libro 3 de problemas (hidraulica)
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Libro de problemas de hidraulicaTRANSCRIPT
rAz¿no uópuz¿NpnÉs
PROBLEMAS DE HIDRAULICA IIIADApTADo AL GRADo DE rNGENtpnÍn crvn
PUBLICACIONES DE LA UNIVERSIDAD DE ALICANTE
ÍNnrcn
INTRoDUCcIóN .........11
cApÍruro I: runnosrÁTlcAY rugBRÍas ............... 13
cepÍtulo tt: BoMBAS ruonÁuucAs .......... .............83
clpÍruro III: GANALES.............. ............... 163
t2 l,ñwm l,ú¡uz Atulrés
Al igual que el nuevo programa de la asignatura, esto nuevo libro es-tá estructurado en tres parteso hidrostática y tuberfas, bornbas hidráulicas ycanales y contiene cada una de ellas veintiún problemas, cuyo estudio yresolución facilitará la comprensión de los principios fundamentales de estadisciplina técnica.
Agradezco a mis amigos Julio Miró Moya y Javier valdés Abellán su de-dicación y entusiasmo en la preparación de las figuras y corrección de textospara hacer posible la impresión de este libro.
Alicante, enero de 2011LÁzeno LóppzAunnÉsIngeniero de Caminos
HIDROSTÁTICA Y TUBERÍAS
t5I'rtthltnws tlt llltlr¿lullut lll
N" l.t. Pars trnsv¡t¡[r (Büdglg enlrs loi ttc¡rórltos l)l y D2 se hn construldo el
sistema de tuberls¡ rle ta flgur$. l)n el punto medlo de ln tubcrln I sc
ha instalado un 0audnllmtlro d0 pltot cuyos niveles se apreclan en el
dibujo de detalle.Hallar: lo.- Los cnudnlcs que clrculnn por cada tuberfa.
2o.- La tenslón tangencial de rozamiento del agua con lo pared
de la tuberla 2.
Tubería L (m)I 3.0002 1.0003 1.3004 5005 1.000
D (mm) f300 0,033200 0,038250 0,036200 0,038400 0,030
e (mm)ll9l0913
Los números entre paréntesis son las cotas de los puntos.
100m
0.25mDetalle A
_l-1
(60)
Depósito 1
--(25) !
Depósito 2
l6 lllttrtt Li1 n'.' .1 rttlrés
t".- l,os caudales en cada tubcrfa circulan en el sentido depósitoLos coeficientes de cada tubería son
8f. L''-"kü rt=3.366,28m1(m3 ls)2
rz=9.811,94m/(m3 I s)2 rz=3.959,74m1(m' I s)t
rq = 4.905,97m|(mt I s)t rs =242,07m l(m' I s)t
Estudiamos en primer lugar el caudalímetro de Pitot
Como I/" = 6 LH ou =0
I al depósito 2.
Qr :0,143 m3/s
la cota del agua en el depósito 2
de la superficie del agua en cada
Z:30,70 m
I
l
Aplicando el teorema Bemoulli entre los puntos A y B del caudalímetro tendremos
z. *lu*L= z^* Pu *vi + LH,."r29"y29Zn=Zu resulta LL=!u-!u=o2l
Iru = ^llg
4,2.1 =2,03m I s
Q, = sr'v,= 7T' 0,152'2,03 = o,l43m3 I s
Clonocido el caudal de la tubería l, podemos hallaraplicando el teorema de Bernoulli entre un puntodepósito.
100+0+0=Z+0+0+A¡4 LHr=\ü100 = Z +3.366,28'0,7432
Vamos a calcular los caudales del resto de las tuberías por el método de las tuberías
ccluivalentes.a) Las tuberías 2 y 4 están en serie, tienen el mismo diámetro y el mismo
coeficiente f por lo que podemos sustituirlas por una equivalente de ese
diámetro y coeficiente y de longitud la suma de las longitudes. A esta nueva
tubería la denominaremos tubería 6 y tendrá L6:1.500 h, Do - 200 mm yf6 : 0,038
b) Las tuberías 3 y 6 están en paralelo. Vamos a hallar su equivalente que
denominaremos tubería 7 y fijamos como D7 : 400 mm y h : 0,030. Su
longitud Lz será
l'niltfunun tle Iliiniullttt lll l7
l),n
./ . t",
El conjunto de depósitos y tuberías nos queda del siguiente esquema
Aplicando ahora el teorema de Bemoulli entre un punto de la superficie del
ilgua en cada depósito resultará
100 + 0 + 0 = 30,70 + 0 + 0 + All,69,30=1.958,77Q: Qs=0¡88m3 /s como Qr=Q, Qs:0,188 m3/s
Para hallar Q:, Q¡ y Qa aplicamos el teorema de Bernoulli entre un punto de la
supcrficie del agua en cada depósito por el itinerario 3-5
f4 _,,,
\ f,'t, -'
c) Las tuberías 7 y 5 están en serie y tienen el mismo diámetro y el mismocoeficiente f. Su equivalente será la tubería 8 que tendrá Ds: 400 mm, fg : 0,030 y
Ls:Ls+Lz:8.091,s6 m cuyo coeficiente rs Será ,"=}/Tij# =\.958,77
--s-
Depósito 2
(10)
100m
(60)!t- I -- s-
l8 l,ti;:t tn t Ltil tr',' . 1 t u lrtt "
100+ 0 + 0 = 30,70 + 0 +0 + All. +A11,
69,30=3.959,74.Q +242,07.0,1882 e¡ = 0,124 m3/s
Como Qr=Qo y Qr+Qr=Q, Qz=Q¿:0,064m3/s Q5:0,188m3/s
2".- La tensión tangencial de rozamiento del agua con la pared de la tubería 2 es, por la/.¡
formula de Darcy J =;; que aplicada a la tubería 2 resulta
LH 2 = rr. ü = 9.811,94. 0,0642 = 40,19 m
J. = LH' - 40'19
= o.o4o t9n I m' L2 1.000
0.200.0.04019. r .000rr =
v'lvv v'v rv¡ ¿ ¡'vvv =2,009Kglmz rz:2,009Kg/mz'4
'l'arnbién podríamos haber resuelto el problema planteando cuatro ecuaciones y cuatroincógnitas
(1) Q, = Q^
(2) Qr+Qo= Q,
(3) 100 =30,70+ LHz+ LH4+ LHs
(4) 100 =30"70+ A,H,+ LH,
t)e (3) 69,30 = (r,* üü + rrQ?
l'n¡l¡le ntu:s da Ilidt'áuliut lll l()
e, = *./oo.:o - r,ü = 8.24. to-3
lr2+ 14
De (a) 69,30 = r.Q + ryQ
0, = i J6wo - r,ü = r 5,8e. rc' J6wo r42,w¡
NO
De (2) Qs =24,13.10-3 Qs :0,188 m3/s
L.2.- El depósito de la figura tiene la sección recta circular. Determinarfuerza resultante sobre la superficie del tronco de cono ABCD siparte interior del depósito está llena de agua (y:1.000Kg/m3) yexterior de aceite (y=800Kg/m3)
00.60 m
En cada punto de la superficie troncocónica ABCD tenemos que actira unlfuerza F¡ debido al empuje del aceite sobre la pared del tronco de cono y una lucrza li.'
dcbido al empuje del agua sobre la misma. Fr actúa desde el exterior hacia cl irrtcriur(hacia abaio) y Fz actúra dcsclc cl intcrior hacia el exterior (hacia arriba).
Inlr¡
l¡¡
69,30-242,07Q;
69,30-242,07ü
20 t,átam l,ó¡te'z Andrés
Proyectando estas fuerzas sobre los ejes tendremos las fuerzaS F1¡1, F1y, F2¡1 yF2y. Las fuerzas horizontales se anulan pues existe simetría radial, por lo que sobre lasuperficie troncocónica ABCD solo actúan fuerzas las fuerzas verticales Fr y Fz.
El empuje vertical hacia abajo Frv será el peso del volumen de aceiteengendrado por la superficie Al2B al girar sobre el eje de la figura.
v,El empuje vertical hacia
engendrado por la superficie Al2Barriba F2y será el peso delaI girar sobre el eje de la figura.
volumen de agua
La resultante del empuje vertical será la suma de las fuerza Flv y Fzv, o sea, laresultante será una faerzavertical hacia arriba de valor igual al peso del volumen de unlíquido de peso específico T=Tog,,n-laceit" = 1.000-800= 200Kglm3 engendrado al
girar la superficie Al2B sobre el eje de la figura.
Ese volumen lo podemos hallar como diferencia de volúmenes. Al volumen delcilindro I (V1) formado al girar sobre el eje el segmento A1 le restamos el volumen delcilindro 2 (Y2) formado al girar sobre el eje el segmento 92 y el volumen del tronco decon ABCD (V3).
:q
3_4
Itl"\"
'^8,'"
l'roblemas de Illdráullca lll
lil valor de estos volúmenos og
Vt = 1T.0,62 ,0r9 ='lr0l8m3Vz = lt.0,32 .0,6 = 0,169m3
ltV" = ! n. 0.6'' 0.6 - -. n.03'z . 0.3 = 0.198m3
JJ
V ""rur
un* = V, - V, - V, = 0 r65lm3
El valor de la fuerza resultante sobre la superficie del tronco de cono ABCD es
un empuje vertical hacia arriba de valor
T F =v,",,,rn*'T =0,651mt '200Kg lmt =130,2K8
N' 1.3.- Para trasvasar caudales entre los depósitos Dl y D2 se ha construido elsistema de tuberías de la figura. En el punto medio de la tubería 5 se
ha instalado un caudalímetro de Pitot cuyos niveles se aprecian en eldibujo de detalle.Hallar: 1o.- Los caudales que circulan por cada tubería.
2o.-La tensión tangencial de rozamiento del agua con la paredde la tubería 2.
2t
Tubería L(m) D(mm)1 3.000 3002 1.000 2003 1.300 2504 s00 2005 1.000 400
f0,0330,0380,0360,0380,030
e (mm)11
910
913
Los números entre paréntesis son las cotas de los puntos.
))
I
0.25mDetalle A
=- 300mm
1,,.- Los caudales en cada tubería circulan en el sentido depósito I al depósito 2.
Los coeficientes de cada tubería son
8f L,', lt, g D,t
rt =3.366,28m l(mt I s)'
rz=9.811,94m1(m3 I s)2 rz=3.959,J4m1(m' I s)'
rt = 4.905,97m l(m3 I s)t rs =242,07m l(mt I s)t
listLrdiamos en primer lugar el caudalímetro de Pitot
300mmI
-T
(oo)ge
.4)v DetalleA
Aplicando el teorema Bemoulli entre los puntos A y B tendremos
I'n¡ltlcttut,r tlr I litlniul iut I I I 2l
z " n lo *ü = 7.,,1 !',," v29 " y
('rrtrto /,,=Q L,H*=g
f4-_-l--L
\ f,'r,l-o/oo¡
t/op:o ¿
t ''i t ¡tt ,,,2s
Zu=Zu resulta v] -Pu -Pn -r,,29yY
v^= J2g42t =2.o3mls
Q, = s, 'v ,= lt ' 0,202 '2,03 = 0,255m3 I s Qs = 0,255 m3/s
Varrros a calcular la tubería equivalente de las tuberías de las tuberías 2,3,4 y 5.
c) Las tuberías 2 y 4 están en serie, tienen el mismo diámetro y el mistnp
coeficiente f por lo que podemos sustituirlas por una equivalente de cse
diámetro y coeficiente y de longitud la suma de las longitudes. A esta nttovit
tubería la denominaremos tubería 6 y tendrá L6:1.500 r, Do : 200 nlltt y
f6 : 0,038d) Las tuberías 3 y 6 estan en paralelo. vamos a hallar su equivalcntc c¡ttc
denominaremos tubería 7 y fijamos como D7 : 400 mm y f7 : 0,030. Stt
longitud L1 seráe) rf
\ r',= --@ L,=i.o5o.6em
! o,o:s.r .soo ! o.o:0. I .:oo
c) Las tuberías 7 y 5 están en serie y tienen el mismo diámetro y el lnisttto
cgcllciente f. Su equivalente será la tubería 8 que tendrá Ds: 400 mm, fs =' 0,030 y
l,n 1.5+L7: 8.091,56 m cuyo coeficienters será
^ =T#ffi# =l'958,11
El conjunto de depósitos y tuberías nos queda del siguiente esquerna
200m
24 I'elaarc l,ó¡rc: Aadrés
Aplicando ahora el teorema de Bemoulli entre un punto de la superficie delagua en cada depósito resultará
200+0+0=Z+0+0+A,Hs200= Z +1.959,77.0,2552 - Z+127,37 Z:72,63m
Para hallar Qz, Q: y Qa aplicamos el teorema de Bemoulli entre un punto de lasuperficie del agua en cada depósito por el itinerario 3-5
200m
l'ntblemas de Illdrdullea lll
200+0 +4a72,63 +0+0+AH. +All.127,37 = 3.959,74. Q + 242,07. 0,2552 Q¡ = 0,168 m3/s
Como Q, = Qo y Qt + Q, = Q, Qz= Q¿ = 0,087 m3/s Qs = 0,255 m¡/s
Para hallar Q1 aplicamos el teorema de Bemoulli entre un punto de la superficiedel agua en cada depósito que circula por la tubería I
200 + 0 i 0 = 72,63+ 0 + 0 + AF4
127,37 =3.366,28.q Qr :0,194 m3/s
2S
2u,- La tensión tangencial de rozamiento del agua con la pared de la tubería 2 es, por la
fórmula de Darcy J = i!- que aplicada a la tubería 2 resulta' y.D
A,H, = rr' ü = 9.811,94' 0,0872 = 7 4,26m
J. = M,
-74,26 = o-oj426m I n' L, 1.000
L2 -0,200.0,07426.r.000
=3.7lKg lm2 rz=3.7lKglm'
'l'ambién podríamos haber resuelto el problema planteando cuatro ecuaciones y cuatroincógnitas
(1) Q, = Qo
(2) Q,+Qo=Q,(3) 200 =73,28+ LH2+ LH4+ LH5
(4) 200=73,28+ LH3+ LHs
N" 1.4.- El dcpósitrl tlc lt ligura tiene la sección rectu circul¡¡r. l)cforminar lafuerza rcsultanto sobre la superficie del tronco de cono invertidoABCD si la, parte interior del depósito está llena de agua(y:f .000Kg/mt¡ y la exterior de aceite 1y=SOOfglm)
00.60 m
, En cada punto de la superf,rcie troncocónica ABCD tenemos que actúa unafu91z.a Fr debido al empuje del aceite sobre la pared del tronco de cono y una fuerzaF2debido al empuje del agua sobre la misma. F¡ actúa desde el exterior hacia el interioi(hacia aniba) y F2 acfua desde el interior hacia er exterior (hacia abajo).
!'t ¡¡l¡l¡,ttttt.t ¡h, I littnlttlit'tt ll I
l,royo<;tando esl¿rs li¡clzrrs solr¡'e los cjcs trrtttlrcttttls Ias fircrzas I"¡¡¡, li¡y, 1".'¡¡ y
1,,¡,. l,us lilcrzas horizontalcs sr¡ unrrliur ¡rrrr.rs exisfc silnctría radial, por lo qttc stlbrc lir,,¡lrcrlicic troncocónica AtICI) solo actútalt li¡orzas las luerzas verticales Fl y lrz.
lil cmpuje vefical hacia abajo Frv será el peso del volumen de agua engcndradtr
¡rol la superficie Al2D al girar sobre el eje de la figura.
I
AB
El empuje verlical haciacrrgcndrado por la superficie A12D
)7
volumen de aceitc
II
La resultante del empuje vefiical será la suma de las fuerza Frv y Fzv, o sca, l¿t
rcsultante será una fircrzaverticalhacia arriba de valor igual al peso del volunren dc tlll
lít¡trido de peso específico T=Toguo-Tace¡te=1.000-800=200Kglm3 engendraclo al
¡lirll la superficie Al2D sobre el eje de la figura.
Ese volumen 1o podemos hallar como suma de volúmenes. Al volumen tlclcilindro I (Vl) formado al girar sobre el eje el segmento D2 le restamos el volullron clerl
cilirrdro 2 (V2) formado al girar sobre el eje el segmento Al y le sumamos el volttlltctttlcl tronco de cono At]('t) (V3).
arriba Fzv será el peso delal girar sobre el eje de la figura.
4
Fl^"1..1
).
l¡t
1 .20 nr
0.60 m
1.20 mF{"\=__--ltN:#l
oh=Se\====:-7 io.somoL_iB-
0.30 m
0.30 m
0.60 m
nf-----la\---lr\\,/// o 30 m
lil valor de estos volúmenes es
V, = 1T .0,62 . 1,50 = 1,696m3
vz = iT. 0,32. l,8o = o,5o\m3
r, = !2.0,62 .0,6 -!. r.0,3, . 0.3 = 0"t9gm3'3 3
I r"r, r^,, t" = V, - V, + 4 = lr386m3
El valor de la fuerza resultante sobre la superficie del tronco de cono ABCD estrn crrpuje vertical hacia arriba de valor
T F = v,,.,,,trun,"'T =7,386mt '2ooKg I m' =272,20Kg
Lri.' r ut t l,ó¡ 4.' .,1 ¡ ¡ l¡1i.;
t-I
1.50 m
0.30 m
1.2O m
1.50 m
0.30 m
I't'tltlctntt,t tfu I litlrúulictt I I I
1.5.- Calcular cl ticnrpo (¡tc t¡tr(hr cn llcnarse el dcpósito inf'crior rk¡ lr¡
figura, que es nlimentado por el depósito superior dc igullesdimensiones, teniendo en cuenta que los niveles de ambos varian tt ltllargo del tiempo que tarda el agua en pasar del uno al otro depósito.
No considerar las pérdidas de carga localizadas.
Diámetro de la tubería .......D:500 mmLongitud de la tubería ........L:1.000 m
Coeficiente de fricción de Manning........n:0'010Superficie de los depósitos...................20x20 m
Al comenzar el trasvase de agua entre los depósitos el desnivel entre las del aguit
crr ambos es de 80 m.Al cabo de un ciedo tiempo "t", el nivel del depósito superior habrá descendiclo
urra cierta altura "h" y el nivel del agua en el depósito ínferior habrá alcanzado la mistna
irltura "h", puesto que ambos tienen la misma superficie. El desnivel entre las
srrporficies será H =80-2h
i20m
II
40m
I
20m
i
2e
N"
Al cabtl tle trtr cicrlo licrrrpo "clt", después dc "t" cl tle¡x'rsito irrfbrior voráattlttcntado su n¡vol oll tttll ¿tltLtra "dh" y la velocidad con que el agua ostá circulandopor la tubería en ese instantc scrá, por aplicación del teorema de Bernoulli:
(80*e)+0+0= h+0+0+M{
LH ="'r',' 'L-9'ol o'z'l'ooo"'zR;' ffi" v=o'79J801h
En el tiempo "dt" el volumen que ha salido del depósito superior será
d\or*", = q.dt = S .v.dt = 7T.0,2502 .O,lgJgO -zhdt = 0,155Jg0 -2hdt
El volumen que ha aumentado en el depósito inferior es
dV*^-*= A.dh=400.dh
como ambos volúmenes son iguales, aunque de signo diferente, pues cuando unvolumen aumenta el otro disminuye, tendremos
400 . d h = _-9,1 5 ,,f-gg - ¡ ¿ ¡ dt=-2.519.36-4:' Jso-zn
Los límites de la integración serán, para t:0, h:0 y para t:T,h:20,
720r = l¿t =z.sts3ai--!!-d i,loo-zn
la masa del agua en el centro de gravedad de caday la diferencia de cotas entre ambos centros de
Integrando, r = _2.5i9.36V 60 JhI' = _2.s7636(^l 40- J80)= 6.j 51,19s
El tiempo que tarda en vaciarse el depósito superior y, lógicamente, Ilenarse elinferior se de 6.757,19 segundos.
Solución aproximada.Supongam os concentrada tada
depósito. En este caso sería h-10 mgravedad 80-2h=60m
Í",'l'1, ¡tt,t¡,fu I Iitlt'tittlictt l l l
Aplicamos el teorema de Bemouili en estas condiciones y tendremos
(tl0 - r) + 0 + 0 = h + 0+ 0 + All 80-2h=60=LH
il
Lr I ="'r',' .¿ = 0'0 l0'-v' .1.000= r,6.v'z 60=r,6.v' v:6,12 m/s
Rl,' o.t25o'lil tiempo que tarda en vaciarse el depósito superior serrá
L/ l/ , 8.000_ rlililhn _ tolttm¿n _ = 6.666,66s
a S .v iT '0,2502 .6,12
Si ahora dividimos el depósito superior en dos parles y concentramos la nrasa tlc,r1,rur rle czrda parte en su centro de gravedad, el tiempo que latotalidad del volunloll tle,
,r¡turr tlrda en llegar al depósito inferior será lo que tarda la primera mitad mas lo t¡trct;¡rrlir ll scgunda mitad.
¡lIt
', l
I
J''
l')sos tiornpos scrirrr
Si ir, =.51r ll0 2 5 l.(r't', r', (r.(r Ill / ,r L),=1.3n¡'I't
32 Ldnro López Andrés
hi vt = 6,84m / s
h2 vz = 6,37m / s
h3 vz = 5,86m I s
h4 vq=5,30m1s
Q, =7,34mt I s
Qz =7,25m3 I s
Qz =l,l5m3 I s
Qo =1,04m3 / s
Q, =l,lmt I s
tt =1.488,12s
/z = 1.598,50s
tz =1.737,75s
t¿ =1.921,15s
El tiempo t¡ scrá,, =Wry =3.076,92s
Si lq=15* 80-2.15 =1,6.v3 vz=5,60m1s
El tiempo t2 será f , - v"ok,", 4'900
= 3 .645,14sQ, l,l
El tiempo total será T: t1 + t2:3.076,92 + 3.645,14: 6.722,065
Si dividimos el depósito en cuatro partes iguales, tendremos
El tiempo total será , =Lr, = 6.745,15s
como puede observarse los valores hallados por el método aproximadoconvergen hacia el valor exacto hallado por el método de integración y cuanto maspequeñas sean las alturas en que dividamos al depósito, mal aproximada será lasolución.
7 5 lps
l'roblemas de Hldráullca III
N' 1.6.- ¿Cuól de lot rfiulcnüet tlttim¡t do tuberlas de ldéntlca c¡lldad tlenemayor capncld¡d dr trlnrporto de agua, a lgualdad del regto de
condiciones en ambot GxtrGnot?
1o Sistema Tuberfa I 2 3L(m) 2.547,08 1.831,66 207,05
800 700 600
33
2o Tubería 1
SistemaL(m) 3.217,19
D(mm) 800
234
1.525,55 1.983,48 703,50600 700 700
@@o1O SISTEMA
20 SISTEMA
Las relaciones entre diversas tuberías y su tubería equivalente son
Tuberías en serie
I" _S- Itn!-Loi
Tuberías en paralelo
E--E-t/¿:
-"\n:
lo Sistema. Las tres tuberías están en serie, por Io que la pérdida de carga total
será la suma de las pérdidas de carga de cada una de ellas, All, =\tU,La pérdida de carga en cada tubería es Af1, = K,Q' y en la equivalente
LH"=l{"Q2, por lo que K"Qt =ZK,Q2 =Q'\K,, puesto que al estar las
tuberías en serie, por todas ellas pasa el mismo caudal.r
Como K, = P;:resulta
o"= p(2:s!7:2s -t *:l,u.u - ?ulg:)=22.t0s,ss.F" ' [ 0,800' o,7oo' 0,600'/
K.:22.105,55p
2" Sistcnt¡l' litt trslt: sislt'ttta lirs_ltrborías 2 y 3 están crr ¡lar.irlclo. A su cc¡uivalentela do,o,ri*r't¡rrrtx f,r¡rrcríir .5 y fi.iarnos su dlámetro en r nl. su rongitud será
/r' / o,oor- losoo¡lT= ltrttJ,
- lantr/t =l l'll'10-r -+ Ls =8'l0t'62m
como las tuberías 1, s y 4 están en serie, procedemos como en el casoanterior
o "=
p(141f2*q-!!62 * 101+)=rr t.s.ss.p' ' ( 0,800, 1.0005 0,7005 )como ambos sistemas tienen el mismo coeficiente, ambos tienen ra mismacapacidad de transporte de agua, a igualdad de condiciones en ambos extremos.
otro Método.-vamos a hallar la tubería equivalente al primer sistema condiámetro I m e igual calidad que las tuberías dádas.
z. -\- z,
D:_LD:L" _( 2.547,08- t.83 1.66 267.05 )r =l o¡oc + otod +ffi
)="'los'ss
El primer sistema es equivalente a una tubería de diámetro l m y longitud22.105,55 m.Vamos a hallar ahora una tubería equivalente, de diámetro I m, a lascuatro tuberías del segundo sistema.Las tuberías 2 y. 3 están en paralero. Halramos su equivarente condiámetro I m y la denominamos tubería 5.
totoo, lo.5oo¡.t + r '- -- =11,1 l.l0-3 Lr=g.101,62m!r.szs,ss !r.os:,+a
La tubería equivalente de las 1,5 y 3, que están en serie, también dediámetro I m será
/t't_ -!¿, -
L. _( 2.s47.08 8. to t,62 267.0s )|.
: I o¡nrr r
-t' .
oóoo, .,/
= 22' lo5'55
('orrro ¿ullbos sislt.rrrtt., r.orr cr¡urvrrlt'nlc:i ir unir trrllcr'íir tlc tliálrlcllo I lrr yIorr¡iilrrrl 22.105,55 rl y tlc lrr nrisltr¡r t'¡rlirl¡rtl, los clos sistenl¿ts tlc ltlbctfltsIrirrrs¡rortarhn cl nrisrrro cirutllrl tlc ¡rliuir. l i¡lrrrtlclacl dcl rcsto dr¡ cotrtlicirltrcs ctt
irrnllos cxtrctnos.
N' 1.7. l)ara distribuir aguan potable a una población se dis¡rnc tlc los
dcpósitos Dl y D2 y de la red de tuberías de la figura. En cadt uno tlclos puntos B, C, D, E y G se consume un caudal de 50 l/s y la tullcrin(iH transporta hacia el depósito D2 un caudal de 150 l/s.
Se pide: 1".- Hallar el caudal que circula por cada tubería.2o.- Las cotas que deben tener los depósitos para quc la
presión en el punto D sea de 4Kglcm2.3'.- Hallar la presión en el punto F.
()
l.0llr)600
Coeficiente de friccién para todas las tuberías f : 0,015Los números entre paréntesis representan las cotas topogrítlic:rs.
Los cocllcicrrlcs r'¡ rlc lrrs ltrbcr'íus sor 4 - +41, nr/1rn'/s))' rtgD) I '
rr . 5,(rtl rrr/1 rrr r/s ¡' r', 7.t) ] r¡r/( rrr
r/s)r rt -. J .97 nr/1rrr l/s¡'l
l',¡ (r.ltl tu/(rrr'/:;)' r: 1r0.55 ¡¡¡/1 ¡¡¡r7r¡'' r'6 3(l,33rrr/(rrrr/s)''t'1 60.\\ ¡rri(rrr'/,,)' l¡ ,l(lll..'l¡rr/(rrrr/c)r t',t 15,94 ¡l/(rrr'/s)l
.ló I,tl : t t rr t l,ri¡ tt': ¡l t td rtt,r
1".- (iñlcuk¡ de lr¡s cuurl¡rlcs.Caudrrl on lu tubcrlu 1 Qr = 5.50 + 150 = 400t I s
Varnos a cstudirr la malla BCD
400 l/s'- ---l;>
250 Us,--------> 350 l/s
-._>300 ls- ---l>o
Hemos agrupado las entradas/salidas en los nudos B y D, supuesto unsentido de circulación de los caudales Qz, Q: y Q¿ y asignado un sentidocomo positivo.En esta malla tenemos tres incógnitas, Qz, Q: y Q+ y tres ecuaciones0,350 = Q, + Q, -+ Q, = 0,350 - Q,0,300 = Q, + Qo -_> Qo = 0,300 - Q,
A,Hr+ A,Ho= A,H, --) 7,93Q: +6,35Q1 =7,97qsustituyendo 7,93(0,3 50 - Q)t + 6,38(0,300 - Q)' = 7,97 O:y resolviendo la ecuación resulta
Q2 = 0,160 m'/s q, :0,190 mt/s qo :0,110 m3/s
Vamos a estudiar ahora la malla DEGF
150 l/s 250 ¡/s-+ D O ]E C)- fo^-
tB at Dl150 l/s -' | 50 r/s
üü
D (5.) e lz) lc
+"^'- +.0^ -
+'.^
han
un
lgualmente se
nudo, supuestopositivo.
lin esta mallaecu¿rciollcs
0,2-50=er+en
Q,, = Qr
0, .,0,0-50 I 0/
agrupado los caudales entrantes y salientes en cadasentido de circulación y asignado un sentido como
tenemos cuatro incógnitas, Q5 Qo, Qz y Qs y cuatro
-) Q,,=0,250-Q,
l*^A
I sou"
l'ttltlrnkt,t tlc I litlrdullnt t I I
LII6+ LIIt= A,ll, t Allt -) (36,33+408,23)ü=fi,0,55(?i +?r')-tr lsti(uyendo
7,34(0,25 - Q)' = ü + (Q,- 0,050)'z
l(t'solviendo la ecuación Q5 = 0,170 mt/s q6:0,080 m3/s Q, = 0,120 mr/s
l.- (lulculo de las cotas de los depósitos.-Cota del depósito Dl. Aplicamos el teorema de Bernoulli entre el depósito lll y
cl ¡urnto D por las tuberías I y 3.
31
zt +o+o= zn,.!n*9* L,H, + L,H, b=4omy2sv ú*o
2x
;, =30 +40+rrQ +\ü =70+5,68.0,4002 +7,97.0,1902 =71,20m Z¡71,20m
('ttuprobación.- Aplicamos el teorema de Bernoulli entre el depósito Dl y el punlo Dlntr lus tuberías l, 2 y 4.
zt + 0 + 0 = zo 4 lt * I + LHl + LH2 + LH 4y2sr¿jr =30 +40+rrS +rrQl+roü =70+5,68'0,4002 +7,97'0,1602 +6,38'0,1102 =71,20m
Cota del depósito D2. Aplicamos el teorema de Bemoulli entre el punto l) y clrle ¡rr'rsito D2 por las tuberías 6,8 y 9.
,u + b * ! = zr+o +o + aHu + LH8 + LHeyzg30 + 40 = zr 1- (ru + r)Q: * rnü = z, + (36,33 + 408,23) ' 0,080r + | 5,t)4 ' (l.l 5(lj
J0 = zz +3,20 Zz:66,80 m
t'otnprobación.- Aplicamos el teorema de Bernoulli entre el punb D.v t,l tlr¡nislttt l))¡n tr las tuberías 5, 7 y 9.
zo + !L+ ! = rr+ 0+ 0 + LHs + LH: + LHe"y2930 + 40 = z, + rrf, + rrQ + rnü = tr+ 60,55 . (0,1702 + 0,1202) + I 5,94' ().1 501
70=zz+2,98 zz=67,02m=66,80m
.1.- Cálculo de la presión en el punto F.Aplicamos el teorema de Bernoulli entre el depósito Dl y el punto Ir por las
lulrcrías 1,3 y 6.
zt+o+o = zr i!.* !+ a]'1' + L,Hr+ L,Huy2gtr
I'71,2(l= l0 t '/'
vt,
71,20= l0+2+ t,431/
lr.-t- = 59,J7 mca
1/Pr: 59,77 Kg/m2
Pp:59,77 Kglm'
r 0 r rlQ' t,',(); I Q,,-lO, **5,6U.0,400r | 7,t)7.0.t90i | 3ó,33.0,0g02v
(\trnpntback)n'- Aplicamos er reorema de Bernouili entre ros puntos D y F
,,,th.!=r, *!.+É+tu."Y29'Y2g-"u
30+40 =fi+lL+nO3v
70 = l0 +!t+023 L=59,7imcaTy
N" 1.8.- En el esquema de ra figura se sabe que para una cierta posición de raválvula V no circula ningún caudal por la tuner ía 2-3.Hallar er coeficiente K de pérdida dé carga rocarizada de ra várvura.Coeficiente de fricción f = 0n015 para todas las tuberías.
Los coeficientes de cada tubería serán r - 8.f o'' o'gff L'ml\m'/s¡'
r,,, = 1,59m /(m3 I s)2 rt. = 51,58m l(m, I s)2 rrt =133,20m /(m, / s)2r",, = 27,77 m l(n' / s¡' r,.t = l0l,98m l(m. / s), ron =7,59m /(m. I s),
+25m.
I't,tltl¡'ttttt.t th I I itlnittl int I I I
l)rlr cotttinuirl¡¡tl rle cnurl¡rlt r¡ lt'r rtL rruor
Qu,] Qu,, -,Q tJl t ()il
Qn=Qn*Q,uQu =Q,t=Qr,t
Como por la tubería 2-3 no circula caudal, la energía en el punto 2 será la nlisntirr¡rrc la cnergía en el punto 3.
r. -,Pr,v: E--,Pr,vla,^ : L^ t-- - --v2cy2cAplicamos el teorema de Bemoulli entre el depósito y los puntos 2 y 3 rcsrrltu
50+0+0 = zz+lZ+5* *r+ LHt2 -+ 50 = Er+L,Hor+a//r,,t150+0+0 =rr+b+5+LHot+LH13 -_> 50=Et+aH.r +Ll ItlytgIgualando resulta L.Hr, = A,H* sustituyendo Qu =7,607Q,,
Aplicando el teorema de Bemoulli entre los dos depósitos por el trlyr;c:lo ( ) I I
.l lr, tcndremos50 + 0 + 0 = 25 +0 + 0 + LHo, + A,Hu + LHro + LHon
25 = LH ot + LH,' + LH34 + LH4F
25 =1,59Q2 +133,20ü +108,98fi +1,59Q2 =3,18Q' +242,18ür
Sustituyendo Q = Qu + Qu y como Qn =7,60'7 Qa resulta
25 = 3,18(Q,t + Q)' + 242,18fi = 3,18(2,607 Qn)2 + 242,18fi, = 263,19Qi,
Qs:0,308 m3/s Q,t :0,495 m3/s Qs:0,803 m3/s
Aplicando ahora cl tcororna clcr llclnorrlli cntrc los dos dcpósitos pol cl lraycclo( )- l-2-4-lr tcndremos
40 l,elnmt l,ó¡n': lndrés
NO
como LH,, = *L u , - Qn - 0'495 -. <^' 29 ' =l= o "2t'
=2'52m / s resulta
3,s =k2!2t k=ro,g4' )o
1.9.- una tubería vertical de diámetro 600 mm se amplia hasta 1.000 mmpor medio de una pieza especiar de ensanchamiento troncocónico de2,00 m de longitud.Por la tubería circura un caudar ascendente de 3rr42 vs de agua y unmanómetro situado al inicio del ensanchamiento marca una piesión de20.000 Kg/m'El coeficiente K de pérdida de carga localizada es K : 0,25 respecto ala velocidad en la sección media de Ia pieza.Hallar la reacción sobre eI contorno en el punto de inicio de Ia piezatroncocónica telie¡do en cuenta er peso der agua que contiene y que supeso propio es de 290 Kg.
5 +0+ 0 =25 +0+0+A/10r + L,Hrr+ LH, + A.Hro+ A,Ho,25 = A.Hor+ A,Hrr+ L.H, + LH24+ LHo,25 = 1,59Q' + 51,58ff + 27,77 fi + 1,59e2 + LHy25=3,18Q2 +73,35ff+ LHv =3,18.0,8032 + 73,35.0,4952 + LH,25 =2,05 +19,44 + LH, AHy = 3r5l
Pr = 20.000 Kg/m2
Vamos a calcular en primer lugar la presión en la sección superior d,elapieza,(sccción 2). Tendremos en cuenta que el coefrciente K de pérdida dL carga locaiizada
@ 1)001
I
l
a600
I'rriltl¡n¡¡¿u dc lltdrclullca lll 4t
estó rclbrido a la velocidnd en ln ¡ecclón rttedin dc
llcnloulli entre las secciones I y 2, resultn
z,*L*!i=7.aP' *vl *op'v29'y29
ln pieza. Aplicando el teorema de
t', = 3'142=
=ll"llml s' n.0,3'V.. = 3'142=
=6-25mls'" 1T.0,4'v^=3'742.=4-oomls' n.0,5'
o* 10-o,o,o * t !t
t' =r* " *o!o' +o,zs?! pz=22.977,90 Kg/m2- 1.000 29 y 2s 29
Calculamos seguidamente el peso del agua que contiene el tronco de cono. El
volumen del tronco de cono será el volumen del cono que se obtiene prolongando el
lronco menos el volumen de cono que ha resultado de la prolongación.
1,00 _ 0,60
2,00+h h
h:3,00 m
El volumen del tronco de cono seraI l','h=!r(o,s''5_'0.3''3)=l,o26n'Vr,r,.r,r,tr=ttr'nr-:,;,
3
Peso del agua contenida en el tronco de cono 1.026k9.
l,a impulsión en la entrada y en la salicla clcl tronco de cono es i = ptp,t, + i',5,
l.)
Vul
troncocl coniunto
l"
La impulsión resultante (I = Ir-1,) será igual ade cono mas el peso del agua de su interior mas la
lr,I
4 = f,H. r, t 42. t t,n + 20.000 . n . 0,3002 = 9.21 1,24 Ks
N" 1.10.- Para abastecer de agua a una ciudad se dispone de un depósito cuyonivel de agua se considera constante en Ia cota 100 m y de una tubeiíade diámetro 300 mm, coeficiente de fricción f=0,012 y 2.000 m delongitud. La presión mínima der agua en er punto de entrada a laciudad debe ser siempre de 5 kg/cm2.
Para garantizar la demanda de suministro en la próxima temporadaestival, es necesario conseguir un suministro de 350 us y para ello seestudian dos alternativas:
Í = Í, -i, = úp*o,o +li"n. + ñ
-16.765,66 -9211,24 =290 +1.026 + R
la suma del peso propio delfuerza resultante que equilibra
R=27.292,90Kg
el esquema, con otranecesaria para lograr
A. Duplicar un tramo de la tubería, segúntuberí¿r igual a la existente, en la longitudcl fin prcvisto.
l]. lnstal¡¡r cnc:t r¡rcl c risl icr¡
l¿r tubcría una bomba centrífuga de curvall : A-1.200Q21H en metros y q en m3ls¡.
I't t¡l¡lt'nttt:; th' I lttluiultt',t I I I 'l I
(l¡ttl¡¡ ¡lltl¡rl tlc l¡¡lr¡'¡'i¡r rlt¡f \('tolttt¡ltt'tn l¡l llllcr¡l¡¡tiv¡¡ A licnt ¡¡l¡
cgslc, lttcltt.ytlltlo lt¡ ¡trtrlt.¡llrl¡lrlrcitllt¡¡l rlc txcAv¡¡cioll0s, rtllentls,piczus cs¡tcclrtlcs. t'e ¡loslcloltts tk' ¡r:tvinrcnt{)s, ctc..., dc 120'00 €.
El precio tot¡rl rltl li¡ntion¡¡nlicnlt¡ ctln bomba, incluycndo los coslcs tltr
adquisición, nronlit.jc, nlanfcnimicnto y consumo durantc cl pcrftldrl tlcamortización dc la instalación, es de 6.000(1,5 Ao's+2¡ €.
No considerando las pérdidas de carga localizadas exislcnfcs ctt
cualquiera de las alternativas, hallar la más económica.
(La posición de la tubería duplicada en la alternativa A y lu posiclón
de la bomba en la B, deben ser fijadas libremente por cad:r aluntntl.)
Veamos, en primer lugar, que caudal llega a la ciudad en las circtrttstitttt'iits
irctuales.Aplicamos el teorema de Bemoulli entre el depósito y la ciudacl y lostrltir
roo+o+o=o+50+11+aH ¡¡1=-L-¿29 2gD
,'( fL\ v'( 0.012.2.000\50=--l t+!:l=l l l2.c\ D) 2¡¡\ 0.3 )
(.)=^s.,, oo'l l,lt{ o,'.1(r,r'lr
Altcrnativa A
+10O O0 rr
.t.l
Duplicamos la tubería e11re los puntos A y B, cuya posición puede sercualquiera. La tubería quedará dividida en tres- partes de longitudes Lt, Lz y Lz.I)ebemos conocer la rongitud_ del tramo 2, que es el que se h" drpii;;", y así podremossaber el coste de esta altemativa.
Vamosasuponerquelostramos I y3 tienenlamisma longitud; o sea L., =L3,evidentemente, I.+Lr+Lr=2.000 y Lt=1 .000_0,5¿, (l)
vamos a hallar Ia longitud equivalente de las dos tuberías instaladas en paralelocntre-los puntos A y B. Sea el diámetro de ésta el mismo q;r; del resto de lastuberías, 300 mm,
E-. Fj\l t"-t\L
lil cirt¡rlirl srrrr¡inislr.¡rtkr cs iltflriol. al rcc¡uerido.
Aplicamos el teorema de Bernouili entre el depósito y la ciudad y resurta
1
I00+0 +0 = 0+50+5+ nr¡, + A,H, + A,H,)o LH = f 'v, r' 2g - D,"'
Corno Q =Q.=0,350m3 /s
r'; 4-9-5 r
.r - = - I ?s),, ', "
resulla v, = y, = -!!Az.o-150, =4'95mls
+r00.00 m.
1",'l'l, ttt,t.r tl,' I Iittt'tittlittt I I I .t 1
\t/l
\//
\//,
',rr',lilrryondo 100 = 50 + 1,25 + 0,0511+ 0,0125 L, + 0,052,
48,75=0,lLr+0,0125L2.,rr',lilrrycndo el valor de Ll, resulta
48,7 5 = 0,1(1.000 - 0,5 Lr) + 0,0125 L,
0,0375L2 = 512,25 -+ L2=1.366'66 m
l)ara duplicar la tubería en 1.366,66 m de longitud habrá que invertir:
C = 1.366,66m' 120€ I m = 1.639.999,20€
t )t¡'tt nélodo. Si tenemos en cuenta que por cada una de las tuberías err palalckl tle I
tr¡rrno 2 circulará un caudal de 0,175 m3/s y aplicamos el teorema de Bernotrlli. t'est¡ll¡t
100+0+0 = o+50+É + LHt + LH2+ LH32g
,..=Q - o'175- =2.47mrs' ,S, r.0,150'
o o12'4'q5' r. = o-05t,LH, =:: 29.0.3
ory4Y L,=o"ot25LzLHr_. rr.o-,o'ol2' 4'95'
1-. = o-o5 r-.LH\== ,r.0",sustituyendo 100 = 50+1,25 + 0,051, + 0,0125L2+0,05¿,
48,75 = 0,05(¿r + L) +0,0125L2
pero como L, + L. = 2.000 * L2
48.'7 5 = 0,0-5(2.000 - L.) + 0,0125 L, -) Lz : I .J(r(r,(¡(r ¡u
.t (,
Allcrl¡¡rliv¡r ll
lil ct¡stc os (l (r.(xx)( l,-5 A0'5 +2) euros. Debenros calcular cl v¿rl'r <Jcl parámetroA. l)itru cllo irplicarrros cl tcorcnra dc Bernouill y resulta
r'100.00 trr.
100+0 *0* Ht,,,,to=0+50 *fi*O,
50+ A -r.2ooe'z = Ln -f '" t =t( t * f ' L\29 2g.D" zs\" D )
Como Q::,0350 m3/s y v:4,95 m/s, zustituyendo,
50 + A _t .200.0,350, _ 4,95'z (h 0.012 .2.000 \2gI o,3oo )-o=6e,17
EI coste será C =ft,5+69,17, +z)=g6.g50,30€
La alternativa más económica es la B.
l'll'- Para conducir_agua desde el depósito I ar 2 se dispone del sistema detuberías de la figura.Si por la tubería 4 circula un caudal de 40 Vs, hallar:lo'- La tensión mínima admisibre a tracción que debe tener er materiarde ras tuberías para garantizar que en cuarquier punto de ra red sedispone de un coeficiente de ,"gu.idud d" 3.2o.- La tensión tangencial máiima de rozamiento del agua y de latubería.
Tubería !(^T) D(mm) E(mm) fI 400 200 8 0,0202 180 100 6 0,0253 50 t00 6 0,0254 4(x) 2oo 8 o,o2s
' :++ m \m' r sf rt = 2'065,6r * \m' r sl r, = 37 .182,08 m l(n' L\)'
rt =10.328,36 ^ t(m' t sl r,, = 2.582,09 * t(*' t s)'
Itara calcular o y t tenemos que conocer la presión a lo largo de todas
lrrlrt'¡ i¿rs y la pérdida de carga en ellas, puesto que:
o=P'Dn y r-Y'D'J -Y'D'LH2e44LAplicamos Bemoulli entre los dos depósitos por las tuberías l-2,1-3 y l-4
75 +0+0 = z+0+0 + L,Hr+ A.H, 75 = z+ LHt+ LHz
7-5+0+0=z+0+0+AH,+A,H, J5=z+LHr+LHt75 + 0+ 0 = z+0+0+ A,Hr+ L,Ho 75 = z + LHt* LHq
, ,rrr lo clue resulta que All, - LH3 = AHo, o sea, ,rü = rrü = roü, rrrrrrr (),1 es conocido, resulta, 37.182,08Q: =1032836q =2.582,09'0,042, on lo c¡ue :
Qz: 10,54 Vs Q¡ : 20,00 l/s Qr: Qr+Qz+Q3: 70,54 Vs
l,as pérdidas de carga serán
LI-{, = rrfi =2.065,67 '0,0"/0542 =70,27m
N I " = LH. - AH ^
= roü = 2.582,09' 0,0402 = 4,13m
l,a altura del aguaen el depósito2 será z =75* LH t - LH. = 60,60nt
l,a rcprcsontaciórr dc I¿r lírrc¿r piozortré1rica es
Its
Iri rutt Lti¡tr',' ,'lrrlrtts
Tenemos que estudiar en qué punto de todas las tuberías debe ser mayor latensión a tracción. Para ello vamos a calcularla en los puntos más significativos. Hayc¡uc tener en cuenta la presión, el diámetro, el espesor y el coef,rciente de seguridadsolicitado. En el punto B vamos a contemplar tanto las tuberías de diámetro 100 mmcomo la de 200 mm.
Consecuentemente el valor de omínimo solicitado deberá ser de 11335 kg/mm2
La tensión máxima de rozamiento entre el agua y las tuberías es
cuyos valores para las diferentes tuberías serán
v-D.LH.I =-
4L
A B B C D EI'(kg/m" 30.000 34.730 34.730 2s.600 30.600 35.600l) (m) 0,2 0,2 0.1 0.1 0.1 0.2c (m) 0-008 0.008 0,006 0.006 0,006 0.008o (ks/mm') t.t2s 1,214 0.868 0,640 0.765 1.335
Tubería I Tubería 2 Tubería 3 Tubería ID(m 0.200 0,100 0,100 0.200
AH (m 10.21 4.13 4.13 4.13L(m 400 180 50 400
r (kg/m') 1.28 0.s] 2.06 0,52
La tensión máxinta dc rozal¡iento entretubcría 3 y su vakrl cs dc 2,06 kg/m2
el agua y la tubería se produce en la
I't t'ltlt'nt(t,\ tlc I litlttiulit,t I ll
N" 1.12.- Dos de¡rósllos lgurrlcs rle 2llxlllx2ll rtt, cttytts stllcrts sc cncucnlrtln cn
las cot¡is +ó¡,(Xl rrr y tll,(ll) r., es¡ln r()ntun¡cados mediuntc unl lube rl¡¡
de 300 mm 4c dl¡lri¡elro, 2.(l(X) nr dc krngitud y cocficientc do fricción l'
:0'015.Para regular el ticmpo dc trasvase del agua de uno a otro dcpósittt, sc
dispone de una válvula compuerta de 300 mm, situada al fin¿rl tlc lntubería, junto a la entrada al depósito 2, cuyo coeficiente K de pórdidrt
de carga localizada tiene los siguientes valores, según el grado dc
apertura (a/D):
a[D 1/8 218 3/8K 89,1 15,7 7,6
4t8 s/8 618 718 tl/tl2,1 0,81 0,26 0,07 0,00
Se pide: 1'.- Hallar el grado de apertura necesario para que el tiempo
del trasvase del agua de uno a otro depósito se de 10 horas'
2'.- Si la válvula estuviese abierta 418, a partir del instantc cn
que en ambos depósitos exista un mismo volumen de agua, calcular
óuanto tiempo tardará en vaciarse el depósito superior'
80.00m
20x20x20m
l,ázaro López Andrét
K = 15,70
1o.- En el instante iniciar, el depósito superior está lleno y er inferior vacio.Al cabo de un cierto tiempo "t", el-nivel ¿"1 ¿"pá.ií" ,"p"ri* habrá descendidoun valor "h" y la cota del agua en él será gO_h.
En ese mismo instante '1", ra cota del agua en el depósito inferior será .0h,,,puesto que ambos depósitos tienen la misma sección.
En ese instante o't" ra verocidad de circulación del agua en la fubería será:
(tO -l)+O + 0 = h +0 + 0 + LHn + A,H,
2
60 - zh = !- ¡ rc+ l oo) = J,lQy2)o'
2
LH.. = k!-' )o-ó
ur- =J-J' ¡' 2g'D"
o sea Bo -2h = *(-. l')= *(.-ffir ooo)
de donde v =
dV,oh,r"n = q, dt = S ,v, dt = 1t,0,1502
dl,uh,ror= A,dh=400dh
igualando ambos volúmencs resulta
Al cabo de un cierto tiempo "dt", después de,,t,, el volumen de agua que ha circuladopor la tubería será el mismo que ha ráHdo ¿"1 dépósito *p"tiát qili"u.¿ descendidouna altura "dh", por lo que
de Hldráullca III
o,ozoznqffiar -4oodh 1 dta4oo.@i¡6' dh
0,3131 Jsl-fñ
litOgrando e imponiendo los llmitos do "h", que varia entre cero, para T=0 y 20 m para
FT aegundos, resulta,
T =1.277.55JK+ l00l- J8o -2hf3=3.346,8Ir/K + 100
Como Z =l\horas = 36.000segundos
36.000=3.346,81J8+100 -+
El grado de apertura solicitado es a[D = 218
lo.. Si la válvula está abierta 418, el coeficiente K será 2,10.
En el instante en que en ambos depósitos exista mismo volumen, la cota del agua
on ellos será 70,00 rn en él superior y 10,00 m en el inferior. Procediendo a partir do oso
ln¡tante de la misma forma que se ha hecho anteriormente,
(ZO -A)+O + o = (10 + /u) +0 + 0 + LH, + A,H,
-+ , =0,48Jd4ñ
dVuau^",= q.dt = S.v.dt =0,o3lJ601hdtdV*tu^*= A'dh=400dh
dt =12.g082rffi
T = 12.908,221- "tAnt = 1 8. 3 47,89s
Con la válvula abierta 418, la segunda mitad del depósito tarda en vaciarsc
t8.347,89 segundos.
2s(80-2h)
Es$o-rh .
^l+dfV K+100
N"l'lJ.- lln¡l cit¡rl:lrl l¡ect'sill¡ l)ura su ¿rb¿rstecinricnt<l <li:rrio un caudalconsf¿rnfc rrc r00 r/s rruranrc ras doce horas der períotro punta ( de g h a20 h ) y trc 50 r/s, ranrbión constante, durante ei período vaile ( de 20 ha8h).
La presión mínima de entrada a la ciudad, que está en la cota +10 m,ha de ser, en cualquier momento, de, al menos, 35 m.c.a.
Para su suministro se dispone de un gran embarse, cuya cota de aguase considera constante en 85 m y de una tubería de 250 mm dediámetro y 1.750 m de longitud que transporta el agua a caudalconstante desde el gran embarse hasta un pequeño depósito regurador,de 15x15 m de sección, en donde ." u"u-rlu el agua y se rigula elsuministro a la ciudad. Desde este depósito se transporta er agla a raciudad mediante una tubería de 450 m de rongitud.Er coeficiente derozamiento de ambas tuberías es f = 0n024.
La regulación del caudal, para adaptarse a Ia ley de la demandacitada, se efectúa mediante la apertura y cierre de la válvula, lo que dalugar a sucesivos llenados y vaciados dei depósito regulador. '
Se pide:l".-Hallar el vorumen útil (entre ros niveres máximo y mínimo)
y los valores de las cotas Zmínimo y Zmáxima
2'.-Elegir entre ros diámetros comerciares er más adecuadopara la tubería que llega a la ciudad.
.+lt5T:
volr¡rrrcrr clc agrra c¡trc h.y r¡rc suministrar alaciudad en 24 horas es
l',r,,,",, 1.1..1 ()(X).0.1(X) I 12.3.(r00.0,050 = 6.4g0m3
Zmax?
t_Depósito
tit
l't,'l,lt ttttt,t rlt' I litlt itttltt'tt lll
('oltttl sc stl¡ttiltisltit ¡t t'¡lrt,l;tl tlrll',1¡llrl('tlr:,tlc c'l ¡'.rittl cttlbillse tlt¡tittllt: -l'l llot¡l¡r'
, l r'¡rrtllrl ncccs¿u'io sr:tit
() .'lt{{) o.o/¡,r'l.r' .),1 1.()(x)
Las leyes de sttrttillisttrr y c:ottstttlltt sct Íltt
El exceso de volumen que llega en el período valle debe acutttttlttt'sc ¡titl'tt
suministrarlo en el período punta, por lo que el volumen del dep<lsilo rcgttlittlot'
será
trng,tod-= 12' 3.600(0,075 - 0,050) = l'080n3
Razonado de otro modo, sería, Se parte de un estado c1o dc¡rtisito virt io ;r
las 20h. Entre las 20h y las 8h existe una entrada neta de cauclal ctt cl rle ¡ritsilo tlc
75 -50 =25l l s, por lo que el depósito se está llenando duralltc csits l.l ltort'r
A las 8h el depósito estará lleno se producirá una salicla ncllt tlc erttttlrtl ,1,'
100-75=25lls,conloqueeldepósitosevacía durantediclro¡rct iotlo.r':;l:tlttlo
vacío a las 20h. El volumen útil del depósito será
V,"g,,to,to, =251 I s'l2h'3.600s = 1.080n3
La cota superior del depósito regulador deberá scr, pot'it (lU(' ('illt('n
constantemente 75 lls
2
85 + 0 + 0 = 2,,á,i,,o+ 0 +]L + AH,2g
Q, 0,075 1 ,
l', =-' S, tr'0,125-rr in
2
lr =g.12r,)o
At r. tt / (),' t . ll 0'{)l'l t)'()7'st
l .75() = 19,()9rr' tt j' I t, tt .1: {). 15'
¡l'5 !",,,,',u, I oil-l I 19.()()
Lr 'tt rt Lri¡a'. ,1¡¡,1¡ r",r'
Z,¡,,¡.i.r¡ ó{rll9 lrt
Zmínima:60,09 m
(l.rr. cl volrrrc, cs 1.080 m3, su solera debe estar en la cota
1.080 = I 5. I 5.(2,,,.,_ -2.¡")
Para calcular el diámetro de la tubería de conexión del depósito a laciudad hay que situarse en el momento mas desfavorable del día, q'ue será uninstante antes de las 20h, pues en ese momento el depósito
"rí¿ "n se cota
mínima (depósito vacío) y el caudal demandado es er máximo (r00 l/s) y lapresión de 35 m.c.a.
Z o,¡ni,o *0 + 0 = rc + L+ É + m -v )ot-6
Q, 0.100.4 0.t27' 52 n.D: D:
LH. = {91 L. -8'0-.024. 0.,09' .+rn - 8,e2. t0-r
Í'g D; - iT'g D; D:
v3 _8,26.10-o29 D:
D, = 0,226m
60.09 = 1o+35 +8,26'10 o 8-92'10-'vv)w/ - rvrJJ ---
O: *--f=
r < ^o
_ 0.000926 0"00992 0,00992tJ.\tt
- ---a
D: D: D:
El diámetro comercial a instalar debe ser de 250 mm
l'¡ t,ltlt'tutt.\' tlr' I lt,lttittlt,',t lll
N" t. t-1.- IJn¡¡ ciurl¡¡rl llr.ccrll¡¡ l¡¡ll \u ¡¡lr¡¡slt't'ir¡¡itl¡lr¡ rli¿lrir¡ los siguit'lrles
c¿rutl¡¡lcs st'gtirr lrs l¡o¡'¡¡r rlel rll¡l:
-l'crlotl¡¡ ¡tttlrlrt.....tlc ll a l6 h.....ó(X) l/s
-l'cliotlo I¡tttlit¡.....t!c l6 ¿t24 h.....350 l/s
-l'crit¡tlo v¡rllc......de 24 a 8 h.....250 l/s
La presión mínima de entrada a la ciudad, que estír en la cof¡t *10 ¡t¡,
ha de ser, en cualquier momento, deo al menos, 35 m.c.a.
Para su suministro se dispone de un gran embalse, cuya cota tlc rtgrrrt
se considera constante en 85 m y de una tubería dc 600 nlltl tlcdiámetro y 1.750 m de longitud que transporta el agua ¿¡ ci¡utlulconstante desde el gran embalse hasta un pequeño depósitg rogttlittltlrnde 30x40 m de sección, en donde se acumula el agua y sc rcgulrt tlsuministro a la ciudad. Desde este depósito se transporta cl aguit rt lrt
ciudad mediante una tutrería de 800 m de longitud. El coclicionfc <lc
rozamiento de ambas tuberías es f = 0'024.
La regulación del caudal, para adaptarse a la ley de la tlclrtantl¿t
citada, se efectúa mediante la apertura y cierre de la válvula, lg t¡ttt tlttlugar a sucesivos llenados y vaciados del depósito regulndor.
Se pide: l'.-Hallar el volumen mínimo necesario de I tlc¡lrisillrregulador.
2".-Elegir entre los diámetros comercialcs cl nl:¡s ¡¡tltctr¡rtlrt
para la tubería que llega a la ciudad.3".-Dibuja la ley de variación de la pérrlitlit tlt etlrgrt
localizada en la válvula a lo largo del día, indic:rlrtftr sus \'¡rlnrcr
significativos.
+1llril
56
1 ".-
lll:unt Ló¡tez André,s.-*.".-.--
horas,
ur vort¡men de agua que hay que suministrar a ra ciucrad en 24 h.ras es
/uh,,u, = g . 3.600 . (0,2s0 + 0,600 + 0,3 50) = 34560 m3
Como se suminiel caudal necesario .".U,rrru
a caudal constante desde el gran embalse durante 24
34.560v =rlji00=0,400m3 / s
Las leyes de suministro y consumo serán
j T¡empo
24h
El exceso de volumen que llega en el período valle debe acumularse parasuministrarlo en el período oil;; ;?i;'ori ",
vorumen der aepósito reguradorvres,,to,to, = 8.3.600((0. 400 _ 0.250)+(0,+oo _ o.:so )) = 5.760n,
Razonado de otro modo' sería. se parte de un estado de depósito vacío atas t6h .Enrre tas t6h y
,las ,ñ';jil ,"Jl,,ioro" ";;. ;rrdriii,
", depósítoffrÍl-" = 5t/s ' po' ro qu" "i;';ffi'J:, está ,enando durante esas ocho
A ras 24h el depósito -estará
parciarmente lleno y sigue acumulando aguaa razón de un de caudál a3 y_zs"=liiiT'irrra las 8h, .nor"nto * que debesuministrar un caudar ae,eoo vs Á"avor aáin',i" t" *o" ü* "i'á"'loi vs, por ro
lifiLi'r'H:,ff"":""i;:'t*J-l A;fl estará cüp,";;";;; vacio Ercarcu rado anreriormente rambién s; ñá" :::::; ::_T,,ijf"#Í:d"",f ;,caudar enrre ro que recibe v ro q;;-d"lJ;;il*- durante er período punta, que
y,"suhuh,, = 2001 /,r. 8á. 3.600.r = 5.760m3
Sumin¡stro
I'r¡ltlrntuu da llldrúulktt Ill 51
l,a cota suporior tlal rle¡rr'rsito rcgttlttclor debcrá s0r, para quc entren
oonstantemente 400 l/s
85+0+0 = znrt,hut+ tl+$ +All,¿l:
,. =L- o'4oo - =r.4rm r s' ,s, n.o,3oo'
72.96 =l o + 35 +0'02?7 +o'57-oD: D:
P.2,,,,,,,," + 0 + 0 = rc + lt + ? LH,yzg
o- 0.600.4 0^764--'2 ,s2 Í. D: D:
LH ^ = 8{ Q:= L- -8'0'024.
0'60.0'z .800 - 0'570
tr'g Dl -' tr'g D: D:
2
" =o-ro*)q
LH. = s{ Qi. 7, =8'0.024
0,400'z- r.r50=7"14m' n'g Di ' tr'g 0,600'
85= z-^r^o+0,10+7,14 Zmi'*ima=77r76 m
Como el volumen es 5.760 m3, su solera debe estar en la cota
5.760 =30.40'(z^^ - z^in) Zmínima= 72196 m
Para calcular el dirámetro de la tubería de conexión del depósito n lnciudad hay que situarse en el momento mas desfavorable del día, que seró un
instante antes de las 16h, pues en ese momento el depósito está en $e cottlmínima (depósito vacío) y el caudal demandado es el máximo (100 l/s) y ltt
presión de 35 m.c.a.
D:
2lz_)o
0,0297
Dr=0,459m
['il diámetro comercial a instalar debe ser de 500 mm
Jt{
J".-
; = I 0 + 3-5 r al l " + aI! r,,,,,,,,,,
sicndo z Ia cota de asla cor a ;,,; ; d;,Jl
il f I i;:.il,t";T:?,ffi ,;?¿:del caudal que circule en cada momento del día.
AH. _ 8f A: r _8.0.024 02' o'g D:"'- -;,8- qrr-'8oo= 50.76Q'zm
z = 45 + 50,76e2 + A,H ro,u,,,oo sea Mran,u = z -45 -50,76e2
74.16m
Si l¡rlicirrrros llcr.rrlouilli crr cualc¡uicr l,,olrrclrlo rlc tll¡r sc crrrrr¡llini que
Lti.' t tn t Ltil ¡t, :: ..1 t tt lt.l,¡
m (depósito vacío) hastaen la tubería en función
En el trascurso del día tendremos los siguientes valoresIk¡ra
70,01 7,99 8,01 15,99'7¿ tA
77 "1616.01 13.99
(-) l/s / /,'/6 72.96¿50 250 600t z,yo 74 16
Al lv,¡nul,, 25,99 ó00 400 400¿l,,5¿t I l4,gó 9,69 lg,g4 21,04
l' r 1'1,|¡' ¡¡¡1 ¡:,; t lt' I I i tlnittI it'tt I I I
l,it rcprcscttlirl:ifrrr ¡ir ril rt ir rh' l¡r r'¡u r¡tr'tor (l(' lir ¡rérrlirla rlr; cirrga clr li¡ vtilvulir cs
Allrrn (m)
29.59
N"I
7.99h 8.01h '15.99h 16.01h
.15.- Desde un depósito de agua cuyo nivel se considera en la cot¿r 50 ntn sralimentan dos surtidores decorativos situados en un estanquc scgún rlesquema de tuberías de la figura, cuyo coeficiente de fricción cs
f=0,015.El diámetro de salida del agua en la tobera D es de 120 mnt y tl rlc
la tobera F es de 80 mm y el coeficiente de pérdida de carga loc¡¡liz¡¡rl¡r(K1) es, para ambos, de 0,1 respecto a la velocidad dcl aguu clr luentrada a las toberas.
Se pide: 1'.-El caudal de agua que fluye por cada tobcr¡¡ y ln nllurnque alcanzan los chorros.
2'.-Estudiar razonadamente si colocando un¡t v¡ilv¡tl¡¡compuerta en alguna de las cinco tuberías de la rctl, scrin ¡loslhlrconseguir que por ambas toberas saliese el mismo cautlal tle ugut, l,lrr
caso afirmativo, situar la válvula, determinar el caudal r¡ut' lluh'lu. tlaltura que alcanzará el agua en cada tobera y el coclicicrrle l(1 rlrpérdida de carga localizada que la válvula instalada ha inllorlurirkr c¡lla red.
3'.-¿Habría alguna forma de conseguir quc rl r¡lron'o rlcagua que fluye por la tobera F alcanzara el doble de la ¿rllulr rlrl r¡urfluye por la tobera D?. Si fuera posible, razonar la lilr¡¡r¡r rlt.conseguirlo y hallar el caudal de agua que fluiría por cada tr¡lrcril¡ \'las alturas que alcanzarían los chorros.
TuberíaABBCCDBBll l¡
Longitud (m)4020025
30025
Diámctro (nrlrt)3002502002(Xlt5t)
60l,dzvo l,ópez Andrés
B
l.-El coeficiente B de todas las tuberías es
Tobera D Velocidad de salida
Velocidad de entrada
Tobera F Velocidad de salida
Velocidad de entrada
c
, 8 f 8.o.ol5p=;ru g r-g
V,nr¡,raD == "9:- =88,46Qrm / sn.0.06'
Ll Q,/ euradaD = ;fr0, = 31,85Q,n I s
o^/ sati,taF = ;ñiF = I 99,04Qrm I s
V Q,,| "ntrn,lqF
=---*- =56r62Qrmisn.0-075'
LH, = OltDi t
l)érdidas de carr¡a en las tuberfas25 = 20,4 lQ'z + 3.606,25Q: Q¡o,otsall@ Q\
fnhlcmas de llldrllullea Ill ól
LH nu =1,24, I 04, U.rfu
OU = 20,2lQt m
LH o, = l,24.l¡-t. 3i=. 2gg = 253,95Q1 m' 0,25',
LH ro =1,24.70-3 . Á . .ZS =96,87 Qlm' 0,20'
LH r, = 1,24. L0-3 . L.too = 1.t62,50Q3m' 0,20'
LH r, - 1,24. I0-3 . -4-' zs = 4o8,23Qlm- 0,15
v.2AH._K'' )q
M tob",oD = o l!*4 = 5 ,17 Ql mz8
LH ,ob",o¡, = o,l{*4 =16}4Qlm'29lrurr hallar los caudales Q, Qr y Qz planteamos la ecuación de
llcrnoulli entre el depósito y las dos salidas de agua.
('rrtttinuidad Q=Qr+Qr()
llcrnoulli entre el depósito y la tobera D
50 = 25 *v!!*o * ¡¡7 I + LH BC + LH cD r LH,ot",on¿g
25 =88'4-6'Q' +20,4re2 +253,g5Q? +96,87Q? + 5,17Q?)o
.IfCrcli¿as de carea
25=20,41Q2 +754,83Q:
continuidad y las do
llernoulli entre el depósito y la tobera F
50 = 25 *v!!,* * LH o, + L,H u, + LH EF r LH,ob",o¡,¿g
25 -199'04'z Q' +20,4te2 +1.162,50Q: + 4o8,nQ: +1634Q:
2q
Q,= 0,0364125 -20,4\Q'z
fi,1
I )c lir er:u¡rcir'lr ( I ) L) ,_ (0,0364 r 0,0 I óó)/2.5 )1,,.t ll),g = o.or:.Jr;n¡te,Q,= 0,03641 25 _ 20,41. 0,25*
Q r= 0,0 I 661 25 _ 20,4 1 . 0,258t
Vclocidad de salida Tobera D
Tobera F
Altura de los chorros Tobera D
Tobera F
Vst¡doD =88,46.0,777 =75,65m1 sVsot¡,tol- = 199,04. 0,081 = 16.12m / s
h^ =G__ 15,652
¡.", -i =-k ho_= 12.48 m
,^ _4 16,122"o -i =-k hg= 13.24 m
2'-Para consequir que por ambas toberas salga er mismo caudar de agua,tlc'crnos corocar *u iár*ru.""'.rrr;;i;;;JI" g" ra tubería BCD, que es ra que mayorc¿r,rlal transporra. y accionarra pur"iurr"íühasta.consegrir;;" il. ra tobera D sargacl rrismo caudar que er que sare p"r i" i"1.." F..rógicamin,.,'r*íá.0.0g2 r/s, puesto(luo on nada hemos afectado al flujo ael agua for la tubería BEF.Vamos a situar la válvula
"tr tu iuu.'riu cD de zoó -- de diámetro. En estasttpuesto tendremos e = e, + er, como e, = er, resulta e =2e, =le,
Aplicando Bernoulli entre el depósito y la tobera D
50=25 - Y2 ', ;;
+ aH * + aH u, + a,H ,o * LH,otnon * Alvan,o
25 =20,47e2 +754,g3e t LH,orro
LH r¿t,,tn = K, /'lo = K,, l-.( -9
\'' 29 ' 29\2|#) =st'64K'Q:
25 = 20,41e2 +754,g3e + 5I,64 Kre: g)
t,=rO7i'IÜ'[ril[" el depósito v la tobera F teníamos la ecuación (3) y como
0 = 0,25tt mr/s
0¿ = 0,177 m3/s
O¿ = 0.081 m3/s
Q.= 0,0166y sustiluycndo en (4)
25 -20,41(ZQr)' de donde obtenemos Que ez = 0,0g1 Us,
2.s .10,, t t(., . o.glJ.t )
l't,tltlt'ilttt,\ th' I litlt'tittltttt ll I
,1,' tkrrtlc obtcttclltos Kr' - 31,7d
Si hubiérelltos silr¡irtkr lrr vrilvll¡r r'n ('l lr¡r¡r(' ll(', cl valor dc la Kv soli¿t
LH,,,t,ut,,= n, '^'il n, ^' | .11^-" l' =2t.t5KvQ:'-' 2! ' 2s I r.o.l25' )r Lr ocuación (4) sería
25 =20,41Q2 +754,83fi +2l,l5KvQ:6),;r rsl ituyendo los valores Q y Qi, tendremos
zs = 20,41(2. 0,08 1)' + 7 54,83. 0,08I'z + 21,15 '0,08 l'z ' K/rlt'rlonde el valor correspondiente de Ky será, en este caso, Ky: 132'80
I n cste supuesto tendremos
Vclocidad de salida Tobera D
Tobera F
Altura de los chorros Tobera D
Tobera F
V*t¡,toD = 88,46.0,082 =7,25m I s
V"ot¡,taF = 199,04.0,081 =16,12m I s
n^ =6-7.25'z hn:2,68 m"2929
n, =!-16'12'z hr=ll¿4-q' )o )o
3.-Para conseguir que el chorro que salga por la tobera F tenga cl cloblc tlc ¡tllul¡tt¡rrc el que salga por la tobera D tendremos que introducir una válvLrla pirrit I'c¡',rtlrrl t'l
t:rrrclal y planteamos las ecuaciones de las alturas h, =f y ho =!' 29'" 29
Como hn =2hu, resulta Vi =2fÁ; sustituyendo las velociclirtlcs ¡rot 1,,',
.:rttdales,
D9,042 ü =2.88,48ü ) Q, =1.59Q,Como p =Q,tQ, -+ Q=2'59Q,Aplicando el teorema de Bemoulli, la ecuación (3) resulta
25 = 20,41Q2 + 3.606,28ü Q)25 =20,41.2,592 ü +3.606,28ü Qz :0,081 m3/s
Qr = 0,130 mr/s
Q : 0,211 m3/s
Aplicando el teorema de Bemoulli, la ecuación (4) resulta
25 =20,41Q2 +754,$QÍ +51,64K/Q?
25 =20.41.0,2 I l'? +7.54,83'0.13O'z +51,64'0,1 301 K t.
l,ti:ttnt l,ó¡u: .l t ttlr(s
clo drrnclc cl v¡lkl.c{)n.L}sl)ondionte clc Ky será, en este caso, Kv:12196
Comprobación._
Velocidad de salida Tobera D
Tobera F
Altura de los chorros Tobera D
Vwt¡dao = 88,46.0,130 =ll,50m / sVsat¡dal- = 199,04' 0,08 1 = I6.72m / s
, I/: I1.502n^= " = ' I',r-'u= k h¡=6.62m
, 't/: 16.12'z
''" =i =l;, he=J3'24 m
N" l'r6'- un geiser deco:ltr]^o de un parque de atracciones se arimenta desdeun depósito de 20x20 m de sección, "uyo
ronáá ".ii ,ir""o" en la cota50 m' La rubería que conduce;i-ig!" tiene 300 -,,, * diámetro, 300m de longitud, coeficiente f= 0,015 y t".-inu;';;" tobera cuyodiámetro en,el.extremo, por ¿on¿e .ui"
"f "fro..J.a.*uguu, es de 120mm, que está situada en ta cora 25 my ""y";;;;;;"* o" pérdida de;,H:.t""rrtzada
es Kr = 0,02 respecto dela vetociduJ-o"t agua en su
Tobera F
horas de funcionamiento del geiser.
t-zsm
]
A las l0 horas, cuando se abreagua en el depósito es de 25 m._ Hallar la altura del chorro a las
alfura _del agua del depósito que
al público el parque, la altura del
16 horasn considerando variable ladesciende con el trascurso de las
i. A12Omm zsm.floeiser
/rI/\@#;,"
,,,,",." ofili,fljff:li:itjlj|'":l?H:er geiser a ras 16 horas, tenemos que saber ra
¡'t,,1'lrnttt\ tlt' I l itlnittlitt l l l
A las l0 horas la altur¿r dr¡l agua en elI rr'rlo liolnpo t, la altura del agua en él será h.
depósito es h=25m y al cabo dc trrr
ol?oy trt'
ffi'
t_25 + h = l- .1,5849 .lr],,0, Vr*,oo = l,sto+Jzs * qt¡
)o
Al cabo de un ciefio tiempo dt, después de t, el volumen de agua que ha salidol)()l cl geiser eS
dVrun,,,ou = q .dt = V*,t,¿o. S "o,,no.dt
dvr,,,,n,", = 3,5194"1t5 + h .n .0,0602 . ¿¡ = g,g39gJ25.¡ ¡ . ¿¡
r t'l volumen perdido por el depósito será su superficie por la alfura que descendido, clh,
¡ror lo c¡ue
dVr,r,u,"n = S' dh = 400. dh
Como ambos volúmenes son iguales, aunque de signo contrario, resultao,o39s",ll5 + h . dt = _400. dh
-vu rrt f =o,u ' Detalle
Si aplicamos el teorema de Bemoulli en ese instante resulta
50 + h +0 + 0 = 25 + 0 + {fu- * nu r,,b"no i M tob.,ozg
AH,,,0.,,,o = f lttr L =0-ot5Ji!!!!!--300 = I ty*',
LH,ru",o = ¡Vlo** =o,2ovúu"" *)o )o
Por continuidad Q = Sr,b",ío .Vr,b",ío = S r*,*.Vrr,unn.0,1502 .Vrrb",ío = 8.0,0602 .Vat¡ao Vrub",ío = 0,l6.Vsoh,to
Sustituyendol^t
25 + h = | rr',,,r,(l+ I 5 + o.l 6'z + 0.2)/o
ttt =-10.04e37j::"!25
+ h
SJ00mrn_r_-J^-\$t'("u n 1=0 ,v
I tt tttlt I tl't'.. ..1tt(lni,\
t to.o.te".n l" tlltt,' J:si t' -
n = r&^ =ry = 3r,56m
Teniendo en cuenta que el nivel del agua en el depósitovaría a to targo det riempo d" fun;i;;;_i"n,o, ha'ar a qué hora talfi;ljr:,chorro
det geisér,".¿ uoli"iJnr".io. a ta que tendrá a tas
zo.}rtt.t,t/J ; s r t, [,,,,
A l¿rs l0 horas. la altura del agua en el clcprisikr cs /1, _ 25nr ya las 16 horas la¿rlttr.a dol agrla on cl depósito será 14.como el tiempo trascurrido son ó horas,ó.3.óoo = _2e.oe8,74tl¡t4 _ltl+xlt.t7e4 = -(Os. 4 - Jso) hr = ro,e56 mA ras I6 horas Ia artura del agua en el depósito es 10,g56 m y ra velocidad desalida de agua en el geiser, segrin ta eJuaciOn 1t;
Vru,u,n =3,5194",12:+ h =z5rcalTllrc-.gs6 =2r,49m/ s
La alturadel geiser será h = '';,hd" - 21,49
,,,,,.adlll*:i$:f ';;;"H ,,í.''.=:':::",.""l*;,,1]'u!",^u,uu,^lr*un = 3,51g4Jrl+ h = 3,5194J25 ¡25 = 24.ggm / s
N" l'17'- un geiser decorativo de un parque de atracciones se alimenta desde undepósito de 20x20 m de sección,'cuyo fondo ".t¿
,¡JuJo a la cota 50 m.La rubería que.conduce "t
uguu tión" ¡00 mmie"iirri"r.o, 300 m derongitud' coeficiente f :0,01íy termina en una J"¡"*'" boquita cuyodiámerro en et exrremo po, oánJ":"1" *:;;;;il;;r" es 120 mm,está situado en la cota 25 m y su coefi_cie_nt" Ae p"?OiOa de cargarocarizada es K,= 0,20 respecto i ra veroci¿ad der ugua "n
su sarida.
der agua 0", oill},1t"l;1"#lrl se abre al público el parque, ta arrura
i t,,l,lt nttt,\' th, I litlrtittlt,'tt lll
,r.l
J.-*,
l'.n ol problema se pregunta a qué hora la altura del chorro del geiser será infbriorr'n un I 5%o a la alfura que tendrá el chorro a las 12 horas. Para ello dcborrrr¡sr rrlt'ul¿lr cuál será la altura del chorro a las 12 horas, o sea, a las dos hrlras tlcI r ¡rrc ionamiento del geiser.
( 'rrlculada ésta, le restamos el l5Yo v calculamos la altura del agua en el dcpós-ilot¡rrr produce esa altura del chorro. Sabida ésta, calculamos el tiempo clL¡c lrlrI;urlirclo en vaciarse el depósito desde la altura inicial,25 metros, hasta la alr¡r¡t, rrlculada.
I'irra hallar la altura del chorro del geiser alas 12 horas, tenemos que s¿rbu'l¿r;rllru'a del agua del depósito a esa hora, puesto que la velocidad de salida clcl irgrrir
¡rol la tobera depende de ella y la altura del chorro de esta última.
A las l0 horas la altura del agua en el depósito es h¿: 25 m; aI cabo rlc urr t it'rtolicrrrpo "t", la altura del agua en el depósito será "h". Si aplicamos cl tcolcrnrr tlt'llcl'noulli en ese instante tendremos:
O120mm
It I
6,)
"J"
@120mm--rt-
@lo300
Detalle
50 + hr+ 0 + 0 = 25 + 0 -+ - LH,,tu¡o + LHk,b",n
2-.21LH., = f .r,,¡",,n .L=0-015.vi,b,,¡n .300= 15.'i'n,,'," 2g. D 29.0.3 2g
It'Al 1,,,t,,.,., - ¡ t n-,t',,r,. - e,). v¡,t, r,,,,'2g 2s
l)or continuidad Q = Snt",¡o' vtub",¡o = S,ob",o -r,ob",u
1T ' 0,1502 . vn b",ío = tt . 0,0602 ,v,ou",o
Sustituyendo 25 + ho = I.rr,u",.. (l + l5 .0,16, + 0,2)¿
25 + ho = 0,0807 .v,2"u"," v,ob",o =3,5194Jr5+ h¿ m/ s (I)
o sea, conocemos la velocidad de salida del agua por la tobera en flrnción de laaltura del agua en el depósito.
AI cabo de un tiempo dt después de t, el vorumen de agua que ha salido por elgeiser será:
dV,ot,."n = q . dt = l,ob",o . S rou"ro . dt = 0 r03gg. JZS + t . at
y cl volumen de agua que ha perdido el depósito será;
dVroh,o,", =S o"oo",,o'dh = 400'dh
Siendo dh la altura descendida por el agua en el tiempo dt. como ambos valoresson iguales, aunque de signo contrario. reiulta:
0,0398 . JEn .dh = _-400.cth )h-+ df =10.049.37-:425+h
lnb"ría = 0116'v,ou"ro
r =10.04e,37 f"'#= 20.0e8,i4[Jls *l;" p¡
A las l0 horas la altura del agua en el depósito es fro = 25m y alas 12 horas laaltura del agua en el depósito será h.,, y como han transcurrido dos horas-tcndremos:
2.3.600 = -20,098,74L"F + 4 - ^85 - r5l
0'358=-$s+n+Jso 6,713 = Jrs + 4 h1 :20,65 m
A las l2 horas la vckrcitl¿rd rlc salicla del agua en latobera será:
t',,¿,,,,, r.5t().tu/.ts r,, .l.ste4Jt-s+20ó5 =23,62tn1.s
l't,'ltlrnttr.\ tlt I litlt'tittltt'tt I ll
N"
l,a alttrra tlcl g,r,rist't tt ltt'¡ l't ltot¡t"'¡rl¡i 1,,, t"';','," - 28,45n
y a la lrora cluc bttscrttttos stt ¡tlltlt¡t tlelrrr'¿i strl tttt l5(Zr lilonof, o S9ÍI i
/r,, ' 1¡,3-5 '2t1,45 =24,18m
La velocidad de salida del agua en la tobera en ese instante será:
rtob",o = ¡;r 4 = J2g t4,n =21;8m1 s
y la altura del agua en el depósito en ese instante será, según (l):
r,ob",o =21,78 =3,51g4^fr5 + ho h¿:13,30 m
El tiempo que tarda el depósito en descender de la altura 25 m la alttlra
13,30 m, será según (2):r
-1
1
r = -20.098.741Jrs + tuE 'u = -20.0e8.74dts + 1330 - Jx + zs¡ = tJ .t2'7.()5.s
T = 4horas y 55 minutos, luego la hora buscada será las 14 horas y 55 minutos.
1.18.- una instalacién de riego agrícola dispone de dos depósitos. El primeflrcilÍndrico, de 25 m de diámetro y el segundo, prismático de 40x30 m dtbase.La solera del segundo depósito está a mayor cota que la del primero y
están conectados por una tubería de 300 mm de diámetro y coeficicnlrde rozamiento f= 0,015 que llega horizontalmente a la solera de amb¡¡s
depósitos.Para trasvasar agua del primero al segundo depósito se disponc tlcuna bomba centrífuga de 24 CY de potencia y se ha observado quc' e lt
el momento inicial, el segundo depósito está vacío, en el printerdepósito hay 2.950 mt de agua y que la bomba impulsa un caud¿tl tlt0,300m3/s con un rendimiento de 70o/".
Al cabo de un cierto tiempo, en el primer depósito quetlan 245 m'l tlcagua y la bomba, en €se instante, impulsa un caudal de 0,150 -'/r.,,,tun rendimiento del 737o.Hallar la diferencia de cotas entre las soleras y la longitud tle l:r
tubería que las une.
s40 x 30 m.
El coeficiente r de la tubería será
,=8f L _g.0,.15 L' n,gú --a{ojod =o,51o3Zm/¡m3/s¡2
.,,,,." ofluil#;:"lJ;*t"ial' cuando en el depósito cilíndrico hay 2.e50m, agua,
, - Vr,.* 2.950'' -i*",r*= tl7;=6'oonSi aplicamos el teorema de Bernoulli en ese instante6+0+0+ Huo^uo = h+0+0+A11r----""'p -|Q,Hu"^uo Hto_¡" = 75P,ry, _75.24.0.7' 754, t.oooet t.oooloJ = 4.20n
LH, = rg; = 0,5103 . L.0J2 = 0,0459. Lm6+4,2=h+0,0459.L 10,42=h+0,0459.L(1)
cuando en er primer depósito quedan 245 m3 de agua ra alturade la rámina será
, - v,,n,,", 245= 0,50m'
S up"4;cie 72,5- ' nEn ese instante la alturadel agua en el depósito prismático será
¡ - /''"'",, -2'950- 245"",* - l; =-lo;o - =2.25m
Aplicando Bernoulli en ese inslante
0,-5 +0+0+ H ¡,,,,h,, = h + h,,",,,, +0+0+ AH,1,. - lQzH ¡,,,,,J.,-
7517,
All,=r{):l = q¡.5¡¡1.¡
tt _ 75prr1, 75.24.0.73" h'ut"' - ,Joo?. = TJoo¡,r5 =8.76nt
0,15r = 0.01¡'5.¡,n
l't,tl'11 ¡1¡1¡¡ tlt' I litlrt!ttlit'tt I I I
().5 r lt,7l = h t 2.25 r 0,0l l'r / l.ltl '. h I 0,0I I 5. l, (2\
llcsolviondo las ccrraciurres (l)y (.1 )olllcncllros l¿r dif-erencia clc nivclcs cntrr: lls.,r,1¡'¡;¡'i tle los dos depósitos y la lortgitrrrl tlc l¿t tuboría.
h:5,87 m L:98,84 m
1.19.- Desde un depósito prismático de 50x50m de sección, cuyo nivcl dc aguues variable en el tiempo, se alimentan dos surtidores decorativos srgÍrnel esquema y datos de la figura.El coeficiente de pérdida de carga localizada de las dos tobcr¡¡s cs
Kr:0,1 respecto a la velocidad del agua en la salida de las mismas.Se pide:
1o.- Calcular las alturas hr y hz que alcanzarán los chorros dc k¡sdos surtidores en función de de la altura h del agua sobre el fondr¡ rlcldepósito.
2o.- Calcular el tiempo que tarda en vaciarse el depósito cntrc h=l(lmyh:9m.
@(mm) L(m)
1.0001.0003.000
1".- Cálculo de las alturat 4 = f(h) y h,= f(h)
Por continuidad de los caudales
Qo = Q, + Q, ,Sovo = S,v, +,Srv,
i o.:o \' / o.t s \' / o.2o \'JTI I v^ =rl I v, +El I v-\2)" \2) \2)
Las altr.¡ras dc chorros de los surtidores en
cirt¡cl¿rlcs dcl agtta sclii
9vo =).)51,, + 4v, ( l)
fi;nción dc las vclocidadcs y rkr
'il
0.0150.0200.020
0 3001 1502 200
Ios
7)
I ( () \= trl;ii¿ )=''u11"'6 Q; ()l
' l( o^ \= | =-.1=398,47.ei?)29\n.0,06')
Los coeficientes r de las tuberías son /r - Yltaplicando los valores resulta1T'C D: '
ro: 510,29 m/(m3 ls¡2 r¡ 21.72g,39 m/1m3/s)2 rz : 15.46g,j 5 ml(m3 ls)2
Aplicando el teorema de Bernoulli entre el depósito y la salida del agua en cadasurtidor tendremos
25 + h + 0 + 0 = 25 + 0 +++ LHo + A.H, + LHrl¿8
,r2n =?* nei + r,ei + x, !ul,z8 29'h = 2.017,26eÍ + 510,29 fi + 21.728,39e + 201,73e1
h = 510,29Qi + 23 .947 ,38ff Qt = 6,46. lo',{i - sto2sq g¡
25 + h+0 +0 =25 +0 *** LHo + LH2 + A,H"
n=ft+,,01+r,el+0,*,r,
h = 398,41 ü + 5 10,29fi + I 5.468,7 55. + 39,85e.
h= 510,29QÉ +15.907,075. e, =7,93.t0,.{i-stO2¡g3 qsS
Como Qo = Q, t Q.r,sumando (a) V (5)
Qo =14,39.10" Jn-sto2s6g,4gQ,) = Jn- src2Og; eo =13,68.10. Ji n
Sustituyendo en (6 ) en (4) tendremos
e, =6.46.10 '{r-s t0,2()(3,68.10 : .¡2l =6,14.104JiPor la ocuaci(rn (2) rosulta c¡uc
t,., it.' I lgl' 2N Z,'r[sJ
. v?. t(o\h^ = ---:-!- = _l =¿_ |' 29 zgIS,J
It, =2.1¡17.26.Q,: :.ot z.:,,(0" 14.t0' Ji)'Srrstilrrycntkr crr (6 )crr (5) lqtrll.crrros
h, = 76,05.10' Jh Q)
l't,,l,lt'nttt,t tlt' I litlt'úttli,',t ll I
?: =7.9i.t0 '/lr \t0..",(t t.(,H
l)or la ecuacirStl (.1 ) ttsrtllrr r¡rrc
h. =39t,41. q7,i .lt)tl.,l'l(l,r't trl
7,54.t0 'ú,
hz =22'65'l,0
to'Jl,)
'J r,)' 'J¡ tt¡l
1".- 'l'icmpo de vaciado entre h:!0 m y h=9 m
Después de comenzar a vaciarse, al cabo de un tiempo dt la lámina dc trgtta tle'l
,le¡rtisito habrá descendido una altura dh.
EnesetiempodtelvolumendeaguaquehasalidodeldepósitoserádV,ot,un"' = 50'50 ' dh =2'500' dh
Ese volumen de agua sale por los dos surtidores en los siguientes valores
dV,ot,,^",t = Qdt = 5,14'lo-3 J-hdt
dv,ot,o,",2 = Q2dt = l,g4' lo 3
J-hdt
lgualando los volúmene s 2.500'dh =13,08'104 Jldt
,tt 2's00- f"^+=w.ssf^+-355-r0 r0'LJt.l' =-3ss'r00('F Jr)
'r,Ot.tO-r JoJh ao,!h
T :57.624,80 segundos
N,'1.20.- Dos géiseres decorativos de un parque de atraccio^ncs st ¡¡lilrrrltl¡tlldesde un depósito de 30,55x30,55 m de sección, cuyo fontkr csl¡i silrr¡rrkr
en la cota 50 m.El géiser número uno se alimenta mediante una tuberí¿r tlc 5ll(l ¡rt¡tt tlt'
diámetro,l00mdelongitud,queterminaenunaboquillrrtllrlllt.l'¡¡cuyo diámetro en la salida del chorro de agua es de 100 llllll v cllvo
coeficientedepérdidasdecargalocalizadasesKgr=0,30rospcclrltltlrtvelocidad del agua en su salida'Et géiser númeio dos se alimenta mediante una tubería de 300 nl¡|| rle
diámetro,300mdelongitud,queterminaenunaboquillatltt¡llcr¡¡cuyo diámetro en la salida del chorro de agua es de 150 mm y ctry(t
coeficiente de pérdidas de carga localizadas es Ksu:0'20 respccto tlc lfl
velocidad del agua en su salida'El coeficiente de fricción para ambas tuberías es f =0'015
Alasl0horas,cuandoseabrealpúblicoelparque'la¿rlturatlolagttrtcn dcPósito es de 30 m.
t rt ttnt l,[¡4'7 ,.1¡¡,1¡,rt,t
'l'r'¡ricndo on cucnta quo cl nivcl rlel'guu rr rl rhpl,$¡r, vrr.ír¡ ¡r lo rargotlcl licmpo de f'uncionamiento:1".- llallar a qué hora ra artura dcr góiscr n" r (hgr) scr¿i cr trobre que raaltura del géiser no 2 (hS2).2".-Hallar la fuerza que ejerce er agua contra ra boquila o tobera dergéiser no I a las l2 horas.3".-Hallar la tensión tangenciar de rozamiento entre er agua y ra tuberíaque la conduce al géiser no 2 a ras 12 horaso en er punto ñra.iu¡o de esatubería que está en la cota 15 m.
| ''- A partir de las I 0 h y al cabo de un cierlo. tiempo I la altura de agua en el depósito será h.Si aplicarnos el teorema de Bernoulli entre el depósito y ia salida J.i uguu-"n el geiser no I en eseirrstantc tendremos:
5o + h +o +o = zo + o +út+ LHr, + A,H u,2g
Ltt,,=!L! y,'= I O'ql5'100.ri,= I .3.u:," 2g'D,'tt 29 o.5oo vtt-
-'r'vtl
Lll ,,, = K,,,!= l.O,:.u,1" 29 29 t''
('oruo cl cauclal c¡uc circula cs cl m ismo en la tubería que en la boquilla, resultará
?, =S,r.r'l.r =Su, .11,, , " + ,,,=r.V.r,,, -+ v,,=0,04v,,,
sttslilttl'r'tttkr c:¡t lir cr:uirt'ir'rtt tlc llt.¡ lrorrlli lt:¡lilrcnros
t*8 Ig
hg,
2om ]I-l l*,l.ze/ \ @5oo
tübJ
Lr= 100
1",,1'lt,nttr.\ tlt,llitlt'úttltt'tt lll 71
"t' ) v,,, = 3,Í\777 J3o 't tt29' -,r'i
Si aplicamos el teoroma dc llcrrroulli clttrc cl dcpósito y la salida del agua orr cl goisct'tt" 2 t:tt
¡ .' illi:iilro instante, tendremos:
5o+/z+o+o =20+o+$)+ mrr+ LHB2
f .L^ I 0.015'300 , I ^ )t\H,-='-" t ¿ 2g. D, I z 29 o,3oo 292
Att. = x..-'i' =l'0.:'13"'-"fiz --6¿.)n )o
(tomo el caudal que circula es el mismo en la tubería que en la boquilla, resultará
0-32 0.152
,ir',lrtuycndo en la ecuación de Bernoulli tendremos
2230+h=F('n15.0.25'?+0.2)=1.3048F -) ru,=3,0297.'lt}+h
29' ' 29
22
Iir altura que alcanza el agua en cada géiser es ,r,=* ! hrz=+ , ('trrrr' lil
, ,'rr,lit iílr irnpuesta es hrr =2hrz resulta v|r =2úr, y sustituyendo los valot'cs tlt' l¡t"
, , l,,t itluclcs halladas en función de la altura de agua en el depósito, resulta
$ ntt Jzo + nl = z\tszvt J zo + n Il-5,0311(30+ h)=18,3519(20+h) -+ 5,58 =0,22h -) h:25,36m
,, .,(.ir, (l¡c cuando la altura del agua en el primer géiser es dos veces la del segundo góist:t ^ lit rrllrrlrr
,1, I rrl,rur cn cl depósito es de 25,36 m'
('.rttprobacióni rnt =3,8771 .rfzO+zsjí =28,85m1 s -) hr, =
uor=3,0391 ,@+2ffi =20,47m1s ) hsz
28'852 = 42,42nt)o
-20'4J2 = 2l,35ttt)o
'ln
hr, =2hrz -J 42,42=2.21,35
ri.,11p,, J;lJll::ii,'.j.,"'#; onrcl depósito ha descendido de los 30 m iniciales a 25,36 m,¿
"",,,,.J';"::,fitÍJhÍ:,:i""5J:,::J', depósito habrá descendido una attwa dh,por ro que
dVol = A. dh =30,55.30,55. dh = 933,30. dh
Pero en ese mismo instante dr el volumen de agua que ha salido por los dos géiseres será
d l/ol = Q. dt = (9, + g). at = (Sr, . vu, + S 82. v B2). ú = (0,804Jjffi + O,Oszl J zO + D. dt
Igualando:
933,30' dh = (0,0304/Jffi + o,Oszt JIO + D. ¿t
25,36
T =933.30 segundos
lrst, intcgral definida ra podemos resolver por aproximaciones sucesivas:
,f (h) =933.30:gffi sustituyendo los valores extremos resulta
ILr; (0,0304J30 + h +0,0537J20 + n¡
f(to)=3+ =t.517.07 y f(25.3(, 933-30r \""' 0.6152 ') = 0,¡7S = 1.597.79
lil i.rrea clue nos dará esta integral, en primera aproximación, será
r - .f (30)+ f (25,36) .(30- 2s,36) -1.517,07 +1.587,i8 . - .
2 \JV - ¿J'Jo) = -----t---
4"64 = 7 .203,26 segundos
l'a scgunda aproxirnación será considerando el valor intermedio entre ros extremos
/(21,68)= :1L300.60n = l.55l,l I y el valor cle integral será
t = /\?y!1!2.Í,s).".r., , t'et,6s\1e1;6) ",. . F.n^a2 ) ¿,r¿ = 3.551).09 +3.641,1 I = 7.200,02 s
I' t,,1,1,, ltt t.t' rlt, I I itlrrittl it,t I I I 1'l
l,ir ¡¡rrgxirrr¡ciir¡ r.:¡ ¡ul¡t ir.rrlt. ( l..r.l .it'liuri(lori solrlt: 7.200,02) por lo t¡Ltc t:l ticttl¡ro lrttrlt ¡ltltr
, , / .)(X) scgunclos l20 lllinul()li .t llrt¡t,;. 1 ¡r lror'¡l lrtlst:lttllt sct'ír las l2 hortts.
2,'.- (láloulo dc l¡ lirr:l.zrr lritlrostiilit:ir t¡rrr.: c.lclcc cl agua sobrc la botltrilla o tobcl'it tlcr sttlitlr
,l, l ;r1,rur dcl góiser n" I a las l2ltol'as.
(lonro se ha calcula<Jo en apadado anterior, alas 72 horas la altura dcl agua cll cl dt:ptisilo cs
lr.r .'5, J(r m. Las velocidades de salida en la boquilla y de circulación en la tubcría sct'1tlt
,,,, = 3,8777 J30 + h = 3,8177.[58,36 = 28,85m I s
v',, = 0,04' vur = 0,04' 28,85 = l,ll54m I s
l,ara calcular la fuerza hidrostática necesitamos saber la velocidad y la prcsi(rn tlcl
,rl,ilI r:n la entrada y la salida de la boquilla.
Aplicando Bemoulli entre la superficie del depósito y la entrada en la bocprillrt tclltllt:tlto:r
',rr r 15.36+0+0 =zO+!r-+lL+ LHrlv2svl, t.ll54'z oo6,m v AH_. - .f 'rl, / - 0.015'1,1154'z .lg0 =0,t()rr'7r - 'r"' =0.068m I LHr)o )o-ó -ó
J -''" 2g'Dr, '' 29'0'500
I)e donde resulta & = 55,089mca -+ Pu = 55.089Kg I m2
vI ,r ¡rrcsi(rn en la salida es la atmosférica y la fuerza resultante será
R =i, -Í, =(Nl,*s,r,)- (pgu, + s,r")
/. I I !9q
z .0.2s'z.1,11s4' t.tt54+z'0.2s''ss.oso'l-[!1oQ'"',)'05'")r{'tl\ '* *'' J" [e,st'""'-" ] \e-81
n = tO.l 89,40Kgr
i,'. 1,1 tcnsión tangencial en el punto de menor cota de la tubería no2 scl'/l la lllisltllt lt'lt'iiirll rlrr,'
¡ rrrrtlrrzctr en to<Ja la tubería y' su valor será r =
J'' T' D' =
L'H'' y' D'
4 4L2
La velocidad en la tubería no 2 es
v,, = 0,25v u, = 0,25' 20,47 = 5,12m I s
l,a pérdida de carga en la tubería no 2 es
All. /'t'tt'.t' 2s' t),
( lonsccucl.ltcnrcntc
0,0 t.s..5.t2'' 2.ri o,3oó
'3oo = l'17 nt
_ - I,t7 .l .000.0.300.:_ =2.93Kg/m24.300
N'1.21.- Si ra densida-d rerativa der aceite que ilena ra mitad der depósito de rafigura es de 0,75 v ra densidaa uurorutu d"r bi;ii; il carnono (S2c)de ta otra mitad es de 1.180 Kg/m3, l,u¡lui "T
_ijito, atrecciOn ysentido der empuje que ejercen el conjunto a"-m. liq"i¿os sobre rasd os s u perfi cies sem ic'índ r"icas d " i; ;ü;'t ffi"" ;Tf ru n¿ i¿ a¿.
"", "uui"jli"ü?$:?,rtrJiJ,Tili"$absoluta del bisurfuro de carbono es r.180 Kg/m3
Los pesos específicos del Szc y der aceite en ese sistema seránTrtisnr¡itro = g.pt,¡,,t.¡,,u =9,81m/s2 .l.lg0Kg I m3 =ll.slSSii t*,
Tn'"¡t'=g'Preht¡w-acr¡tc'pns,n=9,87Kgrm2.0,75.1.000Kg/m3 =7.357,50N/m3
l' ¡ ¡'1,It' tttt t,t t lr I I itlt'tittI it'tt I I I
Vamos a estudiar primero el lado izquierdo y el empuje horizontal.
lil empuje horizontal sobre la pared curva ABC (figura l) será el empLlc t¡uc itctúir,,,1ut' lir pared plana AB*C que resulta de proyectarla sobre un plano vertical (figura 2).
lll empuje del conjunto aceite-bisulfuro sobre la pared AB*C será la sull¿t tlcl
,.rulruio del aceite sobre el tramo AB* 7Er) más el empuje del bisulfuro sobrc cl lt'¿tnto
Ir+(' (t//2).
Iilempuje E^ será E o, = Tuuu,¡,o. S . Z c = 7 .357,5' (axl). I 1 = 323.130 N
El empuje Eo, lo calculamos suponiendo una altura "h" de bisulfito cc¡uivitlcrtlc rr lit
I'r ,':;ir!n que provoca una altura de 9 m de aceite, o sea
It lt{l
'l llll
{ illr
8')G
400
tl 00
4.00
4.00
l3m . y""n,,o = h. Tt ,.u,u¡,o
Es decir, los 13 m de aceite que hay por encima del punto B*, protltrccn titt rtllpttlr'r¡,rr:rl al que produciria 8,2627 m de bisulfito por encima de ese punttl. I'ot hr l¡tttlo. r'l,'rrrprric sobre la pared B*C será
--> h =13' 7'351'5
= 8.2627 m1 1.575,8
El empuje horizontal Enrserá
Éuz=Tun,r¡to.S'Zo
Enz = Tuo,r¡ito .@xl).(8,2627 + 2) = 475. 19.5.tt5 N
8,,Ill empuje total horizontal será = 8,,, * E t t t = 798'925.[\5 N
9.00
4.00
4,00
l,áaaro López
Otro método.-
tagd, = 9,75
taga, =1,19
AA** =9.taga, = 6,75mB* B>r* =l3taga, =9,75mCC ** - 9,75 + 4taga, =14,47
; 6,75 +9.75t r, = T' 4' Toe,o = 323.730 N
; 9.75 +14.47LH, ='-j---' 4' To*o = 475.196,4N
EL empuje verticar en el lado izquierdo, según ra figura 5, será la diferencia entrepeso del cilindro de aceite BCDE que actua hacia abajo (r Err) y el peso del cilindABED que contiene aceite y bisulfuro que actua hacia arriba ( t Err)
{ Er, = -(+.n - ln, 4'\, f*,* = -290.132,93 N
I Er, = 4'13'yo*,,, +!n'42 Yr,,,¡¡," = 528,055,79N
La resultante del empuje vertical será
I E, =¡ Err+I Evz=237.922,86N
También podríamos calcularlo por el teorema de Arquímides: El empuje es el poso
del volumen del líquido desalojado.
I En = I o' o' . y o"",," + L fi ' 42 T bi"ut¡,,o = 237,922,68 N
a"Mñw¡-
Fnblcnas de Hldráullca III 8t
9,00
4,00
4,00
4[tIl-:"'l
\
E
Il,u
l
En el lado derecho los empujes tendrán
Las resultantes serán
Lado izquierdo
Eu =798'925,85N
I E, =237.922,86N
(x = arcÍas E'
= 73"41o'Ev
los mismos módulos pero sentido oontrfflo,
Lado derecho
Én =798'925,85N
I En =23'1.922,86N
a=arctash=73.41o"EyEH
D
[l/-n'/
l"ll"y
BOMBAS HIDRÁULICAS
Fn$lenils de Hldráullca tll
2,1,- Un¡ ln¡t¡l¡elón rfu rlt¡o eonrta dc un cmbolse (E)' tres bombn¡centrffugnr lnrt¡lrd¡r dol ¡n parelelo y un$ en serle, un depórltoregulador (D) y lm tuborlr¡ lr 2 y 3 rcgún el osquemn.
Medlnnte l¡ vúlvulr compüerts (VC), instalada al final de la tuberlo3n se regula el caud¡l quo ¡e vlerte al conal de distribución para rlego.Junto a la vólvula se h¡ lnstal¡do un manómetro (M).
Hallar el punto de funcionamiento de las tres bombas y dibuJar ln
línea de energía de las tres tuberías en las siguientes hipótesls:
1". La válvula compuerta está parcialmente abierta de forma que se
vierten al canal 01100 m3/s de agua.
T. .La válvula compuerta está parcialmente abierta y el manómetroM marca una presión de 33'29 m.c.a.
3" La válvula compuerta está totalmente abierta.
Bombas B1=82............ H=40-320 Q2 (H en metros)83.................. H=20-40 Q2 (Q en m3/s)
8t
TuberíaL(m)
D(mm)f
1
945,50s000,02
,,
1.882,206000,02
3I.4t I,65
6000,02
+50.00m
+50.00m
Qs = 0.100 m3/s
Lcbaro López Andrés
rr = 50 m/(m3/sf r¡ * 40 nr(mr/s)¡ r¡ * 30 m/(m3ls)z
fxthlentus de Illdráullca lll
Comprobación 17,81 r 35,62 - 53,43r¡
Pérdidas de carga AH, r $Q'0,2342 *2,74m
AHr'40'0,1171 =0'72m
AH, =30'0,1002 =0,30mLa presión en la válvula será
P!J- = z, I H bo^to - LH t - LH 3 - z n = 53,43 - 2,7 4 -0,30 - I 5 = 35,39 mca
rLlnea de energía
AH3=¡,3 t
AHr=Q.72 t
Qa = 0.100 m3/s
BOMBAEOUIVALENTE
2". Aplicamos el teorema de Bernoulli entre la bomba y el depósito
P=33.29 m,c.a.
87
= 8'f L,
n''g Dl
Bombas 81 y 82 enparalelo... ... H - n-3r0(g)' .... , =40_80e2Bomba 83 en serie.. H = 20 _ 40et
Conjunto de las tres bombas...... H =60_120e2
lu.- Aplicamos Bemoulli entre el embalse (E) y el depósito (D)
0+0+0+Hu,fi"=5 +0+0+A,Hr+LH, e2=et_0.1
60 -t20Q: = so + s1g + +o(9, - o,t)'
210Q: -8f, -9,60 = 0 er = 0,234 m3/s
Puntos de funcionamiento.
t=2.74m
t0.00m
I
Bomba 3 Q=0,234m3 /sH = 20 - 40 .0,2342 = 17,glm
q.n4Bombas I y2 0=T=0,ltim3 /s
H = 40 - 320 .0,1 172 = 35,62m
Altura total il =60-120e2 =60-120.0,2342
Qbomba¡ = 0n234 m3/s
Hbomba3 = 17181 m
Qbo-b'. tyz=0rll7 m3ls
Hbo-b's tyz=35$2 m
= 53,43m
r0I
I
,00m
+50.00m
88Lázaro López András
0+ 0+ 0 + H o -i0 +0+ 0 + At!, + áit,60-lz\Qt'z =50+50q2 +4OQl _)
= 0,242m3 I s lo implica gve Qz =0,00m3 /s y
Bomba3 g=0,242m3 ls ebomua¡ =0,242mr/s
H = 20 - 40 . 0,2422 = 17 ,66m flbomba 3 = 17 ,66 m
Bombas 1 y 2 n=ry=0,121m3 /s ebombasl ,z=0,121 m3/s
H =40-320.0,7212 =35,31m lfbo_ba"ryz=35¡31 m
Alturatotal H = 60-120e, = 60 _120.0,2422 = 52,97mComprobación 17,66+35,31= 52,97m
Pérdidas de carga AH, = 5O .0,2422 = 2,93m
AHr=40.0,002 =0,00mAH, = 30 . 0,2422 = 1,7 5m
La presión en la válvula será
P..
í = r,, r H to,to - LH | - LH3 - Z, = 52,97 -293 -1,75 - I5 = 33,29mca
91. o,tsu\llf,-fifi;Si aplicamos Bernoulli entre la bomba y la válvula compuerta resulta
0+0+o+Hu=rc+fu v? vl' Y*"*A'H'+AH' ;=o60-l20ei =75+33,29+s\ei +30ei _) g, = s,1$JrrJl jñecomo Q=Qr+e, --> et=g;5gSg_ñg, +o,tnrltjiñ@La solución esta ecuación es e
Qt =0,242m' /s
Puntos de funcionamiento.
Fnthlenuts da llldrdullca lll 89
l,fnea de energla
3u Al abrir totalmente la válvula llegará más agua al canal, por lo que,
prohablemente, el agua circulará desde el depósito hacia el canal. Aplicamos el teorema
rle llernoulli entre ambos y resultará
0 + 0 + 0 + Hu= 15 + 0 + 0 +414 + Allj
I
60-n0et =$+s081$0Q -)
Si aplicamos Bemoulli entre el depósito y
50+0+0 =15+0+0+ LH 2+ LH3
Q,, = o,oarc$l3oü
la válvula tendremos
+50.00m
.00m
.WLázaro López
Esta ecuación laQue Q¡ de ser menor que
Q¡1
0,9000,9000,880
La solución de
Qt =0,880m3 /s
a,0,3570,6290,5170,542
Q,0,6501,0100.8660,900
Qbom¡a¡ = 0,358 m%Hbomba3 = 74187 m
Qbo-ba" trz=0r179 m3/s
Hbombas 1y 2 =29175 m
= 44,62m
AHrr11'76 t
I +15.00mlr--
Puntos de funcionamiento.
Bomba 3
Bombas I y 2
Q=0,358m3/sH = 20 - 40. 0,3592 = 14,g7 m
g =9é!t =0,179m3 / s
H = 40 _ 320. 0,1792 _ 29,7 5m
Alturatotal H =60_120e, =60_120.0,35g2Comprobación 14,g7 +29,7;44,62mPérdidas de carga A,H, = JQ.0j5g2 = 6,41m
AH, = 40.0,5222 =10,90mAH., =30.0,gg0, =23,23m
La presión en la válvula será
P.
i ='o t Hto,to - LHt - LH3 - Z, = 44,62-6,41-23,23 -15 =0,00mca
Tubería YR-A A-CLongitud 1.750 m 750 mDiámetro 600 mm 500 mmEspesor l0 mm 8 mm
50=ti+40e1ú09: -) g'.01s¡rffi6F
como Q =Qt+Q, -+ es-0,0767Jff- f1ifii+g,ls6\mfpodemos resolver oor aproximaciones sucesivas. partimos1,08 puesto que si fuera mayor un radical sería negativo.
Qr0,2970,3990,3490,359
la ecuación es Qt=0,358mt /s Qr=0,522m3 / s y
Llnea de energfa
No 2.2.-
de Hldráullca III
EOUIVALENTE
En el sistema de bombas de velocidad variable y tuberías de esquemnt
situar gráficamente cuantas válvulas de retención se consldoron
necesarias, además de la situada junto a bomba B2' para quer cn c¡lode golpe de ariete, cuando las bombas funcionen a 1.700 rqmr l¡presión en la tubería no sea en ningún punto superior a 5 Kg/cm'.
Coeficientes de tas tuberías f= 0,015 C : I K=1
Médulo de elasticidad E = 1,7 1010 Kgl^'
Bombas a 1.450 rpm 81.....H = 55 -160 Q2 H en metro¡82.....H = 55 - 4oQt q en m3/s
II
H.=44.62 m
92l,úzaro l.ópez Andrét
8.f L.
'' =;+* 11: 27,90 m/(m3/s)2 rz: 29,76 m/7m3ls)2
La ecuación de la tubería es
H = H, + a,H =(so_:o)+ ez,oo +2g,76)e, H =20 + 57,66e, (t)
La ecuación de las bombas I y 2 funcionando en serie a 1.450rpm es
Hr'ro = (ss + ss)- (ro 0 + 4Tploro H, oro =110 _200e?4so
Cuando las bombas giren a 1.700 rpm su ecuación será
Q, o,n 1.450
Qr.roo 1.700
H, o,n 1 .4502'''"" = Ht.oso=0,727HtiooHr.roo 1.7002
Sustituyendo 0,727 Ht 7oo = I 10 _ 200 . 0,g532 . el..,oo + Ht.roo = 151,20 _ 200e:7ooe)
El punto de funcionamiento será la intersección de las curvas (t) V e)20+57,66Q2 =151,20 -200e, -+257,66e2 =131,20_+ e= 0,714m3ls H=49n36m
Las velocidades en cada tubería serán
,r=*= ol^'_1==3.64m/s- ,S, n.0.252 r'v
Ffiúlewts de Illdrdullca Ill 93
l,a velocidad equivalente sorá ,, -W =
,=Tm
1.750.2,52+750,3,64 _ 2,85m I s
9.900
1.750 + 750
9.900l,ns celeridades serán et=
9.900
+s,:++:+9E.e, 1,7 .106 .8
l,n ccleridad equivalente es cte -ZL,- 1.750+750=1.079,96m1s
=1.082,8m1s
=1.073,4m1s
-r 1.750 750\-lr-u e, 1.082,8 1.073,4
lil tiempo de cese de circulación del líquido es
l,u longitud crítica es
T =C + K'L'u"
= l+ l'2'500'2'85 = l5.7lsg.H 49,36.9
. e., 1.079.96.15,71 _8.483,0gmL"=;= 2
('otno L,",, S Lui,oo se trata de una impulsión corta.
l,¡r sobre presión por golpe de ariete es Pr =2' L'v"
-2'2'500'2'85 =92,46m'c,u.g.T l5,7l.g
+s,¡++:*91,7.106 .10
9.900
t),1
I ri.:ttn t l,ó¡r':,1 tnhlt
tl (m)
En la gráfica se ha representado las tuberías, la línea de sobre presión y la delirn itación de presión. resultándo qu" ",
n".Jrlurio colocar dos válvuras de retenciónsituadas de acuerdo con el esquemi-"á"á¿r álr" situada junto a las bombas.
N' 2.3.- p_a_ra regar una finca se dispone de:*Un embal*unu uo-Jifiiür-:?"t:X-ffii
f"il"T;r*,ica a r.4s0 rpm esH = 80 _,1, X^,^ !t ; metros f a ;; ;t;;."q
a r.rJU /
+Una tubería (BAC) de 500 mm"de diámetlo, coeficiente f : 0,020y 1.000 m de tongitud.*Un depósito (Dl) cuya cota de agua 420m desde el que sedistribuyc cl riego po. gravedad..
trt t,¡tlt'nt(t,\ tfu I Iilrtiulirtt I I I
+380 m.
-L:,
Se desea ampliar lazona de regadío para lo que:*Se construye un nuevo depósito (D2).*Se coloca una nueva tubería (AE) de 500 m de longitud ycoeficiente f = 0,015, cuyo diámetro hay que elegirlo entre la
serie comercial 100, 200,250,300' 400 y 500 mm.*Se instala una bomba igual a la existente en paralelo con ella.
BA=300mAC=700mAE=500m
Se pide:lo.-Hallar la máxima altura posible del depósito D2 eligicndtrpreviamente el diámetro más adecuado para la tubería AIl, con
la condición de que al depósito Dl le siga llegando el mismocaudal que antes de la ampliación de la instalación.2".- Ampliada la instalación, si accidentalmente se averiasc un¡r tle
bombas, ¿qué caudal llegará a cada depósito?
El coeficiente "r" de laltbería BAC es
+380 m.E
l¡rs
, = 8{ L, - 8'-0'02 l'00-0
= 52.88 m/(m3/s)27T'g D' 7T' . g 0.5'
l,ánro l,ópez A fn$lemas de llldráultca lll 97
La ecuación de la tuberfa es
, = HslrQ'-(+zo-sao)+ s2,ggez =40+52,8892
in,.,.".lfonul':ff *i":::11fTffJ..h'Hllltfi ,:u,*,;;;:;seráe,puntode
380 + 0 + 0+ Ho r ¡ * 0+0 + Al/, + Al/,
380+80 47q= z+ 15,860r¡ rffU380+80-37 .0,7862 =z*15,86 '0,7862 *0*O,sqO'
D:
427-45=,*o'o7l=67D:
En esta ecuación pam que z sea máxima, el segundo sumando ha de
Itrfrrimo posible y para ello D3 ha de ser el máximo posible, o sea D3 : 500 mm
427.45 = , *o'716! -+ z: 425,16 m' 0,500'
2'.- Si se parase una bomba, tendremos
80-148Q2 =40+52,gge2 ) e=0,446m1sCuando ampliamos la instalación
ser lo
a) Bombas enparalelo f1 =80 -ru¡(+)' =80_37e2b) El siguiente esquema de tuberías
\' '/
En él resulta que rl :15,g6 m/1m3/s)2, rz =37,02 rt/(m3/s)2 v ,r=W.\m, tslpuesto que desconocemos el valor de D3.
Por condición de funcionamiento e2=0,4 46 m3lsy, consecuentemente, er : 0,446+q,Aplicamos el teorema de Bemoulli entre el embalse y el depósito Dl
380+ 0 + 0 + Hb = 420 +0+0+ A,H, + A,H,380 + 80 - 37 e: = 420 + t5,B6el + 37,02. 0,446,
, .32,64 = 52,86e1 -+ er = 0,7g6 m3/sluego el caudal que llaga al depósito D2 será e¡ = 0,340 m3/ s
Si aplicamos Bernoullí entre el embalse y el depósito D2, resulta
+42O m.
z?
T
La ecuación de la bomba es .É1 = 80 -l48Qz y r, - 0'62- =19.84
0,s00'
()g
Lri:t ttt t l,ú¡ tr,: .,1 t tt h,lt
tAHr
{\-I
I
/
HB
/
I
I
LH, !27.16 m+420 m.
+379 m
Por continuidad de caudale s e, = e, + (.e)si aplicamos Bemoulri entre el embarse i cada uno de ros depósitos tendremos
380+Hu=420+AHr+LHre)380 + H u = 425,16 + A,H, + A,H, (3)
Desar¡ollando e) y (3), resulta
3tl0 + 80 - 148 ü = 420 + lS,B6el + 37,02e] -) ez=ot64J4o-Gtllel
380 + 80 - t4\0l = 42s,16 +15,86e1 +19,84e1 + e, = 0,224\filpl_tas,tag;
Sustiruyendo en (1) er =o)a+.lig_160¿; +o,zz+.ls$+'a$@La solución aproximada de esta ecuación er = 0,46 m3/s con lo que
Qr = 0n46 mt/s q2 = 0,36 mt/s g. = 0,10 m%('omprobación
Altura de lct bomba H =g0_14g.0,462 =4g,6gmPérdidas a4 = 15,g6. 0,462 =J,J57nAH, =37,02.0J62 = 4.g0mLH. = 19,84 .0,102
= 0,20m
ltt.r t'r¡lqs dcl agtru cn los tlc¡xi.silo,t ;serán;:., = 3ll0+ 48,(rg -3,35 _4.g0 = 420,53nt = 420n.:,,.lll0 r 48,(18*3,35_ 0.20 = 425,13tu,, 4)5,l6tn
Qr" A
l'r ',ltl¡¡¡¡,¡,¡ tlt I lidrúttlt¡tt lll
N" 2.4.- Iln cl ¡l¡lcr¡¡¡¡ rlc lxr¡rllns y lr¡l¡erl¡¡s tlcl cst¡ucmrt, halllr cl coslccncrgóllco lk ur¡l¡r ll¡clrr¡ crihlco rlr ugun clcvrda y los cuurlllcs (luellegan n cudu rle¡rdrrlkr t¡r h¡r slgulcntcs hipótesis:
1".-L¡t llo¡nb¡l lll esll cn luncionamiento y la bombu l|2 r¡sl¡lparada-
2u.- Las dos bombns ostán cn funcionamiento.3u.- Las dos bombas están en funcionamiento y en el punt<l M,
punto medio de la tubería 3 y de cota 40 metros, se deriva un cturltlde 80 Us.
Bl.....H = 85 - 4.000 Q2Tt=22Q-148Q2
Tubería1)34
82.....H:65 - 1750 Q2 H cn mrt:21Q - 172 Q2 Q en mr/s
Coste de kilowatioxhora ...0,10 € f : 0,06
El problema puede resolverse tanto analítica como gráficamcnlc.En este caso usar como escalas H... 2 cm-------10 m
V...2.5 cm-----25|/s
L (m)2.000500
1.0004.500
rt = 968,55m l(mt I s)'
r. = 2.041,15m 1(m' l s)t
D (mm)400350300350
rz = 472,18n l(m' L',;l'
rt = 4.249,(t(¡m lQrt' I sl
p=+Í-g ',= P+
t00Lázaro l.ópez Andrée ltrnhl¿,ma,t de I"lldrdullca Ill
carcure il,;ifH'iJ3.ffl:l,f]lj:, r tondrá lar algutentes expresiones, según se
Tuberíal H=15+H",_AH,H =15 +ts_+.OOCig,, _96g,75q,
= 100_ 4.g68,75et2 (t)
Tubería2
Tubería 3
H =25+ H,. - AH^H = 25 + as": t.l sobr, _ 472,lggr, = 90 _ 2.222,r8gr,
e)
H=45+A,H,H =45+2.041,15e2
(3)
Tubería4 H=55+L,HoH = 55 + 4.249,66e42
@)
Despejando los caudales de las expresiones (l), Q), Q)y (4) anteriores, resulta
Q=0,01418Ji¡0-er=0,0212tJf0_He. =0,02213J8 45et =0,0t534JU=
1.- La bomba Bt está funcionando y la B2está parada.
En esta caso e = e, + eo
0,0 t4 I 8úo-o I ¡¡ = 0,0228.[¡7 - 45 + g,ot ss+J n _ ss
Resolviendo estaecuación H = 56,50 m y er =93 Usn e¡ = 75 Us, e¿ = lg l/sEl esquema de las líneas de energía es
lil rendimiento de la bomba es
La altura de la bomba es
[,a potencia de bomba es.
= 22. 0,093 - 148. 0,0932 = 0,7 659
= 85 - 4000'0.093'z = 50,40m
1.000.0,093 .50,40
4t
HI
75.0,7659. 0.735 = 59,98 Kw
El coste de energía consumida en una hora es
C, = 59,98Kw'0,10€l Kw = 5,998€
El volumen elevado en una hora es 4 =3.600s .0,093m3 I s =334,8m3
El coste energéfico será coste =?=ffi=0,0179€,lmt c = 0,0179 €/mJ
4=
l0t
H
AHt
B1AHo
AHs
:D1
D2I
\ lt' at2/V"-/l
| +0.00Pclf
5m 81r_Lo
I02 l,tizuro l,ó¡uz 11rulr[si
2.-Las dos bombas están funcionando.
En este caso Q * Qz = Q, + Qo
0,01418..,/i¡0-rr +0,o2t2tJg0- H =0,0228JH 45 +0,01fi4JH - 55
Resolviendo esta ecuación H = 70,25 mQt:77 Us, Qz:94 Us Q¡ = 111 l/s, Q¿:60 l/s
El esquema de las líneas de energía es
B2 25r'!L
t0.00f
El rendimiento de las bombas:
4, = 22' 0,017 - 148' 0,0772 = 0,8165
4, = 2l ' 0,094 - ll2 '0,0942 = 0,4542
5m1
Hl a:z
I't,¡l¡lrttttts dt' I li¿lr¿iulicu lll I0l
La altura de las bombas es
t.000.0,017 .6r,28La potencia de las bombas es
Pr=
75 .0,8165
1.000 .0,094 . 49,86
75.0,4542
11, = 85 -4.000 . 0.0712 = 6\28mH, = 65 - 1.7 50' 0.0942 = 49,86m
'0.735 =56,7|Kw
'0.735 =10l,26Kw
La potencia total necesaria es P = P, * P, =157,97 Kw
El coste de energía consumida es en una hora
C = 157,97 Kw. 0,10€ I Kw = 15,797€
El caudal impulsado en una hora es Q = Q-r Qz = 0,077 + 0,094 = 0,l7Im3 I s
El volumen elevado en una hora es V =3.600s.0,177m3 / s = 615,60m3
El cosre energético será coste =+= #ffi =0,0256€lm' c = 0,0256€/m3
3.- En el punto M de latubería 3 se derivaun caudal de 80 1/s.
En este caso la ecuación de tubería 3 será
H = 40 + LH3' + LH3" (5)
AH,, = !r,Oi =t.020.5ie:' 2'''LH3,, =!r.fO.- 0,080)'z =1.020,57(g3- 0,080)'z' 2 ''''
Sustituyendo en (5)
H = 40 + 2.042,15ü - 163,29Q3+ 6'53 (6)
2.041,15Q: -163,29Q3-@ - 5l'53) = 0
Despajando Q3 resulta
,, _163.29 +.!t to,4.e u *lw.ost2zvt---- -_
4081J
I04 Ll:ttnt l,ú¡r': Andrés
Como sigue cumpliéndosc quc 0r * Qz= Qt+ Qo tendremos
0,0 14 l sJl00 - 11 + 0,02r21J10 - H -rc''zg + @ + o,otfi J H:É
4.082,30
La solución de esta ecuación es H = 66,00 m
Qr = 82 Vs, Qz = 104 Us Q¡ = 132 Us, Qa = 52 Us
El rendimiento de las bombas:
4, = 22'0,082 _148'0,0822 = 0,8088
4, = 2l' 0,104 - 172' O 1042 = 0,3236
La altura de las bombas es
La potencia de las bombas es
Hr = 85- 4.000' 0.0822 = 58,10m
H z = 65- 1.750' 0J042 = 46,07 m
P _ t.000' 0,082- 18,10 . 0.735 = 57,8t Kw' 75.0,8088
P.- 1.000.0,104.46,07'0.735 =l45,l0Kwt i5'0,3236
La potencia total necesaria es P = P, + P, = 202p1Kw
El coste de energía consumida es en una horaC =202,91Kw'0,10€l Kw =20,29I€
El caudal impulsado en una hora es Q = Q, -r Qz = 0,084 + 0,104 = 0,186m3 I s
El volumen elevado en una hora es V = 3 .600s '0,186m3 l s = 669,60mt
El coste energético será
coste = i = H# = o,o3o3€ r m' c : o,o3o3€/m3
Resolución gráfica
Dibujamos por puntos las curvas siguientes
Curva l: Curva motriz de la tubería 7 H =100 - 4.968,759'z
I05l'núlantos de Ilidrdulit'u lll
Qr 0 0,025 0,050 0,075 0,100 0' 125
H 100 96,9 87,6 72,0 50,3 223
Curva 22, Cuwamotrizde la tubería 2 H =g0 -2'222,18Q22
0 0,025 0,050 0,075 0,100 0,125 0' 150
90,0 88,6 84,4 75,5 67,8 55,3 40
Curva 3: Suma en paralelo de las curvas I y 2
Curva 4: Curva resistente de la tubería 3 H = 45 + 2'041,15Q2
0 0,025 0,050 0,075 0,100 0,125 0.150
45,0 46,3 50,1 56,5 65,4 76,9 90,0
Curva 5: Curva resistente de la tubería 4, cutva (4) H = 55 + 4'248,66ü
0 0,025 0,050 0,075 0,100
55,0 57,6 65,6 78,9 97,5
Curva 6: Suma en paralelo de las curvas 4 y 5
Curva 7: Cwvaresistente de la tubería 3' y 3" H = 51,53 -163,29Q3 + 2'042,15ü
Q: 0,080 0,100 0,125 0,150
H 5 1 ,53 55,6 63,0 72,9
Curva 8: Suma en paralelo de las curvas 5 y 7
Soluciones
1".- Punto A: Intersección de las curvas I y 6
Ha = 56,50 m
er : 93 Us, e. = 75 Vs, Qa = 18 Us
2".- Punto B: Intersección de las curvas 3 y 6
H,n = 70,00 m
Q]r = 77 l/s, Q¿ = 94 l/s, Q¡ = 111 l/s Q¿ : 160 l/s
QzH
Q:H
Q+H
106 Lázaro López Andrés
2'.- Punto C: lntersección de las curvas 3 y 8
Hc:66,00 mQr :82 Us, Qz: 104 l/s, Q¡ = 132 l/s Q¿: 52 lls
06=ap+07
0.150 0175 0.2000.025 0.050 0.075Q(m3/s)
I'roblemas de Hldráullaa lll 107
N" 2.5.- En el sistema de bombas y tuberías del esquema, hallar el caudol de
agua qu€ llega a cada depósito cuando no se derlvo nlngún caudnl en
el punto A y cuando en ese punto se deriva un caudal de 80 l/s
81..H = 40- 2.000 Q2 82..H = 45 - 2.000 Q2 83..H = 65 - 7.000 QlHenmyQenm3/sf = 0,06
Tubería1
2
L (m)2.200s00
D (mm)400350
3 1.200 3004 2.000 350s 3.000 3006 3.000 250
El problema puede resolverse tanto analítica como gráflcamentc.En este caso usar como escalas H... 2 cm-------10 m
V...2.5 cm---25 Us
Como lop depósitos Dly D2 tienen su nivel en ln tnisma cota (55 m), podcrnos
sustituir las tubArlas 5 y ó por ttnn or¡uivaletltÉ, que denotllinaremos tuberfa 7.
r08 Lázaro López Andrés
Su diámetrotuberlas (f:0,06).
lo fijamos en 350 tnm, su coeficiente de fricción será el de todas las
La longitud Lr será
_\-_L -+ It =2.430'55m
La longitud de las tuberías 4 y 7 se puede sumar, puesto que están en serie y
tienen el misrno diámetro y el mismo coeficiente de fricción, resultando la tubería 8 de
longitud
L, = Lo+ L, =/'ggg +2'430,55 = 4'430,55m
Las bombas Bl y B2 están en serie, la ecuación de su bomba equivalente será
H = 40 -2.000Q2 + 45 -2.000Q2 = 85 - 4.000Q2
Como hay dos bombas 83 en paralelo, la ecuación equivalente será
H = 65 - 7 .ooo(3)' = 65 - 1.7 5oQ2
El esquema de tuberías y bombas será
WtrT--
E\t,
Problemas de Hldráullca III
Los coeficiente "r" serán ,, = 8{ . L',
' nt'g Di
rt =1.063,48m1(m3 / s) rz = 471,23m l(mt I s) rz =2.444,44m l(m' I s)
ro, = 1.884,92m l(m' I s) rs = 6.1Il,llm l(m3 I s) ru = 15.206,40m l(m3 I s)
rt =2.290,70m1(m3 I s) ra = 4.175,66m1(m3 I s)
Las ecuaciones a tener en cuenta serán:
Ecuación nol: Motriz de la tubería 1
H = zr* But*ur- LHr=15+85 -4.000Q? -1.063,48Q;2
tr=100 -5.063,48Q: -> Qt=0,0l405Jioo-a 1t¡
Ecuación n2:Motriz de la tubería 2
109
H = z r. + B1"r-"r1 - LH 2 = 25 + 65 - 1.7 50Q: - 47 1,23Q:
H =90_2.221,nQ: -+
Ecuación no3: Resistente de la tubería 3
Qz=o,o2l22Jn- n fz>
H = r, r L,H, = 45 +2.444.44Q -+ Qz =0,02022J n - q5 Q)
Ecuación no4: Resistente de la tubería 8
H = z¿* All, = 55 + 4.175,66Q -+ Qa = 091547J H - 55 (4)
Si 4=g tendremos Q+Qr=Qr+Q,
0,0 1405\ii¡0 - ¡1 + 0,02122J90 - H = 0,02022J H 45 + 0,01547 J H - 55
H <90
Resolviendo la ecuación H = 71 m
Tenemos que calcular ahora los caudales que llegan a los depósitos Dl y D2
Qr+Qu=0,062 y A,Hr=Hu
6' 1 I l,l lQ? = 15 .20A,40(0,062 - Q)2 Q5 = 38 Us Qa = 24 lls
I
Si q=Q,gggr¡/¡ tendremos Q +8¡ =0,080 +Qr+Q,
H >45
Qr=75|/s Q2=92Us Q¡=103Vs Qs=62 l/s
il0 Ldzuru López Andrés
0,0 I 405JiT0T + o,o2l22^lm = 0,080 + 0,02022JÑ + 0,0 | 5 47 J H - 5 5
H 590 H >45
Resolviendo la ecuación H = 61,5 m Qr = 87 Us Qz: 113 V. Qt = 81 Us Qt = 39 Vs
A los depósitos Dl y D2llegarán los caudales
Q, + Qu = 0,039 LH, = Hu
6.lll,l\Q: =15.206,40(0,062 - Q)2 Q5 = 24 Vs Qo : 15 Vs
Método grdJico
Curva 1: Curva motriz tubería nol 11=100 -5.063,48Q:
Ql/s 0 25 75 100 t2s20,9
5087,3H m 100 96,8
Cu rva 2 : Curv a motriz ttbería n2
Ql/s 0
Hm 90
71,5 49,4
H =90-2.221,nü
75 100
58,7 69,4
50 75 100 t2586,6 84,4 77,5 67,8 55,3
Curva 3: Suma en paralelo de las curvas 1 y 2 (Será una función de Q + Qr)
Curva 4: Curva resistente de la tubería no 3 H = 45 + 2'444.44ü
Ql/s 0
Hm 45
Ql/s 0Hm 55
25 5046,5 51,1
25 5057,6 65,4
75 100 12578,5 96,7 120,2
12583,2
Curva 5: Curva resistente de la tubería no 8 H = 55 + 4.175,64Q
illProblenas de Hldráullca lll
curva 6: Suma en paralelo de las curvas 4 y 5 (Será una función de Q + Q)
Curva 7:Será la curva 6 desplazada 80 l/s hacia la derecha'
Se representan las curvas. Las soluciones serán:
Q, + Q, = Q, + Q + curva 3 n curva 6
Qr+Qr=0,080+ 8+8 + curva3¡cwvaj
H(m)100r,'r,il¡ ir;',r"
i-- t' -rr=rilfri+: ij
0.200 0.225
Q(m3/s)
lt2 Lri.' r n t l,ri¡ u: A r ul rti s
2.6.- Dcstlc un cmlrslsc y m0d¡ante una bomba, por el sistemn de tuberíasde la figura, sc prctendc impulsar agua a los embalses 1 y 2.
La curva característica de la bomba cuando gira a 2.900 rpm es
H :80 - 2.350 Q' (H en metros y Q en m3/s).
Se pide:1'.- Hallar los caudales que circulan por cada tubería, Ia presión en elpunto I y la velocidad específica cinemática de la bomba.2o.- Una avería en el motor hizo que la bomba girase a 1.600 rpm ¿Quécaudales circularán por cada tubería cuando la bomba gira a esa
velocidad? ¿Cuál será, en este caso, la presión en el punto I?3o.- En el proceso de preparación del motor resultó que la bomba se
puso a girar a una velocidad N rpm y se observó que para esa
velocidad no circulaba caudal alguno por la tubería 2. ¿Cuál será elvalor se esa velocidad? ¿Qué presión existirá en el punto I en estecaso?
Nrt
Constantes de las tuberías! 11 : 1.250 m/(m3/s)2rz = 2.500 m/1m3/s¡2
r¡ = 9.060 m/1m3/s¡2
1o.- La cota del agua es 50 m y la altura que la bomba puede impulsarla es
It : B0 - 2.350 Qr'. Lu suma de ambos valores, para algunos valores del caudal que
pLrede impulsar? es mayor que 76 m. Podemos concluir que la bomba, para ese caudal,
irnpulsa agtra a ambos depósitos.
+76m.
+76m.
I'rt¡blanuts tk I litlnittlit'tt I I I
PorBemoulli 50+0+0 * Hur..roo='76+0+0+ LHt+ LHz
50 + 0 + 0 + H rrnoo= 36 + 0 + 0 + 414 + A¡13
sustituyendo 50+80 -2.3s00: =76+t.2soq +2.s00ü
50 + 80 - 23500i = 36 + 1.250Q:12 + 9.060ü
s4 -3.6000: =2.s00ü -+ A=o,Oz,,[l1-Z'eoOü
94 -3.600Q\'z =9.060ü -+ Q, = 0,OrcSJg+l3.6OOü
Por continuidad Q, = Qr+ Q,
Por lo que Q, =o,ozJs+ -z.600ü + o,olo5
Los caudales que circulan son:
Qr = 0,117 m3/s Qz:0,047 m3/s Q¡ :0,070 m3/s
Las pérdidas de carga en cada tubería serán a/lr =l'250' 0J1.,12 =lJ,llmLH.- = 2.550' 0,0472 = 5,52m
AH' = 9'060 '0'0702 -- 44'39m
Laalturamanométricadelabombaes ly'=80 -2.350'OJl72 = 47,83m
La presión en el punto I es Pt = 50 -t H n - L'H, - z,
4 = 50 + 4l ,83 -l'7 ,ll - 40 Pr = 40,70 mca
Comprobaciónzoz = zt + PI - LH2 = 40 + 40,70 - 5,52 = 76m
zoz = zt + PI - LH3 = 40 + 40,70 - 44'39 =36m
La velocidad específica de la bomba es
ll.l
n =nJ?',Lt Hrt4
= 2.eoo f:!Í = 54.54rpm4J,83'', "
nn = 54,54
2.- Cuando la bomba gira a
Q2eoo _2.900Q, ooo 1.600
1.600 rpm su ecuación será
Qr.noo =1,812' Qt 600
il4 Lrl:,trrt Lri¡ tt': A ndrés
H ,rno -r 2'9oo )r H znoo = 3,2g5 . H t.oooHt-"- ( l.600l ¡'2eoo - r'LoJ'r
sustituyendo 3,285 . Hr.uo, = 80 - 3.250 .1.812.0?600
Hr uoo =24,35 -3.250.Ql600
Para esta velocidad de giro de la bomba el agua no llegará al depósito 1,
pues su cota,76,00 m, es mayor que 50 * Hr'oo para cualquier caudal, o sea que
eldepósito I aporta aguaal depósito 2.
La ecuación de continuidad será en este caso Q, + Q, = Q, y Bernoullientre el depósito inicial y el depósito 2 y entre el depósito I y el depósito 2resultará
50 +0 + 0 + 11rr 600 = 36 + 0 +0 + A,H, + A,H,
76+0 + 0 = 36+ 0+0 + LHr+ L,H,
sustituyendo
50 + 24,35 * 3.250ü = 36 + 1.250Q? + 9.060Q:
38,35-3.600Qi =9.060ü -+ Qt=0,00166Jr5,5r-y0600:
40 =2500ü +9.060ü -+ Qr=0,02
Por continuidad Q, = Q'+ Qr
Qt = 0,00r66Jts,s, - r.0ñü * o,oz$o - s.060ü
Los caudales que circulan en este caso son:
Qr = 0,024 m3/s Qz : 0,039 m3/s Q¡ = 0,063 m3/s
Las pérdidas de carga en cada tubería seran Al1, = I .250 ' 0,0242 = 0,72m
L,H, = 2.550' 0,0392 = 3,80m
LH, = 9.060' 0,0632 =35,96m
La altura manométrica de la bomba es Ht eoo = 80 - 2.350 .0,0242 = 22,48m
l,a presión cn cl punto I cs /l = 50+ Ilr- A,H,* z,
I', 5(l t 22,48 - 0,72 * 40 Pr = 31 076 nrc¿r
40 -e.060Q:
I'x¡blamas de llidrúuliut lll il5
Comprobación
3.- Sabemos que al depósito 1 novelocidad gira la bomba.
zoz= zr + Pr - MI2=40+3I,76-3,89 =76mzoz= Zt + Pr - LH3=40+31,76-35,96=36m
llega cauda y no sabemos a qué
+76m.
La ecuación de la bomba cuando gira a N rpm será
Qzeoo _2.900Q*N
Hrnoo _(Z.SOO)'H.-t ,ttt.1
Qrnoo=&'Q* a-29oo¡/
Hr.noo=d''Hr
sustituyendo at'H* =80-3.250'a''ü
o. =# _ 3.2s0. 0:N
Parulavelocidad de giro N rpm resulta Que Qr : Q:
Aplicando Bemoulli entre el depósito inicial y los depósitos I y 2 r'cstrllrr
50 + 0+ 0 + Hu =76 +0 + 0 + LHt+ LH2
50 +0 + 0 + H u = 36 +0+0 +44 +AHl
so + $ - 2.3soQ: = 76 + 1.2soQfd'
so + $ - 2.3soQ? = 36 +t.2s0Qf +9.060ü = 36 + 10.3 l0?¡(rt
igualando 76 +1.250Q =36 +l0.3l0Ql
il6
40 =9.060Qi - )
l,¡,tt,' I.il tt'.:,ltnlt'ti,t
(J¡ - (J.¡ (|.(Xró mr/s
srrstituyendo 50-ry _ 2.350.0,0662 =76+1.250'0,0662d-
a =1,382 --> N =29oo -) 0 = 2.098 rpmd
l,as pérdidas de carga en cada tubería serán 414 =1.250'0,0662 = 5,44m
LH, =9.060' 0,0,662 = 39,46m
La alturamanométrica de la bomba es , = # - 2.350 .0,0662 = 3L63m
N"
[,a presión en el punto I es P, = 50 + Hn - LH, - z,
P¡ = 50 +31,63 -5,44 - 40 =36,19 =36mcq
(lomprobación
zDz= zt + PI - LH2=40+36,79*0=76mZD3 = zt + Pr - LH3 = 40 +36,19 -39,46 =36m
2.7.- En el esquema de bombaso tuberías y depósitos de la figura, enumerarlas ecuaciones de todas las curvas que harían falta dibujar paracalcular los caudales que circulan por cada tubería, describiendo qué
representa hidráulicamente cada una de ellas.El depósito I está a la presión P kg/m2 que marca el manómetro Msituado en su fondo y el depósito 2 está abierto a la atmósfera.
Za
(tH ¡ = zt I H rr- LHo = 23 + A3* Brü - r,ü
l'ntl¡ltntt.t tfu IIilráulictt Ill
clcpósito I presurizado es equivalente a un depósito abiorkr cuya cota dc agtta scit
+ I metros.v
I' Curva.- Curva motriz de la tubería 1.
H,t= z, I Hur- LHr= zr+ 1- Brfi - r,Q
H.q= zt+ At-(Bt-r)qHu= f(Q) representa la energía en el punto A en función de caudal Ql Que
impulsa la bomba B1.
2u Curva.- Curva motriz de la tubería 2.
H,t = Z, * H u, - LH, - z, r A, - Brü -'rüH.t= zz+ Az-(82-rr)ü
Hn= f(Q) representa la energía en el punto A en función de caudal Qz que
impulsa la bomba 82.
3u Curva.- Curva suma en paralelo de los caudales Qr Y Qz.
Hn= f (Q+rQr)=/(Q) representa la energía en el punto A en función de Q3,
que es la suma de los caudales que impulsan las bombas Bl y 82.
4u Curva.- Curva resistente de la tubería 3.
A,Hr=r.f. =.f(8) representa la pérdida de carga en la tubería 3 en
función del caudal que circula por ella.
5u Curva.- Curva de la energía en el punto B.
A la curva 3" le restamos la curva 4u
H u = H o - LH 3 = f(Q, + Q) - LH, = f(Q) - LH.' = f(Q,)H u = f (Q)tepresenta la energía en el punto B en función del caudal Q3.
6u Curva.- Curva motriz de la tubería 4.
|7
til
z4
iltr
ll,, - z, I lt (tlt - üQ;ll ,' = .f (Q,) rcpresonta Ia energía en cl punkr li cn liurci(n clc caudal Qa
r¡rrc irrrprrlsa la bolnba 83.
7" (lurva.- Curva suma en paralelo de los caudales e: y e¿.
H u = -f (Q, + Q) = f (Q) representa la energía en el punto B en función(lo Q5. que es la suma de los caudales Q¡ y Q¿.
8" Curva.- Curva resistente de la tubería 5.
LHs=rrü = f(Q) representa la pérdida de carga en la tubería 5 enfi¡ncirin del caudal que circula por ella.
9" Curva.- Curva de la energía en el punto C
A la curva 7" le restamos la curva 8u.
H, = H u - All, = "f(Q, + Q) - LH, = .f(Q) - M, = f(Qr)H, = "f (Q)representa la energía en el punto C en función del caudal e5.
10" Curva.- Curva resistente de la tubería 6.
H, = (zo * P^"o) + LH 6 - zl + ruQA la energía en el depósito 1 (cota de agua que hay en él) hay que
sumarle la pérdida de carga en la tubería 6.H, = "f (Q) representa la energía en el punto C en función del caudal e6
clue circula por la tubería 6 y de la cota piezométrica del agua en le depósito l.
I lu Curva.- Curva resistente de la tuberíai.
H,.= zo+ LH7 = zn+ rrQ]
A la cncrgíir cn ol ilcpósito 2 (cota de agua que hay en él) hay quesr¡nl¿rllo la pórtlitll clc c:irr'tr¡¿r clr llr tuboría 7.
ll,. ' .1 ()t) r'c¡tlescrrtl lir uror.gía cn el punto C en función dcl caudal e7
t¡uc circrrlir ¡lor lit lrrlroirt '/ y tle llr colir rlcl ¿tgua en Ie deptisito 2.
l'n¡ltlcttttni tlc I li,lt,ittlt,',t I I I
12" Curva.- Curva suma en paralelo de las curvas I 0" y I I ".
Hr=f(Qu+Qr)=f(Q')Representa la energía en el punto C en función dol catrd¿tl (Jt, tlttc
también es la suma de los caudales Qe Y Qz.
Solución.-Intersección de la curva 9u con la curva 12".- Ambas cr¡rvirs
son función de Q:. Obtenemos H6 Y Q5
La representación gráfica de la línea de energía y de las pérdidas clc oar¡¡ir
a lo largo de las tuberías es
Conocido Hq, con la curva 10 obtenemos Q6 y con la ctlt'vit I
obtenemos Qr.Conocido Q5 hallamos con la curva 8 AH5 y con la curva 9 otrtcttolttos llr
altura de energía del punto B (He).
Con Hs podemos hallar Q+ con la curva 6 y como Qt=Q, I L),',
hallamos Q3 ¡l con la curva 5 obtenemos Ha 1r con las curvas I y 2, ol'ltclttrtttos
Qr Y Qz.
120 l,clznro l,ópcz Andrés
Hallar analftica o gráficamente los caudales que circulan por lstuberlas de esquema, en el que el depósito 1 está presurizado y elmanómetro Mn situado en su fondo, marca una presién de 1100 Kgl-',el depósito 2 está abierto a la atmósfera y la ecuaciones de las bombascuando giran a 1.450 rpm, las cotas topográficas y las constantes de lastuberías son las siguientes:
Bl..H = 110- 350 Q2 B2..H = 90 - 450 Q2 83..H = 75 - 200 Q2HenmyQenm3/s
Zt: 0100 m Z2=20r00 m 23 = 35100 mZ¡:40,00 m Zs= 40,00 m Zg= 45,00 mZa= 50'00 m 25 = 55100 m 26= 60100 m
rr = 1.020 m/1m3/s¡2 rz= 510 m/(m3/s)' ,t = t.020 m/(m3/s)2r4= 755 m(m3/s)? ,r= 1.020 m/(m3/s)2 r6= 510 m(m3/s)2h = 1.020 m4m3/s¡2
El problema puede resolverse tanto analítica como gráficamente.En este caso usar como escalas H... 2 cm-------10 m
V... 2.5 cm-----25 Vs
N" 2.8.-
El depósito 1, si estuviese abierto a la atmósfera, tendríazp+ 1,0 kg I m', o sea, zI = 50+10 =60m
lo curva.-Curvamotriz de la tubería IH ¿ = zt + H Br
* LHL= 0 + I l0 -350Qi -1.020Qi
la cota de agua en
H,t =110 -1.3700: Qt =0,0270[to- H^Qs =0,0277
I'roblemas de tlldrtiullcu lll t2t
2' curva.-Cuwa motriz de la ítbería 2
H ¿ = zz + H 82 - LH2 = 2o + 90 - 450ü - 5loüHt=ll0-960ü -) Q, = 0,0322.Ito - tt n
3" curva.-Curva suma en paralelo de los caudales Ql Y Qz
Qt=Qt+Qt
Q3 = (0,027 0 + 0,0324.\lttO - 4Qt=(0,05g2)\ttlo-H" -) H¿=ll0-28533Q:
4" curva.-Curva resistente de la tubería 3
LHr=rrü =1.020ü
5" curva.-Curvamolriz en el punto B. A la curva le restamos 3u la curva 4u
Ha = Ht- LHz
Hn =rr0-28533ü -1.020üHa =ll0-1.305,33Q: Qr=o,o276.rlllo- n,
6" curva.-Cuwamotriz de la tubería 4
H a = zq t H ",
- LH o = 35 + 7 5 - 200ü - 7 55ü
7u curva.-Curva suma en paralelo de los caudales Q¡ Y Q¿
Q, = Qr+Qo
Qs = (0,0276 + 0$32J)[10 -11"
8" curva.-Curva resistente de la tubería 5
LH5=rr$, =l'0200:
9" curva.-Curva motriz en el punto C. A laHc=Hn-LH.H c = llo - 278,70ü - l.o2oü
H, =ll0 -1.298,70ü <tl
Hn =ll0 -955ü -) Qo=0,0323.,,1110-Ho
Q,=o,o599Jlro- Hu -) Hs =110-278,70ü
curvaTu le restamos la curva 8o
n0- H,
t22
l2u curva.- Curva suma en paralelo de los caudales eo y ezQr= Qu+Q,
Q, = (0,0443+ 0,03 t3)ú1c - 60
Qr=0,0156r[nr-AO
I0" curvrl.-('trrvir rc:sislcnte rlo la tubería 6I 1,, = 2* I Al I t, = 60 + 5l0Q
I ln curva.-Curva resistente de la ttfuería7H r. = za * A,H, = 60 + 1.020fi
Qu =0,0443r[H, 40
Q, =0,03l3"[Hr 40
-+ Hc=60+174,97Q: Q)
Qs = 00184 m3/s
Hc = 65,94 m
Q6:0,108 m3/s
Qz = 0n076 m3/s
Hs: 100,54 m
La solución será la intersección de las curvas 9" y 12 opues ambas representanlu cnergía en el punto C en función del caudal que llega u
"r" punto er.
110 -1.298,704 = 6O +174,97e:5
50 =1.473,6i*s _+
l,ir cnergía en le punto C será, por la curva l2uH c. = 60 + 174,97 Q: = 60 + t7 4,97. 0.1 842
Sc puede comprobar con la curva 9u
H c = 7 10 - 1.298,7 0ü = I 10 - | - 2gg,j O . 0,7g42 = 65.94 m
l.os caudales Qo y Qz serán
e, = o.o14:r[i. oo = 6.9443/65,94 _ 69
e, = o.o3n"[4 - oo = o.o3l3#5.e4 _ 60
l)or la curva 7u obtenemos el valor de H6H n = 1 l0 - 215,70e: = I I 0 - 2j8,7 . 0,1942
t¡uc podemos colnpr<lblr srull¿rntkr Al ls a H¡.
ll,, =1.(p(lQ; t tt, = t.020.0.tÍ14, +65.94=110.41m
l)rlr lil cttrv¿t (r" c¡tlt.ulirlrros cl vlrlor tle (.),¡
?.r .0.0l.ltv/l l0 ll,, 0.gl.llvlt0_-]m-54 Q¡ = 0,(199 rn']/s
I'tttl¡lpmu:; dc IIidráulica III t2.l
l'll caudal Q: será Q, = Q, - Qo = 0,184 - 0,099
l',1 valor de He es Hu= Hu -t A,Hr=100,57 +1.020 '0,0852
l,os valores de Qr y Q2 serán por las curvas lu y 2u
Q, = o,o2Torlllo - n o = o,o2l ofio - 107,94
Q, = 0,0322",11t0 - tt u = 0,0322.'1110 - 107,94
Resumen de resultadosCaudales
Q1 m3ls q2 m3/s q, m3/s Qa m3ls Q5 m3ls
0,039 0,046 0,085 0,099 0,184
Energía en los puntos A, B y CHem Hsm Hcm105,94 100,57 65,94
Altura de las bombas
H u, = ll0 - 350Qi = I l0 - 350' 0,0392 = 109,4'7 m
H nz = 90 - 450ü = 90 - 450 ' 0,0462 = 89,04m
Hu. =75 -200ü =75 -200 '0,0852 =73,04m
Pérdida de energía en cada tuberíaLH1= rQl =1.020'0,0392 =L55m
LH2 = rrQ) = 510.0,0462 =1,08m
L,H, = rrQ), = 1.020. 0,0852 = 7,37 m
LH 4 = roQlo = 1 55. 0,0992 = J,40m
LH, = rsQl =1.020.0,1842 =34,53m
LH 6 = ruQlÁ = 510. 0,1082 = 5,95m
A.H, = r,Q) = 1.020. 0,01 62 = 5,89m
Q¡ = 0,085 m3/s
H¡= 107,94 m
Qr = 00039 m3/s
Qz = 0,046 m3/s
Q6 m3/s q7 m3ls
0,108 0"076
La representación gráfica de la línea de energía y de las pérdidas de carga
a lo largo de las tuberías es
124 l,átnt l,ti¡tt': Andrés
I
I
l
H*1
N" 2.9.- Hallar eI caudal de agua que llega al depósito, en función del caudalo'q" que se deriva en el punto A del sistema de bombas y tuberías delesquema.Determinar los máximos valores posibles de ambos y explicar en quécircunstancias se producirá cada uno de ellos.
B1:82.......H : 80- 1600 Q2 HenmyQenm3/s
10m.
i_-
Tubería Dlmm) Llm) fI 600 1.600 0,02.,
500 1.000 0,02
ltroblemas de llklnlullttt lll
Sea "Q" el caudal que llega al depósito y "q" el caudal derivado en el punto A,
El caudal que impulsan las bombas será Q+q
El esquema refuncionamiento y la línea de energía será:
La ecuación de las dos bombas en paralelo será
t25
H=80-r*(ry)' n =so-40(e+q)'
Los coeficientes de las tuberías son
8.0,02 1.600f, =--=L.-= 33.95' nt 'g 0,6'
8.0.02 1.000r. =
" i'--' ',-=- =52,80' tT' -g 0,5'
Aplicando el teorema de Bernoulli entre el embalse y el depósito, tenemos
l0+Hu=40+LHt+LHz
l0+ 80 - 40(9 + q)' = 40 + r,(Q + q)' + r,Q'
90 - 40(Q + q)' = 40 + 33,95(Q + q)2 + 52,80Q2
126,7 5Q2 + I 47,9oqQ + Ql,rtsq' - 50)= g
Despe.itrttlo (J y erutto stt vnlor tiette t¡tte ret ¡tositivrl. t'csttlttt,
126 l,i:rtnt l,ú¡ rt An¡lrés
- I 47,9q +,[A7.90 (t' -W2.126,75
o sea Q=25.530 - 15.618,24q2 -147,90q
253,50
que es la ecuación que relaciona el caudal "Q" que llega al depósito en función
del caudal "q" derivado en el punto A'
El máximo valor de Q se producirá cuando no se derive ningún caudal en el
punto A, o sea, q : 0 y el el valor de Q será
Q=
o=JE35o =o.62,mt rs253,s0
Q:0,628m3/s q=0m3/s
El máximo valor de q se producirá cuando no llegue ningún caudal al depósito, o
sca, Q : 0 y el el valor de q será
25.350 -15.618,24q' -I41 ,9q = ¡37 .492,65q2 = 25.350 q=0,822m3/s Q=0m3/s
Las circunstancias en que se producen serán:
1u.- si no se deriva ningún caudal en A, el caudal que llega al depósito será el
rnáximo posible.2;.- Si todo el caudal se deriva en el punto A, no llegará ningún caudal al
clcpósito.
Comprobación.-1".-Si q: 0, aplicamos Bemoulli y resulta
10+ Hu=40+A,Hr+LHz
l0+80-40Q2 =40+Qs,9s+52,80)Q' r Q =0,628 m3/s
2".- Si Q: 0, aplicando Bemoulli, resulta
l0+Hu=40+L.Ht+LHz
l0+ 80 - 40q' = 40 +33,95q2 -) q=00822m3/s
Itrobl¿ttuts ir I litlt'tluliut I I I
N. 2.10.- Hallar el caudal de agua que llega al depósito de la figura en funcióndel caudal 'oq" que se deriva en el punto C del sistema de bombas y
tuberías del esquema.
Determinar los máximos valores posibles del caudal que llega aldepósito y del caudal derivado "q" y explicar en qué circunstancias se
producirá cada uno de ellos.(2.5 puntos)
81...H = 110-350Q2B2...H = 90-450 Q2 H en metros, Q en m3/s
2F0,00 m Zz4Oo00 m Zf60oO0 m 2¡=40,00 m Zg=50'00 m
rr=1.020 m/1m3/s)2 rz=510r00 m/1m3/s¡2
rf2.040m/1m3/s¡2 ra=775,,00m/1m3/s¡2
Sea Q+ el caudal que llega al depósito y "q" el caudal derivado en el punto C- Por
continuidad de caudales resulta:
Qr+Qr=Qz=Qo+4Lalinea piezométrica de cada tubería será
t27
t2tt Lri.'r tn t l,ti¡ te: A tnlrés
B1
-.- (
La altura de energía en el punto A, en función del caudal que impulsa la bomball I scr/r
H = zt* Hil- LHI
H = 0 + ll0 -3500: -1.020ü = ll0 -1.370Q:
Q,=0,027J10_ H (t)
La altura de energía en el punto A, en función del caudal que impulsa la bomball2 será
H=zz+HB2-LHzH =20+90-4s0Q: -stoü =110-960q
Q, =O.OtZ",l|O- n Q)
Como en el punto A confluyen los caudales Ql y Qz, la altura de ese punto será
la misma para ambos caudales y como Q, + Qr= Q, resulta
Q. =0,027J1t0- n +o,$2^ftloJl
Q.=o,o59J7lo_ H
H =110-287,270: Q)
La altura de energía en el punto A será, si vamos desde el depósito al punto igual
H =zt*LHo+LH,I t = (t0 +775Q,? + 2.040Qi @)
l'ntl>lemus de Ililrúulittt lll
Ambas alturas son iguales y teniendo en cuenta que Q3 -- Qo + Q, resulta
rt} - 287,27 (Qo + q)' = 60 + 77 sü + z.o+O(ff, + qf
so - 2.327,27(ü * nY -77 sü = o (5)
Esta ecuación relaciona el caudal que llega al depósito (Q+) y el caudal derivado
(q).Despejando Q¿ en función de q y teniendo en cuenta que el resultado tiene que
ser positivo, resulta
3.102,27 ü + 4.654,54qQ0 + (2 327,27 q- 50) = g
129
- 4.654.54q + ^1620.454 -7 .214.537 q' .
Qr- ""- '1" 'a \:::'-':- '- '-- 1 m' /s
6.205,08
Si no se derivase caudal en el punto C (q:0), el caudal que llegará al depósito
será el máximo posible
^ J62Ms4()., = ---:=-- ---:= = 0 ,127 m3 I s
6.205,08g : 0 m3/s Qq:0,127 m3ls
Si todo el caudal se deriva en el punto C, no llega ningún caudal al depósito
(Q¿:0) y el valor del caudal q es
q:0,146 -'/s Qo = 0 m3/s
2.11.- Un depósito prismático de 40x50 m de base y 5 m de altura, cuya
solera está situada en la cota 194m, se llena con el agua de una presa
cuya superficie libre, que se considera constante, está en la cota 95 m.
El agua se impulsa mediante una bomba de eje horizontal, situada en
la cota 90 m, una tubería de 300 mm de diámetro,500 m de longitud yf : 01015 que conecta horizontalmente en la solera del depósito.
Hallar el tiempo que tarda en llenarse el depósito, si la ecuación de la
bomba es H : 24 :320Q2 (H en m y Q en m3/s)
NO
4.654,54q = ,,1 OZO.+S+ - 7 .214.537 q')
130 Lú:tnt l,ópaz lndrés
p =3""L=\24.10-31T" g
, = BL=255-14,D'
Al cabo de un cierto tiempo o't" después de iniciarse el llenado, el agua en eldcpósito habrá subido una altura ooh". Aplicando en ese instante el teorema de Bemoulile ndremos
95 + 0+ 0 + Hu = (104 + h) + 0 + 0 + LH95 + 24 * 320Q2 = 104 + h + 255,14Q2
15-h=575J4Q2
En un instante dt, después de "t", el volumen de agua que pierde la presa será elenviado por la bomba cuyo valjS
dvot =Qdr =!!-)1 ¿," 23,98
y el volumen de agua que se acumula en el depósitodVol = 40x50xdh
Como ambos diferenciales de volumen son iguales, aunque de signo contrario,pues la presa pierde agua y el depósito la gana
^ "lt5-hu=-23,98
dt =-47.964,14-L41s-h
r = -47 .e64,1 4 Í# = -47 .e64,1 4, IJl s - hÍ = 68.11 6,7 e s
ffi o, =-2.ooodh
23.98
El tiempo de llenado es de 68.176,79 scgundos.
l)núlemas de llhhttultm ttt
Aproximadamente se podría calcular el tiempo de llenado hallando elcaudal inicial y el final, y suponer que todo el proceso se realiza con el caudalmedio.
t3t
Qiot"tut
Q¡nut
Qmedio
h:0m e,=0,1615m3 lsh=5m e¡=0,l3lgm3/s
Q-=0,14665m3 ls
El tiempo de llenado sería , =W = ffi= 68.189,56s
N" 2.12.- Hallar el caudal de agua que llega al depósito en función del caudal"q" que se deriva en er punto c del sistema de bombas y tuberías delesquema.Determinar los máximos valores posibles del caudal que llega aldepósito y del caudal derivado "q" y explicar en qué circunstancias seproducirá cada caso.
Ze
81..H = 110- 350 Q2HenmyQenm3/s
82..H = 90 - 450 e2 83..H = 75 - 200 e2
Zt= 0,00 m Z2:20,00 mZ¡= 40,00 m Zn= 40000 m
Za=35100m 26:60100mZ¡= 45,00 m
r¡ = 1.020 m/1m3/s)2 Íz: 510 m/(m3/s)' .. = 1.020 m/(mr/s)2rl = 755 m/(mr/s)' ,.: 1.020 m/(m3/si2 ro = 1.020 m¡im.lí)t
@
l.r2
Dcbcmos encontrar la rolación que existe entre "q" Y Qo, para lo que
ostablcceremos las condiciones de continuidad tanto de los caudales como de la línea de
cncrgía.
o",l
, tut ecuaciones de continuidad son n¿).nó^==nl.,lti,
Qr+Q=Qu (3)
La energía en el punto A por la acción de la bomba Bl y siguiendo el trayecto
de la tubería l, será
Hn=zr+Hur-LHtH,t = 0 +110 -350Qi -1.0200: = I 10 - 1 370ü
Por lo que el valor del caudal impulsado por la bomba B I en función de la altura
clc energía en el punto A será
Qt=0,0270Análogamente, la energía en el punto A por
sigLriendo el trayecto de la tubería 2, serála bomba B2 y
Hn=zr+ Htrz-LH2
t-t n =2s+<)0 -450Q] -510ü =110-960ül)or lo r¡uo cl virlol tlcl cauilal irrpulsado por la bomba 82 en f'trnción de la altura
rlc crtclgía ctt cl ptlttlo A sr"rrá
B1
NaHa
t'-
Hst
E
I¿H, /+..*...--- ,/
AH¡Za
Hsz
Hs
@B
I AHs"t--
He¡ Gcl@Xv \^-\n
Hcll
*?4-l, t__
:Depósito
_¿c
,2,V?
\
tr0-HAg)
l'n¡ltletn<ts tlr I Iitlnittl t,',t I I I
Por la ecuación de continuidad (l) tendremos
Qo=Q'+Qr
Q3=(0,0270+0,0322)
Q3=(o'oss2)J:fio- H^
La altura de energía en el punto A en función del caudal Q3 es
H t=110-28s$ü (6)
La altura de energía en el punto B será igual a la energía en el punto A menos las
pérdidas que se produzcán a lo lárgo de la tubería 3, que en función de en función del
caudal Q: son LH, = rrQ =1.020ü, por 1o que
H¡ = Ht- LH.'
Hs =rt}-28533ü -t.0200: Hn =ll0-1.30s33Q:Por lo que el valor del caudal que llega al punto B impulsado en función de la
altura de energía en ese punto B será Q, = O,OZle^lttO - n u Q)
La energía en el punto B por la acción de la bomba 83 y siguiendo el trayecto de
la tubería 4, será
Hs=Zq+HB-LH4H, = z¿ * H o, - LH 4 = 35 + 1 5 - 200ü - 755ü
H u =ll} -955üpor lo que el valor del caudal impulsado por la bomba 84 en función de la altura
de energía en el punto B, será Qo = o,ozzzrlllo - u u $)
Por la ecuación de continuidad (2) tendremos
Qr=Qr+Qo
Por otra pade, la altura de energía en el punto B
cota del agua 24 del dePósito como
Hn=zo+LH5+LH6É1" = 60+1.020Q +1.020ü(to)
H n =llo -278,70ü (9)
se puede expresar, a Partir de la
110-11r (s)
tt}- H A
110-HB
t34 lltzmt l,ó¡tt'z An¿lrés
Si igualamos lds expresiones (9) y (10) y tenemos on cucnta gue Qs=Qu-Q,rcsulta
Il0 -278,70(Qu - q)' = 60 + 1.020(Qu - q)' +1.020ü
50 -1.298,7 (Qu - q)' -r.020ü = 0 (l l)
Esta ecuación nos relaciona el caudal "q" derivado en el punto C y el caudal quellega al depósito Qo. Si despejamos Q6 la relación entre ambos caudales es
n_2.597,4q*@ve -
0.637,4
Si no se deriva ningún caudal en C,
er=fu]:-:l: =0,t47m3 /s eo = 0,147 mr/s q = 0 m3/s4.637,4
Si todo el caudal se deriva en C,
N"
2.597,4q = 463.740-5.298.696q2 Qu = m'/s q:0,196 m3/s
2.13.- Un depósito prismático de 40x50 m de basey5 m dealtura, y5 m dealtura, cuya solera está situada en la cota 104 m, recibe agua de ungran embalse, cuya superficie se mantiene constante en la cota 95 m,mediante una bomba de velocidad variableo eje horizontal, situada enla cota 90 m y de curva H-Q cuando gira a 1.450 rpm H :24 - 320Q2(HenmyQenm3/s.La tubería de impulsión tiene un diámetro de 300 mm, 500 m delongitud y coeficiente f = 0,015.Hallar la velocidad con la que debe girar la bomba para que eldepósito se llene en 12 horas.
I'roblemus de llübñullnt lll 135
La ecuación de la curva característica H-Q de la bomba cuando gira a l 450 rpm
es /1 = 24-32082Esta ecuación cuando gira a N rpm será:
Qt4so -l'1.50 -+ e,oro=UPo- =d.exe*HNHroro -ry -+ H,rro=ryHx=a2. H,HN H' N'
sustituyendo
d' .H* =24-320a2 .ü¡¡ -+ H* =4-320.0:N" (x'Esta es la ecuación de la curva característica H-Q de la bomba cuando gira a N
1.450mm- slendo fl=-
NCuando la bomba gira a esa velocidad, al cabo de un cierto tiempo "t" después
de iniciarse el llenado, el agua en el depósito habrá alcanzado una altura "h". Aplicandoen ese instante el teorema de Bemoulli resulta:
p=+=\24.10-37T'g
, = BL =255.14'D)
95+0+ 0+ Hu =104+ h+0+ 0+A11
ss +! - 32o}i= lo4 + h + 255,r4fi(x'
575,14Q:* =!-e-h= A-h siendo,s=4-ga- d-
En un instante "dt" el volumen de agua que sale de la presa será
dvot=erdt =El o,23,98
y el volumen de agua que llega al depósito es dVol = 40.50.dh y ambos volúmenesson iguales, aunque de signo opuesto, pues cuando la presa pierde agua la gana el
-depósito, resulta #0, =-2.000dh o sea dr =-47.g64,t4hpor lo que
JA-h-+ Q*=23,98
t3ó Ltlzuro l,ópez lrulrés
T = -47.e64,t4 I# = -47.e64,14 r'V ¿- ñX
Como el tiempo de llenado se ha fijado en 12 horas, resulta
t2. 60 . 60 = -e5.e28,28(JT 1 - ü)-0,45=JA-5-JZ - A=33,4148 -+33,4t48=+_9 _+ a=0,7522
y las revoluciones a las que debe girar la bomba seriÍn
n,'= t'1:o =+9* =t.e27,62rpma 0,7522
N = 1.927,62 rpm
N" 2,14.- En el sistema de tuberías, depósitos y bombas de la figura, hallar elcaudal o'Q+" que llega al depósito en función del caudal ooqoo que seextrae en el punto C, que varía según el grado de apertura de laválvula V.cuando el caudal "Ql" que llega al depósito sea er doble del caudarextraído o'q"
¿Cuál será el punto de funcionamiento de cada bomba?
81...H=40-800Q2 Hen m Qenm3/s82...H = 50-150Q283...H = 35-900Q2
21 =20,00 m 22= 400,00 m Za= 60100 m
r¡ : 510 m/1mr/s¡2 12 = 255 m/(m3/s)2r¡ = 1.020 m/1m3/s¡2 r¿:755 mlim3lsi2
(Mayo 2009)
l'n¡blemus de llhlrúultu lll t37
B1
La curva H-Q de las dos bombas B I instaladas en paralelo
es, H =40 - 80d9] = 40 - 200e' ; curva que sumada en paralero con la de la bomba\2)82, resulta H = 90 -350Q' qr" es la curva de la bomba equivalente al conjunto de lastres máquinas que impulsan agua desde el depósito I a través de la tubería 1.
Para hallar la curva equivalente de las cuatro bombas que impulsan agua por latubería 2, debemos sumar la curva de las dos bombas B3 en serie y ef resultado sumarloen paralelo.
Suma en serie H =70-1.800e2
Suma en paralelo H = 70- 1.800|,9'l = 70 - 450e2\2)
1o.-La curva motriz de la tubería I será H n = Z, + Hu, - L,H,
Hu=20+90-3508: -5t00i =110-860e? ) e,=O,OZ+LS\O- Uu 1t¡
2o.-La cuwa motriz de la tubería 2 será H n = Z, + H ",
- L,H,
H,c = 40 + 7 0 - 45001 - 255ei = tt} - 7 05e? ) et = O,OZI AS tO - U ^
qZ¡
3o.-La suma en paralelo de las curvas motrices de las tuberías I y 2 será
Qr=Qr-rez= (o,o:+t+ 0,0376\ltoo- nu =0,0717"f110- Hu
Hut=710-194,52Q: e)
4o.-La pérdid a de carga de la tubería 3 es
l.ltt Lt'ixtru l,ó¡t':,4ndrét
LI I. = rrü = 1.022Q:
-5".- l,a curva motriz de la tubería 3 será H r. = H t - LH,H c = 7 l0 * 194,52ü - 1.022Q: = tt} -1.2t6,52e:
Hc =tlo-1.216,52ü (4)
6".- La curva resistente de la tubería 4 será
H, = Zot LHo =60+755ü (5)
7o.- Por continuidad de caudales resulta Q, = Qq+ q e igualando los valores de Hs de
las expresiones (a) y (5)
I l0 - 1.216,5z(Qo + Q)' = 60 + 755ü
qrfo es la relación pedida qLre relaciona el caudal Q+ que llega al depósito "e+" con elcauclal dcrivado "r7".
I'niltlct¡uts de IIitlrt'uliut III 1.19
si 94 = 2q, resulta I I 0 - 1.2 I 6,5 2x1,52 fi = 60 + 7 55ücledonde Qo=0,120m3 /s, q=0,060m3 ls y Qr=0,I80m3 ls
Por (3) H n =ll0 _194,52- 0,1802 =103,70m
y por (1) y (2) resulta Qt =0,0860m' I t y Q, =0,094
l-os puntos de funcionamiento serán
o,Bomba I Q=;=0,043m31s
H = 40- 800 x 0,0432 = 38,52m
Bomba 2 Q=0,086m' lsH = 50- 150x0,096' = 48,89m
Bomba3 Q=?=0,047m31s'2H = 35- 900 x 0,0472 = 33,01m
2.15.- Una bomba centrífuga de eje horizontal impulsa un líquido de
viscosidad cinemática á,50*t0-s mtls y de densidad 900 Kg/m3 por una
tubería de 125 mm de diámetro y rugosidad relativa k/D=0,003, de
500 m de longitud, que asciende con una pendiente uniforme yconstante del0,75o/".Si la bomba impulsa 40 m3 de líquido a la hora, ¿cuál debe ser su
potencia si su rendimiento es delTS0A?
Elcaudal que impulsa la bomba es p= W=::= =0'0llrn I ls y la- --"'--'-- - T,"o,oo 3.600
velocidad con que circula el líquido será l' =2 = o'?"t.1
n 0,9 m I s
I ' ,S tt'0,125'
| ^ V.D 0,90.0,1?5=4.500El número de Reynols será R" = , = á,, _,
t-
Con R = 4.500 y i = 0,003 obtenemos el valor de f en el ábaco tlc Mocldy"D
140 Lti:unt l,ti¡tt'z Anclrtts
/l=4.-500 y *=0,00¡ -+ J' =0,0416.DLas pérdidas de carga en la tubería son
LH = f 'v' L_0,0416.0,92 5oo=6.g7m.
2g. D 29.0,125La altura geométrica es H, = p"ndienrc.Z = 0.0075 .500 =3,i5mLaalturamanométrica será H*= Hc+LH =3,75+6,87 =10,62mLa potencia de la bomba deberá ser
o _ jgQH. _ 900' g.0,01 1.10,62
ry 0,78=1.322,31W
N" 2.16.- Mediante las bombas Bl y 82 se impulsa agua der depésito Dr a rosdepósitos D2 y D3.Hallar el caudal que circula por cada tutlería y dibujar acotada lalínea de energía de las tres tuberías.
Bomba1.....H=100-375Q2Bomba2.....H=75-75Q2 H en m. y Q en m3/s
Tubería Diámetro (mm) Lonsitud fm) fI 800 500 0,04a 600 6.000 0,043 600 100 0,044 600 5.000 0"04
I'n¡blcmus la lll¡lrtluln',t lll t4r
Si bien tenemos cuatro tuberías, como el caudal Q¡ es el mismo 9ue Q+, tenemos
tres incógnitas .Planteamos la ecuación de continuidad y las de Bernoulli entre el
depósito 1 y los depósitos 2 y por las tuberías I y 2 y por las tuberías 1, 3 y 4
respectivamente.
Qr=Qr+QrI)0 + 0 + 0 + 11, o uo, =30 + 0+ 0 +AH1 + LH2(2)
0 + 0 + 0 + H u^bot t H ao.boz = 95 + 0 + 0 + L,H, + L,H, + LH 4 (3)
Los coeficientes de las tuberías son 4 - #+=3,30'lO' 'L
r, = 3,30 .10-' . -!9q- = 5.04m l(m' I s)20,800'
r, =3,30.10-' u9^ol
=254.63n1(m3 ls)20,600'
r, = 3,30 lo-j ' - 1oo-
= 4.41m l(mt I s)20,600'
ro =3,30'10_, ^5999. =212.19m l(n' I s)'0,600'
Sustituyendo en (2) y (3) resulta
l0O -37 5Q: = 30 + 5,04ü + 254,63ü
e, = o.oozJlo - ssonaQ: G)
100-315ü +75-75ü =ll2+5,04Q1 +4,41Q: +212,52ü como Qr= Qo
¿ = o,os8ú3 -380.04et' (s)
Sustituyendo (a) V (5) en (1) tendremos
Q, = o,oazfio _zw,uü + 0,058ú3 - 38oP4e),'
Las solución de esta ecuación es Qr = 0,384 m3/s, Qz :0'232 m3/s yQ¡= Q¿ :0,152 m3/s Y Q
Las pérdidas de carga en las tuberías son
l,dtrt l,ó¡nz Andrést42
LH r= r'rgz = 5,04' 0'3842 = 0,74m
A,H ; rr$ = 254,63' 0,2322 = 13,7 0m
LH r= rrQ = 4,41' 0,1 52' = 0,I0m
L,H o= roQf, =212,52'0,1522 = 4,91m
Las alturas de las bornbas son
H¡, = 100-3 7 5Ql =1gg -375'03842 = 44,70m
H sz = 7 5 -7 5ü = 7 5 - 7 s' 0J522 -- 7 3,26m
ComprobaciónZ,rr=Zor+HH-LHrZur=Zor+HH-LHl112,31= ll2
- LH, - 44,'70 - 0,14 -13,70 = 30,26 = 30
- LH, + H 82 - LH 4 = 44,70-0,74 - 0,10 + 73,26 - 4,91 =
143Problemw le llhlt'úulicu lll
N" 2.17.- Para regar dos fincas, una situada en lB cots 22 m y otra en la cota 12
m,segúnlafiguranseimpulsaaguamedianteunabombasituadaenlacota 0 m.Para que los caudales que lleguen a cada finca sean iguales' se
maniobralaválvulaVsituadaenlatuberíaqueconduceelaguaalafinca situada en la cota 12 m'Hallar el caudal que circula por cada tubería y dibujar acotada la
línea de energía de las tres tuberías'
Bomba.....H=40-250Q2 H en m. y Q en m3/s
Tubería Diámetro (mm) Lonsitud lm) n
I 300 500 0.014,, 250 750 0.014
3 250 600 0.014
Como Q2 : Q3 tenemos por ircógnitas Qr, Qz y k, coeficiente de pérdida de
carga que introduce la válvula en la tubería 2'
Las pérdidas de carga en las tuberías son
LH, = ro,3# t, = to,tffi 5oo = 620,51' ü m
L.H . = t 0.3 "',9,; r, =, o,rY!$ 7 50 = 2.46 t.ty' Qi m"" 2 Dl6tt 0,25'"'"
ll
A.H. =10.3n' :9i t, =to,zYL9600 = r .e68,e4.elm'-'- D16/t 0.25'"'
LH,,., ,. = o Qi =J--, oi- =2t,84kelmu"Yátvuta 2g si 29 z2 'o,l25o
t44 Lúntnt l,ópez Andrés
Planteando Bernoulli entre el depósito y la finca 2 tenemos, no teniendo en
cuenta la energla debida a la velocidad,
0 + 0 + 0 +,É1, o.uo = 22 + 0 +0 + Allt + AIl,
y como Q,=Qr+Qr=2Qr=2Q, resulta
40 -250' 4' O: = 22 + 620,51' 4' Q +1'968'94Q
18=5.448,23ü Qr=Qr=0,057m' l s Qr=0,rr4m' l s
PlanteandoBemoullientreeldepósitoylafincal,tenemos,noteniendoencuenta la energía debida a la velocidad,
0 + 0 + 0 + H Bo.bo =12 + 0 + 0 + allr + LH 2 + Mror,,o
40 - 250 . 4 . 0,057 2
= 12 + 620,5 l. 4 . 0,057 2 + 2.461,11 . 0,0 57
2 + 21,84' k' 0,0 572
36,7 5 = 12 + 8,06 +'1 ,99 + 0,07 l' kg,7 =0,071.k -) k=122,53
La pérdida de carga localizada en la válvula es
Lú roru," = 2l'84' k' ü = 2l'84' 122'53' 0'057 2
= 8'69 m
Las pérdidas de carga en las tuberías son
LH, = 62g,51' ü = 620,51' 01142 = 8'06m
NI, = 2.461.17' ü = 2'46'7,1'7' 0,0572 = 7'99m
LH, = l'g8,g4' ü = l'968,94' 0'0572 = 6'40m
La altura manométrica de la bomba es
H = 40-250'ü = 4O-0J142 =36,75m
L línea de energía de las tuberías será
I'roblemas de llkhtlullut lll 145
ComprobaciónZrr=Zor+ HB-LHl-LH,Zor= Zor+ HB - LHr- LH3
- LH 2 = 3 6,7 5 - 8,06 - 8,69 - 7,99 = 12,01 = 12
= 36,J 5- 8.06 - 6.40 = 22,29 = 22
2.18.- En el sistema de depésitos y tuberías de la figura, calcular el valor del
caudal que circula por cada una de ellas en función de la presión del
agua, que se regula con la válvula V, al final de la tubería 3.
Bomba......H:60 - 120 Q2 H en metros y Q en m3/s
rr= 50 m/(m3/s¡2 rz:40 m/(m3/s¡2 r¡:30 m/1m3/s¡2
l4(rl,rfuwt l,tl¡tez Andrés
A)SilaválvulaVestáceffadalapresiónenellaserálamáximaposibleyporlatrrbcrla 3 no circulará caudalalguno, por lo que Qr : Qz y AH3:0
Aplicando el teorema de Bemoulli entre los depósitos Dr y Dz' resultará
2,,., + 0 + 0 * H bo^bo = Z o, *0 + 0 + LH, + L'H t
Zot*Hto to=Zrr,*rrQl +rr$ =50*(rr +rr)ü
60 -r2oü = 50 + (50 + 4o)0,'? lo =210d
Las pérdidas de carga serán L'H, = rrff = 50'0,2182
LHr=rrQ|, =40'0,2182
La altura manométrica de la bomba será
H bo.bo = 60 - l20O: = 60 - 120' 0'2182
la presión en la váhula será
Pv = Z or I H to*to - NI | - LH 3 - Z n = 54'30 - 2'38 -15 = 36'92mca
v
Qr :0,218 m3/s
Qr :0,218 mr/s
Q¡ = 0 m3/s
=2,38m
=1,90m
=54,30m
l'roblcm¿ts ¿le lIldrúullu III
También podríamos resolver esta posición de los caudales planteandode energía del punto I, tanto desde el depósito I como desde el depósito 2.
H, = Z o, * H to^oo - LH, = 60 -12001 - 50q
H,=Zor+LH2=50+405
t47
la altura
Qr=0,0767^[60. H,
Qr=0,158r[n,50Como Q=Q 0,0767$0-H, =0,158
J6o-H, =z,oe.[tl;so60-Hr=4,24(H¡-50) H t = 51,94m
y, consecuentemente, Q, = 0,0761 ",[60 - St,gq = 0,278m' I s
Q, =o,l58.r[51,94-50 = o,2l8m' I s,/
B) Si abrimos un poco la válvula V la bomba continuará impulsando agua hastael depósito y por la tubería 3 circulará agua. La presión en la váhula habrá
disminuido. Por continuidad de caudales tendremos Q, = Q, + Q,
Bomba
t4lt Lti.:t tn t l,t't¡ tt'z A rul ré I
La altura de energía del punto I será
H, = Z r, ! H to^to - LH, = 60 -120ü - 50Q: = 60 -n\q
H,=Zor'*L'Hr=50+40fi
H,=Zr+L+tnr=S+L+30Q]
Por continuidad Q, = Qr. + p, tendremos
Q,=o,o7ffiJao- n,Desde el depósito 2 y desde la válvula V el valor de HI es
Qz =0,158
fPQt=o.ls2lH .(ts+J-)
o,w 67 J6o1 = 0,158ú1, - 5o + 0,182f'^';TDe esta ecuación debemos observar que H¡ tiene que ser menor de 60 (altura
máxima de la bomba para caudal nulo) y mayor que 50 puesto que hemos supuesto que
Q2 avanzahacia el depósito 2. Relativo al término I, ,u valor mayor se producirár
cuando la válvula V esté cerrada, que eS el caso anterior y su valor mínimo, en esta
cctración, se producirá cuando el caudal en la tubería 2 seaceto, situación que veremos
on el punto siguiente.
C) Al abrir más la válvula V aumenta el caudal Q: y disminuye Q2. En un momento este
caudal será nulo y H, = 50m
l
I'roblcnas dr llitlrtlulictt lll
Si H, =59* Qr=0,0767JA0-SO =0,0767./:r0 =0,242m3 ls
como Q¡ :Q3 0,242=o,t*r.F,-f,r*% =g,rrr^Er- "- L=33,23m1l r' 1 r r
D) Si seguimos abriendo la válvula V la presión en la válvula sigue disminuyendo y eldepósito D2 aportará agva a la tubería 3, con lo q)e Qt * Q, = Q,
La allura de energía del punto I será
H, = Zort Hboo,ho- LHr=60-12001 -50ü =60-170Q1
149
Q, =o,o767tFill lt ,
l,ú:urt I.ó¡nz Andrés150
Desde el depósito 2 y desde la válvula V el valor de Hr es
H,=Zrr-LHr=50-40ü Q, = 0,158
H, = z,. +. LH, =ts +!t +30ü Qt =o'182
Por continuidad 8t+ Qt = Q tendremos
De esta ecuación debemos observar que H1 tiene que ser menor de 50 puesto que hemos
supuesto Que Q: avanzahacia la válvula. Relativo al término *, "uvalor será nulo
r
o,o7 67 J6o - H, + o,tsqfi o: a, = 0,182
0,0767 J6o: H, + 0,158\F: ¡1,
El valor de H,debe ser menor de 50
ccuación resulta H t =38,60m con lo que
H, -Qs+&-¡
=0,1g2{H,18m y mayor de l5m. Resolviendo la
cuando la válvula V esté
siguiente.
totalmente abierta, situación que veremos en el punto
E)SilaválvulaestatotalmenteabiertaelvalordeH,loobtendremosdela
ecrtrtción anterior siendo L = 0r
H ,-(15 + --t )
Qt = 0,0767 = o,ol 67 J ñl 38,60 = 0,355m3 I s
Q, = 0J58Jl- H, = 0,158J50 L8,60 = 0,533rn3 /s
Q, = 0,182{u,:s = 0,182.,F8f0 - I s = 0,888n3 / s
1
I
I
AH,
t ,'I,..]{_i
I)roblemas de llklrúulica III
Las pérdidas de carga serán L,H, = rrQ = 50'0,3552 = 6,30m
LH 2 = rrü = 40' 0,5332 = ll,36m
LH, = rrü =30 '0,8882 =23,66m
La altura manométrica de la bomba será
H bo^bo = 60 - l2\0i = 60 - 120' 0'3552 = 44'89m
Comprobaciók Hbo.bo = Zv + LH3 + LHr =15 +23'89 * 6,30 = 44'96 = 44'89m
N" 2.19.- Desde un embalse cuyo nivel de agua supondremos constate en la cota
180 m.s.n.m.n se bombea agua a una balsa de riego cuyo nivel de agua
puede variar entre las cotas 200 y 210 m.s.n.m., mediante una tuberíade 600 mm de diámetro, 400 m de longitud y coeficiente de Manningn= 01013.Hallar la curva característica altura-caudal de la bomba (H=A-BQ2)
sabiendo que cuando se alcanza el nivel máximo en la balsa la bomba
está impuisando un caudal de 0,400 m'/s y que cuando se está en el
nivel mínimo en la balsa la bomba tiene el mismo rendimiento que en
el caso anterior.
Nivel máximo 210m
Nivel mínimo 200m.
I
Aplicamos el teorema de Bemoulli entre la bomba y los puntos I y 2
"o.respo.tdi"ntes a los niveles máximo y mínimo de la balsa de riego.
Bomba-nivel máximo180+0 +0+ H^t=210+ 0+0+A11'
^H, =ry{, = 19,1!ff#q' 4oo = t,lom
H n = 2I0+ 1,70 - 180 = 31,43m
l5t
152 Lú.' rur t l,it¡ te: A rulrtts
[]omba-nivel mínimoI 80 + 0 + 0 + H,2 =200 +0 + 0 + A¡1,
L H. = | 0,3
!'_.?: L _ t 0'3 . 9,0_17'' Q: . 400 = t 0,625 . Ql md'¡l-
Ds,3i 0,65,33
H,,,, =200 +10,625'9j -tto =20 +10,625'ümComo la potencia de la bomba y su rendimiento es el mismo en ambos
resu ltará
p=Q_t!]^ =7Q-:!,, - etH,t=Qr.H., y sustituyendo754t 7542
31,43 .0,400 = Q2(20 +10'625ü) -+ 12'572 = 20 . Q, +10,625'üResolviendo esta ecuación obtenemos Q2 = 01543 mt/s y H-z = 23,13 m
Si representamos curvas H-Q Y n-Q,
casos,
Vemos que la curva H-Q pasa por los puntos A(31,43,0,400) y B(23,13,0,543)por lo que su ecuación la podemos obtener haciendo pasar la curva por esos dos puntos.
31,43 = A-0,4002 B
23,13 = A-0,5432 B
Resolviendo el sistema obtenemos A= 41,21y B : 61,48 por lo que la ecuación
pcclida es H = 41,27 -61'48 Q2
I'n¡l>lunuts de I I ltlt'tlulictt I I I
N. 2.20.- En una instalación industrial situada al nivel del mar, en un momento
determinado una bomba aspira agua a 15" C de un depósito cuyo nivel
está 5,50 m por debajo del eje de la bomba. El caudal aspirado es de
1,2 m3lh y no cavita.En otro momento la misma bomba debe aspirar del mismo depósito
agua a 30. cuyo nivel ha descendido 2150 m respecto de la situación
anterior.Manteniéndose constante el coeficiente de cavitación de la bomba en
ambas situacioneso hallar el caudal que aspira la bomba en la segunda
situación.Tensión del vapor a 15'C......12,7 mm de HgTensión del vapor a 30" C......31,5 mm de Hg
Tog,,at:'= Tasnto" =l'000Kg lm3
El coeficiente de cavitación de una bomba se define como la relación entre las
pérdidas de carga en su interior y su altura manométrica. o sea o = Y u
' Ho,
La pérdida de carga en el interior de la bomba depende de la velocidad de
circulación del agua, lo que se puede expresar como Mu = k!"29para hallar la altura manométrica podemos aplicar el teorema de Bernoulli entre
la superficie del agua y la salida de la bomba.
En el caso que nos ocupa tendremos:
t53
u21" situación Pérdidade cargaen labomba LHu, = l¡-:t-
zg
Tensión del vapor a l5o C'....' 12,7 mmde Hg: 172,62Kglm2
Aplicando el teorema de Bernoulli tendremos
g¡1'' * - *H.,=ho+&+ ?*ryy'2gr¿g
to.33o + H .., = s.so +1j2.62 * rL
1.000 1.000 292 ,.2
H,t = -10.33+ 5-50 + 0'173 +, | = -4.651 *' +-6
El coeficiente de cavitación de una bomba en la situación 1 será
154 l,itnt Ló¡tcz ¡lndrCs
k'iLH,o _ 2go.--H '' -4.657 * rL'29
2" situación Pérdida de carga en la bomba nft u, = ¡ !'29
Tensión del vapor a 30o C.'....31,5 mm de Hg: 428,15Kg1m2
Aplicando el teorema de Bemoulli tendremos
o+Po^ +út*n-.=h^+1, +ú. *¡¡,Y28"Y2g
lo'330 r H..." =8"00 + 428'15 * ,É1.000 1.000 29
H,z = --10.33+ 8,00 + o,azS + r ! = -\902 *, +-2g29El coeficiente de cavitación de una bomba en la situación2 será
LH".o.=4=, H,-
2
K-)o
-4"657 *rÉ' )o
,rik', k'2g-2g
2 ,.2
-4.657+rvl -l.go2+rv'' )o )o
Como q =oz resulta
1,902
4,657
o lo que es 1o mismo
22
-4.657+rI -1.902 *,"' )o )o-6_
-
l -- I
ku, k"1o )oLá
- 4,657 '2s r - 1,902'29 . r
-T---'-
k.ri k k'vl k
4.657'2g -1.e02'2g 4.657 l-902de lo que resulta
-iT:=-.rt: -) ,i = ,: o sea
2vz-,t
o"
O,
v2
vl-+ Qz=Qrlz
y1Como Q, = vz 'S Y Q, = vr 'S resulta
l'roblema.t de' Illdrúulicu lll
Luego Q, = 1,2'0,404 = 0,49mt I h
El caudal pedido es 0,49 m3/h
Estudiar la magnitud y el sentido de circulación de los caudales de las
tuberías l, 2, 3 y 4 del sistema de la figura, cuando el consumo de la
poblacién, que se regula con la válvula v, varía desde cero hasta el
máximo po.ibte. Coeficiente de rozamiento de todas las tuberías f :0'02.Íj--'^.^ ^ñDñ^+órí¡+i^o ¡ra to lrnmhq II: 61 - i RnOf)2 H en m v O en m3/sCurva característica de la bomba H: 61 - 3.800Q' H en m y Q en m
Tubería I 1 3 4
Lonsitud lm) 500 200 500 2.000
Diámetro lmm) 250 1s0 200 300
A medida que el caudal de consr.íno de la población va aumentando desde cero
hasta el caudal máiimo, lo que se consigue abriendo la válvula V, la altura piezométrica
del I va descendiendo, de forma que para un cierto valor de Hr , Y Por lo tanto del
consumo, los depósitos de compensación pasarán de ser alimentados a descargar el
volumen almacenado.De todos los consumos posibles de la población estudiaremos cinco casos de
consumos particulares:A) Consumo cero.
B) Équilibrio de H, con la altura del depósito Dl'C) Compensación del caudal entre depósitos.
D) Equilibrio de H, con la altura del depósito D2.
E) Consumo máximo.
t55
NO
2.21.-
50.00
Bomba
l5ó lll,ttnt l,ól¡cz /ndrét
Los coeficientes de pérdidas de carga por la fórmula dc l)alcy para cada tuberlason
,,={ t,, - 8'oP2o ¿, =\645.10'+tt'g Di z'g D: ' Di
resultandort =847 12 = 4'355 \ =2.584 14 =1.361
A) Consumo cero en la población. Q+ : O m'/s Aplicando el teorema de
Bernoulli entre los depósitos I y 2,y entre los depósitos I y 3 y teniendo en cuenta la
ecuación de continuidad, tendremos:
Zo,+0+0+ Hbo bo=Zo,t 0+0+ A,H,+N{,Zr, + 0 + 0 + Hbo^bo = Zoz *0 + 0 + LH, + L,H,
Qr= Qr+ Q,
Bomba
61 - 3.5000: = 46 + 8a7 Q + nssü$55ü = 15 - 4 .647 Q;2 Qz = 0,01515
61 - 3.s00Qi = s0 + 847 ü + 2.ssaQ
$s4s4U
Qt =0,0196725s4ü =tt-s.847QÍSustituyendo
?, = o,o tstsJts 4.M7Qt +0,01967
$14Á4URelativo al dcprlsikr l)2 y n la tutrcría 2 tendremos
l'roblemas dc llülránliut lll
Q1 = 47 ,31/s Qz = 32,1 lls Qs = 15,2 l/s Q¡ = 0,00 l/s
La alturamanométrica de la bomba será
H bo,bo = 6l - 3'SOOQ: = 6 I - 3'800' 0'04732 = 52'50m
Las pérdidas de carga serán
LH, = 847 ü = 847' 0,04732 = 1,89m
L,H, = n55ü = 4.355' 0,032f = 4,49m
L,H. = 2.554ü = 2'584' 0,01522 = 0,60m
La presión en la váhula V seráP, _.- - L Dt I H to to - LH| - Zv = 52'50 - l'89 - 14 = 36'6lmca
1/t
La alítramanométrica del nudo I será
H, = Zo, * Hto.ro - LH, = 52'50 -I'89 = 50'6lm
H, = Z o, * LH, = 46,00 + 4,49 = 50,49 = 50,61m
H, = Zor* Al1, = 50,00 + 0,60 = 50,60 = 50,61m
B) Equilibrio de Hr con la altura det depósito D3. Si la altura
piezométrica del nudo I es de 50m no circulará agua por la tubería 3 (Q¡ = 0 Us), por lo
que podremos calcular los caudales que circulan por las otras tuberías. Relativo a la
bombay a la tubería 1 tendremos
H, = Z o, * H to-to - LH, = 6l - 3'8000: -847 Q = 59
ll- 4.647Q| = 0 Qr: 48,6 Vs
151
Bomba
t-5Ít l,ú:arc l,(4tcz lnclrés
LI, = Z,r, * A,H, = 46 + 4355ü = 50
El caudal que llega a la población será
Qo=Q.,-Qr=0,0486-0.0303 =0,0183m3 I s Q¿:l8.3Us
La altura manométrica de la bomba será
Hbo.bo = 6l -3.80001 = 6I - 3.800 '0,04862 = 52,02m
Las pérdidas de carga serán
LH, = 841 ü = 847 . 0,0486' = 2,00m
LII, = 4.355ü = 4.355. 0,03032 = 4,00m
LH o = 2.584ü = 2.584 . 0,01822 = 0,85ml,a presión en la váhula V será
p:!- = Z u * H to^to - LH 1 - LH 4 - Zn = 52,02 - 2,00 - 0,85 - 14 = 35,17 mca
4/
La altura manométrica del nudo I será
H, = Zo, * Hto,to - LH, = 52,02 -2,00 = 50,02m
H, = Z o, * AH, = 46,00 +4,00 = 50,00 = 50,02m
H, = Z o, I LH.. = 50,00 + 0,00 = 50,00 = 50,02m
C) Compensación del caudal entre depósitos. Por debajo de 50 m de alturapiezométrica del nudo I, el depósito D3 comienza a desaguar por la tubería 3.
Al depósito D2 continuará entrando agua mientras la cota piezométrica en elnudo I sea superior a 46 m.
Q2 = 30,3 Us
Bomba
l'roblemas de llidrúulicu lll
Habrá un valor intermedio de la cota piezométricalal que el caudal que baja por
gravedad del depósito D3 entra en el depósito 2, o sea qLIe Q2 = Q . Consecuentemente
A será igual a Qo. Para hallar estos caudales aplicaremos Bemoulli entre las
superficies de los depósitos D3 y D2
Z o, +0 +0 = Z oz * 0 + 0 + LH.. + LH,
50 = 46 +2.584ü + $55ü = 6.%9Q: Q2= Q3=24 Vs
La altura piezométrica del nudo I será
H, = Z o, - LH3 = 50 - 2'584' 0'0242 = 48'5lm
H, = Z o, I A'H, = 46 + 4'355' 0,0242 = 48,51m
El caudal que impulsa la bomba será
Ht = zor* Hto.bo- LH, = 6l-3'800Qi -847ü = 48,51
r2,49-4.647Qi =O Qr:Q¿:51'8 Vs
La altura manométrica de la bomba será
Hbo-bo = 6l-3'800Q: = 6l-3'800'0'0518'z = 50'80m
Las pérdidas de carga serán
LH, = 847 ü = 847' 0,05182 = 2,2'7 m
L,H, = n55ü = 4.355' 0,0242 = 2,51m
L,H, = 2.5840: = 2.584' 0,024' = 1,49m
LH o = 2.584ü = 1.361' 0,051 82 = 3,65m
La presión en la válvula V seráp
" - Zo,r Hto.to- LH\ - LH4-z, =50,80-2,27 -3,65-l4=30,88mca1/
La altura manométrica del nudo I será
H, = Z n I H to.to - LH, = 50'8 -2'27 = 48'5tm
H, = Zor'l L'H, = 46,00 +2,51= 48,51 = 48,53m
H, = Z r, - A'H. =50,00 -1,49 = 48'5 I = 48'53m
D) Equilibrio de Hr con la altura del depósito D2. Si la altura piezométrica del
nudo I es de 46m no circulará agua por la tubería 2 (Qr:0,00 l/s), por lo que podremos
calcular los caudales que circulan por las otras tuberías.
159
t60Lázaro l.óPez Andrés
H, = Z o, t H t o^to - LH, = 6l-3's0oQi -847 ü = 46
15-4.647ü =0 Qt = 56,8 Vs
H, = Zor- LH, =50-2'584Q =46 Q¡= 39'3 Vs
Qo=Qr*Qr=0,00568+0'0393=0'0961Q¿=96'1Vs
La altura manométrica de la bomba será
H bo.bo = 6l - 3'800Q: = 6 1 - 3'800' 0'05682 = 48'7 4m
Las pérdidas de carga serán
LHl=847ü = 847'0'0568' =2."73m
L'H, = 2'584ü = 2'584' 0'0393' = 3'99m
L'H o = 2'584ü = l'361' 0'096 12 = 12'57 m
La presión en la váh'ula V será
Pv - Z ot * H to,,to - LH 1 - LH 4 - Zn = 48'7 4 - 2'73 - 12'57 -14 = l9'44mca1/
La altura manométrica del nudo I será
H, = Z o, * H to.to - LII, = 48,7 4 - 2,73 = 46'0lm - 46m
H, = Z o, - LH, =50'00 -3'99 = 46'01 = 46'00m
E)Consumomáximo.Paravaloresdelaalturapiezométrica.denudolmenoresde 46m el depósito D2 comenzará también a vaciarse junto con el depósito D3 y. el
caudal que llega a la poblacion será máximo cuando la presión en ln válvula v sea nula'
Problemas de IIidráullca lll
Por continuidad resulta Qo = Qr+ g+ Q'
Aplicando el teorema de Bernoulli entre la superficie de los depósitos y la
entrada a la población tendremos
o sea
ZDt+0+0 * Hu,to = Zv + 0 + 0 + 414 + 4114
Zor+0 + 0+ = Zv + 0 +0 + LH2+ LH4
z o, + 0 + 0+ = Zv + 0 + 0 + 4113 + 4114
6I- 3.800Q: = t4 + 847 Q? + t s6tü46=14+4355ü+t.36lQ:,50=14+2554ü +1361ü ..\.!
Despejando Qr, Qz Y Q¡ en función de Q4 resulta
Q,=Ol+etJ+l -l.suüQz = o,ol5l5,lzz-tsaPl
Qz =0,01967/:,6-:^:,614
t6t
Sustituyendolen laresolviéndola resultá
ecuación de continuidad resulta una ecuación
Q2:28,0 V. Q. = 53,0 Us Qn = 144,0 l/sQ1 = 63,0 l/s
en Q+ que
162l,ú:tmt LóPez Andrés
La altura manométrica de la bomba será
H bo.bo = 6l -3'800ü = 61 - 3'800' 0'0632 = 45'92m
Las pérdidas de carga serán
LH, = 847 ü = 847' 0'0632 = 3'36m
LH, = $55ü = 4'355' 0'0282 = 3'4lm
LH, =2'554ü =2'584'0'0532 =7'26m
L'Ho=1361ü = 1'361 '0J442 =28'22m
La presión en la válvula V será
17' = z ot * H to.to - LH t - LH 4 - Z, = 45,92 - 3,36 - 28'22 - 14 = 0'3 4 = 0'00mca
1/
La altura manométrica del nudo I será
H, = Zor* Hto'to- LH' = 45'92-3'36 = 42'56m
H' = Z o' - LH' = 46'00 -3'41 = 42'59m
H ' = Zo'- L'H' = 50'OO-7 '26=
42'74
Del estudio realizado se concluye que el consumo de la población puede variar
crrtre 0 y I44llsy q.r. "i
caudal imputádo por la bomba oscila entre 47,2 y 63 Us
En el cuadro ,igrri"nte se visualizanias variaciones del caudal en cada tubería, 1a
altura manométrica de 1] b;b;, la presión en la válvula y ra ahtrapiezométrica del
nudo I en cada una las situaciones calculadas'
P."/v(mca) H'lm)Qr(l/s) O,lVs) O.llls) Oo0ls) Hr.^-r,(m)
A 47.3 32.1 1s.2 0.00 s2.50 36.61 s0.61
18.3 52.02 35.17 s0,00B 48.6 32.1 0.0u
C 5 1.8 24.0 24.0 s 1.8 50,80 30,88 48.53
D 56,8 0.00 39.3 96.1 48.74 19.44 46.00
E 63.0 28,0 s3,0 t44,0 45.92 0,00 42.56
CANALES
ló5I'roblemas de Illdruulicu lll
N' 3.1.- Calcular el ancho de la base y la pendiente de un canal trapezoi.d-"1' $.u
taludl/4,(1H'4V),dehormigón(n=0,012)paratransportarl0m"/sde agua con sección óptima y calado crítico'
Secciónóptima ^=t,
E@*"r"1'= l+
' 'l z-cosd
Calado crítico F:l ,
e' s'(v)c B(Y)
u:arc tag 4:75,96 o
'--@-: /iilffiH,) Sg):r,8r17v2'\z-cos75,96 \2-0'2425Porotraparte,comolasuperficiedelaseccióntrapecialesS(y):y(b+ycotago)
y el ancho del agua en superficie es B(y) :b+2y cotag q, resulta,
l,8ll7y2: (b+0,25y) y b : 1,56Y
B(y): 1,56Y +2Y cotag75,96:2,06Y
Sustituyendo en la ecuación del calado crítico resulta
lo' -r,87173
'y6 = 10,19 20,99 : y5 y : r,2g7 m
C 2,06Y
por lo que el ancho de la base será b : 1,56y :1,56'1,287 =2,00 b = 2'00 m
Para hallar la pendiente aplicamos la fórmula de Manning,
r | (t.zgt\2/re=v.S =!Ri't1,,, .S t0=-j- I a=1] 1'".1,81 l7'1,2872
n 0,012\ 2 )
tL-b I
l = 0'002711m/m
166l,ú.:rmt !,i4tt': rlndrés
Calcularemos en Primer lugar
el ancho de la base (b) del
trapecio Y el calado (V)
neóesario Para transPortar 6
mtls con las condiciones
establecidas.
S : 1,828 Y2 m
y: 1.01 m
S:y(b+ycotago)
b:0,83 m
N.,3.2'.Pnralnpucstnenregadíodeunacxplotrrclónrrgrlcolnscrccibcclencargode construir un .unui de hormigón armado ( n=0,014) con los siguientes
condicionantes :*Pendiente longitudinal : 5 milésimas'*Caudal de diseño: 6 m3/s '*Sección transversal: Trapecio con ángulo de 45o e
hidráulicamente óPtima'
Alcabodeunciertotiempo,porampliacióndelaexplotaciónagrícola'fuepreciso aumentar el caudal a transportar hasta 11 mr/s para lo cual se
construyerondosrnurosverticalesenlosextremosdelaseccióntrapecialconstruida inicialmente'Se Pide:
1. Hallar la energía específica' el calado crítico y-la energía
"rp."in"u crítña cuando tii*fu el caudal de l1 m3/s por el
canal amPliado'Z. ffana'
"i calado conjugado del calado con el que circula el
caudal de 11 m3/s en el canal ampliado'
Rr=/ y=2
I
Como Q=!n'rtJtlz 'Sn
I / v )' '6=-= -l+| (o,oos)'' '1.828''v'
0,014 \ 2 i
Para calcular el ancho de la base sabemos que
1,828. 1,012 = 1,0l(b + 1,01' cotag45)
El ancho del agua en suPerficie es
S .sen45
2 - cos45S - sena
2- cosa
B:b+2ycotagu
t67I'roblantus ¿lc llidrctulic'o Ill
B : 0,83 + 2.1.01 .cotag45 B :2,85 m
1 7r,,r¡,,, =_] .0,52,3.0,005r 'z =3,20m1sComprobación v=-1 .
0,0 14
S = 1,828 '1,012 =1,87 m2
Q=v'S =3,20'1,87 =5,98m3 ls =6,00m3 ls
1.-
Habiendo definido el trapecio del canal inicial, se suben los cajeros y
cuando circulen I I m3/s el calado que alcanzará el agua será:
Como P =!n',1'l''S resulta
n = I s:': o.oo5r '5 = 5,65
sl ]
0,014 Pz',', -' P'','
S = 1,87 +2,85(y -1.0D =2,85Y -1,01m2
P = 0,83 +2t +2(y -1,01) m
¡ ==J4J-=1,43 msen45
P =2y + 1,66 m
-+ 10,33P2 = 55
10,33(2y +1,66)2 = (2,85y - 1,01)5 -+ Y = 10365 m
Comprobación Si y: 1,365 m S :2,88m2 P : 4,39 m Ru:0'656m
L- ' 9.6562r3 '0,0051/' '2,88 =10,98 = 1l m3/sresulta Q= g,ot+ -'
Con los valores obtenidos ya podemos calcular lo solicitado:
l6tt l,ú:.ttnt Ló¡tt: /ndrés
linerr¡fa especlflca
Calado críticon2 _(2,85.y"-1,0r)3c 2,85
- 1,01)3 y" = 1050 m
7
H^=v+v)q
u=g=-ll =3.tll9 rrr/ss 2.8tt
Ho=1,365+ff=z,to Hs = 2'10 m
Q, =5,(,)c B(v)
35,15 = (2,85' y"
Seccióncrítica S"=2,85' y"-1,01=2,85'1,50-1,01 =3,26 n?
Vclocidad crítica ," = += + = 3,36 m/ss" 3,26
2 -..2f increíaespecíficacrítica Hn" = !-"+5 = f.SO+ip H = 2,08 mu( )o )o
(\tmprobación F =# y*=+=#=1,149 m
,=ffi=,Otra forma de calcula¡ el calado crítico
=y+
ul calado crítico será el valor dey que cumpla olo
=0 ' Derivando se obtienedy
,, _, _6]7 . (2,85y -1,0J): 2,85' 2 (2,g5y_1,01)3 = 35,15
(2,85y - l.0l)"
2.- Cala<Jo conjueado IIu = y - *gT,
6,17
29.(2,85y - 1,01)'z (2,85y - 1,01)2
tf
Y" = 1150 m
I'nhlemtts dc Ilklt'¡lullu lll
I l22]0=v+-L'tv - !' 29.(2,85y-l,ott41,20. (2,85y- 1,01)2 =19,62' y' (2,85y -1,01)2 +l12 ]conjugatlo = 1,60 m
N" 3.3.- Por un canal de sección rectangular de 6m de ancho circula un caudal
de 54 m3/s de agua con un calado de 3 m.
calcular : 1.-Si en la solera del canal se produce una elevación de
de 0,30 m, ¿ qué calado tendrá el agua en la sobre-
elevación?2.-Si la sobre-elevación de la solera fuera de 0,60 m, ¿será
necesario ensanchar el canal para que siga circulandoel mismo caudal? Si así fuese, ¿cuánto habría que
ampliar el ancho del canal? ¿Cuát sería el calado con
el que circularía el agua con el canal ensanchado?
3.-Si se produce en la solera un escalón (hacia abajo) de
0,50 m, ¿cuál será el calado aguas abajo del escalón?
t(f)
o54y=2-=--JmlSs 6.3
v3F = -L = -+ = 0,55 Régimen lento
Js'v J3'g
La elevación crítica de la solera, h", es h" = U -1r"2¡2
Elvalordeenergía es H = 4+ y,+*=0+3+; =3.46m H:3,46 m
?
Y la elevación crítica h. =3,46-:'2,02=0,43m2
V.=2102 m
h":0143 m
t_ on.' i
170 Ltfunrt l,ó¡sez lnclrés
l.-Como estamos en régimen lento (lf=0,55) y ln e levucióll clc la solera es menorque la crftica, la superficie del agua desciende en la elevación.
Llnea de energfa
La energía en la sección I es 11, =3,46m y en
como ambas son iguales, resulta
2
la sección 2 es Hr= hr+ yr+L)o
3,46=0,3+yr+;#.)/, ; 3,16=rr*T -) y2:1,66m
2.-Como ahora la altura de elevación de la solera es mayor que la crítica, parar¡trc circule el mismo caudal es necesario aumentar el ancho.
Llnea de energíaf--i
bz
t,a
llt
energía en Ia sección I,Q,
=h+v.+v'=11 ¡y.¡-'" " 2g '- "' 2gsl
Planta
eS H, =3,46m y en la
y como ambas son iguales, resulta
I'roblem¿ts de llldrúullut lll t7t
3-46=0.60+ r.* 541^ ,=0,60+ v,+YP-)-- r' 2g.b'.yl b'.y;
El mínimo ancho necesario será el obtenido como
^, db 148,62(2'2,86Yr-3Yi -^_----------------_ 'dy (2,86yi - fi'
2' 2,86Y, - 3Y1 = 0 --> Y, = 1,90m
,2 148,62n =--+b=6^55m- 2,86.1,90' .1,90'
El calado del agua en la elevación es y2: 1190 m y el ancho necesario b : 6'55 m
Otro método Q = vr' Y, '4 = rr' lz'bz = 54
,2 148,62u ---_-_=2,86y1- yl
db_=0ú
2
H =h+y+v2' )o
t,=!n =?.2,86=t,9om
2v^
3.46 =0.6* v. *¿)o
,,=,lln={,c,oÁ--
54 = 4,32'1,90 'b2
3.-Calado aeuas abajo del escalón
Yz = 1,90 m
vz= 4,32 m
bz:6'55 m
Hot=3,46m
H o, =3,46 + 0,50 =3,96m
2
-3-96 = r'. + '; = 1'. + 51 .
'z ' 2g 'z ' 2g.e' 'yi
3,96 = y, *4'113 - yu :3,65 m.v;
yr=3,00m
sección 2 es
yz=3,65m
t72 l,ú:tutt l,ó¡tcz A ndrés
N' 3.4.- Calcular el resalto hidráulico quc sc produco nguns abajo de lacompuerta de la figura, si la velocidad de llegada del ogua a la compuertaes de 0r7 m/s con un calado de 3,50 m y se desarrolla en un canalrectangular.
La energía se mantiene constante entre las secciones (0) V (1)
H^ = v^ + É = 3.5 *o'7' = 3-52m)o ' )o-ó -6
H, = ,. +'l)o-ó
Como vo.lo=\.h resulta 0,7.3,50=vt. lt
Strstituyendo H,= !,-!4Í=.y +g+¿g Y, Yi
(1)
0.30<\,r=lt +L Jtt '
vi
(0)
)L\o sea, vl =::-:
!t
Como H, = H, Yr: 0,309 m
Por continuidad obtendremos v1
O = vuso = v,S, -+ volo =vtIt 4 ,, =W= +^$ =7,93m v¡ = 7,93 m/s' ! t 0'309
Ul valor del número de Froude en la sección I será
I,'t = Fr= = 4,55vlÍ-
r/fll,
'7,93--_{0.30eg
lintro los puntos I y 2 sc prodtrcc un rcsalto, cuyo calado conjugado scrá
l'roblemtts de lllclrúullro lll 173
f =+Ut-.rf -l v'=+t,:oe(',[*t'+¡r _t)=\s+* Yz:1,84 m
La longitud del resalto será
L = 6(Y, - Yr)= 6(1,84 - 0,309) =9,19*
La pérdida de energía del resalto será
6¡7 =(Yr- Y,)' - 0,s+-o'3oq)-' =r,58m4yry, 4'1,84'0,309
Se trata de un resalto estable en su límite inferior.
N' 3.5.-
El caudal que se vierle sobre una pared delgada es Q = b 1J,f 'Coht't3'
donde Ca =0,611+o,olsL, sustituyendo resulta :
w
lo = 8. ?^lrr'(0,61 I + o,o7s * L)' h'''Jw
l0 = 23,6237. (0,61 1 + 0,01 5 L)' h'''w
teniendo en cuenta que h+w: 3, se procede por aproximaciones sucesivas
En un canal rectangular de 8 m de ancho se desea instalar un
vertedero de pared delgada para obtener un calado-, aguas arriba del
mismo de 3,00 m. Si el caudal de disefo es de 10 m3/s, hallar la alturadel vertedero.
L=9,18m
AH:1,58 m
1,00
0,600,800,780,76
2;002,402,20) )')))L
0,62970,63830,63730,6364
6,9110,7910,37
9,96
h:0,76 mw=2,24m
174 l,úxurt López Andrés
N'3.6.- En un determinado punto de un ctnll rochngulnr dc 8,00 m de ancho
se ha colocado una compuerta plann, delgadn, dc 2,50 m de alturan de
forma que ha dejado una apertura inferior de 0,50 m. Si el calado
aguas arriba de la compuerta es de 4,00 m' hallar el caudal que circulapor el canal.
La altura del agua sobre lacompuerta será de 1,00 m.
Parte del flujo de agua que llegapor el canal pasará por encima do
la compuerta y parte por debajode ella. Supongamos que existaun plano de agua a la altura 'oytt
que separa los dos flujos, es decir,que el caudal de agua que llegapor encima de esa altura vierte
sobre la compuerta y que el que llega por debajo de esa altura pasa por debajo de la
cornpuerta, o sea, que de la cota "y" hacia arriba el flujo se comporta como un
¡rliviadero de pared delgada y por debajo de ella, como un desagüe bajo compuerta.
Como estamos en régimen uniforme, la velocidad de aproximación del agua es
lir misma para las dos formas de desagüe y tenemos :
y+w+h=4 como h=l-->!'lw=3-+w=3-!
El caudal que llega desde el plano "y" hacia arriba será :
Q=8'(4- y)'vo
y será igual al caudal vertido sobre la pared :
o = s lc,Jk . h3/' es decir G - v)' uo =lco,[-zgt'''
osea,v1 4c2.t329 9@- v)'
como ü=l,resulta:
yo +L¿_=_ (l)2s e(4 - y)'siendo Ca = 0,61t+ O,O75L
w
175I'roblemas dc llldrhillcu Ill
Para calcular el desagüe bajo la compuerta aplicamos el teorema de Bernoulli y
la ecuación ¿e corrtinuiJaá""nt ""tu
superficie libre de aguas arriba y la sección de
máxima contracción cuya altura es 4 = C ".
0,5 = 0,61 1' 0,5 = 0,305m
2.2h,++=4+lt"2929
como vo' ! -- h 'vt
t * !p-= 0.305 + -É'2g29
,,= uo ' oá5 =3,28'vo'!
resulta
sustituyendo
o sea
L*ú-=3.6e529 29
! (z.zg' y' ri - t',1 = É lto,l s r' - l) = 3,6952<v zg
v'o _ l,ag! e\29 10,75y' -ligualando las ecuaciones (1) y (2) obtenemos el valor de" y"'
Vamos a calcularlo por aproximaciones sucesivas'
Teniendoencuenta que Co=0,611 +o'075L yque w=3-yw
Resulta
2
!9-ovr¡6o)o
0,0520,0790,0730,070
Para y :2,22 m resulta igual el valor de vo para el desagüe
delgada que para el desagüe bajo la compuerta'
Consecuentemente $=O,O'Jvo = l,17ml s
Qverredero = 8(4 - y)' vo = 8(4 - 2'22) 'l'17 = I6'66m3 I s
O, ' ... ......,..=8'Vo' y=8'1,17'2,22=20"78m3 IsYbIo c(tnPltll't
2,00 I2,30 1
))5 I') )') 1
1,oo 0,686
0,70 0,718
0,75 0,7110,78 0,701
Éottoio)q
0,0880,0660,0690,071
sobre la pared
C¿
176 l,ú:aro LrSpoz Andrét
Onrut = Qr"r,",t"rn + Qhub."nrpu"rtn = I 6 166 + 20,'l tl = 37 .44 ntt I s
(lomprobación:
NU
Qvertedero=u ?J* co'h''' =r ?J* '0,0701 'l'/3 =16,70m3 ls
Qbo¡o."o^pu",tn - B' vt' c "'
b = 8' 3,28' l,l7' 2,22' 0,6 I 1' 0,5 = 20,82m3 I s
3.7.- En un canal rectangular de 3 m de ancho se coloca una placa delgadade 0190 m de altura, que deja una apertura de 0110 m sobre la soleradel canal.Si entre esta y la placa desagua un caudal de 0190 m'/s de agua,calcular el calado del agua en el canal y el caudal que transporta.
Desagüe bajo compuerta:
Q=B.b.co.,!l{om'/sCo =0,611
0,9 =3.0,1 .0,61l.
yo =1,23m
h=lo-(0,9+0,1)h =0,23m
Desagüe sobre la pared delgada:
a_Q = a'ico^l2g'h'''m' ls
J
C¿ = 0.611+ g,úSL= 0,6 t I = 0.075 0'?3
= 0.628-wl
e = 3. ;. 0,628,,129 . 0,23,,, = o.60mt I s
El caudal que transporta el canal será Q=0,90+0,60=1,50m3 ls
l'roblemas de Illth'úullut lll 177
N' 3.8.-
En el problema tenemos cuatro incógnitas, Qt, Qz, hr y hz.
El caudal que pasa por el orificio es igual al caudal que se vierte
segundo vertedero.
Por continuidad Q + Q, =1,20
Por el funcionamiento de los vertederos:
Qt = 1,805'133' ütt = 2,405ü''
Dos vertederos de pared delgada, de 1133 m de ancho, están
conectados, según la figura, por un orificio circular de 0'50 m de
diámetro y C¿:0,6 . Si por la parte inferior de uno de ellos una
tubería introduce un caudal de 1120 mr/s de agua, hallar que caudal se
vierte por cada uno de ellos.
sobre el
e, = Co. S . J2g . J N, = 0,6. 0,252' n. J2g @
Qr=o,522Jo,lo+4-h
Sustituyendo 1,20 =2,405(ü'' + ü'') (1)
2,405.t1/2 =9,522r[g¡¡ 4* 4 (2)
h = (+ - üt3)2/3 y sustituyendo en (2)' '2,405
2,40s' ü, = o,s22lo,t + {J?'!- - 4'''¡'''f'''
La solución de esta ecuación, resuelta
hz=0,256m y h, será l\=(*-0,256't2)2t3' '2,405
Con estas alturas de lámina sobre los vertederos, los caudales serán:
et =2,405.0,5153/2 =0,88tm3 I s Qr = 0n888 m3/s
Qz=2,405'0,2563t' =0,312m3 / s Qz=0,312 m3/s
Hallar la máxima pendiente, en función del caudal unitario "Qn'o que
debe tener un canal de ancho infinito y coeficiente de Manning "n",para que el agua, al circular por é1, lo haga siempre en régimen lento.
p = B'YB +2y
por aproximaciones sucesivas,
=0,515m
N" 3.9.-
"ry@*M.ry-
Qz = 1,805' 133' üt 2
= 2,405ü t 2
Como el caudal Q2 pasa por el orificio resulta:
Lázaro López Andrlt
3. MM.ryP'.'
Problemae ú Hl&áultaa lll t79
Si B1*
Por Manning
v
t*2- 'B
nr=ti^,-*fh= lim,--
t=# (1)
El caudal unitario que circula por el canal será q m3ls/m
El límite del régimen lento lo define F =l
q=v'Y -+ v=Lv
F =-L=l^ls'
Y
"ct-) v'=g'! -) 'Z=g'Y+ q2=g'Y3v
De (1) O sea, y = g-l ' nt sustituyendo en (1) resulta
.q' | " q' , Q'
' = n'T' r^ = n''fu = n''l#i"' - n2' s'o!e' q-2ie
En un canal de ancho infinito por el que circula un caudal unitario q m'/s/- y de
coeficiente de Manning n, la mayor péndiente que puede tener para que el caudal circule
en régimen lento es
I =n, . rriiv , n¿lsmlm
N" 3.10.- Hallar la máxima pendiente que debe tener un canal rectangular de 6
m de ancho y n = 01015, para que cualquiera que sea el valor del
caudal que circulase por é1, lo haga siempre en régimen lento'
S =6.yP =6+2vS'6v 3vP -==--=--:--'h P 6+2y 3+ y
S=B.y P=B+2!
I80 I.ú:uro l,ópez Andrés
Por Manning v- l Pzrt¡trzn
El lfmite del régimen lento viene definido por F = 1
, n' ,v' nz .v7 n' ,v'73 + y)o't- =......................_=........,.........'........-=-- - Rlrt (,|b)0" 3art ' rtr3
Si F=l F=
Sustituyendo
v
lcY-l -+ v2 =g.l
I =n2.n.r.(3Iño') =n':,F .Q*l)''o' 6 r 34t3 . y4t3 34/3 y1/3
Elevando al cubo
,r-nu'E Q+Do,- ! ,Para hallar el mayor valor de I derivaremos respecto de y, puesto que el caudal que
puede circular depende de y,
.,dI nu. g' 4y(3+y)' -(3+ y)'-- dY 34 Y'
lil nráximo valor de I será cundo 4 = 0. o r"udy
4y(3+y)'-(3+y)o =0ay-Q+.y)=0 -) 3y=3
Sustituyendo ¡ =!1 =0,'75 m3+1
t =n'' F,: r - o'0152'9?-81'1 -Ri'o 0,'754t3 '0'0032m1m
l,a máxima pendiente será I :0,0032 m/m
-) Y=lm
N" 3.1 I .- Hallar el caudal que circula por un canal de gran anchura y n : 0'012si se produce un resalto estricto en la sección en que pasa de unapendiente de 0,006 m/m a otra de 0,0006 m/m.
Problemas de flltlráulk'u lll l8l
por el canal de gran anchura circulará un caudal de q m3/s/m, o sea un caudal
unitario de q m3/s por cada metro de ancho'
Corno el canal es de gran anchura, su radio hidráulico será:
R, = l:*, u--P = l^ r-*J Z, = !B
La velocidad del agua en cada tramo será:-r;,, ='J
1, . nl1' ,, ='l !--^' .
^i;t"ln--hL'n
Como el caudal que circula es el mismo por ambos tramos' resulta:
Q=\'Yt=12'lz
$ ,t'''v,=+'v3'''v, -+ vi'''^[l=Y;'' "rll
=@=.,/r¡.,/o,oooo
o sea, (!2¡5/3 =!t
lt2-t -+ z=!(2'
-) Y'=(úo)"t -2 --> yz:2yth
-l --> 4= -1 -) F12= 3
L=0.0006 m/m
Ji,E
Como se produce un resalto estricto
' '':_ -+ 3='íSustituyendo 4=-+tlg'Y, g'lt
I + 8.f'?
como r,=4.fi'' resulta 3' g' yr=L' yf't
ú =3'g'v,
t82 Lázaro López Andrés
,,,, _3.g_.n' =t,t^.2!:r' =0,706_)y¡=0,35 mIt 0,006
con lo que q = yl'' 'JI =0,35"'fi0,0=6 =U2m3 ls' n 0,0t2
Comprobación: lz = 2h = 2.0,35 = 0,70m
q = y:,, .,[, =0,70,,3 44F =Lt2m3 /s- n 0,012
N' 3.12.- un canal rectangular de 4 m de ancho y n = 0,012, presenta un primertramo de pendiente fuerte y un segundo tramo de pendiente suave.si en la unión de ambos tramos se produce un resalto estrictoo elcaudal que circula es de 12 m3/s y h fendiente del segundo tramo esde 0,0012 m/m, hallar la pendiente del primer tramo.
q : 1,12 m3/s
l"=0.0012 mlm
51 :4 y1 m2 P¡ 4+2y1 m
32:4 yz m2 P2:4+2y2 m
Vamos a calcular ol calado en el segundo tramo, por Manning, tenemos
.-*¡.E-@@Rár
Problemas d¿ Hldráullea lll 183
t=:$.@-')
n = :(Z)" ¡''' s, = + # t, = + #Sr.=4!, Pr=4+2Y,
t=ffiHy*,t*ffi2,24s(z+ yr)2 = y)
La solución de esta ecuación es yz = 2005 mConsecuentemente en el tramo segundo tendremos los siguientes parámefos
u^=9= 12 =l,46mls' s, 4.2,05
v^ l-46r- =-Z' ,lsv, .,12,059
s^ 4.2.05P,,.-2=4=7,01mn ¿ P2 4+2.2,05
Al formarse un resalto estricto la relación entre los calados es
#=f-ffi;s{Jrr -r) y1= 0,37 m
Consecuentemente en el tramo primero tendremos los siguientes parámetros
u, =9= 12 =8,llmls' ,s, 4'0,37
F.=-L=g =4.251' 'lsYt ',lo'37 g
s. 4.0.37R-, =a=-4=0,31mnt n 4+2.0137
/
Por la fórmula de Manning17
12 = {'t .o Jf'i .(4.0,31)0,012
Comprobación
Q = byrv, = b! zv z = 4' 0,37' 8,lI = 4' 2,05' 1,46 = l2m3 I s
Podemos calcular Y, en función de Y.'
!=iff.** -r.' h=i(re"* -', !z=2,05m
Ir = 0,0451 m/m
tE4
No 3.13.- Hallar entre que valores debe oscllar el caud¡l que circula por
canal rectangular de 8 m de ancho, n=0,020 y seis milésimaspendiente para que lo haga en régimen lento'
El límite del régimen rápido/lento lo catactetizaF : I
En el límite f = ffi =t --> v' = g'Y
La velocidad del agua en el canal es, según Manning: ' =!4't"'tn
Ennuestrocanaltenemos'S=8ym2, P =8+4y m R, =L ^4+y
unde
z4,004,404,414,505,006,007,007,507,568,00
w0,004,374,404,625,506,547,205,527,557,78
sustituyendo " = #(#)"' Jo* = r,rr r(fi)"
s. y = vz =lr,ur(f1)'''l' -,
(4+ y)o =915,266'Y
Hacemos los cambios
-)
z=4+y y
v0,000,400,410,501,002,003,003,503,564,00
Por aproximaciones obtenemos yr = 0,41 m Y Yz:3'56 m
0,2797 'y'(4+ yY =@'Y)
(y + 4) = 5,50' Y''o
w = 5,50. yt'o
l,ázaro López Andrés
Como Q=v.S: r=JÑo S=B'y, resulta Q=B'y'Gl conloque
r85Problenas de Hldráullca Ill
para caudales menores de 6158 m3/s, que implican calados menores que 0,41 m
y paracaudales *uyor", que 169pí -t/s, qt'é implican calados mayores de 3'56 m' el
agua circula en régimen lento.Para valores intermedios el régimen será rápido. Para los calados Yr e Yz el
régimen será crítico como podemos comprobar
_.@=,@_=o.4rmt r,= 'l ra, = \l; *
- v,+ L,t
,, =,@=r@-=8.5 mB.Yc2-\s, - 1 g.8,
N"3.14.-l.-Hallarlamáximapendientequedebeteneruncanaldesecciónrectangular de 7 m de ancho y n = 0n014n para que' cualquiera que se1
el caudal que circule por éln io haga siempre en résimen lento. ¿cuálserá el número de Fiaude del agua cuando por el canal circula su
caudal de diseño?2.- Si por ese canal circulase un caudal de 25 m3/s de agua y se vertiese
directamenteaunembalsecuyoniveldeaguaestuvieseacincometrospordebajodelasoleradelcanalr(osearformandounacascada)'¿cuálserá el calado del agua del canal en su última sección?
er=g.yr."[C.l=8.0,41 =6,58m31s
Q, =8'Yr'rfc'l = 8'3,56' =L68,3Lm3 ls
7m
1.-
Sección S =7 'y Perímetro P =7 +2'! Radio hidráulico R, = 7 '17 +2'y
g'3,56
I8ó l.rl:tnt López Andrés
Por Manning ,=!Rl'I''' -+ , =# (l)
El lfmite del régimen lento está definido por el número de Froude F < 1
Si F <l -) F = JC.y-L
-+ v2 = g'!
Sustituyendo en (1)
, _ n' .g-y _ n' .g .(7 +2. y)a/3 ,.,,t-
J'Y \4,3 '
,trt ttt
r, *-tPara hallar la máxima pendiente derivamos respecto de y:
/¿,dr
-n2 r lin +2.y)''' .2'y''' -Jtt * zy)o'' .y-''')dY-1's- l ll./
ff=o -+ \t"''(t *2v)''' -!r, .2v)o'' v-''' = 0 -+ 6v =7 -+ :1,166 m
R,,= 7'! - 7'1,166 =o.g75m" 7+2'y 7+2'l.166
, =0'0'!'--ti)'tu6 =0,00268mrm I=0.00268 m/m0-875"',',
El radio hidráulico será
Sustituyendo en (l)
Si por el canal circula el caudal de diseño, su calado deberá ser la mitad de su
ancho y el radio hidráulico la mitad de su calado, o sea y =3,50m y Rn =1,75mLa velocidad de circulación de agua será
u= 1 .1.J52'3.0.00268r'2 =5.37m1s0,014
El número de Fraude será .F =-+ =$=O.OS^l s'v ./g'3,50
El caudal de diseño será
Q=v'S =5,37.7.3,50= 13I,56m3 I s Q:131,56 m3/s
187Problemas de Illdráullcu III
to
El calado en la última sección de canal será el calado crítico
y"=1r09 m
N" 3.15.- Sobre la superficie del agua de un canal rectangular de 8 m de ancho
se deja.u"ioou pequeña piedra y se ha observ-ado que se produce una
pertrirbación que taraa eo re"or."r 25 s una distancia de 150 m en el
sentido del movimiento del agua y 37,5 s la misma distancia en sentido
contario. Hallar el caudal que circula por el canal'
La piedra produce sobre la superficie del agua una perturbación que se traslada
sobre ella a una velocid ad c = "l g-' y mls, siendo y la profirndidad del agua en el canal'
Si la velocidad del agua en el canal es v m/s, tendremos:
l50mc+Y=--Om/S25s
150mc_v=__4mlS37,5s
-)
-)
c*v=6
c-v=4
c=5m/s
v=1m/s
y=2155m
NO
Como c =r[c.y resulta S=tfs.y -)
El caudal será Q= S 'v =8'2,55'1=20,40m37s Q = 20,40 m3/s
3.16.- En un canal rectangular de 8 m de ancho se instala una compuerta
que se mantiene parcialmente abierta' Aguas arriba y aguas debajo de
e'lla, a cierta distancia en las que las líneas de corriente se consideran
rectas, los calados del agua en el canal son yl metros aguas arriba de
ella e yz =/"yt metros aguas debajo de la misma'
Demostrar que los flujoi son lentos y rápidos respectivamente en cada
uno de los lados de la comPuerta'
188 Lázaro l,ópez Andrés
Sabemosque n=)t,-. tr=+Porcontinuidad B' h'\= B' !2.'vz -+ lt'rt= !r.'v, (l)
Los números de Froude, antes y después de la compuerta son:
=,t(tr)'=o:(+)'
t+Ln'=l*l.lf: -+2', 2 22'
t2¡2.r,tvtlz,llzv2
- 2 g'y, h 2 yt g'y,
,,=ffi - ur=Frrp.l, y Fr=ffi, 4 vz=Fr^@y,
Sustituyendo en (1) resulta:
y,.Fr"lli =y,.FrJs), -+ ú'n' =y1.F22
o 1o que es lo mismo Frt -+ 84'= r] Q)
Si aplicamos el teorema de Bemoulli entre las secciones I y 2, tendremos:
#v?v.+ ' =v^lL)o lo
Esta última ecuación se puede expresar en función de los números de Froude
2+2Fr2 = Frt (3)
Entre las ecuaciones (Z) V (3) podemos calcular F, y F, resultando
F,=+=0,577 ,==+=1,633
O sea, hemoshallado los valores d* 4 y F, ,que no dependenni de y, nidey,y al ser .f menor que la unidad y F, mayor que la unidad, podemos concluir que el flujo
es lento aguas arriba de la compuerta y rapido aguas debajo de ella, con independencia de
los calados, siempre que el de aguas arriba sea el doble que el de aguas abajo.
r89Problemas de Hldráulica III
N" 3.17.- Un canal construido con hormigón armado (n = 0n016)' de secclón
rectangular de 3 m de ancho y 2m de altura de cajeros, tiene tres
tramos de gran longitud de pendientes 11 = 5,53 m/Km' Iz = 11'00
m/Km el3=2r77 m/Km'Hallar el tipo de resalto (suponiendo que se produzca) y la energía
disipada en la unión de los tramos 2o y 3on si por el canal discurre el
máximocaudalquepuedecircularenrégimenlentoporeltramolo.
Calculamos en primer lugar el caudal que circula por el-canal' que será
máximo que pueda circular por él en régimen lento. Para ello tendremos en cuenta
definición de régimen lento y la formula de Manning'
Régimen lento f, = -pS l, en el límite F = I -+ 't = g'y,l8' lt
= #(hl"' (''"' I o-' ) " = o'uor(#u)
ella
Por Manning
,r=LI4f,'Ir'''n
O sea, :4/3I^\
vl =4,648'l:+1 =r'r, -> 864,835y,=Q+2v.,1(l) -+ v1=1,50m' \J+¿!t)El máximo calado que puede alcanzar el agua en ese canal en régimen lento es
y, : Ll *.Las solucion"r ¿. iu ecuación (l) mayores de 2 novaldrán porque el
.uttut ," desbordará al sobrepasar el agua la altura de sus cajeros'
Et radio hidráutico será Rr, =;#h =0,75m y ta vetocidad del agua
,, = -),0,7sr,,(s,s:'. lo-'l'' =3,836m I s' 0,016
Comprobaciónv? = g. lt = g'1,50 =14,71 4 vr = 3,836m1 s
El caudal que circula por el canal será Q = 3,00'1,50'3,836 = I7 '26m3
I s
Para calcular el tipo de resalto tenemos que calcular el calado, la velocidad y el
número de Froude "n "l t u-o segundo de canal cuando por él circula el caudal
calculado de 17,26 m3 ls.
190 Lúzaro l,ópez Andrés
Fr: 0.67
Comprobación Q =3.1,95'2,94 =|J,20m3 I s =17,26m3 I s
El régimen ha pasado de rápido en el tramo 2" a Iento en le tramo 3o por lo quese ha producido un resalto, cuyo calado sería:
Por Manning Q=vr. Sr=)n'irtt)''Sr=jffit'r''
18,30(3 +2yr)t =(3yr)' -+(3+ 2yr.)' =13,28ys, -+ yz=l,16m
La velocidad y el número de Froude en el tramo 2o será:
r ( 3.1.16 )"'v,==i-l+ I JOpn =4,94m1s v2=4,94mls' 0,016\3+2,1,16 )va 4,94F.-- =-- =1.-16'
,l S.y, .i l,16.gF2= 1146
Comprobación Q =3.1,16. 4,94 =17,19m3 I s =17,26m3 I s
Para que se produzca un resalto en el tramo 3o debe haber régimen lento.(lulculamos para saberlo y t, vs y Fs
Q=vr'sr=L Pt;;r;'tr,n
1j.26= I (¡¿)"'== ^11.0277 =3.2g
(3yr)'''.- 0.016 (3+2y)" ' (3+2y.)'''
144,46(3 +2yr)' = (3yr)t -+ (3 + 2yr)t =l,68yl -+ y¡ = 1.95 m
La velocidad y el número de Fraude en el tramo tercero serán:
I f.+L)''' ,[-rorr, =2.e4mts v3:2,e4mtti = ooro\: +2.l,gs ) '
- v, 2.94f'r=-ft=---0,67' "l s'y' "t1,95'
g
vlllz 2' -r) --+ yi =L;la{l+8F, l+8.1,462 -l)=1,89m
Problemas de llldráullca lll l9l
Como y, = yi el resalto es estricto. (Si consideramos y3 < y] serfa resalto
ahogado.
La energiadisipada en el resalto es E = y'Q='{ cv
75
¡17 =(y,- y,)'
= (1,t1;t,l9)j
=op44m4y.y, 4 '1,89 '1,16
E _1000.17,26.0,044 =lL,2lCV E:10,21CV75
=0,044m
N. 3.18.- Por un vertedero de perfil estricto, de 6 m de ancho, se vierte un
caudal de agua 9 m3/s que entra en un canal rectangular, también de 6
m de ancho, de pendiente 0,001 m/m y n = 0,012 con un calado de 0'30
m.Estudiar si se formará un resalto hidráulico y, en caso positivo'
calcular el calado conjugado aguas abajo, el tipo de resalto y la
energía disiPada.
¿eué pendiente debería tener el canal para que se formase un resalto
estricto?
Comprobación L,H =lzt6
La velocidad de llegada del agua
Froude Ft=-L =-=- =2,9. Al' 4 s' v,
^/o': 'g
es vl = 9- =:- = 5,00m I s Y el número de' sr 6.0,3
ser ,F¡ mayor que la unidad, el agua llega en
l,l6t6
régimen rápido.
El calado del agua en el canal será, por la fórmula de Manning,
Q = u "-.,'
s ..-, = ! *:,1:*,1'/.1^' s **,n
g = I . . -(6y,.,",)'':- -.0,001,,, .(6y,",,,)
0,012 \6+2y"o,ot)'''
(3 * y ".,",)'
= 48,77 yl"*, --) Ycanal : 0,78,m
3
192 Lclmro López Andrés
La velocidad en el canal seÍá v"o,ot =#^=1,92m I s y el número de Froude
en el canal F.","t ='$ = 0,69 ,valor que se colresponde con un régimen lento.
'!0'78'g
Como el flujo ha pasado régimen rápido a régimen lento, se ha formado un
resalto hidráulico cuyo calado debería ser, en el caso de ser un resalto estricto:
?=;Ur;r* -l - h=+ktt;tts' -t)=t,ze* v2:1,0e m
Como el calado conjugado estricto es menor que el calado del agua en el canal,
estamos en el caso de resalto rechazado.
l=0.001 m/m
La pérdida de carga del resalto es ¡¡7 =(yr.- y,)' - (l'09-oJo)r
=o'Bm4yry, 4'1,09'0,30
Comprobación
Punto I yr : 0,30m rr=9 =:- =5,00m1 s' sr 6.0,32 12
E, = y, +-Y'- = 0J0 + j- = 1,57m)o )o-ó -o
Punto 2 yz : 1,09 m ur=9= =
?;;=l37ml s' ^s2 6.1'092 1772
E^ = v.+r' =1.09+ t'"
=l.l\m-¿ ¿2 29 29
LE = Et- Ez =0,38m
La energía disipada es N = ' O=F- - 1000
-2'0'3 8
= 45,60cv75 75
193
La pendiente del canal para que el resalto sea estricto será la que haga que el
calado del agua en él sea el calado estricto Yz: 1,09 m y será
e = v. s = ! Rf r,,,s= #[##h)"' i,,,10. r,oo)
9 = 469,4711t' -rl= 0,0003675 m/m
Problemas de llldráulica III
N.3.19.-Apartirdelaecuacióndiferencialdelascurvasderemansod (!_\.L=.S^_s,, en la que s,es la pendiente media de la solera
a*lze) dx u r
del canal en el tramo considerado y .S, la pendiente media de la línea
deenergíaenelmismotramo,deducirlaformadeintegrarlaporelmétodo de los otincrementos finitostt'
P.C.
La forma de integrar una curva de remanso por el método de los o'incrementos
finitos", consiste "n "i"ulu, los valores de Ax, (entre los puntos i e i+1) que
"o.."rpána"r', a incrementos o decremento del calado Ay, entre esos mismos puntos'
previamente fijados.Laecuáción diferencial dada se puede expresar en forma de incrementos
t94 Ltlzuro l,ópez Andrés
,t* r,*, -(*.,,o lo que es lo mismo Ax =
s, -s¡
Para el cálculo de la pendiente de la línea de energía en cada sección usamos la
fórmula de Manning S , = l* v' y consideramos su valor medio entre las seccioneS i' R;;'
e i+l consideradas. Si la pendiente del canal no fuese uniforme en ese tt.amo,
análogamente consideraríamos la pendiente media.
La metodología a seguir es la siguiente:
lo.- Se conoce en el punto i la velocidad, el calado y las pendientes de la solera
rlcl canal, de la línea de energía y el radio hidráulico: vi,!¡,So¡,5 ¡,R¡¡¡.
2o.- Se fija un Ay de forma Quo ./¡rr = li* L!
3o.- Se calcula v,+1 por la de continuidad.
4o.- Se calcula Rn¡+t y Rn_"a¡o
5o.-Se calcula el valor medio de la pendiente en el tramo y de la línea de energfa
en el mismo.
1, - So¡ *So¡*r
uom - 2
6o.- Se calcula Ax según
S.. +S- ,a .tt Jtarrx, 2
Ar=so._ s tu
7o.- Se reitera ql procedimiento con
- E,*t - E,
5..-Sf.
!¡+z = !+t¡ + Ly y se calcula el nuevo Ax.
I)roblemas dc llülr¿lulica III
N" 3.20.- Por un canal rectangular de 4150 m de ancho, de coeficiente de
Manning n=0,015 y de pendiente uniforme 5 diezmilésimas, circula un
caudal de 45 m3/s.
Si el canal vierte en su punto final con un corte vertical formando una
cascada, calcular la curva de remanso que se produce en la superficiedel agua del canal al circular por el mismo.
En el punto de vertido se produce el régimen crítico cuyo calado será:
=2,16m
Aguas arriba, lejos del punto de vertido el régimen será uniforme y su
calado, por aplicación de la formula de Manning, será:
195
Iu=!R',1's)'' -+
n
45_ I S1/ro,ooo5r,2
s 0,015 P'''
Sttt =30,787 'P'/t
Sustituyendo S = 4,50y
o I s'/' .,,,.s n P2t]
*o
_) 4s.0,011= t.f,1" = t::
=30.t870,0005"' P¿tr P''
y P =2y + 4,50 resulta
yt =14,90(2y+4,50) ecuación cuya solución es y:5,00 m que es el
calado en régimen uniforme en el canal y que s,e producirá, aproximadamente, a
un distancia del punto de vertido de x = + =:* = 4'320m,S, 0,0005
196 Lchurc l,ópez Andrés
La curva de remanso tendrá un calado variable entre 5,00 m de calado en
el punto en el que no habrá influencia del punto de vertido hasta un calado de
2,16 m en el punto de vertido.
Para hallar la curva de remanso vamos a usar, a partir de la ecuación
diferencial d (v')+dy =S--S. el método de los incrementos furitos, quedx\2g) dx 0 r
consiste en calcular el valor de Ax (distancia entre los puntos i e 1+1) que
corresponden a incrementos el calado Ay, previamente fijados a partir del punto
del punto inicial que es el del vertido, cuyo calado es conocido, y"=2,16m y
cuya abcisa es ¡ = 0,00¡z .
En el canal dado, la pendiente de la solera es constante, S "
= 0,0005m I m
y la pendiente de la lÍnea de energía es variable en cada tramo. Conocidos sus
valores en los extremos, usaremos la pendiente media.
a) Fijamos el punto 1.- Los valores del punto de vertido son
)h =0'00m
lt =2'16m
R... ={ - 4'50'2'16 =l.lomP 4,50+2.2,16
S,=0,0005m1m
,,, =9- 45'oo = 4.63m / ss 4,50'2,16
z. =L+ r, =o'ut' *2.16=3.25m' )o )q-ó
c _n'rl _o,ol52.4,632 =o-oo425mlm"r - ü: 1J0i, - "'"
b) Valores del punto 2.- Los valores del punto 2, cuyo valor de laabcisa buscamos, serán , considerando un Ay: 0,25 m, y procediendo
análogamente
Lx=?mlz=2,16m*0,25 =2,41m
^ s 4,50.2,41R,, - - - = -------:-------:- = 1.16mnz P 4,50+2.2,41
s,, =o,ooo\mlm
Problemas de llldráulica III 197
o 45.00V. =2;----L=4^l5m/S" s 4,50.2,41
u' = ** r, = 4JÍ
+ 2,41 = 3,29m
s "- =n'rt -0,0152 '-+152
=0,0031gm I mr z R;i; 1,16"''
Hallamos el valor medio de la pendiente de la línea de energía entre los puntos 1
y2,
o - sr'*Sr, -ur- 2
El valor de Ax será
0,00425 + 0,00318=0,0037tm/m
Lx: -12,46 m
A una distancia de 12,46 m aguas arriba del punto de vefido el calado de lalámina de agua será de 2,41m.
0,0005 - 0,00371- o,o4
= -r2.46m- 0,00321
c) Valores del punto 3.- .- Los valores del punto 3, cuyo valor de laabcisa buscamos, serán , considerando un Ay: 0,25 m, yprocediendo análogamente
Lx=?m
lt =2,41*0,25 =2,66m
R,,. =I - 4'50'2'66 =L22mP 4,50 +2.2,66
S" =0,0005m/m
_o_ 45,00 _1na.^./^v-=- =-=J-lomls' s 4,s0.2,66
z. =É+ u. =t''u' *2,660 =3,38mt )o /r )o
s ". ="!l:= -o'0r52 '-4152
=o.oo244n r mr J R;i: 1,16"''
Hallamos el valor medio de la pendiente de la linea de energía entre los puntos 2
y3,
^ Sr,+S'"[n' 2
0,00318 + 0,00244=0,00281m1m
'w$
199r98 Lfuaro López Andrft Problcmw dt Hldráultca III
Lx= -26,63m
A una distancia de 12,46 +26,63 : 39,09 m aguas arriba del punto de vertido olcalado de la lámina de agua ser de 2,66 m
Actuando análogamente podemos obtener el siguiente cuadro de losparámetros que intervienen en el cálculo.
3.21.- Por un canal rectangular de 3150 m de ancho constante, de coeficientede Manning n=0n014 y de pendiente uniforme 1,5 milésimas, circula enrégimen variable un caudal de 21 m3/s y en un punto le velocidad delagua es de 3,00 m/s y su calado de 2,00 m. El canal vierte aguas abajoformando una cascada.Hallar: lo.-El calado cuando su régimen era uniforme y el número defraude en ambos regímenes.
2o.- Calcular Ia curva de remanso aguas arriba y aguas abaJodel punto dado.
1o.- En el punto conocido el ancho del canal será
r =9 ¡,oo = ,20,,0,0, -+ b =3"50m,s b.2,00Este ancho es constante en todo el canal.
El calado en régimen uniforme será por aplicación de la fórmula de Manning
t/ =+=!n';'S',,,^S n'
Q -l S''' n,,, -+ 4=:_*0,001s,/2s-;r^"0 - s-o^ol4F
l,Sg =# -+ 437,42.p2 = 55 -+ 0,g33(2.y,+3,50)2 = ys
La solución de esta ecuación es yu= 2120 m.
La velocidad del agua en régimen uniforme es
t,o2lY =:=-=2.73m/s.s 3,50.2,20El número de Froude en régimen uniforme, aguas arriba del punto dado será
F= V, =Z=0.5g7'J gY"
"!2,209y en régimen variable, en el punto dado, será
F=L=..4 =0"6774 sy" .,l2,oog
2.-Curva de remanso aguas arriba.
El valor de Ax será
E^_E^Lx- _-_¿_ 3,38-3,29
so-sn 0,0005-0,00281- o'09
=-26.63m- 0,00338
NO
a) Los parámetros del punto I de la figura, dado en el enunciado son
lt=2,00m
l,ázuro l,ópez Andrés
R-, ={ - 3'50'2'oo =o-93mP 3,50+2'2,00
So=0,0015m1m
lt, =9- 2l,oo =3.oomrs' .s 3,50.2,00
E, =t-+ r, =3'oo' *2.00 =2.46m' )o )o
s,, ="(,' - o,ol42'3,002 = o"ool94m / mRí, 0,93o''
b) Al punto 2 de lahgura le asignamos un calado de 2,20m , calado delrégimen uniforme, según se ha calculado anteriormente. Debemos calcular la distanciaentre Ax entre los puntos I y 2
Ar. - =im*'1-2
Y, =2,00+0,20 =2,20m
R-" ={ - 3'50'2'20 =o-97mP 3,50+2'2,20
So=0'00l5mlm
lr"=9- 21,00 =2.73m/s' ^s 3,50.2,20
- v: aq¡2t7. =:+ r. =t,'t +2.20=2.5gm
' )q )o-ó -ó'v-2 0-0142.2.73,$".=fl ," =4=0.00 I52mlmRi, 0,97"','
El valor de la pendiente media de Ia línea de energía entre los puntos I y 2 es
. _S.,*Srr_or. - ,0,00194 + 0,00152
=0,00173m1m
El valor de Ax buscado será
0,0015 - 0,00173
oJ2 = -521-74m
- 0.00023
2,58-2,46
A 521 ,7 4 m el calado es de 2,20 m y se corresponde con el calado uniforme, porlo que aguas arriba del punto 2 el régimen de del canal es uniforme,
Problemas de Hídróulica III 201
En el punto de vertido el calado del agua es 1,54 m. Debemos calcular la
distancia en el punto 1 y este punto, que hemos denominado punto 4'
Podemós comprobar que en el punto de vertido el número de Froude es I
r¡. =9- 21'oo =3.90m I s" s 3,50.1,54
F=-L=-L=1^lY'e ^11,54'g
b) Fijamos un punto 3 entre el punto dado (punto 1) y le punto de vertido (punto
4). Fijamos un Ay de 0,23 cm (semisuma entre los calados en los puntos 1 y4) Los
parámetros del punto 3 son:
Ax, " =?
lz =2,00-0'23 =l'77m
R... ={ - 3'50'l''77 =o,88rrnr P 3,50+2'1,77
So =0'0015m /m
v- =9- 21'oo =3.39m1s' s 3,50'1,77
E. =Y;-+ r, =t,t" *1.77 =2,35m-' 29 29
,,,=#=w##=o,oo267mtm
El valor de la pendiente media de la línea de energía entre los puntos 1 y 3 es
. _ S., *S., _or* --l-
3.- Curva de remanso aguas abajo.a) Calculo del calado crítico.
0,00194+ 0,00267
El valor de Ax buscado será
=0,00330m lm
E._E.Ax, , =-----:------l-=
ü -S..2,35 -2,46
0,0015 - 0,00230- - o'l 1
=137 -5rt0,0008
c) Los parámetros del Punto 4 son:
202 l,únuu l,ó¡nz Arulrés
a-- _otlL3_4 - t
!t =7,77 -0,23 =1,54m
R,,. =I- 3,50'1,54 =o-B2mP 3,50+2.1,54
So =0,0015m1m
v, =9- 2l,oo =3.90m I s" .s 3,50.1,54
E. =Y;- + u. =3'90' * 1.54 = 2-3lm" )o )o
s,, ="(i - o,ol42'3802 =o.oo3il8mlmRio 0,82"'"
El valor de la pendiente media de la línea de energía entre los puntos 1 y 3 es
^ S,, *ü 0,00267+0,00388\'--"Fn- 2 2 "'
El valor de Ax buscado será
2,31-2,3s - 0,04
0,0015 -0,00327 -0,00177=22,6m
La distancia entre el punto dado y el vertedero es de Lx: 137,5+22,6:160,10 m.
Comprobación.- Vamos a calcular la distancia enhe los puntos I y 4 poniendopuntos intermedios 5 y 6, cuyas variaciones del calado sean 0,.15m,0,15 m y 0,16 men cada uno de los tres intervalos definidos, cuya suma, 0,46 m es la diferencia de
niveles entre los puntos 1 y 4.
Solera 0.015 m/m
Los parámetros del punto 5 son:
I'roblemas de IIidráulica III 203
\-,=?ls =2,00 - 0,15 =I,85m
R.,- =I- 3'50'l'85 =o.9omP 3,50 + 2'1,85
So =0,0015m1 m
v. =9- 2l'oo = 3.24m / s' s 3,50. 1,85
v-2 3 242g.-!J-¡ J,. ="'-' *1,85=2,39m'2929
I __ =n'vr' _0,0142 .3,_242
=0.00237m I m" F5 Rtr, 0.904/'
El valor de la pendiente media de la línea de energía entre los puntos I y 5 es
5^ = so,*so, _ 0.00194+0,00237
=0.00215m1m22
El valor de Ax buscado será
' Es-Er -l" =--So - S..
Los parámetros del punto 6 son:
2,39 -2,460,00 15 - 0,002 I 5
- -o'07 =lo5.7m- 0,0006s
Ar = ?
!e =1,85 -0,15 =1,70m
R,,- ={ - 3'50'l'70 . =0,86mno P 3,50+2.1,70
So=0,0015m1m
v-Q- 2l'oo =3.53n1s" s 3,s0.1,70
v.2 ¡ ¿¡2F. ----o +u. = ''" +1.70=2,33n
" )n )o
\ =r'r: _ 0,014'z.3.532 =o-oo29gmln" F6 Rl" 0,864'3
El valor de la pendiente media de la línea de errergía entre los puntos I y 5 es
204 Lázaro López Andrés
o _ S", *S., _ur.----T
E._E.AX. . =----!----l=
So - S..
0,00237 + 0,00298=0,00267m/m
El valor de Ax buscado será
2,33-2390,001 5 - 0,00267
- 0.06= ____:- = 51.3m
- 0,00 I 17
Los pariímetros del punto 4 son Eo=2)1m Y Sr¿ = 0,00388m1 m con lo quo
distancia entre los puntos 6y 4 seú
,s _ sru *s., _ 0,00298+0,00388 =0,00343m1 mDF^-- z 2
L*. .= Eo-Eu _ 2,31-2,33 _ -0,02 =10.4mo-4
so *s", 0,0015-0,00343 -0,00193
La distancia calculada es 105,7+51,3+10,4:167,4 m, del orden de lacalculada con dos intervalos, siendo esta mas cercana alareal que la anterior.
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