AREAS Y VOLUMENES

Cuadrado

Rectngulo

Rombo

Romboide

P = 2 (a + b)

A = b h

Trapecio

Polgono

A = T

1

+ T

2

+ T

3

+ T

4

Polgono regular

Longitud de una circunferencia

Longitud de un arco de circunferencia

Crculo

Sector circular

Corona circular

Trapecio circular

Segmento circular

r e a del s e gm ent o ci rcu la r AB = r e a de l sect o r ci rcul a r AO B re a del t ri n gulo AOB

Lnula de Hipcrates

Frmulas de rea y volumen de cuerpos geomtricosFigura Esquema rea Volumen

Cilindro

Esfera

Cono

Cubo

A = 6 a2

V = a3

Prisma

A = (perim. base + 2 area h) base

V = rea base h

Pirmid e

Poliedros regulares Figura Esquema N de caras rea

Tetraedro

4 caras, tringulos equilteros

Octaedro

8 caras, tringulos equilteros

Cubo

6 caras, cuadrados

A=6a

2

Dodecaedro

12 caras, pentgonos regulares

A = 30 a ap.

Icosaedro

20 caras, tringulos equilteros

FUNCIONES CONSTANTES

La funcin constante es del tipo:

y = n

El criterio viene dado por un nmero real.

La pendiente es 0.

La grfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas .

Rectas verticalesLas rectas paralelas al eje de ordenadas no son funciones, ya que un valor de x tiene infinitas imgenes y para que sea funcin slo puede tener una. Son del tipo:

x = K

FUNCIN LINEALLa funcin lineal es del tipo:

y = mx

Su grfica es una lnea recta que pasa por el origen de coordenadas.

y = 2x

x y = 2x

0 0

1 2

2 4

3 6

4 8

Pendientem es la pendiente de la recta.

La pendiente es la inclinacin de la recta con respecto al eje de abscisas.

Si m > 0 la funcin es creciente y el ngulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo.

Si m < 0 la funcin es decreciente y el ngulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.

Funcin identidadf(x) = x

Su grfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

FUNCIN AFINLa funcin afn es del tipo:

y = mx + n

m es la pendiente de la recta.

La pendiente es la inclinacin de la recta con respecto al eje de abscisas.

Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.

n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas.

Ejemplos de funciones afinesRepresenta las funciones:

1 y = 2x - 1

x

y = 2x-1

0

-1

1

1

2 y = -x - 1

x

y = -x-1

0

-1

4

-4

FUNCIN CUADRATICA

Son funciones polinmicas es de segundo grado, siendo su grfica una parbola.

f(x) = ax + bx +c

Representacin grfica de la parbolaPodemos construir una parbola a partir de estos puntos:

1. Vrtice

Por el vrtice pasa el eje de simetra de la parbola.

La ecuacin del eje de simetra es:

2. Puntos de corte con el eje OX

En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos:

ax + bx +c = 0

Resolviendo la ecuacin podemos obtener:

Dos puntos de corte: (x 1 , 0) y (x 2 , 0) si b 4ac > 0

Un punto de corte: (x 1 , 0) si b 4ac = 0

Ningn punto de corte si b 4ac < 0

3. Punto de corte con el eje OYEn el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos:

f(0) = a 0 + b 0 + c = c

(0,c)

Representar la funcin f(x) = x 4x + 3. 1. Vrtice

x

v

= (4) / 2 = 2

y

v

= 2 4 2 + 3 = 1

V(2, 1)

2. Puntos de corte con el eje OX

x 4x + 3 = 0

(3, 0)

(1, 0)

3. Punto de corte con el eje OY

(0, 3)

FUNCION DE PARABOLAS

Construccin de parbolas a partir de y = xPartimos de y = x

x -2 -1

y = x 4 1

0 1 2

0 1 4

1. Traslacin verticaly = x + k

Si k > 0, y = x se desplaza hacia arriba k unidades.

Si k < 0, y = x se desplaza hacia abajo k unidades.

El vrtice de la parbola es: (0, k).

El eje de simetra x = 0.

y = x +2 y = x 2

2. Traslacin horizontaly = (x + h)

Si h > 0, y = x se desplaza hacia la izquierda h unidades.

Si h < 0, y = x se desplaza hacia la derecha h unidades.

El vrtice de la parbola es: (h, 0).

El eje de simetra es x = h.

y = (x + 2)y = (x 2)

3. Traslacin oblicuay = (x + h) + k

El vrtice de la parbola es: (h, k) .

El eje de simetra es x = h.

y = (x 2) + 2 y = (x + 2) 2

DILATACIN Y CONTRACION DE FUNCIONES

Contraccin de una funcinUna funcin f(kx) se contrae si K > 1.

Dilatacin de una funcinUna funcin f(kx) se dilata si 0 < K < 1.

FUNCIN RACIONAL

El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:

El

dominio

lo

forman

todos

los

nmeros

reales

excepto

los

valores de x que anulan el denominador.

Dentro

de

este

tipo

tenemos

las funciones

de

proporcionalidad

inversa de ecuacin:

.

Sus grficas son hiprbolas. Tambin son hiprbolas las grficas de las funciones.

FUNCIN DE HIPERBOLASLas hiprbolas son las ms sencillas de representar.

Sus astontas son los ejes.

El centro de la hiprbola, que es el punto donde se cortan las asntotas, es el origen.

A partir de estas hiprbolas se obtienen otras por traslacin.

1. Traslacin vertical

El centro de la hiprbola es: (0, a).

Si a>0,

se desplaza hacia arriba a unidades.

El centro de la hiprbola es: (0, 3)

Si a 0,

se desplaza a la izquierda b unidades.

El centro de la hiprbola es: ( -3, 0)

Si b1 .

Decreciente si a < 1 .

Las curvas y = a x e y = (1/a) x son simtricas respecto del eje OY.

Ecuaciones exponenciales Ejercicios de ecuaciones exponenciales Sistemas de ecuaciones exponenciales Ejercicios de sistemas de ecuaciones de ecuaciones exponenciales Lmite de la funcin exponencial

FUNCIN LOGARITMICALa funcin logartmica en base a es la funcin inversa de la exponencial en base a.

x

1/8

-3

1/4

-2

1/2

-1

1

0

2

1

4

2

8

3

x

1/8

3

1/4

2

1/2

1

1

0

2

1

4

2

8

3

Propiedades de las funciones logartmicasDominio:

Recorrido:

Es continua.

Los puntos (1, 0) y (a, 1) pertenecen a la grfica .

Es inyectiva (ninguna imagen tiene ms de un original).

Creciente si a>1.

Decreciente si a