiendo que w= {( x , y , z ,t ) tal que5 x−2 y+8 z−t=0 }
2. Dadas las matrices A=(1 33 6) y B=(0 3
1 0), indique si las siguientes
expresiones corresponden a un producto interno ⟨ X ,Y ⟩=X⊥ AY ;
⟨ X ,Y ⟩=X⊥ AY
3. Considere en R3 el producto interno de α=(a1 ,a2 , a3 ) y β=(b1 , b2 ,b3) como la relacion dada por ⟨α , β ⟩=a1b1+3a2b2+5a3b3, luego mediante el
proceso de Gram-Schmidt transformar la base {(1,1,1 ) , (1,0,0 ) ,(1 ,−1,0)} en
una base ortonormal.4. Calcule el ángulo que forman los vectores
A=(3 2 11 0 68 −1 5) y B=(1 0 −1
0 1 11 1 1 ) con el producto interno usual de
matrices
5. Sean x=(x1 , x2 ) , y=( y1 , y2 ) dos vectores, indique si las siguientes
expresiones corresponden a un producto interno (en R o en C )
a) f ( x , y )=2 x1 y1+4 x2 y2
b) g ( x , y )=x1 y1+2x1 y2+2 x2 y1+4 x2 y2
c) φ ( x , y )=x1 y1−i x1 y2+i x2 y1+2 x2 y2
6. Determine el complemento ortogonal de los siguientes subespacios
a) V=R5 ,W={(2,2,1 ,−1,0 ) , (−1,2 ,−2,2,1 ) , (0,1 ,−3,2 ,−1 ) } para el producto
interno usual
b) V=R3 ,W 1={(1,2,1 ) , (0,1,2 ) } para el producto interno definido por
⟨ x , y ⟩=x1 y1+2x2 y2+ x3 y3−x1 y2−x2 y1
c)
V=C4 ,W 2= {(x1 , x2 , x3 , x4 )∈C4 tal que x1+2i x2−x3+ (1+i ) x4=0 ; x2+(2−i ) x3+x4=0}
para el producto interno ⟨ x , y ⟩=x1 y1+2x2 y2+ x3 y3+3 x4 y4
TRANSFORMACIONES LINEALES
TRANSFORMACION LINEAL ENTRE DOS ESPACIOSVECTORIALES
SOBRE UN MISMO CUERPO
Sean (V ,+, K ,∙ ) y (W ,+, K ,∙ )dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K
.La función f :V →W es una transformación lineal u homomorfismo si y solo si:
1) La imagen de la suma de dos vectores cualesquiera de V es igual a la suma
de sus imágenes enW es decir:
f ( x+ y )=f ( x )+ f ( y )
2) La imagen del producto de cualquier escalar por todo vector deV es igual al
producto del escalar por la imagen de dicho vector:
f (αx )=αf ( x )
Ejemplo:
Sean los espacios vectoriales (R3 ,+, R , . ) y (R2 ,+ ,R , ∙ ) . La función:R3→R2
definida por f (x1 , x2 , x3 )=(x1−x3 , x2−x3 ) indique si es una transformación lineal.
Solución
1)f [ ( x1 , x2 , x3 )+ ( y1 , y2 , y3 ) ]=f (x1+ y1 , x2+ y2 , x3+ y3 )=(x1+ y1−x3− y3 , x2+ y2−x3− y3 )
f (x1 , x2 , x3 )+ f ( y1 , y2 , y3 )=(x1−x3 , x2−x3 )+( y1− y3 , y2− y3)=(x1+ y1−x3− y3 , x2+ y2−x3− y3 )
2)
f (α (x1 , x2 , x3 ))=f (αx1 , αx2 , αx 3 )=(α x1−α x3 , α x2−α x3 )=α (x1−x3 , x2−x3 )=αf (x1 , x2, x3 )
Se comprueba las dos condiciones por los tanto si una transformación lineal.
Observación: Una aplicación, función o transformación lineal es un conjunto de
operaciones que se realizan sobre un elemento de un subespacio vectorial,
para transformarlo en un elemento de otro subespacio, en las transformaciones
lineales se preservan las operaciones de suma de vectores y producto de un
escalar por un vector. El termino función lineal es usado incorrectamente en el
análisis matemático y en la geometría para designar una recta o en general una
variedad lineal.
Ejemplo:
Supongamos que f :R2→R3 es una transformación lineal que verifica
f (1,0 )=(1,2,3 ) , f (0,1 )= (0 ,−1,2 ) .Halle la imagen de f (2 ,−3 )
Solución:
f (2 ,−3 )=f ( (2,0 )+(0 ,−3 ) )=f (2,0 )+f (0 ,−3 )=f (2 (1,0 ) )+f (−3 (0,1 ) )
f (2 ,−3 )=2 f (1,0 )−3 f (0,1 )=2 (1,2,3 )+(−3 ) (0 ,−1,2 )=(2,7,0 )
PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES
Sea f :V →W una transformación lineal, denotemos mediante 0V y 0W a los
vectores nulos en V yW respectivamente.
1) La imagen del vector nulo del primer espacio por toda transformación lineal
es el vector nulo del segundo espacio.
f (0v )=f (0w)=0=0W=0v
2) La imagen del opuesto de todo vector del primer espacio es igual al opuesto
de su imagen.
f (−x )=f ( (−1 ) x )=(−1 ) f ( x )=−f ( x )
NUCLÉO DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL
El núcleo de una transformación lineal f , entre dos espacios vectoriales sobre
un mismo cuerpo, es el conjunto de los vectores del dominio cuyas imágenes
por f son el vector nulo del codominio. El símbolo N ( f ) se lee nucleo def , por
definición N ( f )={x∈V ∕ f ( x )=0W }. El nucleo de toda transformación lineal es la
preimagen del vector nulo del segundo espacio. x∈N ( f )⇔f ( x )=0W
Ejemplo
Sean los espacios vectoriales (R3 ,+, R , ∙ ) y (R2 ,+, R , ∙ ) , la función f :R3→R2
definida por:f (x1 , x2 , x3 )=(x1−x3 , x2−x3 ). Determine el nucleo de f .
Solución
1)
f [ (a ,b )+(c ,d ) ]=f [ (a+c ,b+d ) ]=(a+c+b+d 00 a+b+c+d)=(a+b 0
0 a+b)+(c+d 00 c+d)=f (a ,b )+ f (c ,d )
2¿ f (α (a ,b ) )=f (αa ,αb )=(αa+αb 00 αa+αb)=α (a+b 0
0 a+b)=αf (a ,b )
Si cumple las dos condiciones es una T.L
Hallando su núcleo:
N ( f )={(x1 , x2 )∈R2 ∕ f (x1 , x2 )∈ R2×2 } , (x1 , x2 )∈N ( f )⇔f (x1 , x2 )=(0 00 0)=(x1+x2 0
0 x1+x2)⇔x1+x2=0⇔x1=−x2→N (f )= {α (1 ,−1 ) ∕ α∈R }
Hallando su imagen:
I (f )= {A∈R2× 2/ f (x1, x2 )∈ A }, A=(a bc d)∈ I (f )⇔∃ (x1 , x2)∈R2/ f (x1, x2 )∈ A⇔(x1+ x2 0
0 x1+x2)=(a b
c d)⇔x1+x2=a=d ˄b=c=0
I (f )Esta dado por A=(a 00 a), La matriz (1 0
0 1) es un sistema de generadores de I (f ),
constituye una base de dimensión 1.
TRANSFORMACIONES LINEALESTRANSFORMACION LINEAL ENTRE DOS ESPACIOS VECTORIALES SOBRE UN MISMOCUERPOSean (V ,+, R , . ) y (W ,+, K , . ) dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K .
La función f :V →W es una transformación lineal u Homomorfismo si y sólo si:i) La imagen de la suma de dos vectores cualquiera de V es igual a la suma de sus imágenes en W, es decir f ( x+ y )=f ( x )+ f ( y ) .ii) La imagen del producto de cualquier escalar por todo vector de V es igual al producto del escalar por la imagen de dicho vector.
f (αx )=α f ( x )
x f (x)y f ( y)x+ y f (x+ y )=f (x)+ f ( y)
αx f (αx)=αf (x)
Ejemplo 1:
Sean los espacios vectoriales (R3 ,+ ,R , .) y (R2 ,+ ,R , . ) la función f :R3→R2definida porf ( x1 , x2 , x3 )
=( x1−x3 , x2−x3). Indique si es una transformación lineal.Solución:i) f [ ( x1 , x2 , x3 )+ ( y1 , y2 , y3 ) ]=f (x1+ y1 , x2+ y2 , x3+ y3 )=(x1− y1−x3− y3 , x2− y2−x3− y3 )
f (x1 , x2 , x3 )+ f ( y1 , y2 , y3 )=(x1−x3 , x2−x3 )+( y1− y3 , y2− y3 )=(x1+ y1−x3− y3 , x2+ y2−x3− y3 )……. si cumpleii) f ¿
Ejemplo 2:Supongamos que f :R2→R3 es una transformación lineal que verifica f (1 ,0 )= (1,2 ,3 ) yf (0 ,1 )= (0 ,−1 ,2 ) , halle la imagen de f (2 ,−3 ) .
Solución:f (2 ,−3 )=f ( (2 ,0 )+ (0 ,−3 ))=f (2 ,0 )+ f (0 ,−3 )=f (2 (1 ,0 ) )+ f (−3 (0 ,1 ) )=¿
2 f (1 ,0 )+(−3 ) f (0,1 )=2 (1 ,2 ,3 )+ (−3 ) (0 ,−1 ,2 )=(2,7 ,0)Ejemplo3:Determine una transformación lineal o aplicación lineal generado por F :R3→R4 , si las imágenes están dadas por (1,2,0 ,−4 ) y (2,0 ,−1 ,−3)Solución Sea F ( x , y , z )=F (x e1+ y e2+z e3 )=xF (e1 )+ yF (e2)+ zF (e3 )=x (1,2,0 ,−4 )+ y (2,0 ,−1,−3 )+z (0,0,0,0 )=(x+2 y ,2x ,− y ,−4 x−3 y )Luego F ( x , y , z )=(x+2 y ,2x ,− y ,−4 x−3 y )Ejemplo 4:
PROPIEDADES DETRANSFORMACIONES LINEALESSea f :V →W una transformación lineal, denotemos mediante 0v Y 0w a los vectores nulos en V y W respectivamente.I) La imagen del vector nulo del primer espacio por toda transformación lineal es el vector nulo del segundo espacio.f (0v )=f (0 x )=0 f ( x )=0wII) La imagen del opuesto de todo vector del primer espacio es igual al opuesto de su imagen.f (−x )=f ((−1) x )=(−1 ) f ( x )=−f ( x )
NUCLEO DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL
El núcleo de una transformación lineal f, entre dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo, es el conjunto de los vectores del dominio cuyas imágenes por f son el vector nulo del codominio.V W
El símbolo N ( f ) se lee núcleo de f , por definición N ( f )={xϵV / f (x )=0w }
El núcleo de toda transformación lineal es la preimagen del vector nulo del segundo espacio.x ϵ N ( f )⟺ f (x )=0w
Ejemplo: Sean los espacios vectoriales (R3 ,+ ,R , .) y (R2 ,+ ,R , . ) La función f :R3⟶ R2
definida por f (x1 , x2 , x3 )=(x1−x3 , x2−x3) es una transformación lineal. Determine el núcleo de f .Solución:
N ( f )={(x1 , x2 , x3 ) ϵ R3/ f (x1 , x2 , x3 )=(0 ,0)}
(x1 , x2 , x3 ) ϵ N ( f )⟺ f (x1 , x2 , x3 )= (0 ,0 )⟺ (x1−x3 , x2−x3 )=(0 ,0 )⟺ ( x1= x3∧ x2=x3 )⟺ x1= x2=x3=a N ( f )= {a (1 ,1 ,1 ) /a∈R },el núcleo de f es el conjunto de todos los múltiplos escalares del vector (1 ,1 ,1 ) .
EjemploSea la transformación lineal f :R2→R3
IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL:La imagen de una T.L. f :V →Wes el conjunto imagen del dominio, es decir, es la totalidad de las imágenes de los vectores del primer espacio. El símbolo Ι ( f ) se lee imagen de f.
Ι ( f )= {f (x )/ xϵ V }
También se sabe que f (0v )=0w en consecuencia 0wϵ Ι ( f ) lo que significa que Ι ( f )≠ϕ , Ι ( f )⊂W
N ( f ) 0w
PROPIEDADLa imagen de toda T.L. entre dos espacios vectoriales es un subespacio del codominio.Ejemplo:Sea f :R2⟶ R2x 2definida por f (a ,b )=(a+b 0
0 a+b)Indique si es una T.L., halle su núcleo e imagenSolución:f [ (a ,b )+(c ,d ) ]=f [ (a+c ,b+d ) ]=(a+b+c+d 0
0 a+b+c+d)
(a+b 00 a+b)+(c+d 0
0 c+d)=f (a ,b )+ f (c ,d )
También:f (∝ (a ,b ))=f (∝a ,∝b )=(∝a+∝b 0
0 ∝a+∝b)=∝(a+b 00 a+b)=∝ f (a ,b )
Es una Transformación linealHallando su núcleo:N (f )={(x1 , x2 )∈R2/ f (x1, x2 )∈ R2x 2 }
(x1 , x2 )∈N (f )⟺ f (x1 , x2 )=(0 00 0)⟺(x1+x2 0
0 x1+x2)⟺x1+x2=0⟺ x1=−x2
N (f )={α (1 ,−1 )/α∈R }( el núcleo de f es el conjunto de los pares ordenados de componentes opuestos )La imagen se puede definir también por I ( f )= { y∈W talqueexiste x∈V y f (x )= y }
La imagen:I ( f )= {Aϵ R2x 2/ f (x1 , x2 ) ϵ A }
A=(a bc d)ϵ I ( f )⟺∃ (x1 , x2 ) ϵ R
2/ f (x1 , x2 ) ϵ A⟺
(x1+x2 00 x1+x2
)=(a bc d)⟺ x1+x2=a=d∧b=c=0
I ( f ) está dado por A=(a 00 a)
La matriz (1 00 1) es un sistema de generadores de la I ( f ), constituye una
base de dimensión 1.TEOREMA:Sea V un espacio vectorial de dimensión finita, entonces la dimensión de V está dada por:
dim (V )=dim (N )+dim (I )
Observación Sea f una transformación lineal, entonces el rango de f se define como la dimensión de su imagen y la nulidad de f se define como la dimensión de su núcleo, es decir:
ran ( f )=dim ( I ( f ) )
nulidad ( f )=dim (ker (f ) )
ran ( f )+nulidad ( f )=dim (V )
Ejemplos1. Determine el núcleo, la imagen y las dimensiones de ambos en la siguiente transformación lineal f :R3→R2 definida por f (x1 , x2 , x3 )=(x1+x2+ x3 , x2+x3)
SoluciónDeterminamos el núcleo de la transformación lineal: x1+ x2+x3=0,x2+ x3=0 resolviendo este sistema de ecuaciones tenemos x1=0 , x2=−x3 , luego el núcleo esta dado por t(0,1,-1) , es decir los múltiplos escalares del vector (0,1 ,−1) , se obtiene una base {(0,1 ,−1)} cuya dimensión es uno.Determinamos la imagen, sea ( x , y )∈ Imf entonces ( x , y )=(x1+x2+x3 , x2+x3)
Luego formando la combinación lineal ( x , y )=x1 (1,0 )+x2 (1,1 )+x3(1,1)
Luego (1 01 11 1)→(1 0
1 10 0)→(1 0
0 10 0) , la imagen de f es generada por {(1,0 ) ,(0,1)}
Cuya dimensión es dos.2. Ejemplo
Sea la transformación lineal f :R2→R3definida por f (x1 , x2)=(x1+x2 , x1−x2 , x1+2x2) ; determine el núcleo y la imagen e indique una base y la dimensión Solución Determinando el núcleo f (x1 , x2 )=(x1+x2 , x1−x2 , x1+2 x2)=(0,0,0 )
Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales x1+ x2=0 , x1−x2=0 , x1−2 x2=0
Entoncesx1=0 , x2=0 , se obtiene f ( v )=0R3 tal que v=(0,0) , cuya base {(0,0 ) } es de dimensión cero.Calculando la imagen f (x1 , x2 )=(x1+x2 , x1−x2 , x1+2 x2)=u
Donde u=x1 (1,1,1 )+x2 (1 ,−1,2 ) , llevando a la forma matricial(1 1 11 −1 2)→(2 0 3
1 −1 2)→(2 0 30 −2 1) , luego la imagen es generada por los
vectores que forman la base {(2,0,3 ) , (0 ,−2,1 ) } de dimensión dos.PROBLEMAS
1.Sea la aplicación T :R2→ R2 tal que T(x,y)=(2x-y,3y-2x), y sean v=(3,4) un vector y
B1={ (1 ,2 ) ,(−1 ,1)},B2=={ (2 ,1 ) ,(−1 ,−3)} bases de R2 calcule verifique según sea el
caso :
Sean los vectores B1={ (1,2 ) ,(−1,1)}, B2=={ (2,1 ) ,(−1,3)}hacemos una combinación lineal de los vectores de la Base B2(1,2)=a(2,1) +b(-1,-3) (μ1)=[1/5 -3/5](-1,1)=c(2,1)+d(-1,-3) (μ2)=[-4/5 -3/5]
hacemos una combinación lineal de los vectores de la Base B1
(2,1)=a(1,2)+b(-1,1) (μ1’)=[1 -1] (-1,-3)=c(1,2)+d(-1,1) (μ2’)=[-4/3 -1/3]
P=(15
−45
−35
−35
) Q=( 1−43
−1−13
) Para demostrar si PQ=QP=I Reemplazamos en P y en Q
(15
−45
−35
−35
) ( 1−43
−1−13
) = (55
0
055)=I
( 1−43
−1−13
)(15
−45
−35
−35
) =(55
0
055)=I
Para verificar si [T]B2=Q[T]B1P Solamente reemplazamos lo hallado
[T]B2=(3 −11 −7) [T]B1=( 0 4
−3 5 ) por lo tanto
(3 −11 −7) =( 1
−43
−1−13
)( 0 4−3 5)(
15
−45
−35
−35
) (3 −1
1 −7) = (3/5)( 1−43
−1−13
)(−4 −4−6 −1)
(3 −11 −7) = (3 −1
1 −7)
2.Si Q-1AQ=B donde B es un matriz triangular cuyos elementos de la diagonal principal son valores propios de λ1, λ2, λ3, …… λn Demostrar que Bk es un matriz triangular y los elementos de la diagonal principal son los valores propios de A elevados a la K
B=(λ1 0 ⋯0 λ2 ⋯
⋮0⋯0
⋱0⋯
0⋱0
⋮0λn
) B2=(λ1 0 ⋯0 λ2 ⋯
⋮0⋯0
⋱0⋯
0⋱0
⋮0λn
) (λ1 0 ⋯0 λ2 ⋯
⋮0⋯0
⋱0⋯
0⋱0
⋮0λn
) B2=¿
→ por inducción Bn+1=¿
Bn B1=¿
Bn B1=¿ Bk=¿
por lo tanto queda demostrado por inducción que Bk es un matriz triangular y los elementos de la diagonal principal son los valores propios de A elevados a la K
3. Es posible diagonalizar la matriz A=(1 1 1 1 10 1 1 1 1000
000
100
100
111)
Solución:
Hallamos el polinomio característico P(x)=/A –λI/
P(x)=/ (1 1 1 1 10 1 1 1 1000
000
100
100
111)-λ (
1 0 0 0 00 1 0 0 0000
000
100
010
001)/¿
P(x)=/ (1−λ 1 1 1 1
0 1−λ 1 1 1000
000
1−λ00
1−λ
0
11
1−λ)/¿ P(x)=(1--λ)4 (-λ¿=0
λ=1 de multiplicidad 4 ; es el único que analizamos ya que tiene multiplicidad 4 nos debe de salir 4bases.λ= 0 de multiplicidad 1
Sea V(1)=¿ ( p ,q , r , s , t ) ϵ R3 ❑❑ A (
pqrst)=(
pqrst)>¿
(1 1 1 1 10 1 1 1 1000
000
100
100
111)(pqrst)=(
pqrst)
p+q+r+s+t=0q+r+s+t=0r+s+t=0t=st=0resolviendo nos sale que q=0, r=0, s=0, t=0 como no aparece p entonces es un definido con un parámetro αpor lo tanto quedaría:(p,q, r,s,t)ϵV(1)⇒( p,q,r,s,t)=[(1,0,0,0,0)]por lo tanto la matriz A no será diagonlizable.4. Sea la aplicación lineal F: R3 → R3 definida como
F(-1,1,3)=(6,-4,16), F(-2,1,1)=(-2,-5,1) y F(3,2,-1)=(1,14,-12)
a) Calcule la matriz asociada con respecto a la base canónica de R3.b) Calcule el núcleo y la imagen de la aplicación.c) Calcule la aplicación inversa si es posible.
Solución:
a)F(-1,1,3)=(6,-4,16) → (-1)F(1,0,0) +(1)F(0,1,0) + (3)F(0,0,1) =(6,-4,16) ……….(1)F(-2,1,1)=(-2,-5,1) → (-2)F(1,0,0) +(1)F(0,1,0) + (1)F(0,0,1) =(-2,-5,1) ……….(2)F(3,2,-1)=(1,14,-12) →(3)F(1,0,0) +(2)F(0,1,0) + (-1)F(0,0,1) =(1,14,12) ………..(3)
Resolviendo (1),(2) y (3)
F(1,0,0)=(2,3,1) , F(0,1,0)=(-1,2,4) , F(0,0,1)=(3,-1,7)
por lo tanto la matriz asociada con respecto a la base canónica de R3
será:
A=(2 −1 33 2 −11 4 7 )
b)
A=(2 −1 33 2 −11 4 7 )( xyz )=(000)
De la matriz asociada A obtenemos. Restando filas….
(2 −1 33 2 −11 4 7 )( xyz )=(000)→(1 0 0
0 1 00 0 1)(
xyz )=(
000)
Por lo tanto el núcleo o Kerf será =¿¿
La imagen de la aplicación = F(x,y,z)=(2x-y+3z,3x+x2y-z,x+4y+7z)
MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACION LINEALSupongamos que {e1 , e2 ,…,en } es una base de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K y para vϵ V , supongamos que v=a1 e1+a2 e2+…+an en , entonces el vector coordenado de v relativo a {e i } el cual se escribe como un vector columna a menos que se especifique lo contrario, está dado por:
[V ]e=(a1
a2
⋮an)
REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UN OPERADOR LINEALSea T un operador lineal en un espacio vectorial V sobre un cuerpo K supongamos que {e1 , e2 ,…,en } es una base de V y por tanto se puede expresar una combinación lineal de los vectores de la base, es decir:
T (e1)=a11e1+a12 e2+…+a1n en
T (e2)=a21 e1+a22e2+…+a2n en
⋮
T (en)=an1 e1+an2e2+…+annen
DEFINICION.-La transpuesta de la matriz de los coeficientes de la representación anterior denotada por [T ]e se llama representación matricial de T relativa a la base {e i } .[T ]e=(a11 a21 … an1
a12 a22 … an2
⋮ ¿⋱ ¿ ¿a2n¿…¿ann¿)
Ejemplo 1:Sea el espacio vectorial de todos los polinomios en T sobre R de grado≤3y D :V→V el operador derivación definido por D (P(t ) )=
d P( t )
dt , sea la base
{1 , t , t2 , t3 }
D(1 )=0=0+0 t+0 t2+0 t 3
D (t )=1=1+0 t+0 t2+0 t 3
D( t2)=2t=0+2t+0 t 2+0 t3
D( t3 )=3 t2=0+0 t+3 t 2+0 t3
[D ]e=(0 1 0 00 0 2 00 0 0 30 0 0 0
)Ejemplo 2:Sea T el operador lineal sobre R2 definido por T ( x, y )= (4 x−2 y ,2 x+ y ) . Calculamos la matriz de T en la base { f 1=(1 ,1 ); f 2=(−1 ,0 ) }
Solución Tenemos:
T (f 1)=T (1 , 1)=(2 ,3 )=3 (1 ,1 )+ (−1,0 )=3 f 1+ f 2
T (f 2)=T (−1 ,0 )=(−4 ,−2 )=−2 (1 ,1 )+2 (−1 ,0 )=−2 f 1+2 f 2
[T ] f=(3 −21 2 )
TEOREMASea {e1 , e2 ,…,en } una base de V y sea T un operador lineal cualquiera sobre V entonces ∀ v ϵ V se cumple que:
[T ]e [V ]e=[T (V )]eEs decir si multiplicamos el vector coordenado de v por la representación matricial de T se obtiene el vector coordenado de T (V ).
Ejemplo 3:Sea el operador lineal T :R2→R2 definido por T ( x, y )= (4 x−2 y ,2 x+ y ) y sea v=(5 ,7 ) , siendo la base { f 1=(1 ,1 ); f 2=(−1 ,0 ) }
v=(5 ,7 )=7 (1 ,1 )+2(−1,0)=7 f 1+2 f 2
T (V )=T (5 ,7)=(6 ,17 )=17 (1 ,1 )+11 (−1 ,0 )=17 f 1+11 f 2
[V ]f=(72)[T (V )]f=(17
11)[T ] f [V ] f=(3 −2
1 2 )(72)=(1711)=[T (V )] f
TEOREMASea {e1 , e2 ,…,en } una base de V sobre un cuerpo K y sea A el álgebra de las matrices cuadradas de orden nentonces la aplicación: T→ [T ] es un isomorfismo de un espacio vectorial A( v ) sobre A es decir que la aplicación es de 1 a 1 y sobre, para cualquier S ,T ϵ A ( v ) y para cualquier k ϵ K
[T+S ]e= [T ]e+ [S ]e y [kT ]e=k [T ]e
TEOREMAPara operadores cualesquiera S ,T ϵ A ( v ), se tiene:[ST ]e=[S ]e [T ]e
Ejemplo Sea dimV=2 , supongamos que {e1 , e2 } es una base de V, T y S son operadores sobre V tales que:
T (e1)=a1 e1+a2e2S (e1)
=c1 e1+c2 e2
T (e2)=b1 e1+b2e2S(e2)
=d1e1+d2e2
[T ]e=(a1 b1
a2 b2) [S ]e=(c1 d1
c2 d2)
(T+S )(e1)=T (e1 )+S (e1 )=a1 e1+a2 e2+c1 e1+c2 e2
(T+S )(e2)=T (e2)
+S (e2 )=b1 e1+b2 e2+d1 e1+d2 e2
[T+S ]e=(a1+c1 b1+d1
a2+c2 b2+d2)=(a1 b1
a2 b2)+(c1 d1
c2 d2)
¿ [T ]e+ [S ]e
También para k ϵ K(kT )e1
=kT (e1 )=k (a1e1+a2 e2 )=ka1e1+k a2 e2
(kT )e2=kT (e2 )=k (b1e1+b2 e2 )=kb1 e1+kb2e2
[kT ]e=( ka1 k b1
k a2 kb2)=k (a1 b1
a2 b2)=k [T ]e
CAMBIO DE BASEDefinición.- Sea {e1 , e2 ,…,en } una base de V y sea { f 1 , f 2 ,…, f n } otra base, supongamos que:
f 1=a11 e1+a12 e2+…+a1n en
f 2=a21e1+a22e2+…+a2n en
⋮
f n=an1e1+an2 e2+…+ann en
La traspuesta P de la matriz de los coeficientes se llama matriz de transición de la base antigua o primitiva {e i }a lanueva base { f i }. ( i=1,2 ,…,n )P=(a11 a21 … an1
a12 a22 … an2
⋮ ¿⋱ ¿a1n ¿…¿ann¿)
Como los vectores f 1, f 2 ,…, f n son linealmente independientes, la matriz P es invertible, su inversa P−1 es la matriz de transición de la nueva base a la base antigua.Ejemplo Sean las bases {e1=(1 ,0 ) , e2=(0 ,1)} y { f 1=(1 ,1 ) , f 2=(−1 ,0 ) } luego f 1=(1 ,1 )=(1 ,0 )+ (0 ,1 )=e1+e2
f 2=(−1 ,0 )=−1 (1 ,0 )+0 (0 ,1 )=−e1+0e2
P=(1 −11 0 )
e1=(1 ,0 )=0 (1 ,1 )+ (−1 ) (−1 ,0 )=0 f 1−f 2
e2=(0 ,1)=1 (1 ,1 )+1 (−1 ,0 )=f 1+f 2
P−1=Q=( 0 1−1 1)
PQ=(1 −11 0 )( 0 1
−1 1)=(1 00 1)=I
TEOREMASea P la matriz de transición de una base {e i } a una base{ f i } en un espacio vectorial V entonces ∀ v ϵ V se cumple que:
P [V ]f= [V ]e
Es decir:[V ]f=P−1 [V ]e
TEOREMASea P la matriz de transición de una base {e i } a una base { f i } en un espacio V entonces ∀ operador lineal T sobre V se cumple que:
[T ] f=P−1 [T ]eP
SIMILARIDADSupongamos que A y B son matrices cuadradas para los cuales existe una matriz invertible P tal que: B=P−1 AP, entonces se dice que B es similar a A o que se obtiene de A por una transformación de similaridad. La similaridad de matrices es una relación de equivalencia.
TEOREMADos matrices A y B representan el mismo operador lineal T si y solo si son similares la una a la otra. Todos los representantes matriciales del operador lineal T forman una clase de equivalencia de matrices similares.Ejemplo Sea T el operador lineal sobreR2 definido por T (3 ,1)=(2 ,−4 ) y T (1 ,1)=(0 ,2 ) , por el teorema el operador lineal existe y es único, hallar T (a , b) en particular T (7 , 4) .SoluciónSea un vector(a ,b ) tal que se forma la combinación lineal: (a ,b )=x (3 ,1 )+ y (1 ,1 )
a=3 x+ y x=a−b2
b=x+ y y=−a+3b2
Expresando T (a , b) como una combinación lineal de T (3,1) yT (1,1 ) , tenemosT (a , b)=T
( a−b2
(3 ,1 )+−a+3b2
(1 ,1))=a−b
2T (3 ,1 )+
−a+3b2
T (1 ,1 )
T (a , b)=a−b
2(2,−4 )+−a+3b
2(0 ,2 )=(a−b ,−3a+5b )
Para el caso particular de T (7,4 ) se tieneT (7 , 4)= (3 ,−11)
VALORES Y VECTORES PROPIOSEn los diversos campos de la ingeniería y las matemáticas surge el problema de calcular los valores escalares λ y los vectores x≠0 tales que para la matriz cuadrada A se cumple AX=λX…(1)Algunos campos de aplicación son:Las Ecuaciones diferenciales, Estabilidad de sistemas lineales, Sistemas eléctricos, Polos y ceros de transferencia, diagonalizacion de matrices, etc.Podemos averiguar si el problema planteado en (1) tiene solución si tenemos ( A−λI ) X=0…(2) , el problema se transforma en un sistema lineal homogéneo BX=0 , el cual tiene solución para X=0 , cuando det (B )≠0 , es
justamente lo que no nos interesa .El numero λ se dice que es el valor propio de la matriz cuadrada A si y solo si det (A−λI )=0 …(3) esta es la ecuación característica de la matriz A .El polinomio que surge de la ecuación (3) resulta un polinomio en ponencias de λ , la expresión a ( λ )=det (A− λI ) se le llama polinomio característico de la matriz A .El polinomio característico de una matriz de dimensión nxn es de grado n , por lo que se tiene n valores propios λ que satisfacen la ecuación (3) . VALOR PROPIOSea T :V →V un operador lineal sobre un espacio vectorial V sobre un cuerpo K . Un escalar λ ϵ K se llama valor propio de T si existe un vector diferente de cero, vϵ V talqueT ( v )=λv .
Todo vector que satisface esta relación se llama “vector propio” de T perteneciente al valor propio λ .Observación: Las transformaciones lineales del espacio como la rotación, la reflexión, el ensanchamiento o cualquier combinación de las anteriores pueden interpretarse mediante el efecto que producen en los vectores .De forma geométrica los vectores se visualizan como flechas de cierta longitud apuntado en una dirección y sentido determinado. Los vectores propios de las transformaciones lineales son vectores que no se ven afectados por la transformación.
Ejemplo: Sea λ un valor propio de un operador T :V →V . Sea V λ el conjunto de todos los vectores propios de T pertenecientes al valor propio λ (llamado el espacio propio de λ ) Demostrar que V λ es un subespacio de V .DemostraciónSean v ,w∈V λ ; es decir T ( v )=λv ,T (w )=λw. Entonces para todo escalar a ,b∈K,T (av+bw )=aT ( v )+bT (w )=a ( λv )+b ( λw )=λ (av+bw) , luego av+bw es un vector propio perteneciente a λ es decir V λes un subespacio de V .TEOREMASea T :V →V un operador lineal sobre un espacio vectorial V , entonces λ ϵ K es un valor propio de T si y solo si λ Ι−T es singular, el espacio propio de λ es entonces el núcleo de λ Ι−T .
TEOREMAVectores propios diferentes de cero pertenecientes a valores propios diferentes son linealmente independientes.POLINOMIO CARACTERISTICOSea una matriz cuadrada A sobre un cuerpo K
A=(a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
⋮ ⋮ ⋱ ⋮an1 an2 … ann
)La matriz t Ι n−A se llama matriz característica, el determinante det (t Ι n−A )=0 se llama ecuación característica, el polinomio característico es de la forma:Δ (t )=( t−a11) (t−a22 )…( t−ann ) , n términosconmáximon−2 factores de la format−an
Ejemplo Sea la matriz A=(1 4
2 3)i) Hallar los valores propios de A y los correspondientes vectores propios 2i) Hallar una matriz inversible P tal que P−1 AP sea diagonalSolución:Ejemplo: El polinomio característico de la matriz A es:
A=( 1 3 0−2 2 14 0 −2)
Δ (t )= (t Ι−A )=|t−1 −3 02 t−2 −1−4 0 t+2|=t3−t2+2 t+4
Es un polinomio característico, polinomio Mónico de tercer grado.El polinomio característico de una matriz de dimensión nxn es de grado n, por lo cual tendrá n posibles valores propios.Si λ es un valor propio de A y si X es el vector no nulo tal que AX=λX⟹ X se dice vector propio de A correspondiente al valor propio de λ.OBSERVACION:λ también llamado autovalor, valor característico o “eigen valor”.Ejemplo Dada la matriz A=(3 1 −1
2 2 −12 2 0 ) determine el polinomio característico y los
valores propios de ASoluciónP ( λ )=det|(3 1 −1
2 2 −12 2 0 )−λ (1 0 0
0 1 00 0 1)|=|3−λ 1 −1
2 2− λ −12 2 − λ|= (2−λ ) (2− λ ) (1−λ )=0
Entonces los valores propios son λ=2 , λ=2 , λ=1
POLINOMIO DE MATRICES Y OPERADORES LINEALESSea un polinomio f ( t )=an t
n+an−1tn−1+…+a1t+a0 , si A es una matriz cuadrada, entonces definimos:
f ( A )=an An+an−1 A
n−1+…+a1 A+a0 Ι
Se dice que A es una raíz o un cero del polinomio si f ( A )=0.
TEOREMASean f y gdos polinomios sobre un cuerpo k , y sea A una matriz cuadrada de orden n , sobre k , entonces:
i) ( f +g)(A)=f (A )+g (A )ii) ( f . g)( A )=f (A ) . g(A)
iii) (kf )(A )=kf (A )
OBSERVACION1. Los vectores propios de las transformaciones lineales son vectores que no se ven afectados por la transformación.2. El valor propio de un vector propio es el factor de escala por el que ha sido multiplicado.3. Un espacio propio es un espacio formado por todos los vectores propios del mismo valor propio, además del vector nulo que no es un vector propio.4. La multiplicidad geométrica de un valor propio es la dimensión del espacio propio asociado.Ejemplo: Hallar los vectores propios de la matriz A=(1 2
3 2)SOLUCION:
AX=λX
( A−λ Ι )X=0
(1−λ 23 2−λ)X=0
Hallando los valores propios:|1−λ 2
3 2−λ|=0
λ2−3 λ−4=0
λ1=−1 , λ2=4
Para λ1=−1 |2 23 3||x1
x2|=0
2 x1+2 x2=0
3 x1+3 x2=0
⟹ x1+x2=0⟺ x1=−x2
Vector propio: ( x1
−x2)=x ( 1
−1)⟶ vector propio( 1−1)
Para λ2=4
|−3 23 −2||x1
x2|=0
−3 x1+2x2=0
3 x1−2x2=0
3x1=2 x2
(x1
x2)=t (23)⟶vector propio(23)
TEOREMA DE CAYLEY-HAMILTONToda matriz es un cero de su polinomio característico.Ejemplo: A=(1 2
3 2)P ( λ )=λ2−3 λ−4
P (A )=(1 23 2)
2
−3(1 23 2)−4 (1 0
0 1)=(7 69 10)−(3 2
9 6)−(4 00 4)=(0 0
0 0)TEOREMASi A es una matriz cuadrada de orden n y λ es un valor propio de A⟹ λ es una raíz del polinomio característico.MULTIPLICIDAD ALGEBRAICALa multiplicidad algebraica de un valor propio λ como cero del polinomio característico.Ejemplo: Si los valores propios de una matriz Ason 4 ,4 ,3 ,3 ,3 ,2 ,2 ,1 significan que la multiplicidad algebraica del valor propio4 es 2, la de 3 es 3, la de 2 es 2, la de 1 es 1.
(λ−4 )2(λ−3)3( λ−2)2(λ−1)=0
DIAGONALIZACIONSea T :V⟶Vun operador lineal sobre un espacio vectorial V con dimensión finita entonces T es un operador lineal que se puede representar por una matriz diagonal.
T=¿
Si y solo si existe una base {v1 , v2 ,…,vn }de V tal que:
T (v1 )=k1 v1
T (v2 )=k2 v2
⋮
T (vn )=kn vn
Es decir los vectores {v1 , v2 ,…,vn }son vectores propios de T perteneciente a los valores propios k 1 , k2 ,…,kn .
OBSERVACION¿Qué es diagonalizar?Es determinar un sistema de referencia conveniente donde se tenga una simplicidad para los cálculos. Para estudiar una matriz, suele ser conveniente expresarla de la forma más sencilla posible. Para estudiar una matriz suele ser conveniente expresarla lo más sencilla posible , diagonalizar una matriz Aes precisamente escribirla de manera simple encontrando una matriz invertible P y una diagonal D ( si es posible) tal que A=PDP−1 , la matriz P se denomina matriz de paso .MATRIZ DIAGONALIZABLE Una matriz n x nes diagonalizable si existe una matriz diagonal D tal que Aes semejantea D . Si D es una matriz diagonal entonces los valores propios son sus componentes en la diagonal .Si A es semejante a D entonces tienen los mismos valores propios , entonces si A es diagonalizable , A es semejante a una matriz diagonal.:FORMAS CUADRATICAS O CUADRICASSe llama forma cuadrática a un polinomio homogéneo de grado 2. Una forma cuadrática P tiene la siguiente expresión matricial:
P (X )=X t AX=∑i=1
n
∑j=1
n
a ij x j1 x i1
Donde X es una matriz columna de orden nx 1, A es una matriz cuadrada de orden nxnOBSERVACION
Dadas las matrices A y X se presenta una forma cuadrática P ( λ )=X t AX
Ejemplo:P (X )=2x2+6 xy+ y2
P (X )= (x y )1x 2(2 33 1)( xy)2x 1
=(2 x+3 y 3 x+ y )1x 2(xy)2 x1
=2x2+6 xy+ y2
Ejemplo:P (X )=x2+ y2+2 xy+ z2−5xz+6 yz
P (X )= (x y z )( 1 1−92
1 1 2−92
2 1 )( xyz )Ejemplo:P (X )=3 x2− y2+t 2+w2−5 z2+xt+wz+ xy
P (X )= (x y t w z )(3
12
12
0 0
12
−1 0 0 0
12
0 1 0 0
0 0 0 112
0 0 012
−5)( xytwz )
DIAGONALIZACION DE FORMAS CUADRÁTICASUna forma cuadrática P se dice que se encuentra en su forma diagonal si en ella no aparece ningún término mixto:x i1 x j1 con i≠ j
P=a11 x12+a22 x2
2+…+ann xnn2=X t AX
Donde A es la matriz diagonal:A=(a11 0 … 0
0 a22 … 0⋮ ¿⋱ ¿0 ¿
…¿ann¿)DEFINICION.- Se dice que una forma cuadrática q ( X )=X t AX es diagonalizable si existe una matriz no singular B, tal que al hacer la transformación X=BY ,resulta:
q (Y )=(BY )t A (BY )=Y t Bt ABY=Y t DY ,donde Desunamatriz diagonal tal que
q (Y )=d11 y12+d22 y2
2+…+dnn ynn2
Es una forma diagonal en las nuevas variables y1 , y2 , y3 ,…, yn. Se dice que B diagonaliza a la matriz A, esta matriz B siempre existe, para ello A es una matriz simétrica, B es una matriz no singular.En muchos casos los elementos de la matriz diagonal en la diagonal principal son los valores propios de A.Ejemplo: Diagonalizar la forma cuadrática, considere q ( X )=x2+4 xy+5 y2
→A=(1 22 5) , considere B=(1 −2
0 1 )Solución:
q ( X )=( x y )(1 22 5)( xy )
A=(1 22 5)
Sea X=BY
( xy )=(1 −20 1 )( y1
y2)
q ( y )=(BY )t A (BY )=( y1 y2 )( 1 0−2 1)(1 2
2 5)(1 −20 1 )( y1
y2)
¿ ( y1 y2 ) (1 20 1)(1 −2
0 1 )( y1
y2)
q ( y )=( y1 y2 )1 x2(1 00 1)2x 2( y1
y2)=( y1 y2)1x 2( y1
y2)2x 1
= y12+ y2
2
OBS:A=(1 2
2 5)det (A−λ Ι )=det(1−λ 2
2 5− λ)=0⟺ λ2−6 λ+1=0
NOTA.- En el ejemplo la forma cuadrática diagonalizable es: q ( y )= y12+ y2
2
Hemos hablado de la transformación X=BY , la cual se interpreta como una rotación de coordenadas.DIAGONALIZACION ORTOGONAL DE FORMAS CUADRÁTRICASDada una forma cuadrática P (X )=X t AX, es posible hallar una matriz P ortogonal (P−1=P t ) que diagonalice ortogonalmente a la matriz A, para ello se debe tener en cuenta que:
1. Hallar los valores propios y vectores propios de la matriz A linealmente independientes.2. Los vectoresv1 , v2 ,…,vn forman una base ortonormal para lo cual se utiliza el proceso de GRAM-SCHMIDT, es decir, hacer:a. v1=
u1
‖u1‖b. vk+1=uk+1−[ ⟨uk+1 , v1 ⟩v1+ ⟨uk +1 , v2 ⟩v2+…+ ⟨uk+1 , vk ⟩ vk ]
Calculamos los vectores vk+1' que son ortogonales entre si, y son ortogonales a los vectores {v1 , v2 ,…,vk } , formamos la matriz P de modo que cada uno de los vectores v1 , v2 ,…,vn son vectores columna de la matriz P.
3. Se tiene la forma diagonalizable:P (X )=X t AX⇒P (Y )=Y t (Pt AP )Y=Y t DYDonde D es una matriz diagonal formada por valores propios de A.
Ejemplo: Diagonalizar ortogonalmente la forma cuadráticaP=3 w2+3 x2+9 y2+6 z2+2wx−4 yz
Solución:A=(
3 1 0 01 3 0 00 0 9 −20 0 −2 6
)|A−λ Ι|=|3−λ 1 0 0
1 3−λ 0 00 0 9−λ −20 0 −2 6−λ
|=0
¿ (3−λ )|3−λ 0 00 9−λ −20 −2 6−λ|−|
1 0 00 9−λ −20 −2 6−λ|
¿ (3−λ ) (3− λ ) ( λ−5 ) ( λ−10 )−( λ−5 ) ( λ−10 )=0
¿ ( λ−5 ) ( λ−10 ) ( λ−4 ) ( λ−2 )=0
Los valores propios son:λ1=2 , λ2=4 , λ3=5 , λ4=10
Para λ1=2:
|1 1 0 01 1 0 00 0 7 −20 0 −2 4
|⟶|1 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0
|x1+ x2=0
x3=0 (x1 x2 x3 x4 )=t (1 −1 0 0 )
x4=0
Para λ2=4 :
|−1 1 0 01 −1 0 00 0 5 −20 0 −2 2
|⟶|1 −1 0 00 0 0 00 0 1 00 0 0 1
|(x1 x2 x3 x4 )=s (1 1 0 0 )
Para λ3=5 : (0 0 1 2 )
Para λ4=10 : (0 0 −2 1 )
v1=u1
‖u1‖=(1 ,−1 ,0 ,0 )=( 1
√2,− 1
√2,0 ,0)
v2'=u2− ⟨u1 , v1 ⟩ v1=(1 ,1 ,0 ,0 )−⟨ (1 ,1 ,0 ,0 ) ,( 1
√2,−
1
√2,0 ,0)⟩( 1
√2,−
1
√2,0 ,0)= (1,1 ,0 ,0 )
v2=v2
'
‖v2'‖=( 1
√2,
1√2
,0 ,0)
v3'=u3−[ ⟨u3 , v1 ⟩ v1+⟨u3 , v2 ⟩v2 ]=(0 ,0 ,1 ,2 )−[⟨(0 ,0 ,1 ,2 ) ,( 1
√2,− 1
√2,0 ,0)⟩( 1
√2,− 1
√2,0 ,0)+ ⟨(0 ,0 ,1 ,2 ) ,( 1
√2,
1√2
,0 ,0)⟩( 1√2
,1√2
,0 ,0)]=(0 ,0 ,1 ,2 )
v3=v3
'
‖v3'‖=(0 ,0 , 1
√5,
2√5 )
v4'=u4−[ ⟨u4 , v1 ⟩ v1+ ⟨u4 , v2 ⟩v2+ ⟨u4 , v3 ⟩v3 ]
v4'=(0 ,0 ,−2 ,1 )−[⟨ (0 ,0 ,−2 ,1 ) ,( 1
√2,−1√2
,0 ,0)⟩( 1√2
,−1√2
,0 ,0)+ ⟨ (0 ,0 ,−2 ,1 ) ,( 1√2
,1√2
,0 ,0)⟩( 1√2
,1√2
,0 ,0)+⟨ (0 ,0 ,−2 ,1 ) ,(0 ,0 , 1√5
,2√5 )⟩(0 ,0 , 1
√5,
2√5 )]=(0 ,0 ,−2 ,1 )
v4=v4
'
‖v4'‖=(0 ,0 ,−2
√5,
1√5 )
P=[1
√21
√20 0
−1√2
1√2
0 0
0 01√5
−2√5
0 02√5
1√5
]Luego:
D=P t AP=(1
√2−1
√20 0
1√2
1√2
0 0
0 01√5
2√5
0 0−2√5
1√5
)(3 1 0 01 3 0 00 0 9 −20 0 −2 6
)(1
√21
√20 0
−1√2
1√2
0 0
0 01√5
−2√5
0 02√5
1√5
)=(2 0 0 00 4 0 00 0 5 00 0 0 10
)
P (X )=X t AX⟺ P (Y )=Y t DY=( y1 y2 y3 y4 )(2 0 0 00 4 0 00 0 5 00 0 0 10
)(y1
y2
y3
y4
)=2 y12+4 y2
2+5 y32+10 y4
2
Forma diagonalizadaNOTAS COMPLEMENTARIASSuperficies
Definición.
Dada la ecuación φ ( x , y , z )=0 en las variables x , y , z; la gráfica de esta ecuación
en el espacio tridimensional (R3) es el conjunto de todos los puntos P(x , y , z)
cuyas coordenadas satisfacen la ecuación; a dicha grafica se denomina superficie.
Ejemplo.
El plano, la esfera, etc.
Nota.
Existen ecuaciones tales como
a) x2+( y−2)2+z2+8=0, ∄ (a ,b , c )∈R3
b) (x+2)2+9( y+1)2+5 (z−1)2=0, ∃! punto.
Que no representan a una superficie (a estos casos se denomina degenerado).
Esfera.
Definición.
Una esfera es el conjunto de todos los puntos del espacio que equidistan de un punto
fijo llamado centro. La distancia de cualquier punto al centro es llamado radio.
Sea P ( x , y , z ) cualquier punto de la esfera c (x0 , y0, z0) y radio r>0, luego la
distancia
d (P ,c )=r; r>0↔d2 (P ,c )=r2; c (x0 , y0, z0)
(x−x0)2+( y− y0)
2+(z−z0)2=r2…(¿)
Si el centro es el origen, entonces la esfera es x2+ y2+z2=r2.
La ecuación (¿) es de la forma
x2+ y2+z2+Dx+Ey+Fz+G=0
Discusión y gráfica de la ecuación de una superficie.
De manera similar a la discusión que se efectúa antes de trazar la gráfica de una
curva plana, en el caso de las superficies es también ventajoso discutir previamente
su ecuación antes de construirla. Para discutir la ecuación E ( x , y , z )=0 de una
superficie se siguen los siguientes pasos:
I) INTERSECCIONES CON LOS EJES COORDENADOS.
Son las intersecciones de la superficie con cada uno de los ejes coordenados.
i) Con el eje X . Se reemplaza y=z=0 en la ecuación de la superficie y
se analiza la ecuación resultante.
ii) Con el eje Y . Se reemplaza x=z=0 en la ecuación de la superficie y se
analiza la ecuación resultante.
iii) Con el eje Z. Se reemplaza x= y=0 en la ecuación de la superficie y se
analiza la ecuación resultante.
II) TRAZAS SOBRE LOS PLANOS COORDENADOS.
La traza de una superficie sobre un plano coordenado es la intersección de la
superficie y el plano coordenado.
i) Con el plano XY . Se reemplaza z=0 en la ecuación de la superficie.
ii) Con el plano YZ . Se reemplaza x=0 en la ecuación de la superficie.
iii) Con el plano XZ . Se reemplaza y=0 en la ecuación de la superficie.
III) SECCIONES TRANSVERSALES O SECCIONES PARALELAS A
LOSPLANOS COORDENADOS.
Son las intersecciones de la superficie con planos paralelos a los planos
coordenados.
i) Al plano XY . Se reemplaza z=k en la ecuación de la superficie.
ii) Al plano XZ . Se reemplaza y=k en la ecuación de la superficie.
iii) Al plano YZ . Se reemplaza x=k en la ecuación de la superficie.
IV) EXTENSION DE LA SUPERFICIE:
Se entiende por extensión de la superficie a los valores reales que toman las
variables x , y , z en la ecuación.
El paso anterior facilita la determinación de la extensión; por ejemplo, si al
estudiar las secciones paralelas al plano XY se determina que hay intersección
con los planos z=k cuando k∈ [−3 ;3 ]. Esto indica que en la superficie z
varia entre −3y 3, es decir z∈ [−3 ;3 ].
V) SIMETRIAS CON RESPECTO A LOS PLANOS COORDENADOS,
ALOS EJES COORDENADOS Y AL ORIGEN:
Previamente, se dice que dos puntos P y Q son simétricosconrespectoaun
plano si el plano es perpendicular al segmento que los une en su punto medio.
Por otro lado, se dice que una superficie es simétrica con respecto al plano Π ,
si el simétrico de cada punto de la superficie, respecto al plano Π , es también
un punto de la superficie.
Si P ( x , y , z ) es un punto del espacio, entonces:
a) El simétrico de P con respecto al plano XY es Q ( x , y ,−z ).
b) El simétrico de P con respecto al plano XZ es Q ( x ,− y , z ).
c) El simétrico de P con respecto al plano YZ es Q (−x , y , z ).
Considerando que el lector está familiarizado a las simetrías con respecto a una recta y
a un punto se sigue:
d) El simétrico de P con respecto al eje X es Q ( x ,− y ,−z ).
e) El simétrico de P con respecto al eje Y es Q (−x , y ,−z ).
f) El simétrico de P con respecto al eje Z es Q (−x ,− y , z ).
g) El simétrico de P con respecto al origen es Q (−x ,− y ,−z ).
Se dice que una superficie es simétrica con respecto a una recta L si el simétrico da
cada punto, respecto a la recta L, es también un punto de la superficie.
Se dice que una superficie es simétrica con respecto a una recta C si el simétrico de
cada punto, respecto a la recta C, es también un punto de la superficie.
De las consideraciones anteriores, se deduce fácilmente la siguiente tabla:
Si la ecuación de la superficie no se La superficie es simétrica con
altera cuando se reemplaza: respecto al:
x por – x
y por – y
z por – z
z por −z∧ y por – y
x por −x∧ z por – z
x por −x∧ y por – y
x por – x , y por – y∧ z por −z
plano YZ
plano XZ
plano XY
eje X
eje Y
eje Z
origen
VI) CONSTRUCCION DE LA SUPERFICIE (GRÁFICA)
Con la ayuda de los pasos anteriores se construye la gráfica de una superficie.
Ejemplo 1.
Discutir y graficar la ecuación 9 x2+4 y2−12 z=0.
Solución.
I. INTERSECCION CON LOS EJES.
i) Con el eje X .
Haciendo y=z=0 en la ecuación se obtiene 9 x2=0→x=0.
La superficie intercepta al eje X en el origen de coordenadas.
Al estudiar las otras intersecciones se comprueba que el origen es el único
punto de intersección.
II. TRAZAS SOBRE LOS PLANOS COORDENADOS.
i) Sobre el plano XY .
Haciendo z=0 se obtiene 9 x2+4 y2=0. Esta ecuación, en el plano XY ,
representa al origen de coordenadas.
ii) Sobre el plano XZ .
Haciendo y=0 se obtiene 9 x2−12 z=0. Esta ecuación, en el plano XZ ,
representa a una parábola.
iii) Sobre el plano YZ .
Haciendo x=0 se obtiene la parábola 4 y2−12 z=0.
III. SECCIONES TRANSVERSALES A LOS PLANOS COORDENADOS.
i) Al plano XY .
Haciendo z=k en la ecuación de la superficie se obtiene 9 x2+4 y2=12k
.
Se observa que hay intersección solamente cuando k ≥0 (si k=0 es un
punto, si k>0 es una elipse)
ii) Al plano XZ .
Haciendo y=k en la ecuación de la superficie se obtiene
9 x2−12 z+4k 2=0.
Esta ecuación representa a una parábola ∀ x∈R.
iii) Al plano YZ .
Haciendo x=k en la ecuación se tiene 4 y2−12 z+9k2=0.
Esta ecuación representa a una parábola ∀ x∈R.
IV. EXTENSION.
De III (iii) se obtiene x∈ R.
De III (ii) se obtiene y∈R.
De III (i) se obtiene z∈ [0 ;+∞ ⟩.
V. SIMETRIAS.
La superficie es simétrica con respecto al plano YZ , al plano XZ y al eje Z.
VI. GRÁFICA.
La gráfica de esta
ecuación se denomina
paraboloide elíptico.
Ejemplo 2.
Discutir y graficar la superficie cuya ecuación es y2−4 y+2 z=0.
Solución
I. INTERSECCION CON LOS EJES.
i) Con el eje X .
Haciendo y=z=0 en la ecuación se obtiene 0=0, esto significa que todo
punto del eje satisface la ecuación de la superficie, es decir, la intersección
de la superficie con el eje X es el eje X .
ii) Con el eje Y .
Haciendo x=z=0→ y2−4 y=0→ y=0∨ y=4.
Las intersecciones son los puntos P1(0,0,0) y P2(0,4,0).
iii) Con el eje Z.
Haciendo x= y=0→2 z=0.
La intersección es el origen de coordenadas.
II. TRAZAS SOBRE LOS PLANOS COORDENADOS.
i) Sobre el plano XY .
Las trazas son las rectas: y=0 (eje X ) ∧ y=4 (paralelo al eje X )
ii) Sobre el plano XZ .
La traza es la recta: z=0 (eje X ).
iii) Sobre el plano YZ .
La traza es la parábola y2−4 y+2 z=0.
III. SECCIONES TRANSVERSALES A LOS PLANOS COORDENADOS.
i) Al plano XY .
Haciendo z=k→ y2−4 y+2 z=0→y=2±√4−2k .
Existe intersección k ≤2 (Para k=2 es una recta, para k<2 son dos rectas
paralelas)
ii) Al plano XZ .
Haciendo y=k en la ecuación de la superficie se obtiene 2 z=4 k−k2, es
una recta ∀ k∈R.
iii) Al plano YZ .
Haciendo x=k en la ecuación se tiene y2−4 y+2 z=0, es una parábola
∀ k∈R.
IV. EXTENSION
x∈ R (De III – iii)
y∈R (De III – ii)
z∈ ⟨−∞ ; 2 ] (De III – i)
V. SIMETRIAS
Existe simetría con respecto al plano YZ .
VI. GRÁFICA
La gráfica de esta ecuación se denomina cilindro parabólico.
Superficies cuadráticas
Una superficiecuádrica o simplemente cuádrica o cuadrática es la gráfica de una ecuación
de segundo grado en las variables x , y , z.
Algunas superficies cilíndricas o superficies de revolución son ejemplo de cuádricas. En
esta sección se dará algunas formas estándar de las superficies cuádricas cuyas ecuaciones
están en su forma más simple.
Considerando que el alumno está en condiciones de discutir la ecuación de una superficie,
nos limitaremos a describir algunas propiedades de estas superficies.
Elipsoide.
Su ecuación es de la forma:
x2
a2 +y2
b2 +z2
c2=1
Dondea, b y c son números positivos.
x∈ [−a ;a ]
y∈ [−b;b ]
z∈ [−c ; c ]
Si a2=b2=c2, es una esfera.
Si a2=b2 (o b2=c2, o a2=c2) es un elipsoidederevolución o esferoide.
Un esferoide cuyo tercer número es mayor que los dos números iguales, se llama
esferoidealargado (la elipse que la genera gira alrededor de su eje mayor). Si el
tercer número es menor que los dos números iguales, se llama esferoideachatado (la
elipse que la genera gira alrededor de su eje menor).
Las secciones transversales a los planos coordenados son elipses o circunferencias.
(en los planos x=±a, y=±b, z=±c, se reduce a un punto).
Esta superficie es simétrica con respecto a uno de los planos coordenados, simétrica
con respecto a cada uno de los ejes coordenados y simétrica con respecto al origen.
La gráfica se muestra arriba.
El origen es el centro del elipsoide. Si el centro del elipsoide es el punto
C (x0 , y0 , z0 ), su ecuación es de la forma
(x−x0 )2
a2 +( y− y0 )
2
b2 +( z−z0 )
2
c2 =1
Hiperboloide elíptico (o circular) de una hoja.
Su ecuación es de la forma:
x2
a2 +y2
b2−z2
c2=1(o x2
a2−y2
b2 +z2
c2=1 , o− x2
a2+y2
b2 +z2
c2=1)En la figura de abajo se muestra la gráfica de
x2
a2 +y2
b2−z2
c2=1
A continuación se describe algunas propiedades de esta superficie.
x∈ ⟨−∞ ;−a ]∪ [a ;+∞ ⟩
y∈ ⟨−∞ ;−b ]∪ [b ;+∞ ⟩
z∈ ⟨−∞;+∞ ⟩
Si a2=b2, es una superficie de revolución (hiperboloidecirculardeunahoja)
Si a2≠b2, es el hiperboloideelípticodeunahoja.
Las secciones transversales al plano XY son elipses o circunferencias según si
a2≠b2oa2=b2
Las secciones transversales al plano XZ o el plano YZ son hipérbolas. (En los planos
y=b, x=a son dos rectas que se cortan).
Esta superficie es simétrica con respecto: a los ejes coordenados, a los planos
coordenados y al origen.
El centro de esta superficie es el origen de coordenadas. Si su centro es C (x0 , y0 , z0 ), su ecuación es de la forma:
(x−x0 )2
a2 +( y− y0 )
2
b2 −( z−z0 )
2
c2 =1
Hiperboloide elíptico (o circular) de dos hojas.
Su ecuación es de la forma:
−x2
a2 + y2
b2−z2
c2=1(ó x2
a2−y2
b2−z2
c2=1 , ó− x2
a2−y2
b2 +z2
c2=1)Dondea, b y c son números positivos.
En la figura de abajo se muestra la gráfica de
−x2
a2 + y2
b2−z2
c2=1
En lo que sigue, se describe algunas propiedades de esta superficie.
x∈ ⟨−∞;+∞ ⟩
y∈ ⟨−∞ ;−b ]∪ [b ;+∞ ⟩
z∈ ⟨−∞;+∞ ⟩
Si a2=c2, es una superficie de revolución (hiperboloidecirculardedoshojas).
Si a2≠c2, es el hiperboloideelípticodedoshojas.
Las secciones transversales al plano XZ son circunferencias o elipses según si
a2=c2 o a2≠c2. (En el plano y=b, es un punto).
Esta superficie es simétrica con respecto a los ejes coordenados, a los planos
coordenados y al origen.
El centro de esta superficie es el origen de coordenadas. Si su centro es C (x0 , y0 , z0 ), su ecuación es de la forma:
−(x−x0 )2
a2 +( y− y0 )
2
b2 −( z−z0)
2
c2 =1
Observación
Las tres superficies cuádricas (elipsoide, hiperboloide de una hoja e hiperboloide de
dos hojas) también se denominan cuádricascentrales. En general cualquier ecuación
de la forma:
±(x−x0)
2
a2 ±( y− y0 )
2
b2 ±( z−z0 )
2
c2 =1
Dondea, b y c son positivos, representa a una cuádrica central con centro en
C (x0 , y0 , z0 ).
Si los tres signos son positivos: elipsoide.
Si dos signos son positivos y uno es negativo: hiperboloide de una hoja.
Si dos signos son negativos y uno es positivo: hiperboloide de dos hojas.
Si los tres signos son negativos: es el conjunto vacío.
Paraboloide elíptico (o circular)
Su ecuación es de la forma
x2
a2 +y2
b2=cz(o x2
a2 +z2
b2=cy ,oy2
a2 +z2
b2=cx )Dondea, b y c son números positivos y c ≠0.
En la figura de abajo se muestra la gráfica de
x2
a2 +y2
b2=cz
Conc>0, (si c<0 el paraboloide se extiende hacia la parte negativa del eje Z). Las
propiedades de esta superficie son:
x∈ ⟨−∞;+∞ ⟩
y∈ ⟨−∞;+∞ ⟩
z∈ ⟨−∞ ; 0 ]
(sic<0, z∈ ⟨−∞ ; 0 ])
Si a2=b2, es una superficie de revolución (paraboloidecircular).
Si a2≠b2, es el paraboloideelíptico.
Las secciones transversales al plano XY son circunferencias o elipses según si
a2=b2 o a2≠b2. (En el plano z=0, la traza es un punto).
Esta superficie es simétrica con respecto al eje Z, al plano XZ y al plano YZ .
El vértice de esta superficie es el origen de coordenadas. Si el vértice es
V (x0 , y0 , z0 ), su ecuación es de la forma:
(x−x0 )2
a2 +( y− y0 )
2
b2 =c (z−z0)
En los otros casos, la ecuación es de la forma:
(x−x0 )2
a2 +( z−z0 )
2
b2 =c ( y− y0 )o( y− y0 )
2
a2 +( z−z0 )
2
b2 =c (x−x0)
Paraboloide hiperbólico.
Su ecuación es de la forma
y2
b2−x2
a2=cz (o z2
b2−x2
a2=cy ,oz2
b2−y2
a2 =cx )Dondea, b y c son números positivos y c ≠0.
En la figura de abajo se muestra la gráfica de
y2
b2−x2
a2=cz
Con c>0.
Las propiedades de esta superficie son:
x∈ ⟨−∞;+∞ ⟩
y∈ ⟨−∞;+∞ ⟩
z∈ ⟨−∞;+∞ ⟩
Las secciones transversales al plano XY son hipérbolas (En el plano z=0 son dos
rectas que se cortan). Las secciones transversales al plano XZ y al plano YZ son
parábolas.
Esta superficie es simétrica con respecto al eje Z, al plano XZ y al plano YZ .
El origen de coordenadas es el punto de silla (de montar) de esta superficie. Si el
punto de silla es S (x0 , y0 , z0 ), su ecuación es de la forma:
( y− y0 )2
b2 −(x−x0 )
2
a2 +¿c (z−z0)
En los otros casos, la ecuación es de la forma:
( z−z0 )2
b2 −(x−x0 )
2
a2 =c ( y− y0 )o( z−z0 )
2
b2 −( y− y0 )
2
a2 =c (x−x0)
Cono elíptico (o circular)
Su ecuación es de la forma:
x2
a2 +y2
b2=z2
c2 (o x2
a2+z2
b2=y2
c2 =, ox2
a2 +y2
b2=z2
c2 )Dondea, b y c son números positivos.
En la figura de abajo se muestra la gráfica de la superficie
x2
a2 +y2
b2=z2
c2
Esta superficie tiene las siguientes propiedades:
x∈ R
y∈R
z∈ R
Si a2=b2, es una superficie de revolución (cono circular).
Si a2≠b2 es el cono elíptico.
Las secciones transversales al plano XY son circunferencias o elipses según si
a2=b2, o a2≠b2. (En el plano z=0 la traza es el origen de coordenadas).
Las secciones transversales al plano XZ y al plano YZ son hipérbolas (En los planos
y=0 y x=0 son dos rectas que se cortan).
Esta superficie es simétrica con respecto: a los ejes coordenados, a los planos
coordenados y al origen.
El origen de coordenadas es el vértice de esta superficie. Si el vértice es
V (x0 , y0 , z0 ), la ecuación es de la forma:
(x−x0 )2
a2 +( y− y0 )
2
b2 =( z−z0 )
2
c2
En los otros casos, la ecuación es de la forma:
(x−x0 )2
a2 +( z−z0 )
2
b2 =( y− y0 )
2
c2 o( z−z0 )
2
a2 +( y− y 0 )
2
b2 =(x−x0 )
2
c2
PROBLEMAS
1. Reconocer y graficar con respecto a los nuevos ejes 7x2 + 6y2 + 5z2 - 4xy + 6x - 6y +
12z - 192
=0, indique los valores y vectores propios.
Solución:
Se expresa la ecuación en su forma matricial ( x y z )( 7 −2 0
−2 6 00 0 5)(
xyz ) + 6 (1 −1 2 )( xyz ) - 19
2 =0
Hallamos los valores y vectores propios de:( 7 −2 0−2 6 00 0 5)
|7−λ −2 0−2 6−λ 00 0 5−λ| = (λ−5)(λ2−13 λ+38)=0
λ1=5 , λ2=13−√17
2 , λ3 = 13+√17
2
Para λ1=5:
( 2 −2 0−2 1 00 0 0)(
xyz )=(
000)
x=y=0 , z=t ⇒ v1=(001)Para λ2=
13−√172
:
(1+√17
2−2 0
−2−1+√17
20
0 0−3+√17
2)( xyz )=(000)
x=y=z=0 ⇒ v2=(000)Para λ3 = 13+√17
2 :
(1−√17
2−2 0
−2−1−√17
20
0 0−3−√17
2)( xyz )=(000)
x=y=z=0 ⇒ v3=(000)Entonces:
( xyz )=(0 0 00 0 01 0 0)(
x'
y '
z ')
Luego:(x ' y ' z ' )(
5 0 0
013−√17
20
0 013+√17
2)( x 'y '
z' ) + 6(1 −1 2 )( xyz ) - 19/2 = 0
(x ' y ' z ' )(5 0 0
013−√17
20
0 013+√17
2)( x 'y '
z' ) + 6(2 0 0 )( x'
y '
z ') - 19/2 = 0
5x ' 2 + 13−√172
y ' 2 + 13+√172
z ' 2 + 12x’ - 9.5 = 0
5(x '+1.2 )2 + 13−√172
y ' 2 + 13+√172
z ' 2 - 16.7= 0
Reemplazando por traslación:x '+1.2=x’’
⇒5x ' ' 2 + 13−√172
y ' 2 + 13+√172
z ' 2 - 16.7= 0
Haciendo x constante:13−√17
2y ' 2 + 13+√17
2z ' 2 - 16.7 + c x= 0
Forma elipsoideal Haciendo y constante:
5x ' ' 2 + 13+√172
z ' 2 - 16.7 + c y= 0
Forma elipsoideal Haciendo z constante:
5x ' ' 2 + 13−√172
y ' 2+c z=0Forma elipsoideal
Entonces en conjunto formarían un esferoide o un elipsoide de revolución.
2. Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales
X (t)' = ( 2 −1 0
−1 2 −10 −1 2 )X (t ) , X (0) = ( 9
1011)
Solución:
Sea A= ( 2 −1 0−1 2 −10 −1 2 )
Luego hallamos los valores y vectores propios de A:
|2−λ −1 0−1 2−λ −10 −1 2− λ| = 0 → ( λ−2 ) (λ2−4 λ+2 )=0
λ1=2, λ2=2-√2, λ3=2+√2
Para λ1=2:
( 0 −1 0−1 0 −10 −1 0 )( xyz )=(
000) y=0, -x-z=0 ⇒ v1=( 1
0−1)
Para λ2=2-√2:
(√2 −1 0−1 √2 −10 −1 √2
)( xyz )=(000) x=z, y=√2x ⇒ v2=( 1
√21 )
Para λ2=2+√2:
(−√2 −1 0−1 −√2 −10 −1 −√2
)( xyz )=(000) x=z, y=-√2x ⇒ v2=( 1
−√21 )
Luego P=( 1 1 10 √2 −√2−1 1 1 ) , P−1=
14 (2 0 −2
2 √2 21 −√2 1 )
Se sabe:
e At= P. eJt . P−1 , eJt=(e2 t 0 00 e (2−√2) t 00 0 e(2+√2)t)
→ e At=14 ( 1 1 1
0 √2 −√2−1 1 1 )(e
2 t 0 00 e( 2−√2 ) t 00 0 e(2+√2)t)(2 0 −2
2 √2 21 −√2 1 )
e At= 14 ( e2 t e (2−√2) t e(2+√2 )t
0 √2e( 2−√2 ) t −√2e(2+√2)t
−e2 t e (2−√2) t e(2+√2 )t )(2 0 −22 √2 21 −√2 1 )
e At= 14 ( 2e2 t+2e (2−√2) t+e(2+√2)t √2e (2−√2) t−√2e(2+√2)t −2e2 t+2e (2−√2) t+e(2+√2)t
2√2e (2−√2) t−√2e(2+√2)t 2e( 2−√2 )t+2e(2+√2)t 2√2e (2−√2) t−√2e(2+√2)t
−2e2 t+2e (2−√2) t+e(2+√2)t √2e (2−√2) t−√2e(2+√2)t 2e2 t+2e (2−√2) t+e(2+√2)t )
X t=14 ( 2e2 t+2e (2−√2) t+e(2+√2)t √2e (2−√2) t−√2e(2+√2)t −2e2 t+2e (2−√2) t+e(2+√2)t
2√2e (2−√2) t−√2e(2+√2)t 2e( 2−√2 )t+2e(2+√2)t 2√2e (2−√2) t−√2e(2+√2)t
−2e2 t+2e (2−√2) t+e(2+√2)t √2e (2−√2) t−√2e(2+√2)t 2e2 t+2e (2−√2) t+e(2+√2)t )( 91011)
3. Determine los valores propios de A10, sabiendo que
A =(3 4 −2 80 1 −1 00 0 −1 50 0 0 4
)Solución:
Como es una matriz triangular superior, solo la diagonal principal es afectada.
A10=(310 0 0 00 110 0 00 0 (−1 )10 0
0 0 0 410) = (310 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 410)
Hallando los valores propios:
|310− λ 0 0 0
0 1−λ 0 00 0 1−λ 00 0 0 410−λ
|=0
(310− λ) (1− λ) (1− λ) (410−λ)=0
λ1= 310,λ2= λ3= 1,λ4=410
Para λ1=310:
(0 0 0 00 1−310 0 00 0 1−310 00 0 0 410−310)(
xyzt)=(
0000)
↪y=z=t=0 ⇒ v1=(1000)
Para λ2= λ3= 1:
(310−1 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 410−1
)( xyzt)=(
0000)
↪x=t=0 ⇒ v2=(0100) y v3=(
0010)
Para λ4=410:
(310−410 0 0 0
0 1−410 0 00 0 1−410 00 0 0 0
)↪x=y=z=0 ⇒ v4=(
0001)
3.-Sea T :M 2 x2→R3 una transformación lineal tal como:
T (|a bc d|)=(a+2b−c ,a+4b+d ,b+8c+d)
a) Calcule una base y la dimensión del núcleob) Calcule la imagen
c) Obtener la matriz de T respecto a las bases {[1 11 1] , [1 0
1 0] ,[0 00 1] ,[0 1
1 1]}enM 2 x2
d) Hallar la imagen de [−1 32 2]
Solución:Calculamos la base canonica:
T (|1 00 0|)=(1,1,0)
T (|0 10 0|)=(2,4,1)
T (|0 01 0|)=(−1,0,8)
T (|0 00 1|)=(0,1,1)
Entonces la matriz será:
A=[1 2 −11 4 00 1 8
011]
Desarrollando se llega a:
A=[1 0 00 1 00 0 1
000]
Con lo que se puede decir que:
Dim I=3
Dim k=1
Además la imagen generada seria:
T={(110) ,(241) ,(−108 )}
Ahora hallaremos la Matriz T:
T (|1 11 1|)=(2,6,10)
T (|1 10 0|)=(0,1,8)
T (|0 00 1|)=(0,1,1)
T (|0 11 1|)=(1,5,10)
Por tanto la Matriz T será:
T=( 2 0 06 1 1
10 8 1
1510)
La imagen de [−1 32 2]:
[−1 32 2]=−1(1 0
0 0)+3(0 10 0)+2(0 0
1 0)+2(0 00 1)
De aquí:
T [−1 32 2]=(−1 6 −2
−1 12 00 3 16
022)
¿(1 0 00 1 00 0 1
000)
La imagen generada seria:
T={(−1−10 ) ,( 6
123 ) ,(−2
016 )}
5.a) Sea la matriz Aθ=|0 cosθ −senθ0 senθ cosθ1 0 0 |
Si Aθ :R3→R3describa Aθ en términos geométricos , grafique
b) Una matriz A tiene valores propios 6 y12.Además correspondiente a 6 que es de multiplicidad 2, se tiene los vectores propios (1,0,-1) y (1,1,1) y para 12 se tiene el vector propio (1,-2,1) si se sabe que A es simétrica, determine la matriz A.
Solución:
a)
|0 cosθ −senθ0 senθ cosθ1 0 0 |=cosθ2+senθ2=1
Sabes que la ecuación de la gráfica es:
cosθ2+senθ2=x2+ y2=1
Por tanto la gráfica es:
b)
Sabemos que:
A=P.B.P-1
Entonces los datos nos dan los vectores propios con lo cual:
P=( 1 1 10 1 −2−1 1 1 )
De este hallamos su inversa la cual es:
P−1=16∗(3 6 −3
2 2 21 −2 1 )
Además sabemos su diagonalización gracias a los valores propios dados también:
B=(6 0 00 6 00 0 12)
Por tanto reemplazando en A=P.B.P-1 nos debe salir:
A=( 1 1 1
0 1 −2−1 1 1 )∗(6 0 0
0 6 00 0 12)∗1
6∗(3 0 −3
2 2 21 −2 1 )
A=( 7 −2 1−2 10 −21 −2 7 )
SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDENSea el sistema
d x1
dt=g1(t , x1 , x2 ,…,xn)
d x2
dt=g2(t , x1 , x2 ,…,xn)
⋮d xn
dt=gn(t , x1 , x2 ,…, xn)
Se trata de un sistema de n ecuaciones de 1er orden, se le conoce como sistema de primer orden.d x1
dt=a11 (t ) x1+a12 ( t ) x2+…+a1n ( t ) xn+ f 1 ( t )
d x2
dt=a21 ( t ) x1+a22 ( t ) x2+…+a2n ( t ) xn+ f 2 (t )
⋮
d xn
dt=an1 ( t ) x1+an2 ( t ) x2+…+ann ( t ) xn+ f n ( t )
Se denomina sistema lineal, los coeficientes a ij , f i se supone son continuos en un intervalo común I.Cuando f i (t )=0 ; i=1,2,3 ,…,n se dice que el sistema lineal es homogéneo.Matricialmente se tieneX '=AX+F
ddt (
x1
x2
⋮xn)=(
a11 ( t )a12 ( t )…a1n (t )a21 ( t )a22 ( t )…a2n (t )
⋮an1 (t )an2 ( t )…ann (t ))(
x1
x2
⋮xn)+(
f 1 (t )f 2 (t )⋮
f n (t ))Es homogéneo si X '=AXEJEMPLO
dxdt
=6 x+ y+ z+t
dydt
=8 x+7 y−z+10 t ⇒ X '=(6 1 18 7 −12 9 −1)(
xyz )+(
t10 t6 t )
dzdt
=2x+9 y−z+6 t
Un vector solución en un intervalo I es cualquier matriz columna de la forma que satisface al sistema.X=(
x1 (t )x2 (t )⋮
xn (t ))Cuyos elementos son funciones diferenciales que satisfacen el sistema.Un vector solución equivale a n ecuaciones escalares:
x1=ϕ1 ( t ) , x2=ϕ2 (t ) ,…,xn=ϕn ( t )
Y tienen la interpretación de un conjunto de ecuaciones paramétricas en el espacio.METODO MATRICIAL PARA SISTEMAS DE PRIMER ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTESSea el sistema homogéneo dx1
dt=a11 x1+a12 x2+…+a1n xn
dx2
dt=a21 x1+a22 x2+…+a2n xn …
dxn
dt=an1 x1+an2 x2+…+ann xn
Donde los coeficientes a ij son constantesEl vector solución está dado por {x1=eλt x0
1 , x2=e λt x02 ,…, xn=eλt x0
n }Para λ y x0 constantes
λ e λt x0i=∑
j=1
n
a ijeλt x0
j; i=1,2 ,…,nDividiendo por e λt se obtiene(a11− λ ) x0
1+a12 x0
2+…+a1n x0n=0
a21 x0
1+(a22−λ )x02+…+a2n x
0n=0…
an1 x0
1+an2 x0
2+…+(ann−λ)x0n=0
El sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas x0
1 , x0
2 ,… ,x0n es homogéneo .Por consiguiente tiene una solución no nula si y solo si se anula el determinante, es decir |a11− λ a12 … a1n
a21 a22−λ … a2n
…an1
…an2
……
…ann− λ
|=0 , esdecir det ( A−λI )=0
El polinomio característico asociado con el sistema de primer orden determina las n raíces de la ecuación polinomica P ( λ )=0 , se llaman valores propios .Cada raíz determina un conjunto de números x01 , x
02 ,… ,x0
n y por lo tanto es una solución del sistema de ecuaciones diferenciales.Dos soluciones correspondientes a dos valores diferentes λ1 , λ2 son linealmente independientes, entonces para todas las n raíces distintas existirán n soluciones linealmente independientes (LI), entonces la solución del sistema homogéneo será la combinación lineal de estas n soluciones LI.PROBLEMA DE VALOR INICIAL
Sea t 0 un punto en un intervalo I donde x que depende det 0
X (t 0 )=(x1 ( t0 )x2 ( t0 )⋮
xn (t0 )) , X=(
γ1
γ2
⋮γn)El problema consiste en resolver
X '=A (t ) X+F (t ) sujeto a X ( t0 )=X 0 , es un problema de valor inicial en el intervalo.PRINCIPIO DE SUPERPOSICIONSean x1 , x2 ,…, xn un conjunto de vectores solución de un sistema homogéneo en un intervalo I entonces la combinación lineal:
x=c1 x1+c2 x2+…+ck xk
En las que los C i , i=1,2,3 ,…,kson constantes arbitrarias, también es una solución en el intervalo.TEOREMA.- Criterio para las soluciones linealmente independientes.Sean:
x1=(x11
x21
⋮xn1
) , x2=(x12
x22
⋮xn2
) ,…, xn=(x1n
x2n
⋮xnn
)
n vectores, solución del sistema homogéneo en un intervalo I⟹ el conjunto de vectores solución es L.I. en I si y solo si el WRONSKIANO es diferente de ceroW (x1 , x2 ,…,xn )=[ x11
x21
⋮xn1
x12…x22…⋮
xn2…
x1n
x2n
⋮xnn
]≠0
SISTEMA LINEAL HOMOGENEO CON COEFICIENTES CONSTANTESSi una matriz A tiene n valores propios reales y distintos λ1 , λ2 ,…, λn siempre es posible determinar un conjunto de n vectores propios Linealmente independientes k 1 , k2 ,…,kn , donde:x1=k1 e
λ1 t , x2=k2 eλ2 t ,…, xn=k ne
λn t
El cual es un conjunto solución del sistema de ecuaciones diferenciales homogéneo.
La solución general queda expresada por:x=k 1e
λ1 t+k 2eλ2 t+…+kn e
λn tEjemplo: ResolverX '=(2 3
2 1)X
Solución:Busquemos los valores y vectores propios de la matriz de los coeficientes:A=(2 3
2 1)
det (A−λ Ι )=|2−λ 32 1− λ|=0
λ2−3 λ−4=( λ+1 ) ( λ−4 )=0λ1=−1 y λ2=4Para λ1=−1
|3 32 2|→|1 1
0 0||x1
x2|=|00|
x1+ x2=0⟹x1=−x2
k 1=( 1−1)Para λ2=4
|−2 32 −3|→|−2 3
0 0||x1
x2|=|00|
−2 x1+3 x2=0
k 2=(32)x1=( 1
−1)e−1 t , x2=(32)e4 t
x=( 1−1)e−1 t+(32)e4 t
VALORES PROPIOS REPETIDOS
Cuando los valores propios de una matriz A de orden nxn no necesariamente son diferentes como por ejemplo en el sistema:X '=(3 −18
2 −9 )Xdet (A−λ Ι )=|3−λ −18
2 −9−λ|=( λ+3 )2=0
λ1=λ2=−3Es una raíz de multiplicidad algebraica 2, se obtiene el vector propio de modo que:k 1=(31)esun vector propio , x=(31)e−3 t es lasolucion del sistema
Observación:En general si m es un entero positivo y (λ−λ1 )m es un factor de la ecuación característica, mientras que (λ−λ1 )
m+1 no lo es, entonces se dice que λ1 es un valor propio de multiplicidad m.Ejemplo: Resolver
X '=( 1 −2 2−2 1 −22 −2 1 )X
Solución:det (A−λ Ι )=|1−λ −2 2
−2 1− λ −22 −2 1−λ|=0
λ1=λ2=−1 y λ3=5Para λ1=λ2=−1
| 2 −2 2−2 2 −22 −2 2 |→|1 −1 1
0 0 00 0 0||x1
x2
x3|=|000|
x1−x2+x3=0
k 1=(110);k2=(011)x1=(110)e−t , x2=(011)e−t
Para λ3=5
|−4 −2 2−2 −4 −22 −2 −4|→|−1 0 1
0 1 10 0 0||x1
x2
x3|=|000|
−x1+ x3=0
x2+ x3=0
k 3=( 1−11 ); x3=( 1
−11 )e−5 t
x=(110)e−t+(011)e−t+( 1−11 )e−5 t
FORMA CANONICA DE JORDANSea una matriz cuadrada de orden nxn dicha matriz tiene n valores propios L.I.λ1 , λ2 ,…, λnLa matriz diagonal D:
D=diag ( λ1 , λ2,…, λn )generanlos vectores propios v1 , v2 ,…,vn .
DEFINICION.- Sea λ∈R , se dice que la matriz es un bloque de Jordán si es de la forma:
B ( λ )=(λ00⋮00
1λ0⋮00
01λ⋮00
………⋱……
000⋮λ0
000⋮1λ)
B ( λ )es una matriz cuadrada de orden k con λ en la diagonal, cifras 1 como se indica y cifras 0 en el resto.Ejemplo: Sean las matrices de orden 1, 2, 3, 4 respectivamente (son formas canonícas de Jordán)
(−5 ) ,(10 10 10) ,(−2 1 0
0 −2 10 0 −2) ,(
3 1 0 00 3 1 00 0 3 10 0 0 3
)
DEFINICION.- Una matriz de JordánB ( λ )=¿
Donde cada Bi ( λi ) es un bloque de JordanEjemplo: Matrices de orden 2 x2( λ 0
0 μ) λ y μ pueden ser iguales.Matrices de Jordán de orden 3 x 3:
(λ 0 00 μ 00 0 ϕ) ,(
λ 1 00 λ 00 0 μ) ,(
λ 0 00 μ 10 0 μ),(
λ 1 00 λ 10 0 λ)
TEOREMA: Sea A una matriz de orden nxm⟹∃una matriz C invertible de orden n tal que J=C−1 A C , donde J es una matriz de Jordan cuyos elementos en la diagonal son los valores propios de A, la matriz de Jordan J es única salvo por el orden en el que aparecen los bloques. Esta matriz se llama forma canónica de Jordán.Ejemplo: Si A es semejante a la matriz de Jordán.
(2 1 0 0 0 00 2 1 0 0 00 0 3 1 0 00 0 0 3 1 00 0 0 0 3 00 0 0 0 0 5
)Tambien lo es la matriz
(2 1 0 0 0 00 2 1 0 0 00 0 3 1 0 00 0 0 3 1 00 0 0 0 3 00 0 0 0 0 5
)OBSERVACIONES
1. ¿Cómo saber si v es un vector propio de A?Calcule el vector u=Avv es vector propio si y solo si u es multiplo escalar de v , esto se puede hacer formando la matriz ampliada y reduciendo a una forma escalonada, v es el vector propio si el sistema es consistente.2. ¿Cómo saber si ∝ es una valor propio de A?
Formar y reducir el sistema [A−∝ Ι ]=[0 ]∝ es un valor propio si y solo si el sistema tiene al menos una variable libre.3. ¿Cómo determinar la multiplicidad algebraica de un valor propio de A?- Calcule el polinomio característico de A
P (A )=det ( A−Ι t )
- Aplique división repetidamente para determinar cuantas veces divida r−α al polinomio característico.4. ¿Cómo determinar la multiplicidad geométrica de un valor propio de A?Formar y reducir el sistema [A−∝ Ι ]=[0 ] , el numero de variables libre es la dimensión o multiplicidad geométrica del valor propio. TEOREMA
1≤dimgeomde λ≤multiplicidad algebraica de λ
TEOREMASi los vectores x1 , x2 ,…, xk son vectores propios diferentes entonces {x1 , x2 ,…,xk } es L.I.Ejemplos
1. Diagonalizar la matriz A=( 2 −5−2 −1)
Solución:Calculamos los valores y vectores propios de la matriz A.|2−λ −5−2 −1−λ|=0⟹ λ1¿−3 , λ2=4
λ=−3
| 5 −5−2 2 |⟶| 1 −1
−1 1 |⟶|1 −10 0 ||xy|=|00|
x− y=0v1=(11)λ=4
|−2 −5−2 −5|⟶|−2 −5
0 0 |⟶|2 50 0||xy|=|00|
2 x+5 y=0v2=(−52 )
P=(1 −51 2 )Determinando P−1
|1 −1 1 00 0 0 1|⟶|1 0 2/7 5/7
0 1 −1/7 1/7|P−1=( 2/7 5/7
−1/7 1/7)
P−1 A P=( 2/7 5 /7−1/7 1/7 )( 2 −5
−2 −1)(1 −51 2 )=(−3 0
0 4)2. Diagonalizar para obtener la ecuación canónica de la siguiente cónica:
3 x2−10 xy+3 y2−14√2x+18√2 y+38=0
Solución: Expresar la ecuación en su forma matricial( x y )( 3 −5
−5 3 )( xy )+2 (−7√2 9√2 )( xy )+38=0…(¿)
Hallamos los valores y vectores propios de la matriz( 3 −5−5 3 )
|3−λ −5−5 3− λ|= λ2−6 λ−16=( λ+2 ) ( λ−8 )=0
Ortonormalización: La matriz P=(1/√2 −1/√21/√2 1/√2 )
Planeando una rotación:( xy )=(1/√2 −1/√2
1/√2 1/√2 )(x'
y ')x= 1
√2x '− 1
√2y ' , y= 1
√2x '+ 1
√2y '
Reemplazando en (¿ )
¿ (x ' y ' )1x 2(−2 00 8)2x 2
( x'
y ')2x 1
+2 (−7√2 9√2 )1x 2(1
√2−1
√21√2
1√2
)2 x2
( x'
y ' )2x 1
¿−2 ( x '2−2x '+1−1 )+8 ( y '2−4 y '+4−4 )+38=0
¿−2 ( x'−1 )2+8 ( y '−2 )2+8=0
¿−(x '−1 )2+4 ( y '−2 )2+4=0
Si: x ' '=x '−1
y ' '= y '−2
¿−x ' ' 2
+4 y' '2
+4=0
H :x ' '2
4− y ' '
2
=1
OBS: x ' ' y x '
y '
x
y ' '3. Hallar la ecuación canónica de la siguiente cuádrica o cuadrática:2 y2+4 xy−8 xz−4 yz+6 x−5=0
Solución: Expresión matricial( x y z )( 0 2 −4
2 2 −2−4 −2 0 )(xyz )+ (6 0 0 )(xyz )−5=0…(¿)
Hallamos los valores y vectores propios:|−λ 2 −4
2 2−λ −2−4 −2 − λ|=0⟹ ( λ+4 ) ( λ−6 ) λ=0
Para λ1=−4
| 4 2 −42 6 −2
−4 −2 4 |⟶|1 0 −10 1 00 0 0 ||xyz|=|
000|
x−z=0 v1=(101)y=0
Para λ2=0
| 0 2 −42 2 −2
−4 −2 0 |⟶|0 1 −21 0 10 0 0 |⟶|1 0 1
0 1 −20 0 0 ||xyz|=|
000|
x+z=0 v2=(−121 )
y−2 z=0
Para λ3=6
|−6 2 −42 −4 −2
−4 −2 −6|⟶|1 0 10 1 10 0 0||
xyz|=|
000|
( xyz )=(1/√2 −1/√6 −1/√30 2/√6 −1/√3
1/√2 1/√6 1/√3 )( x'
y '
z')
Luego:( x y z )(−4 0 0
0 0 00 0 6)(
x '
y'
z ')+(6 /√2 −6/√6 −6/√3 )1x 3( x
'
y '
z ')
3x 1
−5=0
−4 x '2+6 z '2
+ 6
√2x '− 6
√6y '− 6
√3z '−5=0
−(4 x '2
− 6√2
x'+( 32√2 )
2)+6(z ' 2− 1√3
z '+(1 /2√3 )2)
−√6 y '−5∗8
8+
98−
12∗4
4=0
−(2x '− 32√2 )
2
+6 (z '− 12√3 )
2
−√6 ( y '+ 358√6 )=0
Reemplazando por traslación:2 x'− 3
√2=x ' '
z '− 1
2√3=z ' '
y '+ 358√6
= y ' '
−x ' ' 2
+6 z ' '2
−√6 y' '=0
y ' ' y ' '
x ' ' x ' '
6 z '=√6 y ' '
z ' '
y ' '
Sea z ' '=k
−x ' ' 2
+6√2k−√6 y ' '=0
−x ' ' 2
−√6 y ' '=−6√2k
Paraboloide hiperbólicoMATRIZ EXPONENCIAL
Es una función definida sobre las matrices cuadradas, se parece a la función exponencial. Sea X una matriz cuadrada de orden n de números reales o complejos, la exponencial de x denotada por ex=∑
k=0
∞xk
k !,es decir
e A=limn→∞
∑k=0
nAk
k !=Ι+A+ A2
2 !+ A3
3 !+…
PROPIEDADESSean X e Y dos matrices cuadradas de orden n, a y b son reales o complejos, donde Ο es la matriz nula e Ι es identidad.
1. eΟ=Ι (identidad)2. exp (aX )exp (bX )=e(a+b) X (linealidad)3. exp (X )exp (−X )=Ι4. (e A )−1=e−A ( inversa )5. det eX=etrazX (relación traza ,determinante )6. exp X t=(exp X )t7. Si XY=YX⟹ex e y=ex+ y=e y ex ( preservaciónde laconmutación )8. SiY es invertible⟹e yx y'= y ex y−19. Acotaciónde lanorma :|e A|≤e‖A‖10. Exponencial deuna matriz nilpotente :
Definida laexponencial deunamatriz cuadrada:e A=Ι+A+ A2
2 !+ A3
3 !+…+ An
n!
Luego A tiene alguna potencia nula Ak=0 , A es nilpotente de orden k.Ejemplo: A=(0 0 0
1 0 00 1 0)
A2=(0 0 00 0 01 0 0) , A3=(0 0 0
0 0 00 0 0)
Las matrices de potencias superiores a 3 son nulas.Luego:
e(0 0 0
1 0 00 1 0)=(1 0 0
0 1 00 0 1)+(
0 0 01 0 00 1 0)+ 1
2 (0 0 00 0 01 0 0)+ 1
6 (0 0 00 0 00 0 0)+…
e(0 0 0
1 0 00 1 0)=( 1 0 0
1 1 01/2 1 1)
MATRICES DIAGONALES Y DIAGONALIZABLESSi una matriz A es diagonal
A=(a1 0 … 00 a2 … 0⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 … an
)Una matriz M diagonalizable entonces M=P−1DP donde D es la matriz diagonal y es una matriz no singular, P puede elegirse como una matriz unitaria, la exponencial de matrices diagonalizables se puede reducir a:
eM=P−1 e jP
EXPONENCIAL Y FORMA DE JORDAN:- Matrices que admiten formas de Jordán
Las matrices cuadradas reales o complejas pueden ser interpretadas como expresiones en una base dada de una aplicación lineal, mediante este hecho se puede expresar con mayor comodidad la exponencial de una matriz.Si A representa a la matriz de cierta aplicación lineal entonces la exponencial puede obtenerse a partir de la forma canónica de Jordán, es decir:
M=P−1 JP
eM=eP−1 JP=∑k=0
∞ (P−1 JP )k
k !=∑
k=0
∞P−1 J kP
k !=P−1eJ P
e A , eJ
Entonces la expresión anterior representa la descomposición de Jordán de una matriz A , calcular e A, la exponencial de una matriz de Jordan se tiene:J=¿
⟹J n=¿
Si tenemos una matriz diagonal de bloque como la de Jordán, sus potencias resultan ser una matriz diagonal de bloque, donde cada bloque es la potencia del correspondiente bloque.
Ejemplo:1. Sea la matriz A=(1 0 0
1 3 01 1 1) , el polinomio característico de dicha
matriz es:P ( λ )=(1−λ )2 (3−λ )El polinomio mínimo coincide con m ( λ )=P ( λ )Los valores propios son1ma 2 y3de ma1.Se puede establecer la forma de Jordán y una matriz de paso P.
J=(1 0 01 3 01 1 3) P=(0 0 0
2 0 01 1 1)
eM=eP−1 JP=P−1eJ P
eJ=(e 0 0e e 00 0 e3)
e A=P−1 eJ P=(−1/2 0 0−1 /12 −1/6 1 /3
1/4 1/2 0 )(e e 0e e 00 0 e3)(−2 0 0
1 0 20 3 1)=(
e2
0 −e
e4
e3 e3
3− e
2−3e
40
3e2
)2. Resolver:
x1' ( t )=3 x1 ( t )−x2 ( t )
x2' ( t )=−2 x1 ( t )+2 x2 ( t )
Con x1 (0 )=120 y x2 (0 )=150
Solución:(x1
' ( t )x2' ( t ))=( 3 −1
−2 2 )(x1 (t )x2 (t ))
Para ( 3 −1−2 2 )Buscando sus valores y vectores propios se obtiene: λ1=1 y λ2=4
v1=(12) y v2=( 1−1)Entonces:
C=(1 12 −1) yC−1=(−1 −1
−2 1 )(−13 )
J=D=(1 00 4)
eJt=(e t 00 e4 t)
Luego:e At=Ce JtC−1=−1
3 (1 12 −1)(e
t 00 e4 t)(−1 −1
−2 1 )e At=−1
3 (−e t−2e4 t −e t+e4 t
−2e t+2e4 t −2et−e4 t)x t=(x1 (t )
x2 (t ))=eAt
X0=−13 (−e t−2e4 t −e t+e4 t
−2e t+2e4 t −2et−e4 t)(120150)