libro de geometría21

7/29/2019 Libro de Geometra21

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Versin: Primer Ciclo de la E.S.O.

Pgina del colegio: http://www.murciaeduca.es/cppurisimaconcepcionPgina personal: http://salvadormartinezsanchez.blogspot.com/


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IntroduccinDespus de comprobar durante bastantes cursos acadmicos que los libros de

texto no contenan todos los conceptos bsicos de Geometra (siempre faltaba alguno)decid elaborar con mis alumnos de cada ciclo una pequea libreta en la queapuntbamos todos los conceptos con un pequeo dibujo. Ms tarde me pareciinteresante elaborar yo mismo este cuadernillo para regalrselo a mis alumnos al finaldel ciclo.

Una vez consultados a varios compaeros de la especialidad de matemticas haquedado terminado el de Educacin Primaria. Ahora estoy trabajando en el deEducacin Secundaria Obligatoria.

Su diseo atiende a las siguientes necesidades: Que ocupe poco espacio para que pudiera ir dentro de la libreta o del libro detexto de matemticas. Dejar alguna hoja al final en blanco para que pueda ser susceptible deampliacin por parte de cualquier profesor o alumno.

Es importante que los alumnos utilicen una terminologa adecuada de losconceptos bsicos sobre todo sabiendo que muestran grandes dificultades ante losprocesos semntico-lgicos.

En algunas ocasiones tambin se necesita realizar alguna consulta sin tener que

perder el tiempo en buscar en los libros de texto.

Bibliografa aconsejableAquellos alumnos que en algn momento consideren que este pequeo cuadernillo

se queda corto le aconsejo la siguiente bibliografa :

DICCONARIO BASICO DE MTEMATICAS. Mariano Daz Velzquez.Editorial ANAYA

DICCIONARIO DE MATEMTICAS DE E.G.B. A C.O.U. ConsueloSantamaria Repiso. Editorial Escuela Espaola, S.A.


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RectasRecta:Lnea que divide a un plano en dos semiplanos.Es una sucesin de puntos que estn en la misma direccin.

Semirrecta:Cada una de las partes de una rectaque resulta al ser dividida por un punto.Es una recta con origen o final.

Segmento:Es una recta limitada por dos puntos.

Rectas paralelas:Son aquellas que no tienen ningn punto en comn.Son aquellas que nunca se cortan.

Rectas coincidentes:Dos rectas son coincidentes cuando todos sun puntos soncomunes.

Rectas secantes:Son aquellas que se cortan o que tienen un punto encomn.

Rectas perpendiculares:Son rectas secantes que forman cuatro ngulos iguales.Estos ngulos son ngulos rectos.

POSICIONES DE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA

Recta exterior:Es la que no tiene ningn punto en comn con lacircunferencia

Recta secante:Es la que corta a la circunferencia en dos puntos

Recta tangente:Es la que toca a la circunferencia en un punto.

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SemirrectaSemirrecta


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ngulos

ngulo: Es la regin del plano limitada por dossemirrectas con un mismo origen.ngulo cncavo: Ocupa tres regiones angulares.

ngulo convexo: Ocupa una o dos regiones angulares.ngulo nulo: Es el ngulo cuyos lados estnsuperpuestos por tanto mide 0

ngulo recto: Es el formado por dos semirrectasperpendiculares y mide 90.Angulo llano: Es el que sus lados estn sobre unamisma recta y mide 180.

ngulo completo: Es el ngulo que ocupa cuatroregiones angulares y que mide 360.

ngulo agudo: Es el que mide menos de 90.

ngulo obtuso:Es el que mide ms de 90 y menos de 180.

ngulos consecutivos:Son aquellos que tienen en comn un vrtice y un lado.

ngulos complementarios:Son los que suman 90.

ngulos suplementarios:Son los que suman 180.

ngulos adyacentes:Son dos ngulos consecutivos que suman 180.Son dos ngulos consecutivos sobre una misma recta.

ngulo diedro: Es la porcin de espaciocomprendida entre dos semiplanos que tienen la mismarecta de origen.

ngulo triedro: Es la porcin de espacio formadapor tres semirrectas(aristas) del espacio con origencomn (vrtice) y que no estn situadas en el mismoplano.

ngulo poliedro: Porcin de espacio formada porla interseccin de tres o ms planos que se cortan en unpunto

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Rectas y ngulosBisectriz de un ngulo: Es la semirrecta que divide aun ngulo en dos partes iguales.

Mediatriz de un segmento: Es la recta perpendicular aun segmento por su punto medio.

ngulos opuestos por el vrtice:Los ngulos opuestos por el vrtice son iguales.

Rectas paralelas cortadas por una secante:ngulos adyacentes y suplementarios:a y b, b y d, d y c, a y c,e y f, f y h, h y g , e y gngulos slo suplementarios: ngulos iguales:a y f, a y g, b y e, b y h, : a = d= e = hc y e, c y h, d y f, d y g b = c = f = g

Angulo sustentado por un dimetro:El ngulo sustentado por un dimetro es siempre recto.

POSICIONES DE UN NGULO RESPECTO A UNA CIRCUNFERENCIA

ngulo central:Es el que tiene su vrtice en el centro de la circunferencia.

ngulo circunscrito:Es el que tiene su vrtice en un punto exterior ala circunferencia y sus lados son tangentes.

ngulo exterior:Es el que tiene su vrtice en un punto exterior ala circunferencia y sus lados son secantes.

ngulo inscrito:

Es el que tiene su vrtice en la circunferenciay sus lados son secantes.

ngulo interior:Es el que tiene su vrtice en un punto interior de lacircunferencia.

ngulo semiinscrito:Es el que tiene su vrtice en la circunferencia y sus ladosson uno secante y otro tangente a la circunferencia.

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Hipotenusaa

Catetob

Catetoc

PolgonosPolgono:Es una superficie plana limitada por segmentos.

Lados: Son los que limitan y forman el polgono.Vrtices: Son los puntos donde se unen dos lados.ngulos: Son las zonas interiores que forman los lados.

Altura: ( h)Es la distancia medida perpendicularmente desde unabase hasta el punto de un polgono o de una figura h hms alejado de dicha base.

Diagonales:Son los segmentos que unen dos vrtices no consecutivos.

N de diagonales de un polgono =

)

2

3 ladoslados

Polgono regular:Es el que tiene todos sus lados y ngulos iguales.

Permetro:Contorno de una figura plana.

Permetro de un polgono:Es la suma de las longitudes de todos sus lados.

Ejemplo: P= 3+3+6+6= 18m.

Lados de un tringulo rectngulo:

Hipotenusa: Lado opuesto al ngulo rectode un tringulo rectngulo.

Catetos: Lados que forman el ngulo recto.de un tringulo rectngulo.

Apotema: (ap)En un polgono regular,perpendicular trazada desde elcentro del polgono al punto medio de cualquiera de sus lados . ap ap

En una pirmide,altura de una de sus caras triangulares.

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Desarrollo de los poliedros regulares

Tetraedro Hexaedro o cuboOctaedro

Dodecaedro Icosaedro

Desarrollo de otros poliedros

PrismaCuadrangular Prisma hexagonal Ortoedro

Pirmidecuadra

ngularPirmidehexagonal Cilindro

Cono

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3m.

6m.


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Cuerpos redondos rectos( S. lateral, total y volumen)Cuerpos redondos:Son cuerpos limitados por superficies curvas o por superficies planas y curvas.Cilindro:Es el cuerpo formado al girar un rectngulo sobre uno de sus lados..

hr2Sl

2r2SlSt

hrV2

Cono:Es el cuerpo formado al girar un tringulo rectngulosobre uno de sus catetos.

grSl

2rSlSt

3

hrV

2

Esfera:Es un cuerpo geomtrico en el que todos los puntos desu superficie estn a igual distancia del centro.

2r4St

3

r4V

3

Huso esfrico: Porcin de superficie esfrica comprendidaentre dos crculos mximos.Latitud: Es la distancia angular al norte o sur del ecuador.Latitud norte: Distancia angular desde el ecuador a un punto

del hemisferio Norte, se considera como positiva de 0 a 90.Latitud sur: Distancia angular desde el ecuador a un puntodel hemisferio Sur, se considera como negativa de 0 a -90.Longitud terrestre: Es la distancia angular desde un puntode la tierra hasta el meridiano de Greenwich. Cada 15 delongitud representan una distancia horaria de una hora.

Longitud negativa: La que est medida hacia el Este, de 0 a -180.Longitud positiva: La que est medida hacia el Oeste, de 0 a 180.Pgina 16

PolgonosPolgono Convexo:Es aquel quetodos sus ngulos interiores son menores oiguales a 180.Polgono Cncavo: Es aquel quealgn ngulo interior es superior a 180. Polgono equiangular: Si los ngulosinteriores son iguales.

Polgono equilateral: Si los lados sontodos iguales.Polgono inscrito: Si los lados soncuerdas de una circunferencia.

Polgono circunscrito:Si los ladosson tangentes a la circunferencia.

LINEAS NOTABLES EN LOS TRI

NGULOSMediana de un tringulo: Segmento que une unvrtice con el punto medio del lado opuesto.Baricentro(B): Es el punto donde se cortan las medianas

de un tringulo y que dista 2/3 del vrtice y 1/3 de labase. Y tiene la propiedad de ser el centro de gravedaddel tringulo.

Mediatrices de un tringulo: Rectas perpendicularesa los lados que los dividen en dos partes iguales.Circuncentro (C): Es el punto donde se cortan lasmediatrices de un tringulo y es centro de la circunferenciacircunscrita al tringulo. Adems equidista de los tresvrtices

Bisectrices de un tringulo:Semirrectas quedividen a los ngulos del tringulo en dos partes iguales.

Incentro (I) Es el punto donde se corta las bisectrices de

un tringulo y es el centro de la circunferencia inscrita altringulo. Adems equidista de los tres lados.

Alturas de un tringulo: Se cortan en unpunto llamado ortocentro.Ortocentro (o) es el centro de la circunferenciacircunscrita al tringulo circunscrito.

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= 3.14

r = radioh= altura

h

r

Altura

Generatriz

radio

Vrtice

Base

= 3.14r = radioh= alturag = generatriz


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Pb = Permetro de la baseSb = Superfcie de la baseh = alturaSc = Superficie de una caranc = nmero de caras

Sc = Superficie de una caraa = alto

b = anchoc = largo

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Poliedros rectos (Superficies laterales, totales y volmenes)Prismas:Son poliedros formados por dos bases iguales y por caraslaterales que son paralelogramos.Se nombran por el polgono de sus bases.

hPbSl = cnScSl =

Sb2SlSt +=

hSbV =

Prisma cuadrangular

Prisma pentagonalregular

Pirmides:Son poliedros con una sola base formada por un polgonocualquiera, y sus caras laterales son tringulos. Se nombranpor el polgono de la base.

( )2

apPbSl

= cnScSl=

SbSlSt +=

3

hSbV

Pirmide cuadrangular

Pirmide hexagonalregular

Ortoedro o paralelepipedo recto:Es el poliedro cuyas caras son rectngulos.

ac2ab2Sl 21 Sc2Sc2Sl

ac2SlSt += 3Sc2SlSt +=

cbaV

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Tringulos:

Sonlospolgonosde

tresngulos.

Susngulossuman

180

Clasificacinporsuslados

Clasificacinporsusngu

los

Equiltero:

Tienelosladosyngulosig

uales.

Issceles:

Tienedosladosiguales.

Escaleno:

Notieneladosiguales.

Acutngulo:

Tienelostresngulosagudos.

Rectngulo:

Tieneunngulorectoydos

agudos.

Obtusngulo:

Tieneunnguloobtusoydosagudos.

a

b

Sc= Superficie de una caraPb= Permetro de la baseSb= Superfcie de la basenc = nmero de carasap = apotemah = altura

Arista bsica

Altura

Base

Aristalateral

Cara

Vrtice

Apotema

Arista bsica

Altura

Aris

tala

teral

Vrtice

Base

c


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Cuerpos GeomtricosPoliedro: Cuerpo geomtrico limitado por polgonos.

Caras: Superficies planas que lo limitan.Aristas: Segmentos en los que se cortan las caras.Vrtices: Puntos en los que se cortan las aristas.Diagonal: Segmento que une dos vrtices nopertenecientes a la misma cara.

Teorema de Euler:En un poliedro el nmero de caras y 2+=+ AVCel de vrtices es igual al de aristas ms dos.

Poliedros regulares: Son los que todas sus caras son polgonos regularesiguales y sus ngulos diedros y poliedros son tambin iguales.

Nombre Caras Vrtices Aristas Dibujo reas y volmenes

Tetraedo 4 4 6

Hexaedro oCubo 6 8 12

Octaedro 8 6 12

Dodecaedro 12 20 30

Icosaedro 20 12 30

Pgina 14Pgina 7

Cuadrilteros:

Son

lospo

lgonos

decua

tro

lados.

Sus

ngu

lossuman

360

Paralelogramos:

Son

loscua

dri

lterosque

tienen

los

ladospara

lelos

dosa

dos.

Trapecios:

Son

loscua

dri

lterosque

tieness

lodos

lados

para

lelos.

Trapezoide:

Son

loscua

dri

lterosquenot

ienen

ning

n

ladopara

lelo

Cuadrado:

Tiene

loscua

tro

ladosy

ngu

los

igua

les.

Rectngulo:

Tiene

loscua

tro

ngu

los

igua

lesylos

lados

igua

les

dosa

dos.

Rombo:

Tiene

loscua

tro

lados

igua

lesy

los

ngu

los

igua

les

dosa

dos.

Romboide:

Tiene

loscua

tro

ngu

losy

lados

igu

ales

dosa

dos.

Rectngulo:

Tiene

dos

ngu

losrec

tos.

Issceles:

Tiene

dos

lados

igua

les.

Escaleno:

No

tiene

lados

igua

les

Cuadrilteros:

Son

lospo

lgonos

decua

tro

lados.

Sus

ngu

lossuman

360

Paralelogramos:

Son

loscua

dri

lterosque

tienen

los

ladospara

lelos

dosa

dos.

Trapecios:

Son

loscua

dri

lterosque

tieness

lodos

lados

para

lelos.

Trapezoide:

Son

loscua

dri

lterosquenot

ienen

ning

n

ladopara

lelo

Cuadrado:

Tiene

loscua

tro

ladosy

ngu

los

igua

les.

Rectngulo:

Tiene

loscua

tro

ngu

los

igua

lesylos

lados

igua

les

dosa

dos.

Rombo:

Tiene

loscua

tro

lados

igua

lesy

los

ngu

los

igua

les

dosa

dos.

Romboide:

Tiene

loscua

tro

ngu

losy

lados

igu

ales

dosa

dos.

Rectngulo:

Tiene

dos

ngu

losrec

tos.

Issceles:

Tiene

dos

lados

igua

les.

Escaleno:

No

tiene

lados

igua

les


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a

cb

nm

h

c

a

bb 16m2

9m2

25m2

Claves:

a = hipotenusam = proyeccin del cateto

b = cateton = proyeccin del catetoc = catetoh = altura

Circunferencia y crculoCircunferencia:Es una lnea curva cerrada cuyos puntos estn a igualdistancia de otro llamado centro.Radio:Es el segmento que une el centrocon un punto cualquiera de la circunferencia.

Cuerda:Es el segmento que une dos puntoscualesquiera de la circunferencia.Dimetro:Es el segmento que une dos puntos cualesquierade la circunferencia pasando por el centro.Es la cuerda ms larga.Arco:Es la parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos.Longitud de la Circunferencia:

rL = 2 dL = = 314 r = radio d = dimetro

Longitud de un arco de la circunferencia:

180

nrL

A

=

= 314 r = radio n. = nmero de grados

Crculo:Es la parte del plano comprendida dentro de la circunferencia.

Circunscribir: Formar una figura de modo quequede otra dentro de ella, tocando las lneas osuperfcies que la limitan.Circunferencia circunscrita: Es aquella por la quepasan todos los vrtices de un polgono

Crculo mximo: Es el que tiene por centro el de laesfera y la divide en dos partes iguales o hemisferios.Circunferencia mxima: Es el borde del crculomximo

Cculo menor: Es el que no tiene por centro el de la esfera.Es el formado por la interseccin de la esfera con un plano queno pasa por el centro.Circunferencia menor: Es el borde del crculo menor

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Relaciones mtricas en los tringulos rectngulos

Teorema de pitgoras. En un tringulo rectngulo el cuadrado de lahipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos

4 5

3

Ejemplo: 52 = 42 + 32

Teorema del Cateto.En un tringulo rectnguloel cateto es la media proporcional entre la hipotenusay la proyeccin del cateto sobre la hipotenusa.

Teorema de la altura. En un tringulorectngulo la altura es la media proporcionalentre los segmentos en los que queda dividida la hipotenusa

Razn de los cuadrados de los catetos

Teorema de Thales.Si varias paralelas soncortadas por dos rectas secantes, los segmentos quedeterminan en una de las secantes son proporcionalesa los segmentos que determinan en la otra secante.

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Arco

Cuerda

Radio

Dimetro

222cba +=

22cba +=

22bac =

22ca

m, n = segmentos en que divide a la hipotenusa

nac2

= mab2

=

nmh2

=

n

m

b

c

2

2

=

B B

C

A A

C

DDK

'C'A

AC

'D'C

CD

'C'B

BC

'B'A

AB====


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Unidades de longitud

Km. hm. dam. m. dm. cm. mm.

Unidades de masa

t. q. Mg. Kg. hg. dag. g. dg. cg. mg.

1t = 1000 Kg. 1q. = 100 Kg. 1 Mg = 10 Kg.

Unidades de capacidad

Kl. hl. dal. l. dl. cl. ml.

1 dm3= 1 litro. 1 m3= 1000 litros = 1 Kl. 1 cm3= 1 ml.

Km3. hm3. dam3. m3. dm3. cm3. mm3.

Unidades de superficie

Km2. hm2. dam2. m2. dm2. cm2. mm2.

1 centirea = 1 ca. = 1 m2 1 rea = 1 a. = 100 m

2 1 hectrea =1 ha. = 10.000 m2

Unidades de medida de ngulos1 Grado = 1 = 60 = 3600.

1 Minuto = 1 = 60. Grados Minutos Segundos1 Segundo = 1.

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Posiciones de dos circunferenciasExteriores:Las que no tienen ningn punto en comn

Interiores:Si una est dentro de la otra

Secantes:Son las que se cortan en dos puntos.

Tangentes interiores:.Son las interiores que tienen un punto en comn

Tangentes exteriores:Son las exteriores que tienen un punto en comn

Concntricas:Son las circunferencias en las que una est dentrode la otra y tienen adems el mismo centro

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b

h

SuperficiesTringulo

2

hbS

Frmula de Hern

))()(( csbsassS =

s = Semipermetro

Cuadrado

2lllS

Rectngulo

hbS

Rombo

2

dDS

Romboide

hbS

Trapecio

( )

2

hbBS

+=

Polgono irregular:Para calcular su superficie es necesariodescomponerlo en polgonos ms pequeascuya superficie se pueda conocer.

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SuperficiesPolgonos regulares

2apP

S

Crculo

2rS

Corona Circular

22 rRS

Sector Circular

360

nrS

2

Segmento circular

2360

2 hxbnrS

=

Trapecio Circular

( )

360

22 nrRS

=

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Pgina 11

l

h

b

ap

r

libro de geometría21

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